Rješenjem pronađite limite navedenih funkcija. Kako riješiti granice za lutke

Online kalkulator ograničenja na web mjestu za potpunu konsolidaciju gradiva koje su pokrili studenti i školarci i uvježbavanje njihovih praktičnih vještina. Kako koristiti kalkulator ograničenja na mreži na našem resursu? To se radi vrlo jednostavno, samo trebate unijeti izvornu funkciju u postojeće polje, odabrati željenu graničnu vrijednost za varijablu iz izbornika i kliknuti na gumb "Rješenje". Ako u nekom trenutku trebate izračunati graničnu vrijednost, tada trebate unijeti vrijednost upravo te točke - numeričku ili simboličku. Mrežni kalkulator ograničenja pomoći će vam pronaći graničnu vrijednost u danoj točki, granicu u intervalu definicije funkcije, a ta je vrijednost, gdje vrijednost funkcije koja se proučava juri kada njezin argument teži danoj točki, rješenje za ograničenje. Po online kalkulator u granicama resursa naše web stranice, možemo reći sljedeće - postoji ogroman broj analoga na Internetu, možete pronaći one dostojne, morate tražiti ovaj s poteškoćama. Ali ovdje ćete se susresti s činjenicom da se jedna stranica razlikuje od druge. Mnogi od njih uopće ne nude online kalkulator limita, za razliku od nas. Ako u bilo kojoj poznatoj tražilici, bilo da se radi o Yandexu ili Googleu, tražite web stranice pomoću izraza "Online limit calculator", tada će web stranica biti u prvim redovima u rezultatima pretraživanja. To znači da nam te tražilice vjeruju, a na našim stranicama nalazi se samo kvalitetan sadržaj, i što je najvažnije, koristan za učenike i studente! Nastavimo govoriti o limitnim kalkulatorima i općenito o teoriji prelaska na limit. Vrlo često se u definiciji limita funkcije formulira koncept susjedstva. Ovdje se limiti funkcija, kao i rješenja tih limita, proučavaju samo u točkama koje su granične za područje definiranja funkcija, znajući da u svakoj okolini takve točke postoje točke iz područja definiranja funkcija ovu funkciju. To nam omogućuje da govorimo o tendenciji funkcije varijable prema danoj točki. Ako postoji ograničenje u nekoj točki domene funkcije i mrežni kalkulator ograničenja daje detaljno rješenje ograničenja funkcije u danoj točki, tada je funkcija kontinuirana u toj točki. Neka naš online kalkulator limita s rješenjem da neki pozitivan rezultat, a mi ćemo to provjeriti na drugim stranicama. To može dokazati kvalitetu našeg resursa, a kao što mnogi već znaju, on je najbolji i zaslužuje najviše pohvale. Uz to, postoji mogućnost online kalkulatora ograničenja s detaljnim rješenjem za proučavanje i samostalno, ali pod strogim nadzorom stručnog učitelja. Često će ova radnja dovesti do očekivanih rezultata. Svi studenti samo sanjaju da će online limitni kalkulator s rješenjem detaljno opisati njihov težak zadatak koji im je zadao nastavnik na početku semestra. Ali nije to tako jednostavno. Prvo morate proučiti teoriju, a zatim koristiti besplatni kalkulator. Poput mrežnih ograničenja, kalkulator će vam dati pojedinosti o unosima koji su vam potrebni, a rezultatom ćete biti zadovoljni. Ali granična točka domene definicije ne mora pripadati upravo ovoj domeni definicije, a to dokazuje detaljan izračun online kalkulatora granica. Primjer: limit funkcije možemo promatrati na krajevima otvorenog segmenta na kojem je definirana naša funkcija. U ovom slučaju same granice segmenta nisu uključene u domenu definiranja. U tom smislu, sustav susjedstva ove točke je poseban slučaj takva baza podskupova. Online kalkulator limita s detaljnim rješenjem proizvodi se u stvarnom vremenu i na njega se primjenjuju formule u zadanom eksplicitnom analitičkom obliku. Limit funkcije pomoću online kalkulatora limita s detaljnim rješenjem je generalizacija koncepta limita niza: u početku se limit funkcije u točki shvaćao kao limit niza elemenata raspona funkcije sastavljene od slika točaka niza elemenata domene funkcije koja konvergira danoj točki (limit na kojem se razmatra); ako takva granica postoji, tada se kaže da funkcija konvergira prema navedenoj vrijednosti; ako takva granica ne postoji, tada se kaže da funkcija divergira. Općenito govoreći, teorija graničnog prijelaza osnovni je koncept sve matematičke analize. Sve se temelji upravo na graničnim prijelazima, odnosno detaljno rješenje limita temelj je znanosti matematičke analize, a online limitni kalkulator postavlja temelj učenja učenika. Online kalkulator limita s detaljnim rješenjem na stranici jedinstvena je usluga za dobivanje točnog i trenutnog odgovora u stvarnom vremenu. Nerijetko, točnije vrlo često, studenti odmah imaju poteškoća u rješavanju granica tijekom početnog učenja matematičke analize. Jamčimo da je online rješavanje limitnog kalkulatora na našem servisu jamstvo točnosti i dobivanja kvalitetnog odgovora. Odgovor na detaljno rješenje limita s kalkulatorom dobit ćete u roku od nekoliko sekundi, možete čak reći odmah . Ako navedete netočne podatke, odnosno znakove koje sustav ne dopušta, u redu je, servis će vas automatski obavijestiti o pogrešci. Ispravite prethodno unesenu funkciju (ili graničnu točku) i uz pomoć online graničnog kalkulatora dobijete točno detaljno rješenje. Vjerujte nam i nikada vas nećemo iznevjeriti. Možete jednostavno koristiti web mjesto, a mrežni kalkulator ograničenja s rješenjem detaljno će opisati korak po korak korake za izračun problema. Samo trebate pričekati nekoliko sekundi i dobiti željeni odgovor. Za rješavanje limesa online kalkulatorom s detaljnim rješenjem koriste se sve moguće tehnike, a posebno se vrlo često koristi L'Hospitalova metoda, jer je univerzalna i dovodi do odgovora brže od drugih metoda izračuna limita funkcije . Često je za izračun zbroja niza brojeva potrebno online detaljno rješenje pomoću kalkulatora ograničenja. Kao što znate, da biste pronašli zbroj numeričkog niza, trebate samo ispravno izraziti djelomični zbroj ovog niza, a onda je sve jednostavno koristeći našu besplatnu uslugu web stranice, budući da je izračun granice pomoću našeg online kalkulatora ograničenja iz djelomični zbroj bit će konačni zbroj numeričkog niza. Detaljno rješenje s kalkulatorom granica na mreži korištenjem usluge web mjesta studentima pruža način da vide napredak u rješavanju problema, što razumijevanje teorije granica čini lakim i dostupnim gotovo svima. Ostanite usredotočeni i ne dopustite da vas krivi postupci dovedu u nevolju s lošim ocjenama. Kao i svako detaljno rješenje s limitnim kalkulatorom online usluga, zadatak će biti predstavljen u prikladnom i razumljivom obliku, s detaljnim rješenjem, uz poštivanje svih pravila i propisa za dobivanje rješenja.. Istovremeno možete uštedjeti vrijeme i novac, jer ne tražimo apsolutno ništa to. Na našoj web stranici detaljno rješenje online kalkulatora limita uvijek je dostupno dvadeset i četiri sata dnevno. Zapravo, svi mrežni kalkulatori ograničenja s rješenjem možda neće dati detaljan napredak rješenja korak po korak, ne biste trebali zaboraviti na to i pratiti sve. Čim vas ograničenja online kalkulatora s detaljnim rješenjem potraže da kliknete na gumb "Rješenje", prvo provjerite sve. tj. provjeriti unesenu funkciju, također graničnu vrijednost i tek onda nastaviti s radnjom. To će vas spasiti od bolnih iskustava za neuspješne izračune. A onda će granice online kalkulatora s detaljnim zakonom dati točan faktorijelni prikaz akcija korak po korak. Ako mrežni kalkulator limita iznenada nije dao detaljno rješenje, za to može postojati nekoliko razloga. Prvo provjerite napisani izraz funkcije. Mora sadržavati varijablu "x", inače će cijelu funkciju sustav tretirati kao konstantu. Zatim provjerite graničnu vrijednost, ako je navedena dana točka ili vrijednost znaka. Također mora sadržavati samo slova- to je važno! Tada možete ponovno pokušati pronaći detaljno rješenje ograničenja na našoj izvrsnoj usluzi i koristiti rezultat. Čim kažu da su granice online rješenja u detaljima vrlo teške - ne vjerujte, i što je najvažnije, ne paničarite, sve je dopušteno u okviru tečaja. Preporučamo da bez panike posvetite samo nekoliko minuta našoj usluzi i provjerite zadanu vježbu. Ako se unatoč tome ograničenja mrežnog rješenja ne mogu detaljno riješiti, onda ste pogriješili pri upisu, jer inače stranica rješava gotovo svaki problem bez većih poteškoća. Ali nema potrebe misliti da možete odmah dobiti željeni rezultat bez rada i truda. Na bilo kojoj potrebi posvetiti dovoljno vremena za proučavanje materijala. Moguće je da se svaki mrežni limitni kalkulator s rješenjem istakne u detalje u fazi izrade izloženog rješenja i pretpostavi suprotno. Ali nije bitno kako to izraziti, jer nas brine sam proces. znanstveni pristup. Kao rezultat toga, pokazat ćemo kako se online kalkulator ograničenja rješenja detaljno temelji na temeljnom aspektu matematike kao znanosti. Odredite pet temeljnih načela i krenite naprijed. Pitat ćemo vas je li rješenje kalkulatora limita dostupno online s detaljnim rješenjem za sve, a vi ćete odgovoriti - da, jest! Možda u tom smislu nema posebnog fokusa na rezultate, ali online limit ima nešto drugačije značenje u detaljima nego što bi se moglo činiti na početku proučavanja discipline. Uravnoteženim pristupom, uz pravilan raspored snaga, moguće je najkraće vrijeme ograničite online u detalje da sami zaključite.! U stvarnosti će internetski kalkulator ograničenja s detaljnim rješenjem brže početi proporcionalno predstavljati sve korake izračuna korak po korak.

Teorija granica jedna je od grana matematičke analize. Pitanje rješavanja limita je prilično opsežno, budući da postoje deseci metoda za rješavanje limita razne vrste. Postoje deseci nijansi i trikova koji vam omogućuju rješavanje jednog ili drugog ograničenja. Ipak, pokušat ćemo razumjeti glavne vrste ograničenja koja se najčešće susreću u praksi.

Počnimo sa samim konceptom granice. Ali prvo, kratka povijesna pozadina. Bio jednom Francuz Augustin Louis Cauchy u 19. stoljeću, koji je dao stroge definicije mnogim pojmovima matana i postavio njegove temelje. Moram reći da je ovaj ugledni matematičar sanjao, sanja i sanjat će u noćnim morama svih studenata fizikalnih i matematičkih fakulteta, jer je dokazao ogroman broj teorema matematičke analize, a jedan je teorem ubojitiji od drugog. Iz tog razloga nećemo uzeti u obzir određivanje Cauchyjeve granice, ali pokušajmo učiniti dvije stvari:

1. Shvatite što je granica.
2. Naučite riješiti glavne vrste ograničenja.

Ispričavam se zbog nekih neznanstvenih objašnjenja, bitno je da je materijal razumljiv i čajniku, što je zapravo i zadatak projekta.

Dakle, koja je granica?

I odmah primjer zašto ševiti baku....

Svaki limit sastoji se od tri dijela:

1) Dobro poznata ikona ograničenja.
2) Unosi ispod ikone ograničenja, u ovom slučaju . Unos glasi "x teži jedinici." Najčešće - točno, iako umjesto "x" u praksi postoje druge varijable. U praktičnim zadacima, umjesto jedinice, može postojati apsolutno bilo koji broj, kao i beskonačnost ().
3) Funkcije pod znakom granice, u ovom slučaju .

Sama ploča glasi ovako: "granica funkcije kada x teži jedinici."

Analizirajmo sljedeće važno pitanjeŠto znači izraz "X"? traži do jedinstva? I što je uopće "stremiti"?
Koncept granice je koncept, da tako kažemo, dinamičan. Konstruirajmo niz: prvo , zatim , , …, , ….
Odnosno, izraz "x traži do jedan" treba shvatiti na sljedeći način - "x" dosljedno uzima vrijednosti koji su beskrajno blizu jedinici i praktički se s njom podudaraju.

Kako riješiti gornji primjer? Na temelju gore navedenog, samo trebate zamijeniti jedinicu u funkciji ispod znaka granice:

Dakle, prvo pravilo glasi: Kada dobijete bilo kakvo ograničenje, prvo samo pokušajte uključiti broj u funkciju.

Razmotrili smo najjednostavniju granicu, ali takve se također nalaze u praksi, i to ne tako rijetko!

Primjer beskonačnosti:

Razumijevanje što je to? To je slučaj kada raste neograničeno, to jest: prvo, zatim, zatim, zatim i tako u nedogled.

I što se događa s funkcijom u ovom trenutku?
, , , …

Dakle: ako je , tada funkcija teži minus beskonačnosti:

Grubo govoreći, prema našem prvom pravilu, zamijenimo beskonačnost u funkciju umjesto "x" i dobijemo odgovor.

Još jedan primjer s beskonačnošću:

Ponovno počinjemo povećavati do beskonačnosti i promatramo ponašanje funkcije:

Zaključak: za , funkcija raste neograničeno:

I još niz primjera:

Pokušajte sami mentalno analizirati sljedeće i zapamtite najjednostavnije vrste ograničenja:

, , , , , , , , ,
Ako negdje postoji dvojba, možete uzeti kalkulator i malo vježbati.
U slučaju da pokušajte izgraditi niz , , . Ako tada , , .

! Bilješka: strogo govoreći, takav pristup s konstrukcijom nizova od nekoliko brojeva nije točan, ali je sasvim prikladan za razumijevanje najjednostavnijih primjera.

Obratite pozornost i na sljedeću stvar. Čak i ako je ograničenje zadano s velikim brojem na vrhu ili barem s milijunom: , onda je svejedno , jer će prije ili kasnije "x" početi poprimati takve gigantske vrijednosti da će milijun u usporedbi s njima biti pravi mikrob.

Što treba zapamtiti i razumjeti iz gore navedenog?

1) Kada je dana bilo kakva granica, prvo jednostavno pokušavamo zamijeniti broj u funkciju.

2) Morate razumjeti i odmah riješiti najjednostavnije granice, kao što je , itd.

Štoviše, granica je vrlo dobra geometrijski smisao. Za bolje razumijevanje teme preporučujem da se upoznate s metodološkim materijalom Grafovi i svojstva elementarnih funkcija. Nakon što pročitate ovaj članak, ne samo da ćete konačno razumjeti što je granica, već ćete se također upoznati sa zanimljivim slučajevima kada je granica funkcije općenito ne postoji!

U praksi je, nažalost, malo darova. I tako prelazimo na razmatranje složenijih granica. Usput, na ovu temu postoji intenzivni tečaj u pdf formatu, što je posebno korisno ako imate JAKO malo vremena za pripremu. Ali materijali stranice, naravno, nisu ništa gori:

Sada ćemo razmotriti skupinu limita, kada je , a funkcija je razlomak u čijem su brojniku i nazivniku polinomi

Primjer:

Izračunajte ograničenje

Prema našem pravilu, pokušat ćemo zamijeniti beskonačnost u funkciju. Što dobivamo na vrhu? Beskonačnost. I što se događa ispod? Također beskonačnost. Dakle, imamo tzv. neodređenost forme. Moglo bi se pomisliti da je , i odgovor je spreman, ali u općem slučaju to uopće nije slučaj i mora se primijeniti neko rješenje koje ćemo sada razmotriti.

Kako riješiti limite ove vrste?

Prvo pogledamo brojnik i nađemo najveću snagu:

Najveća potencija u brojniku je dvojka.

Sada gledamo nazivnik i također pronalazimo najveći stupanj:

Najveća potencija nazivnika je dva.

Zatim biramo najveću potenciju brojnika i nazivnika: u ovom primjeru oni su isti i jednaki su dva.

Dakle, metoda rješenja je sljedeća: da bi se otkrila nesigurnost, potrebno je podijeliti brojnik i nazivnik na najveći stupanj.

Evo ga, odgovor, a ne beskonačnost uopće.

Što je bitno u donošenju odluke?

Prvo, ukazujemo na nesigurnost, ako postoji.

Drugo, poželjno je prekinuti rješenje za srednja objašnjenja. Obično koristim znak, on nema nikakvo matematičko značenje, već znači da se rješenje prekida radi međuobjašnjenja.

Treće, u granici je poželjno označiti čemu i kamo teži. Kada se rad sastavlja ručno, prikladnije je to učiniti ovako:

Za bilješke je bolje koristiti jednostavnu olovku.

Naravno, ne možete učiniti ništa od ovoga, ali tada će, možda, nastavnik uočiti nedostatke u rješenju ili početi postavljati dodatna pitanja o zadatku. A treba li ti?

Primjer 2

Pronađite granicu
Opet u brojniku i nazivniku nalazimo u najvišem stupnju:

Najveći stupanj u brojniku: 3
Maksimalni stupanj u nazivniku: 4
Odaberite najveći vrijednost, u ovom slučaju četiri.
Prema našem algoritmu, da bismo otkrili nesigurnost, dijelimo brojnik i nazivnik s .
Kompletan zadatak može izgledati ovako:

Podijelite brojnik i nazivnik s

Primjer 3

Pronađite granicu
Maksimalni stupanj "x" u brojniku: 2
Najveća snaga "x" u nazivniku: 1 (može se napisati kao)
Da bi se otkrila nesigurnost, potrebno je brojnik i nazivnik podijeliti s . Čisto rješenje može izgledati ovako:

Podijelite brojnik i nazivnik s

Zapis ne znači dijeljenje s nulom (nemoguće je dijeliti s nulom), već dijeljenje s beskonačno malim brojem.

Tako pri otkrivanju neodređenosti oblika možemo dobiti konačan broj, nula ili beskonačnost.

Granice s tipskom nesigurnošću i način njihova rješavanja

Sljedeća skupina granica donekle je slična upravo razmatranim granicama: postoje polinomi u brojniku i nazivniku, ali "x" više ne teži beskonačnosti, već konačni broj.

Primjer 4

Riješite granicu
Prvo, pokušajmo zamijeniti -1 u razlomku:

U tom slučaju se dobiva tzv.

Opće pravilo : ako postoje polinomi u brojniku i nazivniku, a postoji nesigurnost oblika, tada za njegovo otkrivanje rastaviti na faktore brojnik i nazivnik.

Da biste to učinili, najčešće morate riješiti kvadratnu jednadžbu i (ili) koristiti skraćene formule množenja. Ako su te stvari zaboravljene, posjetite stranicu Matematičke formule i tablice te se upoznati s metodičkim materijalom Vruće školske matematičke formule. Usput, najbolje ga je ispisati, potrebno je vrlo često, a informacije s papira bolje se apsorbiraju.

Dakle, riješimo našu granicu

Rastavljanje brojnika i nazivnika na faktore

Da biste faktorizirali brojnik, morate riješiti kvadratnu jednadžbu:

Prvo nalazimo diskriminantu:

I kvadratni korijen toga: .

Ako je diskriminant velik, na primjer 361, koristimo kalkulator, funkciju izdvajanja korijen je na najjednostavnijem kalkulatoru.

! Ako se korijen ne izvuče u potpunosti (dobije se razlomački broj sa zarezom), vrlo je vjerojatno da je diskriminant krivo izračunat ili je greška u zadatku.

Zatim nalazimo korijene:

Na ovaj način:

Sve. Brojnik je faktoriziran.

Nazivnik. Nazivnik je već najjednostavniji faktor i ne postoji način da ga se pojednostavi.

Očito, može se skratiti na:

Sada zamijenimo -1 u izrazu koji ostaje ispod znaka granice:

Naravno, na kolokvijumu, testu, ispitu, rješenje nikada nije tako detaljno oslikano. U konačnoj verziji dizajn bi trebao izgledati ovako:

Rastavimo brojnik na faktore.

Primjer 5

Izračunajte ograničenje

Prvo, "čisto" rješenje

Rastavimo brojnik i nazivnik na faktore.

Brojnik:
Nazivnik:



,

Što je važno u ovom primjeru?
Prvo, morate dobro razumjeti kako se brojnik otkriva, prvo smo stavili u zagrade 2, a zatim upotrijebili formulu razlike kvadrata. Ovo je formula koju trebate znati i vidjeti.

Preporuka: Ako je u ograničenju (gotovo bilo kojeg tipa) moguće izbaciti broj iz zagrade, tada to uvijek činimo.
Štoviše, preporučljivo je uzeti takve brojeve iza znaka ograničenja. Za što? Samo da im ne smetaju. Glavna stvar je ne izgubiti ove brojeve tijekom odluke.

Imajte na umu da sam u završnoj fazi rješenja izvadio dvojku za ikonu ograničenja, a zatim minus.

! Važno
U tijeku rješenja vrlo često se pojavljuje fragment tipa. Smanjite ovaj razlomakZabranjeno je . Prvo morate promijeniti predznak brojnika ili nazivnika (stavite -1 izvan zagrada).
, odnosno pojavljuje se predznak minus koji se uzima u obzir pri izračunu limita i uopće ga ne treba gubiti.

Općenito, primijetio sam da je najčešće u pronalaženju granica ovog tipa potrebno riješiti dvije kvadratne jednadžbe, odnosno i u brojniku i u nazivniku postoje kvadratni trinomi.

Metoda množenja brojnika i nazivnika pridruženim izrazom

Nastavljamo razmatrati nesigurnost oblika

Sljedeća vrsta ograničenja slična je prethodnoj vrsti. Jedino ćemo, osim polinoma, dodati korijene.

Primjer 6

Pronađite granicu

Počinjemo odlučivati.

Prvo pokušavamo zamijeniti 3 u izrazu ispod znaka granice
Još jednom ponavljam - ovo je prva stvar koju treba učiniti za BILO KOJI limit. Ova radnja se obično izvodi mentalno ili na propuhu.

Dobiva se nesigurnost oblika koju je potrebno otkloniti.

Kao što ste vjerojatno primijetili, imamo razliku korijena u brojniku. I uobičajeno je osloboditi se korijena iz matematike, ako je moguće. Za što? I život je lakši bez njih.

Granica funkcije u beskonačnosti:
|f(x) - a|< ε при |x| >N

Definicija Cauchyjeve granice
Neka funkcija f (x) je definiran u nekoj okolini beskonačne točke, za |x| > Broj a naziva se limitom funkcije f (x) dok x teži beskonačnosti (), ako je za bilo koji proizvoljno mali pozitivan broj ε > 0 , postoji broj N ε > K, ovisno o ε , tako da za sve x vrijedi |x| > N ε , vrijednosti funkcije pripadaju ε okolini točke a :
|f (x) - a|< ε .
Granica funkcije u beskonačnosti označava se na sljedeći način:
.
Ili u .

Često se koristi i sljedeća oznaka:
.

Ovu definiciju pišemo koristeći se logičkim simbolima postojanja i univerzalnosti:
.
Ovdje se pretpostavlja da vrijednosti pripadaju opsegu funkcije.

Jednostrana ograničenja

Lijeva granica funkcije u beskonačnosti:
|f(x) - a|< ε при x < -N

Često postoje slučajevi kada je funkcija definirana samo za pozitivne ili negativne vrijednosti varijable x (točnije, u blizini točke ili ). Također mogu postojati granice u beskonačnosti za pozitivne i negativne vrijednosti x razna značenja. Tada se koriste jednostrana ograničenja.

Lijeva granica u beskonačnosti ili granica kada x teži minus beskonačnosti () definira se na sljedeći način:
.
Desna granica u beskonačnosti ili ograničiti dok x teži plus beskonačno () :
.
Jednostrane granice u beskonačnosti često se pišu ovako:
; .

Granica beskonačne funkcije u beskonačnosti

Granica beskonačne funkcije u beskonačnosti:
|f(x)| > M za |x| > N

Definicija beskonačne granice prema Cauchyju
Neka funkcija f (x) je definiran u nekoj okolini beskonačne točke, za |x| > K , gdje je K pozitivan broj. Granica funkcije f (x) dok x teži beskonačnosti (), jednako beskonačnosti , ako je za bilo koji proizvoljno veliki broj M > 0 , postoji broj N M > K, ovisno o M , tako da za sve x vrijedi |x| > N M , vrijednosti funkcije pripadaju okolini točke u beskonačnosti:
|f (x) | > M.
Beskonačna granica kada x teži beskonačnosti označava se na sljedeći način:
.
Ili u .

Koristeći logičke simbole postojanja i univerzalnosti, definicija beskonačne granice funkcije može se napisati na sljedeći način:
.

Definicije beskonačnih granica određenih znakova jednakih i uvode se na sličan način:
.
.

Definicije jednostranih granica u beskonačnosti.
Lijeve granice.
.
.
.
Prave granice.
.
.
.

Definicija limita funkcije prema Heineu

Neka funkcija f (x) je definirana na nekoj okolini točke u beskonačnosti x 0 , gdje ili ili .
Broj a (konačan ili u beskonačnosti) naziva se limesom funkcije f (x) u točki x 0 :
,
ako za bilo koji niz ( x n ), konvergirajući prema x 0 : ,
čiji elementi pripadaju susjedstvu , nizu (f(xn)) konvergira u:
.

Ako uzmemo okolinu nepredznačene točke u beskonačnosti kao okolinu: , tada dobivamo definiciju limita funkcije dok x teži beskonačnosti, . Ako uzmemo lijevu ili desnu okolinu točke u beskonačnosti x 0 : ili , tada dobivamo definiciju limita kada x teži minus beskonačno odnosno plus beskonačno.

Heineova i Cauchyjeva definicija granice su ekvivalentne.

Primjeri

Primjer 1

Dokažite to koristeći Cauchyjevu definiciju
.

Uvedimo oznaku:
.
Nađi domenu funkcije. Budući da su brojnik i nazivnik razlomka polinomi, funkcija je definirana za sve x osim za točke u kojima nazivnik nestaje. Pronađimo ove točke. Rješavamo kvadratnu jednadžbu. ;
.
Korijeni jednadžbe:
; .
Od , zatim i .
Stoga je funkcija definirana za . Ovo ćemo koristiti u budućnosti.

Zapisujemo definiciju konačnog limita funkcije u beskonačnosti prema Cauchyju:
.
Preobrazimo razliku:
.
Podijelite brojnik i nazivnik s i pomnožite s -1 :
.

Neka .
Zatim
;
;
;
.

Dakle, otkrili smo da na,
.
.
Otuda slijedi da
u , i .

Budući da je uvijek moguće povećati, uzimamo . Zatim za bilo koji,
u .
To znači da .

Primjer 2

Neka .
Koristeći definiciju Cauchyjeve granice, pokažite da:
1) ;
2) .

1) Rješenje za x koje teži minus beskonačno

Budući da je , tada je funkcija definirana za sve x .
Napišimo definiciju limita funkcije na jednako minus beskonačno:
.

Neka . Zatim
;
.

Dakle, otkrili smo da na,
.
Upisujemo pozitivne brojeve i:
.
Slijedi da za svaki pozitivan broj M postoji broj , tako da za ,
.

To znači da .

2) Rješenje za x koje teži plus beskonačno

Transformirajmo izvornu funkciju. Pomnožite brojnik i nazivnik razlomka i primijenite formulu razlike kvadrata:
.
Imamo:

.
Napišimo definiciju desne granice funkcije za :
.

Uvedimo oznaku: .
Preobrazimo razliku:
.
Pomnožite brojnik i nazivnik sa:
.

Neka
.
Zatim
;
.

Dakle, otkrili smo da na,
.
Upisujemo pozitivne brojeve i:
.
Otuda slijedi da
na i .

Budući da ovo vrijedi za bilo koji pozitivan broj, onda
.

Reference:
CM. Nikolskog. Tečaj matematičke analize. Svezak 1. Moskva, 1983.

Tema 4.6 Izračunavanje granica

Limit funkcije ne ovisi o tome je li definirana u graničnoj točki ili ne. Ali u praksi izračunavanja granica elementarnih funkcija ova je okolnost bitna.

1. Ako je funkcija elementarna i ako granična vrijednost argumenta pripada njezinoj domeni definicije, tada se izračun limita funkcije svodi na jednostavnu zamjenu granične vrijednosti argumenta, jer ograničiti elementarna funkcija f(x) x težnja zaa , koja je uključena u domenu definicije, jednaka je privatnoj vrijednosti funkcije na x= a, tj. lim f(x)=f( a) .

2. Ako x ide u beskonačnost ili argument teži broju koji ne pripada domeni funkcije, tada u svakom takvom slučaju pronalaženje limita funkcije zahtijeva posebnu studiju.

Sljedeće su najjednostavnije granice, temeljene na svojstvima granica, koje se mogu koristiti kao formule:

Složeniji slučajevi nalaženja limita funkcije:

svaki se razmatra zasebno.

Ovaj dio će predstaviti glavne načine otkrivanja nesigurnosti.

1. Slučaj kada x težnja zaa funkcija f(x) predstavlja omjer dviju infinitezimalnih veličina

a) Najprije se treba uvjeriti da se limes funkcije ne može pronaći izravnom supstitucijom te da uz navedenu promjenu argumenta predstavlja omjer dviju infinitezimalnih veličina. Provedene su transformacije kako bi se razlomak smanjio za faktor koji teži 0. Prema definiciji limita funkcije, argument x teži svojoj graničnoj vrijednosti, nikad se ne podudara s njom.

Općenito, ako se traži limit funkcije x težnja zaa , tada se mora zapamtiti da x nema vrijednost a, tj. x nije jednako a.

b) Primijenjen je Bezoutov teorem. Ako tražite granicu razlomka čiji su brojnik i nazivnik polinomi koji se pretvaraju u 0 u graničnoj točki x \u003d a, tada su prema gornjem teoremu oba polinoma djeljiva bez ostatka s x- a.

c) Iracionalnost u brojniku ili nazivniku uklanja se množenjem brojnika ili nazivnika s izrazom konjugiranim s iracionalnim, a zatim se nakon pojednostavljenja razlomak smanjuje.

d) Koristi se 1. značajno ograničenje (4.1).

e) Koristimo teorem infinitezimalne ekvivalencije i sljedeći b.m.:

2. Slučaj kada x težnja zaa funkcija f(x) predstavlja omjer dviju beskonačno velikih veličina

a) Dijeljenje brojnika i nazivnika razlomka s najviši stupanj nepoznato.

b) Općenito, možete koristiti pravilo

3. Slučaj kada x težnja zaa funkcija f(x) predstavlja umnožak infinitezimalne vrijednosti i beskonačno velike

Razlomak se pretvara u oblik čiji brojnik i nazivnik istovremeno teže 0 ili beskonačno, tj. slučaj 3 svodi se na slučaj 1 ili slučaj 2.

4. Slučaj kada x težnja zaa funkcija f(x) predstavlja razliku dviju pozitivnih beskonačno velikih veličina

Ovaj se slučaj svodi na vrstu 1 ili 2 na jedan od sljedećih načina:

a) svođenje razlomaka na zajednički nazivnik;

b) transformacija funkcije u oblik razlomka;

c) oslobađanje od iracionalnosti.

5. Slučaj kada x težnja zaa funkcija f(x) predstavlja potenciju čija baza teži 1, a eksponent beskonačno.

Funkcija se transformira na takav način da se koristi 2. izuzetna granica (4.2).

Primjer. Pronaći .

Jer x teži 3, tada brojnik razlomka teži broju 3 2 +3 *3+4=22, a nazivnik broju 3+8=11. Posljedično,

Primjer

Ovdje su brojnik i nazivnik razlomka na x teži 2 teže 0 (nesigurnost oblika), rastavljamo brojnik i nazivnik na faktore, dobivamo lim(x-2)(x+2)/(x-2)(x-5)

Primjer

Množimo brojnik i nazivnik izrazom konjugiranim s brojnikom, imamo

Otvaranjem zagrada u brojniku dobivamo

Primjer

Razina 2 Primjer. Navedimo primjer primjene pojma limita funkcije u ekonomskim proračunima. Razmotrimo običnu financijsku transakciju: posuđivanje određenog iznosa S 0 uz uvjet da nakon određenog vremena T iznos će biti vraćen S T. Definirajmo vrijednost r relativni rast formula

r=(S T -S 0)/S 0 (1)

Relativni rast može se izraziti kao postotak množenjem dobivene vrijednosti r do 100.

Iz formule (1) lako je odrediti vrijednost S T:

S T= S 0 (1 + r)

Pri izračunu dugoročnih kredita koji pokrivaju nekoliko punih godina koristi se shema složenih kamata. Sastoji se u tome da ako se za 1. godinu iznos S 0 se povećava za (1 + r) puta, zatim za drugu godinu u (1 + r) puta zbroj raste S 1 = S 0 (1 + r), to je S 2 = S 0 (1 + r) 2 . Slično tome, ispada S 3 = S 0 (1 + r) 3 . Iz gornjih primjera možete izvesti opću formulu za izračun rasta iznosa za n godine pri obračunu prema shemi složenih kamata:

S n= S 0 (1 + r) n.

U financijskim izračunima koriste se sheme u kojima se složene kamate obračunavaju nekoliko puta godišnje. Istodobno se propisuje godišnja stopa r i broj uplata godišnje k. U pravilu se razgraničenja vrše u pravilnim vremenskim razmacima, odnosno duljini svakog intervala T k je dio godine. Zatim na period od T godine (ovdje T nije nužno cijeli broj) S T izračunati po formuli

(2)

gdje je cjelobrojni dio broja, koji je isti kao i sam broj, ako je npr. T? cijeli broj.

Godišnja stopa neka bude r i proizvedeno n razgraničenja godišnje u redovitim intervalima. Zatim za godinu iznos S 0 se povećava na vrijednost određenu formulom

(3)

U teoretskoj analizi i praksi financijske djelatnosti često se susreće pojam “kontinuirano obračunate kamate”. Da bi se prešlo na kontinuirano obračunatu kamatu, potrebno je u formulama (2) i (3) neograničeno povećavati brojeve k i n(tj. ciljati k i n do beskonačnosti) i izračunajte kojoj granici će funkcije težiti S T i S jedan . Primijenimo ovaj postupak na formulu (3):

Imajte na umu da je ograničenje u vitičastim zagradama isto kao i drugo divna granica. Iz toga proizlazi da na godišnjoj stopi r uz kontinuirano obračunatu kamatu, iznos S 0 za 1 godinu povećava se na vrijednost S 1 * , koji se određuje iz formule

S 1 * = S 0 ovaj (4)

Sada neka zbroj S 0 posuđuje se s kamatama n jednom godišnje u redovitim razmacima. Označiti r e godišnja stopa po kojoj se na kraju godine iznos S 0 se povećava na vrijednost S 1 * iz formule (4). U ovom slučaju to ćemo reći r e- ovo je godišnja kamatna stopa n jednom godišnje, što je jednako godišnjem postotku r uz kontinuirano razgraničenje. Iz formule (3) dobivamo

S* 1 \u003d S 0 (1 + r e / n) n

Izjednačavanje desnih dijelova posljednje formule i formule (4), uz pretpostavku posljednje T= 1, možemo izvesti odnose između količina r i r e:

Ove se formule naširoko koriste u financijskim izračunima.

Granice svim studentima matematike zadaju mnogo problema. Da biste riješili granicu, ponekad morate upotrijebiti mnogo trikova i odabrati iz mnoštva rješenja upravo ono koje je prikladno za određeni primjer.

U ovom članku nećemo vam pomoći da shvatite granice svojih mogućnosti ili shvatite granice kontrole, već ćemo pokušati odgovoriti na pitanje: kako razumjeti granice u viša matematika? Razumijevanje dolazi s iskustvom, pa ćemo u isto vrijeme dati nekoliko detaljni primjeri granice rješenja s objašnjenjima.

Pojam limita u matematici

Prvo pitanje je: koja je granica i granica čega? Možemo govoriti o granicama numeričkih nizova i funkcija. Zanima nas pojam limita funkcije, budući da se s njima učenici najčešće susreću. Ali prvo, najopćenitija definicija ograničenja:

Recimo da postoji neka varijabla. Ako se ta vrijednost u procesu mijenjanja neograničeno približava određenom broju a , onda a je granica ove vrijednosti.

Za funkciju definiranu u nekom intervalu f(x)=y granica je broj A , kojoj funkcija teži kada x težeći određenoj točki a . Točka a pripada intervalu na kojem je funkcija definirana.

Zvuči glomazno, ali je napisano vrlo jednostavno:

Lim- s engleskog ograničiti- granica.

Postoji i geometrijsko objašnjenje definicije limita, ali ovdje nećemo ulaziti u teoriju, jer nas više zanima praktična nego teorijska strana problema. Kad to kažemo x teži nekoj vrijednosti, što znači da varijabla ne poprima vrijednost broja, već mu se približava beskonačno blizu.

Donesimo konkretan primjer. Izazov je pronaći granicu.

Da bismo riješili ovaj primjer, zamijenit ćemo vrijednost x=3 u funkciju. Dobivamo:

Usput, ako ste zainteresirani, pročitajte poseban članak o ovoj temi.

U primjerima x može težiti bilo kojoj vrijednosti. To može biti bilo koji broj ili beskonačnost. Evo primjera kada x teži beskonačnosti:

Intuitivno je jasno da što je veći broj u nazivniku, to će manju vrijednost imati funkcija. Dakle, s neograničenim rastom x značenje 1/x smanjit će se i približiti nuli.

Kao što vidite, da biste riješili granicu, trebate samo zamijeniti vrijednost kojoj želite težiti u funkciju x . Međutim, ovo je najjednostavniji slučaj. Pronalaženje granice često nije tako očito. Unutar ograničenja postoje nesigurnosti tipa 0/0 ili beskonačnosti/beskonačnosti . Što učiniti u takvim slučajevima? Koristite trikove!

Neizvjesnosti unutar

Neodređenost oblika beskonačnost/beskonačnost

Neka postoji granica:

Pokušamo li u funkciju zamijeniti beskonačnost, dobit ćemo beskonačnost i u brojniku i u nazivniku. Općenito, vrijedi reći da postoji određeni element umjetnosti u rješavanju takvih nesigurnosti: morate primijetiti kako možete transformirati funkciju na takav način da nesigurnost nestane. U našem slučaju, brojnik i nazivnik dijelimo s x u višem stupnju. Što će se dogoditi?

Iz primjera koji smo već razmotrili, znamo da će članovi koji sadrže x u nazivniku težiti nuli. Tada je rješenje granice:

Za otkrivanje dvosmislenosti tipa beskonačnosti/beskonačnosti podijeliti brojnik i nazivnik sa x do najvišeg stupnja.

Usput! Za naše čitatelje sada postoji popust od 10% na

Druga vrsta nesigurnosti: 0/0

Kao i uvijek, supstitucija u funkciju vrijednosti x=-1 daje 0 u brojniku i nazivniku. Pogledajte malo pažljivije i primijetit ćete da imamo kvadratnu jednadžbu u brojniku. Pronađimo korijene i napišimo:

Smanjimo i dobijemo:

Dakle, ako naiđete na dvosmislenost tipa 0/0 - rastaviti brojnik i nazivnik na faktore.

Da bismo vam olakšali rješavanje primjera, evo tablice s ograničenjima nekih funkcija:

L'Hopitalova vladavina unutar

Još jedan moćan način za uklanjanje obje vrste neizvjesnosti. Što je bit metode?

Ako postoji nesigurnost u limitu, uzimamo derivaciju brojnika i nazivnika sve dok nesigurnost ne nestane.

Vizualno, L'Hopitalovo pravilo izgleda ovako:

Važna točka : granica, u kojoj su izvodnice brojnika i nazivnika umjesto brojnika i nazivnika, mora postojati.

A sad pravi primjer:

Postoji tipična neizvjesnost 0/0 . Uzmite derivacije brojnika i nazivnika:

Voila, neizvjesnost je eliminirana brzo i elegantno.

Nadamo se da ćete ove informacije moći dobro iskoristiti u praksi i pronaći odgovor na pitanje "kako riješiti granice u višoj matematici". Ako trebate izračunati limit niza ili limit funkcije u točki, a nemate vremena za taj posao od riječi “apsolutno”, obratite se stručnoj studentskoj službi za brzo i detaljno rješenje.