Primjeri zbrajanja i oduzimanja razlomaka. Zbrajanje razlomaka s cijelim brojevima i različitim nazivnicima

Ova lekcija će obuhvatiti zbrajanje i oduzimanje. algebarski razlomci S različite nazivnike. Već znamo zbrajati i oduzimati obične razlomke s različitim nazivnicima. Da biste to učinili, razlomke je potrebno svesti na zajednički nazivnik. Ispada da algebarski razlomci slijede ista pravila. U isto vrijeme već znamo kako algebarske razlomke svesti na zajednički nazivnik. Zbrajanje i oduzimanje razlomaka s različitim nazivnicima jedna je od najvažnijih i najtežih tema u kolegiju 8. razreda. Štoviše, ova će se tema naći u mnogim temama kolegija algebre, koje ćete proučavati u budućnosti. U sklopu lekcije proučit ćemo pravila zbrajanja i oduzimanja algebarskih razlomaka s različitim nazivnicima, kao i analizirati niz tipičnih primjera.

Razmotrimo najjednostavniji primjer za obični razlomci.

Primjer 1 Zbroji razlomke: .

Riješenje:

Zapamtite pravilo zbrajanja razlomaka. Za početak, razlomke je potrebno svesti na zajednički nazivnik. Zajednički nazivnik za obične razlomke je najmanji zajednički višekratnik(LCM) izvornih nazivnika.

Definicija

Najmanje prirodni broj, koji je djeljiv istovremeno brojevima i .

Da bismo pronašli LCM, potrebno je rastaviti nazivnike na proste faktore, a zatim odabrati sve proste faktore koji su uključeni u proširenje obaju nazivnika.

; . Tada LCM brojeva mora sadržavati dvije 2 i dvije 3: .

Nakon pronalaženja zajedničkog nazivnika potrebno je za svaki od razlomaka pronaći dodatni faktor (zapravo zajednički nazivnik podijeliti s nazivnikom odgovarajućeg razlomka).

Zatim se svaki razlomak množi dobivenim dodatnim faktorom. Razlomci se dobivaju iz isti nazivnici, zbrajanje i oduzimanje koje smo naučili u prethodnim lekcijama.

Dobivamo: .

Odgovor:.

Razmotrimo sada zbrajanje algebarskih razlomaka s različitim nazivnicima. Prvo razmotrite razlomke čiji su nazivnici brojevi.

Primjer 2 Zbroji razlomke: .

Riješenje:

Algoritam rješenja je potpuno sličan prethodnom primjeru. Lako je pronaći zajednički nazivnik za ove razlomke: i dodatne faktore za svaki od njih.

.

Odgovor:.

Dakle, formulirajmo algoritam za zbrajanje i oduzimanje algebarskih razlomaka s različitim nazivnicima:

1. Nađite najmanji zajednički nazivnik razlomaka.

2. Pronađite dodatne faktore za svaki od razlomaka (dijeljenjem zajedničkog nazivnika s nazivnikom tog razlomka).

3. Pomnožite brojnike odgovarajućim dodatnim faktorima.

4. Zbrajati ili oduzimati razlomke prema pravilima za zbrajanje i oduzimanje razlomaka s istim nazivnicima.

Razmotrimo sada primjer s razlomcima u čijem se nazivniku nalaze doslovni izrazi.

Primjer 3 Zbroji razlomke: .

Riješenje:

Budući da su doslovni izrazi u oba nazivnika isti, trebali biste pronaći zajednički nazivnik za brojeve. Konačni zajednički nazivnik izgledat će ovako: . Dakle, rješenje ovog primjera je:

Odgovor:.

Primjer 4 Oduzmi razlomke: .

Riješenje:

Ako ne možete “prevariti” pri odabiru zajedničkog nazivnika (ne možete ga rastaviti na faktore niti koristiti skraćene formule množenja), onda kao zajednički nazivnik morate uzeti umnožak nazivnika obaju razlomaka.

Odgovor:.

Općenito, kod rješavanja takvih primjera najteži je zadatak pronaći zajednički nazivnik.

Pogledajmo složeniji primjer.

Primjer 5 Pojednostavite: .

Riješenje:

Kada nalazite zajednički nazivnik, prvo morate pokušati faktorizirati nazivnike izvornih razlomaka (kako biste pojednostavili zajednički nazivnik).

U ovom konkretnom slučaju:

Tada je lako odrediti zajednički nazivnik: .

Određujemo dodatne faktore i rješavamo ovaj primjer:

Odgovor:.

Sada ćemo popraviti pravila za zbrajanje i oduzimanje razlomaka s različitim nazivnicima.

Primjer 6 Pojednostavite: .

Riješenje:

Odgovor:.

Primjer 7 Pojednostavite: .

Riješenje:

.

Odgovor:.

Razmotrimo sada primjer u kojem se ne zbrajaju dva, nego tri razlomka (uostalom, pravila zbrajanja i oduzimanja za više razlomci ostaju isti).

Primjer 8 Pojednostavite: .

§ 87. Zbrajanje razlomaka.

Zbrajanje razlomaka ima mnogo sličnosti sa zbrajanjem cijelih brojeva. Zbrajanje razlomaka je radnja koja se sastoji u tome da se nekoliko zadanih brojeva (članova) kombinira u jedan broj (zbroj), koji sadrži sve jedinice i razlomke jedinica pojmova.

Razmotrit ćemo redom tri slučaja:

1. Zbrajanje razlomaka s istim nazivnicima.
2. Zbrajanje razlomaka s različitim nazivnicima.
3. Zbrajanje mješovitih brojeva.

1. Zbrajanje razlomaka s istim nazivnicima.

Razmotrimo primjer: 1/5 + 2/5.

Uzmite segment AB (slika 17), uzmite ga kao jedinicu i podijelite ga na 5 jednakih dijelova, tada će dio AC ovog segmenta biti jednak 1/5 segmenta AB, a dio istog segmenta CD bit će jednak 2/5 AB.

Iz crteža se može vidjeti da ako uzmemo segment AD, tada će on biti jednak 3/5 AB; ali segment AD je upravo zbroj segmenta AC i CD. Dakle, možemo napisati:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

Promatrajući te članove i dobiveni iznos, vidimo da je brojnik zbroja dobiven zbrajanjem brojnika članova, a nazivnik je ostao nepromijenjen.

Odavde dobivamo sljedeće pravilo: Da biste zbrojili razlomke s istim nazivnicima, morate zbrojiti njihove brojnike i ostaviti isti nazivnik.

Razmotrite primjer:

2. Zbrajanje razlomaka s različitim nazivnicima.

Zbrojimo razlomke: 3/4 + 3/8 Prvo ih treba svesti na najmanji zajednički nazivnik:

Međukarika 6/8 + 3/8 nije mogla biti napisana; napisali smo to ovdje radi veće jasnoće.

Dakle, da biste zbrojili razlomke s različitim nazivnicima, prvo ih morate dovesti do najmanjeg zajedničkog nazivnika, zbrojiti njihove brojnike i potpisati zajednički nazivnik.

Razmotrimo primjer (zapisat ćemo dodatne faktore preko odgovarajućih razlomaka):

3. Zbrajanje mješovitih brojeva.

Zbrojimo brojeve: 2 3 / 8 + 3 5 / 6.

Dovedimo najprije razlomke naših brojeva na zajednički nazivnik i ponovno ih prepišimo:

Sada redom zbrojite cijeli i razlomački dio:

§ 88. Oduzimanje razlomaka.

Oduzimanje razlomaka definirano je na isti način kao i oduzimanje cijelih brojeva. Ovo je radnja kojom se, zadanim zbrojem dva člana i jednog od njih, pronalazi drugi član. Razmotrimo redom tri slučaja:

1. Oduzimanje razlomaka s istim nazivnicima.
2. Oduzimanje razlomaka s različitim nazivnicima.
3. Oduzimanje mješovitih brojeva.

1. Oduzimanje razlomaka s istim nazivnicima.

Razmotrite primjer:

13 / 15 - 4 / 15

Uzmimo segment AB (slika 18), uzmimo ga kao jedinicu i podijelimo na 15 jednakih dijelova; tada će AC dio ovog segmenta biti 1/15 AB, a AD dio istog segmenta će odgovarati 13/15 AB. Ostavimo još jedan segment ED, jednak 4/15 AB.

Trebamo oduzeti 4/15 od 13/15. Na crtežu to znači da se segment ED mora oduzeti od segmenta AD. Kao rezultat toga, segment AE će ostati, što je 9/15 segmenta AB. Dakle, možemo napisati:

Primjer koji smo napravili pokazuje da je brojnik razlike dobiven oduzimanjem brojnika, a nazivnik je ostao isti.

Dakle, da biste oduzeli razlomke s istim nazivnicima, trebate oduzeti brojnik umanjenika od brojnika umanjenika i ostaviti isti nazivnik.

2. Oduzimanje razlomaka s različitim nazivnicima.

Primjer. 3/4 - 5/8

Prvo, svedimo ove razlomke na najmanji zajednički nazivnik:

Međukarika 6 / 8 - 5 / 8 je ovdje napisana radi jasnoće, ali se ubuduće može preskočiti.

Dakle, da biste od razlomka oduzeli razlomak, prvo ih morate dovesti do najmanjeg zajedničkog nazivnika, zatim od brojnika umanjenika oduzeti brojnik umanjenika i pod njihovu razliku potpisati zajednički nazivnik.

Razmotrite primjer:

3. Oduzimanje mješovitih brojeva.

Primjer. 10 3/4 - 7 2/3.

Dovedimo razlomke manjeg i umanjenog na najmanji zajednički nazivnik:

Oduzeli smo cjelinu od cjeline i razlomak od razlomka. Ali postoje slučajevi kada je razlomački dio umanjenika veći od razlomačkog dijela umanjenika. U takvim slučajevima treba uzeti jednu jedinicu od cijelog dijela reduciranog, podijeliti ga na one dijelove u kojima je izražen razlomački dio i dodati razlomačkom dijelu reduciranog. I tada će se oduzimanje izvršiti na isti način kao u prethodnom primjeru:

§ 89. Množenje razlomaka.

Kada proučavamo množenje razlomaka, razmotrit ćemo sljedeća pitanja:

1. Množenje razlomka cijelim brojem.
2. Pronalaženje razlomka zadanog broja.
3. Množenje cijelog broja razlomkom.
4. Množenje razlomka razlomkom.
5. Množenje mješovitih brojeva.
6. Pojam kamate.
7. Određivanje postotaka zadanog broja. Razmotrimo ih redom.

1. Množenje razlomka cijelim brojem.

Množenje razlomka cijelim brojem ima isto značenje kao i množenje cijelog broja cijelim brojem. Množenje razlomka (množnika) cijelim brojem (množiteljem) znači sastavljanje zbroja istih članova, pri čemu je svaki član jednak množeniku, a broj članova jednak množitelju.

Dakle, ako trebate pomnožiti 1/9 sa 7, onda to možete učiniti ovako:

Lako smo dobili rezultat, jer se radnja svela na zbrajanje razlomaka s istim nazivnicima. Posljedično,

Razmatranje ove radnje pokazuje da je množenje razlomka s cijelim brojem jednako povećanju ovog razlomka onoliko puta koliko ima jedinica u cijelom broju. A budući da se povećanje razlomka postiže ili povećanjem njegovog brojnika

ili smanjenjem njegovog nazivnika , onda možemo ili pomnožiti brojnik s cijelim brojem, ili podijeliti nazivnik s njim, ako je takvo dijeljenje moguće.

Odavde dobivamo pravilo:

Da biste pomnožili razlomak s cijelim brojem, morate pomnožiti brojnik s ovim cijelim brojem i ostaviti nazivnik istim ili, ako je moguće, podijeliti nazivnik s tim brojem, ostavljajući brojnik nepromijenjenim.

Prilikom množenja moguće su kratice, npr.

2. Pronalaženje razlomka zadanog broja. Postoje mnogi problemi u kojima morate pronaći, odnosno izračunati, dio zadanog broja. Razlika između ovih zadataka i ostalih je u tome što daju broj nekih predmeta ili mjernih jedinica i potrebno je pronaći dio tog broja, koji je i ovdje označen određenim razlomkom. Radi lakšeg razumijevanja, prvo ćemo dati primjere takvih problema, a zatim predstaviti način njihovog rješavanja.

Zadatak 1. Imao sam 60 rubalja; 1/3 ovog novca sam potrošio na kupovinu knjiga. Koliko su koštale knjige?

Zadatak 2. Vlak mora prijeći udaljenost između gradova A i B, jednaku 300 km. Već je prevalio 2/3 te udaljenosti. Koliko je ovo kilometara?

Zadatak 3. U selu ima 400 kuća, od kojih su 3/4 zidane, ostale su drvene. Koliko kuće od opeke?

Evo nekih od mnogih problema s kojima se moramo suočiti da bismo pronašli razlomak zadanog broja. Obično se nazivaju zadacima traženja razlomka zadanog broja.

Rješenje problema 1. Od 60 rubalja. Potrošio sam 1/3 na knjige; Dakle, da biste pronašli cijenu knjiga, trebate podijeliti broj 60 s 3:

Problem 2 rješenje. Smisao problema je da trebate pronaći 2/3 od 300 km. Izračunajte prvu 1/3 od 300; to se postiže dijeljenjem 300 km s 3:

300: 3 = 100 (to je 1/3 od 300).

Da biste pronašli dvije trećine od 300, trebate udvostručiti dobiveni kvocijent, odnosno pomnožiti s 2:

100 x 2 = 200 (to je 2/3 od 300).

Rješenje problema 3. Ovdje trebate odrediti broj kuća od cigle, koje su 3/4 od 400. Hajde prvo pronaći 1/4 od 400,

400: 4 = 100 (to je 1/4 od 400).

Da bismo izračunali tri četvrtine od 400, dobiveni kvocijent treba utrostručiti, odnosno pomnožiti s 3:

100 x 3 = 300 (to je 3/4 od 400).

Na temelju rješenja ovih problema možemo izvesti sljedeće pravilo:

Da biste pronašli vrijednost razlomka određenog broja, trebate taj broj podijeliti s nazivnikom razlomka i pomnožiti dobiveni kvocijent s njegovim brojnikom.

3. Množenje cijelog broja razlomkom.

Ranije (§ 26) je utvrđeno da množenje cijelih brojeva treba shvatiti kao zbrajanje identičnih članova (5 x 4 \u003d 5 + 5 + 5 + 5 \u003d 20). U ovom stavku (stavak 1) utvrđeno je da množenje razlomka cijelim brojem znači pronalaženje zbroja identičnih članova koji su jednaki tom razlomku.

U oba slučaja množenje se sastojalo u pronalaženju zbroja identičnih članova.

Sada prelazimo na množenje cijelog broja razlomkom. Ovdje ćemo se susresti s takvim, na primjer, množenjem: 9 2 / 3. Sasvim je očito da prethodna definicija množenja ne vrijedi za ovaj slučaj. To je vidljivo iz činjenice da takvo množenje ne možemo zamijeniti zbrajanjem jednakih brojeva.

Zbog toga ćemo morati dati novu definiciju množenja, odnosno, drugim riječima, odgovoriti na pitanje što treba razumjeti pod množenjem razlomkom, kako tu radnju treba razumjeti.

Značenje množenja cijelog broja razlomkom jasno je iz sljedeće definicije: pomnožiti cijeli broj (množitelj) s razlomkom (množiteljem) znači pronaći ovaj razlomak množitelja.

Naime, množenje 9 sa 2/3 znači pronalazak 2/3 od devet jedinica. U prethodnom odlomku takvi su problemi riješeni; tako da je lako shvatiti da na kraju imamo 6.

Ali sada postoji zanimljiv i važno pitanje: zašto se takve naizgled različite radnje kao što su nalaženje zbroja jednakih brojeva i nalaženje razlomka broja u aritmetici nazivaju istom riječju "množenje"?

To se događa jer prethodna radnja (više puta ponavljanje broja s članovima) i nova radnja (traženje razlomka broja) daju odgovor na homogena pitanja. To znači da ovdje polazimo od toga da se homogena pitanja ili zadaci rješavaju jednom te istom radnjom.

Da biste to razumjeli, razmislite o sljedećem problemu: „1 metar tkanine košta 50 rubalja. Koliko će koštati 4 m takve tkanine?

Ovaj problem se rješava množenjem broja rubalja (50) s brojem metara (4), tj. 50 x 4 = 200 (rubalja).

Uzmimo isti problem, ali u njemu će količina tkanine biti izražena kao razlomak: „1 m tkanine košta 50 rubalja. Koliko će koštati 3/4 m takve tkanine?

Ovaj problem također treba riješiti množenjem broja rubalja (50) s brojem metara (3/4).

Također možete promijeniti brojeve u njemu nekoliko puta bez promjene značenja problema, na primjer, uzeti 9/10 m ili 2 3/10 m, itd.

Kako su ovi zadaci istog sadržaja i razlikuju se samo u brojevima, radnje kojima se rješavaju nazivamo istom riječju – množenje.

Kako se cijeli broj množi razlomkom?

Uzmimo brojeve na koje smo naišli u posljednjem problemu:

Prema definiciji, moramo pronaći 3/4 od 50. Prvo nađemo 1/4 od 50, a zatim 3/4.

1/4 od 50 je 50/4;

3/4 od 50 je .

Slijedom toga.

Razmotrite još jedan primjer: 12 5 / 8 = ?

1/8 od 12 je 12/8,

5/8 od broja 12 je .

Posljedično,

Odavde dobivamo pravilo:

Da biste pomnožili cijeli broj s razlomkom, morate cijeli broj pomnožiti s brojnikom razlomka i taj umnožak učiniti brojnikom, a nazivnik zadanog razlomka potpisati kao nazivnik.

Ovo pravilo pišemo slovima:

Kako bi ovo pravilo bilo savršeno jasno, treba imati na umu da se razlomak može smatrati kvocijentom. Stoga je korisno pronađeno pravilo usporediti s pravilom množenja broja kvocijentom koje je navedeno u § 38.

Morate imati na umu da prije izvođenja množenja trebate učiniti (ako je moguće) posjekotine, na primjer:

4. Množenje razlomka razlomkom. Množenje razlomka razlomkom ima isto značenje kao i množenje cijelog broja razlomkom, odnosno kod množenja razlomka razlomkom treba pronaći razlomak u množitelju iz prvog razlomka (množnika).

Naime, množenje 3/4 sa 1/2 (pola) znači pronaći polovicu od 3/4.

Kako se množi razlomak s razlomkom?

Uzmimo primjer: 3/4 puta 5/7. To znači da trebate pronaći 5/7 od 3/4. Pronađite prvo 1/7 od 3/4, a zatim 5/7

1/7 od 3/4 bi se izrazilo ovako:

5/7 brojevi 3/4 bit će izraženi na sljedeći način:

Na ovaj način,

Drugi primjer: 5/8 puta 4/9.

1/9 od 5/8 je,

4/9 brojevi 5/8 su .

Na ovaj način,

Iz ovih primjera može se zaključiti sljedeće pravilo:

Da biste pomnožili razlomak s razlomkom, morate brojnik pomnožiti s brojnikom, a nazivnik s nazivnikom i tako da prvi umnožak bude brojnik, a drugi umnožak nazivnik umnoška.

Ovo je pravilo u opći pogled može se napisati ovako:

Prilikom množenja potrebno je (ako je moguće) smanjiti. Razmotrite primjere:

5. Množenje mješovitih brojeva. Budući da se mješoviti brojevi mogu lako zamijeniti nepravilnim razlomcima, ta se okolnost obično koristi pri množenju mješovitih brojeva. To znači da u onim slučajevima gdje su množenik, ili množitelj, ili oba faktora izraženi kao mješoviti brojevi, tada se zamjenjuju nepravilnim razlomcima. Pomnožite, na primjer, mješovite brojeve: 2 1/2 i 3 1/5. Svaki od njih pretvorimo u nepravi razlomak, a zatim ćemo dobivene razlomke pomnožiti prema pravilu množenja razlomka razlomkom:

Pravilo. Da biste množili mješovite brojeve, prvo ih morate pretvoriti u neprave razlomke, a zatim množiti prema pravilu množenja razlomka razlomkom.

Bilješka. Ako je jedan od faktora cijeli broj, tada se množenje može izvršiti na temelju zakona distribucije na sljedeći način:

6. Pojam kamate. Prilikom rješavanja zadataka i izvođenja raznih praktičnih izračuna koristimo sve vrste razlomaka. Ali treba imati na umu da mnoge količine za sebe ne dopuštaju bilo kakve, već prirodne potpodjele. Na primjer, možete uzeti stoti dio (1/100) rublje, to će biti peni, dvije stotine su 2 kopejke, tri stotinke su 3 kopejke. Možete uzeti 1/10 rublje, to će biti "10 kopejki, ili novčić. Možete uzeti četvrtinu rublje, tj. 25 kopejki, pola rublje, tj. 50 kopejki (pedeset kopejki). Ali oni praktički ne Ne uzimajte, na primjer, 2/7 rublje jer se rublja ne dijeli na sedmine.

Mjerna jedinica za težinu, tj. kilogram, dopušta prije svega decimalne podjele, na primjer, 1/10 kg ili 100 g. I takve dijelove kilograma kao što su 1/6, 1/11, 1/ 13 je neuobičajeno.

Općenito, naše (metričke) mjere su decimalne i dopuštaju decimalno dijeljenje.

Međutim, treba napomenuti da je izuzetno korisno i prikladno u velikom broju slučajeva koristiti istu (ujednačenu) metodu podjele količina. Dugogodišnje iskustvo pokazalo je da je takva opravdana podjela podjela na "stotinke". Razmotrimo nekoliko primjera koji se odnose na najrazličitija područja ljudske prakse.

1. Cijena knjiga smanjena je za 12/100 prethodne cijene.

Primjer. Prethodna cijena knjige je 10 rubalja. Pala je za 1 rublju. 20 kop.

2. Štedionice isplaćuju tijekom godine štedišama 2/100 iznosa položenog na štednju.

Primjer. U blagajnu se stavlja 500 rubalja, prihod od ovog iznosa za godinu je 10 rubalja.

3. Broj maturanata jedne škole bio je 5/100 od ukupnog broja učenika.

PRIMJER U školi je studiralo samo 1200 učenika, a 60 ih je završilo školu.

Stoti dio broja naziva se postotak..

Riječ "postotak" posuđena je iz latinski a njegov korijen "cent" znači sto. Zajedno s prijedlogom (pro centum), ova riječ znači "za sto". Značenje ovog izraza proizlazi iz činjenice da je u početku u stari rim kamata je bila novac koji je dužnik plaćao zajmodavcu "za svaku stotku". Riječ "cent" čuje se u tako poznatim riječima: centner (sto kilograma), centimetar (kažu centimetar).

Na primjer, umjesto da kažemo da je tvornica proizvela 1/100 svih proizvoda koje je proizvela tijekom prošlog mjeseca, reći ćemo ovo: tvornica je proizvela jedan posto otpada tijekom prošlog mjeseca. Umjesto da kažemo: tvornica je proizvela 4/100 proizvoda više od utvrđenog plana, reći ćemo: tvornica je premašila plan za 4 posto.

Gornji primjeri mogu se izraziti drugačije:

1. Cijena knjiga snižena je za 12 posto u odnosu na prethodnu cijenu.

2. Štedionice isplaćuju štedišama 2 posto godišnje od iznosa položenog na štednju.

3. Broj maturanata jedne škole bio je 5 posto od broja svih učenika škole.

Da bi se slovo skratilo, uobičajeno je da se umjesto riječi "postotak" piše znak %.

Međutim, treba imati na umu da se znak % obično ne piše u izračunima, može se napisati u izjavi problema iu konačnom rezultatu. Kada izvodite izračune, trebate napisati razlomak s nazivnikom 100 umjesto cijelog broja s ovom ikonom.

Morate biti u mogućnosti zamijeniti cijeli broj s navedenom ikonom razlomkom s nazivnikom 100:

Nasuprot tome, morate se naviknuti pisati cijeli broj s označenom ikonom umjesto razlomka s nazivnikom 100:

7. Određivanje postotaka zadanog broja.

Zadatak 1.Škola je dobila 200 kubika. m drva za ogrjev, i drva za ogrjev breza bilo 30%. Koliko je bilo brezovih drva?

Značenje ovog problema je da je ogrjevno drvo od breze bilo samo dio drva za ogrjev koji je isporučen školi, a taj dio je izražen razlomkom od 30/100. Dakle, suočeni smo sa zadatkom da pronađemo razlomak broja. Da bismo ga riješili, moramo pomnožiti 200 sa 30 / 100 (zadaci za pronalaženje razlomka broja rješavaju se množenjem broja razlomkom.).

Dakle, 30% od 200 je jednako 60.

Razlomak 30 / 100 koji se susreće u ovom problemu može se smanjiti za 10. Bilo bi moguće izvršiti ovu redukciju od samog početka; rješenje problema ne bi se promijenilo.

Zadatak 2. U kampu je bilo 300 djece različite dobi. Djece od 11 godina bilo je 21%, djece od 12 godina bilo je 61% i konačno 13-godišnjaka bilo je 18%. Koliko je djece svake dobi bilo u kampu?

U ovom zadatku potrebno je izvršiti tri izračuna, odnosno sukcesivno pronaći broj djece od 11 godina, zatim od 12 godina i na kraju od 13 godina.

Dakle, ovdje će biti potrebno tri puta pronaći razlomak broja. Učinimo to:

1) Koliko je djece imalo 11 godina?

2) Koliko je djece imalo 12 godina?

3) Koliko je djece imalo 13 godina?

Nakon rješavanja zadatka korisno je zbrojiti pronađene brojeve; njihov zbroj bi trebao biti 300:

63 + 183 + 54 = 300

Također treba obratiti pozornost na činjenicu da je zbroj postotaka danih u uvjetu zadatka 100:

21% + 61% + 18% = 100%

Ovo sugerira da ukupni broj djece koja su bila u logoru uzeto je kao 100%.

3 a da cha 3. Radnik je dobivao 1200 rubalja mjesečno. Od toga je 65% trošio na hranu, 6% na stan i grijanje, 4% na plin, struju i radio, 10% na kulturne potrebe i 15% je uštedio. Koliko je novca potrošeno za potrebe navedene u zadatku?

Da biste riješili ovaj problem, morate 5 puta pronaći razlomak broja 1200. Učinimo to.

1) Koliko se novca troši na hranu? U zadatku stoji da je taj trošak 65% svih zarada, odnosno 65/100 od broja 1200. Izračunajmo:

2) Koliko je novca plaćen stan s grijanjem? Raspravljajući kao i prethodni, dolazimo do sljedećeg izračuna:

3) Koliko ste novca platili za plin, struju i radio?

4) Koliko se novca troši na kulturne potrebe?

5) Koliko je novca radnik uštedio?

Za provjeru je korisno zbrojiti brojeve iz ovih 5 pitanja. Iznos bi trebao biti 1200 rubalja. Sva zarada je uzeta kao 100%, što je lako provjeriti zbrajanjem postotaka navedenih u tvrdnji problema.

Riješili smo tri problema. Unatoč tome što su ti zadaci bili različiti (doprema drva za školu, broj djece različite dobi, troškovi radnika), rješavani su na isti način. To se dogodilo jer je u svim zadacima trebalo pronaći nekoliko postotaka od zadanih brojeva.

§ 90. Dijeljenje razlomaka.

Kada proučavamo dijeljenje razlomaka, razmotrit ćemo sljedeća pitanja:

1. Podijeli cijeli broj cijelim brojem.
2. Dijeljenje razlomka cijelim brojem
3. Dijeljenje cijelog broja razlomkom.
4. Dijeljenje razlomka razlomkom.
5. Dijeljenje mješovitih brojeva.
6. Pronalaženje broja zadani njegov razlomak.
7. Pronalaženje broja prema njegovom postotku.

Razmotrimo ih redom.

1. Podijeli cijeli broj cijelim brojem.

Kao što je naznačeno u odjeljku o cijelim brojevima, dijeljenje je radnja koja se sastoji u tome da se za umnožak dva faktora (dividenda) i jednog od tih faktora (djelitelj) pronađe drugi faktor.

Dijeljenje cijelog broja s cijelim brojem razmatrali smo u odjelu cijelih brojeva. Tu smo susreli dva slučaja dijeljenja: dijeljenje bez ostatka, odnosno "u cijelosti" (150 : 10 = 15) i dijeljenje s ostatkom (100 : 9 = 11 i 1 u ostatku). Stoga možemo reći da u području cijelih brojeva nije uvijek moguće točno dijeljenje, jer dividenda nije uvijek umnožak djelitelja i cijelog broja. Nakon uvođenja množenja razlomkom svaki slučaj dijeljenja cijelih brojeva možemo smatrati mogućim (isključuje se samo dijeljenje nulom).

Na primjer, dijeljenje 7 s 12 znači pronalaženje broja čiji bi umnožak puta 12 bio 7. Ovaj broj je razlomak 7/12 jer je 7/12 12 = 7. Drugi primjer: 14: 25 = 14/25 jer je 14/25 25 = 14.

Dakle, da biste cijeli broj podijelili s cijelim brojem, morate napraviti razlomak, čiji je brojnik jednak djelitelju, a nazivnik je djelitelj.

2. Dijeljenje razlomka cijelim brojem.

Razlomak 6 / 7 podijelite s 3. Prema gore navedenoj definiciji dijeljenja, ovdje imamo umnožak (6 / 7) i jedan od faktora (3); potrebno je pronaći takav drugi faktor koji bi, kada se pomnoži s 3, dao zadani umnožak 6/7. Očito, trebao bi biti tri puta manji od ovog proizvoda. To znači da je zadatak koji smo postavili bio smanjiti razlomak 6/7 3 puta.

Već znamo da se razlomak može smanjiti smanjenjem brojnika ili povećanjem nazivnika. Stoga možete napisati:

U ovom slučaju je brojnik 6 djeljiv s 3, pa brojnik treba smanjiti 3 puta.

Uzmimo još jedan primjer: 5/8 podijeljeno s 2. Ovdje brojnik 5 nije djeljiv s 2, što znači da će se nazivnik morati pomnožiti s ovim brojem:

Na temelju toga možemo navesti pravilo: Da biste razlomak podijelili s cijelim brojem, morate brojnik razlomka podijeliti s tim cijelim brojem(ako je moguće), ostavljajući isti nazivnik, ili pomnožite nazivnik razlomka ovim brojem, ostavljajući isti brojnik.

3. Dijeljenje cijelog broja razlomkom.

Neka se traži 5 podijeliti s 1/2, tj. pronaći broj koji će nakon množenja s 1/2 dati umnožak 5. Očito, taj broj mora biti veći od 5, budući da je 1/2 pravilan razlomak, a kod množenja broja pravilnim razlomkom umnožak mora biti manji od množenika. Da bi bilo jasnije, zapišimo svoje radnje na sljedeći način: 5: 1 / 2 = x , dakle x 1/2 \u003d 5.

Moramo pronaći takav broj x , što bi, kada se pomnoži s 1/2, dalo 5. Budući da množenje određenog broja s 1/2 znači pronalaženje 1/2 tog broja, tada, dakle, 1/2 nepoznatog broja x je 5, a cijeli broj x dvostruko više, tj. 5 2 \u003d 10.

Dakle, 5: 1/2 = 5 2 = 10

Provjerimo:

Razmotrimo još jedan primjer. Neka je potrebno podijeliti 6 s 2/3. Pokušajmo prvo pomoću crteža pronaći željeni rezultat (slika 19).

Sl.19

Nacrtaj odsječak AB, jednak 6 nekih jedinica, te svaku jedinicu podijeli na 3 jednaka dijela. U svakoj jedinici tri trećine (3/3) u cijelom segmentu AB je 6 puta veće, tj. e. 18/3. Povezujemo uz pomoć malih zagrada 18 dobivenih segmenata od 2; Bit će samo 9 segmenata. To znači da je razlomak 2/3 sadržan u b jedinica 9 puta, odnosno, drugim riječima, razlomak 2/3 je 9 puta manji od 6 cijelih jedinica. Posljedično,

Kako doći do ovog rezultata bez crteža koristeći samo izračune? Raspravljat ćemo na sljedeći način: potrebno je podijeliti 6 s 2/3, tj. potrebno je odgovoriti na pitanje koliko je puta 2/3 sadržano u 6. Utvrdimo prvo: koliko je puta 1/3 sadržano u 6? U cijeloj jedinici - 3 trećine, au 6 jedinica - 6 puta više, tj. 18 trećina; da bismo pronašli ovaj broj, moramo pomnožiti 6 s 3. Dakle, 1/3 je sadržano u b jedinicama 18 puta, a 2/3 je sadržano u b jedinicama ne 18 puta, već upola manje puta, tj. 18: 2 = 9 . Stoga smo pri dijeljenju 6 s 2/3 učinili sljedeće:

Odavde dobivamo pravilo za dijeljenje cijelog broja razlomkom. Da biste cijeli broj podijelili razlomkom, morate taj cijeli broj pomnožiti s nazivnikom zadanog razlomka i, čineći ovaj umnožak brojnikom, podijeliti ga s brojnikom zadanog razlomka.

Pravilo pišemo slovima:

Kako bi ovo pravilo bilo savršeno jasno, treba imati na umu da se razlomak može smatrati kvocijentom. Stoga je korisno pronađeno pravilo usporediti s pravilom dijeljenja broja kvocijentom koje je navedeno u § 38. Imajte na umu da je tamo dobivena ista formula.

Prilikom dijeljenja moguće su kratice, npr.

4. Dijeljenje razlomka razlomkom.

Neka je potrebno podijeliti 3/4 s 3/8. Što će označavati broj koji će se dobiti dijeljenjem? Odgovorit će na pitanje koliko je puta razlomak 3/8 sadržan u razlomku 3/4. Da bismo razumjeli ovo pitanje, napravimo crtež (slika 20).

Uzmite dužinu AB, uzmite je kao jedinicu, podijelite je na 4 jednaka dijela i označite 3 takva dijela. Segment AC bit će jednak 3/4 segmenta AB. Podijelimo sada svaki od četiri početna segmenta na pola, tada će segment AB biti podijeljen na 8 jednakih dijelova i svaki takav dio će biti jednak 1/8 segmenta AB. Spojimo 3 takva segmenta lukovima, tada će svaki od segmenta AD i DC biti jednak 3/8 segmenta AB. Crtež pokazuje da se segment jednak 3/8 nalazi u segmentu jednakom 3/4 točno 2 puta; Dakle, rezultat dijeljenja može se napisati ovako:

3 / 4: 3 / 8 = 2

Razmotrimo još jedan primjer. Neka je potrebno podijeliti 15/16 s 3/32:

Možemo razmišljati ovako: trebamo pronaći broj koji će, nakon što se pomnoži s 3/32, dati umnožak jednak 15/16. Zapišimo izračune ovako:

15 / 16: 3 / 32 = x

3 / 32 x = 15 / 16

3/32 nepoznati broj x čine 15/16

1/32 nepoznati broj x je,

32 / 32 broja x šminka .

Posljedično,

Dakle, da biste razlomak podijelili s razlomkom, trebate pomnožiti brojnik prvog razlomka s nazivnikom drugog, a nazivnik prvog razlomka pomnožiti s brojnikom drugog i prvi umnožak učiniti brojnikom, a drugo nazivnik.

Napišimo pravilo koristeći slova:

Prilikom dijeljenja moguće su kratice, npr.

5. Dijeljenje mješovitih brojeva.

Kod dijeljenja mješovitih brojeva treba ih prvo pretvoriti u neprave razlomke, a zatim dobivene razlomke podijeliti prema pravilima dijeljenja razlomaka. Razmotrite primjer:

Pretvorite mješovite brojeve u neprave razlomke:

Sada podijelimo:

Dakle, da biste podijelili mješovite brojeve, morate ih pretvoriti u neprave razlomke, a zatim podijeliti prema pravilu za dijeljenje razlomaka.

6. Pronalaženje broja zadani njegov razlomak.

Među razne zadatke o razlomcima, ponekad postoje oni u kojima je dana vrijednost nekog razlomka nepoznatog broja i potrebno je pronaći taj broj. Ova vrsta problema bit će inverzna problemu pronalaženja razlomka zadanog broja; tamo je dan broj i potrebno je pronaći neki razlomak ovog broja, ovdje je dan razlomak broja i potrebno je pronaći sam taj broj. Ova ideja će postati još jasnija ako se okrenemo rješenju ove vrste problema.

Zadatak 1. Prvog dana staklari su ostaklili 50 prozora, što je 1/3 svih prozora izgrađene kuće. Koliko prozora ima ova kuća?

Riješenje. Zadatak kaže da 50 ostakljenih prozora čini 1/3 svih prozora kuće, što znači da ukupno ima 3 puta više prozora, tj.

Kuća je imala 150 prozora.

Zadatak 2. Trgovina je prodala 1500 kg brašna, što je 3/8 ukupnih zaliha brašna u trgovini. Kolika je bila početna zaliha brašna u trgovini?

Riješenje. Iz uvjeta zadatka je vidljivo da prodanih 1.500 kg brašna čini 3/8 ukupne zalihe; to znači da će 1/8 ove zalihe biti 3 puta manje, tj. da biste je izračunali, trebate smanjiti 1500 3 puta:

1500: 3 = 500 (to je 1/8 dionica).

Očito će cjelokupna zaliha biti 8 puta veća. Posljedično,

500 8 \u003d 4000 (kg).

Početna zaliha brašna u trgovini bila je 4000 kg.

Iz razmatranja ovog problema može se izvesti sljedeće pravilo.

Da biste pronašli broj prema zadanoj vrijednosti njegovog razlomka, dovoljno je tu vrijednost podijeliti s brojnikom razlomka i rezultat pomnožiti s nazivnikom razlomka.

Riješili smo dva zadatka o pronalaženju broja zadanog njegovog razlomka. Takvi se zadaci, kao što se posebno dobro vidi iz posljednjeg, rješavaju dvije radnje: dijeljenjem (kada se nađe jedan dio) i množenjem (kada se nađe cijeli broj).

Međutim, nakon što smo proučili dijeljenje razlomaka, gore navedene probleme možemo riješiti jednom radnjom, naime: dijeljenjem razlomkom.

Na primjer, posljednji zadatak može se riješiti jednom akcijom ovako:

Ubuduće ćemo problem nalaženja broja njegovim razlomkom rješavati jednom radnjom – dijeljenjem.

7. Pronalaženje broja prema njegovom postotku.

U ovim zadacima morat ćete pronaći broj, znajući nekoliko postotaka tog broja.

Zadatak 1. Početkom ove godine dobio sam od štedionice 60 rubalja. prihod od iznosa koji sam stavio na štednju prije godinu dana. Koliko sam novca stavio na štedionicu? (Blagajne daju štedišama 2% prihoda godišnje.)

Značenje problema je u tome što sam određeni iznos novca položio u štedionicu i tamo ležao godinu dana. Nakon godinu dana dobio sam od nje 60 rubalja. prihoda, što je 2/100 novca koji sam uložio. Koliko sam novca položio?

Dakle, znajući dio ovog novca, izražen na dva načina (u rubljama i u razlomcima), moramo pronaći cijeli, još nepoznati, iznos. Ovo je običan problem pronalaženja broja s obzirom na njegov razlomak. Podjelom se rješavaju sljedeći zadaci:

Dakle, 3000 rubalja stavljeno je u štedionicu.

Zadatak 2. Ribiči su u dva tjedna ispunili mjesečni plan za 64 posto, ulovivši 512 tona ribe. Kakav je bio njihov plan?

Iz stanja problema poznato je da su ribari dio plana ispunili. Ovaj dio iznosi 512 tona, što je 64% od plana. Koliko tona ribe treba uloviti prema planu, ne znamo. Rješenje problema sastoji se u pronalaženju tog broja.

Takvi se zadaci rješavaju dijeljenjem:

Dakle, prema planu treba pripremiti 800 tona ribe.

Zadatak 3. Vlak je išao iz Rige za Moskvu. Kada je prošao 276. kilometar, jedan od putnika je pitao konduktera koji je prolazio koliki su dio puta već prešli. Na to je kondukter odgovorio: “Već smo prešli 30% cijelog puta.” Kolika je udaljenost od Rige do Moskve?

Iz uvjeta zadatka vidljivo je da 30% puta od Rige do Moskve iznosi 276 km. Moramo pronaći cijelu udaljenost između ovih gradova, tj. za ovaj dio pronaći cijeli:

§ 91. Recipročni brojevi. Zamjena dijeljenja množenjem.

Uzmite razlomak 2/3 i premjestite brojnik na mjesto nazivnika, dobit ćemo 3/2. Dobili smo razlomak, recipročnu vrijednost ovoga.

Da biste dobili razlomak koji je recipročan razlomku, potrebno je njegov brojnik staviti na mjesto nazivnika, a nazivnik na mjesto brojnika. Na taj način možemo dobiti razlomak koji je recipročan bilo kojem razlomku. Na primjer:

3/4, obrnuto 4/3; 5/6 , obrnuto 6/5

Dva razlomka koja imaju svojstvo da je brojnik prvoga nazivnik drugoga, a nazivnik prvoga brojnik drugoga nazivaju se međusobno inverzni.

Sada razmislimo o tome koji će razlomak biti recipročna vrijednost 1/2. Očito će biti 2/1, ili samo 2. Tražeći recipročnu vrijednost ovoga, dobili smo cijeli broj. I ovaj slučaj nije usamljen; naprotiv, za sve razlomke s brojnikom 1 (jedan), recipročne vrijednosti će biti cijeli brojevi, na primjer:

1/3, obrnuto 3; 1/5, obrnuto 5

Budući da smo se pri pronalaženju recipročnih veličina susreli i s cijelim brojevima, ubuduće nećemo govoriti o recipročnim veličinama, već o recipročnim veličinama.

Smislimo kako napisati recipročnu vrijednost cijelog broja. Za razlomke se to rješava jednostavno: trebate staviti nazivnik na mjesto brojnika. Na isti način možete dobiti recipročnu vrijednost cijelog broja, budući da svaki cijeli broj može imati nazivnik 1. Stoga će recipročna vrijednost broja 7 biti 1/7, jer 7 = 7/1; za broj 10 obrnuto je 1/10 jer je 10 = 10/1

Ova ideja se može izraziti na drugi način: recipročna vrijednost zadanog broja dobiva se dijeljenjem jedan sa zadanim brojem. Ova izjava vrijedi ne samo za cijele brojeve, već i za razlomke. Doista, ako želite napisati broj koji je recipročan razlomku 5/9, tada možemo uzeti 1 i podijeliti ga s 5/9, tj.

Istaknimo sada jednu vlasništvo međusobno recipročne brojeve, koji će nam biti od koristi: umnožak međusobno recipročnih brojeva jednak je jedan. Doista:

Koristeći ovo svojstvo, recipročne vrijednosti možemo pronaći na sljedeći način. Nađimo recipročnu vrijednost od 8.

Označimo ga slovom x , zatim 8 x = 1, dakle x = 1/8. Nađimo još jedan broj, inverzan od 7/12, označimo ga slovom x , zatim 7/12 x = 1, dakle x = 1:7 / 12 ili x = 12 / 7 .

Ovdje smo uveli koncept recipročnih brojeva kako bismo malo dopunili informacije o dijeljenju razlomaka.

Kada podijelimo broj 6 sa 3 / 5, tada radimo sljedeće:

Platiti Posebna pažnja izrazu i usporediti ga sa zadanim: .

Ako izraz uzmemo zasebno, bez veze s prethodnim, tada je nemoguće riješiti pitanje odakle je došao: od dijeljenja 6 s 3/5 ili od množenja 6 s 5/3. U oba slučaja rezultat je isti. Tako možemo reći da se dijeljenje jednog broja drugim može zamijeniti množenjem dividende recipročnom vrijednošću djelitelja.

Primjeri koje navodimo u nastavku u potpunosti potvrđuju ovaj zaključak.

Proučavanje pitanja oduzimanja razlomaka s različitim nazivnicima nalazi se u školskom predmetu "Algebra"; u osmom razredu i to djeci ponekad čini teško razumljivim. Za oduzimanje razlomaka s različitim nazivnicima upotrijebite sljedeću formulu:

Postupak oduzimanja razlomaka sličan je zbrajanju, jer u potpunosti kopira princip djelovanja.

Prvo izračunavamo najmanji broj koji je višekratnik i jednog i drugog nazivnika.

Drugo, brojnik i nazivnik svakog razlomka množimo s određenim brojem, što će nam omogućiti da nazivnik dovedemo do zadanog minimalnog zajedničkog nazivnika.

Treće, odvija se sam postupak oduzimanja, kada se kao rezultat duplicira nazivnik, a brojnik drugog razlomka oduzima se od prvog.

Primjer: 8/3 2/4 = 8/3 1/2 = 16/6 3/6 = 13/6 = 2 cijela broja 1/6

Prvo ih treba dovesti na isti nazivnik, a zatim oduzeti. Na primjer, 1/2 - 1/4 = 2/4 - 1/4 = 1/4. Ili, teže, 1/3 - 1/5 = 5/15 - 3/15 = 2/15. Trebate li objasniti kako se razlomci svode na zajednički nazivnik?

U operacijama poput zbrajanja ili oduzimanja običnih razlomaka s različitim nazivnicima vrijedi jednostavno pravilo - nazivnici tih razlomaka svode se na jedan broj, a sama operacija se izvodi s brojevima u brojniku. Odnosno, razlomci dobivaju zajednički nazivnik i čini se da su spojeni u jedan. Pronalaženje zajedničkog nazivnika za proizvoljne razlomke obično se svodi na jednostavno množenje svakog od razlomaka s nazivnikom drugog razlomka. Ali u jednostavnijim slučajevima možete odmah pronaći faktore koji će nazivnike razlomaka dovesti do istog broja.

Primjer oduzimanja razlomka: 2/3 - 1/7 = 2*7/3*7 - 1*3/7*3 = 14/21 - 3/21 = (14-3)/21 = 11/21

Mnogi odrasli već su zaboravili kako oduzimati razlomke s različitim nazivnicima, ali ova radnja spada u elementarnu matematiku.

Za oduzimanje razlomaka s različitim nazivnicima, trebate ih dovesti do zajedničkog nazivnika, odnosno pronaći najmanji zajednički višekratnik nazivnika, zatim pomnožiti brojnike dodatnim faktorima koji su jednaki omjeru najmanjeg zajedničkog višekratnika i nazivnika.

Predznaci razlomaka su sačuvani. Nakon što razlomci imaju iste nazivnike, možete oduzeti, a zatim, ako je moguće, smanjiti razlomak.

Elena, jesi li odlučila ponoviti školski tečaj matematike?)))

Da biste oduzeli razlomke s različitim nazivnicima, prvo ih morate svesti na isti nazivnik, a zatim oduzeti. Najjednostavnija opcija: pomnožite brojnik i nazivnik prvog razlomka s nazivnikom drugog razlomka i pomnožite brojnik i nazivnik drugog razlomka s nazivnikom prvog razlomka. Dobijte dva razlomka s istim nazivnicima. Sada oduzimamo brojnik drugog razlomka od brojnika prvog razlomka i oni imaju isti nazivnik.

Na primjer, tri petine oduzeti dvije sedmine jednako je dvadeset jedna trideset petina oduzeto deset trideset petina i to je jednako jedanaest trideset petina.

Ako su nazivnici veliki brojevi, tada možete pronaći njihov najmanji zajednički višekratnik, tj. broj koji će biti djeljiv i jednim i drugim nazivnikom. I dovedite oba razlomka na zajednički nazivnik (najmanji zajednički višekratnik)

Kako oduzeti razlomke s različitim nazivnicima Zadatak je vrlo jednostavan - razlomke dovedemo na zajednički nazivnik i onda oduzimanje radimo u brojniku.

Mnogi se ljudi suočavaju s poteškoćama kada se uz ove razlomke nalaze cijeli brojevi, pa sam htio pokazati kako to učiniti na sljedećem primjeru:

oduzimanje razlomaka s cijelim dijelom i s različitim nazivnicima

prvo oduzimamo cijele dijelove 8-5 = 3 (trojka ostaje blizu prvog razlomka);

razlomke dovodimo na zajednički nazivnik 6 (ako je brojnik prvog razlomka veći od drugog, oduzimamo i pišemo blizu cijelog dijela, u našem slučaju idemo dalje);

cjelobrojni dio 3 rastavljamo na 2 i 1;

1 se piše kao razlomak 6/6;

6/6+3/6-4/6 zapisujemo pod zajedničkim nazivnikom 6 i radimo radnje u brojniku;

zapiši pronađeni rezultat 2 5/6.

Važno je zapamtiti da se razlomci oduzimaju ako imaju isti nazivnik. Dakle, kada imamo razlomke s različitim nazivnicima u razlici, potrebno ih je jednostavno dovesti na zajednički nazivnik, što nije teško učiniti. Moramo samo faktorizirati brojnik svakog razlomka i izračunati najmanji zajednički višekratnik, koji ne smije biti nula. Ne zaboravite također pomnožiti brojnike s dodatnim dobivenim faktorima, ali ovdje je primjer za praktičnost:



Ako želite oduzimati razlomke s različitim nazivnicima, prvo morate pronaći zajednički nazivnik za ta dva razlomka. Zatim oduzmite drugi od brojnika prvog razlomka. Ispada novi razlomak, s novom vrijednošću.

Koliko se sjećam iz matematike u 3. razredu, za oduzimanje razlomaka s različitim nazivnicima prvo treba izračunati zajednički nazivnik i dovesti ga na njega, a onda se brojnici jednostavno oduzmu jedan od drugoga i nazivnik ostaje taj zajednički.

Da bismo oduzeli razlomke s različitim nazivnicima, prvo moramo pronaći najmanji zajednički nazivnik tih razlomaka.

Pogledajmo primjer:



Veći broj 25 podijeli s manjim 20. Nije djeljivo. Dakle, pomnožimo nazivnik 25 s takvim brojem da se dobiveni zbroj može podijeliti s 20. Taj će broj biti 4. 25x4 \u003d 100. 100:20=5. Tako smo našli najmanji zajednički nazivnik - 100.

Sada moramo pronaći dodatni faktor za svaki razlomak. Da bismo to učinili, podijelimo novi nazivnik sa starim.

Pomnožite 9 s 4 = 36. Pomnožite 7 s 5 = 35.

Imajući zajednički nazivnik, oduzimamo, kao što je prikazano u primjeru, i dobivamo rezultat.

Razmotrimo razlomak $\frac63$. Njegova vrijednost je 2, budući da je $\frac63 =6:3 = 2$. Što se događa ako se brojnik i nazivnik pomnože s 2? $\frac63 \times 2=\frac(12)(6)$. Očito, vrijednost razlomka se nije promijenila, pa je $\frac(12)(6)$ također jednako 2 kao y. pomnožite brojnik i nazivnik za 3 i dobiti $\frac(18)(9)$, ili za 27 i dobiti $\frac(162)(81)$ ili za 101 i dobiti $\frac(606)(303)$. U svakom od ovih slučajeva vrijednost razlomka koju dobijemo dijeljenjem brojnika s nazivnikom je 2. To znači da se nije promijenio.

Isti se obrazac opaža u slučaju drugih frakcija. Ako se brojnik i nazivnik razlomka $\frac(120)(60)$ (jednak 2) podijeli s 2 (rezultat od $\frac(60)(30)$) ili s 3 (rezultat od $\ frac(40)(20) $), ili za 4 (rezultat $\frac(30)(15)$) i tako dalje, tada u svakom slučaju vrijednost razlomka ostaje nepromijenjena i jednaka 2.

Ovo pravilo vrijedi i za razlomke koji nisu jednaki. cijeli broj.

Ako se brojnik i nazivnik razlomka $\frac(1)(3)$ pomnože s 2, dobiva se $\frac(2)(6)$, odnosno vrijednost razlomka se nije promijenila. I zapravo, ako kolač podijelite na 3 dijela i uzmete jedan od njih, ili ga podijelite na 6 dijelova i uzmete 2 dijela, dobit ćete u oba slučaja istu količinu pite. Dakle, brojevi $\frac(1)(3)$ i $\frac(2)(6)$ su identični. Formulirajmo opće pravilo.

Brojnik i nazivnik bilo kojeg razlomka mogu se pomnožiti ili podijeliti istim brojem, a vrijednost razlomka se ne mijenja.

Ovo je pravilo vrlo korisno. Na primjer, u nekim slučajevima, ali ne uvijek, omogućuje izbjegavanje operacija s velikim brojevima.

Na primjer, možemo podijeliti brojnik i nazivnik razlomka $\frac(126)(189)$ sa 63 i dobiti razlomak $\frac(2)(3)$ koji je puno lakše izračunati. Još jedan primjer. Brojnik i nazivnik razlomka $\frac(155)(31)$ možemo podijeliti s 31 i dobiti razlomak $\frac(5)(1)$ ili 5, budući da je 5:1=5.

U ovom primjeru prvi put smo se susreli razlomak čiji je nazivnik 1. Takvi razlomci igraju važnu ulogu u izračunima. Treba imati na umu da se bilo koji broj može podijeliti s 1 i da se njegova vrijednost neće promijeniti. Odnosno, $\frac(273)(1)$ je jednako 273; $\frac(509993)(1)$ jednako je 509993 i tako dalje. Dakle, brojeve ne moramo dijeliti s jer se svaki cijeli broj može prikazati kao razlomak s nazivnikom 1.

S takvim razlomcima, čiji je nazivnik jednak 1, moguće je proizvesti iste aritmetičke operacije, kao i sa svim drugim razlomcima: $\frac(15)(1)+\frac(15)(1)=\frac(30)(1)$, $\frac(4)(1) \times \frac ( 3)(1)=\frac(12)(1)$.

Možete pitati koja je korist od predstavljanja cijelog broja kao razlomka, koji će imati jedinicu ispod crte, jer je prikladnije raditi s cijelim brojem. Ali činjenica je da nam predstavljanje cijelog broja kao razlomka daje priliku da učinkovitije izvodimo različite radnje kada se istovremeno bavimo i cijelim i razlomcima. Na primjer, učiti zbrajati razlomke s različitim nazivnicima. Pretpostavimo da trebamo zbrojiti $\frac(1)(3)$ i $\frac(1)(5)$.

Znamo da možete zbrajati samo razlomke čiji su nazivnici jednaki. Dakle, moramo naučiti kako razlomke dovesti do takvog oblika kada su im nazivnici jednaki. U ovom slučaju, opet nam je potrebna činjenica da možete pomnožiti brojnik i nazivnik razlomka s istim brojem bez promjene njegove vrijednosti.

Prvo pomnožimo brojnik i nazivnik razlomka $\frac(1)(3)$ s 5. Dobivamo $\frac(5)(15)$, vrijednost razlomka se nije promijenila. Zatim pomnožimo brojnik i nazivnik razlomka $\frac(1)(5)$ s 3. Dobivamo $\frac(3)(15)$, opet se vrijednost razlomka nije promijenila. Prema tome, $\frac(1)(3)+\frac(1)(5)=\frac(5)(15)+\frac(3)(15)=\frac(8)(15)$.

Pokušajmo sada primijeniti ovaj sustav na zbrajanje brojeva koji sadrže i cijele i razlomke.

Trebamo dodati $3 + \frac(1)(3)+1\frac(1)(4)$. Prvo pretvaramo sve članove u razlomke i dobivamo: $\frac31 + \frac(1)(3)+\frac(5)(4)$. Sada sve razlomke trebamo dovesti na zajednički nazivnik, za to množimo brojnik i nazivnik prvog razlomka s 12, drugog s 4, a trećeg s 3. Kao rezultat toga, dobivamo $\frac(36 )(12) + \frac(4 )(12)+\frac(15)(12)$, što je jednako $\frac(55)(12)$. Ako se želite riješiti nepravi razlomak, može se pretvoriti u broj koji se sastoji od cijelog i razlomka: $\frac(55)(12) = \frac(48)(12)+\frac(7)(12)$ ili $4\frac( 7)( 12)$.

Sva pravila koja dopuštaju operacije s razlomcima, koje smo upravo proučavali, vrijede i u slučaju negativnih brojeva. Dakle, -1: 3 može se napisati kao $\frac(-1)(3)$, a 1: (-3) kao $\frac(1)(-3)$.

Budući da i dijeljenje negativnog broja s pozitivnim brojem i dijeljenje pozitivnog broja s negativnim rezultiraju negativnim brojevima, u oba ćemo slučaja dobiti odgovor u obliku negativnog broja. To je

$(-1) : 3 = \frac(1)(3)$ ili $1 : (-3) = \frac(1)(-3)$. Znak minus kada se piše na ovaj način odnosi se na cijeli razlomak kao cjelinu, a ne zasebno na brojnik ili nazivnik.

S druge strane, (-1) : (-3) može se napisati kao $\frac(-1)(-3)$, a budući da dijeljenje negativnog broja negativnim brojem daje pozitivan broj, tada $\frac (-1 )(-3)$ može se napisati kao $+\frac(1)(3)$.

Zbrajanje i oduzimanje negativni razlomci provodi se na isti način kao i zbrajanje i oduzimanje pozitivnih razlomaka. Na primjer, koliko je $1- 1\frac13$? Predstavimo oba broja kao razlomke i dobijemo $\frac(1)(1)-\frac(4)(3)$. Svedimo razlomke na zajednički nazivnik i dobijemo $\frac(1 \times 3)(1 \times 3)-\frac(4)(3)$, tj. $\frac(3)(3)-\frac( 4) (3)$ ili $-\frac(1)(3)$.

Razlomci su obični brojevi, također se mogu zbrajati i oduzimati. Ali zbog činjenice da imaju nazivnik, ovdje su potrebna složenija pravila nego za cijele brojeve.

Razmotrimo najjednostavniji slučaj, kada postoje dva razlomka s istim nazivnicima. Zatim:

Da biste zbrojili razlomke s istim nazivnicima, zbrojite njihove brojnike i ostavite nazivnik nepromijenjen.

Za oduzimanje razlomaka s istim nazivnicima potrebno je od brojnika prvog razlomka oduzeti brojnik drugog, a nazivnik opet ostaviti nepromijenjen.

Unutar svakog izraza nazivnici razlomaka su jednaki. Po definiciji zbrajanja i oduzimanja razlomaka dobivamo:

Kao što vidite, ništa komplicirano: samo dodajte ili oduzmite brojnike - i to je to.

Ali čak i u takvim jednostavne akcije ljudi uspijevaju pogriješiti. Najčešće zaborave da se nazivnik ne mijenja. Na primjer, kada ih zbrajaju, oni se također počinju zbrajati, a to je u osnovi pogrešno.

Riješiti se loša navika Zbrajanje nazivnika je dovoljno jednostavno. Pokušajte to učiniti i prilikom oduzimanja. Kao rezultat toga, nazivnik će biti nula, a razlomak (iznenada!) će izgubiti svoje značenje.

Stoga zapamtite jednom zauvijek: pri zbrajanju i oduzimanju nazivnik se ne mijenja!

Također, mnogi ljudi griješe kada zbrajaju nekoliko negativnih razlomaka. Postoji zabuna sa znakovima: gdje staviti minus, a gdje - plus.

I ovaj problem je vrlo lako riješiti. Dovoljno je zapamtiti da se minus ispred znaka razlomka uvijek može prenijeti na brojnik - i obrnuto. I naravno, ne zaboravite dva jednostavna pravila:

1. Plus puta minus daje minus;
2. Dvije negativne riječi čine potvrdnu.

Analizirajmo sve ovo na konkretnim primjerima:

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

U prvom slučaju sve je jednostavno, au drugom ćemo dodati minuse brojnicima razlomaka:

Što ako su nazivnici različiti

Ne možete izravno zbrajati razlomke s različitim nazivnicima. Barem je ova metoda meni nepoznata. Međutim, izvorni razlomci uvijek se mogu prepisati tako da nazivnici postanu isti.

Postoji mnogo načina za pretvaranje razlomaka. O tri od njih govori se u lekciji "Dovođenje razlomaka na zajednički nazivnik", pa se ovdje nećemo zadržavati na njima. Pogledajmo neke primjere:

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

U prvom slučaju razlomke dovodimo na zajednički nazivnik metodom "unakrsno". U drugom ćemo tražiti LCM. Primijetimo da je 6 = 2 3; 9 = 3 · 3. Posljednji faktori u ovim proširenjima su jednaki, a prvi su prosti. Prema tome, LCM(6; 9) = 2 3 3 = 18.

Što ako razlomak ima cjelobrojni dio

Mogu vas zadovoljiti: različiti nazivnici razlomaka nisu najveće zlo. Puno se više pogrešaka događa kada je cijeli dio istaknut u razlomcima.

Naravno, za takve razlomke postoje vlastiti algoritmi zbrajanja i oduzimanja, ali oni su prilično komplicirani i zahtijevaju dugo proučavanje. Bolja upotreba jednostavan sklop ispod:

1. Pretvorite sve razlomke koji sadrže cijeli broj u neprave. Dobivamo normalne izraze (čak i ako imaju različite nazivnike), koji se izračunavaju prema gore razmotrenim pravilima;
2. Zapravo, izračunajte zbroj ili razliku dobivenih razlomaka. Kao rezultat toga, praktički ćemo pronaći odgovor;
3. Ako je to sve što se tražilo u zadatku, izvodimo inverznu transformaciju, tj. riješimo se nepravilnog razlomka, ističući cijeli broj u njemu.

Pravila prijelaza na nepravi razlomci i izbor cijelog dijela detaljno su opisani u lekciji "Što je razlomak". Ako se ne sjećate, svakako ponovite. Primjeri:

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

Ovdje je sve jednostavno. Nazivnici unutar svakog izraza su jednaki, pa preostaje sve razlomke pretvoriti u neprave i prebrojati. Imamo:

Kako bih pojednostavio izračune, preskočio sam neke očite korake u zadnjim primjerima.

Mala napomena za zadnja dva primjera, gdje se oduzimaju razlomci s istaknutim cijelim dijelom. Minus ispred drugog razlomka znači da se oduzima cijeli razlomak, a ne samo cijeli njegov dio.

Ponovno pročitajte ovu rečenicu, pogledajte primjere i razmislite o tome. Tu početnici mnogo griješe. Takve zadatke vole davati na kontrolnom radu. Također ćete ih više puta susresti u testovima za ovu lekciju, koji će biti objavljeni uskoro.

Sažetak: Opća shema računarstva

Zaključno, dat ću opći algoritam koji će vam pomoći pronaći zbroj ili razliku dva ili više razlomaka:

1. Ako je cjelobrojni dio označen u jednom ili više razlomaka, pretvorite te razlomke u neprave;
2. Dovedite sve razlomke na zajednički nazivnik na bilo koji način koji vam odgovara (osim ako, naravno, to nisu učinili sastavljači problema);
3. Dobivene brojeve zbrajati ili oduzimati prema pravilima za zbrajanje i oduzimanje razlomaka s istim nazivnicima;
4. Smanjite rezultat ako je moguće. Ako se razlomak pokazao netočnim, odaberite cijeli dio.

Ne zaboravite da je bolje istaknuti cijeli dio na samom kraju zadatka, neposredno prije pisanja odgovora.