Instruire

Dacă ecuația este prezentată ca: dy/dx = q(x)/n(y), referiți-vă la categoria ecuațiilor diferențiale cu variabile separabile. Ele pot fi rezolvate scriind condiția în diferențiale astfel: n(y)dy = q(x)dx. Apoi integrați ambele părți. În unele cazuri, soluția este scrisă sub formă de integrale luate din funcții cunoscute. De exemplu, în cazul lui dy/dx = x/y, obținem q(x) = x, n(y) = y. Scrieți-l ca ydy = xdx și integrați. Ar trebui să obțineți y^2 = x^2 + c.

la liniar ecuații atribuiți ecuațiile „întâi”. O funcție necunoscută cu derivatele sale este inclusă într-o astfel de ecuație doar până la primul grad. Liniara are forma dy/dx + f(x) = j(x), unde f(x) si g(x) sunt functii dependente de x. Soluția se scrie folosind integrale luate din funcții cunoscute.

Rețineți că multe ecuații diferențiale sunt ecuații de ordinul doi (conțin derivate secunde).De exemplu, aceasta este ecuația mișcării armonice simple, scrisă ca una generală: md 2x / dt 2 = -kx. Astfel de ecuații au, în , soluții parțiale. Ecuația mișcării armonice simple este un exemplu de ceva destul de important: ecuații diferențiale liniare care au un coeficient constant.

Daca in conditiile problemei exista doar unul ecuație liniară, ceea ce înseamnă că vi se oferă condiții suplimentare datorită cărora puteți găsi o soluție. Citiți cu atenție problema pentru a găsi aceste condiții. În cazul în care un variabile x și y sunt distanța, viteza, greutatea - nu ezitați să setați limita x≥0 și y≥0. Este foarte posibil ca x sau y să ascundă numărul de , mere etc. – atunci valorile pot fi doar . Dacă x este vârsta fiului, este clar că acesta nu poate fi mai în vârstă decât tatăl său, așa că indicați acest lucru în condițiile problemei.

Surse:

• cum se rezolvă o ecuație cu o variabilă

Problemele pentru calculul diferențial și integral sunt elemente importante consolidarea teoriei analizei matematice, sectiunea matematică superioară studiat în universități. diferenţial ecuația se rezolvă prin metoda integrării.

Instruire

Calculul diferenţial investighează proprietăţile. Invers, integrarea unei functii permite, in functie de proprietatile date, i.e. derivate sau diferențiale ale unei funcții pentru a o găsi în sine. Aceasta este soluția ecuație diferențială.

Oricare este un raport între o valoare necunoscută și datele cunoscute. În cazul unei ecuații diferențiale, rolul necunoscutului îl joacă funcția, iar rolul cantităților cunoscute îl joacă derivatele sale. În plus, raportul poate conține o variabilă independentă: F(x, y(x), y'(x), y''(x),..., y^n(x)) = 0, unde x este o necunoscută variabilă, y (x) este funcția care trebuie determinată, ordinea ecuației este ordinea maximă a derivatei (n).

O astfel de ecuație se numește ecuație diferențială obișnuită. Dacă există mai multe variabile independente în relația și derivate parțiale (diferențiale) ale funcțiilor față de aceste variabile, atunci ecuația se numește ecuație diferențială cu derivate parțiale și are forma: x∂z/∂y - ∂z/∂ x = 0, unde z(x, y) este funcția dorită.

Deci, pentru a învăța cum să rezolvi ecuațiile diferențiale, trebuie să poți găsi antiderivate, adică. rezolva problema diferentierii inverse. De exemplu: Rezolvați ecuația de ordinul întâi y’ = -y/x.

Soluție Înlocuiește y' cu dy/dx: dy/dx = -y/x.

Aduceți ecuația într-o formă convenabilă pentru integrare. Pentru a face acest lucru, înmulțiți ambele părți cu dx și împărțiți cu y:dy/y = -dx/x.

Integrați: ∫dy/y = - ∫dx/x + Сln |y| = - log |x| +C.

Această soluție se numește ecuație diferențială generală. C este o constantă al cărei set de valori determină setul de soluții ale ecuației. Pentru orice valoare particulară a lui C, soluția va fi unică. O astfel de soluție este o soluție particulară a unei ecuații diferențiale.

Rezolvarea majorității ecuațiilor superioare grade nu are o formulă clară, cum ar fi găsirea rădăcinilor unui pătrat ecuații. Cu toate acestea, există mai multe metode de reducere care vă permit să transformați o ecuație de grad mai mare într-o formă mai vizuală.

Instruire

Cea mai comună metodă de rezolvare a ecuațiilor de grade superioare este expansiunea. Această abordare este o combinație a selecției rădăcinilor întregi, a divizorilor termenului liber și a împărțirii ulterioare a polinomului general în forma (x - x0).

De exemplu, rezolvați ecuația x^4 + x³ + 2 x² - x - 3 = 0. Soluție. Membrul liber al acestui polinom este -3, prin urmare, divizorii săi întregi pot fi ±1 și ±3. Substituiți-le unul câte unul în ecuație și aflați dacă obțineți identitatea: 1: 1 + 1 + 2 - 1 - 3 = 0.

A doua rădăcină x = -1. Împărțiți la expresia (x + 1). Scrieți ecuația rezultată (x - 1) (x + 1) (x² + x + 3) = 0. Gradul a scăzut la al doilea, prin urmare, ecuația poate avea încă două rădăcini. Pentru a le găsi, rezolvați ecuația pătratică: x² + x + 3 = 0D = 1 - 12 = -11

Discriminantul este o valoare negativă, ceea ce înseamnă că ecuația nu mai are rădăcini reale. Aflați rădăcinile complexe ale ecuației: x = (-2 + i √11)/2 și x = (-2 – i √11)/2.

O altă metodă de rezolvare a unei ecuații de grad superior este schimbarea variabilelor pentru a o pătra. Această abordare este utilizată atunci când toate puterile ecuației sunt pare, de exemplu: x^4 - 13 x² + 36 = 0

Acum găsiți rădăcinile ecuației inițiale: x1 = √9 = ±3; x2 = √4 = ±2.

Sfat 10: Cum să determinați ecuațiile redox

O reacție chimică este un proces de transformare a substanțelor care are loc odată cu modificarea compoziției lor. Acele substanțe care intră în reacție se numesc inițiale, iar cele care se formează în urma acestui proces se numesc produse. Se întâmplă ca, în cursul unei reacții chimice, elementele care compun materiile prime își schimbă starea de oxidare. Adică, ei pot accepta electronii altor oameni și pot oferi ai lor. În ambele cazuri, taxa lor se modifică. Astfel de reacții se numesc reacții redox.

O ecuație diferențială este o ecuație care include o funcție și una sau mai multe dintre derivatele acesteia. În majoritatea problemelor practice, funcțiile sunt mărimi fizice, derivatele corespund ratelor de modificare a acestor mărimi, iar ecuația determină relația dintre ele.

Acest articol discută metode de rezolvare a unor tipuri de ecuații diferențiale obișnuite, ale căror soluții pot fi scrise sub forma functii elementare, adică funcții polinomiale, exponențiale, logaritmice și trigonometrice, precum și funcțiile lor inverse. Multe dintre aceste ecuații apar în viața reală, deși majoritatea celorlalte ecuații diferențiale nu pot fi rezolvate prin aceste metode, iar pentru ele răspunsul este scris ca funcții speciale sau serii de puteri, sau găsit prin metode numerice.

Pentru a înțelege acest articol, trebuie să cunoașteți calculul diferențial și integral, precum și să aveți o anumită înțelegere a derivatelor parțiale. De asemenea, se recomandă cunoașterea elementelor de bază ale algebrei liniare aplicate ecuațiilor diferențiale, în special ecuațiilor diferențiale de ordinul doi, deși cunoașterea calculului diferențial și integral este suficientă pentru a le rezolva.

Informații preliminare

• Ecuațiile diferențiale au o clasificare extinsă. Acest articol vorbește despre ecuații diferențiale obișnuite, adică despre ecuații care includ o funcție a unei variabile și derivatele acesteia. Ecuațiile diferențiale obișnuite sunt mult mai ușor de înțeles și de rezolvat decât ecuații cu diferențe parțiale, care includ funcții ale mai multor variabile. Acest articol nu ia în considerare ecuațiile diferențiale parțiale, deoarece metodele de rezolvare a acestor ecuații sunt de obicei determinate de forma lor specifică.
  • Mai jos sunt câteva exemple de ecuații diferențiale obișnuite.
    • d y d x = k y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=ky)
    • d 2 x d t 2 + k x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+kx=0)
  • Mai jos sunt câteva exemple de ecuații cu diferențe parțiale.
    • ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\partial ^(2)f)(\partial x^(2)))+(\frac (\partial ^(2) )f)(\partial y^(2)))=0)
    • ∂ u ∂ t − α ∂ 2 u ∂ x 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\partial u)(\partial t))-\alpha (\frac (\partial ^(2)u)(\partial x ^(2)))=0)
• Ordin ecuația diferențială este determinată de ordinea celei mai mari derivate incluse în această ecuație. Prima dintre ecuațiile diferențiale obișnuite de mai sus este de ordinul întâi, în timp ce a doua este de ordinul al doilea. grad se numește ecuație diferențială cel mai înalt grad, la care se ridică unul dintre termenii acestei ecuații.
  • De exemplu, ecuația de mai jos este de ordinul trei și puterea a doua.
    • (d 3 y d x 3) 2 + d y d x = 0 (\displaystyle \left((\frac ((\mathrm (d)) )^(3)y)((\mathrm (d) )x^(3)))\ dreapta)^(2)+(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=0)
• Ecuația diferențială este ecuație diferențială liniară dacă funcția și toate derivatele ei sunt în prima putere. În caz contrar, ecuația este ecuație diferențială neliniară. Ecuațiile diferențiale liniare sunt remarcabile prin faptul că se pot face combinații liniare din soluțiile lor, care vor fi, de asemenea, soluții ale acestei ecuații.
  • Mai jos sunt câteva exemple de ecuații diferențiale liniare.
  • Mai jos sunt câteva exemple de ecuații diferențiale neliniare. Prima ecuație este neliniară datorită termenului sinus.
    • d 2 θ d t 2 + g l sin ⁡ θ = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)\theta )((\mathrm (d) )t^(2)))+( \frac (g)(l))\sin \theta =0)
    • d 2 x d t 2 + (d x d t) 2 + t x 2 = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+ \left((\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))\right)^(2)+tx^(2)=0)
• Decizie comună ecuația diferențială obișnuită nu este unică, ea include constante arbitrare de integrare. În cele mai multe cazuri, numărul de constante arbitrare este egal cu ordinea ecuației. În practică, valorile acestor constante sunt determinate de date condiții inițiale, adică prin valorile funcției și derivatelor sale la x = 0. (\displaystyle x=0.) Numărul de condiții inițiale care sunt necesare pentru a găsi decizie privată ecuație diferențială, în cele mai multe cazuri este, de asemenea, egală cu ordinea acestei ecuații.
  • De exemplu, acest articol va analiza rezolvarea ecuației de mai jos. Aceasta este o ecuație diferențială liniară de ordinul doi. Soluția sa generală conține două constante arbitrare. Pentru a găsi aceste constante, este necesar să se cunoască condițiile inițiale la x (0) (\displaystyle x(0))și x′ (0) . (\displaystyle x"(0).) De obicei, condițiile inițiale sunt date la punct x = 0 , (\displaystyle x=0,), deși acest lucru nu este necesar. Acest articol va analiza, de asemenea, cum să găsiți soluții speciale pentru condiții inițiale date.
    • d 2 x d t 2 + k 2 x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+k^(2 )x=0)
    • x (t) = c 1 cos ⁡ k x + c 2 sin ⁡ k x (\displaystyle x(t)=c_(1)\cos kx+c_(2)\sin kx)

Pași

Partea 1

Când utilizați acest serviciu, unele informații pot fi transferate pe YouTube.

1. Ecuații liniare de ordinul întâi. Această secțiune discută metode de rezolvare a ecuațiilor diferențiale liniare de ordinul întâi în cazuri generale și speciale, când unii termeni sunt egali cu zero. Să ne prefacem că y = y (x) , (\displaystyle y=y(x),) p (x) (\displaystyle p(x))și q (x) (\displaystyle q(x)) sunt functii X . (\displaystyle x.)

   D y d x + p (x) y = q (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+p(x)y=q(x ))
   

   P (x) = 0. (\displaystyle p(x)=0.) Conform uneia dintre principalele teoreme ale analizei matematice, integrala derivatei unei funcții este de asemenea o funcție. Astfel, este suficient să integrezi ecuația pentru a-i găsi soluția. Trebuie remarcat însă că la calcul integrală nedefinită apare o constantă arbitrară.

   • y (x) = ∫ q (x) d x (\displaystyle y(x)=\int q(x)(\mathrm (d) )x)

   Q (x) = 0. (\displaystyle q(x)=0.) Folosim metoda separarea variabilelor. În acest caz, diferite variabile sunt transferate în diferite părți ale ecuației. De exemplu, puteți transfera toți membrii de la y (\displaystyle y)într-unul, și toți membrii cu x (\displaystyle x) de cealaltă parte a ecuației. De asemenea, membrii pot fi mutați d x (\displaystyle (\mathrm (d) )x)și d y (\displaystyle (\mathrm (d) )y), care sunt incluse în expresiile derivatelor, cu toate acestea, trebuie amintit că acestea sunt doar simbol, care este convenabil pentru diferențierea unei funcții complexe. O discuție despre acești termeni, care se numesc diferențiale, este în afara domeniului de aplicare al acestui articol.

   • Mai întâi, trebuie să mutați variabilele pe părțile opuse ale semnului egal.
     • 1 y d y = − p (x) d x (\displaystyle (\frac (1)(y))(\mathrm (d) )y=-p(x)(\mathrm (d) )x)
   • Integram ambele părți ale ecuației. După integrare, pe ambele părți apar constante arbitrare, care pot fi transferate în partea dreaptă a ecuației.
     • ln ⁡ y = ∫ − p (x) d x (\displaystyle \ln y=\int -p(x)(\mathrm (d) )x)
     • y (x) = e - ∫ p (x) d x (\displaystyle y(x)=e^(-\int p(x)(\mathrm (d) )x))
   • Exemplul 1.1.În ultimul pas, am folosit regula e a + b = e a e b (\displaystyle e^(a+b)=e^(a)e^(b)) si inlocuit e C (\displaystyle e^(C)) pe C (\displaystyle C), deoarece este și o constantă arbitrară a integrării.
     • d y d x - 2 y sin ⁡ x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))-2y\sin x=0)
     • 1 2 y d y = sin ⁡ x d x 1 2 ln ⁡ y = - cos ⁡ x + C ln ⁡ y = - 2 cos ⁡ x + C y (x) = C e )(\frac (1)(2y))(\ mathrm (d) )y&=\sin x(\mathrm (d) )x\\(\frac (1)(2))\ln y&=-\cos x+C\\\ln y&=-2\cos x+C\\y(x)&=Ce^(-2\cos x)\end(aliniat)))

   P (x) ≠ 0 , q (x) ≠ 0. (\displaystyle p(x)\neq 0,\q(x)\neq 0.) Pentru a găsi soluția generală, am introdus factor integrator ca o funcție a x (\displaystyle x) pentru a reduce partea stângă la o derivată comună și a rezolva astfel ecuația.

   • Înmulțiți ambele părți cu μ (x) (\displaystyle \mu (x))
     • μ d y d x + μ p y = μ q (\displaystyle \mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py=\mu q)
   • Pentru a reduce partea stângă la o derivată comună, trebuie făcute următoarele transformări:
     • d d x (μ y) = d μ d x y + μ d y d x = μ d y d x + μ p y (\displaystyle (\frac (\mathrm (d) )((\mathrm (d) )x))(\mu y)=(\ frac ((\mathrm (d) )\mu )((\mathrm (d) )x))y+\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)) =\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py)
   • Ultima egalitate înseamnă că d μ d x = μ p (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\mu )((\mathrm (d) )x))=\mu p). Acesta este un factor de integrare care este suficient pentru a rezolva orice ecuație liniară de ordinul întâi. Acum putem deriva o formulă pentru rezolvarea acestei ecuații în raport cu µ , (\displaystyle \mu ,) deși pentru antrenament este util să se facă toate calculele intermediare.
     • μ (x) = e ∫ p (x) d x (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(x)(\mathrm (d) )x))
   • Exemplul 1.2.În acest exemplu, luăm în considerare cum să găsim o anumită soluție a unei ecuații diferențiale cu condiții inițiale date.
     • t d y d t + 2 y = t 2 , y (2) = 3 (\displaystyle t(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+2y=t^(2) ,\quad y(2)=3)
     • d y d t + 2 t y = t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+(\frac (2)(t))y=t)
     • μ (x) = e ∫ p (t) d t = e 2 ln ⁡ t = t 2 (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(t)(\mathrm (d) )t)=e ^(2\ln t)=t^(2))
     • d d t (t 2 y) = t 3 t 2 y = 1 4 t 4 + C y (t) = 1 4 t 2 + C t 2 (\displaystyle (\begin(aligned)(\frac (\mathrm (d))) )((\mathrm (d) )t))(t^(2)y)&=t^(3)\\t^(2)y&=(\frac (1)(4))t^(4 )+C\\y(t)&=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (C)(t^(2)))\end(aliniat)))
     • 3 = y (2) = 1 + C 4 , C = 8 (\displaystyle 3=y(2)=1+(\frac (C)(4)),\quad C=8)
     • y (t) = 1 4 t 2 + 8 t 2 (\displaystyle y(t)=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (8)(t^(2)) ))
   
   Rezolvarea ecuațiilor liniare de ordinul întâi (înregistrate de Intuit - National Open University).

2. Ecuații neliniare de ordinul întâi. În această secțiune sunt luate în considerare metode de rezolvare a unor ecuații diferențiale neliniare de ordinul întâi. Deși nu există o metodă generală de rezolvare a unor astfel de ecuații, unele dintre ele pot fi rezolvate folosind metodele de mai jos.

   D y d x = f (x , y) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=f(x,y))
   d y d x = h (x) g (y) . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=h(x)g(y).) Dacă funcţia f (x , y) = h (x) g (y) (\displaystyle f(x,y)=h(x)g(y)) poate fi împărțit în funcții ale unei variabile, se numește o astfel de ecuație ecuație diferențială separabilă. În acest caz, puteți utiliza metoda de mai sus:

   • ∫ d y h (y) = ∫ g (x) d x (\displaystyle \int (\frac ((\mathrm (d) )y)(h(y)))=\int g(x)(\mathrm (d) )X)
   • Exemplul 1.3.
     • d y d x = x 3 y (1 + x 4) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (x^(3))( y(1+x^(4)))))
     • ∫ y d y = ∫ x 3 1 + x 4 d x 1 2 y 2 = 1 4 ln ⁡ (1 + x 4) + C y (x) = 1 2 ln ⁡ (1 + x 4) + C (\displaystyle (\ începe(aliniat)\int y(\mathrm (d) )y&=\int (\frac (x^(3))(1+x^(4)))(\mathrm (d) )x\\(\ frac (1)(2))y^(2)&=(\frac (1)(4))\ln(1+x^(4))+C\\y(x)&=(\frac ( 1)(2))\ln(1+x^(4))+C\end(aliniat)))

   D y d x = g (x , y) h (x , y) . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (g(x,y))(h(x,y))).) Să ne prefacem că g (x , y) (\displaystyle g(x, y))și h (x , y) (\displaystyle h(x, y)) sunt functii x (\displaystyle x)și y . (\displaystyle y.) Apoi ecuație diferențială omogenă este o ecuaţie în care g (\displaystyle g)și h (\displaystyle h) sunteți funcții omogene acelasi grad. Adică, funcțiile trebuie să îndeplinească condiția g (α x , α y) = α k g (x , y) , (\displaystyle g(\alpha x,\alpha y)=\alpha ^(k)g(x,y),) Unde k (\displaystyle k) se numeste grad de omogenitate. Orice ecuație diferențială omogenă poate fi dată de un adecvat modificarea variabilelor (v = y / x (\displaystyle v=y/x) sau v = x / y (\displaystyle v=x/y)) pentru a converti într-o ecuație cu variabile separabile.

   • Exemplul 1.4. Descrierea de mai sus a omogenității poate părea obscură. Să ne uităm la acest concept cu un exemplu.
     • d y d x = y 3 - x 3 y 2 x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y^(3)-x^ (3))(y^(2)x)))
     • Pentru început, trebuie remarcat faptul că această ecuație este neliniară în raport cu y . (\displaystyle y.) De asemenea, vedem că în acest caz este imposibilă separarea variabilelor. Cu toate acestea, această ecuație diferențială este omogenă, deoarece atât numărătorul, cât și numitorul sunt omogene cu o putere de 3. Prin urmare, putem face o schimbare de variabile v=y/x. (\displaystyle v=y/x.)
     • d y d x = y x - x 2 y 2 = v - 1 v 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y)(x ))-(\frac (x^(2))(y^(2)))=v-(\frac (1)(v^(2))))
     • y = v x , d y d x = d v d x x + v (\displaystyle y=vx,\quad (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac ((\mathrm) (d) )v)((\mathrm (d) )x))x+v)
     • d v d x x = − 1 v 2 . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )v)((\mathrm (d) )x))x=-(\frac (1)(v^(2))).) Ca rezultat, avem o ecuație pentru v (\displaystyle v) cu variabile partajate.
     • v (x) = − 3 log ⁡ x + C 3 (\displaystyle v(x)=(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))
     • y (x) = x − 3 ln ⁡ x + C 3 (\displaystyle y(x)=x(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))

   D y d x = p (x) y + q (x) y n . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=p(x)y+q(x)y^(n).) aceasta Ecuația diferențială Bernoulli- un tip special de ecuație neliniară de gradul I, a cărei soluție poate fi scrisă folosind funcții elementare.

   • Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu (1 - n) y - n (\displaystyle (1-n)y^(-n)):
     • (1 - n) y - n d y d x = p (x) (1 - n) y 1 - n + (1 - n) q (x) (\displaystyle (1-n)y^(-n)(\frac ( (\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))
   • Folosim regula de diferențiere a unei funcții complexe din partea stângă și transformăm ecuația într-o ecuație liniară în raport cu y 1 - n , (\displaystyle y^(1-n),) care poate fi rezolvată prin metodele de mai sus.
     • d y 1 - n d x = p (x) (1 - n) y 1 - n + (1 - n) q (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y^(1-n)) ((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))

   M (x, y) + N (x, y) d y d x = 0. (\displaystyle M(x,y)+N(x,y)(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm) (d) )x))=0.) aceasta ecuația diferențială totală. Este necesar să găsiți așa-numitul funcție potențială φ (x , y) , (\displaystyle \varphi (x,y),), care îndeplinește condiția d φ d x = 0. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\varphi )((\mathrm (d) )x))=0.)

   • Pentru a îndeplini această condiție, este necesar să aveți derivat total. Derivata totală ia în considerare dependența de alte variabile. Pentru a calcula derivata totală φ (\displaystyle \varphi ) pe x , (\displaystyle x,) presupunem că y (\displaystyle y) poate depinde și de X . (\displaystyle x.)
     • d φ d x = ∂ φ ∂ x + ∂ φ ∂ y d y d x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d))\varphi )((\mathrm (d) )x))=(\frac (\partial \varphi) )(\partial x))+(\frac (\partial \varphi )(\partial y))(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)))
   • Compararea termenilor ne oferă M (x , y) = ∂ φ ∂ x (\displaystyle M(x,y)=(\frac (\partial \varphi)(\partial x)))și N (x, y) = ∂ φ ∂ y . (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi)(\partial y)).) Acesta este un rezultat tipic pentru ecuațiile cu mai multe variabile, unde derivatele mixte ale funcțiilor netede sunt egale între ele. Uneori se numește acest caz teorema lui Clairaut. În acest caz, ecuația diferențială este o ecuație în diferențiale totale dacă este îndeplinită următoarea condiție:
     • ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x (\displaystyle (\frac (\partial M)(\partial y))=(\frac (\partial N)(\partial x)))
   • Metoda de rezolvare a ecuațiilor în diferențiale totale este similară cu găsirea de funcții potențiale în prezența mai multor derivate, pe care le vom discuta pe scurt. Mai întâi ne integrăm M (\displaystyle M) pe X . (\displaystyle x.) Pentru că M (\displaystyle M) este o funcţie şi x (\displaystyle x), și y , (\displaystyle y,) la integrare, obținem o funcție incompletă φ , (\displaystyle \varphi ,) etichetat ca φ ~ (\displaystyle (\tilde (\varphi ))). Rezultatul include și dependența de y (\displaystyle y) constanta de integrare.
     • φ (x, y) = ∫ M (x, y) d x = φ ~ (x, y) + c (y) (\displaystyle \varphi (x,y)=\int M(x,y)(\mathrm (d) )x=(\tilde (\varphi ))(x,y)+c(y))
   • După aceea, pentru a obține c (y) (\displaystyle c(y)) puteți lua derivata parțială a funcției rezultate în raport cu y , (\displaystyle y,) egalează rezultatul N (x, y) (\displaystyle N(x, y))și să integreze. De asemenea, se poate integra primul N (\displaystyle N), și apoi luați derivata parțială în raport cu x (\displaystyle x), ceea ce ne va permite să găsim o funcție arbitrară d(x). (\displaystyle d(x).) Ambele metode sunt potrivite și, de obicei, funcția mai simplă este aleasă pentru integrare.
     • N (x , y) = ∂ φ ∂ y = ∂ φ ~ ∂ y + d c d y (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi)(\partial y))=(\frac (\ parțial (\tilde (\varphi )))(\partial y))+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y)))
   • Exemplul 1.5. Puteți lua derivate parțiale și puteți verifica dacă ecuația de mai jos este o ecuație diferențială totală.
     • 3 x 2 + y 2 + 2 x y d y d x = 0 (\displaystyle 3x^(2)+y^(2)+2xy(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x) )=0)
     • φ = ∫ (3 x 2 + y 2) d x = x 3 + x y 2 + c (y) ∂ φ ∂ y = N (x , y) = 2 x y + d c d y (\displaystyle (\begin(aligned)\varphi) &=\int (3x^(2)+y^(2))(\mathrm (d) )x=x^(3)+xy^(2)+c(y)\\(\frac (\partial) \varphi )(\partial y))&=N(x,y)=2xy+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y))\end(aligned)))
     • d c d y = 0 , c (y) = C (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y))=0,\quad c(y)=C)
     • x 3 + x y 2 = C (\displaystyle x^(3)+xy^(2)=C)
   • Dacă ecuația diferențială nu este o ecuație diferențială totală, în unele cazuri puteți găsi un factor de integrare care vă va permite să o convertiți într-o ecuație diferențială totală. Cu toate acestea, astfel de ecuații sunt rareori utilizate în practică, și deși factorul de integrare există, află că se întâmplă nu este usor, deci aceste ecuații nu sunt luate în considerare în acest articol.

Partea 2

1. Ecuații diferențiale liniare omogene cu coeficienți constanți. Aceste ecuații sunt utilizate pe scară largă în practică, astfel încât soluția lor este de o importanță capitală. În acest caz, nu vorbim despre funcții omogene, ci despre faptul că în partea dreaptă a ecuației există 0. În secțiunea următoare, vom arăta cum corespunzătoare eterogen ecuatii diferentiale. De mai jos a (\displaystyle a)și b (\displaystyle b) sunt constante.

   D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+a(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)
   

   Ecuație caracteristică. Această ecuație diferențială este remarcabilă prin faptul că poate fi rezolvată foarte ușor dacă acordați atenție proprietăților soluțiilor sale. Din ecuație se poate observa că y (\displaystyle y) iar derivatele sale sunt proporționale între ele. Din exemplele anterioare, care au fost luate în considerare în secțiunea privind ecuațiile de ordinul întâi, știm doar că functie exponentiala. Prin urmare, este posibil să se prezinte ansatz(o presupunere educată) despre care va fi soluția ecuației date.

   • Soluția va lua forma unei funcții exponențiale e r x , (\displaystyle e^(rx),) Unde r (\displaystyle r) este o constantă a cărei valoare trebuie găsită. Înlocuiți această funcție în ecuație și obțineți următoarea expresie
     • e r x (r 2 + a r + b) = 0 (\displaystyle e^(rx)(r^(2)+ar+b)=0)
   • Această ecuație indică faptul că produsul dintre o funcție exponențială și un polinom trebuie să fie zero. Se știe că exponentul nu poate fi egal cu zero pentru nicio valoare a gradului. Prin urmare, concluzionăm că polinomul este egal cu zero. Astfel, am redus problema rezolvării unei ecuații diferențiale la o problemă mult mai simplă de rezolvare a unei ecuații algebrice, care se numește ecuație caracteristică pentru o ecuație diferențială dată.
     • r 2 + a r + b = 0 (\displaystyle r^(2)+ar+b=0)
     • r ± = − a ± a 2 − 4 b 2 (\displaystyle r_(\pm )=(\frac (-a\pm (\sqrt (a^(2)-4b)))(2)))
   • Avem două rădăcini. Deoarece această ecuație diferențială este liniară, soluția ei generală este o combinație liniară de soluții parțiale. Deoarece aceasta este o ecuație de ordinul doi, știm că aceasta este într-adevăr soluție generală și nu există altele. O justificare mai riguroasă pentru aceasta constă în teoremele privind existența și unicitatea soluției, care pot fi găsite în manuale.
   • O modalitate utilă de a verifica dacă două soluții sunt liniar independente este de a calcula Wronskian. Wronskian W (\displaystyle W)- acesta este determinantul matricei, în coloanele căreia se află funcții și derivatele lor succesive. Teorema algebrei liniare afirmă că funcțiile din Wronskian sunt liniar dependente dacă Wronskianul este egal cu zero. În această secțiune, putem testa dacă două soluții sunt liniar independente, asigurându-ne că Wronskianul este diferit de zero. Wronskianul este important în rezolvarea ecuațiilor diferențiale neomogene cu coeficienți constanți prin metoda variației parametrilor.
     • w = | y 1 y 2 y 1 ′ y 2 ′ | (\displaystyle W=(\begin(vmatrix)y_(1)&y_(2)\\y_(1)"&y_(2)"\end(vmatrix)))
   • În ceea ce privește algebra liniară, mulțimea tuturor soluțiilor unei ecuații diferențiale date formează un spațiu vectorial a cărui dimensiune este egală cu ordinea ecuației diferențiale. În acest spațiu, se poate alege o bază din liniar independent decizii unul de la celălalt. Acest lucru este posibil datorită faptului că funcția y (x) (\displaystyle y(x)) valabil operator liniar. Derivat este operator liniar, deoarece transformă spațiul funcțiilor diferențiabile în spațiul tuturor funcțiilor. Ecuațiile sunt numite omogene în cazurile în care pentru un operator liniar L (\displaystyle L) este necesar să se găsească o soluție la ecuație L [ y ] = 0. (\displaystyle L[y]=0.)

   Să ne uităm acum la câteva exemple concrete. Cazul rădăcinilor multiple ale ecuației caracteristice va fi luat în considerare puțin mai târziu, în secțiunea privind reducerea ordinii.

   Dacă rădăcinile r ± (\displaystyle r_(\pm )) sunt numere reale diferite, ecuația diferențială are următoarea soluție

   • y (x) = c 1 e r + x + c 2 e r − x (\displaystyle y(x)=c_(1)e^(r_(+)x)+c_(2)e^(r_(-)x ))

   Două rădăcini complexe. Din teorema fundamentală a algebrei rezultă că soluțiile ecuațiilor polinomiale cu coeficienți reali au rădăcini care sunt reale sau formează perechi conjugate. Prin urmare, dacă numărul complex r = α + i β (\displaystyle r=\alpha +i\beta) este rădăcina ecuației caracteristice, atunci r ∗ = α − i β (\displaystyle r^(*)=\alpha -i\beta) este și rădăcina acestei ecuații. Astfel, soluția poate fi scrisă sub formă c 1 e (α + i β) x + c 2 e (α - i β) x , (\displaystyle c_(1)e^((\alpha +i\beta)x)+c_(2)e^( (\alpha -i\beta)x),) cu toate acestea, acesta este un număr complex și este nedorit în rezolvarea problemelor practice.

   • În schimb, puteți folosi Formula lui Euler e i x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x (\displaystyle e^(ix)=\cos x+i\sin x), care ne permite să scriem soluția în formular funcții trigonometrice:
     • e α x (c 1 cos ⁡ β x + i c 1 sin ⁡ β x + c 2 cos ⁡ β x − i c 2 sin ⁡ β x) (\displaystyle e^(\alpha x)(c_(1)\cos \ beta x+ic_(1)\sin \beta x+c_(2)\cos \beta x-ic_(2)\sin \beta x))
   • Acum poți în loc să fii constant c 1 + c 2 (\displaystyle c_(1)+c_(2)) scrie c 1 (\displaystyle c_(1)), și expresia i (c 1 - c 2) (\displaystyle i(c_(1)-c_(2))) inlocuit de c 2 . (\displaystyle c_(2).) După aceea, obținem următoarea soluție:
     • y (x) = e α x (c 1 cos ⁡ β x + c 2 sin ⁡ β x) (\displaystyle y(x)=e^(\alpha x)(c_(1)\cos \beta x+c_ (2)\sin \beta x))
   • Există o altă modalitate de a scrie soluția în termeni de amplitudine și fază, care este mai potrivită pentru problemele fizice.
   • Exemplul 2.1. Să găsim soluția ecuației diferențiale prezentate mai jos cu condiții inițiale date. Pentru aceasta, este necesar să luați soluția obținută, precum și derivatul său, și înlocuiți-le în condițiile inițiale, ceea ce ne va permite să determinăm constante arbitrare.
     • d 2 x d t 2 + 3 d x d t + 10 x = 0 , x (0) = 1 , x ′ (0) = − 1 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d)) )^(2)x)(( \mathrm (d) )t^(2)))+3(\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))+10x=0,\quad x(0) =1,\ x"(0)=-1)
     • r 2 + 3 r + 10 = 0 , r ± = − 3 ± 9 − 40 2 = − 3 2 ± 31 2 i (\displaystyle r^(2)+3r+10=0,\quad r_(\pm ) =(\frac (-3\pm (\sqrt (9-40)))(2))=-(\frac (3)(2))\pm (\frac (\sqrt (31))(2) )i)
     • x (t) = e − 3 t / 2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(c_(1) )\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right))
     • x (0) = 1 = c 1 (\displaystyle x(0)=1=c_(1))
     • x ′ (t) = − 3 2 e − 3 t / 2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) + e − 3 t / 2 (− 31 2 c 1 sin ⁡ 31 2 t + 31 2 c 2 cos ⁡ 31 2 t) (\displaystyle (\begin(aligned)x"(t)&=-(\frac (3)(2))e^(-3t/2)\left(c_ (1)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right)\\&+e ^(-3t/2)\left(-(\frac (\sqrt (31))(2))c_(1)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t+(\frac ( \sqrt (31))(2))c_(2)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t\right)\end(aligned)))
     • x ′ (0) = − 1 = − 3 2 c 1 + 31 2 c 2 , c 2 = 1 31 (\displaystyle x"(0)=-1=-(\frac (3)(2))c_( 1)+(\frac (\sqrt (31))(2))c_(2),\quad c_(2)=(\frac (1)(\sqrt (31))))
     • x (t) = e − 3 t / 2 (cos ⁡ 31 2 t + 1 31 sin ⁡ 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+(\frac (1)(\sqrt (31)))\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\dreapta))
   
   Rezolvarea ecuațiilor diferențiale de ordinul al n-lea cu coeficienți constanți (înregistrate de Intuit - National Open University).

2. Comanda de retrogradare. Reducerea ordinului este o metodă de rezolvare a ecuațiilor diferențiale atunci când se cunoaște o soluție liniar independentă. Această metodă constă în scăderea ordinii ecuației cu una, ceea ce permite rezolvarea ecuației folosind metodele descrise în secțiunea anterioară. Să fie cunoscută soluția. Ideea principală de scădere a comenzii este să găsiți o soluție în formularul de mai jos, unde este necesar să definiți funcția v (x) (\displaystyle v(x)), substituindu-l în ecuația diferențială și găsirea v(x). (\displaystyle v(x).) Să luăm în considerare modul în care reducerea ordinii poate fi utilizată pentru a rezolva o ecuație diferențială cu coeficienți constanți și rădăcini multiple.

   
   

   Rădăcini multiple ecuație diferențială omogenă cu coeficienți constanți. Reamintim că o ecuație de ordinul doi trebuie să aibă două soluții liniar independente. Dacă ecuația caracteristică are mai multe rădăcini, mulțimea soluțiilor nu formează un spațiu deoarece aceste soluții sunt dependente liniar. În acest caz, reducerea ordinului trebuie utilizată pentru a găsi o a doua soluție liniar independentă.

   • Fie ca ecuația caracteristică să aibă mai multe rădăcini r (\displaystyle r). Presupunem că a doua soluție poate fi scrisă ca y (x) = e r x v (x) (\displaystyle y(x)=e^(rx)v(x)), și înlocuiți-l în ecuația diferențială. În acest caz, majoritatea termenilor, cu excepția termenului cu derivata a doua a funcției v , (\displaystyle v,) vor fi reduse.
     • v ″ (x) e r x = 0 (\displaystyle v""(x)e^(rx)=0)
   • Exemplul 2.2. Având în vedere următoarea ecuație, care are mai multe rădăcini r = − 4. (\displaystyle r=-4.) La înlocuire, majoritatea termenilor sunt anulați.
     • d 2 y d x 2 + 8 d y d x + 16 y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+8( \frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+16y=0)
     • y = v (x) e − 4 x y ′ = v ′ (x) e − 4 x − 4 v (x) e − 4 x y ″ = v ″ (x) e − 4 x − 8 v ′ (x) e − 4 x + 16 v (x) e − 4 x (\displaystyle (\begin(aligned)y&=v(x)e^(-4x)\\y"&=v"(x)e^(-4x) )-4v(x)e^(-4x)\\y""&=v""(x)e^(-4x)-8v"(x)e^(-4x)+16v(x)e^ (-4x)\end(aliniat)))
     • v ″ e − 4 x − 8 v ′ e − 4 x + 16 v e − 4 x + 8 v ′ e − 4 x − 32 v e − 4 x + 16 v e − 4 x = 0 (\displaystyle (\begin(aligned) )v""e^(-4x)&-(\cancel (8v"e^(-4x)))+(\cancel (16ve^(-4x)))\\&+(\cancel (8v"e ^(-4x)))-(\cancel (32ve^(-4x)))+(\cancel (16ve^(-4x)))=0\end(aligned)))
   • Ca și ansatz-ul nostru pentru o ecuație diferențială cu coeficienți constanți, în acest caz numai derivata a doua poate fi egală cu zero. Integram de doua ori si obtinem expresia dorita pt v (\displaystyle v):
     • v (x) = c 1 + c 2 x (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)x)
   • Atunci soluția generală a unei ecuații diferențiale cu coeficienți constanți, dacă ecuația caracteristică are mai multe rădăcini, se poate scrie în forma următoare. Pentru comoditate, vă puteți aminti că pentru a obține independența liniară, este suficient să înmulțiți pur și simplu al doilea termen cu x (\displaystyle x). Acest set de soluții este liniar independent și astfel am găsit toate soluțiile acestei ecuații.
     • y (x) = (c 1 + c 2 x) e r x (\displaystyle y(x)=(c_(1)+c_(2)x)e^(rx))

   D 2 y d x 2 + p (x) d y d x + q (x) y = 0. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^( 2)))+p(x)(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+q(x)y=0.) Reducerea comenzii este aplicabilă dacă soluția este cunoscută y 1 (x) (\displaystyle y_(1)(x)), care poate fi găsit sau dat în enunțul problemei.

   • Cautam o solutie in formular y (x) = v (x) y 1 (x) (\displaystyle y(x)=v(x)y_(1)(x))și conectați-l în această ecuație:
     • v ″ y 1 + 2 v ′ y 1 ′ + p (x) v ′ y 1 + v (y 1 ″ + p (x) y 1 ′ + q (x)) = 0 (\displaystyle v""y_( 1)+2v"y_(1)"+p(x)v"y_(1)+v(y_(1)""+p(x)y_(1)"+q(x))=0)
   • Pentru că y 1 (\displaystyle y_(1)) este o soluție a ecuației diferențiale, toți termenii cu v (\displaystyle v) se micsoreaza. Drept urmare, rămâne ecuație liniară de ordinul întâi. Pentru a vedea acest lucru mai clar, haideți să schimbăm variabilele w (x) = v′ (x) (\displaystyle w(x)=v"(x)):
     • y 1 w ′ + (2 y 1 ′ + p (x) y 1) w = 0 (\displaystyle y_(1)w"+(2y_(1)"+p(x)y_(1))w=0 )
     • w (x) = exp ⁡ (∫ (2 y 1 ′ (x) y 1 (x) + p (x)) d x) (\displaystyle w(x)=\exp \left(\int \left((\) frac (2y_(1)"(x))(y_(1)(x)))+p(x)\dreapta)(\mathrm (d) )x\dreapta))
     • v (x) = ∫ w (x) d x (\displaystyle v(x)=\int w(x)(\mathrm (d) )x)
   • Dacă integralele pot fi calculate, obținem soluția generală ca o combinație de funcții elementare. În caz contrar, soluția poate fi lăsată în formă integrală.

3. Ecuația Cauchy-Euler. Ecuația Cauchy-Euler este un exemplu de ecuație diferențială de ordinul doi cu variabile coeficienți, care are soluții exacte. Această ecuație este folosită în practică, de exemplu, pentru a rezolva ecuația Laplace în coordonate sferice.

   X 2 d 2 y d x 2 + a x d y d x + b y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2) ))+ax(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)
   

   Ecuație caracteristică. După cum puteți vedea, în această ecuație diferențială, fiecare termen conține un factor de putere, al cărui grad este egal cu ordinul derivatei corespunzătoare.

   • Astfel, se poate încerca să caute o soluție în formă y (x) = x n , (\displaystyle y(x)=x^(n),) unde să se definească n (\displaystyle n), așa cum căutam o soluție sub forma unei funcții exponențiale pentru o ecuație diferențială liniară cu coeficienți constanți. După diferențiere și înlocuire, obținem
     • x n (n 2 + (a - 1) n + b) = 0 (\displaystyle x^(n)(n^(2)+(a-1)n+b)=0)
   • Pentru a folosi ecuația caracteristică, trebuie să presupunem că x ≠ 0 (\displaystyle x\neq 0). Punct x = 0 (\displaystyle x=0) numit punct singular regulat ecuație diferențială. Astfel de puncte sunt importante atunci când se rezolvă ecuații diferențiale folosind serii de puteri. Această ecuație are două rădăcini, care pot fi diferite și reale, multiple sau complexe conjugate.
     • n ± = 1 - a ± (a - 1) 2 - 4 b 2 (\displaystyle n_(\pm )=(\frac (1-a\pm (\sqrt ((a-1)^(2)-4b) )))(2)))

   Două rădăcini reale diferite. Dacă rădăcinile n ± (\displaystyle n_(\pm )) sunt reale și diferite, atunci soluția ecuației diferențiale are următoarea formă:

   • y (x) = c 1 x n + + c 2 x n − (\displaystyle y(x)=c_(1)x^(n_(+))+c_(2)x^(n_(-)))

   Două rădăcini complexe. Dacă ecuaţia caracteristică are rădăcini n ± = α ± β i (\displaystyle n_(\pm )=\alpha \pm \beta i), soluția este o funcție complexă.

   • Pentru a transforma soluția într-o funcție reală, facem o schimbare de variabile x = e t , (\displaystyle x=e^(t),) acesta este t = ln ⁡ x , (\displaystyle t=\ln x,)și folosiți formula lui Euler. Acțiuni similare au fost efectuate mai devreme la definirea constantelor arbitrare.
     • y (t) = e α t (c 1 e β i t + c 2 e - β i t) (\displaystyle y(t)=e^(\alpha t)(c_(1)e^(\beta it)+ c_(2)e^(-\beta it)))
   • Atunci soluția generală poate fi scrisă ca
     • y (x) = x α (c 1 cos ⁡ (β ln ⁡ x) + c 2 sin ⁡ (β ln ⁡ x)) (\displaystyle y(x)=x^(\alpha )(c_(1)\ cos(\beta \ln x)+c_(2)\sin(\beta \ln x)))

   Rădăcini multiple. Pentru a obține o a doua soluție liniar independentă, este necesar să reduceți din nou ordinea.

   • Este nevoie de un pic de calcul, dar principiul este același: înlocuim y = v (x) y 1 (\displaystyle y=v(x)y_(1))într-o ecuație a cărei primă soluție este y 1 (\displaystyle y_(1)). După reduceri, se obține următoarea ecuație:
     • v ″ + 1 x v ′ = 0 (\displaystyle v""+(\frac (1)(x))v"=0)
   • Aceasta este o ecuație liniară de ordinul întâi în raport cu v′ (x) . (\displaystyle v"(x).) Soluția lui este v (x) = c 1 + c 2 ln ⁡ x . (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)\ln x.) Astfel, soluția poate fi scrisă în forma următoare. Este destul de ușor de reținut - pentru a obține a doua soluție liniar independentă, aveți nevoie doar de un termen suplimentar cu ln ⁡ x (\displaystyle \ln x).
     • y (x) = x n (c 1 + c 2 ln ⁡ x) (\displaystyle y(x)=x^(n)(c_(1)+c_(2)\ln x))

4. Ecuații diferențiale liniare neomogene cu coeficienți constanți. Ecuațiile neomogene au forma L [ y (x) ] = f (x) , (\displaystyle L=f(x),) Unde f (x) (\displaystyle f(x))- așa-zisul membru liber. Conform teoriei ecuațiilor diferențiale, soluția generală a acestei ecuații este o suprapunere decizie privată y p (x) (\displaystyle y_(p)(x))și solutie suplimentara y c (x) . (\displaystyle y_(c)(x).) Totuși, în acest caz, o soluție anume nu înseamnă o soluție dată de condițiile inițiale, ci mai degrabă o soluție care se datorează prezenței neomogenității (membru liber). Soluția complementară este soluția ecuației omogene corespunzătoare în care f (x) = 0. (\displaystyle f(x)=0.) Soluția generală este o suprapunere a acestor două soluții, deoarece L [ y p + y c ] = L [ y p ] + L [ y c ] = f (x) (\displaystyle L=L+L=f(x)), și de când L [ y c ] = 0 , (\displaystyle L=0,) o astfel de suprapunere este într-adevăr solutie comuna.

   D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = f (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d)) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+a (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=f(x))
   

   Metoda coeficienților nedeterminați. Metoda coeficienților nedeterminați este utilizată în cazurile în care termenul liber este o combinație de exponențial, trigonometric, hiperbolic sau funcții de putere. Doar aceste funcții sunt garantate a avea un număr finit de derivate liniar independente. În această secțiune, vom găsi o soluție particulară a ecuației.

   • Comparați termenii din f (x) (\displaystyle f(x)) cu termeni în ignorarea factorilor constanţi. Sunt posibile trei cazuri.
     • Nu există membri identici.În acest caz, o soluție specială y p (\displaystyle y_(p)) va fi o combinație liniară de termeni din y p (\displaystyle y_(p))
     • f (x) (\displaystyle f(x)) conţine membru x n (\displaystyle x^(n)) și un membru din y c , (\displaystyle y_(c),) Unde n (\displaystyle n) este zero sau un întreg pozitiv, iar acest termen corespunde unei singure rădăcini a ecuației caracteristice.În acest caz y p (\displaystyle y_(p)) va consta dintr-o combinație a funcției x n + 1 h (x) , (\displaystyle x^(n+1)h(x),) derivatele sale liniar independente, precum și alți termeni f (x) (\displaystyle f(x))și derivatele lor liniar independente.
     • f (x) (\displaystyle f(x)) conţine membru h (x) , (\displaystyle h(x),) care este o lucrare x n (\displaystyle x^(n)) și un membru din y c , (\displaystyle y_(c),) Unde n (\displaystyle n) este egal cu 0 sau un număr întreg pozitiv, iar acestui termen îi corespunde multiplu rădăcina ecuației caracteristice.În acest caz y p (\displaystyle y_(p)) este o combinație liniară a funcției x n + s h (x) (\displaystyle x^(n+s)h(x))(Unde s (\displaystyle s)- multiplicitatea rădăcinii) și derivatele sale liniar independente, precum și alți membri ai funcției f (x) (\displaystyle f(x))și derivatele sale liniar independente.
   • Să scriem y p (\displaystyle y_(p)) ca o combinație liniară a termenilor de mai sus. Datorită acestor coeficienți într-o combinație liniară aceasta metoda numită metoda coeficienților nedeterminați. La apariţia celor cuprinse în y c (\displaystyle y_(c)) membrii lor pot fi aruncați din cauza prezenței constantelor arbitrare în Y c . (\displaystyle y_(c).) După aceea înlocuim y p (\displaystyle y_(p))într-o ecuație și echivalează termeni similari.
   • Determinăm coeficienții. În această etapă, sistemul ecuații algebrice, care de obicei poate fi rezolvată fără probleme speciale. Soluția acestui sistem face posibilă obținerea y p (\displaystyle y_(p))și astfel rezolvăți ecuația.
   • Exemplul 2.3. Considerăm o ecuație diferențială neomogenă al cărei termen liber conține un număr finit de derivate liniar independente. O soluție particulară a unei astfel de ecuații poate fi găsită prin metoda coeficienților nedeterminați.
     • d 2 y d t 2 + 6 y = 2 e 3 t − cos ⁡ 5 t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )t^(2) ))+6y=2e^(3t)-\cos 5t)
     • y c (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t (\displaystyle y_(c)(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6))t+c_(2)\sin (\sqrt(6))t)
     • y p (t) = A e 3 t + B cos ⁡ 5 t + C sin ⁡ 5 t (\displaystyle y_(p)(t)=Ae^(3t)+B\cos 5t+C\sin 5t)
     • 9 A e 3 t − 25 B cos ⁡ 5 t − 25 C sin ⁡ 5 t + 6 A e 3 t + 6 B cos ⁡ 5 t + 6 C sin ⁡ 5 t = 2 e 3 t − cos ⁡ 5 t ( \displaystyle (\begin(aligned)9Ae^(3t)-25B\cos 5t&-25C\sin 5t+6Ae^(3t)\\&+6B\cos 5t+6C\sin 5t=2e^(3t)-\ cos 5t\end(aliniat)))
     • ( 9 A + 6 A = 2 , A = 2 15 − 25 B + 6 B = − 1 , B = 1 19 − 25 C + 6 C = 0 , C = 0 (\displaystyle (\begin(cases)9A+ 6A) =2,&A=(\dfrac (2)(15))\\-25B+6B=-1,&B=(\dfrac (1)(19))\\-25C+6C=0,&C=0 \ sfârșitul (cazurile)))
     • y (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t + 2 15 e 3 t + 1 19 cos ⁡ 5 t (\displaystyle y(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6) ))t+c_(2)\sin (\sqrt (6))t+(\frac (2)(15))e^(3t)+(\frac (1)(19))\cos 5t)

   Metoda Lagrange. Metoda Lagrange, sau metoda de variație a constantelor arbitrare, este o metodă mai generală de rezolvare a ecuațiilor diferențiale neomogene, mai ales în cazurile în care termenul liber nu conține un număr finit de derivate liniar independente. De exemplu, cu membri gratuiti bronz ⁡ x (\displaystyle \tan x) sau x − n (\displaystyle x^(-n)) pentru a găsi o anumită soluție, este necesar să folosiți metoda Lagrange. Metoda Lagrange poate fi folosită chiar și pentru a rezolva ecuații diferențiale cu coeficienți variabili, deși în acest caz, cu excepția ecuației Cauchy-Euler, este mai rar utilizată, deoarece soluția suplimentară nu este de obicei exprimată în termeni de funcții elementare.

   • Să presupunem că soluția are următoarea formă. Derivata sa este dată în a doua linie.
     • y (x) = v 1 (x) y 1 (x) + v 2 (x) y 2 (x) (\displaystyle y(x)=v_(1)(x)y_(1)(x)+v_ (2)(x)y_(2)(x))
     • y ′ = v 1 ′ y 1 + v 1 y 1 ′ + v 2 ′ y 2 + v 2 y 2 ′ (\displaystyle y"=v_(1)"y_(1)+v_(1)y_(1) „+v_(2)”y_(2)+v_(2)y_(2)”)
   • Întrucât soluția propusă conține Două cantități necunoscute, este necesar să se impună adiţional condiție. Alegem această condiție suplimentară în următoarea formă:
     • v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 (\displaystyle v_(1)"y_(1)+v_(2)"y_(2)=0)
     • y ′ = v 1 y 1 ′ + v 2 y 2 ′ (\displaystyle y"=v_(1)y_(1)"+v_(2)y_(2)")
     • y ″ = v 1 ′ y 1 ′ + v 1 y 1 ″ + v 2 ′ y 2 ′ + v 2 y 2 ″ (\displaystyle y""=v_(1)"y_(1)"+v_(1) y_(1)""+v_(2)"y_(2)"+v_(2)y_(2)"")
   • Acum putem obține a doua ecuație. După înlocuirea și redistribuirea membrilor, puteți grupa membrii cu v 1 (\displaystyle v_(1)) si membrii din v 2 (\displaystyle v_(2)). Acești termeni sunt anulați deoarece y 1 (\displaystyle y_(1))și y 2 (\displaystyle y_(2)) sunt soluții ale ecuației omogene corespunzătoare. Ca rezultat, obținem următorul sistem de ecuații
     • v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 v 1 ′ y 1 ′ + v 2 ′ y 2 ′ = f (x) (\displaystyle (\begin(aligned)v_(1))"y_(1)+ v_(2)"y_(2)&=0\\v_(1)"y_(1)"+v_(2)"y_(2)"&=f(x)\\\end(aliniat)))
   • Acest sistem poate fi transformat într-o ecuație matriceală de formă A x = b , (\displaystyle A(\mathbf (x) )=(\mathbf (b) ),) a cărui soluție este x = A − 1 b . (\displaystyle (\mathbf (x) )=A^(-1)(\mathbf (b) ).) Pentru matrice 2 × 2 (\displaystyle 2\times 2) matrice inversă se găsește prin împărțirea la determinant, permutarea elementelor diagonale și schimbarea semnului elementelor în afara diagonalei. De fapt, determinantul acestei matrice este un Wronskian.
     • (v 1 ′ v 2 ′) = 1 W (y 2 ′ − y 2 − y 1 ′ y 1) (0 f (x)) (\displaystyle (\begin(pmatrix)v_(1)"\\v_( 2)"\end(pmatrix))=(\frac (1)(W))(\begin(pmatrix)y_(2)"&-y_(2)\\-y_(1)"&y_(1)\ end(pmatrix))(\begin(pmatrix)0\\f(x)\end(pmatrix)))
   • Expresii pentru v 1 (\displaystyle v_(1))și v 2 (\displaystyle v_(2)) sunt enumerate mai jos. Ca și în metoda reducerii ordinului, în acest caz apare o constantă arbitrară în timpul integrării, care include o soluție suplimentară în soluția generală a ecuației diferențiale.
     • v 1 (x) = − ∫ 1 W f (x) y 2 (x) d x (\displaystyle v_(1)(x)=-\int (\frac (1)(W))f(x)y_( 2)(x)(\mathrm (d) )x)
     • v 2 (x) = ∫ 1 W f (x) y 1 (x) d x (\displaystyle v_(2)(x)=\int (\frac (1)(W))f(x)y_(1) (x)(\mathrm (d) )x)
   
   Prelegerea Universității Naționale Deschise Intuit intitulată „Ecuații diferențiale lineare de ordinul n-a cu coeficienți constanți”.

Uz practic

Ecuațiile diferențiale stabilesc o relație între o funcție și una sau mai multe dintre derivatele sale. Deoarece astfel de relații sunt atât de comune, ecuațiile diferențiale au găsit o aplicație largă într-o mare varietate de domenii și, deoarece trăim în patru dimensiuni, aceste ecuații sunt adesea ecuații diferențiale în privat derivate. Această secțiune discută unele dintre cele mai importante ecuații de acest tip.

• Creștere și decădere exponențială. dezintegrare radioactivă. Interes compus. Viteză reacții chimice. Concentrația de medicamente în sânge. Creștere nelimitată a populației. Legea Newton-Richmann. În lumea reală, există multe sisteme în care rata de creștere sau decădere la un moment dat este proporțională cu cantitatea de acest moment timp sau poate fi bine aproximat de model. Acest lucru se datorează faptului că soluția acestei ecuații diferențiale, funcția exponențială, este una dintre cele mai multe funcții importante la matematică și alte științe. Mai general, în condiții de creștere controlată a populației, sistemul poate include termeni suplimentari care limitează creșterea. În ecuația de mai jos, constanta k (\displaystyle k) poate fi mai mare sau mai mică decât zero.
  • d y d x = k x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=kx)
• Vibrații armonice. Atât în ​​mecanica clasică, cât și în cea cuantică, oscilatorul armonic este unul dintre cele mai importante sisteme fizice datorită simplității și aplicației sale extinse pentru aproximarea sistemelor mai complexe, cum ar fi un pendul simplu. În mecanica clasică, oscilațiile armonice sunt descrise printr-o ecuație care leagă poziția unui punct material de accelerația sa prin legea lui Hooke. În acest caz, pot fi luate în considerare și forțele de amortizare și de antrenare. În expresia de mai jos x ˙ (\displaystyle (\punct (x)))- derivată în timp a x , (\displaystyle x,) β (\displaystyle \beta) este un parametru care descrie forța de amortizare, ω 0 (\displaystyle \omega _(0))- frecvența unghiulară a sistemului, F (t) (\displaystyle F(t)) este o forță motrice dependentă de timp. Oscilatorul armonic este prezent și în circuitele oscilatoare electromagnetice, unde poate fi implementat cu o precizie mai mare decât în ​​sistemele mecanice.
  • x ¨ + 2 β x ˙ + ω 0 2 x = F (t) (\displaystyle (\ddot (x))+2\beta (\dot (x))+\omega _(0)^(2)x =F(t))
• Ecuația Bessel. Ecuația diferențială Bessel este utilizată în multe domenii ale fizicii, inclusiv soluția ecuației de undă, ecuația Laplace și ecuația Schrödinger, în special în prezența simetriei cilindrice sau sferice. Această ecuație diferențială de ordinul doi cu coeficienți variabili nu este o ecuație Cauchy-Euler, deci soluțiile sale nu pot fi scrise ca funcții elementare. Soluțiile ecuației Bessel sunt funcțiile Bessel, care sunt bine studiate datorită faptului că sunt utilizate în multe domenii. În expresia de mai jos α (\displaystyle \alpha) este o constantă care se potrivește Ordin Funcțiile Bessel.
  • x 2 d 2 y d x 2 + x d y d x + (x 2 − α 2) y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) ) )x^(2)))+x(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+(x^(2)-\alpha ^(2)) y=0)
• Ecuațiile lui Maxwell. Alături de forța Lorentz, ecuațiile lui Maxwell formează baza electrodinamicii clasice. Acestea sunt patru ecuații diferențiale parțiale pentru electric E (r , t) (\displaystyle (\mathbf (E) )((\mathbf (r) ),t))și magnetice B (r , t) (\displaystyle (\mathbf (B) )((\mathbf (r) ),t)) câmpuri. În expresiile de mai jos ρ = ρ (r , t) (\displaystyle \rho =\rho ((\mathbf (r) ),t))- densitatea de încărcare, J = J (r , t) (\displaystyle (\mathbf (J) )=(\mathbf (J) )((\mathbf (r) ),t)) este densitatea de curent și ϵ 0 (\displaystyle \epsilon _(0))și μ 0 (\displaystyle \mu _(0)) sunt constantele electrice și respectiv magnetice.
  • ∇ ⋅ E = ρ ϵ 0 ∇ ⋅ B = 0 ∇ × E = − ∂ B ∂ t ∇ × B = μ 0 J + μ 0 ϵ 0 ∂ E ∂ t (\displaystyle (\begin(aligned)\nabla) (\mathbf (E) )&=(\frac (\rho )(\epsilon _(0)))\\\nabla \cdot (\mathbf (B) )&=0\\\nabla \times (\mathbf (E) )&=-(\frac (\partial (\mathbf (B) ))(\partial t))\\\nabla \times (\mathbf (B) )&=\mu _(0)(\ mathbf (J) )+\mu _(0)\epsilon _(0)(\frac (\partial (\mathbf (E) ))(\partial t))\end(aligned)))
• Ecuația Schrödinger.În mecanica cuantică, ecuația Schrödinger este ecuația de bază a mișcării care descrie mișcarea particulelor în conformitate cu schimbarea funcției de undă. Ψ = Ψ (r , t) (\displaystyle \Psi =\Psi ((\mathbf (r) ),t)) cu timpul. Ecuația mișcării este descrisă de comportament Hamiltonian H ^ (\displaystyle (\pălărie(H))) - operator, care descrie energia sistemului. Unul dintre exemplele binecunoscute ale ecuației Schrödinger în fizică este ecuația pentru o particulă non-relativistă, care este supusă potențialului V (r, t) (\displaystyle V((\mathbf (r)),t)). Multe sisteme sunt descrise de ecuația Schrödinger dependentă de timp, cu ecuația în partea stângă E Ψ , (\displaystyle E\Psi ,) Unde E (\displaystyle E) este energia particulei. În expresiile de mai jos ℏ (\displaystyle \hbar ) este constanta Planck redusă.
  • eu ℏ ∂ Ψ ∂ t = H ^ Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\partial \Psi )(\partial t))=(\hat (H))\Psi )
  • i ℏ ∂ Ψ ∂ t = (− ℏ 2 2 m ∇ 2 + V (r , t)) Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\partial \Psi )(\partial t))=\left(- (\frac (\hbar ^(2))(2m))\nabla ^(2)+V((\mathbf (r) ),t)\right)\Psi )
• ecuația de undă. Este imposibil să ne imaginăm fizica și tehnologia fără valuri, ele sunt prezente în toate tipurile de sisteme. În general, undele sunt descrise de ecuația de mai jos, în care u = u (r, t) (\displaystyle u=u((\mathbf (r)),t)) este funcția dorită și c (\displaystyle c)- constantă determinată experimental. d'Alembert a fost primul care a descoperit că pentru cazul unidimensional soluția ecuației de undă este orice funcția cu argument x − c t (\displaystyle x-ct), care descrie o undă arbitrară care se propagă spre dreapta. Soluția generală pentru cazul unidimensional este o combinație liniară a acestei funcții cu o a doua funcție cu un argument x + c t (\displaystyle x+ct), care descrie o undă care se propagă spre stânga. Această soluție este prezentată în a doua linie.
  • ∂ 2 u ∂ t 2 = c 2 ∇ 2 u (\displaystyle (\frac (\partial ^(2)u)(\partial t^(2)))=c^(2)\nabla ^(2)u )
  • u (x , t) = f (x - c t) + g (x + c t) (\displaystyle u(x,t)=f(x-ct)+g(x+ct))
• Ecuații Navier-Stokes. Ecuațiile Navier-Stokes descriu mișcarea fluidelor. Deoarece fluidele sunt prezente practic în fiecare domeniu al științei și tehnologiei, aceste ecuații sunt extrem de importante pentru predicția vremii, proiectarea aeronavelor, curenții oceanici și multe alte aplicații. Ecuațiile Navier-Stokes sunt ecuații diferențiale parțiale neliniare, iar în majoritatea cazurilor este foarte dificil de rezolvat, deoarece neliniaritatea duce la turbulențe, iar pentru a obține o soluție stabilă prin metode numerice, împărțirea în foarte mici. celulele este necesară, ceea ce necesită o putere de calcul semnificativă. În scopuri practice în hidrodinamică, metode precum media timpului sunt folosite pentru a modela curgerile turbulente. Chiar și mai multe întrebări de bază, cum ar fi existența și unicitatea soluțiilor pentru ecuațiile diferențiale parțiale neliniare, sunt probleme complexe, iar demonstrarea existenței și unicității soluțiilor pentru ecuațiile Navier-Stokes în trei dimensiuni este printre problemele matematice ale mileniului. . Mai jos sunt ecuația de curgere a fluidului incompresibil și ecuația de continuitate.
  • ∂ u ∂ t + (u ⋅ ∇) u − ν ∇ 2 u = − ∇ h , ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ (ρ u) = 0 (\displaystyle (\frac (\partial (\mathbf (u)))) )(\partial t))+((\mathbf (u) )\cdot \nabla)(\mathbf (u) )-\nu \nabla ^(2)(\mathbf (u) )=-\nabla h, \quad (\frac (\partial \rho )(\partial t))+\nabla \cdot (\rho (\mathbf (u) ))=0)

• Multe ecuații diferențiale pur și simplu nu pot fi rezolvate prin metodele de mai sus, în special cele menționate în ultima secțiune. Acest lucru se aplică atunci când ecuația conține coeficienți variabili și nu este o ecuație Cauchy-Euler sau când ecuația este neliniară, cu excepția câtorva cazuri foarte rare. Cu toate acestea, metodele de mai sus vă permit să rezolvați multe ecuații diferențiale importante care sunt adesea întâlnite în diferite domenii ale științei.
• Spre deosebire de diferențiere, care vă permite să găsiți derivata oricărei funcții, integrala multor expresii nu poate fi exprimată în funcții elementare. Prin urmare, nu pierdeți timpul încercând să calculați integrala acolo unde este imposibil. Uită-te la tabelul integralelor. Dacă soluția unei ecuații diferențiale nu poate fi exprimată în termeni de funcții elementare, uneori poate fi reprezentată în formă integrală, iar în acest caz nu contează dacă această integrală poate fi calculată analitic.

Avertizări

• Aspect ecuația diferențială poate induce în eroare. De exemplu, mai jos sunt două ecuații diferențiale de ordinul întâi. Prima ecuație este ușor de rezolvat folosind metodele descrise în acest articol. La prima vedere, o schimbare minoră y (\displaystyle y) pe y 2 (\displaystyle y^(2))în a doua ecuație o face neliniară și devine foarte greu de rezolvat.
  • d y d x = x 2 + y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=x^(2)+y)
  • d y d x = x 2 + y 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=x^(2)+y^(2))

Rezolvarea ecuațiilor diferențiale. Mulțumiri noastre serviciu online puteți rezolva ecuații diferențiale de orice fel și complexitate: neomogene, omogene, neliniare, liniare, de ordinul întâi, al doilea, cu sau fără variabile separabile etc. Obțineți soluția ecuațiilor diferențiale într-o formă analitică cu o descriere detaliată. Mulți sunt interesați de: de ce este necesar să se rezolve ecuații diferențiale online? Acest tip de ecuații este foarte frecvent în matematică și fizică, unde va fi imposibil să rezolvi multe probleme fără a calcula ecuația diferențială. De asemenea, ecuațiile diferențiale sunt comune în economie, medicină, biologie, chimie și alte științe. Rezolvarea unei astfel de ecuații online vă facilitează foarte mult sarcinile, face posibilă înțelegerea mai bună a materialului și testarea dvs. Beneficiile rezolvării ecuațiilor diferențiale online. Un site modern de servicii matematice vă permite să rezolvați ecuații diferențiale online de orice complexitate. După cum știți, există un număr mare de tipuri de ecuații diferențiale și fiecare dintre ele are propriile soluții. Pe serviciul nostru puteți găsi online soluția ecuațiilor diferențiale de orice ordine și tip. Pentru a obține o soluție, vă sugerăm să completați datele inițiale și să faceți clic pe butonul „Soluție”. Sunt excluse erorile în funcționarea serviciului, astfel încât puteți fi 100% sigur că ați primit răspunsul corect. Rezolvați ecuații diferențiale cu serviciul nostru. Rezolvați ecuații diferențiale online. În mod implicit, într-o astfel de ecuație, funcția y este o funcție a variabilei x. Dar vă puteți seta, de asemenea, propria desemnare a variabilei. De exemplu, dacă specificați y(t) într-o ecuație diferențială, atunci serviciul nostru va determina automat că y este o funcție a variabilei t. Ordinea întregii ecuații diferențiale va depinde de ordinea maximă a derivatei funcției prezente în ecuație. A rezolva o astfel de ecuație înseamnă a găsi funcția necesară. Serviciul nostru vă va ajuta să rezolvați ecuații diferențiale online. Nu este nevoie de mult efort din partea ta pentru a rezolva ecuația. Trebuie doar să introduceți părțile din stânga și din dreapta ale ecuației în câmpurile necesare și să faceți clic pe butonul „Soluție”. Când introduceți derivata unei funcții, este necesar să o notați cu un apostrof. În câteva secunde, veți avea o soluție detaliată gata făcută pentru ecuația diferențială. Serviciul nostru este absolut gratuit. Ecuații diferențiale cu variabile separabile. Dacă într-o ecuație diferențială din stânga există o expresie care depinde de y, iar pe partea dreaptă există o expresie care depinde de x, atunci o astfel de ecuație diferențială se numește cu variabile separabile. Pe partea stângă poate exista o derivată a lui y, soluția ecuațiilor diferențiale de acest fel va fi sub forma unei funcții a lui y, exprimată prin integrala părții drepte a ecuației. Dacă există o diferență a unei funcții a lui y în partea stângă, atunci ambele părți ale ecuației sunt integrate. Când variabilele dintr-o ecuație diferențială nu sunt separate, ele vor trebui împărțite pentru a obține o ecuație diferențială separată. Ecuație diferențială liniară. O ecuație diferențială se numește liniară dacă funcția și toate derivatele ei sunt de gradul întâi. Forma generală ecuații: y'+a1(x)y=f(x). f(x) și a1(x) sunt funcții continue ale lui x. Soluția ecuațiilor diferențiale de acest tip se reduce la integrarea a două ecuații diferențiale cu variabile separate. Ordinea ecuației diferențiale. Ecuația diferențială poate fi de ordinul întâi, al doilea, al n-a. Ordinea unei ecuații diferențiale determină ordinea celei mai mari derivate conținute în ea. În serviciul nostru puteți rezolva ecuații diferențiale mai întâi online, al doilea, al treilea etc. Ordin. Soluția ecuației va fi orice funcție y=f(x), înlocuind-o în ecuație, veți obține o identitate. Procesul de găsire a unei soluții la o ecuație diferențială se numește integrare. Problema Cauchy. Dacă, pe lângă ecuația diferențială în sine, este specificată condiția inițială y(x0)=y0, atunci aceasta se numește problema Cauchy. Indicatorii y0 și x0 se adaugă la soluția ecuației și se determină valoarea unei constante arbitrare C și apoi o soluție particulară a ecuației pentru această valoare a lui C. Aceasta este soluția problemei Cauchy. Problema Cauchy se mai numește și o problemă cu condiții la limită, care este foarte comună în fizică și mecanică. Aveți și posibilitatea de a stabili problema Cauchy, adică din toate soluțiile posibile ale ecuației, alegeți una anume care îndeplinește condițiile inițiale date.

Astăzi, una dintre cele mai importante abilități pentru orice specialist este capacitatea de a rezolva ecuații diferențiale. Rezolvarea ecuațiilor diferențiale - nici o singură sarcină aplicată nu poate face fără aceasta, fie că este vorba de calculul oricărui parametru fizic sau de modelarea modificărilor ca urmare a politicii macroeconomice adoptate. Aceste ecuații sunt, de asemenea, importante pentru o serie de alte științe, cum ar fi chimia, biologia, medicina etc. Mai jos vom da un exemplu de utilizare a ecuațiilor diferențiale în economie, dar înainte de asta vom vorbi pe scurt despre principalele tipuri de ecuații.

Ecuații diferențiale - cele mai simple tipuri

Înțelepții spuneau că legile universului nostru sunt scrise în limbaj matematic. Desigur, există multe exemple de diverse ecuații în algebră, dar acestea sunt în mare parte exemple educaționale care nu sunt aplicabile în practică. Matematica cu adevărat interesantă începe atunci când vrem să descriem procesele care au loc în viața reală. Dar cum să reflectăm factorul timp, care este supus unor procese reale - inflație, producție sau indicatori demografici?

Amintiți-vă o definiție importantă dintr-un curs de matematică referitoare la derivata unei funcții. Derivata este rata de schimbare a funcției, deci ne poate ajuta să reflectăm factorul timp în ecuație.

Adică compunem o ecuație cu o funcție care descrie indicatorul care ne interesează și adăugăm la ecuație derivata acestei funcții. Aceasta este ecuația diferențială. Acum să trecem la cel mai simplu tipuri de ecuații diferențiale pentru manechine.

Cea mai simplă ecuație diferențială are forma $y'(x)=f(x)$, unde $f(x)$ este o funcție și $y'(x)$ este derivata sau rata de schimbare a funcției dorite . Se rezolvă prin integrare obișnuită: $$y(x)=\int f(x)dx.$$

Al doilea cel mai simplu tip se numește ecuație diferențială separabilă. O astfel de ecuație arată astfel $y’(x)=f(x)\cdot g(y)$. Se poate observa că variabila dependentă $y$ este, de asemenea, parte a funcției construite. Ecuația se rezolvă foarte simplu - trebuie să „separați variabilele”, adică să o aduceți la forma $y'(x)/g(y)=f(x)$ sau $dy/g(y)= f(x)dx$. Rămâne să integrăm ambele părți $$\int \frac(dy)(g(y))=\int f(x)dx$$ - aceasta este soluția unei ecuații diferențiale de tip separabil.

Ultimul tip simplu este ecuația diferențială liniară de ordinul întâi. Are forma $y'+p(x)y=q(x)$. Aici $p(x)$ și $q(x)$ sunt câteva funcții, iar $y=y(x)$ este funcția dorită. Pentru a rezolva o astfel de ecuație, sunt deja utilizate metode speciale (metoda Lagrange de variație a unei constante arbitrare, metoda substituției Bernoulli).

Există tipuri mai complexe de ecuații - ecuații de ordin al doilea, al treilea și în general arbitrar, ecuații omogene și neomogene, precum și sisteme de ecuații diferențiale. Pentru a le rezolva, aveți nevoie de pregătire preliminară și experiență în rezolvarea unor probleme mai simple.

De mare importanță pentru fizică și, în mod surprinzător, finanțe sunt așa-numitele ecuații cu diferențe parțiale. Aceasta înseamnă că funcția dorită depinde de mai multe variabile în același timp. De exemplu, ecuația Black-Scholes din domeniul ingineriei financiare descrie valoarea unei opțiuni (de forma Securitate) în funcție de rentabilitatea acesteia, de valoarea plăților, precum și de momentul începerii și încheierii plăților. Rezolvarea unei ecuații diferențiale parțiale este destul de complicată, de obicei trebuie să utilizați programe speciale precum Matlab sau Maple.

Un exemplu de aplicare a unei ecuații diferențiale în economie

Dăm, așa cum am promis, un exemplu simplu de rezolvare a unei ecuații diferențiale. Să stabilim mai întâi sarcina.

Pentru o firmă, funcția venitului marginal din vânzarea produselor sale are forma $MR=10-0,2q$. Aici $MR$ este venitul marginal al firmei și $q$ este producția. Trebuie să aflăm venitul total.

După cum se poate vedea din problemă, acesta este un exemplu aplicat din microeconomie. Multe firme și întreprinderi se confruntă în mod constant cu astfel de calcule în cursul activităților lor.

Să ajungem la soluție. După cum se știe din microeconomie, venitul marginal este un derivat al venitului total, iar venitul este zero la vânzări zero.

Din punct de vedere matematic, problema s-a redus la rezolvarea ecuației diferențiale $R’=10-0,2q$ în condiția $R(0)=0$.

Integram ecuatia, luand functia antiderivata a ambelor parti, obtinem solutia generala: $$R(q) = \int (10-0,2q)dq = 10 q-0,1q^2+C. $$

Pentru a găsi constanta $C$, amintiți-vă condiția $R(0)=0$. Înlocuiește: $$R(0) =0-0+C = 0. $$ Deci C=0 și funcția noastră de venit total devine $R(q)=10q-0,1q^2$. Problema rezolvata.

Alte exemple pentru tipuri diferite DU-urile sunt colectate pe pagina:

Instituția de învățământ „Statul Belarus

Academia Agricolă"

Catedra de Matematică Superioară

ECUAȚII DIFERENȚIALE DE ORDIN I

Rezumatul cursului pentru studenții contabili

formă de educație prin corespondență (NISPO)

Gorki, 2013

Ecuații diferențiale de ordinul întâi

Conceptul de ecuație diferențială. Soluții generale și particulare

Când se studiază diverse fenomene, adesea nu este posibil să se găsească o lege care să conecteze direct variabila independentă și funcția dorită, dar este posibil să se stabilească o legătură între funcția dorită și derivatele acesteia.

Se numește relația care leagă variabila independentă, funcția dorită și derivatele acesteia ecuație diferențială :

Aici X este o variabilă independentă, y este funcția dorită,
sunt derivatele funcției dorite. În acest caz, relația (1) necesită prezența a cel puțin unei derivate.

Ordinea ecuației diferențiale este ordinul celei mai mari derivate din ecuație.

Luați în considerare ecuația diferențială

. (2)

Deoarece această ecuație include o derivată doar de ordinul întâi, atunci se numește este o ecuație diferențială de ordinul întâi.

Dacă ecuația (2) poate fi rezolvată în raport cu derivata și scrisă ca

, (3)

atunci o astfel de ecuație se numește ecuație diferențială de ordinul întâi în formă normală.

În multe cazuri, este oportun să se ia în considerare o ecuație de formă

Care e numit o ecuație diferențială de ordinul întâi scrisă sub formă diferențială.

pentru că
, atunci ecuația (3) poate fi scrisă ca
sau
, unde se poate număra
și
. Aceasta înseamnă că ecuația (3) a fost convertită în ecuația (4).

Scriem ecuația (4) sub forma
. Apoi
,
,
, unde se poate număra
, adică se obţine o ecuaţie de forma (3). Astfel, ecuațiile (3) și (4) sunt echivalente.

Prin rezolvarea ecuației diferențiale (2) sau (3) se apelează orice funcție
, care, la substituirea lui în ecuația (2) sau (3), o transformă într-o identitate:

sau
.

Procesul de găsire a tuturor soluțiilor unei ecuații diferențiale se numește ei integrare , și graficul soluției
se numește ecuație diferențială curbă integrală această ecuație.

Dacă soluţia ecuaţiei diferenţiale se obţine sub formă implicită
, atunci se numește integrală ecuație diferențială dată.

Solutie generala ecuația diferențială de ordinul întâi este o familie de funcții de forma
, în funcție de o constantă arbitrară DIN, fiecare dintre acestea fiind o soluție a ecuației diferențiale date pentru orice valoare admisibilă a unei constante arbitrare DIN. Astfel, ecuația diferențială are un număr infinit de soluții.

Decizie privată ecuația diferențială se numește soluție obținută din formula soluției generale pentru o anumită valoare a unei constante arbitrare DIN, inclusiv
.

Problema lui Cauchy și ea interpretare geometrică

Ecuația (2) are un număr infinit de soluții. Pentru a identifica o soluție din acest set, care se numește o soluție particulară, trebuie specificate câteva condiții suplimentare.

Se numește problema găsirii unei anumite soluții la ecuația (2) în condiții date Problema Cauchy . Această problemă este una dintre cele mai importante în teoria ecuațiilor diferențiale.

Problema Cauchy este formulată astfel: dintre toate soluțiile ecuației (2) găsiți o astfel de soluție
, în care funcția
ia o valoare numerică dată dacă variabila independentă X ia o valoare numerică dată , adică

,
, (5)

Unde D este domeniul funcției
.

Sens numit valoarea inițială a funcției , A – valoarea initiala a variabilei independente . Se numește condiția (5). condiția inițială sau Starea Cauchy .

Din punct de vedere geometric, problema Cauchy pentru ecuația diferențială (2) poate fi formulată după cum urmează: din multimea curbelor integrale ale ecuatiei (2) selectati-o pe cea care trece printr-un punct dat
.

Ecuații diferențiale cu variabile separabile

Unul dintre cele mai simple tipuri de ecuații diferențiale este o ecuație diferențială de ordinul întâi care nu conține funcția dorită:

. (6)

Dat fiind
, scriem ecuația sub forma
sau
. Integrând ambele părți ale ultimei ecuații, obținem:
sau

. (7)

Astfel, (7) este o soluție generală a ecuației (6).

Exemplul 1 . Aflați soluția generală a ecuației diferențiale
.

Soluţie . Scriem ecuația sub forma
sau
. Integram ambele părți ale ecuației rezultate:
,
. Să scriem în sfârșit
.

Exemplul 2 . Găsiți o soluție pentru ecuație
cu conditia
.

Soluţie . Să găsim soluția generală a ecuației:
,
,
,
. După condiție
,
. Înlocuiți în soluția generală:
sau
. Inlocuim valoarea gasita a unei constante arbitrare in formula solutiei generale:
. Aceasta este soluția particulară a ecuației diferențiale care satisface condiția dată.

Ecuația

(8)

numit o ecuație diferențială de ordinul întâi care nu conține o variabilă independentă . O scriem sub formă
sau
. Integram ambele părți ale ultimei ecuații:
sau
- soluția generală a ecuației (8).

Exemplu . Găsiți o soluție generală a ecuației
.

Soluţie . Scriem această ecuație sub forma:
sau
. Apoi
,
,
,
. În acest fel,
este soluția generală a acestei ecuații.

Tip ecuație

(9)

integrat folosind separarea variabilelor. Pentru a face acest lucru, scriem ecuația sub forma
, iar apoi, folosind operațiile de înmulțire și împărțire, o aducem într-o astfel de formă încât o parte include doar funcția de X si diferential dx, iar în a doua parte - o funcție de la si diferential dy. Pentru a face acest lucru, ambele părți ale ecuației trebuie înmulțite cu dxși împărțiți la
. Ca rezultat, obținem ecuația

, (10)

în care variabilele Xși la separat. Integram ambele părți ale ecuației (10):
. Relația rezultată este integrala generală a ecuației (9).

Exemplul 3 . Ecuația de integrare
.

Soluţie . Transformați ecuația și separați variabilele:
,
. Să integrăm:
,
sau este integrala generală a acestei ecuații.
.

Fie dată ecuația sub forma

O astfel de ecuație se numește ecuație diferențială de ordinul întâi cu variabile separabile în formă simetrică.

Pentru a separa variabilele, ambele părți ale ecuației trebuie împărțite la
:

. (12)

Ecuația rezultată se numește ecuație diferențială separată . Integram ecuația (12):

.(13)

Relația (13) este o integrală generală a ecuației diferențiale (11).

Exemplul 4 . Integrați ecuația diferențială.

Soluţie . Scriem ecuația sub forma

și împărțiți ambele părți în
,
. Ecuația rezultată:
este o ecuație variabilă separată. Să-l integrăm:

,
,

,
. Ultima egalitate este integrala generală a ecuației diferențiale date.

Exemplul 5 . Găsiți o anumită soluție a unei ecuații diferențiale
, îndeplinind condiția
.

Soluţie . Dat fiind
, scriem ecuația sub forma
sau
. Să separăm variabilele:
. Să integrăm această ecuație:
,
,
. Relația rezultată este integrala generală a acestei ecuații. După condiție
. Înlocuiți în integrala generală și găsiți DIN:
,DIN=1. Apoi expresia
este o soluție particulară a ecuației diferențiale date, scrisă ca o integrală particulară.

Ecuații diferențiale liniare de ordinul întâi

Ecuația

(14)

numit ecuație diferențială liniară de ordinul întâi . functie necunoscuta
iar derivata ei intră liniar în această ecuație, iar funcțiile
și
continuu.

În cazul în care un
, apoi ecuația

(15)

numit liniar omogen . În cazul în care un
, atunci se numește ecuația (14). liniar neomogen .

Pentru a găsi o soluție la ecuația (14), se folosește de obicei metoda de substituție (Bernoulli) , a cărui esență este următoarea.

Soluția ecuației (14) va fi căutată sub forma unui produs a două funcții

, (16)

Unde
și
- unele functii continue. Substitui
și derivată
în ecuația (14):

Funcţie v vor fi alese în aşa fel încât condiţia
. Apoi
. Astfel, pentru a găsi o soluție la ecuația (14), este necesar să se rezolve sistemul de ecuații diferențiale

Prima ecuație a sistemului este o ecuație liniară omogenă și poate fi rezolvată prin metoda separării variabilelor:
,
,
,
,
. Ca o caracteristică
se poate lua una dintre soluțiile particulare ale ecuației omogene, adică. la DIN=1:
. Înlocuiți în a doua ecuație a sistemului:
sau
.Apoi
. Astfel, soluția generală a unei ecuații diferențiale liniare de ordinul întâi are forma
.

Exemplul 6 . rezolva ecuatia
.

Soluţie . Vom căuta soluția ecuației sub forma
. Apoi
. Înlocuiți în ecuație:

sau
. Funcţie v alege în aşa fel încât egalitatea
. Apoi
. Rezolvăm prima dintre aceste ecuații prin metoda separării variabilelor:
,
,
,
,. Funcţie vÎnlocuiți în a doua ecuație:
,
,
,
. Soluția generală a acestei ecuații este
.

Întrebări pentru autocontrolul cunoștințelor

Ce este o ecuație diferențială?

Care este ordinea unei ecuații diferențiale?

Ce ecuație diferențială se numește ecuație diferențială de ordinul întâi?

Cum se scrie o ecuație diferențială de ordinul întâi în formă diferențială?

Care este soluția unei ecuații diferențiale?

Ce este o curbă integrală?

Care este soluția generală a unei ecuații diferențiale de ordinul întâi?

Care este o soluție particulară a unei ecuații diferențiale?

Cum este formulată problema Cauchy pentru o ecuație diferențială de ordinul întâi?

Care este interpretarea geometrică a problemei Cauchy?

Cum se scrie o ecuație diferențială cu variabile separabile în formă simetrică?

Care ecuație se numește ecuație diferențială liniară de ordinul întâi?

Ce metodă poate fi folosită pentru a rezolva o ecuație diferențială liniară de ordinul întâi și care este esența acestei metode?

Sarcini pentru munca independentă

Rezolvați ecuații diferențiale cu variabile separabile:

A)
; b)
;

în)
; G)
.

2. Rezolvați ecuații diferențiale liniare de ordinul întâi:

A)
; b)
; în)
;

G)
; e)
.