Uneori, în viață, există situații în care trebuie să vă adânciți în memorie în căutarea cunoștințelor școlare de mult uitate. De exemplu, trebuie să determinați suprafața unui teren de formă triunghiulară sau a venit rândul următoarei reparații într-un apartament sau o casă privată și trebuie să calculați cât material va fi nevoie. pentru o suprafata cu forma triunghiulara. A existat o perioadă în care ai putea rezolva o astfel de problemă în câteva minute, iar acum încerci cu disperare să-ți amintești cum să determini aria unui triunghi?

Nu trebuie să vă faceți griji pentru asta! La urma urmei, este destul de normal când creierul uman decide să schimbe cunoștințele neutilizate de mult timp undeva într-un colț îndepărtat, din care uneori nu este atât de ușor să le extragi. Pentru a nu fi nevoit să suferi cu căutarea cunoștințelor școlare uitate pentru a rezolva o astfel de problemă, acest articol conține diverse metode, care facilitează găsirea zonei dorite a triunghiului.

Este bine cunoscut faptul că un triunghi este un tip de poligon care este limitat la minimum număr posibil laturi. În principiu, orice poligon poate fi împărțit în mai multe triunghiuri conectând vârfurile sale cu segmente care nu îi intersectează laturile. Prin urmare, cunoscând triunghiul, puteți calcula aria aproape oricărei figuri.

Dintre toate triunghiurile posibile care apar în viață, se pot distinge următoarele tipuri particulare: și dreptunghiulare.

Cel mai simplu mod de a calcula aria unui triunghi este atunci când unul dintre colțurile acestuia este drept, adică în cazul unui triunghi dreptunghic. Este ușor de observat că este o jumătate de dreptunghi. Prin urmare, aria sa este egală cu jumătate din produsul laturilor, care formează un unghi drept între ele.

Dacă cunoaștem înălțimea unui triunghi, coborât de la unul dintre vârfurile sale pe latura opusă, și lungimea acestei laturi, care se numește bază, atunci aria se calculează ca jumătate din produsul înălțimii și bazei. Aceasta se scrie folosind următoarea formulă:

S = 1/2*b*h, în care

S este aria dorită a triunghiului;

b, h - respectiv, înălțimea și baza triunghiului.

Este atât de ușor să calculați aria unui triunghi isoscel, deoarece înălțimea va diviza latura opusă și poate fi măsurată cu ușurință. Dacă aria este determinată, atunci este convenabil să luați lungimea uneia dintre laturile care formează un unghi drept ca înălțime.

Toate acestea sunt cu siguranță bune, dar cum să determinați dacă unul dintre colțurile unui triunghi este drept sau nu? Dacă dimensiunea figurii noastre este mică, atunci puteți folosi un unghi de construcție, un triunghi de desen, o carte poștală sau alt obiect cu formă dreptunghiulară.

Dar dacă avem un triunghiular teren? În acest caz, procedați după cum urmează: numărați din partea de sus a propusului unghi drept pe o parte se măsoară în aceeași proporție un multiplu de distanță de 3 (30 cm, 90 cm, 3 m), iar pe cealaltă, un multiplu de distanță de 4 (40 cm, 160 cm, 4 m). Acum trebuie să măsurați distanța dintre punctele de capăt ale acestor două segmente. Dacă valoarea este un multiplu de 5 (50 cm, 250 cm, 5 m), atunci se poate argumenta că unghiul este corect.

Dacă valoarea lungimii fiecăreia dintre cele trei laturi ale figurii noastre este cunoscută, atunci aria triunghiului poate fi determinată folosind formula lui Heron. Pentru ca acesta să aibă o formă mai simplă, se folosește o nouă valoare, care se numește semiperimetru. Aceasta este suma tuturor laturilor triunghiului nostru, împărțite la jumătate. După ce se calculează semiperimetrul, puteți începe să determinați zona folosind formula:

S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)), unde

pătrat- Rădăcină pătrată;

p este valoarea semiperimetrului (p =(a+b+c)/2);

a, b, c - muchiile (laturile) triunghiului.

Dar dacă triunghiul are formă neregulată? Există două moduri posibile aici. Prima dintre acestea este să încercați să împărțiți o astfel de figură în două triunghiuri dreptunghiulare, a căror sumă a ariilor este calculată separat și apoi adăugată. Sau, dacă unghiul dintre cele două laturi și dimensiunea acestor laturi sunt cunoscute, atunci aplicați formula:

S = 0,5 * ab * sinC, unde

a,b - laturile triunghiului;

c este unghiul dintre aceste laturi.

Cel din urmă caz ​​este rar în practică, dar, cu toate acestea, totul este posibil în viață, așa că formula de mai sus nu va fi de prisos. Succes cu calculele tale!

Din vârful opus) și împarte produsul rezultat la doi. În formă arată astfel:

S = ½ * a * h,

Unde:
S este aria triunghiului,
a este lungimea laturii sale,
h este înălțimea coborâtă în această parte.

Lungimea laterală și înălțimea trebuie prezentate în aceleași unități. În acest caz, aria triunghiului se va dovedi în unitățile "" corespunzătoare.

Exemplu.
Pe una dintre laturile unui triunghi scalen de 20 cm lungime se coboară o perpendiculară de la vârful opus de 10 cm lungime.
Este necesară aria triunghiului.
Soluţie.
S = ½ * 20 * 10 = 100 (cm²).

Dacă cunoașteți lungimile oricăror două laturi ale unui triunghi scalen și unghiul dintre ele, atunci utilizați formula:

S = ½ * a * b * sinγ,

unde: a, b sunt lungimile a două laturi arbitrare, iar γ este unghiul dintre ele.

În practică, de exemplu, atunci când se măsoară terenul, utilizarea formulelor de mai sus este uneori dificilă, deoarece necesită construcții suplimentare și măsurarea unghiurilor.

Dacă cunoașteți lungimile tuturor celor trei laturi ale unui triunghi scalen, atunci utilizați formula lui Heron:

S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)),

a, b, c sunt lungimile laturilor triunghiului,
р – semiperimetru: p = (a+b+c)/2.

Dacă, pe lângă lungimile tuturor laturilor, este cunoscută raza cercului înscris în triunghi, atunci utilizați următoarea formulă compactă:

unde: r este raza cercului înscris (p este semiperimetrul).

Pentru a calcula aria unui triunghi scalen al cercului circumscris și lungimea laturilor acestuia, utilizați formula:

unde: R este raza cercului circumscris.

Dacă se cunoaște lungimea uneia dintre laturile triunghiului și a trei unghiuri (în principiu, două sunt suficiente - valoarea celui de-al treilea este calculată din egalitatea sumei celor trei unghiuri ale triunghiului - 180º), atunci utilizați formula:

S = (a² * sinβ * sinγ)/2sinα,

unde α este valoarea unghiului opus laturii a;
β, γ sunt valorile celor două unghiuri rămase ale triunghiului.

Necesitatea de a găsi diverse elemente, inclusiv zonă triunghi, a apărut cu multe secole înaintea erei noastre printre astronomi Grecia antică. Pătrat triunghi poate fi calculat căi diferite folosind formule diferite. Metoda de calcul depinde de ce elemente triunghi cunoscut.

Instruire

Dacă din condiție cunoaștem valorile celor două laturi b, c și unghiul format de acestea?, atunci aria triunghi ABC se găsește după formula:
S = (bcsin?)/2.

Dacă din condiție cunoaștem valorile celor două laturi a, b și unghiul neformat de acestea?, atunci aria triunghi ABC se găsește după cum urmează:
Găsirea unghiului?, păcat? = bsin? / a, mai departe pe tabel determinăm unghiul însuși.
Găsiți un unghi? = 180°-?-?.
Găsiți aria în sine S = (absin?)/2.

Dacă din condiție cunoaștem valorile doar a trei laturi triunghi a, b și c, apoi aria triunghi ABC se găsește după formula:
S = v(p(p-a)(p-b)(p-c)) , unde p este semiperimetrul p = (a+b+c)/2

Dacă din starea problemei știm înălțimea triunghi h și latura la care se coboară această înălțime, apoi zona triunghi ABC prin formula:
S = ah(a)/2 = bh(b)/2 = ch(c)/2.

Dacă știm valorile laturilor triunghi a, b, c și raza circumscrisului în apropierea dat triunghi R, apoi zona acesteia triunghi ABC este determinat de formula:
S = abc/4R.
Dacă sunt cunoscute trei laturi a, b, c și raza celor înscrise în, atunci aria triunghi ABC se găsește după formula:
S = pr, unde p este semiperimetrul, p = (a+b+c)/2.

Dacă ABC este echilateral, atunci aria se găsește cu formula:
S = (a^2v3)/4.
Dacă triunghiul ABC este isoscel, atunci aria este determinată de formula:
S = (cv(4a^2-c^2))/4, unde c este triunghi.
Dacă triunghiul ABC este un triunghi dreptunghic, atunci aria este determinată de formula:
S = ab/2, unde a și b sunt catete triunghi.
Dacă triunghiul ABC este un triunghi dreptunghic isoscel, atunci aria este determinată de formula:
S = c^2/4 = a^2/2, unde c este ipotenuza triunghi, a=b - picior.

Videoclipuri similare

Surse:

• cum se măsoară aria unui triunghi

Sfat 3: Cum să găsiți aria unui triunghi dacă cunoașteți unghiul

Cunoașterea unui singur parametru (valoarea unghiului) nu este suficientă pentru a găsi zona tre pătrat . Dacă există dimensiuni suplimentare, apoi pentru a determina zona, puteți alege una dintre formulele în care valoarea unghiului este folosită și ca una dintre variabilele cunoscute. Câteva dintre cele mai frecvent utilizate formule sunt enumerate mai jos.

Instruire

Dacă pe lângă unghiul (γ) format de cele două laturi tre pătrat , se cunosc de asemenea lungimile acestor laturi (A si B). pătrat Figurile (S) pot fi definite ca jumătate din produsul lungimilor laturilor și sinusul acestui unghi cunoscut: S=½×A×B×sin(γ).

Triunghiul este figură geometrică, care constă din trei linii care se unesc în puncte care nu se află pe aceeași linie. Punctele de legătură ale liniilor sunt vârfurile triunghiului, care sunt notate cu litere latine(de exemplu, A, B, C). Liniile drepte de legătură ale unui triunghi se numesc segmente, care sunt de obicei notate cu litere latine. Există următoarele tipuri de triunghiuri:

• Dreptunghiular.
• obtuz.
• Cu unghi acut.
• Versatil.
• Echilateral.
• Isoscel.

Formule generale pentru calcularea ariei unui triunghi

Formula ariei triunghiulare pentru lungime și înălțime

S=a*h/2,
unde a este lungimea laturii triunghiului a cărui zonă se găsește, h este lungimea înălțimii trasate la bază.

Formula lui Heron

S=√p*(p-a)*(p-b)*(p-c),
unde √ este rădăcina pătrată, p este semiperimetrul triunghiului, a,b,c este lungimea fiecărei laturi a triunghiului. Semiperimetrul unui triunghi poate fi calculat folosind formula p=(a+b+c)/2.

Formula pentru aria unui triunghi în ceea ce privește unghiul și lungimea segmentului

S = (a*b*sin(α))/2,
Unde b,c este lungimea laturilor triunghiului, sin (α) este sinusul unghiului dintre cele două laturi.

Formula pentru aria unui triunghi având în vedere raza cercului înscris și trei laturi

S=p*r,
unde p este semiperimetrul triunghiului a cărui zonă se află, r este raza cercului înscris în acest triunghi.

Formula pentru aria unui triunghi date trei laturi și raza unui cerc circumscris în jurul lui

S= (a*b*c)/4*R,
unde a,b,c este lungimea fiecărei laturi a triunghiului, R este raza cercului circumscris triunghiului.

Formula pentru aria unui triunghi în coordonatele carteziene ale punctelor

Coordonatele carteziene ale punctelor sunt coordonate în sistemul xOy, unde x este abscisa și y este ordonată. Sistemul de coordonate carteziene xOy pe un plan se numește axe numerice reciproc perpendiculare Ox și Oy cu un punct de referință comun în punctul O. Dacă coordonatele punctelor din acest plan sunt date sub forma A (x1, y1), B (x2, y2) și C (x3, y3 ), atunci puteți calcula aria unui triunghi folosind următoarea formulă, care se obține din produs vectorial doi vectori.
S = |(x1 – x3) (y2 – y3) – (x2 – x3) (y1 – y3)|/2,
unde || reprezintă modul.

Cum să găsiți aria unui triunghi dreptunghic

Un triunghi dreptunghic este un triunghi care are un unghi de 90 de grade. Un triunghi poate avea doar un astfel de unghi.

Formula pentru aria unui triunghi dreptunghic pe două catete

S=a*b/2,
unde a,b este lungimea picioarelor. Picioarele se numesc laturile adiacente unghiului drept.

Formula pentru aria unui triunghi dreptunghic având în vedere ipotenuza și unghiul ascuțit

S = a*b*sin(α)/ 2,
unde a, b sunt catetele triunghiului, iar sin(α) este sinusul unghiului la care se intersectează liniile a, b.

Formula pentru aria unui triunghi dreptunghic după catete și unghi opus

S = a*b/2*tg(β),
unde a, b sunt catetele triunghiului, tg(β) este tangenta unghiului la care catetele a, b sunt conectate.

Cum se calculează aria unui triunghi isoscel

Un triunghi isoscel este unul care are două laturi egale. Aceste laturi se numesc laturi, iar cealalta parte este baza. Puteți utiliza una dintre următoarele formule pentru a calcula aria unui triunghi isoscel.

Formula de bază pentru calcularea ariei unui triunghi isoscel

S=h*c/2,
unde c este baza triunghiului, h este înălțimea triunghiului coborât la bază.

Formula unui triunghi isoscel pe latura laterală și pe bază

S=(c/2)* √(a*a – c*c/4),
unde c este baza triunghiului, a este valoarea uneia dintre laturile triunghiului isoscel.

Cum să găsiți aria unui triunghi echilateral

Un triunghi echilateral este un triunghi în care toate laturile sunt egale. Pentru a calcula aria unui triunghi echilateral, puteți folosi următoarea formulă:
S = (√3*a*a)/4,
unde a este lungimea laturii unui triunghi echilateral.

Formulele de mai sus vă vor permite să calculați aria necesară a triunghiului. Este important de reținut că, pentru a calcula distanța dintre triunghiuri, trebuie să țineți cont de tipul de triunghi și de datele disponibile care pot fi utilizate pentru calcul.

Unele dintre sarcinile în geometrie, sau mai precis, în planimetrie, necesită găsirea ariei unei figuri date. Aria oricărei figuri poate fi atât scopul final al problemei, cât și un calcul intermediar necesar pentru înlocuirea într-o formulă mai complexă. Adesea, în astfel de probleme, li se cere să găsească aria unui triunghi. Datele inițiale pot fi diferite. În unele cazuri, sunt cunoscute o parte a triunghiului și valoarea înălțimii trasate la acesta, în altele - perimetrul triunghiului și așa mai departe.

Să presupunem că vi se cere să găsiți aria unui triunghi dacă sunt cunoscute trei laturi. Formula lui Heron este folosită pentru a găsi aria unui astfel de triunghi. Pentru a determina aria folosind această formulă, trebuie mai întâi să calculați semiperimetrul triunghiului (n). Cunoscând semnificațiile tuturor celor trei părți, este elementar să faceți acest lucru. Trebuie să însumați toate laturile triunghiului - acesta va fi perimetrul acestuia, apoi împărțiți valoarea rezultată la două. După aceea, este necesar să scădem din valoarea semiperimetrului, la rândul său, valorile lungimii fiecăreia dintre cele trei laturi date ale triunghiului, adică scădeți a din n, apoi scădeți b din n și, în cele din urmă, scădeți c din n.

Cele trei diferențe obținute trebuie înmulțite între ele și acest produs trebuie înmulțit din nou cu valoarea semiperimetrului. După ce a efectuat toate acțiunile de mai sus și a primit rezultatul înmulțirii, este necesar să extrageți rădăcina pătrată din acest rezultat. Numărul care se va obține după extragerea rădăcinii pătrate va fi aria triunghiului dat. Pe scurt, formula pentru aria unui triunghi va fi: aria (S) \u003d rădăcină pătrată a (n * (n-a) * (n-b) * (n-s)) . După cum se poate înțelege din formulă, problema găsirii unui triunghi cu valori cunoscute ale laturilor este foarte ușor de rezolvat.

De exemplu, cum să găsiți aria unui triunghi dacă sunt cunoscute 3 laturi: latura a este de 3 centimetri, latura b este de 4 centimetri și latura c este de 2 centimetri. Perimetrul acestui triunghi va fi egal cu a + b + c \u003d 3 centimetri + 4 centimetri + 2 centimetri \u003d 9 cm. Deci, semi-perimetrul este 9: 2 \u003d 4,5 centimetri Obținem: S \u003d rădăcină pătrată de (4,5 centimetri * (4,5 centimetri - 3 centimetri) * (4,5 centimetri - 4 centimetri) * (4,5 centimetri - 2 centimetri)) = 2,9 centimetri pătrați

Dar ce se întâmplă dacă valorile laturilor nu numai că sunt cunoscute, dar este, de asemenea, indicat că sunt egale în funcție de starea problemei? În acest caz, cum să găsiți aria unui triunghi dacă toate laturile sunt cunoscute și, de asemenea, sunt egale? Desigur, îl puteți calcula și folosind formula Heron discutată mai sus, dar de ce calcule suplimentare dacă se derivă o altă formulă pentru un astfel de triunghi, ceea ce este mult formule mai simple Stârc. Conform acestei formule, trebuie mai întâi să calculați rădăcina pătrată a numărului 3, apoi să creșteți valoarea lungimii laturii triunghiului la a doua putere, să înmulțiți această valoare la a doua putere cu rădăcina numărului 3 și Împărțiți produsul obținut în urma înmulțirii cu numărul 4. Obțineți aria triunghiului dat . Când este scrisă, această formulă arată astfel: S=(a^2*rădăcină(3)) /4

Să fie un triunghi cu aceeași lungime a laturii egală cu 3 centimetri. Folosind această formulă, puteți obține aria unui astfel de triunghi: S \u003d (3 ^ 2 * rădăcină (3)) / 4 \u003d 3,9 centimetri pătrați. Pentru a verifica dacă valoarea ariei unui anumit triunghi este calculată corect sau nu, puteți efectua calcule suplimentare folosind formula Heron și compara rezultatele.

Semi-perimetru (p) \u003d (3 + 3 + 3) / 2 \u003d 4,5 centimetri. Conform formulei lui Heron este: S \u003d rădăcină pătrată de (4,5 centimetri * (4,5 centimetri - 3 centimetri) * (4,5 centimetri - 3 centimetri) * (4,5 centimetri - 3 centimetri)) \u003d 3,9 centimetri pătrați. Ambele valori ale zonei găsite prin diferite formule coincid. Deci aria triunghiului este corectă. Când rezolvați orice alte probleme, ar trebui să luați în considerare datele din condiție și să utilizați formula corespunzătoare acestor date.

Aria unui triunghi - formule și exemple de rezolvare a problemelor

Mai jos sunt formule pentru găsirea ariei unui triunghi arbitrar care sunt potrivite pentru găsirea ariei oricărui triunghi, indiferent de proprietățile, unghiurile sau dimensiunile acestuia. Formulele sunt prezentate sub forma unei imagini, aici sunt explicații pentru aplicarea sau justificarea corectitudinii lor. De asemenea, o figură separată arată corespondența simbolurilor literelor din formule și a simbolurilor grafice din desen.

Notă . Dacă triunghiul are proprietăți speciale (izoscel, dreptunghiular, echilateral), puteți utiliza formulele de mai jos, precum și formule speciale care sunt valabile numai pentru triunghiuri cu aceste proprietăți:

• „Formulele pentru aria unui triunghi echilateral”

Formulele ariei triunghiulare

Explicații pentru formule:
a, b, c- lungimile laturilor triunghiului a cărui arie dorim să aflăm
r- raza cercului înscris în triunghi
R- raza cercului circumscris în jurul triunghiului
h- inaltimea triunghiului, coborat in lateral
p- semiperimetrul unui triunghi, 1/2 din suma laturilor acestuia (perimetrul)
α - unghiul opus laturii a a triunghiului
β - unghiul opus laturii b a triunghiului
γ - unghiul opus laturii c a triunghiului
h A, h b , h c- înălțimea triunghiului, coborâtă pe latura a, b, c

Vă rugăm să rețineți că notația dată corespunde figurii de mai sus, astfel încât atunci când rezolvați o problemă reală de geometrie, v-ar fi mai ușor să înlocuiți vizual în locuri potrivite formule valori corecte.

• Aria triunghiului este jumătate din produsul înălțimii unui triunghi și lungimea laturii pe care se coboară această înălțime(Formula 1). Corectitudinea acestei formule poate fi înțeleasă logic. Înălțimea coborâtă la bază va împărți un triunghi arbitrar în două dreptunghiulare. Dacă completăm fiecare dintre ele într-un dreptunghi cu dimensiunile b și h, atunci, evident, aria acestor triunghiuri va fi egală cu exact jumătate din aria dreptunghiului (Spr = bh)
• Aria triunghiului este jumătate din produsul celor două laturi ale sale și sinusul unghiului dintre ele(Formula 2) (vezi un exemplu de rezolvare a unei probleme folosind această formulă mai jos). În ciuda faptului că pare diferit de precedentul, poate fi ușor transformat în el. Dacă coborâm înălțimea de la unghiul B la latura b, rezultă că produsul laturii a și sinusul unghiului γ prin proprietățile sinusului în triunghi dreptunghic egală cu înălțimea triunghiului desenat de noi, care ne va da formula anterioară
• Aria unui triunghi arbitrar poate fi găsită prin muncă jumătate din raza unui cerc înscris în el prin suma lungimilor tuturor laturilor sale(Formula 3), cu alte cuvinte, trebuie să înmulțiți jumătatea perimetrului triunghiului cu raza cercului înscris (este mai ușor de reținut în acest fel)
• Aria unui triunghi arbitrar poate fi găsită prin împărțirea produsului tuturor laturilor sale la 4 raze ale cercului circumscris în jurul lui (Formula 4)
• Formula 5 este găsirea aria unui triunghi în funcție de lungimile laturilor și semiperimetrului său (jumătate din suma tuturor laturilor sale)
• Formula lui Heron(6) este o reprezentare a aceleiași formule fără a utiliza conceptul de semiperimetru, doar prin lungimile laturilor
• Aria unui triunghi arbitrar este egală cu produsul dintre pătratul laturii triunghiului și sinusurile unghiurilor adiacente acestei laturi împărțit la sinusul dublu al unghiului opus acestei laturi (Formula 7)
• Aria unui triunghi arbitrar poate fi găsită ca produsul a două pătrate ale unui cerc circumscris în jurul lui și sinusurile fiecăruia dintre unghiurile sale. (Formula 8)
• Dacă lungimea unei laturi și mărimea celor două unghiuri adiacente acesteia sunt cunoscute, atunci aria triunghiului poate fi găsită ca pătratul acestei laturi, împărțit la suma dublă a cotangentelor acestora. unghiuri (Formula 9)
• Dacă se cunoaște doar lungimea fiecăreia dintre înălțimile unui triunghi (Formula 10), atunci aria unui astfel de triunghi este invers proporțională cu lungimile acestor înălțimi, așa cum este formula lui Heron
• Formula 11 vă permite să calculați aria unui triunghi în funcție de coordonatele vârfurilor sale, care sunt date ca valori (x;y) pentru fiecare dintre vârfuri. Vă rugăm să rețineți că valoarea rezultată trebuie luată modulo, deoarece coordonatele vârfurilor individuale (sau chiar ale tuturor) pot fi în zona valorilor negative

Notă. Următoarele sunt exemple de rezolvare a problemelor de geometrie pentru a găsi aria unui triunghi. Dacă trebuie să rezolvați o problemă de geometrie, similară cu care nu este aici - scrieți despre ea pe forum. În soluții, funcția sqrt() poate fi folosită în locul simbolului „rădăcină pătrată”, în care sqrt este simbolul rădăcinii pătrate, iar expresia radicalului este indicată între paranteze.Uneori simbolul poate fi folosit pentru expresii radicale simple √

O sarcină. Aflați aria dată celor două laturi și unghiul dintre ele

Laturile triunghiului sunt de 5 si 6 cm.Unghiul dintre ele este de 60 de grade. Găsiți aria unui triunghi.

Soluţie.

Pentru a rezolva această problemă, folosim formula numărul doi din partea teoretică a lecției.
Aria unui triunghi poate fi găsită prin lungimile a două laturi și sinusul unghiului dintre ele și va fi egală cu
S=1/2 ab sin γ

Deoarece avem toate datele necesare pentru soluție (conform formulei), putem înlocui doar valorile din enunțul problemei în formula:
S=1/2*5*6*sin60

În tabelul de valori funcții trigonometrice găsiți și înlocuiți în expresie valoarea sinusului 60 de grade. Va fi egal cu rădăcina lui trei câte doi.
S = 15 √3 / 2

Răspuns: 7,5 √3 (în funcție de cerințele profesorului, probabil că este posibil să lăsați 15 √3/2)

O sarcină. Aflați aria unui triunghi echilateral

Aflați aria unui triunghi echilateral cu latura de 3 cm.

Soluție.

Aria unui triunghi poate fi găsită folosind formula lui Heron:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

Deoarece a \u003d b \u003d c, formula pentru aria unui triunghi echilateral va lua forma:

S = √3 / 4 * a2

S = √3 / 4 * 3 2

Răspuns: 9 √3 / 4.

O sarcină. Schimbarea suprafeței la modificarea lungimii laturilor

De câte ori va crește aria unui triunghi dacă laturile sunt de patru ori?

Soluţie.

Deoarece dimensiunile laturilor triunghiului ne sunt necunoscute, pentru a rezolva problema vom presupune că lungimile laturilor sunt, respectiv, egale cu numerele arbitrare a, b, c. Apoi, pentru a răspunde la întrebarea problemei, găsim aria acestui triunghi și apoi găsim aria unui triunghi ale cărui laturi sunt de patru ori mai mari. Raportul dintre ariile acestor triunghiuri ne va oferi răspunsul la problemă.

În continuare, oferim o explicație textuală a soluției problemei în pași. Cu toate acestea, la sfârșit, aceeași soluție este prezentată într-o formă grafică care este mai convenabilă pentru percepție. Cei care doresc pot retrage imediat soluția.

Pentru a rezolva, folosim formula Heron (vezi mai sus în partea teoretică a lecției). Arata cam asa:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(vezi prima linie a imaginii de mai jos)

Lungimile laturilor unui triunghi arbitrar sunt date de variabilele a, b, c.
Dacă laturile sunt mărite de 4 ori, atunci aria noului triunghi c va fi:

S 2 = 1/4 pătrat((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(vezi a doua linie din imaginea de mai jos)

După cum puteți vedea, 4 este un factor comun care poate fi scos din paranteze din toate cele patru expresii conform reguli generale matematică.
Apoi

S 2 = 1/4 sqrt(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - pe a treia linie a imaginii
S 2 = 1/4 sqrt(256 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - a patra linie

Din numărul 256 se extrage perfect rădăcina pătrată, așa că o vom scoate de sub rădăcină
S 2 = 16 * 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(vezi a cincea linie a figurii de mai jos)

Pentru a răspunde la întrebarea pusă în problemă, este suficient să împărțim aria triunghiului rezultat cu aria celui original.
Determinăm rapoartele ariei împărțind expresiile unele în altele și reducând fracția rezultată.