Cele mai simple probleme cu o linie dreaptă pe un plan. Aranjamentul reciproc al liniilor. Unghiul dintre linii. Unghiul dintre liniile care se intersectează: definiție, exemple de găsire

Definiție. Dacă sunt date două drepte y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , atunci colt ascutitîntre aceste linii va fi definită ca

Două drepte sunt paralele dacă k 1 = k 2 . Două drepte sunt perpendiculare dacă k 1 = -1/ k 2 .

Teorema. Liniile drepte Ax + Vy + C \u003d 0 și A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 sunt paralele atunci când coeficienții A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB sunt proporționali. Dacă și С 1 = λС, atunci liniile coincid. Coordonatele punctului de intersecție a două drepte se găsesc ca soluție a sistemului de ecuații ale acestor drepte.

Ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat

Perpendicular pe această linie

Definiție. Linia care trece prin punctul M 1 (x 1, y 1) și perpendiculară pe dreapta y \u003d kx + b este reprezentată de ecuația:

Distanța de la punct la linie

Teorema. Dacă este dat un punct M(x 0, y 0), atunci distanța până la linia Ax + Vy + C \u003d 0 este definită ca

.

Dovada. Fie punctul M 1 (x 1, y 1) să fie baza perpendicularei căzute de la punctul M la dreapta dată. Atunci distanța dintre punctele M și M 1:

(1)

Coordonatele x 1 și y 1 pot fi găsite ca soluție a sistemului de ecuații:

A doua ecuație a sistemului este ecuația unei linii drepte care trece prin punct dat M 0 este perpendiculară pe o dreaptă dată. Dacă transformăm prima ecuație a sistemului în forma:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

apoi, rezolvand, obtinem:

Înlocuind aceste expresii în ecuația (1), găsim:

Teorema a fost demonstrată.

Exemplu. Să se determine unghiul dintre drepte: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 \u003d -3; k2 = 2; tgφ = ; φ= p /4.

Exemplu. Arătați că dreptele 3x - 5y + 7 = 0 și 10x + 6y - 3 = 0 sunt perpendiculare.

Soluţie. Găsim: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 * k 2 \u003d -1, prin urmare, liniile sunt perpendiculare.

Exemplu. Sunt date vârfurile triunghiului A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Găsiți ecuația pentru înălțimea desenată din vârful C.

Soluţie. Găsim ecuația laturii AB: ; 4 x = 6 y - 6;

2x – 3y + 3 = 0;

Ecuația de înălțime dorită este: Ax + By + C = 0 sau y = kx + b. k = . Atunci y = . pentru că înălțimea trece prin punctul C, apoi coordonatele sale satisfac această ecuație: de unde b = 17. Total: .

Răspuns: 3x + 2y - 34 = 0.

Ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat într-o direcție dată. Ecuația unei drepte care trece prin două puncte date. Unghiul dintre două linii. Condiția de paralelism și perpendicularitate a două drepte. Determinarea punctului de intersecție a două drepte

1. Ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat A(X 1 , y 1) într-o direcție dată, determinată de pantă k,

y - y 1 = k(X - X 1). (1)

Această ecuație definește un creion de linii care trec printr-un punct A(X 1 , y 1), care se numește centrul fasciculului.

2. Ecuația unei drepte care trece prin două puncte: A(X 1 , y 1) și B(X 2 , y 2) se scrie astfel:

Panta unei drepte care trece prin două puncte date este determinată de formula

3. Unghiul dintre liniile drepte Ași B este unghiul cu care trebuie rotită prima linie dreaptă Aîn jurul punctului de intersecție al acestor linii în sens invers acelor de ceasornic până când acesta coincide cu a doua linie B. Dacă două drepte sunt date prin ecuații de pante

y = k 1 X + B 1 ,

y = k 2 X + B 2 , (4)

atunci unghiul dintre ele este determinat de formula

Trebuie remarcat faptul că la numărătorul fracției, panta primei drepte este scăzută din panta celei de-a doua drepte.

Dacă ecuațiile unei linii drepte sunt date în vedere generala

A 1 X + B 1 y + C 1 = 0,

A 2 X + B 2 y + C 2 = 0, (6)

unghiul dintre ele este determinat de formula

4. Condiții pentru paralelismul a două linii:

a) Dacă dreptele sunt date de ecuațiile (4) cu o pantă, atunci condiția necesară și suficientă pentru paralelismul lor este egalitatea pantelor lor:

k 1 = k 2 . (8)

b) Pentru cazul în care dreptele sunt date prin ecuații în forma generală (6), condiția necesară și suficientă pentru paralelismul lor este ca coeficienții la coordonatele curente corespunzătoare din ecuațiile lor să fie proporționali, i.e.

5. Condiții pentru perpendicularitatea a două drepte:

a) În cazul în care dreptele sunt date de ecuațiile (4) cu o pantă, condiția necesară și suficientă pentru perpendicularitatea lor este ca acestea factori de panta sunt reciproce ca mărime și opuse ca semn, adică

Această condiție poate fi scrisă și în formular

k 1 k 2 = -1. (11)

b) Dacă ecuațiile dreptelor sunt date în forma generală (6), atunci condiția pentru perpendicularitatea lor (necesară și suficientă) este îndeplinirea egalității

A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0. (12)

6. Coordonatele punctului de intersecție a două drepte se găsesc prin rezolvarea sistemului de ecuații (6). Liniile (6) se intersectează dacă și numai dacă

1. Scrieți ecuațiile dreptelor care trec prin punctul M, dintre care una este paralelă, iar cealaltă perpendiculară pe dreapta dată l.

Va fi util pentru fiecare elev care se pregătește pentru examenul de matematică să repete subiectul „Găsirea unghiului dintre linii”. După cum arată statisticile, la trecerea unui test de certificare, sarcinile din această secțiune de stereometrie provoacă dificultăți pentru un numar mare elevi. În același timp, sarcinile care necesită găsirea unghiului dintre liniile drepte se găsesc în USE atât la nivel de bază, cât și la nivel de profil. Aceasta înseamnă că toată lumea ar trebui să le poată rezolva.

Momente de bază

Există 4 tipuri de aranjare reciprocă a liniilor în spațiu. Ele pot coincide, se intersectează, pot fi paralele sau se intersectează. Unghiul dintre ele poate fi acut sau drept.

Pentru a găsi unghiul dintre linii în examenul de stat unificat sau, de exemplu, în soluție, școlarii din Moscova și alte orașe pot folosi mai multe metode pentru rezolvarea problemelor din această secțiune a stereometriei. Puteți finaliza sarcina prin construcții clasice. Pentru a face acest lucru, merită să învățați axiomele și teoremele de bază ale stereometriei. Elevul trebuie să fie capabil să construiască logic raționament și să creeze desene pentru a aduce sarcina la o problemă planimetrică.

De asemenea, puteți utiliza metoda vector-coordonate prin aplicare formule simple, reguli și algoritmi. Principalul lucru în acest caz este să efectuați corect toate calculele. Proiectul educațional Shkolkovo vă va ajuta să vă îmbunătățiți abilitățile în rezolvarea problemelor din stereometrie și alte secțiuni ale cursului școlar.

Instruire

Notă

Perioadă functie trigonometrica tangenta este egala cu 180 de grade, ceea ce inseamna ca unghiurile de inclinare ale dreptelor nu pot depasi, modulo, aceasta valoare.

Sfat util

Dacă coeficienții de pantă sunt egali între ei, atunci unghiul dintre aceste drepte este 0, deoarece astfel de linii fie coincid, fie sunt paralele.

Pentru a determina unghiul dintre liniile de încrucișare, este necesar să transferați ambele linii (sau una dintre ele) într-o nouă poziție prin metoda transferului paralel la intersecție. După aceea, ar trebui să găsiți unghiul dintre liniile care se intersectează rezultate.

Vei avea nevoie

• Rigla, triunghi dreptunghic, creion, raportor.

Instruire

Deci, să fie dat vectorul V = (a, b, c) și planul A x + B y + C z = 0, unde A, B și C sunt coordonatele normalei N. Atunci cosinusul unghiului α între vectorii V și N este: cos α \u003d (a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²)).

Pentru a calcula valoarea unghiului în grade sau radiani, trebuie să calculați funcția inversă cosinusului din expresia rezultată, i.e. arccosin: α \u003d arscos ((a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²))).

Exemplu: găsiți colţîntre vector(5, -3, 8) și avion, dat ecuație generală 2 x - 5 y + 3 z = 0. Rezolvare: notează coordonatele vectorului normal al planului N = (2, -5, 3). Înlocuiți toate valorile cunoscute în formula de mai sus: cos α = (10 + 15 + 24)/√3724 ≈ 0,8 → α = 36,87°.

Videoclipuri similare

O linie dreaptă care are una cu un cerc punct comun, este tangentă la cerc. O altă caracteristică a tangentei este că este întotdeauna perpendiculară pe raza trasată la punctul de contact, adică tangenta și raza formează o linie dreaptă. colţ. Dacă dintr-un punct A sunt trase două tangente la cercul AB și AC, atunci ele sunt întotdeauna egale între ele. Definirea unghiului dintre tangente ( colţ ABC) este produsă folosind teorema lui Pitagora.

Instruire

Pentru a determina unghiul, trebuie să cunoașteți raza cercului OB și OS și distanța punctului de origine al tangentei față de centrul cercului - O. Deci, unghiurile ABO și ACO sunt egale, raza OB , de exemplu, 10 cm, iar distanța până la centrul cercului AO este de 15 cm. Determinați lungimea tangentei prin formula în conformitate cu teorema lui Pitagora: AB = Rădăcină pătrată de la AO2 - OB2 sau 152 - 102 = 225 - 100 = 125;

Să fie date linii în spațiu lși m. Prin un punct A al spațiului tragem linii drepte l 1 || lși m 1 || m(Fig. 138).

Rețineți că punctul A poate fi ales în mod arbitrar, în special, poate fi situat pe una dintre liniile date. Dacă drept lși m intersectează, atunci A poate fi luat drept punct de intersecție al acestor drepte ( l 1 =lși m 1 = m).

Unghiul dintre liniile neparalele lși m este valoarea celui mai mic dintre unghiurile adiacente formate prin intersectarea liniilor drepte l 1 și m 1 (l 1 || l, m 1 || m). Unghiul dintre liniile paralele se presupune a fi zero.

Unghiul dintre linii lși m notat cu \(\widehat((l;m)) \). Din definiție rezultă că dacă se măsoară în grade, atunci 0 ° < \(\widehat((l;m)) \) < 90°, iar dacă este în radiani, atunci 0 < \(\widehat((l;m)) \) < π / 2 .

O sarcină. Este dat cubul ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 (Fig. 139).

Aflați unghiul dintre dreptele AB și DC 1 .

Traversare dreaptă AB și DC 1. Deoarece linia DC este paralelă cu dreapta AB, unghiul dintre liniile AB și DC 1, conform definiției, este egal cu \(\widehat(C_(1)DC)\).

Prin urmare, \(\widehat((AB;DC_1))\) = 45°.

Direct lși m numit perpendicular, dacă \(\widehat((l;m)) \) = π / 2. De exemplu, într-un cub

Calculul unghiului dintre linii.

Problema calculării unghiului dintre două drepte în spațiu se rezolvă în același mod ca și în plan. Notați cu φ unghiul dintre drepte l 1 și l 2 , iar prin ψ - unghiul dintre vectorii de direcție A și b aceste linii drepte.

Atunci dacă

ψ <90° (рис. 206, а), то φ = ψ; если же ψ >90° (Fig. 206.6), apoi φ = 180° - ψ. Este evident că în ambele cazuri egalitatea cos φ = |cos ψ| este adevărată. Conform formulei (cosinusul unghiului dintre vectorii nenuli a și b este egal cu produs punctual dintre aceşti vectori împărţiţi la produsul lungimilor lor) avem

$$ cos\psi = cos\widehat((a; b)) = \frac(a\cdot b)(|a|\cdot |b|) $$

Prin urmare,

$$ cos\phi = \frac(|a\cdot b|)(|a|\cdot |b|) $$

Lasă rândurile să fie date de ele însele ecuații canonice

$$ \frac(x-x_1)(a_1)=\frac(y-y_1)(a_2)=\frac(z-z_1)(a_3) \;\; și \;\; \frac(x-x_2)(b_1)=\frac(y-y_2)(b_2)=\frac(z-z_2)(b_3) $$

Apoi unghiul φ dintre linii este determinat folosind formula

$$ cos\phi = \frac(|a_(1)b_1+a_(2)b_2+a_(3)b_3|)(\sqrt((a_1)^2+(a_2)^2+(a_3)^2 )\sqrt((b_1)^2+(b_2)^2+(b_3)^2)) (1)$$

Dacă una dintre linii (sau ambele) este dată de ecuații non-canonice, atunci pentru a calcula unghiul, trebuie să găsiți coordonatele vectorilor de direcție ai acestor linii și apoi să utilizați formula (1).

Sarcina 1. Calculați unghiul dintre linii

$$ \frac(x+3)(-\sqrt2)=\frac(y)(\sqrt2)=\frac(z-7)(-2) \;\;şi\;\; \frac(x)(\sqrt3)=\frac(y+1)(\sqrt3)=\frac(z-1)(\sqrt6) $$

Vectorii de direcție ai liniilor drepte au coordonate:

a \u003d (-√2; √2; -2), b = (√3 ; √3 ; √6 ).

Prin formula (1) găsim

$$ cos\phi = \frac(|-\sqrt6+\sqrt6-2\sqrt6|)(\sqrt(2+2+4)\sqrt(3+3+6))=\frac(2\sqrt6)( 2\sqrt2\cdot 2\sqrt3)=\frac(1)(2) $$

Prin urmare, unghiul dintre aceste linii este de 60°.

Sarcina 2. Calculați unghiul dintre linii

$$ \begin(cases)3x-12z+7=0\\x+y-3z-1=0\end(cases) și \begin(cases)4x-y+z=0\\y+z+1 =0\end(cazuri) $$

În spatele vectorului ghid A ia prima linie produs vectorial vectori normali n 1 = (3; 0; -12) și n 2 = (1; 1; -3) planuri care definesc această dreaptă. Prin formula \(=\begin(vmatrix) i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end(vmatrix) \) obținem

$$ a==\begin(vmatrix) i & j & k \\ 3 & 0 & -12 \\ 1 & 1 & -3 \end(vmatrix)=12i-3i+3k $$

În mod similar, găsim vectorul direcție al celei de-a doua drepte:

$$ b=\begin(vmatrix) i & j & k \\ 4 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end(vmatrix)=-2i-4i+4k $$

Dar formula (1) calculează cosinusul unghiului dorit:

$$ cos\phi = \frac(|12\cdot (-2)-3(-4)+3\cdot 4|)(\sqrt(12^2+3^2+3^2)\sqrt(2) ^2+4^2+4^2))=0 $$

Prin urmare, unghiul dintre aceste linii este de 90°.

Sarcina 3.În piramida triunghiulară MAVS, muchiile MA, MB și MC sunt reciproc perpendiculare, (Fig. 207);

lungimile lor sunt, respectiv, egale cu 4, 3, 6. Punctul D este mijlocul [MA]. Aflați unghiul φ dintre liniile CA și DB.

Fie SA și DB vectorii de direcție ai liniilor SA și DB.

Să luăm punctul M ca origine a coordonatelor. După condiția sarcinii, avem A (4; 0; 0), B(0; 0; 3), C(0; 6; 0), D (2; 0; 0). Prin urmare \(\overrightarrow(CA)\) = (4; - 6;0), \(\overrightarrow(DB)\)= (-2; 0; 3). Folosim formula (1):

$$ cos\phi=\frac(|4\cdot (-2)+(-6)\cdot 0+0\cdot 3|)(\sqrt(16+36+0)\sqrt(4+0+9 )) $$

Conform tabelului cosinusurilor, constatăm că unghiul dintre liniile drepte CA și DB este de aproximativ 72 °.

A. Să fie date două drepte Aceste linii, așa cum sa indicat în capitolul 1, formează diverse unghiuri pozitive și negative, care pot fi fie acute, fie obtuze. Cunoscând unul dintre aceste unghiuri, putem găsi cu ușurință oricare altul.

Apropo, pentru toate aceste unghiuri, valoarea numerică a tangentei este aceeași, diferența poate fi doar în semn

Ecuații de linii. Numerele sunt proiecțiile vectorilor de direcție ai primei și a doua linii.Unghiul dintre acești vectori este egal cu unul dintre unghiurile formate din drepte. Prin urmare, problema se reduce la determinarea unghiului dintre vectori, obținem

Pentru simplitate, putem conveni asupra unui unghi între două drepte pentru a înțelege un unghi pozitiv acut (ca, de exemplu, în Fig. 53).

Atunci tangenta acestui unghi va fi întotdeauna pozitivă. Astfel, dacă se obține un semn minus în partea dreaptă a formulei (1), atunci trebuie să-l renunțăm, adică să păstrăm doar valoarea absolută.

Exemplu. Determinați unghiul dintre linii

Prin formula (1) avem

Cu. Dacă se indică care dintre laturile unghiului este începutul și care este sfârșitul lui, atunci, numărând întotdeauna direcția unghiului în sens invers acelor de ceasornic, putem extrage ceva mai mult din formulele (1). După cum se vede ușor din fig. 53 semnul obținut în partea dreaptă a formulei (1) va indica care dintre ele - acut sau obtuz - formează a doua linie cu prima.

(Într-adevăr, din Fig. 53 vedem că unghiul dintre primul și al doilea vector de direcție este fie egal cu unghiul dorit dintre linii, fie diferă de acesta cu ±180°.)

d. Dacă dreptele sunt paralele, atunci vectorii lor de direcție sunt și ei paraleli.Aplicând condiția de paralelism a doi vectori, obținem!

Aceasta este o condiție necesară și suficientă pentru ca două linii să fie paralele.

Exemplu. Direct

sunt paralele deoarece

e. Dacă liniile sunt perpendiculare, atunci vectorii lor de direcție sunt și ei perpendiculari. Aplicând condiția de perpendicularitate a doi vectori, obținem condiția de perpendicularitate a două drepte și anume

Exemplu. Direct

perpendicular deoarece

În legătură cu condițiile de paralelism și perpendicularitate, vom rezolva următoarele două probleme.

f. Desenați o dreaptă paralelă cu o dreaptă dată printr-un punct

Decizia se ia asa. Deoarece linia dorită este paralelă cu cea dată, atunci pentru vectorul său de direcție îl putem lua pe aceeași cu cea a dreptei date, adică un vector cu proiecțiile A și B. Și atunci se va scrie ecuația dreptei dorite. sub forma (§ 1)

Exemplu. Ecuația unei drepte care trece printr-un punct (1; 3) paralel cu o dreaptă

va fi urmatorul!

g. Desenați o dreaptă printr-un punct perpendicular pe dreapta dată

Aici, nu mai este potrivit să luăm un vector cu proiecțiile A și ca vector de direcție, dar este necesar să câștigăm un vector perpendicular pe acesta. Prin urmare, proiecțiile acestui vector trebuie alese în funcție de condiția ca ambii vectori să fie perpendiculari, adică în funcție de condiția

Această condiție poate fi îndeplinită într-un număr infinit de moduri, deoarece aici există o ecuație cu două necunoscute.Dar cel mai simplu mod este să o luați.Atunci ecuația liniei dorite se va scrie sub forma

Exemplu. Ecuația unei drepte care trece printr-un punct (-7; 2) într-o dreaptă perpendiculară

va fi urmatoarea (conform celei de-a doua formule)!

h. În cazul în care liniile sunt date prin ecuații de forma