हार्मोनिक कंपन किसे कहते हैं. हार्मोनिक कंपन

हमने कई शारीरिक रूप से पूरी तरह से अलग प्रणालियों पर विचार किया, और यह सुनिश्चित किया कि गति के समीकरण एक ही रूप में कम हो जाएं

भौतिक प्रणालियों के बीच अंतर केवल मात्रा की विभिन्न परिभाषाओं में ही प्रकट होते हैं और चर के एक अलग भौतिक अर्थ में एक्स: यह एक निर्देशांक, कोण, आवेश, धारा आदि हो सकता है। ध्यान दें कि इस मामले में, समीकरण (1.18) की संरचना के अनुसार, मात्रा में हमेशा व्युत्क्रम समय का आयाम होता है।

समीकरण (1.18) तथाकथित का वर्णन करता है हार्मोनिक कंपन.

हार्मोनिक दोलनों का समीकरण (1.18) एक दूसरे क्रम का रैखिक अंतर समीकरण है (क्योंकि इसमें चर का दूसरा व्युत्पन्न शामिल है) एक्स). समीकरण की रैखिकता का अर्थ है कि

यदि कोई फ़ंक्शन है एक्स(टी)इस समीकरण का एक समाधान है, फिर फ़ंक्शन सीएक्स(टी)उसका समाधान भी होगा ( सीएक मनमाना स्थिरांक है);

यदि कार्य करता है एक्स 1 (टी)और एक्स 2 (टी)इस समीकरण के समाधान हैं, तो उनका योग एक्स 1 (टी) + एक्स 2 (टी)भी उसी समीकरण का हल होगा.

एक गणितीय प्रमेय भी सिद्ध होता है, जिसके अनुसार दूसरे क्रम के समीकरण के दो स्वतंत्र समाधान होते हैं। अन्य सभी समाधान, रैखिकता के गुणों के अनुसार, उनके रैखिक संयोजन के रूप में प्राप्त किए जा सकते हैं। प्रत्यक्ष विभेदन द्वारा यह जांचना आसान है कि स्वतंत्र कार्य करता है और समीकरण (1.18) को संतुष्ट करता है। साधन, सामान्य निर्णयइस समीकरण का रूप है:

कहाँ सी1,सी2मनमाना स्थिरांक हैं. इस समाधान को दूसरे रूप में भी प्रस्तुत किया जा सकता है. हम मात्रा का परिचय देते हैं

और कोण को इस प्रकार परिभाषित करें:

फिर सामान्य समाधान (1.19) इस प्रकार लिखा जाता है

त्रिकोणमिति सूत्रों के अनुसार कोष्ठक में व्यंजक है

हम अंततः पहुँच गए हार्मोनिक दोलनों के समीकरण का सामान्य समाधानजैसा:

गैर-नकारात्मक मान एबुलाया दोलन आयाम, - दोलन का प्रारंभिक चरण. संपूर्ण कोसाइन तर्क - संयोजन - कहा जाता है दोलन चरण.

व्यंजक (1.19) और (1.23) बिल्कुल समतुल्य हैं, इसलिए हम सरलता के कारण उनमें से किसी एक का उपयोग कर सकते हैं। दोनों समाधान समय के आवधिक कार्य हैं। दरअसल, साइन और कोसाइन एक आवर्त के साथ आवर्ती होते हैं . इसीलिए विभिन्न राज्यहार्मोनिक दोलन करने वाली प्रणाली एक निश्चित अवधि के बाद दोहराई जाती है टी*, जिसके लिए दोलन चरण को एक वृद्धि प्राप्त होती है जो कि एक गुणक है :

अत: यह उसका अनुसरण करता है

इनमें से सबसे कम बार

बुलाया दोलन की अवधि (चित्र 1.8), ए - उसका गोलाकार (चक्रीय) आवृत्ति.

चावल। 1.8.

वे भी प्रयोग करते हैं आवृत्ति संकोच

तदनुसार, वृत्ताकार आवृत्ति प्रति दोलनों की संख्या के बराबर है सेकंड.

तो, अगर सिस्टम समय पर टीचर के मूल्य द्वारा विशेषता एक्स(टी),फिर, समय की अवधि के बाद चर का वही मान होगा (चित्र 1.9), अर्थात

निस्संदेह, वही मान कुछ समय बाद दोहराया जाएगा। 2टी, ZTवगैरह।

चावल। 1.9. दोलन काल

सामान्य समाधान में दो मनमाने स्थिरांक शामिल हैं ( सी 1 , सी 2या ए, ए), जिसका मान दो द्वारा निर्धारित किया जाना चाहिए आरंभिक स्थितियां. आमतौर पर (हालांकि जरूरी नहीं) उनकी भूमिका चर के प्रारंभिक मूल्यों द्वारा निभाई जाती है एक्स(0)और इसका व्युत्पन्न.

चलिए एक उदाहरण लेते हैं. मान लीजिए कि हार्मोनिक दोलनों के समीकरण का समाधान (1.19) एक स्प्रिंग पेंडुलम की गति का वर्णन करता है। मनमाना स्थिरांक का मान इस बात पर निर्भर करता है कि हमने लोलक को किस प्रकार संतुलन से बाहर लाया। उदाहरण के लिए, हमने स्प्रिंग को कुछ दूरी तक खींच लिया और बिना प्रारंभिक वेग के गेंद को छोड़ दिया। इस मामले में

स्थानापन्न टी = 0(1.19) में, हम स्थिरांक का मान पाते हैं 2 से

समाधान इस प्रकार दिखता है:

भार की गति समय के सापेक्ष विभेदन द्वारा ज्ञात की जाती है

यहाँ प्रतिस्थापित कर रहा हूँ टी = 0, अचर ज्ञात कीजिए 1 से:

आखिरकार

(1.23) से तुलना करने पर हम पाते हैं कि दोलन आयाम है, और इसका प्रारंभिक चरण शून्य के बराबर है:।

अब हम पेंडुलम को दूसरे तरीके से संतुलन से बाहर लाते हैं। आइए भार पर प्रहार करें, ताकि वह प्रारंभिक गति प्राप्त कर ले, लेकिन प्रभाव के दौरान व्यावहारिक रूप से हिलता नहीं है। फिर हमारे पास अन्य प्रारंभिक शर्तें हैं:

हमारा समाधान दिखता है

भार की गति नियम के अनुसार बदलेगी:

आइए इसे यहां रखें:

यांत्रिकी में पिंडों की अनुवादात्मक और घूर्णी गतियों के साथ-साथ, दोलन गतियाँ भी काफी रुचि रखती हैं। यांत्रिक कंपन पिंडों की वह गति कहलाती है जो नियमित अंतराल पर बिल्कुल (या लगभग) दोहराई जाती है। किसी दोलनशील पिंड की गति का नियम समय के किसी आवर्ती कार्य द्वारा दिया जाता है एक्स = एफ (टी). इस फ़ंक्शन का ग्राफिक प्रतिनिधित्व समय में दोलन प्रक्रिया के पाठ्यक्रम का एक दृश्य प्रतिनिधित्व देता है।

सरल दोलन प्रणालियों के उदाहरण एक स्प्रिंग या गणितीय पेंडुलम पर भार हैं (चित्र 2.1.1)।

यांत्रिक कंपन, किसी अन्य की दोलन प्रक्रियाओं की तरह भौतिक प्रकृति, हो सकता है मुक्तऔर मजबूर. मुक्त कंपन के प्रभाव में किये जाते हैं आंतरिक बलसिस्टम को संतुलन से बाहर लाने के बाद सिस्टम। स्प्रिंग पर भार का दोलन या पेंडुलम का दोलन मुक्त दोलन हैं। क्रिया के अंतर्गत कंपन बाहरीसमय-समय पर परिवर्तनशील बलों को बुलाया जाता है मजबूर .

सबसे सरल प्रकार की दोलन प्रक्रियाएँ सरल होती हैं हार्मोनिक कंपन , जो समीकरण द्वारा वर्णित हैं

यहाँ एक्स- संतुलन स्थिति से शरीर का विस्थापन, एक्सएम - दोलन आयाम, यानी संतुलन स्थिति से अधिकतम विस्थापन, ω - चक्रीय या वृत्ताकार आवृत्ति संकोच, टी- समय। कोज्या चिह्न के अंतर्गत मान φ = ω टी+ φ 0 कहा जाता है अवस्थाहार्मोनिक प्रक्रिया. पर टी= 0 φ = φ 0 , इसलिए φ 0 कहा जाता है पहला भाग. वह न्यूनतम समय अंतराल जिसके बाद शरीर की गति दोहराई जाती है, कहलाती है दोलन की अवधि टी. दोलन काल की व्युत्क्रम भौतिक मात्रा कहलाती है दोलन आवृत्ति:

दोलन आवृत्ति एफदिखाता है कि 1 सेकंड में कितने कंपन होते हैं। आवृत्ति इकाई - हेटर्स(हर्ट्ज)। दोलन आवृत्ति एफचक्रीय आवृत्ति ω और दोलन अवधि से संबंधित है टीअनुपात:

अंजीर पर. 2.1.2 हार्मोनिक कंपन के साथ नियमित अंतराल पर शरीर की स्थिति को दर्शाता है। प्रकाश की छोटी आवधिक चमक के साथ एक दोलनशील पिंड को रोशन करके ऐसी तस्वीर प्रयोगात्मक रूप से प्राप्त की जा सकती है ( स्ट्रोबोस्कोपिक प्रकाश व्यवस्था). तीर समय के विभिन्न बिंदुओं पर शरीर के वेग वैक्टर का प्रतिनिधित्व करते हैं।

चावल। 2.1.3 एक हार्मोनिक प्रक्रिया के ग्राफ पर होने वाले परिवर्तनों को दर्शाता है यदि दोलनों का आयाम बदलता है एक्समी, या अवधि टी(या आवृत्ति एफ), या प्रारंभिक चरण φ 0 .

जब पिंड एक सीधी रेखा (अक्ष) के अनुदिश दोलन करता है बैल) वेग सदिश सदैव इस सीधी रेखा के अनुदिश निर्देशित होता है। वेग υ = υ एक्सशरीर की गति अभिव्यक्ति से निर्धारित होती है

गणित में, Δ पर अनुपात की सीमा ज्ञात करने की प्रक्रिया टी→ 0 को फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की गणना कहा जाता है एक्स (टी) समय तक टीऔर इस प्रकार या इस रूप में दर्शाया गया है एक्स"(टी) या अंत में जैसे . गति के हार्मोनिक नियम के लिए व्युत्पन्न की गणना निम्नलिखित परिणाम की ओर ले जाती है:

कोसाइन तर्क में शब्द + π / 2 की उपस्थिति का मतलब प्रारंभिक चरण में बदलाव है। वेग का अधिकतम मॉड्यूलो मान υ = ω एक्समी समय के उन क्षणों पर पहुंच जाता है जब शरीर संतुलन की स्थिति से गुजरता है ( एक्स= 0). त्वरण को इसी प्रकार परिभाषित किया गया है ए = एएक्सहार्मोनिक कंपन वाले पिंड:

इसलिए त्वरण एफ़ंक्शन के व्युत्पन्न के बराबर है υ ( टी) समय तक टी, या फ़ंक्शन का दूसरा व्युत्पन्न एक्स (टी). गणनाएँ देती हैं:

इस अभिव्यक्ति में ऋण चिह्न का अर्थ है कि त्वरण ए (टी) में हमेशा ऑफसेट का विपरीत चिह्न होता है एक्स (टी), और, इसलिए, न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार, वह बल जो शरीर को हार्मोनिक दोलन करने के लिए प्रेरित करता है, हमेशा संतुलन स्थिति की ओर निर्देशित होता है ( एक्स = 0).

किसी मात्रा में परिवर्तन को साइन या कोसाइन के नियमों का उपयोग करके वर्णित किया जाता है, तो ऐसे दोलनों को हार्मोनिक कहा जाता है। एक संधारित्र (जिसे सर्किट में शामिल होने से पहले चार्ज किया गया था) और एक प्रारंभ करनेवाला (छवि 1) से बने सर्किट पर विचार करें।

चित्र 1।

हार्मोनिक दोलन समीकरण इस प्रकार लिखा जा सकता है:

$q=q_0cos((\omega )_0t+(\alpha )_0)$ (1)

जहाँ $t$-समय; $q$ शुल्क, $q_0$-- परिवर्तनों के दौरान इसके औसत (शून्य) मान से अधिकतम शुल्क विचलन; $(\omega )_0t+(\alpha )_0$- दोलन चरण; $(\alpha )_0$ - प्रारंभिक चरण; $(\omega )_0$ - चक्रीय आवृत्ति। अवधि के दौरान, चरण में $2\pi $ का परिवर्तन होता है।

समीकरण टाइप करें:

एक ऑसिलेटरी सर्किट के लिए विभेदक रूप में हार्मोनिक दोलनों का समीकरण जिसमें सक्रिय प्रतिरोध नहीं होगा।

किसी भी प्रकार के आवधिक दोलनों को तथाकथित हार्मोनिक श्रृंखला, हार्मोनिक दोलनों के योग के रूप में सटीक रूप से दर्शाया जा सकता है।

एक कुंडल और एक संधारित्र वाले सर्किट की दोलन अवधि के लिए, हमें थॉमसन सूत्र मिलता है:

यदि हम समय के संबंध में अभिव्यक्ति (1) को अलग करते हैं, तो हम फ़ंक्शन $I(t)$ के लिए सूत्र प्राप्त कर सकते हैं:

संधारित्र पर वोल्टेज इस प्रकार पाया जा सकता है:

सूत्र (5) और (6) से यह पता चलता है कि वर्तमान ताकत संधारित्र पर वोल्टेज से $\frac(\pi )(2).$ से आगे है।

हार्मोनिक दोलनों को समीकरणों, कार्यों और वेक्टर आरेखों दोनों के रूप में दर्शाया जा सकता है।

समीकरण (1) मुक्त अवमंदित दोलनों का प्रतिनिधित्व करता है।

नम दोलन समीकरण

प्रतिरोध (छवि 2) को ध्यान में रखते हुए, सर्किट में संधारित्र प्लेटों पर चार्ज ($q$) में परिवर्तन को फॉर्म के एक अंतर समीकरण द्वारा वर्णित किया जाएगा:

चित्र 2।

यदि प्रतिरोध जो सर्किट का हिस्सा है $R \

जहां $\omega =\sqrt(\frac(1)(LC)-\frac(R^2)(4L^2))$ चक्रीय दोलन आवृत्ति है। $\beta =\frac(R)(2L)-$क्षीणन कारक। नम दोलनों का आयाम इस प्रकार व्यक्त किया गया है:

इस घटना में कि $t=0$ पर संधारित्र पर चार्ज $q=q_0$ के बराबर है, सर्किट में कोई करंट नहीं है, तो $A_0$ के लिए हम लिख सकते हैं:

समय के प्रारंभिक क्षण में दोलन चरण ($(\alpha )_0$) इसके बराबर है:

$R >2\sqrt(\frac(L)(C))$ के लिए चार्ज में परिवर्तन एक दोलन नहीं है, कैपेसिटर डिस्चार्ज को एपेरियोडिक कहा जाता है।

उदाहरण 1

व्यायाम:अधिकतम शुल्क मान $q_0=10\ C$ है। यह अवधि $T= 5 c$ के साथ सामंजस्यपूर्ण रूप से बदलता है। अधिकतम संभव धारा निर्धारित करें.

समाधान:

समस्या को हल करने के आधार के रूप में, हम इसका उपयोग करते हैं:

वर्तमान ताकत को खोजने के लिए, अभिव्यक्ति (1.1) को समय के संबंध में विभेदित किया जाना चाहिए:

जहां वर्तमान शक्ति का अधिकतम (आयाम मान) अभिव्यक्ति है:

समस्या की स्थितियों से, हम आवेश का आयाम मान ($q_0=10\ Kl$) जानते हैं। आपको दोलनों की प्राकृतिक आवृत्ति ज्ञात करनी चाहिए। आइए इसे इस प्रकार व्यक्त करें:

\[(\omega )_0=\frac(2\pi )(T)\left(1.4\right).\]

इस मामले में, वांछित मान समीकरण (1.3) और (1.2) का उपयोग करके पाया जाएगा:

चूँकि समस्या की स्थितियों में सभी मात्राएँ SI प्रणाली में प्रस्तुत की जाती हैं, हम गणनाएँ करेंगे:

उत्तर:$I_0=12.56\ A.$

उदाहरण 2

व्यायाम:एक सर्किट में दोलन अवधि क्या है जिसमें एक प्रारंभ करनेवाला $L=1$H और एक संधारित्र होता है, यदि सर्किट में धारा कानून के अनुसार बदलती है: $I\left(t\right)=-0.1sin20\pi t \ \left(A \right)?$ संधारित्र की धारिता क्या है?

समाधान:

वर्तमान दोलनों के समीकरण से, जो समस्या की स्थितियों में दिया गया है:

हम देखते हैं कि $(\omega )_0=20\pi $, इसलिए हम सूत्र का उपयोग करके दोलन की अवधि की गणना कर सकते हैं:

\ \

एक सर्किट के लिए थॉमसन के सूत्र के अनुसार जिसमें एक प्रारंभ करनेवाला और एक संधारित्र होता है, हमारे पास है:

आइए क्षमता की गणना करें:

उत्तर:$T=0.1$ c, $C=2.5\cdot (10)^(-4)F.$

कंपन का सबसे सरल प्रकार है हार्मोनिक कंपन- उतार-चढ़ाव जिसमें संतुलन स्थिति से दोलन बिंदु का विस्थापन साइन या कोसाइन कानून के अनुसार समय के साथ बदलता है।

तो, परिधि के चारों ओर गेंद के एक समान घूर्णन के साथ, इसका प्रक्षेपण (प्रकाश की समानांतर किरणों में छाया) एक ऊर्ध्वाधर स्क्रीन पर एक हार्मोनिक दोलन गति करता है (चित्र 1)।

हार्मोनिक कंपन के दौरान संतुलन स्थिति से विस्थापन को एक समीकरण (इसे हार्मोनिक गति का गतिज नियम कहा जाता है) द्वारा वर्णित किया गया है:

जहां x - विस्थापन - संतुलन स्थिति के सापेक्ष समय t पर दोलन बिंदु की स्थिति को दर्शाने वाला मान और एक निश्चित समय पर संतुलन स्थिति से बिंदु की स्थिति तक की दूरी से मापा जाता है; ए - दोलन आयाम - संतुलन स्थिति से शरीर का अधिकतम विस्थापन; टी - दोलन अवधि - एक पूर्ण दोलन का समय; वे। समय की सबसे छोटी अवधि जिसके बाद दोलन को चिह्नित करने वाली भौतिक मात्राओं के मान दोहराए जाते हैं; - पहला भाग;

समय t पर दोलन का चरण। दोलन चरण एक आवधिक कार्य का एक तर्क है, जो किसी दिए गए दोलन आयाम के लिए, किसी भी समय शरीर की दोलन प्रणाली (विस्थापन, गति, त्वरण) की स्थिति निर्धारित करता है।

यदि समय के प्रारंभिक क्षण में दोलन बिंदु संतुलन स्थिति से अधिकतम विस्थापित हो जाता है, तो, और संतुलन स्थिति से बिंदु का विस्थापन कानून के अनुसार बदल जाता है

यदि दोलन बिंदु स्थिर संतुलन की स्थिति में है, तो संतुलन स्थिति से बिंदु का विस्थापन कानून के अनुसार बदलता है

मान V, अवधि का व्युत्क्रम और 1 s में किए गए पूर्ण दोलनों की संख्या के बराबर, दोलन आवृत्ति कहलाता है:

यदि समय t में शरीर N पूर्ण दोलन करता है, तो

मूल्य , यह दर्शाता है कि शरीर एस में कितने दोलन करता है, कहलाता है चक्रीय (परिपत्र) आवृत्ति.

हार्मोनिक गति का गतिक नियम इस प्रकार लिखा जा सकता है:

ग्राफ़िक रूप से, समय पर एक दोलन बिंदु के विस्थापन की निर्भरता को कोसाइन (या साइनसॉइड) द्वारा दर्शाया जाता है।

चित्र 2, ए मामले के लिए संतुलन स्थिति से दोलन बिंदु के विस्थापन की समय निर्भरता को दर्शाता है।

आइए जानें कि समय के साथ एक दोलन बिंदु की गति कैसे बदलती है। ऐसा करने के लिए, हम इस अभिव्यक्ति का समय व्युत्पन्न पाते हैं:

x-अक्ष पर वेग प्रक्षेपण का आयाम कहां है।

यह सूत्र दर्शाता है कि हार्मोनिक दोलनों के दौरान, एक्स अक्ष पर शरीर के वेग का प्रक्षेपण भी हार्मोनिक कानून के अनुसार एक ही आवृत्ति के साथ, एक अलग आयाम के साथ बदलता है, और मिश्रण चरण से आगे होता है (चित्र 2, बी) .

त्वरण की निर्भरता का पता लगाने के लिए, हम वेग प्रक्षेपण का समय व्युत्पन्न पाते हैं:

एक्स-अक्ष पर त्वरण प्रक्षेपण का आयाम कहां है।

हार्मोनिक दोलनों के लिए, त्वरण का प्रक्षेपण चरण में k के विस्थापन से आगे होता है (चित्र 2, c)।

इसी तरह, आप निर्भरता ग्राफ़ बना सकते हैं

उसे ध्यान में रखते हुए त्वरण का सूत्र लिखा जा सकता है

वे। हार्मोनिक दोलनों के लिए, त्वरण प्रक्षेपण विस्थापन के सीधे आनुपातिक और संकेत के विपरीत है, अर्थात। त्वरण विस्थापन के विपरीत दिशा में निर्देशित होता है।

तो, त्वरण प्रक्षेपण विस्थापन का दूसरा व्युत्पन्न है, फिर परिणामी अनुपात को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

अंतिम समानता कहलाती है हार्मोनिक दोलनों का समीकरण.

एक भौतिक प्रणाली जिसमें हार्मोनिक दोलन मौजूद हो सकते हैं, कहलाती है लयबद्ध दोलक, और हार्मोनिक दोलनों का समीकरण - हार्मोनिक थरथरानवाला समीकरण.

हार्मोनिक दोलन कुछ मात्रा के आवधिक परिवर्तन की एक घटना है, जिसमें तर्क पर निर्भरता में साइन या कोसाइन फ़ंक्शन का चरित्र होता है। उदाहरण के लिए, एक मात्रा जो समय के साथ निम्नानुसार बदलती रहती है, सामंजस्यपूर्ण रूप से उतार-चढ़ाव होती है:

जहां x बदलती मात्रा का मान है, t समय है, शेष पैरामीटर स्थिर हैं: A दोलनों का आयाम है, ω दोलनों की चक्रीय आवृत्ति है, दोलनों का पूर्ण चरण है, प्रारंभिक चरण है दोलन.

विभेदक रूप में सामान्यीकृत हार्मोनिक दोलन

(इसका कोई गैर-तुच्छ समाधान अंतर समीकरण- चक्रीय आवृत्ति के साथ एक हार्मोनिक दोलन होता है)

कंपन के प्रकार

सिस्टम को संतुलन से बाहर निकालने के बाद सिस्टम की आंतरिक ताकतों की कार्रवाई के तहत मुक्त दोलन किए जाते हैं। मुक्त दोलनों के हार्मोनिक होने के लिए, यह आवश्यक है कि दोलन प्रणाली रैखिक हो (गति के रैखिक समीकरणों द्वारा वर्णित), और इसमें कोई ऊर्जा अपव्यय नहीं होना चाहिए (बाद वाला भिगोना का कारण होगा)।

जबरन दोलन बाहरी आवधिक बल के प्रभाव में किए जाते हैं। उनके हार्मोनिक होने के लिए, यह पर्याप्त है कि दोलन प्रणाली रैखिक हो (गति के रैखिक समीकरणों द्वारा वर्णित), और बाहरी बल समय के साथ हार्मोनिक दोलन के रूप में बदलता है (अर्थात, इस बल की समय निर्भरता साइनसॉइडल है) .

हार्मोनिक कंपन समीकरण

समय t पर उतार-चढ़ाव वाले मान S की निर्भरता देता है; यह स्पष्ट रूप में मुक्त हार्मोनिक दोलनों का समीकरण है। हालाँकि, दोलनों के समीकरण को आमतौर पर इस समीकरण के एक अलग रिकॉर्ड के रूप में, विभेदक रूप में समझा जाता है। निश्चितता के लिए हम समीकरण (1) को रूप में लेते हैं

समय के संबंध में इसे दो बार विभेदित करें:

यह देखा जा सकता है कि निम्नलिखित संबंध है:

जिसे मुक्त हार्मोनिक दोलनों का समीकरण (विभेदक रूप में) कहा जाता है। समीकरण (1) अवकल समीकरण (2) का समाधान है। चूँकि समीकरण (2) एक दूसरे क्रम का विभेदक समीकरण है, पूर्ण समाधान प्राप्त करने के लिए दो प्रारंभिक स्थितियाँ आवश्यक हैं (अर्थात, समीकरण (1) में शामिल स्थिरांक ए और   को निर्धारित करने के लिए); उदाहरण के लिए, t = 0 पर एक दोलन प्रणाली की स्थिति और गति।

एक गणितीय पेंडुलम एक थरथरानवाला है, जो एक यांत्रिक प्रणाली है जिसमें गुरुत्वाकर्षण बलों के एक समान क्षेत्र में भार रहित अवितानीय धागे पर या भार रहित छड़ पर स्थित एक भौतिक बिंदु होता है। मुक्त गिरावट त्वरण जी के साथ एक समान गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में गतिहीन रूप से निलंबित लंबाई एल के एक गणितीय पेंडुलम के छोटे ईजेनोसिलेशन की अवधि बराबर है

और पेंडुलम के आयाम और द्रव्यमान पर निर्भर नहीं करता है।

एक भौतिक पेंडुलम एक थरथरानवाला है, जो एक कठोर शरीर है जो किसी बिंदु के बारे में किसी भी बल के क्षेत्र में दोलन करता है जो इस शरीर के द्रव्यमान का केंद्र नहीं है, या बलों की दिशा के लंबवत एक निश्चित अक्ष है और से नहीं गुजरता है इस पिंड के द्रव्यमान का केंद्र.