असतत यादृच्छिक चर। असतत यादृच्छिक चर का वितरण नियम। "यादृच्छिक चर" विषय पर समस्याओं को हल करने के उदाहरण

एक्ससंभाव्यता वितरण कानून द्वारा दिया गया: तो इसका मतलब मानक विचलनबराबर ... 0.80

समाधान:
एक यादृच्छिक चर X के मानक विचलन को इस प्रकार परिभाषित किया गया है: , जहां एक असतत यादृच्छिक चर के प्रसरण की गणना सूत्र द्वारा की जा सकती है

समाधान:
ए(यादृच्छिक रूप से निकाली गई गेंद काली होती है) हम कुल प्रायिकता सूत्र लागू करते हैं: .यहाँ प्रायिकता है कि एक सफेद गेंद को पहले कलश से दूसरे कलश में स्थानांतरित किया गया था; संभावना है कि एक काली गेंद को पहले कलश से दूसरे कलश में स्थानांतरित किया गया था; यदि सफेद गेंद को पहले कलश से दूसरे कलश में स्थानांतरित किया जाता है, तो निकाली गई गेंद के काले होने की सशर्त प्रायिकता है; यदि काली गेंद को पहले कलश से दूसरे कलश में स्थानांतरित किया जाता है, तो निकाली गई गेंद के काले होने की सशर्त प्रायिकता है।

अलग यादृच्छिक मूल्य X को प्रायिकता बंटन नियम द्वारा दिया जाता है: तब प्रायिकता बराबर...

समाधान:
असतत यादृच्छिक चर के प्रसरण की गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है। फिर

या । अंतिम समीकरण को हल करने पर, हमें दो मूल प्राप्त होते हैं और

विषय: प्रायिकता की परिभाषा
12 भागों के एक बैच में 5 दोषपूर्ण भाग होते हैं। तीन आइटम यादृच्छिक रूप से चुने गए थे। तब संभावना है कि चयनित भागों में कोई उपयुक्त भाग नहीं है ... के बराबर है

समाधान:
घटना ए की गणना करने के लिए (चयनित भागों में कोई उपयुक्त भाग नहीं हैं), हम सूत्र का उपयोग करते हैं जहां एन एम- हमारे मामले में घटना ए की घटना के पक्ष में प्राथमिक परिणामों की संख्या कुल गणनासंभव प्रारंभिक परिणाम उन तरीकों की संख्या के बराबर है जिनमें 12 से तीन विवरण निकाले जा सकते हैं, अर्थात .

और अनुकूल परिणामों की कुल संख्या उन तरीकों की संख्या के बराबर है, जिनमें पांच में से तीन दोषपूर्ण भागों को निकाला जा सकता है, अर्थात।

बैंक सभी ऋणों का 44% कानूनी संस्थाओं को, और 56% व्यक्तियों को जारी करता है। संभावना है कि कंपनीसमय पर ऋण नहीं चुकाता, 0.2 के बराबर है; और एक व्यक्ति के लिए यह प्रायिकता 0.1 है। फिर अगले ऋण के समय पर चुकाने की प्रायिकता बराबर है...

0,856

समाधान:
किसी घटना की प्रायिकता की गणना करने के लिए ए(ऋण समय पर चुकाया जाएगा) पूर्ण संभाव्यता सूत्र लागू करें:। यहां - संभावना है कि ऋण कानूनी इकाई को जारी किया गया था; - संभावना है कि ऋण जारी किया गया था एक व्यक्ति को; - सशर्त संभावना है कि ऋण कानूनी इकाई को जारी किए जाने पर समय पर चुकाया जाएगा; - सशर्त संभावना है कि ऋण समय पर चुकाया जाएगा यदि यह किसी व्यक्ति को जारी किया गया था। फिर

विषय: असतत यादृच्छिक चर के लिए संभाव्यता वितरण कानून
असतत यादृच्छिक चर X . के लिए

0,655

विषय: प्रायिकता की परिभाषा
पासे को दो बार फेंका जाता है। तब प्रायिकता कि लुढ़के हुए बिंदुओं का योग नौ से कम नहीं है, के बराबर है ...

समाधान:
घटना की गणना करने के लिए (गिराए गए बिंदुओं का योग कम से कम नौ होगा), हम सूत्र का उपयोग करते हैं, परीक्षण के संभावित प्रारंभिक परिणामों की कुल संख्या कहां है, और एम- घटना के घटित होने के पक्ष में प्राथमिक परिणामों की संख्या ए. हमारे मामले में, यह संभव है प्रारंभिक परीक्षण के परिणाम, जिनमें से अनुकूल परिणाम हैं , , , , , , , और , अर्थात । फलस्वरूप,

विषय: असतत यादृच्छिक चर के लिए संभाव्यता वितरण कानून

संभाव्यता वितरण फ़ंक्शन का रूप है:

तब पैरामीटर का मान बराबर हो सकता है ...

			0,7
			0,85
			0,6

समाधान:
परिभाषा से . इसलिए, और। ये शर्तें संतुष्ट हैं, उदाहरण के लिए, मूल्य से

विषय: यादृच्छिक चर की संख्यात्मक विशेषताएं
एक सतत यादृच्छिक चर एक संभाव्यता वितरण फ़ंक्शन द्वारा दिया जाता है:

फिर इसका विचरण है ...

समाधान:
यह यादृच्छिक चर अंतराल में समान रूप से वितरित किया जाता है। तब इसके विचरण की गणना सूत्र द्वारा की जा सकती है . वह है

विषय: पूर्ण संभावना। बेयस सूत्र
पहले कलश में 6 काली गेंदें और 4 सफेद गेंदें हैं। दूसरे कलश में 2 सफेद और 8 काली गेंदें हैं। यादृच्छिक रूप से लिए गए एक कलश से एक गेंद निकाली गई, जो सफेद निकली। तब इस गेंद के पहले कलश से निकाले जाने की प्रायिकता है...

समाधान:
ए(यादृच्छिक रूप से निकाली गई गेंद सफेद होती है) कुल प्रायिकता सूत्र के अनुसार: . यहाँ, पहले कलश से गेंद निकाले जाने की प्रायिकता है; संभावना है कि गेंद दूसरे कलश से निकाली गई है; सशर्त संभावना है कि निकाली गई गेंद सफेद है यदि इसे पहले कलश से निकाला जाता है; सशर्त संभावना है कि निकाली गई गेंद सफेद है यदि इसे दूसरे कलश से निकाला जाता है।
फिर .
अब हम सशर्त संभावना की गणना करते हैं कि यह गेंद बेयस के सूत्र का उपयोग करके पहले कलश से खींची गई थी:

विषय: यादृच्छिक चर की संख्यात्मक विशेषताएं
असतत यादृच्छिक चर एक्ससंभाव्यता वितरण कानून द्वारा दिया गया:

फिर इसका विचरण है ...

			7,56
			3,2
			3,36
			6,0

समाधान:
असतत यादृच्छिक चर के प्रसरण की गणना सूत्र द्वारा की जा सकती है

विषय: असतत यादृच्छिक चर के लिए संभाव्यता वितरण कानून

समाधान:
परिभाषा से . फिर
ए) पर , ,
बल्ला , ,
बिल्ली , ,
घ) पर , ,
खाना खा लो , ।
फलस्वरूप,

विषय: प्रायिकता की परिभाषा
त्रिज्या 4 के एक वृत्त के अंदर एक बिंदु को यादृच्छिक रूप से फेंका जाता है। तब प्रायिकता कि बिंदु वृत्त में अंकित वर्ग के बाहर होगा, के बराबर है...

विषय: प्रायिकता की परिभाषा
12 भागों के एक बैच में 5 दोषपूर्ण भाग होते हैं। यादृच्छिक रूप से तीन वस्तुओं का चयन किया गया। तब संभावना है कि चयनित भागों में कोई दोषपूर्ण भाग नहीं है ... के बराबर है

समाधान:
घटना की गणना करने के लिए (चयनित भागों में कोई दोषपूर्ण भाग नहीं हैं), हम सूत्र का उपयोग करते हैं, जहां एनसंभावित प्रारंभिक परीक्षण परिणामों की कुल संख्या है, और एमघटना की उपस्थिति के पक्ष में प्राथमिक परिणामों की संख्या है। हमारे मामले में, संभावित प्रारंभिक परिणामों की कुल संख्या उन तरीकों की संख्या के बराबर है, जिनमें 12 में से तीन विवरण निकाले जा सकते हैं, यानी . और अनुकूल परिणामों की कुल संख्या सात में से तीन गैर-दोषपूर्ण भागों को निकालने के तरीकों की संख्या के बराबर है, अर्थात। फलस्वरूप,

विषय: पूर्ण संभावना। बेयस सूत्र

			0,57
			0,43
			0,55
			0,53

समाधान:
किसी घटना की प्रायिकता की गणना करने के लिए ए
फिर

विषय: असतत यादृच्छिक चर के लिए संभाव्यता वितरण कानून
संभाव्यता वितरण कानून द्वारा एक असतत यादृच्छिक चर दिया जाता है:

तब प्रायिकता बराबर...

समाधान:
आइए सूत्र का उपयोग करें . फिर

विषय: पूर्ण संभावना। बेयस सूत्र

			0,875
			0,125
			0,105
			0,375

समाधान:
किसी घटना की प्रायिकता की प्रारंभिक गणना करें ए
.
.

विषय: यादृच्छिक चर की संख्यात्मक विशेषताएं

फिर उसका अपेक्षित मूल्यबराबर…

समाधान:
आइए सूत्र का उपयोग करें . फिर .

विषय: प्रायिकता की परिभाषा

समाधान:

विषय: यादृच्छिक चर की संख्यात्मक विशेषताएं
संभाव्यता घनत्व वितरण द्वारा एक सतत यादृच्छिक चर दिया जाता है . फिर गणितीय अपेक्षा एकऔर इस यादृच्छिक चर का मानक विचलन बराबर है ...

समाधान:
सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर के संभाव्यता वितरण घनत्व का रूप है , कहाँ पे , । इसीलिए .

विषय: असतत यादृच्छिक चर के लिए संभाव्यता वितरण कानून
संभाव्यता वितरण कानून द्वारा एक असतत यादृच्छिक चर दिया जाता है:

फिर मान एकतथा बीबराबर हो सकता है...

समाधान:
चूँकि संभावित मानों की प्रायिकताओं का योग 1 है, तो . उत्तर इस शर्त को पूरा करता है: .

विषय: प्रायिकता की परिभाषा
त्रिज्या 5 वाले एक छोटे वृत्त को 8 त्रिज्या वाले वृत्त में रखा गया है। तब प्रायिकता कि एक बिंदु यादृच्छिक रूप से एक बड़े वृत्त में फेंका जाता है, वह भी एक छोटे वृत्त में गिरेगा ... के बराबर है

समाधान:
वांछित घटना की संभावना की गणना करने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करते हैं, जहां छोटे सर्कल का क्षेत्र होता है, और बड़े सर्कल का क्षेत्र होता है। फलस्वरूप, .

विषय: पूर्ण संभावना। बेयस सूत्र
पहले कलश में 3 काली गेंदें और 7 सफेद गेंदें हैं। दूसरे कलश में 4 सफेद गेंदें और 5 काली गेंदें हैं। एक गेंद को पहले कलश से दूसरे कलश में स्थानांतरित किया जाता है। फिर दूसरे कलश से यादृच्छिक रूप से निकाली गई गेंद के सफेद होने की प्रायिकता है...

			0,47
			0,55
			0,35
			0,50

समाधान:
किसी घटना की प्रायिकता की गणना करने के लिए ए(यादृच्छिक रूप से निकाली गई गेंद सफेद होती है) हम कुल प्रायिकता सूत्र लागू करते हैं: . यहाँ प्रायिकता है कि एक सफेद गेंद को पहले कलश से दूसरे कलश में स्थानांतरित किया गया था; संभावना है कि एक काली गेंद को पहले कलश से दूसरे कलश में स्थानांतरित किया गया था; यदि एक सफेद गेंद को पहले कलश से दूसरे कलश में स्थानांतरित किया गया था, तो खींची गई गेंद के सफेद होने की सशर्त प्रायिकता है; यदि एक काली गेंद को पहले कलश से दूसरे कलश में स्थानांतरित किया गया था, तो निकाली गई गेंद के सफेद होने की सशर्त प्रायिकता है।
फिर

विषय: असतत यादृच्छिक चर के लिए संभाव्यता वितरण कानून
असतत यादृच्छिक चर के लिए:

संभाव्यता वितरण फ़ंक्शन का रूप है:

तब पैरामीटर का मान बराबर हो सकता है ...

			0,7
			0,85
			0,6

TASK N 10 एक त्रुटि की रिपोर्ट करता है
विषय: पूर्ण संभावना। बेयस सूत्र
बैंक सभी ऋणों का 70% कानूनी संस्थाओं को और 30% व्यक्तियों को जारी करता है। एक कानूनी इकाई द्वारा समय पर ऋण नहीं चुकाने की प्रायिकता 0.15 है; और एक व्यक्ति के लिए, यह संभावना 0.05 है। कर्ज नहीं चुकाने का मैसेज मिला। तब संभावना है कि यह ऋण कानूनी इकाई द्वारा चुकाया नहीं गया है ... के बराबर है

			0,875
			0,125
			0,105
			0,375

समाधान:
किसी घटना की प्रायिकता की प्रारंभिक गणना करें ए(जारी किया गया ऋण समय पर नहीं चुकाया जाएगा) कुल संभाव्यता सूत्र के अनुसार:। यहां - संभावना है कि ऋण कानूनी इकाई को जारी किया गया था; - संभावना है कि ऋण एक व्यक्ति को जारी किया गया था; - सशर्त संभावना है कि ऋण कानूनी इकाई को जारी किए जाने पर समय पर चुकाया नहीं जाएगा; - सशर्त संभावना है कि ऋण समय पर चुकाया नहीं जाएगा यदि यह किसी व्यक्ति को जारी किया गया था। फिर
.
अब हम सशर्त संभावना की गणना करते हैं कि बेयस सूत्र का उपयोग करके यह ऋण कानूनी इकाई द्वारा चुकाया नहीं गया था:
.

TASK N 11 एक त्रुटि की रिपोर्ट करता है
विषय: प्रायिकता की परिभाषा
12 भागों के एक बैच में 5 दोषपूर्ण भाग होते हैं। तीन आइटम यादृच्छिक रूप से चुने गए थे। तब संभावना है कि चयनित भागों में कोई उपयुक्त भाग नहीं है ... के बराबर है

समाधान:
घटना की गणना करने के लिए (चयनित भागों में कोई उपयुक्त भाग नहीं हैं), हम सूत्र का उपयोग करते हैं, जहां एनसंभावित प्रारंभिक परीक्षण परिणामों की कुल संख्या है, और एमघटना की उपस्थिति के पक्ष में प्राथमिक परिणामों की संख्या है। हमारे मामले में, संभावित प्रारंभिक परिणामों की कुल संख्या उन तरीकों की संख्या के बराबर है, जिनमें 12 में से तीन विवरण निकाले जा सकते हैं, यानी . और अनुकूल परिणामों की कुल संख्या उन तरीकों की संख्या के बराबर है, जिनमें पांच में से तीन दोषपूर्ण भागों को निकाला जा सकता है, अर्थात। फलस्वरूप,

TASK N 12 एक त्रुटि की रिपोर्ट करता है
विषय: यादृच्छिक चर की संख्यात्मक विशेषताएं
संभाव्यता वितरण घनत्व द्वारा एक सतत यादृच्छिक चर दिया जाता है:

फिर इसका विचरण है ...

समाधान:
एक सतत यादृच्छिक चर के फैलाव की गणना सूत्र द्वारा की जा सकती है

फिर

विषय: असतत यादृच्छिक चर के लिए संभाव्यता वितरण कानून
संभाव्यता वितरण कानून द्वारा एक असतत यादृच्छिक चर दिया जाता है:

तब इसके प्रायिकता बंटन फलन का रूप है...

समाधान:
परिभाषा से . फिर
ए) पर , ,
बल्ला , ,
बिल्ली , ,
घ) पर , ,
खाना खा लो , ।
फलस्वरूप,

विषय: पूर्ण संभावना। बेयस सूत्र
तीन कलश हैं जिनमें 5 सफेद और 5 काली गेंदें हैं, और सात कलश हैं जिनमें 6 सफेद और 4 काली गेंदें हैं। एक गेंद यादृच्छया एक कलश से निकाली जाती है। तो गेंद के सफेद होने की प्रायिकता है...

			0,57
			0,43
			0,55
			0,53

समाधान:
किसी घटना की प्रायिकता की गणना करने के लिए ए(यादृच्छिक रूप से निकाली गई गेंद सफेद होती है) हम कुल प्रायिकता सूत्र लागू करते हैं: . यहाँ, प्रायिकता है कि गेंद कलशों की पहली श्रृंखला से निकाली गई है; संभावना है कि गेंद कलशों की दूसरी श्रृंखला से निकाली गई है; सशर्त संभावना है कि निकाली गई गेंद सफेद है यदि इसे कलशों की पहली श्रृंखला से खींचा गया है; सशर्त संभावना है कि निकाली गई गेंद सफेद है यदि इसे दूसरी श्रृंखला के कलशों से निकाला जाता है।
फिर .

विषय: असतत यादृच्छिक चर के लिए संभाव्यता वितरण कानून
संभाव्यता वितरण कानून द्वारा एक असतत यादृच्छिक चर दिया जाता है:

तब प्रायिकता बराबर...

विषय: प्रायिकता की परिभाषा
पासे को दो बार फेंका जाता है। तब प्रायिकता कि लुढ़के हुए बिंदुओं का योग दस के बराबर है ...

एक्स; अर्थ एफ(5); संभावना है कि यादृच्छिक चर एक्सअंतराल से मान लेगा। एक वितरण बहुभुज का निर्माण करें।

1. असतत यादृच्छिक चर का वितरण फलन F(x) ज्ञात है एक्स:

यादृच्छिक चर के वितरण का नियम निर्दिष्ट करें एक्सएक तालिका के रूप में।

1. एक यादृच्छिक चर के वितरण के नियम को देखते हुए एक्स:

एक्स	–28	–20	–12	–4
पी	0,22	0,44	0,17	0,1	0,07

1. उत्पादों की पूरी श्रृंखला के लिए स्टोर में गुणवत्ता प्रमाणपत्र होने की संभावना 0.7 है। आयोग ने जिले में चार दुकानों में प्रमाण पत्रों की उपलब्धता की जांच की। एक वितरण कानून बनाएं, गणितीय अपेक्षा की गणना करें और उन दुकानों की संख्या की भिन्नता की गणना करें जिनमें जांच के दौरान गुणवत्ता प्रमाण पत्र नहीं मिले थे।

1. निर्धारण के लिए मध्यम अवधि 350 समान बक्सों के एक बैच में बिजली के लैंप जलाकर, प्रत्येक बॉक्स से एक बिजली का दीपक परीक्षण के लिए लिया गया था। नीचे से अनुमान लगाएं कि चयनित इलेक्ट्रिक लैंप का औसत जलने का समय पूरे बैच के औसत जलने के समय से 7 घंटे से कम के निरपेक्ष मान से भिन्न होता है, यदि यह ज्ञात है कि इलेक्ट्रिक लैंप के जलने के समय का मानक विचलन प्रत्येक बॉक्स में कम से कम 9 घंटे है।

1. टेलीफोन एक्सचेंज में, 0.002 की संभावना के साथ गलत कनेक्शन होता है। 500 कनेक्शनों में से होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए:

यादृच्छिक चर का वितरण फलन ज्ञात कीजिए एक्स. कार्यों को प्लॉट करें और . एक यादृच्छिक चर के माध्य, विचरण, बहुलक और माध्यिका की गणना करें एक्स.

1. स्वचालित मशीन रोलर्स बनाती है। यह माना जाता है कि उनका व्यास 10 मिमी के औसत मान के साथ सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर है। मानक विचलन क्या है यदि, 0.99 की संभावना के साथ, व्यास 9.7 मिमी से 10.3 मिमी की सीमा में है।

नमूना ए: 6 9 7 6 4 4

नमूना बी: 55 72 54 53 64 53 59 48

42 46 50 63 71 56 54 59

54 44 50 43 51 52 60 43

50 70 68 59 53 58 62 49

59 51 52 47 57 71 60 46

55 58 72 47 60 65 63 63

58 56 55 51 64 54 54 63

56 44 73 41 68 54 48 52

52 50 55 49 71 67 58 46

50 51 72 63 64 48 47 55

विकल्प 17.

1. 35 भागों में से 7 गैर-मानक हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि यादृच्छिक रूप से चुने गए दो भाग मानक हैं।

1. तीन पासे फेंको। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि गिराए गए फलकों पर अंकों का योग 9 का गुणज है।

1. शब्द "एडवेंचर" कार्ड से बना है, प्रत्येक पर एक अक्षर लिखा है। कार्डों को फेरबदल किया जाता है और बिना वापस लौटे एक-एक करके निकाल लिया जाता है। संभावना है कि उपस्थिति के क्रम में निकाले गए अक्षर एक शब्द बनाते हैं: ए) एडवेंचर; बी) कब्जा।

1. एक कलश में 6 काली और 5 सफेद गेंदें हैं। 5 गेंदें यादृच्छया निकाली जाती हैं। संभावना है कि उनमें से हैं:
1. 2 सफेद गेंदें;
2. 2 से कम सफेद गेंदें;
3. कम से कम एक काली गेंद।

1. लेकिनएक परीक्षण में 0.4 है। निम्नलिखित घटनाओं की प्रायिकता ज्ञात कीजिए:
1. प्रतिस्पर्धा लेकिन 7 स्वतंत्र परीक्षणों की श्रृंखला में 3 बार दिखाई देगा;
2. प्रतिस्पर्धा लेकिन 400 चुनौतियों की श्रृंखला में कम से कम 220 और 235 बार से अधिक नहीं दिखाई देंगे।

1. संयंत्र ने 5,000 उच्च गुणवत्ता वाले उत्पादों को आधार पर भेजा। पारगमन में प्रत्येक उत्पाद को नुकसान की संभावना 0.002 है। इस संभावना का पता लगाएं कि रास्ते में 3 से अधिक उत्पाद क्षतिग्रस्त नहीं होंगे।

1. पहले कलश में 4 सफेद और 9 काली गेंदें हैं, और दूसरे कलश में 7 सफेद और 3 काली गेंदें हैं। पहले कलश से 3 गेंदें यादृच्छिक रूप से निकाली जाती हैं, और दूसरे कलश से 4 गेंदें निकाली जाती हैं। सभी गेंदों के एक ही रंग के होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

1. एक यादृच्छिक चर के वितरण के नियम को देखते हुए एक्स:

इसकी गणितीय अपेक्षा और प्रसरण की गणना करें।

1. बॉक्स में 10 पेंसिलें हैं। यादृच्छिक रूप से 4 पेंसिलें निकाली जाती हैं। यादृच्छिक मूल्य एक्सचयनित लोगों में से नीली पेंसिलों की संख्या है। इसके वितरण का नियम, दूसरे और तीसरे क्रम के प्रारंभिक और केंद्रीय क्षण ज्ञात कीजिए।

1. तकनीकी नियंत्रण विभाग दोषों के लिए 475 उत्पादों की जाँच करता है। किसी उत्पाद के खराब होने की प्रायिकता 0.05 है। 0.95 की संभावना के साथ उन सीमाओं का पता लगाएं जिनमें परीक्षण किए गए उत्पादों के बीच दोषपूर्ण उत्पादों की संख्या होगी।

1. टेलीफोन एक्सचेंज में, 0.003 की संभावना के साथ गलत कनेक्शन होता है। संभावना है कि 1000 कनेक्शनों में से होगा:
1. कम से कम 4 गलत कनेक्शन;
2. दो से अधिक गलत कनेक्शन।

1. यादृच्छिक चर वितरण घनत्व फ़ंक्शन द्वारा दिया जाता है:

यादृच्छिक चर का वितरण फलन ज्ञात कीजिए एक्स. कार्यों को प्लॉट करें और . एक यादृच्छिक चर X की गणितीय अपेक्षा, प्रसरण, बहुलक और माध्यिका की गणना कीजिए।

1. यादृच्छिक चर वितरण फ़ंक्शन द्वारा दिया जाता है:

1. नमूने के अनुसार लेकिननिम्नलिखित कार्यों को हल करें:
1. एक विविधता श्रृंखला बनाओ;

नमूना माध्य;

नमूना विचरण

मोड और माध्यिका;

नमूना ए: 0 0 2 2 1 4

1. परिवर्तनीय श्रृंखला की संख्यात्मक विशेषताओं की गणना करें:

नमूना माध्य;

नमूना विचरण

· मानक विचलन;

मोड और माध्यिका;

नमूना बी: 166 154 168 169 178 182 169 159

161 150 149 173 173 156 164 169

157 148 169 149 157 171 154 152

164 157 177 155 167 169 175 166

167 150 156 162 170 167 161 158

168 164 170 172 173 157 157 162

156 150 154 163 143 170 170 168

151 174 155 163 166 173 162 182

166 163 170 173 159 149 172 176

विकल्प 18.

1. 10 लॉटरी टिकटों में से 2 जीत रहे हैं। यादृच्छिक रूप से निकाले गए पांच टिकटों में से एक के विजेता होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

1. तीन पासे फेंको। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि लुढ़के हुए बिंदुओं का योग 15 से अधिक है।

1. "PERIMETER" शब्द कार्डों से बना है, जिनमें से प्रत्येक पर एक अक्षर लिखा हुआ है। कार्डों को फेरबदल किया जाता है और बिना वापस लौटे एक-एक करके निकाल लिया जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि निकाले गए अक्षर एक शब्द बनाते हैं: a) PERIMETER; बी) मीटर।

1. एक कलश में 5 काली और 7 सफेद गेंदें हैं। 5 गेंदें यादृच्छया निकाली जाती हैं। संभावना है कि उनमें से हैं:
1. 4 सफेद गेंदें;
2. 2 से कम सफेद गेंदें;
3. कम से कम एक काली गेंद।

1. किसी घटना की प्रायिकता लेकिनएक परीक्षण में 0.55 है। निम्नलिखित घटनाओं की प्रायिकता ज्ञात कीजिए:
1. प्रतिस्पर्धा लेकिन 5 चुनौतियों की श्रृंखला में 3 बार दिखाई देंगे;
2. प्रतिस्पर्धा लेकिन 300 चुनौतियों की श्रृंखला में कम से कम 130 और 200 से अधिक बार दिखाई नहीं देंगे।

1. डिब्बाबंद भोजन की एक कैन में रिसाव की संभावना 0.0005 है। 2000 में से दो जार लीक होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

1. पहले कलश में 4 सफेद और 8 काली गेंदें हैं, और दूसरे कलश में 7 सफेद और 4 काली गेंदें हैं। पहले कलश से 2 गेंदें यादृच्छया निकाली जाती हैं और 3 गेंदें दूसरे कलश से यादृच्छया निकाली जाती हैं। निकाली गई सभी गेंदों के एक ही रंग के होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

1. असेंबली के लिए आने वाले पुर्जों में पहली मशीन से 0.1%, दूसरे से - 0.2%, तीसरे से - 0.25%, चौथे से - 0.5% खराब हैं। मशीनों की उत्पादकता तदनुसार 4:3:2:1 से संबंधित है। यादृच्छिक रूप से लिया गया एक हिस्सा मानक निकला। इस बात की प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि वस्तु पहली मशीन पर बनाई गई थी।

1. एक यादृच्छिक चर के वितरण के नियम को देखते हुए एक्स:

इसकी गणितीय अपेक्षा और प्रसरण की गणना करें।

1. एक इलेक्ट्रीशियन के पास तीन प्रकाश बल्ब हैं, जिनमें से प्रत्येक में 0.1 की संभावना के साथ एक दोष है। प्रकाश बल्बों को सॉकेट में खराब कर दिया जाता है और करंट चालू हो जाता है। जब करंट चालू होता है, तो दोषपूर्ण प्रकाश बल्ब तुरंत जल जाता है और इसे दूसरे द्वारा बदल दिया जाता है। परीक्षण किए गए बल्बों की संख्या का वितरण नियम, गणितीय अपेक्षा और विचरण ज्ञात कीजिए।

1. 900 स्वतंत्र शॉट्स में से प्रत्येक के लिए लक्ष्य को मारने की संभावना 0.3 है। चेबीशेव असमानता का उपयोग करते हुए, इस संभावना का अनुमान लगाएं कि लक्ष्य कम से कम 240 बार और अधिकतम 300 बार मारा जाएगा।

1. टेलीफोन एक्सचेंज में, 0.002 की संभावना के साथ गलत कनेक्शन होता है। संभावना है कि 800 कनेक्शनों में से होगा:
1. कम से कम तीन गलत कनेक्शन;
2. चार से अधिक गलत कनेक्शन।

1. यादृच्छिक चर वितरण घनत्व फ़ंक्शन द्वारा दिया जाता है:

यादृच्छिक चर X का वितरण फलन ज्ञात कीजिए। फलनों के रेखांकन बनाएँ और . एक यादृच्छिक चर के माध्य, विचरण, बहुलक और माध्यिका की गणना करें एक्स।

1. यादृच्छिक चर वितरण फ़ंक्शन द्वारा दिया जाता है:

1. नमूने के अनुसार लेकिननिम्नलिखित कार्यों को हल करें:
1. एक विविधता श्रृंखला बनाओ;
2. सापेक्ष और संचित आवृत्तियों की गणना करें;
3. एक अनुभवजन्य वितरण फ़ंक्शन लिखें और उसका ग्राफ बनाएं;
4. परिवर्तनीय श्रृंखला की संख्यात्मक विशेषताओं की गणना करें:

नमूना माध्य;

नमूना विचरण

· मानक विचलन;

मोड और माध्यिका;

नमूना ए: 4 7 6 3 3 4

1. नमूना बी के लिए, निम्नलिखित समस्याओं को हल करें:
1. एक समूहीकृत भिन्नता श्रृंखला बनाना;
2. एक हिस्टोग्राम और आवृत्तियों के बहुभुज का निर्माण करें;
3. परिवर्तनीय श्रृंखला की संख्यात्मक विशेषताओं की गणना करें:

नमूना माध्य;

नमूना विचरण

· मानक विचलन;

मोड और माध्यिका;

नमूना बी: 152 161 141 155 171 160 150 157

154 164 138 172 155 152 177 160

168 157 115 128 154 149 150 141

172 154 144 177 151 128 150 147

143 164 156 145 156 170 171 142

148 153 152 170 142 153 162 128

150 146 155 154 163 142 171 138

128 158 140 160 144 150 162 151

163 157 177 127 141 160 160 142

159 147 142 122 155 144 170 177

विकल्प 19.

1. साइट पर 16 महिलाएं और 5 पुरुष काम करते हैं। कार्मिक संख्या के अनुसार 3 लोगों को यादृच्छिक रूप से चुना गया था। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि सभी चयनित व्यक्ति पुरुष हैं।

2. चार सिक्के उछाले जाते हैं। संभावना है कि केवल दो सिक्कों में हथियारों का कोट होगा।

3. "साइकोलॉजी" शब्द कार्डों से बना है, जिनमें से प्रत्येक पर एक अक्षर लिखा होता है। कार्डों को फेरबदल किया जाता है और बिना वापस लौटे एक-एक करके निकाल लिया जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि निकाले गए अक्षर एक शब्द बनाते हैं: क) मनोविज्ञान; बी) कर्मचारी।

4. एक कलश में 6 काली और 7 सफेद गेंदें हैं। 5 गेंदें यादृच्छया निकाली जाती हैं। संभावना है कि उनमें से हैं:

एक। 3 सफेद गेंदें;

बी। 3 से कम सफेद गेंदें;

सी। कम से कम एक सफेद गेंद।

5. घटना की प्रायिकता लेकिनएक परीक्षण में 0.5 है। निम्नलिखित घटनाओं की प्रायिकता ज्ञात कीजिए:

एक। प्रतिस्पर्धा लेकिन 5 स्वतंत्र परीक्षणों की श्रृंखला में 3 बार दिखाई देगा;

बी। प्रतिस्पर्धा लेकिन 50 चुनौतियों की श्रृंखला में कम से कम 30 और 40 बार से अधिक नहीं दिखाई देंगे।

6. एक ही शक्ति की 100 मशीनें हैं, जो एक ही मोड में एक-दूसरे से स्वतंत्र रूप से संचालित होती हैं, जिसमें उनकी ड्राइव 0.8 कार्य घंटों के लिए चालू होती है। इसकी क्या प्रायिकता है कि किसी भी समय 70 से 86 मशीनें चालू होंगी?

7. पहले कलश में 4 सफेद और 7 काली गेंदें हैं, और दूसरे कलश में 8 सफेद और 3 काली गेंदें हैं। 4 गेंदों को पहले कलश से और 1 गेंद को दूसरे कलश से यादृच्छया निकाला जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि निकाली गई गेंदों में केवल 4 काली गेंदें हैं।

8. हर दिन, कारों के तीन ब्रांड कार डीलरशिप को मात्रा में वितरित किए जाते हैं: मोस्कविच - 40%; "ओका" - 20%; "वोल्गा" - सभी आयातित कारों का 40%। मोस्कविच ब्रांड की कारों में, 0.5% में एक चोरी-रोधी उपकरण है, ओका - 0.01%, वोल्गा - 0.1%। परीक्षण के लिए ली गई कार में चोरी-रोधी उपकरण होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

9. संख्याएँ और खंड पर यादृच्छिक रूप से चुनी जाती हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि ये संख्याएँ असमानताओं को संतुष्ट करती हैं।

10. एक यादृच्छिक चर के वितरण का नियम दिया गया है एक्स:

एक्स
पी	0,1	0,2	0,3	0,4

यादृच्छिक चर का वितरण फलन ज्ञात कीजिए एक्स; अर्थ एफ(2); संभावना है कि यादृच्छिक चर एक्सअंतराल से मान लेगा। एक वितरण बहुभुज का निर्माण करें।

अध्याय 1। असतत यादृच्छिक चर

§ 1. एक यादृच्छिक चर की अवधारणा।

असतत यादृच्छिक चर के वितरण का नियम।

परिभाषा : यादृच्छिक एक मात्रा है, जो परीक्षण के परिणामस्वरूप, अपने मूल्यों के संभावित सेट में से केवल एक मान लेता है, जो पहले से अज्ञात है और यादृच्छिक कारणों पर निर्भर करता है।

यादृच्छिक चर दो प्रकार के होते हैं: असतत और निरंतर।

परिभाषा : यादृच्छिक चर X कहलाता है अलग (असंतत) यदि इसके मानों का समुच्चय परिमित या अनंत है, लेकिन गणनीय है।

दूसरे शब्दों में, संभावित मानअसतत यादृच्छिक चर को पुन: क्रमांकित किया जा सकता है।

आप इसके वितरण नियम का उपयोग करके एक यादृच्छिक चर का वर्णन कर सकते हैं।

परिभाषा : असतत यादृच्छिक चर का वितरण नियम यादृच्छिक चर के संभावित मूल्यों और उनकी संभावनाओं के बीच पत्राचार कहा जाता है।

एक असतत यादृच्छिक चर X का वितरण नियम एक तालिका के रूप में दिया जा सकता है, जिसकी पहली पंक्ति में यादृच्छिक चर के सभी संभावित मान आरोही क्रम में इंगित किए जाते हैं, और दूसरी पंक्ति में संबंधित संभावनाएं इन मूल्यों में से, अर्थात्।

जहां р1+ р2+…+ рn=1

ऐसी तालिका को असतत यादृच्छिक चर के वितरण की एक श्रृंखला कहा जाता है।

यदि किसी यादृच्छिक चर के संभावित मानों का समुच्चय अनंत है, तो श्रृंखला р1+ р2+…+ рn+… अभिसरण होता है और इसका योग 1 के बराबर होता है।

एक असतत यादृच्छिक चर X के वितरण नियम को रेखांकन द्वारा दर्शाया जा सकता है, जिसके लिए एक आयताकार समन्वय प्रणाली में एक बहुभुज रेखा बनाई जाती है, जो क्रमिक बिंदुओं को निर्देशांक (xi; pi), i=1,2,…n से जोड़ती है। परिणामी रेखा कहलाती है वितरण बहुभुज (चित्र एक)।

कार्बनिक रसायन शास्त्र "href="/text/category/organicheskaya_hiimya/" rel="bookmark"> क्रमशः 0.7 और 0.8 हैं। यादृच्छिक चर X के वितरण का नियम तैयार करें - परीक्षा की संख्या जो छात्र करेगा रास्ता।

समाधान। परीक्षा के परिणामस्वरूप, माना जाने वाला यादृच्छिक चर X निम्न में से कोई एक मान ले सकता है: x1=0, x2=1, x3=2।

आइए इन मानों की प्रायिकता ज्ञात करें। घटनाओं को निरूपित करें:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image004_81.jpg" width="259" height="66 src=">

तो, यादृच्छिक चर X का वितरण नियम तालिका द्वारा दिया गया है:

नियंत्रण: 0.6+0.38+0.56=1.

§ 2. वितरण समारोह

वितरण फलन द्वारा एक यादृच्छिक चर का पूर्ण विवरण भी दिया जाता है।

परिभाषा: असतत यादृच्छिक चर X . का वितरण फलन फ़ंक्शन F(x) को कॉल किया जाता है, जो प्रत्येक मान x के लिए प्रायिकता निर्धारित करता है कि यादृच्छिक चर X, x से कम मान लेता है:

एफ(एक्स)=पी(एक्स<х)

ज्यामितीय रूप से, वितरण फ़ंक्शन की व्याख्या इस संभावना के रूप में की जाती है कि यादृच्छिक चर X, बिंदु x के बाईं ओर एक बिंदु द्वारा संख्या रेखा पर दर्शाए गए मान को ले लेगा।

1)0≤F(x)≤1;

2) F(x) (-∞;+∞) पर एक गैर-घटता फलन है;

3) F(x) - बिंदुओं पर बाईं ओर से निरंतर x= xi (i=1,2,…n) और अन्य सभी बिंदुओं पर निरंतर;

4) एफ (-∞) = पी (एक्स .)<-∞)=0 как вероятность невозможного события Х<-∞,

एफ(+∞)=पी(एक्स<+∞)=1 как вероятность достоверного события Х<-∞.

यदि एक असतत यादृच्छिक चर X का वितरण नियम तालिका के रूप में दिया गया है:

तब वितरण फलन F(x) सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110">

0 x≤ x1 के लिए,

p1 x1 . पर< х≤ x2,

F(x)= p1 + p2 x2 . पर< х≤ х3

1 x> xn के लिए।

इसका ग्राफ चित्र 2 में दिखाया गया है:

§ 3. एक असतत यादृच्छिक चर की संख्यात्मक विशेषताएं।

गणितीय अपेक्षा महत्वपूर्ण संख्यात्मक विशेषताओं में से एक है।

परिभाषा: गणितीय अपेक्षा एम (एक्स) असतत यादृच्छिक चर X इसके सभी मूल्यों और उनकी संबंधित संभावनाओं के उत्पादों का योग है:

एम (एक्स) = xiрi= x1р1 + x2р2+…+ xnрn

गणितीय अपेक्षा एक यादृच्छिक चर के औसत मूल्य की विशेषता के रूप में कार्य करती है।

गणितीय अपेक्षा के गुण:

1) एम (सी) = सी, जहां सी एक स्थिर मूल्य है;

2) एम (सी एक्स) \u003d सी एम (एक्स),

3) एम (एक्स ± वाई) = एम (एक्स) ± एम (वाई);

4)M(X Y)=M(X) M(Y), जहां X, Y स्वतंत्र यादृच्छिक चर हैं;

5) एम (एक्स ± सी) = एम (एक्स) ± सी, जहां सी एक स्थिर मूल्य है;

एक असतत यादृच्छिक चर के संभावित मूल्यों के फैलाव की डिग्री को इसके माध्य मान के आसपास चिह्नित करने के लिए, विचरण का उपयोग किया जाता है।

परिभाषा: फैलाव डी ( एक्स ) यादृच्छिक चर X अपनी गणितीय अपेक्षा से यादृच्छिक चर के वर्ग विचलन की गणितीय अपेक्षा है:

फैलाव गुण:

1)D(C)=0, जहां C एक स्थिर मान है;

2)D(X)>0, जहाँ X एक यादृच्छिक चर है;

3)D(C X)=C2 D(X), जहां C एक स्थिर मान है;

4)D(X+Y)=D(X)+D(Y), जहां X, Y स्वतंत्र यादृच्छिक चर हैं;

विचरण की गणना करने के लिए, सूत्र का उपयोग करना अक्सर सुविधाजनक होता है:

डी (एक्स) = एम (एक्स 2) - (एम (एक्स)) 2,

जहां (Х)=∑ xi2рi= x12р1 + x22р2+…+ xn2рn

प्रसरण D(X) में एक यादृच्छिक चर के वर्ग का आयाम होता है, जो हमेशा सुविधाजनक नहीं होता है। इसलिए, मान √D(X) का उपयोग यादृच्छिक चर के संभावित मानों के फैलाव के संकेतक के रूप में भी किया जाता है।

परिभाषा: मानक विचलन (एक्स) यादृच्छिक चर X को प्रसरण का वर्गमूल कहा जाता है:

टास्क नंबर 2.असतत यादृच्छिक चर X वितरण कानून द्वारा दिया गया है:

P2, बंटन फलन F(x) ज्ञात कीजिए और इसका ग्राफ, साथ ही M(X), D(X), (X) आलेखित कीजिए।

समाधान: चूँकि यादृच्छिक चर X के संभावित मानों की प्रायिकताओं का योग 1 के बराबर है, तो

Р2=1- (0.1+0.3+0.2+0.3)=0.1

वितरण फलन ज्ञात कीजिए F(x)=P(X

ज्यामितीय रूप से, इस समानता की व्याख्या इस प्रकार की जा सकती है: F(x) संभावना है कि एक यादृच्छिक चर वास्तविक अक्ष पर x के बाईं ओर एक बिंदु द्वारा दर्शाए गए मान को ले जाएगा।

यदि x≤-1, तो F(x)=0, क्योंकि (-∞;x) पर इस यादृच्छिक चर का एक भी मान नहीं है;

अगर -1<х≤0, то F(х)=Р(Х=-1)=0,1, т. к. в промежуток (-∞;х) попадает только одно значение x1=-1;

अगर 0<х≤1, то F(х)=Р(Х=-1)+ Р(Х=0)=0,1+0,1=0,2, т. к. в промежуток

(-∞;х) दो मान x1=-1 और x2=0 गिरते हैं;

अगर 1<х≤2, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)= 0,1+0,1+0,3=0,5, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают три значения x1=-1, x2=0 и x3=1;

अगर 2<х≤3, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)+ Р(Х=2)= 0,1+0,1+0,3+0,2=0,7, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают четыре значения x1=-1, x2=0,x3=1 и х4=2;

यदि x>3, तो F(x)=P(X=-1) + P(X=0)+ P(X=1)+ P(X=2)+P(X=3)= 0.1 +0.1 +0.3+0.2+0.3=1, चूंकि चार मान x1=-1, x2=0,x3=1,x4=2 अंतराल (-∞;x) और x5=3 में आते हैं।

https://pandia.ru/text/78/455/images/image006_89.gif" width="14 height=2" height="2"> 0 x≤-1 के लिए,

0.1 पर -1<х≤0,

0.2 0 . पर<х≤1,

एफ (एक्स) = 0.5 1 . पर<х≤2,

0.7 पर 2<х≤3,

1 x>3 . के लिए

आइए फलन F(x) को आलेखीय रूप से निरूपित करें (चित्र 3):

https://pandia.ru/text/78/455/images/image014_24.jpg" width="158 height=29" height="29">≈1.2845.

§ 4. द्विपद वितरण कानून

असतत यादृच्छिक चर, पॉइसन का नियम।

परिभाषा: द्विपद एक असतत यादृच्छिक चर X के वितरण का नियम कहा जाता है - n स्वतंत्र दोहराए गए परीक्षणों में घटना A की घटनाओं की संख्या, जिनमें से प्रत्येक घटना A प्रायिकता p के साथ हो सकती है या प्रायिकता q = 1-p के साथ नहीं हो सकती है। तब (Х=m)-घटना के घटित होने की प्रायिकता A की n परीक्षणों में ठीक m बार गणना बर्नौली सूत्र द्वारा की जाती है:

पी(एक्स=एम)=Сmnpmqn-m

एक द्विआधारी कानून के अनुसार वितरित यादृच्छिक चर X की गणितीय अपेक्षा, विचरण और मानक विचलन, क्रमशः, सूत्रों द्वारा पाए जाते हैं:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image016_31.gif" width="26"> घटना A की संभावना - प्रत्येक परीक्षण में "पांच प्राप्त करना" समान है और 1/6 के बराबर है, यानी P(A)=p=1/6, फिर P(A)=1-p=q=5/6, जहां

- "बूँदें पाँच नहीं हैं।"

यादृच्छिक चर X मान ले सकता है: 0;1;2;3।

हम बर्नौली सूत्र का उपयोग करके X के प्रत्येक संभावित मान की प्रायिकता ज्ञात करते हैं:

P(X=0)=P3(0)=C03p0q3=1 (1/6)0 (5/6)3=125/216;

P(X=1)=P3(1)=C13p1q2=3 (1/6)1 (5/6)2=75/216;

P(X=2)=P3(2)=C23p2q=3(1/6)2(5/6)1=15/216;

P(X=3)=P3(3)=C33p3q0=1 (1/6)3 (5/6)0=1/216.

उस। यादृच्छिक चर X के वितरण नियम का रूप है:

नियंत्रण: 125/216+75/216+15/216+1/216=1.

आइए यादृच्छिक चर X की संख्यात्मक विशेषताओं को खोजें:

एम(एक्स)=np=3 (1/6)=1/2,

डी(एक्स)=npq=3 (1/6) (5/6)=5/12,

टास्क नंबर 4.स्वचालित मशीन टिकट भागों। एक निर्मित भाग के खराब होने की प्रायिकता 0.002 है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि 1000 चयनित भागों में से निम्नलिखित होंगे:

ए) 5 दोषपूर्ण;

बी) कम से कम एक दोषपूर्ण है।

समाधान: संख्या n=1000 बड़ी है, एक दोषपूर्ण भाग p=0.002 के निर्माण की संभावना कम है, और विचाराधीन घटनाएँ (भाग ख़राब हो जाती हैं) स्वतंत्र हैं, इसलिए पॉइसन सूत्र होता है:

एन (एम) = इ- λ m

आइए =np=1000 0.002=2 खोजें।

क) 5 दोषपूर्ण भागों के होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए (m=5):

P1000(5)= इ-2 25 = 32 0,13534 = 0,0361

ख) कम से कम एक दोषपूर्ण भाग होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

घटना ए - "चयनित भागों में से कम से कम एक दोषपूर्ण है" घटना के विपरीत है - "सभी चयनित भाग दोषपूर्ण नहीं हैं"। इसलिए, पी (ए) \u003d 1-पी ()। इसलिए वांछित संभावना बराबर है: Р(А)=1-Р1000(0)=1- इ-2 20 \u003d 1-ई-2 \u003d 10.13534≈0.865।

स्वतंत्र कार्य के लिए कार्य।

1.1

1.2. परिक्षिप्त यादृच्छिक चर X वितरण नियम द्वारा दिया गया है:

p4, बंटन फलन F(X) ज्ञात कीजिए और इसका ग्राफ, साथ ही M(X), D(X), (X) आलेखित कीजिए।

1.3. बॉक्स में 9 फेल्ट-टिप पेन हैं, जिनमें से 2 अब नहीं लिखते हैं। यादृच्छिक रूप से, 3 महसूस-टिप पेन लें। रैंडम वेरिएबल एक्स - लिए गए लोगों के बीच लेखन की संख्या महसूस-टिप पेन। एक यादृच्छिक चर के वितरण के नियम की रचना करें।

1.4. पुस्तकालय शेल्फ पर यादृच्छिक रूप से 6 पाठ्यपुस्तकें रखी गई हैं, उनमें से 4 बाध्य हैं। लाइब्रेरियन यादृच्छिक रूप से 4 पाठ्यपुस्तकें लेता है। यादृच्छिक चर X ली गई पाठ्य पुस्तकों की संख्या है। एक यादृच्छिक चर के वितरण के नियम की रचना करें।

1.5. टिकट के दो कार्य हैं। संभावना सही निर्णयपहला कार्य 0.9 के बराबर है, दूसरा-0.7। यादृच्छिक चर X टिकट में सही ढंग से हल की गई समस्याओं की संख्या है। एक वितरण कानून लिखें, इस यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा और भिन्नता की गणना करें, और वितरण फ़ंक्शन F (x) भी ढूंढें और इसका ग्राफ बनाएं।

1.6. तीन निशानेबाजों ने निशाना साधा। पहले शूटर के लिए एक शॉट के साथ लक्ष्य को मारने की संभावना 0.5 है, दूसरे के लिए - 0.8, तीसरे के लिए - 0.7। यादृच्छिक चर X लक्ष्य पर हिट की संख्या है यदि निशानेबाज एक-एक शॉट लगाते हैं। वितरण कानून, एम (एक्स), डी (एक्स) खोजें।

1.7. एक बास्केटबॉल खिलाड़ी गेंद को टोकरी में फेंकता है, जिसमें प्रत्येक थ्रो पर हिट होने की प्रायिकता 0.8 होती है। प्रत्येक हिट के लिए, उसे 10 अंक प्राप्त होते हैं, और चूक के मामले में, उसे अंक नहीं दिए जाते हैं। एक बास्केटबॉल खिलाड़ी द्वारा 3 थ्रो के लिए प्राप्त अंकों की एक यादृच्छिक चर X-संख्या के वितरण के नियम की रचना करें। एम (एक्स), डी (एक्स) खोजें और संभावना भी है कि वह 10 से अधिक अंक प्राप्त करेगा।

1.8. कार्डों पर अक्षर लिखे जाते हैं, केवल 5 स्वर और 3 व्यंजन। यादृच्छिक रूप से 3 कार्ड चुने जाते हैं, और हर बार लिया गया कार्ड वापस लौटा दिया जाता है। यादृच्छिक चर X लिए गए स्वरों में से स्वरों की संख्या है। एक वितरण कानून लिखें और एम (एक्स), डी (एक्स), σ (एक्स) खोजें।

1.9. औसतन, 60% अनुबंधों के तहत, बीमा कंपनी एक बीमित घटना की घटना के संबंध में बीमा राशि का भुगतान करती है। एक यादृच्छिक चर X के लिए एक वितरण कानून तैयार करें - अनुबंधों की संख्या जिसके लिए बीमा राशि का भुगतान चार यादृच्छिक रूप से चयनित अनुबंधों के बीच किया गया था। इस मात्रा की संख्यात्मक विशेषताओं का पता लगाएं।

1.10. दो-तरफा संचार स्थापित होने तक रेडियो स्टेशन कुछ अंतराल पर कॉल संकेत (चार से अधिक नहीं) भेजता है। कॉल साइन पर प्रतिक्रिया प्राप्त करने की संभावना 0.3 है। भेजे गए कॉलसाइन की रैंडम वैरिएबल X-संख्या। वितरण नियम की रचना कीजिए और F(x) ज्ञात कीजिए।

1.11. 3 चाबियां हैं, जिनमें से केवल एक ही ताला फिट करती है। यदि कोशिश की गई कुंजी बाद के प्रयासों में भाग नहीं लेती है, तो ताला खोलने के प्रयासों के यादृच्छिक चर एक्स-संख्या के लिए एक वितरण कानून तैयार करें। एम (एक्स), डी (एक्स) खोजें।

1.12. विश्वसनीयता के लिए तीन उपकरणों के अनुक्रमिक स्वतंत्र परीक्षण किए जाते हैं। प्रत्येक बाद के उपकरण का परीक्षण तभी किया जाता है जब पिछला एक विश्वसनीय निकला हो। प्रत्येक उपकरण के लिए परीक्षा पास करने की प्रायिकता 0.9 है। परीक्षण किए गए उपकरणों के यादृच्छिक चर X-संख्या के वितरण के नियम को संकलित करें।

1.13 असतत यादृच्छिक चर X के तीन संभावित मान हैं: x1=1, x2, x3, और x1<х2<х3. Вероятность того, что Х примет значения х1 и х2, соответственно равны 0,3 и 0,2. Известно, что М(Х)=2,2, D(X)=0,76. Составить закон распределения случайной величины.

1.14. इलेक्ट्रॉनिक उपकरण के ब्लॉक में 100 समान तत्व होते हैं। T समय के दौरान प्रत्येक तत्व के विफल होने की प्रायिकता 0.002 के बराबर है। तत्व स्वतंत्र रूप से कार्य करते हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि T समय में दो से अधिक तत्व विफल नहीं होंगे।

1.15. पाठ्यपुस्तक 50,000 प्रतियों में प्रकाशित हुई थी। पाठ्यपुस्तक के गलत तरीके से बंधे होने की प्रायिकता 0.0002 है। संचलन में शामिल होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए:

ए) चार दोषपूर्ण किताबें,

b) दो से कम दोषपूर्ण पुस्तकें।

1 .16. पीबीएक्स पर हर मिनट आने वाली कॉलों की संख्या को पॉइसन कानून के अनुसार पैरामीटर λ=1.5 के साथ वितरित किया जाता है। एक मिनट में होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए:

ए) दो कॉल;

बी) कम से कम एक कॉल।

1.17.

यदि Z=3X+Y हो तो M(Z),D(Z) ज्ञात कीजिए।

1.18. दो स्वतंत्र यादृच्छिक चरों के वितरण के नियम दिए गए हैं:

यदि Z=X+2Y हो तो M(Z),D(Z) ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110"> 1.1. पी 3 = 0.4; 0 x≤-2 के लिए,

0.3 पर -2<х≤0,

एफ (एक्स) = 0.5 0 . पर<х≤2,

0.9 पर 2<х≤5,

1 x>5 . के लिए

1.2. पी4 = 0.1; 0 x≤-1 के लिए,

0.3 पर -1<х≤0,

0.4 0 . पर<х≤1,

एफ (एक्स) = 0.6 1 . पर<х≤2,

0.7 पर 2<х≤3,

1 x>3 . के लिए

एम (एक्स) = 1; डी (एक्स) = 2.6; (एक्स) 1.612।

https://pandia.ru/text/78/455/images/image025_24.gif" width="2 height=98" height="98"> 0 x≤0 के लिए,

0.03 0 . पर<х≤1,

एफ (एक्स) = 0.37 1 . पर<х≤2,

1 x>2 . के लिए

एम (एक्स) = 2; डी (एक्स) = 0.62

एम (एक्स) = 2.4; डी (एक्स) = 0.48, पी (एक्स> 10) = 0.896

1. 8 .

एम (एक्स) = 15/8; डी (एक्स) = 45/64; (Х)

एम (एक्स) = 2.4; डी (एक्स) = 0.96

https://pandia.ru/text/78/455/images/image008_71.gif" width="14"> 1.11.

एम (एक्स) = 2; डी (एक्स) = 2/3

1.14. 1.22e-0.2≈0.999

1.15. क) 0.0189; बी) 0.00049

1.16. क) 0.0702; बी) 0.77687

1.17. 3,8; 14,2

1.18. 11,2; 4.

अध्याय 2 सतत यादृच्छिक चर

परिभाषा: निरंतर उस मान को नाम दें, जिसके सभी संभावित मान संख्यात्मक अक्ष के परिमित या अनंत अंतराल को पूरी तरह से भरते हैं।

जाहिर है, एक सतत यादृच्छिक चर के संभावित मूल्यों की संख्या अनंत है।

वितरण फ़ंक्शन का उपयोग करके एक सतत यादृच्छिक चर निर्दिष्ट किया जा सकता है।

परिभाषा:एफ वितरण समारोह एक सतत यादृच्छिक चर X एक फ़ंक्शन F(x) है, जो प्रत्येक मान x के लिए निर्धारित करता है xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image028_11.jpg" width="14" height="13">R

वितरण फलन को कभी-कभी संचयी बंटन फलन कहा जाता है।

वितरण समारोह गुण:

1)1≤एफ(एक्स)≤1

2) एक सतत यादृच्छिक चर के लिए, वितरण फलन किसी भी बिंदु पर निरंतर होता है और शायद अलग-अलग बिंदुओं को छोड़कर, हर जगह अलग-अलग होता है।

3) संभावना है कि एक यादृच्छिक चर एक्स अंतराल (ए; बी), [ए; बी), [ए; बी] में से एक में आता है, फ़ंक्शन एफ (एक्स) के मूल्यों के बीच अंतर के बराबर है। बिंदु ए और बी पर, अर्थात। पी(ए<Х

4) एक सतत यादृच्छिक चर X के एक एकल मान लेने की प्रायिकता 0 है।

5) एफ(-∞)=0, एफ(+∞)=1

एक वितरण फ़ंक्शन का उपयोग करके एक सतत यादृच्छिक चर निर्दिष्ट करना केवल एक ही नहीं है। आइए हम संभाव्यता वितरण घनत्व (वितरण घनत्व) की अवधारणा का परिचय दें।

परिभाषा : संभावित गहराई एफ ( एक्स ) सतत यादृच्छिक चर X इसके वितरण फलन का व्युत्पन्न है, अर्थात्:

संभाव्यता वितरण घनत्व को कभी-कभी अंतर वितरण फ़ंक्शन या अंतर वितरण कानून कहा जाता है।

संभाव्यता वितरण f(x) के घनत्व के ग्राफ को कहा जाता है संभाव्यता वितरण वक्र .

संभाव्यता घनत्व गुण:

1) f(x) 0, जब xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image029_10.jpg" width="285" height="141">.gif" width="14" ऊंचाई ="62 src="> 0 x≤2 के लिए,

f(x)= c(x-2) 2 . पर<х≤6,

0 के लिए x>6.

खोजें: ए) सी का मूल्य; बी) वितरण समारोह एफ (एक्स) और इसका ग्राफ बनाएं; ग) (3≤х .)<5)

समाधान:

+ ∞

a) सामान्यीकरण की स्थिति से c का मान ज्ञात कीजिए: f(x)dx=1.

इसलिए, -∞

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38 src="> -∞ 2 2 x

अगर 2<х≤6, то F(x)= ∫ 0dx+∫ 1/8(х-2)dx=1/8(х2/2-2х) = 1/8(х2/2-2х - (4/2-4))=

1/8(x2/2-2x+2)=1/16(x-2)2;

Gif" चौड़ाई = "14" ऊंचाई = "62"> 0 x≤2 के लिए,

एफ (एक्स) \u003d (एक्स -2) 2/16 2 . पर<х≤6,

1 x>6 के लिए।

फलन F(x) का आलेख चित्र 3 में दिखाया गया है

https://pandia.ru/text/78/455/images/image034_23.gif" width="14" height="62 src="> 0 x≤0 के लिए,

एफ (एक्स) \u003d (3 आर्कटजी एक्स) / π 0 . पर<х≤√3,

1 x>√3 के लिए।

विभेदक वितरण फलन ज्ञात कीजिए f(x)

समाधान: चूँकि f (x) \u003d F '(x), तब

https://pandia.ru/text/78/455/images/image011_36.jpg" width="118" height="24">

पहले बिखरे हुए यादृच्छिक चर के लिए गणितीय अपेक्षा और फैलाव के सभी गुण निरंतर लोगों के लिए भी मान्य हैं।

टास्क नंबर 3.यादृच्छिक चर X अवकलन फलन f(x) द्वारा दिया जाता है:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image036_19.gif" height="38"> -∞ 2

X3/9 + x2/6 = 8/9-0+9/6-4/6=31/18,

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38"> +∞

D(X)= ∫ x2 f(x)dx-(M(x))2=∫ x2 x/3 dx+∫1/3x2 dx=(31/18)2=x4/12 +x3/9 -

- (31/18)2=16/12-0+27/9-8/9-(31/18)2=31/9- (31/18)2==31/9(1-31/36)=155/324,

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38">

पी(1<х<5)= ∫ f(x)dx=∫ х/3 dx+∫ 1/3 dx+∫ 0 dx= х2/6 +1/3х =

4/6-1/6+1-2/3=5/6.

स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य।

2.1. एक सतत यादृच्छिक चर X एक वितरण फलन द्वारा दिया जाता है:

0 x≤0 के लिए,

F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 x≤ /6 के लिए,

F(х)= - cos 3x /6 . पर<х≤ π/3,

1 x> /3 के लिए।

विभेदक वितरण फलन f(x) और भी ज्ञात कीजिए

(2π /9 .)<Х< π /2).

2.3.

0 x≤2 के लिए,

f(x)= x के साथ 2 . पर<х≤4,

0 के लिए x>4.

2.4. एक सतत यादृच्छिक चर X वितरण घनत्व द्वारा दिया जाता है:

0 x≤0 के लिए,

f(х)= с 0 . पर<х≤1,

0 के लिए x>1.

खोजें: ए) संख्या सी; बी) एम (एक्स), डी (एक्स)।

2.5.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image041_3.jpg" width="36" height="39"> x के लिए,

0 पर एक्स।

खोजें: a) F(x) और इसका ग्राफ तैयार करें; बी) एम (एक्स), डी (एक्स), σ (एक्स); ग) प्रायिकता कि चार स्वतंत्र परीक्षणों में X का मान अंतराल (1; 4) से संबंधित मान का ठीक 2 गुना होगा।

2.6. एक सतत यादृच्छिक चर X का प्रायिकता वितरण घनत्व दिया गया है:

f (x) \u003d 2 (x-2) x के लिए,

0 पर एक्स।

खोजें: a) F(x) और इसका ग्राफ तैयार करें; बी) एम (एक्स), डी (एक्स), σ (एक्स); सी) संभावना है कि तीन स्वतंत्र परीक्षणों में एक्स मान अंतराल से संबंधित मान का ठीक 2 गुना लेगा।

2.7. फलन f(x) इस प्रकार दिया गया है:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image045_4.jpg" width="43" height="38 src=">.jpg" width="16" height="15">[-√ 3/2; √3/2]।

2.8. फलन f(x) इस प्रकार दिया गया है:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image046_5.jpg" width="45" height="36 src="> .jpg" width="16" height="15">[- /चार ; /4]।

खोजें: a) स्थिरांक c का मान, जिस पर फ़ंक्शन कुछ यादृच्छिक चर X का प्रायिकता घनत्व होगा; बी) वितरण समारोह एफ (एक्स)।

2.9. यादृच्छिक चर Х, अंतराल (3;7) पर केंद्रित, वितरण फलन F(х)= द्वारा दिया जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि

यादृच्छिक चर X मान लेगा: a) 5 से कम, b) 7 से कम नहीं।

2.10. यादृच्छिक चर एक्स, अंतराल पर केंद्रित (-1; 4),

वितरण फलन F(x)= द्वारा दिया गया है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि

यादृच्छिक चर X मान लेगा: a) 2 से कम, b) 4 से कम नहीं।

2.11.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image049_6.jpg" width="43" height="44 src="> .jpg" width="16" height="15">.

खोजें: ए) संख्या सी; बी) एम (एक्स); सी) संभावना पी (एक्स> एम (एक्स))।

2.12. यादृच्छिक चर अंतर वितरण फ़ंक्शन द्वारा दिया जाता है:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image050_3.jpg" width="60" height="38 src=">.jpg" width="16 height=15" height="15"> .

खोजें: ए) एम (एक्स); बी) संभावना Р(Х≤М(Х))

2.13. समय वितरण संभाव्यता घनत्व द्वारा दिया जाता है:

x ≥0 के लिए https://pandia.ru/text/78/455/images/image052_5.jpg" width="46" height="37">।

सिद्ध कीजिए कि f(x) वास्तव में एक प्रायिकता घनत्व बंटन है।

2.14. एक सतत यादृच्छिक चर X का प्रायिकता वितरण घनत्व दिया गया है:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image054_3.jpg" width="174" height="136 src="> (Fig.4) (अंजीर.5)

2.16. यादृच्छिक चर X को कानून के अनुसार वितरित किया जाता है " सही त्रिकोण» अंतराल में (0;4) (चित्र 5)। संपूर्ण वास्तविक अक्ष पर प्रायिकता घनत्व f(x) के लिए एक विश्लेषणात्मक व्यंजक ज्ञात कीजिए।

जवाब

0 x≤0 के लिए,

f(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 x≤ /6 के लिए,

F(x)= 3sin 3x π/6 . पर<х≤ π/3,

0 के लिए x> /3. एक सतत यादृच्छिक चर X का एक निश्चित अंतराल (a;b) पर एक समान वितरण नियम है, जिसमें X के सभी संभावित मान शामिल हैं, यदि इस अंतराल पर प्रायिकता वितरण घनत्व f(x) स्थिर है और 0 के बराबर है इसके बाहर, अर्थात्।

0 x≤a के लिए,

f(x)= a . के लिए<х

x≥b के लिए 0.

फलन f(x) का ग्राफ अंजीर में दिखाया गया है। एक

https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 x≤a के लिए,

F(х)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image077_3.jpg" width="30" height="37">, D(X)=, (Х)=.

टास्क नंबर 1.यादृच्छिक चर X को खंड पर समान रूप से वितरित किया जाता है। पाना:

ए) संभाव्यता वितरण घनत्व एफ (एक्स) और इसका ग्राफ बनाएं;

बी) वितरण समारोह एफ (एक्स) और इसका ग्राफ बनाएं;

सी) एम (एक्स), डी (एक्स), σ (एक्स)।

समाधान: ऊपर चर्चा किए गए सूत्रों का उपयोग करते हुए, a=3, b=7 के साथ, हम पाते हैं:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image081_2.jpg" width="22" height="39"> 3≤х≤7 पर,

0 के लिए x>7

आइए इसका ग्राफ बनाते हैं (चित्र 3):

https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86 src="> 0 x≤3 के लिए,

F(х)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image084_3.jpg" width="203" height="119 src=">fig.4

डी(एक्स) = ==https://pandia.ru/text/78/455/images/image089_1.jpg" width="37" height="43">==https://pandia.ru/text/ 78/455/images/image092_10.gif" चौड़ाई="14" ऊंचाई="49 src="> 0 के लिए x<0,

f(х)= е-λх 0 पर।

एक घातांकीय नियम के अनुसार वितरित एक यादृच्छिक चर X का वितरण फलन सूत्र द्वारा दिया जाता है:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image094_4.jpg" width="191" height="126 src=">fig..jpg" width="22" height="30"> , डी (एक्स) =, σ (एक्स) =

इस प्रकार, गणितीय अपेक्षा और घातीय वितरण का मानक विचलन एक दूसरे के बराबर हैं।

एक्स के अंतराल (ए;बी) में गिरने की संभावना की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

(ए<Х

टास्क नंबर 2.डिवाइस का औसत अपटाइम 100 घंटे है। यह मानते हुए कि डिवाइस के अपटाइम में एक घातीय वितरण कानून है, खोजें:

क) संभाव्यता वितरण घनत्व;

बी) वितरण समारोह;

सी) संभावना है कि डिवाइस के विफलता मुक्त संचालन का समय 120 घंटे से अधिक हो जाएगा।

समाधान: शर्त के अनुसार, गणितीय वितरण M(X)=https://pandia.ru/text/78/455/images/image098_10.gif" height="43 src="> 0 x के लिए<0,

a) f(x)= 0.01e -0.01x x≥0 के लिए।

बी) एफ (एक्स) = 0 x . के लिए<0,

1-ई -0.01x x≥0 पर।

सी) हम वितरण समारोह का उपयोग करके वांछित संभावना पाते हैं:

P(X>120)=1-F(120)=1-(1-e-1.2)=e-1.2≈0.3.

§ 3. सामान्य वितरण कानून

परिभाषा: एक सतत यादृच्छिक चर X है सामान्य वितरण कानून (गाऊसी कानून), यदि इसके वितरण घनत्व का रूप है:

,

जहां एम = एम (एक्स), σ2 = डी (एक्स), σ> 0।

सामान्य वितरण वक्र कहलाता है सामान्य या गाऊसी वक्र (अंजीर। 7)

सामान्य वक्र सीधी रेखा x=m के संबंध में सममित है, अधिकतम x=a के बराबर है।

सामान्य नियम के अनुसार वितरित एक यादृच्छिक चर X का वितरण कार्य, सूत्र के अनुसार लाप्लास फ़ंक्शन Ф (х) के माध्यम से व्यक्त किया जाता है:

,

लैपलेस फ़ंक्शन कहां है।

टिप्पणी: फलन Ф(х) विषम है (Ф(-х)=-Ф(х)), इसके अलावा, यदि x>5, हम Ф(х) 1/2 पर विचार कर सकते हैं।

वितरण फलन F(x) का ग्राफ अंजीर में दिखाया गया है। आठ

https://pandia.ru/text/78/455/images/image106_4.jpg" width="218" height="33">

संभावना है कि विचलन का निरपेक्ष मान एक सकारात्मक संख्या से कम है, की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

विशेष रूप से, एम = 0 के लिए समानता सत्य है:

"तीन सिग्मा नियम"

यदि यादृच्छिक चर X में पैरामीटर m और के साथ एक सामान्य वितरण कानून है, तो यह व्यावहारिक रूप से निश्चित है कि इसका मान अंतराल (a-3σ; a+3σ) में है, क्योंकि

https://pandia.ru/text/78/455/images/image110_2.jpg" width="157" height="57 src=">a)

बी) आइए सूत्र का उपयोग करें:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image112_2.jpg" width="369" height="38 src=">

फ़ंक्शन (х) के मानों की तालिका के अनुसार हम Ф(1.5)=0.4332, (1)=0.3413 पाते हैं।

तो वांछित संभावना है:

पी(28

स्वतंत्र कार्य के लिए कार्य

3.1. यादृच्छिक चर X को अंतराल (-3;5) में समान रूप से वितरित किया जाता है। पाना:

बी) वितरण समारोह एफ (एक्स);

ग) संख्यात्मक विशेषताएं;

d) प्रायिकता P(4 .)<х<6).

3.2. यादृच्छिक चर X को खंड पर समान रूप से वितरित किया जाता है। पाना:

ए) वितरण घनत्व एफ (एक्स);

बी) वितरण समारोह एफ (एक्स);

ग) संख्यात्मक विशेषताएं;

डी) संभावना Р(3≤х≤6)।

3.3. राजमार्ग पर एक स्वचालित ट्रैफिक लाइट लगाई जाती है, जिसमें वाहनों के लिए 2 मिनट के लिए हरी बत्ती, 3 सेकंड के लिए पीली और 30 सेकंड के लिए लाल, आदि होती है। कार यादृच्छिक समय पर राजमार्ग से गुजरती है। कार के बिना रुके ट्रैफिक लाइट से गुजरने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

3.4. सबवे ट्रेनें नियमित रूप से 2 मिनट के अंतराल पर चलती हैं। यात्री बेतरतीब समय पर प्लेटफॉर्म में प्रवेश करता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि यात्री को ट्रेन के लिए 50 सेकंड से अधिक प्रतीक्षा करनी पड़ेगी? एक यादृच्छिक चर X की गणितीय अपेक्षा ज्ञात कीजिए - ट्रेन का प्रतीक्षा समय।

3.5. वितरण फलन द्वारा दिए गए घातांक बंटन का प्रसरण और मानक विचलन ज्ञात कीजिए:

एफ(एक्स)= 0 एक्स . पर<0,

x≥0 के लिए 1-e-8x।

3.6. एक सतत यादृच्छिक चर X प्रायिकता वितरण घनत्व द्वारा दिया जाता है:

f(x)=0 x . पर<0,

0.7 ई-0.7x x≥0 पर।

ए) माना यादृच्छिक चर के वितरण के नियम का नाम दें।

b) वितरण फलन F(X) और यादृच्छिक चर X की संख्यात्मक विशेषताओं का पता लगाएं।

3.7. यादृच्छिक चर X को संभाव्यता वितरण घनत्व द्वारा दिए गए घातीय कानून के अनुसार वितरित किया जाता है:

f(x)=0 x . पर<0,

0.4 e-0.4 x x≥0 पर।

प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि, परीक्षण के परिणामस्वरूप, X अंतराल (2.5; 5) से एक मान लेगा।

3.8. एक सतत यादृच्छिक चर X को वितरण फलन द्वारा दिए गए घातांकीय नियम के अनुसार वितरित किया जाता है:

एफ(एक्स)= 0 एक्स . पर<0,

1-0.6x x≥0 . पर

प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि, परीक्षण के परिणामस्वरूप, X अंतराल से एक मान लेगा।

3.9. सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा और मानक विचलन क्रमशः 8 और 2 हैं। खोजें:

ए) वितरण घनत्व एफ (एक्स);

बी) संभावना है कि, परीक्षण के परिणामस्वरूप, एक्स अंतराल (10;14) से एक मान लेगा।

3.10. यादृच्छिक चर X को सामान्यतया माध्य 3.5 और प्रसरण 0.04 के साथ वितरित किया जाता है। पाना:

ए) वितरण घनत्व एफ (एक्स);

बी) संभावना है कि, परीक्षण के परिणामस्वरूप, एक्स अंतराल से एक मान लेगा।

3.11. यादृच्छिक चर X को सामान्यतः M(X)=0 और D(X)=1 के साथ वितरित किया जाता है। कौन सी घटनाएँ: |X|≤0.6 या |X|≥0.6 की संभावना अधिक है?

3.12. यादृच्छिक चर X को आम तौर पर M(X)=0 और D(X)=1 के साथ वितरित किया जाता है। एक परीक्षण में किस अंतराल (-0.5;-0.1) या (1;2) से यह अधिक से अधिक मान लेगा संभावना?

3.13. प्रति शेयर की मौजूदा कीमत को M(X)=10den के साथ सामान्य वितरण का उपयोग करके तैयार किया जा सकता है। इकाइयों और (एक्स)=0.3 मांद। इकाइयों पाना:

ए) संभावना है कि मौजूदा शेयर की कीमत 9.8 डेन से होगी। इकाइयों 10.4 डेन तक। इकाइयां;

बी) "तीन सिग्मा के नियम" का उपयोग करके उन सीमाओं को खोजने के लिए जिसमें स्टॉक की वर्तमान कीमत स्थित होगी।

3.14. पदार्थ को व्यवस्थित त्रुटियों के बिना तौला जाता है। यादृच्छिक वजन त्रुटियाँ मूल-माध्य-वर्ग अनुपात σ=5r के साथ सामान्य नियम के अधीन हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि चार स्वतंत्र प्रयोगों में तीन तोलों में त्रुटि निरपेक्ष मान 3r में नहीं होगी।

3.15. यादृच्छिक चर X को सामान्यतः M(X)=12.6 के साथ वितरित किया जाता है। एक यादृच्छिक चर के अंतराल (11.4;13.8) में गिरने की प्रायिकता 0.6826 है। मानक विचलन ज्ञात कीजिए।

3.16. यादृच्छिक चर X को सामान्यतः M(X)=12 और D(X)=36 के साथ वितरित किया जाता है। वह अंतराल ज्ञात कीजिए जिसमें 0.9973 की प्रायिकता के साथ यादृच्छिक चर X परीक्षण के परिणामस्वरूप गिर जाएगा।

3.17. एक स्वचालित मशीन द्वारा निर्मित एक भाग को दोषपूर्ण माना जाता है यदि नाममात्र मूल्य से इसके नियंत्रित पैरामीटर का विचलन X माप की 2 इकाइयों से अधिक है। यह माना जाता है कि यादृच्छिक चर X को सामान्यतः M(X)=0 और (X)=0.7 के साथ वितरित किया जाता है। मशीन कितने प्रतिशत खराब पुर्जे देती है?

3.18. विस्तार पैरामीटर एक्स सामान्य रूप से नाममात्र मूल्य के बराबर 2 की गणितीय अपेक्षा और 0.014 के मानक विचलन के साथ वितरित किया जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि X का अंकित मूल्य मॉड्यूल से विचलन अंकित मूल्य के 1% से अधिक नहीं है।

जवाब

https://pandia.ru/text/78/455/images/image116_9.gif" width="14" height="110 src=">

बी) 0 x≤-3 के लिए,

एफ (एक्स) = बाएं">

3.10. ए) एफ (एक्स) = ,

बी) (3.1≤Х≤3.7) 0.8185।

3.11. |x|≥0.6।

3.12. (-0,5;-0,1).

3.13. ए) (9.8≤Х≤10.4) ≈0.6562।

3.14. 0,111.

3.15. = 1.2।

3.16. (-6;30).

3.17. 0,4%.

संभाव्यता सिद्धांत के अनुप्रयोगों में, प्रयोग का मात्रात्मक लक्षण वर्णन प्राथमिक महत्व का है। एक मात्रा जिसे मात्रात्मक रूप से निर्धारित किया जा सकता है और जो एक प्रयोग के परिणामस्वरूप, मामले के आधार पर विभिन्न मूल्यों को ग्रहण कर सकता है, कहलाती है एक यादृच्छिक चर।

यादृच्छिक चर के उदाहरण:

1. एक पासे को दस बार फेंकने पर सम अंकों के आने की संख्या।

2. शॉट की एक श्रृंखला को फायर करने वाले निशानेबाज द्वारा लक्ष्य पर हिट की संख्या।

3. एक विस्फोट प्रक्षेप्य के टुकड़ों की संख्या।

उपरोक्त प्रत्येक उदाहरण में, एक यादृच्छिक चर केवल अलग-अलग मान ले सकता है, अर्थात वे मान जिन्हें संख्याओं की एक प्राकृतिक श्रृंखला का उपयोग करके गिना जा सकता है।

ऐसा यादृच्छिक चर, जिसके संभावित मान अलग-अलग पृथक संख्याएँ हैं जिन्हें यह चर कुछ निश्चित संभावनाओं के साथ लेता है, कहलाते हैं असतत।

असतत यादृच्छिक चर के संभावित मूल्यों की संख्या परिमित या अनंत (गणनीय) हो सकती है।

वितरण कानूनएक असतत यादृच्छिक चर को इसके संभावित मूल्यों और उनकी संबंधित संभावनाओं की सूची कहा जाता है। एक असतत यादृच्छिक चर के वितरण कानून को एक तालिका (संभाव्यता वितरण श्रृंखला), विश्लेषणात्मक और ग्राफिक रूप से (संभाव्यता वितरण बहुभुज) के रूप में निर्दिष्ट किया जा सकता है।

एक या उस प्रयोग को करते समय, "औसतन" अध्ययन के तहत मूल्य का मूल्यांकन करना आवश्यक हो जाता है। एक यादृच्छिक चर के औसत मूल्य की भूमिका एक संख्यात्मक विशेषता द्वारा निभाई जाती है जिसे कहा जाता है गणितीय अपेक्षा,जिसे सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है

कहाँ पे एक्स 1 , एक्स 2 ,.. , एक्स एन- एक यादृच्छिक चर के मान एक्स, एक पी 1 ,पी 2 , ... , पी एनइन मूल्यों की संभावनाएं हैं (ध्यान दें कि पी 1 + पी 2 +…+ पी एन = 1).

उदाहरण। लक्ष्य पर शूटिंग की जाती है (चित्र 11)।

I में एक हिट तीन अंक देता है, II में - दो अंक, III में - एक बिंदु। एक शूटर द्वारा एक शॉट के साथ खटखटाए गए अंकों की संख्या में फॉर्म का वितरण कानून होता है

निशानेबाजों के कौशल की तुलना करने के लिए, स्कोर किए गए अंकों के औसत मूल्यों की तुलना करना पर्याप्त है, अर्थात। गणितीय अपेक्षाएं एम(एक्स) तथा एम(यू):

एम(एक्स) = 1 0,4 + 2  0,2 + 3  0,4 = 2,0,

एम(यू) = 1 0,2 + 2  0,5 + 3  0,3 = 2,1.

दूसरा शूटर औसतन थोड़ा अधिक अंक देता है, अर्थात। बार-बार शूटिंग के साथ, यह सबसे अच्छा परिणाम देगा।

गणितीय अपेक्षा के गुणों पर ध्यान दें:

1. स्थिर मान की गणितीय अपेक्षा स्थिरांक के बराबर होती है:

एम(सी) = सी.

2. यादृच्छिक चर के योग की गणितीय अपेक्षा शर्तों की गणितीय अपेक्षाओं के योग के बराबर है:

एम =(एक्स 1 + एक्स 2 +…+ एक्स एन)= एम(एक्स 1)+ एम(एक्स 2)+…+ एम(एक्स एन).

3. पारस्परिक रूप से स्वतंत्र यादृच्छिक चर के उत्पाद की गणितीय अपेक्षा कारकों की गणितीय अपेक्षाओं के उत्पाद के बराबर है

एम(एक्स 1 एक्स 2 … एक्स एन) = एम(एक्स 1)एम(एक्स 2)… एम(एक्स एन).

4. द्विपद बंटन का गणितीय निषेध परीक्षणों की संख्या और एक परीक्षण में होने वाली घटना की प्रायिकता के गुणनफल के बराबर होता है (कार्य 4.6)।

एम(एक्स) = पीआर.

यह आकलन करने के लिए कि एक यादृच्छिक चर "औसतन" अपनी गणितीय अपेक्षा से कैसे विचलित होता है, अर्थात। संभाव्यता सिद्धांत में एक यादृच्छिक चर के मूल्यों के प्रसार को चिह्नित करने के लिए, फैलाव की अवधारणा का उपयोग किया जाता है।

फैलावअनियमित चर एक्सवर्ग विचलन की गणितीय अपेक्षा कहलाती है:

डी(एक्स) = एम[(एक्स - एम(एक्स)) 2 ].

फैलाव एक यादृच्छिक चर के फैलाव की एक संख्यात्मक विशेषता है। यह परिभाषा से देखा जा सकता है कि एक यादृच्छिक चर का विचरण जितना छोटा होता है, उसके संभावित मान गणितीय अपेक्षा के आसपास उतने ही निकट स्थित होते हैं, अर्थात, यादृच्छिक चर के मूल्यों को इसके गणितीय गुणों की विशेषता होती है। अपेक्षा।

यह परिभाषा से निम्नानुसार है कि विचरण की गणना सूत्र द्वारा की जा सकती है

.

किसी अन्य सूत्र का उपयोग करके फैलाव की गणना करना सुविधाजनक है:

डी(एक्स) = एम(एक्स 2) - (एम(एक्स)) 2 .

फैलाव में निम्नलिखित गुण होते हैं:

1. अचर का परिक्षेपण शून्य होता है:

डी(सी) = 0.

2. एक अचर गुणनखंड को परिक्षेपण चिह्न से वर्ग करके निकाला जा सकता है:

डी(सीएक्स) = सी 2 डी(एक्स).

3. स्वतंत्र यादृच्छिक चरों के योग का प्रसरण पदों के प्रसरण के योग के बराबर होता है:

डी(एक्स 1 + एक्स 2 + एक्स 3 +…+ एक्स एन)= डी(एक्स 1)+ डी(एक्स 2)+…+ डी(एक्स एन)

4. द्विपद बंटन का प्रसरण परीक्षणों की संख्या और एक परीक्षण में किसी घटना के घटित होने और न होने की प्रायिकता के गुणनफल के बराबर होता है:

डी(एक्स) = एनपीक्यू.

संभाव्यता सिद्धांत में, एक संख्यात्मक विशेषता का अक्सर उपयोग किया जाता है, जो एक यादृच्छिक चर के विचरण के वर्गमूल के बराबर होता है। इस संख्यात्मक विशेषता को मानक विचलन कहा जाता है और इसे प्रतीक द्वारा दर्शाया जाता है

.

यह अपने माध्य मान से एक यादृच्छिक चर के विचलन के अनुमानित आकार की विशेषता है और यादृच्छिक चर के समान आयाम है।

4.1. शूटर ने निशाने पर तीन गोलियां दागीं। प्रत्येक शॉट से लक्ष्य को भेदने की प्रायिकता 0.3 है।

हिट की संख्या की एक वितरण श्रृंखला बनाएं।

समाधान. हिट की संख्या एक असतत यादृच्छिक चर है एक्स. प्रत्येक मान एक्स एन अनियमित चर एक्सएक निश्चित संभावना से मेल खाती है पी एन .

इस मामले में एक असतत यादृच्छिक चर का वितरण कानून सेट किया जा सकता है वितरण के निकट.

इस कार्य में एक्स 0, 1, 2, 3 मान लेता है। बर्नौली सूत्र के अनुसार

,

यादृच्छिक चर के संभावित मूल्यों की संभावनाएं पाएं:

आर 3 (0) = (0,7) 3 = 0,343,

आर 3 (1) =0,3(0,7) 2 = 0,441,

आर 3 (2) =(0,3) 2 0,7 = 0,189,

आर 3 (3) = (0,3) 3 = 0,027.

यादृच्छिक चर के मूल्यों को व्यवस्थित करने के बाद एक्सआरोही क्रम में, हमें वितरण श्रृंखला मिलती है:

एक्स एन

ध्यान दें कि योग

इसका मतलब है कि संभावना है कि यादृच्छिक चर एक्ससंभावित लोगों में से कम से कम एक मान लेगा, और यह घटना निश्चित है, इसलिए

.

4.2 कलश में चार गेंदें होती हैं, जिनकी संख्या 1 से 4 तक होती है। दो गेंदें निकाली जाती हैं। यादृच्छिक मूल्य एक्सगेंदों की संख्या का योग है। एक यादृच्छिक चर की वितरण श्रृंखला की रचना करें एक्स.

समाधान।एक यादृच्छिक चर के मान एक्स 3, 4, 5, 6, 7 हैं। संगत प्रायिकताएँ ज्ञात कीजिए। मान 3 यादृच्छिक चर एक्सकेवल एक ही स्थिति में ले सकते हैं जब चयनित गेंदों में से एक की संख्या 1 और दूसरी 2 है। परीक्षण के संभावित परिणामों की संख्या चार (गेंदों के संभावित जोड़े की संख्या) के संयोजन की संख्या के बराबर है।

शास्त्रीय संभाव्यता सूत्र के अनुसार, हम प्राप्त करते हैं

वैसे ही,

आर(एक्स= 4) =आर(एक्स= 6) =आर(एक्स= 7) = 1/6.

योग 5 दो स्थितियों में प्रकट हो सकता है: 1 + 4 और 2 + 3, इसलिए

.

एक्सकी तरह लगता है:

वितरण समारोह खोजें एफ(एक्स) अनियमित चर एक्सऔर इसे प्लॉट करें। के लिए गणना करें एक्सइसकी गणितीय अपेक्षा और विचरण।

समाधान. एक यादृच्छिक चर का वितरण नियम वितरण फलन द्वारा दिया जा सकता है

एफ(एक्स) = पी(एक्स एक्स).

वितरण समारोह एफ(एक्स) पूरे वास्तविक अक्ष पर परिभाषित एक गैर-घटता, बायां-निरंतर कार्य है, जबकि

एफ (- )= 0,एफ (+ )= 1.

असतत यादृच्छिक चर के लिए, यह फ़ंक्शन सूत्र द्वारा व्यक्त किया जाता है

.

इसलिए, इस मामले में

वितरण समारोह प्लॉट एफ(एक्स) एक चरणबद्ध रेखा है (चित्र 12)

	एफ(एक्स)

अपेक्षित मूल्यएम(एक्स) मूल्यों का भारित औसत है एक्स 1 , एक्स 2 ,……एक्स एनअनियमित चर एक्सवजन के साथ ρ 1, ρ 2, …… , ρ एन और यादृच्छिक चर का माध्य मान कहलाता है एक्स. सूत्र के अनुसार

एम(एक्स)= एक्स 1 ρ 1 + एक्स 2 ρ 2 + ……+ एक्स एन ρ एन

एम(एक्स) = 3 0.14 + 5 0.2 + 7 0.49 + 11 0.17 = 6.72।

फैलावअपने औसत मूल्य से एक यादृच्छिक चर के मूल्यों के फैलाव की डिग्री की विशेषता है और इसे निरूपित किया जाता है डी(एक्स):

डी(एक्स)= एम[(एचएम(एक्स)) 2 ]= एम(एक्स 2) –[एम(एक्स)] 2 .

असतत यादृच्छिक चर के लिए, विचरण का रूप होता है

या इसकी गणना सूत्र द्वारा की जा सकती है

समस्या के संख्यात्मक डेटा को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

एम(एक्स 2) = 3 2 ∙ 0,14+5 2 ∙ 0,2+7 2 ∙ 0,49+11 2 ∙ 0,17 = 50,84

डी(एक्स) = 50,84-6,72 2 = 5,6816.

4.4. दो पासे एक ही समय में दो बार फेंके जाते हैं। असतत यादृच्छिक चर के लिए द्विपद बंटन नियम लिखिए एक्स- दो पासों पर एक समान कुल अंकों की घटनाओं की संख्या।

समाधान. आइए हम एक यादृच्छिक घटना पर विचार करें

लेकिन= (एक फेंक में दो पासों पर, कुल अंकों की एक सम संख्या गिर गई)।

प्रायिकता की शास्त्रीय परिभाषा का उपयोग करते हुए, हम पाते हैं

आर(लेकिन)= ,

कहाँ पे एन - परीक्षण के संभावित परिणामों की संख्या नियम द्वारा पाई जाती है

गुणन:

एन = 6∙6 =36,

एम - अनुकूल घटना की संख्या लेकिनपरिणाम - बराबर

एम= 3∙6=18.

इस प्रकार, एक परीक्षण में सफलता की प्रायिकता है

ρ = पी(लेकिन)= 1/2.

बर्नौली परीक्षण योजना का उपयोग करके समस्या का समाधान किया जाता है। यहां एक चुनौती दो पासा एक बार रोल करने की है। ऐसे परीक्षणों की संख्या एन = 2. यादृच्छिक चर एक्ससंभावनाओं के साथ मान 0, 1, 2 लेता है

आर 2 (0) =,आर 2 (1) =∙,आर 2 (2) =

यादृच्छिक चर का वांछित द्विपद बंटन एक्सवितरण श्रृंखला के रूप में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है:

एक्स एन
ρ एन

4.5 . छह भागों के एक बैच में चार मानक भाग होते हैं। तीन आइटम यादृच्छिक रूप से चुने गए थे। एक असतत यादृच्छिक चर के संभाव्यता वितरण की रचना करें एक्स- चयनित भागों के बीच मानक भागों की संख्या और इसकी गणितीय अपेक्षा का पता लगाएं।

समाधान।एक यादृच्छिक चर के मान एक्ससंख्या 0,1,2,3 हैं। यह स्पष्ट है कि आर(एक्स= 0) = 0, क्योंकि केवल दो गैर-मानक भाग हैं।

आर(एक्स=1) =
=1/5,

आर(एक्स = 2) =
= 3/5,

आर(एक्स=3) =
= 1/5.

यादृच्छिक चर का वितरण नियम एक्सवितरण श्रृंखला के रूप में प्रतिनिधित्व करते हैं:

एक्स एन
ρ एन

अपेक्षित मूल्य

एम(एक्स)=1 ∙ 1/5+2 ∙ 3/5+3 ∙ 1/5=2.

4.6 . सिद्ध करें कि असतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा एक्स- घटना की घटनाओं की संख्या लेकिनमें एनस्वतंत्र परीक्षण, जिनमें से प्रत्येक में किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता बराबर होती है ρ - एक परीक्षण में होने वाली घटना की संभावना से परीक्षणों की संख्या के उत्पाद के बराबर है, यानी यह साबित करने के लिए कि द्विपद वितरण की गणितीय अपेक्षा

एम(एक्स) =एन . ρ ,

जबकि विचरण

डी(एक्स) =एनपी .

समाधान।यादृच्छिक मूल्य एक्समान 0, 1, 2… ले सकते हैं, एन. संभावना आर(एक्स= k) बर्नौली सूत्र द्वारा पाया जाता है:

आर(एक्स= के) = आर एन(के) = ρ प्रति (1-ρ ) एन-प्रति

यादृच्छिक चर वितरण श्रृंखला एक्सकी तरह लगता है:

एक्स एन
ρ एन	क्यू एन	क्यू एन- 1	क्यू एन- 2		ρ एन

कहाँ पे क्यू= 1- ρ .

गणितीय अपेक्षा के लिए, हमारे पास अभिव्यक्ति है:

एम(एक्स)=क्यू एन - 1 +2 ρ 2 क्यू एन - 2 +…+.एन ρ एन

एक परीक्षण के मामले में, अर्थात् एन = 1 यादृच्छिक चर के लिए एक्स 1 - घटना की घटनाओं की संख्या लेकिन- वितरण श्रृंखला का रूप है:

एक्स एन
ρ एन

एम(एक्स 1)= 0 क्यू + 1 ∙ पी = पी

डी(एक्स 1) = पी – पी 2 = पी(1- पी) = पी क्यू.

यदि एक एक्सके - घटना की घटनाओं की संख्या लेकिनफिर किस परीक्षा में आर(एक्स प्रति)= ρ तथा

एक्स = एक्स 1 +X 2 +….+X एन .

यहाँ से हमें मिलता है

एम(एक्स)= एम(एक्स 1 )+एम(एक्स 2)+ … +एम(एक्स एन)= नहीं,

डी(एक्स)=डी(एक्स 1)+डी(एक्स 2)+ ... +डी(एक्स एन)=npq.

4.7. QCD मानकीकरण के लिए उत्पादों की जाँच करता है। वस्तु के मानक होने की प्रायिकता 0.9 है। प्रत्येक बैच में 5 आइटम होते हैं। एक असतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा का पता लगाएं एक्स- बैचों की संख्या, जिनमें से प्रत्येक 4 मानक उत्पादों के बराबर होगा - यदि 50 बैच सत्यापन के अधीन हैं।

समाधान. यादृच्छिक रूप से चुने गए प्रत्येक लॉट में 4 मानक आइटम होने की प्रायिकता स्थिर है; आइए इसे इसके द्वारा निरूपित करें ρ फिर यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा एक्सबराबरी एम(एक्स)= 50∙ρ.

आइए प्रायिकता ज्ञात करें ρ बर्नौली सूत्र के अनुसार:

= पी 5 (4)== 0,94∙0,1=0,32.

एम(एक्स)= 50∙0,32=16.

4.8 . तीन पासे फेंके जाते हैं। गिराए गए अंकों के योग की गणितीय अपेक्षा ज्ञात कीजिए।

समाधान।आप एक यादृच्छिक चर का वितरण पा सकते हैं एक्स- गिराए गए अंकों का योग और फिर उसकी गणितीय अपेक्षा। हालाँकि, यह रास्ता बहुत बोझिल है। यादृच्छिक चर का प्रतिनिधित्व करने वाली दूसरी चाल का उपयोग करना आसान है एक्स, जिसकी गणितीय अपेक्षा की गणना कई सरल यादृच्छिक चर के योग के रूप में की जानी है, जिसकी गणितीय अपेक्षा की गणना करना आसान है। यदि यादृच्छिक चर एक्स मैंपर बनाए गए अंकों की संख्या है मैं-वें हड्डियाँ ( मैं= 1, 2, 3), तो अंकों का योग एक्सरूप में व्यक्त

एक्स = एक्स 1 + एक्स 2 + एक्स 3 .

मूल यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा की गणना करने के लिए, यह केवल गणितीय अपेक्षा के गुण का उपयोग करने के लिए रहता है

एम(एक्स 1 + एक्स 2 + एक्स 3 )= एम(एक्स 1 )+ एम(एक्स 2)+ एम(एक्स 3 ).

जाहिर सी बात है

आर(एक्स मैं = के)= 1/6, प्रति= 1, 2, 3, 4, 5, 6, मैं= 1, 2, 3.

इसलिए, एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा एक्स मैंरूप है

एम(एक्स मैं) = 1/6∙1 + 1/6∙2 +1/6∙3 + 1/6∙4 + 1/6∙5 + 1/6∙6 = 7/2,

एम(एक्स) = 3∙7/2 = 10,5.

4.9. परीक्षण के दौरान विफल होने वाले उपकरणों की संख्या की गणितीय अपेक्षा निर्धारित करें, यदि:

ए) सभी उपकरणों के लिए विफलता की संभावना समान है आर, और परीक्षण के तहत उपकरणों की संख्या बराबर है एन;

बी) के लिए विफलता की संभावना मैं – साधन के बराबर है पी मैं , मैं= 1, 2, … , एन.

समाधान।चलो यादृच्छिक चर एक्सविफल उपकरणों की संख्या है, तो

एक्स = एक्स 1 + एक्स 2 +… + एन ,

एक्स मैं =

यह स्पष्ट है कि

आर(एक्स मैं = 1)= आर मैं , आर(एक्स मैं = 0)= 1– आर मैं ,मैं = 1, 2, … ,एन।

एम(एक्स मैं)= 1∙आर मैं + 0∙(1-आर मैं)= पी मैं ,

एम(एक्स)= एम(एक्स 1)+एम(एक्स 2)+… +एम(एक्स एन)= पी 1 +पी 2 + ... + पी एन .

"ए" के मामले में, डिवाइस की विफलता की संभावना समान है, अर्थात।

आर मैं =पी,मैं = 1, 2, … ,एन.

एम(एक्स)= एनपी.

यह उत्तर तुरंत प्राप्त किया जा सकता है यदि किसी ने देखा कि यादृच्छिक चर एक्समापदंडों के साथ एक द्विपद वितरण है ( एन, पी).

4.10. दो पासे एक ही समय में दो बार फेंके जाते हैं। असतत यादृच्छिक चर के लिए द्विपद बंटन नियम लिखिए एक्स -दो पासों पर सम अंकों के आने की संख्या।

समाधान। होने देना

लेकिन=(पहले पासे पर एक सम संख्या की हानि),

बी =(दूसरे पासे पर एक सम संख्या की हानि)।

एक बार फेंकने पर दोनों पासों पर एक सम संख्या का नुकसान गुणनफल द्वारा व्यक्त किया जाएगा एबी.फिर

आर (अब) = आर(लेकिन)∙आर(पर) =
.

दो पासों की दूसरी फेंक का परिणाम पहले पर निर्भर नहीं करता है, इसलिए बर्नौली सूत्र तब लागू होता है जब

एन = 2,पी = 1/4, क्यू = 1- पी = 3/4.

यादृच्छिक मूल्य एक्समान 0, 1, 2 . ले सकते हैं , जिसकी प्रायिकता हम बरनौली सूत्र से पाते हैं:

आर(एक्स = 0)= पी 2 (0) = क्यू 2 = 9/16,

आर(एक्स = 1)= पी 2 (1)= सी ,आर∙क्यू = 6/16,

आर(एक्स = 2)= पी 2 (2)= सी , आर 2 = 1/16.

यादृच्छिक चर वितरण श्रृंखला एक्स:

4.11. डिवाइस में बड़ी संख्या में स्वतंत्र रूप से काम करने वाले तत्व होते हैं और समय के साथ प्रत्येक तत्व के विफल होने की बहुत कम संभावना होती है। टी. समय के साथ विफलताओं की औसत संख्या ज्ञात कीजिए टीतत्व, यदि इस समय के दौरान कम से कम एक तत्व के विफल होने की प्रायिकता 0.98 है।

समाधान। समय के साथ विफलताओं की संख्या टीतत्व - एक यादृच्छिक चर एक्स, जो पोइसन कानून के अनुसार वितरित किया जाता है, क्योंकि तत्वों की संख्या बड़ी है, तत्व स्वतंत्र रूप से काम करते हैं और प्रत्येक तत्व की विफलता की संभावना कम होती है। में किसी घटना के घटित होने की औसत संख्या एनपरीक्षण बराबर

एम(एक्स) = एनपी.

चूंकि विफलता की संभावना प्रतिसे तत्व एनसूत्र द्वारा व्यक्त किया जाता है

आर एन (प्रति)
,

जहां = एनपी, तो संभावना है कि समय में कोई तत्व विफल नहीं होता है टी हमें मिलता है के = 0:

आर एन (0)= ई -  .

इसलिए, समय के साथ विपरीत घटना की संभावना है टी कम से कम एक तत्व विफल - 1 . के बराबर - इ - . समस्या की स्थिति के अनुसार, यह संभावना 0.98 के बराबर है। समीकरण से

1 - इ -  = 0,98,

इ -  = 1 – 0,98 = 0,02,

यहाँ से = -ln 0,02  4.

तो समय के लिए टीडिवाइस का संचालन औसतन 4 तत्वों में विफल हो जाएगा।

4.12 . डाई को तब तक रोल किया जाता है जब तक कि "दो" रोल न हो जाए। उछालने की औसत संख्या ज्ञात कीजिए।

समाधान. हम एक यादृच्छिक चर पेश करते हैं एक्स- हमारे लिए ब्याज की घटना होने तक किए जाने वाले परीक्षणों की संख्या। संभावना है कि एक्स= 1 इस संभावना के बराबर है कि पासे के एक बार फेंकने पर एक "दो" गिरेगा, अर्थात।

आर(एक्स = 1) = 1/6.

आयोजन एक्स= 2 का अर्थ है कि पहले परीक्षण के दौरान "दो" बाहर नहीं निकले, लेकिन दूसरे के दौरान यह गिर गया। घटना की संभावना एक्स= 2 हम स्वतंत्र घटनाओं की संभावनाओं के गुणन के नियम से पाते हैं:

आर(एक्स = 2) = (5/6)∙(1/6)

वैसे ही,

आर(एक्स = 3) = (5/6) 2 ∙1/6, आर(एक्स = 4) = (5/6) 2 ∙1/6

आदि। हमें संभाव्यता वितरण की एक श्रृंखला मिलती है:

					(5/6) प्रति ∙1/6

थ्रो की औसत संख्या (परीक्षण) गणितीय अपेक्षा है

एम(एक्स) = 1∙1/6 + 2∙5/6∙1/6 + 3∙(5/6) 2 ∙1/6 + … + प्रति (5/6) प्रति -1 ∙1/6 + … =

1/6∙(1+2∙5/6 +3∙(5/6) 2 + … + प्रति (5/6) प्रति -1 + …)

आइए श्रृंखला का योग ज्ञात करें:

प्रतिजी प्रति -1 = (जी प्रति) जी 
.

फलस्वरूप,

एम(एक्स) = (1/6) (1/ (1 – 5/6) 2 = 6.

इस प्रकार, एक "ड्यूस" गिरने तक एक पासे के औसतन 6 बार फेंकना आवश्यक है।

4.13. घटना के घटित होने की समान संभावना के साथ स्वतंत्र परीक्षण किए जाते हैं लेकिनहर परीक्षा में। किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए लेकिनयदि तीन स्वतंत्र परीक्षणों में घटना के घटित होने की संख्या का प्रसरण 0.63 . है .

समाधान।तीन परीक्षणों में घटना की घटनाओं की संख्या एक यादृच्छिक चर है एक्सद्विपद कानून के अनुसार वितरित। स्वतंत्र परीक्षणों में किसी घटना के घटित होने की संख्या का विचरण (प्रत्येक परीक्षण में किसी घटना के घटित होने की समान संभावना के साथ) परीक्षणों की संख्या और घटना के घटित होने और न होने की संभावना के गुणनफल के बराबर होता है ( कार्य 4.6)

डी(एक्स) = एनपीक्यू.

शर्त के अनुसार एन = 3, डी(एक्स) = 0.63, तो आप कर सकते हैं आरसमीकरण से खोजें

0,63 = 3∙आर(1-आर),

जिसके दो समाधान हैं आर 1 = 0.7 और आर 2 = 0,3.

अलग एक यादृच्छिक चर कहा जाता है जो कुछ संभावनाओं के साथ अलग, पृथक मान ले सकता है।

उदाहरण 1।तीन सिक्कों के उछाल में हथियारों के कोट की घटनाओं की संख्या। संभावित मान: 0, 1, 2, 3, उनकी संभावनाएं क्रमशः बराबर हैं:

पी (0) =; पी (1) =; पी(2) = ; पी (3) =।

उदाहरण 2.पांच तत्वों से युक्त डिवाइस में विफल तत्वों की संख्या। संभावित मान: 0, 1, 2, 3, 4, 5; उनकी संभावनाएं प्रत्येक तत्व की विश्वसनीयता पर निर्भर करती हैं।

असतत यादृच्छिक चर एक्सवितरण श्रृंखला या वितरण फ़ंक्शन (एक अभिन्न वितरण कानून) द्वारा दिया जा सकता है।

वितरण के निकट सभी संभावित मानों का समुच्चय है एक्समैंऔर उनकी संगत संभावनाएं आरमैं = पी(एक्स = एक्समैं), इसे एक तालिका के रूप में दिया जा सकता है:

एक्स मैं				एक्स एन
पी मैं				पी नहीं

उसी समय, संभावनाएं आरमैंशर्त को पूरा करें

आरमैं= 1 क्योंकि

संभावित मूल्यों की संख्या कहां है एनपरिमित या अनंत हो सकता है।

एक वितरण श्रृंखला का चित्रमय प्रतिनिधित्व वितरण बहुभुज कहा जाता है . इसे बनाने के लिए, यादृच्छिक चर के संभावित मान ( एक्समैं) एक्स-अक्ष के साथ प्लॉट किए जाते हैं, और संभावनाएं आरमैं- वाई-अक्ष के साथ; अंक लेकिनमैंनिर्देशांक के साथ ( एक्समैं, पीमैं) टूटी हुई रेखाओं से जुड़े हुए हैं।

वितरण समारोह अनियमित चर एक्सएक समारोह कहा जाता है एफ(एक्स), जिसका मूल्य बिंदु पर है एक्सप्रायिकता के बराबर है कि यादृच्छिक चर एक्सइस मान से कम होगा एक्स, वह है

एफ(एक्स) = पी(एक्स< х).

समारोह एफ(एक्स) के लिये असतत यादृच्छिक चरसूत्र द्वारा गणना

एफ(एक्स) = आरमैं , (1.10.1)

जहां योग सभी मूल्यों पर है मैं, जिसके लिए एक्समैं< х.

उदाहरण 3. 100 वस्तुओं वाले एक बैच से, जिसमें 10 दोषपूर्ण वस्तुएँ हैं, उनकी गुणवत्ता की जाँच के लिए पाँच वस्तुओं का यादृच्छिक रूप से चयन किया जाता है। एक यादृच्छिक संख्या के वितरण की एक श्रृंखला का निर्माण करें एक्सनमूने में निहित दोषपूर्ण उत्पाद।

समाधान. चूंकि नमूने में दोषपूर्ण उत्पादों की संख्या 0 से 5 तक की सीमा में कोई भी पूर्णांक हो सकती है, संभावित मान एक्समैंअनियमित चर एक्सबराबर हैं:

x 1 = 0, x 2 = 1, x 3 = 2, x 4 = 3, x 5 = 4, x 6 = 5।

संभावना आर(एक्स = के) कि नमूने में बिल्कुल होगा क(क = 0, 1, 2, 3, 4, 5) दोषपूर्ण उत्पाद, के बराबर

पी (एक्स \u003d के) \u003d।

0.001 की सटीकता के साथ इस सूत्र का उपयोग करके गणना के परिणामस्वरूप, हम प्राप्त करते हैं:

आर 1 = पी(एक्स = 0) @ 0,583;आर 2 = पी(एक्स = 1) @ 0,340;आर 3 = पी(एक्स = 2) @ 0,070;

आर 4 = पी(एक्स = 3) @ 0,007;आर 5 = पी(एक्स= 4) @ 0;आर 6 = पी(एक्स = 5) @ 0.

जाँच करने के लिए समानता का उपयोग करना आरक= 1, हम सुनिश्चित करते हैं कि गणना और गोलाई सही ढंग से की गई है (तालिका देखें)।

एक्स मैं
पी मैं

उदाहरण 4.एक यादृच्छिक चर के वितरण की एक श्रृंखला को देखते हुए एक्स :

एक्स मैं
पी मैं

प्रायिकता बंटन फलन ज्ञात कीजिए एफ(एक्स) इस यादृच्छिक चर का और इसका निर्माण करें।

समाधान. यदि एक एक्स£10 तो एफ(एक्स)= पी(एक्स<एक्स) = 0;

अगर 10<एक्स£20 तो एफ(एक्स)= पी(एक्स<एक्स) = 0,2 ;

अगर 20<एक्स£30 तो एफ(एक्स)= पी(एक्स<एक्स) = 0,2 + 0,3 = 0,5 ;

अगर 30<एक्स£40 तो एफ(एक्स)= पी(एक्स<एक्स) = 0,2 + 0,3 + 0,35 = 0,85 ;

अगर 40<एक्स£50 तो एफ(एक्स)= पी(एक्स<एक्स) = 0,2 + 0,3 + 0,35 + 0,1=0,95 ;

यदि एक्स> 50 , फिर एफ(एक्स)= पी(एक्स<एक्स) = 0,2 + 0,3 + 0,35 + 0,1 + 0,05 = 1.