मान लें कि मात्रा 23 का माध्य मान मानक विचलन है। फैलाव। मानक विचलन

मूल माध्य वर्ग या मानक विचलन एक सांख्यिकीय संकेतक है जो किसी संख्यात्मक नमूने में उसके माध्य मान के आसपास उतार-चढ़ाव की मात्रा का मूल्यांकन करता है। लगभग हमेशा, मूल्यों का बड़ा हिस्सा माध्य से एक मानक विचलन प्लस या माइनस के भीतर वितरित किया जाता है।

परिभाषा

मानक विचलन है वर्गमूलमाध्य से वर्ग विचलन के योग के अंकगणितीय माध्य से। कड़ाई से और गणितीय रूप से, लेकिन बिल्कुल समझ से बाहर। यह मानक विचलन की गणना के लिए सूत्र का मौखिक विवरण है, लेकिन इस सांख्यिकीय शब्द के अर्थ को समझने के लिए, आइए सब कुछ क्रम में करें।

एक शूटिंग रेंज, एक लक्ष्य और एक तीर की कल्पना करें। स्नाइपर एक मानक लक्ष्य पर गोली मारता है, जहां केंद्र से टकराने पर 10 अंक मिलते हैं, केंद्र से दूरी के आधार पर, अंकों की संख्या कम हो जाती है, और बाहरी क्षेत्रों को मारने से केवल 1 अंक मिलता है। प्रत्येक शूटर शॉट 1 और 10 के बीच एक यादृच्छिक पूर्णांक मान है। गोली से भरा लक्ष्य वितरण का एक आदर्श उदाहरण है अनियमित चर.

अपेक्षित मूल्य

हमारा नौसिखिया शूटर लंबे समय से शूटिंग का अभ्यास कर रहा था और उसने देखा कि उसने मारा विभिन्न अर्थएक निश्चित संभावना के साथ। मान लीजिए, के आधार पर एक बड़ी संख्या मेंशॉट्स, उसने पाया कि वह 15% की संभावना के साथ 10 हिट करता है। शेष मूल्यों को उनकी संभावनाएं मिलीं:

• 9 - 25 %;
• 8 - 20 %;
• 7 - 15 %;
• 6 - 15 %;
• 5 - 5 %;
• 4 - 5 %.

अब वह एक और गोली चलाने की तैयारी कर रहा है। वह किस मूल्य पर हिट होने की सबसे अधिक संभावना है? गणितीय अपेक्षा हमें इस प्रश्न का उत्तर देने में मदद करेगी। इन सभी संभावनाओं को जानने के बाद, हम शॉट के सबसे संभावित परिणाम का निर्धारण कर सकते हैं। गणना करने का सूत्र गणितीय अपेक्षाबहुत साधारण। आइए शॉट के मान को C के रूप में और प्रायिकता को p के रूप में निरूपित करें। गणितीय अपेक्षा संबंधित मूल्यों और उनकी संभावनाओं के उत्पाद के योग के बराबर होगी:

आइए हमारे उदाहरण के लिए अपेक्षा को परिभाषित करें:

• एम = 10 × 0.15 + 9 × 0.25 + 8 × 0.2 + 7 × 0.15 + 6 × 0.15 + 5 × 0.05 + 4 × 0.05
• एम = 7.75

तो, यह सबसे अधिक संभावना है कि शूटर उस क्षेत्र से टकराएगा जो 7 अंक देता है। यह क्षेत्र सबसे अधिक शॉट थ्रू होगा, जो सबसे अधिक बार हिट होने का एक उत्कृष्ट परिणाम है। किसी भी यादृच्छिक चर के लिए, अपेक्षित मान का अर्थ है सबसे अधिक होने वाला मान या सभी मानों का केंद्र।

फैलाव

फैलाव एक अन्य सांख्यिकीय संकेतक है जो हमारे लिए एक मूल्य के प्रसार को दर्शाता है। हमारा लक्ष्य गोलियों से भरा हुआ है, और फैलाव हमें इस पैरामीटर को संख्यात्मक रूप से व्यक्त करने की अनुमति देता है। यदि गणितीय अपेक्षा शॉट्स के केंद्र को दिखाती है, तो विचरण उनका फैलाव है। संक्षेप में, विचरण का अर्थ है अपेक्षित मूल्य से मूल्यों के विचलन की गणितीय अपेक्षा, अर्थात् मध्य वर्गविचलन। प्रत्येक मान को चुकता किया जाता है ताकि विचलन केवल सकारात्मक हों और विपरीत संकेतों वाली समान संख्याओं के मामले में एक दूसरे को नष्ट न करें।

डी [एक्स] = एम - (एम [एक्स]) 2

आइए हमारे मामले के लिए शॉट स्प्रेड की गणना करें:

• एम = 10 2 × 0.15 + 9 2 × 0.25 + 8 2 × 0.2 + 7 2 × 0.15 + 6 2 × 0.15 + 5 2 × 0.05 + 4 2 × 0.05
• एम = 62.85
• डी [एक्स] = एम - (एम [एक्स]) 2 = 62.85 - (7.75) 2 = 2.78

तो हमारा विचलन 2.78 है। इसका मतलब यह है कि लक्ष्य पर 7.75 के मान वाले क्षेत्र से, गोली के छेद 2.78 अंकों से बिखरे हुए हैं। हालांकि, फैलाव मूल्य अपने शुद्ध रूप में उपयोग नहीं किया जाता है - परिणामस्वरूप, हमें मूल्य का वर्ग मिलता है, हमारे उदाहरण में यह एक वर्ग स्कोर है, और अन्य मामलों में यह वर्ग किलोग्राम या वर्ग डॉलर हो सकता है। एक वर्ग मान के रूप में फैलाव सूचनात्मक नहीं है, इसलिए यह मानक विचलन का निर्धारण करने के लिए एक मध्यवर्ती संकेतक है - हमारे लेख का नायक।

मानक विचलन

मानक विचलन, जो कि विचरण का वर्गमूल है, का उपयोग विचरण को सार्थक बिंदुओं, किलोग्राम या डॉलर में बदलने के लिए किया जाता है। आइए हमारे उदाहरण के लिए इसकी गणना करें:

एस = वर्ग (डी) = वर्ग (2.78) = 1.667

हमें अंक मिले हैं और अब हम उनका उपयोग गणितीय अपेक्षा से जुड़ने के लिए कर सकते हैं। इस मामले में शॉट का सबसे संभावित परिणाम 7.75 प्लस या माइनस 1.667 के रूप में व्यक्त किया जाएगा। यह एक उत्तर के लिए पर्याप्त है, लेकिन हम यह भी कह सकते हैं कि यह लगभग तय है कि शूटर 6.08 और 9.41 के बीच लक्ष्य क्षेत्र को हिट करेगा।

मानक विचलनया सिग्मा - एक सूचनात्मक संकेतक जो इसके केंद्र के सापेक्ष एक मूल्य के प्रसार को दर्शाता है। सिग्मा जितना बड़ा होता है, नमूना उतना ही अधिक बिखरता है। यह एक अच्छी तरह से अध्ययन किया गया गुणांक है, और सामान्य वितरण के लिए, एक दिलचस्प तीन-सिग्मा नियम ज्ञात है। यह स्थापित किया गया है कि सामान्य रूप से वितरित मूल्य के 99.7% मान अंकगणितीय माध्य से प्लस या माइनस थ्री सिग्मा के क्षेत्र में स्थित हैं।

आइए एक उदाहरण देखें

मुद्रा जोड़ी अस्थिरता

यह ज्ञात है कि विदेशी मुद्रा बाजार में गणितीय आँकड़ों के तरीकों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। कई ट्रेडिंग टर्मिनलों में एक परिसंपत्ति की अस्थिरता की गणना के लिए अंतर्निहित उपकरण होते हैं, जो एक मुद्रा जोड़ी की कीमत की अस्थिरता का एक माप दर्शाता है। बेशक, आर्थिक बाज़ारस्टॉक एक्सचेंजों के खुलने और बंद होने की कीमतों जैसे अस्थिरता की गणना के लिए उनकी अपनी विशिष्टताएं हैं, लेकिन एक उदाहरण के रूप में, हम पिछले सात दैनिक मोमबत्तियों के लिए सिग्मा की गणना कर सकते हैं और मोटे तौर पर साप्ताहिक अस्थिरता का अनुमान लगा सकते हैं।

विदेशी मुद्रा बाजार में सबसे अधिक अस्थिर संपत्ति को पाउंड/येन मुद्रा जोड़ी माना जाता है। सैद्धांतिक रूप से सप्ताह के दौरान टोक्यो स्टॉक एक्सचेंज का समापन मूल्य निम्नलिखित मान लेता है:

145, 147, 146, 150, 152, 149, 148.

हम इस डेटा को कैलकुलेटर में दर्ज करते हैं और 2.23 के बराबर सिग्मा की गणना करते हैं। इसका मतलब है कि औसतन जापानी येन विनिमय दर में प्रतिदिन 2.23 येन का परिवर्तन हुआ। अगर सब कुछ इतना बढ़िया होता, तो व्यापारियों को इस तरह के आंदोलनों पर लाखों की कमाई होती।

निष्कर्ष

मानक विचलन का उपयोग संख्यात्मक नमूनों के सांख्यिकीय विश्लेषण में किया जाता है। डेटा के बिखराव का अनुमान लगाने के लिए यह एक उपयोगी कारक है, क्योंकि समान माध्य वाले दो सेट उनके बिखराव में पूरी तरह से भिन्न हो सकते हैं। हमारे छोटे नमूने सिग्मा कैलकुलेटर का उपयोग करें।

एक परिवर्तनशील श्रृंखला के उतार-चढ़ाव का आकलन करने के लिए एक अनुमानित विधि सीमा और आयाम का निर्धारण है, हालांकि, श्रृंखला के भीतर संस्करण के मूल्यों को ध्यान में नहीं रखा जाता है। विविधताओं की सीमा के भीतर मात्रात्मक विशेषता के उतार-चढ़ाव का मुख्य आम तौर पर स्वीकृत उपाय है मानक विचलन (σ - सिग्मा). मानक विचलन जितना बड़ा होगा, इस श्रृंखला के उतार-चढ़ाव की डिग्री उतनी ही अधिक होगी।

मानक विचलन की गणना करने की विधि में निम्नलिखित चरण शामिल हैं:

1. समांतर माध्य (M) ज्ञात कीजिए।

2. समांतर माध्य (d=V-M) से अलग-अलग विकल्पों का विचलन ज्ञात कीजिए। चिकित्सा आंकड़ों में, माध्य से विचलन को d (विचलन) के रूप में दर्शाया जाता है। सभी विचलनों का योग शून्य के बराबर होता है।

3. प्रत्येक विचलन d 2 का वर्ग करें।

4. चुकता विचलनों को संगत आवृत्तियों d 2 *p से गुणा करें।

5. उत्पादों का योग ज्ञात कीजिए (d 2 *p)

6. सूत्र द्वारा मानक विचलन की गणना करें:

जब n 30 से बड़ा हो, या जब n 30 से कम या उसके बराबर हो, जहां n सभी विकल्पों की संख्या है।

मानक विचलन का मान:

1. मानक विचलन औसत मूल्य (यानी, भिन्नता श्रृंखला के उतार-चढ़ाव) के सापेक्ष भिन्नता के प्रसार की विशेषता है। सिग्मा जितना बड़ा होगा, इस श्रृंखला की विविधता की डिग्री उतनी ही अधिक होगी।

2. मानक विचलन का उपयोग भिन्नता श्रृंखला के साथ अंकगणितीय माध्य के अनुपालन की डिग्री के तुलनात्मक मूल्यांकन के लिए किया जाता है जिसके लिए इसकी गणना की गई थी।

द्रव्यमान परिघटनाओं की विविधताएं सामान्य वितरण के नियम का पालन करती हैं। इस वितरण का प्रतिनिधित्व करने वाले वक्र में एक चिकनी घंटी के आकार का सममित वक्र (गॉसियन वक्र) का रूप होता है। सामान्य वितरण के नियम का पालन करने वाली परिघटनाओं में संभाव्यता के सिद्धांत के अनुसार, अंकगणित माध्य और मानक विचलन के मूल्यों के बीच एक सख्त गणितीय संबंध है। सजातीय भिन्नता श्रृंखला में एक प्रकार का सैद्धांतिक वितरण तीन सिग्मा नियम का पालन करता है।

यदि एब्सिस्सा अक्ष पर आयताकार निर्देशांक की प्रणाली में मात्रात्मक विशेषता (वेरिएंट) के मान प्लॉट किए जाते हैं, और ऑर्डिनेट अक्ष पर - भिन्नता श्रृंखला में वेरिएंट की घटना की आवृत्ति, फिर बड़े और छोटे मूल्यों वाले वेरिएंट समान रूप से अंकगणित माध्य के किनारों पर स्थित हैं।

यह स्थापित किया गया है कि विशेषता के सामान्य वितरण के साथ:

68.3% वैरिएंट मान ±1s . के भीतर हैं

95.5% वैरिएंट मान M±2s . के भीतर हैं

99.7% वैरिएंट मान M±3s . के भीतर हैं

3. मानक विचलन आपको नैदानिक ​​और जैविक मापदंडों के लिए सामान्य मान निर्धारित करने की अनुमति देता है। चिकित्सा में, एम ± 1s अंतराल आमतौर पर अध्ययन के तहत घटना के लिए सामान्य सीमा से बाहर लिया जाता है। अंकगणित माध्य से अनुमानित मान का विचलन 1s से अधिक मानक से अध्ययन किए गए पैरामीटर के विचलन को इंगित करता है।

4. चिकित्सा में, बच्चों के कपड़ों के मानकों के विकास के लिए बच्चों के शारीरिक विकास के स्तर (सिग्मा विचलन की विधि) के व्यक्तिगत मूल्यांकन के लिए बाल रोग में थ्री-सिग्मा नियम का उपयोग किया जाता है।

5. अध्ययन के तहत विशेषता की विविधता की डिग्री को चिह्नित करने और अंकगणितीय माध्य की त्रुटि की गणना करने के लिए मानक विचलन आवश्यक है।

मानक विचलन का मान आमतौर पर एक ही प्रकार की श्रृंखला के उतार-चढ़ाव की तुलना करने के लिए उपयोग किया जाता है। यदि अलग-अलग विशेषताओं वाली दो पंक्तियों की तुलना की जाती है (ऊंचाई और वजन, अस्पताल में रहने की औसत अवधि और अस्पताल में मृत्यु दर, आदि), तो सिग्मा आकारों की सीधी तुलना असंभव है। , इसलिये मानक विचलन - एक नामित मान, निरपेक्ष संख्याओं में व्यक्त किया जाता है। इन मामलों में करें आवेदन भिन्नता का गुणांक (सीवी), जो एक सापेक्ष मान है: अंकगणितीय माध्य के मानक विचलन का प्रतिशत।

भिन्नता के गुणांक की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

भिन्नता का गुणांक जितना अधिक होगा , इस श्रृंखला की परिवर्तनशीलता जितनी अधिक होगी। यह माना जाता है कि 30% से अधिक भिन्नता का गुणांक जनसंख्या की गुणात्मक विविधता को दर्शाता है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि विचरण की इस गणना में एक खामी है - यह पक्षपाती हो जाता है, अर्थात। इसकी गणितीय अपेक्षा विचरण के वास्तविक मूल्य के बराबर नहीं है। इसके बारे में और अधिक। इसी समय, सब कुछ इतना बुरा नहीं है। नमूना आकार में वृद्धि के साथ, यह अभी भी अपने सैद्धांतिक समकक्ष के पास पहुंचता है, अर्थात। स्पर्शोन्मुख रूप से निष्पक्ष है। इसलिए, बड़े नमूना आकारों के साथ काम करते समय, उपरोक्त सूत्र का उपयोग किया जा सकता है।

संकेतों की भाषा को शब्दों की भाषा में अनुवाद करना उपयोगी है। यह पता चला है कि विचरण विचलन का औसत वर्ग है। अर्थात्, पहले औसत मूल्य की गणना की जाती है, फिर प्रत्येक मूल और औसत मूल्य के बीच के अंतर को लिया जाता है, चुकता किया जाता है, जोड़ा जाता है और फिर इस जनसंख्या में मूल्यों की संख्या से विभाजित किया जाता है। व्यक्तिगत मूल्य और माध्य के बीच का अंतर विचलन के माप को दर्शाता है। यह सुनिश्चित करने के लिए चुकता किया जाता है कि सभी विचलन विशेष रूप से सकारात्मक संख्या बन जाते हैं और जब उन्हें योग किया जाता है तो सकारात्मक और नकारात्मक विचलन के पारस्परिक रद्दीकरण से बचने के लिए। फिर, वर्ग विचलन को देखते हुए, हम केवल अंकगणितीय माध्य की गणना करते हैं। औसत - वर्ग - विचलन। विचलन चुकता है, और औसत माना जाता है। इसका जवाब सिर्फ तीन शब्दों में है।

हालांकि, अपने शुद्ध रूप में, जैसे, उदाहरण के लिए, अंकगणितीय माध्य, या सूचकांक, फैलाव का उपयोग नहीं किया जाता है। यह बल्कि एक सहायक और मध्यवर्ती संकेतक है जो अन्य प्रकार के सांख्यिकीय विश्लेषण के लिए आवश्यक है। उसके पास माप की एक सामान्य इकाई भी नहीं है। सूत्र को देखते हुए, यह मूल डेटा इकाई का वर्ग है। बोतल के बिना, जैसा कि वे कहते हैं, आप नहीं समझेंगे।

(मॉड्यूल 111)

फैलाव को वास्तविकता में वापस लाने के लिए, यानी इसे अधिक सांसारिक उद्देश्यों के लिए उपयोग करने के लिए, इसमें से एक वर्गमूल निकाला जाता है। यह तथाकथित पता चला है मानक विचलन (आरएमएस). "मानक विचलन" या "सिग्मा" (ग्रीक अक्षर के नाम से) नाम हैं। मानक विचलन सूत्र है:

नमूने के लिए यह संकेतक प्राप्त करने के लिए, सूत्र का उपयोग करें:

विचरण के साथ, थोड़ा अलग गणना विकल्प है। लेकिन जैसे-जैसे नमूना बढ़ता है, अंतर गायब हो जाता है।

मानक विचलन, जाहिर है, डेटा फैलाव के माप की भी विशेषता है, लेकिन अब (फैलाव के विपरीत) इसकी तुलना मूल डेटा से की जा सकती है, क्योंकि उनके पास माप की समान इकाइयाँ हैं (यह गणना सूत्र से स्पष्ट है)। लेकिन यह सूचक अपने शुद्ध रूप में बहुत जानकारीपूर्ण नहीं है, क्योंकि इसमें बहुत अधिक मध्यवर्ती गणनाएं हैं जो भ्रमित करने वाली हैं (विचलन, वर्ग, योग, औसत, जड़)। फिर भी, मानक विचलन के साथ सीधे काम करना पहले से ही संभव है, क्योंकि इस सूचक के गुण अच्छी तरह से अध्ययन और ज्ञात हैं। उदाहरण के लिए, यह है तीन सिग्मा नियम, जो बताता है कि 1000 में से 997 डेटा अंक अंकगणितीय माध्य के ±3 सिग्मा के भीतर हैं। मानक विचलन, अनिश्चितता के एक उपाय के रूप में, कई सांख्यिकीय गणनाओं में भी शामिल है। इसकी मदद से, विभिन्न अनुमानों और पूर्वानुमानों की सटीकता की डिग्री स्थापित की जाती है। यदि भिन्नता बहुत बड़ी है, तो मानक विचलन भी बड़ा हो जाएगा, इसलिए, पूर्वानुमान गलत होगा, जिसे व्यक्त किया जाएगा, उदाहरण के लिए, बहुत व्यापक रूप में विश्वास अंतराल.

भिन्नता का गुणांक

मानक विचलन प्रसार माप का एक पूर्ण अनुमान देता है। इसलिए, यह समझने के लिए कि प्रसार स्वयं मूल्यों के सापेक्ष कितना बड़ा है (अर्थात, उनके पैमाने की परवाह किए बिना), यह आवश्यक है सापेक्ष संकेतक. इस सूचक को कहा जाता है गुणांक का परिवर्तनऔर निम्न सूत्र का उपयोग करके गणना की जाती है:

भिन्नता के गुणांक को प्रतिशत के रूप में मापा जाता है (यदि 100% से गुणा किया जाता है)। इस सूचक द्वारा, आप विभिन्न प्रकार की घटनाओं की तुलना कर सकते हैं, उनके पैमाने और माप की इकाइयों की परवाह किए बिना। यही तथ्य भिन्नता के गुणांक को इतना लोकप्रिय बनाता है।

आंकड़ों में, यह स्वीकार किया जाता है कि यदि भिन्नता के गुणांक का मान 33% से कम है, तो जनसंख्या को सजातीय माना जाता है, यदि यह 33% से अधिक है, तो यह विषम है। मेरे लिए यहां टिप्पणी करना मुश्किल है। मुझे नहीं पता कि इसे किसने और क्यों इस तरह परिभाषित किया, लेकिन इसे एक स्वयंसिद्ध माना जाता है।

मुझे लगता है कि मैं एक सूखे सिद्धांत से बह गया था और मुझे कुछ दृश्य और आलंकारिक लाने की जरूरत है। दूसरी ओर, भिन्नता के सभी संकेतक लगभग एक ही चीज़ का वर्णन करते हैं, केवल उनकी गणना अलग तरह से की जाती है। इसलिए, विभिन्न उदाहरणों के साथ चमकना मुश्किल है केवल संकेतकों के मूल्य भिन्न हो सकते हैं, लेकिन उनका सार नहीं। तो आइए तुलना करें कि डेटा के एक ही सेट के लिए भिन्नता के विभिन्न संकेतकों के मान कैसे भिन्न होते हैं। आइए औसत रैखिक विचलन (के) की गणना के साथ एक उदाहरण लेते हैं। यहाँ मूल डेटा है:

और एक अनुस्मारक चार्ट।

इन आंकड़ों के आधार पर, हम गणना करते हैं विभिन्न संकेतकविविधताएं।

माध्य सामान्य अंकगणितीय माध्य है।

भिन्नता की सीमा अधिकतम और न्यूनतम के बीच का अंतर है:

औसत रैखिक विचलन की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

मानक विचलन:

हम एक तालिका में गणना को सारांशित करते हैं।

जैसा कि आप देख सकते हैं, रैखिक माध्य और मानक विचलन डेटा भिन्नता की डिग्री के लिए समान मान देते हैं। विचरण सिग्मा चुकता है, इसलिए यह हमेशा एक अपेक्षाकृत बड़ी संख्या होगी, जो वास्तव में कुछ नहीं कहती है। भिन्नता की सीमा चरम सीमाओं के बीच का अंतर है और बहुत कुछ बता सकती है।

आइए कुछ परिणामों का योग करें।

एक संकेतक की भिन्नता एक प्रक्रिया या घटना की परिवर्तनशीलता को दर्शाती है। इसकी डिग्री को कई संकेतकों का उपयोग करके मापा जा सकता है।

1. भिन्नता की सीमा अधिकतम और न्यूनतम के बीच का अंतर है। परावर्तन रेंज संभावित मान.
2. औसत रैखिक विचलन - उनके औसत मूल्य से विश्लेषित जनसंख्या के सभी मूल्यों के निरपेक्ष (मॉड्यूलो) विचलन के औसत को दर्शाता है।
3. फैलाव - विचलन का औसत वर्ग।
4. मानक विचलन - विचरण की जड़ (मतलब वर्ग विचलन)।
5. भिन्नता का गुणांक सबसे सार्वभौमिक संकेतक है जो मूल्यों के फैलाव की डिग्री को दर्शाता है, उनके पैमाने और माप की इकाइयों की परवाह किए बिना। भिन्नता के गुणांक को प्रतिशत के रूप में मापा जाता है और इसका उपयोग विभिन्न प्रक्रियाओं और घटनाओं की भिन्नता की तुलना करने के लिए किया जा सकता है।

इस प्रकार, सांख्यिकीय विश्लेषण में घटनाओं की एकरूपता और प्रक्रियाओं की स्थिरता को दर्शाने वाले संकेतकों की एक प्रणाली होती है। अक्सर, भिन्नता संकेतकों का स्वतंत्र अर्थ नहीं होता है और आगे के डेटा विश्लेषण (विश्वास अंतराल की गणना) के लिए उपयोग किया जाता है

परिकल्पनाओं का सांख्यिकीय परीक्षण करते समय, यादृच्छिक चर के बीच एक रैखिक संबंध को मापते समय।

मानक विचलन:

मानक विचलन(यादृच्छिक चर तल के मानक विचलन का एक अनुमान, हमारे चारों ओर की दीवारें और छत, एक्सइसके विचरण के निष्पक्ष अनुमान के आधार पर इसकी गणितीय अपेक्षा के सापेक्ष):

कहाँ - विचरण; - फर्श, हमारे चारों ओर की दीवारें और छत, मैं-वें नमूना तत्व; - नमूने का आकार; - नमूने का अंकगणितीय माध्य:

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि दोनों अनुमान पक्षपाती हैं। सामान्य मामले में, निष्पक्ष अनुमान का निर्माण करना असंभव है। हालांकि, एक निष्पक्ष विचरण अनुमान पर आधारित एक अनुमान सुसंगत है।

तीन सिग्मा नियम

तीन सिग्मा नियम() - सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर के लगभग सभी मान अंतराल में होते हैं। अधिक सख्ती से - 99.7% से कम निश्चितता के साथ, सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर का मान निर्दिष्ट अंतराल में होता है (बशर्ते कि मान सत्य हो, और नमूना प्रसंस्करण के परिणामस्वरूप प्राप्त न हो)।

यदि सही मूल्य अज्ञात है, तो आपको उपयोग नहीं करना चाहिए, लेकिन फर्श, हमारे चारों ओर की दीवारें और छत, एस. इस तरह, तीन का नियमसिग्मा तीन मंजिल, हमारे चारों ओर की दीवारों और छत के नियम में परिवर्तित हो जाता है, एस .

मानक विचलन के मूल्य की व्याख्या

मानक विचलन का एक बड़ा मूल्य सेट के औसत मूल्य के साथ प्रस्तुत सेट में मूल्यों का एक बड़ा प्रसार दर्शाता है; छोटा मूल्य, क्रमशः, दर्शाता है कि सेट में मान माध्य मान के आसपास क्लस्टर किए गए हैं।

उदाहरण के लिए, हमारे पास तीन संख्या सेट हैं: (0, 0, 14, 14), (0, 6, 8, 14) और (6, 6, 8, 8)। सभी तीन सेटों में क्रमशः 7 के माध्य मान और 7, 5, और 1 के मानक विचलन होते हैं। अंतिम सेट में एक छोटा मानक विचलन होता है क्योंकि सेट में मान माध्य के आसपास क्लस्टर किए जाते हैं; पहले सेट में मानक विचलन का सबसे बड़ा मान होता है - सेट के भीतर के मान औसत मान से दृढ़ता से भिन्न होते हैं।

सामान्य तौर पर, मानक विचलन को अनिश्चितता का एक उपाय माना जा सकता है। उदाहरण के लिए, भौतिकी में, मानक विचलन का उपयोग कुछ मात्रा के क्रमिक मापों की एक श्रृंखला की त्रुटि को निर्धारित करने के लिए किया जाता है। सिद्धांत द्वारा अनुमानित मूल्य की तुलना में अध्ययन के तहत घटना की संभावना को निर्धारित करने के लिए यह मूल्य बहुत महत्वपूर्ण है: यदि माप का औसत मूल्य सिद्धांत (बड़े मानक विचलन) द्वारा अनुमानित मूल्यों से बहुत भिन्न होता है, तो प्राप्त मूल्यों या उन्हें प्राप्त करने की विधि को फिर से जांचना चाहिए।

प्रायोगिक उपयोग

व्यवहार में, मानक विचलन आपको यह निर्धारित करने की अनुमति देता है कि सेट में मान औसत मूल्य से कितना भिन्न हो सकते हैं।

जलवायु

मान लीजिए कि एक ही औसत दैनिक अधिकतम तापमान वाले दो शहर हैं, लेकिन एक तट पर स्थित है और दूसरा अंतर्देशीय है। तटीय शहरों को अंतर्देशीय शहरों की तुलना में कई अलग-अलग दैनिक अधिकतम तापमान कम होने के लिए जाना जाता है। इसलिए, तटीय शहर में अधिकतम दैनिक तापमान का मानक विचलन दूसरे शहर की तुलना में कम होगा, इस तथ्य के बावजूद कि इस मूल्य का औसत मूल्य उनके लिए समान है, जो व्यवहार में इसका मतलब है कि अधिकतम हवा की संभावना वर्ष के प्रत्येक विशेष दिन का तापमान महाद्वीप के अंदर स्थित एक शहर के लिए औसत मूल्य से अधिक मजबूत होगा।

खेल

मान लीजिए कि कई फ़ुटबॉल टीमें हैं जिन्हें कुछ मापदंडों के अनुसार रैंक किया गया है, उदाहरण के लिए, बनाए गए और स्वीकार किए गए लक्ष्यों की संख्या, स्कोर करने की संभावना आदि। सबसे अधिक संभावना है कि इस समूह की सर्वश्रेष्ठ टीम के पास होगा सर्वोत्तम मूल्यपर अधिकपैरामीटर। प्रस्तुत मापदंडों में से प्रत्येक के लिए टीम का मानक विचलन जितना छोटा होगा, टीम का परिणाम उतना ही अधिक अनुमानित होगा, ऐसी टीमें संतुलित हैं। दूसरी ओर, टीम के साथ बड़ा मूल्यवानमानक विचलन परिणाम की भविष्यवाणी करना मुश्किल है, जो बदले में असंतुलन द्वारा समझाया गया है, उदाहरण के लिए, मजबूत रक्षा, लेकिन कमजोर हमला।

टीम के मापदंडों के मानक विचलन का उपयोग किसी को दो टीमों के बीच मैच के परिणाम की भविष्यवाणी करने की अनुमति देता है, कुछ हद तक ताकत का मूल्यांकन करता है और कमजोर पक्षआदेश, और इसलिए संघर्ष के चुने हुए तरीके।

तकनीकी विश्लेषण

यह सभी देखें

साहित्य

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* बोरोविकोव, वी.सांख्यिकी। कंप्यूटर डेटा विश्लेषण की कला: पेशेवरों / वी। बोरोविकोव के लिए। - सेंट पीटर्सबर्ग। : पीटर, 2003. - 688 पी। - आईएसबीएन 5-272-00078-1.

सांख्यिकीय संकेतक
वर्णनात्मक आंकड़े	निरंतर जानकारी कतरनी कारक माध्य (अंकगणित, ज्यामितीय, हार्मोनिक) माध्यिका मोड रेंज उतार-चढ़ाव पद · मानक विचलनभिन्नता का गुणांक क्वांटाइल (डेसिल, परसेंटाइल / परसेंटाइल / सेंटाइल) लम्हें गणितीय अपेक्षा फैलाव तिरछापन कुर्टोसिस अलग जानकारी आवृत्ति आकस्मिकता तालिका
सांख्यिकीय निकासी और इंतिहान परिकल्पना	सांख्यिकीय निष्कर्ष कॉन्फिडेंस इंटरवल (फ्रीक्वेंसी प्रायिकता) कॉन्फिडेंस इंटरवल (बायेसियन इंट्रेंस) सांख्यिकीय महत्व मेटा-विश्लेषण योजना प्रयोग जनसंख्या · नमूना डिजाइन · क्षेत्रीय नमूनाकरण · प्रतिकृति · समूहीकरण · संवेदनशीलता और विशिष्टता नमूने का आकार सांख्यिकीय शक्ति प्रभाव का माप मानक त्रुटि कुल मिलाकर स्कोर समाधान का बायेसियन मूल्यांकन ·

अनुदेश

मान लीजिए कि कई संख्याएँ हैं - या सजातीय मात्राएँ। उदाहरण के लिए, माप के परिणाम, वजन, सांख्यिकीय अवलोकन, आदि। प्रस्तुत सभी मात्राओं को एक ही माप से मापा जाना चाहिए। मानक विचलन ज्ञात करने के लिए, निम्न कार्य करें।

सभी संख्याओं का अंकगणितीय माध्य निर्धारित करें: सभी संख्याओं को जोड़ें और योग को संख्याओं की कुल संख्या से विभाजित करें।

संख्याओं का फैलाव (बिखरना) निर्धारित करें: पहले पाए गए विचलन के वर्गों को जोड़ें और परिणामी योग को संख्याओं की संख्या से विभाजित करें।

वार्ड में सात मरीज हैं जिनका तापमान 34, 35, 36, 37, 38, 39 और 40 डिग्री सेल्सियस है।

औसत से औसत विचलन निर्धारित करना आवश्यक है।
समाधान:
"वार्ड में": (34+35+36+37+38+39+40)/7=37 ;

औसत से तापमान विचलन (इस मामले में सामान्य मूल्य): 34-37, 35-37, 36-37, 37-37, 38-37, 39-37, 40-37, यह निकला: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 (ºС);

पहले प्राप्त संख्याओं के योग को उनकी संख्या से भाग दें। गणना की सटीकता के लिए, कैलकुलेटर का उपयोग करना बेहतर है। विभाजन का परिणाम योगों का अंकगणितीय माध्य है।

गणना के सभी चरणों पर पूरा ध्यान दें, क्योंकि कम से कम एक गणना में त्रुटि गलत अंतिम संकेतक की ओर ले जाएगी। प्रत्येक चरण में प्राप्त गणनाओं की जाँच करें। अंकगणितीय औसत में संख्याओं के योग के समान मीटर होता है, अर्थात यदि आप औसत उपस्थिति निर्धारित करते हैं, तो सभी संकेतक "व्यक्ति" होंगे।

यह विधिगणना का उपयोग केवल गणितीय और सांख्यिकीय गणनाओं में किया जाता है। इसलिए, उदाहरण के लिए, कंप्यूटर विज्ञान में अंकगणितीय माध्य का एक अलग गणना एल्गोरिथ्म है। अंकगणित माध्य बहुत है सशर्त संकेतक. यह किसी घटना की संभावना को दर्शाता है, बशर्ते कि इसमें केवल एक कारक या संकेतक हो। सबसे गहन विश्लेषण के लिए, कई कारकों को ध्यान में रखा जाना चाहिए। इसके लिए अधिक सामान्य मात्राओं की गणना का उपयोग किया जाता है।

अंकगणित माध्य केंद्रीय प्रवृत्ति के उपायों में से एक है, जिसका व्यापक रूप से गणित और सांख्यिकीय गणना में उपयोग किया जाता है। कई मानों के लिए अंकगणितीय औसत खोजना बहुत सरल है, लेकिन प्रत्येक कार्य की अपनी बारीकियां होती हैं, जिन्हें सही गणना करने के लिए जानना आवश्यक है।

ऐसे प्रयोगों के मात्रात्मक परिणाम।

अंकगणित माध्य कैसे ज्ञात करें

संख्याओं की एक सरणी के लिए अंकगणितीय माध्य की खोज इन मानों के बीजगणितीय योग के निर्धारण के साथ शुरू होनी चाहिए। उदाहरण के लिए, यदि सरणी में संख्याएँ 23, 43, 10, 74 और 34 हैं, तो उनका बीजगणितीय योग 184 के बराबर होगा। लिखते समय, अंकगणितीय माध्य को अक्षर μ (mu) या x (x के साथ a) द्वारा दर्शाया जाता है। छड़)। इसके बाद, बीजीय योग को सरणी में संख्याओं की संख्या से विभाजित किया जाना चाहिए। इस उदाहरण में, पाँच संख्याएँ थीं, इसलिए अंकगणितीय माध्य 184/5 होगा और 36.8 होगा।

नकारात्मक संख्याओं के साथ काम करने की विशेषताएं

यदि सरणी में ऋणात्मक संख्याएँ हैं, तो समान एल्गोरिथम का उपयोग करके अंकगणित माध्य पाया जाता है। प्रोग्रामिंग वातावरण में गणना करते समय, या यदि कार्य में कोई अंतर होता है अतिरिक्त शर्तें. इन मामलों में, के साथ संख्याओं का अंकगणितीय माध्य ज्ञात करना विभिन्न संकेततीन चरणों तक उबलता है:

1. मानक विधि द्वारा सामान्य अंकगणितीय माध्य ज्ञात करना;
2. ऋणात्मक संख्याओं का समांतर माध्य ज्ञात करना।
3. धनात्मक संख्याओं के समांतर माध्य की गणना।

प्रत्येक क्रिया की प्रतिक्रियाएँ अल्पविराम से अलग करके लिखी जाती हैं।

प्राकृतिक और दशमलव अंश

यदि संख्याओं की एक सरणी प्रस्तुत की जाती है दशमलव, समाधान पूर्णांकों के अंकगणितीय माध्य की गणना की विधि के अनुसार होता है, लेकिन उत्तर की सटीकता के लिए समस्या की आवश्यकताओं के अनुसार परिणाम कम हो जाता है।

साथ काम करते समय प्राकृतिक अंशउन्हें एक सामान्य हर में घटाया जाना चाहिए, जिसे सरणी में संख्याओं की संख्या से गुणा किया जाता है। उत्तर का अंश मूल भिन्नात्मक तत्वों के दिए गए अंशों का योग होगा।