ऑनलाइन एक सतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा। गणितीय अपेक्षा एक यादृच्छिक चर का संभाव्यता वितरण है

समाधान:

6.1.2 अपेक्षित गुण

1. अपेक्षित मूल्यस्थिरांक सबसे स्थिर के बराबर है।

2. उम्मीद के संकेत से एक स्थिर कारक निकाला जा सकता है।

3. दो स्वतंत्र यादृच्छिक चरों के गुणनफल की गणितीय अपेक्षा उनकी गणितीय अपेक्षाओं के गुणनफल के बराबर होती है।

यह गुण यादृच्छिक चर की मनमानी संख्या के लिए मान्य है।

4. दो यादृच्छिक चरों के योग की गणितीय अपेक्षा पदों की गणितीय अपेक्षाओं के योग के बराबर होती है।

यह गुण यादृच्छिक चरों की मनमानी संख्या के लिए भी सत्य है।

उदाहरण: एम (एक्स) = 5, मेरे)= 2. गणितीय अपेक्षा ज्ञात कीजिए अनियमित चर जेड, गणितीय अपेक्षा के गुणों को लागू करना, यदि यह ज्ञात हो कि Z=2X + 3Y.

समाधान: एम (जेड) = एम (2 एक्स + 3 वाई) = एम (2 एक्स) + एम (3 वाई) = 2 एम (एक्स) + 3 एम (वाई) = 2∙5+3∙2 =

1) योग की गणितीय अपेक्षा गणितीय अपेक्षाओं के योग के बराबर है

2) निरंतर कारक को उम्मीद के संकेत से निकाला जा सकता है

मान लीजिए n स्वतंत्र परीक्षण किए जाते हैं, घटना A के घटित होने की प्रायिकता जिसमें p बराबर है। तब निम्नलिखित प्रमेय धारण करता है:

प्रमेय। n स्वतंत्र परीक्षणों में घटना A की घटनाओं की संख्या की गणितीय अपेक्षा M(X) परीक्षणों की संख्या और प्रत्येक परीक्षण में घटना के घटित होने की संभावना के गुणनफल के बराबर है।

6.1.3 एक असतत यादृच्छिक चर का फैलाव

गणितीय अपेक्षा एक यादृच्छिक प्रक्रिया को पूरी तरह से चित्रित नहीं कर सकती है। गणितीय अपेक्षा के अलावा, एक ऐसा मान प्रस्तुत करना आवश्यक है जो गणितीय अपेक्षा से यादृच्छिक चर के मानों के विचलन की विशेषता है।

यह विचलन यादृच्छिक चर और इसकी गणितीय अपेक्षा के बीच के अंतर के बराबर है। इस मामले में, विचलन की गणितीय अपेक्षा शून्य है। यह इस तथ्य से समझाया गया है कि कुछ संभावित विचलन सकारात्मक हैं, अन्य नकारात्मक हैं, और उनके पारस्परिक रद्दीकरण के परिणामस्वरूप, शून्य प्राप्त होता है।

फैलाव (बिखरने)असतत यादृच्छिक चर को उसकी गणितीय अपेक्षा से यादृच्छिक चर के वर्ग विचलन की गणितीय अपेक्षा कहा जाता है।

व्यवहार में, प्रसरण की गणना करने की यह विधि असुविधाजनक है, क्योंकि एक यादृच्छिक चर के बड़ी संख्या में मूल्यों के लिए बोझिल गणना की ओर जाता है।

इसलिए, एक और विधि का उपयोग किया जाता है।

प्रमेय। विचरण यादृच्छिक चर X के वर्ग की गणितीय अपेक्षा और उसकी गणितीय अपेक्षा के वर्ग के बीच के अंतर के बराबर है.

सबूत। इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए कि गणितीय अपेक्षा M (X) और गणितीय अपेक्षा M 2 (X) का वर्ग स्थिर मान हैं, हम लिख सकते हैं:

उदाहरण। वितरण नियम द्वारा दिए गए असतत यादृच्छिक चर का प्रसरण ज्ञात कीजिए।

एक्स
एक्स 2
आर	0.2	0.3	0.1	0.4

समाधान: ।

6.1.4 फैलाव गुण

1. एक स्थिर मान का परिक्षेपण शून्य होता है। .

2. एक अचर गुणनखंड को परिक्षेपण चिह्न से वर्ग करके निकाला जा सकता है। .

3. दो स्वतंत्र यादृच्छिक चरों के योग का प्रसरण इन चरों के प्रसरणों के योग के बराबर होता है। .

4. दो स्वतंत्र यादृच्छिक चरों के अंतर का प्रसरण इन चरों के प्रसरणों के योग के बराबर होता है। .

प्रमेय। स्वतंत्र परीक्षणों में घटना ए की घटनाओं की संख्या का विचरण, जिनमें से प्रत्येक में घटना की घटना की संभावना पी स्थिर है, परीक्षणों की संख्या और घटना और गैर-घटना की संभावना के उत्पाद के बराबर है। प्रत्येक परीक्षण में घटना की।

उदाहरण: डीएसवी एक्स का विचरण ज्ञात कीजिए - 2 स्वतंत्र परीक्षणों में घटना ए की घटनाओं की संख्या, यदि इन परीक्षणों में घटना की घटना की संभावना समान है और यह ज्ञात है कि एम (एक्स) = 1.2।

हम खंड 6.1.2 से प्रमेय लागू करते हैं:

एम (एक्स) = एनपी

एम (एक्स) = 1,2; एन= 2. खोजें पी:

1,2 = 2∙पी

पी = 1,2/2

क्यू = 1 – पी = 1 – 0,6 = 0,4

आइए सूत्र द्वारा फैलाव ज्ञात करें:

डी (एक्स) = 2∙0,6∙0,4 = 0,48

6.1.5 असतत यादृच्छिक चर का मानक विचलन

मानक विचलनयादृच्छिक चर X को प्रसरण का वर्गमूल कहा जाता है।

(25)

प्रमेय। परस्पर स्वतंत्र यादृच्छिक चरों की एक परिमित संख्या के योग का मूल माध्य वर्ग विचलन है वर्गमूलइन राशियों के मानक विचलन के वर्गों के योग से।

6.1.6 असतत यादृच्छिक चर का बहुलक और माध्यिका

फैशन एम या डीएसवीएक यादृच्छिक चर के सबसे संभावित मान को कहा जाता है (अर्थात वह मान जिसकी सबसे अधिक संभावना होती है)

मेडियन एम ई डीएसडब्ल्यूएक यादृच्छिक चर का मान है जो वितरण श्रृंखला को आधे में विभाजित करता है। यदि यादृच्छिक चर के मानों की संख्या सम है, तो माध्यिका दो माध्य मानों के अंकगणितीय माध्य के रूप में पाई जाती है।

उदाहरण: DSW का बहुलक और माध्यिका ज्ञात कीजिए एक्स:

एक्स
पी	0.2	0.3	0.1	0.4

मैं = = 5,5

प्रगति

1. इस कार्य के सैद्धांतिक भाग (व्याख्यान, पाठ्यपुस्तक) से परिचित हों।

2. कार्य को अपनी पसंद के अनुसार पूरा करें।

3. काम पर एक रिपोर्ट संकलित करें।

4. अपने काम को सुरक्षित रखें।

2. कार्य का उद्देश्य।

3. कार्य की प्रगति।

4. आपके विकल्प का निर्णय।

6.4 नौकरी के विकल्प स्वतंत्र काम

विकल्प संख्या 1

1. वितरण नियम द्वारा दी गई DSV X की गणितीय अपेक्षा, प्रसरण, मानक विचलन, बहुलक और माध्यिका ज्ञात कीजिए।

एक्स
पी	0.1	0.6	0.2	0.1

2. एक यादृच्छिक चर Z की गणितीय अपेक्षा का पता लगाएं, यदि X और Y की गणितीय अपेक्षाएं ज्ञात हैं: M(X)=6, M(Y)=4, Z=5X+3Y।

3. DSV X का प्रसरण ज्ञात कीजिए - दो स्वतंत्र परीक्षणों में घटना A के घटित होने की संख्या, यदि इन परीक्षणों में घटनाओं के घटित होने की प्रायिकता समान है और यह ज्ञात है कि M (X) = 1 है।

4. असतत यादृच्छिक चर के संभावित मूल्यों की एक सूची दी गई है एक्स: एक्स 1 = 1, x2 = 2, एक्स 3

विकल्प संख्या 2

एक्स
पी	0.3	0.1	0.2	0.4

2. एक यादृच्छिक चर Z की गणितीय अपेक्षा का पता लगाएं, यदि X और Y की गणितीय अपेक्षाएं ज्ञात हैं: M(X)=5, M(Y)=8, Z=6X+2Y।

3. डीएसवी एक्स का विचरण ज्ञात कीजिए - तीन स्वतंत्र परीक्षणों में घटना ए की घटनाओं की संख्या, यदि इन परीक्षणों में घटनाओं की घटना की संभावनाएं समान हैं और यह ज्ञात है कि एम (एक्स) = 0.9।

एक्स 1 = 1, x2 = 2, एक्स 3 = 4, x4= 10, और इस मात्रा और उसके वर्ग की गणितीय अपेक्षाएँ भी ज्ञात हैं: , . संभावित मानों के अनुरूप प्रायिकताएं , , , खोजें और DSW का वितरण नियम बनाएं।

विकल्प संख्या 3

1. वितरण कानून द्वारा दी गई DSV X की गणितीय अपेक्षा, विचरण और मानक विचलन ज्ञात कीजिए।

एक्स
पी	0.5	0.1	0.2	0.3

2. एक यादृच्छिक चर Z की गणितीय अपेक्षा का पता लगाएं, यदि X और Y की गणितीय अपेक्षाएं ज्ञात हैं: M(X)=3, M(Y)=4, Z=4X+2Y।

3. डीएसवी एक्स का प्रसरण ज्ञात कीजिए - चार स्वतंत्र परीक्षणों में घटना ए की घटनाओं की संख्या, यदि इन परीक्षणों में घटनाओं के घटित होने की संभावनाएं समान हैं और यह ज्ञात है कि एम (एक्स) = 1.2।

4. असतत यादृच्छिक चर X के संभावित मानों की सूची दी गई है: एक्स 1 = 0, x2 = 1, एक्स 3 = 2, x4= 5, और इस मात्रा और उसके वर्ग की गणितीय अपेक्षाएँ भी ज्ञात हैं: , . संभावित मानों के अनुरूप प्रायिकताएं , , , खोजें और DSW का वितरण नियम बनाएं।

विकल्प संख्या 4

1. वितरण कानून द्वारा दी गई DSV X की गणितीय अपेक्षा, विचरण और मानक विचलन ज्ञात कीजिए।

गणितीय अपेक्षा के बाद एक यादृच्छिक चर की अगली सबसे महत्वपूर्ण संपत्ति इसका विचरण है, जिसे माध्य से विचलन के माध्य वर्ग के रूप में परिभाषित किया गया है:

यदि तब तक निरूपित किया जाता है, तो प्रसरण VX अपेक्षित मान होगा। यह X वितरण के "स्कैटर" की विशेषता है।

विचरण की गणना के एक सरल उदाहरण के रूप में, मान लें कि हमें अभी एक प्रस्ताव दिया गया है जिसे हम मना नहीं कर सकते: किसी ने हमें एक ही लॉटरी में प्रवेश करने के लिए दो प्रमाणपत्र दिए। लॉटरी के आयोजक एक अलग ड्रा में भाग लेकर हर हफ्ते 100 टिकट बेचते हैं। ड्रा इन टिकटों में से एक को एक समान यादृच्छिक प्रक्रिया के माध्यम से चुनता है - प्रत्येक टिकट के चुने जाने की समान संभावना होती है - और उस भाग्यशाली टिकट के मालिक को एक सौ मिलियन डॉलर मिलते हैं। शेष 99 लॉटरी टिकट धारक कुछ भी नहीं जीतते हैं।

हम उपहार का दो तरह से उपयोग कर सकते हैं: या तो एक ही लॉटरी में दो टिकट खरीदें, या दो अलग-अलग लॉटरी में भाग लेने के लिए एक-एक टिकट खरीदें। सबसे अच्छी रणनीति क्या है? आइए विश्लेषण करने का प्रयास करें। ऐसा करने के लिए, हम पहले और दूसरे टिकट पर हमारी जीत के आकार का प्रतिनिधित्व करने वाले यादृच्छिक चर द्वारा निरूपित करते हैं। लाखों में अपेक्षित मूल्य है

और अपेक्षित मूल्यों के लिए भी यही सच है, इसलिए हमारा औसत कुल भुगतान होगा

अपनाई गई रणनीति की परवाह किए बिना।

हालाँकि, दोनों रणनीतियाँ भिन्न प्रतीत होती हैं। आइए अपेक्षित मूल्यों से परे जाएं और संपूर्ण संभाव्यता वितरण का अध्ययन करें

अगर हम एक ही लॉटरी में दो टिकट खरीदते हैं, तो हमारे पास कुछ भी नहीं जीतने का 98% मौका है और 100 मिलियन जीतने का 2% मौका है। यदि हम अलग-अलग ड्रा के लिए टिकट खरीदते हैं, तो संख्याएँ इस प्रकार होंगी: 98.01% - कुछ भी न जीतने की संभावना, जो पहले की तुलना में कुछ अधिक है; 0.01% - 200 मिलियन जीतने का मौका, पहले की तुलना में थोड़ा अधिक; और 100 मिलियन जीतने की संभावना अब 1.98% है। इस प्रकार, दूसरे मामले में, परिमाण का वितरण कुछ अधिक बिखरा हुआ है; औसत, $100 मिलियन, कुछ हद तक कम होने की संभावना है, जबकि चरम सीमा अधिक होने की संभावना है।

यह एक यादृच्छिक चर के बिखराव की अवधारणा है जिसका उद्देश्य विचरण को प्रतिबिंबित करना है। हम एक यादृच्छिक चर के विचलन के वर्ग के माध्यम से प्रसार को उसकी गणितीय अपेक्षा से मापते हैं। इस प्रकार, स्थिति 1 में, प्रसरण होगा

स्थिति 2 में, प्रसरण है

जैसा कि हमने उम्मीद की थी, बाद वाला मूल्य कुछ बड़ा है, क्योंकि स्थिति 2 में वितरण कुछ अधिक बिखरा हुआ है।

जब हम भिन्नताओं के साथ काम करते हैं, तो सब कुछ चुकता होता है, इसलिए परिणाम काफी बड़ी संख्या में हो सकता है। (गुणक एक ट्रिलियन है, जो प्रभावशाली होना चाहिए

यहां तक ​​कि बड़े दांव के आदी खिलाड़ी भी।) मूल्यों को अधिक सार्थक मूल पैमाने में बदलने के लिए, विचरण का वर्गमूल अक्सर लिया जाता है। परिणामी संख्या को मानक विचलन कहा जाता है और इसे आमतौर पर ग्रीक अक्षर a द्वारा दर्शाया जाता है:

हमारी दो लॉटरी रणनीतियों के लिए मानक विचलन हैं। कुछ मायनों में, दूसरा विकल्प लगभग $71,247 जोखिम भरा है।

एक रणनीति चुनने में विचरण कैसे मदद करता है? यह स्पष्ट नहीं है। एक बड़े अंतर के साथ एक रणनीति जोखिम भरा है; लेकिन हमारे बटुए के लिए क्या बेहतर है - जोखिम या सुरक्षित खेल? हमारे पास दो नहीं, बल्कि सौ टिकट खरीदने का मौका है। तब हम एक लॉटरी में जीत की गारंटी दे सकते थे (और विचरण शून्य होगा); या आप सौ अलग-अलग ड्रा में खेल सकते हैं, संभावना के साथ कुछ भी नहीं प्राप्त कर सकते हैं, लेकिन डॉलर तक जीतने का एक गैर-शून्य मौका है। इनमें से किसी एक विकल्प को चुनना इस पुस्तक के दायरे से बाहर है; हम यहां केवल यह बता सकते हैं कि गणना कैसे की जाती है।

वास्तव में, सीधे परिभाषा (8.13) का उपयोग करने की तुलना में विचरण की गणना करने का एक आसान तरीका है। (यहां कुछ छिपे हुए गणित पर संदेह करने का हर कारण है; अन्यथा, लॉटरी के उदाहरणों में भिन्नता एक पूर्णांक गुणक क्यों होगी। हमारे पास है

क्योंकि एक स्थिरांक है; फलस्वरूप,

"विक्षेपण वर्ग का माध्य घटा माध्य का वर्ग है"

उदाहरण के लिए, लॉटरी समस्या में, औसत है या घटाव (औसत के वर्ग का) परिणाम देता है जो हमने पहले ही अधिक कठिन तरीके से प्राप्त किया है।

हालाँकि, और भी हैं सरल सूत्र, लागू होता है जब हम स्वतंत्र एक्स और वाई के लिए गणना करते हैं। हमारे पास है

चूँकि, जैसा कि हम जानते हैं, स्वतंत्र यादृच्छिक चरों के लिए इसलिए,

"स्वतंत्र यादृच्छिक चर के योग का विचरण उनके प्रसरणों के योग के बराबर है" इसलिए, उदाहरण के लिए, एक लॉटरी टिकट पर जीती जा सकने वाली राशि का विचरण बराबर है

इसलिए, दो अलग-अलग (स्वतंत्र) लॉटरी में दो लॉटरी टिकटों के लिए कुल जीत का अंतर होगा स्वतंत्र लॉटरी टिकट के लिए भिन्नता का संगत मूल्य होगा

दो पासों पर लुढ़के अंकों के योग का विचरण एक ही सूत्र का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है, क्योंकि दो स्वतंत्र यादृच्छिक चर का योग होता है। हमारे पास है

सही घन के लिए; इसलिए, द्रव्यमान के विस्थापित केंद्र के मामले में

इसलिए, यदि दोनों घनों के द्रव्यमान केंद्र को विस्थापित कर दिया जाता है। ध्यान दें कि बाद के मामले में, विचरण बड़ा है, हालांकि यह नियमित पासे के मामले में औसतन 7 अधिक बार लेता है। यदि हमारा लक्ष्य अधिक भाग्यशाली सेवन करना है, तो भिन्नता सफलता का सबसे अच्छा संकेतक नहीं है।

ठीक है, हमने स्थापित किया है कि विचरण की गणना कैसे करें। लेकिन हमने अभी तक इस सवाल का जवाब नहीं दिया है कि विचरण की गणना करना क्यों आवश्यक है। हर कोई करता है, लेकिन क्यों? मुख्य कारण चेबीशेव असमानता है जो विचरण की एक महत्वपूर्ण संपत्ति स्थापित करती है:

(यह असमानता राशि के लिए चेबीशेव की असमानताओं से भिन्न है, जिसका हमने अध्याय 2 में सामना किया था।) गुणात्मक रूप से, (8.17) में कहा गया है कि एक यादृच्छिक चर X शायद ही कभी अपने माध्य से दूर मान लेता है यदि इसका विचरण VX छोटा है। सबूत

कार्रवाई असाधारण रूप से सरल है। सचमुच,

विभाजन द्वारा प्रमाण पूरा करता है।

यदि हम गणितीय अपेक्षा को a से और मानक विचलन को a से निरूपित करते हैं और इसे (8.17) से प्रतिस्थापित करते हैं तो स्थिति बदल जाती है, इसलिए हमें (8.17) से प्राप्त होता है।

इस प्रकार, X अपने माध्य के मानक विचलन के - गुना के भीतर होगा, सिवाय उन मामलों को छोड़कर जहां संभाव्यता यादृच्छिक मान से अधिक न हो, परीक्षणों के कम से कम 75% के 2a के भीतर होगी; से लेकर - कम से कम 99% के लिए। ये चेबीशेव की असमानता के मामले हैं।

यदि आप दो बार पासा फेंकते हैं, तो सभी थ्रो में कुल स्कोर लगभग हमेशा होता है, बड़े के लिए यह करीब होगा इसका कारण इस प्रकार है: स्वतंत्र थ्रो का विचरण है

इसलिए, चेबीशेव असमानता से, हम प्राप्त करते हैं कि अंकों का योग बीच में होगा

सही पासे के सभी रोल के कम से कम 99% के लिए। उदाहरण के लिए, 99% से अधिक की संभावना वाले कुल एक मिलियन टॉस 6.976 मिलियन और 7.024 मिलियन के बीच होंगे।

सामान्य स्थिति में, X को प्रायिकता स्थान P पर कोई भी यादृच्छिक चर होने दें जिसमें एक परिमित गणितीय अपेक्षा और एक परिमित मानक विचलन a हो। फिर हम संभाव्यता स्थान Пп पर विचार कर सकते हैं, जिनकी प्राथमिक घटनाएं हैं -अनुक्रम जहां प्रत्येक, और संभावना को परिभाषित किया गया है

यदि हम अब सूत्र द्वारा यादृच्छिक चर परिभाषित करते हैं

फिर मूल्य

स्वतंत्र यादृच्छिक चर का योग होगा, जो पी पर मात्रा एक्स की स्वतंत्र प्राप्ति के योग की प्रक्रिया से मेल खाता है। गणितीय अपेक्षा बराबर होगी और मानक विचलन -; इसलिए, प्राप्तियों का औसत मूल्य,

समयावधि के कम से कम 99% तक की सीमा में होगा। दूसरे शब्दों में, यदि हम पर्याप्त रूप से बड़ी संख्या चुनते हैं, तो स्वतंत्र परीक्षणों का अंकगणितीय माध्य लगभग हमेशा अपेक्षित मूल्य के बहुत करीब होगा (संभाव्यता सिद्धांत की पाठ्यपुस्तकों में, एक और भी मजबूत प्रमेय सिद्ध होता है, जिसे बड़े का मजबूत कानून कहा जाता है) संख्याएँ; लेकिन हमें चेबीशेव की असमानता का एक सरल परिणाम भी चाहिए, जिसे हमने अभी-अभी निकाला है।)

कभी-कभी हम संभाव्यता स्थान की विशेषताओं को नहीं जानते हैं, लेकिन हमें एक यादृच्छिक चर X की गणितीय अपेक्षा का अनुमान उसके मूल्य के बार-बार अवलोकन द्वारा अनुमान लगाने की आवश्यकता है। (उदाहरण के लिए, हम सैन फ्रांसिस्को में औसत जनवरी दोपहर का तापमान चाहते हैं; या हम जीवन प्रत्याशा जानना चाहते हैं जिस पर बीमा एजेंटों को अपनी गणना का आधार बनाना चाहिए।) यदि हमारे पास स्वतंत्र है अनुभवजन्य अवलोकनतब हम मान सकते हैं कि वास्तविक गणितीय अपेक्षा लगभग बराबर है

आप सूत्र का उपयोग करके विचरण का अनुमान भी लगा सकते हैं

इस फॉर्मूले को देखकर कोई भी सोच सकता है कि इसमें टाइपोग्राफिकल त्रुटि है; ऐसा प्रतीत होता है कि (8.19) जैसा होना चाहिए, क्योंकि प्रसरण का वास्तविक मूल्य अपेक्षित मूल्यों के माध्यम से (8.15) में निर्धारित होता है। हालाँकि, यहाँ परिवर्तन हमें एक बेहतर अनुमान प्राप्त करने की अनुमति देता है, क्योंकि यह परिभाषा (8.20) से अनुसरण करता है कि

यहाँ सबूत है:

(इस गणना में, हम टिप्पणियों की स्वतंत्रता पर भरोसा करते हैं जब हम द्वारा प्रतिस्थापित करते हैं)

व्यवहार में, एक यादृच्छिक चर एक्स के साथ एक प्रयोग के परिणामों का मूल्यांकन करने के लिए, आमतौर पर अनुभवजन्य माध्य और अनुभवजन्य मानक विचलन की गणना की जाती है और फिर फॉर्म में उत्तर लिखता है, उदाहरण के लिए, पासा की एक जोड़ी फेंकने के परिणाम हैं, माना जाता है कि सही है।

गणितीय अपेक्षा है, परिभाषा

चटाई प्रतीक्षा हैगणितीय सांख्यिकी और संभाव्यता सिद्धांत में सबसे महत्वपूर्ण अवधारणाओं में से एक, मूल्यों के वितरण की विशेषता या संभावनाओंअनियमित चर। आमतौर पर एक यादृच्छिक चर के सभी संभावित मापदंडों के भारित औसत के रूप में व्यक्त किया जाता है। यह तकनीकी विश्लेषण, संख्या श्रृंखला के अध्ययन, निरंतर और दीर्घकालिक प्रक्रियाओं के अध्ययन में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। यह है महत्त्वजोखिमों का आकलन करते समय, ट्रेडिंग करते समय मूल्य संकेतकों का पूर्वानुमान लगाना आर्थिक बाज़ार, में रणनीति और खेल रणनीति के तरीकों के विकास में प्रयोग किया जाता है जुआ सिद्धांत.

चेकमेट प्रतीक्षा- ये हैयादृच्छिक चर का माध्य मान, वितरण संभावनाओंसंभाव्यता सिद्धांत में यादृच्छिक चर माना जाता है।

चटाई प्रतीक्षा हैसंभाव्यता सिद्धांत में एक यादृच्छिक चर के औसत मूल्य का माप। एक यादृच्छिक चर की गणित अपेक्षा एक्सलक्षित एम (एक्स).

गणितीय अपेक्षा (जनसंख्या माध्य) है

चटाई प्रतीक्षा है

चटाई प्रतीक्षा हैसंभाव्यता सिद्धांत में, सभी संभावित मूल्यों का भारित औसत जो यह यादृच्छिक चर ले सकता है।

चटाई प्रतीक्षा हैइन मानों की प्रायिकताओं द्वारा एक यादृच्छिक चर के सभी संभावित मानों के गुणनफल का योग।

गणितीय अपेक्षा (जनसंख्या माध्य) है

चटाई प्रतीक्षा हैकिसी विशेष निर्णय से औसत लाभ, बशर्ते कि इस तरह के निर्णय को बड़ी संख्या और लंबी दूरी के सिद्धांत के ढांचे में माना जा सकता है।

चटाई प्रतीक्षा हैजुए के सिद्धांत में, जीत की वह राशि जो एक सट्टेबाज प्रत्येक दांव के लिए औसतन कमा या खो सकता है। जुए की भाषा में सट्टेबाजोंइसे कभी-कभी "लाभ" कहा जाता है सट्टेबाज़"(यदि यह सट्टेबाज के लिए सकारात्मक है) या" घर का किनारा "(यदि यह सट्टेबाज के लिए नकारात्मक है)।

गणितीय अपेक्षा (जनसंख्या माध्य) है

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गणितीय अपेक्षा और विचरण एक यादृच्छिक चर की सबसे अधिक उपयोग की जाने वाली संख्यात्मक विशेषताएँ हैं। वे वितरण की सबसे महत्वपूर्ण विशेषताओं की विशेषता रखते हैं: इसकी स्थिति और फैलाव की डिग्री। अभ्यास की कई समस्याओं में, एक यादृच्छिक चर का पूर्ण, संपूर्ण विवरण - वितरण का नियम - या तो बिल्कुल प्राप्त नहीं किया जा सकता है, या इसकी बिल्कुल भी आवश्यकता नहीं है। इन मामलों में, वे संख्यात्मक विशेषताओं का उपयोग करके एक यादृच्छिक चर के अनुमानित विवरण तक सीमित हैं।

गणितीय अपेक्षा को अक्सर एक यादृच्छिक चर के औसत मान के रूप में संदर्भित किया जाता है। एक यादृच्छिक चर का फैलाव फैलाव की एक विशेषता है, इसकी गणितीय अपेक्षा के आसपास एक यादृच्छिक चर का फैलाव।

असतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा

आइए गणितीय अपेक्षा की अवधारणा को देखें, पहले एक असतत यादृच्छिक चर के वितरण की यांत्रिक व्याख्या से आगे बढ़ते हुए। मान लीजिए कि इकाई द्रव्यमान को x-अक्ष के बिंदुओं के बीच वितरित किया जाता है एक्स1 , एक्स 2 , ..., एक्सएन, और प्रत्येक भौतिक बिंदु का द्रव्यमान इसके अनुरूप होता है पी1 , पी 2 , ..., पीएन. एक्स-अक्ष पर एक बिंदु चुनना आवश्यक है, जो उनके द्रव्यमान को ध्यान में रखते हुए भौतिक बिंदुओं की पूरी प्रणाली की स्थिति को दर्शाता है। भौतिक बिंदुओं की प्रणाली के द्रव्यमान के केंद्र को ऐसे बिंदु के रूप में लेना स्वाभाविक है। यह यादृच्छिक चर का भारित औसत है एक्स, जिसमें प्रत्येक बिंदु का भुज एक्समैंसंबंधित संभावना के बराबर "वजन" के साथ प्रवेश करता है। इस प्रकार प्राप्त यादृच्छिक चर का माध्य मान एक्सइसकी गणितीय अपेक्षा कहलाती है।

असतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा इसके सभी संभावित मूल्यों के उत्पादों और इन मूल्यों की संभावनाओं का योग है:

उदाहरण 1विन-विन लॉटरी का आयोजन किया। 1000 जीत हैं, जिनमें से 400 प्रत्येक 10 रूबल हैं। 300 - 20 रूबल प्रत्येक 200 - 100 रूबल प्रत्येक। और 100 - 200 रूबल प्रत्येक। एक टिकट खरीदने वाले व्यक्ति की औसत जीत क्या है?

समाधान। हम औसत जीत पाएंगे यदि जीत की कुल राशि, जो 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50,000 रूबल के बराबर है, को 1000 (जीत की कुल राशि) से विभाजित किया जाता है। तब हमें 50000/1000 = 50 रूबल मिलते हैं। लेकिन औसत लाभ की गणना के लिए व्यंजक को निम्नलिखित रूप में भी दर्शाया जा सकता है:

दूसरी ओर, इन शर्तों के तहत, जीत की राशि एक यादृच्छिक चर है जो 10, 20, 100 और 200 रूबल के मूल्यों को ले सकती है। क्रमशः 0.4 के बराबर संभावनाओं के साथ; 0.3; 0.2; 0.1. इसलिए, अपेक्षित औसत अदायगी अदायगी के आकार के उत्पादों के योग और उन्हें प्राप्त करने की संभावना के बराबर है।

उदाहरण 2प्रकाशक ने प्रकाशित करने का निर्णय लिया नई पुस्तक. वह पुस्तक को 280 रूबल में बेचने जा रहा है, जिसमें से उसे 200, किताबों की दुकान को 50 और लेखक को 30 रुपये दिए जाएंगे। तालिका पुस्तक को प्रकाशित करने की लागत और पुस्तक की एक निश्चित संख्या में प्रतियों को बेचने की संभावना के बारे में जानकारी देती है।

प्रकाशक का अपेक्षित लाभ ज्ञात कीजिए।

समाधान। यादृच्छिक चर "लाभ" बिक्री से आय और लागत की लागत के बीच के अंतर के बराबर है। उदाहरण के लिए, यदि किसी पुस्तक की 500 प्रतियां बेची जाती हैं, तो बिक्री से होने वाली आय 200 * 500 = 100,000 है, और प्रकाशन की लागत 225,000 रूबल है। इस प्रकार, प्रकाशक को 125,000 रूबल के नुकसान का सामना करना पड़ता है। निम्न तालिका यादृच्छिक चर - लाभ के अपेक्षित मूल्यों को सारांशित करती है:

संख्या	फायदा एक्समैं	संभावना पीमैं	एक्समैं पीमैं
500	-125000	0,20	-25000
1000	-50000	0,40	-20000
2000	100000	0,25	25000
3000	250000	0,10	25000
4000	400000	0,05	20000
कुल:		1,00	25000

इस प्रकार, हम प्रकाशक के लाभ की गणितीय अपेक्षा प्राप्त करते हैं:

.

उदाहरण 3एक शॉट से हिट करने का मौका पी= 0.2. गोले की खपत निर्धारित करें जो 5 के बराबर हिट की संख्या की गणितीय अपेक्षा प्रदान करते हैं।

समाधान। उसी अपेक्षा सूत्र से जो हमने अब तक प्रयोग किया है, हम व्यक्त करते हैं एक्स- गोले की खपत:

.

उदाहरण 4एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा निर्धारित करें एक्सतीन शॉट्स के साथ हिट की संख्या, यदि प्रत्येक शॉट के साथ हिट होने की संभावना है पी = 0,4 .

संकेत: द्वारा यादृच्छिक चर के मानों की प्रायिकता ज्ञात कीजिए बर्नौली सूत्र .

उम्मीद गुण

गणितीय अपेक्षा के गुणों पर विचार करें।

संपत्ति 1.स्थिर मान की गणितीय अपेक्षा इस स्थिरांक के बराबर है:

संपत्ति 2.निरंतर कारक को उम्मीद के संकेत से बाहर निकाला जा सकता है:

संपत्ति 3.यादृच्छिक चर के योग (अंतर) की गणितीय अपेक्षा उनकी गणितीय अपेक्षाओं के योग (अंतर) के बराबर है:

संपत्ति 4.यादृच्छिक चर के उत्पाद की गणितीय अपेक्षा उनकी गणितीय अपेक्षाओं के उत्पाद के बराबर है:

संपत्ति 5.यदि यादृच्छिक चर के सभी मान एक्सएक ही संख्या से कमी (वृद्धि) से, तो इसकी गणितीय अपेक्षा उसी संख्या से घटेगी (वृद्धि) होगी:

जब आप केवल गणितीय अपेक्षा तक सीमित नहीं रह सकते हैं

ज्यादातर मामलों में, केवल गणितीय अपेक्षा एक यादृच्छिक चर को पर्याप्त रूप से चिह्नित नहीं कर सकती है।

यादृच्छिक चर दें एक्सतथा यूनिम्नलिखित वितरण कानूनों द्वारा दिए गए हैं:

अर्थ एक्स	संभावना
-0,1	0,1
-0,01	0,2
0	0,4
0,01	0,2
0,1	0,1

अर्थ यू	संभावना
-20	0,3
-10	0,1
0	0,2
10	0,1
20	0,3

इन राशियों की गणितीय अपेक्षाएँ समान हैं - शून्य के बराबर:

हालांकि, उनका वितरण अलग है। यादृच्छिक मूल्य एक्सकेवल वे मान ले सकते हैं जो गणितीय अपेक्षा और यादृच्छिक चर से थोड़े अलग हैं यूवे मान ले सकते हैं जो गणितीय अपेक्षा से महत्वपूर्ण रूप से विचलित होते हैं। एक समान उदाहरण: औसत वेतन का न्याय करना संभव नहीं है विशिष्ट गुरुत्वउच्च और निम्न वेतन वाले श्रमिक। दूसरे शब्दों में, गणितीय अपेक्षा से कोई यह नहीं आंक सकता कि इससे कम से कम औसतन क्या विचलन संभव है। ऐसा करने के लिए, आपको एक यादृच्छिक चर के विचरण को खोजने की आवश्यकता है।

असतत यादृच्छिक चर का फैलाव

फैलावअसतत यादृच्छिक चर एक्सगणितीय अपेक्षा से इसके विचलन के वर्ग की गणितीय अपेक्षा कहलाती है:

एक यादृच्छिक चर का मानक विचलन एक्सइसके प्रसरण के वर्गमूल का अंकगणितीय मान है:

.

उदाहरण 5प्रसरणों और साधनों की गणना करें मानक विचलनयादृच्छिक चर एक्सतथा यू, जिनके वितरण नियम ऊपर दी गई तालिका में दिए गए हैं।

समाधान। यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षाएं एक्सतथा यू, जैसा कि ऊपर पाया गया, शून्य के बराबर है। के लिए फैलाव सूत्र के अनुसार इ(एक्स)=इ(आप) = 0 हमें मिलता है:

फिर यादृच्छिक चर के मानक विचलन एक्सतथा यूगठित करना

.

इस प्रकार, समान गणितीय अपेक्षाओं के साथ, यादृच्छिक चर का प्रसरण एक्सबहुत छोटा और यादृच्छिक यू- महत्वपूर्ण। यह उनके वितरण में अंतर का परिणाम है।

उदाहरण 6निवेशक के पास 4 वैकल्पिक परियोजनानिवेश। तालिका इन परियोजनाओं में अपेक्षित लाभ पर संबंधित संभावना के साथ डेटा को सारांशित करती है।

प्रोजेक्ट 1	परियोजना 2	परियोजना 3	परियोजना 4
500, पी=1	1000, पी=0,5	500, पी=0,5	500, पी=0,5
	0, पी=0,5	1000, पी=0,25	10500, पी=0,25
		0, पी=0,25	9500, पी=0,25

प्रत्येक विकल्प के लिए गणितीय अपेक्षा, विचरण और मानक विचलन खोजें।

समाधान। आइए हम दिखाते हैं कि तीसरे विकल्प के लिए इन मात्राओं की गणना कैसे की जाती है:

तालिका सभी विकल्पों के लिए पाए गए मानों को सारांशित करती है।

सभी विकल्पों की गणितीय अपेक्षा समान होती है। इसका मतलब है कि लंबे समय में सभी की आय समान है। मानक विचलन की व्याख्या जोखिम के माप के रूप में की जा सकती है - यह जितना बड़ा होगा, निवेश का जोखिम उतना ही अधिक होगा। एक निवेशक जो अधिक जोखिम नहीं चाहता है, वह प्रोजेक्ट 1 का चयन करेगा क्योंकि इसमें सबसे छोटा मानक विचलन (0) है। यदि निवेशक कम अवधि में जोखिम और उच्च रिटर्न को प्राथमिकता देता है, तो वह सबसे बड़े मानक विचलन वाली परियोजना का चयन करेगा - परियोजना 4।

फैलाव गुण

आइए हम परिक्षेपण के गुणों को प्रस्तुत करें।

संपत्ति 1.एक स्थिर मान का फैलाव शून्य है:

संपत्ति 2.अचर गुणनखंड को परिक्षेपण चिह्न से चुकता करके निकाला जा सकता है:

.

संपत्ति 3.एक यादृच्छिक चर का विचरण इस मान के वर्ग की गणितीय अपेक्षा के बराबर होता है, जिसमें से मान की गणितीय अपेक्षा का वर्ग ही घटाया जाता है:

,

कहाँ पे .

संपत्ति 4.यादृच्छिक चरों के योग (अंतर) का प्रसरण उनके प्रसरणों के योग (अंतर) के बराबर होता है:

उदाहरण 7यह ज्ञात है कि एक असतत यादृच्छिक चर एक्सकेवल दो मान लेता है: −3 और 7. इसके अलावा, गणितीय अपेक्षा ज्ञात है: इ(एक्स) = 4। एक असतत यादृच्छिक चर का प्रसरण ज्ञात कीजिए।

समाधान। द्वारा निरूपित करें पीवह प्रायिकता जिसके साथ एक यादृच्छिक चर मान लेता है एक्स1 = −3 . तब मान की प्रायिकता एक्स2 = 7 1 − . होगा पी. आइए गणितीय अपेक्षा के लिए समीकरण प्राप्त करें:

इ(एक्स) = एक्स 1 पी + एक्स 2 (1 − पी) = −3पी + 7(1 − पी) = 4 ,

जहां हमें संभावनाएं मिलती हैं: पी= 0.3 और 1 − पी = 0,7 .

यादृच्छिक चर के वितरण का नियम:

एक्स	−3	7
पी	0,3	0,7

हम प्रसरण के गुण 3 से सूत्र का उपयोग करके इस यादृच्छिक चर के प्रसरण की गणना करते हैं:

डी(एक्स) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .

एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा स्वयं खोजें, और फिर समाधान देखें

उदाहरण 8असतत यादृच्छिक चर एक्सकेवल दो मान लेता है। यह 0.4 की संभावना के साथ 3 का बड़ा मान लेता है। इसके अलावा, यादृच्छिक चर का प्रसरण ज्ञात है डी(एक्स) = 6। एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा का पता लगाएं।

उदाहरण 9एक कलश में 6 सफेद और 4 काली गेंदें हैं। कलश से 3 गेंदें ली जाती हैं। खींची गई गेंदों के बीच सफेद गेंदों की संख्या एक असतत यादृच्छिक चर है एक्स. इस यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा और प्रसरण ज्ञात कीजिए।

समाधान। यादृच्छिक मूल्य एक्स 0, 1, 2, 3 मान ले सकते हैं। संबंधित संभावनाओं की गणना की जा सकती है प्रायिकताओं के गुणन का नियम. यादृच्छिक चर के वितरण का नियम:

एक्स	0	1	2	3
पी	1/30	3/10	1/2	1/6

इसलिए इस यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा:

एम(एक्स) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .

किसी दिए गए यादृच्छिक चर का प्रसरण है:

डी(एक्स) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .

एक सतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा और फैलाव

एक सतत यादृच्छिक चर के लिए, गणितीय अपेक्षा की यांत्रिक व्याख्या एक ही अर्थ को बरकरार रखेगी: घनत्व के साथ एक्स-अक्ष पर लगातार वितरित एक इकाई द्रव्यमान के लिए द्रव्यमान का केंद्र एफ(एक्स) एक असतत यादृच्छिक चर के विपरीत, जिसके लिए फ़ंक्शन तर्क एक्समैंएक सतत यादृच्छिक चर के लिए अचानक परिवर्तन, तर्क लगातार बदलता रहता है। लेकिन एक सतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा भी इसके माध्य मान से संबंधित है।

एक सतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा और विचरण को खोजने के लिए, आपको निश्चित समाकलों को खोजने की आवश्यकता है . यदि एक सतत यादृच्छिक चर का घनत्व फलन दिया जाता है, तो यह सीधे समाकलन में प्रवेश करता है। यदि एक प्रायिकता बंटन फलन दिया गया है, तो उसे विभेदित करके, आपको घनत्व फलन ज्ञात करना होगा।

एक सतत यादृच्छिक चर के सभी संभावित मूल्यों के अंकगणितीय औसत को कहा जाता है गणितीय अपेक्षा, या द्वारा निरूपित।

गणितीय अपेक्षा एक यादृच्छिक चर का संभाव्यता वितरण है

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गणितीय अपेक्षा है, परिभाषा

गणितीय सांख्यिकी और संभाव्यता सिद्धांत में सबसे महत्वपूर्ण अवधारणाओं में से एक, एक यादृच्छिक चर के मूल्यों या संभावनाओं के वितरण की विशेषता है। आमतौर पर एक यादृच्छिक चर के सभी संभावित मापदंडों के भारित औसत के रूप में व्यक्त किया जाता है। यह तकनीकी विश्लेषण, संख्या श्रृंखला के अध्ययन, निरंतर और दीर्घकालिक प्रक्रियाओं के अध्ययन में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। यह जोखिम का आकलन करने, वित्तीय बाजारों में व्यापार करते समय मूल्य संकेतकों की भविष्यवाणी करने में महत्वपूर्ण है, और जुआ के सिद्धांत में रणनीतियों और खेल रणनीति के तरीकों के विकास में उपयोग किया जाता है।

गणितीय अपेक्षा हैएक यादृच्छिक चर का माध्य मान, एक यादृच्छिक चर का संभाव्यता वितरण संभाव्यता सिद्धांत में माना जाता है।

गणितीय अपेक्षा हैसंभाव्यता सिद्धांत में एक यादृच्छिक चर के औसत मूल्य का माप। यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा एक्सलक्षित एम (एक्स).

गणितीय अपेक्षा है

गणितीय अपेक्षा हैसंभाव्यता सिद्धांत में, सभी संभावित मूल्यों का भारित औसत जो यह यादृच्छिक चर ले सकता है।

गणितीय अपेक्षा हैइन मानों की प्रायिकताओं द्वारा एक यादृच्छिक चर के सभी संभावित मानों के गुणनफल का योग।

गणितीय अपेक्षा हैकिसी विशेष निर्णय से औसत लाभ, बशर्ते कि इस तरह के निर्णय को बड़ी संख्या और लंबी दूरी के सिद्धांत के ढांचे में माना जा सकता है।

गणितीय अपेक्षा हैजुआ सिद्धांत में, प्रत्येक बेट के लिए औसतन, एक खिलाड़ी जितनी जीत या हार सकता है, वह राशि। जुआरी की भाषा में, इसे कभी-कभी "गेमर्स एज" (यदि खिलाड़ी के लिए सकारात्मक हो) या "हाउस एज" (यदि खिलाड़ी के लिए नकारात्मक हो) कहा जाता है।

गणितीय अपेक्षा हैप्रति जीत लाभ का प्रतिशत औसत लाभ से गुणा करके नुकसान की संभावना को औसत नुकसान से गुणा किया जाता है।

गणितीय सिद्धांत में एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा

एक यादृच्छिक चर की महत्वपूर्ण संख्यात्मक विशेषताओं में से एक गणितीय अपेक्षा है। आइए हम यादृच्छिक चरों की एक प्रणाली की अवधारणा का परिचय दें। यादृच्छिक चर के एक सेट पर विचार करें जो एक ही यादृच्छिक प्रयोग के परिणाम हैं। यदि सिस्टम के संभावित मूल्यों में से एक है, तो घटना एक निश्चित संभावना से मेल खाती है जो कोलमोगोरोव स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करती है। यादृच्छिक चर के किसी भी संभावित मूल्यों के लिए परिभाषित एक फ़ंक्शन को संयुक्त वितरण कानून कहा जाता है। यह फ़ंक्शन आपको किसी भी घटना की संभावनाओं की गणना करने की अनुमति देता है। विशेष रूप से, यादृच्छिक चर के वितरण का संयुक्त कानून और, जो सेट से मान लेते हैं और संभावनाओं द्वारा दिया जाता है।

शब्द "उम्मीद" पियरे साइमन मार्क्विस डी लाप्लास (1795) द्वारा पेश किया गया था और "भुगतान के अपेक्षित मूल्य" की अवधारणा से उत्पन्न हुआ था, जो पहली बार 17 वीं शताब्दी में ब्लेज़ पास्कल और क्रिश्चियन ह्यूजेंस के कार्यों में जुए के सिद्धांत में दिखाई दिया था। . हालाँकि, इस अवधारणा की पहली पूर्ण सैद्धांतिक समझ और मूल्यांकन Pafnuty Lvovich Chebyshev (19 वीं शताब्दी के मध्य) द्वारा दिया गया था।

यादृच्छिक संख्यात्मक चर का वितरण नियम (वितरण फलन और वितरण श्रृंखला या संभाव्यता घनत्व) एक यादृच्छिक चर के व्यवहार का पूरी तरह से वर्णन करता है। लेकिन कई समस्याओं में पूछे गए प्रश्न का उत्तर देने के लिए अध्ययन के तहत मात्रा की कुछ संख्यात्मक विशेषताओं (उदाहरण के लिए, इसका औसत मूल्य और इससे संभावित विचलन) जानना पर्याप्त है। यादृच्छिक चर की मुख्य संख्यात्मक विशेषताएं गणितीय अपेक्षा, विचरण, मोड और माध्यिका हैं।

असतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा इसके संभावित मूल्यों और उनकी संबंधित संभावनाओं के उत्पादों का योग है। कभी-कभी गणितीय अपेक्षा को भारित औसत कहा जाता है, क्योंकि यह बड़ी संख्या में प्रयोगों पर एक यादृच्छिक चर के प्रेक्षित मूल्यों के अंकगणितीय माध्य के लगभग बराबर होता है। गणितीय अपेक्षा की परिभाषा से, यह इस प्रकार है कि इसका मान यादृच्छिक चर के सबसे छोटे संभव मूल्य से कम नहीं है और सबसे बड़े से अधिक नहीं है। एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा एक गैर-यादृच्छिक (स्थिर) चर है।

गणितीय अपेक्षा का एक सरल भौतिक अर्थ है: यदि एक इकाई द्रव्यमान को एक सीधी रेखा पर रखा जाता है, तो कुछ द्रव्यमान को कुछ बिंदुओं पर (एक असतत वितरण के लिए) रखा जाता है, या इसे एक निश्चित घनत्व के साथ "स्मीयरिंग" किया जाता है (बिल्कुल निरंतर वितरण के लिए), तो गणितीय अपेक्षा के अनुरूप बिंदु सीधे "गुरुत्वाकर्षण का केंद्र" समन्वय होगा।

एक यादृच्छिक चर का औसत मूल्य एक निश्चित संख्या है, जो कि इसका "प्रतिनिधि" है और इसे अनुमानित अनुमानित गणना में बदल देता है। जब हम कहते हैं: "औसत दीपक संचालन का समय 100 घंटे है" या "प्रभाव का औसत बिंदु लक्ष्य के सापेक्ष 2 मीटर दाईं ओर स्थानांतरित हो जाता है", हम इसके द्वारा एक यादृच्छिक चर की एक निश्चित संख्यात्मक विशेषता का संकेत देते हैं जो इसका वर्णन करता है संख्यात्मक अक्ष पर स्थान, अर्थात। स्थान का विवरण।

संभाव्यता सिद्धांत में एक स्थिति की विशेषताओं में, सबसे महत्वपूर्ण भूमिका एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा द्वारा निभाई जाती है, जिसे कभी-कभी एक यादृच्छिक चर का औसत मान कहा जाता है।

एक यादृच्छिक चर पर विचार करें एक्स, जिसके संभावित मूल्य हैं x1, x2,…, xnसंभावनाओं के साथ पी1, पी2,…, पीएन. हमें इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए कि इन मूल्यों की अलग-अलग संभावनाएं हैं, हमें एक्स-अक्ष पर यादृच्छिक चर के मानों की स्थिति को कुछ संख्याओं द्वारा चिह्नित करने की आवश्यकता है। इस प्रयोजन के लिए, मूल्यों के तथाकथित "भारित औसत" का उपयोग करना स्वाभाविक है ग्यारहवीं, और औसत के दौरान प्रत्येक मान xi को इस मूल्य की संभावना के आनुपातिक "वजन" के साथ ध्यान में रखा जाना चाहिए। इस प्रकार, हम यादृच्छिक चर के माध्य की गणना करेंगे एक्स, जिसे हम निरूपित करेंगे एम|एक्स|:

इस भारित औसत को यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा कहा जाता है। इस प्रकार, हमने संभाव्यता सिद्धांत की सबसे महत्वपूर्ण अवधारणाओं में से एक पर विचार किया - गणितीय अपेक्षा की अवधारणा। एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा एक यादृच्छिक चर के सभी संभावित मूल्यों के उत्पादों और इन मूल्यों की संभावनाओं का योग है।

एक्सबड़ी संख्या में प्रयोगों के साथ एक यादृच्छिक चर के प्रेक्षित मूल्यों के अंकगणितीय माध्य के साथ एक अजीबोगरीब निर्भरता के कारण। यह निर्भरता उसी प्रकार की होती है जैसे आवृत्ति और संभाव्यता के बीच निर्भरता, अर्थात्: बड़ी संख्या में प्रयोगों के साथ, एक यादृच्छिक चर दृष्टिकोण (संभाव्यता में अभिसरण) के देखे गए मूल्यों का अंकगणितीय माध्य इसकी गणितीय अपेक्षा है। आवृत्ति और संभाव्यता के बीच एक संबंध की उपस्थिति से, एक परिणाम के रूप में अंकगणितीय माध्य और गणितीय अपेक्षा के बीच एक समान संबंध के अस्तित्व का अनुमान लगाया जा सकता है। दरअसल, एक यादृच्छिक चर पर विचार करें एक्स, वितरण की एक श्रृंखला द्वारा विशेषता:

इसे उत्पादित होने दें एनस्वतंत्र प्रयोग, जिनमें से प्रत्येक में मूल्य एक्सएक निश्चित मूल्य लेता है। मान लीजिए मान x1दिखाई दिया एम1समय, मूल्य x2दिखाई दिया एम2समय, सामान्य अर्थ ग्यारहवींमील बार दिखाई दिया। आइए हम एक्स के देखे गए मानों के अंकगणितीय माध्य की गणना करें, जो गणितीय अपेक्षा के विपरीत है एम|एक्स|हम निरूपित करेंगे एम*|एक्स|:

प्रयोगों की संख्या में वृद्धि के साथ एनआवृत्तियों अनुकरणीय(संभाव्यता में अभिसरण) संबंधित संभावनाओं तक पहुंच जाएगा। इसलिए, यादृच्छिक चर के प्रेक्षित मानों का अंकगणितीय माध्य एम|एक्स|प्रयोगों की संख्या में वृद्धि के साथ, यह अपनी गणितीय अपेक्षा के करीब पहुंच जाएगा (संभाव्यता में अभिसरण)। ऊपर दिए गए अंकगणितीय माध्य और गणितीय अपेक्षा के बीच संबंध बड़ी संख्या के कानून के रूपों में से एक की सामग्री का गठन करता है।

हम पहले से ही जानते हैं कि बड़ी संख्या के कानून के सभी रूप इस तथ्य को बताते हैं कि कुछ औसत बड़ी संख्या में प्रयोगों पर स्थिर होते हैं। यहां हम समान मान वाले प्रेक्षणों की श्रृंखला से अंकगणित माध्य के स्थायित्व के बारे में बात कर रहे हैं। पर छोटी संख्याप्रयोग, उनके परिणामों का अंकगणितीय माध्य यादृच्छिक है; प्रयोगों की संख्या में पर्याप्त वृद्धि के साथ, यह "लगभग यादृच्छिक नहीं" हो जाता है और, स्थिर होकर, एक स्थिर मूल्य - गणितीय अपेक्षा तक पहुंच जाता है।

बड़ी संख्या में प्रयोगों के लिए औसत की स्थिरता की संपत्ति को प्रयोगात्मक रूप से सत्यापित करना आसान है। उदाहरण के लिए, प्रयोगशाला में किसी पिंड को सटीक पैमानों पर तौलना, तोलने के परिणामस्वरूप हमें हर बार एक नया मान मिलता है; अवलोकन की त्रुटि को कम करने के लिए, हम शरीर को कई बार तौलते हैं और प्राप्त मूल्यों के अंकगणितीय माध्य का उपयोग करते हैं। यह देखना आसान है कि प्रयोगों (वजन) की संख्या में और वृद्धि के साथ, अंकगणितीय माध्य इस वृद्धि पर कम और कम प्रतिक्रिया करता है, और पर्याप्त रूप से बड़ी संख्या में प्रयोगों के साथ यह व्यावहारिक रूप से बदलना बंद कर देता है।

इस बात पे ध्यान दिया जाना चाहिए कि सबसे महत्वपूर्ण विशेषताएक यादृच्छिक चर की स्थिति - गणितीय अपेक्षा - सभी यादृच्छिक चर के लिए मौजूद नहीं है। ऐसे यादृच्छिक चरों के उदाहरण बनाना संभव है जिनके लिए गणितीय अपेक्षा मौजूद नहीं है, क्योंकि संबंधित योग या अभिन्न विचलन। हालांकि, अभ्यास के लिए, ऐसे मामले महत्वपूर्ण रुचि के नहीं हैं। आमतौर पर, हम जिन यादृच्छिक चर के साथ काम कर रहे हैं, उनमें संभावित मूल्यों की एक सीमित सीमा होती है और निश्चित रूप से, एक अपेक्षा होती है।

एक यादृच्छिक चर की स्थिति की सबसे महत्वपूर्ण विशेषताओं के अलावा - गणितीय अपेक्षा, अन्य स्थिति विशेषताओं का उपयोग कभी-कभी व्यवहार में किया जाता है, विशेष रूप से, यादृच्छिक चर के मोड और माध्यिका।

यादृच्छिक चर का बहुलक इसका सबसे संभावित मान है। शब्द "सबसे संभावित मूल्य", कड़ाई से बोलते हुए, केवल असंतुलित मात्रा पर लागू होता है; एक सतत मात्रा के लिए, बहुलक वह मान है जिस पर प्रायिकता घनत्व अधिकतम होता है। आंकड़े क्रमशः असंतत और निरंतर यादृच्छिक चर के लिए मोड दिखाते हैं।

यदि वितरण बहुभुज (वितरण वक्र) में एक से अधिक अधिकतम हैं, तो वितरण को "बहुविध" कहा जाता है।

कभी-कभी ऐसे वितरण होते हैं जिनमें बीच में अधिकतम नहीं, बल्कि न्यूनतम होता है। इस तरह के वितरण को "एंटीमॉडल" कहा जाता है।

सामान्य स्थिति में, यादृच्छिक चर का बहुलक और गणितीय अपेक्षा मेल नहीं खाती। एक विशेष मामले में, जब वितरण सममित और मोडल (यानी एक मोड होता है) और गणितीय अपेक्षा होती है, तो यह वितरण के समरूपता के केंद्र और मोड के साथ मेल खाता है।

स्थिति की एक और विशेषता का अक्सर उपयोग किया जाता है - एक यादृच्छिक चर का तथाकथित माध्यिका। यह विशेषता आमतौर पर केवल निरंतर यादृच्छिक चर के लिए उपयोग की जाती है, हालांकि इसे औपचारिक रूप से एक असंतत चर के लिए भी परिभाषित किया जा सकता है। ज्यामितीय रूप से, माध्यिका उस बिंदु का भुज है जिस पर वितरण वक्र से घिरा क्षेत्र द्विभाजित होता है।

सममित मोडल वितरण के मामले में, माध्यिका माध्य और बहुलक के साथ मेल खाती है।

गणितीय अपेक्षा एक यादृच्छिक चर का औसत मान है - एक यादृच्छिक चर के संभाव्यता वितरण की एक संख्यात्मक विशेषता। सबसे सामान्य तरीके से, एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा एक्स (डब्ल्यू)संभाव्यता माप के संबंध में लेबेस्ग इंटीग्रल के रूप में परिभाषित किया गया है आरमूल संभाव्यता स्थान में:

गणितीय अपेक्षा की गणना Lebesgue अभिन्न के रूप में भी की जा सकती है एक्ससंभाव्यता वितरण द्वारा पिक्सलमात्रा एक्स:

स्वाभाविक रूप से, कोई भी अनंत गणितीय अपेक्षा के साथ एक यादृच्छिक चर की अवधारणा को परिभाषित कर सकता है। एक विशिष्ट उदाहरण कुछ रैंडम वॉक में वापसी का समय है।

गणितीय अपेक्षा की सहायता से, वितरण की कई संख्यात्मक और कार्यात्मक विशेषताओं को निर्धारित किया जाता है (एक यादृच्छिक चर के संबंधित कार्यों की गणितीय अपेक्षा के रूप में), उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन उत्पन्न करना, विशेषता फ़ंक्शन, किसी भी क्रम के क्षण, विशेष रूप से, फैलाव , सहप्रसरण।

गणितीय अपेक्षा एक यादृच्छिक चर (इसके वितरण का औसत मूल्य) के मूल्यों के स्थान की विशेषता है। इस क्षमता में, गणितीय अपेक्षा कुछ "विशिष्ट" वितरण पैरामीटर के रूप में कार्य करती है और इसकी भूमिका स्थिर क्षण की भूमिका के समान होती है - बड़े पैमाने पर वितरण के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के समन्वय - यांत्रिकी में। स्थान की अन्य विशेषताओं से, जिसकी सहायता से वितरण को सामान्य शब्दों में वर्णित किया जाता है - माध्यिका, विधा, गणितीय अपेक्षा उसमें भिन्न होती है बड़ा मूल्यवान, जो यह और संबंधित प्रकीर्णन विशेषता - फैलाव - में संभाव्यता सिद्धांत के सीमा प्रमेय हैं। सबसे बड़ी पूर्णता के साथ, बड़ी संख्या के कानून (चेबीशेव की असमानता) और बड़ी संख्या के मजबूत कानून द्वारा गणितीय अपेक्षा का अर्थ प्रकट होता है।

असतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा

कुछ यादृच्छिक चर होने दें जो कई संख्यात्मक मानों में से एक ले सकता है (उदाहरण के लिए, एक डाई रोल में अंकों की संख्या 1, 2, 3, 4, 5, या 6) हो सकती है। अक्सर व्यवहार में, इस तरह के मूल्य के लिए सवाल उठता है: बड़ी संख्या में परीक्षणों के साथ "औसतन" क्या मूल्य लेता है? प्रत्येक जोखिम भरे कार्य से हमारा औसत प्रतिफल (या हानि) क्या होगा?

मान लीजिए कि किसी प्रकार की लॉटरी है। हम यह समझना चाहते हैं कि इसमें भाग लेना लाभदायक है या नहीं (या नियमित रूप से बार-बार भाग लेना)। मान लीजिए कि हर चौथा टिकट जीतता है, पुरस्कार 300 रूबल होगा, और किसी भी टिकट की कीमत 100 रूबल होगी। असीमित संख्या में भागीदारी के साथ, ऐसा ही होता है। तीन-चौथाई मामलों में, हम हारेंगे, हर तीन नुकसान में 300 रूबल की लागत आएगी। हर चौथे मामले में हम 200 रूबल जीतेंगे। (पुरस्कार माइनस कॉस्ट), यानी चार भागीदारी के लिए, हम औसतन 100 रूबल खो देते हैं, एक के लिए - औसतन 25 रूबल। कुल मिलाकर, हमारे बर्बाद होने की औसत दर प्रति टिकट 25 रूबल होगी।

हम एक पासा फेंकते हैं। यदि यह धोखा नहीं है (गुरुत्वाकर्षण के केंद्र को स्थानांतरित किए बिना, आदि), तो हमारे पास एक समय में औसतन कितने अंक होंगे? चूँकि प्रत्येक विकल्प समान रूप से सम्भाव्य है, हम गूढ़ अंकगणितीय माध्य लेते हैं और 3.5 प्राप्त करते हैं। चूंकि यह औसत है, इसलिए नाराज होने की कोई जरूरत नहीं है कि कोई विशेष थ्रो 3.5 अंक नहीं देगा - ठीक है, इस घन में इतनी संख्या के साथ कोई चेहरा नहीं है!

आइए अब हमारे उदाहरणों को संक्षेप में प्रस्तुत करते हैं:

आइए ऊपर की तस्वीर पर एक नजर डालते हैं। बाईं ओर एक यादृच्छिक चर के वितरण की एक तालिका है। X का मान n संभावित मानों में से एक ले सकता है (शीर्ष पंक्ति में दिया गया)। कोई अन्य मूल्य नहीं हो सकता। प्रत्येक संभावित मूल्य के तहत, इसकी संभावना नीचे हस्ताक्षरित है। दाईं ओर एक सूत्र है, जहाँ M(X) को गणितीय अपेक्षा कहा जाता है। इस मूल्य का अर्थ यह है कि बड़ी संख्या में परीक्षणों (बड़े नमूने के साथ) के साथ, औसत मूल्य इस गणितीय अपेक्षा की ओर अग्रसर होगा।

चलिए वापस उसी प्लेइंग क्यूब पर चलते हैं। एक थ्रो में अंकों की संख्या की गणितीय अपेक्षा 3.5 है (यदि आप इस पर विश्वास नहीं करते हैं तो सूत्र का उपयोग करके स्वयं की गणना करें)। मान लीजिए कि आपने इसे एक-दो बार फेंका। 4 और 6 गिर गए। औसतन, यह 5 निकला, यानी 3.5 से बहुत दूर। उन्होंने इसे फिर से फेंक दिया, 3 गिर गए, यानी औसतन (4 + 6 + 3) / 3 = 4.3333 ... गणितीय अपेक्षा से किसी तरह दूर। अब एक पागल प्रयोग करें - घन को 1000 बार रोल करें! और अगर औसत बिल्कुल 3.5 नहीं है, तो यह उसके करीब होगा।

आइए ऊपर वर्णित लॉटरी के लिए गणितीय अपेक्षा की गणना करें। तालिका इस तरह दिखेगी:

तब गणितीय अपेक्षा होगी, जैसा कि हमने ऊपर स्थापित किया है।

एक और बात यह है कि यह "उंगलियों पर" भी है, बिना सूत्र के, अधिक विकल्प होने पर यह मुश्किल होगा। ठीक है, मान लें कि 75% हारने वाले टिकट, 20% जीतने वाले टिकट और 5% जीतने वाले टिकट थे।

अब गणितीय अपेक्षा के कुछ गुण।

इसे साबित करना आसान है:

एक निरंतर गुणक को उम्मीद के संकेत से निकाला जा सकता है, जो है:

यह गणितीय अपेक्षा की रैखिकता संपत्ति का एक विशेष मामला है।

गणितीय अपेक्षा की रैखिकता का एक और परिणाम:

अर्थात्, यादृच्छिक चरों के योग की गणितीय अपेक्षा, यादृच्छिक चरों की गणितीय अपेक्षाओं के योग के बराबर होती है।

मान लीजिए X, Y स्वतंत्र यादृच्छिक चर हैं, फिर:

यह साबित करना भी आसान है) XYअपने आप में एक यादृच्छिक चर है, जबकि यदि प्रारंभिक मान ले सकते हैं एनतथा एममान, क्रमशः, तब XYएनएम मान ले सकते हैं। प्रत्येक मान की संभावना की गणना इस तथ्य के आधार पर की जाती है कि स्वतंत्र घटनाओं की संभावनाओं को गुणा किया जाता है। परिणामस्वरूप, हमें यह मिलता है:

एक सतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा

निरंतर यादृच्छिक चर में वितरण घनत्व (संभाव्यता घनत्व) जैसी विशेषता होती है। यह, वास्तव में, इस स्थिति की विशेषता है कि एक यादृच्छिक चर वास्तविक संख्याओं के सेट से कुछ मान अधिक बार लेता है, कुछ - कम बार। उदाहरण के लिए, इस चार्ट पर विचार करें:

यहां एक्स- वास्तव में एक यादृच्छिक चर, एफ (एक्स)- वितरण घनत्व। इस ग्राफ को देखते हुए, प्रयोगों के दौरान, मान एक्सअक्सर शून्य के करीब एक संख्या होगी। अधिक होने की संभावना 3 या कम हो -3 बल्कि विशुद्ध रूप से सैद्धांतिक।

आइए, उदाहरण के लिए, एक समान वितरण है:

यह सहज ज्ञान युक्त समझ के अनुरूप है। मान लीजिए कि अगर हमें एक समान वितरण के साथ बहुत सारी यादृच्छिक वास्तविक संख्याएँ मिलती हैं, तो प्रत्येक खंड |0; 1| , तो अंकगणितीय माध्य लगभग 0.5 होना चाहिए।

गणितीय अपेक्षा के गुण - रैखिकता, आदि, असतत यादृच्छिक चर के लिए लागू होते हैं, यहां भी लागू होते हैं।

अन्य सांख्यिकीय संकेतकों के साथ गणितीय अपेक्षा का संबंध

सांख्यिकीय विश्लेषण में, गणितीय अपेक्षा के साथ, अन्योन्याश्रित संकेतकों की एक प्रणाली होती है जो घटना की एकरूपता और प्रक्रियाओं की स्थिरता को दर्शाती है। अक्सर, भिन्नता संकेतकों का स्वतंत्र अर्थ नहीं होता है और आगे के डेटा विश्लेषण के लिए उपयोग किया जाता है। अपवाद भिन्नता का गुणांक है, जो डेटा की एकरूपता की विशेषता है, जो एक मूल्यवान सांख्यिकीय विशेषता है।

सांख्यिकीय विज्ञान में प्रक्रियाओं की परिवर्तनशीलता या स्थिरता की डिग्री को कई संकेतकों का उपयोग करके मापा जा सकता है।

एक यादृच्छिक चर की परिवर्तनशीलता को दर्शाने वाला सबसे महत्वपूर्ण संकेतक है फैलाव, जो सबसे निकट और सीधे गणितीय अपेक्षा से संबंधित है। यह पैरामीटर अन्य प्रकार के सांख्यिकीय विश्लेषण (परिकल्पना परीक्षण, कारण-और-प्रभाव संबंधों का विश्लेषण, आदि) में सक्रिय रूप से उपयोग किया जाता है। माध्य रैखिक विचलन की तरह, विचरण भी उस सीमा को दर्शाता है जिस तक डेटा माध्य के चारों ओर फैलता है।

संकेतों की भाषा को शब्दों की भाषा में अनुवाद करना उपयोगी है। यह पता चला है कि विचरण विचलन का औसत वर्ग है। अर्थात्, पहले औसत मूल्य की गणना की जाती है, फिर प्रत्येक मूल और औसत मूल्य के बीच के अंतर को लिया जाता है, चुकता किया जाता है, जोड़ा जाता है और फिर इस जनसंख्या में मूल्यों की संख्या से विभाजित किया जाता है। व्यक्तिगत मूल्य और माध्य के बीच का अंतर विचलन के माप को दर्शाता है। यह सुनिश्चित करने के लिए चुकता किया जाता है कि सभी विचलन विशेष रूप से सकारात्मक संख्या बन जाते हैं और जब उन्हें योग किया जाता है तो सकारात्मक और नकारात्मक विचलन के पारस्परिक रद्दीकरण से बचने के लिए। फिर, वर्ग विचलन को देखते हुए, हम केवल अंकगणितीय माध्य की गणना करते हैं। औसत - वर्ग - विचलन। विचलन चुकता है, और औसत माना जाता है। जादुई शब्द "फैलाव" का उत्तर सिर्फ तीन शब्द है।

हालांकि, अपने शुद्ध रूप में, जैसे, उदाहरण के लिए, अंकगणितीय माध्य, या सूचकांक, फैलाव का उपयोग नहीं किया जाता है। यह बल्कि एक सहायक और मध्यवर्ती संकेतक है जिसका उपयोग अन्य प्रकार के सांख्यिकीय विश्लेषण के लिए किया जाता है। उसके पास माप की एक सामान्य इकाई भी नहीं है। सूत्र को देखते हुए, यह मूल डेटा इकाई का वर्ग है।

आइए एक यादृच्छिक चर को मापें एनउदाहरण के लिए, हम हवा की गति को दस गुना मापते हैं और औसत मान ज्ञात करना चाहते हैं। माध्य मान वितरण फलन से किस प्रकार संबंधित है?

या हम पासा फेंकेंगे एक बड़ी संख्या कीएक बार। प्रत्येक थ्रो के दौरान पासे पर पड़ने वाले अंकों की संख्या एक यादृच्छिक चर है और 1 से 6 तक कोई भी प्राकृतिक मान ले सकता है। एनयह एक बहुत ही विशिष्ट संख्या की ओर जाता है - गणितीय अपेक्षा एमएक्स. इस मामले में, एमएक्स = 3.5।

यह मूल्य कैसे आया? भीतर आएं एनपरीक्षणों एन 1एक बार 1 अंक गिर जाने पर, एन 2बार - 2 अंक और इसी तरह। फिर परिणामों की संख्या जिसमें एक बिंदु गिर गया:

इसी तरह परिणामों के लिए जब 2, 3, 4, 5 और 6 अंक गिरे।

आइए अब मान लें कि हम यादृच्छिक चर x के वितरण नियम को जानते हैं, अर्थात, हम जानते हैं कि यादृच्छिक चर x मान x1, x2, ..., xk को प्रायिकता p1, p2, ... के साथ ले सकता है। , पी.के.

एक यादृच्छिक चर x की गणितीय अपेक्षा Mx है:

गणितीय अपेक्षा हमेशा कुछ यादृच्छिक चर का उचित अनुमान नहीं होती है। तो, औसत का अनुमान लगाने के लिए वेतनमाध्यिका की अवधारणा का उपयोग करना अधिक उचित है, अर्थात् ऐसा मान कि औसत वेतन से कम और अधिक प्राप्त करने वाले लोगों की संख्या समान हो।

प्रायिकता p1 कि यादृच्छिक चर x, x1/2 से कम है और प्रायिकता p2 कि यादृच्छिक चर x, x1/2 से बड़ा है, समान और 1/2 के बराबर है। माध्यिका सभी वितरणों के लिए विशिष्ट रूप से निर्धारित नहीं होती है।

मानक या मानक विचलनआँकड़ों में, औसत मान से अवलोकन डेटा या सेट के विचलन की डिग्री को कहा जाता है। अक्षर s या s द्वारा निरूपित। एक छोटा मानक विचलन इंगित करता है कि डेटा को माध्य के आसपास समूहीकृत किया गया है, और एक बड़ा मानक विचलन इंगित करता है कि प्रारंभिक डेटा इससे बहुत दूर है। मानक विचलन एक मात्रा के वर्गमूल के बराबर होता है जिसे प्रसरण कहा जाता है। यह माध्य से विचलन वाले प्रारंभिक डेटा के वर्ग अंतर के योग का औसत है। एक यादृच्छिक चर का मानक विचलन विचरण का वर्गमूल है:

उदाहरण। एक लक्ष्य पर शूटिंग करते समय परीक्षण स्थितियों के तहत, एक यादृच्छिक चर के विचरण और मानक विचलन की गणना करें:

उतार-चढ़ाव- उतार-चढ़ाव, जनसंख्या की इकाइयों में विशेषता के मूल्य की परिवर्तनशीलता। एक विशेषता के अलग-अलग संख्यात्मक मान जो अध्ययन की गई आबादी में होते हैं, मूल्यों के रूप कहलाते हैं। के लिए औसत मूल्य की अपर्याप्तता पूर्ण विशेषताएंसमुच्चय हमें संकेतकों के साथ औसत मूल्यों का पूरक बनाता है जो हमें अध्ययन के तहत विशेषता के उतार-चढ़ाव (भिन्नता) को मापकर इन औसतों की विशिष्टता का आकलन करने की अनुमति देता है। भिन्नता के गुणांक की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

अवधि भिन्नता(आर) अध्ययन की गई आबादी में विशेषता के अधिकतम और न्यूनतम मूल्यों के बीच का अंतर है। यह सूचक सबसे अधिक देता है सामान्य विचारअध्ययन के तहत विशेषता के उतार-चढ़ाव के बारे में, क्योंकि यह केवल विकल्पों के सीमित मूल्यों के बीच के अंतर को दर्शाता है। विशेषता के चरम मूल्यों पर निर्भरता भिन्नता की सीमा को एक अस्थिर, यादृच्छिक चरित्र देती है।

औसत रैखिक विचलनउनके औसत मूल्य से विश्लेषित जनसंख्या के सभी मूल्यों के निरपेक्ष (मॉड्यूलो) विचलन का अंकगणितीय माध्य है:

जुआ सिद्धांत में गणितीय अपेक्षा

गणितीय अपेक्षा हैएक जुआरी किसी दिए गए दांव पर जीत या हार की औसत राशि। यह एक खिलाड़ी के लिए एक बहुत ही महत्वपूर्ण अवधारणा है, क्योंकि यह अधिकांश खेल स्थितियों के आकलन के लिए मौलिक है। बुनियादी कार्ड लेआउट और खेल स्थितियों का विश्लेषण करने के लिए गणितीय अपेक्षा भी सबसे अच्छा उपकरण है।

मान लीजिए कि आप एक दोस्त के साथ सिक्का खेल रहे हैं, हर बार बराबर $1 की बाजी लगा रहे हैं, चाहे कुछ भी हो। पूंछ - तुम जीतते हो, सिर - तुम हारते हो। इसके पूंछ आने की संभावना एक से एक है और आप $ 1 से $ 1 पर दांव लगा रहे हैं। इस प्रकार, आपकी गणितीय अपेक्षा शून्य है, क्योंकि गणितीय रूप से बोलते हुए, आप यह नहीं जान सकते कि आप दो रोल के बाद आगे बढ़ेंगे या हारेंगे या 200 के बाद।

आपका प्रति घंटा लाभ शून्य है। प्रति घंटा भुगतान वह राशि है जो आप एक घंटे में जीतने की उम्मीद करते हैं। आप एक घंटे में एक सिक्के को 500 बार पलट सकते हैं, लेकिन आप न तो जीतेंगे और न ही हारेंगे क्योंकि आपकी संभावनाएं न तो सकारात्मक हैं और न ही नकारात्मक। देखा जाए तो एक गंभीर खिलाड़ी की दृष्टि से इस तरह का सट्टा सिस्टम खराब नहीं है। लेकिन यह सिर्फ समय की बर्बादी है।

लेकिन मान लीजिए कि कोई व्यक्ति उसी गेम में आपके $1 के विरुद्ध $2 का दांव लगाना चाहता है। फिर आपको तुरंत प्रत्येक बेट से 50 सेंट की सकारात्मक उम्मीद है। 50 सेंट क्यों? औसतन, आप एक बेट जीतते हैं और दूसरा हार जाते हैं। पहले डॉलर पर दांव लगाएं और $ 1 खो दें, दूसरे पर दांव लगाएं और $ 2 जीतें। आपने $1 पर दो बार बेट लगाया है और $1 से आगे हैं। तो आपके प्रत्येक एक डॉलर के दांव ने आपको 50 सेंट दिए।

यदि सिक्का एक घंटे में 500 बार गिरता है, तो आपका प्रति घंटा लाभ पहले से ही $250 होगा, क्योंकि। औसतन, आप $1 250 बार हारे और $2 250 बार जीते। $500 माइनस $250 बराबर $250 है, जो कि कुल जीत है। ध्यान दें कि अपेक्षित मूल्य, जो कि एक दांव पर आपके द्वारा औसतन जीती जाने वाली राशि है, 50 सेंट है। आपने 500 बार एक डॉलर की शर्त लगाकर 250 डॉलर जीते, जो आपके दांव के 50 सेंट के बराबर है।

गणितीय अपेक्षा का अल्पकालिक परिणामों से कोई लेना-देना नहीं है। आपका प्रतिद्वंदी, जिसने आपके खिलाफ $2 की शर्त लगाने का फैसला किया है, आपको लगातार पहले दस टॉस पर हरा सकता है, लेकिन आप, 2-टू-1 बेटिंग लाभ के साथ, बाकी सभी बराबर होने के कारण, आप किसी भी शर्त के तहत प्रत्येक $1 के दांव पर 50 सेंट कमाते हैं। परिस्थितियां। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप एक शर्त या कई दांव जीतते हैं या हारते हैं, लेकिन केवल इस शर्त पर कि आपके पास लागतों की आसानी से भरपाई करने के लिए पर्याप्त नकदी है। यदि आप इसी तरह से दांव लगाते रहते हैं, तो लंबे समय में आपकी जीत व्यक्तिगत रोल में अपेक्षित मूल्यों के योग तक आ जाएगी।

हर बार जब आप एक बेहतर दांव लगाते हैं (एक शर्त जो लंबे समय में लाभदायक हो सकती है) जब ऑड्स आपके पक्ष में होती हैं, तो आप उस पर कुछ जीतने के लिए बाध्य होते हैं, चाहे आप इसे किसी दिए गए हाथ में खो दें या नहीं। इसके विपरीत, यदि आपने एक खराब परिणाम के साथ एक शर्त लगाई है (एक शर्त जो लंबे समय में लाभहीन है) जब ऑड्स आपके पक्ष में नहीं हैं, तो आप कुछ खो देते हैं, भले ही आप इस हाथ में जीते या हारे।

यदि आपकी अपेक्षा सकारात्मक है तो आप सर्वोत्तम परिणाम के साथ शर्त लगाते हैं, और यदि ऑड्स आपके पक्ष में हैं तो यह सकारात्मक है। सबसे खराब परिणाम के साथ दांव लगाने से, आप एक नकारात्मक उम्मीद रखते हैं, जो तब होता है जब ऑड्स आपके खिलाफ होते हैं। गंभीर खिलाड़ी केवल सबसे अच्छे परिणाम के साथ दांव लगाते हैं, सबसे खराब के साथ - वे गुना करते हैं। आपके पक्ष में बाधाओं का क्या अर्थ है? आप वास्तविक बाधाओं से अधिक जीत हासिल कर सकते हैं। टेल मारने की वास्तविक संभावना 1 से 1 है, लेकिन सट्टेबाजी अनुपात के कारण आपको 2 से 1 मिलता है। इस मामले में संभावनाएं आपके पक्ष में हैं। आपको निश्चित रूप से 50 सेंट प्रति दांव की सकारात्मक उम्मीद के साथ सबसे अच्छा परिणाम मिलता है।

यहाँ और है जटिल उदाहरणगणितीय अपेक्षा। मित्र एक से पांच तक की संख्या लिखता है और आपके $1 के विरुद्ध $5 की शर्त लगाता है कि आप संख्या नहीं चुनेंगे। क्या आप ऐसी शर्त से सहमत हैं? यहाँ क्या उम्मीद है?

औसतन, आप चार बार गलत होंगे। इसके आधार पर, आपके द्वारा संख्या का अनुमान लगाने की संभावना 4 से 1 होगी। संभावना है कि आप एक प्रयास में एक डॉलर खो देंगे। हालाँकि, आप 5 से 1 जीतते हैं, 4 से 1 हारने की संभावना के साथ। इसलिए, ऑड्स आपके पक्ष में हैं, आप दांव लगा सकते हैं और सर्वोत्तम परिणाम की आशा कर सकते हैं। यदि आप यह दांव पांच बार लगाते हैं, तो आप औसतन चार गुना $1 खो देंगे और एक बार $5 जीतेंगे। इसके आधार पर, सभी पांच प्रयासों के लिए आप 20 सेंट प्रति दांव की सकारात्मक गणितीय अपेक्षा के साथ $1 अर्जित करेंगे।

एक खिलाड़ी जो ऊपर दिए गए उदाहरण के अनुसार दांव से अधिक जीतने वाला है, बाधाओं को पकड़ रहा है। इसके विपरीत, जब वह दांव से कम जीतने की उम्मीद करता है तो वह अवसरों को बर्बाद कर देता है। दांव लगाने वाला या तो सकारात्मक या नकारात्मक उम्मीद कर सकता है, इस पर निर्भर करता है कि वह बाधाओं को पकड़ रहा है या बर्बाद कर रहा है।

यदि आप $50 जीतने के लिए $10 जीतने के लिए 4 से 1 मौका देते हैं, तो आपको $ 2 की नकारात्मक उम्मीद मिलेगी, क्योंकि औसतन, आप $10 का चार गुना जीतेंगे और एक बार $50 खो देंगे, जो दर्शाता है कि प्रति बेट का नुकसान $10 होगा। लेकिन अगर आप $30 जीतने के लिए $30 की शर्त लगाते हैं, 4 से 1 जीतने की समान बाधाओं के साथ, तो इस मामले में आपको $2 की सकारात्मक उम्मीद है, क्योंकि आप फिर से $10 के लाभ के लिए चार गुना $10 जीतते हैं और एक बार $30 खो देते हैं। इन उदाहरणों से पता चलता है कि पहला दांव खराब है और दूसरा अच्छा है।

गणितीय अपेक्षा किसी भी खेल की स्थिति का केंद्र है। जब कोई सट्टेबाज फ़ुटबॉल प्रशंसकों को $11 जीतने के लिए $10 की शर्त लगाने के लिए प्रोत्साहित करता है, तो उन्हें प्रत्येक $10 के लिए 50 सेंट की सकारात्मक उम्मीद होती है। यदि कैसिनो क्रेप्स पास लाइन से भी पैसे का भुगतान करता है, तो घर की सकारात्मक अपेक्षा प्रत्येक $100 के लिए लगभग $1.40 है; इस गेम को इस तरह से संरचित किया गया है कि इस लाइन पर दांव लगाने वाला हर व्यक्ति औसतन 50.7% खो देता है और 49.3% बार जीतता है। निस्संदेह, यह प्रतीत होता है कि न्यूनतम सकारात्मक अपेक्षा है जो दुनिया भर के कैसीनो मालिकों के लिए भारी मुनाफा लाती है। जैसा कि वेगास वर्ल्ड कैसीनो के मालिक बॉब स्टुपक ने टिप्पणी की, "एक लंबी पर्याप्त दूरी पर एक प्रतिशत नकारात्मक संभावना का एक हजारवां हिस्सा दुनिया के सबसे अमीर आदमी को दिवालिया कर देगा।"

पोकर खेलते समय गणितीय अपेक्षा

गणितीय अपेक्षा के सिद्धांत और गुणों का उपयोग करने के मामले में पोकर का खेल सबसे अधिक उदाहरण और उदाहरण है।

पोकर में अपेक्षित मूल्य एक विशेष निर्णय से औसत लाभ है, बशर्ते कि इस तरह के निर्णय को बड़ी संख्या और लंबी दूरी के सिद्धांत के ढांचे में माना जा सकता है। सफल खेलपोकर में हमेशा एक सकारात्मक गणितीय अपेक्षा के साथ चालों को स्वीकार करना है।

पोकर खेलते समय गणितीय अपेक्षा का गणितीय अर्थ इस तथ्य में निहित है कि हम निर्णय लेते समय अक्सर यादृच्छिक चर का सामना करते हैं (हमें नहीं पता कि प्रतिद्वंद्वी के हाथ में कौन से कार्ड हैं, कौन से कार्ड बाद के बेटिंग राउंड में आएंगे)। हमें प्रत्येक समाधान पर बड़ी संख्या के सिद्धांत के दृष्टिकोण से विचार करना चाहिए, जो कहता है कि पर्याप्त रूप से बड़े नमूने के साथ, एक यादृच्छिक चर का औसत मूल्य इसकी गणितीय अपेक्षा के अनुरूप होगा।

गणितीय अपेक्षा की गणना के लिए विशेष सूत्रों में, पोकर में निम्नलिखित सबसे अधिक लागू होता है:

पोकर खेलते समय, गणितीय अपेक्षा की गणना दांव और कॉल दोनों के लिए की जा सकती है। पहले मामले में, गुना इक्विटी को ध्यान में रखा जाना चाहिए, दूसरे में, पॉट की अपनी बाधाओं को। किसी विशेष चाल की गणितीय अपेक्षा का मूल्यांकन करते समय, यह याद रखना चाहिए कि एक गुना में हमेशा शून्य गणितीय अपेक्षा होती है। इस प्रकार, किसी भी नकारात्मक कदम की तुलना में कार्ड छोड़ना हमेशा अधिक लाभदायक निर्णय होगा।

उम्मीद आपको बताती है कि आप जोखिम वाले प्रत्येक डॉलर के लिए आप क्या उम्मीद कर सकते हैं (लाभ या हानि)। कैसीनो पैसा कमाते हैं क्योंकि उन सभी खेलों की गणितीय अपेक्षा कैसीनो के पक्ष में है। खेलों की पर्याप्त लंबी श्रृंखला के साथ, यह उम्मीद की जा सकती है कि ग्राहक अपना पैसा खो देगा, क्योंकि "संभावना" कैसीनो के पक्ष में है। हालांकि, पेशेवर कैसीनो खिलाड़ी अपने खेल को कम समय तक सीमित रखते हैं, जिससे उनके पक्ष में संभावनाएं बढ़ जाती हैं। वही निवेश के लिए जाता है। यदि आपकी अपेक्षा सकारात्मक है, तो आप कम समय में कई ट्रेड करके अधिक पैसा कमा सकते हैं। उम्मीद है कि आपके लाभ का प्रतिशत प्रति जीत बार आपके औसत लाभ से घटाकर आपके औसत नुकसान के नुकसान की संभावना है।

पोकर को गणितीय अपेक्षा के संदर्भ में भी माना जा सकता है। आप मान सकते हैं कि एक निश्चित कदम लाभदायक है, लेकिन कुछ मामलों में यह सबसे अच्छा नहीं हो सकता है, क्योंकि दूसरा कदम अधिक लाभदायक है। मान लें कि आपने पांच कार्ड ड्रा पोकर में एक पूरा घर मारा है। आपका प्रतिद्वंद्वी दांव लगाता है। आप जानते हैं कि यदि आप आगे बढ़ेंगे, तो वह फोन करेगा। तो उठाना सबसे अच्छी रणनीति की तरह दिखता है। लेकिन अगर आप उठाते हैं, तो शेष दो खिलाड़ी निश्चित रूप से फोल्ड हो जाएंगे। लेकिन अगर आप दांव लगाते हैं, तो आप पूरी तरह से आश्वस्त होंगे कि आपके बाद के अन्य दो खिलाड़ी भी ऐसा ही करेंगे। जब आप बेट बढ़ाते हैं, तो आपको एक यूनिट मिलती है, और बस कॉल करने पर आपको दो मिलते हैं। तो कॉलिंग आपको एक उच्च सकारात्मक अपेक्षित मूल्य देता है और यह सबसे अच्छी रणनीति है।

गणितीय अपेक्षा इस बात का भी अंदाजा लगा सकती है कि कौन सी पोकर रणनीति कम लाभदायक है और कौन सी अधिक लाभदायक है। उदाहरण के लिए, यदि आप एक विशेष हाथ खेलते हैं और आपको लगता है कि एंट्स सहित आपका औसत नुकसान 75 सेंट है, तो आपको उस हाथ को खेलना चाहिए क्योंकि यह फोल्डिंग से बेहतर है जब पूर्व $ 1 हो।

अपेक्षित मूल्य को समझने का एक अन्य महत्वपूर्ण कारण यह है कि यह आपको मन की शांति की भावना देता है कि आप एक शर्त जीतते हैं या नहीं: यदि आप एक अच्छा दांव लगाते हैं या समय बीतते हैं, तो आपको पता चल जाएगा कि आपने एक निश्चित राशि बनाई या बचाई है पैसा, जिसे एक कमजोर खिलाड़ी नहीं बचा सका। यदि आप निराश हैं कि आपके प्रतिद्वंद्वी का ड्रॉ पर बेहतर हाथ है, तो इसे मोड़ना बहुत कठिन है। यानी, दांव लगाने के बजाय आप न खेलकर जो पैसा बचाते हैं, वह आपकी रातोंरात या मासिक जीत में जुड़ जाता है।

बस याद रखें कि यदि आप हाथ बदलते हैं, तो आपका विरोधी आपको कॉल करेगा, और जैसा कि आप पोकर के मौलिक प्रमेय लेख में देखेंगे, यह आपके लाभों में से एक है। ऐसा होने पर आपको खुशी मनानी चाहिए। आप एक हाथ खोने का आनंद लेना भी सीख सकते हैं, क्योंकि आप जानते हैं कि आपके जूते में अन्य खिलाड़ी बहुत अधिक खो देंगे।

जैसा कि शुरुआत में सिक्का खेल उदाहरण में चर्चा की गई है, प्रति घंटा वापसी की दर अपेक्षित मूल्य से संबंधित है, और यह अवधारणापेशेवर खिलाड़ियों के लिए विशेष रूप से महत्वपूर्ण है। जब आप पोकर खेलने जा रहे हों, तो आपको मानसिक रूप से यह अनुमान लगाना होगा कि आप एक घंटे के खेल में कितना जीत सकते हैं। ज्यादातर मामलों में, आपको अपने अंतर्ज्ञान और अनुभव पर भरोसा करने की आवश्यकता होगी, लेकिन आप कुछ गणितीय गणनाओं का भी उपयोग कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, यदि आप ड्रा लोबॉल खेल रहे हैं और आप देखते हैं कि तीन खिलाड़ी $ 10 की शर्त लगाते हैं और फिर दो कार्ड बनाते हैं, जो एक बहुत ही खराब रणनीति है, तो आप अपने लिए गणना कर सकते हैं कि हर बार जब वे $ 10 की शर्त लगाते हैं तो वे लगभग $ 2 खो देते हैं। उनमें से प्रत्येक इसे एक घंटे में आठ बार करता है, जिसका अर्थ है कि तीनों को लगभग $48 प्रति घंटे का नुकसान होता है। आप शेष चार खिलाड़ियों में से एक हैं, जो लगभग बराबर हैं, इसलिए इन चार खिलाड़ियों (और आप उनमें से) को $48 साझा करना होगा, और प्रत्येक $12 प्रति घंटे का लाभ कमाएगा। इस मामले में आपकी प्रति घंटा दर प्रति घंटे तीन खराब खिलाड़ियों द्वारा खोए गए धन की राशि का आपका हिस्सा है।

लंबी अवधि में, खिलाड़ी की कुल जीत अलग-अलग वितरणों में उसकी गणितीय अपेक्षाओं का योग है। जितना अधिक आप सकारात्मक उम्मीद के साथ खेलते हैं, उतना ही आप जीतते हैं, और इसके विपरीत, जितना अधिक आप नकारात्मक उम्मीद के साथ खेलते हैं, उतना ही आप हारते हैं। नतीजतन, आपको एक ऐसे खेल को प्राथमिकता देनी चाहिए जो आपकी सकारात्मक अपेक्षा को अधिकतम कर सके या आपकी नकारात्मक अपेक्षा को नकार सके ताकि आप अपने प्रति घंटा लाभ को अधिकतम कर सकें।

खेल रणनीति में सकारात्मक गणितीय अपेक्षा

यदि आप जानते हैं कि कार्ड कैसे गिनें, तो आपको कैसीनो पर एक फायदा हो सकता है यदि वे आपको नोटिस नहीं करते हैं और आपको बाहर निकाल देते हैं। कैसीनो शराबी जुआरी से प्यार करते हैं और ताश के पत्तों की गिनती नहीं कर सकते। लाभ आपको समय के साथ हारने से अधिक बार जीतने की अनुमति देगा। उम्मीद की गणनाओं का उपयोग करके अच्छा धन प्रबंधन आपको अपनी बढ़त को भुनाने और अपने नुकसान को कम करने में मदद कर सकता है। एक लाभ के बिना, आप दान के लिए पैसा देना बेहतर समझते हैं। स्टॉक एक्सचेंज पर खेल में, खेल की प्रणाली द्वारा लाभ दिया जाता है, जो नुकसान, मूल्य अंतर और कमीशन की तुलना में अधिक लाभ पैदा करता है। धन प्रबंधन की कोई भी राशि खराब गेमिंग सिस्टम को नहीं बचाएगी।

एक सकारात्मक अपेक्षा शून्य से अधिक मूल्य द्वारा परिभाषित की जाती है। यह संख्या जितनी बड़ी होगी, सांख्यिकीय अपेक्षा उतनी ही मजबूत होगी। यदि मान शून्य से कम है, तो गणितीय अपेक्षा भी ऋणात्मक होगी। ऋणात्मक मान का मापांक जितना बड़ा होगा, स्थिति उतनी ही खराब होगी। यदि परिणाम शून्य है, तो उम्मीद टूट जाती है। आप तभी जीत सकते हैं जब आपके पास एक सकारात्मक गणितीय अपेक्षा, एक उचित खेल प्रणाली हो। अंतर्ज्ञान पर खेलने से आपदा आती है।

गणितीय अपेक्षा और स्टॉक ट्रेडिंग

वित्तीय बाजारों में विनिमय व्यापार में गणितीय अपेक्षा काफी व्यापक रूप से मांग और लोकप्रिय सांख्यिकीय संकेतक है। सबसे पहले, इस पैरामीटर का उपयोग व्यापार की सफलता का विश्लेषण करने के लिए किया जाता है। यह अनुमान लगाना मुश्किल नहीं है कि यह मूल्य जितना बड़ा होगा, अध्ययन के तहत व्यापार को सफल मानने का उतना ही अधिक कारण होगा। बेशक, एक व्यापारी के काम का विश्लेषण केवल इस पैरामीटर की मदद से नहीं किया जा सकता है। हालांकि, गणना मूल्य, काम की गुणवत्ता का आकलन करने के अन्य तरीकों के संयोजन में, विश्लेषण की सटीकता में काफी वृद्धि कर सकता है।

गणितीय अपेक्षा की गणना अक्सर ट्रेडिंग खाता निगरानी सेवाओं में की जाती है, जो आपको जमा पर किए गए कार्य का त्वरित मूल्यांकन करने की अनुमति देती है। अपवाद के रूप में, हम उन रणनीतियों का हवाला दे सकते हैं जो ट्रेडों को खोने के "ओवरस्टेयिंग" का उपयोग करती हैं। एक व्यापारी कुछ समय के लिए भाग्यशाली हो सकता है, और इसलिए, उसके काम में बिल्कुल भी नुकसान नहीं हो सकता है। इस मामले में, केवल अपेक्षा से नेविगेट करना संभव नहीं होगा, क्योंकि कार्य में उपयोग किए जाने वाले जोखिमों को ध्यान में नहीं रखा जाएगा।

बाजार पर व्यापार में, गणितीय अपेक्षा का सबसे अधिक बार उपयोग किया जाता है जब एक व्यापारिक रणनीति की लाभप्रदता की भविष्यवाणी करते समय या अपने पिछले ट्रेडों के आंकड़ों के आधार पर किसी व्यापारी की आय की भविष्यवाणी करते समय।

धन प्रबंधन के संबंध में, यह समझना बहुत महत्वपूर्ण है कि नकारात्मक अपेक्षा के साथ व्यापार करते समय, कोई धन प्रबंधन योजना नहीं है जो निश्चित रूप से उच्च लाभ ला सकती है। यदि आप इन शर्तों के तहत एक्सचेंज खेलना जारी रखते हैं, तो आप अपने पैसे का प्रबंधन कैसे भी करते हैं, आप अपना पूरा खाता खो देंगे, चाहे वह शुरुआत में कितना भी बड़ा क्यों न हो।

यह स्वयंसिद्ध न केवल नकारात्मक अपेक्षा वाले खेलों या ट्रेडों के लिए सही है, यह ऑड्स गेम्स के लिए भी सही है। इसलिए, एकमात्र मामला जहां आपको लंबे समय में लाभ उठाने का मौका मिलता है, वह है सकारात्मक गणितीय अपेक्षा के साथ सौदे करना।

नकारात्मक अपेक्षा और सकारात्मक अपेक्षा के बीच का अंतर जीवन और मृत्यु के बीच का अंतर है। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि अपेक्षा कितनी सकारात्मक या कितनी नकारात्मक है; क्या मायने रखता है कि यह सकारात्मक है या नकारात्मक। इसलिए, धन प्रबंधन पर विचार करने से पहले, आपको एक सकारात्मक उम्मीद के साथ एक खेल खोजना चाहिए।

यदि आपके पास वह खेल नहीं है, तो दुनिया में कोई भी राशि प्रबंधन आपको नहीं बचाएगा। दूसरी ओर, यदि आपके पास सकारात्मक उम्मीद है, तो उचित धन प्रबंधन के माध्यम से, इसे एक घातीय वृद्धि समारोह में बदलना संभव है। कोई फर्क नहीं पड़ता कि सकारात्मक अपेक्षा कितनी छोटी है! दूसरे शब्दों में, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि एक अनुबंध पर आधारित ट्रेडिंग सिस्टम कितना लाभदायक है। यदि आपके पास एक प्रणाली है जो एक व्यापार (शुल्क और फिसलन के बाद) पर $ 10 प्रति अनुबंध जीतती है, तो आप इसे एक प्रणाली की तुलना में अधिक लाभदायक बनाने के लिए धन प्रबंधन तकनीकों का उपयोग कर सकते हैं जो प्रति व्यापार $ 1,000 का औसत लाभ दिखाता है (कमीशन की कटौती के बाद और फिसलन)।

महत्वपूर्ण यह नहीं है कि प्रणाली कितनी लाभदायक थी, बल्कि यह कहा जा सकता है कि यह प्रणाली भविष्य में कम से कम न्यूनतम लाभ दिखाएगी। इसलिए, एक व्यापारी जो सबसे महत्वपूर्ण तैयारी कर सकता है, वह यह सुनिश्चित करना है कि सिस्टम भविष्य में सकारात्मक अपेक्षित मूल्य दिखाता है।

भविष्य में सकारात्मक अपेक्षित मूल्य प्राप्त करने के लिए, यह बहुत महत्वपूर्ण है कि आप अपने सिस्टम की स्वतंत्रता की डिग्री को सीमित न करें। यह न केवल अनुकूलित किए जाने वाले मापदंडों की संख्या को समाप्त या कम करके प्राप्त किया जाता है, बल्कि जितना संभव हो उतना कम करके भी प्राप्त किया जाता है अधिकसिस्टम नियम। आपके द्वारा जोड़े गए प्रत्येक पैरामीटर, आपके द्वारा बनाए गए प्रत्येक नियम, आपके द्वारा सिस्टम में किए गए प्रत्येक छोटे परिवर्तन से स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या कम हो जाती है। आदर्श रूप से, आप काफी आदिम बनाना चाहते हैं और सरल प्रणाली, जो लगभग किसी भी बाजार में लगातार एक छोटा सा लाभ लाएगा। फिर, यह महत्वपूर्ण है कि आप समझें कि इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि कोई सिस्टम कितना लाभदायक है, जब तक कि यह लाभदायक है। ट्रेडिंग में आप जो पैसा कमाते हैं, वह के माध्यम से अर्जित किया जाएगा प्रभावी प्रबंधनपैसे।

एक व्यापार प्रणाली केवल एक उपकरण है जो आपको सकारात्मक गणितीय अपेक्षा देता है ताकि धन प्रबंधन का उपयोग किया जा सके। सिस्टम जो केवल एक या कुछ बाजारों में काम करते हैं (कम से कम एक न्यूनतम लाभ दिखाते हैं), या अलग-अलग बाजारों के लिए अलग-अलग नियम या पैरामीटर हैं, सबसे अधिक संभावना वास्तविक समय में लंबे समय तक काम नहीं करेगी। अधिकांश तकनीकी व्यापारियों के साथ समस्या यह है कि वे अनुकूलन पर बहुत अधिक समय और प्रयास खर्च करते हैं। अलग नियमऔर ट्रेडिंग सिस्टम मापदंडों के मूल्य। यह बिल्कुल विपरीत परिणाम देता है। ट्रेडिंग सिस्टम के मुनाफे को बढ़ाने पर ऊर्जा और कंप्यूटर का समय बर्बाद करने के बजाय, अपनी ऊर्जा को न्यूनतम लाभ प्राप्त करने की विश्वसनीयता के स्तर को बढ़ाने के लिए निर्देशित करें।

यह जानते हुए कि धन प्रबंधन केवल एक संख्या का खेल है जिसमें सकारात्मक अपेक्षाओं के उपयोग की आवश्यकता होती है, एक व्यापारी स्टॉक ट्रेडिंग के "पवित्र कब्र" की तलाश करना बंद कर सकता है। इसके बजाय, वह अपनी ट्रेडिंग पद्धति का परीक्षण शुरू कर सकता है, यह पता लगा सकता है कि यह विधि तार्किक रूप से कैसी है, क्या यह सकारात्मक उम्मीदें देती है। किसी भी, यहां तक ​​कि बहुत ही औसत दर्जे के व्यापारिक तरीकों पर लागू उचित धन प्रबंधन विधियां, बाकी काम करेंगी।

किसी भी व्यापारी को अपने काम में सफलता के लिए तीन सबसे महत्वपूर्ण कार्यों को हल करने की आवश्यकता होती है: यह सुनिश्चित करने के लिए कि सफल लेनदेन की संख्या अपरिहार्य गलतियों और गलत गणनाओं से अधिक है; अपना ट्रेडिंग सिस्टम सेट करें ताकि जितनी बार संभव हो पैसा कमाने का अवसर मिले; अपने कार्यों का एक स्थिर सकारात्मक परिणाम प्राप्त करें।

और यहां, हमारे लिए, कामकाजी व्यापारियों के लिए, गणितीय अपेक्षाएं एक अच्छी मदद प्रदान कर सकती हैं। संभाव्यता के सिद्धांत में यह शब्द कुंजी में से एक है। इसके साथ, आप कुछ यादृच्छिक मूल्य का औसत अनुमान दे सकते हैं। एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा गुरुत्वाकर्षण के केंद्र की तरह है, यदि हम विभिन्न द्रव्यमान वाले बिंदुओं के रूप में सभी संभावित संभावनाओं की कल्पना करते हैं।

एक व्यापारिक रणनीति के संबंध में, इसकी प्रभावशीलता का मूल्यांकन करने के लिए, लाभ (या हानि) की गणितीय अपेक्षा का सबसे अधिक उपयोग किया जाता है। इस पैरामीटर को लाभ और हानि के दिए गए स्तरों के उत्पादों के योग और उनके घटित होने की संभावना के रूप में परिभाषित किया गया है। उदाहरण के लिए, विकसित व्यापारिक रणनीति यह मानती है कि सभी कार्यों का 37% लाभ लाएगा, और शेष भाग - 63% - लाभहीन होगा। उसी समय, एक सफल लेनदेन से औसत आय $7 होगी, और औसत हानि $1.4 होगी। आइए निम्नलिखित प्रणाली का उपयोग करके व्यापार की गणितीय अपेक्षा की गणना करें:

इस अंक का क्या अर्थ है? इसमें कहा गया है कि, इस प्रणाली के नियमों का पालन करते हुए, हमें प्रत्येक बंद लेनदेन से औसतन 1.708 डॉलर प्राप्त होंगे। चूंकि परिणामी दक्षता अनुमान शून्य से अधिक है, इसलिए ऐसी प्रणाली का उपयोग किया जा सकता है असली काम. यदि, गणना के परिणामस्वरूप, गणितीय अपेक्षा नकारात्मक हो जाती है, तो यह पहले से ही एक औसत नुकसान का संकेत देता है और इस तरह के व्यापार से बर्बादी होगी।

प्रति व्यापार लाभ की मात्रा को सापेक्ष मूल्य के रूप में% के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए:

- प्रति 1 लेन-देन आय का प्रतिशत - 5%;

- सफल व्यापारिक संचालन का प्रतिशत - 62%;

- प्रति 1 व्यापार हानि प्रतिशत - 3%;

- असफल लेनदेन का प्रतिशत - 38%;

यानी औसत लेन-देन 1.96% लाएगा।

एक ऐसी प्रणाली विकसित करना संभव है, जो ट्रेडों को खोने की प्रबलता के बावजूद, सकारात्मक परिणाम देगी, क्योंकि इसका MO>0 है।

हालांकि, अकेले इंतजार करना काफी नहीं है। अगर सिस्टम बहुत कम ट्रेडिंग सिग्नल देता है तो पैसा कमाना मुश्किल है। इस मामले में, इसकी लाभप्रदता बैंक ब्याज के बराबर होगी। प्रत्येक ऑपरेशन को औसतन केवल 0.5 डॉलर लाने दें, लेकिन क्या होगा यदि सिस्टम प्रति वर्ष 1000 लेनदेन मानता है? यह अपेक्षाकृत कम समय में बहुत गंभीर राशि होगी। यह तार्किक रूप से इस प्रकार है कि दूसरा बानगीएक अच्छी व्यापार प्रणाली पर विचार किया जा सकता है लघु अवधिपदों को धारण करना।

स्रोत और लिंक

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