सूत्र द्वारा व्युत्क्रम मैट्रिक्स कैसे खोजें। उलटा मैट्रिक्स। मैट्रिक्स समीकरणों का समाधान

प्रत्येक 2x2 मैट्रिक्स की परिभाषा पाएं।किसी भी मैट्रिक्स का प्रत्येक तत्व, ट्रांसपोज़्ड सहित, संबंधित 2x2 मैट्रिक्स से जुड़ा होता है। एक निश्चित तत्व से मेल खाने वाले 2x2 मैट्रिक्स को खोजने के लिए, उस पंक्ति और कॉलम को पार करें जिसमें यह तत्व स्थित है, यानी आपको मूल 3x3 मैट्रिक्स के पांच तत्वों को पार करने की आवश्यकता है। चार तत्व जो संबंधित 2x2 मैट्रिक्स के तत्व हैं, बिना क्रॉस किए रहेंगे।

• उदाहरण के लिए, दूसरी पंक्ति और पहले कॉलम के चौराहे पर स्थित तत्व के लिए 2x2 मैट्रिक्स को खोजने के लिए, दूसरी पंक्ति और पहले कॉलम में मौजूद पांच तत्वों को पार करें। शेष चार तत्व संगत 2x2 मैट्रिक्स के तत्व हैं।
• प्रत्येक 2x2 आव्यूह का सारणिक ज्ञात कीजिए। ऐसा करने के लिए, मुख्य विकर्ण के तत्वों के उत्पाद से द्वितीयक विकर्ण के तत्वों के उत्पाद को घटाएं (आंकड़ा देखें)।
• 3x3 मैट्रिक्स के कुछ तत्वों से संबंधित 2x2 मैट्रिक्स के बारे में विस्तृत जानकारी इंटरनेट पर पाई जा सकती है।

सहकारकों का एक मैट्रिक्स बनाएँ।कॉफ़ैक्टर्स के एक नए मैट्रिक्स के रूप में पहले प्राप्त परिणामों को रिकॉर्ड करें। ऐसा करने के लिए, प्रत्येक 2x2 मैट्रिक्स का पाया गया निर्धारक लिखें जहां 3x3 मैट्रिक्स का संबंधित तत्व स्थित था। उदाहरण के लिए, यदि तत्व (1,1) के लिए 2x2 मैट्रिक्स माना जाता है, तो इसके निर्धारक को स्थिति (1,1) में लिखें। फिर संबंधित तत्वों के संकेतों को एक निश्चित पैटर्न के अनुसार बदलें, जो कि चित्र में दिखाया गया है।

• साइन चेंज स्कीम: पहली लाइन के पहले एलिमेंट का साइन नहीं बदलता है; पहली पंक्ति के दूसरे तत्व का चिन्ह उल्टा है; पहली पंक्ति के तीसरे तत्व का चिन्ह नहीं बदलता है, और इसी तरह लाइन दर लाइन। कृपया ध्यान दें कि संकेत "+" और "-", जो आरेख में दिखाए गए हैं (आकृति देखें), यह इंगित नहीं करते हैं कि संबंधित तत्व सकारात्मक या नकारात्मक होगा। इस मामले में, "+" चिह्न इंगित करता है कि तत्व का चिह्न नहीं बदलता है, और "-" चिह्न इंगित करता है कि तत्व का चिह्न बदल गया है।
• कॉफ़ेक्टर मैट्रिसेस के बारे में विस्तृत जानकारी इंटरनेट पर पाई जा सकती है।
• इस प्रकार आप मूल मैट्रिक्स के संबंधित मैट्रिक्स को ढूंढते हैं। इसे कभी-कभी जटिल संयुग्म मैट्रिक्स कहा जाता है। इस तरह के एक मैट्रिक्स को adj(M) के रूप में दर्शाया जाता है।

सारणिक द्वारा आसन्न मैट्रिक्स के प्रत्येक तत्व को विभाजित करें।मैट्रिक्स एम के निर्धारक की गणना शुरुआत में ही यह जांचने के लिए की गई थी कि व्युत्क्रम मैट्रिक्स मौजूद है। अब इस सारणिक द्वारा आसन्न मैट्रिक्स के प्रत्येक तत्व को विभाजित करें। प्रत्येक डिवीजन ऑपरेशन का परिणाम रिकॉर्ड करें जहां संबंधित तत्व स्थित है। तो आपको मैट्रिक्स मिलेगा, मूल का व्युत्क्रम।

• आकृति में दिखाए गए मैट्रिक्स का निर्धारक 1 है। इस प्रकार, यहां संबंधित मैट्रिक्स उलटा मैट्रिक्स है (क्योंकि किसी भी संख्या को 1 से विभाजित करने से यह नहीं बदलता है)।
• कुछ स्रोतों में, विभाजन संक्रिया को गुणन संक्रिया द्वारा 1/det(M) से बदल दिया जाता है। इस मामले में, अंतिम परिणाम नहीं बदलता है।

व्युत्क्रम मैट्रिक्स लिखिए।बड़े मैट्रिक्स के दाहिने आधे भाग पर स्थित तत्वों को एक अलग मैट्रिक्स के रूप में लिखें, जो एक व्युत्क्रम मैट्रिक्स है।

कैलकुलेटर की मेमोरी में मूल मैट्रिक्स दर्ज करें।ऐसा करने के लिए, यदि उपलब्ध हो तो मैट्रिक्स बटन पर क्लिक करें। टेक्सास इंस्ट्रूमेंट्स कैलकुलेटर के लिए, आपको दूसरा और मैट्रिक्स बटन दबाने की आवश्यकता हो सकती है।

संपादन मेनू का चयन करें।इसे कैलकुलेटर के कीबोर्ड के शीर्ष पर स्थित तीर बटन या उपयुक्त फ़ंक्शन बटन का उपयोग करके करें (बटन स्थान कैलकुलेटर मॉडल द्वारा भिन्न होता है)।

मैट्रिक्स पदनाम दर्ज करें।अधिकांश रेखांकन कैलकुलेटर 3-10 मैट्रिक्स के साथ काम कर सकते हैं, जिन्हें निरूपित किया जा सकता है अक्षर A-J. एक सामान्य नियम के रूप में, मूल मैट्रिक्स को दर्शाने के लिए बस [ए] का चयन करें। फिर एंटर बटन दबाएं।

मैट्रिक्स आकार दर्ज करें।यह आलेख 3x3 मैट्रिक्स के बारे में बात करता है। लेकिन ग्राफिकल कैलकुलेटर बड़े मैट्रिक्स के साथ काम कर सकते हैं। पंक्तियों की संख्या दर्ज करें, एंटर बटन दबाएं, फिर कॉलम की संख्या दर्ज करें और फिर से एंटर बटन दबाएं।

मैट्रिक्स के प्रत्येक तत्व को दर्ज करें।कैलकुलेटर स्क्रीन पर एक मैट्रिक्स प्रदर्शित होगा। यदि कैलकुलेटर में पहले से ही एक मैट्रिक्स दर्ज किया गया है, तो यह स्क्रीन पर दिखाई देगा। कर्सर मैट्रिक्स के पहले तत्व को हाइलाइट करेगा। पहले तत्व का मान दर्ज करें और एंटर दबाएं। कर्सर स्वचालित रूप से मैट्रिक्स के अगले तत्व पर चला जाएगा।

उलटा मैट्रिक्स ढूँढना।

इस लेख में, हम व्युत्क्रम मैट्रिक्स की अवधारणा, इसके गुणों और इसे खोजने के तरीकों से निपटेंगे। आइए हम उन उदाहरणों को हल करने के बारे में विस्तार से ध्यान दें जिनमें किसी दिए गए के लिए व्युत्क्रम मैट्रिक्स का निर्माण करना आवश्यक है।

पृष्ठ नेविगेशन।

उलटा मैट्रिक्स - परिभाषा।

बीजगणितीय योगों के मैट्रिक्स का उपयोग करके व्युत्क्रम मैट्रिक्स ढूँढना।

व्युत्क्रम मैट्रिक्स के गुण।

गॉस-जॉर्डन विधि द्वारा प्रतिलोम आव्यूह ज्ञात करना।

रैखिक बीजीय समीकरणों की संगत प्रणालियों को हल करके व्युत्क्रम मैट्रिक्स के तत्वों को ढूँढना।

उलटा मैट्रिक्स - परिभाषा।

व्युत्क्रम मैट्रिक्स की अवधारणा केवल वर्ग मैट्रिक्स के लिए प्रस्तुत की जाती है, जिसका निर्धारक शून्य से भिन्न होता है, अर्थात गैर-एकवचन वर्ग मैट्रिक्स के लिए।

परिभाषा।

आव्यूहमैट्रिक्स का व्युत्क्रम कहलाता है, जिसका सारणिक शून्य से भिन्न है, यदि समानताएं सत्य हैं , कहाँ पे इआदेश की पहचान मैट्रिक्स है एनपर एन.

बीजगणितीय योगों के मैट्रिक्स का उपयोग करके व्युत्क्रम मैट्रिक्स ढूँढना।

किसी दिए गए के लिए व्युत्क्रम मैट्रिक्स कैसे खोजें?

सबसे पहले, हमें अवधारणाओं की आवश्यकता है ट्रांसपोज़्ड मैट्रिक्स, मैट्रिक्स माइनर, और मैट्रिक्स तत्व के बीजीय पूरक।

परिभाषा।

नाबालिगk- वां गणमैट्रिक्स एगण एमपर एनऑर्डर मैट्रिक्स का निर्धारक है कपर क, जो मैट्रिक्स के तत्वों से प्राप्त होता है लेकिनचयनित . में स्थित है करेखाएं और कस्तंभ। ( कसबसे छोटी संख्या से अधिक नहीं है एमया एन).

नाबालिग (एन -1) वेंआदेश, जो सभी पंक्तियों के तत्वों से बना है, सिवाय i-वें, और सभी कॉलम को छोड़कर j-वें, वर्ग मैट्रिक्स लेकिनगण एनपर एनआइए इसे इस रूप में निरूपित करें।

दूसरे शब्दों में, अवयस्क वर्ग मैट्रिक्स से प्राप्त किया जाता है लेकिनगण एनपर एनतत्वों को पार करना i-वेंरेखाएं और j-वेंकॉलम।

उदाहरण के लिए, आइए लिखते हैं, नाबालिग 2आदेश, जो मैट्रिक्स से प्राप्त होता है इसकी दूसरी, तीसरी पंक्तियों और पहले, तीसरे कॉलम के तत्वों का चयन . हम नाबालिग को भी दिखाते हैं, जो मैट्रिक्स से प्राप्त होता है दूसरी पंक्ति और तीसरे कॉलम को हटाना . आइए हम इन अवयस्कों के निर्माण का वर्णन करें: और .

परिभाषा।

बीजीय जोड़एक वर्ग मैट्रिक्स के तत्व को नाबालिग कहा जाता है (एन -1) वेंआदेश, जो मैट्रिक्स से प्राप्त होता है लेकिन, इसके तत्वों को हटाना i-वेंरेखाएं और j-वेंकॉलम से गुणा किया जाता है।

किसी तत्व के बीजगणितीय पूरक के रूप में निरूपित किया जाता है। इस प्रकार, .

उदाहरण के लिए, एक मैट्रिक्स के लिए तत्व का बीजगणितीय पूरक है।

दूसरे, हमें सारणिक के दो गुणों की आवश्यकता होगी, जिनकी चर्चा हमने अनुभाग में की है मैट्रिक्स निर्धारक गणना:

निर्धारक के इन गुणों के आधार पर, परिभाषाएँ एक मैट्रिक्स को एक संख्या से गुणा करने का संचालनऔर व्युत्क्रम मैट्रिक्स की अवधारणा, हमारे पास समानता है , जहां एक ट्रांसपोज़्ड मैट्रिक्स है जिसके तत्व बीजीय पूरक हैं।

आव्यूह वास्तव में मैट्रिक्स का विलोम है लेकिन, समानता के बाद से . आइए इसे दिखाते हैं

आइए रचना करें उलटा मैट्रिक्स एल्गोरिदमसमानता का उपयोग करना .

आइए एक उदाहरण का उपयोग करके व्युत्क्रम मैट्रिक्स को खोजने के लिए एल्गोरिथ्म का विश्लेषण करें।

उदाहरण।

एक मैट्रिक्स दिया गया . उलटा मैट्रिक्स खोजें।

समाधान।

मैट्रिक्स निर्धारक की गणना करें लेकिन, तीसरे कॉलम के तत्वों द्वारा इसका विस्तार करना:

सारणिक गैर-शून्य है, इसलिए मैट्रिक्स लेकिनप्रतिवर्ती।

आइए बीजीय योगों से एक मैट्रिक्स खोजें:

इसीलिए

आइए बीजगणितीय परिवर्धन से मैट्रिक्स का स्थानांतरण करें:

अब हम व्युत्क्रम मैट्रिक्स को इस प्रकार पाते हैं: :

आइए परिणाम की जांच करें:

समानता निष्पादित होते हैं, इसलिए उलटा मैट्रिक्स सही ढंग से पाया जाता है।

व्युत्क्रम मैट्रिक्स के गुण।

व्युत्क्रम मैट्रिक्स की अवधारणा, समानता मैट्रिक्स पर संचालन की परिभाषा, और मैट्रिक्स के निर्धारक के गुण निम्नलिखित को प्रमाणित करना संभव बनाते हैं उलटा मैट्रिक्स गुण:

रैखिक बीजीय समीकरणों की संगत प्रणालियों को हल करके व्युत्क्रम मैट्रिक्स के तत्वों को ढूँढना।

एक वर्ग मैट्रिक्स के लिए व्युत्क्रम मैट्रिक्स को खोजने के लिए एक और तरीके पर विचार करें लेकिनगण एनपर एन.

यह विधि समाधान पर आधारित है एनके साथ रैखिक अमानवीय बीजीय समीकरणों की प्रणाली एनअनजान। समीकरणों की इन प्रणालियों में अज्ञात चर प्रतिलोम मैट्रिक्स के तत्व हैं।

विचार बहुत सरल है। व्युत्क्रम मैट्रिक्स को निरूपित करें: एक्स, वह है, . चूँकि व्युत्क्रम मैट्रिक्स की परिभाषा के अनुसार, तब

कॉलम द्वारा संबंधित तत्वों की तुलना करने पर, हम प्राप्त करते हैं एनप्रणाली रेखीय समीकरण

हम उन्हें किसी भी तरह से हल करते हैं और पाए गए मानों से एक व्युत्क्रम मैट्रिक्स बनाते हैं।

आइए इस पद्धति का एक उदाहरण के साथ विश्लेषण करें।

उदाहरण।

एक मैट्रिक्स दिया गया . उलटा मैट्रिक्स खोजें।

समाधान।

स्वीकार करना . समानता हमें रैखिक गैर-समरूप बीजीय समीकरणों की तीन प्रणाली प्रदान करती है:

हम इन प्रणालियों के समाधान का वर्णन नहीं करेंगे; यदि आवश्यक हो, तो अनुभाग देखें रैखिक बीजीय समीकरणों की प्रणालियों का समाधान.

समीकरणों की पहली प्रणाली से हमारे पास, दूसरे से -, तीसरे से - है। इसलिए, वांछित व्युत्क्रम मैट्रिक्स का रूप है . हम यह सुनिश्चित करने के लिए जाँच करने की सलाह देते हैं कि परिणाम सही है।

संक्षेप।

हमने व्युत्क्रम मैट्रिक्स की अवधारणा, इसके गुणों और इसे खोजने के लिए तीन तरीकों पर विचार किया।

उलटा मैट्रिक्स समाधान का उदाहरण

अभ्यास 1।व्युत्क्रम मैट्रिक्स विधि का उपयोग करके SLAE को हल करें। 2 x 1 + 3x 2 + 3x 3 + x 4 = 1 3 x 1 + 5x 2 + 3x 3 + 2x 4 = 2 5 x 1 + 7x 2 + 6x 3 + 2x 4 = 3 4 x 1 + 4x 2 + 3x 3 + x4 = 4

फॉर्म स्टार्ट

फॉर्म का अंत

समाधान. आइए मैट्रिक्स को फॉर्म में लिखें: वेक्टर बी: बी टी = (1,2,3,4) प्रमुख निर्धारक माइनर (1,1): = 5 (6 1-3 2)-7 (3 1-3 2) के लिए +4 (3 2-6 2) = -3 नाबालिग (2,1) के लिए: = 3 (6 1-3 2) -7 (3 1-3 1)+4 (3 2-6 1) = 0 नाबालिग के लिए (3 ,1): = 3 (3 1-3 2)-5 (3 1-3 1)+4 (3 2-3 1) = 3 नाबालिग के लिए (4,1): = 3 (3 2- 6 2) -5 (3 2-6 1)+7 (3 2-3 1) = 3 लघु निर्धारक ∆ = 2 (-3)-3 0+5 3-4 3 = -3

ट्रांसपोज़्ड मैट्रिक्सबीजीय पूरक 1.1 = 5 (6 1-2 3)-3 (7 1-2 4)+2 (7 3-6 4) = -3 ∆ 1.2 = -3 (6 1-2 3) -3 (7 1-2 4)+1 (7 3-6 4) = 0 1.3 = 3 (3 1-2 3)-3 (5 1-2 4) +1 (5 3-3 4) = 3 1.4 = -3 (3 2-2 6) -3 (5 2-2 7) +1 (5 6-3 7) = -3 ∆ 2.1 = -3 (6 1-2 3) -3 (5 1-2 4 )+2 (5 3-6 4) = 9 2.2 = 2 (6 1-2 3) -3 (5 1-2 4) +1 (5 3- 6 4) = 0 2.3 = -2 (3 1-2 3)-3 (3 1-2 4)+1 (3 3-3 4) = -6 2.4 = 2 (3 2- 2 6)-3 (3 2-2 5) +1 (3 6-3 5) = 3 3.1 = 3 (7 1-2 4)-5 (5 1-2 4)+2 (5 4 -7 4) = -4 ∆ 3.2 = -2 (7 1-2 4 )-3 (5 1-2 4)+1 (5 4-7 4) = 1 3.3 = 2 (5 1 -2 4)-3 (3 1-2 4) +1 (3 4-5 4) = 1 3.4 = -2 (5 2-2 7)-3 (3 2-2 5)+1 (3 7-5 5) = 0 4.1 = -3 (7 3-6 4) -5 (5 3-6 4)+3 (5 4-7 4) = -12 4.2 = 2 ( 7 3-6 4) -3 (5 3-6 4) +3 (5 4-7 4) \u003d -3 4.3 \u003d -2 (5 3-3 4) -3 (3 3-3 4) +3 (3 4-5 4) = 9 4.4 = 2 (5 6-3 7)-3 (3 6- 3 5)+3 (3 7-5 5) = -3 व्युत्क्रम मैट्रिक्स परिणाम वेक्टर एक्सएक्स = ए -1 ∙ बी एक्स टी = (2,-1,-0.33.1) x 1 = 2 x 2 = -1 x 3 = -0.33 x 4 = 1

यह सभी देखें व्युत्क्रम मैट्रिक्स विधि द्वारा SLAE समाधानऑनलाइन। ऐसा करने के लिए, अपना डेटा दर्ज करें और विस्तृत टिप्पणियों के साथ निर्णय लें।

टास्क 2. समीकरणों के निकाय को आव्यूह के रूप में लिखिए और प्रतिलोम आव्यूह का प्रयोग कर इसे हल कीजिए। प्राप्त समाधान की जाँच करें। समाधान:एक्सएमएल:xls

उदाहरण 2. समीकरणों के निकाय को आव्यूह रूप में लिखिए और प्रतिलोम आव्यूह का प्रयोग करके हल कीजिए। समाधान:एक्सएमएल:xls

उदाहरण. तीन अज्ञात के साथ तीन रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली दी गई है। आवश्यक: 1) इसका उपयोग करके इसका हल खोजें क्रैमर के सूत्र; 2) सिस्टम को मैट्रिक्स रूप में लिखें और मैट्रिक्स कैलकुलस का उपयोग करके इसे हल करें। दिशा-निर्देश. क्रैमर की विधि द्वारा हल करने के बाद, "प्रारंभिक डेटा के लिए उलटा मैट्रिक्स समाधान" बटन खोजें। आपको उचित निर्णय प्राप्त होगा। इस प्रकार, डेटा को फिर से भरना नहीं होगा। समाधान. ए द्वारा निरूपित करें - अज्ञात के लिए गुणांक का मैट्रिक्स; एक्स - अज्ञात का स्तंभ मैट्रिक्स; बी - मुक्त सदस्यों का मैट्रिक्स-स्तंभ:

वेक्टर बी: बी टी = (4,-3, -3) इन नोटेशन को देखते हुए, समीकरणों की यह प्रणाली निम्नलिखित मैट्रिक्स रूप लेती है: ए * एक्स = बी। यदि मैट्रिक्स ए नॉनसिंगुलर है (इसका निर्धारक गैर-शून्य है, तो इसमें है उलटा मैट्रिक्स ए -1। समीकरण के दोनों पक्षों को ए -1 से गुणा करने पर, हमें मिलता है: ए -1 * ए * एक्स \u003d ए -1 * बी, ए -1 * ए \u003d ई। इस समानता को कहा जाता है रैखिक समीकरणों की प्रणाली के समाधान का मैट्रिक्स संकेतन. समीकरणों की प्रणाली का हल खोजने के लिए, व्युत्क्रम मैट्रिक्स ए -1 की गणना करना आवश्यक है। यदि मैट्रिक्स A का निर्धारक शून्य नहीं है, तो सिस्टम के पास एक समाधान होगा। आइए मुख्य निर्धारक खोजें। ∆=-1 (-2 (-1)-1 1)-3 (3 (-1)-1 0)+2 (3 1-(-2 0))=14 तो, सारणिक 14 ≠ 0 है, इसलिए हम समाधान जारी रखते हैं। ऐसा करने के लिए, हम बीजीय योगों के माध्यम से व्युत्क्रम मैट्रिक्स पाते हैं। मान लीजिए कि हमारे पास एक गैर-एकवचन मैट्रिक्स ए है:

हम बीजीय योगों की गणना करते हैं।

∆ 1,1 =(-2 (-1)-1 1)=1

∆ 1,2 =-(3 (-1)-0 1)=3

∆ 1,3 =(3 1-0 (-2))=3

∆ 2,1 =-(3 (-1)-1 2)=5

∆ 2,2 =(-1 (-1)-0 2)=1

∆ 2,3 =-(-1 1-0 3)=1

∆ 3,1 =(3 1-(-2 2))=7

∆ 3,2 =-(-1 1-3 2)=7

एक्स टी =(-1,1,2) x 1 = -14/14 = -1 x 2 = 14/14 = 1 x 3 = 28/14 =2 इंतिहान. -1 -1+3 1+0 2=4 3 -1+-2 1+1 2=-3 2 -1+1 1+-1 2=-3 दस्तावेज़:एक्सएमएल:xls उत्तर: -1,1,2.

किसी दिए गए के लिए एक व्युत्क्रम मैट्रिक्स एक ऐसा मैट्रिक्स है, जो मूल के गुणन से पहचान मैट्रिक्स देता है: व्युत्क्रम मैट्रिक्स की उपस्थिति के लिए एक अनिवार्य और पर्याप्त शर्त मूल के निर्धारक की असमानता है (जो बदले में तात्पर्य है कि मैट्रिक्स वर्ग होना चाहिए)। यदि किसी मैट्रिक्स का सारणिक शून्य के बराबर है, तो इसे degenerate कहा जाता है और ऐसे मैट्रिक्स का कोई व्युत्क्रम नहीं होता है। उच्च गणित में, प्रतिलोम आव्यूह होता है महत्त्वऔर कई समस्याओं को हल करने के लिए उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, पर उलटा मैट्रिक्स ढूँढनाबनाना मैट्रिक्स विधिसमीकरणों की प्रणालियों के समाधान। हमारी सेवा साइट अनुमति देती है व्युत्क्रम मैट्रिक्स की ऑनलाइन गणना करेंदो विधियाँ: गॉस-जॉर्डन विधि और बीजीय योगों के मैट्रिक्स का उपयोग करना। पहला तात्पर्य एक बड़ी संख्या कीमैट्रिक्स के अंदर प्राथमिक परिवर्तन, दूसरा - सभी तत्वों के लिए निर्धारक और बीजीय जोड़ की गणना। ऑनलाइन मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना करने के लिए, आप हमारी अन्य सेवा का उपयोग कर सकते हैं - मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना ऑनलाइन

साइट पर उलटा मैट्रिक्स खोजें

वेबसाइटआपको खोजने की अनुमति देता है उलटा मैट्रिक्स ऑनलाइनतेज और मुफ्त। साइट पर, हमारी सेवा द्वारा गणना की जाती है और परिणाम खोजने के लिए एक विस्तृत समाधान के साथ प्रदर्शित किया जाता है उलटा मैट्रिक्स. सर्वर हमेशा सटीक और सही उत्तर देता है। परिभाषा के अनुसार कार्यों में उलटा मैट्रिक्स ऑनलाइन, यह आवश्यक है कि निर्धारक मैट्रिक्सशून्य से भिन्न था, अन्यथा वेबसाइटइस तथ्य के कारण उलटा मैट्रिक्स खोजने की असंभवता की रिपोर्ट करेगा कि मूल मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य के बराबर है। कार्य ढूँढना उलटा मैट्रिक्सगणित की कई शाखाओं में पाया जाता है, सबसे अधिक में से एक होने के नाते मूल अवधारणाअनुप्रयुक्त समस्याओं में बीजगणित और गणितीय उपकरण। स्वतंत्र उलटा मैट्रिक्स परिभाषागणना में एक पर्ची या एक छोटी सी त्रुटि न करने के लिए काफी प्रयास, बहुत समय, गणना और बहुत सावधानी की आवश्यकता होती है। इसलिए, हमारी सेवा व्युत्क्रम मैट्रिक्स ऑनलाइन ढूँढनाआपके कार्य को बहुत सुविधाजनक बनाएगा और हल करने के लिए एक अनिवार्य उपकरण बन जाएगा गणित की समस्याये. भले ही तुम उलटा मैट्रिक्स खोजेंस्वयं, हम अनुशंसा करते हैं कि आप हमारे सर्वर पर अपने समाधान की जाँच करें। हमारी गणना व्युत्क्रम मैट्रिक्स ऑनलाइन पर अपना मूल मैट्रिक्स दर्ज करें और अपना उत्तर जांचें। हमारा सिस्टम कभी गलत नहीं होता और पाता है उलटा मैट्रिक्समोड में दिया गया आयाम ऑनलाइनहाथों हाथ! स्थल पर वेबसाइटतत्वों में वर्ण प्रविष्टियों की अनुमति है मैट्रिक्स, इस मामले में उलटा मैट्रिक्स ऑनलाइनसामान्य प्रतीकात्मक रूप में प्रस्तुत किया जाएगा।

कई गुणों में व्युत्क्रम के समान।

विश्वकोश YouTube

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उलटा मैट्रिक्स कैसे खोजें - bezbotvy

उलटा मैट्रिक्स (ढूंढने के 2 तरीके)

उलटा मैट्रिक्स #1

✪ 2015-01-28। उलटा मैट्रिक्स 3x3

✪ 2015-01-27। उलटा मैट्रिक्स 2x2

उपशीर्षक

उलटा मैट्रिक्स गुण

• det A - 1 = 1 det A (\displaystyle \det A^(-1)=(\frac (1)(\det A))), कहाँ पे det (\displaystyle \\det )एक निर्धारक को दर्शाता है।
• (ए बी) − 1 = बी − 1 ए − 1 (\displaystyle \ (एबी)^(-1)=बी^(-1)ए^(-1))दो वर्ग उल्टे मैट्रिक्स के लिए ए (\ डिस्प्लेस्टाइल ए)तथा बी (\ डिस्प्लेस्टाइल बी).
• (ए टी) - 1 = (ए -1) टी (\displaystyle \ (ए^(टी))^(-1)=(ए^(-1))^(टी)), कहाँ पे (...) टी (\displaystyle (...)^(टी))ट्रांसपोज़्ड मैट्रिक्स को दर्शाता है।
• (के ए) - 1 = के - 1 ए - 1 (\displaystyle \ (केए)^(-1)=k^(-1)A^(-1))किसी गुणांक के लिए के 0 (\displaystyle k\नहीं = 0).
• ई - 1 = ई (\displaystyle \ ई^(-1)=ई).
• यदि रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करना आवश्यक है, (बी एक गैर-शून्य वेक्टर है) जहां एक्स (\डिस्प्लेस्टाइल एक्स)वांछित वेक्टर है, और यदि ए -1 (\displaystyle ए^(-1))मौजूद है, तो x = A − 1 b (\displaystyle x=A^(-1)b). अन्यथा, या तो समाधान स्थान का आयाम शून्य से अधिक है, या कोई भी नहीं है।

उलटा मैट्रिक्स खोजने के तरीके

यदि मैट्रिक्स उलटा है, तो मैट्रिक्स के व्युत्क्रम को खोजने के लिए, आप निम्न विधियों में से एक का उपयोग कर सकते हैं:

सटीक (प्रत्यक्ष) तरीके

गॉस-जॉर्डन विधि

आइए दो मैट्रिक्स लें: एऔर एकल इ. आइए मैट्रिक्स लाते हैं एगॉस-जॉर्डन विधि द्वारा पहचान मैट्रिक्स के लिए पंक्तियों में परिवर्तन लागू करना (आप स्तंभों में परिवर्तन भी लागू कर सकते हैं, लेकिन मिश्रण में नहीं)। प्रत्येक ऑपरेशन को पहले मैट्रिक्स में लागू करने के बाद, उसी ऑपरेशन को दूसरे पर लागू करें। जब पहले मैट्रिक्स की पहचान फॉर्म में कमी पूरी हो जाती है, तो दूसरा मैट्रिक्स बराबर होगा ए -1.

गॉस विधि का उपयोग करते समय, पहले मैट्रिक्स को बाईं ओर से प्राथमिक मैट्रिक्स में से एक से गुणा किया जाएगा मैं (\displaystyle \लैम्ब्डा _(i))(एक स्थिति को छोड़कर, मुख्य विकर्ण पर वाले के साथ ट्रांसवेक्शन या विकर्ण-मैट्रिक्स):

सभी परिचालनों को लागू करने के बाद दूसरा मैट्रिक्स बराबर होगा (\displaystyle \लैम्ब्डा ), अर्थात् वांछित होगा। एल्गोरिथम की जटिलता - ओ (एन 3) (\ डिस्प्लेस्टाइल ओ (एन ^ (3))).

बीजीय योगों के मैट्रिक्स का उपयोग करना

मैट्रिक्स उलटा मैट्रिक्स ए (\ डिस्प्लेस्टाइल ए), रूप में प्रतिनिधित्व करते हैं

A − 1 = adj (A) det (A) (\displaystyle (A)^(-1)=(((\mbox(adj))(A)) \over (\det(A))))

कहाँ पे adj (ए) (\displaystyle (\mbox(adj))(ए))- संलग्न मैट्रिक्स;

एल्गोरिथ्म की जटिलता, सारणिक O det की गणना के लिए एल्गोरिथ्म की जटिलता पर निर्भर करती है और O(n²) O det के बराबर होती है।

LU/LUP अपघटन का उपयोग करना

मैट्रिक्स समीकरण A X = I n (\displaystyle AX=I_(n))उलटा मैट्रिक्स के लिए एक्स (\डिस्प्लेस्टाइल एक्स)संग्रह के रूप में देखा जा सकता है n (\displaystyle n)फॉर्म की प्रणाली A x = b (\displaystyle Ax=b). निरूपित मैं (\displaystyle मैं)- मैट्रिक्स का वां कॉलम एक्स (\डिस्प्लेस्टाइल एक्स)के माध्यम से X i (\displaystyle X_(i)); फिर A X i = e i (\displaystyle AX_(i)=e_(i)), मैं = 1 ,… , n (\displaystyle i=1,\ldots ,n),क्यों कि मैं (\displaystyle मैं)- मैट्रिक्स का वां कॉलम मैं n (\displaystyle I_(n))है इकाई वेक्टर ई मैं (\displaystyle e_(i)). दूसरे शब्दों में, व्युत्क्रम मैट्रिक्स को खोजने के लिए एक ही मैट्रिक्स और विभिन्न दाहिने हाथ वाले n समीकरणों को हल करने के लिए कम किया जाता है। LUP विस्तार (समय O(n³)) चलाने के बाद प्रत्येक n समीकरणों को हल करने में O(n²) समय लगता है, इसलिए कार्य के इस भाग में O(n³) समय भी लगता है।

यदि मैट्रिक्स ए गैर-एकवचन है, तो हम इसके लिए एलयूपी अपघटन की गणना कर सकते हैं पी ए = एल यू (\displaystyle PA=LU). होने देना पी ए = बी (\ डिस्प्लेस्टाइल पीए = बी), बी -1 = डी (\displaystyle बी^(-1)=D). फिर, व्युत्क्रम मैट्रिक्स के गुणों से, हम लिख सकते हैं: डी = यू − 1 एल − 1 (\displaystyle डी=यू^(-1)एल^(-1)). यदि हम इस समानता को U और L से गुणा करें, तो हमें फॉर्म की दो समानताएँ प्राप्त हो सकती हैं यू डी = एल - 1 (\displaystyle UD=L^(-1))तथा डी एल = यू - 1 (\displaystyle DL=U^(-1)). इनमें से पहली समानता के लिए n² रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली है n (n + 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n+1))(2)))जिनमें से दाहिने हाथ की भुजाएँ ज्ञात हैं (त्रिकोणीय आव्यूह के गुणों से)। दूसरा भी . के लिए n² रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली है n (n − 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n-1))(2)))जिनमें से दाहिने हाथ की भुजाएँ ज्ञात हैं (त्रिकोणीय आव्यूह के गुणों से भी)। साथ में वे n² समानता की एक प्रणाली बनाते हैं। इन समानताओं का उपयोग करके, हम मैट्रिक्स D के सभी n² तत्वों को पुनरावर्ती रूप से निर्धारित कर सकते हैं। फिर समानता (PA) −1 = A −1 P −1 = B −1 = D से हम समानता प्राप्त करते हैं A − 1 = D P (\displaystyle A^(-1)=DP).

एलयू अपघटन का उपयोग करने के मामले में, मैट्रिक्स डी के कॉलम के क्रमपरिवर्तन की आवश्यकता नहीं है, लेकिन मैट्रिक्स ए नॉनसिंगुलर होने पर भी समाधान अलग हो सकता है।

एल्गोरिथ्म की जटिलता ओ (एन³) है।

पुनरावृत्त तरीके

शुल्ज़ तरीके

( k = E - A U k , U k + 1 = U k ∑ i = 0 n Ψ k i (\displaystyle (\begin(cases))\Psi _(k)=E-AU_(k),\\U_( k+1)=U_(k)\sum _(i=0)^(n)\Psi _(k)^(i)\end(cases)))

त्रुटि अनुमान

प्रारंभिक सन्निकटन का विकल्प

यहां पर विचार किए गए पुनरावृत्त मैट्रिक्स व्युत्क्रम की प्रक्रियाओं में प्रारंभिक सन्निकटन को चुनने की समस्या हमें उन्हें स्वतंत्र सार्वभौमिक तरीकों के रूप में व्यवहार करने की अनुमति नहीं देती है जो कि प्रत्यक्ष उलटा विधियों के साथ प्रतिस्पर्धा करते हैं, उदाहरण के लिए, मैट्रिस के एलयू अपघटन पर। चुनने के लिए कुछ सिफारिशें हैं यू 0 (\displaystyle U_(0)), शर्त की पूर्ति सुनिश्चित करना ρ (Ψ 0) < 1 {\displaystyle \rho (\Psi _{0})<1} (मैट्रिक्स की वर्णक्रमीय त्रिज्या एकता से कम है), जो प्रक्रिया के अभिसरण के लिए आवश्यक और पर्याप्त है। हालांकि, इस मामले में, पहले, इनवर्टिबल मैट्रिक्स ए या मैट्रिक्स के स्पेक्ट्रम के अनुमान के ऊपर से जानना आवश्यक है ए ए टी (\displaystyle एए^(टी))(अर्थात्, यदि A एक सममित धनात्मक निश्चित आव्यूह है और (ए) β (\displaystyle \rho (ए)\leq \beta ), तो आप ले सकते हैं यू 0 = α ई (\displaystyle U_(0)=(\alpha )E), कहाँ पे ; अगर ए एक मनमाना गैर-एकवचन मैट्रिक्स है और ρ (ए ए टी) β (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq \beta ), तो मान लीजिए यू 0 = α ए टी (\displaystyle U_(0)=(\alpha )A^(T)), कहाँ भी α ∈ (0 , 2 β) (\displaystyle \alpha \in \left(0,(\frac (2)(\beta ))\right)); बेशक, स्थिति को सरल बनाया जा सकता है और इस तथ्य का उपयोग करके कि ρ (A A T) k A A T k (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq (\mathcal (k))AA^(T)(\mathcal (k))), रखना यू 0 = ए टी ‖ ए ए टी ‖ (\displaystyle U_(0)=(\frac (A^(T))(\|AA^(T)\|)))) दूसरे, प्रारंभिक मैट्रिक्स के ऐसे विनिर्देश के साथ, इस बात की कोई गारंटी नहीं है कि 0 ‖ (\displaystyle \|\साई _(0)\|)छोटा होगा (शायद यहां तक ​​कि 0 ‖ > 1 (\displaystyle \|\साई _(0)\|>1)), और अभिसरण दर का एक उच्च क्रम तुरंत स्पष्ट नहीं होगा।

उदाहरण

मैट्रिक्स 2x2

2x2 मैट्रिक्स का व्युत्क्रम केवल इस शर्त के तहत संभव है कि a d - b c = det A ≠ 0 (\displaystyle ad-bc=\det A\neq 0).

मैट्रिक्स $A^(-1)$ को वर्ग मैट्रिक्स $A$ का व्युत्क्रम कहा जाता है यदि $A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E$, जहां $E $ पहचान मैट्रिक्स है, जिसका क्रम मैट्रिक्स $A$ के क्रम के बराबर है।

एक गैर-एकवचन मैट्रिक्स एक मैट्रिक्स है जिसका निर्धारक शून्य के बराबर नहीं है। तदनुसार, एक पतित मैट्रिक्स वह है जिसका निर्धारक शून्य के बराबर है।

व्युत्क्रम मैट्रिक्स $A^(-1)$ मौजूद है यदि और केवल अगर मैट्रिक्स $A$ गैर-एकवचन है। यदि व्युत्क्रम मैट्रिक्स $A^(-1)$ मौजूद है, तो यह अद्वितीय है।

मैट्रिक्स के व्युत्क्रम को खोजने के कई तरीके हैं, और हम उनमें से दो को देखेंगे। यह पृष्ठ एडजॉइंट मैट्रिक्स पद्धति पर चर्चा करेगा, जिसे अधिकांश उच्च गणित पाठ्यक्रमों में मानक माना जाता है। व्युत्क्रम मैट्रिक्स (प्राथमिक परिवर्तनों की विधि) को खोजने का दूसरा तरीका, जिसमें गॉस विधि या गॉस-जॉर्डन पद्धति का उपयोग शामिल है, दूसरे भाग में माना जाता है।

संयुक्त (संघ) मैट्रिक्स विधि

मैट्रिक्स $A_(n\times n)$ दिया जाए। उलटा मैट्रिक्स $A^(-1)$ खोजने के लिए, तीन चरणों की आवश्यकता है:

1. मैट्रिक्स $A$ के सारणिक का पता लगाएं और सुनिश्चित करें कि $\Delta A\neq 0$, यानी। कि मैट्रिक्स ए नॉनडिजेनरेट है।
2. मैट्रिक्स $A$ के प्रत्येक तत्व के बीजगणितीय पूरक $A_(ij)$ लिखें और मैट्रिक्स $A_(n\times n)^(*)=\left(A_(ij) \right)$ लिखें। बीजीय पूरक।
3. सूत्र $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$ को ध्यान में रखते हुए उलटा मैट्रिक्स लिखें।

मैट्रिक्स $(A^(*))^T$ को अक्सर $A$ के आसन्न (आपसी, संबद्ध) मैट्रिक्स के रूप में संदर्भित किया जाता है।

यदि निर्णय मैन्युअल रूप से किया जाता है, तो पहली विधि केवल अपेक्षाकृत छोटे आदेशों के मैट्रिक्स के लिए अच्छी होती है: दूसरा (), तीसरा (), चौथा ()। एक उच्च क्रम मैट्रिक्स के लिए व्युत्क्रम मैट्रिक्स को खोजने के लिए, अन्य विधियों का उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, गॉस विधि, जिसकी चर्चा दूसरे भाग में की गई है।

उदाहरण 1

मैट्रिक्स के विपरीत मैट्रिक्स खोजें $A=\left(\begin(array) (cccc) 5 & -4 &1 & 0 \\ 12 &-11 &4 & 0 \\ -5 & 58 &4 & 0 \\ 3 & - 1 & -9 और 0 \ अंत (सरणी) \ दाएं) $।

चूंकि चौथे कॉलम के सभी तत्व शून्य के बराबर हैं, तो $\Delta A=0$ (यानी मैट्रिक्स $A$ पतित है)। चूंकि $\Delta A=0$, $A$ के विपरीत कोई मैट्रिक्स नहीं है।

उदाहरण #2

मैट्रिक्स $A=\left(\begin(array) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \end(array)\right)$ मैट्रिक्स के विपरीत मैट्रिक्स खोजें।

हम आसन्न मैट्रिक्स विधि का उपयोग करते हैं। सबसे पहले, आइए दिए गए मैट्रिक्स $A$ के निर्धारक को खोजें:

$$ \डेल्टा ए=\बाएं| \begin(array) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(array)\right|=-5\cdot 8-7\cdot 9=-103. $$

चूंकि $\Delta A \neq 0$, तो उलटा मैट्रिक्स मौजूद है, इसलिए हम समाधान जारी रखते हैं। बीजीय पूरक ढूँढना

\begin(गठबंधन) और A_(11)=(-1)^2\cdot 8=8; \; A_(12)=(-1)^3\cdot 9=-9;\\ & A_(21)=(-1)^3\cdot 7=-7; \; A_(22)=(-1)^4\cdot (-5)=-5.\\ \end(संरेखित)

बीजीय पूरक का एक मैट्रिक्स लिखें: $A^(*)=\left(\begin(array) (cc) 8 & -9\\ -7 & -5 \end(array)\right)$।

परिणामी मैट्रिक्स को स्थानांतरित करें: $(A^(*))^T=\left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right)$ (परिणामस्वरूप मैट्रिक्स को अक्सर मैट्रिक्स $A$ के लिए आसन्न या संघ मैट्रिक्स कहा जाता है)। सूत्र $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$ का उपयोग करते हुए, हमारे पास है:

$$ A^(-1)=\frac(1)(-103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right) =\बाएं(\शुरू(सरणी) (सीसी) -8/103 और 7/103\\ 9/103 और 5/103 \end(सरणी)\दाएं) $$

तो उलटा मैट्रिक्स पाया जाता है: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 और 5/103 \end(array) \ दाएँ) $। परिणाम की सच्चाई की जांच करने के लिए, समानता में से एक की सच्चाई की जांच करने के लिए पर्याप्त है: $A^(-1)\cdot A=E$ या $A\cdot A^(-1)=E$। आइए समानता $A^(-1)\cdot A=E$ की जांच करें। भिन्नों के साथ कम काम करने के लिए, हम मैट्रिक्स $A^(-1)$ को $\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 के रूप में प्रतिस्थापित नहीं करेंगे। & 5/103 \ अंत (सरणी)\दाएं)$ लेकिन $-\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \ के रूप में अंत (सरणी)\दाएं)$:

उत्तर: $A^(-1)=\left(\ start(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 और 5/103 \end(array)\right)$।

उदाहरण #3

मैट्रिक्स के व्युत्क्रम का पता लगाएं $A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \right)$।

आइए मैट्रिक्स $A$ के निर्धारक की गणना करके शुरू करें। तो, मैट्रिक्स $A$ का निर्धारक है:

$$ \डेल्टा ए=\बाएं| \begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \right| = 18-36+56-12=26। $$

चूंकि $\Delta A\neq 0$, तो उलटा मैट्रिक्स मौजूद है, इसलिए हम समाधान जारी रखते हैं। हम दिए गए मैट्रिक्स के प्रत्येक तत्व के बीजीय पूरक पाते हैं:

हम बीजीय योगों का एक मैट्रिक्स बनाते हैं और इसे स्थानांतरित करते हैं:

$$ ए ^ * = \ बाएं (\ शुरू (सरणी) (सीसीसी) 6 और 8 और -12 \\ -5 और 2 और -3 \\ 1 और -16 और 37 \ अंत (सरणी) \ दाएं); \; (ए ^ *) ^ टी = \ बाएं (\ शुरू (सरणी) (सीसीसी) 6 और -5 और 1 \\ 8 और 2 और -16 \\ -12 और -3 और 37 \ अंत (सरणी) \ दाएं) $$

सूत्र $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$ का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं:

$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 और 37\अंत (सरणी) \दाएं)= \बाएं(\शुरू(सरणी) (सीसीसी) 3/13 और -5/26 और 1/26 \\ 4/13 और 1/13 और -8/13 \ \ -6/13 और -3/26 और 37/26 \end(सरणी) \दाएं) $$

तो $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ - 6 /13 और -3/26 और 37/26 \end(सरणी) \दाएं)$। परिणाम की सच्चाई की जांच करने के लिए, समानता में से एक की सच्चाई की जांच करने के लिए पर्याप्त है: $A^(-1)\cdot A=E$ या $A\cdot A^(-1)=E$। आइए समानता $A\cdot A^(-1)=E$ की जाँच करें। भिन्नों के साथ कम काम करने के लिए, हम मैट्रिक्स $A^(-1)$ को $\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \ के रूप में प्रतिस्थापित नहीं करेंगे। \ 4/13 और 1/13 और -8/13 \\ -6/13 और -3/26 और 37/26 \end(array) \right)$, लेकिन $\frac(1)(26)\ के रूप में सीडीओटी \बाएं (\ शुरू (सरणी) (सीसीसी) 6 और -5 और 1 \\ 8 और 2 और -16 \\ -12 और -3 और 37 \ अंत (सरणी) \ दाएं) $:

चेक सफलतापूर्वक पारित किया गया था, उलटा मैट्रिक्स $A^(-1)$ सही ढंग से पाया गया था।

उत्तर: $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6 /13 और -3/26 और 37/26 \end(सरणी) \दाएं)$।

उदाहरण #4

$A=\left(\begin(array) (cccc) 6 & -5 & 8 & 4\\ 9 & 7 & 5 & 2 \\ 7 & 5 & 3 & 7\\ -4 & 8 का मैट्रिक्स उलटा खोजें & -8 और -3 \ अंत (सरणी) \ दाएं) $।

चौथे क्रम के एक मैट्रिक्स के लिए, बीजगणितीय योगों का उपयोग करके व्युत्क्रम मैट्रिक्स को खोजना कुछ मुश्किल है। हालाँकि, ऐसे उदाहरण नियंत्रण कार्यों में पाए जाते हैं।

उलटा मैट्रिक्स खोजने के लिए, पहले आपको मैट्रिक्स $A$ के निर्धारक की गणना करने की आवश्यकता है। इस स्थिति में ऐसा करने का सबसे अच्छा तरीका है कि सारणिक को एक पंक्ति (स्तंभ) में विस्तारित किया जाए। हम किसी भी पंक्ति या स्तंभ का चयन करते हैं और चयनित पंक्ति या स्तंभ के प्रत्येक तत्व का बीजगणितीय पूरक पाते हैं।