यदि गणितीय अपेक्षा ज्ञात हो तो प्रायिकता ज्ञात कीजिए। समस्या समाधान के उदाहरण

गणितीय अपेक्षा है, परिभाषा

चटाई प्रतीक्षा हैगणितीय सांख्यिकी और संभाव्यता सिद्धांत में सबसे महत्वपूर्ण अवधारणाओं में से एक, मूल्यों के वितरण की विशेषता या संभावनाओं अनियमित चर. आमतौर पर एक यादृच्छिक चर के सभी संभावित मापदंडों के भारित औसत के रूप में व्यक्त किया जाता है। यह तकनीकी विश्लेषण, संख्या श्रृंखला के अध्ययन, निरंतर और दीर्घकालिक प्रक्रियाओं के अध्ययन में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। यह है महत्त्वजोखिमों का आकलन करते समय, ट्रेडिंग करते समय मूल्य संकेतकों का पूर्वानुमान लगाना आर्थिक बाज़ार, में रणनीति और खेल रणनीति के तरीकों के विकास में प्रयोग किया जाता है जुआ सिद्धांत.

चेकमेट प्रतीक्षा- ये हैयादृच्छिक चर का माध्य मान, वितरण संभावनाओंसंभाव्यता सिद्धांत में यादृच्छिक चर माना जाता है।

चटाई प्रतीक्षा हैसंभाव्यता सिद्धांत में एक यादृच्छिक चर के औसत मूल्य का माप। एक यादृच्छिक चर की गणित अपेक्षा एक्सलक्षित एम (एक्स).

गणितीय अपेक्षा (जनसंख्या माध्य) है

चटाई प्रतीक्षा है

चटाई प्रतीक्षा हैसंभाव्यता सिद्धांत में, सभी संभावित मूल्यों का भारित औसत जो यह यादृच्छिक चर ले सकता है।

चटाई प्रतीक्षा हैइन मानों की प्रायिकताओं द्वारा एक यादृच्छिक चर के सभी संभावित मानों के गुणनफल का योग।

गणितीय अपेक्षा (जनसंख्या माध्य) है

चटाई प्रतीक्षा हैकिसी विशेष निर्णय से औसत लाभ, बशर्ते कि इस तरह के निर्णय को बड़ी संख्या और लंबी दूरी के सिद्धांत के ढांचे में माना जा सकता है।

चटाई प्रतीक्षा हैजुए के सिद्धांत में, जीत की वह राशि जो एक सट्टेबाज प्रत्येक दांव के लिए औसतन कमा या खो सकता है। जुए की भाषा में सट्टेबाजोंइसे कभी-कभी "लाभ" कहा जाता है सट्टेबाज़"(यदि यह सट्टेबाज के लिए सकारात्मक है) या" घर का किनारा "(यदि यह सट्टेबाज के लिए नकारात्मक है)।

गणितीय अपेक्षा (जनसंख्या माध्य) है

पहले से ही कुकीज़ के लिए सबसे अच्छा प्रस्तुतिकरण वेबसाइट देखें। Wenn Sie diese Website Weiterhin Nutzen, Stimmen Sie dem zu. ठीक है

समाधान:

6.1.2 अपेक्षित गुण

1. एक स्थिर मान की गणितीय अपेक्षा स्वयं स्थिरांक के बराबर होती है।

2. उम्मीद के संकेत से एक स्थिर कारक निकाला जा सकता है।

3. दो स्वतंत्र यादृच्छिक चरों के गुणनफल की गणितीय अपेक्षा उनकी गणितीय अपेक्षाओं के गुणनफल के बराबर होती है।

यह गुण यादृच्छिक चर की मनमानी संख्या के लिए मान्य है।

4. दो यादृच्छिक चरों के योग की गणितीय अपेक्षा पदों की गणितीय अपेक्षाओं के योग के बराबर होती है।

यह गुण यादृच्छिक चरों की मनमानी संख्या के लिए भी सत्य है।

उदाहरण: एम (एक्स) = 5, मेरे)= 2. खोजें अपेक्षित मूल्यअनियमित चर जेड, गणितीय अपेक्षा के गुणों को लागू करना, यदि यह ज्ञात हो कि Z=2X + 3Y.

समाधान: एम (जेड) = एम (2 एक्स + 3 वाई) = एम (2 एक्स) + एम (3 वाई) = 2 एम (एक्स) + 3 एम (वाई) = 2∙5+3∙2 =

1) योग की गणितीय अपेक्षा गणितीय अपेक्षाओं के योग के बराबर है

2) निरंतर कारक को उम्मीद के संकेत से निकाला जा सकता है

मान लीजिए n स्वतंत्र परीक्षण किए जाते हैं, घटना A के घटित होने की प्रायिकता जिसमें p बराबर है। तब निम्नलिखित प्रमेय मानता है:

प्रमेय। n स्वतंत्र परीक्षणों में घटना A की घटनाओं की संख्या की गणितीय अपेक्षा M(X) परीक्षणों की संख्या और प्रत्येक परीक्षण में घटना के घटित होने की संभावना के गुणनफल के बराबर है।

6.1.3 एक असतत यादृच्छिक चर का फैलाव

गणितीय अपेक्षा एक यादृच्छिक प्रक्रिया को पूरी तरह से चित्रित नहीं कर सकती है। गणितीय अपेक्षा के अतिरिक्त, आपको एक ऐसा मान दर्ज करना होगा जो गणितीय अपेक्षा से यादृच्छिक चर के मानों के विचलन को दर्शाता हो।

यह विचलन यादृच्छिक चर और इसकी गणितीय अपेक्षा के बीच के अंतर के बराबर है। इस मामले में, विचलन की गणितीय अपेक्षा शून्य है। यह इस तथ्य से समझाया गया है कि कुछ संभावित विचलन सकारात्मक हैं, अन्य नकारात्मक हैं, और उनके पारस्परिक रद्दीकरण के परिणामस्वरूप, शून्य प्राप्त होता है।

फैलाव (बिखरने)असतत यादृच्छिक चर को उसकी गणितीय अपेक्षा से यादृच्छिक चर के वर्ग विचलन की गणितीय अपेक्षा कहा जाता है।

व्यवहार में, प्रसरण की गणना करने की यह विधि असुविधाजनक है, क्योंकि पर जाता है बड़ी संख्या मेंएक यादृच्छिक चर के मूल्यों को बोझिल गणनाओं के लिए।

इसलिए, एक और विधि का उपयोग किया जाता है।

प्रमेय। विचरण यादृच्छिक चर X के वर्ग की गणितीय अपेक्षा और उसकी गणितीय अपेक्षा के वर्ग के बीच के अंतर के बराबर है.

सबूत। इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए कि गणितीय अपेक्षा M (X) और गणितीय अपेक्षा M 2 (X) का वर्ग स्थिर मान हैं, हम लिख सकते हैं:

उदाहरण। वितरण नियम द्वारा दिए गए असतत यादृच्छिक चर का प्रसरण ज्ञात कीजिए।

एक्स
एक्स 2
आर	0.2	0.3	0.1	0.4

समाधान: ।

6.1.4 फैलाव गुण

1. एक स्थिर मान का परिक्षेपण शून्य होता है। .

2. एक अचर गुणनखंड को परिक्षेपण चिह्न से वर्ग करके निकाला जा सकता है। .

3. दो स्वतंत्र यादृच्छिक चरों के योग का प्रसरण इन चरों के प्रसरणों के योग के बराबर होता है। .

4. दो स्वतंत्र यादृच्छिक चरों के अंतर का प्रसरण इन चरों के प्रसरणों के योग के बराबर होता है। .

प्रमेय। n स्वतंत्र परीक्षणों में घटना A की घटनाओं की संख्या का विचरण, जिनमें से प्रत्येक में घटना के घटित होने की संभावना p स्थिर है, परीक्षणों की संख्या और घटना और गैर-घटना की संभावनाओं के गुणनफल के बराबर है। प्रत्येक परीक्षण में घटना की।

उदाहरण: डीएसवी एक्स का विचरण ज्ञात कीजिए - 2 स्वतंत्र परीक्षणों में घटना ए की घटनाओं की संख्या, यदि इन परीक्षणों में घटना की घटना की संभावना समान है और यह ज्ञात है कि एम (एक्स) = 1.2।

हम खंड 6.1.2 से प्रमेय लागू करते हैं:

एम (एक्स) = एनपी

एम (एक्स) = 1,2; एन= 2. खोजें पी:

1,2 = 2∙पी

पी = 1,2/2

क्यू = 1 – पी = 1 – 0,6 = 0,4

आइए सूत्र द्वारा फैलाव ज्ञात करें:

डी (एक्स) = 2∙0,6∙0,4 = 0,48

6.1.5 औसत मानक विचलनअसतत यादृच्छिक चर

मानक विचलनयादृच्छिक चर X को प्रसरण का वर्गमूल कहा जाता है।

(25)

प्रमेय। परस्पर स्वतंत्र यादृच्छिक चरों की एक परिमित संख्या के योग का मूल माध्य वर्ग विचलन है वर्गमूलइन राशियों के मानक विचलन के वर्गों के योग से।

6.1.6 असतत यादृच्छिक चर का बहुलक और माध्यिका

फैशन एम या डीएसवीएक यादृच्छिक चर के सबसे संभावित मान को कहा जाता है (अर्थात वह मान जिसकी सबसे अधिक संभावना होती है)

मेडियन एम ई डीएसवीएक यादृच्छिक चर का मान है जो वितरण श्रृंखला को आधे में विभाजित करता है। यदि यादृच्छिक चर के मानों की संख्या सम है, तो माध्यिका दो माध्य मानों के अंकगणितीय माध्य के रूप में पाई जाती है।

उदाहरण: DSW का बहुलक और माध्यिका ज्ञात कीजिए एक्स:

एक्स
पी	0.2	0.3	0.1	0.4

मैं = = 5,5

प्रगति

1. इस कार्य के सैद्धांतिक भाग (व्याख्यान, पाठ्यपुस्तक) से परिचित हों।

2. कार्य को अपनी पसंद के अनुसार पूरा करें।

3. काम पर एक रिपोर्ट संकलित करें।

4. अपने काम को सुरक्षित रखें।

2. कार्य का उद्देश्य।

3. कार्य की प्रगति।

4. आपके विकल्प का निर्णय।

6.4 नौकरी के विकल्प स्वतंत्र काम

विकल्प संख्या 1

1. वितरण नियम द्वारा दिए गए DSV X की गणितीय अपेक्षा, प्रसरण, मानक विचलन, बहुलक और माध्यिका ज्ञात कीजिए।

एक्स
पी	0.1	0.6	0.2	0.1

2. एक यादृच्छिक चर Z की गणितीय अपेक्षा का पता लगाएं, यदि X और Y की गणितीय अपेक्षाएं ज्ञात हैं: M(X)=6, M(Y)=4, Z=5X+3Y।

3. DSV X का प्रसरण ज्ञात कीजिए - दो स्वतंत्र परीक्षणों में घटना A के घटित होने की संख्या, यदि इन परीक्षणों में घटनाओं के घटित होने की प्रायिकताएँ समान हैं और यह ज्ञात है कि M (X) = 1 है।

4. असतत यादृच्छिक चर के संभावित मूल्यों की एक सूची दी गई है एक्स: एक्स 1 = 1, x2 = 2, एक्स 3

विकल्प संख्या 2

एक्स
पी	0.3	0.1	0.2	0.4

2. एक यादृच्छिक चर Z की गणितीय अपेक्षा का पता लगाएं, यदि X और Y की गणितीय अपेक्षाएं ज्ञात हैं: M(X)=5, M(Y)=8, Z=6X+2Y।

3. डीएसवी एक्स का प्रसरण ज्ञात कीजिए - तीन स्वतंत्र परीक्षणों में घटना ए की घटनाओं की संख्या, यदि इन परीक्षणों में घटनाओं की घटनाओं की संभावनाएं समान हैं और यह ज्ञात है कि एम (एक्स) = 0.9।

एक्स 1 = 1, x2 = 2, एक्स 3 = 4, x4= 10, और इस मात्रा और उसके वर्ग की गणितीय अपेक्षाएँ भी ज्ञात हैं: , . प्रायिकता ज्ञात कीजिए , , , संगत संभावित मान, , और DSV के वितरण का कानून तैयार करें।

विकल्प संख्या 3

1. वितरण कानून द्वारा दी गई DSV X की गणितीय अपेक्षा, विचरण और मानक विचलन ज्ञात कीजिए।

एक्स
पी	0.5	0.1	0.2	0.3

2. एक यादृच्छिक चर Z की गणितीय अपेक्षा का पता लगाएं, यदि X और Y की गणितीय अपेक्षाएं ज्ञात हैं: M(X)=3, M(Y)=4, Z=4X+2Y।

3. डीएसवी एक्स का विचरण ज्ञात कीजिए - चार स्वतंत्र परीक्षणों में घटना ए की घटनाओं की संख्या, यदि इन परीक्षणों में घटनाओं की घटना की संभावनाएं समान हैं और यह ज्ञात है कि एम (एक्स) = 1.2।

4. असतत यादृच्छिक चर X के संभावित मानों की सूची दी गई है: एक्स 1 = 0, x2 = 1, एक्स 3 = 2, x4= 5, और इस मात्रा और उसके वर्ग की गणितीय अपेक्षाएँ भी ज्ञात हैं: , . संभावित मानों के अनुरूप प्रायिकताएं , , , खोजें और DSW का वितरण नियम बनाएं।

विकल्प संख्या 4

1. वितरण कानून द्वारा दी गई DSV X की गणितीय अपेक्षा, विचरण और मानक विचलन ज्ञात कीजिए।

- 10 नवजात शिशुओं में लड़कों की संख्या।

यह बिल्कुल स्पष्ट है कि यह संख्या पहले से ज्ञात नहीं है, और अगले दस बच्चों का जन्म हो सकता है:

या लड़के - एक और केवल एकसूचीबद्ध विकल्पों में से।

और, आकार में रखने के लिए, थोड़ी शारीरिक शिक्षा:

- लंबी कूद दूरी (कुछ इकाइयों में).

खेल के उस्ताद भी इसकी भविष्यवाणी नहीं कर पाते :)

हालाँकि, आपकी परिकल्पनाएँ क्या हैं?

2) सतत यादृच्छिक चर - लेता है सबकुछ परिमित या अनंत सीमा से संख्यात्मक मान।

टिप्पणी : संक्षिप्त रूप DSV और NSV शैक्षिक साहित्य में लोकप्रिय हैं

पहले, आइए एक असतत यादृच्छिक चर का विश्लेषण करें, फिर - निरंतर.

असतत यादृच्छिक चर का वितरण नियम

- ये है अनुपालनइस मात्रा के संभावित मूल्यों और उनकी संभावनाओं के बीच। सबसे अधिक बार, कानून एक तालिका में लिखा जाता है:

यह शब्द काफी सामान्य है पंक्ति वितरण, लेकिन कुछ स्थितियों में यह अस्पष्ट लगता है, और इसलिए मैं "कानून" का पालन करूंगा।

और अब बहुत महत्वपूर्ण बिंदु : यादृच्छिक चर के बाद से आवश्यक रूप सेस्वीकार करेंगे मूल्यों में से एक, फिर संबंधित घटनाएँ बनती हैं पूरा समूहऔर उनके घटित होने की प्रायिकताओं का योग एक के बराबर होता है:

या, यदि मुड़ा हुआ लिखा हो:

इसलिए, उदाहरण के लिए, एक पासे पर अंकों की संभावनाओं के वितरण के नियम का निम्न रूप है:

कोई टिप्पणी नहीं।

आप इस धारणा के तहत हो सकते हैं कि एक असतत यादृच्छिक चर केवल "अच्छे" पूर्णांक मान ले सकता है। आइए भ्रम को दूर करें - वे कुछ भी हो सकते हैं:

उदाहरण 1

कुछ खेल है अगला कानूनजीत वितरण:

…शायद आप लंबे समय से ऐसे कार्यों के बारे में सपना देख रहे हैं :) मैं आपको एक रहस्य बताता हूं - मैं भी। खासकर काम खत्म करने के बाद क्षेत्र सिद्धांत.

समाधान: चूँकि एक यादृच्छिक चर इनमें से केवल एक को ग्रहण कर सकता है तीन अर्थ, फिर संबंधित घटनाएँ बनती हैं पूरा समूह, जिसका अर्थ है कि उनकी संभावनाओं का योग एक के बराबर है:

हम "पक्षपातपूर्ण" को उजागर करते हैं:

- इस प्रकार, पारंपरिक इकाइयों के जीतने की संभावना 0.4 है।

नियंत्रण: सुनिश्चित करने के लिए आपको क्या चाहिए।

उत्तर:

यह असामान्य नहीं है जब वितरण कानून को स्वतंत्र रूप से संकलित करने की आवश्यकता होती है। इस प्रयोग के लिए संभाव्यता की शास्त्रीय परिभाषा, घटना की संभावनाओं के लिए गुणा/जोड़ प्रमेयऔर अन्य चिप्स तरवेरा:

उदाहरण 2

बॉक्स में 50 लॉटरी टिकट हैं, जिनमें से 12 जीत रहे हैं, और उनमें से 2 प्रत्येक 1000 रूबल जीतते हैं, और बाकी - 100 रूबल प्रत्येक। एक यादृच्छिक चर के वितरण का एक नियम तैयार करें - जीत का आकार, यदि एक टिकट बॉक्स से यादृच्छिक रूप से निकाला जाता है।

समाधान: जैसा कि आपने देखा, यह एक यादृच्छिक चर के मूल्यों को रखने के लिए प्रथागत है आरोही क्रम. इसलिए, हम सबसे छोटी जीत से शुरू करते हैं, और अर्थात् रूबल।

कुल मिलाकर 50 - 12 = 38 ऐसे टिकट हैं, और के अनुसार शास्त्रीय परिभाषा:
यह प्रायिकता है कि बेतरतीब ढंग से निकाला गया टिकट नहीं जीतेगा।

बाकी मामले साधारण हैं। रूबल जीतने की संभावना है:

जाँच: - और यह ऐसे कार्यों का विशेष रूप से सुखद क्षण है!

उत्तर: आवश्यक अदायगी वितरण कानून:

के लिए अगला कार्य स्वतंत्र निर्णय:

उदाहरण 3

निशानेबाज के निशाने पर लगने की प्रायिकता है। यादृच्छिक चर के लिए वितरण नियम बनाएं - 2 शॉट्स के बाद हिट की संख्या।

... मुझे पता था कि तुमने उसे याद किया :) हमें याद है गुणन और जोड़ प्रमेय. पाठ के अंत में समाधान और उत्तर।

वितरण कानून पूरी तरह से एक यादृच्छिक चर का वर्णन करता है, लेकिन व्यवहार में यह केवल कुछ को जानने के लिए उपयोगी (और कभी-कभी अधिक उपयोगी) है। संख्यात्मक विशेषताएं .

असतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा

बात कर रहे सरल भाषा, ये है औसत अपेक्षित मूल्यबार-बार परीक्षण के साथ। एक यादृच्छिक चर को संभावनाओं के साथ मान लेने दें क्रमश। तब इस यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा बराबर होती है कार्यों का योगसंबंधित संभावनाओं द्वारा इसके सभी मान:

या मुड़े हुए रूप में:

आइए गणना करें, उदाहरण के लिए, एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा - एक पासे पर गिराए गए अंकों की संख्या:

आइए अब अपने काल्पनिक खेल को याद करें:

सवाल उठता है: क्या इस खेल को खेलना भी लाभदायक है? ... किसके पास कोई इंप्रेशन है? तो आप "ऑफहैंड" नहीं कह सकते! लेकिन इस प्रश्न का उत्तर गणितीय अपेक्षा की गणना करके आसानी से दिया जा सकता है, संक्षेप में - भारित औसतजीतने की संभावना:

इस प्रकार, इस खेल की गणितीय अपेक्षा हारी.

छापों पर भरोसा न करें - संख्याओं पर भरोसा करें!

हां, यहां आप लगातार 10 या 20-30 बार जीत सकते हैं, लेकिन लंबे समय में हम अनिवार्य रूप से बर्बाद हो जाएंगे। और मैं आपको ऐसे खेल खेलने की सलाह नहीं दूंगा :) ठीक है, शायद केवल मजे के लिए.

उपरोक्त सभी से, यह इस प्रकार है कि गणितीय अपेक्षा एक यादृच्छिक मान नहीं है।

स्वतंत्र अनुसंधान के लिए रचनात्मक कार्य:

उदाहरण 4

मिस्टर एक्स निम्नलिखित प्रणाली के अनुसार यूरोपीय रूले खेलता है: वह लगातार लाल रंग पर 100 रूबल का दांव लगाता है। एक यादृच्छिक चर के वितरण के नियम की रचना करें - इसका भुगतान। जीत की गणितीय अपेक्षा की गणना करें और इसे कोपेक तक गोल करें। कैसे औसतक्या खिलाड़ी हर सौ दांव पर हारता है?

संदर्भ : यूरोपीय रूले में 18 लाल, 18 काला और 1 हरा क्षेत्र ("शून्य") है। "लाल" के गिरने की स्थिति में, खिलाड़ी को डबल बेट का भुगतान किया जाता है, अन्यथा यह कैसीनो की आय में चला जाता है

कई अन्य रूलेट प्रणालियाँ हैं जिनके लिए आप अपनी स्वयं की संभाव्यता तालिकाएँ बना सकते हैं। लेकिन यह मामला है जब हमें किसी वितरण कानून और तालिकाओं की आवश्यकता नहीं होती है, क्योंकि यह निश्चित रूप से स्थापित है कि खिलाड़ी की गणितीय अपेक्षा बिल्कुल वही होगी। केवल सिस्टम से सिस्टम में परिवर्तन होता है

गणितीय अपेक्षा एक यादृच्छिक चर का औसत मान है।

असतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा इसके सभी संभावित मूल्यों और उनकी संभावनाओं के उत्पादों का योग है:

उदाहरण।

एक्स -4 6 10
पी 0.2 0.3 0.5

समाधान: गणितीय अपेक्षा एक्स के सभी संभावित मूल्यों और उनकी संभावनाओं के उत्पादों के योग के बराबर है:

एम (एक्स) \u003d 4 * 0.2 + 6 * 0.3 + 10 * 0.5 \u003d 6.

गणितीय अपेक्षा की गणना करने के लिए, एक्सेल में गणना करना सुविधाजनक है (विशेषकर जब बहुत अधिक डेटा होता है), हम एक तैयार टेम्पलेट () का उपयोग करने का सुझाव देते हैं।

एक स्वतंत्र समाधान के लिए एक उदाहरण (आप कैलकुलेटर का उपयोग कर सकते हैं)।
वितरण कानून द्वारा दिए गए असतत यादृच्छिक चर X की गणितीय अपेक्षा का पता लगाएं:

एक्स 0.21 0.54 0.61
पी 0.1 0.5 0.4

गणितीय अपेक्षा में निम्नलिखित गुण होते हैं।

संपत्ति 1. स्थिर मान की गणितीय अपेक्षा स्थिरांक के बराबर होती है: М(С)=С.

संपत्ति 2. उम्मीद के संकेत से एक स्थिर कारक निकाला जा सकता है: М(СХ)=СМ(Х)।

संपत्ति 3. पारस्परिक रूप से स्वतंत्र यादृच्छिक चर के उत्पाद की गणितीय अपेक्षा कारकों की गणितीय अपेक्षाओं के उत्पाद के बराबर है: एम (एक्स 1 एक्स 2 ... एक्सपी) \u003d एम (एक्स 1) एम (एक्स 2) *। .. * एम (एक्सएन)

संपत्ति 4. यादृच्छिक चर के योग की गणितीय अपेक्षा शर्तों की गणितीय अपेक्षाओं के योग के बराबर है: М(Хг + Х2+...+Хn) = М(Хг)+М(Х2)+…+М (Хn)।

समस्या 189. एक यादृच्छिक चर Z की गणितीय अपेक्षा ज्ञात कीजिए यदि गणितीय अपेक्षाएँ X और Y ज्ञात हैं: Z = X+2Y, M(X) = 5, M(Y) = 3;

समाधान: गणितीय अपेक्षा के गुणों का उपयोग करना (योग की गणितीय अपेक्षा शर्तों की गणितीय अपेक्षाओं के योग के बराबर है; स्थिर कारक गणितीय अपेक्षा चिह्न से लिया जा सकता है), हम प्राप्त करते हैं M(Z)= एम (एक्स + 2 वाई) = एम (एक्स) + एम (2 वाई) = एम (एक्स) + 2 एम (वाई) = 5 + 2 * 3 = 11।

190. गणितीय अपेक्षा के गुणों का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए कि: a) M(X - Y) = M(X)-M (Y); बी) विचलन एक्स-एम (एक्स) की गणितीय अपेक्षा शून्य है।

191. असतत यादृच्छिक चर X तीन संभावित मान लेता है: x1= 4 प्रायिकता के साथ p1 = 0.5; x3 = 6 प्रायिकता के साथ P2 = 0.3 और x3 प्रायिकता p3 के साथ। ज्ञात कीजिए: x3 और p3, यह जानते हुए कि M(X)=8.

192. असतत यादृच्छिक चर X के संभावित मानों की एक सूची दी गई है: x1 \u003d -1, x2 \u003d 0, x3 \u003d 1, इस मात्रा और इसके वर्ग की गणितीय अपेक्षाएं भी ज्ञात हैं: M (X) ) \u003d 0.1, एम (एक्स ^ 2) \u003d 0 ,9। संभावित मान xi . के अनुरूप संभावनाएं खोजें p1, p2, p3

194. 10 भागों के एक बैच में तीन गैर-मानक भाग होते हैं। यादृच्छिक रूप से दो वस्तुओं का चयन किया गया। एक असतत यादृच्छिक चर X की गणितीय अपेक्षा खोजें - दो चयनित लोगों के बीच गैर-मानक भागों की संख्या।

196. एक असतत यादृच्छिक चर X-पांच पासों के ऐसे फेंके जाने की गणितीय अपेक्षा का पता लगाएं, जिनमें से प्रत्येक में दो पासों पर एक बिंदु दिखाई देगा, यदि कुल गणनाबीस के बराबर फेंकता है।

द्विपद वितरण की गणितीय अपेक्षा परीक्षणों की संख्या और एक परीक्षण में होने वाली घटना की संभावना के उत्पाद के बराबर है:

एक असतत प्रायिकता स्थान पर दिए गए यादृच्छिक चर X की गणितीय अपेक्षा (औसत मान), संख्या m =M[X]=∑x i p i है, यदि श्रृंखला पूर्ण रूप से अभिसरण करती है।

सेवा असाइनमेंट. एक ऑनलाइन सेवा के साथ गणितीय अपेक्षा, विचरण और मानक विचलन की गणना की जाती है(उदाहरण देखें)। इसके अतिरिक्त, वितरण फलन F(X) का एक आलेख आलेखित किया जाता है।

एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा के गुण

1. एक स्थिर मान की गणितीय अपेक्षा स्वयं के बराबर है: M[C]=C , C एक स्थिरांक है;
2. एम = सी एम [एक्स]
3. यादृच्छिक चर के योग की गणितीय अपेक्षा उनकी गणितीय अपेक्षाओं के योग के बराबर है: M=M[X]+M[Y]
4. स्वतंत्र यादृच्छिक चर के उत्पाद की गणितीय अपेक्षा उनकी गणितीय अपेक्षाओं के उत्पाद के बराबर है: M=M[X] M[Y] यदि X और Y स्वतंत्र हैं।

फैलाव गुण

1. एक स्थिर मान का फैलाव शून्य के बराबर होता है: D(c)=0.
2. अचर गुणनखंड को परिक्षेपण चिह्न के नीचे से चुकता करके निकाला जा सकता है: D(k*X)= k 2 D(X)।
3. यदि यादृच्छिक चर X और Y स्वतंत्र हैं, तो योग का विचरण, प्रसरणों के योग के बराबर है: D(X+Y)=D(X)+D(Y)।
4. यदि यादृच्छिक चर X और Y निर्भर हैं: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
5. विचरण के लिए, कम्प्यूटेशनल सूत्र मान्य है:
   डी (एक्स) = एम (एक्स 2) - (एम (एक्स)) 2

उदाहरण। दो स्वतंत्र यादृच्छिक चरों X और Y की गणितीय अपेक्षाएँ और प्रसरण ज्ञात हैं: M(x)=8 , M(Y)=7 , D(X)=9 , D(Y)=6 । यादृच्छिक चर Z=9X-8Y+7 की गणितीय अपेक्षा और प्रसरण ज्ञात कीजिए।
समाधान। गणितीय अपेक्षा के गुणों के आधार पर: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23.
फैलाव गुणों के आधार पर: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 - 64*6 = 345

गणितीय अपेक्षा की गणना के लिए एल्गोरिथ्म

असतत यादृच्छिक चर के गुण: उनके सभी मूल्यों को पुन: क्रमांकित किया जा सकता है प्राकृतिक संख्या; प्रत्येक मान को एक गैर-शून्य संभावना असाइन करें।

1. युग्मों को एक-एक करके गुणा करें: x i को p i से।
2. हम प्रत्येक जोड़ी x i p i का गुणनफल जोड़ते हैं।
   उदाहरण के लिए, n = 4 के लिए: m = x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4

असतत यादृच्छिक चर का वितरण कार्यक्रमिक रूप से, यह उन बिंदुओं पर अचानक बढ़ जाता है जिनकी संभावनाएँ सकारात्मक होती हैं।

उदाहरण 1।

एक्स मैं	1	3	4	7	9
अनुकरणीय	0.1	0.2	0.1	0.3	0.3

गणितीय अपेक्षा सूत्र m = x i p i द्वारा ज्ञात की जाती है।
गणितीय अपेक्षा एम [एक्स].
एम [एक्स] = 1*0.1 + 3*0.2 + 4*0.1 + 7*0.3 + 9*0.3 = 5.9
फैलाव सूत्र d = ∑x 2 i p i - M[x] 2 द्वारा ज्ञात किया जाता है।
फैलाव डी [एक्स].
डी [एक्स] = 1 2 *0.1 + 3 2 *0.2 + 4 2 *0.1 + 7 2 *0.3 + 9 2 *0.3 - 5.9 2 = 7.69
मानक विचलन (x).
= वर्ग (डी [एक्स]) = वर्ग (7.69) = 2.78

उदाहरण # 2। एक असतत यादृच्छिक चर में निम्नलिखित वितरण श्रृंखला होती है:

एक्स	-10	-5	0	5	10
आर	एक	0,32	2एक	0,41	0,03

इस यादृच्छिक चर का मान a, गणितीय अपेक्षा और मानक विचलन ज्ञात कीजिए।

समाधान। मान a संबंध से पाया जाता है: p i = 1
p i = a + 0.32 + 2 a + 0.41 + 0.03 = 0.76 + 3 a = 1
0.76 + 3 a = 1 या 0.24=3 a , जहां से a = 0.08

उदाहरण #3। एक असतत यादृच्छिक चर के वितरण कानून का निर्धारण करें यदि इसका विचरण ज्ञात है, और x 1 एक्स 1 =6; x2=9; एक्स3 = एक्स; x4=15
पी 1 = 0.3; पी2=0.3; पी 3 = 0.1; पी 4 \u003d 0.3
डी (एक्स) = 12.96

समाधान।
यहाँ आपको प्रसरण d (x) ज्ञात करने के लिए एक सूत्र बनाने की आवश्यकता है:
d(x) = x 1 2 p 1 +x 2 2 p 2 +x 3 2 p 3 +x 4 2 p 4 -m(x) 2
जहाँ अपेक्षा m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
हमारे डेटा के लिए
एम(एक्स)=6*0.3+9*0.3+x 3 *0.1+15*0.3=9+0.1x 3
12.96 = 6 2 0.3+9 2 0.3+x 3 2 0.1+15 2 0.3-(9+0.1x 3) 2
या -9/100 (x 2 -20x+96)=0
तदनुसार, समीकरण की जड़ों को खोजना आवश्यक है, और उनमें से दो होंगे।
x 3 \u003d 8, x 3 \u003d 12
हम उसे चुनते हैं जो शर्त को संतुष्ट करता है x 1 x3=12

असतत यादृच्छिक चर का वितरण नियम
एक्स 1 =6; x2=9; एक्स 3 \u003d 12; x4=15
पी 1 = 0.3; पी2=0.3; पी 3 = 0.1; पी 4 \u003d 0.3