ऑनलाइन मैट्रिक्स तरीके से स्लो हल करना। मैट्रिक्स विधि ऑनलाइन

ऑनलाइन कैलकुलेटरसिस्टम को हल करता है रेखीय समीकरणमैट्रिक्स विधि। बहुत विस्तृत समाधान दिया गया है। रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने के लिए, चर की संख्या का चयन करें। व्युत्क्रम मैट्रिक्स की गणना के लिए एक विधि चुनें। फिर कोशिकाओं में डेटा दर्ज करें और "गणना करें" बटन पर क्लिक करें।

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डाटा एंट्री निर्देश।संख्याएँ पूर्ण संख्याओं (उदाहरण: 487, 5, -7623, आदि), दशमलव संख्याओं (उदा. 67., 102.54, आदि) या भिन्नों के रूप में दर्ज की जाती हैं। भिन्न को a/b के रूप में टाइप किया जाना चाहिए, जहां a और b पूर्णांक हैं या दशमलव संख्याएं. उदाहरण 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7, आदि।

रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए मैट्रिक्स विधि

रैखिक समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली पर विचार करें:

व्युत्क्रम मैट्रिक्स की परिभाषा को ध्यान में रखते हुए, हमारे पास है ए −1 ए=इ, कहाँ पे इपहचान मैट्रिक्स है। इसलिए, (4) को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

इस प्रकार, रैखिक समीकरणों (1) (या (2)) की प्रणाली को हल करने के लिए, प्रतिलोम को से गुणा करना पर्याप्त है एमैट्रिक्स प्रति बाधा वेक्टर बी.

मैट्रिक्स विधि द्वारा रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने के उदाहरण

उदाहरण 1. मैट्रिक्स विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली को हल करें:

आइए जॉर्डन-गॉस विधि द्वारा मैट्रिक्स A का व्युत्क्रम ज्ञात करें। मैट्रिक्स के दाईं ओर एपहचान मैट्रिक्स लिखें:

आइए मुख्य विकर्ण के नीचे मैट्रिक्स के पहले कॉलम के तत्वों को बाहर करें। ऐसा करने के लिए, पंक्ति 1 के साथ 2,3 पंक्तियाँ जोड़ें, क्रमशः -1/3, -1/3 से गुणा करें:

आइए मुख्य विकर्ण के नीचे मैट्रिक्स के दूसरे कॉलम के तत्वों को बाहर करें। ऐसा करने के लिए, लाइन 3 को लाइन 2 के साथ -24/51 से गुणा करें:

आइए मुख्य विकर्ण के ऊपर मैट्रिक्स के दूसरे कॉलम के तत्वों को बाहर करें। ऐसा करने के लिए, पंक्ति 2 के साथ पंक्ति 1 जोड़ें, -3/17 से गुणा करें:

अलग दाईं ओरमैट्रिक्स परिणामी मैट्रिक्स का व्युत्क्रम है ए :

रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली लिखने का मैट्रिक्स रूप: कुल्हाड़ी = बी, कहाँ पे

मैट्रिक्स के सभी बीजीय पूरक की गणना करें ए:

,

,

,

,

,

,

,

,

.

व्युत्क्रम मैट्रिक्स की गणना निम्नलिखित अभिव्यक्ति से की जाती है।

मैट्रिक्स विधि एसएलएयू समाधानसमीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए उपयोग किया जाता है जिसमें समीकरणों की संख्या अज्ञात की संख्या से मेल खाती है। निम्न-क्रम प्रणालियों को हल करने के लिए विधि का सबसे अच्छा उपयोग किया जाता है। रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए मैट्रिक्स विधि मैट्रिक्स गुणन के गुणों के अनुप्रयोग पर आधारित है।

इस तरह, दूसरे शब्दों में उलटा मैट्रिक्स विधि,ऐसा कहा जाता है, क्योंकि समाधान सामान्य मैट्रिक्स समीकरण में कम हो जाता है, जिसके समाधान के लिए आपको व्युत्क्रम मैट्रिक्स खोजने की आवश्यकता होती है।

मैट्रिक्स समाधान विधिशून्य से अधिक या उससे कम के सारणिक वाला SLAE इस प्रकार है:

मान लीजिए कि एक SLE (रैखिक समीकरणों की प्रणाली) है एनअज्ञात (कस्टम फ़ील्ड पर):

इसलिए, इसे मैट्रिक्स रूप में अनुवाद करना आसान है:

कुल्हाड़ी = बी, कहाँ पे एप्रणाली का मुख्य मैट्रिक्स है, बीतथा एक्स- मुक्त सदस्यों के कॉलम और सिस्टम के समाधान, क्रमशः:

आइए इसे गुणा करें मैट्रिक्स समीकरणछोड़ दिया ए -1- मैट्रिक्स का उलटा मैट्रिक्स ए: ए -1 (एएक्स) = ए -1 बी।

इसलिये ए -1 ए = ई, साधन, एक्स = ए -1 बी. समीकरण का दाहिना पक्ष प्रारंभिक प्रणाली के समाधान का एक स्तंभ देता है। मैट्रिक्स विधि की प्रयोज्यता के लिए शर्त मैट्रिक्स की गैर-अपक्षरणीयता है ए. इसके लिए एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त यह है कि मैट्रिक्स का निर्धारक ए:

detA≠0.

के लिये रैखिक समीकरणों की सजातीय प्रणाली, अर्थात। अगर वेक्टर बी = 0, प्रदर्शन किया उल्टा नियम: सिस्टम पर कुल्हाड़ी = 0एक गैर-तुच्छ (अर्थात, शून्य के बराबर नहीं) समाधान केवल तभी होता है जब डीटीए = 0. रैखिक समीकरणों के सजातीय और अमानवीय प्रणालियों के समाधानों के बीच के इस संबंध को कहा जाता है फ्रेडहोम का विकल्प।

इस प्रकार, मैट्रिक्स विधि द्वारा SLAE का समाधान सूत्र के अनुसार बनाया जाता है . या, SLAE समाधान का उपयोग करके पाया जाता है उलटा मैट्रिक्स ए -1.

यह ज्ञात है कि एक वर्ग मैट्रिक्स लेकिनगण एनपर एनएक उलटा मैट्रिक्स है ए -1केवल तभी जब इसका सारणिक शून्येतर हो। इस प्रकार प्रणाली एनरैखिक बीजीय समीकरणसाथ एनअज्ञात को मैट्रिक्स विधि द्वारा तभी हल किया जाता है जब सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य के बराबर न हो।

इस तथ्य के बावजूद कि इस तरह की विधि का उपयोग करने की संभावना की सीमाएं हैं और जब कम्प्यूटेशनल कठिनाइयां होती हैं बड़े मूल्यगुणांक और उच्च-क्रम प्रणाली, विधि को कंप्यूटर पर आसानी से लागू किया जा सकता है।

एक अमानवीय SLAE को हल करने का एक उदाहरण।

सबसे पहले, आइए देखें कि अज्ञात SLAE के लिए गुणांक के मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य के बराबर नहीं है।

अब हम पाते हैं गठबंधन मैट्रिक्स, इसे स्थानांतरित करें और इसे उलटा मैट्रिक्स निर्धारित करने के लिए सूत्र में प्रतिस्थापित करें।

हम सूत्र में चर को प्रतिस्थापित करते हैं:

अब हम व्युत्क्रम मैट्रिक्स और मुक्त पदों के कॉलम को गुणा करके अज्ञात पाते हैं।

इसलिए, एक्स = 2; वाई = 1; जेड = 4।

SLAE के सामान्य रूप से मैट्रिक्स रूप में जाते समय, सिस्टम समीकरणों में अज्ञात चर के क्रम से सावधान रहें। उदाहरण के लिए:

इस रूप में न लिखें:

यह आवश्यक है, पहले, सिस्टम के प्रत्येक समीकरण में अज्ञात चरों को क्रमित करना और उसके बाद ही मैट्रिक्स नोटेशन पर आगे बढ़ना:

इसके अलावा, आपको के बजाय अज्ञात चर के पदनाम से सावधान रहने की आवश्यकता है एक्स 1 , एक्स 2 ,…, एक्स एनअन्य पत्र हो सकते हैं। उदाहरण के लिए:

मैट्रिक्स रूप में, हम लिखते हैं:

मैट्रिक्स विधि का उपयोग करके, रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करना बेहतर होता है जिसमें समीकरणों की संख्या अज्ञात चर की संख्या के साथ मेल खाती है और सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य के बराबर नहीं होता है। जब सिस्टम में 3 से अधिक समीकरण होते हैं, तो व्युत्क्रम मैट्रिक्स को खोजने के लिए अधिक कम्प्यूटेशनल प्रयास करना होगा, इसलिए, इस मामले में, गॉस विधि को हल करने के लिए उपयोग करने की सलाह दी जाती है।

सेवा असाइनमेंट. इस ऑनलाइन कैलकुलेटर का उपयोग करते हुए, अज्ञात (x 1 , x 2 , ..., x n ) की गणना समीकरणों की प्रणाली में की जाती है। निर्णय किया जा रहा है उलटा मैट्रिक्स विधि. जिसमें:

• मैट्रिक्स ए के निर्धारक की गणना की जाती है;
• बीजगणितीय जोड़ के माध्यम से, उलटा मैट्रिक्स ए -1 पाया जाता है;
• एक्सेल में एक समाधान टेम्पलेट बनाया जाता है;

समाधान सीधे साइट (ऑनलाइन) पर किया जाता है और यह मुफ़्त है। गणना परिणाम Word स्वरूप में एक रिपोर्ट में प्रस्तुत किए जाते हैं (डिज़ाइन उदाहरण देखें)।

निर्देश। व्युत्क्रम मैट्रिक्स विधि द्वारा समाधान प्राप्त करने के लिए, मैट्रिक्स के आयाम को निर्दिष्ट करना आवश्यक है। इसके बाद, नए डायलॉग बॉक्स में, मैट्रिक्स A और परिणाम वेक्टर B भरें।

चर की संख्या 2 3 4 5 6 7 8 9 10

मैट्रिक्स समीकरणों का समाधान भी देखें।

समाधान एल्गोरिथ्म

1. मैट्रिक्स ए के निर्धारक की गणना की जाती है। यदि सारणिक शून्य है, तो समाधान का अंत। सिस्टम में अनंत संख्या में समाधान हैं।
2. जब सारणिक शून्य से भिन्न होता है, तो व्युत्क्रम मैट्रिक्स ए -1 बीजीय योगों के माध्यम से पाया जाता है।
3. निर्णय सदिश X =(x 1 , x 2 , ..., x n ) परिणामी सदिश B से व्युत्क्रम मैट्रिक्स को गुणा करके प्राप्त किया जाता है।

उदाहरण। आव्यूह विधि द्वारा निकाय का हल ज्ञात कीजिए। हम मैट्रिक्स को फॉर्म में लिखते हैं:
बीजगणितीय जोड़।

ए 1.1 = (-1) 1+1

1 2 0 -2

∆ 1,1 = (1 (-2)-0 2) = -2

ए 1,2 = (-1) 1+2

3 2 1 -2

∆ 1,2 = -(3 (-2)-1 2) = 8

ए 1.3 = (-1) 1+3

3 1 1 0

∆ 1,3 = (3 0-1 1) = -1

ए 2.1 = (-1) 2+1

-2 1 0 -2

∆ 2,1 = -(-2 (-2)-0 1) = -4

ए 2.2 = (-1) 2+2

2 1 1 -2

∆ 2,2 = (2 (-2)-1 1) = -5

ए 2.3 = (-1) 2+3

2 -2 1 0

∆ 2,3 = -(2 0-1 (-2)) = -2

ए 3.1 = (-1) 3+1

-2 1 1 2

∆ 3,1 = (-2 2-1 1) = -5

·

3

-2

-1

एक्स टी = (1,0,1)
एक्स 1 = -21 / -21 = 1
एक्स 2 = 0 / -21 = 0
एक्स 3 = -21 / -21 = 1
इंतिहान:
2 1+3 0+1 1 = 3
-2 1+1 0+0 1 = -2
1 1+2 0+-2 1 = -1

n अज्ञात के साथ m रैखिक समीकरणों का निकायफॉर्म की एक प्रणाली कहा जाता है

कहाँ पे ऐजोतथा बी मैं (मैं=1,…,एम; बी=1,…,एन) कुछ ज्ञात संख्याएँ हैं, और एक्स 1 ,…,एक्स एन- अनजान। गुणांकों के अंकन में ऐजोपहला सूचकांक मैंसमीकरण की संख्या को दर्शाता है, और दूसरा जेअज्ञात की संख्या है जिस पर यह गुणांक खड़ा है।

अज्ञात के गुणांकों को मैट्रिक्स के रूप में लिखा जाएगा , जिसे हम कहेंगे सिस्टम मैट्रिक्स.

समीकरणों के दाईं ओर की संख्याएँ बी 1 ,…,बी एमबुलाया मुक्त सदस्य।

सकल एननंबर सी 1 ,…,सी एनबुलाया फेसलाइस प्रणाली का, यदि सिस्टम का प्रत्येक समीकरण इसमें संख्याओं को प्रतिस्थापित करने के बाद एक समानता बन जाता है सी 1 ,…,सी एनसंबंधित अज्ञात के बजाय एक्स 1 ,…,एक्स एन.

हमारा काम सिस्टम का समाधान खोजना होगा। इस मामले में, तीन स्थितियां उत्पन्न हो सकती हैं:

रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली जिसमें कम से कम एक समाधान होता है, कहलाता है संयुक्त. अन्यथा, अर्थात्। यदि सिस्टम का कोई समाधान नहीं है, तो इसे कहा जाता है असंगत.

आइए प्रणाली के समाधान खोजने के तरीकों पर विचार करें।

रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए मैट्रिक्स विधि

मैट्रिक्स रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को संक्षेप में लिखना संभव बनाता है। मान लीजिए कि तीन अज्ञात के साथ 3 समीकरणों की एक प्रणाली दी गई है:

सिस्टम के मैट्रिक्स पर विचार करें और अज्ञात और मुक्त सदस्यों के मैट्रिक्स कॉलम

आइए उत्पाद खोजें

वे। उत्पाद के परिणामस्वरूप, हम इस प्रणाली के समीकरणों के बाएं हाथ प्राप्त करते हैं। फिर, मैट्रिक्स समानता की परिभाषा का उपयोग करते हुए, इस प्रणाली को इस प्रकार लिखा जा सकता है

या छोटा ए∙एक्स = बी.

यहाँ मैट्रिसेस एतथा बीज्ञात हैं, और मैट्रिक्स एक्सअनजान। उसे खोजने की जरूरत है, क्योंकि। इसके तत्व इस प्रणाली का समाधान हैं। इस समीकरण को कहा जाता है मैट्रिक्स समीकरण.

मान लीजिए मैट्रिक्स सारणिक शून्य से भिन्न है | ए| 0. फिर मैट्रिक्स समीकरण निम्नानुसार हल किया जाता है। बायीं ओर समीकरण के दोनों पक्षों को मैट्रिक्स द्वारा गुणा करें एक-1, मैट्रिक्स का व्युत्क्रम ए: . क्यों कि ए -1 ए = ईतथा इ∙एक्स = एक्स, तो हम रूप में मैट्रिक्स समीकरण का समाधान प्राप्त करते हैं एक्स = ए -1 बी .

ध्यान दें कि चूंकि व्युत्क्रम मैट्रिक्स केवल वर्ग मैट्रिक्स के लिए पाया जा सकता है, मैट्रिक्स विधि केवल उन प्रणालियों को हल कर सकती है जिनमें समीकरणों की संख्या अज्ञात की संख्या के समान है. हालाँकि, सिस्टम का मैट्रिक्स नोटेशन उस स्थिति में भी संभव है जब समीकरणों की संख्या अज्ञात की संख्या के बराबर नहीं होती है, तो मैट्रिक्स एवर्गाकार नहीं है और इसलिए सिस्टम का समाधान फॉर्म में खोजना असंभव है एक्स = ए -1 बी.

उदाहरण।समीकरणों की प्रणालियों को हल करें।

क्रैमर का नियम

तीन अज्ञात के साथ 3 रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली पर विचार करें:

सिस्टम के मैट्रिक्स के अनुरूप तीसरे क्रम के निर्धारक, यानी। अज्ञात पर गुणांक से बना,

बुलाया प्रणाली निर्धारक.

हम तीन और सारणिकों की रचना इस प्रकार करते हैं: हम निर्धारक D में क्रमिक रूप से 1, 2 और 3 स्तंभों को मुक्त पदों के एक स्तंभ से प्रतिस्थापित करते हैं

तब हम निम्नलिखित परिणाम को सिद्ध कर सकते हैं।

प्रमेय (क्रैमर का नियम)।यदि प्रणाली का निर्धारक 0 है, तो विचाराधीन प्रणाली का एक और केवल एक ही समाधान है, और

सबूत. तो, तीन अज्ञात के साथ 3 समीकरणों की एक प्रणाली पर विचार करें। सिस्टम के पहले समीकरण को बीजीय पूरक द्वारा गुणा करें ए 11तत्व एक 11, दूसरा समीकरण - पर ए21और तीसरा - पर ए 31:

आइए इन समीकरणों को जोड़ें:

इस समीकरण के प्रत्येक कोष्ठक और दाईं ओर पर विचार करें। पहले कॉलम के तत्वों के संदर्भ में निर्धारक के विस्तार पर प्रमेय द्वारा

इसी तरह, यह दिखाया जा सकता है कि और .

अंत में, यह देखना आसान है कि

इस प्रकार, हम समानता प्राप्त करते हैं:।

फलस्वरूप, ।

समानताएं और समान रूप से व्युत्पन्न होती हैं, जहां से प्रमेय का अभिकथन इस प्रकार है।

इस प्रकार, हम देखते हैं कि यदि निकाय का सारणिक 0 है, तो निकाय का एक अद्वितीय हल है और इसके विपरीत। यदि निकाय का सारणिक शून्य के बराबर है, तो निकाय के पास या तो समाधानों का अनंत समुच्चय है या कोई समाधान नहीं है, अर्थात। असंगत

उदाहरण।समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें

गॉस विधि

पहले मानी गई विधियों को केवल उन प्रणालियों को हल करने के लिए लागू किया जा सकता है जिनमें समीकरणों की संख्या अज्ञात की संख्या के साथ मेल खाती है, और सिस्टम का निर्धारक शून्य से अलग होना चाहिए। गाऊसी विधि अधिक सार्वभौमिक है और किसी भी संख्या में समीकरण वाले सिस्टम के लिए उपयुक्त है। इसमें सिस्टम के समीकरणों से अज्ञात के क्रमिक उन्मूलन शामिल हैं।

तीन अज्ञात के साथ तीन समीकरणों की एक प्रणाली पर फिर से विचार करें:

.

हम पहले समीकरण को अपरिवर्तित छोड़ देते हैं, और दूसरे और तीसरे से हम शब्दों को शामिल नहीं करते हैं एक्स 1. ऐसा करने के लिए, हम दूसरे समीकरण को से विभाजित करते हैं एक 21 और गुणा करें - एक 11 और फिर 1 समीकरण के साथ जोड़ें। इसी तरह, हम तीसरे समीकरण को . में विभाजित करते हैं एक 31 और गुणा करें - एक 11 और फिर इसे पहले वाले में जोड़ें। परिणामस्वरूप, मूल प्रणाली का रूप ले लेगा:

अब, अंतिम समीकरण से, हम युक्त पद को समाप्त करते हैं x2. ऐसा करने के लिए, तीसरे समीकरण को से विभाजित करें, गुणा करें और इसे दूसरे में जोड़ें। तब हमारे पास समीकरणों की एक प्रणाली होगी:

इसलिए अंतिम समीकरण से इसे खोजना आसान है एक्स 3, फिर दूसरे समीकरण से x2और अंत में 1 से - एक्स 1.

गाऊसी पद्धति का उपयोग करते समय, यदि आवश्यक हो तो समीकरणों को आपस में बदला जा सकता है।

अक्सर लिखने के बजाय नई प्रणालीसमीकरण सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स को लिखने तक सीमित हैं:

और फिर प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके इसे त्रिकोणीय या विकर्ण रूप में लाएं।

प्रति प्राथमिक परिवर्तनमैट्रिक्स में निम्नलिखित परिवर्तन शामिल हैं:

1. पंक्तियों या स्तंभों का क्रमपरिवर्तन;
2. एक स्ट्रिंग को शून्य के अलावा किसी अन्य संख्या से गुणा करना;
3. एक पंक्ति में अन्य पंक्तियों को जोड़ना।

उदाहरण:गॉस विधि द्वारा समीकरणों के निकाय को हल करें।

इस प्रकार, सिस्टम के पास अनंत संख्या में समाधान हैं।

यह एक अवधारणा है जो सब कुछ समेट देती है संभव संचालनमैट्रिक्स के साथ उत्पादित। गणितीय मैट्रिक्स - तत्वों की एक तालिका। एक टेबल के बारे में जहां एमरेखाएं और एनकॉलम, वे कहते हैं कि इस मैट्रिक्स का आयाम है एमपर एन.

मैट्रिक्स का सामान्य दृश्य:

के लिये मैट्रिक्स समाधानआपको यह समझने की जरूरत है कि मैट्रिक्स क्या है और इसके मुख्य मापदंडों को जानें। मैट्रिक्स के मुख्य तत्व:

• तत्वों का मुख्य विकर्ण एक 11, एक 22 ..... एक एमएन.
• साइड विकर्ण तत्वों से मिलकर बनता है ए 1एन, ए 2एन-1 …..ए एम1.

मैट्रिक्स के मुख्य प्रकार:

• वर्ग - ऐसा मैट्रिक्स, जहाँ पंक्तियों की संख्या = स्तंभों की संख्या ( एम = एन).
• शून्य - जहां सभी मैट्रिक्स तत्व = 0।
• ट्रांसपोज़्ड मैट्रिक्स - मैट्रिक्स पर, जो मूल मैट्रिक्स से प्राप्त किया गया था एपंक्तियों को स्तंभों से बदलकर।
• एकल - मुख्य विकर्ण के सभी तत्व = 1, अन्य सभी = 0।
• व्युत्क्रम मैट्रिक्स एक मैट्रिक्स है, जिसे गुणा करने पर प्रारंभिक मैट्रिक्सपरिणामस्वरूप पहचान मैट्रिक्स देता है।

मैट्रिक्स मुख्य और माध्यमिक विकर्णों के संबंध में सममित हो सकता है। यानी अगर एक 12 = एक 21, ए 13 \u003d ए 31, .... ए 23 \u003d ए 32 .... एक एम-1एन =एक एमएन-1, तो मैट्रिक्स मुख्य विकर्ण के संबंध में सममित है। केवल वर्गाकार आव्यूह सममित हो सकते हैं।

मैट्रिक्स को हल करने के तरीके।

लगभग सभी मैट्रिक्स समाधान के तरीकेइसका सारणिक ज्ञात करना है एनक्रम और उनमें से ज्यादातर काफी बोझिल हैं। दूसरे और तीसरे क्रम के निर्धारक को खोजने के लिए, अन्य तर्कसंगत तरीके हैं।

दूसरे क्रम के निर्धारकों का पता लगाना।

मैट्रिक्स निर्धारक की गणना करने के लिए लेकिनदूसरा क्रम, मुख्य विकर्ण के तत्वों के उत्पाद से द्वितीयक विकर्ण के तत्वों के उत्पाद को घटाना आवश्यक है:

तीसरे क्रम के निर्धारकों को खोजने के तरीके।

तीसरे क्रम के निर्धारक को खोजने के नियम नीचे दिए गए हैं।

त्रिभुज नियम को इनमें से एक के रूप में सरलीकृत किया मैट्रिक्स समाधान के तरीके, निम्नानुसार दर्शाया जा सकता है:

दूसरे शब्दों में, पहले सारणिक में तत्वों का गुणनफल जो रेखाओं से जुड़ा होता है, उसे "+" चिह्न के साथ लिया जाता है; इसके अलावा, दूसरे निर्धारक के लिए - संबंधित उत्पादों को "-" चिन्ह के साथ लिया जाता है, अर्थात निम्नलिखित योजना के अनुसार:

पर सरस नियम द्वारा मैट्रिसेस को हल करना, सारणिक के दाईं ओर, पहले 2 कॉलम जोड़े जाते हैं और मुख्य विकर्ण पर और इसके समानांतर विकर्णों पर संबंधित तत्वों के उत्पादों को "+" चिह्न के साथ लिया जाता है; और माध्यमिक विकर्ण और इसके समानांतर विकर्णों के संबंधित तत्वों के उत्पाद, "-" चिह्न के साथ:

मैट्रिक्स को हल करते समय निर्धारक की पंक्ति या स्तंभ विस्तार।

सिद्ध योग के बराबर हैसारणिक पंक्ति के तत्वों के गुणनफल और उनके बीजीय पूरक। आमतौर पर उस पंक्ति/स्तंभ को चुनें जिसमें/वें शून्य हों। जिस पंक्ति या स्तंभ पर अपघटन किया जाता है उसे एक तीर द्वारा दर्शाया जाएगा।

मैट्रिक्स को हल करते समय सारणिक को त्रिकोणीय रूप में कम करना।

पर मैट्रिसेस को हल करनानिर्धारक को त्रिकोणीय रूप में कम करके, वे इस तरह काम करते हैं: पंक्तियों या स्तंभों पर सबसे सरल परिवर्तनों का उपयोग करके, निर्धारक त्रिकोणीय हो जाता है और फिर इसका मूल्य, निर्धारक के गुणों के अनुसार, तत्वों के उत्पाद के बराबर होगा जो मुख्य विकर्ण पर खड़ा है।

मैट्रिसेस को हल करने के लिए लाप्लास का प्रमेय।

लैपलेस के प्रमेय का उपयोग करके मैट्रिक्स को हल करते समय, प्रमेय को सीधे जानना आवश्यक है। लाप्लास की प्रमेय: Let Δ एक निर्धारक है एन-वें क्रम। हम कोई भी चुनते हैं कपंक्तियाँ (या स्तंभ), प्रदान की गई क≤ एन - 1. इस मामले में, सभी नाबालिगों के उत्पादों का योग कवें क्रम चयनित . में निहित है कपंक्तियाँ (स्तंभ), उनका बीजीय योग सारणिक के बराबर होगा।

उलटा मैट्रिक्स समाधान।

के लिए क्रियाओं का क्रम उलटा मैट्रिक्स समाधान:

1. ज्ञात कीजिए कि क्या दिया गया आव्यूह वर्गाकार है। एक नकारात्मक उत्तर के मामले में, यह स्पष्ट हो जाता है कि इसके लिए एक उलटा मैट्रिक्स नहीं हो सकता है।
2. हम बीजीय योगों की गणना करते हैं।
3. हम संबद्ध (आपसी, संलग्न) मैट्रिक्स की रचना करते हैं सी.
4. हम बीजीय जोड़ से एक व्युत्क्रम मैट्रिक्स बनाते हैं: आसन्न मैट्रिक्स के सभी तत्व सीप्रारंभिक मैट्रिक्स के निर्धारक द्वारा विभाजित करें। परिणामी मैट्रिक्स दिए गए के संबंध में वांछित व्युत्क्रम मैट्रिक्स होगा।
5. हम किए गए कार्य की जांच करते हैं: हम प्रारंभिक और परिणामी मैट्रिक्स के मैट्रिक्स को गुणा करते हैं, परिणाम पहचान मैट्रिक्स होना चाहिए।

मैट्रिक्स सिस्टम का समाधान।

के लिये मैट्रिक्स सिस्टम के समाधानसबसे अधिक इस्तेमाल किया जाने वाला गॉस विधि है।

गॉस विधि रैखिक बीजगणितीय समीकरणों (SLAE) की प्रणालियों को हल करने का एक मानक तरीका है और इसमें यह तथ्य शामिल है कि चर क्रमिक रूप से समाप्त हो जाते हैं, अर्थात, प्राथमिक परिवर्तनों की सहायता से, समीकरणों की प्रणाली को एक समान प्रणाली में लाया जाता है। त्रिकोणीय रूप और इससे, क्रमिक रूप से, अंतिम (संख्या से) से शुरू होकर, सिस्टम के प्रत्येक तत्व को खोजें।

गॉस विधिसबसे बहुमुखी है और सबसे अच्छा साधनमैट्रिक्स का समाधान खोजने के लिए। यदि सिस्टम में अनंत संख्या में समाधान हैं या सिस्टम असंगत है, तो इसे क्रैमर के नियम और मैट्रिक्स विधि का उपयोग करके हल नहीं किया जा सकता है।

गाऊसी पद्धति का अर्थ प्रत्यक्ष (विस्तारित मैट्रिक्स को एक चरणबद्ध रूप में घटाना, अर्थात मुख्य विकर्ण के नीचे शून्य प्राप्त करना) और रिवर्स (विस्तारित मैट्रिक्स के मुख्य विकर्ण के ऊपर शून्य प्राप्त करना) चाल है। फॉरवर्ड मूव गॉस मेथड है, गॉस-जॉर्डन मेथड रिवर्स है। गॉस-जॉर्डन विधि केवल चरों को समाप्त करने के क्रम में गॉस विधि से भिन्न होती है।