व्युत्क्रम मैट्रिक्स विधि द्वारा समीकरणों की प्रणाली को हल करना। व्युत्क्रम मैट्रिक्स का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करना

विषय 2. रैखिक बीजीय समीकरणों की प्रणाली।

मूल अवधारणा।

परिभाषा 1. व्यवस्था एम रेखीय समीकरणसाथ एनअज्ञात प्रपत्र की एक प्रणाली है:

जहां और संख्याएं हैं।

परिभाषा 2. निकाय का समाधान (I) अज्ञातों का एक ऐसा समुच्चय है, जिसमें इस प्रणाली का प्रत्येक समीकरण एक पहचान में बदल जाता है।

परिभाषा 3. सिस्टम (I) को कहा जाता है संयुक्तअगर इसका कम से कम एक समाधान है और असंगतअगर इसका कोई समाधान नहीं है। संयुक्त प्रणाली को कहा जाता है निश्चितअगर इसका एक अनूठा समाधान है, और ढुलमुलअन्यथा।

परिभाषा 4. समीकरण टाइप करें

बुलाया शून्य, और फॉर्म का एक समीकरण

बुलाया असंगत. जाहिर है, असंगत समीकरण वाले समीकरणों की एक प्रणाली असंगत है।

परिभाषा 5. रैखिक समीकरणों की दो प्रणालियों को कहा जाता है बराबरयदि एक प्रणाली का प्रत्येक समाधान दूसरे का समाधान है और इसके विपरीत, दूसरी प्रणाली का प्रत्येक समाधान पहले का समाधान है।

रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली के लिए मैट्रिक्स संकेतन।

सिस्टम (I) पर विचार करें (§1 देखें)।

निरूपित करें:

अज्ञात के लिए गुणांक मैट्रिक्स

मैट्रिक्स - मुक्त सदस्यों का स्तंभ

मैट्रिक्स - अज्ञात का स्तंभ

.

परिभाषा 1.मैट्रिक्स कहा जाता है प्रणाली का मुख्य मैट्रिक्स(I), और मैट्रिक्स सिस्टम (I) का संवर्धित मैट्रिक्स है।

मैट्रिक्स समानता की परिभाषा के अनुसार, सिस्टम (I) मैट्रिक्स समानता से मेल खाती है:

.

दाईं ओरमैट्रिक्स के उत्पाद की परिभाषा से यह समानता ( परिभाषा देखें 3 5 अध्याय 1) गुणनखंडित किया जा सकता है:

, अर्थात।

समानता (2) बुलाया सिस्टम का मैट्रिक्स नोटेशन (I).

क्रैमर विधि द्वारा रैखिक समीकरणों के निकाय को हल करना।

प्रणाली में चलो (I) (§1 देखें) एम = एन, अर्थात। समीकरणों की संख्या अज्ञात की संख्या के बराबर है, और सिस्टम का मुख्य मैट्रिक्स नॉनडिजेनरेट है, अर्थात। . तब 1 से सिस्टम (I) का एक अनूठा समाधान है

जहां = डेट एमुख्य कहा जाता है प्रणाली निर्धारक(मैं), मैंनिर्धारक से प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जाता है मैं- सिस्टम के मुक्त सदस्यों के कॉलम में (I) कॉलम।

उदाहरण Cramer's method का उपयोग करके सिस्टम को हल करें:

.

सूत्रों द्वारा (3) .

हम प्रणाली के निर्धारकों की गणना करते हैं:

,

,

.

सारणिक प्राप्त करने के लिए, हमने सारणिक के पहले स्तंभ को मुक्त पदों के स्तंभ से बदल दिया है; निर्धारक में दूसरे कॉलम को मुक्त सदस्यों के एक कॉलम के साथ बदलकर, हम प्राप्त करते हैं; इसी तरह, निर्धारक में तीसरे कॉलम को मुक्त सदस्यों के कॉलम के साथ बदलकर, हम प्राप्त करते हैं। सिस्टम समाधान:

व्युत्क्रम मैट्रिक्स का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करना।

प्रणाली में चलो (I) (§1 देखें) एम = एनऔर सिस्टम का मुख्य मैट्रिक्स nondegenerate है। हम सिस्टम (I) को मैट्रिक्स रूप में लिखते हैं ( 2 . देखें):

इसलिये आव्यूह ए nondegenerate है, तो इसका एक उलटा मैट्रिक्स है ( अध्याय 1 का प्रमेय 1 6 देखें) समीकरण के दोनों पक्षों को गुणा करें (2) मैट्रिक्स के लिए, फिर

व्युत्क्रम मैट्रिक्स की परिभाषा के अनुसार। समानता से (3) अपने पास

व्युत्क्रम मैट्रिक्स का उपयोग करके सिस्टम को हल करें

.

निरूपित

उदाहरण (§ 3) में हमने सारणिक की गणना की, इसलिए, मैट्रिक्स एएक उलटा मैट्रिक्स है। फिर बल में (4) , अर्थात।

. (5)

मैट्रिक्स खोजें ( देखें 6 अध्याय 1)

, , ,

, , ,

,

.

गॉस विधि।

मान लीजिए कि रैखिक समीकरणों का निकाय दिया गया है:

. (मैं)

सिस्टम (I) के सभी समाधान खोजने या यह सुनिश्चित करने के लिए कि सिस्टम असंगत है, यह आवश्यक है।

परिभाषा 1.आइए हम प्रणाली के प्राथमिक परिवर्तन को कहते हैं(I) तीन क्रियाओं में से कोई एक:

1) शून्य समीकरण का विलोपन;

2) समीकरण के दोनों भागों में दूसरे समीकरण के संगत भागों को जोड़ने पर, संख्या l से गुणा किया जाता है;

3) प्रणाली के समीकरणों में शब्दों की अदला-बदली ताकि सभी समीकरणों में समान संख्या वाले अज्ञात समान स्थानों पर कब्जा कर लें, अर्थात। यदि, उदाहरण के लिए, पहले समीकरण में हमने दूसरे और तीसरे शब्दों को बदल दिया है, तो सिस्टम के सभी समीकरणों में भी ऐसा ही किया जाना चाहिए।

गॉस विधि में यह तथ्य शामिल है कि प्राथमिक परिवर्तनों की मदद से सिस्टम (I) को एक समान प्रणाली में घटाया जाता है, जिसका समाधान सीधे पाया जाता है या इसकी अक्षमता स्थापित होती है।

जैसा कि §2 में वर्णित है, सिस्टम (I) अपने विस्तारित मैट्रिक्स द्वारा विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जाता है, और सिस्टम का कोई भी प्राथमिक परिवर्तन (I) विस्तारित मैट्रिक्स के प्राथमिक परिवर्तन से मेल खाता है:

.

परिवर्तन 1) मैट्रिक्स में शून्य पंक्ति को हटाने से मेल खाती है, परिवर्तन 2) मैट्रिक्स की संबंधित पंक्ति में जोड़ने के बराबर है, इसकी दूसरी पंक्ति को संख्या l से गुणा किया जाता है, परिवर्तन 3) मैट्रिक्स में स्तंभों को पुनर्व्यवस्थित करने के बराबर है।

यह देखना आसान है कि, इसके विपरीत, मैट्रिक्स का प्रत्येक प्रारंभिक परिवर्तन प्रणाली (I) के प्राथमिक परिवर्तन से मेल खाता है। जो कहा गया है, उसे देखते हुए, सिस्टम (I) के साथ संचालन के बजाय, हम इस प्रणाली के संवर्धित मैट्रिक्स के साथ काम करेंगे।

मैट्रिक्स में, पहले कॉलम में गुणांक होते हैं एक्स 1, दूसरा कॉलम - गुणांकों से एक्स 2आदि। स्तंभों की पुनर्व्यवस्था के मामले में, यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि इस शर्त का उल्लंघन किया गया है। उदाहरण के लिए, यदि हम पहले और दूसरे कॉलम को स्वैप करते हैं, तो अब पहले कॉलम में गुणांक होंगे एक्स 2, और दूसरे कॉलम में - गुणांक पर एक्स 1.

हम प्रणाली (I) को गॉस विधि से हल करेंगे।

1. मैट्रिक्स में सभी शून्य पंक्तियों को काट दें, यदि कोई हो (यानी, सिस्टम (I) में सभी शून्य समीकरणों को काट दें)।

2. जांचें कि क्या मैट्रिक्स की पंक्तियों में कोई पंक्ति है जिसमें अंतिम को छोड़कर सभी तत्व शून्य के बराबर हैं (चलिए ऐसी पंक्ति को असंगत कहते हैं)। जाहिर है, ऐसी रेखा प्रणाली (I) में एक असंगत समीकरण से मेल खाती है, इसलिए, सिस्टम (I) का कोई समाधान नहीं है, और यह वह जगह है जहां प्रक्रिया समाप्त होती है।

3. मान लीजिए कि मैट्रिक्स में असंगत पंक्तियाँ नहीं हैं (सिस्टम (I) में असंगत समीकरण नहीं हैं)। यदि एक ए 11 = 0, तो हम पहली पंक्ति में कुछ तत्व (अंतिम एक को छोड़कर) पाते हैं जो शून्य से भिन्न होता है और स्तंभों को पुनर्व्यवस्थित करता है ताकि पहली पंक्ति में पहले स्थान पर कोई शून्य न हो। अब हम यह मान लेते हैं कि (अर्थात, हम निकाय (I) के समीकरणों में संगत पदों की अदला-बदली करते हैं)।

4. पहली पंक्ति को गुणा करें और परिणाम को दूसरी पंक्ति में जोड़ें, फिर पहली पंक्ति को गुणा करें और परिणाम को तीसरी पंक्ति में जोड़ें, आदि। जाहिर है, यह प्रक्रिया अज्ञात को खत्म करने के बराबर है एक्स 1सिस्टम (I) के सभी समीकरणों से, 1 को छोड़कर। नए मैट्रिक्स में, हमें तत्व के तहत पहले कॉलम में शून्य मिलता है एक 11:

.

5. मैट्रिक्स में सभी शून्य पंक्तियों को काट दें, यदि कोई हो, तो जांचें कि क्या कोई असंगत पंक्ति है (यदि कोई है, तो सिस्टम असंगत है और समाधान वहीं समाप्त होता है)। आइए देखें कि क्या ए 22 / = 0, यदि हाँ, तो हम दूसरी पंक्ति में एक ऐसा तत्व पाते हैं जो शून्य से भिन्न है और स्तंभों को इस प्रकार पुनर्व्यवस्थित करता है। इसके बाद, हम दूसरी पंक्ति के तत्वों को से गुणा करते हैं और तीसरी पंक्ति के संबंधित तत्वों के साथ जोड़ें, फिर - दूसरी पंक्ति के तत्वों को चालू करें और चौथी पंक्ति के संबंधित तत्वों के साथ जोड़ें, आदि, जब तक कि हमें शून्य न मिल जाए एक 22 /

.

निष्पादित क्रियाएं अज्ञात के उन्मूलन के बराबर हैं एक्स 2 1 और 2 को छोड़कर, सिस्टम (I) के सभी समीकरणों से। चूंकि पंक्तियों की संख्या सीमित है, इसलिए चरणों की एक सीमित संख्या के बाद हम पाते हैं कि या तो सिस्टम असंगत है, या हम एक चरण मैट्रिक्स के साथ समाप्त होते हैं ( परिभाषा 2 देखें 7 अध्याय 1) :

,

आइए हम मैट्रिक्स के अनुरूप समीकरणों की प्रणाली को लिखें। यह प्रणाली प्रणाली के बराबर है (I)

.

अंतिम समीकरण से हम व्यक्त करते हैं; हम पिछले समीकरण में स्थानापन्न करते हैं, पाते हैं, आदि, जब तक हम प्राप्त नहीं करते।

टिप्पणी 1.इस प्रकार, गॉस विधि द्वारा प्रणाली (I) को हल करते समय, हम निम्नलिखित मामलों में से एक पर पहुंचते हैं।

1. प्रणाली (I) असंगत है।

2. सिस्टम (I) का एक अनूठा समाधान है यदि मैट्रिक्स में पंक्तियों की संख्या अज्ञात () की संख्या के बराबर है।

3. सिस्टम (I) में अनंत समाधान हैं यदि मैट्रिक्स में पंक्तियों की संख्या अज्ञात () की संख्या से कम है।

इसलिए निम्नलिखित प्रमेय धारण करता है।

प्रमेय।रैखिक समीकरणों की प्रणाली या तो असंगत है, या इसका एक अनूठा समाधान है, या समाधान का एक अनंत सेट है।

उदाहरण। गॉस विधि द्वारा समीकरणों की प्रणाली को हल करें या इसकी असंगति साबित करें:

बी) ;

a) आइए दिए गए सिस्टम को फॉर्म में फिर से लिखें:

.

हमने गणनाओं को सरल बनाने के लिए मूल प्रणाली के पहले और दूसरे समीकरणों की अदला-बदली की (अंशों के बजाय, हम इस तरह के क्रमपरिवर्तन का उपयोग करके केवल पूर्णांकों के साथ काम करेंगे)।

हम एक विस्तारित मैट्रिक्स बनाते हैं:

.

कोई शून्य रेखाएं नहीं हैं; कोई असंगत रेखाएं नहीं; हम 1 अज्ञात को सिस्टम के सभी समीकरणों से बाहर करते हैं, 1 को छोड़कर। ऐसा करने के लिए, हम मैट्रिक्स की पहली पंक्ति के तत्वों को "-2" से गुणा करते हैं और उन्हें दूसरी पंक्ति के संबंधित तत्वों में जोड़ते हैं, जो 1 समीकरण को "-2" से गुणा करने और इसे जोड़ने के बराबर है। दूसरा समीकरण। फिर हम पहली पंक्ति के तत्वों को "-3" से गुणा करते हैं और उन्हें तीसरी पंक्ति के संबंधित तत्वों में जोड़ते हैं, अर्थात। दिए गए सिस्टम के दूसरे समीकरण को "-3" से गुणा करें और इसे तीसरे समीकरण में जोड़ें। प्राप्त

.

मैट्रिक्स समीकरणों की एक प्रणाली से मेल खाती है)। - (अध्याय 1 की परिभाषा 3 7 देखें)।

समीकरणों का उपयोग हमारे जीवन में व्यापक है। उनका उपयोग कई गणनाओं, संरचनाओं के निर्माण और यहां तक ​​कि खेलकूद में भी किया जाता है। मनुष्य द्वारा प्राचीन काल से ही समीकरणों का उपयोग किया जाता रहा है और तब से उनका उपयोग केवल बढ़ा है। मैट्रिक्स विधि आपको SLAE (रैखिक की प्रणाली) के समाधान खोजने की अनुमति देती है बीजीय समीकरण) किसी भी जटिलता का। SLAE को हल करने की पूरी प्रक्रिया दो मुख्य चरणों में आती है:

मुख्य मैट्रिक्स के आधार पर व्युत्क्रम मैट्रिक्स का निर्धारण:

समाधान के कॉलम वेक्टर द्वारा प्राप्त प्रतिलोम मैट्रिक्स का गुणन।

मान लीजिए हमें निम्नलिखित फॉर्म का SLAE दिया गया है:

\[\बाएं\(\शुरू(मैट्रिक्स) 5x_1 + 2x_2 और = और 7 \\ 2x_1 + x_2 और = और 9 \end(मैट्रिक्स)\दाएं।\]

आइए सिस्टम के मैट्रिक्स को लिखकर इस समीकरण को हल करना शुरू करें:

राइट साइड मैट्रिक्स:

आइए एक व्युत्क्रम मैट्रिक्स को परिभाषित करें। आप दूसरे क्रम का एक मैट्रिक्स इस प्रकार पा सकते हैं: 1 - मैट्रिक्स स्वयं गैर-एकवचन होना चाहिए; 2 - इसके तत्व जो मुख्य विकर्ण पर हैं, आपस में जुड़े हुए हैं, और द्वितीयक विकर्ण के तत्वों के लिए, हम इसके विपरीत एक संकेत परिवर्तन करते हैं, जिसके बाद हम प्राप्त तत्वों को मैट्रिक्स निर्धारक द्वारा विभाजित करते हैं। हम पाते हैं:

\[\begin(pmatrix) 7 \\ 9 \end(pmatrix)=\begin(pmatrix) -11 \\ 31 \end(pmatrix)\Rightarrow \ start(pmatrix) x_1 \\ x_2 \end(pmatrix) =\ start(pmatrix) -11 \\ 31 \end(pmatrix) \]

2 आव्यूह समान माने जाते हैं यदि उनके संगत अवयव समान हों। परिणामस्वरूप, हमारे पास SLAE समाधान का निम्नलिखित उत्तर है:

मैं ऑनलाइन मैट्रिक्स पद्धति का उपयोग करके समीकरणों की एक प्रणाली को कहाँ हल कर सकता हूँ?

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मान लीजिए nवें क्रम का एक वर्ग आव्यूह है

मैट्रिक्स ए -1 कहा जाता है उलटा मैट्रिक्समैट्रिक्स ए के संबंध में, यदि ए * ए -1 = ई, जहां ई n वें क्रम का पहचान मैट्रिक्स है।

पहचान मैट्रिक्स- ऐसा वर्ग मैट्रिक्स, जिसमें मुख्य विकर्ण के साथ सभी तत्व, ऊपरी बाएँ कोने से निचले दाएँ कोने तक जाने वाले, एक हैं, और शेष शून्य हैं, उदाहरण के लिए:

उलटा मैट्रिक्समौजूद हो सकता है केवल वर्ग मैट्रिक्स के लिएवे। उन मैट्रिक्स के लिए जिनमें पंक्तियों और स्तंभों की संख्या समान होती है।

उलटा मैट्रिक्स अस्तित्व शर्त प्रमेय

एक मैट्रिक्स के लिए एक व्युत्क्रम मैट्रिक्स होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि यह नॉनडिजेनरेट हो।

मैट्रिक्स ए \u003d (ए 1, ए 2, ... ए एन) कहा जाता है गैर पतितयदि स्तंभ वेक्टर रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं। मैट्रिक्स के रैखिक रूप से स्वतंत्र कॉलम वैक्टर की संख्या को मैट्रिक्स का रैंक कहा जाता है। इसलिए, हम कह सकते हैं कि अस्तित्व के लिए उलटा मैट्रिक्स, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि मैट्रिक्स की रैंक उसके आयाम के बराबर हो, अर्थात। आर = एन।

उलटा मैट्रिक्स खोजने के लिए एल्गोरिदम

1. गॉस विधि द्वारा समीकरणों के निकाय को हल करने के लिए तालिका में मैट्रिक्स A लिखिए और दाईं ओर (समीकरणों के दाहिने भागों के स्थान पर) इसे मैट्रिक्स E असाइन करें।
2. जॉर्डन रूपांतरणों का उपयोग करते हुए, मैट्रिक्स ए को एकल कॉलम वाले मैट्रिक्स में लाएं; इस मामले में, मैट्रिक्स ई को एक साथ बदलना आवश्यक है।
3. यदि आवश्यक हो, तो अंतिम तालिका की पंक्तियों (समीकरणों) को पुनर्व्यवस्थित करें ताकि मूल तालिका के मैट्रिक्स ए के तहत पहचान मैट्रिक्स ई प्राप्त हो।
4. व्युत्क्रम मैट्रिक्स ए -1 लिखें, जो मूल तालिका के मैट्रिक्स ई के तहत अंतिम तालिका में है।

उदाहरण 1

मैट्रिक्स ए के लिए, उलटा मैट्रिक्स ए -1 . खोजें

समाधान: हम मैट्रिक्स ए लिखते हैं और दाईं ओर हम पहचान मैट्रिक्स ई असाइन करते हैं। जॉर्डन ट्रांसफॉर्मेशन का उपयोग करके, हम मैट्रिक्स ए को पहचान मैट्रिक्स ई में कम करते हैं। गणना तालिका 31.1 में दिखाई जाती है।

गुणन द्वारा गणना की शुद्धता की जाँच करें मूल मैट्रिक्सए और उलटा मैट्रिक्स ए -1।

मैट्रिक्स गुणन के परिणामस्वरूप, पहचान मैट्रिक्स प्राप्त होता है। इसलिए, गणनाएं सही हैं।

उत्तर:

मैट्रिक्स समीकरणों का समाधान

मैट्रिक्स समीकरण इस तरह दिख सकते हैं:

AX = B, XA = B, AXB = C,

जहाँ A, B, C को आव्यूह दिए गए हैं, X वांछित आव्यूह है।

मैट्रिक्स समीकरणों को व्युत्क्रम मैट्रिक्स द्वारा समीकरण को गुणा करके हल किया जाता है।

उदाहरण के लिए, एक समीकरण से मैट्रिक्स को खोजने के लिए, आपको इस समीकरण को बाईं ओर से गुणा करना होगा।

इसलिए, समीकरण का हल खोजने के लिए, आपको उलटा मैट्रिक्स ढूंढना होगा और इसे समीकरण के दाईं ओर मैट्रिक्स से गुणा करना होगा।

अन्य समीकरणों को इसी तरह हल किया जाता है।

उदाहरण 2

समीकरण को हल करें AX = B यदि

समाधान: चूँकि आव्यूह का व्युत्क्रम बराबर होता है (उदाहरण 1 देखें)

आर्थिक विश्लेषण में मैट्रिक्स विधि

वे दूसरों के साथ-साथ आवेदन भी ढूंढते हैं मैट्रिक्स तरीके . ये विधियां रैखिक और वेक्टर-मैट्रिक्स बीजगणित पर आधारित हैं। ऐसी विधियों का उपयोग जटिल और बहुआयामी आर्थिक घटनाओं के विश्लेषण के प्रयोजनों के लिए किया जाता है। सबसे अधिक बार, इन विधियों का उपयोग तब किया जाता है जब संगठनों के कामकाज और उनके संरचनात्मक विभाजनों की तुलना करना आवश्यक होता है।

मैट्रिक्स विश्लेषण विधियों को लागू करने की प्रक्रिया में, कई चरणों को प्रतिष्ठित किया जा सकता है।

पहले चरण मेंआर्थिक संकेतकों की एक प्रणाली का गठन किया जाता है और इसके आधार पर प्रारंभिक डेटा का एक मैट्रिक्स संकलित किया जाता है, जो एक तालिका है जिसमें सिस्टम नंबर इसकी व्यक्तिगत पंक्तियों में दिखाए जाते हैं (मैं = 1,2,....,एन), और ऊर्ध्वाधर रेखांकन के साथ - संकेतकों की संख्या (जे = 1,2,....,एम).

दूसरे चरण मेंप्रत्येक ऊर्ध्वाधर स्तंभ के लिए, संकेतकों के उपलब्ध मूल्यों में से सबसे बड़ा पता चलता है, जिसे एक इकाई के रूप में लिया जाता है।

उसके बाद, इस कॉलम में परिलक्षित सभी राशियों को सबसे बड़े मूल्य से विभाजित किया जाता है और मानकीकृत गुणांक का एक मैट्रिक्स बनता है।

तीसरे चरण मेंमैट्रिक्स के सभी घटकों को चुकता किया जाता है। यदि उनका अलग महत्व है, तो मैट्रिक्स के प्रत्येक संकेतक को एक निश्चित भार गुणांक दिया जाता है क. उत्तरार्द्ध का मूल्य एक विशेषज्ञ द्वारा निर्धारित किया जाता है।

अंत समय पर चौथा चरणरेटिंग के मूल्य पाए गए आरजेबढ़ने या घटने के क्रम में समूहित।

उपरोक्त मैट्रिक्स विधियों का उपयोग किया जाना चाहिए, उदाहरण के लिए, जब तुलनात्मक विश्लेषणविभिन्न निवेश परियोजनाएं, साथ ही संगठनों के अन्य आर्थिक प्रदर्शन संकेतकों का आकलन करने में।

विचार करना रैखिक बीजीय समीकरणों की प्रणाली(धीमा) के बारे में एनअनजान एक्स 1 , एक्स 2 , ..., एक्स एन :

इस प्रणाली को "मुड़ा हुआ" रूप में निम्नानुसार लिखा जा सकता है:

एस एन मैं = 1 एक आईजेयू एक्स जे = बी मैं , मैं = 1,2, ..., एन.

मैट्रिक्स गुणन के नियम के अनुसार, रैखिक समीकरणों की मानी गई प्रणाली को लिखा जा सकता है मैट्रिक्स फॉर्म कुल्हाड़ी = बी, कहाँ पे

, ,.

आव्यूह ए, जिनके स्तंभ संगत अज्ञात के लिए गुणांक हैं, और पंक्तियाँ संगत समीकरण में अज्ञात के लिए गुणांक कहलाती हैं सिस्टम मैट्रिक्स. कॉलम मैट्रिक्स बी, जिनके तत्व प्रणाली के समीकरणों के सही हिस्से हैं, सही हिस्से का मैट्रिक्स या बस कहा जाता है सिस्टम का दाहिना भाग. कॉलम मैट्रिक्स एक्स , जिनके तत्व अज्ञात अज्ञात हैं, कहलाते हैं सिस्टम समाधान.

रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणाली के रूप में लिखा गया है कुल्हाड़ी = बी, है मैट्रिक्स समीकरण.

यदि सिस्टम का मैट्रिक्स गैर पतित, तो इसका एक उलटा मैट्रिक्स है, और फिर सिस्टम का समाधान है कुल्हाड़ी = बीसूत्र द्वारा दिया गया है:

एक्स = ए -1 बी.

उदाहरणसिस्टम को हल करें मैट्रिक्स विधि।

समाधानसिस्टम के गुणांक मैट्रिक्स के लिए व्युत्क्रम मैट्रिक्स खोजें

पहली पंक्ति में विस्तार करके निर्धारक की गणना करें:

क्यों कि Δ ≠ 0 , फिर ए -1 मौजूद।

उलटा मैट्रिक्स सही ढंग से पाया जाता है।

आइए इस प्रणाली का समाधान खोजें

फलस्वरूप, एक्स 1 = 1, एक्स 2 = 2, x 3 = 3 .

इंतिहान:

7. रैखिक बीजीय समीकरणों की एक प्रणाली की संगतता पर क्रोनकर-कैपेली प्रमेय।

रैखिक समीकरणों की प्रणालीकी तरह लगता है:

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2 , (5.1)

a m1 x 1 + a m1 x 2 +... + a mn x n = b m।

यहाँ a i j और b i (i = ; j = ) दिए गए हैं, और x j अज्ञात वास्तविक संख्याएँ हैं। मैट्रिक्स के उत्पाद की अवधारणा का उपयोग करके, हम सिस्टम (5.1) को इस रूप में फिर से लिख सकते हैं:

जहाँ A = (a i j) सिस्टम के अज्ञात के गुणांकों (5.1) से मिलकर बना मैट्रिक्स है, जिसे कहा जाता है सिस्टम मैट्रिक्स, X = (x 1 , x 2 ,..., x n) T , B = (b 1 , b 2 ,..., b m) T-स्तंभ सदिश क्रमशः अज्ञात x j और मुक्त पदों b i से बना है।

आदेश दिया संग्रह एनवास्तविक संख्याएँ (c 1 , c 2 ,..., c n) कहलाती हैं सिस्टम समाधान(5.1) यदि संगत चरों के स्थान पर इन संख्याओं के प्रतिस्थापन के परिणामस्वरूप x 1 , x 2 ,..., x n प्रणाली का प्रत्येक समीकरण एक अंकगणितीय पहचान में बदल जाता है; दूसरे शब्दों में, यदि कोई सदिश C= (c 1 , c 2 ,..., c n) T मौजूद है तो AC B।

प्रणाली (5.1) कहलाती है संयुक्त,या व्याख्या करने योग्यअगर इसका कम से कम एक समाधान है। सिस्टम कहा जाता है असंगत,या अघुलनशीलअगर इसका कोई समाधान नहीं है।

,

मैट्रिक्स A को दाईं ओर मुक्त पदों का एक स्तंभ निर्दिष्ट करके बनाया गया है, कहलाता है विस्तारित मैट्रिक्स प्रणाली

प्रणाली की अनुकूलता का प्रश्न (5.1) निम्नलिखित प्रमेय द्वारा हल किया गया है।

क्रोनकर-कैपेली प्रमेय . रैखिक समीकरणों की प्रणाली सुसंगत है यदि और केवल यदि आव्यूहों A और A की रैंक संपाती हो, अर्थात। आर (ए) = आर (ए) = आर।

सिस्टम के समाधान के सेट एम (5.1) के लिए, तीन संभावनाएं हैं:

1) एम = (इस मामले में सिस्टम असंगत है);

2) एम में एक तत्व होता है, यानी। सिस्टम का एक अनूठा समाधान है (इस मामले में सिस्टम को कहा जाता है निश्चित);

3) M में एक से अधिक तत्व होते हैं (तब प्रणाली को कहा जाता है ढुलमुल) तीसरे मामले में, सिस्टम (5.1) में अनंत समाधान हैं।

सिस्टम का एक अनूठा समाधान केवल तभी होता है जब r(A) = n। इस मामले में, समीकरणों की संख्या अज्ञात (mn) की संख्या से कम नहीं है; अगर एम>एन, तो एम-एन समीकरणदूसरों के परिणाम हैं। अगर 0

रैखिक समीकरणों की एक मनमानी प्रणाली को हल करने के लिए, किसी को उन प्रणालियों को हल करने में सक्षम होना चाहिए जिनमें समीकरणों की संख्या अज्ञात की संख्या के बराबर होती है, तथाकथित क्रैमर टाइप सिस्टम:

a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 ,

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2 , (5.3)

... ... ... ... ... ...

a n1 x 1 + a n1 x 2 +... + a nn x n = b n।

सिस्टम (5.3) को निम्न में से किसी एक तरीके से हल किया जाता है: 1) गॉस विधि द्वारा, या अज्ञात को समाप्त करने की विधि द्वारा; 2) क्रैमर के सूत्रों के अनुसार; 3) मैट्रिक्स विधि द्वारा।

उदाहरण 2.12. समीकरणों की प्रणाली की जांच करें और अगर यह संगत है तो इसे हल करें:

5x 1 - x 2 + 2x 3 + x 4 = 7,

2x1 + x2 + 4x3 - 2x4 = 1,

x 1 - 3x 2 - 6x 3 + 5x 4 = 0.

समाधान।हम सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स को लिखते हैं:

 .

आइए हम सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स के रैंक की गणना करें। यह स्पष्ट है कि, उदाहरण के लिए, ऊपरी बाएँ कोने में दूसरे क्रम का माइनर = 7 0; इसमें शामिल तीसरे क्रम के नाबालिग शून्य के बराबर हैं:

इसलिए, सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स की रैंक 2 है, अर्थात। r(A) = 2. विस्तारित मैट्रिक्स A के रैंक की गणना करने के लिए, सीमावर्ती नाबालिग . पर विचार करें

इसलिए, विस्तारित मैट्रिक्स की रैंक r(A) = 3 है। चूंकि r(A) r(A), सिस्टम असंगत है।

मैट्रिक्स विधि एसएलएयू समाधानसमीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए उपयोग किया जाता है जिसमें समीकरणों की संख्या अज्ञात की संख्या से मेल खाती है। निम्न-क्रम प्रणालियों को हल करने के लिए विधि का सबसे अच्छा उपयोग किया जाता है। रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए मैट्रिक्स विधि मैट्रिक्स गुणन के गुणों के अनुप्रयोग पर आधारित है।

इस तरह, दूसरे शब्दों में उलटा मैट्रिक्स विधि,ऐसा कहा जाता है, क्योंकि समाधान सामान्य मैट्रिक्स समीकरण में कम हो जाता है, जिसके समाधान के लिए आपको व्युत्क्रम मैट्रिक्स खोजने की आवश्यकता होती है।

मैट्रिक्स समाधान विधिशून्य से अधिक या उससे कम के सारणिक वाला SLAE इस प्रकार है:

मान लीजिए कि एक SLE (रैखिक समीकरणों की प्रणाली) है एनअज्ञात (कस्टम फ़ील्ड पर):

इसलिए, इसे मैट्रिक्स रूप में अनुवाद करना आसान है:

कुल्हाड़ी = बी, कहाँ पे एप्रणाली का मुख्य मैट्रिक्स है, बीतथा एक्स- मुक्त सदस्यों के कॉलम और सिस्टम के समाधान, क्रमशः:

इस मैट्रिक्स समीकरण को बाईं ओर से गुणा करें ए -1- मैट्रिक्स का उलटा मैट्रिक्स ए: ए -1 (एएक्स) = ए -1 बी।

इसलिये ए -1 ए = ई, साधन, एक्स = ए -1 बी. समीकरण का दाहिना पक्ष प्रारंभिक प्रणाली के समाधान का एक स्तंभ देता है। मैट्रिक्स विधि की प्रयोज्यता के लिए शर्त मैट्रिक्स की गैर-अपक्षरणीयता है ए. इसके लिए एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त यह है कि मैट्रिक्स का निर्धारक ए:

detA≠0.

के लिये रैखिक समीकरणों की सजातीय प्रणाली, अर्थात। अगर वेक्टर बी = 0, विपरीत नियम मानता है: प्रणाली कुल्हाड़ी = 0एक गैर-तुच्छ (अर्थात, शून्य के बराबर नहीं) समाधान केवल तभी होता है जब डीटीए = 0. रैखिक समीकरणों के सजातीय और अमानवीय प्रणालियों के समाधानों के बीच के इस संबंध को कहा जाता है फ्रेडहोम का विकल्प।

इस प्रकार, मैट्रिक्स विधि द्वारा SLAE का समाधान सूत्र के अनुसार बनाया जाता है . या, SLAE समाधान का उपयोग करके पाया जाता है उलटा मैट्रिक्स ए -1.

यह ज्ञात है कि एक वर्ग मैट्रिक्स लेकिनगण एनपर एनएक उलटा मैट्रिक्स है ए -1केवल तभी जब इसका सारणिक शून्येतर हो। इस प्रकार प्रणाली एनके साथ रैखिक बीजीय समीकरण एनअज्ञात को मैट्रिक्स विधि द्वारा तभी हल किया जाता है जब सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य के बराबर न हो।

इस तथ्य के बावजूद कि इस तरह की विधि का उपयोग करने की संभावना पर प्रतिबंध हैं और गुणांक और उच्च-क्रम प्रणालियों के बड़े मूल्यों के लिए कम्प्यूटेशनल कठिनाइयां हैं, इस विधि को कंप्यूटर पर आसानी से लागू किया जा सकता है।

एक अमानवीय SLAE को हल करने का एक उदाहरण।

सबसे पहले, आइए देखें कि अज्ञात SLAE के लिए गुणांक के मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य के बराबर नहीं है।

अब हम पाते हैं गठबंधन मैट्रिक्स, इसे स्थानांतरित करें और इसे उलटा मैट्रिक्स निर्धारित करने के लिए सूत्र में प्रतिस्थापित करें।

हम सूत्र में चर को प्रतिस्थापित करते हैं:

अब हम व्युत्क्रम मैट्रिक्स और मुक्त पदों के कॉलम को गुणा करके अज्ञात पाते हैं।

इसलिए, एक्स = 2; वाई = 1; जेड = 4।

SLAE के सामान्य रूप से मैट्रिक्स रूप में जाते समय, सिस्टम समीकरणों में अज्ञात चर के क्रम से सावधान रहें। उदाहरण के लिए:

इस रूप में न लिखें:

यह आवश्यक है, पहले, सिस्टम के प्रत्येक समीकरण में अज्ञात चरों को क्रमित करना और उसके बाद ही मैट्रिक्स नोटेशन पर आगे बढ़ना:

इसके अलावा, आपको के बजाय अज्ञात चर के पदनाम से सावधान रहने की आवश्यकता है एक्स 1 , एक्स 2 ,…, एक्स एनअन्य पत्र हो सकते हैं। उदाहरण के लिए:

मैट्रिक्स रूप में, हम लिखते हैं:

मैट्रिक्स विधि का उपयोग करके, रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करना बेहतर होता है जिसमें समीकरणों की संख्या अज्ञात चर की संख्या के साथ मेल खाती है और सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य के बराबर नहीं होता है। जब सिस्टम में 3 से अधिक समीकरण होते हैं, तो व्युत्क्रम मैट्रिक्स को खोजने के लिए अधिक कम्प्यूटेशनल प्रयास करना होगा, इसलिए, इस मामले में, गॉस विधि को हल करने के लिए उपयोग करने की सलाह दी जाती है।