ज्यामिति का अध्ययन करते समय, वैक्टर के विषय पर कई प्रश्न उठते हैं। जब वैक्टर के बीच के कोणों को खोजना आवश्यक होता है तो छात्र को विशेष कठिनाइयों का अनुभव होता है।

मूल शर्तें

सदिशों के बीच के कोणों पर विचार करने से पहले, सदिश की परिभाषा और सदिशों के बीच के कोण की अवधारणा से स्वयं को परिचित करना आवश्यक है।

एक वेक्टर एक खंड है जिसमें एक दिशा होती है, यानी एक खंड जिसके लिए इसकी शुरुआत और अंत परिभाषित किया जाता है।

एक समतल पर दो सदिशों के बीच का कोण, जिसका उद्गम उभयनिष्ठ होता है, कोणों से छोटा होता है, जिसके द्वारा किसी एक सदिश को चारों ओर घुमाना आवश्यक होता है। आम बात, जब तक उनकी दिशाएँ मेल नहीं खातीं।

समाधान सूत्र

एक बार जब आप समझ जाते हैं कि एक वेक्टर क्या है और इसका कोण कैसे निर्धारित किया जाता है, तो आप वैक्टर के बीच के कोण की गणना कर सकते हैं। इसका समाधान सूत्र काफी सरल है, और इसके प्रयोग का परिणाम कोण की कोज्या का मान होगा। परिभाषा के अनुसार, यह सदिशों के अदिश गुणनफल के भागफल और उनकी लंबाई के गुणनफल के बराबर होता है।

सदिशों के अदिश गुणनफल को गुणक सदिशों के संगत निर्देशांकों के योग के रूप में गुणा किया जाता है। एक सदिश या उसके मापांक की लंबाई की गणना उसके निर्देशांकों के वर्गों के योग के वर्गमूल के रूप में की जाती है।

कोण की कोज्या का मान प्राप्त करने के बाद, आप कैलकुलेटर का उपयोग करके या उपयोग करके कोण के मान की गणना स्वयं कर सकते हैं त्रिकोणमितीय तालिका.

उदाहरण

जब आप यह समझ लेते हैं कि सदिशों के बीच के कोण की गणना कैसे की जाती है, तो संबंधित समस्या का समाधान सरल और सीधा हो जाता है। एक उदाहरण के रूप में, एक कोण का परिमाण ज्ञात करने की साधारण समस्या पर विचार करें।

सबसे पहले, हल करने के लिए आवश्यक वैक्टरों की लंबाई और उनके स्केलर उत्पाद के मूल्यों की गणना करना अधिक सुविधाजनक होगा। उपरोक्त विवरण का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

प्राप्त मूल्यों को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हुए, हम वांछित कोण के कोसाइन के मूल्य की गणना करते हैं:

यह संख्या पांच सामान्य कोसाइन मानों में से एक नहीं है, इसलिए कोण का मान प्राप्त करने के लिए, आपको एक कैलकुलेटर या ब्रैडिस त्रिकोणमितीय तालिका का उपयोग करना होगा। लेकिन वैक्टर के बीच कोण प्राप्त करने से पहले, अतिरिक्त नकारात्मक चिह्न से छुटकारा पाने के लिए सूत्र को सरल बनाया जा सकता है:

सटीकता बनाए रखने के लिए इस फॉर्म में अंतिम उत्तर छोड़ा जा सकता है, या आप डिग्री में कोण के मान की गणना कर सकते हैं। ब्रैडिस तालिका के अनुसार, इसका मान लगभग 116 डिग्री और 70 मिनट होगा, और कैलकुलेटर 116.57 डिग्री का मान दिखाएगा।

एन-आयामी अंतरिक्ष में कोण गणना

त्रि-आयामी अंतरिक्ष में दो वैक्टरों पर विचार करते समय, यह समझना अधिक कठिन होता है कि हम किस कोण के बारे में बात कर रहे हैं यदि वे एक ही विमान में नहीं हैं। धारणा को सरल बनाने के लिए, आप दो प्रतिच्छेदन खंड खींच सकते हैं जो उनके बीच सबसे छोटा कोण बनाते हैं, और यह वांछित होगा। वेक्टर में तीसरे निर्देशांक की उपस्थिति के बावजूद, वैक्टर के बीच के कोणों की गणना कैसे की जाती है, इसकी प्रक्रिया नहीं बदलेगी। गणना अदिश उत्पादऔर वैक्टर के मॉड्यूल, उनके भागफल का आर्ककोसाइन इस समस्या का उत्तर होगा।

ज्यामिति में, समस्याएँ अक्सर उन रिक्त स्थान के साथ होती हैं जिनमें तीन से अधिक आयाम होते हैं। लेकिन उनके लिए, उत्तर खोजने के लिए एल्गोरिथ्म समान दिखता है।

0 और 180 डिग्री के बीच का अंतर

वैक्टर के बीच कोण की गणना करने के लिए डिज़ाइन की गई समस्या का उत्तर लिखते समय सामान्य गलतियों में से एक यह लिखने का निर्णय है कि वैक्टर समानांतर हैं, अर्थात वांछित कोण 0 या 180 डिग्री निकला। यह उत्तर गलत है।

समाधान के परिणामस्वरूप 0 डिग्री का कोण मान प्राप्त करने के बाद, सही उत्तर वैक्टर को सह-दिशात्मक के रूप में नामित करना होगा, अर्थात वैक्टर की दिशा समान होगी। 180 डिग्री प्राप्त करने की स्थिति में, सदिश विपरीत दिशाओं की प्रकृति के होंगे।

विशिष्ट वैक्टर

ऊपर वर्णित सह-निर्देशित और विपरीत दिशा वाले लोगों के अलावा, वैक्टर के बीच के कोणों को ढूंढकर, विशेष प्रकारों में से एक पाया जा सकता है।

• एक समतल के समानांतर कई सदिशों को समतलीय कहा जाता है।
• वे सदिश जो लंबाई और दिशा में समान होते हैं, समान कहलाते हैं।
• वे सदिश जो दिशा की परवाह किए बिना एक ही सीधी रेखा पर स्थित होते हैं, संरेख कहलाते हैं।
• यदि सदिश की लंबाई शून्य के बराबर हो, अर्थात इसका आरंभ और अंत संपाती हो, तो इसे शून्य कहा जाता है, और यदि यह एक है, तो इसे एक कहा जाता है।

आपके निवेदन पर!

1. हर में तर्कहीनता को खत्म करें:

3. घातीय समीकरण को हल करें:

4. असमानता को हल करें:

अंकगणित वर्गमूलकेवल एक गैर-ऋणात्मक संख्या से मौजूद होता है और हमेशा एक गैर-ऋणात्मक संख्या द्वारा व्यक्त किया जाता है, तो यह असमानता सभी के लिए सही होगी एक्स, शर्त को संतुष्ट करना: 2-х≥0। यहाँ से हमें प्राप्त होता है: x≤2। हम उत्तर को संख्यात्मक अंतराल के रूप में लिखते हैं: (-∞; 2]।

5. असमानता को हल करें: 7 x> -1।

परिभाषा से: एक घातांक फ़ंक्शन को y \u003d a x के रूप का एक फ़ंक्शन कहा जाता है, जहां a > 0, a 1, x कोई भी संख्या है। घातांकीय फलन का परिसर सभी धनात्मक संख्याओं का समुच्चय है, क्योंकि किसी भी घात के लिए धनात्मक संख्या धनात्मक होगी। इसलिए किसी भी x के लिए 7 x >0, और इससे भी अधिक 7 x > -1, यानी। असमानता सभी x (-∞; +∞) के लिए सत्य है।

6. उत्पाद में कनवर्ट करें:

हम ज्याओं के योग के लिए सूत्र लागू करते हैं: दो कोणों की ज्याओं का योग इन कोणों के आधे योग की ज्या के गुणनफल के दोगुने के बराबर होता है और उनके आधे-अंतर की कोज्या।

8. यह ज्ञात है कि f(x) = -15x+3. x, f(x)=0 के किन मानों के लिए?

हम f (x) के बजाय संख्या 0 को प्रतिस्थापित करते हैं और समीकरण को हल करते हैं:

15x+3=0 -15x=-3 ⇒ x=3:15 ⇒ x = 1/5.

11 . पहली और दूसरी मिश्रधातु में तांबा और जस्ता का अनुपात 5:2 और 3:4 है। तांबे और जस्ता की समान सामग्री के साथ 28 किलो नई मिश्र धातु प्राप्त करने के लिए प्रत्येक मिश्र धातु का कितना भाग लेना चाहिए।

हम समझते हैं कि नई मिश्र धातु में 14 किलो तांबा और 14 किलो जस्ता होगा। इसी तरह की सभी समस्याओं को एक ही तरह से हल किया जाता है: वे एक समीकरण बनाते हैं, बाईं ओर और सही भागजो समान मात्रा में पदार्थ (चलो ताँबा लेते हैं), अलग-अलग तरीकों से लिखा गया है (के आधार पर विशिष्ट स्थितिकार्य)। हमारे पास 14 किलो तांबे की नई मिश्र धातु इन दोनों मिश्र धातुओं से तांबे से बनी होगी। माना प्रथम मिश्रधातु का द्रव्यमान एक्सकिग्रा है, तो दूसरी मिश्रधातु का द्रव्यमान है ( 28 वें)किलोग्राम। पहली मिश्रधातु में तांबे के 5 भाग और जस्ता के 2 भाग हैं, इसलिए तांबा (5/7) x किग्रा होगा। किसी संख्या का भिन्न ज्ञात करने के लिए, आपको इस भिन्न को दी गई संख्या से गुणा करना होगा। दूसरी मिश्रधातु में ताँबे के 3 भाग तथा जिंक के 4 भाग अर्थात्। तांबे में (3/7) (28 के) किलो से होता है। इसलिए:

12. समीकरण को हल करें: लॉग 2 8 x = -1।

लघुगणक की परिभाषा के अनुसार:

8 x = 2 -1 ⇒ 2 3x = 2 -1 ⇒ 3x = -1 ⇒ x = -1/3।

15. फलन f(x) = -ln cosx 2 का अवकलज ज्ञात कीजिए।

20. एक व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए:

किसी संख्या का मापांक केवल एक गैर-ऋणात्मक संख्या के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।यदि मॉड्यूल चिह्न के नीचे ऋणात्मक व्यंजक है, तो मॉड्यूल कोष्ठक खोलते समय सभी पदों को विपरीत चिह्नों के साथ लिखा जाता है।

22. असमानताओं की प्रणाली को हल करें:

सबसे पहले, हम प्रत्येक असमानता को अलग से हल करते हैं।

ध्यान दें कि इन कार्यों के लिए सबसे छोटी सामान्य अवधि होगी 2π,इसलिए, बाएं और दाएं दोनों को जिम्मेदार ठहराया गया 2πn. उत्तर सी)।

23. फ़ंक्शन y=3-|x-3| . के ग्राफ से घिरी हुई आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए और सीधी रेखा y=0.

इस फ़ंक्शन के ग्राफ़ में एक बिंदु से निकलने वाली दो अर्ध-रेखाएँ होंगी। आइए रेखाओं के समीकरण लिखें। x≥3 के लिए हम मॉड्यूलर ब्रैकेट का विस्तार करते हैं और प्राप्त करते हैं: y=3-x+3 ⇒ वाई = 6-एक्स। x . के लिए<3 получаем функцию: y=3+x-3 ⇒ वाई = एक्स.

किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ और x-अक्ष के एक खंड से घिरा त्रिभुज एक ऐसी आकृति है जिसका क्षेत्रफल ज्ञात करना चाहिए। बेशक, हम यहां बिना इंटीग्रल के करेंगे। हम एक त्रिभुज का क्षेत्रफल उसके आधार के आधे गुणनफल और इस आधार तक खींची गई ऊँचाई के रूप में पाते हैं। हमारा आधार 6 इकाई खंडों के बराबर है, और इस आधार तक खींची गई ऊंचाई 3 इकाई खंडों के बराबर है। क्षेत्रफल 9 वर्ग मीटर होगा। इकाइयों

24. बिंदु A(1; 4), B(-2; 3), C(4; 2) पर शीर्षों वाले त्रिभुज के कोण A की कोज्या ज्ञात कीजिए।

किसी सदिश के सिरों के निर्देशांकों द्वारा दिए गए निर्देशांकों को खोजने के लिए, आपको अंत के निर्देशांकों से शुरुआत के निर्देशांकों को घटाना होगा।

कोण A सदिशों द्वारा बनता है:

25. एक बॉक्स में 23 गेंदें हैं: लाल, सफेद और काली। लाल गेंदों की तुलना में 11 गुना अधिक सफेद गेंदें हैं। कितनी काली गेंदें?

इसे बॉक्स में रहने दें एक्सलाल गेंदें। फिर गोरे 11xगेंदें

लाल और सफेद x+11x= 12xगेंदें इसलिए, काली गेंदें 23-12 घंटेचूंकि यह गेंदों की एक पूर्णांक संख्या है, इसलिए एकमात्र संभावित मान है एक्स = 1. यह निकला: 1 लाल गेंद, 11 सफेद गेंद और 11 काली गेंदें।

अनुदेश

मान लीजिए कि एक बिंदु से प्लॉट किए गए विमान पर दो गैर-शून्य वैक्टर दिए गए हैं: निर्देशांक के साथ वेक्टर ए (x1, y1) बी निर्देशांक (x2, y2) के साथ। कोनाउनके बीच के रूप में दर्शाया गया है। कोण का अंश माप ज्ञात करने के लिए, आपको अदिश गुणनफल की परिभाषा का उपयोग करना होगा।

दो शून्येतर सदिशों का अदिश गुणनफल एक संख्या होती है जो इन सदिशों की लंबाई और उनके बीच के कोण की कोज्या के गुणनफल के बराबर होती है, अर्थात (A,B)=|A|*|B|*cos( ). अब आपको इससे कोण की कोज्या व्यक्त करने की आवश्यकता है: cos(θ)=(A,B)/(|A|*|B|)।

अदिश उत्पाद को सूत्र (A,B)=x1*x2+y1*y2 का उपयोग करके भी पाया जा सकता है, क्योंकि दो गैर-शून्य वैक्टर का उत्पाद संबंधित वैक्टर के उत्पादों के योग के बराबर होता है। यदि शून्येतर सदिशों का अदिश गुणन शून्य के बराबर है, तो सदिश लंबवत हैं (उनके बीच का कोण 90 डिग्री है) और आगे की गणनाओं को छोड़ा जा सकता है। यदि दो सदिशों का अदिश गुणनफल धनात्मक है, तो इनके बीच का कोण वैक्टरतीव्र है, और यदि ऋणात्मक है, तो कोण अधिक है।

अब सूत्रों का उपयोग करके वैक्टर ए और बी की लंबाई की गणना करें: |A|=√(x1²+y1²), |B|=√(x2²+y2²)। एक वेक्टर की लंबाई की गणना उसके निर्देशांक के वर्गों के योग के वर्गमूल के रूप में की जाती है।

चरण 2 में प्राप्त कोण के सूत्र में अदिश गुणनफल और सदिशों की लंबाई के पाए गए मानों को प्रतिस्थापित करें, अर्थात्, cos(θ)=(x1*x2+y1*y2)/(√(x1²+) y1²)+√(x2²+y2²))। अब, का मान जानने के लिए, के बीच के कोण का डिग्री माप ज्ञात करना वैक्टरआपको ब्रैडिस तालिका का उपयोग करने या इससे लेने की आवश्यकता है: θ=arccos(cos(θ))।

यदि सदिश A और B त्रिविमीय स्थान में दिए गए हैं और उनके निर्देशांक (x1, y1, z1) और (x2, y2, z2) हैं, तो कोण की कोज्या ज्ञात करते समय एक और निर्देशांक जोड़ा जाता है। इस मामले में कोज्या: cos(θ)=(x1*x2+y1*y2+z1*z2)/(√(x1²+y1²+z1²)+√(x2²+y2²+z2²))।

उपयोगी सलाह

यदि दो वैक्टर एक बिंदु से प्लॉट नहीं किए जाते हैं, तो समानांतर अनुवाद द्वारा उनके बीच के कोण को खोजने के लिए, आपको इन वैक्टरों की शुरुआत को जोड़ना होगा।
दो सदिशों के बीच का कोण 180 डिग्री से अधिक नहीं हो सकता।

स्रोत:

• वैक्टर के बीच कोण की गणना कैसे करें
• रेखा और समतल के बीच का कोण

भौतिकी और रैखिक बीजगणित में, अनुप्रयुक्त और सैद्धांतिक दोनों समस्याओं को हल करने के लिए, वैक्टर के बीच के कोण की गणना करना आवश्यक है। यदि आप अदिश उत्पाद के सार को स्पष्ट रूप से नहीं समझते हैं और इस उत्पाद के परिणामस्वरूप क्या मूल्य प्रकट होता है, तो यह प्रतीत होने वाला सरल कार्य बहुत सी कठिनाइयों का कारण बन सकता है।

अनुदेश

एक रेखीय सदिश समष्टि में सदिशों के बीच का कोण वह न्यूनतम कोण होता है जिस पर सदिशों का कोडनिर्देशन प्राप्त होता है। वैक्टर में से एक को इसके शुरुआती बिंदु के आसपास ले जाया जाता है। परिभाषा से, यह स्पष्ट हो जाता है कि कोण का मान 180 डिग्री से अधिक नहीं हो सकता (चरण देखें)।

इस मामले में, यह बिल्कुल सही माना जाता है कि एक रैखिक स्थान में, जब सदिशों को समानांतर में स्थानांतरित किया जाता है, तो उनके बीच का कोण नहीं बदलता है। इसलिए, कोण की विश्लेषणात्मक गणना के लिए, वैक्टर का स्थानिक अभिविन्यास मायने नहीं रखता है।

डॉट उत्पाद का परिणाम एक संख्या है, अन्यथा एक अदिश। आगे की गणना में त्रुटियों को रोकने के लिए याद रखें (यह जानना महत्वपूर्ण है)। विमान पर या वैक्टर के स्थान पर स्थित स्केलर उत्पाद के सूत्र का रूप है (चरण के लिए आंकड़ा देखें)।

यदि वैक्टर अंतरिक्ष में स्थित हैं, तो उसी तरह से गणना करें। केवल एक चीज लाभांश में शब्द की उपस्थिति होगी - यह आवेदन के लिए शब्द है, अर्थात। वेक्टर का तीसरा घटक। तदनुसार, वैक्टर के मॉड्यूल की गणना करते समय, जेड घटक को भी ध्यान में रखा जाना चाहिए, फिर अंतरिक्ष में स्थित वैक्टर के लिए, अंतिम अभिव्यक्ति को निम्नानुसार रूपांतरित किया जाता है (चरण 6 में चित्र देखें)।

एक वेक्टर एक दी गई दिशा वाला एक रेखा खंड है। वैक्टर के बीच के कोण का एक भौतिक अर्थ होता है, उदाहरण के लिए, जब एक अक्ष पर एक वेक्टर के प्रक्षेपण की लंबाई का पता लगाया जाता है।

अनुदेश

डॉट उत्पाद गणना का उपयोग करते हुए दो गैर-शून्य वैक्टर के बीच का कोण। परिभाषा के अनुसार, उत्पाद लंबाई और उनके बीच के कोण के उत्पाद के बराबर है। दूसरी ओर, निर्देशांक (x1; y1) और b निर्देशांक (x2; y2) के साथ दो वैक्टर a के लिए आंतरिक उत्पाद की गणना की जाती है: ab = x1x2 + y1y2। इन दो तरीकों में से, डॉट उत्पाद वैक्टर के बीच कोण बनाना आसान है।

वैक्टर की लंबाई या मॉड्यूल खोजें। हमारे सदिश a और b के लिए: |a| = (x1² + y1²)^1/2, |b| = (x2² + y2²)^1/2.

सदिशों के निर्देशांकों को युग्मों में गुणा करके उनका आंतरिक गुणनफल ज्ञात कीजिए: ab = x1x2 + y1y2। डॉट उत्पाद की परिभाषा से ab = |a|*|b|*cos α, जहां α वैक्टर के बीच का कोण है। तब हम पाते हैं कि x1x2 + y1y2 = |a|*|b|*cos α। तब cos α = (x1x2 + y1y2)/(|a|*|b|) = (x1x2 + y1y2)/((x1² + y1²)(x2² + y2²))^1/2।

ब्रैडिस टेबल का उपयोग करके कोण α खोजें।

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टिप्पणी

अदिश उत्पाद वैक्टर की लंबाई और उनके बीच के कोण की एक अदिश विशेषता है।

विमान ज्यामिति में बुनियादी अवधारणाओं में से एक है। एक तल एक सतह है जिसके लिए कथन सत्य है - इसके दो बिंदुओं को जोड़ने वाली कोई भी सीधी रेखा पूरी तरह से इसी सतह से संबंधित होती है। विमानों को आमतौर पर ग्रीक अक्षरों α, β, γ, आदि द्वारा दर्शाया जाता है। दो तल हमेशा एक सीधी रेखा में प्रतिच्छेद करते हैं जो दोनों तलों से संबंधित होती है।

अनुदेश

के चौराहे पर बनने वाले अर्ध-तलों α और β पर विचार करें। एक सीधी रेखा a और दो अर्ध-तलों α और β द्वारा एक विकर्ण कोण द्वारा निर्मित कोण। इस मामले में, चेहरे द्वारा एक डायहेड्रल कोण बनाने वाले आधे-तल, जिस रेखा के साथ विमान प्रतिच्छेद करते हैं, उसे डायहेड्रल कोण का किनारा कहा जाता है।

डायहेड्रल कोण, एक समतल कोण की तरह, डिग्री में। एक विकर्ण कोण बनाने के लिए इसके फलक पर एक मनमाना बिंदु O चुनना आवश्यक है।दोनों में, दो किरणें बिंदु O से होकर खींची जाती हैं। परिणामी कोण AOB को विकर्ण कोण a का रैखिक कोण कहा जाता है।

तो, मान लीजिए कि सदिश V = (a, b, c) और तल A x + B y + C z = 0 दिया गया है, जहाँ A, B और C प्रसामान्य N के निर्देशांक हैं। तब कोण की कोज्या वैक्टर V और N के बीच α है: cos α \u003d (a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) (A² + B² + C²))।

डिग्री या रेडियन में कोण के मान की गणना करने के लिए, आपको परिणामी अभिव्यक्ति से कोसाइन के विपरीत फ़ंक्शन की गणना करने की आवश्यकता है, अर्थात। आर्ककोसाइन: α \u003d arscos ((a + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) (A² + B² + C²)))।

उदाहरण: ढूंढें कोनाके बीच वेक्टर(5, -3, 8) और विमान, सामान्य समीकरण 2 x - 5 y + 3 z = 0 द्वारा दिया गया है। हल: समतल N = (2, -5, 3) के प्रसामान्य सदिश के निर्देशांक लिखिए। उपरोक्त सूत्र में सभी ज्ञात मानों को रखें: cos α = (10 + 15 + 24)/√3724 ≈ 0.8 → α = 36.87°।

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एक समीकरण लिखिए और उसमें से कोज्या अलग कीजिए। एक सूत्र के अनुसार, सदिशों का अदिश गुणन उनकी लंबाई के एक दूसरे से गुणा और कोज्या के बराबर होता है कोण, और दूसरी ओर - प्रत्येक अक्ष के साथ निर्देशांक के उत्पादों का योग। दोनों सूत्रों की बराबरी करते हुए, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि कोज्या कोणनिर्देशांक के उत्पादों के योग के अनुपात के बराबर होना चाहिए वैक्टर की लंबाई के उत्पाद के लिए।

परिणामी समीकरण लिखिए। ऐसा करने के लिए, हमें दोनों वैक्टरों को नामित करने की आवश्यकता है। मान लीजिए कि वे 3D कार्टेशियन सिस्टम में दिए गए हैं और उनके शुरुआती बिंदु ग्रिड में हैं। पहले वेक्टर की दिशा और परिमाण बिंदु (X₁,Y₁,Z₁), दूसरे - (X₂,Y₂,Z₂) द्वारा दिया जाएगा, और कोण को अक्षर द्वारा दर्शाया जाएगा। फिर प्रत्येक वैक्टर की लंबाई हो सकती है, उदाहरण के लिए, पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार प्रत्येक समन्वय अक्ष पर उनके अनुमानों द्वारा गठित: (X₁² + Y₁² + Z₁²) और √(X₂² + Y₂² + Z₂²)। पिछले चरण में तैयार किए गए सूत्र में इन अभिव्यक्तियों को प्रतिस्थापित करें और आपको समानता मिलती है: cos(γ) = (X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂) / (√(X₁² + Y₁² + Z₁²) * (X₂² + Y₂² + Z₂²))।

इस तथ्य का प्रयोग करें कि वर्ग का योग साइनसऔर सह साइनससे कोणएक मान हमेशा एक देता है। इसलिए, सह के लिए पिछले चरण में जो प्राप्त किया गया था उसे बढ़ाकर साइनसएकता से चुकता और घटाया जाता है, और फिर

वैक्टर का डॉट उत्पाद

हम वैक्टर से निपटना जारी रखते हैं। पहले पाठ में डमी के लिए वेक्टरहमने एक वेक्टर की अवधारणा, वैक्टर के साथ क्रियाएं, वेक्टर निर्देशांक और वैक्टर के साथ सबसे सरल समस्याओं पर विचार किया है। यदि आप पहली बार किसी खोज इंजन से इस पृष्ठ पर आए हैं, तो मैं उपरोक्त प्रारंभिक लेख को पढ़ने की अत्यधिक अनुशंसा करता हूं, क्योंकि सामग्री को आत्मसात करने के लिए, आपको मेरे द्वारा उपयोग किए जाने वाले शब्दों और संकेतन में निर्देशित होने की आवश्यकता है, वैक्टर का बुनियादी ज्ञान होना चाहिए। और प्राथमिक समस्याओं को हल करने में सक्षम हो। यह पाठ विषय की तार्किक निरंतरता है, और इसमें मैं विस्तार से विशिष्ट कार्यों का विश्लेषण करूंगा जो वैक्टर के स्केलर उत्पाद का उपयोग करते हैं। यह एक बहुत ही जरूरी काम है।. उदाहरणों को छोड़ने की कोशिश न करें, वे एक उपयोगी बोनस के साथ हैं - अभ्यास आपको कवर की गई सामग्री को समेकित करने और विश्लेषणात्मक ज्यामिति की सामान्य समस्याओं को हल करने में "अपना हाथ प्राप्त करने" में मदद करेगा।

सदिशों को जोड़ना, सदिश को किसी संख्या से गुणा करना…. यह सोचना भोला होगा कि गणितज्ञ कुछ और नहीं लेकर आए हैं। पहले से मानी गई कार्रवाइयों के अलावा, वैक्टर के साथ कई अन्य ऑपरेशन भी हैं, अर्थात्: वैक्टर का डॉट उत्पाद, वैक्टर का क्रॉस उत्पादतथा वैक्टर का मिश्रित उत्पाद. वैक्टर के अदिश उत्पाद हमें स्कूल से परिचित हैं, अन्य दो उत्पाद पारंपरिक रूप से उच्च गणित के पाठ्यक्रम से संबंधित हैं। विषय सरल हैं, कई समस्याओं को हल करने के लिए एल्गोरिथ्म रूढ़िबद्ध और समझने योग्य है। एकमात्र वस्तु। जानकारी की एक अच्छी मात्रा है, इसलिए हर चीज में महारत हासिल करने और एक बार में हल करने की कोशिश करना अवांछनीय है। यह डमी के लिए विशेष रूप से सच है, मेरा विश्वास करो, लेखक बिल्कुल गणित से चिकोटिलो की तरह महसूस नहीं करना चाहता है। खैर, गणित से नहीं, निश्चित रूप से, या तो =) अधिक तैयार छात्र सामग्री का उपयोग चुनिंदा रूप से, एक निश्चित अर्थ में, लापता ज्ञान को "प्राप्त" करने के लिए कर सकते हैं, आपके लिए मैं एक हानिरहित काउंट ड्रैकुला बनूंगा =)

आइए अंत में थोड़ा दरवाजा खोलें और देखें कि क्या होता है जब दो वैक्टर एक दूसरे से मिलते हैं…।

वैक्टर के अदिश उत्पाद की परिभाषा।
अदिश उत्पाद के गुण। विशिष्ट कार्य

डॉट उत्पाद की अवधारणा

पहले के बारे में वैक्टर के बीच का कोण. मुझे लगता है कि हर कोई सहज रूप से समझता है कि वैक्टर के बीच का कोण क्या है, लेकिन बस मामले में, थोड़ा और। मुक्त गैर-शून्य वैक्टर पर विचार करें और . यदि हम इन वैक्टरों को एक मनमाना बिंदु से स्थगित करते हैं, तो हमें एक तस्वीर मिलती है जिसे कई पहले ही मानसिक रूप से प्रस्तुत कर चुके हैं:

मैं मानता हूँ, यहाँ मैंने स्थिति का वर्णन केवल समझ के स्तर पर किया है। यदि आपको वैक्टर के बीच के कोण की सख्त परिभाषा की आवश्यकता है, तो कृपया पाठ्यपुस्तक देखें, लेकिन व्यावहारिक कार्यों के लिए, हमें, सिद्धांत रूप में, इसकी आवश्यकता नहीं है। इसके अलावा यहाँ और आगे, मैं कभी-कभी शून्य वैक्टर को उनके कम व्यावहारिक महत्व के कारण अनदेखा कर दूंगा। मैंने साइट के उन्नत आगंतुकों के लिए विशेष रूप से आरक्षण किया है, जो निम्नलिखित में से कुछ कथनों की सैद्धांतिक अपूर्णता के लिए मुझे फटकार सकते हैं।

समावेशी 0 से 180 डिग्री (0 से रेडियन तक) के मान ले सकते हैं। विश्लेषणात्मक रूप से, इस तथ्य को दोहरी असमानता के रूप में लिखा गया है: या (रेडियन में)।

साहित्य में, कोण चिह्न को अक्सर छोड़ दिया जाता है और बस लिखा जाता है।

परिभाषा:दो सदिशों का अदिश गुणन इन सदिशों की लंबाई और उनके बीच के कोण की कोज्या के गुणनफल के बराबर एक NUMBER है:

अब यह काफी सख्त परिभाषा है।

हम आवश्यक जानकारी पर ध्यान केंद्रित करते हैं:

पद:अदिश उत्पाद को या बस द्वारा दर्शाया जाता है।

ऑपरेशन का परिणाम एक NUMBER . है: एक संख्या प्राप्त करने के लिए किसी सदिश को सदिश से गुणा करें। वास्तव में, यदि सदिशों की लंबाइयाँ संख्याएँ हैं, कोण की कोज्या एक संख्या है, तो उनका गुणनफल संख्या भी होगी।

वार्म-अप के कुछ उदाहरण:

उदाहरण 1

समाधान:हम सूत्र का उपयोग करते हैं . इस मामले में:

उत्तर:

कोसाइन मान में पाया जा सकता है त्रिकोणमितीय तालिका. मैं इसे प्रिंट करने की सलाह देता हूं - टॉवर के लगभग सभी वर्गों में इसकी आवश्यकता होगी और कई बार इसकी आवश्यकता होगी।

विशुद्ध रूप से गणितीय दृष्टिकोण से, अदिश उत्पाद आयामहीन है, अर्थात, इस मामले में, परिणाम केवल एक संख्या है और बस इतना ही। भौतिकी की समस्याओं के दृष्टिकोण से, अदिश उत्पाद का हमेशा एक निश्चित भौतिक अर्थ होता है, अर्थात, परिणाम के बाद, एक या किसी अन्य भौतिक इकाई को इंगित किया जाना चाहिए। बल के कार्य की गणना का विहित उदाहरण किसी भी पाठ्यपुस्तक में पाया जा सकता है (सूत्र बिल्कुल एक डॉट उत्पाद है)। एक बल का कार्य जूल में मापा जाता है, इसलिए, उत्तर काफी विशेष रूप से लिखा जाएगा, उदाहरण के लिए,।

उदाहरण 2

खोजें अगर , और सदिशों के बीच का कोण है।

यह आत्म-समाधान के लिए एक उदाहरण है, इसका उत्तर पाठ के अंत में है।

वैक्टर और डॉट उत्पाद मूल्य के बीच का कोण

उदाहरण 1 में, अदिश गुणनफल धनात्मक निकला, और उदाहरण 2 में, यह ऋणात्मक निकला। आइए जानें कि अदिश उत्पाद का चिन्ह किस पर निर्भर करता है। आइए हमारे सूत्र को देखें: . गैर-शून्य वैक्टर की लंबाई हमेशा सकारात्मक होती है: इसलिए संकेत केवल कोसाइन के मूल्य पर निर्भर हो सकता है।

टिप्पणी: नीचे दी गई जानकारी की बेहतर समझ के लिए, मैनुअल में कोसाइन ग्राफ का अध्ययन करना बेहतर है रेखांकन और कार्य गुण. देखें कि कोसाइन खंड पर कैसे व्यवहार करता है।

जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, वैक्टर के बीच का कोण भिन्न हो सकता है , और निम्नलिखित मामले संभव हैं:

1) अगर कोनावैक्टर के बीच मसालेदार: (0 से 90 डिग्री से), तब , तथा डॉट उत्पाद सकारात्मक होगा सह-निर्देशन किया, तो उनके बीच के कोण को शून्य माना जाता है, और अदिश गुणनफल भी धनात्मक होगा। चूंकि , सूत्र सरलीकृत है: .

2) अगर कोनावैक्टर के बीच बेवकूफ: (90 से 180 डिग्री से), तब , और तदनुसार, डॉट उत्पाद नकारात्मक है: . विशेष मामला: यदि वैक्टर विपरीत दिशा में निर्देशित, तो उनके बीच का कोण माना जाता है तैनात: (180 डिग्री)। अदिश उत्पाद भी ऋणात्मक है, क्योंकि

विलोम कथन भी सत्य हैं:

1) यदि , तो इन सदिशों के बीच का कोण न्यून है। वैकल्पिक रूप से, वैक्टर कोडायरेक्शनल हैं।

2) यदि , तो इन सदिशों के बीच का कोण अधिक है। वैकल्पिक रूप से, वैक्टर को विपरीत दिशा में निर्देशित किया जाता है।

लेकिन तीसरा मामला विशेष रुचि का है:

3) अगर कोनावैक्टर के बीच सीधा: (90 डिग्री) तब और डॉट उत्पाद शून्य है: . विलोम भी सत्य है: यदि , तो । कॉम्पैक्ट स्टेटमेंट निम्नानुसार तैयार किया गया है: दो सदिशों का अदिश गुणनफल शून्य होता है यदि और केवल यदि दिए गए सदिश लंबकोणीय हों. लघु गणित संकेतन:

! टिप्पणी : दोहराना गणितीय तर्क की नींव: दो तरफा तार्किक परिणाम आइकन आमतौर पर "अगर और केवल तब", "अगर और केवल अगर" पढ़ा जाता है। जैसा कि आप देख सकते हैं, तीर दोनों दिशाओं में निर्देशित होते हैं - "इससे यह अनुसरण करता है, और इसके विपरीत - इससे यह इस प्रकार है।" वैसे, वन-वे फॉलो आइकन से क्या अंतर है? चिह्न का दावा उतना हीकि "इससे इसका अनुसरण होता है", और यह तथ्य नहीं है कि इसका उल्टा सच है। उदाहरण के लिए: , लेकिन हर जानवर पैंथर नहीं है, इसलिए इस मामले में आइकन का उपयोग नहीं किया जा सकता है। उसी समय, आइकन के बजाय कर सकते हैंएक तरफा आइकन का उपयोग करें। उदाहरण के लिए, समस्या को हल करते समय, हमने पाया कि हमने निष्कर्ष निकाला है कि वेक्टर ऑर्थोगोनल हैं: - ऐसा रिकॉर्ड सही होगा, और उससे भी ज्यादा उपयुक्त होगा .

तीसरा मामला बहुत व्यावहारिक महत्व का है।, क्योंकि यह आपको यह जांचने की अनुमति देता है कि सदिश लंबकोणीय हैं या नहीं। हम इस समस्या को पाठ के दूसरे भाग में हल करेंगे।

डॉट उत्पाद गुण

आइए उस स्थिति पर लौटते हैं जब दो वैक्टर सह-निर्देशन किया. इस स्थिति में, उनके बीच का कोण शून्य होता है, और अदिश उत्पाद सूत्र निम्न रूप लेता है: .

यदि किसी सदिश को स्वयं से गुणा किया जाए तो क्या होता है? यह स्पष्ट है कि वेक्टर स्वयं के साथ सह-निर्देशित है, इसलिए हम उपरोक्त सरलीकृत सूत्र का उपयोग करते हैं:

नंबर कहा जाता है अदिश वर्गवेक्टर, और के रूप में निरूपित हैं।

इस तरह, एक वेक्टर का अदिश वर्ग दिए गए वेक्टर की लंबाई के वर्ग के बराबर होता है:

इस समानता से, आप एक सदिश की लंबाई की गणना के लिए एक सूत्र प्राप्त कर सकते हैं:

हालांकि यह अस्पष्ट लगता है, लेकिन पाठ के कार्य सब कुछ अपनी जगह पर रख देंगे। समस्याओं को हल करने के लिए हमें भी चाहिए डॉट उत्पाद गुण.

मनमाना वैक्टर और किसी भी संख्या के लिए, निम्नलिखित गुण सत्य हैं:

1) - विस्थापन योग्य या विनिमेयअदिश उत्पाद कानून।

2) - वितरण या विभाजित करनेवालाअदिश उत्पाद कानून। सीधे शब्दों में कहें, तो आप कोष्ठक खोल सकते हैं।

3) - संयोजन या जोड़नेवालाअदिश उत्पाद कानून। स्थिरांक को अदिश उत्पाद से निकाला जा सकता है।

अक्सर, सभी प्रकार की संपत्तियां (जिन्हें साबित करने की भी आवश्यकता होती है!) छात्रों द्वारा अनावश्यक कचरा के रूप में माना जाता है, जिसे केवल याद रखने और परीक्षा के तुरंत बाद सुरक्षित रूप से भूल जाने की आवश्यकता होती है। ऐसा लगता है कि यहां क्या महत्वपूर्ण है, हर कोई पहली कक्षा से पहले से ही जानता है कि उत्पाद कारकों के क्रमपरिवर्तन से नहीं बदलता है:। मुझे आपको चेतावनी देनी चाहिए, उच्च गणित में इस तरह के दृष्टिकोण से चीजों को गड़बड़ाना आसान है। इसलिए, उदाहरण के लिए, कम्यूटेटिव प्रॉपर्टी के लिए मान्य नहीं है बीजीय आव्यूह. यह सच नहीं है वैक्टर का क्रॉस उत्पाद. इसलिए, यह समझने के लिए कि क्या किया जा सकता है और क्या नहीं, यह समझने के लिए कि उच्च गणित के दौरान आपको मिलने वाले किसी भी गुण में तल्लीन करना बेहतर होगा।

उदाहरण 3

.

समाधान:सबसे पहले, आइए वेक्टर के साथ स्थिति को स्पष्ट करें। यह सब किस बारे मे है? सदिशों का योग और एक सुपरिभाषित सदिश है, जिसे द्वारा दर्शाया जाता है। वैक्टर के साथ क्रियाओं की ज्यामितीय व्याख्या लेख में पाई जा सकती है डमी के लिए वेक्टर. एक वेक्टर के साथ एक ही अजमोद वैक्टर का योग है और .

अतः शर्त के अनुसार अदिश गुणनफल ज्ञात करना आवश्यक है। सिद्धांत रूप में, आपको कार्य सूत्र लागू करने की आवश्यकता है , लेकिन परेशानी यह है कि हम वैक्टर की लंबाई और उनके बीच के कोण को नहीं जानते हैं। लेकिन स्थिति वैक्टर के लिए समान पैरामीटर प्रदान करती है, इसलिए हम दूसरी तरफ जाएंगे:

(1) हम सदिशों के व्यंजक प्रतिस्थापित करते हैं।

(2) हम बहुपदों के गुणन के नियम के अनुसार कोष्ठक खोलते हैं, लेख में एक अशिष्ट जीभ जुड़वाँ पाया जा सकता है जटिल आंकड़ेया एक भिन्नात्मक-तर्कसंगत कार्य का एकीकरण. मैं खुद को नहीं दोहराऊंगा =) वैसे, अदिश उत्पाद की वितरण संपत्ति हमें कोष्ठक खोलने की अनुमति देती है। हमें अधिकार है।

(3) पहले और अंतिम शब्दों में, हम वैक्टर के अदिश वर्गों को संक्षेप में लिखते हैं: . दूसरे पद में, हम अदिश उत्पाद की परिवर्तनशीलता का उपयोग करते हैं: .

(4) यहाँ समान शब्द हैं: .

(5) पहले पद में, हम अदिश वर्ग सूत्र का उपयोग करते हैं, जिसका उल्लेख बहुत पहले नहीं किया गया था। अंतिम पद में, क्रमशः, वही काम करता है: . दूसरा शब्द मानक सूत्र के अनुसार विस्तारित किया गया है .

(6) इन शर्तों को प्रतिस्थापित करें , और सावधानीपूर्वक अंतिम गणना करें।

उत्तर:

डॉट उत्पाद का ऋणात्मक मान इस तथ्य को बताता है कि सदिशों के बीच का कोण अधिक है।

कार्य विशिष्ट है, यहाँ एक स्वतंत्र समाधान के लिए एक उदाहरण है:

उदाहरण 4

सदिशों का अदिश गुणनफल ज्ञात कीजिए और यदि यह ज्ञात हो कि .

अब एक और सामान्य कार्य, केवल नए वेक्टर लंबाई सूत्र के लिए। यहां पदनाम थोड़ा ओवरलैप करेंगे, इसलिए स्पष्टता के लिए, मैं इसे एक अलग पत्र के साथ फिर से लिखूंगा:

उदाहरण 5

वेक्टर की लंबाई पाएं यदि .

समाधानइस प्रकार होगा:

(1) हम सदिश व्यंजक प्रदान करते हैं।

(2) हम लंबाई सूत्र का उपयोग करते हैं: , जबकि हमारे पास सदिश "ve" के रूप में एक पूर्णांक व्यंजक है।

(3) हम योग के वर्ग के लिए स्कूल के सूत्र का उपयोग करते हैं। ध्यान दें कि यह यहां कैसे काम करता है: - वास्तव में, यह अंतर का वर्ग है, और वास्तव में, ऐसा ही है। जो लोग चाहते हैं वे वैक्टर को स्थानों में पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं: - यह शर्तों के पुनर्व्यवस्था तक एक ही चीज़ निकला।

(4) निम्नलिखित पिछली दो समस्याओं से पहले से ही परिचित है।

उत्तर:

चूंकि हम लंबाई के बारे में बात कर रहे हैं, इसलिए आयाम - "इकाइयों" को इंगित करना न भूलें।

उदाहरण 6

वेक्टर की लंबाई पाएं यदि .

यह स्वयं का उदाहरण है। पाठ के अंत में पूर्ण समाधान और उत्तर।

हम अदिश उत्पाद से उपयोगी चीजों को निचोड़ना जारी रखते हैं। आइए हमारे सूत्र को फिर से देखें . अनुपात के नियम से, हम वैक्टर की लंबाई को बाईं ओर के हर पर रीसेट करते हैं:

आइए भागों को स्वैप करें:

इस सूत्र का अर्थ क्या है? यदि दो सदिशों की लंबाई और उनके अदिश गुणनफल ज्ञात हैं, तो इन सदिशों के बीच के कोण की कोज्या की गणना करना संभव है, और फलस्वरूप, स्वयं कोण।

क्या अदिश उत्पाद एक संख्या है? संख्या। क्या वेक्टर लंबाई संख्याएं हैं? अंक। तो भिन्न भी एक संख्या है। और यदि कोण की कोज्या ज्ञात हो: , फिर व्युत्क्रम फ़ंक्शन का उपयोग करके कोण को स्वयं खोजना आसान है: .

उदाहरण 7

सदिशों के बीच का कोण ज्ञात कीजिए और , यदि यह ज्ञात हो कि ।

समाधान:हम सूत्र का उपयोग करते हैं:

गणना के अंतिम चरण में, एक तकनीक का उपयोग किया गया था - हर में तर्कहीनता का उन्मूलन। अपरिमेयता को समाप्त करने के लिए, मैंने अंश और हर को से गुणा किया।

तो अगर , फिर:

व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों को पाया जा सकता है त्रिकोणमितीय तालिका. हालांकि ऐसा कम ही होता है। विश्लेषणात्मक ज्यामिति की समस्याओं में, कुछ अनाड़ी भालू जैसे अधिक बार दिखाई देते हैं, और कोण का मान लगभग एक कैलकुलेटर का उपयोग करके पाया जाना है। जी दरअसल इस तस्वीर को हम बार-बार देखेंगे.

उत्तर:

फिर से, आयाम निर्दिष्ट करना न भूलें - रेडियन और डिग्री। व्यक्तिगत रूप से, जानबूझकर "सभी प्रश्नों को हटाने" के लिए, मैं दोनों को इंगित करना पसंद करता हूं (जब तक, निश्चित रूप से, शर्त के अनुसार, केवल रेडियन में या केवल डिग्री में उत्तर प्रस्तुत करना आवश्यक है)।

अब आप अपने दम पर अधिक कठिन कार्य का सामना करने में सक्षम होंगे:

उदाहरण 7*

वैक्टर की लंबाई और उनके बीच का कोण दिया गया है। सदिशों के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

कार्य इतना कठिन नहीं है जितना कि बहु-मार्ग।
आइए समाधान एल्गोरिदम का विश्लेषण करें:

1) शर्त के अनुसार, सदिशों और के बीच का कोण ज्ञात करना आवश्यक है, इसलिए आपको सूत्र का उपयोग करने की आवश्यकता है .

2) हम अदिश गुणनफल पाते हैं (उदाहरण संख्या 3, 4 देखें)।

3) वेक्टर की लंबाई और वेक्टर की लंबाई पाएं (उदाहरण संख्या 5, 6 देखें)।

4) समाधान का अंत उदाहरण संख्या 7 के साथ मेल खाता है - हम संख्या जानते हैं, जिसका अर्थ है कि कोण को स्वयं खोजना आसान है:

पाठ के अंत में संक्षिप्त समाधान और उत्तर।

पाठ का दूसरा खंड उसी डॉट उत्पाद के लिए समर्पित है। निर्देशांक। यह पहले भाग की तुलना में और भी आसान होगा।

वैक्टर का डॉट उत्पाद,
एक ऑर्थोनॉर्मल आधार में निर्देशांक द्वारा दिया गया

उत्तर:

कहने की जरूरत नहीं है, निर्देशांक से निपटना ज्यादा सुखद है।

उदाहरण 14

सदिशों का अदिश गुणनफल ज्ञात कीजिए और यदि

यह स्वयं का उदाहरण है। यहां आप ऑपरेशन की सहयोगीता का उपयोग कर सकते हैं, यानी गिनती न करें, लेकिन तुरंत स्केलर उत्पाद से तीन गुना लें और इसे अंतिम से गुणा करें। पाठ के अंत में समाधान और उत्तर।

पैराग्राफ के अंत में, वेक्टर की लंबाई की गणना करने का एक उत्तेजक उदाहरण:

उदाहरण 15

वैक्टर की लंबाई खोजें , यदि

समाधान:फिर से पिछले खंड की विधि खुद ही सुझाती है: लेकिन एक और तरीका है:

आइए वेक्टर खोजें:

और इसकी लंबाई तुच्छ सूत्र के अनुसार:

अदिश उत्पाद यहाँ बिल्कुल भी प्रासंगिक नहीं है!

वेक्टर की लंबाई की गणना करते समय यह व्यवसाय से बाहर कैसे होता है:
विराम। वेक्टर की स्पष्ट लंबाई संपत्ति का लाभ क्यों न लें? वेक्टर की लंबाई के बारे में क्या कहा जा सकता है? यह वेक्टर वेक्टर से 5 गुना लंबा है। दिशा विपरीत है, लेकिन इससे कोई फर्क नहीं पड़ता, क्योंकि हम लंबाई के बारे में बात कर रहे हैं। जाहिर है, वेक्टर की लंबाई उत्पाद के बराबर होती है मापांकसंख्या प्रति वेक्टर लंबाई:
- मॉड्यूल का चिन्ह संख्या के संभावित माइनस को "खाता है"।

इस तरह:

उत्तर:

निर्देशांक द्वारा दिए गए सदिशों के बीच के कोण की कोज्या का सूत्र

अब हमारे पास पूरी जानकारी है ताकि सदिशों के बीच के कोण के कोज्या के लिए पहले से व्युत्पन्न सूत्र वेक्टर निर्देशांक के संदर्भ में व्यक्त करें:

समतल सदिशों के बीच के कोण की कोज्याऔर , ऑर्थोनॉर्मल आधार में दिया गया है, सूत्र द्वारा व्यक्त किया जाता है:
.

अंतरिक्ष सदिशों के बीच के कोण की कोज्या, ऑर्थोनॉर्मल आधार में दिया गया है, सूत्र द्वारा व्यक्त किया जाता है:

उदाहरण 16

एक त्रिभुज के तीन शीर्ष दिए गए हैं। खोजें (शीर्ष कोण)।

समाधान:शर्त के अनुसार, ड्राइंग की आवश्यकता नहीं है, लेकिन फिर भी:

आवश्यक कोण को हरे चाप से चिह्नित किया गया है। कोण के स्कूल पदनाम को तुरंत याद करें: - इस पर विशेष ध्यान दें मध्यमअक्षर - यह उस कोण का शीर्ष है जिसकी हमें आवश्यकता है। संक्षिप्तता के लिए इसे सरलता से भी लिखा जा सकता है।

ड्राइंग से यह बिल्कुल स्पष्ट है कि त्रिभुज का कोण वैक्टर के बीच के कोण से मेल खाता है और दूसरे शब्दों में: .

यह सीखना वांछनीय है कि मानसिक रूप से किए गए विश्लेषण को कैसे किया जाए।

आइए वैक्टर खोजें:

आइए अदिश उत्पाद की गणना करें:

और वैक्टर की लंबाई:

कोण की कोज्या:

यह कार्य का यह क्रम है कि मैं डमी को सलाह देता हूं। अधिक उन्नत पाठक "एक पंक्ति में" गणना लिख ​​सकते हैं:

यहां "खराब" कोसाइन मान का एक उदाहरण दिया गया है। परिणामी मान अंतिम नहीं है, इसलिए हर में अतार्किकता से छुटकारा पाने का कोई मतलब नहीं है।

आइए कोण खोजें:

यदि आप ड्राइंग को देखते हैं, तो परिणाम काफी प्रशंसनीय है। कोण को जांचने के लिए एक प्रोट्रैक्टर से भी मापा जा सकता है। मॉनिटर कोटिंग को नुकसान न पहुंचाएं =)

उत्तर:

जवाब में यह मत भूलिए कि त्रिभुज के कोण के बारे में पूछा(और वैक्टर के बीच के कोण के बारे में नहीं), सटीक उत्तर इंगित करना न भूलें: और कोण का अनुमानित मूल्य: कैलकुलेटर के साथ मिला।

जिन लोगों ने इस प्रक्रिया का आनंद लिया है, वे कोणों की गणना कर सकते हैं, और सुनिश्चित कर सकते हैं कि विहित समानता सत्य है

उदाहरण 17

एक त्रिभुज अंतरिक्ष में उसके शीर्षों के निर्देशांकों द्वारा दिया जाता है। भुजाओं के बीच का कोण ज्ञात कीजिए तथा

यह स्वयं का उदाहरण है। पाठ के अंत में पूर्ण समाधान और उत्तर

एक छोटा अंतिम खंड अनुमानों के लिए समर्पित होगा, जिसमें अदिश उत्पाद भी "शामिल" है:

एक वेक्टर पर एक वेक्टर का प्रक्षेपण। निर्देशांक अक्षों पर वेक्टर प्रक्षेपण।
वेक्टर दिशा कोसाइन

वैक्टर पर विचार करें और:

हम वेक्टर को वेक्टर पर प्रोजेक्ट करते हैं, इसके लिए हम वेक्टर की शुरुआत और अंत से छोड़ देते हैं लंबवतप्रति वेक्टर (हरी बिंदीदार रेखाएं)। कल्पना कीजिए कि प्रकाश की किरणें एक सदिश पर लंबवत रूप से गिर रही हैं। तब खंड (लाल रेखा) वेक्टर की "छाया" होगी। इस मामले में, वेक्टर पर वेक्टर का प्रक्षेपण खंड की लंबाई है। यानी प्रोजेक्शन एक नंबर है।

इस NUMBER को इस प्रकार दर्शाया गया है: , "बड़ा सदिश" एक सदिश को दर्शाता है के जोप्रोजेक्ट, "छोटा सबस्क्रिप्ट वेक्टर" वेक्टर को दर्शाता है परजिसे प्रक्षेपित किया जाता है।

प्रविष्टि स्वयं इस तरह पढ़ती है: "वेक्टर का प्रक्षेपण" ए "वेक्टर पर" होना ""।

क्या होगा यदि वेक्टर "बी" "बहुत छोटा" है? हम वेक्टर "बी" युक्त एक सीधी रेखा खींचते हैं। और वेक्टर "ए" पहले से ही प्रक्षेपित किया जाएगा वेक्टर की दिशा में "होना", बस - वेक्टर "बी" युक्त एक सीधी रेखा पर। ऐसा ही होगा यदि सदिश "ए" को तीसवें राज्य में अलग रखा गया है - यह अभी भी वेक्टर "बी" वाली रेखा पर आसानी से प्रक्षेपित किया जाएगा।

अगर कोणवैक्टर के बीच मसालेदार(जैसा कि चित्र में है), तब

यदि वैक्टर ओर्थोगोनल, तब (प्रक्षेपण एक ऐसा बिंदु है जिसका आयाम शून्य माना जाता है)।

अगर कोणवैक्टर के बीच बेवकूफ(आकृति में, मानसिक रूप से वेक्टर के तीर को पुनर्व्यवस्थित करें), फिर (समान लंबाई, लेकिन ऋण चिह्न के साथ लिया गया)।

इन वैक्टर को एक बिंदु से अलग रखें:

जाहिर है, एक वेक्टर को स्थानांतरित करते समय, इसका प्रक्षेपण नहीं बदलता है

दो सदिशों के बीच का कोण, :

यदि दो सदिशों के बीच का कोण न्यूनकोण है, तो उनका डॉट गुणनफल धनात्मक होता है; यदि सदिशों के बीच का कोण अधिक है, तो इन सदिशों का अदिश गुणन ऋणात्मक होता है। दो शून्येतर सदिशों का अदिश गुणन शून्य होता है यदि और केवल यदि ये सदिश लंबकोणीय हों।

व्यायाम।वैक्टर और के बीच का कोण खोजें

समाधान।वांछित कोण की कोज्या

16. सीधी रेखाओं, एक सीधी रेखा और एक तल के बीच के कोण की गणना करना

रेखा और समतल के बीच का कोणइस रेखा को प्रतिच्छेद करना और इसके लंबवत नहीं इस तल पर रेखा और इसके प्रक्षेपण के बीच का कोण है।

एक रेखा और एक तल के बीच के कोण का निर्धारण हमें यह निष्कर्ष निकालने की अनुमति देता है कि एक रेखा और एक तल के बीच का कोण दो प्रतिच्छेद करने वाली रेखाओं के बीच का कोण है: स्वयं रेखा और विमान पर इसका प्रक्षेपण। इसलिए, एक रेखा और एक तल के बीच का कोण एक न्यून कोण होता है।

एक लंबवत रेखा और एक विमान के बीच के कोण को बराबर माना जाता है, और समानांतर रेखा और एक विमान के बीच के कोण को या तो बिल्कुल भी निर्धारित नहीं किया जाता है, या इसके बराबर माना जाता है।

69. सीधी रेखाओं के बीच के कोण की गणना।

अंतरिक्ष में दो सीधी रेखाओं के बीच के कोण की गणना करने की समस्या को उसी तरह हल किया जाता है जैसे समतल (§ 32) में। रेखाओं के बीच के कोण . द्वारा निरूपित करें मैं 1 और मैं 2 , और से होकर - दिशा सदिशों के बीच का कोण एक तथा बी ये सीधी रेखाएँ।

तो अगर

90° (चित्र 206.6), तो = 180° - । यह स्पष्ट है कि दोनों ही स्थितियों में समानता cos = |cos | सत्य है। सूत्र द्वारा (1) § 20 हमारे पास है

फलस्वरूप,

मान लीजिए कि रेखाएँ उनके विहित समीकरणों द्वारा दी गई हैं

फिर रेखाओं के बीच के कोण को सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

यदि पंक्तियों में से एक (या दोनों) गैर-विहित समीकरणों द्वारा दी गई है, तो कोण की गणना करने के लिए, आपको इन रेखाओं के दिशा वैक्टर के निर्देशांक खोजने होंगे, और फिर सूत्र (1) का उपयोग करना होगा।

17. समांतर रेखाएं, समांतर रेखाओं पर प्रमेय

परिभाषा।समतल में दो रेखाएँ कहलाती हैं समानांतरयदि उनके पास सामान्य बिंदु नहीं हैं।

तीन आयामों में दो रेखाएँ कहलाती हैं समानांतरयदि वे एक ही तल में स्थित हैं और उनके कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं हैं।

दो वैक्टर के बीच का कोण।

डॉट उत्पाद की परिभाषा से:

.

दो सदिशों की लंबकोणीयता की स्थिति:

दो वैक्टर के लिए कोलीनियरिटी की स्थिति:

.

परिभाषा 5 से अनुसरण करता है - . वास्तव में, किसी संख्या द्वारा सदिश के गुणनफल की परिभाषा से, यह निम्नानुसार है। इसलिए, सदिश समानता नियम के आधार पर, हम लिखते हैं , , जिसका अर्थ है . लेकिन सदिश एक संख्या से सदिश के गुणन से उत्पन्न सदिश सदिश के संरेखीय होता है।

वेक्टर-से-वेक्टर प्रक्षेपण:

.

उदाहरण 4. दिए गए अंक , , , .

अदिश उत्पाद ज्ञात कीजिए।

समाधान. हम उनके निर्देशांकों द्वारा दिए गए सदिशों के अदिश गुणनफल के सूत्र से पाते हैं। क्यों कि

, ,

उदाहरण 5दिए गए अंक , , , .

प्रक्षेपण खोजें।

समाधान. क्यों कि

, ,

प्रक्षेपण सूत्र के आधार पर, हमारे पास है

.

उदाहरण 6दिए गए अंक , , , .

वैक्टर और के बीच के कोण का पता लगाएं।

समाधान. ध्यान दें कि वैक्टर

, ,

संरेख नहीं हैं, क्योंकि उनके निर्देशांक समानुपाती नहीं हैं:

.

ये सदिश भी लंबवत नहीं हैं, क्योंकि इनका डॉट गुणनफल .

हमे पता करने दें,

कोना सूत्र से ज्ञात कीजिए:

.

उदाहरण 7निर्धारित करें कि कौन से वैक्टर और समरेख।

समाधान. संरेखता के मामले में, सदिशों के संगत निर्देशांक और आनुपातिक होना चाहिए, अर्थात्:

.

यहाँ से और .

उदाहरण 8. वेक्टर के किस मूल्य पर निर्धारित करें तथा लंबवत हैं।

समाधान. वेक्टर और लंबवत हैं यदि उनका डॉट उत्पाद शून्य है। इस स्थिति से हम प्राप्त करते हैं: . वह है, ।

उदाहरण 9. पाना , यदि , , ।

समाधान. अदिश उत्पाद के गुणों के कारण, हमारे पास है:

उदाहरण 10. सदिशों के बीच का कोण ज्ञात कीजिए और , कहाँ और - इकाई सदिश और सदिशों के बीच का कोण 120° के बराबर है।

समाधान. हमारे पास है: , ,

अंत में हमारे पास है: .

5 बी. वेक्टर उत्पाद.

परिभाषा 21.वेक्टर कलासदिश से सदिश को सदिश या , निम्नलिखित तीन स्थितियों द्वारा परिभाषित किया जाता है:

1) सदिश का मॉड्यूल है , जहां सदिशों के बीच का कोण है और , अर्थात। .

यह इस प्रकार है कि क्रॉस उत्पाद का मापांक संख्यात्मक रूप से वैक्टर और पक्षों पर बने समांतर चतुर्भुज के क्षेत्र के बराबर होता है।

2) सदिश प्रत्येक सदिश और ( ; ) के लम्बवत् होता है, अर्थात्। सदिशों पर बने समांतर चतुर्भुज के तल के लंबवत् और .

3) सदिश को इस प्रकार निर्देशित किया जाता है कि यदि इसके सिरे से देखा जाए, तो सदिश से सदिश की ओर सबसे छोटा मोड़ वामावर्त होगा (सदिश , , दायां त्रिक बनाते हैं)।

वैक्टर के बीच कोणों की गणना कैसे करें?

ज्यामिति का अध्ययन करते समय, वैक्टर के विषय पर कई प्रश्न उठते हैं। जब वैक्टर के बीच के कोणों को खोजना आवश्यक होता है तो छात्र को विशेष कठिनाइयों का अनुभव होता है।

मूल शर्तें

सदिशों के बीच के कोणों पर विचार करने से पहले, सदिश की परिभाषा और सदिशों के बीच के कोण की अवधारणा से स्वयं को परिचित करना आवश्यक है।

एक वेक्टर एक खंड है जिसमें एक दिशा होती है, यानी एक खंड जिसके लिए इसकी शुरुआत और अंत परिभाषित किया जाता है।

एक समतल पर दो सदिशों के बीच का कोण, जिसका एक उभयनिष्ठ उद्गम होता है, कोणों से छोटा होता है, जिसके द्वारा किसी एक सदिश को एक उभयनिष्ठ बिंदु के चारों ओर उस स्थिति में ले जाना आवश्यक होता है, जहां उनकी दिशाएं मेल खाती हैं।

समाधान सूत्र

एक बार जब आप समझ जाते हैं कि एक वेक्टर क्या है और इसका कोण कैसे निर्धारित किया जाता है, तो आप वैक्टर के बीच के कोण की गणना कर सकते हैं। इसका समाधान सूत्र काफी सरल है, और इसके प्रयोग का परिणाम कोण की कोज्या का मान होगा। परिभाषा के अनुसार, यह सदिशों के अदिश गुणनफल के भागफल और उनकी लंबाई के गुणनफल के बराबर होता है।

सदिशों के अदिश गुणनफल को गुणक सदिशों के संगत निर्देशांकों के योग के रूप में गुणा किया जाता है। एक सदिश या उसके मापांक की लंबाई की गणना उसके निर्देशांकों के वर्गों के योग के वर्गमूल के रूप में की जाती है।

कोण के कोज्या का मान प्राप्त करने के बाद, आप कैलकुलेटर का उपयोग करके या त्रिकोणमितीय तालिका का उपयोग करके स्वयं कोण के मान की गणना कर सकते हैं।

उदाहरण

जब आप यह समझ लेते हैं कि सदिशों के बीच के कोण की गणना कैसे की जाती है, तो संबंधित समस्या का समाधान सरल और सीधा हो जाता है। एक उदाहरण के रूप में, एक कोण का परिमाण ज्ञात करने की साधारण समस्या पर विचार करें।

सबसे पहले, हल करने के लिए आवश्यक वैक्टरों की लंबाई और उनके स्केलर उत्पाद के मूल्यों की गणना करना अधिक सुविधाजनक होगा। उपरोक्त विवरण का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

प्राप्त मूल्यों को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हुए, हम वांछित कोण के कोसाइन के मूल्य की गणना करते हैं:

यह संख्या पांच सामान्य कोसाइन मानों में से एक नहीं है, इसलिए कोण का मान प्राप्त करने के लिए, आपको एक कैलकुलेटर या ब्रैडिस त्रिकोणमितीय तालिका का उपयोग करना होगा। लेकिन वैक्टर के बीच कोण प्राप्त करने से पहले, अतिरिक्त नकारात्मक चिह्न से छुटकारा पाने के लिए सूत्र को सरल बनाया जा सकता है:

सटीकता बनाए रखने के लिए इस फॉर्म में अंतिम उत्तर छोड़ा जा सकता है, या आप डिग्री में कोण के मान की गणना कर सकते हैं। ब्रैडिस तालिका के अनुसार, इसका मान लगभग 116 डिग्री और 70 मिनट होगा, और कैलकुलेटर 116.57 डिग्री का मान दिखाएगा।

एन-आयामी अंतरिक्ष में कोण गणना

त्रि-आयामी अंतरिक्ष में दो वैक्टरों पर विचार करते समय, यह समझना अधिक कठिन होता है कि हम किस कोण के बारे में बात कर रहे हैं यदि वे एक ही विमान में नहीं हैं। धारणा को सरल बनाने के लिए, आप दो प्रतिच्छेदन खंड खींच सकते हैं जो उनके बीच सबसे छोटा कोण बनाते हैं, और यह वांछित होगा। वेक्टर में तीसरे निर्देशांक की उपस्थिति के बावजूद, वैक्टर के बीच के कोणों की गणना कैसे की जाती है, इसकी प्रक्रिया नहीं बदलेगी। वैक्टर के स्केलर उत्पाद और मॉड्यूल की गणना करें, उनके भागफल के आर्ककोसाइन और इस समस्या का उत्तर होगा।

ज्यामिति में, समस्याएँ अक्सर उन रिक्त स्थान के साथ होती हैं जिनमें तीन से अधिक आयाम होते हैं। लेकिन उनके लिए, उत्तर खोजने के लिए एल्गोरिथ्म समान दिखता है।

0 और 180 डिग्री के बीच का अंतर

वैक्टर के बीच कोण की गणना करने के लिए डिज़ाइन की गई समस्या का उत्तर लिखते समय सामान्य गलतियों में से एक यह लिखने का निर्णय है कि वैक्टर समानांतर हैं, अर्थात वांछित कोण 0 या 180 डिग्री निकला। यह उत्तर गलत है।

समाधान के परिणामस्वरूप 0 डिग्री का कोण मान प्राप्त करने के बाद, सही उत्तर वैक्टर को सह-दिशात्मक के रूप में नामित करना होगा, अर्थात वैक्टर की दिशा समान होगी। 180 डिग्री प्राप्त करने की स्थिति में, सदिश विपरीत दिशाओं की प्रकृति के होंगे।

विशिष्ट वैक्टर

ऊपर वर्णित सह-निर्देशित और विपरीत दिशा वाले लोगों के अलावा, वैक्टर के बीच के कोणों को ढूंढकर, विशेष प्रकारों में से एक पाया जा सकता है।

• एक समतल के समानांतर कई सदिशों को समतलीय कहा जाता है।
• वे सदिश जो लंबाई और दिशा में समान होते हैं, समान कहलाते हैं।
• वे सदिश जो दिशा की परवाह किए बिना एक ही सीधी रेखा पर स्थित होते हैं, संरेख कहलाते हैं।
• यदि सदिश की लंबाई शून्य के बराबर हो, अर्थात इसका आरंभ और अंत संपाती हो, तो इसे शून्य कहा जाता है, और यदि यह एक है, तो इसे एक कहा जाता है।

वैक्टर के बीच कोण कैसे खोजें?

कृपया मेरी मदद करें! मुझे सूत्र पता है लेकिन मैं इसे समझ नहीं सकता
वेक्टर ए (8; 10; 4) वेक्टर बी (5; -20; -10)

अलेक्जेंडर टिटोव

उनके निर्देशांक द्वारा दिए गए सदिशों के बीच का कोण मानक एल्गोरिथम के अनुसार पाया जाता है। सबसे पहले आपको वैक्टर ए और बी के स्केलर उत्पाद को खोजने की जरूरत है: (ए, बी) = x1x2 + y1y2 + z1z2। हम यहां इन सदिशों के निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करते हैं और विचार करते हैं:
(ए, बी) = 8*5 + 10*(-20) = 4*(-10) = 40 - 200 - 40 = -200।
अगला, हम प्रत्येक वैक्टर की लंबाई निर्धारित करते हैं। किसी सदिश की लंबाई या मापांक उसके निर्देशांकों के वर्गों के योग का वर्गमूल होता है:
|ए| = (x1^2 + y1^2 + z1^2) का मूल = (8^2 + 10^2 + 4^2) का मूल = (64 + 100 + 16) का मूल = 180 का मूल = 6 का मूल 5
|बी| = (x2^2 + y2^2 + z2^2) का वर्गमूल = (5^2 + (-20)^2 + (-10)^2) का वर्गमूल = (25 + 400 + 100 का वर्गमूल) ) = 525 में से वर्गमूल = 21 में से 5 मूल।
हम इन लंबाई को गुणा करते हैं। हमें 105 में से 30 जड़ें मिलती हैं।
और अंत में, हम सदिशों के अदिश गुणनफल को इन सदिशों की लंबाई के गुणनफल से विभाजित करते हैं। हमें -200 / (105 में से 30 मूल) मिलते हैं या
- (105 के 4 मूल) / 63. यह सदिशों के बीच के कोण की कोज्या है। और कोण स्वयं इस संख्या के चाप कोज्या के बराबर है
f \u003d आर्ककोस (105 की -4 जड़ें) / 63।
अगर मैं सही ढंग से गिना।

वैक्टर के निर्देशांक से वैक्टर के बीच कोण की साइन की गणना कैसे करें

मिखाइल तकाचेव

हम इन वैक्टरों को गुणा करते हैं। उनका डॉट उत्पाद इन वैक्टरों की लंबाई और उनके बीच के कोण के कोसाइन के उत्पाद के बराबर है।
कोण हमारे लिए अज्ञात है, लेकिन निर्देशांक ज्ञात हैं।
आइए इसे गणितीय रूप से इस प्रकार लिखें।
मान लीजिए, दिए गए सदिश a(x1;y1) और b(x2;y2)
फिर

ए*बी=|ए|*|बी|*cosA

CosA=a*b/|a|*|b|

हम बहस करते है।
a*b-सदिशों का गुणनफल इन सदिशों के निर्देशांकों के संगत निर्देशांकों के गुणनफल के योग के बराबर होता है, अर्थात x1*x2+y1*y2 के बराबर

|a|*|b|-वेक्टर लंबाई का गुणनफल √((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2) के बराबर है।

तो सदिशों के बीच के कोण की कोज्या है:

CosA=(x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2)

किसी कोण की कोज्या ज्ञात करके हम उसकी ज्या की गणना कर सकते हैं। आइए चर्चा करें कि इसे कैसे करें:

यदि किसी कोण की कोज्या धनात्मक है, तो यह कोण 1 या 4 तिमाहियों में होता है, इसलिए इसकी ज्या या तो धनात्मक होती है या ऋणात्मक। लेकिन चूँकि सदिशों के बीच का कोण 180 डिग्री से कम या उसके बराबर है, तो इसकी ज्या धनात्मक होती है। हम इसी तरह तर्क देते हैं यदि कोसाइन ऋणात्मक है।

SinA=√(1-cos^2A)=√(1-((x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+( y2)^2))^2)

यह बात है)))) सौभाग्य यह पता लगा रहा है)))

दिमित्री लेविशचेव

तथ्य यह है कि सीधे साइन करना असंभव है, यह सच नहीं है।
सूत्र के अलावा:
(a,b)=|a|*|b|*cos A
यह भी है:
||=|ए|*|बी|*पाप ए
यानी आप अदिश उत्पाद के बजाय वेक्टर उत्पाद का मॉड्यूल ले सकते हैं।