वर्गमूल कैसे जोड़ें। जड़ सूत्र। जड़ गुण। जड़ों को कैसे गुणा करें? उदाहरण

विषय के बारे में वर्गमूलगणित पाठ्यक्रम के स्कूली पाठ्यक्रम में अनिवार्य है। द्विघात समीकरणों को हल करते समय आप उनके बिना नहीं कर सकते। और बाद में न केवल जड़ों को निकालना, बल्कि उनके साथ अन्य क्रियाएं करना भी आवश्यक हो जाता है। उनमें से काफी जटिल हैं: घातांक, गुणा और भाग। लेकिन काफी सरल भी हैं: घटाव और जड़ों का जोड़। वैसे, वे पहली नज़र में ही ऐसे लगते हैं। त्रुटियों के बिना उन्हें निष्पादित करना किसी ऐसे व्यक्ति के लिए हमेशा आसान नहीं होता है जो अभी-अभी उनसे परिचित होना शुरू कर रहा है।

गणितीय जड़ क्या है?

यह क्रिया घातांक के विरोध में उठी। गणित दो विपरीत संक्रियाओं की उपस्थिति मानता है। जोड़ने के लिए घटाव है। गुणन विभाजन का विरोध करता है। डिग्री की विपरीत क्रिया संबंधित जड़ का निष्कर्षण है।

यदि घातांक 2 है, तो मूल वर्ग होगा। यह स्कूली गणित में सबसे आम है। इसका कोई संकेत भी नहीं है कि यह वर्गाकार है, अर्थात संख्या 2 इसे नहीं दी गई है। इस संकारक (कट्टरपंथी) का गणितीय अंकन चित्र में दिखाया गया है।

वर्णित क्रिया से, इसकी परिभाषा सुचारू रूप से चलती है। एक निश्चित संख्या का वर्गमूल निकालने के लिए, आपको यह पता लगाना होगा कि मूलांक का व्यंजक स्वयं से गुणा करने पर क्या देगा। यह संख्या वर्गमूल होगी। यदि हम इसे गणितीय रूप से लिखते हैं, तो हमें निम्नलिखित मिलते हैं: x * x \u003d x 2 \u003d y, जिसका अर्थ है y \u003d x।

उनके साथ क्या कार्रवाई की जा सकती है?

इसके मूल में, जड़ एक भिन्नात्मक शक्ति है जिसमें अंश में एक इकाई होती है। और भाजक कुछ भी हो सकता है। उदाहरण के लिए, वर्गमूल का मान दो है। इसलिए, सभी क्रियाएं जो डिग्री के साथ की जा सकती हैं, वे भी जड़ों के लिए मान्य होंगी।

और इन कार्यों के लिए उनकी समान आवश्यकताएं हैं। यदि गुणा, भाग और घातांक छात्रों के लिए कठिनाइयों का सामना नहीं करते हैं, तो जड़ों का जोड़, साथ ही उनका घटाव, कभी-कभी भ्रम पैदा करता है। और सभी क्योंकि आप रूट के संकेत को देखे बिना इन कार्यों को करना चाहते हैं। और यहीं से गलतियां शुरू होती हैं।

जोड़ और घटाव के नियम क्या हैं?

पहले आपको दो स्पष्ट "नहीं" याद रखने की आवश्यकता है:

• जड़ों का जोड़ और घटाव करना असंभव है, जैसा कि अभाज्य संख्याओं के साथ होता है, अर्थात योग के मूल भावों को एक चिह्न के नीचे लिखना और उनके साथ गणितीय संक्रिया करना असंभव है;
• आप अलग-अलग घातांक, जैसे वर्ग और घन के साथ जड़ों को जोड़ और घटा नहीं सकते।

पहले प्रतिबंध का एक उदाहरण उदाहरण: 6 + √10 √16 लेकिन √(6 + 10) = √16.

दूसरे मामले में, खुद को जड़ों को सरल बनाने के लिए खुद को सीमित करना बेहतर है। और उत्तर में उनकी राशि छोड़ दें।

अब नियमों के लिए

1. समान जड़ों को खोजें और समूहित करें। यानी जिनके पास रेडिकल के तहत न केवल समान संख्याएं हैं, बल्कि उनके पास स्वयं एक संकेतक है।
2. पहली क्रिया द्वारा जड़ों को एक समूह में जोड़ने का कार्य करें। इसे लागू करना आसान है, क्योंकि आपको केवल उन मूल्यों को जोड़ना होगा जो रेडिकल से पहले आते हैं।
3. जड़ों को उन शब्दों में निकालें जिनमें मूलांक अभिव्यक्ति एक पूर्ण वर्ग बनाती है। दूसरे शब्दों में, कट्टरपंथी के संकेत के तहत कुछ भी न छोड़ें।
4. मूल भावों को सरल कीजिए। ऐसा करने के लिए, आपको उन्हें अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करना होगा और देखना होगा कि क्या वे किसी संख्या का वर्ग देते हैं। यह स्पष्ट है कि जब वर्गमूल की बात आती है तो यह सच है। जब घातांक तीन या चार हो, तो अभाज्य गुणनखंडों को घन या संख्या की चौथी घात अवश्य देनी चाहिए।
5. रेडिकल के निशान के नीचे से एक कारक निकालें जो एक पूर्णांक शक्ति देता है।
6. देखें कि क्या समान शब्द फिर से दिखाई देते हैं। यदि हाँ, तो दूसरा चरण फिर से करें।

ऐसी स्थिति में जहां कार्य की आवश्यकता नहीं है सही मूल्यरूट, इसकी गणना कैलकुलेटर पर की जा सकती है। अनंत दशमलव, जिसे इसकी विंडो में हाइलाइट किया जाएगा, गोल किया जाएगा। अधिकतर यह सौवें तक किया जाता है। और फिर दशमलव भिन्नों के लिए सभी ऑपरेशन करें।

जड़ों को जोड़ने के तरीके के बारे में यह सारी जानकारी है। नीचे दिए गए उदाहरण उपरोक्त को स्पष्ट करेंगे।

पहला काम

भावों के मूल्य की गणना करें:

ए) 2 + 3√32 + ½ 128 - 6√18;

बी) 75 - √147 + √48 - 1/5 √300;

ग) 275 - 10√11 + 2√99 + 396।

a) यदि आप उपरोक्त एल्गोरिथम का पालन करते हैं, तो आप देख सकते हैं कि इस उदाहरण में पहले दो कार्यों के लिए कुछ भी नहीं है। लेकिन आप कुछ मूल भावों को सरल बना सकते हैं।

उदाहरण के लिए, कारक 32 को दो गुणनखंड 2 और 16 में विभाजित करें; 18, 9 और 2 के गुणनफल के बराबर होगा; 128, 2 बटा 64 है। इसे देखते हुए, व्यंजक इस प्रकार लिखा जाएगा:

2 + 3√(2 * 16) + ½ (2 * 64) - 6 (2 * 9)।

अब आपको मूल चिह्न के नीचे से उन कारकों को निकालने की आवश्यकता है जो संख्या का वर्ग देते हैं। यह है 16=4 2 , 9=3 2 , 64=8 2 । अभिव्यक्ति रूप लेगी:

2 + 3 * 4√2 + ½ * 8 √2 - 6 * 3√2।

हमें लेखन को थोड़ा सरल करने की जरूरत है। इसके लिए, गुणांकों को जड़ के चिह्नों से पहले गुणा किया जाता है:

√2 + 12√2 + 4 √2 - 12√2.

इस अभिव्यक्ति में, सभी शब्द समान निकले। इसलिए, उन्हें बस मोड़ने की जरूरत है। उत्तर होगा: 5√2।

बी) पिछले उदाहरण की तरह, जड़ों का जोड़ उनके सरलीकरण से शुरू होता है। मूल भाव 75, 147, 48 और 300 को निम्नलिखित युग्मों द्वारा दर्शाया जाएगा: 5 और 25, 3 और 49, 3 और 16, 3 और 100। उनमें से प्रत्येक की एक संख्या है जिसे मूल चिह्न के नीचे से निकाला जा सकता है। :

5√5 - 7√3 + 4√3 - 1/5 * 10√3.

सरलीकरण के बाद, उत्तर है: 5√5 - 5√3। इसे इस रूप में छोड़ा जा सकता है, लेकिन सामान्य कारक 5 को ब्रैकेट से बाहर करना बेहतर है: 5 (√5 - √3)।

ग) और फिर से गुणनखंडन: 275 = 11 * 25, 99 = 11 * 9, 396 = 11 * 36. मूल चिह्न को निकालने के बाद, हमारे पास है:

5√11 - 10√11 + 2 * 3√11 + 6√11। समान पदों को कम करने के बाद, हमें परिणाम मिलता है: 7√11।

भिन्नात्मक उदाहरण

√(45/4) - √20 - 5√(1/18) - 1/6 √245 + √(49/2).

निम्नलिखित संख्याओं को गुणनखंड करने की आवश्यकता होगी: 45 = 5 * 9, 20 = 4 * 5, 18 = 2 * 9, 245 = 5 * 49। इसी तरह पहले से विचार किए गए लोगों के लिए, आपको कारकों को जड़ के नीचे से निकालने की आवश्यकता है अभिव्यक्ति पर हस्ताक्षर करें और सरल करें:

3/2 5 - 2√5 - 5/3 (½) - 7/6 5 + 7 (½) = (3/2 - 2 - 7/6) 5 - (5/3 - 7 ) (½) = - 5/3 5 + 16/3 (½)।

इस अभिव्यक्ति को हर में तर्कहीनता से छुटकारा पाने की आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए, दूसरे पद को √2/√2 से गुणा करें:

5/3 √5 + 16/3 (½) * √2/√2 = - 5/3 √5 + 8/3 √2।

क्रिया को पूरा करने के लिए, आपको जड़ों के सामने कारकों के पूर्णांक भाग का चयन करना होगा। पहला 1 है, दूसरा 2 है।

आधुनिक इलेक्ट्रॉनिक कंप्यूटरों के हमारे समय में, किसी संख्या की जड़ की गणना करना कोई मुश्किल काम नहीं है। उदाहरण के लिए, 2704=52, कोई भी कैलकुलेटर आपके लिए इसकी गणना करेगा। सौभाग्य से, कैलकुलेटर न केवल विंडोज़ में है, बल्कि सामान्य, यहां तक ​​​​कि सबसे सरल, फोन में भी है। सच है, अगर अचानक (संभावना की एक छोटी डिग्री के साथ, जिसकी गणना, वैसे, जड़ों को जोड़ना शामिल है) आप अपने आप को उपलब्ध धन के बिना पाते हैं, तो, अफसोस, आपको केवल अपने दिमाग पर भरोसा करना होगा।

माइंड ट्रेनिंग कभी फेल नहीं होती। खासकर उन लोगों के लिए जो संख्याओं के साथ इतनी बार काम नहीं करते हैं, और इससे भी ज्यादा जड़ों के साथ। ऊबड़-खाबड़ दिमाग के लिए जड़ों को जोड़ना और घटाना एक अच्छा व्यायाम है। और मैं आपको चरण दर चरण जड़ों को जोड़ना दिखाऊंगा। भावों के उदाहरण निम्नलिखित हो सकते हैं।

सरलीकृत किया जाने वाला समीकरण है:

√2+3√48-4×√27+√128

यह एक तर्कहीन अभिव्यक्ति है। इसे सरल बनाने के लिए, आपको सभी मूल भावों को कम करने की आवश्यकता है सामान्य दृष्टि से. हम इसे चरणों में करते हैं:

पहली संख्या को अब सरल नहीं किया जा सकता है। चलिए दूसरे कार्यकाल की ओर बढ़ते हैं।

3√48 हम 48: 48=2×24 या 48=3×16 का गुणनखंड करते हैं। 24 में से एक पूर्णांक नहीं है, अर्थात। भिन्नात्मक शेष है। चूंकि हमें एक सटीक मान की आवश्यकता है, अनुमानित जड़ें हमारे लिए उपयुक्त नहीं हैं। 16 का वर्गमूल 4 है, इसे नीचे से निकालिये: 3×4×√3=12×√3

हमारी अगली अभिव्यक्ति नकारात्मक है, अर्थात। ऋणात्मक चिह्न -4×√(27.) फैक्टरिंग 27 के साथ लिखा गया है। हमें 27=3×9 प्राप्त होता है। हम भिन्नात्मक कारकों का उपयोग नहीं करते हैं, क्योंकि भिन्नों से वर्गमूल की गणना करना अधिक कठिन होता है। हम साइन के नीचे से 9 निकालते हैं, यानी। वर्गमूल की गणना करें। हमें निम्नलिखित व्यंजक प्राप्त होते हैं: -4×3×√3 = -12×√3

अगला पद 128 उस भाग की गणना करता है जिसे जड़ के नीचे से निकाला जा सकता है। 128=64×2 जहां √64=8. यदि यह आपके लिए आसान बनाता है, तो आप इस व्यंजक को इस प्रकार प्रस्तुत कर सकते हैं: 128=√(8^2×2)

हम सरलीकृत शब्दों के साथ अभिव्यक्ति को फिर से लिखते हैं:

√2+12×√3-12×√3+8×√2

अब हम समान मूलांक के साथ संख्याओं को जोड़ते हैं। आप अलग-अलग मूल भाव वाले व्यंजकों को जोड़ या घटा नहीं सकते। जड़ों को जोड़ने के लिए इस नियम के अनुपालन की आवश्यकता होती है।

हमें निम्नलिखित उत्तर मिलता है:

√2+12√3-12√3+8√2=9√2

√2=1×√2 - मुझे आशा है कि यह बीजगणित में प्रथागत है कि ऐसे तत्वों को छोड़ना आपके लिए समाचार नहीं होगा।

व्यंजकों को न केवल वर्गमूलों द्वारा, बल्कि घन या nवें मूल द्वारा भी निरूपित किया जा सकता है।

अलग-अलग घातांक के साथ जड़ों का जोड़ और घटाव, लेकिन एक समान मूल अभिव्यक्ति के साथ, निम्नानुसार होता है:

यदि हमारे पास √a+∛b+∜b जैसे व्यंजक हैं, तो हम इस व्यंजक को इस प्रकार सरल बना सकते हैं:

b+∜b=12×√b4 +12×√b3

12√b4 +12×√b3=12×√b4 + b3

हमने जड़ के उभयनिष्ठ घातांक के दो समान पदों को घटा दिया है। यहां जड़ों के गुण का उपयोग किया गया था, जो कहता है: यदि मूल अभिव्यक्ति की डिग्री की संख्या और मूल घातांक की संख्या को एक ही संख्या से गुणा किया जाता है, तो इसकी गणना अपरिवर्तित रहेगी।

नोट: घातांक केवल गुणा करने पर ही जोड़े जाते हैं।

एक उदाहरण पर विचार करें जहां व्यंजक में भिन्न मौजूद हैं।

5√8-4×√(1/4)+√72-4×√2

आइए इसे चरण दर चरण हल करें:

5√8=5*2√2 - हम निकाले गए हिस्से को जड़ के नीचे से निकालते हैं।

4√(1/4)=-4 √1/(√4)= - 4 *1/2= - 2

यदि मूल भाग को भिन्न द्वारा निरूपित किया जाता है, तो भाज्य और भाजक का वर्गमूल लेने पर अक्सर यह भिन्न नहीं बदलेगा। नतीजतन, हमने ऊपर वर्णित समानता प्राप्त की है।

√72-4√2=√(36×2)- 4√2=2√2

10√2+2√2-2=12√2-2

यहाँ उत्तर है।

याद रखने वाली मुख्य बात यह है कि एक सम घातांक वाला मूल ऋणात्मक संख्याओं से नहीं निकाला जाता है। यदि एक सम अंश मूलक व्यंजक ऋणात्मक है, तो व्यंजक सुलझने योग्य नहीं है।

मूलों का योग तभी संभव है जब मूलक व्यंजक मेल खाते हों, क्योंकि वे समान पद हैं। यही बात अंतर पर भी लागू होती है।

विभिन्न संख्यात्मक घातांक के साथ जड़ों का जोड़ दोनों शब्दों को एक सामान्य मूल डिग्री तक कम करके किया जाता है। यह नियम उसी तरह से कार्य करता है जैसे भिन्नों को जोड़ने या घटाने पर एक सामान्य हर में कमी।

यदि मूलांक व्यंजक में घात तक बढ़ाई गई संख्या होती है, तो इस व्यंजक को सरल बनाया जा सकता है बशर्ते कि मूल और घातांक के बीच एक उभयनिष्ठ भाजक हो।

जड़ों का जोड़ और घटाव- हाई स्कूल में गणित (बीजगणित) का कोर्स करने वालों के लिए सबसे आम "ठोकर" में से एक। हालांकि, उन्हें सही तरीके से जोड़ना और घटाना सीखना बहुत महत्वपूर्ण है, क्योंकि योग या मूल के अंतर के उदाहरण "गणित" विषय में बुनियादी एकीकृत राज्य परीक्षा के कार्यक्रम में शामिल हैं।

ऐसे उदाहरणों के समाधान में महारत हासिल करने के लिए, आपको दो चीजों की आवश्यकता होती है - नियमों को समझने के लिए, साथ ही अभ्यास प्राप्त करने के लिए। एक या दो दर्जन विशिष्ट उदाहरणों को हल करने के बाद, छात्र इस कौशल को स्वचालितता में लाएगा, और फिर उसे परीक्षा में डरने की कोई बात नहीं होगी। विकास शुरू करें अंकगणितीय आपरेशनसजोड़ से अनुशंसित क्योंकि उन्हें जोड़ना उन्हें घटाने से थोड़ा आसान है।

जड़ क्या है

इसे समझाने का सबसे आसान तरीका वर्गमूल का उदाहरण है। गणित में, एक अच्छी तरह से स्थापित शब्द "वर्ग" है। "वर्ग" का अर्थ है एक विशिष्ट संख्या को एक बार अपने आप से गुणा करना।. उदाहरण के लिए, यदि आप 2 का वर्ग करते हैं, तो आपको 4 मिलता है। यदि आप 7 का वर्ग करते हैं, तो आपको 49 मिलता है। 9 का वर्ग 81 है। तो 4 का वर्गमूल 2 है, 49 का 7 है और 81 का वर्ग 9 है।

एक नियम के रूप में, इस विषय को गणित में पढ़ाना शुरू होता है वर्गमूल. इसे तुरंत निर्धारित करने के लिए, छात्र उच्च विद्यालयगुणन तालिका को दिल से जानना चाहिए। जो लोग इस तालिका को अच्छी तरह से नहीं जानते हैं, उनके लिए आपको संकेत का उपयोग करना होगा। आमतौर पर, किसी संख्या से मूल वर्ग निकालने की प्रक्रिया कई स्कूली गणित की नोटबुक के कवर पर एक तालिका के रूप में दी जाती है।

जड़ें निम्न प्रकार की होती हैं:

• वर्ग;
• घन (या तथाकथित तीसरी डिग्री);
• चौथी डिग्री;
• पांचवीं डिग्री।

जोड़ नियम

एक विशिष्ट उदाहरण को सफलतापूर्वक हल करने के लिए, यह ध्यान में रखना चाहिए कि सभी मूल संख्याएं नहीं हैं एक दूसरे के साथ ढेर किया जा सकता है. उन्हें एक साथ रखने में सक्षम होने के लिए, उन्हें एक ही पैटर्न में लाया जाना चाहिए। यदि यह संभव नहीं है, तो समस्या का कोई समाधान नहीं है। ऐसी समस्याएँ अक्सर गणित की पाठ्यपुस्तकों में भी विद्यार्थियों के लिए एक प्रकार के जाल के रूप में पाई जाती हैं।

सत्रीय कार्य में जोड़ की अनुमति नहीं है जब मूल भाव एक दूसरे से भिन्न होते हैं। इसे में दर्शाया जा सकता है अच्छा उदाहरण:

• छात्र को कार्य का सामना करना पड़ता है: 4 और 9 के वर्गमूल को जोड़ने के लिए;
• अनुभवहीन छात्र, नियमों को जानना, आमतौर पर लिखते हैं: "4 का वर्गमूल + 9 का मूल \u003d 13 का मूल।"
• यह साबित करना बहुत आसान है कि हल करने का यह तरीका गलत है। ऐसा करने के लिए, आपको 13 का वर्गमूल ज्ञात करना होगा और जांचना होगा कि क्या उदाहरण सही ढंग से हल किया गया है;
• एक माइक्रोकैलकुलेटर का उपयोग करके, आप यह निर्धारित कर सकते हैं कि यह लगभग 3.6 है। अब समाधान की जांच करना बाकी है;
• 4=2 और 9=3 का मूल;
• दो और तीन का योग पांच होता है। इस प्रकार, इस समाधान एल्गोरिथ्म को गलत माना जा सकता है।

यदि मूलों की घात समान है, लेकिन विभिन्न संख्यात्मक व्यंजक हैं, तो इसे कोष्ठक से निकाल दिया जाता है, और दो मूल भावों का योग. इस प्रकार, यह पहले से ही इस राशि से निकाला जाता है।

जोड़ एल्गोरिथ्म

सही निर्णय लेने के लिए सबसे सरल कार्य, ज़रूरी:

1. निर्धारित करें कि वास्तव में क्या जोड़ने की आवश्यकता है।
2. पता लगाएँ कि क्या गणित में मौजूद नियमों द्वारा निर्देशित एक-दूसरे में मूल्यों को जोड़ना संभव है।
3. यदि उन्हें जोड़ा नहीं जा सकता है, तो आपको उन्हें इस तरह से बदलना होगा कि उन्हें जोड़ा जा सके।
4. सभी आवश्यक परिवर्तनों को पूरा करने के बाद, समाप्त उत्तर को जोड़ना और लिखना आवश्यक है। उदाहरण की जटिलता के आधार पर जोड़ मानसिक रूप से या कैलकुलेटर के साथ किया जा सकता है।

समान जड़ें क्या हैं

एक अतिरिक्त उदाहरण को सही ढंग से हल करने के लिए, सबसे पहले यह सोचना आवश्यक है कि इसे कैसे सरल बनाया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, आपको एक बुनियादी ज्ञान होना चाहिए कि समानता क्या है।

समान लोगों की पहचान करने की क्षमता एक ही प्रकार के अतिरिक्त उदाहरणों को जल्दी से हल करने में मदद करती है, उन्हें सरलीकृत रूप में लाती है। एक विशिष्ट जोड़ उदाहरण को सरल बनाने के लिए, आपको यह करना होगा:

1. समान खोजें और उन्हें एक समूह (या कई समूहों) में आवंटित करें।
2. मौजूदा उदाहरण को इस तरह से फिर से लिखें कि समान संकेतक वाले मूल एक दूसरे का स्पष्ट रूप से अनुसरण करें (इसे "समूहीकरण" कहा जाता है)।
3. इसके बाद, आपको इस बार फिर से व्यंजक इस प्रकार लिखना चाहिए कि समान (जिनके सूचक और समान मूल आकृति वाले हों) भी एक-दूसरे का अनुसरण करें।

उसके बाद, एक सरलीकृत उदाहरण आमतौर पर हल करना आसान होता है।

किसी भी जोड़ के उदाहरण को सही ढंग से हल करने के लिए, आपको जोड़ के बुनियादी नियमों को स्पष्ट रूप से समझने की जरूरत है, और यह भी पता होना चाहिए कि जड़ क्या है और यह कैसे होता है।

कभी-कभी ऐसे कार्य पहली नज़र में बहुत जटिल लगते हैं, लेकिन आमतौर पर उन्हें समान समूह बनाकर आसानी से हल कर लिया जाता है। सबसे महत्वपूर्ण बात अभ्यास है, और फिर छात्र "नट जैसे कार्यों पर क्लिक करना" शुरू कर देगा। जड़ जोड़ना गणित की सबसे महत्वपूर्ण शाखाओं में से एक है, इसलिए शिक्षकों को इसका अध्ययन करने के लिए पर्याप्त समय देना चाहिए।

अब स्कूली पाठ्यक्रम में कुछ पूरी तरह से स्पष्ट नहीं है। एक प्रसन्नता है कि गणित में सब कुछ अपरिवर्तित रहता है। जड़ों के साथ काम करना, अर्थात् जोड़ और घटाव, बहुत कठिन ऑपरेशन नहीं है। लेकिन कुछ छात्रों को कुछ कठिनाइयों का सामना करना पड़ता है।

और इस लेख में हम वर्गमूलों को जोड़ने और घटाने के नियमों का विश्लेषण करेंगे।

आप वर्गमूलों को घटा सकते हैं और जोड़ सकते हैं यदि यह शर्त शुरू हो जाती है कि इन जड़ों में समान मूल भाव हैं। दूसरे शब्दों में, हम 2√3 और 4√3 पर काम कर सकते हैं, लेकिन 2√3 और 2√7 पर नहीं। लेकिन आप कट्टरपंथी अभिव्यक्ति को सरल बनाने के लिए कार्रवाई कर सकते हैं, फिर उन्हें उन जड़ों तक ले जा सकते हैं जिनमें समान मूल भाव होंगे। और उसके बाद ही पहले से ही जोड़ना या घटाना शुरू करें।

वर्गमूल जोड़ने और घटाने का सिद्धांत

सिद्धांत ही बहुत सरल है। और यह तीन चरणों से बना होगा। हमें कट्टरपंथी अभिव्यक्ति को सरल बनाने की जरूरत है। परिणामी समान मूलक व्यंजक खोजें और मूलों को जोड़ें या घटाएं।

एक कट्टरपंथी अभिव्यक्ति को सरल कैसे करें

ऐसा करने के लिए, आपको मूल संख्या को विघटित करना होगा, जिसमें दो कारक शामिल होंगे। मुख्य शर्त। इनमें से एक संख्या एक वर्ग संख्या होनी चाहिए (उदाहरण: 25 या 9)। इस क्रिया के बाद, हम दिए गए वर्ग संख्या का मूल निकालते हैं। और हम इस नंबर को अपने रूट के सामने लिखते हैं, और रूट के नीचे हमारे पास दूसरा फ़ैक्टर होता है।

उदाहरण के लिए, 6√50 - 2√8 + 5√12

6√50 = 6√(25 x 2) = (6 x 5)√2 = 30√2। यहां हम 50 को दो गुणक 25 और 2 में विघटित करते हैं। फिर 25 से हम वर्गमूल निकालते हैं (हमें संख्या 5 मिलती है) और इसे जड़ के नीचे से निकालते हैं। फिर हम 5 को 6 से गुणा करते हैं और 30√2 . प्राप्त करते हैं

2√8 = 2√(4 x 2) = (2 x 2)√2 = 4√2। इस उदाहरण में, हम 8 को दो संख्याओं 4 और 2 में विघटित करते हैं। 4 से हम मूल निकालते हैं और परिणामी संख्या को मूल से निकालते हैं और इसे उस संख्या से गुणा करते हैं जो पहले से ही मूल के पीछे थी।

5√12 = 5√(4 x 3) = (5 x 2)√3 = 10√3। यहां हम, पहले की तरह, जड़ के नीचे की संख्या को दो संख्याओं 4 और 3 में विघटित करते हैं। 4 से हम मूल निकालते हैं। हम परिणामी संख्या को मूल के रूप में लेते हैं और उस संख्या से गुणा करते हैं जो मूल के पीछे थी।

नतीजतन, हमने समीकरण 6√50 - 2√8 + 5√12 को इस रूप में 30√2 - 4√2 + 10√3 में बदल दिया है

हम उन जड़ों को रेखांकित करते हैं जिनके मूल भाव समान हैं

हमारे उदाहरण 30√2 - 4√2 + 10√3 में, हम 30√2 और 4√2 का चयन करते हैं, क्योंकि इन संख्याओं का मूल संख्या 2 समान है।
यदि आपके उदाहरण में कई समान मूल भाव हैं। अलग-अलग पंक्तियों के साथ समान को रेखांकित करें।

हमारी जड़ों को जोड़ें या घटाएं

अब हम उन संख्याओं को जोड़ते या घटाते हैं जिनके मूल भाव समान हैं। और जो जड़ के नीचे है उसे हम अपरिवर्तित छोड़ देते हैं। बिंदु यह दिखाने के लिए है कि किसी दिए गए समीकरण में कुछ मूल भावों के साथ कितने मूल हैं।

हमारे उदाहरण में, 30√2 - 4√2 + 10√3, हम 30 में से 4 घटाते हैं और 26√2 . प्राप्त करते हैं

हमारे उदाहरण में उत्तर होगा: 26√2 + 10√3

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गणितीय जड़ क्या है?

यह क्रिया घातांक के विरोध में उठी। गणित दो विपरीत संक्रियाओं की उपस्थिति मानता है। जोड़ने के लिए घटाव है। गुणन विभाजन का विरोध करता है। डिग्री की विपरीत क्रिया संबंधित जड़ का निष्कर्षण है।

यदि घातांक 2 है, तो मूल वर्ग होगा। यह स्कूली गणित में सबसे आम है। इसका कोई संकेत भी नहीं है कि यह वर्गाकार है, अर्थात संख्या 2 इसे नहीं दी गई है। इस संकारक (कट्टरपंथी) का गणितीय अंकन चित्र में दिखाया गया है।

वर्णित क्रिया से, इसकी परिभाषा सुचारू रूप से चलती है। एक निश्चित संख्या का वर्गमूल निकालने के लिए, आपको यह पता लगाना होगा कि मूलांक का व्यंजक स्वयं से गुणा करने पर क्या देगा। यह संख्या वर्गमूल होगी। यदि हम इसे गणितीय रूप से लिखते हैं, तो हमें निम्नलिखित मिलते हैं: x * x \u003d x 2 \u003d y, जिसका अर्थ है y \u003d x।

उनके साथ क्या कार्रवाई की जा सकती है?

इसके मूल में, जड़ एक भिन्नात्मक शक्ति है जिसमें अंश में एक इकाई होती है। और भाजक कुछ भी हो सकता है। उदाहरण के लिए, वर्गमूल का मान दो है। इसलिए, सभी क्रियाएं जो डिग्री के साथ की जा सकती हैं, वे भी जड़ों के लिए मान्य होंगी।

और इन कार्यों के लिए उनकी समान आवश्यकताएं हैं। यदि गुणा, भाग और घातांक छात्रों के लिए कठिनाइयों का सामना नहीं करते हैं, तो जड़ों का जोड़, साथ ही उनका घटाव, कभी-कभी भ्रम पैदा करता है। और सभी क्योंकि आप रूट के संकेत को देखे बिना इन कार्यों को करना चाहते हैं। और यहीं से गलतियां शुरू होती हैं।

जोड़ और घटाव के नियम क्या हैं?

पहले आपको दो स्पष्ट "नहीं" याद रखने की आवश्यकता है:

• जड़ों का जोड़ और घटाव करना असंभव है, जैसा कि अभाज्य संख्याओं के साथ होता है, अर्थात योग के मूल भावों को एक चिह्न के नीचे लिखना और उनके साथ गणितीय संक्रिया करना असंभव है;
• आप अलग-अलग घातांक, जैसे वर्ग और घन के साथ जड़ों को जोड़ और घटा नहीं सकते।

पहले प्रतिबंध का एक उदाहरण उदाहरण: 6 + √10 √16 लेकिन √(6 + 10) = √16.

दूसरे मामले में, खुद को जड़ों को सरल बनाने के लिए खुद को सीमित करना बेहतर है। और उत्तर में उनकी राशि छोड़ दें।

अब नियमों के लिए

1. समान जड़ों को खोजें और समूहित करें। यानी जिनके पास रेडिकल के तहत न केवल समान संख्याएं हैं, बल्कि उनके पास स्वयं एक संकेतक है।
2. पहली क्रिया द्वारा जड़ों को एक समूह में जोड़ने का कार्य करें। इसे लागू करना आसान है, क्योंकि आपको केवल उन मूल्यों को जोड़ना होगा जो रेडिकल से पहले आते हैं।
3. जड़ों को उन शब्दों में निकालें जिनमें मूलांक अभिव्यक्ति एक पूर्ण वर्ग बनाती है। दूसरे शब्दों में, कट्टरपंथी के संकेत के तहत कुछ भी न छोड़ें।
4. मूल भावों को सरल कीजिए। ऐसा करने के लिए, आपको उन्हें अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करना होगा और देखना होगा कि क्या वे किसी संख्या का वर्ग देते हैं। यह स्पष्ट है कि जब वर्गमूल की बात आती है तो यह सच है। जब घातांक तीन या चार हो, तो अभाज्य गुणनखंडों को घन या संख्या की चौथी घात अवश्य देनी चाहिए।
5. रेडिकल के निशान के नीचे से एक कारक निकालें जो एक पूर्णांक शक्ति देता है।
6. देखें कि क्या समान शब्द फिर से दिखाई देते हैं। यदि हाँ, तो दूसरा चरण फिर से करें।

ऐसी स्थिति में जहां समस्या को मूल के सटीक मान की आवश्यकता नहीं होती है, इसकी गणना कैलकुलेटर पर की जा सकती है। इसकी विंडो में प्रदर्शित होने वाले अनंत दशमलव अंश को पूर्णांकित करें। अधिकतर यह सौवें तक किया जाता है। और फिर दशमलव भिन्नों के लिए सभी ऑपरेशन करें।

जड़ों को जोड़ने के तरीके के बारे में यह सारी जानकारी है। नीचे दिए गए उदाहरण उपरोक्त को स्पष्ट करेंगे।

पहला काम

भावों के मूल्य की गणना करें:

ए) 2 + 3√32 + ½ 128 - 6√18;

बी) 75 - √147 + √48 - 1/5 √300;

ग) 275 - 10√11 + 2√99 + 396।

a) यदि आप उपरोक्त एल्गोरिथम का पालन करते हैं, तो आप देख सकते हैं कि इस उदाहरण में पहले दो कार्यों के लिए कुछ भी नहीं है। लेकिन आप कुछ मूल भावों को सरल बना सकते हैं।

उदाहरण के लिए, कारक 32 को दो गुणनखंड 2 और 16 में विभाजित करें; 18, 9 और 2 के गुणनफल के बराबर होगा; 128, 2 बटा 64 है। इसे देखते हुए, व्यंजक इस प्रकार लिखा जाएगा:

2 + 3√(2 * 16) + ½ (2 * 64) - 6 (2 * 9)।

अब आपको मूल चिह्न के नीचे से उन कारकों को निकालने की आवश्यकता है जो संख्या का वर्ग देते हैं। यह है 16=4 2 , 9=3 2 , 64=8 2 । अभिव्यक्ति रूप लेगी:

2 + 3 * 4√2 + ½ * 8 √2 - 6 * 3√2।

हमें लेखन को थोड़ा सरल करने की जरूरत है। इसके लिए, गुणांकों को जड़ के चिह्नों से पहले गुणा किया जाता है:

√2 + 12√2 + 4 √2 — 12√2.

इस अभिव्यक्ति में, सभी शब्द समान निकले। इसलिए, उन्हें बस मोड़ने की जरूरत है। उत्तर होगा: 5√2।

बी) पिछले उदाहरण की तरह, जड़ों का जोड़ उनके सरलीकरण से शुरू होता है। मूल भाव 75, 147, 48 और 300 को निम्नलिखित युग्मों द्वारा दर्शाया जाएगा: 5 और 25, 3 और 49, 3 और 16, 3 और 100। उनमें से प्रत्येक की एक संख्या है जिसे मूल चिह्न के नीचे से निकाला जा सकता है। :

5√5 — 7√3 + 4√3 — 1/5 * 10√3.

सरलीकरण के बाद, उत्तर है: 5√5 - 5√3। इसे इस रूप में छोड़ा जा सकता है, लेकिन सामान्य कारक 5 को ब्रैकेट से बाहर करना बेहतर है: 5 (√5 - √3)।

ग) और फिर से गुणनखंडन: 275 = 11 * 25, 99 = 11 * 9, 396 = 11 * 36. मूल चिह्न को निकालने के बाद, हमारे पास है:

5√11 - 10√11 + 2 * 3√11 + 6√11। समान पदों को कम करने के बाद, हमें परिणाम मिलता है: 7√11।

भिन्नात्मक उदाहरण

√(45/4) — √20 — 5√(1/18) — 1/6 √245 + √(49/2).

निम्नलिखित संख्याओं को गुणनखंड करने की आवश्यकता होगी: 45 = 5 * 9, 20 = 4 * 5, 18 = 2 * 9, 245 = 5 * 49। इसी तरह पहले से विचार किए गए लोगों के लिए, आपको कारकों को जड़ के नीचे से निकालने की आवश्यकता है अभिव्यक्ति पर हस्ताक्षर करें और सरल करें:

3/2 5 - 2√5 - 5/3 (½) - 7/6 5 + 7 (½) = (3/2 - 2 - 7/6) 5 - (5/3 - 7 ) (½) = - 5/3 5 + 16/3 (½)।

इस अभिव्यक्ति को हर में तर्कहीनता से छुटकारा पाने की आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए, दूसरे पद को √2/√2 से गुणा करें:

- 5/3 5 + 16/3 (½) * √2/√2 = - 5/3 √5 + 8/3 √2।

क्रिया को पूरा करने के लिए, आपको जड़ों के सामने कारकों के पूर्णांक भाग का चयन करना होगा। पहला 1 है, दूसरा 2 है।

जड़ों का जोड़ और घटाव- हाई स्कूल में गणित (बीजगणित) का कोर्स करने वालों के लिए सबसे आम "ठोकर" में से एक। हालांकि, उन्हें सही तरीके से जोड़ना और घटाना सीखना बहुत महत्वपूर्ण है, क्योंकि योग या मूल के अंतर के उदाहरण "गणित" विषय में बुनियादी एकीकृत राज्य परीक्षा के कार्यक्रम में शामिल हैं।

ऐसे उदाहरणों के समाधान में महारत हासिल करने के लिए, आपको दो चीजों की आवश्यकता होती है - नियमों को समझने के लिए, साथ ही अभ्यास प्राप्त करने के लिए। एक या दो दर्जन विशिष्ट उदाहरणों को हल करने के बाद, छात्र इस कौशल को स्वचालितता में लाएगा, और फिर उसे परीक्षा में डरने की कोई बात नहीं होगी। जोड़ के साथ अंकगणितीय संक्रियाओं में महारत हासिल करने की अनुशंसा की जाती है, क्योंकि उन्हें जोड़ना उन्हें घटाने की तुलना में थोड़ा आसान है।

इसे समझाने का सबसे आसान तरीका वर्गमूल का उदाहरण है। गणित में, एक अच्छी तरह से स्थापित शब्द "वर्ग" है। "वर्ग" का अर्थ है एक विशिष्ट संख्या को एक बार अपने आप से गुणा करना।. उदाहरण के लिए, यदि आप 2 का वर्ग करते हैं, तो आपको 4 मिलता है। यदि आप 7 का वर्ग करते हैं, तो आपको 49 मिलता है। 9 का वर्ग 81 है। तो 4 का वर्गमूल 2 है, 49 का 7 है और 81 का वर्ग 9 है।

एक नियम के रूप में, इस विषय को गणित में पढ़ाना वर्गमूल से शुरू होता है। इसे तुरंत निर्धारित करने के लिए, एक हाई स्कूल के छात्र को गुणन तालिका को दिल से जानना चाहिए। जो लोग इस तालिका को अच्छी तरह से नहीं जानते हैं, उनके लिए आपको संकेत का उपयोग करना होगा। आमतौर पर किसी संख्या से मूल वर्ग निकालने की प्रक्रिया गणित में कई स्कूल नोटबुक के कवर पर एक तालिका के रूप में दी जाती है।

जड़ें निम्न प्रकार की होती हैं:

• वर्ग;
• घन (या तथाकथित तीसरी डिग्री);
• चौथी डिग्री;
• पांचवीं डिग्री।

जोड़ नियम

एक विशिष्ट उदाहरण को सफलतापूर्वक हल करने के लिए, यह ध्यान में रखना चाहिए कि सभी मूल संख्याएं नहीं हैं एक दूसरे के साथ ढेर किया जा सकता है. उन्हें एक साथ रखने में सक्षम होने के लिए, उन्हें एक ही पैटर्न में लाया जाना चाहिए। यदि यह संभव नहीं है, तो समस्या का कोई समाधान नहीं है। ऐसी समस्याएँ अक्सर गणित की पाठ्यपुस्तकों में भी विद्यार्थियों के लिए एक प्रकार के जाल के रूप में पाई जाती हैं।

सत्रीय कार्य में जोड़ की अनुमति नहीं है जब मूल भाव एक दूसरे से भिन्न होते हैं। इसे एक दृष्टांत उदाहरण के साथ चित्रित किया जा सकता है:

• छात्र को कार्य का सामना करना पड़ता है: 4 और 9 के वर्गमूल को जोड़ने के लिए;
• एक अनुभवहीन छात्र जो नियम को नहीं जानता है वह आमतौर पर लिखता है: "4 की जड़ + 9 की जड़ \u003d 13 की जड़।"
• यह साबित करना बहुत आसान है कि हल करने का यह तरीका गलत है। ऐसा करने के लिए, आपको 13 का वर्गमूल ज्ञात करना होगा और जांचना होगा कि क्या उदाहरण सही ढंग से हल किया गया है;
• एक माइक्रोकैलकुलेटर का उपयोग करके, आप यह निर्धारित कर सकते हैं कि यह लगभग 3.6 है। अब समाधान की जांच करना बाकी है;
• 4=2 और 9=3 का मूल;
• दो और तीन का योग पांच होता है। इस प्रकार, इस समाधान एल्गोरिथ्म को गलत माना जा सकता है।

यदि मूलों की घात समान है, लेकिन विभिन्न संख्यात्मक व्यंजक हैं, तो इसे कोष्ठक से निकाल दिया जाता है, और दो मूल भावों का योग. इस प्रकार, यह पहले से ही इस राशि से निकाला जाता है।

जोड़ एल्गोरिथ्म

सबसे सरल समस्या को सही ढंग से हल करने के लिए, यह आवश्यक है:

1. निर्धारित करें कि वास्तव में क्या जोड़ने की आवश्यकता है।
2. पता लगाएँ कि क्या गणित में मौजूद नियमों द्वारा निर्देशित एक-दूसरे में मूल्यों को जोड़ना संभव है।
3. यदि उन्हें जोड़ा नहीं जा सकता है, तो आपको उन्हें इस तरह से बदलना होगा कि उन्हें जोड़ा जा सके।
4. सभी आवश्यक परिवर्तनों को पूरा करने के बाद, समाप्त उत्तर को जोड़ना और लिखना आवश्यक है। उदाहरण की जटिलता के आधार पर जोड़ मानसिक रूप से या कैलकुलेटर के साथ किया जा सकता है।

समान जड़ें क्या हैं

एक अतिरिक्त उदाहरण को सही ढंग से हल करने के लिए, सबसे पहले यह सोचना आवश्यक है कि इसे कैसे सरल बनाया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, आपको एक बुनियादी ज्ञान होना चाहिए कि समानता क्या है।

समान लोगों की पहचान करने की क्षमता एक ही प्रकार के अतिरिक्त उदाहरणों को जल्दी से हल करने में मदद करती है, उन्हें सरलीकृत रूप में लाती है। एक विशिष्ट जोड़ उदाहरण को सरल बनाने के लिए, आपको यह करना होगा:

1. समान खोजें और उन्हें एक समूह (या कई समूहों) में आवंटित करें।
2. मौजूदा उदाहरण को इस तरह से फिर से लिखें कि समान संकेतक वाले मूल एक दूसरे का स्पष्ट रूप से अनुसरण करें (इसे "समूहीकरण" कहा जाता है)।
3. इसके बाद, आपको इस बार फिर से व्यंजक इस प्रकार लिखना चाहिए कि समान (जिनके सूचक और समान मूल आकृति वाले हों) भी एक-दूसरे का अनुसरण करें।

उसके बाद, एक सरलीकृत उदाहरण आमतौर पर हल करना आसान होता है।

किसी भी जोड़ के उदाहरण को सही ढंग से हल करने के लिए, आपको जोड़ के बुनियादी नियमों को स्पष्ट रूप से समझने की जरूरत है, और यह भी पता होना चाहिए कि जड़ क्या है और यह कैसे होता है।

कभी-कभी ऐसे कार्य पहली नज़र में बहुत जटिल लगते हैं, लेकिन आमतौर पर उन्हें समान समूह बनाकर आसानी से हल कर लिया जाता है। सबसे महत्वपूर्ण बात अभ्यास है, और फिर छात्र "नट जैसे कार्यों पर क्लिक करना" शुरू कर देगा। जड़ जोड़ना गणित की सबसे महत्वपूर्ण शाखाओं में से एक है, इसलिए शिक्षकों को इसका अध्ययन करने के लिए पर्याप्त समय देना चाहिए।

वीडियो

यह वीडियो आपको वर्गमूल वाले समीकरणों को समझने में मदद करेगा।

किसी संख्या का वर्गमूल एक्सएक नंबर कहा जाता है ए, जो स्वयं को स्वयं से गुणा करने की प्रक्रिया में ( ए*ए) एक नंबर दे सकते हैं एक्स.
वे। ए * ए = ए 2 = एक्स, तथा एक्स = ए.

वर्गमूल से अधिक ( x), अन्य संख्याओं की तरह, आप अंकगणितीय संक्रियाएँ जैसे घटाव और जोड़ कर सकते हैं। जड़ों को घटाने और जोड़ने के लिए, उन्हें इन क्रियाओं के अनुरूप संकेतों का उपयोग करके जोड़ा जाना चाहिए (उदाहरण के लिए x - y ).
और फिर जड़ों को उनके सरलतम रूप में लाएं - यदि उनके बीच समान हैं, तो आपको एक कास्ट बनाने की आवश्यकता है। यह इस तथ्य में शामिल है कि समान पदों के गुणांक को संबंधित पदों के संकेतों के साथ लिया जाता है, फिर उन्हें कोष्ठक में संलग्न किया जाता है और गुणक कोष्ठक के बाहर सामान्य मूल प्रदर्शित किया जाता है। हमने जो गुणांक प्राप्त किया है वह सामान्य नियमों के अनुसार सरलीकृत है।

चरण 1. वर्गमूल निकालना

सबसे पहले, वर्गमूल जोड़ने के लिए, आपको सबसे पहले इन जड़ों को निकालना होगा। यह तब किया जा सकता है जब मूल चिह्न के नीचे की संख्याएँ पूर्ण वर्ग हों। उदाहरण के लिए, दिए गए व्यंजक को लें √4 + √9 . पहला नंबर 4 संख्या का वर्ग है 2 . दूसरा नंबर 9 संख्या का वर्ग है 3 . इस प्रकार, निम्नलिखित समानता प्राप्त की जा सकती है: √4 + √9 = 2 + 3 = 5 .
सब कुछ, उदाहरण हल हो गया है। लेकिन ऐसा हमेशा नहीं होता है।

चरण 2. किसी संख्या के गुणक को मूल के नीचे से निकालना

यदि मूल चिह्न के नीचे कोई पूर्ण वर्ग नहीं है, तो आप मूल चिह्न के नीचे से संख्या के गुणक को निकालने का प्रयास कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, व्यंजक लें √24 + √54 .

आइए संख्याओं का गुणनखंड करें:
24 = 2 * 2 * 2 * 3 ,
54 = 2 * 3 * 3 * 3 .

सूची में 24 हमारे पास एक गुणक है 4 , इसे वर्गमूल चिह्न के नीचे से निकाला जा सकता है। सूची में 54 हमारे पास एक गुणक है 9 .

हमें समानता मिलती है:
√24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 .

इस उदाहरण पर विचार करते हुए, हम मूल चिह्न के नीचे से गुणनखंड को हटाते हैं, जिससे दिए गए व्यंजक को सरल बनाया जाता है।

चरण 3. हर को कम करना

निम्नलिखित स्थिति पर विचार करें: दो वर्गमूलों का योग एक भिन्न का हर होता है, उदाहरण के लिए, ए / (√a + √b).
अब हम "हर में तर्कहीनता से छुटकारा पाने" के कार्य का सामना कर रहे हैं।
आइए निम्नलिखित विधि का प्रयोग करें: भिन्न के अंश और हर को व्यंजक से गुणा करें a - b.

अब हम हर में संक्षिप्त गुणन सूत्र प्राप्त करते हैं:
(√a + b) * (√a - b) = a - b.

इसी तरह, यदि हर में जड़ों का अंतर होता है: a - b, भिन्न के अंश और हर को व्यंजक से गुणा किया जाता है a + b.

आइए एक अंश को एक उदाहरण के रूप में लें:
4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 — √5) / ((√3 + √5) * (√3 — √5)) = 4 * (√3 — √5) / (-2) = 2 * (√5 — √3) .

जटिल हर कमी का एक उदाहरण

आइए अब पर्याप्त विचार करें जटिल उदाहरणहर में तर्कहीनता से छुटकारा।

आइए एक अंश को एक उदाहरण के रूप में लें: 12 / (√2 + √3 + √5) .
आपको इसका अंश और हर लेना होगा और व्यंजक से गुणा करना होगा √2 + √3 — √5 .

12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 — √5) / (2 * √6) = 2 * √3 + 3 * √2 — √30.

चरण 4. कैलकुलेटर पर अनुमानित मूल्य की गणना करें

यदि आपको केवल एक अनुमानित मूल्य की आवश्यकता है, तो यह एक कैलकुलेटर पर वर्गमूल के मूल्य की गणना करके किया जा सकता है। अलग-अलग, प्रत्येक संख्या के लिए, मान की गणना और आवश्यक सटीकता के साथ दर्ज की जाती है, जो दशमलव स्थानों की संख्या से निर्धारित होती है। इसके अलावा, सभी आवश्यक संचालन सामान्य संख्याओं की तरह ही किए जाते हैं।

अनुमानित गणना उदाहरण

इस अभिव्यक्ति के अनुमानित मूल्य की गणना करना आवश्यक है √7 + √5 .

परिणामस्वरूप, हमें मिलता है:

√7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89 .

कृपया ध्यान दें: किसी भी परिस्थिति में वर्गमूल को अभाज्य संख्याओं के रूप में नहीं जोड़ा जाना चाहिए, यह पूरी तरह से अस्वीकार्य है। यानी अगर आप पांच और तीन के वर्गमूल को जोड़ दें तो हमें आठ का वर्गमूल नहीं मिल सकता है।

उपयोगी सलाह: यदि आप किसी संख्या को गुणनखंड करने का निर्णय लेते हैं, तो मूल चिह्न के नीचे से एक वर्ग प्राप्त करने के लिए, आपको एक रिवर्स चेक करने की आवश्यकता है, अर्थात, गणनाओं के परिणामस्वरूप सभी कारकों को गुणा करें, और इसका अंतिम परिणाम गणितीय गणना वह संख्या होनी चाहिए जो हमें मूल रूप से दी गई थी।

जड़ घटाने के नियम

1. गैर-ऋणात्मक संख्याओं के गुणनफल से अंश का मूल गुणनखंडों से समान अंश के मूलों के गुणनफल के बराबर होता है: जहाँ (उत्पाद से मूल निकालने का नियम)।

2. यदि , तो y (एक भिन्न से मूल निकालने का नियम)।

3. यदि तब (जड़ को जड़ से निकालने का नियम)।

4. यदि है तो किसी घात को जड़ से ऊपर उठाने का नियम)।

5. यदि तब कहाँ, अर्थात् मूल सूचकांक और मूलांक व्यंजक सूचकांक को एक ही संख्या से गुणा किया जा सकता है।

6. यदि तब 0, अर्थात् एक बड़ा धनात्मक मूलक व्यंजक और . के संगत है अधिक मूल्यजड़।

7. उपरोक्त सभी फ़ार्मुलों को अक्सर उल्टे क्रम में लागू किया जाता है (अर्थात, दाएं से बाएं)। उदाहरण के लिए,

(जड़ों के गुणन का नियम);

(जड़ों को विभाजित करने का नियम);

8. गुणक को मूल चिह्न के नीचे से निकालने का नियम। पर

9. व्युत्क्रम समस्या - जड़ के चिन्ह के तहत एक कारक का परिचय। उदाहरण के लिए,

10. भिन्न के हर में अपरिमेयता का विनाश।

आइए कुछ विशिष्ट मामलों पर विचार करें।

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उदाहरण के लिए,

11. अंकगणितीय जड़ों वाले संक्रियाओं के लिए संक्षिप्त गुणन सर्वसमिकाओं का अनुप्रयोग:

12. मूल के सामने वाले गुणनखंड को उसका गुणांक कहते हैं। उदाहरण के लिए, यहां 3 एक कारक है।

13. जड़ों (कट्टरपंथी) को समान कहा जाता है यदि उनके पास एक ही संकेतकमूल और समान मूलक व्यंजक, लेकिन केवल गुणांक में भिन्न होते हैं। यह निर्धारित करने के लिए कि ये मूल (कट्टरपंथी) समान हैं या नहीं, आपको उन्हें उनके सरलतम रूप में कम करने की आवश्यकता है।

उदाहरण के लिए, और समान हैं क्योंकि

समाधान के साथ अभ्यास

1. अभिव्यक्तियों को सरल बनाएं:

समाधान। 1) मूल व्यंजक को गुणा करने का कोई मतलब नहीं है, क्योंकि प्रत्येक कारक एक पूर्णांक के वर्ग का प्रतिनिधित्व करता है। आइए उत्पाद से जड़ निकालने के नियम का उपयोग करें:

भविष्य में इस तरह की कार्रवाई मौखिक रूप से की जाएगी।

2) आइए, यदि संभव हो तो, कट्टरपंथी अभिव्यक्ति को कारकों के उत्पाद के रूप में प्रस्तुत करने का प्रयास करें, जिनमें से प्रत्येक एक पूर्णांक का घन है, और उत्पाद की जड़ के बारे में नियम लागू करें:

2. व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए:

समाधान। 1) भिन्न से मूल निकालने के नियम के अनुसार, हमारे पास है:

3) हम कट्टरपंथी अभिव्यक्तियों को बदलते हैं और जड़ निकालते हैं:

3. सरल करें जब

समाधान। जड़ से जड़ निकालते समय, जड़ों के सूचकांकों को गुणा किया जाता है, और मूल अभिव्यक्ति अपरिवर्तित रहती है।

यदि जड़ के नीचे जड़ से पहले एक गुणांक है, तो जड़ निकालने का कार्य करने से पहले, यह गुणांक उस मूलांक के चिह्न के नीचे दर्ज किया जाता है जिसके सामने वह खड़ा होता है।

उपरोक्त नियमों के आधार पर, हम अंतिम दो जड़ें निकालते हैं:

4. एक शक्ति के लिए उठाएँ:

समाधान। जब जड़ को घात में ऊपर उठाया जाता है, तो मूल घातांक अपरिवर्तित रहता है, और मूल अभिव्यक्ति घातांक को घातांक से गुणा किया जाता है।

(चूंकि इसे परिभाषित किया गया है, तब);

यदि दिए गए मूल में एक गुणांक है, तो इस गुणांक को अलग से एक घात तक बढ़ा दिया जाता है और परिणाम को गुणांक द्वारा मूल पर लिखा जाता है।

यहां हमने नियम का उपयोग किया है कि मूल के सूचकांक और मूलांक अभिव्यक्ति के सूचकांक को एक ही संख्या से गुणा किया जा सकता है (हम गुणा करते हैं यानी 2 से विभाजित)।

उदाहरण के लिए, या

4) दो भिन्न मूलकों के योग को निरूपित करने वाले कोष्ठकों में व्यंजक को घना और सरलीकृत किया जाएगा:

क्योंकि हमारे पास है:

5. हर में तर्कहीनता को खत्म करें:

समाधान। एक अंश के हर में तर्कहीनता को खत्म करने (नष्ट) करने के लिए, आपको सबसे सरल भावों को खोजने की जरूरत है, जो हर के साथ उत्पाद में एक तर्कसंगत अभिव्यक्ति देता है, और इस अंश के अंश और हर को गुणक से गुणा करें।

उदाहरण के लिए, यदि किसी भिन्न के हर में एक द्विपद है, तो भिन्न के अंश और हर को हर के संयुग्मी व्यंजक से गुणा किया जाना चाहिए, अर्थात योग को संगत अंतर से गुणा किया जाना चाहिए और इसके विपरीत।

अधिक जटिल मामलों में, तर्कहीनता तुरंत नहीं, बल्कि कई चरणों में नष्ट हो जाती है।

1) व्यंजक में होना चाहिए

भिन्न के अंश और हर को गुणा करने पर हमें प्राप्त होता है:

2) भिन्न के अंश और हर को योग के अपूर्ण वर्ग से गुणा करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

3) आइए भिन्नों को एक सामान्य हर में लाते हैं:

इस उदाहरण को हल करते समय हमें यह ध्यान रखना चाहिए कि प्रत्येक भिन्न का एक अर्थ होता है, अर्थात प्रत्येक भिन्न का हर शून्य से भिन्न होता है। अलावा,

रेडिकल युक्त भावों को परिवर्तित करते समय अक्सर गलतियाँ की जाती हैं। वे अंकगणितीय मूल और निरपेक्ष मान की अवधारणा (परिभाषा) को सही ढंग से लागू करने में असमर्थता के कारण होते हैं।

जड़ घटाने के नियम

अभिव्यक्ति मूल्य की गणना करें

समाधान.

व्याख्या.
मूल व्यंजक को संक्षिप्त करने के लिए, आइए इसके मूल व्यंजक के दूसरे गुणनखंड में संख्या 31 को 15+16 के योग के रूप में निरूपित करें। (लाइन 2)

परिवर्तन के बाद, यह देखा जा सकता है कि दूसरे कट्टरपंथी अभिव्यक्ति में योग को संक्षिप्त गुणन सूत्रों का उपयोग करके योग के वर्ग के रूप में दर्शाया जा सकता है। (पंक्ति 3)

आइए अब दिए गए गुणनफल से प्रत्येक मूल को एक अंश के रूप में निरूपित करें। (पंक्ति 4)

व्यंजक को सरल कीजिए (पंक्ति 5)

चूंकि उत्पाद की शक्ति प्रत्येक कारक की शक्तियों के उत्पाद के बराबर होती है, इसलिए हम इसे तदनुसार दर्शाते हैं (पंक्ति 6)

जैसा कि आप देख सकते हैं, संक्षिप्त गुणन के सूत्रों के अनुसार, हमारे पास दो संख्याओं के वर्गों का अंतर है। व्यंजक का मान कहाँ से और परिकलित कीजिए (पंक्ति 7)

अभिव्यक्ति के मूल्य की गणना करें।

समाधान.

व्याख्या.

हम रूट के गुणों का उपयोग करते हैं, कि निजी संख्याओं की मनमानी शक्ति की जड़ इन संख्याओं की जड़ों के निजी के बराबर होती है (पंक्ति 2)

एक ही डिग्री की संख्या की मनमानी शक्ति की जड़ इस संख्या के बराबर है (पंक्ति 3)

आइए पहले गुणक के कोष्ठक से ऋण को हटा दें। इस स्थिति में, कोष्ठक के अंदर के सभी वर्ण उलट दिए जाएंगे (पंक्ति 4)

आइए भिन्न को कम करें (पंक्ति 5)

आइए संख्या 729 को संख्या 27 के वर्ग के रूप में और संख्या 27 को संख्या 3 के घन के रूप में निरूपित करें। जहाँ से हमें मूलांक का मान प्राप्त होता है।

वर्गमूल। प्रथम स्तर।

क्या आप अपनी ताकत का परीक्षण करना चाहते हैं और परिणाम का पता लगाना चाहते हैं कि आप एकीकृत राज्य परीक्षा या ओजीई के लिए कितने तैयार हैं?

1. अंकगणितीय वर्गमूल की अवधारणा का परिचय

एक गैर-ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल (अंकगणितीय वर्गमूल) एक गैर-ऋणात्मक संख्या होती है जिसका वर्ग बराबर होता है।
.

मूल चिह्न के नीचे की संख्या या व्यंजक गैर-ऋणात्मक होना चाहिए

2. वर्गों की तालिका

3. अंकगणितीय वर्गमूल के गुण

अंकगणितीय वर्गमूल की अवधारणा का परिचय

आइए यह पता लगाने की कोशिश करें कि "रूट" किस तरह की अवधारणा है और "इसे किसके साथ खाया जाता है।" ऐसा करने के लिए, उन उदाहरणों पर विचार करें जिनका आप पहले ही पाठों में सामना कर चुके हैं (ठीक है, या आपको बस इसका सामना करना होगा)।

उदाहरण के लिए, हमारे पास एक समीकरण है। इस समीकरण का हल क्या है? एक ही समय में किन संख्याओं को चुकता और प्राप्त किया जा सकता है? गुणन सारणी को याद करके, आप आसानी से उत्तर दे सकते हैं: और (क्योंकि जब आप दो ऋणात्मक संख्याओं को गुणा करते हैं, तो आपको एक धनात्मक संख्या प्राप्त होती है)! सरल बनाने के लिए, गणितज्ञों ने वर्गमूल की एक विशेष अवधारणा पेश की है और इसे एक विशेष प्रतीक सौंपा है।

आइए अंकगणितीय वर्गमूल को परिभाषित करें।

संख्या को गैर-ऋणात्मक क्यों होना चाहिए? उदाहरण के लिए, किसके बराबर है? ठीक है, आइए इसे जानने की कोशिश करते हैं। शायद तीन? आइए देखें: और नहीं। शायद, ? दोबारा, जांचें: अच्छा, क्या यह चयनित नहीं है? यह उम्मीद की जानी चाहिए - क्योंकि ऐसी कोई संख्या नहीं है, जो चुकता होने पर ऋणात्मक संख्या दे!

हालाँकि, आपने शायद पहले ही देखा है कि परिभाषा कहती है कि "एक संख्या एक गैर-ऋणात्मक संख्या है जिसका वर्ग बराबर है" के वर्गमूल का समाधान। और बहुत शुरुआत में, हमने उदाहरण का विश्लेषण किया, चयनित संख्याएँ जिन्हें एक ही समय में चुकता और प्राप्त किया जा सकता है, उत्तर था और, और यहाँ यह किसी प्रकार की "गैर-ऋणात्मक संख्या" के बारे में बात कर रहा है! ऐसी टिप्पणी काफी उचित है। यहां केवल द्विघात समीकरणों की अवधारणाओं और किसी संख्या के अंकगणितीय वर्गमूल के बीच अंतर करना आवश्यक है। उदाहरण के लिए, यह एक अभिव्यक्ति के बराबर नहीं है।

और उसी का अनुसरण करता है।

बेशक, यह बहुत भ्रमित करने वाला है, लेकिन यह याद रखना चाहिए कि संकेत समीकरण को हल करने का परिणाम हैं, क्योंकि समीकरण को हल करते समय, हमें उन सभी एक्स को लिखना होगा, जो मूल समीकरण में प्रतिस्थापित होने पर सही देंगे। नतीजा। हमारे द्विघात समीकरण में और दोनों फिट बैठता है।

हालांकि, यदि आप किसी चीज का वर्गमूल ही लेते हैं, तो आपको हमेशा एक गैर-ऋणात्मक परिणाम मिलता है.

अब इस समीकरण को हल करने का प्रयास करें। सब कुछ इतना सरल और सहज नहीं है, है ना? संख्याओं के माध्यम से छाँटने की कोशिश करें, शायद कुछ जल जाएगा?

आइए शुरू से ही शुरू करें - खरोंच से: - फिट नहीं है, आगे बढ़ें; - तीन से कम, हम भी एक तरफ ब्रश करते हैं, लेकिन क्या होगा? आइए देखें: - भी फिट नहीं है, क्योंकि यह तीन से अधिक है। नकारात्मक संख्याओं के साथ, वही कहानी निकलेगी। और अब क्या करें? क्या खोज ने हमें कुछ नहीं दिया? बिल्कुल नहीं, अब हम निश्चित रूप से जानते हैं कि उत्तर कुछ संख्या के बीच में होगा, साथ ही साथ और के बीच भी। साथ ही, यह स्पष्ट है कि हल पूर्णांक नहीं होंगे। इसके अलावा, वे तर्कसंगत नहीं हैं। तो, आगे क्या है? आइए फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ बनाएं और उस पर समाधानों को चिह्नित करें।

आइए सिस्टम को चकमा देने की कोशिश करें और कैलकुलेटर का उपयोग करके उत्तर प्राप्त करें! आइए व्यापार की जड़ को बाहर निकालें! ओह-ओह-ओह, यह पता चला है कि ऐसी संख्या कभी समाप्त नहीं होती है। आप इसे कैसे याद रख सकते हैं, क्योंकि परीक्षा में कोई कैलकुलेटर नहीं होगा! सब कुछ बहुत सरल है, आपको इसे याद रखने की आवश्यकता नहीं है, आपको एक अनुमानित मूल्य को याद रखने (या जल्दी से अनुमान लगाने में सक्षम) की आवश्यकता है। और जवाब खुद। ऐसी संख्याओं को अपरिमेय कहा जाता है, और ऐसी संख्याओं के अंकन को सरल बनाने के लिए वर्गमूल की अवधारणा पेश की गई थी।
आइए सुदृढ़ करने के लिए एक और उदाहरण देखें। आइए निम्नलिखित समस्या का विश्लेषण करें: आपको तिरछे पार करने की आवश्यकता है वर्गाकार डिब्बाकिमी की एक भुजा के साथ, आपको कितने किमी चलना होगा?

यहाँ सबसे स्पष्ट बात यह है कि त्रिभुज पर अलग से विचार करें और पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करें:। इस तरह, । तो यहाँ आवश्यक दूरी क्या है? जाहिर है, दूरी नकारात्मक नहीं हो सकती है, हमें वह मिलता है। दो का मूल लगभग बराबर है, लेकिन, जैसा कि हमने पहले उल्लेख किया है, पहले से ही एक पूर्ण उत्तर है।

जड़ निष्कर्षण

ताकि उदाहरणों को जड़ों से हल करने से समस्या न हो, आपको उन्हें देखने और पहचानने की जरूरत है। ऐसा करने के लिए, आपको कम से कम संख्याओं के वर्गों को जानने की जरूरत है, साथ ही उन्हें पहचानने में सक्षम होना चाहिए।

यही है, आपको यह जानने की जरूरत है कि क्या चुकता है, और इसके विपरीत, क्या चुकता है। सबसे पहले, यह तालिका आपको जड़ निकालने में मदद करेगी।

जैसे ही आप पर्याप्त संख्या में उदाहरणों को हल करते हैं, तो इसकी आवश्यकता स्वतः ही गायब हो जाएगी।
निम्नलिखित भावों में स्वयं वर्गमूल निकालने का प्रयास करें:

अच्छा, यह कैसे काम किया? आइए अब इन उदाहरणों को देखें:

अंकगणित वर्गमूल के गुण

अब आप जानते हैं कि जड़ों को कैसे निकाला जाता है और यह अंकगणितीय वर्गमूल के गुणों के बारे में जानने का समय है। उनमें से केवल 3 हैं:

• गुणन;
• विभाजन;
• घातांक

खैर, इस तालिका की मदद से उन्हें याद रखना बहुत आसान है और निश्चित रूप से, प्रशिक्षण:

कैसे तय करें
द्विघातीय समीकरण

पिछले पाठों में, हमने "रैखिक समीकरणों को कैसे हल करें" का विश्लेषण किया, अर्थात्, पहली डिग्री के समीकरण। इस पाठ में, हम पता लगाएंगे द्विघात समीकरण क्या हैऔर इसे कैसे हल करें।

द्विघात समीकरण क्या है

एक समीकरण की डिग्री उस उच्चतम डिग्री से निर्धारित होती है जिस पर अज्ञात खड़ा होता है।

यदि अज्ञात की अधिकतम डिग्री "2" है, तो आपके पास द्विघात समीकरण है।

द्विघात समीकरणों के उदाहरण

• 5x2 - 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

"ए", "बी" और "सी" खोजने के लिए आपको द्विघात समीकरण "कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स + सी = 0" के सामान्य रूप के साथ अपने समीकरण की तुलना करने की आवश्यकता है।

आइए द्विघात समीकरणों में गुणांक "ए", "बी" और "सी" निर्धारित करने का अभ्यास करें।

• ए = 5
• बी = -14
• सी = 17

• ए = -7
• बी = −13
• सी = 8

• ए = -1
• बी = 1

• ए = 1
• बी = 0.25
• सी = 0

• ए = 1
• बी = 0
• सी = −8

द्विघात समीकरणों को कैसे हल करें

भिन्न रेखीय समीकरणद्विघात समीकरणों को हल करने के लिए, एक विशेष जड़ों को खोजने का सूत्र.

द्विघात समीकरण को हल करने के लिए आपको चाहिए:

• द्विघात समीकरण को सामान्य रूप "ax 2 + bx + c = 0" में लाएं। यानी दायीं तरफ सिर्फ "0" ही रहना चाहिए;
• जड़ों के लिए सूत्र का प्रयोग करें:

आइए एक उदाहरण का उपयोग करके यह पता लगाएं कि द्विघात समीकरण की जड़ों को खोजने के लिए सूत्र को कैसे लागू किया जाए। आइए द्विघात समीकरण को हल करें।

समीकरण "x 2 − 3x − 4 = 0" को पहले ही सामान्य रूप "ax 2 + bx + c = 0" में घटा दिया गया है और इसके लिए अतिरिक्त सरलीकरण की आवश्यकता नहीं है। इसे हल करने के लिए, हमें केवल आवेदन करने की आवश्यकता है द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात करने का सूत्र.

आइए इस समीकरण के लिए गुणांक "ए", "बी" और "सी" परिभाषित करें।

• ए = 1
• बी = -3
• सी = −4

उन्हें सूत्र में रखिए और मूल ज्ञात कीजिए।

जड़ों को खोजने के सूत्र को याद करना सुनिश्चित करें।

इसकी सहायता से कोई भी द्विघात समीकरण हल किया जाता है।

द्विघात समीकरण के एक अन्य उदाहरण पर विचार करें।

इस रूप में, गुणांक "ए", "बी" और "सी" निर्धारित करना काफी मुश्किल है। आइए पहले समीकरण को "ax 2 + bx + c = 0" के सामान्य रूप में लाएं।

अब आप जड़ों के लिए सूत्र का उपयोग कर सकते हैं।

ऐसे समय होते हैं जब द्विघात समीकरणों में कोई जड़ें नहीं होती हैं। यह स्थिति तब होती है जब मूल के नीचे सूत्र में ऋणात्मक संख्या दिखाई देती है।

वर्गमूल की परिभाषा से हमें याद है कि आप ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल नहीं ले सकते।

एक द्विघात समीकरण के उदाहरण पर विचार करें जिसकी कोई जड़ नहीं है।

तो, हमें एक ऐसी स्थिति मिली जहां रूट के नीचे एक ऋणात्मक संख्या है। इसका मतलब है कि समीकरण में कोई जड़ें नहीं हैं। इसलिए, जवाब में, हमने लिखा "कोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं।"

"कोई वास्तविक जड़ें नहीं" शब्दों का क्या अर्थ है? आप सिर्फ "कोई जड़ नहीं" क्यों नहीं लिख सकते?

वास्तव में, ऐसे मामलों में जड़ें होती हैं, लेकिन वे स्कूली पाठ्यक्रम के ढांचे के भीतर पारित नहीं होते हैं, इसलिए, जवाब में, हम लिखते हैं कि वास्तविक संख्याओं के बीच कोई जड़ें नहीं हैं। दूसरे शब्दों में, "कोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं।"

अपूर्ण द्विघात समीकरण

कभी-कभी द्विघात समीकरण होते हैं जिनमें कोई स्पष्ट गुणांक "बी" और/या "सी" नहीं होते हैं। उदाहरण के लिए, इस समीकरण में:

ऐसे समीकरण अपूर्ण कहलाते हैं। द्विघातीय समीकरण. उन्हें कैसे हल किया जाए, इसकी चर्चा "अपूर्ण द्विघात समीकरण" पाठ में की गई है।