ऑनलाइन एक बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण लिखिए। समतल में एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण

"ज्यामितीय एल्गोरिदम" श्रृंखला से पाठ

नमस्कार प्रिय पाठक!

आज हम ज्यामिति से संबंधित एल्गोरिदम सीखना शुरू करेंगे। तथ्य यह है कि कम्प्यूटेशनल ज्यामिति से संबंधित कंप्यूटर विज्ञान में ओलंपियाड की बहुत सारी समस्याएं हैं, और ऐसी समस्याओं का समाधान अक्सर कठिनाइयों का कारण बनता है।

कुछ पाठों में, हम कई प्राथमिक उप-समस्याओं पर विचार करेंगे, जिन पर कम्प्यूटेशनल ज्यामिति की अधिकांश समस्याओं का समाधान आधारित है।

इस पाठ में, हम इसके लिए एक कार्यक्रम लिखेंगे एक सीधी रेखा का समीकरण ज्ञात करनादिए गए के माध्यम से गुजर रहा है दो बिंदु. ज्यामितीय समस्याओं को हल करने के लिए, हमें कम्प्यूटेशनल ज्यामिति के कुछ ज्ञान की आवश्यकता है। हम उन्हें जानने के लिए पाठ का एक हिस्सा समर्पित करेंगे।

कम्प्यूटेशनल ज्यामिति से जानकारी

कम्प्यूटेशनल ज्यामिति कंप्यूटर विज्ञान की एक शाखा है जो ज्यामितीय समस्याओं को हल करने के लिए एल्गोरिदम का अध्ययन करती है।

इस तरह की समस्याओं के लिए प्रारंभिक डेटा विमान पर बिंदुओं का एक सेट, खंडों का एक सेट, एक बहुभुज (दिया गया, उदाहरण के लिए, दक्षिणावर्त क्रम में इसके शीर्षों की सूची द्वारा) आदि हो सकता है।

परिणाम या तो किसी प्रश्न का उत्तर हो सकता है (जैसे कि एक बिंदु एक खंड से संबंधित है, दो खंड प्रतिच्छेद करते हैं, ...), या कुछ ज्यामितीय वस्तु (उदाहरण के लिए, सबसे छोटा उत्तल बहुभुज जो जुड़ता है) दिए गए अंक, बहुभुज क्षेत्र, आदि)।

हम केवल समतल पर और केवल में कम्प्यूटेशनल ज्यामिति की समस्याओं पर विचार करेंगे कार्तीय प्रणालीनिर्देशांक।

वेक्टर और निर्देशांक

कम्प्यूटेशनल ज्यामिति के तरीकों को लागू करने के लिए, ज्यामितीय छवियों को संख्याओं की भाषा में अनुवाद करना आवश्यक है। हम मानते हैं कि समतल पर एक कार्तीय निर्देशांक प्रणाली दी गई है, जिसमें घूर्णन की दिशा वामावर्त धनात्मक कहलाती है।

अब ज्यामितीय वस्तुओं को एक विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति प्राप्त होती है। तो, एक बिंदु निर्धारित करने के लिए, इसके निर्देशांक निर्दिष्ट करने के लिए पर्याप्त है: संख्याओं की एक जोड़ी (x; y)। एक खंड को इसके सिरों के निर्देशांक निर्दिष्ट करके निर्दिष्ट किया जा सकता है, इसके बिंदुओं की एक जोड़ी के निर्देशांक निर्दिष्ट करके एक सीधी रेखा निर्दिष्ट की जा सकती है।

लेकिन समस्याओं को हल करने का मुख्य साधन वैक्टर होंगे। इसलिए मैं आपको उनके बारे में कुछ जानकारी याद दिला दूं।

रेखा खंड अब, जिसमें एक बिंदु है लेकिनशुरुआत (आवेदन का बिंदु), और बिंदु माना जाता है पर- अंत को सदिश कहा जाता है अबऔर या तो , या एक बोल्ड लोअरकेस अक्षर द्वारा दर्शाया गया है, उदाहरण के लिए एक .

एक वेक्टर की लंबाई (अर्थात, संबंधित खंड की लंबाई) को दर्शाने के लिए, हम मॉड्यूल प्रतीक (उदाहरण के लिए, ) का उपयोग करेंगे।

एक मनमाना वेक्टर के अंत और शुरुआत के संबंधित निर्देशांक के बीच अंतर के बराबर निर्देशांक होंगे:

,

यहाँ बिंदु एतथा बी निर्देशांक हैं क्रमश।

गणना के लिए, हम अवधारणा का उपयोग करेंगे उन्मुख कोण, यानी एक कोण जो वैक्टर की सापेक्ष स्थिति को ध्यान में रखता है।

सदिशों के बीच उन्मुख कोण एक तथा बी सकारात्मक अगर रोटेशन वेक्टर से दूर है एक वेक्टर के लिए बी सकारात्मक दिशा (वामावर्त) में किया जाता है और दूसरे मामले में नकारात्मक। अंजीर देखें। 1 ए, अंजीर। 1 बी। यह भी कहा जाता है कि वैक्टर की एक जोड़ी एक तथा बी सकारात्मक (नकारात्मक) उन्मुख।

इस प्रकार, उन्मुख कोण का मान वैक्टर की गणना के क्रम पर निर्भर करता है और अंतराल में मान ले सकता है।

कई कम्प्यूटेशनल ज्यामिति समस्याएं वैक्टर के वेक्टर (तिरछा या स्यूडोस्केलर) उत्पादों की अवधारणा का उपयोग करती हैं।

वैक्टर ए और बी का वेक्टर उत्पाद इन वैक्टरों की लंबाई और उनके बीच के कोण की साइन का उत्पाद है:

.

निर्देशांक में सदिशों का सदिश गुणनफल:

दाईं ओर का व्यंजक दूसरे क्रम का निर्धारक है:

विश्लेषणात्मक ज्यामिति में दी गई परिभाषा के विपरीत, यह एक अदिश राशि है।

संकेत वेक्टर उत्पादएक दूसरे के सापेक्ष वैक्टर की स्थिति निर्धारित करता है:

एक तथा बी सकारात्मक रूप से उन्मुख।

यदि मान है , तो सदिशों का युग्म एक तथा बी नकारात्मक उन्मुख।

गैर-शून्य वैक्टर का क्रॉस उत्पाद शून्य है यदि और केवल अगर वे संरेख हैं ( ) इसका मतलब है कि वे एक ही रेखा पर या समानांतर रेखाओं पर स्थित हैं।

आइए अधिक जटिल कार्यों को हल करने के लिए आवश्यक कुछ सरल कार्यों पर विचार करें।

आइए दो बिंदुओं के निर्देशांक द्वारा एक सीधी रेखा के समीकरण को परिभाषित करें।

दो अलग-अलग बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण उनके निर्देशांकों द्वारा दिया जाता है।

मान लीजिए कि रेखा पर दो गैर-संपाती बिंदु दिए गए हैं: निर्देशांक (x1;y1) और निर्देशांक (x2; y2) के साथ। तदनुसार, बिंदु पर शुरुआत और बिंदु पर अंत वाले वेक्टर में निर्देशांक (x2-x1, y2-y1) होते हैं। यदि P(x, y) हमारी रेखा पर एक मनमाना बिंदु है, तो सदिश के निर्देशांक (x-x1, y - y1) हैं।

क्रॉस उत्पाद की मदद से, वैक्टर की समरूपता की स्थिति और निम्नानुसार लिखी जा सकती है:

वे। (x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1)=0

(y2-y1)x + (x1-x2)y + x1(y1-y2) + y1(x2-x1) = 0

हम अंतिम समीकरण को इस प्रकार फिर से लिखते हैं:

कुल्हाड़ी + बाय + सी = 0, (1)

सी = x1(y1-y2) + y1(x2-x1)

तो, सरल रेखा को फॉर्म (1) के समीकरण द्वारा दिया जा सकता है।

कार्य 1. दो बिंदुओं के निर्देशांक दिए गए हैं। ax + by + c = 0 के रूप में इसका निरूपण ज्ञात कीजिए।

इस पाठ में, हम कम्प्यूटेशनल ज्यामिति से कुछ जानकारी से परिचित हुए। हमने दो बिंदुओं के निर्देशांक द्वारा रेखा के समीकरण को खोजने की समस्या को हल किया।

अगले पाठ में, हम अपने समीकरणों द्वारा दी गई दो रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए एक प्रोग्राम लिखेंगे।

यह लेख एक समतल पर स्थित एक आयताकार समन्वय प्रणाली में दो दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के समीकरण की व्युत्पत्ति का खुलासा करता है। हम एक आयताकार निर्देशांक प्रणाली में दो दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण प्राप्त करते हैं। हम कवर की गई सामग्री से संबंधित कई उदाहरण दिखाएंगे और हल करेंगे।

यांडेक्स.आरटीबी आर-ए-339285-1

दिए गए दो बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण प्राप्त करने से पहले कुछ तथ्यों पर ध्यान देना आवश्यक है। एक अभिगृहीत है जो कहता है कि एक समतल पर दो गैर-संयोग बिंदुओं के माध्यम से एक सीधी रेखा खींचना संभव है और केवल एक। दूसरे शब्दों में, समतल के दो दिए गए बिंदु इन बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा द्वारा निर्धारित होते हैं।

यदि समतल को आयताकार निर्देशांक प्रणाली ऑक्सी द्वारा दिया गया है, तो इसमें दर्शाई गई कोई भी सीधी रेखा समतल पर सीधी रेखा के समीकरण के अनुरूप होगी। सीधी रेखा के निर्देशन सदिश के साथ एक संबंध भी है।ये आंकड़े दो दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के समीकरण को तैयार करने के लिए पर्याप्त हैं।

इसी तरह की समस्या को हल करने के एक उदाहरण पर विचार करें। कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में स्थित दो बेमेल बिंदुओं M1 (x 1, y 1) और M 2 (x 2, y 2) से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण बनाना आवश्यक है।

एक विमान पर एक सीधी रेखा के विहित समीकरण में, x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y के रूप में, एक आयताकार समन्वय प्रणाली O x y को एक सीधी रेखा के साथ निर्दिष्ट किया जाता है जो निर्देशांक M के साथ एक बिंदु पर इसके साथ प्रतिच्छेद करता है। 1 (x 1, y 1) गाइड वेक्टर a → = (a x , a y) के साथ।

तैयार करना आवश्यक है विहित समीकरणसीधी रेखा a जो निर्देशांक M 1 (x 1, y 1) और M 2 (x 2, y 2) के साथ दो बिंदुओं से होकर गुजरेगी।

सीधी रेखा a में निर्देशांक (x 2 - x 1, y 2 - y 1) के साथ एक निर्देशन वेक्टर M 1 M 2 → है, क्योंकि यह बिंदुओं M 1 और M 2 को प्रतिच्छेद करता है। दिशा वेक्टर एम 1 एम 2 → = (एक्स 2 - एक्स 1, वाई 2 - वाई 1) के निर्देशांक के साथ विहित समीकरण को बदलने के लिए हमने आवश्यक डेटा प्राप्त किया है और उन पर स्थित बिंदुओं एम 1 के निर्देशांक (एक्स 1, वाई 1) और एम 2 (एक्स 2, वाई 2)। हमें x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 या x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 के रूप का समीकरण प्राप्त होता है।

नीचे दिए गए चित्र पर विचार करें।

गणनाओं के बाद, हम एक सीधी रेखा के पैरामीट्रिक समीकरणों को एक समतल में लिखते हैं जो निर्देशांक M 1 (x 1, y 1) और M 2 (x 2, y 2) के साथ दो बिंदुओं से होकर गुजरता है। हमें x \u003d x 1 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) या x \u003d x 2 + (x 2 - x 1) का समीकरण मिलता है। वाई \u003d वाई 2 + (वाई 2 - वाई 1) ।

आइए कुछ उदाहरणों पर करीब से नज़र डालें।

उदाहरण 1

निर्देशांक M 1 - 5 , 2 3 , M 2 1 , - 1 6 के साथ दिए गए 2 बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण लिखिए।

समाधान

निर्देशांक x 1 , y 1 और x 2 , y 2 के साथ दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने वाली एक सीधी रेखा के लिए विहित समीकरण x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 का रूप लेता है। समस्या की स्थिति के अनुसार, हमारे पास x 1 \u003d - 5, y 1 \u003d 2 3, x 2 \u003d 1, y 2 \u003d - 1 6 है। समीकरण x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 में संख्यात्मक मानों को प्रतिस्थापित करना आवश्यक है। यहाँ से हम पाते हैं कि विहित समीकरण x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 का रूप लेगा।

उत्तर: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6।

यदि किसी भिन्न प्रकार के समीकरण के साथ किसी समस्या को हल करना आवश्यक है, तो शुरुआत के लिए आप विहित पर जा सकते हैं, क्योंकि इससे किसी अन्य के पास आना आसान है।

उदाहरण 2

O x y निर्देशांक प्रणाली में निर्देशांक M 1 (1, 1) और M 2 (4, 2) वाले बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण की रचना करें।

समाधान

सबसे पहले आपको दी गई रेखा के विहित समीकरण को लिखने की जरूरत है जो दिए गए दो बिंदुओं से होकर गुजरती है। हमें x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 के रूप का समीकरण प्राप्त होता है।

हम विहित समीकरण को वांछित रूप में लाते हैं, फिर हम प्राप्त करते हैं:

x - 1 3 = y - 1 1 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0

उत्तर:एक्स - 3 वाई + 2 = 0।

बीजगणित पाठों में स्कूली पाठ्यपुस्तकों में ऐसे कार्यों के उदाहरणों पर विचार किया गया था। स्कूल के कार्य इस मायने में भिन्न थे कि एक सीधी रेखा के समीकरण के साथ ढलान कारक, जिसका रूप y = k x + b है। यदि आपको ढलान k और संख्या b का मान ज्ञात करने की आवश्यकता है, जिस पर समीकरण y \u003d k x + b, O x y प्रणाली में एक रेखा को परिभाषित करता है जो बिंदुओं M 1 (x 1, y 1) और M से होकर गुजरती है। 2 (x 2, y 2) , जहां x 1 x 2 । जब x 1 = x 2 , तो ढलान अनंत के मान पर ले जाता है, और सीधी रेखा एम 1 एम 2 को फॉर्म के सामान्य अपूर्ण समीकरण द्वारा परिभाषित किया जाता है x - x 1 = 0 .

क्योंकि डॉट्स एम 1तथा एम 2एक सीधी रेखा पर हैं, तो उनके निर्देशांक समीकरण y 1 = k x 1 + b और y 2 = k x 2 + b को संतुष्ट करते हैं। k और b के सन्दर्भ में समीकरण y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b के निकाय को हल करना आवश्यक है।

ऐसा करने के लिए, हम k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 b \u003d y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 या k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x पाते हैं। 1 बी \u003d y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2 ।

k और b के ऐसे मानों के साथ, दिए गए दो बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण निम्नलिखित रूप लेता है y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 या y \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2।

इतनी बड़ी संख्या में सूत्र एक साथ याद करने से काम नहीं चलेगा। ऐसा करने के लिए, समस्याओं को हल करने में दोहराव की संख्या में वृद्धि करना आवश्यक है।

उदाहरण 3

निर्देशांक M 2 (2, 1) और y = k x + b वाले बिंदुओं से गुजरने वाली ढलान वाली एक सीधी रेखा का समीकरण लिखिए।

समाधान

समस्या को हल करने के लिए, हम एक ढलान के साथ एक सूत्र का उपयोग करते हैं जिसका रूप y \u003d k x + b है। गुणांक k और b को ऐसा मान लेना चाहिए कि यह समीकरण M 1 (- 7 , - 5) और M 2 (2 , 1) निर्देशांक के साथ दो बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के संगत हो।

अंक एम 1तथा एम 2एक सीधी रेखा पर स्थित है, तो उनके निर्देशांक समीकरण y = k x + b को सही समानता में उलट देना चाहिए। यहाँ से हम पाते हैं कि - 5 = k · (- 7) + b और 1 = k · 2 + b। आइए समीकरण को सिस्टम में जोड़ते हैं - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b और हल करें।

प्रतिस्थापन पर, हम पाते हैं कि

5 = के - 7 + बी 1 = के 2 + बी ⇔ बी = - 5 + 7 के 2 के + बी = 1 ⇔ बी = - 5 + 7 के 2 के - 5 + 7 के = 1 बी = - 5 + 7 k k = 2 3 b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 b = - 1 3 k = 2 3

अब k = 2 3 और b = - 1 3 के मानों को समीकरण y = k x + b में प्रतिस्थापित किया जाता है। हम पाते हैं कि दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाला वांछित समीकरण एक समीकरण होगा जिसका रूप y = 2 3 x - 1 3 होगा।

पूर्व निर्धारित खर्च को हल करने का यह तरीका एक बड़ी संख्या मेंसमय। एक तरीका है जिसमें कार्य को दो चरणों में शाब्दिक रूप से हल किया जाता है।

हम एम 2 (2, 1) और एम 1 (- 7, - 5) से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के विहित समीकरण को x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5) के रूप में लिखते हैं। ) 1 - (- 5) x + 7 9 = y + 5 6।

अब चलो ढलान समीकरण पर चलते हैं। हम पाते हैं कि: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 (x + 7) = 9 (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3।

उत्तर: y = 2 3 x - 1 3।

यदि त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक आयताकार समन्वय प्रणाली है O x y z दो दिए गए गैर-संयोग बिंदुओं के साथ निर्देशांक M 1 (x 1, y 1, z 1) और M 2 (x 2, y 2, z 2) के साथ, सीधी रेखा M उनके बीच से गुजरती है 1 M 2 , इस रेखा का समीकरण प्राप्त करना आवश्यक है।

हमारे पास x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z के रूप के विहित समीकरण हैं और x = x 1 + a x y = y 1 + a y z = z 1 + के रूप के पैरामीट्रिक समीकरण हैं। a z O x y z निर्देशांक प्रणाली में एक निर्देश सदिश a → = (a x, a y, a z) के साथ निर्देशांक (x 1, y 1, z 1) वाले बिंदुओं से गुजरने वाली एक रेखा सेट करने में सक्षम हैं।

सीधे एम 1 एम 2 M 1 M 2 → = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1) के रूप का एक दिशा सदिश है, जहां रेखा बिंदु M 1 (x 1 , y 1 , z) से होकर गुजरती है। 1) और एम 2 (x 2, y 2, z 2), इसलिए विहित समीकरण x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z के रूप में हो सकता है 2 - z 1 या x - x 2 x 2 - x 1 \u003d y - y 2 y 2 - y 1 \u003d z - z 2 z 2 - z 1, बदले में, पैरामीट्रिक x \u003d x 1 + (x 2 - x 1) y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) z = z 1 + (z 2 - z 1) या x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) z \u003d z 2 + (z 2 - z 1) ।

एक आकृति पर विचार करें जो अंतरिक्ष में दिए गए 2 बिंदुओं और एक सीधी रेखा के समीकरण को दर्शाती है।

उदाहरण 4

दिए गए दो बिंदुओं से निर्देशांक M 1 (2, - 3, 0) और M 2 (1, - 3, -5 ) .

समाधान

हमें विहित समीकरण खोजने की जरूरत है। चूँकि हम त्रिविमीय समष्टि के बारे में बात कर रहे हैं, इसका अर्थ है कि जब एक सीधी रेखा दिए गए बिंदुओं से गुजरती है, तो वांछित विहित समीकरण x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = का रूप लेगा। जेड - जेड 1 जेड 2 - जेड 1।

शर्त के अनुसार, हमारे पास x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5 है। यह इस प्रकार है कि आवश्यक समीकरण निम्नानुसार लिखे जा सकते हैं:

x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5

उत्तर: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5।

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यह लेख एक समतल पर एक सीधी रेखा के समीकरण के विषय को जारी रखता है: इस प्रकार के समीकरण को एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण के रूप में देखें। आइए एक प्रमेय को परिभाषित करें और उसका प्रमाण दें; आइए जानें कि एक सीधी रेखा का अधूरा सामान्य समीकरण क्या है और एक सामान्य समीकरण से एक सीधी रेखा के अन्य प्रकार के समीकरणों में संक्रमण कैसे करें। हम पूरे सिद्धांत को दृष्टांतों और व्यावहारिक समस्याओं को हल करने के साथ समेकित करेंगे।

यांडेक्स.आरटीबी आर-ए-339285-1

मान लीजिए कि समतल पर एक आयताकार निर्देशांक तंत्र O x y दिया गया है।

प्रमेय 1

पहली डिग्री का कोई भी समीकरण, जिसका रूप A x + B y + C \u003d 0 है, जहाँ A, B, C कुछ वास्तविक संख्याएँ हैं (A और B एक ही समय में शून्य के बराबर नहीं हैं) एक सीधी रेखा को परिभाषित करता है विमान पर एक आयताकार समन्वय प्रणाली। बदले में, विमान पर एक आयताकार समन्वय प्रणाली में कोई भी रेखा एक समीकरण द्वारा निर्धारित की जाती है जिसमें ए, बी, सी के एक निश्चित सेट के लिए ए एक्स + बी वाई + सी = 0 होता है।

सबूत

इस प्रमेय में दो बिंदु हैं, हम उनमें से प्रत्येक को सिद्ध करेंगे।

1. आइए हम सिद्ध करें कि समीकरण A x + B y + C = 0 समतल पर एक रेखा को परिभाषित करता है।

मान लीजिए कोई बिंदु M 0 (x 0 , y 0) है जिसके निर्देशांक समीकरण A x + B y + C = 0 के संगत हैं। अत: A x 0 + B y 0 + C = 0। समीकरणों के बाएँ और दाएँ पक्षों से घटाएँ A x + B y + C \u003d 0 समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्ष A x 0 + B y 0 + C \u003d 0, हमें एक नया समीकरण मिलता है जो A जैसा दिखता है (एक्स - एक्स 0) + बी (वाई - वाई 0) = 0। यह A x + B y + C = 0 के बराबर है।

परिणामी समीकरण A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 वैक्टर n → = (A, B) और M 0 M → = (x - x) की लंबवतता के लिए एक आवश्यक और पर्याप्त स्थिति है। 0, वाई - वाई 0)। इस प्रकार, बिंदुओं का सेट M (x, y) एक आयताकार निर्देशांक प्रणाली में वेक्टर n → = (A, B) की दिशा के लंबवत एक सीधी रेखा को परिभाषित करता है। हम मान सकते हैं कि ऐसा नहीं है, लेकिन तब सदिश n → = (A, B) और M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) लंबवत नहीं होंगे, और समानता A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 सत्य नहीं होगा।

इसलिए, समीकरण A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 विमान पर एक आयताकार समन्वय प्रणाली में एक निश्चित रेखा को परिभाषित करता है, और इसलिए समतुल्य समीकरण A x + B y + C \u003d 0 एक ही पंक्ति को परिभाषित करता है। इस प्रकार हमने प्रमेय के पहले भाग को सिद्ध कर दिया है।

1. आइए हम सिद्ध करें कि समतल पर एक आयताकार निर्देशांक प्रणाली में कोई भी सीधी रेखा पहली डिग्री A x + B y + C = 0 के समीकरण द्वारा दी जा सकती है।

आइए समतल पर एक आयताकार समन्वय प्रणाली में एक सीधी रेखा a सेट करें; बिंदु M 0 (x 0 , y 0) जिसके माध्यम से यह रेखा गुजरती है, साथ ही इस रेखा का सामान्य सदिश n → = (A , B) ।

मान लीजिए कि कुछ बिंदु M (x , y) भी है - रेखा का एक अस्थायी बिंदु। इस स्थिति में, सदिश n → = (A, B) और M 0 M → = (x - x 0, y - 0) एक दूसरे के लंबवत हैं, और उनके अदिश उत्पादशून्य है:

एन →, एम 0 एम → = ए (एक्स - एक्स 0) + बी (वाई - वाई 0) = 0

आइए समीकरण A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0 को फिर से लिखें, C: C = - A x 0 - B y 0 को परिभाषित करें और अंत में समीकरण A x + B y + C = 0 प्राप्त करें।

तो, हमने प्रमेय के दूसरे भाग को सिद्ध कर दिया है, और हमने संपूर्ण प्रमेय को समग्र रूप से सिद्ध कर दिया है।

परिभाषा 1

एक समीकरण जो दिखता हैए एक्स + बी वाई + सी = 0 - ये है एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरणएक आयताकार समन्वय प्रणाली में एक विमान परओ एक्स वाई।

सिद्ध प्रमेय के आधार पर, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि एक निश्चित आयताकार निर्देशांक प्रणाली में एक समतल पर दी गई एक सीधी रेखा और उसका सामान्य समीकरण अटूट रूप से जुड़ा हुआ है। दूसरे शब्दों में, मूल रेखा अपने सामान्य समीकरण से मेल खाती है; एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण दी गई सीधी रेखा से मेल खाता है।

यह प्रमेय के प्रमाण से यह भी निकलता है कि चर x और y के लिए गुणांक A और B, सीधी रेखा के सामान्य वेक्टर के निर्देशांक हैं, जो कि सीधी रेखा A x + B y + के सामान्य समीकरण द्वारा दिया गया है। सी = 0।

विचार करना विशिष्ट उदाहरणएक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण।

मान लीजिए कि समीकरण 2 x + 3 y - 2 = 0 दिया गया है, जो किसी दिए गए आयताकार निर्देशांक प्रणाली में एक सीधी रेखा के संगत है। इस रेखा का सामान्य सदिश सदिश है n → = (2 , 3) ​​। चित्र में दी गई सीधी रेखा खींचिए।

निम्नलिखित पर भी तर्क दिया जा सकता है: जिस सीधी रेखा को हम चित्र में देखते हैं वह सामान्य समीकरण 2 x + 3 y - 2 = 0 द्वारा निर्धारित की जाती है, क्योंकि किसी दी गई सीधी रेखा के सभी बिंदुओं के निर्देशांक इस समीकरण के अनुरूप होते हैं।

हम सामान्य सीधी रेखा समीकरण के दोनों पक्षों को एक गैर-शून्य संख्या से गुणा करके समीकरण λ · A x + λ · B y + · C = 0 प्राप्त कर सकते हैं। परिणामी समीकरण मूल सामान्य समीकरण के बराबर है, इसलिए, यह समतल में समान रेखा का वर्णन करेगा।

परिभाषा 2

एक सीधी रेखा का पूर्ण सामान्य समीकरण- रेखा A x + B y + C \u003d 0 का ऐसा सामान्य समीकरण, जिसमें संख्याएँ A, B, C गैर-शून्य हैं। अन्यथा, समीकरण है अधूरा.

आइए हम सरल रेखा के अपूर्ण सामान्य समीकरण के सभी रूपों का विश्लेषण करें।

1. जब A \u003d 0, B 0, C ≠ 0, सामान्य समीकरण B y + C \u003d 0 हो जाता है। ऐसा अधूरा सामान्य समीकरण आयताकार समन्वय प्रणाली O x y में एक सीधी रेखा को परिभाषित करता है जो O x अक्ष के समानांतर है, क्योंकि x के किसी भी वास्तविक मान के लिए, चर y मान पर ले जाएगा - सी बी। दूसरे शब्दों में, रेखा A x + B y + C \u003d 0 का सामान्य समीकरण, जब A \u003d 0, B ≠ 0, उन बिंदुओं (x, y) के स्थान को परिभाषित करता है जिनके निर्देशांक समान संख्या के बराबर होते हैं - सी बी।
2. यदि ए \u003d 0, बी 0, सी \u003d 0, सामान्य समीकरण y \u003d 0 हो जाता है। ऐसा अधूरा समीकरण x-अक्ष O x को परिभाषित करता है।
3. जब A 0, B \u003d 0, C ≠ 0, हमें एक अपूर्ण सामान्य समीकरण A x + C \u003d 0 मिलता है, जो y-अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा को परिभाषित करता है।
4. चलो A 0, B \u003d 0, C \u003d 0, फिर अधूरा सामान्य समीकरण x \u003d 0 का रूप लेगा, और यह समन्वय रेखा O y का समीकरण है।
5. अंत में, जब A 0, B ≠ 0, C \u003d 0, अपूर्ण सामान्य समीकरण A x + B y \u003d 0 का रूप लेता है। और यह समीकरण एक सीधी रेखा का वर्णन करता है जो मूल बिंदु से होकर गुजरती है। वास्तव में, संख्याओं का युग्म (0 , 0) समानता A x + B y = 0 से मेल खाता है, क्योंकि A · 0 + B · 0 = 0।

आइए हम एक सीधी रेखा के अधूरे सामान्य समीकरण के उपरोक्त सभी प्रकारों का आलेखीय रूप से वर्णन करें।

उदाहरण 1

यह ज्ञात है कि दी गई सीधी रेखा y-अक्ष के समानांतर है और बिंदु 2 7 , - 11 से होकर गुजरती है। किसी दी गई सीधी रेखा के सामान्य समीकरण को लिखना आवश्यक है।

समाधान

Y-अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा A x + C \u003d 0 के रूप के समीकरण द्वारा दी गई है, जिसमें A 0 है। शर्त उस बिंदु के निर्देशांक भी निर्दिष्ट करती है जिसके माध्यम से रेखा गुजरती है, और इस बिंदु के निर्देशांक अपूर्ण सामान्य समीकरण A x + C = 0 की शर्तों के अनुरूप होते हैं, अर्थात। समानता सही है:

ए 2 7 + सी = 0

ए को कुछ गैर-शून्य मान देकर सी को निर्धारित करना संभव है, उदाहरण के लिए, ए = 7। इस मामले में, हमें मिलता है: 7 2 7 + सी \u003d 0 सी \u003d - 2। हम गुणांक A और C दोनों को जानते हैं, उन्हें समीकरण A x + C = 0 में प्रतिस्थापित करें और रेखा का वांछित समीकरण प्राप्त करें: 7 x - 2 = 0

उत्तर: 7 एक्स - 2 = 0

उदाहरण 2

ड्राइंग एक सीधी रेखा दिखाती है, इसके समीकरण को लिखना आवश्यक है।

समाधान

दी गई ड्राइंग हमें समस्या को हल करने के लिए प्रारंभिक डेटा आसानी से लेने की अनुमति देती है। हम चित्र में देखते हैं कि दी गई रेखा O x अक्ष के समानांतर है और बिंदु (0, 3) से होकर गुजरती है।

सीधी रेखा, जो भुज के समांतर होती है, अपूर्ण सामान्य समीकरण B y + = 0 से निर्धारित होती है। B और C के मान ज्ञात कीजिए। बिंदु (0, 3) के निर्देशांक, चूंकि दी गई सीधी रेखा इससे होकर गुजरती है, सीधी रेखा B y + С = 0 के समीकरण को संतुष्ट करेगी, तो समानता मान्य है: В · 3 + С = 0। आइए B को शून्य के अलावा किसी अन्य मान पर सेट करें। मान लें कि B \u003d 1, इस मामले में, समानता B · 3 + C \u003d 0 से हम C: C \u003d - 3 पा सकते हैं। बी और सी के ज्ञात मूल्यों का उपयोग करके, हम सीधी रेखा के लिए आवश्यक समीकरण प्राप्त करते हैं: y - 3 = 0।

उत्तर:वाई - 3 = 0।

समतल के किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण

दी गई रेखा को बिंदु M 0 (x 0, y 0) से गुजरने दें, तो इसके निर्देशांक रेखा के सामान्य समीकरण के अनुरूप होते हैं, अर्थात। समानता सत्य है: A x 0 + B y 0 + C = 0। इस समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्षों को सामान्य के बाएँ और दाएँ पक्षों से घटाएँ पूरा समीकरणसीधा। हम प्राप्त करते हैं: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C \u003d 0, यह समीकरण मूल सामान्य के बराबर है, बिंदु M 0 (x 0, y 0) से होकर गुजरता है और एक है सामान्य वेक्टर n → \u003d (ए, बी) ।

हमने जो परिणाम प्राप्त किया है, उससे सीधी रेखा के सामान्य वेक्टर के ज्ञात निर्देशांक और इस सीधी रेखा के एक निश्चित बिंदु के निर्देशांक के लिए एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण को लिखना संभव हो जाता है।

उदाहरण 3

एक बिंदु M 0 (- 3, 4) दिया गया है जिसके माध्यम से रेखा गुजरती है, और इस रेखा का सामान्य वेक्टर n → = (1 , - 2)। दी गई सीधी रेखा के समीकरण को लिखना आवश्यक है।

समाधान

प्रारंभिक शर्तें हमें समीकरण संकलित करने के लिए आवश्यक डेटा प्राप्त करने की अनुमति देती हैं: ए \u003d 1, बी \u003d - 2, x 0 \u003d - 3, y 0 \u003d 4. फिर:

ए (एक्स - एक्स 0) + बी (वाई - वाई 0) = 0 ⇔ 1 (एक्स - (- 3)) - 2 वाई (वाई - 4) = 0 एक्स - 2 वाई + 22 = 0

समस्या को अलग तरीके से हल किया जा सकता था। सामान्य समीकरणसीधी रेखा का रूप A x + B y + C = 0 है। दिया गया सामान्य वेक्टर आपको गुणांक ए और बी के मान प्राप्त करने की अनुमति देता है, फिर:

ए एक्स + बी वाई + सी = 0 1 एक्स - 2 वाई + सी = 0 ⇔ एक्स - 2 वाई + सी = 0

अब मूल्य खोजेंसी, समस्या की स्थिति द्वारा दिए गए बिंदु एम 0 (- 3, 4) का उपयोग करके, जिसके माध्यम से सीधी रेखा गुजरती है। इस बिंदु के निर्देशांक समीकरण x - 2 · y + C = 0 के अनुरूप हैं, अर्थात। - 3 - 2 4 + सी \u003d 0। इसलिए सी = 11. आवश्यक सीधी रेखा समीकरण का रूप लेता है: x - 2 · y + 11 = 0 ।

उत्तर:एक्स - 2 वाई + 11 = 0।

उदाहरण 4

एक रेखा 2 3 x - y - 1 2 = 0 और एक बिंदु M 0 इस रेखा पर स्थित है। इस बिंदु का केवल भुज ही ज्ञात होता है, और यह - 3 के बराबर होता है। दिए गए बिंदु की कोटि निर्धारित करना आवश्यक है।

समाधान

आइए बिंदु M 0 के निर्देशांकों का पदनाम x 0 और y 0 के रूप में सेट करें। प्रारंभिक डेटा इंगित करता है कि x 0 \u003d - 3। चूंकि बिंदु किसी दी गई रेखा से संबंधित है, इसलिए इसके निर्देशांक इस रेखा के सामान्य समीकरण के अनुरूप होते हैं। तब निम्नलिखित समानता सत्य होगी:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

y 0: 2 3 (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2 परिभाषित करें

उत्तर: - 5 2

एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण से एक सीधी रेखा के अन्य प्रकार के समीकरणों में संक्रमण और इसके विपरीत

जैसा कि हम जानते हैं, समतल में एक ही सीधी रेखा के समीकरण कई प्रकार के होते हैं। समीकरण के प्रकार का चुनाव समस्या की स्थितियों पर निर्भर करता है; इसके समाधान के लिए जो अधिक सुविधाजनक है उसे चुनना संभव है। यहीं पर एक प्रकार के समीकरण को दूसरे प्रकार के समीकरण में बदलने का कौशल बहुत काम आता है।

सबसे पहले, फॉर्म A x + B y + C = 0 के सामान्य समीकरण से विहित समीकरण x - x 1 a x = y - y 1 a y में संक्रमण पर विचार करें।

यदि A 0 है, तो हम पद B y को . में स्थानान्तरित करते हैं दाईं ओरसामान्य समीकरण। बाईं ओर, हम A को कोष्ठक से बाहर निकालते हैं। परिणामस्वरूप, हम प्राप्त करते हैं: A x + C A = - B y।

इस समानता को अनुपात के रूप में लिखा जा सकता है: x + C A - B = y A ।

यदि बी 0, हम सामान्य समीकरण के बाईं ओर केवल ए एक्स छोड़ते हैं, हम दूसरों को दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं, हमें मिलता है: ए एक्स \u003d - बी वाई - सी। हम बाहर निकालते हैं - B कोष्ठक से बाहर, फिर: A x \u003d - B y + C B।

आइए समानता को अनुपात के रूप में फिर से लिखें: x - B = y + C B A ।

बेशक, परिणामी सूत्रों को याद रखने की कोई आवश्यकता नहीं है। सामान्य समीकरण से विहित में संक्रमण के दौरान क्रियाओं के एल्गोरिथ्म को जानना पर्याप्त है।

उदाहरण 5

रेखा 3 y - 4 = 0 का सामान्य समीकरण दिया गया है। इसे एक विहित समीकरण में बदलने की जरूरत है।

समाधान

हम मूल समीकरण को 3 y - 4 = 0 के रूप में लिखते हैं। अगला, हम एल्गोरिथम के अनुसार कार्य करते हैं: शब्द 0 x बाईं ओर रहता है; और दाईं ओर हम निकालते हैं - कोष्ठक में से 3; हम पाते हैं: 0 x = - 3 y - 4 3।

आइए परिणामी समानता को अनुपात के रूप में लिखें: x - 3 = y - 4 3 0 । इस प्रकार, हमने विहित रूप का एक समीकरण प्राप्त किया है।

उत्तर: x - 3 = y - 4 3 0.

एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण को पैरामीट्रिक में बदलने के लिए, सबसे पहले, विहित रूप में संक्रमण किया जाता है, और फिर सीधी रेखा के विहित समीकरण से पैरामीट्रिक समीकरणों में संक्रमण किया जाता है।

उदाहरण 6

सीधी रेखा समीकरण 2 x - 5 y - 1 = 0 द्वारा दी गई है। इस रेखा के पैरामीट्रिक समीकरण लिखिए।

समाधान

आइए सामान्य समीकरण से विहित समीकरण में परिवर्तन करें:

2 x - 5 y - 1 = 0 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

अब आइए परिणामी विहित समीकरण के दोनों भागों को के बराबर लें, फिर:

x 5 = y + 1 5 2 = x = 5 y = - 1 5 + 2 , आर

उत्तर:x = 5 y = - 1 5 + 2 , R

सामान्य समीकरण को ढलान y = k x + b के साथ एक सीधी रेखा समीकरण में परिवर्तित किया जा सकता है, लेकिन केवल तभी जब B 0 हो। बाईं ओर संक्रमण के लिए, हम शब्द B y छोड़ देते हैं, बाकी को दाईं ओर स्थानांतरित कर दिया जाता है। हम पाते हैं: B y = - A x - C । आइए परिणामी समानता के दोनों भागों को B से विभाजित करें, जो शून्य से भिन्न है: y = - A B x - C B।

उदाहरण 7

एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण दिया गया है: 2 x + 7 y = 0। आपको उस समीकरण को एक ढलान समीकरण में बदलने की जरूरत है।

समाधान

आइए एल्गोरिथम के अनुसार आवश्यक क्रियाएं करें:

2 x + 7 y = 0 7 y - 2 x y = - 2 7 x

उत्तर:वाई = - 2 7 एक्स।

एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण से, यह केवल x a + y b \u003d 1 के रूप के खंडों में एक समीकरण प्राप्त करने के लिए पर्याप्त है। ऐसा संक्रमण करने के लिए, हम संख्या C को समानता के दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं, परिणामी समानता के दोनों भागों को - से विभाजित करते हैं और अंत में, चर x और y के गुणांक को हर में स्थानांतरित करते हैं:

ए एक्स + बी वाई + सी = 0 ⇔ ए एक्स + बी वाई = - सी ए - सी एक्स + बी - सी वाई = 1 ⇔ एक्स - सी ए + वाई - सी बी = 1

उदाहरण 8

सीधी रेखा x - 7 y + 1 2 = 0 के सामान्य समीकरण को खंडों में एक सीधी रेखा के समीकरण में बदलना आवश्यक है।

समाधान

आइए 1 2 को दाईं ओर ले जाएं: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2।

समीकरण के दोनों पक्षों को -1/2 से विभाजित करें: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1।

उत्तर:एक्स - 1 2 + वाई 1 14 = 1।

सामान्य तौर पर, रिवर्स ट्रांज़िशन भी आसान होता है: अन्य प्रकार के समीकरणों से सामान्य तक।

खंडों में एक सीधी रेखा के समीकरण और ढलान वाले समीकरण को समीकरण के बाईं ओर सभी शब्दों को एकत्रित करके आसानी से सामान्य में परिवर्तित किया जा सकता है:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

निम्नलिखित योजना के अनुसार विहित समीकरण को सामान्य में बदल दिया जाता है:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y (x - x 1) = a x (y - y 1) a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 A x + B y + C = 0

पैरामीट्रिक से गुजरने के लिए, पहले विहित में संक्रमण किया जाता है, और फिर सामान्य में:

x = x 1 + a x y = y 1 + a y x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

उदाहरण 9

सरल रेखा x = - 1 + 2 · y = 4 के पैरामीट्रिक समीकरण दिए गए हैं। इस रेखा के सामान्य समीकरण को लिखना आवश्यक है।

समाधान

आइए पैरामीट्रिक समीकरणों से विहित में संक्रमण करें:

x = - 1 + 2 y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 λ y = 4 + 0 = x + 1 2 = y - 4 0 x + 1 2 = y - 4 0

आइए विहित से सामान्य की ओर बढ़ते हैं:

x + 1 2 = y - 4 0 0 (x + 1) = 2 (y - 4) y - 4 = 0

उत्तर:वाई - 4 = 0

उदाहरण 10

खंड x 3 + y 1 2 = 1 में एक सीधी रेखा का समीकरण दिया गया है। समीकरण के सामान्य रूप में संक्रमण करना आवश्यक है।

समाधान:

आइए समीकरण को आवश्यक रूप में फिर से लिखें:

x 3 + y 1 2 = 1 1 3 x + 2 y - 1 = 0

उत्तर: 1 3 x + 2 y - 1 = 0।

एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण बनाना

ऊपर, हमने कहा कि सामान्य समीकरण को सामान्य वेक्टर के ज्ञात निर्देशांक और उस बिंदु के निर्देशांक के साथ लिखा जा सकता है जहां से रेखा गुजरती है। ऐसी सीधी रेखा को समीकरण A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 द्वारा परिभाषित किया जाता है। उसी स्थान पर हमने इसी उदाहरण का विश्लेषण किया।

आइए अब और देखें जटिल उदाहरण, जिसमें पहले सामान्य वेक्टर के निर्देशांक निर्धारित करना आवश्यक है।

उदाहरण 11

रेखा 2 x - 3 y + 3 3 = 0 के समानांतर एक रेखा दी गई है। वह बिंदु M0 (4 , 1) भी ज्ञात है जिससे होकर दी गई रेखा गुजरती है। दी गई सीधी रेखा के समीकरण को लिखना आवश्यक है।

समाधान

प्रारंभिक स्थितियां हमें बताती हैं कि रेखाएं समानांतर हैं, फिर, उस रेखा के सामान्य वेक्टर के रूप में जिसका समीकरण लिखा जाना चाहिए, हम रेखा n → = (2, - 3) : 2 x - 3 y का निर्देशन सदिश लेते हैं। + 3 3 = 0. अब हम एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण की रचना के लिए सभी आवश्यक डेटा जानते हैं:

ए (एक्स - एक्स 0) + बी (वाई - वाई 0) = 0 ⇔ 2 (एक्स - 4) - 3 (वाई - 1) = 0 ⇔ 2 एक्स - 3 वाई - 5 = 0

उत्तर: 2 एक्स - 3 वाई - 5 = 0।

उदाहरण 12

दी गई रेखा मूल बिंदु से होकर रेखा x - 2 3 = y + 4 5 पर लंबवत जाती है। किसी दी गई सीधी रेखा का सामान्य समीकरण लिखना आवश्यक है।

समाधान

दी गई रेखा का प्रसामान्य सदिश रेखा x - 2 3 = y + 4 5 का दिशा देने वाला सदिश होगा।

तब n → = (3 , 5) । सीधी रेखा मूल बिन्दु से होकर गुजरती है, अर्थात्। बिंदु 0 (0, 0) के माध्यम से। आइए किसी दी गई सीधी रेखा के सामान्य समीकरण की रचना करें:

ए (एक्स - एक्स 0) + बी (वाई - वाई 0) = 0 ⇔ 3 (एक्स - 0) + 5 (वाई - 0) = 0 ⇔ 3 एक्स + 5 वाई = 0

उत्तर: 3 एक्स + 5 वाई = 0।

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एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण:

एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण के विशेष मामले:

क्या हो अगर सी= 0, समीकरण (2) का रूप होगा

कुल्हाड़ी + द्वारा = 0,

और इस समीकरण द्वारा परिभाषित सीधी रेखा मूल बिंदु से होकर गुजरती है, क्योंकि मूल के निर्देशांक एक्स = 0, आप= 0 इस समीकरण को संतुष्ट करें।

बी) यदि सीधी रेखा के सामान्य समीकरण में (2) बी= 0, तब समीकरण रूप लेता है

कुल्हाड़ी + से= 0, या।

समीकरण में एक चर शामिल नहीं है आप, और इस समीकरण द्वारा परिभाषित सीधी रेखा अक्ष के समानांतर है ओए.

ग) यदि सीधी रेखा के सामान्य समीकरण में (2) ए= 0, तो यह समीकरण रूप लेता है

द्वारा + से= 0, या;

समीकरण में एक चर शामिल नहीं है एक्स, और इसके द्वारा परिभाषित सीधी रेखा अक्ष के समानांतर है बैल.

यह याद रखना चाहिए: यदि एक सीधी रेखा किसी समन्वय अक्ष के समानांतर है, तो उसके समीकरण में इस अक्ष के साथ समान नाम के निर्देशांक वाला कोई पद नहीं होता है।

घ) जब सी= 0 और ए= 0 समीकरण (2) रूप लेता है द्वारा= 0, या आप = 0.

यह है अक्ष समीकरण बैल.

ई) कब सी= 0 और बी= 0 समीकरण (2) के रूप में लिखा जा सकता है कुल्हाड़ी= 0 या एक्स = 0.

यह है अक्ष समीकरण ओए.

आपसी व्यवस्थाविमान पर सीधी रेखाएँ। समतल पर रेखाओं के बीच का कोण। समानांतर रेखाओं की स्थिति। रेखाओं के लंबवत होने की स्थिति।

एल 1 एल 2 एल 1: ए 1 एक्स + बी 1 वाई + सी 1 = 0
एल 2: ए 2 एक्स + बी 2 वाई + सी 2 = 0

एस 2 एस 1 वैक्टर एस 1 और एस 2 को उनकी रेखाओं के लिए गाइड कहा जाता है।

लाइनों एल 1 और एल 2 के बीच का कोण दिशा वैक्टर के बीच के कोण से निर्धारित होता है।
प्रमेय 1:एल 1 और एल 2 \u003d कॉस (एल 1; एल 2) \u003d . के बीच कॉस कोण

प्रमेय 2: 2 पंक्तियों के बराबर होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है:

प्रमेय 3:ताकि 2 रेखाएं लंबवत हों आवश्यक और पर्याप्त हों:

एल 1 एल 2 ó ए 1 ए 2 + बी 1 बी 2 = 0

विमान का सामान्य समीकरण और उसके विशेष मामले। खंडों में एक विमान का समीकरण।

सामान्य समतल समीकरण:

कुल्हाड़ी + बाय + सीजेड + डी = 0

विशेष स्थितियां:

1. D=0 Ax+By+Cz = 0 - तल मूल बिंदु से होकर गुजरता है

2. С=0 कुल्हाड़ी+By+D = 0 - समतल || आउंस

3. В=0 कुल्हाड़ी+Cz+d = 0 - समतल || ओए

4. A=0 By+Cz+D = 0 - समतल || बैल

5. A=0 और D=0 By+Cz = 0 - विमान OX . से होकर गुजरता है

6. B=0 और D=0 Ax+Cz = 0 - विमान OY . से होकर गुजरता है

7. C=0 और D=0 Ax+By = 0 - विमान OZ . से होकर गुजरता है

अंतरिक्ष में विमानों और सीधी रेखाओं की पारस्परिक व्यवस्था:

1. अंतरिक्ष में रेखाओं के बीच का कोण उनके दिशा सदिशों के बीच का कोण होता है।

Cos (l 1 ; l 2) = cos(S 1 ; S 2) = =

2. समतलों के बीच का कोण उनके अभिलंब सदिशों के बीच के कोण से निर्धारित होता है।

Cos (l 1 ; l 2) = cos(N 1 ; N 2) = =

3. एक रेखा और एक तल के बीच के कोण की कोज्या रेखा के दिशा सदिश और तल के अभिलंब सदिश के बीच के कोण के पाप के माध्यम से ज्ञात की जा सकती है।

4. 2 लाइन || अंतरिक्ष में जब उनका || वेक्टर गाइड

5. 2 विमान || कब || सामान्य वैक्टर

6. समान रूप से रेखाओं और तलों के लम्बवत्ता की अवधारणाओं का परिचय दिया जाता है।

प्रश्न #14

विभिन्न प्रकारएक समतल पर एक सीधी रेखा के समीकरण (खंडों में एक सीधी रेखा का समीकरण, एक ढलान के साथ, आदि)

खंडों में एक सीधी रेखा का समीकरण:
मान लीजिए कि एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण में:

1. सी \u003d 0 आह + वू \u003d 0 - सीधी रेखा मूल से होकर गुजरती है।

2. ए \u003d 0 वू + सी \u003d 0 y \u003d

3. में \u003d 0 कुल्हाड़ी + सी \u003d 0 x \u003d

4. वी \u003d सी \u003d 0 कुल्हाड़ी \u003d 0 x \u003d 0

5. ए \u003d सी \u003d 0 वू \u003d 0 y \u003d 0

ढलान के साथ एक सीधी रेखा का समीकरण:

कोई भी सीधी रेखा जो y-अक्ष के बराबर नहीं है (B नहीं = 0) निम्नलिखित में लिखी जा सकती है। प्रपत्र:

k = tgα α सीधी रेखा और धनात्मक दिशा वाली रेखा के बीच का कोण है

बी - ओएस अक्ष के साथ सीधी रेखा के चौराहे का बिंदु

डॉक-इन:

कुल्हाड़ी+बाई+सी = 0

वू \u003d -एक्स-सी |: बी

दो बिंदुओं पर एक सीधी रेखा का समीकरण:

प्रश्न #16

एक बिंदु पर और x→∞ . के लिए किसी फ़ंक्शन की परिमित सीमा

बिंदु x 0 पर अंतिम सीमा:

संख्या A को x → x 0 के लिए फ़ंक्शन y \u003d f (x) की सीमा कहा जाता है, यदि किसी E > 0 के लिए b > 0 ऐसा है कि x x 0 के लिए, असमानता को संतुष्ट करता है |x - x 0 |< б, выполняется условие |f(x) - A| < Е

सीमा निरूपित है: = A

बिंदु +∞ पर अंतिम सीमा:

संख्या A को x . के लिए फलन y = f(x) की सीमा कहा जाता है → + ∞ , यदि किसी E > 0 के लिए C > 0 मौजूद है तो x > C के लिए असमानता |f(x) - A|< Е

सीमा निरूपित है: = A

बिंदु -∞ पर अंतिम सीमा:

संख्या A को . के लिए फलन y = f(x) की सीमा कहा जाता है एक्स → -∞,यदि किसी ई के लिए< 0 существует С < 0 такое, что при х < -С выполняется неравенство |f(x) - A| < Е

इस लेख में, हम एक समतल में एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण पर विचार करेंगे। आइए हम एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण के निर्माण के उदाहरण दें यदि इस सीधी रेखा के दो बिंदु ज्ञात हैं या यदि इस सीधी रेखा के एक बिंदु और सामान्य वेक्टर ज्ञात हैं। आइए हम एक समीकरण को में बदलने की विधियाँ प्रस्तुत करते हैं सामान्य दृष्टि सेविहित और पैरामीट्रिक रूपों में।

मान लीजिए कि एक मनमाना कार्टेशियन आयताकार समन्वय प्रणाली दी गई है ऑक्सी. प्रथम डिग्री समीकरण पर विचार करें या रेखीय समीकरण:

कुल्हाड़ी+बाई+सी=0,

(1)

कहाँ पे ए, बी, सीकुछ स्थिरांक हैं, और तत्वों में से कम से कम एक है एतथा बीशून्य से भिन्न।

हम दिखाएंगे कि समतल में एक रैखिक समीकरण एक सीधी रेखा को परिभाषित करता है। आइए हम निम्नलिखित प्रमेय को सिद्ध करें।

प्रमेय 1. एक समतल पर एक मनमाना कार्तीय आयताकार निर्देशांक प्रणाली में, प्रत्येक सीधी रेखा को एक रैखिक समीकरण द्वारा दिया जा सकता है। इसके विपरीत, प्रत्येक रैखिक समीकरण (1) समतल पर एक मनमाना कार्टेशियन आयताकार समन्वय प्रणाली में एक सीधी रेखा को परिभाषित करता है।

सबूत। यह साबित करने के लिए पर्याप्त है कि रेखा लीकिसी एक कार्तीय आयताकार समन्वय प्रणाली के लिए एक रैखिक समीकरण द्वारा निर्धारित किया जाता है, तब से यह एक रैखिक समीकरण द्वारा और कार्टेशियन आयताकार समन्वय प्रणाली के किसी भी विकल्प के लिए निर्धारित किया जाएगा।

माना समतल पर एक सीधी रेखा दी गई है ली. हम एक समन्वय प्रणाली चुनते हैं ताकि अक्ष बैललाइन के साथ संरेखित ली, और अक्ष ओएइसके लंबवत था। तब रेखा का समीकरण लीनिम्नलिखित रूप लेगा:

वाई = 0।

(2)

एक लाइन पर सभी बिंदु लीरैखिक समीकरण (2) को संतुष्ट करेगा, और इस सीधी रेखा के बाहर के सभी बिंदु समीकरण (2) को संतुष्ट नहीं करेंगे। प्रमेय का पहला भाग सिद्ध होता है।

मान लीजिए कि एक कार्तीय आयताकार निर्देशांक प्रणाली दी गई है और रैखिक समीकरण (1) दिया गया है, जहां कम से कम एक तत्व एतथा बीशून्य से भिन्न। उन बिन्दुओं का बिन्दुपथ ज्ञात कीजिए जिनके निर्देशांक समीकरण (1) को संतुष्ट करते हैं। चूंकि कम से कम एक गुणांक एतथा बीशून्य से भिन्न है, तो समीकरण (1) का कम से कम एक हल है एम(एक्स 0 ,आप 0)। (उदाहरण के लिए, जब ए 0, डॉट एम 0 (−सीए, 0) दिए गए बिंदुओं के स्थान से संबंधित है)। इन निर्देशांकों को (1) में प्रतिस्थापित करने पर हमें सर्वसमिका प्राप्त होती है

कुल्हाड़ी 0 +द्वारा 0 +सी=0.

(3)

आइए पहचान (3) को (1) से घटाएं:

ए(एक्स−एक्स 0)+बी(आप−आप 0)=0.

(4)

जाहिर है, समीकरण (4) समीकरण (1) के बराबर है। इसलिए, यह साबित करना पर्याप्त है कि (4) कुछ रेखा को परिभाषित करता है।

चूंकि हम एक कार्तीय आयताकार समन्वय प्रणाली पर विचार कर रहे हैं, यह समानता (4) से निम्नानुसार है कि घटकों के साथ वेक्टर ( एक्स−एक्स 0 , y−y 0 ) सदिश के लिए ओर्थोगोनल है एननिर्देशांक के साथ ( ए, बी}.

कुछ पंक्ति पर विचार करें लीबिंदु के माध्यम से गुजर रहा है एम 0 (एक्स 0 , आप 0) और वेक्टर के लंबवत एन(चित्र एक)। बात करने दो एम(एक्स,y) रेखा के अंतर्गत आता है ली. फिर निर्देशांक के साथ वेक्टर एक्स−एक्स 0 , y−y 0 लंबवत एनऔर समीकरण (4) संतुष्ट है (सदिशों का अदिश गुणनफल एनऔर शून्य के बराबर)। इसके विपरीत, यदि बिंदु एम(एक्स,y) एक रेखा पर नहीं है ली, फिर निर्देशांक के साथ वेक्टर एक्स−एक्स 0 , y−y 0 सदिश के लिए ओर्थोगोनल नहीं है एनऔर समीकरण (4) संतुष्ट नहीं है। प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

सबूत। चूँकि रेखाएँ (5) और (6) एक ही रेखा को परिभाषित करती हैं, सामान्य सदिश एन 1 ={ए 1 ,बी 1) और एन 2 ={ए 2 ,बी 2) समरेखीय हैं। वैक्टर के बाद से एन 1 ≠0, एन 2 0, तो एक संख्या है λ , क्या एन 2 =एन 1 λ . इसलिए हमारे पास है: ए 2 =ए 1 λ , बी 2 =बी 1 λ . आइए साबित करें कि सी 2 =सी 1 λ . यह स्पष्ट है कि संपाती रेखाओं का एक उभयनिष्ठ बिंदु होता है एम 0 (एक्स 0 , आप 0)। समीकरण (5) को . से गुणा करना λ और इसमें से समीकरण (6) घटाने पर हमें प्राप्त होता है:

चूँकि व्यंजकों (7) से प्रथम दो समानताएँ संतुष्ट हैं, तो सी 1 λ −सी 2=0. वे। सी 2 =सी 1 λ . टिप्पणी सिद्ध हो चुकी है।

ध्यान दें कि समीकरण (4) बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के समीकरण को परिभाषित करता है एम 0 (एक्स 0 , आप 0) और एक सामान्य वेक्टर होना एन={ए, बी) इसलिए, यदि रेखा के सामान्य सदिश और इस रेखा से संबंधित बिंदु ज्ञात हैं, तो समीकरण (4) का उपयोग करके रेखा के सामान्य समीकरण का निर्माण किया जा सकता है।

उदाहरण 1. एक रेखा एक बिंदु . से होकर गुजरती है एम=(4,−1) और एक सामान्य सदिश है एन=(3, 5). एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण की रचना कीजिए।

समाधान। हमारे पास है: एक्स 0 =4, आप 0 =−1, ए=3, बी=5. एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण के निर्माण के लिए, हम इन मानों को समीकरण (4) में प्रतिस्थापित करते हैं:

उत्तर:

रेखा के समानांतर वेक्टर लीऔर इसलिए रेखा के सामान्य वेक्टर के लंबवत है ली. आइए एक सामान्य रेखा वेक्टर का निर्माण करें ली, यह देखते हुए कि वैक्टर का अदिश उत्पाद एनऔर शून्य के बराबर है। हम लिख सकते हैं, उदाहरण के लिए, एन={1,−3}.

एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण बनाने के लिए हम सूत्र (4) का उपयोग करते हैं। आइए हम बिंदु के निर्देशांक (4) में प्रतिस्थापित करें एम 1 (हम बिंदु के निर्देशांक भी ले सकते हैं एम 2) और सामान्य वेक्टर एन:

प्रतिस्थापन बिंदु निर्देशांक एम 1 और एम 2 इंच (9) हम सुनिश्चित कर सकते हैं कि सीधी रेखा समीकरण द्वारा दिया गया(9) इन बिंदुओं से होकर गुजरता है।

उत्तर:

(1) से घटाना (10):

हमने एक सीधी रेखा का विहित समीकरण प्राप्त किया है। वेक्टर क्यू={−बी, ए) सीधी रेखा (12) की दिशा सदिश है।

रिवर्स ट्रांसफॉर्मेशन देखें।

उदाहरण 3. एक समतल में एक सीधी रेखा को निम्नलिखित सामान्य समीकरण द्वारा दर्शाया जाता है:

दूसरे पद को दाईं ओर ले जाएँ और समीकरण के दोनों पक्षों को 2 5 से विभाजित करें।