रेडियन में ज्या की तालिका। त्रिकोणमितीय फलन

एक रूब्रिक चुनें पुस्तकें गणित भौतिकी नियंत्रण और अभिगम नियंत्रण अग्नि सुरक्षा उपयोगी उपकरण आपूर्तिकर्ता मापने के उपकरण (केआईपी) आर्द्रता माप - रूसी संघ में आपूर्तिकर्ता। दबाव माप। लागत माप। प्रवाह मीटर। तापमान माप स्तर माप। स्तर गेज। ट्रेंचलेस टेक्नोलॉजी सीवर सिस्टम। रूसी संघ में पंपों के आपूर्तिकर्ता। पंप की मरम्मत। पाइपलाइन सहायक उपकरण। तितली वाल्व (डिस्क वाल्व)। वाल्वो की जाँच करे। नियंत्रण आर्मेचर। मेश फिल्टर, मड कलेक्टर, मैग्नेटो-मैकेनिकल फिल्टर। गेंद वाल्व। पाइप और पाइपलाइनों के तत्व। धागे, फ्लैंगेस आदि के लिए सील। इलेक्ट्रिक मोटर, इलेक्ट्रिक ड्राइव ... मैनुअल अक्षर, मूल्यवर्ग, इकाइयां, कोड ... अक्षर, सहित। ग्रीक और लैटिन। प्रतीक। कोड। अल्फा, बीटा, गामा, डेल्टा, एप्सिलॉन… विद्युत नेटवर्क के मूल्यवर्ग। यूनिट रूपांतरण डेसिबल। ख्वाब। पार्श्वभूमि। किसकी इकाइयां? दबाव और निर्वात के लिए माप की इकाइयाँ। दबाव और वैक्यूम इकाइयों को परिवर्तित करना। लंबाई इकाइयाँ। लंबाई इकाइयों का अनुवाद (रैखिक आकार, दूरी)। वॉल्यूम इकाइयां। मात्रा इकाइयों का रूपांतरण। घनत्व इकाइयाँ। घनत्व इकाइयों का रूपांतरण। क्षेत्र इकाइयाँ। क्षेत्र इकाइयों का रूपांतरण। कठोरता के मापन की इकाइयाँ। कठोरता इकाइयों का रूपांतरण। तापमान इकाइयाँ। केल्विन / सेल्सियस / फ़ारेनहाइट / रैंकिन / डेलिसल / न्यूटन / रीम्योर में तापमान इकाइयों को परिवर्तित करना कोणीय आयाम"। कोणीय वेग और कोणीय त्वरण की इकाइयों का रूपांतरण। माप की मानक त्रुटियां। काम करने वाले तरल पदार्थ के रूप में विभिन्न गैसें। नाइट्रोजन N2 (रेफ्रिजरेंट R728) अमोनिया (रेफ्रिजरेंट R717)। एंटीफ्रीज। हाइड्रोजन H^2 (रेफ्रिजरेंट R702) जल वाष्प। वायु। (वायुमंडल) ) प्राकृतिक गैस - प्राकृतिक गैस बायोगैस - सीवेज गैस एलपीजी एनजीएल एलएनजी प्रोपेन-ब्यूटेन ऑक्सीजन O2 (रेफ्रिजरेंट R732) तेल और स्नेहक मीथेन CH4 (रेफ्रिजरेंट R50) जल गुण। कार्बन मोनोआक्साइडकं कार्बन मोनोआक्साइड। कार्बन डाइआक्साइड CO2। (रेफ्रिजरेंट R744)। क्लोरीन Cl2 हाइड्रोजन क्लोराइड HCl, उर्फ ​​हाइड्रोक्लोरिक एसिड। रेफ्रिजरेंट (रेफ्रिजरेंट)। रेफ्रिजरेंट (रेफ्रिजरेंट) R11 - फ्लोरोट्राइक्लोरोमेथेन (CFCI3) रेफ्रिजरेंट (रेफ्रिजरेंट) R12 - डिफ्लुओरोडिक्लोरोमीथेन (CF2CCl2) रेफ्रिजरेंट (रेफ्रिजरेंट) R125 - पेंटाफ्लोरोएथेन (CF2HCF3)। रेफ्रिजरेंट (रेफ्रिजरेंट) R134a - 1,1,1,2-टेट्राफ्लोरोएथेन (CF3CFH2)। रेफ्रिजरेंट (रेफ्रिजरेंट) R22 - डिफ्लुओरोक्लोरोमीथेन (CF2ClH) रेफ्रिजरेंट (रेफ्रिजरेंट) R32 - डिफ्लुओरोमीथेन (CH2F2)। रेफ्रिजरेंट (रेफ्रिजरेंट) R407C - R-32 (23%) / R-125 (25%) / R-134a (52%) / द्रव्यमान का प्रतिशत। अन्य सामग्री - थर्मल गुण अपघर्षक - धैर्य, सुंदरता, पीसने के उपकरण। मिट्टी, पृथ्वी, रेत और अन्य चट्टानें। मिट्टी और चट्टानों के ढीलेपन, सिकुड़न और घनत्व के संकेतक। संकोचन और ढीलापन, भार। ढलान कोण। सीढ़ियों, डंपों की ऊंचाई। लकड़ी। लकड़ी। इमारती लकड़ी। लॉग। जलाऊ लकड़ी ... चीनी मिट्टी की चीज़ें। चिपकने वाले और गोंद जोड़ बर्फ और बर्फ (पानी बर्फ) धातु एल्यूमीनियम और एल्यूमीनियम मिश्र धातु तांबा, कांस्य और पीतल कांस्य पीतल तांबा (और तांबे मिश्र धातुओं का वर्गीकरण) निकल और मिश्र मिश्र धातु ग्रेड के साथ अनुपालन स्टील और मिश्र धातु लुढ़का धातु उत्पादों के वजन की संदर्भ तालिका और पाइप। +/- 5% पाइप वजन। धातु का वजन। स्टील्स के यांत्रिक गुण। कच्चा लोहा खनिज। अभ्रक। खाद्य उत्पाद और खाद्य कच्चे माल। गुण, आदि। परियोजना के दूसरे खंड से लिंक करें। रबड़, प्लास्टिक, इलास्टोमर्स, पॉलिमर। विस्तृत विवरणइलास्टोमर्स PU, TPU, X-PU, H-PU, XH-PU, S-PU, XS-PU, T-PU, G-PU (CPU), NBR, H-NBR, FPM, EPDM, MVQ, TFE/ पी, पोम, पीए-6, टीपीएफई-1, टीपीएफई-2, टीपीएफई-3, टीपीएफई-4, टीपीएफई-5 (पीटीएफई संशोधित), सामग्री की ताकत। सोप्रोमैट। निर्माण सामग्री. भौतिक, यांत्रिक और तापीय गुण। ठोस। कंक्रीट मोर्टार. समाधान। निर्माण फिटिंग। स्टील और अन्य। सामग्री की प्रयोज्यता की तालिकाएँ। रासायनिक प्रतिरोध। तापमान प्रयोज्यता। जंग प्रतिरोध। सीलिंग सामग्री - संयुक्त सीलेंट। PTFE (फ्लोरोप्लास्ट -4) और व्युत्पन्न सामग्री। एफयूएम टेप। अवायवीय चिपकने वाले गैर-सुखाने (गैर-सख्त) सीलेंट। सिलिकॉन सीलेंट (ऑर्गोसिलिकॉन)। ग्रेफाइट, एस्बेस्टस, पैरोनाइट और व्युत्पन्न सामग्री पैरोनाइट। ऊष्मीय रूप से विस्तारित ग्रेफाइट (TRG, TMG), रचनाएँ। गुण। आवेदन पत्र। उत्पादन। लिनन सैनिटरी रबर इलास्टोमेर सील इन्सुलेशन और थर्मल इन्सुलेशन सामग्री. (परियोजना अनुभाग से लिंक) इंजीनियरिंग तकनीक और अवधारणाएं धमाका संरक्षण। प्रभाव संरक्षण वातावरण. जंग। जलवायु संस्करण(सामग्री संगतता चार्ट) दबाव, तापमान, रिसाव वर्ग दबाव ड्रॉप (हानि)। - इंजीनियरिंग अवधारणा। अग्नि सुरक्षा। आग। स्वचालित नियंत्रण (विनियमन) का सिद्धांत। टीएयू गणित पुस्तिका अंकगणित, ज्यामितीय अनुक्रमऔर कुछ संख्यात्मक श्रृंखला के योग। ज्यामितीय आंकड़े. गुण, सूत्र: परिधि, क्षेत्र, आयतन, लंबाई। त्रिकोण, आयत, आदि। रेडियंस को डिग्री। सपाट आंकड़े। गुण, भुजाएँ, कोण, चिन्ह, परिमाप, समानताएँ, समानताएँ, जीवाएँ, क्षेत्र, क्षेत्रफल आदि। अनियमित आकृतियों के क्षेत्रफल, अनियमित पिंडों के आयतन। औसत मूल्यसंकेत। क्षेत्र की गणना के लिए सूत्र और तरीके। रेखांकन। रेखांकन का निर्माण। चार्ट पढ़ना। इंटीग्रल और डिफरेंशियल कैलकुलस। सारणीबद्ध व्युत्पन्न और अभिन्न। व्युत्पन्न तालिका। इंटीग्रल की तालिका। आदिम की तालिका। व्युत्पन्न खोजें। अभिन्न का पता लगाएं। डिफ्यूरी। जटिल आंकड़े। काल्पनिक इकाई। लीनियर अलजेब्रा। (वैक्टर, मैट्रिसेस) छोटों के लिए गणित। बाल विहार- 7 वीं कक्षा। गणितीय तर्क। समीकरणों का हल। द्विघात और द्विघात समीकरण। सूत्र। तरीके। समाधान विभेदक समीकरणपहले की तुलना में उच्च क्रम के साधारण अंतर समीकरणों के समाधान के उदाहरण। पहले क्रम के सरलतम = विश्लेषणात्मक रूप से हल करने योग्य साधारण अंतर समीकरणों के समाधान के उदाहरण। सिस्टम संयोजित करें। आयताकार कार्टेशियन, ध्रुवीय, बेलनाकार और गोलाकार। द्वि-आयामी और त्रि-आयामी। संख्या प्रणाली। संख्याएं और अंक (वास्तविक, जटिल, ....)। संख्या प्रणालियों की तालिकाएँ। बिजली की श्रृंखलाटेलर, मैकलॉरिन (= मैकलारेन) और आवधिक फूरियर श्रृंखला। श्रृंखला में कार्यों का अपघटन। लघुगणक की तालिकाएँ और मूल सूत्र संख्यात्मक मानों की तालिकाएँ ब्रैडी की तालिकाएँ। संभाव्यता सिद्धांत और सांख्यिकी त्रिकोणमितीय कार्य, सूत्र और रेखांकन। पाप, क्योंकि, टीजी, सीटीजी…। मान त्रिकोणमितीय फलन. त्रिकोणमितीय कार्यों को कम करने के सूत्र। त्रिकोणमितीय पहचान। संख्यात्मक तरीके उपकरण - मानक, आयाम उपकरण, घरेलू उपकरण। ड्रेनेज और ड्रेनेज सिस्टम। क्षमता, टैंक, जलाशय, टैंक। इंस्ट्रुमेंटेशन और नियंत्रण इंस्ट्रुमेंटेशन और स्वचालन। तापमान माप। कन्वेयर, बेल्ट कन्वेयर। कंटेनर (लिंक) प्रयोगशाला के उपकरण। पंप और पम्पिंग स्टेशनतरल पदार्थ और लुगदी के लिए पंप। इंजीनियरिंग शब्दजाल। शब्दकोष। स्क्रीनिंग। छानने का काम। ग्रिड और चलनी के माध्यम से कणों का पृथक्करण। विभिन्न प्लास्टिक से बनी रस्सियों, केबलों, डोरियों, रस्सियों की अनुमानित ताकत। रबर उत्पाद। जोड़ और जोड़। व्यास सशर्त, नाममात्र, ड्यू, डीएन, एनपीएस और एनबी। मीट्रिक और इंच व्यास। एसडीआर. कुंजी और कुंजी मार्ग। संचार मानक। ऑटोमेशन सिस्टम में सिग्नल (I&C) इंस्ट्रूमेंट्स, सेंसर्स, फ्लो मीटर्स और ऑटोमेशन डिवाइसेज के एनालॉग इनपुट और आउटपुट सिग्नल्स। कनेक्शन इंटरफेस। संचार प्रोटोकॉल (संचार) टेलीफोनी। पाइपलाइन सहायक उपकरण। क्रेन, वाल्व, गेट वाल्व…। भवन की लंबाई। निकला हुआ किनारा और धागे। मानक। कनेक्टिंग आयाम। धागे। पदनाम, आकार, उपयोग, प्रकार ... (संदर्भ लिंक) भोजन, डेयरी और दवा उद्योगों में पाइपलाइनों के कनेक्शन ("स्वच्छ", "सड़न रोकनेवाला")। पाइप, पाइपलाइन। पाइप व्यास और अन्य विशेषताओं। पाइपलाइन व्यास का विकल्प। प्रवाह की दरें। खर्च। ताकत। चयन टेबल, दबाव ड्रॉप। कॉपर पाइप। पाइप व्यास और अन्य विशेषताओं। पॉलीविनाइल क्लोराइड पाइप (पीवीसी)। पाइप व्यास और अन्य विशेषताओं। पाइप पॉलीथीन हैं। पाइप व्यास और अन्य विशेषताओं। पाइप पॉलीथीन पीएनडी। पाइप व्यास और अन्य विशेषताओं। स्टील पाइप (स्टेनलेस स्टील सहित)। पाइप व्यास और अन्य विशेषताओं। पाइप स्टील है। पाइप स्टेनलेस है। स्टेनलेस स्टील पाइप। पाइप व्यास और अन्य विशेषताओं। पाइप स्टेनलेस है। कार्बन स्टील पाइप। पाइप व्यास और अन्य विशेषताओं। पाइप स्टील है। फिटिंग। GOST, DIN (EN 1092-1) और ANSI (ASME) के अनुसार निकला हुआ किनारा। निकला हुआ किनारा कनेक्शन। निकला हुआ किनारा कनेक्शन। निकला हुआ किनारा कनेक्शन। पाइपलाइन के तत्व। बिजली के लैंप बिजली के कनेक्टर और तार (केबल्स) इलेक्ट्रिक मोटर। विद्युत मोटर्स। विद्युत स्विचिंग उपकरण। (अनुभाग से लिंक) मानक व्यक्तिगत जीवनइंजीनियरों के लिए इंजीनियरों का भूगोल। दूरियाँ, मार्ग, नक्शे….. रोज़मर्रा की ज़िंदगी में इंजीनियर। परिवार, बच्चे, मनोरंजन, कपड़े और आवास। इंजीनियरों के बच्चे। कार्यालयों में इंजीनियर। इंजीनियर और अन्य लोग। इंजीनियरों का समाजीकरण। जिज्ञासाएँ। आराम करने वाले इंजीनियर। इसने हमें चौंका दिया। इंजीनियर और खाना। व्यंजनों, उपयोगिता। रेस्तरां के लिए ट्रिक्स। इंजीनियरों के लिए अंतर्राष्ट्रीय व्यापार। हम हूकस्टर तरीके से सोचना सीखते हैं। परिवहन और यात्रा। निजी कार, साइकिल... मनुष्य का भौतिकी और रसायन। इंजीनियरों के लिए अर्थशास्त्र। बोरमोटोलोगिया फाइनेंसर - मानव भाषा। तकनीकी अवधारणाएं और चित्र कागज लेखन, ड्राइंग, कार्यालय और लिफाफे। मानक आकारतस्वीरें। वेंटिलेशन और एयर कंडीशनिंग। जल आपूर्ति और सीवरेज गर्म पानी की आपूर्ति (डीएचडब्ल्यू)। पेयजल आपूर्ति अपशिष्ट जल। ठंडे पानी की आपूर्ति गैल्वेनिक उद्योग प्रशीतन भाप लाइनें / प्रणालियाँ। घनीभूत लाइनें / सिस्टम। भाप की रेखाएँ। घनीभूत पाइपलाइन। खाद्य उद्योग आपूर्ति प्राकृतिक गैसवेल्डिंग धातु चित्र और आरेख पर उपकरण के प्रतीक और पदनाम। ANSI / ASHRAE मानक 134-2005 के अनुसार हीटिंग, वेंटिलेशन, एयर कंडीशनिंग और गर्मी और ठंड की आपूर्ति की परियोजनाओं में प्रतीकात्मक ग्राफिक प्रतिनिधित्व। उपकरण और सामग्री का बंध्याकरण गर्मी की आपूर्ति इलेक्ट्रॉनिक उद्योग बिजली की आपूर्ति भौतिक संदर्भ अक्षर। स्वीकृत पद। बुनियादी भौतिक स्थिरांक। आर्द्रता पूर्ण, सापेक्ष और विशिष्ट है। हवा में नमीं। साइकोमेट्रिक टेबल। रमज़िन आरेख। समय चिपचिपाहट, रेनॉल्ड्स संख्या (रे)। चिपचिपापन इकाइयाँ। गैसें। गैसों के गुण। व्यक्तिगत गैस स्थिरांक। दबाव और वैक्यूम वैक्यूम लंबाई, दूरी, रैखिक आकारध्वनि। अल्ट्रासाउंड। ध्वनि अवशोषण गुणांक (दूसरे खंड से लिंक) जलवायु। जलवायु डेटा। प्राकृतिक डेटा। एसएनआईपी 23-01-99। बिल्डिंग क्लाइमेटोलॉजी। (जलवायु डेटा के आंकड़े) एसएनआईपी 23-01-99 तालिका 3 - औसत मासिक और वार्षिक हवा का तापमान, ° । पूर्व यूएसएसआर। एसएनआईपी 23-01-99 तालिका 1. वर्ष की ठंड अवधि के जलवायु पैरामीटर। आरएफ. एसएनआईपी 23-01-99 तालिका 2. गर्म मौसम के जलवायु पैरामीटर। पूर्व यूएसएसआर। एसएनआईपी 23-01-99 तालिका 2. गर्म मौसम के जलवायु पैरामीटर। आरएफ. एसएनआईपी 23-01-99 तालिका 3. औसत मासिक और वार्षिक हवा का तापमान, डिग्री सेल्सियस। आरएफ. एसएनआईपी 23-01-99। तालिका 5a* - जल वाष्प का औसत मासिक और वार्षिक आंशिक दबाव, hPa = 10^2 Pa। आरएफ. एसएनआईपी 23-01-99। तालिका 1. ठंड के मौसम के जलवायु पैरामीटर। पूर्व यूएसएसआर। घनत्व। वज़न। विशिष्ट गुरुत्व. थोक घनत्व। सतह तनाव। घुलनशीलता। गैसों और ठोस पदार्थों की घुलनशीलता। प्रकाश और रंग। परावर्तन, अवशोषण और अपवर्तन गुणांक रंग वर्णमाला :) - रंग (रंग) के पदनाम (कोडिंग)। क्रायोजेनिक सामग्री और मीडिया के गुण। टेबल्स। विभिन्न सामग्रियों के लिए घर्षण गुणांक। उबलने, पिघलने, ज्वाला आदि सहित तापीय मात्रा…… अतिरिक्त जानकारीदेखें: रूद्धोष्म के गुणांक (संकेतक)। संवहन और पूर्ण ताप विनिमय। थर्मल रैखिक विस्तार, थर्मल वॉल्यूमेट्रिक विस्तार के गुणांक। तापमान, उबलना, पिघलना, अन्य… तापमान इकाइयों का रूपांतरण। ज्वलनशीलता। नरमी का तापमान। क्वथनांक गलनांक तापीय चालकता। तापीय चालकता गुणांक। ऊष्मप्रवैगिकी। वाष्पीकरण की विशिष्ट ऊष्मा (संघनन)। वाष्पीकरण की एन्थैल्पी। दहन की विशिष्ट ऊष्मा ( कैलोरी मान) ऑक्सीजन की आवश्यकता। विद्युत और चुंबकीय मात्रा विद्युत द्विध्रुवीय क्षण। ढांकता हुआ स्थिरांक। विद्युत स्थिरांक। विद्युतचुंबकीय तरंगदैर्घ्य (दूसरे खंड की निर्देशिका) तीव्रता चुंबकीय क्षेत्रबिजली और चुंबकत्व के लिए अवधारणाएं और सूत्र। इलेक्ट्रोस्टैटिक्स। पीजोइलेक्ट्रिक मॉड्यूल। सामग्री की विद्युत शक्ति बिजलीविद्युत प्रतिरोध और चालकता। इलेक्ट्रॉनिक क्षमता रासायनिक संदर्भ पुस्तक "रासायनिक वर्णमाला (शब्दकोश)" - नाम, संक्षेप, उपसर्ग, पदार्थों और यौगिकों के पदनाम। धातु प्रसंस्करण के लिए जलीय घोल और मिश्रण। आवेदन और धातु कोटिंग्स को हटाने के लिए जलीय समाधान कार्बन जमा (टार जमा, आंतरिक दहन इंजन से कार्बन जमा ...) से सफाई के लिए जलीय समाधान निष्क्रियता के लिए जलीय समाधान। नक़्क़ाशी के लिए जलीय घोल - सतह से ऑक्साइड निकालना फॉस्फेटिंग के लिए जलीय घोल रासायनिक ऑक्सीकरण और धातुओं के रंग के लिए जलीय घोल और मिश्रण। रासायनिक चमकाने के लिए जलीय घोल और मिश्रण जलीय समाधानऔर कार्बनिक सॉल्वैंट्स पीएच। पीएच टेबल। जलन और विस्फोट। ऑक्सीकरण और कमी। रासायनिक पदार्थों के वर्ग, श्रेणियां, खतरे के पदनाम (विषाक्तता) डीआई मेंडेलीव के रासायनिक तत्वों की आवधिक प्रणाली। आवर्त सारणी। तापमान के आधार पर कार्बनिक सॉल्वैंट्स का घनत्व (g/cm3)। 0-100 डिग्री सेल्सियस। समाधान के गुण। वियोजन स्थिरांक, अम्लता, क्षारकता। घुलनशीलता। मिलाता है। पदार्थों के ऊष्मीय स्थिरांक। तापीय धारिता। एन्ट्रापी गिब्स एनर्जी… (परियोजना की रासायनिक संदर्भ पुस्तक का लिंक) विद्युत इंजीनियरिंग नियामक निर्बाध बिजली आपूर्ति प्रणाली। प्रेषण और नियंत्रण प्रणाली संरचित केबल सिस्टमडेटा केंद्र

पांचवीं शताब्दी ईसा पूर्व में, एलिया के प्राचीन यूनानी दार्शनिक ज़ेनो ने अपने प्रसिद्ध एपोरिया तैयार किए, जिनमें से सबसे प्रसिद्ध एपोरिया "अकिलीज़ एंड द कछुआ" है। यहां बताया गया है कि यह कैसा लगता है:

मान लीजिए कि अकिलीस कछुए से दस गुना तेज दौड़ता है और उससे एक हजार कदम पीछे है। जिस समय के दौरान अकिलीज़ इतनी दूरी चलाता है, कछुआ उसी दिशा में सौ कदम रेंगता है। जब अकिलीज़ सौ कदम दौड़ चुका होता है, तो कछुआ दस कदम और रेंगता है, और इसी तरह। प्रक्रिया अनिश्चित काल तक जारी रहेगी, अकिलीज़ कछुआ को कभी नहीं पकड़ पाएगा।

यह तर्क बाद की सभी पीढ़ियों के लिए एक तार्किक आघात बन गया। अरस्तू, डायोजनीज, कांट, हेगेल, गिल्बर्ट ... उन सभी को, एक तरह से या किसी अन्य, ज़ेनो के अपोरिया माना जाता है। झटका इतना जोरदार था कि " ... वर्तमान समय में चर्चा जारी है, वैज्ञानिक समुदाय अभी तक विरोधाभासों के सार के बारे में एक आम राय में आने में कामयाब नहीं हुआ है ... गणितीय विश्लेषण, सेट सिद्धांत, नए भौतिक और दार्शनिक दृष्टिकोण इस मुद्दे के अध्ययन में शामिल थे। ; उनमें से कोई भी समस्या का सार्वभौमिक रूप से स्वीकृत समाधान नहीं बन पाया ..."[विकिपीडिया," ज़ेनो के एपोरियास "]। हर कोई समझता है कि उन्हें मूर्ख बनाया जा रहा है, लेकिन कोई नहीं समझता कि धोखा क्या है।

गणित के दृष्टिकोण से, ज़ेनो ने अपने एपोरिया में मूल्य से संक्रमण को स्पष्ट रूप से प्रदर्शित किया। यह संक्रमण स्थिरांक के बजाय आवेदन करने का तात्पर्य है। जहां तक ​​मैं समझता हूं, माप की परिवर्तनीय इकाइयों को लागू करने के लिए गणितीय उपकरण या तो अभी तक विकसित नहीं हुआ है, या इसे ज़ेनो के एपोरिया पर लागू नहीं किया गया है। हमारे सामान्य तर्क का प्रयोग हमें एक जाल में ले जाता है। हम, सोच की जड़ता से, समय की निरंतर इकाइयों को व्युत्क्रम पर लागू करते हैं। भौतिक दृष्टिकोण से, यह समय में मंदी की तरह दिखता है जब तक कि यह उस समय पूरी तरह से बंद नहीं हो जाता जब अकिलीज़ कछुए को पकड़ लेता है। यदि समय रुक जाता है, तो अकिलीज़ कछुआ से आगे नहीं निकल सकता।

अगर हम उस तर्क को बदल दें जिसके हम आदी हैं, तो सब कुछ ठीक हो जाता है। अखिलेश निरंतर गति से दौड़ता है। इसके पथ का प्रत्येक बाद का खंड पिछले वाले की तुलना में दस गुना छोटा है। तदनुसार, इस पर काबू पाने में लगने वाला समय पिछले वाले की तुलना में दस गुना कम है। यदि हम इस स्थिति में "अनंत" की अवधारणा को लागू करते हैं, तो यह कहना सही होगा कि "अकिलीज़ असीम रूप से जल्दी से कछुए से आगे निकल जाएगा।"

इस तार्किक जाल से कैसे बचें? समय की निरंतर इकाइयों में बने रहें और पारस्परिक मूल्यों पर स्विच न करें। ज़ेनो की भाषा में, यह इस तरह दिखता है:

अकिलीज़ को एक हज़ार कदम चलने में जितना समय लगता है, उसी दिशा में कछुआ सौ कदम रेंगता है। अगले समय अंतराल के दौरान, पहले के बराबर, अकिलीज़ एक और हज़ार कदम चलाएगा, और कछुआ एक सौ कदम क्रॉल करेगा। अब अकिलीस कछुआ से आठ सौ कदम आगे है।

यह दृष्टिकोण बिना किसी तार्किक विरोधाभास के वास्तविकता का पर्याप्त रूप से वर्णन करता है। लेकिन यह नहीं है पूरा समाधानसमस्या। प्रकाश की गति की दुर्गमता के बारे में आइंस्टीन का कथन ज़ेनो के एपोरिया "अकिलीज़ एंड द कछुआ" के समान है। हमें अभी इस समस्या का अध्ययन, पुनर्विचार और समाधान करना है। और समाधान को असीम रूप से बड़ी संख्या में नहीं, बल्कि माप की इकाइयों में खोजा जाना चाहिए।

ज़ेनो का एक और दिलचस्प एपोरिया उड़ते हुए तीर के बारे में बताता है:

एक उड़ता हुआ तीर गतिहीन होता है, क्योंकि वह हर क्षण विरामावस्था में होता है, और चूँकि वह प्रत्येक क्षण विरामावस्था में होता है, इसलिए वह सदैव विरामावस्था में रहता है।

इस एपोरिया में, तार्किक विरोधाभास को बहुत सरलता से दूर किया जाता है - यह स्पष्ट करने के लिए पर्याप्त है कि प्रत्येक क्षण में उड़ने वाला तीर अंतरिक्ष में विभिन्न बिंदुओं पर आराम करता है, जो वास्तव में गति है। यहां एक और बात ध्यान देने योग्य है। सड़क पर एक कार की एक तस्वीर से, उसके चलने के तथ्य या उससे दूरी का निर्धारण करना असंभव है। कार की गति के तथ्य को निर्धारित करने के लिए, एक ही बिंदु से अलग-अलग समय पर दो तस्वीरों की आवश्यकता होती है, लेकिन दूरी निर्धारित करने के लिए उनका उपयोग नहीं किया जा सकता है। कार की दूरी निर्धारित करने के लिए, आपको एक ही समय में अंतरिक्ष में विभिन्न बिंदुओं से ली गई दो तस्वीरों की आवश्यकता होती है, लेकिन आप उनसे गति के तथ्य को निर्धारित नहीं कर सकते हैं (बेशक, आपको गणना के लिए अतिरिक्त डेटा की आवश्यकता है, त्रिकोणमिति आपकी मदद करेगी) . मैं किस पर ध्यान केंद्रित करना चाहता हूं विशेष ध्यान, यह है कि समय में दो बिंदु और अंतरिक्ष में दो बिंदु अलग-अलग चीजें हैं जिन्हें भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए, क्योंकि वे अन्वेषण के लिए अलग-अलग अवसर प्रदान करते हैं।

बुधवार, 4 जुलाई 2018

बहुत अच्छी तरह से विकिपीडिया में सेट और मल्टीसेट के बीच के अंतरों का वर्णन किया गया है। हम देखो।

जैसा कि आप देख सकते हैं, "सेट में दो समान तत्व नहीं हो सकते", लेकिन यदि सेट में समान तत्व हैं, तो ऐसे सेट को "मल्टीसेट" कहा जाता है। विवेकशील प्राणी बेतुकेपन के ऐसे तर्क को कभी नहीं समझेंगे। यह बात करने वाले तोते और प्रशिक्षित बंदरों का स्तर है, जिसमें मन "पूरी तरह से" शब्द से अनुपस्थित है। गणितज्ञ सामान्य प्रशिक्षकों के रूप में कार्य करते हैं, अपने बेतुके विचारों का हमें प्रचार करते हैं।

एक बार की बात है, पुल का निर्माण करने वाले इंजीनियर पुल के परीक्षणों के दौरान पुल के नीचे एक नाव में थे। पुल ढह गया तो उसकी रचना के मलबे के नीचे औसत दर्जे का इंजीनियर मर गया। यदि पुल भार का सामना कर सकता है, तो प्रतिभाशाली इंजीनियर ने अन्य पुलों का निर्माण किया।

कोई फर्क नहीं पड़ता कि गणितज्ञ "माइंड मी, आई एम इन द हाउस" वाक्यांश के पीछे कैसे छिपते हैं, या बल्कि "गणित अमूर्त अवधारणाओं का अध्ययन करता है", एक गर्भनाल है जो उन्हें वास्तविकता से जोड़ती है। यह गर्भनाल धन है। आइए हम गणितीय समुच्चय सिद्धांत को स्वयं गणितज्ञों पर लागू करें।

हमने गणित का बहुत अच्छा अध्ययन किया और अब हम कैश डेस्क पर बैठे हैं, वेतन दे रहे हैं। यहाँ एक गणितज्ञ अपने पैसे के लिए हमारे पास आता है। हम उसके लिए पूरी राशि गिनते हैं और उसे अपनी मेज पर अलग-अलग ढेर में रख देते हैं, जिसमें हम एक ही मूल्यवर्ग के बिल डालते हैं। फिर हम प्रत्येक ढेर से एक बिल लेते हैं और गणितज्ञ को उसका "गणितीय वेतन सेट" देते हैं। हम गणित की व्याख्या करते हैं कि वह शेष बिल तभी प्राप्त करेगा जब वह साबित करेगा कि समान तत्वों के बिना सेट समान तत्वों वाले सेट के बराबर नहीं है। मज़ा यहां शुरू होता है।

सबसे पहले, डिप्टी का तर्क काम करेगा: "आप इसे दूसरों पर लागू कर सकते हैं, लेकिन मुझ पर नहीं!" इसके अलावा, आश्वासन शुरू हो जाएगा कि एक ही मूल्यवर्ग के बैंक नोटों पर अलग-अलग बैंकनोट नंबर हैं, जिसका अर्थ है कि उन्हें समान तत्व नहीं माना जा सकता है। खैर, हम वेतन को सिक्कों में गिनते हैं - सिक्कों पर कोई संख्या नहीं होती है। यहां गणितज्ञ भौतिकी को आक्षेप में याद करना शुरू कर देगा: अलग सिक्केगंदगी की एक अलग मात्रा होती है, क्रिस्टल संरचना और प्रत्येक सिक्के के परमाणुओं की व्यवस्था अद्वितीय होती है...

और अब मेरे पास सबसे ब्याज पूछो: वह सीमा कहाँ है जिसके आगे एक मल्टीसेट के तत्व समुच्चय के तत्वों में बदल जाते हैं और इसके विपरीत? ऐसी रेखा मौजूद नहीं है - सब कुछ शेमस द्वारा तय किया जाता है, यहां विज्ञान भी करीब नहीं है।

यहाँ देखो। हम समान क्षेत्र वाले फुटबॉल स्टेडियमों का चयन करते हैं। खेतों का क्षेत्रफल समान है, जिसका अर्थ है कि हमारे पास एक मल्टीसेट है। लेकिन अगर हम उन्हीं स्टेडियमों के नामों पर विचार करें तो हमें बहुत कुछ मिलता है, क्योंकि नाम अलग-अलग होते हैं। जैसा कि आप देख सकते हैं, तत्वों का एक ही सेट एक ही समय में एक सेट और एक मल्टीसेट दोनों है। कितना सही? और यहाँ गणितज्ञ-शमन-शुलर अपनी आस्तीन से एक ट्रम्प इक्का निकालता है और हमें एक सेट या एक मल्टीसेट के बारे में बताना शुरू करता है। किसी भी मामले में, वह हमें विश्वास दिलाएगा कि वह सही है।

यह समझने के लिए कि आधुनिक शेमैन सेट थ्योरी के साथ कैसे काम करते हैं, इसे वास्तविकता से बांधते हुए, एक प्रश्न का उत्तर देने के लिए पर्याप्त है: एक सेट के तत्व दूसरे सेट के तत्वों से कैसे भिन्न होते हैं? मैं आपको बिना किसी "एक पूरे के रूप में बोधगम्य" या "एक पूरे के रूप में बोधगम्य नहीं" के बिना दिखाऊंगा।

रविवार, 18 मार्च 2018

एक संख्या के अंकों का योग तंबूरा के साथ शेमस का नृत्य है, जिसका गणित से कोई लेना-देना नहीं है। हां, गणित के पाठों में हमें किसी संख्या के अंकों का योग ज्ञात करना और उसका उपयोग करना सिखाया जाता है, लेकिन वे उसके लिए शेमस हैं, अपने वंशजों को उनके कौशल और ज्ञान को सिखाने के लिए, अन्यथा शमां बस मर जाएंगे।

क्या आपको सबूत चाहिए? विकिपीडिया खोलें और "संख्या के अंकों का योग" पृष्ठ खोजने का प्रयास करें। वह मौजूद नहीं है। गणित में ऐसा कोई सूत्र नहीं है जिससे आप किसी भी संख्या के अंकों का योग ज्ञात कर सकें। आखिरकार, संख्याएँ ग्राफिक प्रतीक हैं जिनके साथ हम संख्याएँ लिखते हैं, और गणित की भाषा में, कार्य इस तरह लगता है: "किसी भी संख्या का प्रतिनिधित्व करने वाले ग्राफिक प्रतीकों का योग ज्ञात करें।" गणितज्ञ इस समस्या को हल नहीं कर सकते, लेकिन शेमस इसे मूल रूप से कर सकते हैं।

आइए जानें कि दी गई संख्या के अंकों का योग ज्ञात करने के लिए हम क्या और कैसे करते हैं। और इसलिए, मान लें कि हमारे पास संख्या 12345 है। इस संख्या के अंकों का योग ज्ञात करने के लिए क्या करना होगा? आइए क्रम में सभी चरणों पर विचार करें।

1. कागज के एक टुकड़े पर संख्या लिखिए। हमने क्या किया है? हमने संख्या को एक संख्या ग्राफिक प्रतीक में बदल दिया है। यह कोई गणितीय क्रिया नहीं है।

2. हमने एक प्राप्त तस्वीर को अलग-अलग संख्याओं वाले कई चित्रों में काट दिया। चित्र काटना कोई गणितीय क्रिया नहीं है।

3. अलग-अलग ग्राफिक वर्णों को संख्याओं में बदलें। यह कोई गणितीय क्रिया नहीं है।

4. परिणामी संख्याओं को जोड़ें। अब वह गणित है।

संख्या 12345 के अंकों का योग 15 है। ये गणितज्ञों द्वारा उपयोग किए जाने वाले शेमस के "काटने और सिलाई के पाठ्यक्रम" हैं। लेकिन वह सब नहीं है।

गणित की दृष्टि से इस बात से कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम किस संख्या प्रणाली में अंक लिखते हैं। तो, में विभिन्न प्रणालियाँगणना करने पर एक ही संख्या के अंकों का योग भिन्न होगा। गणित में, संख्या प्रणाली को संख्या के दाईं ओर एक सबस्क्रिप्ट के रूप में दर्शाया जाता है। 12345 की एक बड़ी संख्या के साथ, मैं अपने सिर को मूर्ख नहीं बनाना चाहता, लेख से 26 नंबर पर विचार करें। आइए इस नंबर को बाइनरी, ऑक्टल, डेसीमल और हेक्साडेसिमल नंबर सिस्टम में लिखते हैं। हम माइक्रोस्कोप के तहत प्रत्येक चरण पर विचार नहीं करेंगे, हम पहले ही ऐसा कर चुके हैं। आइए परिणाम देखें।

जैसा कि आप देख सकते हैं, विभिन्न संख्या प्रणालियों में, एक ही संख्या के अंकों का योग भिन्न होता है। इस परिणाम का गणित से कोई लेना-देना नहीं है। यह वैसा ही है जैसे मीटर और सेंटीमीटर में आयत के क्षेत्रफल का निर्धारण करते समय आपको पूरी तरह से अलग परिणाम मिलेंगे।

सभी संख्या प्रणालियों में शून्य समान दिखता है और इसमें अंकों का कोई योग नहीं होता है। यह इस तथ्य के पक्ष में एक और तर्क है कि . गणितज्ञों के लिए एक प्रश्न: गणित में यह कैसे दर्शाया जाता है कि जो एक संख्या नहीं है? क्या, गणितज्ञों के लिए, संख्याओं के अलावा कुछ भी मौजूद नहीं है? शेमस के लिए, मैं इसकी अनुमति दे सकता हूं, लेकिन वैज्ञानिकों के लिए, नहीं। वास्तविकता केवल संख्या के बारे में नहीं है।

प्राप्त परिणाम को प्रमाण के रूप में माना जाना चाहिए कि संख्या प्रणाली संख्याओं के मापन की इकाइयाँ हैं। आखिरकार, हम माप की विभिन्न इकाइयों के साथ संख्याओं की तुलना नहीं कर सकते। यदि एक ही मात्रा की माप की विभिन्न इकाइयों के साथ एक ही क्रिया की तुलना करने के बाद अलग-अलग परिणाम मिलते हैं, तो इसका गणित से कोई लेना-देना नहीं है।

वास्तविक गणित क्या है? यह तब होता है जब गणितीय क्रिया का परिणाम संख्या के मूल्य, उपयोग की गई माप की इकाई और इस क्रिया को करने वाले पर निर्भर नहीं करता है।

दरवाजे पर हस्ताक्षर करें दरवाजा खोलता है और कहता है:

आउच! क्या यह महिला शौचालय नहीं है?
- जवान महिला! स्वर्ग में स्वर्गारोहण पर आत्माओं की अनिश्चितकालीन पवित्रता का अध्ययन करने के लिए यह एक प्रयोगशाला है! शीर्ष पर निंबस और ऊपर तीर। और क्या शौचालय?

महिला... शीर्ष पर एक प्रभामंडल और नीचे एक तीर नर है।

यदि आपके पास दिन में कई बार आपकी आंखों के सामने डिजाइन कला का ऐसा काम है,

तब यह आश्चर्य की बात नहीं है कि आप अचानक अपनी कार में एक अजीब आइकन पाते हैं:

व्यक्तिगत रूप से, मैं अपने आप को एक शिकार करने वाले व्यक्ति (एक तस्वीर) (कई चित्रों की संरचना: ऋण चिह्न, संख्या चार, डिग्री पदनाम) में शून्य से चार डिग्री देखने का प्रयास करता हूं। और मैं इस लड़की को मूर्ख नहीं मानता जो भौतिकी नहीं जानती। उसके पास ग्राफिक छवियों की धारणा का एक चाप स्टीरियोटाइप है। और गणितज्ञ हमें हर समय यही सिखाते हैं। यहाँ एक उदाहरण है।

1A "माइनस फोर डिग्री" या "वन ए" नहीं है। यह हेक्साडेसिमल संख्या प्रणाली में "पोपिंग मैन" या संख्या "छब्बीस" है। वे लोग जो लगातार इस संख्या प्रणाली में काम करते हैं, स्वचालित रूप से संख्या और अक्षर को एक ग्राफिक प्रतीक के रूप में देखते हैं।

कोण 0, 30, 45, 60, 90, ... डिग्री के लिए बुनियादी त्रिकोणमितीय कार्यों की तालिका

फ़ंक्शन $\sin$, $\cos$, $\tan$, और $\cot$ की त्रिकोणमितीय परिभाषाओं से, कोण $0$ और $90$ डिग्री के लिए उनके मान ज्ञात कर सकते हैं:

$\sin⁡0°=0$, $\cos0°=1$, $\tan 0°=0$, $\cot 0°$ परिभाषित नहीं;

$\sin90°=1$, $\cos90°=0$, $\cot90°=0$, $\tan 90°$ परिभाषित नहीं है।

स्कूल ज्यामिति पाठ्यक्रम में, समकोण त्रिभुजों का अध्ययन करते समय, कोणों के त्रिकोणमितीय फलन $0°$, $30°$, $45°$, $60°$ और $90°$ पाए जाते हैं।

डिग्री और रेडियन में निर्दिष्ट कोणों के लिए त्रिकोणमितीय कार्यों के पाए गए मान क्रमशः ($0$, $\frac(\pi)(6)$, $\frac(\pi)(4)$, $\frac(\ pi)(3) $, $\frac(\pi)(2)$) याद रखने और उपयोग में आसानी के लिए एक तालिका में दर्ज किया जाता है जिसे कहा जाता है त्रिकोणमितीय तालिका, त्रिकोणमितीय कार्यों के बुनियादी मूल्यों की तालिकाआदि।

कमी सूत्रों का उपयोग करते समय, त्रिकोणमितीय तालिकाक्रमशः $360°$ और $2\pi$ रेडियन तक विस्तारित किया जा सकता है:

त्रिकोणमितीय फलनों के आवर्तता गुणों को लागू करते हुए, प्रत्येक कोण जो पहले से ज्ञात $360°$ से भिन्न होता है, की गणना की जा सकती है और एक तालिका में दर्ज किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, कोण $0°$ के लिए त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन का कोण $0°+360°$ के लिए और कोण $0°+2 \cdot 360°$ के लिए और कोण $0°+3 \ के लिए समान मान होगा। cdot 360°$ और आदि।

त्रिकोणमितीय तालिका का उपयोग करके, आप एक इकाई वृत्त के सभी कोणों के मान निर्धारित कर सकते हैं।

स्कूल ज्यामिति पाठ्यक्रम में, त्रिकोणमितीय समस्याओं को हल करने की सुविधा के लिए त्रिकोणमितीय तालिका में एकत्रित त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल मूल्यों को याद रखना माना जाता है।

तालिका का उपयोग करना

तालिका में, आवश्यक त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन और कोण या रेडियन के मान को खोजने के लिए पर्याप्त है जिसके लिए इस फ़ंक्शन की गणना करने की आवश्यकता है। फ़ंक्शन के साथ पंक्ति और मान के साथ कॉलम के चौराहे पर, हमें दिए गए तर्क के त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन का वांछित मान मिलता है।

चित्र में आप देख सकते हैं कि $\cos⁡60°$ का मान कैसे ज्ञात किया जाए जो $\frac(1)(2)$ के बराबर है।

विस्तारित त्रिकोणमितीय तालिका का उपयोग इसी तरह किया जाता है। इसका उपयोग करने का लाभ, जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, लगभग किसी भी कोण के त्रिकोणमितीय कार्य की गणना है। उदाहरण के लिए, आप आसानी से मान $\tan 1 380°=\tan (1 380°-360°)=\tan(1 020°-360°)=\tan(660°-360°)=\tan300 पा सकते हैं °$:

बुनियादी त्रिकोणमितीय कार्यों की ब्रैडिस सारणी

डिग्री के पूर्णांक मान और मिनटों के पूर्णांक मान के लिए किसी भी कोण मान के त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन की गणना करने की क्षमता ब्रैडिस तालिकाओं का उपयोग करती है। उदाहरण के लिए, मान $\cos⁡34°7"$ खोजें। तालिकाओं को 2 भागों में विभाजित किया गया है: $\sin$ और $\cos$ मानों की तालिका और $\tan$ और $\ की तालिका खाट $ मूल्य।

ब्रैडिस तालिकाएं 4 दशमलव स्थानों तक की सटीकता के साथ त्रिकोणमितीय कार्यों का अनुमानित मान प्राप्त करना संभव बनाती हैं।

ब्रैडिस टेबल्स का उपयोग करना

साइन के लिए ब्रैडीज़ की तालिकाओं का उपयोग करते हुए, हम $\sin⁡17°42"$ पाते हैं। ऐसा करने के लिए, साइन और कोसाइन की तालिका के बाईं ओर के कॉलम में हम डिग्री का मान पाते हैं - $17°$, और में शीर्ष पंक्ति में हम मिनटों का मान पाते हैं - $42"$। उनके चौराहे पर, हमें वांछित मूल्य मिलता है:

$\sin17°42"=0.304$।

$\sin17°44"$ का मान ज्ञात करने के लिए, आपको तालिका के दाईं ओर सुधार का उपयोग करने की आवश्यकता है। इस स्थिति में, $42"$ के मान में, जो तालिका में है, आपको एक जोड़ना होगा $2"$ के लिए सुधार, जो $0.0006$ के बराबर है। हमें मिलता है:

$\sin17°44"=0.304+0.0006=0.3046$।

$\sin17°47"$ का मान ज्ञात करने के लिए, हम तालिका के दाईं ओर सुधार का भी उपयोग करते हैं, केवल इस मामले में हम $\sin17°48"$ के मान को आधार के रूप में लेते हैं और इसके लिए सुधार घटाते हैं $1"$:

$\sin17°47"=0.3057-0.0003=0.3054$।

कोसाइन की गणना करते समय, हम समान क्रियाएं करते हैं, लेकिन हम दाहिने कॉलम में डिग्री और तालिका के निचले कॉलम में मिनट देखते हैं। उदाहरण के लिए, $\cos20°=0.9397$।

$90°$ तक के टेंगेंट मानों और छोटे कोण कोटेंजेंट के लिए कोई सुधार नहीं है। उदाहरण के लिए, आइए $\tan 78°37"$ खोजें, जो तालिका के अनुसार $4,967$ है।

1. त्रिकोणमितीय फलनप्रतिनिधित्व करना प्राथमिक कार्य, जिसका तर्क है कोना. त्रिकोणमितीय कार्यों की सहायता से, पक्षों और . के बीच संबंध तेज मोडएक समकोण त्रिभुज में। त्रिकोणमितीय फलनों के अनुप्रयोग के क्षेत्र अत्यंत विविध हैं। इसलिए, उदाहरण के लिए, किसी भी आवधिक प्रक्रिया को त्रिकोणमितीय कार्यों (फूरियर श्रृंखला) के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है। विभेदक और कार्यात्मक समीकरणों को हल करते समय ये फ़ंक्शन अक्सर दिखाई देते हैं।

2. त्रिकोणमितीय कार्यों में निम्नलिखित 6 कार्य शामिल हैं: साइनस, कोज्या, स्पर्शरेखा,कोटैंजेंट, काटनेवालातथा cosecant. प्रत्येक के लिए निर्दिष्ट कार्यएक उलटा त्रिकोणमितीय कार्य है।

3. ज्यामितीय परिभाषात्रिकोणमितीय कार्यों को आसानी से उपयोग करके पेश किया जाता है यूनिट सर्कल. नीचे दिया गया चित्र त्रिज्या r=1 के साथ एक वृत्त दिखाता है। बिंदु M(x,y) वृत्त पर अंकित है। त्रिज्या वेक्टर OM और ऑक्स अक्ष की धनात्मक दिशा के बीच का कोण α है।

4. साइनसकोण α, बिंदु M(x,y) की कोटि y का त्रिज्या r से अनुपात है:
sinα=y/r.
चूँकि r=1, तो ज्या बिंदु M(x,y) की कोटि के बराबर होती है।

5. कोज्याकोण α, बिंदु M(x,y) के भुज x का त्रिज्या r से अनुपात है:
cosα=x/r

6. स्पर्शरेखाकोण α, बिंदु M(x,y) के कोटि y का उसके भुज x से अनुपात है:
tanα=y/x,x≠0

7. कोटैंजेंटकोण α, बिंदु M(x,y) के भुज x का कोटि y से अनुपात है:
cotα=x/y,y≠0

8. काटनेवालाकोण α त्रिज्या r और बिंदु M(x,y) के भुज x का अनुपात है:
secα=r/x=1/x,x≠0

9. cosecantकोण α त्रिज्या r और बिंदु M(x,y) की कोटि y का अनुपात है:
cscα=r/y=1/y,y≠0

10. प्रक्षेपण x, y के इकाई वृत्त में, बिंदु M(x,y) और त्रिज्या r एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं, जिसमें x, y पैर हैं और r कर्ण है। इसलिए, त्रिकोणमितीय फलनों की उपरोक्त परिभाषाएं, जैसा कि लागू होती हैं सही त्रिकोणइस तरह तैयार किए जाते हैं:
साइनसकोण α कर्ण के विपरीत पैर का अनुपात है।
कोज्याकोण α आसन्न पैर और कर्ण का अनुपात है।
स्पर्शरेखाकोण α को आसन्न एक के विपरीत पैर कहा जाता है।
कोटैंजेंटकोण α को विपरीत का आसन्न पैर कहा जाता है।
काटनेवालाकोण α कर्ण का अनुपात है आसन्न पैर.
cosecantकोण α विपरीत पैर के कर्ण का अनुपात है।

11. साइन फंक्शन ग्राफ
y=sinx, डोमेन: x∈R, डोमेन: −1≤sinx≤1

12. कोज्या फलन का ग्राफ
y=cosx, डोमेन: x∈R, श्रेणी: −1≤cosx≤1

13. स्पर्शरेखा फ़ंक्शन ग्राफ
y=tanx, डोमेन: x∈R,x≠(2k+1)π/2, डोमेन: −∞

14. कोटैंजेंट फ़ंक्शन का ग्राफ
y=cotx, डोमेन: x∈R,x≠kπ, डोमेन: −∞

15. secant फ़ंक्शन का ग्राफ़
y=secx, डोमेन: x∈R,x≠(2k+1)π/2, डोमेन: secx∈(−∞,−1]∪∪)