ऑनलाइन कैलकुलेटर।
द्विपद के वर्ग का चयन और वर्ग त्रिपद का गुणनखंडन।

यह गणित कार्यक्रम वर्ग ट्रिनोमियल से द्विपद का वर्ग निकालता है, अर्थात। रूप का परिवर्तन करता है:
\(ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q \) और वर्ग त्रिपद का गुणनखंडन करता है: \(ax^2+bx+c \rightarrow a(x+n)(x+m) \)

वे। समस्याओं को संख्या \(p, q \) और \(n, m \) ज्ञात करने तक सीमित कर दिया गया है

कार्यक्रम न केवल समस्या का उत्तर देता है, बल्कि समाधान प्रक्रिया को भी प्रदर्शित करता है।

यह कार्यक्रम हाई स्कूल के छात्रों के लिए परीक्षण और परीक्षा की तैयारी में उपयोगी हो सकता है, जब माता-पिता के लिए गणित और बीजगणित में कई समस्याओं के समाधान को नियंत्रित करने के लिए एकीकृत राज्य परीक्षा से पहले ज्ञान का परीक्षण किया जाता है। या हो सकता है कि आपके लिए ट्यूटर नियुक्त करना या नई पाठ्यपुस्तकें खरीदना बहुत महंगा हो? या क्या आप बस अपना गणित या बीजगणित का होमवर्क जल्दी से जल्दी पूरा करना चाहते हैं? इस मामले में, आप विस्तृत समाधान के साथ हमारे कार्यक्रमों का भी उपयोग कर सकते हैं।

इस प्रकार, आप अपने स्वयं के प्रशिक्षण और/या अपने छोटे भाइयों या बहनों के प्रशिक्षण का संचालन कर सकते हैं, जबकि हल किए जाने वाले कार्यों के क्षेत्र में शिक्षा का स्तर बढ़ जाता है।

यदि आप एक वर्ग त्रिपद में प्रवेश करने के नियमों से परिचित नहीं हैं, तो हम अनुशंसा करते हैं कि आप स्वयं को उनसे परिचित करा लें।

एक वर्ग बहुपद में प्रवेश करने के नियम

कोई भी लैटिन अक्षर एक चर के रूप में कार्य कर सकता है।
उदाहरण के लिए: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\) आदि।

संख्याओं को पूर्णांक या भिन्न के रूप में दर्ज किया जा सकता है।
इसके अलावा, भिन्नात्मक संख्याएँ न केवल दशमलव के रूप में, बल्कि एक साधारण अंश के रूप में भी दर्ज की जा सकती हैं।

दशमलव अंशों को दर्ज करने के नियम।
दशमलव अंशों में, पूर्णांक से भिन्नात्मक भाग को डॉट या अल्पविराम से अलग किया जा सकता है।
उदाहरण के लिए, आप प्रवेश कर सकते हैं दशमलवइसलिए: 2.5x - 3.5x^2

साधारण अंशों में प्रवेश करने के नियम।
केवल एक पूर्ण संख्या अंश, भाजक और अंश के पूर्णांक भाग के रूप में कार्य कर सकती है।

भाजक नकारात्मक नहीं हो सकता।

एक संख्यात्मक अंश में प्रवेश करते समय, अंश को भाजक से एक विभाजन चिह्न द्वारा अलग किया जाता है: /
पूर्णांक भाग अंश से एम्परसेंड द्वारा अलग किया जाता है: &
इनपुट: 3&1/3 - 5&6/5x +1/7x^2
परिणाम: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) x + \frac(1)(7)x^2 \)

एक अभिव्यक्ति दर्ज करते समय आप ब्रैकेट का उपयोग कर सकते हैं. इस मामले में, हल करते समय, पेश की गई अभिव्यक्ति को पहले सरल किया जाता है।
उदाहरण के लिए: 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2)

विस्तृत समाधान उदाहरण

द्विपद के वर्ग का चयन।$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q $$ $$2x^2+2x-4 = $$ $$2x^2 +2 \cdot 2 \cdot\बाएं ( \frac(1)(2) \right)\cdot x+2 \cdot \left(\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) = $$ $$2\बाएं (x^2 + 2 \cdot\left(\frac(1)(2) \right)\cdot x + \left(\frac(1)(2) \right)^2 \right)-\frac(9 )(2) = $$ $$2\बाएं(x+\frac(1)(2) \दाएं)^2-\frac(9)(2) $$ उत्तर:$$2x^2+2x-4 = 2\बाएं(x+\frac(1)(2) \दाएं)^2-\frac(9)(2) $$ गुणनखंडन।$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+n)(x+m) $$ $$2x^2+2x-4 = $$
$$ 2\बाएं (x^2+x-2 \दाएं) = $$
$$ 2 \बाएं(x^2+2x-1x-1 \cdot 2 \दाएं) = $$ $$ 2 \बाएं (x \बाएं (x +2 \दाएं) -1 \बाएं (x +2 \दाएं) ) \दाएं) = $$ $$ 2 \बाएं (x -1 \दाएं) \बाएं (x +2 \दाएं) $$ उत्तर:$$2x^2+2x-4 = 2 \बाएं(x -1 \दाएं) \बाएं (x +2 \दाएं) $$

तय करना

यह पाया गया कि इस कार्य को हल करने के लिए आवश्यक कुछ स्क्रिप्ट्स को लोड नहीं किया गया था, और प्रोग्राम शायद काम न करे।
आपके पास एडब्लॉक सक्षम हो सकता है।
इस स्थिति में, इसे अक्षम करें और पृष्ठ को ताज़ा करें।

आपके ब्राउज़र में जावास्क्रिप्ट अक्षम है।
समाधान के प्रकट होने के लिए जावास्क्रिप्ट सक्षम होना चाहिए।
यहां आपके ब्राउज़र में जावास्क्रिप्ट को सक्षम करने के निर्देश दिए गए हैं।

क्योंकि ऐसे बहुत से लोग हैं जो समस्या का समाधान करना चाहते हैं, आपका अनुरोध कतारबद्ध है।
कुछ सेकंड के बाद, समाधान नीचे दिखाई देगा।
कृपया प्रतीक्षा करें सेकंड...

अगर आप समाधान में त्रुटि देखी, तो आप इसके बारे में फीडबैक फॉर्म में लिख सकते हैं।
भूलना नहीं कौन सा कार्य बताएंआप क्या तय करें खेतों में प्रवेश करें.

हमारे खेल, पहेलियाँ, एमुलेटर:

थोड़ा सिद्धांत।

एक वर्ग त्रिपद से एक वर्ग द्विपद का निष्कर्षण

यदि वर्ग ट्रिनोमियल ax 2 + bx + c को a (x + p) 2 + q के रूप में दर्शाया जाता है, जहाँ p और q वास्तविक संख्याएँ हैं, तो वे कहते हैं कि से वर्ग ट्रिनोमियल, द्विपद का वर्ग हाइलाइट किया गया है.

आइए त्रिपद 2x 2 +12x+14 से द्विपद का वर्ग निकालें।

\(2x^2+12x+14 = 2(x^2+6x+7) \)

ऐसा करने के लिए, हम 6x को 2 * 3 * x के गुणनफल के रूप में दर्शाते हैं, और फिर 3 2 को जोड़ते और घटाते हैं। हम पाते हैं:
$$ 2(x^2+2 \cdot 3 \cdot x + 3^2-3^2+7) = 2((x+3)^2-3^2+7) = $$ $$ = 2 ((x+3)^2-2) = 2(x+3)^2-4 $$

वह। हम वर्ग ट्रिनोमियल से द्विपद के वर्ग का चयन किया, और दिखाया कि:
$$ 2x^2+12x+14 = 2(x+3)^2-4 $$

वर्ग ट्रिनोमियल का गुणनखंडन

यदि वर्ग ट्रिनोमियल ax 2 +bx+c को a(x+n)(x+m) के रूप में दर्शाया जाता है, जहां n और m वास्तविक संख्याएं हैं, तो ऑपरेशन को निष्पादित कहा जाता है एक वर्ग ट्रिनोमियल के गुणनखंड.

यह रूपांतरण कैसे किया जाता है, यह दिखाने के लिए आइए एक उदाहरण का उपयोग करें।

वर्ग ट्रिनोमियल 2x 2 +4x-6 के गुणनखंड करें।

आइए गुणांक a को कोष्ठक से बाहर निकालें, अर्थात 2:
\(2x^2+4x-6 = 2(x^2+2x-3) \)

आइए अभिव्यक्ति को कोष्ठक में बदलें।
ऐसा करने के लिए, हम 2x को अंतर 3x-1x और -3 को -1*3 के रूप में दर्शाते हैं। हम पाते हैं:
$$ = 2(x^2+3 \cdot x -1 \cdot x -1 \cdot 3) = 2(x(x+3)-1 \cdot (x+3)) = $$
$$ = 2(x-1)(x+3) $$

वह। हम वर्ग ट्रिनोमियल का गुणनखंडन करें, और दिखाया कि:
$$ 2x^2+4x-6 = 2(x-1)(x+3) $$

ध्यान दें कि वर्ग त्रिपद का गुणनखंडन तभी संभव है जब इस त्रिपद के संगत द्विघात समीकरण का मूल हो।
वे। हमारे मामले में, द्विघात समीकरण 2x 2 +4x-6 =0 के मूल होने पर ट्रिनोमियल 2x 2 +4x-6 का गुणनखंड करना संभव है। गुणनखंडन की प्रक्रिया में, हमने पाया कि समीकरण 2x 2 +4x-6 =0 के दो मूल 1 और -3 हैं, क्योंकि इन मूल्यों के साथ, समीकरण 2(x-1)(x+3)=0 एक वास्तविक समानता में बदल जाता है।

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इस पाठ में, हम सीखेंगे कि वर्ग ट्रिनोमियल्स को रैखिक गुणनखंडों में कैसे विघटित किया जाता है। इसके लिए, वीटा के प्रमेय और इसके व्युत्क्रम को याद करना आवश्यक है। यह कौशल वर्ग ट्रिनोमियल्स को रैखिक कारकों में जल्दी और आसानी से विघटित करने में हमारी मदद करेगा, और भावों से युक्त अंशों की कमी को भी सरल करेगा।

तो द्विघात समीकरण पर वापस जाएँ, जहाँ .

हमारे पास बाईं ओर जो है उसे वर्ग ट्रिनोमियल कहा जाता है।

प्रमेय सत्य है:अगर - जड़ें चौकोर ट्रिनोमियल, फिर पहचान

जहां प्रमुख गुणांक है, समीकरण की जड़ें हैं।

तो, हमारे पास एक द्विघात समीकरण है - एक वर्ग त्रिपद, जहाँ द्विघात समीकरण की जड़ों को द्विघात त्रिपद की जड़ें भी कहा जाता है। इसलिए, यदि हमारे पास वर्ग ट्रिनोमियल की जड़ें हैं, तो यह ट्रिनोमियल रैखिक कारकों में विघटित हो जाता है।

सबूत:

इस तथ्य का प्रमाण वीटा प्रमेय का उपयोग करके किया जाता है, जिसे हमने पिछले पाठों में माना था।

आइए याद करें कि वीटा की प्रमेय हमें क्या बताती है:

यदि एक वर्ग ट्रिनोमियल की जड़ें हैं जिसके लिए, फिर।

इस प्रमेय का तात्पर्य निम्नलिखित अभिकथन से है कि .

हम देखते हैं कि, वीटा प्रमेय के अनुसार, अर्थात्, उपरोक्त सूत्र में इन मूल्यों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें निम्नलिखित अभिव्यक्ति मिलती है

Q.E.D.

याद करें कि हमने इस प्रमेय को सिद्ध किया था कि यदि वर्ग त्रिपद की जड़ें हैं, तो अपघटन मान्य है।

अब आइए एक द्विघात समीकरण का एक उदाहरण याद करें, जिसके लिए हमने वीटा के प्रमेय का उपयोग करके जड़ों का चयन किया। इस तथ्य से हम सिद्ध प्रमेय के लिए निम्नलिखित समानता प्राप्त कर सकते हैं:

अब आइए इस तथ्य की सत्यता की जाँच केवल कोष्ठकों का विस्तार करके करें:

हम देखते हैं कि हमने सही ढंग से गुणनखंड किया है, और कोई भी त्रिपद, यदि इसकी जड़ें हैं, तो इस प्रमेय के अनुसार सूत्र के अनुसार रैखिक गुणनखंडों में गुणनखंड किया जा सकता है

हालाँकि, आइए देखें कि क्या किसी समीकरण के लिए ऐसा गुणनखंड संभव है:

आइए उदाहरण के लिए समीकरण लें। पहले, आइए विवेचक के चिन्ह की जाँच करें

और हमें याद है कि हमने जो प्रमेय सीखा है उसे पूरा करने के लिए, डी को 0 से अधिक होना चाहिए, इसलिए, इस मामले में, अध्ययन किए गए प्रमेय के अनुसार फैक्टरिंग करना असंभव है।

इसलिए, हम एक नया प्रमेय तैयार करते हैं: यदि वर्ग ट्रिनोमियल की कोई जड़ नहीं है, तो इसे रैखिक कारकों में विघटित नहीं किया जा सकता है।

इसलिए, हमने वीटा प्रमेय पर विचार किया है, एक वर्ग ट्रिनोमियल को रैखिक कारकों में विघटित करने की संभावना है, और अब हम कई समस्याओं का समाधान करेंगे।

कार्य 1

इस समूह में, हम वास्तव में सामने आई समस्या के विपरीत समस्या का समाधान करेंगे। हमारे पास एक समीकरण था, और हमने इसकी जड़ों को कारकों में विघटित करते हुए पाया। यहां हम इसके विपरीत करेंगे। मान लीजिए कि हमारे पास एक द्विघात समीकरण के मूल हैं

उलटा समस्या यह है: एक द्विघात समीकरण लिखिए ताकि उसकी जड़ें हों।

इस समस्या को हल करने के 2 तरीके हैं।

चूंकि समीकरण की जड़ें हैं, फिर एक द्विघात समीकरण है जिसके मूल में संख्याएँ दी गई हैं। अब कोष्ठक खोलते हैं और जाँचते हैं:

यह पहला तरीका था जिससे हमने दी गई जड़ों के साथ एक द्विघात समीकरण बनाया जिसकी कोई अन्य जड़ नहीं है, क्योंकि किसी भी द्विघात समीकरण में अधिक से अधिक दो जड़ें होती हैं।

इस पद्धति में व्युत्क्रम वीटा प्रमेय का उपयोग शामिल है।

यदि समीकरण के मूल हैं, तो वे इस शर्त को पूरा करते हैं कि .

घटे हुए द्विघात समीकरण के लिए , , यानी इस मामले में , और .

इस प्रकार, हमने एक द्विघात समीकरण बनाया है जिसकी जड़ें दी गई हैं।

टास्क #2

आपको अंश को कम करने की आवश्यकता है।

हमारे पास अंश में एक ट्रिनोमियल और हर में एक ट्रिनोमियल होता है, और ट्रिनोमियल को गुणनखंडित किया जा सकता है या नहीं भी किया जा सकता है। यदि अंश और हर दोनों का गुणनखंड किया जाता है, तो उनमें समान गुणनखंड हो सकते हैं जिन्हें घटाया जा सकता है।

सबसे पहले, अंश को कारक बनाना आवश्यक है।

सबसे पहले, आपको यह जाँचने की आवश्यकता है कि क्या इस समीकरण का गुणनखंड किया जा सकता है, विविक्तकर ज्ञात करें। चूँकि , तो चिन्ह गुणनफल पर निर्भर करता है (0 से कम होना चाहिए), इस उदाहरण में, अर्थात दिया गया समीकरणजड़ें हैं।

हल करने के लिए, हम वीटा प्रमेय का उपयोग करते हैं:

इस मामले में, चूंकि हम जड़ों से निपट रहे हैं, इसलिए जड़ों को चुनना काफी मुश्किल होगा। लेकिन हम देखते हैं कि गुणांक संतुलित हैं, अर्थात यदि हम मान लें कि , और इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं, तो निम्न प्रणाली प्राप्त होती है: अर्थात 5-5=0। इस प्रकार, हमने इस द्विघात समीकरण की जड़ों में से एक को चुना है।

हम समीकरणों की प्रणाली में पहले से ही ज्ञात को प्रतिस्थापित करके दूसरी जड़ की तलाश करेंगे, उदाहरण के लिए, यानी। .

इस प्रकार, हमने द्विघात समीकरण की दोनों जड़ों को पाया है और उनके मूल्यों को मूल समीकरण में इसके कारक के रूप में स्थानापन्न कर सकते हैं:

मूल समस्या को याद करें, हमें भिन्न को कम करना था।

आइए अंश के स्थान पर अंश को प्रतिस्थापित करके समस्या को हल करने का प्रयास करें।

यह नहीं भूलना आवश्यक है कि इस मामले में भाजक 0 के बराबर नहीं हो सकता है, अर्थात।

यदि ये शर्तें पूरी होती हैं, तो हमने मूल भिन्न को रूप में घटा दिया है।

कार्य #3 (पैरामीटर के साथ कार्य)

पैरामीटर के किन मूल्यों पर द्विघात समीकरण की जड़ों का योग है

यदि इस समीकरण की जड़ें मौजूद हैं, तो सवाल यह है कि कब।

चौकोर ट्रिनोमियल कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स + सीसूत्र द्वारा रैखिक कारकों में विस्तारित किया जा सकता है:

ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2), कहाँ एक्स 1, एक्स 2द्विघात समीकरण के मूल हैं ax2+bx+c=0.

वर्ग ट्रिनोमियल को रैखिक कारकों में विघटित करें:

उदाहरण 1)। 2x2-7x-15।

समाधान। 2x2-7x-15=0.

ए=2; बी=-7; सी=-15। पूर्ण द्विघात समीकरण के लिए यह सामान्य मामला है। विवेचक का पता लगाना डी.

डी=बी 2 -4एसी=(-7) 2 -4∙2∙(-15)=49+120=169=13 2 >0; 2 असली जड़ें।

आइए सूत्र लागू करें: ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2).

2x 2 -7x-15=2 (x+1.5)(x-5)=(2x+3)(x-5). हमने इस ट्रिनोमियल को पेश किया है 2x2-7x-15 2x+3और एक्स-5।

उत्तर: 2x2 -7x-15= (2x+3)(x-5).

उदाहरण 2)। 3x2 +2x-8.

समाधान।आइए द्विघात समीकरण की जड़ें खोजें:

ए=3; बी=2;सी=-8। यह विशेष मामलासम दूसरे गुणांक के साथ एक पूर्ण द्विघात समीकरण के लिए ( बी=2). विवेचक का पता लगाना डी1.

आइए सूत्र लागू करें: ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2).

हमने ट्रिनोमियल पेश किया 3x2 +2x-8द्विपद के उत्पाद के रूप में एक्स + 2और 3x-4.

उत्तर: 3x2 +2x-8 =(एक्स + 2)(3x-4).

उदाहरण 3). 5x2-3x-2।

समाधान।आइए द्विघात समीकरण की जड़ें खोजें:

ए=5; बी=-3; सी=-2। यह निम्नलिखित शर्त के साथ पूर्ण द्विघात समीकरण के लिए एक विशेष मामला है: ए+बी+सी=0(5-3-2=0). इस तरह के मामलों में पहली जड़हमेशा एक के बराबर होता है, और दूसरी जड़पहले गुणांक द्वारा विभाजित मुक्त पद के भागफल के बराबर है:

आइए सूत्र लागू करें: ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2).

5x 2 -3x-2 \u003d 5 (x-1) (x + 0.4) \u003d (x-1) (5x + 2)। हमने ट्रिनोमियल पेश किया 5x2-3x-2द्विपद के उत्पाद के रूप में एक्स 1और 5x+2।

उत्तर: 5x2 -3x-2= (एक्स-1)(5x+2).

उदाहरण 4)। 6x2+x-5.

समाधान।आइए द्विघात समीकरण की जड़ें खोजें:

ए=6; बी=1; सी=-5। यह निम्नलिखित शर्त के साथ पूर्ण द्विघात समीकरण के लिए एक विशेष मामला है: ए-बी+सी=0(6-1-5=0). इस तरह के मामलों में पहली जड़हमेशा ऋण एक के बराबर होता है, और दूसरी जड़मुक्त पद के भागफल को घटाकर पहले गुणांक से विभाजित करने के बराबर होता है:

आइए सूत्र लागू करें: ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2).

हमने ट्रिनोमियल पेश किया 6x2+x-5द्विपद के उत्पाद के रूप में एक्स + 1और 6x-5.

उत्तर: 6x 2 +x-5= (एक्स + 1)(6x-5).

उदाहरण 5)। x2 -13x+12.

समाधान।आइए दिए गए द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात करें:

x 2 -13x+12=0. आइए देखें कि क्या इसे लागू किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, हम विविक्तकर को खोजते हैं और सुनिश्चित करते हैं कि यह एक पूर्णांक का पूर्ण वर्ग है।

ए=1; बी=-13; सी=12. विवेचक का पता लगाना डी।

डी = बी 2 -4 एसी=13 2 -4∙1∙12=169-48=121=11 2 .

हम वीटा प्रमेय लागू करते हैं: जड़ों का योग दूसरे गुणांक के बराबर होना चाहिए, विपरीत चिह्न के साथ लिया जाना चाहिए, और जड़ों का उत्पाद मुक्त अवधि के बराबर होना चाहिए:

एक्स 1 + एक्स 2 \u003d 13; एक्स 1 ∙ एक्स 2 \u003d 12। यह स्पष्ट है कि x 1 =1; x2=12.

आइए सूत्र लागू करें: ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2).

x 2 -13x+12=(x-1)(x-12).

उत्तर: x 2 -13x+12= (एक्स-1)(एक्स-12).

उदाहरण 6)। x2-4x-6।

समाधान। आइए दिए गए द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात करें:

ए=1; बी=-4; सी=-6। दूसरा गुणांक एक सम संख्या है। विविक्तकर D 1 ज्ञात कीजिए।

विवेचक एक पूर्णांक का एक पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए, वीटा का प्रमेय हमारी मदद नहीं करेगा, और हम एक दूसरे गुणांक के लिए सूत्रों का उपयोग करके जड़ें पाएंगे:

आइए सूत्र लागू करें: ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2) और उत्तर लिखो।

एक खुले पाठ का विकास

आठवीं कक्षा में बीजगणित

विषय पर: “स्क्वायर ट्रिनोमियल। गुणनखंडों में वर्ग त्रिपद का अपघटन।

करगांडा के गणित शिक्षक केएसयू सेकेंडरी स्कूल नंबर 16

बेकेनोवा जी.एम.

करगांडा 2015

"गणित अवलोकन द्वारा नहीं सीखा जा सकता है।"

लैरी निवेन - गणित के प्रोफेसर

पाठ विषय:

चौकोर ट्रिनोमियल।

वर्ग ट्रिनोमियल का गुणनखंडन।

पाठ मकसद:

1. कक्षा में सभी छात्रों से वर्ग ट्रिनोमियल के कारकों में अपघटन में ज्ञान के सफल विकास और अनुप्रयोग को प्राप्त करने के लिए।

2. बढ़ावा देना: क) आत्म-नियंत्रण और आत्म-शिक्षा का विकास,

बी) एक इंटरैक्टिव व्हाइटबोर्ड का उपयोग करने की क्षमता,

ग) गणितीय साक्षरता, सटीकता का विकास।

3. प्राप्त परिणामों से संतुष्टि प्राप्त करने के लिए, सहपाठियों के दृष्टिकोण के प्रति सहिष्णु होने के लिए, अपने विचारों को संक्षेप में व्यक्त करने की क्षमता विकसित करने के लिए।

पाठ प्रकार:विभेदित और के साथ संयुक्त पाठ व्यक्तिगत दृष्टिकोण, विकासशील और उन्नत शिक्षा के तत्वों के साथ।

पाठ स्थान:इस विषय पर तीसरा पाठ (मुख्य), पहले दो छात्रों ने एक वर्ग ट्रिनोमियल की परिभाषा सीखी, सीखा कि इसकी जड़ें कैसे खोजी जाती हैं, एक वर्ग ट्रिनोमियल के गुणनखंडन के लिए एल्गोरिथ्म से परिचित हुए, और यह भविष्य में मदद करेगा समीकरणों को हल करना, अंशों की कमी, बीजीय व्यंजकों का रूपांतरण।

पाठ संरचना:

1 छात्रों के लिए एक विभेदित दृष्टिकोण के साथ ज्ञान को अद्यतन करना।

2 नियंत्रण पूर्व अर्जित ज्ञान की आत्म-परीक्षा है।

3 नई सामग्री की प्रस्तुति आंशिक रूप से एक खोज पद्धति है।

4 अध्ययन के प्राथमिक समेकन, व्यक्तिगत रूप से विभेदितएक दृष्टिकोण।

5 समझ, ज्ञान का सामान्यीकरण।

6 समस्या-आधारित शिक्षा द्वारा गृहकार्य निर्धारित करना।

उपकरण: इंटरएक्टिव व्हाइटबोर्ड, नियमित व्हाइटबोर्ड, टास्क कार्ड, बीजगणित 8 पाठ्यपुस्तक, कार्बन पेपर और खाली शीट, फिजियोग्नॉस्टिक प्रतीक।

कक्षाओं के दौरान

आयोजन का समय(1 मिनट)।

1. छात्रों का अभिवादन; पाठ के लिए उनकी तत्परता की जाँच करना।

2. पाठ के उद्देश्य का संचार।

मैं मंच।

“दोहराव सीखने की जननी है। ”

1. गृहकार्य की जाँच करना। नंबर 476 (बी, डी), नंबर 474, नंबर 475

2. कार्ड पर व्यक्तिगत काम (4 लोग) (होमवर्क की जाँच के दौरान) (5 मिनट)

द्वितीय चरण।

"भरोसा करो लेकिन जांचो"

आत्म-नियंत्रण के साथ परीक्षण कार्य।

स्व-परीक्षण के साथ परीक्षण कार्य (कार्बन पेपर के माध्यम से)।

मैं विकल्प एम द्वितीय संस्करण

1) 2)

2. वर्ग त्रिपद का गुणनखण्ड करें:

जवाब

को सत्यापन कार्य

"भरोसा करो लेकिन जांचो।"

1. वर्ग ट्रिनोमियल की जड़ें खोजें:

मैं विकल्प द्वितीय विकल्प एनटी

2. वर्ग त्रिपद का गुणनखण्ड करें:

1) (एक्स-3) (एक्स+5); 1) (एक्स+9) (एक्स-7)

2) 9एक्स (एक्स-14); 2) 8X(X-16);

3) 4 (एक्स-6) (एक्स+6)। 3) 7 (एक्स-3) (एक्स+3).

नोट करने के लिए कुछ स्पष्ट उत्तर।

छात्रों के लिए प्रश्न:

आपको क्या लगता है कि आप वर्ग ट्रिनोमियल के गुणनखंड को कहाँ लागू कर सकते हैं?

सत्य: समीकरणों को हल करते समय,

अंशों को कम करते समय,

बीजगणितीय व्यंजकों के परिवर्तन में।

तृतीय चरण

” कौशल और श्रम सब कुछ पीस देगा ”(10 मिनटों)

1. भिन्नों को घटाने में वर्ग त्रिपद के गुणनखंडन के अनुप्रयोग पर विचार करें। ब्लैकबोर्ड पर छात्रों का काम।

अंश कम करें:

2. और अब आइए बीजगणितीय व्यंजकों के रूपांतरणों में वर्ग ट्रिनोमियल के गुणनखंडन के अनुप्रयोग पर विचार करें।

पाठ्यपुस्तक। बीजगणित 8. पृष्ठ 126 संख्या 570 (ख)

अब दिखाएँ कि आप एक वर्ग ट्रिनोमियल के गुणनखंड को कैसे लागू करते हैं।

चतुर्थ चरण

"लोहा जब गरम हो तब चोट करो!"

स्वतंत्र कार्य (13 मिनट)

І विकल्प І मैं विकल्प

अंश कम करें:

5. मुझे एहसास हुआ कि…….

6. अब मैं कर सकता हूँ…….

7. मुझे लगा कि…..

8. मैंने खरीदा…।

9. मैंने सीखा…….

10. मुझे मिल गया ………

11. मैं सक्षम था…।

12. मैं कोशिश करूँगा……

13. मैं हैरान था… ..

14. जीवन भर के लिए सबक दिया….

15. मैं चाहता था ....

के बारे में जानकारी गृहकार्य: अगले पाठ के लिए गृहकार्य लाएं स्वतंत्र कामएक सप्ताह पहले प्राप्त किया।

गृह स्वतंत्र कार्य।

І विकल्प І मैं विकल्प

№ 560 (ए, सी) संख्या 560 (बी, डी)

№ 564 (ए, सी) संख्या 564 (बी, डी)

№ 566 (ए) संख्या 566 (बी)

№ 569 (ए) संख्या 569 (बी)

№ 571 (ए, सी) संख्या 571 (बी, डी)

सबक खत्म हो गया है।

उत्पाद प्राप्त करने के लिए बहुपदों का विस्तार करना कभी-कभी भ्रमित करने वाला लगता है। लेकिन अगर आप प्रक्रिया को चरण दर चरण समझ लें तो यह इतना मुश्किल नहीं है। लेख में बताया गया है कि एक वर्ग ट्रिनोमियल को कैसे गुणनखंडित किया जाए।

बहुत से लोग यह नहीं समझ पाते हैं कि वर्ग त्रिपद का गुणनखंडन कैसे किया जाता है और ऐसा क्यों किया जाता है। पहले तो ऐसा लग सकता है कि यह एक बेकार व्यायाम है। लेकिन गणित में ऐसा कुछ भी नहीं किया जाता है। अभिव्यक्ति को सरल बनाने और गणना की सुविधा के लिए रूपांतरण आवश्यक है।

एक बहुपद का रूप है - ax² + bx + c, वर्ग त्रिपद कहा जाता है।शब्द "ए" नकारात्मक या सकारात्मक होना चाहिए। व्यवहार में, इस अभिव्यक्ति को द्विघात समीकरण कहा जाता है। इसलिए, कभी-कभी वे अलग तरह से कहते हैं: द्विघात समीकरण का विस्तार कैसे करें।

दिलचस्प!एक वर्ग बहुपद को इसकी सबसे बड़ी डिग्री - एक वर्ग के कारण कहा जाता है। और एक त्रिपद - 3 घटक पदों के कारण।

कुछ अन्य प्रकार के बहुपद:

• रैखिक द्विपद (6x+8);
• घन चतुर्भुज (x³+4x²-2x+9)।

वर्ग ट्रिनोमियल का गुणनखंडन

सबसे पहले, अभिव्यक्ति शून्य के बराबर है, फिर आपको जड़ों x1 और x2 के मूल्यों को खोजने की जरूरत है। कोई जड़ नहीं हो सकती, एक या दो जड़ें हो सकती हैं। जड़ों की उपस्थिति विवेचक द्वारा निर्धारित की जाती है। इसका सूत्र कंठस्थ होना चाहिए: D=b²-4ac।

यदि D का परिणाम ऋणात्मक है, तो कोई मूल नहीं है। यदि सकारात्मक है, तो दो जड़ें हैं। यदि परिणाम शून्य है, तो मूल एक है। जड़ों की गणना भी सूत्र द्वारा की जाती है।

यदि विवेचक की गणना शून्य में आती है, तो आप किसी भी सूत्र को लागू कर सकते हैं। व्यवहार में, सूत्र केवल संक्षिप्त रूप में है: -b / 2a।

के लिए सूत्र विभिन्न मूल्यविवेचक भिन्न हैं।

यदि डी सकारात्मक है:

यदि डी शून्य है:

ऑनलाइन कैलकुलेटर

इंटरनेट है ऑनलाइन कैलकुलेटर. इसका उपयोग कारक बनाने के लिए किया जा सकता है। कुछ संसाधन चरण दर चरण समाधान देखने का अवसर प्रदान करते हैं। ऐसी सेवाएं विषय को बेहतर ढंग से समझने में मदद करती हैं, लेकिन आपको अच्छी तरह से समझने की कोशिश करने की जरूरत है।

उपयोगी वीडियो: वर्ग त्रिपद का गुणनखण्ड करना

उदाहरण

हम सुझाव देते हैं कि एक द्विघात समीकरण के गुणनखंडन के सरल उदाहरण देखें।

उदाहरण 1

यहाँ यह स्पष्ट रूप से दिखाया गया है कि परिणाम दो x होगा, क्योंकि D धनात्मक है। उन्हें सूत्र में प्रतिस्थापित करने की आवश्यकता है। यदि मूल ऋणात्मक हैं, तो सूत्र में चिह्न उलट दिया जाता है।

हम वर्ग त्रिपद का गुणनखंडन करने का सूत्र जानते हैं: a(x-x1)(x-x2)। हम मानों को कोष्ठक में रखते हैं: (x+3)(x+2/3)। घातांक में पद से पहले कोई संख्या नहीं है। इसका मतलब है कि एक इकाई है, इसे कम किया जाता है।

उदाहरण 2

यह उदाहरण स्पष्ट रूप से दिखाता है कि एक रूट वाले समीकरण को कैसे हल किया जाए।

परिणामी मान को प्रतिस्थापित करें:

उदाहरण 3

दिया गया: 5x²+3x+7

सबसे पहले, हम विवेचक की गणना करते हैं, जैसा कि पिछले मामलों में है।

डी=9-4*5*7=9-140= -131।

विवेचक नकारात्मक है, जिसका अर्थ है कि कोई जड़ नहीं है।

परिणाम प्राप्त करने के बाद, यह कोष्ठक खोलने और परिणाम की जाँच करने के लायक है। मूल ट्रिनोमियल दिखाई देना चाहिए।

दूसरा तरीका

कुछ लोग कभी भी विवेचक से मित्रता नहीं कर पाए। वर्ग त्रिपद का गुणनखंड करने का एक और तरीका है। सुविधा के लिए, विधि को एक उदाहरण में दिखाया गया है।

दिया गया है: x²+3x-10

हम जानते हैं कि हमें 2 कोष्ठकों के साथ समाप्त होना चाहिए: (_)(_)। जब अभिव्यक्ति इस तरह दिखती है: x² + bx + c, हम x को प्रत्येक कोष्ठक की शुरुआत में रखते हैं: (x_) (x_)। शेष दो संख्याएं उत्पाद हैं जो इस मामले में "सी", यानी -10 देती हैं। यह पता लगाने के लिए कि ये संख्याएँ क्या हैं, आप केवल चयन पद्धति का उपयोग कर सकते हैं। प्रतिस्थापित संख्याओं को शेष पद से मेल खाना चाहिए।

उदाहरण के लिए, गुणन निम्नलिखित संख्याएँदेता है -10:

• -1, 10;
• -10, 1;
• -5, 2;
• -2, 5.

1. (x-1)(x+10) = x2+10x-x-10 = x2+9x-10। नहीं।
2. (x-10)(x+1) = x2+x-10x-10 = x2-9x-10। नहीं।
3. (x-5)(x+2) = x2+2x-5x-10 = x2-3x-10। नहीं।
4. (x-2)(x+5) = x2+5x-2x-10 = x2+3x-10. फिट बैठता है।

तो, एक्सप्रेशन का परिवर्तन x2+3x-10 इस तरह दिखता है: (x-2)(x+5).

महत्वपूर्ण!संकेतों को भ्रमित न करने के लिए आपको सावधान रहना चाहिए।

एक जटिल ट्रिनोमियल का अपघटन

यदि "ए" एक से बड़ा है, तो कठिनाइयाँ शुरू हो जाती हैं। लेकिन सब कुछ उतना मुश्किल नहीं है जितना लगता है।

गुणनखंड करने के लिए, किसी को पहले यह देखना चाहिए कि क्या किसी चीज़ का गुणनखंड करना संभव है।

उदाहरण के लिए, दिया गया व्यंजक: 3x²+9x-30। यहाँ संख्या 3 कोष्ठक से निकाली गई है:

3(x²+3x-10). परिणाम पहले से ही ज्ञात ट्रिनोमियल है। उत्तर ऐसा दिखता है: 3(x-2)(x+5)

अगर चुकता शब्द ऋणात्मक है तो कैसे विघटित होगा? इस स्थिति में, संख्या -1 को कोष्ठक से बाहर कर दिया जाता है। उदाहरण के लिए: -x²-10x-8। तब अभिव्यक्ति इस तरह दिखेगी:

योजना पिछले वाले से थोड़ी अलग है। कुछ ही नई चीजें हैं। मान लीजिए कि अभिव्यक्ति दी गई है: 2x²+7x+3। उत्तर भी 2 कोष्ठकों में लिखा गया है, जिसे (_) (_) में भरना है। दूसरे कोष्ठक में X लिखा है, और पहले में क्या बचा है। ऐसा दिखता है: (2x_)(x_). अन्यथा, पिछली योजना दोहराई जाती है।

नंबर 3 नंबर देता है:

• -1, -3;
• -3, -1;
• 3, 1;
• 1, 3.

हम दी गई संख्याओं को प्रतिस्थापित करके समीकरणों को हल करते हैं। आखिरी विकल्प फिट बैठता है। तो अभिव्यक्ति का परिवर्तन 2x²+7x+3 इस तरह दिखता है: (2x+1)(x+3).

अन्य मामले

एक अभिव्यक्ति को बदलना हमेशा संभव नहीं होता है। दूसरी विधि में, समीकरण के हल की आवश्यकता नहीं है। लेकिन शर्तों को उत्पाद में बदलने की संभावना केवल विवेचक के माध्यम से जांची जाती है।

निर्णय लेने के अभ्यास के योग्य द्विघातीय समीकरणताकि फॉर्मूले के इस्तेमाल में कोई दिक्कत न हो।

उपयोगी वीडियो: त्रिपद का गुणनखंडन

निष्कर्ष

आप इसे किसी भी तरह से इस्तेमाल कर सकते हैं। लेकिन दोनों को स्वचालितता के लिए काम करना बेहतर है। इसके अलावा, जो लोग अपने जीवन को गणित से जोड़ने जा रहे हैं उन्हें यह सीखने की जरूरत है कि द्विघात समीकरणों को अच्छी तरह से कैसे हल किया जाए और बहुपदों को कारकों में विघटित किया जाए। निम्नलिखित सभी गणितीय विषय इसी पर निर्मित हैं।