विभिन्न हरों के साथ नकारात्मक अंश कैसे जोड़ें। विभिन्न हरों के साथ सरल और मिश्रित भिन्नों का गुणन

भिन्नात्मक अभिव्यक्तियों को समझना एक बच्चे के लिए कठिन होता है। ज्यादातर लोगों को दिक्कत होती है। "पूर्णांक के साथ भिन्नों का जोड़" विषय का अध्ययन करते समय, बच्चा स्तब्ध हो जाता है, जिससे कार्य को हल करना मुश्किल हो जाता है। कई उदाहरणों में, किसी क्रिया को करने से पहले गणनाओं की एक श्रृंखला की जानी चाहिए। उदाहरण के लिए, भिन्नों को परिवर्तित करें या अनुचित भिन्न को उचित भिन्न में बदलें।

बच्चे को स्पष्ट रूप से समझाएं। तीन सेब लें, जिनमें से दो पूरे होंगे, और तीसरे को 4 भागों में काटा जाएगा। कटे हुए सेब से एक टुकड़ा अलग करें, और शेष तीन को दो साबुत फलों के बगल में रख दें। हमें एक तरफ सेब और दूसरी तरफ 2 मिलते हैं। अगर हम उन्हें मिला दें, तो हमें तीन पूरे सेब मिलते हैं। आइए 2 सेब को ¼ से कम करने का प्रयास करें, यानी, एक और टुकड़ा हटा दें, हमें 2 2/4 सेब मिलते हैं।

आइए भिन्नों वाली क्रियाओं पर करीब से नज़र डालें, जिनमें पूर्णांक शामिल हैं:

सबसे पहले, आइए एक सामान्य हर के साथ भिन्नात्मक अभिव्यक्तियों के लिए गणना नियम को याद करें:

पहली नज़र में, सब कुछ आसान और सरल है। लेकिन यह केवल उन अभिव्यक्तियों पर लागू होता है जिन्हें रूपांतरण की आवश्यकता नहीं होती है।

एक व्यंजक का मान कैसे ज्ञात करें जहाँ हर भिन्न हो

कुछ कार्यों में, एक व्यंजक का मान ज्ञात करना आवश्यक होता है जहाँ हर भिन्न हो। एक विशिष्ट मामले पर विचार करें:
3 2/7+6 1/3

इस व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए, इसके लिए हम दो भिन्नों के लिए एक उभयनिष्ठ हर पाते हैं।

संख्या 7 और 3 के लिए, यह 21 है। हम पूर्णांक भागों को समान छोड़ देते हैं, और भिन्नात्मक भागों को घटाकर 21 कर देते हैं, इसके लिए हम पहली भिन्न को 3 से गुणा करते हैं, दूसरे को 7 से, हमें प्राप्त होता है:
6/21+7/21, यह मत भूलो कि पूरे हिस्से रूपांतरण के अधीन नहीं हैं। नतीजतन, हम एक भाजक के साथ दो अंश प्राप्त करते हैं और उनके योग की गणना करते हैं:
3 6/21+6 7/21=9 15/21
क्या होगा यदि जोड़ का परिणाम एक अनुचित अंश है जिसमें पहले से ही एक पूर्णांक भाग है:
2 1/3+3 2/3
इस मामले में, हम पूर्णांक भागों और भिन्नात्मक भागों को जोड़ते हैं, हमें मिलता है:
5 3/3, जैसा कि आप जानते हैं, 3/3 एक है, इसलिए 2 1/3+3 2/3=5 3/3=5+1=6

योग खोजने के साथ, सब कुछ स्पष्ट है, आइए घटाव का विश्लेषण करें:

जो कुछ कहा गया है, उससे मिश्रित संख्याओं पर संचालन का नियम इस प्रकार है, जो इस तरह लगता है:

• यदि भिन्नात्मक व्यंजक से किसी पूर्णांक को घटाना आवश्यक हो, तो दूसरी संख्या को भिन्न के रूप में निरूपित करना आवश्यक नहीं है, यह केवल पूर्णांक भागों पर कार्य करने के लिए पर्याप्त है।

आइए भावों के मूल्य की गणना स्वयं करने का प्रयास करें:

आइए "एम" अक्षर के तहत उदाहरण पर करीब से नज़र डालें:

4 5/11-2 8/11, पहली भिन्न का अंश दूसरे से छोटा है। ऐसा करने के लिए, हम पहले भिन्न से एक पूर्णांक लेते हैं, हमें प्राप्त होता है,
3 5/11+11/11=3 पूरे 16/11, पहले अंश से दूसरा घटाएं:
3 16/11-2 8/11=1 संपूर्ण 8/11

• कार्य पूरा करते समय सावधान रहें, अनुचित अंशों को मिश्रित अंशों में परिवर्तित करना न भूलें, पूरे भाग को हाइलाइट करें। ऐसा करने के लिए, अंश के मूल्य को भाजक के मूल्य से विभाजित करना आवश्यक है, जो हुआ, वह पूर्णांक भाग की जगह लेता है, शेष अंश होगा, उदाहरण के लिए:

19/4=4 , जाँच करें: 4*4+3=19, हर में 4 अपरिवर्तित रहता है।

संक्षेप:

भिन्नों से संबंधित कार्य के साथ आगे बढ़ने से पहले, यह विश्लेषण करना आवश्यक है कि यह किस प्रकार की अभिव्यक्ति है, समाधान के सही होने के लिए अंश पर कौन से परिवर्तन करने की आवश्यकता है। अधिक तर्कसंगत समाधान खोजें। कठिन रास्ते पर मत जाओ। सभी कार्यों की योजना बनाएं, पहले ड्राफ्ट संस्करण में निर्णय लें, फिर स्कूल नोटबुक में स्थानांतरित करें।

भिन्नात्मक व्यंजकों को हल करते समय भ्रम से बचने के लिए अनुक्रम नियम का पालन करना आवश्यक है। बिना जल्दबाजी के सब कुछ सावधानी से तय करें।

भिन्न साधारण संख्याएँ हैं, इन्हें जोड़ा और घटाया भी जा सकता है। लेकिन इस तथ्य के कारण कि उनके पास एक भाजक है, यहां पूर्णांकों की तुलना में अधिक जटिल नियमों की आवश्यकता है।

सबसे सरल मामले पर विचार करें, जब एक ही हर के साथ दो भिन्न हों। फिर:

समान हर के साथ भिन्न जोड़ने के लिए, उनके अंश जोड़ें और हर को अपरिवर्तित छोड़ दें।

समान हर के साथ अंशों को घटाने के लिए, पहले अंश के अंश से दूसरे के अंश को घटाना आवश्यक है, और फिर से हर को अपरिवर्तित छोड़ दें।

प्रत्येक व्यंजक में भिन्नों के हर बराबर होते हैं। भिन्नों के जोड़ और घटाव की परिभाषा से, हम प्राप्त करते हैं:

जैसा कि आप देख सकते हैं, कुछ भी जटिल नहीं है: बस अंशों को जोड़ें या घटाएं - और बस।

लेकिन ऐसे में भी सरल क्रियालोग गलतियाँ करने का प्रबंधन करते हैं। बहुधा वे यह भूल जाते हैं कि भाजक नहीं बदलता है। उदाहरण के लिए, उन्हें जोड़ते समय, वे भी जोड़ना शुरू कर देते हैं, और यह मौलिक रूप से गलत है।

इससे छुटकारा पाएं बुरी आदतभाजक जोड़ना काफी आसान है। घटाते समय भी ऐसा ही करने की कोशिश करें। नतीजतन, हर शून्य होगा, और अंश (अचानक!) अपना अर्थ खो देगा।

इसलिए, एक बार और सभी के लिए याद रखें: जोड़ने और घटाने पर, भाजक नहीं बदलता है!

साथ ही, बहुत से लोग अनेक ऋणात्मक भिन्नों को जोड़ते समय गलतियाँ करते हैं। संकेतों के साथ भ्रम है: माइनस कहां लगाना है, और कहां - प्लस।

इस समस्या का समाधान भी बहुत आसान है। यह याद रखने के लिए पर्याप्त है कि अंश चिह्न से पहले का ऋण हमेशा अंश में स्थानांतरित किया जा सकता है - और इसके विपरीत। और हां, दो सरल नियमों को न भूलें:

1. प्लस टाइम्स माइनस माइनस देता है;
2. दो नकारात्मक सकारात्मक बनाते हैं।

आइए विशिष्ट उदाहरणों के साथ इन सबका विश्लेषण करें:

एक कार्य। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए:

पहले मामले में, सब कुछ सरल है, और दूसरे में, हम अंशों के अंशों में माइनस जोड़ देंगे:

क्या होगा यदि हर अलग हैं

भिन्नों को सीधे जोड़ना विभिन्न भाजकयह निषिद्ध है। कम से कम, यह विधि मेरे लिए अज्ञात है। हालाँकि, मूल भिन्नों को हमेशा फिर से लिखा जा सकता है ताकि हर समान बन जाएँ।

भिन्नों को परिवर्तित करने के कई तरीके हैं। उनमें से तीन पर पाठ में चर्चा की गई है " एक आम भाजक के लिए अंश लाना", इसलिए हम यहां उन पर ध्यान नहीं देंगे। आइए कुछ उदाहरण देखें:

एक कार्य। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए:

पहले मामले में, हम "क्रॉस-वाइज" विधि का उपयोग करके भिन्नों को एक सामान्य हर में लाते हैं। दूसरे में, हम एलसीएम की तलाश करेंगे। ध्यान दें कि 6 = 2 3; 9 = 3 · 3। इन विस्तारों में अंतिम कारक समान हैं, और पहले वाले सहअभाज्य हैं। इसलिए, एलसीएम(6; 9) = 2 3 3 = 18।

क्या होगा यदि भिन्न में एक पूर्णांक भाग है

मैं आपको खुश कर सकता हूं: भिन्नों के विभिन्न भाजक सबसे बड़ी बुराई नहीं हैं। बहुत अधिक त्रुटियाँ तब होती हैं जब पूरे भाग को भिन्नात्मक शब्दों में हाइलाइट किया जाता है।

बेशक, ऐसे अंशों के लिए स्वयं के जोड़ और घटाव एल्गोरिदम हैं, लेकिन वे जटिल हैं और एक लंबे अध्ययन की आवश्यकता है। बेहतर उपयोग एक साधारण सर्किटनीचे:

1. पूर्णांक भाग वाले सभी भिन्नों को अनुचित में बदलें। हमें सामान्य पद मिलते हैं (भले ही विभिन्न हरों के साथ), जिनकी गणना ऊपर वर्णित नियमों के अनुसार की जाती है;
2. दरअसल, परिणामी भिन्नों के योग या अंतर की गणना करें। नतीजतन, हम व्यावहारिक रूप से उत्तर पाएंगे;
3. यदि यह वह सब है जो कार्य में आवश्यक था, तो हम उलटा परिवर्तन करते हैं, अर्थात। हम इसमें पूर्णांक भाग को हाइलाइट करते हुए, अनुचित अंश से छुटकारा पाते हैं।

अनुचित भिन्नों पर स्विच करने और पूर्णांक भाग को हाइलाइट करने के नियमों को "संख्यात्मक अंश क्या है" पाठ में विस्तार से वर्णित किया गया है। यदि आपको याद नहीं है, तो दोहराना सुनिश्चित करें। उदाहरण:

एक कार्य। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए:

यहाँ सब कुछ सरल है। प्रत्येक व्यंजक के अंदर हर बराबर होते हैं, इसलिए यह सभी भिन्नों को अनुचित अंशों में बदलने और गिनने के लिए बना रहता है। हमारे पास है:

गणनाओं को सरल बनाने के लिए, मैंने पिछले उदाहरणों में कुछ स्पष्ट चरणों को छोड़ दिया।

पिछले दो उदाहरणों के लिए एक छोटा नोट, जहां हाइलाइट किए गए पूर्णांक वाले अंशों को घटाया जाता है। दूसरे भिन्न से पहले के माइनस का अर्थ है कि यह संपूर्ण भिन्न है जिसे घटाया जाता है, न कि केवल उसका पूरा भाग।

इस वाक्य को दोबारा पढ़ें, उदाहरणों को देखें और इसके बारे में सोचें। यह वह जगह है जहाँ शुरुआती बहुत सारी गलतियाँ करते हैं। वे ऐसे कार्यों को नियंत्रण कार्य पर देना पसंद करते हैं। इस पाठ के लिए परीक्षाओं में आप उनसे बार-बार मिलेंगे, जो शीघ्र ही प्रकाशित किया जाएगा।

सारांश: कंप्यूटिंग की सामान्य योजना

अंत में, मैं एक सामान्य एल्गोरिथम दूंगा जो आपको दो या दो से अधिक अंशों का योग या अंतर खोजने में मदद करेगा:

1. यदि पूर्णांक भाग को एक या अधिक भिन्नों में हाइलाइट किया जाता है, तो इन भिन्नों को अनुचित अंशों में बदलें;
2. आपके लिए सुविधाजनक किसी भी तरह से सभी भिन्नों को एक सामान्य हर में लाएँ (जब तक कि, निश्चित रूप से, समस्याओं के संकलक ने ऐसा नहीं किया);
3. समान हर वाले भिन्नों को जोड़ने और घटाने के नियमों के अनुसार परिणामी संख्याओं को जोड़ें या घटाएं;
4. हो सके तो परिणाम कम करें। यदि भिन्न गलत निकला, तो पूरे भाग का चयन करें।

याद रखें कि उत्तर लिखने से ठीक पहले, कार्य के अंत में पूरे भाग को हाइलाइट करना बेहतर है।

सबसे महत्वपूर्ण विज्ञानों में से एक, जिसका अनुप्रयोग रसायन विज्ञान, भौतिकी और यहाँ तक कि जीव विज्ञान जैसे विषयों में देखा जा सकता है, वह है गणित। इस विज्ञान का अध्ययन आपको कुछ मानसिक गुणों को विकसित करने, ध्यान केंद्रित करने की क्षमता में सुधार करने की अनुमति देता है। "गणित" पाठ्यक्रम में विशेष ध्यान देने योग्य विषयों में से एक अंशों का जोड़ और घटाव है। कई छात्रों को पढ़ाई में परेशानी होती है। शायद हमारा लेख इस विषय को बेहतर ढंग से समझने में मदद करेगा।

भिन्नों को कैसे घटाएं जिनके हर समान हैं

भिन्न वही संख्याएँ हैं जिनके साथ आप विभिन्न क्रियाएँ कर सकते हैं। पूर्णांकों से उनका अंतर हर की उपस्थिति में होता है। इसीलिए भिन्नों के साथ क्रिया करते समय, आपको उनकी कुछ विशेषताओं और नियमों का अध्ययन करने की आवश्यकता होती है। सबसे सरल मामला साधारण अंशों का घटाव है, जिनमें से हर को एक ही संख्या के रूप में दर्शाया जाता है। यदि आप एक सरल नियम जानते हैं तो यह क्रिया करना कठिन नहीं होगा:

• एक भिन्न में से दूसरी को घटाने के लिए घटी हुई भिन्न के अंश से घटाई जाने वाली भिन्न के अंश को घटाना आवश्यक है। हम इस संख्या को अंतर के अंश में लिखते हैं, और हर को वही छोड़ते हैं: k / m - b / m = (k-b) / m।

भिन्नों को घटाने के उदाहरण जिनके हर समान हैं

7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.

घटाए गए अंश "7" के अंश से घटाए गए अंश "3" के अंश को घटाएं, हमें "4" मिलता है। हम इस संख्या को उत्तर के अंश में लिखते हैं, और हर में वही संख्या डालते हैं जो पहले और दूसरे अंश के हर में थी - "19"।

नीचे दिया गया चित्र ऐसे ही कुछ और उदाहरण दिखाता है।

एक अधिक जटिल उदाहरण पर विचार करें जहां समान हर वाले भिन्नों को घटाया जाता है:

29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.

घटाए गए अंश "29" के अंश से, बाद के सभी अंशों के अंशों को घटाकर - "3", "8", "2", "7"। नतीजतन, हमें परिणाम "9" मिलता है, जिसे हम उत्तर के अंश में लिखते हैं, और हर में हम वह संख्या लिखते हैं जो इन सभी अंशों के हर में है - "47"।

समान हर के साथ भिन्न जोड़ना

साधारण भिन्नों का जोड़ और घटाव उसी सिद्धांत के अनुसार किया जाता है।

• समान हर वाले भिन्नों को जोड़ने के लिए, आपको अंशों को जोड़ना होगा। परिणामी संख्या योग का अंश है, और हर वही रहता है: k/m + b/m = (k + b)/m।

आइए देखें कि यह एक उदाहरण में कैसा दिखता है:

1/4 + 2/4 = 3/4.

भिन्न के पहले पद के अंश में - "1" - हम भिन्न के दूसरे पद का अंश - "2" जोड़ते हैं। परिणाम - "3" - राशि के अंश में लिखा जाता है, और भाजक को वही छोड़ दिया जाता है जो भिन्नों में मौजूद था - "4"।

भिन्न हर के साथ भिन्न और उनका घटाव

हम पहले ही भिन्नों वाली क्रिया पर विचार कर चुके हैं जिनका हर समान है। जैसा कि हम देखते हैं, जानना सरल नियम, ऐसे उदाहरणों को हल करना काफी आसान है। लेकिन क्या होगा अगर आपको भिन्नों के साथ एक क्रिया करने की ज़रूरत है जिसमें अलग-अलग हर हैं? हाई स्कूल के कई छात्र ऐसे उदाहरणों से भ्रमित हैं। लेकिन यहां भी, यदि आप समाधान के सिद्धांत को जानते हैं, तो उदाहरण अब आपके लिए कठिन नहीं होंगे। यहां एक नियम भी है, जिसके बिना ऐसे अंशों का समाधान असंभव है।

भिन्न हर के साथ भिन्नों को घटाने के लिए, उन्हें एक ही सबसे छोटे हर में घटाया जाना चाहिए।



यह कैसे करना है, इसके बारे में हम अधिक विस्तार से बात करेंगे।

भिन्न गुण

एक ही हर में कई भिन्नों को कम करने के लिए, आपको समाधान में भिन्न की मुख्य संपत्ति का उपयोग करने की आवश्यकता है: अंश और हर को एक ही संख्या से विभाजित या गुणा करने के बाद, आपको दिए गए के बराबर भिन्न मिलता है।

इसलिए, उदाहरण के लिए, भिन्न 2/3 में "6", "9", "12", आदि जैसे हर हो सकते हैं, अर्थात यह किसी भी संख्या की तरह दिख सकता है जो "3" का गुणज है। जब हम अंश और हर को "2" से गुणा करते हैं, तो हमें 4/6 का अंश मिलता है। जब हम मूल भिन्न के अंश और हर को "3" से गुणा करते हैं, तो हमें 6/9 मिलता है, और यदि हम "4" संख्या के साथ समान क्रिया करते हैं, तो हमें 8/12 मिलता है। एक समीकरण में, इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:

2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…

एक ही हर में कई भिन्न कैसे लाएँ?

विचार करें कि एक ही हर में कई अंशों को कैसे कम किया जाए। उदाहरण के लिए, नीचे दिए गए चित्र में दिखाए गए भिन्नों को लें। पहले आपको यह निर्धारित करने की आवश्यकता है कि कौन सी संख्या उन सभी के लिए हर बन सकती है। इसे आसान बनाने के लिए, आइए उपलब्ध हरों को कारकों में विघटित करें।

भिन्न 1/2 और भिन्न 2/3 के हर का गुणनखंड नहीं किया जा सकता है। 7/9 के हर के दो गुणनखंड हैं 7/9 = 7/(3 x 3), भिन्न का हर 5/6 = 5/(2 x 3)। अब आपको यह निर्धारित करने की आवश्यकता है कि इन चारों भिन्नों के लिए कौन से गुणनखंड सबसे छोटे होंगे। चूंकि पहले अंश में हर में "2" संख्या होती है, इसका मतलब है कि यह सभी हर में मौजूद होना चाहिए, अंश 7/9 में दो त्रिगुण हैं, जिसका अर्थ है कि उन्हें भी हर में मौजूद होना चाहिए। उपरोक्त को देखते हुए, हम निर्धारित करते हैं कि हर में तीन कारक होते हैं: 3, 2, 3 और 3 x 2 x 3 = 18 के बराबर होता है।



पहले भिन्न पर विचार करें - 1/2। इसके हर में "2" है, लेकिन एक भी "3" नहीं है, लेकिन दो होने चाहिए। ऐसा करने के लिए, हम हर को दो त्रिगुणों से गुणा करते हैं, लेकिन, अंश की संपत्ति के अनुसार, हमें अंश को दो त्रिगुणों से गुणा करना होगा:
1/2 = (1 x 3 x 3)/(2 x 3 x 3) = 9/18।

इसी तरह, हम शेष भिन्नों के साथ क्रिया करते हैं।

• 2/3 - हर में एक तीन और एक दो गायब हैं:
  2/3 = (2 x 3 x 2)/(3 x 3 x 2) = 12/18।
• 7/9 या 7/(3 x 3) - हर में दो गायब हैं:
  7/9 = (7 x 2)/(9 x 2) = 14/18।
• 5/6 या 5/(2 x 3) - हर में एक ट्रिपल गायब है:
  5/6 = (5 x 3)/(6 x 3) = 15/18।

सब एक साथ ऐसा दिखता है:



भिन्न हर के साथ भिन्नों को कैसे घटाना और जोड़ना है

जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, अलग-अलग हर के साथ अंशों को जोड़ने या घटाने के लिए, उन्हें एक ही हर में घटाया जाना चाहिए, और फिर उसी हर के साथ अंशों को घटाने के नियमों का उपयोग करना चाहिए, जिनका पहले ही वर्णन किया जा चुका है।

एक उदाहरण के साथ इस पर विचार करें: 4/18 - 3/15।

18 और 15 के गुणज ज्ञात करना:

• संख्या 18 में 3 x 2 x 3 होते हैं।
• संख्या 15 में 5 x 3 होते हैं।
• सार्व गुणक में निम्नलिखित गुणनखंड 5 x 3 x 3 x 2 = 90 होंगे।

हर के मिलने के बाद, एक कारक की गणना करना आवश्यक है जो प्रत्येक भिन्न के लिए अलग होगा, अर्थात वह संख्या जिससे न केवल हर को, बल्कि अंश को भी गुणा करना आवश्यक होगा। ऐसा करने के लिए, हम उस संख्या (सामान्य गुणक) को उस भिन्न के हर से विभाजित करते हैं जिसके लिए अतिरिक्त कारकों को निर्धारित करने की आवश्यकता होती है।

• 90 को 15 से विभाजित किया जाता है। परिणामी संख्या "6" 3/15 के लिए गुणक होगी।
• 90 को 18 से विभाजित किया जाता है। परिणामी संख्या "5" 4/18 के लिए गुणक होगी।

हमारे समाधान में अगला कदम प्रत्येक भिन्न को हर "90" में लाना है।

हम पहले ही चर्चा कर चुके हैं कि यह कैसे किया जाता है। आइए देखें कि यह एक उदाहरण में कैसे लिखा जाता है:

(4 x 5) / (18 x 5) - (3 x 6) / (15 x 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45।

यदि भिन्न छोटी संख्या के साथ है, तो आप सामान्य हर का निर्धारण कर सकते हैं, जैसा कि नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है।



इसी तरह उत्पादित और अलग-अलग हर वाले।

घटाव और पूर्णांक भाग होना

भिन्नों का घटाव और उनका योग, हम पहले ही विस्तार से विश्लेषण कर चुके हैं। लेकिन अगर अंश में पूर्णांक भाग है तो घटाना कैसे करें? फिर से, आइए कुछ नियमों का उपयोग करें:

• उन सभी भिन्नों को परिवर्तित करें जिनका पूर्णांक भाग अनुचित है। बात कर रहे सरल शब्दों में, पूरे भाग को हटा दें। ऐसा करने के लिए, पूर्णांक भाग की संख्या को भिन्न के हर से गुणा किया जाता है, परिणामी उत्पाद को अंश में जोड़ा जाता है। इन क्रियाओं के बाद प्राप्त होने वाली संख्या एक अनुचित भिन्न का अंश होती है। भाजक अपरिवर्तित रहता है।
• यदि भिन्नों के अलग-अलग हर हैं, तो उन्हें उसी में घटाया जाना चाहिए।
• एक ही हर के साथ जोड़ या घटाव करें।
• अनुचित अंश प्राप्त करते समय, पूरे भाग का चयन करें।



एक और तरीका है जिसके द्वारा आप पूर्णांक भागों के साथ भिन्न जोड़ और घटा सकते हैं। ऐसा करने के लिए, क्रियाओं को अलग-अलग पूर्णांक भागों के साथ, और अलग-अलग अंशों के साथ किया जाता है, और परिणाम एक साथ दर्ज किए जाते हैं।



उपरोक्त उदाहरण में भिन्न हैं जिनका हर समान है। उस स्थिति में जब हर अलग-अलग होते हैं, उन्हें उसी में घटाया जाना चाहिए, और फिर उदाहरण में दिखाए गए चरणों का पालन करें।

एक पूर्ण संख्या से भिन्नों को घटाना

भिन्नों के साथ क्रियाओं की एक और किस्म वह स्थिति है जब अंश से घटाया जाना चाहिए पहली नज़र में, ऐसा उदाहरण हल करना मुश्किल लगता है। हालाँकि, यहाँ सब कुछ काफी सरल है। इसे हल करने के लिए, एक पूर्णांक को भिन्न में बदलना आवश्यक है, और ऐसे हर के साथ, जो घटाए जाने वाले भिन्न में है। अगला, हम समान हर के साथ घटाव के समान घटाव करते हैं। उदाहरण के लिए, यह इस तरह दिखता है:

7 - 4/9 = (7 x 9)/9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9।

इस लेख में दिए गए भिन्नों का घटाव (ग्रेड 6) अधिक हल करने का आधार है कठिन उदाहरणजिनकी चर्चा बाद की कक्षाओं में की जाती है। इस विषय का ज्ञान बाद में कार्यों, डेरिवेटिव आदि को हल करने के लिए उपयोग किया जाता है। इसलिए, ऊपर चर्चा की गई भिन्नों के साथ क्रियाओं को समझना और समझना बहुत महत्वपूर्ण है।

अंशों के साथ क्रियाएँ।

ध्यान!
अतिरिक्त हैं
विशेष धारा 555 में सामग्री।
उन लोगों के लिए जो दृढ़ता से "बहुत नहीं ..."
और उन लोगों के लिए जो "बहुत ज्यादा...")

तो, भिन्न क्या हैं, भिन्नों के प्रकार, परिवर्तन - हमें याद आया। आइए मुख्य प्रश्न से निपटें।

आप अंशों के साथ क्या कर सकते हैं?हाँ, सब कुछ सामान्य संख्याओं जैसा ही है। जोड़ें, घटाएं, गुणा करें, भाग दें।

इन सभी क्रियाओं के साथ दशमलवभिन्नों के साथ संक्रियाएं पूर्णांकों वाले संक्रियाओं से भिन्न नहीं होती हैं। असल में, यही वे दशमलव के लिए अच्छे हैं। केवल एक चीज यह है कि आपको अल्पविराम को सही ढंग से लगाने की जरूरत है।

मिश्रित संख्या, जैसा कि मैंने कहा, अधिकांश कार्यों के लिए बहुत कम उपयोग के हैं। उन्हें अभी भी अनुवादित करने की आवश्यकता है सामान्य भिन्न.

और यहाँ क्रियाओं के साथ हैं साधारण अंशहोशियार होगा। और भी बहुत कुछ महत्वपूर्ण! मैं तुम्हें याद दिलाना चाहता हूं: अक्षरों, ज्याओं, अज्ञात आदि के साथ भिन्नात्मक अभिव्यक्तियों वाली सभी क्रियाएं और आगे भी सामान्य भिन्नों वाली क्रियाओं से भिन्न नहीं हैं! साधारण भिन्नों वाली संक्रियाएं सभी बीजगणितों का आधार होती हैं। यही कारण है कि हम यहां इस सभी अंकगणित का विस्तार से विश्लेषण करेंगे।

भिन्नों का जोड़ और घटाव।

हर कोई एक ही हर के साथ भिन्न जोड़ (घटाना) कर सकता है (मुझे वास्तव में उम्मीद है!) खैर, मैं आपको याद दिला दूं कि मैं पूरी तरह से भुलक्कड़ हूं: जोड़ने (घटाने) पर, भाजक नहीं बदलता है। परिणाम का अंश देने के लिए अंशों को जोड़ा (घटाया) जाता है। टाइप:

संक्षेप में, में सामान्य दृष्टि से:

क्या होगा यदि भाजक अलग हैं? फिर, भिन्न के मुख्य गुण का उपयोग करते हुए (यहाँ यह फिर से काम आया!), हम हर को समान बनाते हैं! उदाहरण के लिए:

यहाँ हमें भिन्न 2/5 से भिन्न 4/10 बनाना था। केवल हरों को समान बनाने के उद्देश्य से। मैं ध्यान देता हूं, केवल 2/5 और 4/10 के मामले में एक ही अंश! केवल 2/5 हमारे लिए असहज है, और 4/10 भी कुछ नहीं है।

वैसे, गणित में किसी भी कार्य को हल करने का यही सार है। जब हम बाहर हों असुविधाजनकभाव करते हैं वही, लेकिन हल करने के लिए और अधिक सुविधाजनक.

एक और उदाहरण:

स्थिति समान है। यहां हम 16 में से 48 बनाते हैं। सरल गुणन द्वारा 3 पर। यह सब स्पष्ट है। लेकिन यहाँ हम कुछ इस तरह से आते हैं:

हो कैसे?! सात में से नौ बनाना मुश्किल है! लेकिन हम होशियार हैं, हम नियम जानते हैं! आइए रूपांतरित करें हर एकभिन्न ताकि भाजक समान हों। इसे "एक सामान्य भाजक को कम करना" कहा जाता है:

कैसे! मुझे 63 के बारे में कैसे पता चला? बहुत आसान! 63 एक ऐसी संख्या है जो एक ही समय में 7 और 9 से समान रूप से विभाज्य है। ऐसी संख्या हमेशा हरों को गुणा करके प्राप्त की जा सकती है। उदाहरण के लिए, यदि हम किसी संख्या को 7 से गुणा करते हैं, तो परिणाम निश्चित रूप से 7 से विभाजित होगा!

यदि आपको कई भिन्नों को जोड़ने (घटाने) की आवश्यकता है, तो इसे जोड़े में, चरण दर चरण करने की कोई आवश्यकता नहीं है। आपको बस उस हर को खोजने की जरूरत है जो सभी भिन्नों के लिए सामान्य है, और प्रत्येक भिन्न को इसी हर में लाना है। उदाहरण के लिए:

और आम भाजक क्या होगा? बेशक, आप 2, 4, 8 और 16 को गुणा कर सकते हैं। हमें 1024 मिलते हैं। दुःस्वप्न। यह अनुमान लगाना आसान है कि संख्या 16 2, 4 और 8 से पूर्णतः विभाज्य है। इसलिए, इन संख्याओं से 16 प्राप्त करना आसान है। यह संख्या सामान्य हर होगी। आइए 1/2 को 8/16 में, 3/4 को 12/16 में बदल दें, इत्यादि।

वैसे, अगर हम 1024 को एक सामान्य भाजक के रूप में लेते हैं, तो सब कुछ भी काम करेगा, अंत में सब कुछ कम हो जाएगा। गणना के कारण केवल सभी को यह अंत नहीं मिलेगा ...

उदाहरण को स्वयं हल करें। लॉगरिदम नहीं... यह 29/16 होना चाहिए।

तो, अंशों का जोड़ (घटाव) स्पष्ट है, मुझे आशा है? बेशक, अतिरिक्त मल्टीप्लायरों के साथ, छोटे संस्करण में काम करना आसान है। लेकिन यह आनंद उन्हें मिलता है जिन्होंने निचले ग्रेड में ईमानदारी से काम किया ... और कुछ भी नहीं भूले।

और अब हम वही क्रिया करेंगे, लेकिन भिन्नों के साथ नहीं, बल्कि . के साथ भिन्नात्मक भाव. यहां मिलेंगे नए रेक, हां...

इसलिए, हमें दो भिन्नात्मक व्यंजकों को जोड़ने की आवश्यकता है:

हमें हरों को समान बनाने की आवश्यकता है। और सिर्फ मदद से गुणा! तो भिन्न का मुख्य गुण कहता है। इसलिए, मैं हर के पहले भिन्न में x में एक नहीं जोड़ सकता। (लेकिन यह अच्छा होगा!) लेकिन अगर आप हर को गुणा करते हैं, तो आप देखते हैं, सब कुछ एक साथ बढ़ेगा! तो हम नीचे लिखते हैं, अंश की रेखा, ऊपर एक खाली जगह छोड़ते हैं, फिर इसे जोड़ते हैं, और नीचे हर के उत्पाद को लिखते हैं, ताकि भूलना न भूलें:

और, ज़ाहिर है, हम दाईं ओर कुछ भी गुणा नहीं करते हैं, हम कोष्ठक नहीं खोलते हैं! और अब, दाईं ओर के आम भाजक को देखते हुए, हम सोचते हैं: पहली भिन्न में हर x (x + 1) प्राप्त करने के लिए, हमें इस भिन्न के अंश और हर को (x + 1) से गुणा करना होगा। . और दूसरे भिन्न में - x. आपको यह मिलता है:

टिप्पणी! कोष्ठक यहाँ हैं! यह वह रेक है जिस पर कई कदम चलते हैं। कोष्ठक नहीं, बिल्कुल, लेकिन उनकी अनुपस्थिति। कोष्ठक प्रकट होते हैं क्योंकि हम गुणा करते हैं पूराअंश और पूराहर! और उनके अलग-अलग टुकड़े नहीं ...

दायीं ओर के अंश में हम अंशों का योग लिखते हैं, सब कुछ अंकीय भिन्नों की तरह होता है, फिर हम दाहिनी ओर के अंश में कोष्ठक खोलते हैं, अर्थात्। सब कुछ गुणा करें और पसंद करें। आपको हर में कोष्ठक खोलने की आवश्यकता नहीं है, आपको कुछ गुणा करने की आवश्यकता नहीं है! सामान्य तौर पर, हर (किसी भी) में उत्पाद हमेशा अधिक सुखद होता है! हम पाते हैं:

यहां हमें जवाब मिला। प्रक्रिया लंबी और कठिन लगती है, लेकिन यह अभ्यास पर निर्भर करती है। उदाहरणों को हल करें, इसकी आदत डालें, सब कुछ सरल हो जाएगा। जिन लोगों ने आवंटित समय में भिन्नों में महारत हासिल कर ली है, ये सभी ऑपरेशन एक हाथ से मशीन पर करें!

और एक और नोट। कई प्रसिद्ध रूप से भिन्नों से निपटते हैं, लेकिन उदाहरणों पर लटके रहते हैं पूरेसंख्याएं। प्रकार: 2 + 1/2 + 3/4= ? एक ड्यूस कहाँ बांधें? कहीं भी जकड़ने की जरूरत नहीं है, आपको एक ड्यूस से एक अंश बनाने की जरूरत है। यह आसान नहीं है, यह बहुत आसान है! 2=2/1. इस प्रकार सं. किसी भी पूर्ण संख्या को भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है। अंश ही संख्या है, भाजक एक है। 7 7/1 है, 3 3/1 है और इसी तरह। अक्षरों के साथ भी ऐसा ही है। (ए + बी) \u003d (ए + बी) / 1, एक्स \u003d एक्स / 1, आदि। और फिर हम इन भिन्नों के साथ सभी नियमों के अनुसार कार्य करते हैं।

खैर, इसके अलावा - भिन्नों के घटाव पर, ज्ञान ताज़ा हो गया था। भिन्नों का एक प्रकार से दूसरे प्रकार में परिवर्तन - दोहराया। आप भी चेक कर सकते हैं। क्या हम थोड़ा समझौता करेंगे?)

गणना करें:

उत्तर (अव्यवस्था में):

71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6

भिन्नों का गुणा / भाग - अगले पाठ में। भिन्न के साथ सभी कार्यों के लिए कार्य भी हैं।

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आप उदाहरणों को हल करने का अभ्यास कर सकते हैं और अपने स्तर का पता लगा सकते हैं। तत्काल सत्यापन के साथ परीक्षण। सीखना - रुचि के साथ!)

आप कार्यों और डेरिवेटिव से परिचित हो सकते हैं।

टिप्पणी!अंतिम उत्तर लिखने से पहले, देखें कि क्या आप प्राप्त अंश को कम कर सकते हैं।

समान हर वाले भिन्नों का घटाव उदाहरण:

,

,

एक से उचित अंश घटाना।

यदि इकाई से एक भिन्न को घटाना आवश्यक है जो सही है, तो इकाई को एक अनुचित भिन्न के रूप में परिवर्तित किया जाता है, इसका हर घटाए गए भिन्न के हर के बराबर होता है।

एक से उचित भिन्न को घटाने का एक उदाहरण:

घटाई जाने वाली भिन्न का हर = 7 , अर्थात्, हम इकाई को एक अनुचित भिन्न 7/7 के रूप में निरूपित करते हैं और समान हर वाले भिन्नों को घटाने के नियम के अनुसार घटाते हैं।

एक पूर्ण संख्या से एक उचित अंश घटाना।

भिन्नों को घटाने के नियम -पूर्णांक से सही (प्राकृतिक संख्या):

• हम दिए गए भिन्नों का अनुवाद करते हैं, जिनमें एक पूर्णांक भाग होता है, अनुचित अंशों में। हमें सामान्य शब्द मिलते हैं (इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि उनके अलग-अलग हर हैं), जिन्हें हम ऊपर दिए गए नियमों के अनुसार मानते हैं;
• इसके बाद, हम प्राप्त अंशों के अंतर की गणना करते हैं। परिणामस्वरूप, हमें लगभग उत्तर मिल जाएगा;
• हम व्युत्क्रम परिवर्तन करते हैं, अर्थात, हम अनुचित अंश से छुटकारा पाते हैं - हम भिन्न में पूर्णांक भाग का चयन करते हैं।

एक पूर्ण संख्या में से एक उचित भिन्न घटाना: हम एक प्राकृत संख्या को एक मिश्रित संख्या के रूप में निरूपित करते हैं। वे। हम एक इकाई को एक प्राकृत संख्या में लेते हैं और इसे एक अनुचित भिन्न के रूप में अनुवादित करते हैं, भाजक घटाए गए भिन्न के समान होता है।

अंश घटाव उदाहरण:

उदाहरण में, हमने इकाई को अनुचित अंश 7/7 से बदल दिया और 3 के बजाय हमने एक मिश्रित संख्या लिखी और भिन्नात्मक भाग से एक अंश घटाया।

भिन्न हर के साथ भिन्नों का घटाव।

या, इसे दूसरे तरीके से रखने के लिए, भिन्न भिन्नों का घटाव.

भिन्न हरों से भिन्नों को घटाने का नियम।भिन्न हर के साथ भिन्नों को घटाने के लिए, पहले इन भिन्नों को सबसे कम सामान्य हर (LCD) में लाना आवश्यक है, और उसके बाद ही समान हर वाले भिन्नों के साथ घटाना आवश्यक है।

अनेक भिन्नों का उभयनिष्ठ हर है एलसीएम (कम से कम सामान्य गुणक) प्राकृतिक संख्या, जो इन भिन्नों के हर हैं।

ध्यान!यदि अंतिम भिन्न में अंश और हर के समान गुणनखंड हों, तो भिन्न को घटाया जाना चाहिए। एक अनुचित भिन्न को मिश्रित भिन्न के रूप में सर्वोत्तम रूप से दर्शाया जाता है। जहाँ संभव हो वहाँ अंश को घटाए बिना घटाव के परिणाम को छोड़ना उदाहरण का अधूरा समाधान है!

भिन्न हर के साथ भिन्नों को घटाने की प्रक्रिया।

• सभी हरों के लिए एलसीएम खोजें;
• सभी भिन्नों के लिए अतिरिक्त गुणक लगाएं;
• सभी अंशों को एक अतिरिक्त कारक से गुणा करें;
• हम परिणामी उत्पादों को अंश में लिखते हैं, सभी अंशों के तहत एक सामान्य भाजक पर हस्ताक्षर करते हैं;
• भिन्नों के अंशों को घटाएं, अंतर के तहत आम भाजक पर हस्ताक्षर करें।

इसी प्रकार अंश में अक्षरों की उपस्थिति में भिन्नों का जोड़ और घटाव किया जाता है।

भिन्नों का घटाव, उदाहरण:

मिश्रित अंशों का घटाव।

पर घटाव मिश्रित भिन्न(संख्या)अलग से, पूर्णांक भाग को पूर्णांक भाग से घटाया जाता है, और भिन्नात्मक भाग को भिन्नात्मक भाग से घटाया जाता है।

पहला विकल्प मिश्रित भिन्नों को घटाना है।

यदि भिन्नात्मक भाग वहीअंश के भिन्नात्मक भाग के हर और अंश (हम इसे घटाते हैं) सबट्रेंड के भिन्नात्मक भाग का अंश (हम इसे घटाते हैं)।

उदाहरण के लिए:

दूसरा विकल्प मिश्रित भिन्नों को घटाना है।

जब भिन्नात्मक भाग विभिन्नहर आरंभ करने के लिए, हम भिन्नात्मक भागों को एक सामान्य हर में कम करते हैं, और उसके बाद हम पूर्णांक भाग को पूर्णांक से और भिन्न को भिन्न से घटाते हैं।

उदाहरण के लिए:

तीसरा विकल्प मिश्रित भिन्नों को घटाना है।

मिन्यूएंड का फ्रैक्शनल पार्ट सबट्रेंड के फ्रैक्शनल पार्ट से कम होता है।

उदाहरण:

इसलिये भिन्नात्मक भागों में अलग-अलग हर होते हैं, जिसका अर्थ है, दूसरे विकल्प की तरह, हम पहले सामान्य भिन्नों को एक सामान्य हर में लाते हैं।

मिन्यूएंड के भिन्नात्मक भाग का अंश सबट्रेंड के भिन्नात्मक भाग के अंश से कम होता है।3 < 14. इसलिए, हम इकाई को पूर्णांक भाग से लेते हैं और इस इकाई को एक अनुचित भिन्न के रूप में घटाते हैं एक ही भाजकऔर अंश = 18.

अंश में दाईं ओर से हम अंशों का योग लिखते हैं, फिर हम अंश में कोष्ठक को दाईं ओर से खोलते हैं, अर्थात हम सब कुछ गुणा करते हैं और समान देते हैं। हम हर में कोष्ठक नहीं खोलते हैं। उत्पाद को हर में छोड़ने की प्रथा है। हम पाते हैं: