एक साधारण भिन्न को दशमलव भिन्न में बदलना और इसके विपरीत नियम, उदाहरण। दशमलव संख्याओं को उभयनिष्ठ भिन्नों में बदलना

भिन्नों पर सामग्री और क्रमिक रूप से अध्ययन। आपके लिए नीचे विस्तृत जानकारीउदाहरण और स्पष्टीकरण के साथ।

1. मिश्रित संख्या in सामान्य अंश. आइए लिखते हैं सामान्य दृष्टि सेसंख्या:

हमें एक सरल नियम याद है - हम पूरे भाग को हर से गुणा करते हैं और अंश जोड़ते हैं, अर्थात्:

उदाहरण:

2. इसके विपरीत, मिश्रित संख्या में एक साधारण भिन्न। *बेशक, यह केवल एक अनुचित भिन्न के साथ किया जा सकता है (जब अंश हर से बड़ा हो)।

"छोटी" संख्याओं के साथ, सामान्य रूप से कोई कार्रवाई करने की आवश्यकता नहीं है, परिणाम तुरंत "देखा" जाता है, उदाहरण के लिए, अंश:

*विवरण:

15:13 = 1 शेष 2

4:3 = 1 शेषफल 1

9:5 = 1 शेष 4

लेकिन अगर संख्याएँ अधिक हैं, तो आप गणना के बिना नहीं कर सकते। यहां सब कुछ सरल है - हम अंश को हर से विभाजित करते हैं जब तक कि शेष भाजक से कम न हो। डिवीजन योजना:

उदाहरण के लिए:

* अंश भाज्य है, भाजक भाजक है।

हमें पूर्णांक भाग (अपूर्ण भागफल) और शेषफल मिलता है। हम नीचे लिखते हैं - एक पूर्णांक, फिर एक अंश (अंश में शेष रहता है, और हम भाजक को समान छोड़ देते हैं):

3. हम दशमलव का एक साधारण में अनुवाद करते हैं।

आंशिक रूप से पहले पैराग्राफ में, जहां हमने दशमलव भिन्नों के बारे में बात की थी, हम पहले ही इस पर बात कर चुके हैं। जैसा हम सुनते हैं, वैसा ही हम लिखते हैं। उदाहरण के लिए - 0.3; 0.45; 0.008; 4.38; 10.00015

हमारे पास पूर्णांक भाग के बिना पहले तीन भिन्न हैं। और चौथा और पांचवां है, हम उन्हें सामान्य लोगों में अनुवाद करेंगे, हम पहले से ही जानते हैं कि यह कैसे करना है:

*हम देखते हैं कि भिन्नों को भी घटाया जा सकता है, उदाहरण के लिए, 45/100 = 9/20, 38/100 = 19/50 और अन्य, लेकिन हम यहां ऐसा नहीं करेंगे। कमी के लिए, एक अलग पैराग्राफ नीचे आपका इंतजार कर रहा है, जहां हम हर चीज का विस्तार से विश्लेषण करेंगे।

4. साधारण अनुवाद दशमलव में।

यह सब इतना आसान नहीं है। कुछ भिन्नों के लिए, आप तुरंत और स्पष्ट रूप से देख सकते हैं कि इसके साथ क्या करना है ताकि यह दशमलव हो जाए, उदाहरण के लिए:

हम भिन्न के अपने अद्भुत मूल गुण का उपयोग करते हैं - हम अंश और हर को क्रमशः 5, 25, 2, 5, 4, 2 से गुणा करते हैं, हमें प्राप्त होता है:

यदि कोई पूर्णांक भाग है, तो कुछ भी जटिल नहीं है:

हम भिन्नात्मक भाग को क्रमशः 2, 25, 2 और 5 से गुणा करते हैं, हमें प्राप्त होता है:

और ऐसे भी हैं जिनके लिए, अनुभव के बिना, यह निर्धारित करना असंभव है कि उन्हें दशमलव में परिवर्तित किया जा सकता है, उदाहरण के लिए:

अंश और हर को किन संख्याओं से गुणा करना चाहिए?

यहां फिर से, एक सिद्ध विधि बचाव के लिए आती है - एक कोने से विभाजन, एक सार्वभौमिक विधि, आप इसका उपयोग हमेशा एक साधारण अंश को दशमलव में बदलने के लिए कर सकते हैं:

तो आप हमेशा यह निर्धारित कर सकते हैं कि भिन्न को दशमलव में बदला गया है या नहीं। तथ्य यह है कि प्रत्येक साधारण अंश को दशमलव में नहीं बदला जा सकता है, उदाहरण के लिए, जैसे 1/9, 3/7, 7/26 का अनुवाद नहीं किया जाता है। और फिर 1 को 9 से, 3 को 7, 5 को 11 से विभाजित करने पर भिन्न क्या निकलता है? मैं उत्तर देता हूं - अनंत दशमलव (हमने उनके बारे में पैराग्राफ 1 में बात की थी)। आइए विभाजित करें:

बस इतना ही! आप सौभाग्यशाली हों!

साभार, अलेक्जेंडर क्रुतित्सकिख।

ऐसा होता है कि गणना की सुविधा के लिए एक साधारण अंश को दशमलव में बदलना आवश्यक है और इसके विपरीत। यह कैसे करना है, हम इस लेख में बात करेंगे। हम साधारण भिन्नों को दशमलव और इसके विपरीत में बदलने के नियमों का विश्लेषण करेंगे और उदाहरण भी देंगे।

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हम एक निश्चित क्रम का पालन करते हुए साधारण भिन्नों को दशमलव में बदलने पर विचार करेंगे। सबसे पहले, इस बात पर विचार करें कि 10 के गुणज वाले हर वाले साधारण भिन्न को दशमलव में कैसे बदला जाता है: 10, 100, 1000, आदि। ऐसे हर वाले भिन्न, वास्तव में, दशमलव भिन्नों का अधिक बोझिल संकेतन होते हैं।

इसके बाद, हम देखेंगे कि साधारण भिन्नों को दशमलव भिन्न में कैसे परिवर्तित किया जाए, न कि केवल 10 के गुणज, हर में। ध्यान दें कि साधारण भिन्नों को दशमलव भिन्नों में बदलने पर न केवल अंतिम दशमलव भिन्न, बल्कि अनंत आवधिक दशमलव भिन्न भी प्राप्त होते हैं।

आएँ शुरू करें!

10, 100, 1000, आदि हर के साथ साधारण भिन्नों का अनुवाद। दशमलव तक

सबसे पहले, मान लें कि कुछ भिन्नों को दशमलव रूप में बदलने से पहले कुछ तैयारी की आवश्यकता होती है। यह क्या है? अंश में संख्या से पहले, इतने शून्य जोड़ना आवश्यक है कि अंश में अंकों की संख्या हर में शून्य की संख्या के बराबर हो जाए। उदाहरण के लिए, भिन्न 3100 के लिए, संख्या 0 को अंश में 3 के बाईं ओर एक बार जोड़ा जाना चाहिए। उपरोक्त नियम के अनुसार भिन्न 610 में सुधार करने की आवश्यकता नहीं है।

एक और उदाहरण पर विचार करें, जिसके बाद हम एक ऐसा नियम बनाते हैं जो पहली बार में उपयोग करने के लिए विशेष रूप से सुविधाजनक है, जबकि भिन्नों को संभालने में इतना अनुभव नहीं है। तो, अंश में शून्य जोड़ने के बाद 1610000 का अंश 001510000 जैसा दिखेगा।

10, 100, 1000, आदि के हर के साथ एक साधारण अंश का अनुवाद कैसे करें। दशमलव के लिए?

साधारण उचित भिन्नों को दशमलव में बदलने का नियम

1. 0 लिखें और उसके बाद अल्पविराम लगाएं।
2. हम अंश से वह संख्या लिखते हैं, जो शून्य जोड़ने के बाद निकली है।

अब आइए उदाहरणों पर चलते हैं।

उदाहरण 1. साधारण भिन्नों को दशमलव में बदलना

सामान्य भिन्न 39100 को दशमलव में बदलें।

सबसे पहले, हम भिन्न को देखते हैं और देखते हैं कि किसी प्रारंभिक क्रिया की आवश्यकता नहीं है - अंश में अंकों की संख्या हर में शून्य की संख्या से मेल खाती है।

नियम का पालन करते हुए 0 लिखिए, उसके बाद दशमलव बिंदु रखिए और अंश से संख्या लिखिए। हमें दशमलव भिन्न 0, 39 प्राप्त होता है।

आइए इस विषय पर एक और उदाहरण के समाधान का विश्लेषण करें।

उदाहरण 2. साधारण भिन्नों को दशमलव में बदलना

हम भिन्न को 105 10000000 के रूप में लिखते हैं दशमलव अंश.

हर में शून्यों की संख्या 7 होती है और अंश में केवल तीन अंक होते हैं। आइए अंश में संख्या के आगे 4 और शून्य जोड़ें:

0000105 10000000

अब हम 0 लिखते हैं, उसके बाद दशमलव बिंदु डालते हैं और अंश से संख्या लिखते हैं। हमें दशमलव भिन्न 0 , 0000105 प्राप्त होता है।

सभी उदाहरणों में मानी गई भिन्न साधारण उचित भिन्न हैं। लेकिन एक अनुचित सामान्य अंश को दशमलव में कैसे बदलें? मान लीजिए कि इस तरह के अंशों के लिए शून्य जोड़ने की तैयारी की आवश्यकता नहीं है। आइए एक नियम बनाते हैं।

साधारण अनुचित भिन्नों को दशमलव में बदलने का नियम

1. हम वह संख्या लिखते हैं जो अंश में होती है।
2. दशमलव बिंदु के साथ, हम दायीं ओर उतने ही अंकों को अलग करते हैं जितने मूल साधारण भिन्न के हर में शून्य होते हैं।

नीचे इस नियम का उपयोग करने का एक उदाहरण दिया गया है।

उदाहरण 3. साधारण भिन्नों को दशमलव में बदलना

आइए भिन्न 56888038009 100000 को एक साधारण अनियमित से दशमलव में बदलें।

सबसे पहले, अंश से संख्या लिखें:

अब, दाईं ओर, हम पांच अंकों को दशमलव बिंदु से अलग करते हैं (हर में शून्य की संख्या पांच है)। हम पाते हैं:

अगला प्रश्न जो स्वाभाविक रूप से उठता है वह यह है कि मिश्रित संख्या को दशमलव भिन्न में कैसे परिवर्तित किया जाए, यदि उसके भिन्नात्मक भाग का हर संख्या 10, 100, 1000 आदि है। ऐसी संख्या के दशमलव अंश में बदलने के लिए, आप निम्न नियम का उपयोग कर सकते हैं।

मिश्रित संख्याओं को दशमलव में बदलने का नियम

1. यदि आवश्यक हो, तो हम संख्या का भिन्नात्मक भाग तैयार करते हैं।
2. हम मूल संख्या का पूर्णांक भाग लिखते हैं और उसके बाद अल्पविराम लगाते हैं।
3. हम संलग्न शून्य के साथ भिन्नात्मक भाग के अंश से संख्या लिखते हैं।

आइए एक उदाहरण देखें।

उदाहरण 4. मिश्रित संख्याओं को दशमलव में बदलना

मिश्रित संख्या 23 17 10000 को दशमलव में बदलें।

भिन्नात्मक भाग में, हमारे पास व्यंजक 17 10000 है। आइए इसे तैयार करें और अंश के बाईं ओर दो और शून्य जोड़ें। हमें मिलता है: 0017 10000।

अब हम संख्या का पूर्णांक भाग लिखते हैं और उसके बाद अल्पविराम लगाते हैं: 23,। .

अल्पविराम के बाद, हम अंश से शून्य के साथ संख्या लिखते हैं। हमें परिणाम मिलता है:

23 17 10000 = 23 , 0017

साधारण भिन्नों को परिमित और अनंत आवर्त भिन्नों में बदलना

बेशक, आप दशमलव अंशों और साधारण भिन्नों में परिवर्तित कर सकते हैं, जिसमें हर 10, 100, 1000, आदि के बराबर नहीं है।

अक्सर एक भिन्न को आसानी से एक नए हर में घटाया जा सकता है, और फिर इस लेख के पहले पैराग्राफ में उल्लिखित नियम का उपयोग करें। उदाहरण के लिए, यह अंश 25 के अंश और हर को 2 से गुणा करने के लिए पर्याप्त है, और हमें भिन्न 410 मिलता है, जो आसानी से दशमलव रूप 0.4 तक कम हो जाता है।

हालाँकि, साधारण भिन्न को दशमलव में बदलने की इस पद्धति का उपयोग हमेशा नहीं किया जा सकता है। नीचे हम विचार करेंगे कि क्या करना है यदि माना विधि को लागू करना असंभव है।

मूलरूप में नया रास्ताएक साधारण भिन्न को दशमलव में बदलने से अंश को हर द्वारा एक कॉलम से विभाजित करने के लिए कम किया जाता है। यह ऑपरेशन एक कॉलम द्वारा प्राकृतिक संख्याओं के विभाजन के समान है, लेकिन इसकी अपनी विशेषताएं हैं।

विभाजित करते समय, अंश को दशमलव अंश के रूप में दर्शाया जाता है - अंश के अंतिम अंक के दाईं ओर एक अल्पविराम लगाया जाता है और शून्य जोड़ा जाता है। परिणामी भागफल में दशमलव बिंदु तब रखा जाता है जब अंश के पूर्णांक भाग का भाग समाप्त हो जाता है। उदाहरणों पर विचार करने के बाद यह विधि वास्तव में कैसे काम करती है यह स्पष्ट हो जाएगा।

उदाहरण 5. साधारण भिन्नों को दशमलव में बदलना

आइए साधारण भिन्न 621 4 का दशमलव रूप में अनुवाद करें।

आइए दशमलव बिंदु के बाद कुछ शून्य जोड़ते हुए अंश से संख्या 621 को दशमलव भिन्न के रूप में निरूपित करें। 621 = 621 00

अब हम कॉलम 621, 00 को 4 से भाग देंगे। विभाजन के पहले तीन चरण वही होंगे जो प्राकृत संख्याओं को विभाजित करते समय हमें प्राप्त होते हैं।

जब हम लाभांश में दशमलव बिंदु पर पहुंच गए, और शेष गैर-शून्य है, तो हम दशमलव बिंदु को भागफल में रखते हैं, और विभाजित करना जारी रखते हैं, अब लाभांश में अल्पविराम पर ध्यान नहीं देते हैं।

परिणामस्वरूप, हमें दशमलव भिन्न 155 , 25 प्राप्त होता है, जो साधारण भिन्न 621 4 के व्युत्क्रमण का परिणाम है।

621 4 = 155 , 25

सामग्री को ठीक करने के लिए एक अन्य उदाहरण को हल करने पर विचार करें।

उदाहरण 6. साधारण भिन्नों को दशमलव में बदलना

आइए साधारण भिन्न 21 800 को उलट दें।

ऐसा करने के लिए, भिन्न 21,000 को 800 से एक कॉलम में विभाजित करें। पूर्णांक भाग का विभाजन पहले चरण में समाप्त हो जाएगा, इसलिए इसके तुरंत बाद हम भागफल में एक दशमलव बिंदु डालते हैं और भाग को जारी रखते हैं, लाभांश में अल्पविराम को अनदेखा करते हुए जब तक हमें शेष शून्य के बराबर नहीं मिलता है।

परिणामस्वरूप, हमें मिला: 21 800 = 0 02625।

लेकिन क्या होगा अगर, विभाजित करते समय, हमें कभी भी शेषफल नहीं मिलता है। ऐसे मामलों में, विभाजन को अनिश्चित काल तक जारी रखा जा सकता है। हालांकि, एक निश्चित चरण से शुरू होकर, अवशिष्ट समय-समय पर दोहराए जाएंगे। तदनुसार, भागफल में संख्याओं को भी दोहराया जाएगा। इसका मतलब है कि एक साधारण अंश का दशमलव अनंत आवधिक अंश में अनुवाद किया जाता है। आइए एक उदाहरण के साथ जो कहा गया है उसे स्पष्ट करें।

उदाहरण 7. साधारण भिन्नों को दशमलव में बदलना

आइए साधारण भिन्न 1944 को दशमलव में बदल दें। ऐसा करने के लिए, हम एक कॉलम द्वारा विभाजन करते हैं।

हम देखते हैं कि भाग देने पर शेषफल 8 और 36 की पुनरावृत्ति होती है। इसी समय, भागफल में संख्या 1 और 8 की पुनरावृत्ति होती है। यह दशमलव में अवधि है। लिखते समय, इन नंबरों को कोष्ठक में लिया जाता है।

इस प्रकार, मूल साधारण अंश का अनंत आवधिक दशमलव अंश में अनुवाद किया जाता है।

19 44 = 0 , 43 (18) .

आइए हम एक इरेड्यूसबल साधारण भिन्न प्राप्त करें। यह क्या रूप लेगा? कौन सी साधारण भिन्नों को परिमित दशमलव में और किन को अनंत आवर्त में परिवर्तित किया जाता है?

सबसे पहले, मान लें कि यदि किसी भिन्न को हर 10, 100, 1000 .. में से किसी एक में घटाया जा सकता है, तो यह अंतिम दशमलव भिन्न जैसा दिखेगा। इन हरों में से किसी एक के लिए एक अंश को कम करने के लिए, इसका हर 10, 100, 1000, आदि संख्याओं में से कम से कम एक का विभाजक होना चाहिए। संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करने के नियमों से, यह इस प्रकार है कि संख्या 10, 100, 1000, आदि का भाजक अभाज्य गुणनखंडों में विघटित होने पर, केवल 2 और 5 संख्याएँ होनी चाहिए।

आइए संक्षेप में बताएं कि क्या कहा गया है:

1. एक साधारण भिन्न को अंतिम दशमलव भिन्न के रूप में घटाया जा सकता है यदि उसके हर को 2 और 5 के अभाज्य गुणनखंडों में विघटित किया जा सकता है।
2. यदि, संख्या 2 और 5 के अतिरिक्त, हर के विस्तार में अन्य अभाज्य संख्याएँ हैं, तो भिन्न एक अनंत आवधिक दशमलव भिन्न के रूप में कम हो जाती है।

आइए एक उदाहरण लेते हैं।

उदाहरण 8. साधारण भिन्नों को दशमलव में बदलना

दिए गए भिन्नों में से कौन सा अंश 47 20, 7 12, 21 56, 31 17 को अंतिम दशमलव अंश में परिवर्तित किया गया है, और कौन सा - केवल आवधिक एक में। हम इस प्रश्न का उत्तर एक साधारण भिन्न को सीधे दशमलव में बदले बिना देंगे।

भिन्न 47 20, जैसा कि आप आसानी से देख सकते हैं, अंश और हर को 5 से गुणा करने पर एक नया हर 100 हो जाता है।

4720 = 235100। इससे हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि इस भिन्न का अंतिम दशमलव भिन्न में अनुवाद किया जाता है।

भिन्न 7 12 के हर का गुणनखंड करने पर 12 = 2 2 3 प्राप्त होता है। चूँकि साधारण गुणनखंड 3 2 और 5 से भिन्न है, इस भिन्न को एक परिमित दशमलव भिन्न के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है, लेकिन यह एक अनंत आवर्त भिन्न का रूप धारण करेगा।

अंश 21 56, सबसे पहले, आपको कम करने की आवश्यकता है। 7 से घटाने के बाद, हमें एक अपरिमेय भिन्न 3 8 प्राप्त होता है, जिसके हर का गुणनखंडों में विस्तार करने पर 8 = 2 · 2 · 2 प्राप्त होता है। इसलिए, यह एक सांत दशमलव है।

भिन्न 31 17 के मामले में, हर का गुणनखंड अभाज्य संख्या 17 ही है। तदनुसार, इस भिन्न को अनंत आवर्त दशमलव भिन्न में बदला जा सकता है।

एक साधारण अंश को अनंत और गैर-दोहराव वाले दशमलव अंश में परिवर्तित नहीं किया जा सकता है

ऊपर, हमने केवल परिमित और अनंत आवर्त भिन्नों के बारे में बात की। लेकिन क्या किसी साधारण भिन्न को अनंत गैर-आवधिक भिन्न में बदला जा सकता है?

हम जवाब देते हैं: नहीं!

महत्वपूर्ण!

जब आप एक अनंत अंश को दशमलव में बदलते हैं, तो आपको या तो एक परिमित दशमलव अंश या एक अनंत आवधिक दशमलव अंश मिलता है।

एक भाग का शेष भाग हमेशा भाजक से छोटा होता है। दूसरे शब्दों में, विभाज्यता प्रमेय के अनुसार, यदि हम किसी प्राकृत संख्या को संख्या q से विभाजित करते हैं, तो किसी भी स्थिति में भाग का शेष भाग q-1 से बड़ा नहीं हो सकता। विभाजन की समाप्ति के बाद, निम्न स्थितियों में से एक संभव है:

1. हमें शेषफल 0 मिलता है, और यहीं पर विभाजन समाप्त होता है।
2. हमें एक शेषफल मिलता है, जिसे बाद के विभाजन के दौरान दोहराया जाता है, परिणामस्वरूप हमारे पास एक अनंत आवर्त भिन्न होता है।

साधारण भिन्न को दशमलव में बदलने पर कोई अन्य विकल्प नहीं हो सकता है। आइए यह भी कहें कि अनंत आवधिक अंश में अवधि की लंबाई (अंकों की संख्या) हमेशा संबंधित साधारण अंश के हर में अंकों की संख्या से कम होती है।

दशमलव को उभयनिष्ठ भिन्नों में बदलें

अब समय आ गया है कि एक दशमलव भिन्न को एक साधारण अंश में बदलने की रिवर्स प्रक्रिया पर विचार किया जाए। आइए हम एक अनुवाद नियम बनाते हैं जिसमें तीन चरण शामिल हैं। दशमलव को सामान्य भिन्न में कैसे बदलें?

दशमलव भिन्नों को उभयनिष्ठ भिन्नों में बदलने का नियम

1. अंश में हम मूल दशमलव भिन्न से संख्या लिखते हैं, अल्पविराम और बाईं ओर के सभी शून्य, यदि कोई हो, को हटाते हैं।
2. हर में हम एक और उसके बाद उतने ही शून्य लिखते हैं जितने दशमलव बिंदु के बाद मूल दशमलव भिन्न में होते हैं।
3. यदि आवश्यक हो, परिणामी साधारण अंश को कम करें।

उदाहरण सहित इस नियम के लागू होने पर विचार करें।

उदाहरण 8. दशमलव को साधारण में बदलना

आइए संख्या 3, 025 को एक साधारण भिन्न के रूप में निरूपित करें।

1. अंश में हम अल्पविराम को छोड़कर दशमलव अंश को ही लिखते हैं: 3025।
2. हर में हम एक लिखते हैं, और उसके बाद तीन शून्य - यानी दशमलव बिंदु के बाद मूल अंश में कितने अंक होते हैं: 3025 1000।
3. परिणामी भिन्न 3025 1000 को 25 से घटाया जा सकता है, जिसके परिणामस्वरूप हमें प्राप्त होता है: 3025 1000 = 121 40।

उदाहरण 9. दशमलव को साधारण में बदलना

आइए भिन्न 0, 0017 को दशमलव से साधारण में बदलें।

1. अंश में हम बाईं ओर अल्पविराम और शून्य को छोड़कर भिन्न 0, 0017 लिखते हैं। 17 प्राप्त करें।
2. हम हर में एक लिखते हैं, और उसके बाद हम चार शून्य लिखते हैं: 17,000,000। यह अंश अपूरणीय है।

यदि दशमलव भिन्न में कोई पूर्णांक भाग हो तो ऐसी भिन्न को तुरंत मिश्रित संख्या में बदला जा सकता है। यह कैसे करना है?

आइए एक और नियम बनाते हैं।

दशमलव भिन्नों को मिश्रित संख्याओं में बदलने का नियम।

1. दशमलव बिंदु तक की संख्या को मिश्रित संख्या के पूर्णांक भाग के रूप में लिखा जाता है।
2. अंश में, हम दशमलव बिंदु के बाद भिन्न में आने वाली संख्या को बाईं ओर शून्य को छोड़कर, यदि कोई हो, लिखते हैं।
3. भिन्नात्मक भाग के हर में हम एक और उतने ही शून्य जोड़ते हैं जितने दशमलव बिंदु के बाद भिन्नात्मक भाग में अंक होते हैं।

आइए एक उदाहरण देखें

उदाहरण 10: दशमलव को मिश्रित संख्या में बदलना

आइए भिन्न 155, 06005 को मिश्रित संख्या के रूप में निरूपित करें।

1. हम संख्या 155 को एक पूर्णांक भाग के रूप में लिखते हैं।
2. अंश में हम शून्य को छोड़कर दशमलव बिंदु के बाद की संख्याएँ लिखते हैं।
3. हर में हम एक और पांच शून्य लिखते हैं

मिश्रित संख्या पढ़ाना: 155 6005 100000

भिन्नात्मक भाग को 5 से कम किया जा सकता है। हम कम करते हैं, और हमें अंतिम परिणाम मिलता है:

155 , 06005 = 155 1201 20000

अनंत आवर्ती दशमलव को सामान्य भिन्नों में बदलना

आइए उदाहरणों को देखें कि कैसे आवधिक दशमलव अंशों का साधारण अंशों में अनुवाद किया जाए। शुरू करने से पहले, आइए स्पष्ट करें: किसी भी आवधिक दशमलव अंश को सामान्य में बदला जा सकता है।

सबसे सरल स्थिति यह है कि भिन्न का आवर्त शून्य होता है। शून्य की अवधि के साथ एक आवधिक अंश को एक परिमित दशमलव अंश से बदल दिया जाता है, और इस तरह के अंश को बदलने की प्रक्रिया को अंतिम दशमलव अंश को उलटने के लिए कम कर दिया जाता है।

उदाहरण 11. एक आवर्त दशमलव को एक सामान्य भिन्न में बदलना

आइए आवर्त भिन्न 3, 75 (0) को उल्टा करें।

शून्य को दाईं ओर छोड़ने पर, हमें अंतिम दशमलव भिन्न 3, 75 प्राप्त होता है।

पिछले पैराग्राफ में चर्चा की गई एल्गोरिथम के अनुसार इस अंश को सामान्य में बदलना, हम प्राप्त करते हैं:

3 , 75 (0) = 3 , 75 = 375 100 = 15 4 .

क्या होगा यदि भिन्न का आवर्त शून्येतर हो? आवधिक भाग को एक ज्यामितीय प्रगति के सदस्यों के योग के रूप में माना जाना चाहिए, जो घट रहा है। आइए इसे एक उदाहरण से समझाते हैं:

0 , (74) = 0 , 74 + 0 , 0074 + 0 , 000074 + 0 , 00000074 + . .

एक अनंत घटती ज्यामितीय प्रगति की शर्तों के योग के लिए एक सूत्र है। यदि प्रगति का पहला पद b है और q का हर ऐसा है कि 0< q < 1 , то сумма равна b 1 - q .

आइए इस सूत्र का उपयोग करते हुए कुछ उदाहरण देखें।

उदाहरण 12. एक आवर्त दशमलव को एक सामान्य भिन्न में बदलना

मान लीजिए कि हमारे पास आवधिक अंश 0, (8) है और हमें इसे एक साधारण में बदलने की जरूरत है।

0 , (8) = 0 , 8 + 0 , 08 + 0 , 008 + . .

यहां हमारे पास अनंत घट रहा है ज्यामितीय अनुक्रमपहले सदस्य 0 , 8 और हर 0 , 1 के साथ।

आइए सूत्र लागू करें:

0 , (8) = 0 , 8 + 0 , 08 + 0 , 008 + . . = 0 , 8 1 - 0 , 1 = 0 , 8 0 , 9 = 8 9

यह वांछित साधारण अंश है।

सामग्री को समेकित करने के लिए, एक और उदाहरण पर विचार करें।

उदाहरण 13. एक आवर्त दशमलव को साधारण में बदलना

भिन्न 0 , 43 (18) को उल्टा करें।

सबसे पहले, हम भिन्न को अनंत योग के रूप में लिखते हैं:

0 , 43 (18) = 0 , 43 + (0 , 0018 + 0 , 000018 + 0 , 00000018 . .)

कोष्ठक में शर्तों पर विचार करें। इस ज्यामितीय प्रगति को निम्नानुसार दर्शाया जा सकता है:

0 , 0018 + 0 , 000018 + 0 , 00000018 . . = 0 , 0018 1 - 0 , 01 = 0 , 0018 0 , 99 = 18 9900 .

हम परिणामी अंश को अंतिम अंश 0, 43 \u003d 43 100 में जोड़ते हैं और हमें परिणाम मिलता है:

0 , 43 (18) = 43 100 + 18 9900

इन भिन्नों को जोड़ने और घटाने के बाद, हमें अंतिम उत्तर मिलता है:

0 , 43 (18) = 19 44

इस लेख के अंत में, हम कहेंगे कि गैर-आवधिक अनंत दशमलव अंशों को साधारण भिन्नों में परिवर्तित नहीं किया जा सकता है।

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बहुत शुरुआत में, आपको अभी भी यह पता लगाना होगा कि एक अंश क्या है और यह किस प्रकार का है। और यह तीन प्रकार में आता है। और उनमें से पहला एक साधारण अंश है, उदाहरण के लिए ½, 3 / 7.3 / 432, आदि। इन संख्याओं को क्षैतिज डैश के साथ भी लिखा जा सकता है। पहला और दूसरा दोनों समान रूप से सत्य होंगे। ऊपर वाली संख्या को अंक और नीचे की संख्या को हर कहते हैं। इन दोनों नामों को लगातार भ्रमित करने वाले लोगों के लिए एक कहावत भी है। यह इस तरह लगता है: "Zzzzzremember! Zzzzsignator - downzzzzu! ". इससे आपको भ्रमित नहीं होने में मदद मिलेगी। एक भिन्न केवल दो संख्याएँ होती हैं जो एक दूसरे से विभाज्य होती हैं। उनमें डैश विभाजन चिह्न को दर्शाता है। इसे कोलन से बदला जा सकता है। यदि प्रश्न "एक भिन्न को एक संख्या में कैसे परिवर्तित करें" है, तो यह बहुत आसान है। आपको बस इतना करना है कि अंश को हर से भाग दें। और बस। अंश का अनुवाद किया गया है।

दूसरे प्रकार के भिन्नों को दशमलव कहते हैं। यह अर्धविरामों की एक श्रृंखला है। उदाहरण के लिए, 0.5, 3.5, आदि। उन्होंने उन्हें दशमलव कहा, केवल इसलिए कि गाए जाने के बाद पहले अंक का अर्थ "दहाई" होता है, दूसरा "सैकड़ों" से दस गुना अधिक होता है, और इसी तरह। और दशमलव बिंदु से पहले का पहला अंक पूर्णांक कहलाता है। उदाहरण के लिए, संख्या 2.4 इस तरह लगती है, बारह पूर्ण और दो सौ चौंतीस हज़ारवां। इस तरह के अंश मुख्य रूप से इस तथ्य के कारण प्रकट होते हैं कि बिना शेष के दो संख्याओं को विभाजित करना काम नहीं करता है। और सबसे आम भिन्न, जब संख्याओं में परिवर्तित होते हैं, तो दशमलव के रूप में समाप्त होते हैं। उदाहरण के लिए, एक सेकंड शून्य से पांच दसवें के बराबर होता है।

और अंतिम तीसरा रूप। ये मिश्रित संख्याएं हैं। इसका एक उदाहरण 2½ होगा। यह दो पूर्णांक और एक सेकंड की तरह लगता है। हाई स्कूल में, इस प्रकार के अंश का अब उपयोग नहीं किया जाता है। उन्हें निश्चित रूप से या तो एक भिन्न के सामान्य रूप में लाने की आवश्यकता होगी, या एक दशमलव में। ऐसा करना उतना ही आसान है। बस एक पूर्णांक को हर से गुणा किया जाना चाहिए और, परिणामी पदनाम, अंक में जोड़ा जाना चाहिए। आइए अपना उदाहरण 2½ लें। दो को दो से गुणा करने पर चार बनते हैं। चार जमा एक पांच के बराबर होता है। और 2½ के रूप का एक भिन्न 5/2 में बनता है। और पाँच को दो से भाग देने पर आप दशमलव भिन्न प्राप्त कर सकते हैं। 2½=5/2=2.5. यह पहले से ही स्पष्ट हो गया है कि भिन्नों को संख्याओं में कैसे अनुवादित किया जाए। आपको बस इतना करना है कि अंश को हर से भाग दें। यदि संख्याएँ बड़ी हैं, तो आप कैलकुलेटर का उपयोग कर सकते हैं।

यदि यह पूर्ण संख्या नहीं निकलता है और दशमलव बिंदु के बाद बहुत सारे अंक हैं, तो इस मान को गोल किया जा सकता है। गोल करना बहुत आसान है। सबसे पहले आपको यह तय करने की आवश्यकता है कि आप किस आंकड़े को गोल करना चाहते हैं। एक उदाहरण पर विचार किया जाना चाहिए। एक व्यक्ति को शून्य पूर्ण, नौ हजार सात सौ छप्पन दस हजारवें या अंकीय मान 0.6 में पूर्णांक बनाना होगा। गोलाई सौवें तक की जानी चाहिए। इसका मतलब है कि में इस पलसात सौवें तक। भिन्न में सात नंबर के बाद पांच आता है। अब हमें गोलाई के नियमों का उपयोग करने की आवश्यकता है। पांच से बड़ी संख्याओं को गोल किया जाता है, और छोटी संख्याओं को गोल किया जाता है। उदाहरण में, एक व्यक्ति के पास पाँच हैं, वह सीमा रेखा पर खड़ा है, लेकिन यह माना जाता है कि गोलाई ऊपर जा रही है। इसलिए, हम सात के बाद की सभी संख्याओं को हटा देते हैं और उसमें एक जोड़ देते हैं। यह 0.8 निकला।

ऐसी स्थितियां भी होती हैं जब किसी व्यक्ति को एक साधारण अंश को जल्दी से एक संख्या में बदलने की आवश्यकता होती है, लेकिन पास में कोई कैलकुलेटर नहीं होता है। ऐसा करने के लिए, कॉलम द्वारा विभाजन का उपयोग करना उचित है। पहला कदम एक कागज के टुकड़े पर अंश और हर को एक दूसरे के बगल में लिखना है। उनके बीच एक डिवीजन कॉर्नर रखा गया है, यह अक्षर "T" जैसा दिखता है, केवल इसके किनारे पर स्थित है। उदाहरण के लिए, दस-छठा लें। और इसलिए, दस को छह से विभाजित किया जाना चाहिए। एक दस में कितने छक्के लग सकते हैं, सिर्फ एक। इकाई कोने के नीचे लिखी गई है। दस घटाव छह चार है। चार में कितने छक्के होंगे, कई। तो, उत्तर में, इकाई के बाद एक अल्पविराम लगाया जाता है, और चार को दस से गुणा किया जाता है। छियालीस छक्के। उत्तर में, एक छक्का जोड़ा जाता है, और छत्तीस को चालीस से घटाया जाता है। यह फिर से चार निकला।

इस उदाहरण में, एक लूप हुआ है, यदि आप सब कुछ उसी तरह करना जारी रखते हैं, तो आपको उत्तर मिलता है 1.6 (6) संख्या छह अनंत के लिए जारी रहती है, लेकिन गोल करने के नियम को लागू करके, आप संख्या को 1.7 पर ला सकते हैं। जो बहुत अधिक सुविधाजनक है। इससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि सभी साधारण भिन्नों को दशमलव में नहीं बदला जा सकता है। कुछ लूपिंग कर रहे हैं। लेकिन दूसरी ओर, किसी भी दशमलव अंश को साधारण अंश में बदला जा सकता है। एक प्राथमिक नियम यहां मदद करेगा, जैसा कि सुना जाता है, इसलिए लिखा जाता है। उदाहरण के लिए, संख्या 1.5 को एक दशमलव पच्चीस सौवां भाग सुना जाता है। तो आपको लिखने की जरूरत है, एक संपूर्ण, पच्चीस को सौ से विभाजित। एक पूर्ण सौ है, जिसका अर्थ है साधारण अंशएक सौ पच्चीस से एक सौ (125/100) होंगे। सब कुछ सरल और स्पष्ट भी है।

तो सबसे बुनियादी नियम और परिवर्तन जो भिन्नों से जुड़े होते हैं, उन्हें अलग कर दिया गया। वे सभी सरल हैं, लेकिन आपको उन्हें जानना चाहिए। पर रोजमर्रा की जिंदगीभिन्न, विशेष रूप से दशमलव, लंबे समय से शामिल किए गए हैं। यह दुकानों में मूल्य टैग पर स्पष्ट रूप से देखा जाता है। गोल कीमतें लंबे समय से नहीं लिखी गई हैं, और अंशों के साथ कीमत नेत्रहीन रूप से बहुत सस्ती लगती है। इसके अलावा, सिद्धांतों में से एक कहता है कि मानवता रोमन अंकों से दूर हो गई और अरबी लोगों को अपनाया, केवल इसलिए कि रोमन अंकों में कोई अंश नहीं थे। और कई वैज्ञानिक इस धारणा से सहमत हैं। आखिरकार, भिन्नों के साथ आप अधिक सटीक रूप से गणना कर सकते हैं। और अंतरिक्ष प्रौद्योगिकी के हमारे युग में, गणनाओं में सटीकता पहले से कहीं अधिक आवश्यक है। इसलिए कई विज्ञान और तकनीकी प्रगति को समझने के लिए गणित विद्यालय में भिन्न सीखना महत्वपूर्ण है।

भिन्न को दशमलव में बदलना

मान लीजिए कि हम सामान्य भिन्न 11/4 को दशमलव में बदलना चाहते हैं। इसे करने का सबसे आसान तरीका यह है:

हम सफल हुए क्योंकि इस मामले में भाजक के अभाज्य गुणनखंडों में गुणनखंड केवल दो होते हैं। हमने इस विस्तार को दो और फाइव के साथ पूरक किया, इस तथ्य का लाभ उठाया कि 10 = 2∙5, और एक दशमलव अंश प्राप्त किया। ऐसी प्रक्रिया स्पष्ट रूप से संभव है यदि और केवल यदि भाजक के अभाज्य गुणनखंडों में गुणनखंड में दो और पाँच के अलावा कुछ नहीं होता है। यदि हर के विस्तार में कोई अन्य अभाज्य संख्या मौजूद हो, तो ऐसी भिन्न को दशमलव में नहीं बदला जा सकता है। फिर भी, हम ऐसा करने की कोशिश करेंगे, लेकिन केवल एक अलग तरीके से, जिसे हम उसी अंश 11/4 के उदाहरण से परिचित करेंगे। आइए 11 को 4 "कोने" से विभाजित करें:

प्रतिक्रिया पंक्ति में, हमें पूर्णांक भाग ( 2 ) मिला, और हमारे पास शेष ( 3 ) भी है। पहले, हमने इस पर विभाजन समाप्त कर दिया था, लेकिन अब हम जानते हैं कि एक अल्पविराम और कई शून्य को लाभांश ( 11 ) के लिए जिम्मेदार ठहराया जा सकता है, जिसे हम मानसिक रूप से अब करेंगे। दशमलव बिंदु के बाद दसवां स्थान आता है। शून्य, जो इस श्रेणी में लाभांश के लिए खड़ा है, हम परिणामी शेष ( 3 ) को विशेषता देंगे:

अब विभाजन ऐसे जारी रह सकता है जैसे कुछ हुआ ही न हो। आपको उत्तर पंक्ति में पूर्णांक भाग के बाद अल्पविराम लगाना याद रखना होगा:

अब हम शेष ( 2 ) शून्य का श्रेय देते हैं, जो कि सौवें स्थान पर लाभांश के लिए खड़ा है और विभाजन को अंत तक लाता है:

नतीजतन, हम पहले की तरह प्राप्त करते हैं,

आइए अब ठीक उसी तरह से गणना करने का प्रयास करें कि भिन्न 27/11 किसके बराबर है:

हमें उत्तर पंक्ति में संख्या 2.45 और शेष पंक्ति में संख्या 5 प्राप्त हुई। लेकिन हमने ऐसा अवशेष पहले देखा है। इसलिए, हम तुरंत कह सकते हैं कि यदि हम "कोने" से अपना विभाजन जारी रखते हैं, तो उत्तर पंक्ति में अगला अंक 4 होगा, फिर संख्या 5 जाएगी, फिर 4 और फिर से 5, और इसी तरह, विज्ञापन अनंत :

27 / 11 = 2,454545454545...

हमें तथाकथित प्राप्त हुआ है नियत कालीन 45 की अवधि के साथ एक दशमलव अंश। ऐसे अंशों के लिए, एक अधिक कॉम्पैक्ट नोटेशन का उपयोग किया जाता है, जिसमें अवधि केवल एक बार लिखी जाती है, लेकिन साथ ही यह कोष्ठक में संलग्न होती है:

2,454545454545... = 2,(45).

सामान्यतया, यदि हम एक प्राकृत संख्या को "कोने" से विभाजित करते हैं, तो उत्तर को दशमलव अंश के रूप में लिखते हैं, तो केवल दो परिणाम संभव हैं: (1) जल्दी या बाद में हमें शेष पंक्ति में शून्य मिलेगा, (2) या ऐसा शेष होगा, जिसका हम पहले ही सामना कर चुके हैं (संभावित अवशेषों का सेट सीमित है, क्योंकि वे सभी स्पष्ट रूप से भाजक से कम हैं)। पहले मामले में, विभाजन का परिणाम अंतिम दशमलव अंश होता है, दूसरे मामले में, आवधिक एक।

एक आवर्त दशमलव को एक सामान्य भिन्न में बदलना

आइए हमें एक शून्य पूर्णांक भाग के साथ एक सकारात्मक आवधिक दशमलव अंश दिया जाए, उदाहरण के लिए:

एक = 0,2(45).

मैं इस भिन्न को वापस सामान्य भिन्न में कैसे बदल सकता हूँ?

आइए इसे 10 . से गुणा करें क, कहाँ पे कअल्पविराम और शुरुआती कोष्ठक के बीच अंकों की संख्या है जो अवधि की शुरुआत को इंगित करती है। इस मामले में क= 1 और 10 क = 10:

एक∙ 10 क = 2,(45).

परिणाम को 10 . से गुणा करें एन, कहाँ पे एन- अवधि की "लंबाई", यानी कोष्ठक के बीच संलग्न अंकों की संख्या। इस मामले में एन= 2 और 10 एन = 100:

एक∙ 10 क ∙ 10 एन = 245,(45).

अब अंतर की गणना करते हैं

एक∙ 10 क ∙ 10 एन − एक∙ 10 क = 245,(45) − 2,(45).

चूंकि मिन्यूएंड और सबट्रेंड के भिन्नात्मक भाग समान हैं, तो अंतर का भिन्नात्मक भाग शून्य के बराबर है, और हम आते हैं सरल समीकरणअपेक्षाकृत एक:

एक∙ 10 क ∙ (10 एन − 1) = 245 − 2.

यह समीकरण निम्नलिखित परिवर्तनों का उपयोग करके हल किया गया है:

एक∙ 10 ∙ (100 − 1) = 245 − 2.

एक∙ 10 ∙ 99 = 245 − 2.

हम जानबूझकर गणनाओं को अभी तक अंत तक नहीं लाते हैं, ताकि यह स्पष्ट रूप से देखा जा सके कि मध्यवर्ती तर्कों को छोड़कर, यह परिणाम तुरंत कैसे लिखा जा सकता है। अंश में कमी ( 245 ) संख्या का भिन्नात्मक भाग है

एक = 0,2(45)

यदि आप उसकी प्रविष्टि में कोष्ठक हटाते हैं। अंश में सबट्रेंड ( 2 ) संख्या का गैर-आवधिक भाग है एक, अल्पविराम और प्रारंभिक कोष्ठक के बीच स्थित है। हर में पहला गुणनखंड ( 10 ) एक है, जिसके लिए उतने ही शून्य दिए गए हैं जितने कि गैर-आवधिक भाग में अंक हैं ( क) हर (99) में दूसरा गुणनखंड उतने ही नौ हैं जितने कि आवर्त में अंक हैं ( एन).

अब हमारी गणना पूरी की जा सकती है:

यहाँ अंश में एक आवर्त है, और हर में उतने ही नौ हैं जितने आवर्त में अंक हैं। 9 से कम करने के बाद, परिणामी भिन्न बराबर है

उसी तरह से,

यदि हमें 497 को 4 से विभाजित करने की आवश्यकता है, तो विभाजित करते समय, हम देखेंगे कि 497 4 से विभाज्य नहीं है, अर्थात। शेष भाग शेष है। ऐसे मामलों में कहा जाता है कि शेष के साथ विभाजन, और समाधान इस प्रकार लिखा गया है:
497: 4 = 124 (1 शेष)।

समानता के बाईं ओर के विभाजन घटकों को बिना शेष के विभाजन के समान कहा जाता है: 497 - लाभांश, 4 - विभक्त. शेषफल से भाग देने पर विभाजन का परिणाम कहलाता है अधूरा निजी. हमारे मामले में, यह संख्या 124 है। और अंत में, अंतिम घटक, जो सामान्य विभाजन में नहीं है, है शेष. जब कोई शेष न हो, तो एक संख्या को दूसरी संख्या से विभाजित कहा जाता है। बिना किसी निशान के, या पूरी तरह से. ऐसा माना जाता है कि इस प्रकार के विभाजन से शेषफल शून्य होता है। हमारे मामले में, शेष 1 है।

शेषफल हमेशा भाजक से कम होता है।

आप गुणा करके विभाजित करते समय जांच सकते हैं। यदि, उदाहरण के लिए, समानता 64: 32 = 2 है, तो जांच इस तरह की जा सकती है: 64 = 32 * 2।

अक्सर ऐसे मामलों में जहां शेष के साथ विभाजन किया जाता है, समानता का उपयोग करना सुविधाजनक होता है
ए \u003d बी * एन + आर,
जहाँ a भाज्य है, b भाजक है, n आंशिक भागफल है, r शेषफल है।

प्राकृत संख्याओं के विभाजन के भागफल को भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है।

भिन्न का अंश भाज्य है, और भाजक भाजक है।

चूँकि भिन्न का अंश भाज्य होता है और हर भाजक होता है, विश्वास करें कि भिन्न की रेखा का अर्थ है विभाजन की क्रिया. कभी-कभी ":" चिह्न का उपयोग किए बिना भाग को भिन्न के रूप में लिखना सुविधाजनक होता है।

प्राकृत संख्याओं m और n के विभाजन के भागफल को भिन्न \(\frac(m)(n) \) के रूप में लिखा जा सकता है, जहां अंश m भाज्य है, और हर n भाजक है:
\(m:n = \frac(m)(n) \)

निम्नलिखित नियम सही हैं:

भिन्न \(\frac(m)(n) \) प्राप्त करने के लिए, आपको इकाई को n बराबर भागों (शेयरों) में विभाजित करना होगा और m ऐसे भाग लेने होंगे।

भिन्न \(\frac(m)(n) \) प्राप्त करने के लिए, आपको संख्या m को संख्या n से विभाजित करना होगा।

एक पूर्ण का एक भाग खोजने के लिए, आपको हर द्वारा पूर्ण से संबंधित संख्या को विभाजित करना होगा और परिणाम को उस अंश के अंश से गुणा करना होगा जो इस भाग को व्यक्त करता है।

एक पूरे को उसके भाग से खोजने के लिए, आपको इस भाग से संबंधित संख्या को अंश से विभाजित करना होगा और परिणाम को उस भिन्न के हर से गुणा करना होगा जो इस भाग को व्यक्त करता है।

यदि किसी भिन्न के अंश और हर दोनों को एक ही संख्या (शून्य को छोड़कर) से गुणा किया जाता है, तो भिन्न का मान नहीं बदलेगा:
\(\बड़ा \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n) \)

यदि किसी भिन्न के अंश और हर दोनों को एक ही संख्या (शून्य को छोड़कर) से विभाजित किया जाता है, तो भिन्न का मान नहीं बदलेगा:
\(\बड़ा \frac(a)(b) = \frac(a: m)(b: m) \)
इस संपत्ति को कहा जाता है एक अंश की मूल संपत्ति.

अंतिम दो परिवर्तन कहलाते हैं अंश में कमी.

यदि भिन्नों को समान हर वाली भिन्नों के रूप में प्रदर्शित करने की आवश्यकता होती है, तो ऐसी क्रिया कहलाती है एक आम भाजक के लिए अंशों को कम करना.

उचित और अनुचित अंश। मिश्रित संख्या

आप पहले से ही जानते हैं कि एक पूर्ण को समान भागों में विभाजित करके और ऐसे कई भागों को लेकर भिन्न प्राप्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, भिन्न \(\frac(3)(4) \) का अर्थ है एक का तीन-चौथाई। पिछले अनुभाग की कई समस्याओं में, अंशों का उपयोग पूरे के एक हिस्से को दर्शाने के लिए किया गया था। सामान्य ज्ञान बताता है कि एक हिस्सा हमेशा पूरे से छोटा होना चाहिए, लेकिन \(\frac(5)(5) \) या \(\frac(8)(5) \) जैसे भिन्नों के बारे में क्या? यह स्पष्ट है कि यह अब इकाई का हिस्सा नहीं है। शायद यही कारण है कि ऐसे भिन्न, जिनमें अंश हर से बड़ा या उसके बराबर होता है, कहलाते हैं अनुचित भिन्न. शेष भिन्न, अर्थात् वे भिन्न जिनमें अंश हर से कम होता है, कहलाते हैं उचित भिन्न.

जैसा कि आप जानते हैं, कोई भी साधारण भिन्न, उचित और अनुचित दोनों, को हर से अंश को विभाजित करने का परिणाम माना जा सकता है। इसलिए, गणित में, सामान्य भाषा के विपरीत, "अनुचित अंश" शब्द का अर्थ यह नहीं है कि हमने कुछ गलत किया है, लेकिन केवल यह है कि इस अंश का अंश उसके हर से बड़ा या उसके बराबर है।

यदि किसी संख्या में एक पूर्णांक भाग और एक भिन्न है, तो ऐसे भिन्नों को मिश्रित कहा जाता है.

उदाहरण के लिए:
\(5:3 = 1\frac(2)(3) \) : 1 पूर्णांक भाग है और \(\frac(2)(3) \) भिन्नात्मक भाग है।

यदि भिन्न का अंश \(\frac(a)(b) \) एक प्राकृतिक संख्या n से विभाज्य है, तो इस भिन्न को n से विभाजित करने के लिए, इसके अंश को इस संख्या से विभाजित किया जाना चाहिए:
\(\बड़ा \frac(a)(b): n = \frac(a:n)(b) \)

यदि भिन्न का अंश \(\frac(a)(b) \) एक प्राकृत संख्या n से विभाज्य नहीं है, तो इस भिन्न को n से विभाजित करने के लिए, आपको इसके हर को इस संख्या से गुणा करना होगा:
\(\बड़ा \frac(a)(b): n = \frac(a)(bn) \)

ध्यान दें कि दूसरा नियम तब भी मान्य होता है जब अंश n से विभाज्य हो। इसलिए, हम इसका उपयोग तब कर सकते हैं जब पहली नज़र में यह निर्धारित करना मुश्किल हो कि किसी भिन्न का अंश n से विभाज्य है या नहीं।

अंशों के साथ क्रियाएँ। अंशों का जोड़।

भिन्नात्मक संख्याओं के साथ, प्राकृतिक संख्याओं की तरह, आप प्रदर्शन कर सकते हैं अंकगणितीय आपरेशनस. आइए पहले भिन्नों को जोड़ने पर विचार करें। भिन्न जोड़ना आसान एक ही भाजक. उदाहरण के लिए, \(\frac(2)(7) \) और \(\frac(3)(7) \) का योग ज्ञात कीजिए। यह देखना आसान है कि \(\frac(2)(7) + \frac(2)(7) = \frac(5)(7) \)

समान हर वाले भिन्नों को जोड़ने के लिए, आपको उनके अंशों को जोड़ना होगा, और हर को समान छोड़ना होगा।

अक्षरों का प्रयोग करते हुए समान हर वाले भिन्नों को जोड़ने का नियम इस प्रकार लिखा जा सकता है:
\(\बड़ा \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a+b)(c) \)

यदि आप भिन्नों को जोड़ना चाहते हैं विभिन्न भाजक, तो उन्हें पहले एक सामान्य भाजक के रूप में कम किया जाना चाहिए। उदाहरण के लिए:
\(\बड़ा \frac(2)(3)+\frac(4)(5) = \frac(2\cdot 5)(3\cdot 5)+\frac(4\cdot 3)(5\cdot 3 ) = \frac(10)(15)+\frac(12)(15) = \frac(10+12)(15) = \frac(22)(15) \)

भिन्नों के साथ-साथ प्राकृत संख्याओं के लिए, योग के क्रमविनिमेय और साहचर्य गुण मान्य हैं।

मिश्रित भिन्नों का योग

रिकॉर्डिंग जैसे \(2\frac(2)(3) \) को कहा जाता है मिश्रित भिन्न. नंबर 2 कहा जाता है पूरा भागमिश्रित भिन्न, और संख्या \(\frac(2)(3) \) इसकी है आंशिक हिस्सा. प्रविष्टि \(2\frac(2)(3) \) को इस तरह पढ़ा जाता है: "दो और दो तिहाई"।

संख्या 8 को संख्या 3 से विभाजित करने पर दो उत्तर मिलते हैं: \(\frac(8)(3) \) और \(2\frac(2)(3) \)। वे एक ही भिन्नात्मक संख्या को व्यक्त करते हैं, अर्थात \(\frac(8)(3) = 2 \frac(2)(3) \)

इस प्रकार, अनुचित भिन्न \(\frac(8)(3) \) को मिश्रित भिन्न \(2\frac(2)(3) \) के रूप में दर्शाया जाता है। ऐसे मामलों में कहा जाता है कि अनुचित अंश पूरी तरह से अलग कर दिया.

भिन्नों का घटाव (आंशिक संख्या)

भिन्नात्मक संख्याओं के साथ-साथ प्राकृतिक संख्याओं का घटाव, जोड़ की क्रिया के आधार पर निर्धारित किया जाता है: एक संख्या से दूसरे को घटाने का अर्थ है एक संख्या को खोजना, जब दूसरे में जोड़ा जाता है, तो पहला देता है। उदाहरण के लिए:
\(\frac(8)(9)-\frac(1)(9) = \frac(7)(9) \) क्योंकि \(\frac(7)(9)+\frac(1)(9) = \frac(8)(9) \)

समान हर वाले भिन्नों को घटाने का नियम ऐसे भिन्नों को जोड़ने के नियम के समान है:
समान हर वाली भिन्नों के बीच का अंतर ज्ञात करने के लिए, पहले भिन्न के अंश में से दूसरी भिन्न का अंश घटाएँ और हर को वही छोड़ दें।

अक्षरों का प्रयोग करते हुए यह नियम इस प्रकार लिखा जाता है:
\(\बड़ा \frac(a)(c)-\frac(b)(c) = \frac(a-b)(c) \)

भिन्नों का गुणन

किसी भिन्न को भिन्न से गुणा करने के लिए, आपको उनके अंशों और हरों को गुणा करना होगा और पहले उत्पाद को अंश के रूप में और दूसरे को हर के रूप में लिखना होगा।

अक्षरों का प्रयोग करके भिन्नों को गुणा करने का नियम इस प्रकार लिखा जा सकता है:
\(\बड़ा \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d) = \frac(a \cdot c)(b \cdot d) \)

तैयार किए गए नियम का उपयोग करके, एक अंश को एक प्राकृतिक संख्या से, एक मिश्रित अंश से गुणा करना और मिश्रित अंशों को गुणा करना भी संभव है। ऐसा करने के लिए, आपको एक प्राकृत संख्या को भिन्न के रूप में लिखने की आवश्यकता है, जिसमें 1 का भाजक है, मिश्रित भिन्न को अनुचित भिन्न के रूप में।

अंश को कम करके और अनुचित अंश के पूर्णांक भाग को हाइलाइट करके गुणा के परिणाम को सरल (यदि संभव हो) किया जाना चाहिए।

भिन्नों के साथ-साथ प्राकृत संख्याओं के लिए, गुणन के क्रमविनिमेय और साहचर्य गुण मान्य हैं, साथ ही जोड़ के संबंध में गुणन का वितरण गुण भी मान्य है।

भिन्नों का विभाजन

अंश \(\frac(2)(3) \) लें और अंश और हर की अदला-बदली करके इसे "फ्लिप" करें। हमें भिन्न \(\frac(3)(2) \) प्राप्त होता है। इस अंश को कहा जाता है उल्टाभिन्न \(\frac(2)(3) \).

यदि अब हम भिन्न \(\frac(3)(2) \) को "उल्टा" करते हैं, तो हमें मूल भिन्न \(\frac(2)(3) \) प्राप्त होता है। इसलिए, \(\frac(2)(3) \) और \(\frac(3)(2) \) जैसे भिन्न कहलाते हैं परस्पर उलटा.

उदाहरण के लिए, भिन्न \(\frac(6)(5) \) और \(\frac(5)(6) \), \(\frac(7)(18) \) और \(\frac (18) )(7) \).

अक्षरों का प्रयोग करते हुए, परस्पर प्रतिलोम भिन्नों को इस प्रकार लिखा जा सकता है: \(\frac(a)(b) \) और \(\frac(b)(a) \)

यह स्पष्ट है कि पारस्परिक भिन्नों का गुणनफल 1 . है. उदाहरण के लिए: \(\frac(2)(3) \cdot \frac(3)(2) =1 \)

पारस्परिक भिन्नों का उपयोग करके, भिन्नों के विभाजन को गुणा में घटाया जा सकता है।

भिन्न को भिन्न से भाग देने का नियम:
एक भिन्न को दूसरे से विभाजित करने के लिए, आपको भाजक के व्युत्क्रम से लाभांश को गुणा करना होगा।

अक्षरों का प्रयोग करके भिन्नों को विभाजित करने का नियम इस प्रकार लिखा जा सकता है:
\(\बड़ा \frac(a)(b) : \frac(c)(d) = \frac(a)(b) \cdot \frac(d)(c) \)

यदि लाभांश या भाजक है प्राकृतिक संख्याया मिश्रित भिन्न, तो, भिन्नों को विभाजित करने के लिए नियम का उपयोग करने के लिए, इसे पहले एक अनुचित भिन्न के रूप में दर्शाया जाना चाहिए।