शंकु। छिन्नक। सीधा गोलाकार कोन

चावल। 1. जीवन की वस्तुएं जिनमें एक काटे गए शंकु का आकार होता है

आपको क्या लगता है कि ज्यामिति में नए आकार कहाँ से आते हैं? सब कुछ बहुत सरल है: जीवन में एक व्यक्ति समान वस्तुओं का सामना करता है और उन्हें कॉल करने के लिए आता है। उस पेडस्टल पर विचार करें जिस पर शेर सर्कस में बैठते हैं, गाजर का एक टुकड़ा, जो तब प्राप्त होता है जब हम इसका केवल एक हिस्सा काटते हैं, एक सक्रिय ज्वालामुखी और, उदाहरण के लिए, एक टॉर्च से प्रकाश (चित्र 1 देखें)।

चावल। 2. ज्यामितीय आकार

हम देखते हैं कि ये सभी आंकड़े एक समान आकार के हैं - नीचे और ऊपर दोनों तरफ से वे हलकों द्वारा सीमित हैं, लेकिन वे ऊपर की ओर संकीर्ण हैं (चित्र 2 देखें)।

चावल। 3. शंकु के शीर्ष को काटना

यह कोन जैसा दिखता है। बस टॉप गायब है। आइए मानसिक रूप से कल्पना करें कि हम एक शंकु लेते हैं और एक तेज तलवार के एक झूले से उसके ऊपरी हिस्से को काट देते हैं (चित्र 3 देखें)।

चावल। 4. कटा हुआ शंकु

यह सिर्फ हमारी आकृति निकला, इसे एक छोटा शंकु कहा जाता है (चित्र 4 देखें)।

चावल। 5. शंकु के आधार के समानांतर खंड

एक शंकु दिया जाए। आइए इस शंकु के आधार के समतल के समांतर एक तल बनाएं और शंकु को प्रतिच्छेद करें (चित्र 5 देखें)।

यह शंकु को दो निकायों में विभाजित करेगा: उनमें से एक एक छोटा शंकु है, और दूसरे को छोटा शंकु कहा जाता है (चित्र 6 देखें)।

चावल। 6. एक समानांतर खंड के साथ प्राप्त निकाय

इस प्रकार, एक छोटा शंकु अपने आधार और आधार के समानांतर एक समतल के बीच घिरे शंकु का एक हिस्सा है। जैसा कि एक शंकु के मामले में, एक काटे गए शंकु के आधार पर एक चक्र हो सकता है - इस मामले में इसे परिपत्र कहा जाता है। यदि मूल शंकु सीधा था, तो काटे गए शंकु को सीधा कहा जाता है। शंकुओं के मामले में, हम केवल सीधे गोलाकार छंटे हुए शंकुओं पर विचार करेंगे, जब तक कि यह विशेष रूप से संकेत नहीं दिया जाता है कि हम एक अप्रत्यक्ष छंटे हुए शंकु के बारे में बात कर रहे हैं या इसके आधारों में कोई वृत्त नहीं हैं।

चावल। 7. एक आयताकार चतुर्भुज का घूर्णन

हमारा वैश्विक विषय क्रांति के निकाय हैं। कटा हुआ शंकु कोई अपवाद नहीं है! याद कीजिए कि एक शंकु प्राप्त करने के लिए, हमने एक समकोण त्रिभुज पर विचार किया और उसे पाद के चारों ओर घुमाया? यदि परिणामी शंकु को आधार के समानांतर समतल द्वारा पार किया जाता है, तो त्रिभुज से एक आयताकार ट्रेपोजॉइड बना रहेगा। छोटे पार्श्व पक्ष के चारों ओर इसका घुमाव हमें एक छोटा शंकु देगा। फिर से ध्यान दें कि, वास्तव में, हम केवल एक लम्ब वृत्तीय शंकु के बारे में बात कर रहे हैं (चित्र 7 देखें)।

चावल। 8. एक काटे गए शंकु के आधार

आइए कुछ टिप्पणी करें। आधार पूर्ण शंकुऔर समतल द्वारा शंकु के खंड में प्राप्त वृत्त को काटे गए शंकु (निचले और ऊपरी) के आधार कहा जाता है (चित्र 8 देखें)।

चावल। 9. एक काटे गए शंकु के जनक

एक काटे गए शंकु के आधारों के बीच संलग्न एक पूर्ण शंकु के जनरेटर के खंडों को एक काटे गए शंकु के जनरेटर कहा जाता है। चूँकि मूल शंकु के सभी जनरेटर समान हैं और काटे गए शंकु के सभी जनरेटर समान हैं, तो काटे गए शंकु के जनरेटर समान हैं (काटे गए और काटे गए को भ्रमित न करें!)। इसलिए अक्षीय खंड के समद्विबाहु समलम्ब का अनुसरण करता है (चित्र 9 देखें)।

एक काटे गए शंकु के अंदर परिबद्ध घूर्णन के अक्ष के एक खंड को काटे गए शंकु का अक्ष कहा जाता है। यह खंड, निश्चित रूप से, इसके आधारों के केंद्रों को जोड़ता है (चित्र 10 देखें)।

चावल। 10. एक काटे गए शंकु का अक्ष

एक काटे गए शंकु की ऊंचाई एक आधार के एक बिंदु से दूसरे आधार तक खींचा गया लम्ब है। सबसे अधिक बार, इसकी धुरी को एक काटे गए शंकु की ऊंचाई माना जाता है।

चावल। 11. काटे गए शंकु का अक्षीय खंड

एक काटे गए शंकु का अक्षीय खंड उसकी धुरी से गुजरने वाला खंड है। यह एक चतुर्भुज जैसा दिखता है, थोड़ी देर बाद हम इसके समद्विबाहु सिद्ध करेंगे (चित्र 11 देखें)।

चावल। 12. परिचय संकेतन के साथ शंकु

काटे गए शंकु की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। काटे गए शंकु के आधारों की त्रिज्या और , और जनरेटर बराबर है (चित्र 12 देखें)।

चावल। 13. एक काटे गए शंकु के जेनरेट्रिक्स का अंकन

आइए हम काटे गए शंकु के पार्श्व सतह के क्षेत्र को मूल शंकु के पार्श्व सतहों के क्षेत्रों और काटे गए एक के बीच के अंतर के रूप में पाते हैं। ऐसा करने के लिए, हम काटे गए शंकु के जेनरेट्रिक्स द्वारा निरूपित करते हैं (चित्र 13 देखें)।

फिर वांछित।

चावल। 14. समान त्रिभुज

जताना बाकी है

ध्यान दें कि त्रिभुजों की समानता से, जहाँ से (चित्र 14 देखें)।

त्रिज्या के अंतर से विभाजित करके व्यक्त करना संभव होगा, लेकिन हमें इसकी आवश्यकता नहीं है, क्योंकि उत्पाद वांछित अभिव्यक्ति में प्रकट होता है। के बजाय प्रतिस्थापित करना, हमारे पास अंत में है: .

अब कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र प्राप्त करना कठिन नहीं है। ऐसा करने के लिए, बस दो आधार वृत्तों के क्षेत्रफलों को जोड़ें: .

चावल। 15. समस्या के लिए चित्रण

बता दें कि एक आयताकार ट्रेपेज़ॉइड को उसकी ऊँचाई के चारों ओर घुमाकर काटे गए शंकु को प्राप्त किया जाता है। ट्रेपेज़ॉइड की मध्य रेखा बराबर है, और बड़ी पार्श्व भुजा है (चित्र 15 देखें)। परिणामी छंटे हुए शंकु की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

समाधान

सूत्र से, हम जानते हैं कि .

शंकु का जेनरेट्रिक्स मूल ट्रेपेज़ॉइड का बड़ा हिस्सा होगा, यानी शंकु की त्रिज्या ट्रेपेज़ॉइड के आधार हैं। हम उन्हें ढूंढ नहीं सकते। लेकिन हमें इसकी आवश्यकता नहीं है: केवल उनकी राशि की आवश्यकता है, और ट्रेपोज़ॉइड के आधारों का योग इसकी मध्य रेखा से दोगुना है, अर्थात यह इसके बराबर है। तब ।

कृपया ध्यान दें कि जब हमने शंकु के बारे में बात की थी, तो हमने इसके और पिरामिड के बीच समानताएं खींची थीं - सूत्र समान थे। यह यहाँ भी ऐसा ही है, क्योंकि एक छोटा शंकु एक काटे गए पिरामिड के समान है, इसलिए काटे गए शंकु और पिरामिड के पार्श्व और पूर्ण सतहों के क्षेत्रों के लिए सूत्र (और जल्द ही मात्रा के लिए सूत्र होंगे) समान हैं .

चावल। 1. समस्या के लिए चित्रण

काटे गए शंकु के आधारों की त्रिज्या के बराबर है और , और जेनरेट्रिक्स के बराबर है। काटे गए शंकु की ऊँचाई और उसके अक्षीय खंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए (चित्र 1 देखें)।

एक बिंदु से निकलने वाली सभी किरणों के मिलन से प्राप्त ( चोटियोंशंकु) और एक सपाट सतह से गुजर रहा है। कभी-कभी एक शंकु को ऐसे शरीर का एक हिस्सा कहा जाता है, जो एक सपाट सतह के शीर्ष और बिंदुओं को जोड़ने वाले सभी खंडों के मिलन से प्राप्त होता है (इस मामले में उत्तरार्द्ध कहा जाता है) आधारशंकु, और शंकु कहा जाता है आधारितइस आधार पर)। इस मामले पर नीचे विचार किया जाएगा, जब तक कि अन्यथा न कहा गया हो। यदि शंकु का आधार बहुभुज है, तो शंकु पिरामिड बन जाता है।

"== संबंधित परिभाषाएँ ==

• शीर्ष और आधार की सीमा को जोड़ने वाले रेखा खंड को कहा जाता है शंकु का जेनरेट्रिक्स.
• एक शंकु के जनरेटर के मिलन को कहा जाता है Generatrix(या ओर) शंकु सतह. एक शंकु का जनक एक शंक्वाकार सतह है।
• आधार के तल (और ऐसे खंड की लंबाई) के शीर्ष से लंबवत रूप से गिराए गए खंड को कहा जाता है शंकु ऊंचाई.
• यदि शंकु के आधार में समरूपता का केंद्र है (उदाहरण के लिए, यह एक वृत्त या दीर्घवृत्त है) और आधार के तल पर शंकु के शीर्ष का ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण इस केंद्र के साथ मेल खाता है, तो शंकु कहा जाता है प्रत्यक्ष. शीर्ष और आधार के केंद्र को जोड़ने वाली रेखा कहलाती है शंकु अक्ष.
• परोक्ष (इच्छुक) शंकु - एक शंकु जिसमें आधार पर शीर्ष का ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण इसके समरूपता के केंद्र के साथ मेल नहीं खाता है।
• गोलाकार शंकुएक शंकु जिसका आधार एक वृत्त है।
• सीधा गोलाकार कोन(अक्सर केवल एक शंकु के रूप में संदर्भित) पैर वाली रेखा के चारों ओर एक समकोण त्रिभुज को घुमाकर प्राप्त किया जा सकता है (यह रेखा शंकु की धुरी का प्रतिनिधित्व करती है)।
• दीर्घवृत्त, परवलय या अतिपरवलय पर आधारित शंकु को क्रमशः कहा जाता है दीर्घ वृत्ताकार, अणुवृत्त आकार काऔर अतिशयोक्तिपूर्ण शंकु(अंतिम दो में अनंत मात्रा है)।
• शंकु का वह भाग जो आधार और आधार के समांतर तल के बीच तथा शीर्ष और आधार के बीच स्थित होता है, कहलाता है छोटा शंकु.

गुण

• यदि आधार का क्षेत्रफल परिमित है, तो शंकु का आयतन भी परिमित है और ऊँचाई के गुणनफल और आधार के क्षेत्रफल के एक तिहाई के बराबर है। इस प्रकार, सभी शंकु किसी दिए गए आधार पर टिके हुए हैं और आधार के समानांतर दिए गए समतल पर स्थित एक शीर्ष है समान मात्राक्योंकि उनकी ऊँचाई बराबर होती है।
• परिमित आयतन वाले किसी भी शंकु का गुरुत्वाकर्षण केंद्र आधार से ऊँचाई के एक चौथाई भाग पर स्थित होता है।
• एक लम्बवृत्तीय शंकु के शीर्ष पर ठोस कोण बराबर होता है

• ऐसे शंकु का पार्श्व सतह क्षेत्रफल के बराबर होता है

• एक वृत्ताकार शंकु का आयतन है

• एक लम्ब वृत्तीय शंकु के साथ समतल का प्रतिच्छेदन शंक्वाकार वर्गों में से एक है (गैर-पतित मामलों में, एक दीर्घवृत्त, परवलय या अतिपरवलय, छेदक तल की स्थिति पर निर्भर करता है)।

सामान्यीकरण

बीजगणितीय ज्यामिति में कोनक्षेत्र के ऊपर सदिश स्थान का एक मनमाना उपसमुच्चय है जिसके लिए, किसी के लिए

यह सभी देखें

• शंकु (टोपोलॉजी)

विकिमीडिया फाउंडेशन। 2010।

देखें कि "शंकु (ज्यामितीय आकृति)" अन्य शब्दकोशों में क्या है:

शंकु: गणित के शंकु में ज्यामितीय आकृति. एक सांस्थितिक स्थान पर एक शंकु। शंकु (श्रेणी सिद्धांत)। प्रौद्योगिकी में, शंकु मशीन टूल्स में एक उपकरण और एक धुरी को जोड़ने के लिए एक उपकरण विधि है। कोन डिवाइस नोड ... विकिपीडिया

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भाषण: शंकु। आधार, ऊंचाई, पार्श्व सतह, जेनरेट्रिक्स, विकास

कोन- यह एक पिंड है, जिसमें एक वृत्त होता है, जो आधार पर स्थित होता है, वृत्त के सभी बिंदुओं से समान दूरी पर होता है, साथ ही इस बिंदु (शीर्ष) को वृत्त पर स्थित सभी बिंदुओं से जोड़ने वाली रेखाओं से होता है।

कुछ प्रश्न पहले, हमने पिरामिड को देखा। तो कोन है विशेष मामलाइसके आधार पर एक चक्र के साथ एक पिरामिड। एक पिरामिड के लगभग सभी गुण शंकु के लिए भी उपयुक्त होते हैं।

आप एक शंकु कैसे प्राप्त कर सकते हैं? आखिरी सवाल याद रखें और हमें सिलेंडर कैसे मिला। अब एक समद्विबाहु त्रिभुज लें और इसे अपनी धुरी पर घुमाएं - आपको एक शंकु मिलेगा।

शंकु के जनरेटरवृत्त के बिंदुओं और शंकु के शीर्ष के बीच परिबद्ध खंड हैं। शंकु के जनरेटर एक दूसरे के बराबर होते हैं।

जेनरेट्रिक्स की लंबाई खोजने के लिए, आपको सूत्र का उपयोग करना चाहिए:

यदि सभी जनरेटर एक साथ जुड़े हुए हैं, तो हम प्राप्त कर सकते हैं पार्श्व सतहशंकु। इसकी सामान्य सतह में एक पार्श्व सतह और एक वृत्त के रूप में एक आधार होता है।

शंकु है ऊंचाई. इसे प्राप्त करने के लिए, आधार के केंद्र में, सीधे ऊपर से लंबवत को कम करने के लिए पर्याप्त है।

पार्श्व सतह क्षेत्र खोजने के लिए, सूत्र का उपयोग करें:

खोजने के लिए पूरा क्षेत्रएक शंकु की सतह, निम्न सूत्र का उपयोग करें।

परिभाषाएँ:
परिभाषा 1. शंकु
परिभाषा 2। गोलाकार शंकु
परिभाषा 3। शंकु ऊंचाई
परिभाषा 4. सीधा शंकु
परिभाषा 5। दायां गोलाकार शंकु
प्रमेय 1। शंकु के जनक
प्रमेय 1.1। शंकु का अक्षीय खंड

आयतन और क्षेत्र:
प्रमेय 2। एक शंकु का आयतन
प्रमेय 3। शंकु की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल

छिन्नक :
प्रमेय 4। आधार के समानांतर धारा
परिभाषा 6. काटे गए शंकु
प्रमेय 5। एक काटे गए शंकु का आयतन
प्रमेय 6। एक काटे गए शंकु की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल

परिभाषा
शरीर बाद में अपने शीर्ष और गाइड के विमान के बीच ली गई एक शंक्वाकार सतह से घिरा होता है, और समतल आधारएक बंद वक्र द्वारा गठित गाइड को शंकु कहा जाता है।

बुनियादी अवधारणाओं
एक गोलाकार शंकु एक पिंड होता है जिसमें एक वृत्त (आधार) होता है, एक बिंदु जो आधार (शीर्ष) के तल में स्थित नहीं होता है और आधार के बिंदुओं के साथ शीर्ष को जोड़ने वाले सभी खंड होते हैं।

एक लम्ब शंकु एक शंकु है जिसकी ऊँचाई में शंकु के आधार का केंद्र इसके आधार के रूप में होता है।

किसी रेखा (वक्र, टूटी या मिश्रित) पर विचार करें (उदाहरण के लिए, एल) किसी समतल में पड़ा हुआ है, और कोई मनमाना बिंदु (उदाहरण के लिए, M) इस तल में नहीं है। बिंदु M को दी गई रेखा के सभी बिंदुओं से जोड़ने वाली सभी संभावित रेखाएँ एल, प्रपत्र सतह जिसे विहित कहा जाता है. बिंदु M ऐसी सतह और दी गई रेखा का शीर्ष है एल - मार्गदर्शक. बिंदु M को रेखा के सभी बिंदुओं से जोड़ने वाली सभी रेखाएँ एल, बुलाया उत्पादक. एक विहित सतह अपने शीर्ष या गाइड द्वारा सीमित नहीं है। यह शिखर के दोनों किनारों पर अनिश्चित काल तक फैला हुआ है। अब गाइड को एक बंद उत्तल रेखा होने दें। यदि गाइड एक टूटी हुई रेखा है, तो उसके शीर्ष और गाइड के तल के बीच ली गई एक विहित सतह और गाइड के तल में एक सपाट आधार द्वारा बाद में बंधे शरीर को पिरामिड कहा जाता है।
यदि गाइड एक वक्र या एक मिश्रित रेखा है, तो उसके शीर्ष और गाइड के विमान के बीच एक कैनोनिकल सतह और गाइड के विमान में एक सपाट आधार के बीच पार्श्व रूप से बंधे शरीर को शंकु कहा जाता है या
परिभाषा 1 . एक शंकु एक शरीर है जिसमें एक आधार होता है - एक सपाट आकृति जो एक बंद रेखा (वक्र या मिश्रित) से बंधी होती है, एक शीर्ष - एक बिंदु जो आधार के तल में स्थित नहीं होता है, और शीर्ष को सभी संभव बिंदुओं से जोड़ने वाले सभी खंड आधार का।
शंकु के शीर्ष से होकर गुजरने वाली सभी रेखाएँ और वक्र का कोई भी बिंदु जो शंकु के आधार की आकृति को परिबद्ध करता है, शंकु के जनक कहलाते हैं। अक्सर, ज्यामितीय समस्याओं में, एक सीधी रेखा के जेनरेट्रिक्स का मतलब शंकु के आधार के शीर्ष और तल के बीच संलग्न इस सीधी रेखा का एक खंड होता है।
एक सीमित मिश्रित रेखा का निचला भाग एक बहुत ही दुर्लभ मामला है। इसे यहाँ केवल इसलिए सूचीबद्ध किया गया है क्योंकि इसे ज्यामिति में माना जा सकता है। घुमावदार गाइड वाला मामला अधिक बार माना जाता है। हालांकि, यह एक मनमाना वक्र वाला मामला है, कि एक मिश्रित गाइड वाला मामला बहुत कम उपयोग का है और उनमें किसी भी नियमितता को प्राप्त करना मुश्किल है। प्रारंभिक ज्यामिति के पाठ्यक्रम में शंकुओं की संख्या में से एक लम्बवृत्तीय शंकु का अध्ययन किया जाता है।

यह ज्ञात है कि एक वृत्त एक बंद घुमावदार रेखा का एक विशेष मामला है। एक वृत्त एक वृत्त से घिरा एक सपाट आकृति है। एक वृत्त को एक मार्गदर्शक के रूप में लेते हुए, आप एक वृत्ताकार शंकु को परिभाषित कर सकते हैं।
परिभाषा 2 . एक गोलाकार शंकु एक पिंड होता है जिसमें एक वृत्त (आधार) होता है, एक बिंदु जो आधार (शीर्ष) के तल में स्थित नहीं होता है और आधार के बिंदुओं के साथ शीर्ष को जोड़ने वाले सभी खंड होते हैं।
परिभाषा 3 . शंकु की ऊंचाई शीर्ष से शंकु के आधार के तल पर डाला गया लंब है। एक शंकु को आवंटित करना संभव है, जिसकी ऊंचाई आधार के फ्लैट आकृति के केंद्र में गिरती है।
परिभाषा 4 . एक लम्ब शंकु एक शंकु है जिसकी ऊँचाई में शंकु के आधार का केंद्र इसके आधार के रूप में होता है।
यदि हम इन दो परिभाषाओं को जोड़ते हैं, तो हमें एक शंकु मिलता है, जिसका आधार एक वृत्त है, और ऊँचाई इस वृत्त के केंद्र में आती है।
परिभाषा 5 . एक लम्ब वृत्तीय शंकु को एक शंकु कहा जाता है, जिसका आधार एक वृत्त है, और इसकी ऊँचाई इस शंकु के आधार के शीर्ष और केंद्र को जोड़ती है। ऐसा शंकु घुमाकर प्राप्त किया जाता है सही त्रिकोणएक पैर के आसपास। इसलिए, एक समवृत्तीय शंकु परिक्रमण का पिंड है और इसे परिक्रमण का शंकु भी कहा जाता है। जब तक अन्यथा न कहा जाए, संक्षिप्तता के लिए हम केवल एक शंकु कहते हैं।
तो यहाँ शंकु के कुछ गुण हैं:
प्रमेय 1. शंकु के सभी जनरेटर बराबर हैं। सबूत। एमओ की ऊंचाई आधार की सभी रेखाओं के लिए लंबवत है, परिभाषा के अनुसार, विमान के लिए लंबवत है। इसलिए, त्रिभुज MOA, MOV और MOS आयताकार हैं और दो पैरों में बराबर हैं (MO - सामान्य, OA \u003d OB \u003d OS - आधार त्रिज्या। इसलिए, कर्ण, यानी जनरेटर भी बराबर हैं।
शंकु के आधार की त्रिज्या को कभी-कभी कहा जाता है शंकु त्रिज्या. शंकु की ऊँचाई भी कहलाती है शंकु अक्ष, इसलिए ऊंचाई से गुजरने वाले किसी भी खंड को कहा जाता है अक्षीय खंड. कोई भी अक्षीय खंड आधार को व्यास में काटता है (क्योंकि सीधी रेखा जिसके साथ अक्षीय खंड और आधार का तल वृत्त के केंद्र से होकर गुजरता है) और एक समद्विबाहु त्रिभुज बनाता है।
प्रमेय 1.1। शंकु का अक्षीय खंड एक समद्विबाहु त्रिभुज है। तो त्रिभुज AMB समद्विबाहु है, क्योंकि। इसके दो पक्ष एमबी और एमए जनरेटर हैं। कोण AMB अक्षीय खंड के शीर्ष पर कोण है।