एक सिलेंडर ऑनलाइन कैलकुलेटर का कुल सतह क्षेत्र। सिलेंडर के क्षेत्रफल की गणना करने के उदाहरण

स्टीरियोमेट्री का अध्ययन करते समय, मुख्य विषयों में से एक "सिलेंडर" है। पार्श्व सतह क्षेत्र माना जाता है, यदि मुख्य नहीं है, तो ज्यामितीय समस्याओं को हल करने में एक महत्वपूर्ण सूत्र है। हालांकि, उन परिभाषाओं को याद रखना महत्वपूर्ण है जो आपको उदाहरणों को नेविगेट करने और विभिन्न प्रमेयों को साबित करने में मदद करेंगी।

एक सिलेंडर की अवधारणा

सबसे पहले, हमें कुछ परिभाषाओं पर विचार करने की आवश्यकता है। उनका अध्ययन करने के बाद ही कोई सिलेंडर की पार्श्व सतह के क्षेत्रफल के सूत्र के प्रश्न पर विचार करना शुरू कर सकता है। इस प्रविष्टि के आधार पर अन्य व्यंजकों की गणना की जा सकती है।

• एक बेलनाकार सतह को एक जेनरेटर द्वारा वर्णित एक विमान के रूप में समझा जाता है, जो एक मौजूदा वक्र के साथ सरकते हुए एक निश्चित दिशा के समानांतर चलती और शेष रहती है।
• एक दूसरी परिभाषा भी है: एक बेलनाकार सतह किसी दिए गए वक्र को प्रतिच्छेद करने वाली समानांतर रेखाओं के एक समूह द्वारा बनाई जाती है।
• जेनरेट्रिक्स को पारंपरिक रूप से सिलेंडर की ऊंचाई कहा जाता है। जब यह आधार के केंद्र से गुजरने वाली धुरी के चारों ओर घूमता है, तो एक निर्दिष्ट ज्यामितीय शरीर प्राप्त होता है।
• एक अक्ष एक सीधी रेखा है जो आकृति के दोनों आधारों से होकर गुजरती है।
• एक सिलेंडर एक त्रिविमीय पिंड है जो एक प्रतिच्छेदन पार्श्व सतह और 2 समानांतर विमानों से घिरा होता है।

इस त्रि-आयामी आकृति की किस्में हैं:

1. वृत्ताकार से तात्पर्य एक बेलन से है, जिसका मार्गदर्शक एक वृत्त होता है। इसके मुख्य घटक आधार की त्रिज्या और जनक हैं। उत्तरार्द्ध आकृति की ऊंचाई के बराबर है।
2. एक सीधा सिलेंडर है। आकृति के आधारों पर जेनरेट्रिक्स की लंबवतता के कारण इसका नाम मिला।
3. तीसरा प्रकार एक बेवेल्ड सिलेंडर है। पाठ्यपुस्तकों में, आप इसके लिए एक और नाम भी पा सकते हैं - "एक बेवल बेस वाला गोलाकार सिलेंडर।" यह आंकड़ा आधार की त्रिज्या, न्यूनतम और . द्वारा निर्धारित किया जाता है ज्यादा से ज्यादा ऊंचाई.
4. एक समबाहु बेलन को एक वृत्ताकार तल के समान ऊँचाई और व्यास वाले पिंड के रूप में समझा जाता है।

कन्वेंशनों

परंपरागत रूप से, सिलेंडर के मुख्य "घटकों" को निम्नानुसार कहा जाता है:

• आधार की त्रिज्या R है (यह त्रिविमीय आकृति के समान मान को भी प्रतिस्थापित करती है)।
• जनक - एल.
• ऊंचाई - एच।
• आधार क्षेत्र एस मुख्य है (दूसरे शब्दों में, आपको निर्दिष्ट सर्कल पैरामीटर खोजने की आवश्यकता है)।
• बेवेल्ड सिलेंडर की ऊंचाई - एच 1, एच 2 (न्यूनतम और अधिकतम)।
• पार्श्व सतह क्षेत्र एस पक्ष है (यदि आप इसे खोलते हैं, तो आपको एक प्रकार का आयत मिलता है)।
• एक स्टीरियोमेट्रिक आकृति का आयतन V है।
• वर्ग पूरी सतह- एस।

स्टीरियोमेट्रिक आकृति के "घटक"

सिलेंडर का अध्ययन करते समय, पार्श्व सतह क्षेत्र एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। यह इस तथ्य के कारण है कि यह सूत्र कई अन्य, अधिक जटिल लोगों में शामिल है। इसलिए, सिद्धांत में अच्छी तरह से वाकिफ होना आवश्यक है।

आकृति के मुख्य घटक हैं:

1. पार्श्व सतह। जैसा कि आप जानते हैं, यह दिए गए वक्र के साथ जेनरेट्रिक्स की गति के कारण प्राप्त होता है।
2. पूरी सतह में मौजूदा बेस और साइड प्लेन शामिल हैं।
3. सिलेंडर का खंड, एक नियम के रूप में, एक आयत है जो आकृति की धुरी के समानांतर स्थित है। अन्यथा, इसे विमान कहा जाता है। यह पता चला है कि लंबाई और चौड़ाई अन्य आंकड़ों के अंशकालिक घटक हैं। तो, सशर्त रूप से, अनुभाग की लंबाई जनरेटर हैं। चौड़ाई - एक स्टीरियोमेट्रिक आकृति के समानांतर जीवा।
4. अक्षीय खंड का अर्थ है शरीर के केंद्र के माध्यम से विमान का स्थान।
5. और अंत में, अंतिम परिभाषा। स्पर्शरेखा वह तल है जो बेलन के जेनेट्रिक्स से होकर और अक्षीय खंड के समकोण पर गुजरता है। इस मामले में, एक शर्त पूरी होनी चाहिए। निर्दिष्ट जेनरेटर को अक्षीय खंड के तल में शामिल किया जाना चाहिए।

सिलेंडर के साथ काम करने के लिए बुनियादी सूत्र

एक सिलेंडर के सतह क्षेत्र को कैसे खोजना है, इस सवाल का जवाब देने के लिए, एक स्टीरियोमेट्रिक आकृति के मुख्य "घटकों" और उन्हें खोजने के लिए सूत्रों का अध्ययन करना आवश्यक है।

ये सूत्र इस मायने में भिन्न हैं कि पहले बेवल वाले सिलेंडर के लिए भाव दिए गए हैं, और फिर सीधे वाले के लिए।

टूटा समाधान उदाहरण

आपको बेलन की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल ज्ञात करना है। खंड AC = 8 सेमी का विकर्ण दिया गया है (इसके अलावा, यह अक्षीय है)। जेनरेटर के संपर्क में आने पर पता चलता है< ACD = 30°

समाधान। चूँकि विकर्ण और कोण के मान ज्ञात हैं, तो इस स्थिति में:

• सीडी = एसी*कॉस 30°।

टिप्पणी। त्रिभुज एसीडी, में विशिष्ट उदाहरण, आयताकार। इसका मतलब है कि सीडी और एसी को विभाजित करने का भागफल = दिए गए कोण की कोज्या। अर्थ त्रिकोणमितीय फलनएक विशेष तालिका में पाया जा सकता है।

इसी तरह, आप AD मान पा सकते हैं:

• AD = AC*sin 30°

अब निम्नलिखित सूत्र के अनुसार वांछित परिणाम की गणना करना आवश्यक है: सिलेंडर की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल "पाई", आकृति की त्रिज्या और इसकी ऊंचाई को गुणा करने के परिणाम के दोगुने के बराबर है। एक अन्य सूत्र का भी उपयोग किया जाना चाहिए: सिलेंडर के आधार का क्षेत्र। यह त्रिज्या के वर्ग से "पाई" को गुणा करने के परिणाम के बराबर है। और अंत में, अंतिम सूत्र: कुल सतह क्षेत्र। यह पिछले दो क्षेत्रों के योग के बराबर है।

सिलेंडर दिए। उनका आयतन = 128 * n सेमी³। किस सिलेंडर का कुल क्षेत्रफल सबसे छोटा है?

समाधान। सबसे पहले आपको किसी आकृति का आयतन और उसकी ऊँचाई ज्ञात करने के लिए सूत्रों का उपयोग करना होगा।

चूंकि सिलेंडर का कुल सतह क्षेत्र सिद्धांत से जाना जाता है, इसलिए इसका सूत्र लागू करना आवश्यक है।

यदि हम परिणामी सूत्र को सिलेंडर के क्षेत्र के एक कार्य के रूप में मानते हैं, तो न्यूनतम "घातांक" चरम बिंदु पर पहुंच जाएगा। अंतिम मूल्य प्राप्त करने के लिए, आपको भेदभाव का उपयोग करने की आवश्यकता है।

डेरिवेटिव खोजने के लिए सूत्रों को एक विशेष तालिका में देखा जा सकता है। भविष्य में, पाया गया परिणाम शून्य के बराबर होता है और समीकरण का हल मिल जाता है।

उत्तर: एस मिनट एच = 1/32 सेमी, आर = 64 सेमी पर पहुंच जाएगा।

एक स्टीरियोमेट्रिक आकृति दी गई है - एक सिलेंडर और एक खंड। उत्तरार्द्ध को इस तरह से किया जाता है कि यह स्टीरियोमेट्रिक बॉडी की धुरी के समानांतर स्थित होता है। सिलेंडर में निम्नलिखित पैरामीटर हैं: वीके = 17 सेमी, एच = 15 सेमी, आर = 5 सेमी। अनुभाग और अक्ष के बीच की दूरी का पता लगाना आवश्यक है।

चूँकि एक बेलन के अनुप्रस्थ काट को VSKM, यानी एक आयत समझा जाता है, तो उसकी भुजा = h होती है। डब्ल्यूएमसी पर विचार किया जाना चाहिए। त्रिभुज आयताकार है। इस कथन के आधार पर हम सही धारणा निकाल सकते हैं कि MK = BC है।

वीके² = वीएम² + एमके²

एमके² = वीके² - वीएम²

एमके² = 17² - 15²

इससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि एमके \u003d ईसा पूर्व \u003d 8 सेमी।

अगला कदम आकृति के आधार के माध्यम से एक खंड खींचना है। परिणामी विमान पर विचार करना आवश्यक है।

AD स्टीरियोमेट्रिक आकृति का व्यास है। यह समस्या कथन में उल्लिखित खंड के समानांतर है।

BC मौजूदा आयत के तल पर स्थित एक सीधी रेखा है।

ABCD एक समलम्ब है। किसी विशेष मामले में, इसे समद्विबाहु माना जाता है, क्योंकि इसके चारों ओर एक वृत्त का वर्णन किया गया है।

यदि आप परिणामी समलंब की ऊँचाई ज्ञात करते हैं, तो आप समस्या की शुरुआत में दिए गए उत्तर को प्राप्त कर सकते हैं। अर्थात्: अक्ष और खींचे गए खंड के बीच की दूरी का पता लगाना।

ऐसा करने के लिए, आपको AD और OS के मान ज्ञात करने होंगे।

उत्तर: खंड अक्ष से 3 सेमी की दूरी पर स्थित है।

सामग्री को ठीक करने के लिए कार्य

सिलेंडर दिया। पार्श्व सतह क्षेत्र का उपयोग आगे के समाधान में किया जाता है। अन्य विकल्प ज्ञात हैं। आधार का क्षेत्रफल Q है, अक्षीय खंड का क्षेत्रफल M है। S को खोजना आवश्यक है। दूसरे शब्दों में, कुल क्षेत्रफलसिलेंडर।

सिलेंडर दिया। पार्श्व सतह क्षेत्र समस्या को हल करने के चरणों में से एक में पाया जाना चाहिए। यह ज्ञात है कि ऊँचाई = 4 सेमी, त्रिज्या = 2 सेमी। स्टीरियोमेट्रिक आकृति का कुल क्षेत्रफल ज्ञात करना आवश्यक है।

विज्ञान का नाम "ज्यामिति" का अनुवाद "पृथ्वी की माप" के रूप में किया गया है। यह बहुत पहले प्राचीन भूमि सर्वेक्षणकर्ताओं के प्रयासों से पैदा हुआ था। और यह इस तरह हुआ: पवित्र नील नदी की बाढ़ के दौरान, पानी की धाराएँ कभी-कभी किसानों के भूखंडों की सीमाओं को धो देती थीं, और नई सीमाएँ पुराने के साथ मेल नहीं खाती थीं। भूमि आवंटन के आकार के अनुपात में किसानों द्वारा फिरौन के खजाने में करों का भुगतान किया जाता था। स्पिल के बाद नई सीमाओं के भीतर कृषि योग्य भूमि के क्षेत्रों को मापने में विशेष लोग लगे हुए थे। उनकी गतिविधियों के परिणामस्वरूप ही एक नए विज्ञान का उदय हुआ, जिसका विकास भारत में हुआ प्राचीन ग्रीस. वहाँ उसने नाम प्राप्त किया, और व्यावहारिक रूप से हासिल कर लिया आधुनिक रूप. भविष्य में, यह शब्द फ्लैट और त्रि-आयामी आंकड़ों के विज्ञान के लिए अंतर्राष्ट्रीय नाम बन गया।

प्लानिमेट्री ज्यामिति की एक शाखा है जो समतल आकृतियों के अध्ययन से संबंधित है। विज्ञान की एक अन्य शाखा स्टीरियोमेट्री है, जो स्थानिक (वॉल्यूमेट्रिक) आंकड़ों के गुणों पर विचार करती है। इस लेख में वर्णित सिलेंडर भी ऐसे ही आंकड़ों से संबंधित है।

बेलनाकार वस्तुओं की उपस्थिति के उदाहरण रोजमर्रा की जिंदगीपर्याप्त। रोटेशन के लगभग सभी हिस्सों - शाफ्ट, झाड़ियों, गर्दन, धुरी, आदि में एक बेलनाकार (बहुत कम अक्सर - शंक्वाकार) आकार होता है। सिलेंडर का व्यापक रूप से निर्माण में उपयोग किया जाता है: टावर, सहायक, सजावटी कॉलम। और इसके अलावा, व्यंजन, कुछ प्रकार की पैकेजिंग, विभिन्न व्यास के पाइप। और अंत में - प्रसिद्ध टोपियां, जो लंबे समय से पुरुष लालित्य का प्रतीक बन गई हैं। असीमित सूची है।

एक ज्यामितीय आकृति के रूप में एक सिलेंडर की परिभाषा

एक सिलेंडर (गोलाकार सिलेंडर) को आमतौर पर दो वृत्तों से युक्त एक आकृति कहा जाता है, जो यदि वांछित है, तो समानांतर अनुवाद का उपयोग करके संयुक्त किया जाता है। ये वृत्त हैं जो बेलन के आधार हैं। लेकिन संबंधित बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखाएं (सीधे खंड) "जनरेटर" कहलाती हैं।

यह महत्वपूर्ण है कि सिलेंडर के आधार हमेशा बराबर हों (यदि यह शर्त पूरी नहीं होती है, तो हमारे पास है - छिन्नक, कुछ और, लेकिन सिलेंडर नहीं) और समानांतर विमानों में हैं। वृत्तों पर संगत बिंदुओं को जोड़ने वाले खंड समानांतर और बराबर होते हैं।

जनरेटर के अनंत सेट की समग्रता और कुछ नहीं है पार्श्व सतहसिलेंडर - इस ज्यामितीय आकृति के तत्वों में से एक। इसका अन्य महत्वपूर्ण घटक ऊपर चर्चा की गई मंडलियां हैं। उन्हें आधार कहा जाता है।

सिलेंडर के प्रकार

सबसे सरल और सबसे सामान्य प्रकार का सिलेंडर गोलाकार होता है। यह आधारों के रूप में कार्य करने वाले दो नियमित वृत्तों से बनता है। लेकिन उनकी जगह और भी आंकड़े हो सकते हैं।

बेलनों के आधार (वृत्तों को छोड़कर) दीर्घवृत्त और अन्य बंद आकृतियाँ बना सकते हैं। लेकिन जरूरी नहीं कि सिलेंडर का आकार बंद हो। उदाहरण के लिए, एक परवलय, एक अतिपरवलय, या कोई अन्य खुला फलन एक बेलन के आधार के रूप में कार्य कर सकता है। ऐसा सिलेंडर खुला या तैनात किया जाएगा।

जेनरेटर के आधारों के झुकाव के कोण के अनुसार, सिलेंडर सीधे या झुके हुए हो सकते हैं। एक दाहिने सिलेंडर के लिए, जनरेटर आधार के तल पर सख्ती से लंबवत होते हैं। यदि यह कोण 90° से भिन्न है, तो बेलन झुका हुआ है।

क्रांति की सतह क्या है

एक सही गोलाकार सिलेंडर बिना किसी संदेह के इंजीनियरिंग में उपयोग की जाने वाली क्रांति की सबसे आम सतह है। कभी-कभी, तकनीकी संकेतों के अनुसार, शंक्वाकार, गोलाकार और कुछ अन्य प्रकार की सतहों का उपयोग किया जाता है, लेकिन सभी घूर्णन शाफ्ट, एक्सल आदि का 99% हिस्सा होता है। सिलेंडर के रूप में बनाया गया है। क्रांति की सतह क्या है, इसे बेहतर ढंग से समझने के लिए, हम विचार कर सकते हैं कि सिलेंडर स्वयं कैसे बनता है।

मान लीजिए कि एक लाइन है एकलंबवत रखा। ABCD एक आयत है, जिसकी एक भुजा (खंड AB) एक सीधी रेखा पर स्थित है एक. यदि हम एक आयत को एक सीधी रेखा के चारों ओर घुमाते हैं, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है, तो घूर्णन करते समय वह जिस आयतन पर कब्जा करेगा, वह हमारा परिक्रमण पिंड होगा - ऊँचाई H = AB = DC और त्रिज्या R = AD = BC वाला एक लम्ब वृत्तीय बेलन।

इस मामले में, आकृति के घूर्णन के परिणामस्वरूप - एक आयत - एक सिलेंडर प्राप्त होता है। एक त्रिकोण को घुमाते हुए, आप एक शंकु प्राप्त कर सकते हैं, एक अर्धवृत्त को घुमाते हुए - एक गेंद, आदि।

सिलेंडर सतह क्षेत्र

एक साधारण सीधे गोलाकार सिलेंडर के सतह क्षेत्र की गणना करने के लिए, आधारों और पार्श्व सतह के क्षेत्रों की गणना करना आवश्यक है।

सबसे पहले, आइए देखें कि पार्श्व सतह क्षेत्र की गणना कैसे की जाती है। यह बेलन की परिधि और ऊँचाई का गुणनफल है। परिधि, बदले में, सार्वभौमिक संख्या के उत्पाद के दोगुने के बराबर है पीवृत्त की त्रिज्या तक।

एक वृत्त का क्षेत्रफल गुणनफल के बराबर माना जाता है पीत्रिज्या के वर्ग के लिए। तो, आधार क्षेत्र के लिए दो बार अभिव्यक्ति के साथ पार्श्व सतह को निर्धारित करने के क्षेत्र के लिए सूत्रों को जोड़ना (उनमें से दो हैं) और सरल बीजीय परिवर्तन करते हुए, हम सतह के क्षेत्र को निर्धारित करने के लिए अंतिम अभिव्यक्ति प्राप्त करते हैं सिलेंडर।

किसी आकृति का आयतन ज्ञात करना

बेलन का आयतन किसके द्वारा निर्धारित किया जाता है? मानक योजना: आधार की सतह का क्षेत्रफल ऊंचाई से गुणा किया जाता है।

इस प्रकार, अंतिम सूत्र इस तरह दिखता है: वांछित को सार्वभौमिक संख्या द्वारा शरीर की ऊंचाई के उत्पाद के रूप में परिभाषित किया जाता है पीऔर आधार त्रिज्या का वर्ग।

परिणामी सूत्र, यह कहा जाना चाहिए, सबसे अप्रत्याशित समस्याओं को हल करने के लिए लागू होता है। उसी तरह जैसे सिलेंडर का आयतन, उदाहरण के लिए, विद्युत तारों का आयतन निर्धारित किया जाता है। तारों के द्रव्यमान की गणना करने के लिए यह आवश्यक हो सकता है।

सूत्र में एकमात्र अंतर यह है कि एक सिलेंडर के त्रिज्या के बजाय, तारों के कोर का व्यास दो में विभाजित होता है, और तार में कोर की संख्या अभिव्यक्ति में दिखाई देती है एन. साथ ही, ऊंचाई के बजाय तार की लंबाई का उपयोग किया जाता है। इस प्रकार, "सिलेंडर" की मात्रा की गणना एक से नहीं, बल्कि ब्रैड में तारों की संख्या से की जाती है।

व्यवहार में अक्सर ऐसी गणनाओं की आवश्यकता होती है। आखिरकार, पानी की टंकियों का एक महत्वपूर्ण हिस्सा पाइप के रूप में बनाया जाता है। और घर में भी सिलेंडर की मात्रा की गणना करना अक्सर आवश्यक होता है।

हालांकि, जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, सिलेंडर का आकार भिन्न हो सकता है। और कुछ मामलों में यह गणना करना आवश्यक है कि झुके हुए सिलेंडर का आयतन किसके बराबर है।

अंतर यह है कि आधार के सतह क्षेत्र को जेनरेटर की लंबाई से गुणा नहीं किया जाता है, जैसा कि सीधे सिलेंडर के मामले में होता है, लेकिन विमानों के बीच की दूरी से - उनके बीच निर्मित एक लंबवत खंड।

जैसा कि चित्र से देखा जा सकता है, ऐसा खंड जेनरेटरिक्स की लंबाई के उत्पाद के बराबर है जो जेनरेटरिक्स के विमान के झुकाव के कोण के साइन द्वारा है।

सिलेंडर स्वीप का निर्माण कैसे करें

कुछ मामलों में, सिलेंडर रीमर को काटना आवश्यक है। नीचे दिया गया चित्र उन नियमों को दर्शाता है जिनके द्वारा दी गई ऊँचाई और व्यास वाले बेलन के निर्माण के लिए रिक्त स्थान बनाया जाता है।

कृपया ध्यान दें कि यह आंकड़ा बिना सीम के दिखाया गया है।

बेवेल्ड सिलेंडर अंतर

आइए कल्पना करें कि एक सीधा सिलेंडर जनरेटर के लंबवत एक विमान द्वारा एक तरफ घिरा हुआ है। लेकिन दूसरी तरफ सिलेंडर को बांधने वाला विमान जनरेटर के लंबवत नहीं है और पहले विमान के समानांतर नहीं है।

आंकड़ा एक बेवल वाले सिलेंडर को दर्शाता है। विमान एकजनरेटर से 90° के अलावा किसी अन्य कोण पर, आकृति को प्रतिच्छेद करता है।

पाइपलाइन कनेक्शन (कोहनी) के रूप में यह ज्यामितीय आकार व्यवहार में अधिक सामान्य है। लेकिन यहां तक ​​​​कि बेवल वाले सिलेंडर के रूप में बनी इमारतें भी हैं।

बेवेल्ड सिलेंडर की ज्यामितीय विशेषताएं

बेवल वाले सिलेंडर के विमानों में से एक का ढलान इस तरह की आकृति और इसकी मात्रा के सतह क्षेत्र दोनों की गणना के क्रम को थोड़ा बदल देता है।

त्रिज्या R और ऊँचाई h (चित्र 383) के साथ घूर्णन के एक बेलन पर विचार करें। इस बेलन के आधार पर हम एक नियमित बहुभुज (चित्र 383 - एक षट्भुज में) अंकित करेंगे और इसकी सहायता से हम निर्माण करेंगे सही प्रिज्मएक सिलेंडर में अंकित। इसी तरह, मनमाने ढंग से बड़ी संख्या में पार्श्व चेहरों वाले नियमित प्रिज्म को सिलेंडर के चारों ओर वर्णित किया जा सकता है।

परिभाषा के अनुसार, सिलेंडर की पार्श्व सतह के क्षेत्र को उस सीमा के रूप में लिया जाता है, जिसके आसपास अंकित और वर्णित नियमित प्रिज्म की पार्श्व सतहों के क्षेत्रों की संख्या दोगुनी (या यहां तक ​​​​कि बढ़ती) होती है। उनके पार्श्व चेहरे अनिश्चित काल तक।

तथ्य यह है कि ऐसी सीमा मौजूद है, अब हम साबित करेंगे। यदि हम आधार के रूप में नियमित -गॉन पर निर्मित एक उत्कीर्ण नियमित प्रिज्म लेते हैं, तो इसकी पार्श्व सतह के लिए हमारे पास अभिव्यक्ति होगी, जहां सिलेंडर के आधार के सर्कल में अंकित नियमित-गोन की परिधि है। पर । वर्णित प्रिज्म के लिए बिल्कुल वही गणना समान परिणाम देती है। तो, क्रांति के एक सिलेंडर की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल सूत्र द्वारा व्यक्त किया जाता है

बेलन की पार्श्व सतह आधार की परिधि (अर्थात परिधि) द्वारा जेनरेट्रिक्स की लंबाई के गुणनफल के बराबर होती है।

समस्या 1. बेलन के ऊपरी और निचले आधारों के व्यास के विपरीत बिंदुओं A और B को जोड़ने वाला खंड (चित्र 384) 10 सेमी है और आधार तल पर 60 ° के कोण पर झुका हुआ है। बेलन के पार्श्व पृष्ठ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

समाधान। आइए हम खंड ए के माध्यम से सिलेंडर के आधार पर लंबवत विमान द्वारा घटना को आकर्षित करें। त्रिभुज से हमारे पास है

जहाँ से हम बेलन की पार्श्व सतह पाते हैं

कार्य 2. त्रिभुज ABC, शीर्ष A और B जो बेलन के निचले आधार के व्यास के सिरे हैं, और शीर्ष C ऊपरी आधार के व्यास का सिरा है जो इसके लंबवत है, भुजा a के साथ समबाहु,

बेलन के पार्श्व और कुल सतहों का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। समाधान। बेलन के आधार की त्रिज्या त्रिभुज ABC की ऊँचाई के बराबर है (चित्र 385) के बराबर है और बेलन के जनक की गणना इस प्रकार की जाती है

अत: बेलन का पार्श्व पृष्ठ के बराबर है

और कुल सतह ( योग के बराबरपार्श्व सतह का क्षेत्रफल और सिलेंडर के दो आधारों का क्षेत्रफल) के बराबर है

अभ्यास

1. एक आयताकार समांतर चतुर्भुज के पार्श्व फलकों के विकर्ण आधार तल पर क्रमशः कोणों पर झुके होते हैं, . समानांतर चतुर्भुज के विकर्ण के समान तल पर झुकाव का कोण ज्ञात कीजिए।

2. एक समांतर चतुर्भुज में तेज़ कोनेआधार a के बराबर है, और आधार की एक भुजा a के बराबर है। इस तरफ से खींचे गए खंड और ऊपरी आधार के विपरीत किनारे का क्षेत्रफल Q है, और इसका तल एक कोण पर आधार के तल की ओर झुका हुआ है। समांतर चतुर्भुज का आयतन और कुल क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

3. एक झुके हुए त्रिभुजाकार प्रिज्म का आधार एक समद्विबाहु है सही त्रिकोण, और आधार के तल पर पार्श्व किनारों में से एक का प्रक्षेपण त्रिभुज के पैरों में से एक के मध्य मीटर के साथ मेल खाता है। यदि प्रिज्म का आयतन V है, तो आधार के तल पर पार्श्व किनारों के झुकाव का कोण ज्ञात कीजिए।

4. सही में हेक्सागोनल प्रिज्मआधार के किनारे के माध्यम से दो खंड खींचे गए हैं: 1) ऊपरी आधार के विपरीत पक्ष युक्त, 2) ऊपरी आधार के केंद्र से युक्त। प्रिज्म की किस ऊंचाई पर वर्गों के तलों के बीच के कोण का मान सबसे अधिक होता है और इस मामले में यह किसके बराबर होता है?

स्कूल में पढ़े गए क्रांति के पिंड एक सिलेंडर, एक शंकु और एक गेंद हैं।

यदि गणित में USE कार्य में आपको शंकु के आयतन या गोले के क्षेत्रफल की गणना करने की आवश्यकता है, तो अपने आप को भाग्यशाली समझें।

बेलन, शंकु और गोले के आयतन और पृष्ठीय क्षेत्रफल के लिए सूत्र लागू करें। वे सभी हमारी तालिका में हैं। कंठस्थ करना। यहीं से स्टीरियोमेट्री का ज्ञान शुरू होता है।

कभी-कभी शीर्ष दृश्य बनाना अच्छा होता है। या, जैसा कि इस समस्या में है, नीचे से।

2. एक नियमित चतुष्कोणीय पिरामिड के पास परिबद्ध शंकु का आयतन इस पिरामिड में अंकित शंकु के आयतन से कितनी गुना अधिक है?

सब कुछ सरल है - हम नीचे से एक दृश्य बनाते हैं। हम देखते हैं कि बड़े वृत्त की त्रिज्या छोटे वृत्त की त्रिज्या से कई गुना बड़ी होती है। दोनों शंकुओं की ऊँचाई समान है। अत: बड़े शंकु का आयतन उससे दुगना होगा।

दूसरा महत्वपूर्ण बिंदु. याद रखें कि गणित में यूएसई विकल्पों के भाग बी के कार्यों में, उत्तर एक पूर्णांक या परिमित के रूप में लिखा जाता है दशमलव अंश. इसलिए, आपके पास भाग बी में कोई या आपके उत्तर में नहीं होना चाहिए। संख्या के अनुमानित मूल्य को प्रतिस्थापित करना भी आवश्यक नहीं है! इसे कम किया जाना चाहिए! यह इसके लिए है कि कुछ कार्यों में कार्य तैयार किया जाता है, उदाहरण के लिए, इस प्रकार है: "सिलेंडर की पार्श्व सतह के क्षेत्र को विभाजित करके खोजें"।

और क्रांति के पिंडों के आयतन और सतह क्षेत्र के सूत्र और कहाँ उपयोग किए जाते हैं? बेशक, समस्या C2 (16) में। हम आपको इसके बारे में भी बताएंगे।

एक सिलेंडर एक ज्यामितीय शरीर है जो दो समानांतर विमानों और एक बेलनाकार सतह से घिरा होता है। लेख में, हम इस बारे में बात करेंगे कि सिलेंडर का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात किया जाए और, सूत्र का उपयोग करके, हम उदाहरण के लिए कई समस्याओं का समाधान करेंगे।

एक सिलेंडर में तीन सतहें होती हैं: एक शीर्ष, एक तल और एक पार्श्व सतह।

सिलेंडर के ऊपर और नीचे वृत्त हैं और परिभाषित करना आसान है।

यह ज्ञात है कि एक वृत्त का क्षेत्रफल πr 2 के बराबर होता है। इसलिए, दो वृत्तों (बेलन के ऊपर और नीचे) के क्षेत्रफल का सूत्र πr 2 + πr 2 = 2πr 2 जैसा दिखेगा।

सिलेंडर की तीसरी, पार्श्व सतह, सिलेंडर की घुमावदार दीवार है। इस सतह का बेहतर प्रतिनिधित्व करने के लिए, आइए इसे पहचानने योग्य आकार प्राप्त करने के लिए इसे बदलने का प्रयास करें। कल्पना कीजिए कि एक सिलेंडर एक साधारण टिन कैन है जिसमें ऊपर का ढक्कन और तल नहीं होता है। आइए जार के ऊपर से नीचे तक साइड की दीवार पर एक ऊर्ध्वाधर चीरा बनाते हैं (आकृति में चरण 1) और परिणामी आकृति को जितना संभव हो उतना खोलने (सीधा) करने का प्रयास करें (चरण 2)।

परिणामी जार के पूर्ण उद्घाटन के बाद, हम एक परिचित आकृति (चरण 3) देखेंगे, यह एक आयत है। एक आयत के क्षेत्रफल की गणना करना आसान है। लेकिन उससे पहले, आइए एक पल के लिए मूल सिलेंडर पर लौटते हैं। मूल बेलन का शीर्ष एक वृत्त है, और हम जानते हैं कि परिधि की गणना सूत्र द्वारा की जाती है: L = 2πr। यह चित्र में लाल रंग से अंकित है।

जब बेलन की पार्श्व दीवार को पूरी तरह से फैला दिया जाता है, तो हम देखते हैं कि परिधि परिणामी आयत की लंबाई बन जाती है। इस आयत की भुजाएँ परिधि (L = 2πr) और बेलन की ऊँचाई (h) होंगी। एक आयत का क्षेत्रफल उसकी भुजाओं के गुणनफल के बराबर होता है - S = लंबाई x चौड़ाई = L x h = 2πr x h = 2πrh। नतीजतन, हमने सिलेंडर के पार्श्व सतह क्षेत्र की गणना के लिए एक सूत्र प्राप्त किया है।

एक सिलेंडर की पार्श्व सतह के क्षेत्रफल के लिए सूत्र
एस साइड = 2prh

एक बेलन का पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल

अंत में, यदि हम तीनों सतहों के क्षेत्रफल को जोड़ दें, तो हमें एक बेलन के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र प्राप्त होता है। सिलेंडर का सतह क्षेत्र सिलेंडर के शीर्ष के क्षेत्र के बराबर है + सिलेंडर के आधार का क्षेत्रफल + सिलेंडर की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल या S = πr 2 + r 2 + 2πrh = 2πr 2 + 2πrh। कभी-कभी यह व्यंजक समान सूत्र 2πr (r + h) द्वारा लिखा जाता है।

एक बेलन के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र
एस = 2πr 2 + 2πrh = 2πr (आर + एच)
r बेलन की त्रिज्या है, h बेलन की ऊंचाई है

एक सिलेंडर के सतह क्षेत्र की गणना के उदाहरण

उपरोक्त सूत्रों को समझने के लिए, आइए उदाहरणों का उपयोग करके एक सिलेंडर के सतह क्षेत्र की गणना करने का प्रयास करें।

1. बेलन के आधार की त्रिज्या 2 है, ऊँचाई 3 है। बेलन की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

कुल सतह क्षेत्र की गणना सूत्र द्वारा की जाती है: एस पक्ष। = 2prh

एस साइड = 2 * 3.14 * 2 * 3

एस साइड = 6.28 * 6

एस साइड = 37.68

सिलेंडर का पार्श्व सतह क्षेत्र 37.68 है।

2. एक बेलन का पृष्ठीय क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें यदि उसकी ऊँचाई 4 है और त्रिज्या 6 है?

कुल सतह क्षेत्र की गणना सूत्र द्वारा की जाती है: S = 2πr 2 + 2πrh

एस = 2 * 3.14 * 6 2 + 2 * 3.14 * 6 * 4

एस = 2 * 3.14 * 36 + 2 * 3.14 * 24