एक सीधे पिरामिड का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल है शंकु के पार्श्व और पूर्ण सतह का क्षेत्रफल

इस पाठ में:

• कार्य 1. क्षेत्र खोजें पूरी सतहपिरामिड
• कार्य 2. एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए

संबंधित सामग्री भी देखें:
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टिप्पणी . यदि आपको ज्यामिति में एक समस्या को हल करने की आवश्यकता है, जो यहां नहीं है - इसके बारे में फोरम में लिखें। कार्यों में "वर्गमूल" चिह्न के स्थान पर sqrt () फ़ंक्शन का उपयोग किया जाता है, जिसमें sqrt प्रतीक है वर्गमूल, और मूल अभिव्यक्ति को कोष्ठकों में दर्शाया गया है। सरल मूल भावों के लिए, "√" चिह्न का उपयोग किया जा सकता है.

कार्य 1. एक नियमित पिरामिड का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए

एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड के आधार की ऊंचाई 3 सेमी है, और पक्ष के चेहरे और पिरामिड के आधार के बीच का कोण 45 डिग्री है।
पिरामिड का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए

समाधान.

एक नियमित त्रिभुजाकार पिरामिड के आधार पर एक समबाहु त्रिभुज होता है।
इसलिए, समस्या को हल करने के लिए, हम एक नियमित त्रिभुज के गुणों का उपयोग करते हैं:

हम त्रिभुज की ऊँचाई जानते हैं, जहाँ से हम उसका क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं।
एच = √3/2a
ए = एच / (√3/2)
ए = 3 / (√3/2)
ए = 6 / 3

जहां से आधार का क्षेत्रफल बराबर होगा:
एस = √3/4 ए 2
एस = √3/4 (6 / √3) 2
एस = 3√3

पार्श्व फलक का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, हम ऊँचाई KM की गणना करते हैं। समस्या कथन के अनुसार OKM कोण 45 डिग्री है।
इस तरह:
ओके / एमके = क्योंकि 45
आइए त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों की तालिका का उपयोग करें और ज्ञात मूल्यों को प्रतिस्थापित करें।

ठीक / एमके = 2/2

हम इस बात को ध्यान में रखते हैं कि OK अंकित वृत्त की त्रिज्या के बराबर है। फिर
ठीक = √3/6 ए
ठीक = 3/6 * 6/√3 = 1

फिर
ठीक / एमके = 2/2
1 / एमके = √2/2
एमके = 2/√2

पार्श्व चेहरे का क्षेत्र तब ऊंचाई के आधे उत्पाद और त्रिभुज के आधार के बराबर होता है।
साइड = 1/2 (6 / 3) (2/√2) = 6/√6

इस प्रकार, पिरामिड का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल बराबर होगा
एस = 3√3 + 3 * 6/√6
एस = 3√3 + 18/√6

उत्तर: 3√3 + 18/√6

टास्क 2. एक नियमित पिरामिड का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए

एक नियमित त्रिभुजाकार पिरामिड में ऊंचाई 10 सेमी और आधार की भुजा 16 सेमी . है . पार्श्व सतह क्षेत्र खोजें .

समाधान.

चूँकि एक नियमित त्रिभुजाकार पिरामिड का आधार एक समबाहु त्रिभुज है, तो AO आधार के चारों ओर परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या है।
(इससे अनुसरण होता है)

एक समबाहु त्रिभुज के चारों ओर परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या उसके गुणों से ज्ञात होती है

जहां से एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड के किनारों की लंबाई बराबर होगी:
एएम 2 = एमओ 2 + एओ 2
पिरामिड की ऊंचाई को शर्त (10 सेमी), AO = 16√3/3 . से जाना जाता है
AM 2 = 100 + 256/3
पूर्वाह्न = (556/3)

पिरामिड की प्रत्येक भुजा एक समद्विबाहु त्रिभुज है। एक समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल नीचे दिए गए पहले सूत्र से ज्ञात होता है

एस = 1/2 * 16 वर्ग ((√(556/3) + 8) (√(556/3) - 8))
एस = 8 वर्ग ((556/3) - 64)
एस = 8 वर्ग (364/3)
एस = 16 वर्ग (91/3)

चूँकि एक नियमित पिरामिड के तीनों फलक समान होते हैं, पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल बराबर होगा
3एस = 48√ (91/3)

उत्तर: 48 √(91/3)

कार्य 3. एक नियमित पिरामिड का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए

एक नियमित त्रिभुजाकार पिरामिड की भुजा 3 सेमी है और पिरामिड के पार्श्व फलक और आधार के बीच का कोण 45 डिग्री है। पिरामिड का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए.

समाधान.
चूंकि पिरामिड नियमित है, इसके आधार पर एक समबाहु त्रिभुज है। तो आधार का क्षेत्रफल है


तो = 9 * 3/4

पार्श्व फलक का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, हम ऊँचाई KM की गणना करते हैं। समस्या कथन के अनुसार OKM कोण 45 डिग्री है।
इस तरह:
ओके / एमके = क्योंकि 45
आइए उपयोग करें

पिरामिड का सतह क्षेत्र। इस लेख में, हम आपके साथ नियमित पिरामिड की समस्याओं पर विचार करेंगे। आपको याद दिला दूं कि एक नियमित पिरामिड एक पिरामिड होता है जिसका आधार एक नियमित बहुभुज होता है, पिरामिड का शीर्ष इस बहुभुज के केंद्र में प्रक्षेपित होता है।

ऐसे पिरामिड का पार्श्व फलक एक समद्विबाहु त्रिभुज होता है।एक नियमित पिरामिड के शीर्ष से खींचे गए इस त्रिभुज की ऊंचाई को एपोथेम कहा जाता है, एसएफ एक एपोथेम है:

नीचे प्रस्तुत समस्याओं के प्रकार में संपूर्ण पिरामिड का पृष्ठीय क्षेत्रफल या उसकी पार्श्व सतह का क्षेत्रफल ज्ञात करना आवश्यक है। ब्लॉग पहले से ही नियमित पिरामिड के साथ कई समस्याओं पर विचार कर चुका है, जहां तत्वों (ऊंचाई, आधार किनारे, किनारे के किनारे) को खोजने के बारे में सवाल उठाया गया था।

पर कार्य का उपयोग करें, एक नियम के रूप में, नियमित त्रिकोणीय, चतुष्कोणीय और षट्कोणीय पिरामिड माने जाते हैं। मैंने नियमित पंचकोणीय और हेप्टागोनल पिरामिड के साथ कोई समस्या नहीं देखी है।

संपूर्ण सतह के क्षेत्रफल का सूत्र सरल है - आपको पिरामिड के आधार के क्षेत्रफल और उसकी पार्श्व सतह के क्षेत्रफल का योग ज्ञात करना होगा:

कार्यों पर विचार करें:

एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड के आधार की भुजाएँ 72 हैं, पार्श्व पसलियां 164 के बराबर हैं। इस पिरामिड का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

पिरामिड का सतह क्षेत्र पार्श्व सतह और आधार के क्षेत्रों के योग के बराबर है:

*पार्श्व पृष्ठ में समान क्षेत्रफल वाले चार त्रिभुज होते हैं। पिरामिड का आधार एक वर्ग है।

पिरामिड के किनारे के क्षेत्र का उपयोग करके गणना की जा सकती है:

इस प्रकार, पिरामिड का पृष्ठीय क्षेत्रफल है:

उत्तर: 28224

एक नियमित षट्कोणीय पिरामिड के आधार की भुजाएँ 22 हैं, भुजाएँ 61 हैं। इस पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

एक नियमित षट्कोणीय पिरामिड का आधार एक नियमित षट्भुज है।

इस पिरामिड के पार्श्व सतह क्षेत्र में 61.61 और 22 भुजाओं वाले समान त्रिभुजों के छह क्षेत्र हैं:

बगुला के सूत्र का उपयोग करके त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:

तो पार्श्व सतह क्षेत्र है:

उत्तर: 3240

*उपरोक्त समस्याओं में, पार्श्व फलक का क्षेत्रफल एक भिन्न त्रिभुज सूत्र का उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है, लेकिन इसके लिए आपको एपोटेम की गणना करने की आवश्यकता है।

27155. एक नियमित चतुष्कोणीय पिरामिड का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी आधार भुजाएँ 6 हैं और जिसकी ऊँचाई 4 है।

पिरामिड का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, हमें आधार का क्षेत्रफल और पार्श्व सतह का क्षेत्रफल ज्ञात करना होगा:

आधार का क्षेत्रफल 36 है, क्योंकि यह 6 भुजा वाला एक वर्ग है।

पार्श्व सतह में चार फलक होते हैं, जो समान त्रिभुज होते हैं। ऐसे त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आपको इसका आधार और ऊँचाई (एपोथेम) जानने की आवश्यकता है:

* एक त्रिभुज का क्षेत्रफल आधार के गुणनफल के आधे और इस आधार तक खींची गई ऊँचाई के बराबर होता है।

आधार ज्ञात है, यह छह के बराबर है। आइए ऊंचाई का पता लगाएं। एक समकोण त्रिभुज पर विचार करें (पीले रंग में हाइलाइट किया गया):

एक पैर 4 के बराबर है, क्योंकि यह पिरामिड की ऊंचाई है, दूसरा 3 के बराबर है, क्योंकि यह आधार के आधे किनारे के बराबर है. हम पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके कर्ण पा सकते हैं:

तो पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल है:

इस प्रकार, संपूर्ण पिरामिड का पृष्ठीय क्षेत्रफल है:

उत्तर: 96

27069. एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड के आधार की भुजाएँ 10 हैं, भुजाएँ 13 हैं। इस पिरामिड का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

27070. एक नियमित षट्कोणीय पिरामिड के आधार की भुजाएँ 10 हैं, भुजाएँ 13 हैं। इस पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

एक नियमित पिरामिड के पार्श्व सतह क्षेत्र के लिए सूत्र भी हैं। एक नियमित पिरामिड में, आधार पार्श्व सतह का एक ओर्थोगोनल प्रक्षेपण है, इसलिए:

पी- आधार की परिधि, मैं- पिरामिड का एपोथेम

*यह सूत्र त्रिभुज के क्षेत्रफल के सूत्र पर आधारित है।

यदि आप इस बारे में अधिक जानना चाहते हैं कि ये सूत्र कैसे प्राप्त होते हैं, तो इसे देखना न भूलें, लेखों के प्रकाशन का अनुसरण करें।बस इतना ही। आप सौभाग्यशाली हों!

साभार, अलेक्जेंडर क्रुतित्सकिख।

पुनश्च: यदि आप सोशल नेटवर्क में साइट के बारे में बताएंगे तो मैं आभारी रहूंगा।

अनुदेश

सबसे पहले यह समझने योग्य है कि पार्श्व सतहपिरामिड को कई त्रिभुजों द्वारा दर्शाया जाता है, जिनके क्षेत्रों को ज्ञात आंकड़ों के आधार पर विभिन्न प्रकार के सूत्रों का उपयोग करके पाया जा सकता है:

एस \u003d (ए * एच) / 2, जहां एच ऊंचाई को एक तरफ कम किया जाता है;

S = a*b*sinβ, जहाँ a, b त्रिभुज की भुजाएँ हैं, और β इन भुजाओं के बीच का कोण है;

S \u003d (r * (a + b + c)) / 2, जहाँ a, b, c त्रिभुज की भुजाएँ हैं, और r इस त्रिभुज में अंकित वृत्त की त्रिज्या है;

एस \u003d (ए * बी * सी) / 4 * आर, जहां आर सर्कल के चारों ओर वर्णित त्रिभुज की त्रिज्या है;

एस \u003d (ए * बी) / 2 \u003d आर² + 2 * आर * आर (यदि त्रिभुज समकोण है);

एस = एस = (a²*√3)/4 (यदि त्रिभुज समबाहु है)।

वास्तव में, ये किसी त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के ज्ञात सूत्रों में से केवल सबसे बुनियादी सूत्र हैं।

गणना करने के बाद, उपरोक्त सूत्रों का उपयोग करके, सभी त्रिभुजों के क्षेत्र जो पिरामिड के चेहरे हैं, आप इस पिरामिड के क्षेत्र की गणना करना शुरू कर सकते हैं। यह अत्यंत सरलता से किया जाता है: आपको उन सभी त्रिभुजों के क्षेत्रफलों को जोड़ने की आवश्यकता है जो पिरामिड की पार्श्व सतह बनाते हैं। इसे इस प्रकार सूत्र में व्यक्त किया जा सकता है:

Sp = Si, जहाँ Sp पार्श्व क्षेत्र है, Si i-वें त्रिभुज का क्षेत्रफल है, जो इसकी पार्श्व सतह का भाग है।

अधिक स्पष्टता के लिए, हम एक छोटे से उदाहरण पर विचार कर सकते हैं: एक नियमित पिरामिड दिया गया है, जिसके पार्श्व फलक समबाहु त्रिभुजों द्वारा बनते हैं, और इसके आधार पर एक वर्ग होता है। इस पिरामिड के किनारे की लंबाई 17 सेमी है।इस पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल ज्ञात करना आवश्यक है।

हल: इस पिरामिड के किनारे की लंबाई ज्ञात है, ज्ञात है कि इसके फलक समबाहु त्रिभुज हैं। इस प्रकार, हम कह सकते हैं कि पार्श्व सतह के सभी त्रिभुजों की सभी भुजाएँ 17 सेमी हैं। इसलिए, इनमें से किसी भी त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, आपको सूत्र लागू करना होगा:

एस = (17²*√3)/4 = (289*1.732)/4 = 125.137 सेमी²

यह ज्ञात है कि पिरामिड के आधार पर एक वर्ग है। इस प्रकार, यह स्पष्ट है कि चार समबाहु त्रिभुज दिए गए हैं। फिर पिरामिड की पार्श्व सतह के क्षेत्रफल की गणना निम्नानुसार की जाती है:

125.137 सेमी² * 4 = 50.548 सेमी²

उत्तर: पिरामिड का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल 500.548 सेमी² है।

सबसे पहले, हम पिरामिड की पार्श्व सतह के क्षेत्रफल की गणना करते हैं। पार्श्व सतह सभी पार्श्व चेहरों के क्षेत्रों का योग है। यदि आप एक नियमित पिरामिड के साथ काम कर रहे हैं (अर्थात, जिसके आधार पर एक नियमित बहुभुज है, और शीर्ष को इस बहुभुज के केंद्र में प्रक्षेपित किया गया है), तो पूरे पक्ष की सतह की गणना करने के लिए, यह परिधि को गुणा करने के लिए पर्याप्त है आधार का (अर्थात, आधार पिरामिड पर स्थित बहुभुज के सभी पक्षों की लंबाई का योग) पक्ष के चेहरे की ऊंचाई (अन्यथा एपोथेम कहा जाता है) से और परिणामी मान को 2 से विभाजित करें: Sb = 1/2P *एच, जहां एसबी पार्श्व सतह का क्षेत्र है, पी आधार की परिधि है, एच पार्श्व चेहरे (एपोथेम) की ऊंचाई है।

यदि आपके सामने एक मनमाना पिरामिड है, तो आपको सभी चेहरों के क्षेत्रों की अलग-अलग गणना करनी होगी, और फिर उन्हें जोड़ना होगा। चूँकि पिरामिड के पार्श्व फलक त्रिभुज हैं, त्रिभुज के क्षेत्रफल के लिए सूत्र का उपयोग करें: S=1/2b*h, जहाँ b त्रिभुज का आधार है और h ऊँचाई है। जब सभी फलकों के क्षेत्रफलों की गणना की जाती है, तो उन्हें केवल पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल प्राप्त करने के लिए जोड़ना शेष रह जाता है।

फिर आपको पिरामिड के आधार के क्षेत्र की गणना करने की आवश्यकता है। गणना के लिए सूत्र का चुनाव इस बात पर निर्भर करता है कि पिरामिड के आधार पर कौन सा बहुभुज स्थित है: सही (अर्थात, जिसकी सभी भुजाओं की लंबाई समान है) या गलत। एक नियमित बहुभुज के क्षेत्र की गणना बहुभुज में अंकित वृत्त की त्रिज्या से परिधि को गुणा करके और परिणामी मान को 2 से विभाजित करके की जा सकती है: Sn = 1/2P*r, जहां Sn का क्षेत्रफल है बहुभुज, P परिधि है, और r बहुभुज में अंकित वृत्त की त्रिज्या है।

एक छोटा पिरामिड एक पिरामिड द्वारा गठित एक पॉलीहेड्रॉन होता है और इसका खंड आधार के समानांतर होता है। पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल ज्ञात करना बिल्कुल भी कठिन नहीं है। यह बहुत ही सरल है: क्षेत्रफल, आधारों के योग के आधे के गुणनफल के बराबर है। पार्श्व सतह क्षेत्र की गणना के एक उदाहरण पर विचार करें। मान लीजिए कि एक नियमित पिरामिड दिया गया है। आधार की लंबाई बी = 5 सेमी, सी = 3 सेमी है। एपोथेम ए = 4 सेमी। पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल खोजने के लिए, आपको पहले आधारों की परिधि का पता लगाना होगा। एक बड़े आधार में, यह p1=4b=4*5=20 cm के बराबर होगा। छोटे आधार में, सूत्र इस प्रकार होगा: p2=4c=4*3=12 cm इसलिए, क्षेत्रफल होगा के बराबर: s=1/2(20+12 )*4=32/2*4=64 सेमी.

यदि एक अनियमित बहुभुज पिरामिड के आधार पर स्थित है, तो संपूर्ण आकृति के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, आपको पहले बहुभुज को त्रिभुजों में तोड़ना होगा, प्रत्येक के क्षेत्रफल की गणना करनी होगी, और फिर जोड़ना होगा। अन्य मामलों में, पिरामिड की पार्श्व सतह को खोजने के लिए, आपको इसके प्रत्येक पार्श्व फलक का क्षेत्रफल ज्ञात करना होगा और परिणाम जोड़ना होगा। कुछ मामलों में, पिरामिड की पार्श्व सतह को खोजने का कार्य आसान बनाया जा सकता है। यदि एक पार्श्व फलक आधार के लंबवत है, या दो आसन्न पार्श्व फलक आधार के लंबवत हैं, तो पिरामिड के आधार को इसकी पार्श्व सतह के एक भाग का एक ओर्थोगोनल प्रक्षेपण माना जाता है, और वे सूत्रों द्वारा संबंधित होते हैं।

पिरामिड के सतह क्षेत्र की गणना को पूरा करने के लिए, पार्श्व सतह के क्षेत्रों और पिरामिड के आधार को जोड़ें।

एक पिरामिड एक बहुफलक होता है, जिसका एक फलक (आधार) एक मनमाना बहुभुज होता है, और शेष फलक (भुजाएँ) त्रिभुज होते हैं जिनमें . आधार के कोनों की संख्या के अनुसार, पिरामिड त्रिकोणीय (टेट्राहेड्रॉन), चतुष्कोणीय, और इसी तरह होते हैं।

पिरामिड एक बहुभुज के रूप में एक आधार के साथ एक बहुफलक है, और शेष फलक एक उभयनिष्ठ शीर्ष वाले त्रिभुज हैं। एपोथेम एक नियमित पिरामिड के पार्श्व चेहरे की ऊंचाई है, जो इसके शीर्ष से खींचा जाता है।

पिरामिड एक बहुफलक है, जिसका आधार एक बहुभुज है, और पार्श्व फलक ऐसे त्रिभुज हैं जिनमें एक उभयनिष्ठ शीर्ष है। वर्ग सतह पिरामिडपार्श्व के क्षेत्रों के योग के बराबर सतहऔर मैदान पिरामिड.

आपको चाहिये होगा

• कागज, कलम, कैलकुलेटर

अनुदेश

सबसे पहले, पक्ष के क्षेत्र की गणना करें सतह . पार्श्व सतह सभी पार्श्व चेहरों का योग है। यदि आप एक नियमित पिरामिड के साथ काम कर रहे हैं (अर्थात, जिसमें एक नियमित बहुभुज होता है, और शीर्ष इस बहुभुज के केंद्र में प्रक्षेपित होता है), तो पूरे पार्श्व की गणना करने के लिए सतहयह आधार की परिधि को गुणा करने के लिए पर्याप्त है (अर्थात, आधार पर स्थित बहुभुज के सभी पक्षों की लंबाई का योग पिरामिड) साइड फेस की ऊंचाई से (अन्यथा कहा जाता है) और परिणामी मान को 2 से विभाजित करें: Sb \u003d 1/2P * h, जहां Sb पक्ष का क्षेत्र है सतह, पी - आधार की परिधि, एच - साइड फेस की ऊंचाई (एपोथेम)।

यदि आपके सामने एक मनमाना पिरामिड है, तो आपको सभी चेहरों के क्षेत्रों की गणना करनी होगी, और फिर उन्हें जोड़ना होगा। क्योंकि पक्ष का सामना करना पड़ता है पिरामिडहैं , त्रिभुज के क्षेत्रफल के लिए सूत्र का उपयोग करें: S=1/2b*h, जहाँ b त्रिभुज का आधार है और h ऊँचाई है। जब सभी फलकों के क्षेत्रफलों की गणना की जाती है, तो यह केवल पार्श्व क्षेत्रफल प्राप्त करने के लिए उन्हें जोड़ने के लिए रहता है सतह पिरामिड.

फिर आपको आधार के क्षेत्र की गणना करने की आवश्यकता है पिरामिड. गणना के लिए विकल्प यह है कि क्या बहुभुज पिरामिड के आधार पर स्थित है: सही (अर्थात, जिसकी सभी भुजाएँ समान लंबाई की हों) या। वर्गएक नियमित बहुभुज की गणना बहुभुज में अंकित वृत्त की त्रिज्या से परिधि को गुणा करके और परिणामी मान को 2 से विभाजित करके की जा सकती है: Sn=1/2P*r, जहां Sn बहुभुज का क्षेत्रफल है, P है परिधि, और r बहुभुज में अंकित वृत्त की त्रिज्या है।

यदि आधार पर पिरामिडएक अनियमित बहुभुज है, फिर पूरे आंकड़े के क्षेत्र की गणना करने के लिए, आपको फिर से बहुभुज को त्रिकोणों में तोड़ना होगा, प्रत्येक के क्षेत्र की गणना करनी होगी, और फिर जोड़ना होगा।

क्षेत्र गणना को पूरा करने के लिए सतह पिरामिड, वर्गाकार भुजा को मोड़ें सतहऔर मैदान पिरामिड.

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बहुभुज दर्शाता है ज्यामितीय आकृति, पॉलीलाइन को बंद करके बनाया गया है। बहुभुज कई प्रकार के होते हैं, जो शीर्षों की संख्या के आधार पर भिन्न होते हैं। प्रत्येक प्रकार के बहुभुज के लिए कुछ निश्चित तरीकों से क्षेत्रफल की गणना की जाती है।

अनुदेश

यदि आपको एक वर्ग या आयत के क्षेत्र की गणना करने की आवश्यकता है, तो पक्षों की लंबाई गुणा करें। यदि आपको क्षेत्र जानने की आवश्यकता है सही त्रिकोण, इसे एक आयत तक बनाएँ, इसके क्षेत्रफल की गणना करें और इसे दो से विभाजित करें।

क्षेत्र की गणना करने के लिए निम्नलिखित विधि का उपयोग करें, यदि आकृति में 180 डिग्री (एक उत्तल बहुभुज) से अधिक नहीं है, जबकि इसके सभी कोने समन्वय ग्रिड में हैं, और स्वयं को नहीं काटते हैं।
ऐसे बहुभुज के चारों ओर एक आयत का वर्णन कीजिए जिससे उसकी भुजाएँ ग्रिड रेखाओं (निर्देशांक अक्षों) के समानांतर हों। इस स्थिति में, बहुभुज के कम से कम एक शीर्ष को आयत का शीर्ष होना चाहिए।

दो आधारों में केवल एक छोटा किया जा सकता है पिरामिड. इस मामले में, दूसरा आधार बड़े आधार के समानांतर एक खंड द्वारा बनता है पिरामिड. इनमें से एक खोजें मैदानयदि ज्ञात हो तो संभव है या दूसरे के रैखिक तत्व।

आपको चाहिये होगा

• - पिरामिड के गुण;
• - त्रिकोणमितीय फलन;
• - आंकड़ों की समानता;
• - बहुभुजों के क्षेत्रफल ज्ञात करना।

अनुदेश

यदि आधार एक नियमित त्रिभुज है, तो इसे खोजें वर्ग, भुजा के वर्ग को 3 के वर्गमूल से 4 से विभाजित करने पर गुणा करना। यदि आधार एक वर्ग है, तो उसकी भुजा को दूसरी घात तक बढ़ाएँ। सामान्य तौर पर, किसी भी नियमित बहुभुज के लिए, सूत्र S=(n/4) a² ctg(180º/n) लागू करें, जहां n एक नियमित बहुभुज की भुजाओं की संख्या है और a इसकी भुजा की लंबाई है।

सूत्र b=2 (a/(2 tg(180º/n))-h/tg(α)) tg(180º/n) का उपयोग करके छोटे आधार की भुजा ज्ञात कीजिए। यहाँ a बड़ा आधार है, h काटे गए की ऊँचाई है पिरामिड, α – द्विफलक कोणइसके आधार पर, n भुजाओं की संख्या है मैदान(यह ऐसा ही है)। दूसरे आधार का क्षेत्रफल पहले की तरह ही ज्ञात कीजिए, सूत्र में इसकी भुजा S = (n / 4) b² ctg (180º / n) की लंबाई का उपयोग करके।

यदि आधार अन्य प्रकार के बहुभुज हैं, तो इनमें से किसी एक की सभी भुजाएं मैदान, और दूसरे के पक्षों में से एक, फिर शेष पक्षों को समान रूप से परिकलित करें। उदाहरण के लिए, बड़े आधार की भुजाएँ 4, 6, 8 सेमी हैं। छोटे आधार की बड़ी भुजा 4 सेमी है। आनुपातिकता कारक की गणना करें, 4/8 = 2 (हम प्रत्येक में भुजाएँ लेते हैं) मैदान), और अन्य भुजाओं की गणना 6/2=3 सेमी, 4/2=2 सेमी करें। हमें भुजा के छोटे आधार पर भुजाएँ 2, 3, 4 सेमी प्राप्त होती हैं। अब इन्हें त्रिभुजों के क्षेत्रफल के रूप में परिकलित करें।

यदि काट-छाँट में संबंधित तत्वों का अनुपात ज्ञात हो, तो क्षेत्रफलों का अनुपात मैदानइन तत्वों के वर्गों के अनुपात के बराबर होगा। उदाहरण के लिए, यदि संबंधित पक्ष ज्ञात हैं मैदान a और a1, फिर a²/a1²=S/S1.

नीचे क्षेत्र पिरामिडआमतौर पर इसके पार्श्व या पूर्ण सतह के क्षेत्र को संदर्भित करता है। इस ज्यामितीय निकाय के आधार पर एक बहुभुज है। साइड फेसएक त्रिकोणीय आकार है। उनके पास एक सामान्य शीर्ष है, जो एक शीर्ष भी है पिरामिड.

आपको चाहिये होगा

• - कागज़;
• - एक कलम;
• - कैलकुलेटर;
• - दिए गए मापदंडों के साथ एक पिरामिड।

अनुदेश

कार्य में दिए गए पिरामिड पर विचार करें। निर्धारित करें कि क्या एक नियमित या अनियमित बहुभुज इसके आधार पर स्थित है। एक सही की सभी भुजाएँ समान होती हैं। इस मामले में क्षेत्र परिधि और त्रिज्या के आधे उत्पाद के बराबर है। भुजा l की लंबाई को n भुजाओं की संख्या से गुणा करके परिमाप ज्ञात कीजिए, अर्थात P=l*n। आधार का क्षेत्रफल सूत्र द्वारा व्यक्त किया जा सकता है तो \u003d 1/2P * r, जहाँ P परिधि है, और r खुदा हुआ वृत्त की त्रिज्या है।

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एक सिलेंडर एक ज्यामितीय शरीर है जो दो समानांतर विमानों और एक बेलनाकार सतह से घिरा होता है। लेख में, हम इस बारे में बात करेंगे कि सिलेंडर का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात किया जाए और, सूत्र का उपयोग करके, हम उदाहरण के लिए कई समस्याओं का समाधान करेंगे।

एक सिलेंडर में तीन सतहें होती हैं: एक शीर्ष, एक तल और एक पार्श्व सतह।

सिलेंडर के ऊपर और नीचे वृत्त हैं और परिभाषित करना आसान है।

यह ज्ञात है कि एक वृत्त का क्षेत्रफल πr 2 के बराबर होता है। इसलिए, दो वृत्तों (बेलन के ऊपर और नीचे) के क्षेत्रफल का सूत्र πr 2 + πr 2 = 2πr 2 जैसा दिखेगा।

सिलेंडर की तीसरी, पार्श्व सतह, सिलेंडर की घुमावदार दीवार है। इस सतह का बेहतर प्रतिनिधित्व करने के लिए, आइए इसे पहचानने योग्य आकार प्राप्त करने के लिए इसे बदलने का प्रयास करें। कल्पना कीजिए कि एक सिलेंडर एक साधारण टिन कैन है जिसमें ऊपर का ढक्कन और तल नहीं होता है। आइए जार के ऊपर से नीचे तक साइड की दीवार पर एक ऊर्ध्वाधर चीरा बनाते हैं (आकृति में चरण 1) और परिणामी आकृति को जितना संभव हो उतना खोलने (सीधा) करने का प्रयास करें (चरण 2)।

परिणामी जार के पूर्ण प्रकटीकरण के बाद, हम एक परिचित आकृति (चरण 3) देखेंगे, यह एक आयत है। एक आयत के क्षेत्रफल की गणना करना आसान है। लेकिन उससे पहले, आइए एक पल के लिए मूल सिलेंडर पर लौटते हैं। मूल बेलन का शीर्ष एक वृत्त है, और हम जानते हैं कि एक वृत्त की परिधि की गणना सूत्र द्वारा की जाती है: L = 2πr। यह चित्र में लाल रंग से अंकित है।

जब बेलन की पार्श्व दीवार को पूरी तरह से फैला दिया जाता है, तो हम देखते हैं कि परिधि परिणामी आयत की लंबाई बन जाती है। इस आयत की भुजाएँ परिधि (L = 2πr) और बेलन की ऊँचाई (h) होंगी। एक आयत का क्षेत्रफल उसकी भुजाओं के गुणनफल के बराबर होता है - S = लंबाई x चौड़ाई = L x h = 2πr x h = 2πrh। नतीजतन, हमने सिलेंडर के पार्श्व सतह क्षेत्र की गणना के लिए एक सूत्र प्राप्त किया है।

एक सिलेंडर की पार्श्व सतह के क्षेत्रफल के लिए सूत्र
एस साइड = 2prh

एक बेलन का पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल

अंत में, यदि हम तीनों सतहों के क्षेत्रफल को जोड़ दें, तो हमें एक बेलन के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र प्राप्त होता है। सिलेंडर का सतह क्षेत्र सिलेंडर के शीर्ष के क्षेत्र के बराबर है + सिलेंडर के आधार का क्षेत्रफल + सिलेंडर की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल या S = πr 2 + r 2 + 2πrh = 2πr 2 + 2πrh। कभी-कभी यह व्यंजक समान सूत्र 2πr (r + h) द्वारा लिखा जाता है।

एक बेलन के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र
एस = 2πr 2 + 2πrh = 2πr (आर + एच)
r बेलन की त्रिज्या है, h बेलन की ऊंचाई है

एक सिलेंडर के सतह क्षेत्र की गणना के उदाहरण

उपरोक्त सूत्रों को समझने के लिए, आइए उदाहरणों का उपयोग करके एक सिलेंडर के सतह क्षेत्र की गणना करने का प्रयास करें।

1. बेलन के आधार की त्रिज्या 2 है, ऊँचाई 3 है। बेलन की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

कुल सतह क्षेत्र की गणना सूत्र द्वारा की जाती है: एस पक्ष। = 2prh

एस साइड = 2 * 3.14 * 2 * 3

एस साइड = 6.28 * 6

एस साइड = 37.68

सिलेंडर का पार्श्व सतह क्षेत्र 37.68 है।

2. यदि बेलन की ऊँचाई 4 है और त्रिज्या 6 है, तो बेलन का पृष्ठीय क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें?

कुल सतह क्षेत्र की गणना सूत्र द्वारा की जाती है: S = 2πr 2 + 2πrh

एस = 2 * 3.14 * 6 2 + 2 * 3.14 * 6 * 4

एस = 2 * 3.14 * 36 + 2 * 3.14 * 24