सदिशों की रैखिक निर्भरता और रैखिक स्वतंत्रता।
वैक्टर का आधार। Affine समन्वय प्रणाली

दर्शकों में चॉकलेट के साथ एक गाड़ी है, और प्रत्येक आगंतुक को आज मिलेगा अच्छा जोड़ा- रैखिक बीजगणित के साथ विश्लेषणात्मक ज्यामिति। यह लेख एक साथ दो खंडों को कवर करेगा। उच्च गणित, और हम देखेंगे कि वे एक रैपर में कैसे मिलते हैं। ब्रेक लें, ट्विक्स खाएं! ... धिक्कार है, ठीक है, बकवास बहस कर रहा है। हालाँकि ठीक है, मैं स्कोर नहीं करूँगा, अंत में, अध्ययन के लिए एक सकारात्मक दृष्टिकोण होना चाहिए।

वैक्टर की रैखिक निर्भरता, वैक्टर की रैखिक स्वतंत्रता, वेक्टर आधारऔर अन्य शर्तों ही नहीं है ज्यामितीय व्याख्या, लेकिन सबसे बढ़कर, बीजगणितीय अर्थ। रेखीय बीजगणित के दृष्टिकोण से "वेक्टर" की बहुत अवधारणा हमेशा "साधारण" वेक्टर से दूर होती है जिसे हम एक विमान या अंतरिक्ष में चित्रित कर सकते हैं। आपको सबूत के लिए दूर देखने की जरूरत नहीं है, पांच-आयामी अंतरिक्ष के वेक्टर को चित्रित करने का प्रयास करें . या मौसम सदिश, जिसके लिए मैं अभी जिस्मेटियो गया था: - तापमान और वायुमंडलीय दबाव, क्रमशः। उदाहरण, निश्चित रूप से, वेक्टर अंतरिक्ष के गुणों के दृष्टिकोण से गलत है, लेकिन, फिर भी, कोई भी इन मापदंडों को वेक्टर के रूप में औपचारिक रूप देने से मना नहीं करता है। शरद ऋतु की सांस...

नहीं, मैं आपको सिद्धांत, रैखिक वेक्टर रिक्त स्थान के साथ बोर नहीं करने जा रहा हूं, यह कार्य है समझनापरिभाषाएँ और प्रमेय। नई शर्तें (रैखिक निर्भरता, स्वतंत्रता, रैखिक संयोजन, आधार, आदि) बीजगणितीय दृष्टिकोण से सभी वैक्टरों पर लागू होती हैं, लेकिन उदाहरण ज्यामितीय रूप से दिए जाएंगे। इस प्रकार, सब कुछ सरल, सुलभ और दृश्य है। विश्लेषणात्मक ज्यामिति की समस्याओं के अतिरिक्त, हम बीजगणित के कुछ विशिष्ट कार्यों पर भी विचार करेंगे। सामग्री में महारत हासिल करने के लिए, अपने आप को पाठों से परिचित करना उचित है डमी के लिए वैक्टरतथा निर्धारक की गणना कैसे करें?

समतल सदिशों की रैखिक निर्भरता और स्वतंत्रता।
प्लेन बेसिस और एफाइन कोऑर्डिनेट सिस्टम

अपने विमान पर विचार करें कंप्यूटर डेस्क(बस एक टेबल, बेडसाइड टेबल, फर्श, छत, जो भी आपको पसंद हो)। कार्य में निम्नलिखित क्रियाएं शामिल होंगी:

1) विमान के आधार का चयन करें. मोटे तौर पर, टेबलटॉप की लंबाई और चौड़ाई होती है, इसलिए यह सहज रूप से स्पष्ट है कि आधार बनाने के लिए दो वैक्टर की आवश्यकता होती है। एक सदिश स्पष्ट रूप से पर्याप्त नहीं है, तीन सदिश बहुत अधिक हैं।

2) चुने हुए आधार के आधार पर सेट समन्वय प्रणाली(समन्वय ग्रिड) तालिका पर सभी वस्तुओं के लिए निर्देशांक निर्दिष्ट करने के लिए।

हैरान मत होइए, सबसे पहले स्पष्टीकरण उंगलियों पर होंगे। इसके अलावा, आप पर। कृपया जगह दें तर्जनी अंगुलीबायां हाथटेबलटॉप के किनारे पर ताकि वह मॉनीटर को देख सके। यह एक वेक्टर होगा। अब जगह छोटी उंगली दांया हाथ तालिका के किनारे पर उसी तरह - ताकि यह मॉनिटर स्क्रीन पर निर्देशित हो। यह एक वेक्टर होगा। मुस्कुराओ, तुम बहुत अच्छे लग रहे हो! वैक्टर के बारे में क्या कहा जा सकता है? डेटा वैक्टर समरेख, जिसका मतलब है रैखिकएक दूसरे के माध्यम से व्यक्त:
, ठीक है, या इसके विपरीत: जहां एक गैर-शून्य संख्या है।

इस क्रिया का एक चित्र आप पाठ में देख सकते हैं। डमी के लिए वैक्टर, जहां मैंने एक सदिश को एक संख्या से गुणा करने के नियम को समझाया।

क्या आपकी उंगलियां कंप्यूटर टेबल के तल पर आधार स्थापित करेंगी? स्पष्टः नहीं। कोलीनियर वैक्टर आगे और पीछे यात्रा करते हैं अकेलादिशा, जबकि एक विमान की लंबाई और चौड़ाई होती है।

ऐसे सदिश कहलाते हैं रैखिक रूप से निर्भर.

संदर्भ: शब्द "रैखिक", "रैखिक" इस तथ्य को दर्शाता है कि गणितीय समीकरणों, अभिव्यक्तियों में कोई वर्ग, घन, अन्य शक्तियां, लघुगणक, साइन आदि नहीं हैं। केवल रेखीय (पहली डिग्री) भाव और निर्भरताएँ हैं।

दो विमान वैक्टर रैखिक रूप से निर्भरयदि और केवल यदि वे संरेख हैं.

अपनी उंगलियों को टेबल पर क्रॉस करें ताकि उनके बीच 0 या 180 डिग्री को छोड़कर कोई कोण हो। दो विमान वैक्टररैखिक नहींआश्रित हैं यदि और केवल यदि वे समरेख नहीं हैं. तो आधार मिलता है। शर्मिंदा होने की आवश्यकता नहीं है कि आधार विभिन्न लंबाई के गैर-लंबवत वैक्टरों के साथ "तिरछा" निकला। बहुत जल्द हम देखेंगे कि इसके निर्माण के लिए न केवल 90 डिग्री का कोण उपयुक्त है, और न केवल समान लंबाई के इकाई वैक्टर

कोईविमान वेक्टर एक ही रास्ताआधार के संदर्भ में विस्तारित:
, वास्तविक संख्याएँ कहाँ हैं। नंबर कहलाते हैं वेक्टर निर्देशांकइस आधार पर।

वे यह भी कहते हैं वेक्टररूप में प्रस्तुत किया रैखिक संयोजनआधार वैक्टर. अर्थात् अभिव्यक्ति कहलाती है वेक्टर अपघटनआधारया रैखिक संयोजनआधार वैक्टर।

उदाहरण के लिए, कोई कह सकता है कि एक सदिश का विस्तार समतल के ऑर्थोनॉर्मल आधार पर होता है, या कोई यह कह सकता है कि इसे सदिशों के एक रैखिक संयोजन के रूप में दर्शाया जाता है।

आइए सूत्र बनाते हैं आधार परिभाषाऔपचारिक रूप से: विमान का आधाररैखिक रूप से स्वतंत्र (नॉनकोलिनियर) सदिशों की एक जोड़ी है, , जिसमें कोईसमतल सदिश आधार सदिशों का एक रैखिक संयोजन है।

परिभाषा का आवश्यक बिंदु यह तथ्य है कि सदिशों को लिया जाता है एक निश्चित क्रम में. अड्डों ये दो पूरी तरह से अलग आधार हैं! जैसा कि वे कहते हैं, बाएं हाथ की छोटी उंगली को दाहिने हाथ की छोटी उंगली के स्थान पर नहीं ले जाया जा सकता।

हमने आधार का पता लगा लिया है, लेकिन समन्वय ग्रिड को सेट करना और आपके कंप्यूटर डेस्क पर प्रत्येक आइटम के लिए निर्देशांक निर्दिष्ट करना पर्याप्त नहीं है। काफी क्यों नहीं? वैक्टर स्वतंत्र हैं और पूरे विमान में घूमते हैं। तो आप जंगली सप्ताहांत से बचे हुए उन छोटे गंदे टेबल डॉट्स को निर्देशांक कैसे प्रदान करते हैं? एक शुरुआती बिंदु की जरूरत है। और ऐसा संदर्भ बिंदु सभी के लिए परिचित बिंदु है - निर्देशांक की उत्पत्ति। समन्वय प्रणाली को समझना:

मैं "स्कूल" प्रणाली से शुरू करूँगा। पहले से ही परिचयात्मक पाठ में डमी के लिए वैक्टरमैंने एक आयताकार समन्वय प्रणाली और एक अलौकिक आधार के बीच कुछ अंतरों पर प्रकाश डाला। यहाँ मानक चित्र है:

जब बात हो रही है आयताकार समन्वय प्रणाली, तब सबसे अधिक बार वे मूल का अर्थ करते हैं, कुल्हाड़ियों का समन्वय करते हैं और कुल्हाड़ियों के साथ पैमाना बनाते हैं। खोज इंजन में "आयताकार समन्वय प्रणाली" टाइप करने का प्रयास करें, और आप देखेंगे कि कई स्रोत आपको 5 वीं -6 वीं कक्षा से परिचित समन्वय अक्षों के बारे में बताएंगे और विमान पर अंक कैसे प्लॉट करें।

दूसरी ओर, किसी को यह आभास हो जाता है कि एक आयताकार समन्वय प्रणाली को ऑर्थोनॉर्मल आधार के संदर्भ में अच्छी तरह से परिभाषित किया जा सकता है। और यह लगभग है। शब्दांकन इस प्रकार है:

मूल, तथा ऑर्थोनॉर्मलआधार सेट विमान की कार्टेशियन समन्वय प्रणाली . यानी एक आयताकार समन्वय प्रणाली निश्चित रूप सेएक बिंदु और दो इकाई ऑर्थोगोनल वैक्टर द्वारा परिभाषित किया गया है। यही कारण है कि, आप उस चित्र को देखते हैं जो मैंने ऊपर दिया था - ज्यामितीय समस्याओं में, वैक्टर और समन्वय अक्ष दोनों अक्सर (लेकिन हमेशा दूर) खींचे जाते हैं।

मुझे लगता है कि हर कोई समझता है कि एक बिंदु (मूल) और एक अलौकिक आधार की मदद से विमान का कोई भी बिंदु और विमान का कोई भी वेक्टरनिर्देशांक दिए जा सकते हैं। आलंकारिक रूप से बोलना, "विमान पर सब कुछ क्रमांकित किया जा सकता है।"

क्या निर्देशांक वैक्टर को इकाई होना चाहिए? नहीं, उनके पास मनमाने ढंग से गैर-शून्य लंबाई हो सकती है। मनमाने गैर-शून्य लंबाई के एक बिंदु और दो ऑर्थोगोनल वैक्टर पर विचार करें:

ऐसा आधार कहा जाता है ओर्थोगोनल. वैक्टर के साथ निर्देशांक की उत्पत्ति समन्वय ग्रिड को परिभाषित करती है, और विमान के किसी भी बिंदु पर, किसी भी वेक्टर के दिए गए आधार पर अपने स्वयं के निर्देशांक होते हैं। उदाहरण के लिए, या। स्पष्ट असुविधा यह है कि निर्देशांक वैक्टर सामान्य रूप मेंएकता के अलावा अलग-अलग लंबाई है। यदि लंबाई एक के बराबर होती है, तो सामान्य ऑर्थोनॉर्मल आधार प्राप्त होता है।

! टिप्पणी : ऑर्थोगोनल आधार में, साथ ही नीचे विमान और अंतरिक्ष के affine ठिकानों में, कुल्हाड़ियों के साथ इकाइयों पर विचार किया जाता है सशर्त. उदाहरण के लिए, भुज पर एक इकाई में 4 सेमी, कोटि पर एक इकाई में 2 सेमी होता है। यदि आवश्यक हो तो यह जानकारी "गैर-मानक" निर्देशांकों को "हमारे सामान्य सेंटीमीटर" में बदलने के लिए पर्याप्त है।

और दूसरा प्रश्न, जिसका वास्तव में पहले ही उत्तर दिया जा चुका है - क्या आधार सदिशों के बीच का कोण आवश्यक रूप से 90 डिग्री के बराबर है? नहीं! जैसा कि परिभाषा कहती है, आधार वैक्टर होना चाहिए केवल गैर संरेखी. तदनुसार, कोण 0 और 180 डिग्री को छोड़कर कुछ भी हो सकता है।

विमान पर एक बिंदु कहा जाता है मूल, तथा गैर समरेखवैक्टर, , समूह विमान की affine समन्वय प्रणाली :

कभी-कभी इस समन्वय प्रणाली को कहा जाता है परोक्षव्यवस्था। ड्राइंग में उदाहरण के रूप में अंक और वैक्टर दिखाए गए हैं:

जैसा कि आप समझते हैं, affine समन्वय प्रणाली और भी कम सुविधाजनक है, इसमें वैक्टर और सेगमेंट की लंबाई के सूत्र काम नहीं करते हैं, जिस पर हमने पाठ के दूसरे भाग में विचार किया था। डमी के लिए वैक्टर, से संबंधित कई स्वादिष्ट सूत्र सदिशों का अदिश गुणनफल. लेकिन वैक्टर को जोड़ने और एक वेक्टर को एक संख्या से गुणा करने के नियम मान्य हैं, इस संबंध में एक खंड को विभाजित करने के सूत्र, साथ ही कुछ अन्य प्रकार की समस्याएं जिन पर हम जल्द ही विचार करेंगे।

और निष्कर्ष यह है कि affine निर्देशांक प्रणाली का सबसे सुविधाजनक विशेष मामला कार्टेशियन आयताकार प्रणाली है। इसलिए, वह, उसकी अपनी, सबसे अधिक बार देखी जानी है। ... हालाँकि, इस जीवन में सब कुछ सापेक्ष है - ऐसी कई स्थितियाँ हैं जिनमें तिरछा होना उचित है (या कुछ अन्य, उदाहरण के लिए, ध्रुवीय) निर्देशांक तरीका। हाँ, और ह्यूमनॉइड्स ऐसी प्रणालियाँ स्वाद में आ सकती हैं =)

आइए व्यावहारिक भाग पर चलते हैं। इस पाठ की सभी समस्याएं एक आयताकार समन्वय प्रणाली और सामान्य संबंध मामले दोनों के लिए मान्य हैं। यहां कुछ भी जटिल नहीं है, सभी सामग्री एक स्कूली छात्र के लिए भी उपलब्ध है।

समतल सदिशों की संरेखता का निर्धारण कैसे करें?

ठेठ बात। दो समतल सदिशों के लिए समरेख हैं, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि उनके संबंधित निर्देशांक आनुपातिक होंअनिवार्य रूप से, यह स्पष्ट संबंध का एक समन्वय-दर-समन्वय शोधन है।

उदाहरण 1

ए) जांचें कि क्या वैक्टर संरेख हैं .
ख) क्या सदिश आधार बनाते हैं? ?

समाधान:
ए) पता लगाएं कि क्या वैक्टर के लिए मौजूद है आनुपातिकता का गुणांक, जैसे समानताएं पूरी होती हैं:

मैं आपको निश्चित रूप से इस नियम के आवेदन के "फॉपिश" संस्करण के बारे में बताऊंगा, जो व्यवहार में काफी अच्छा काम करता है। विचार यह है कि तुरंत एक अनुपात तैयार किया जाए और देखें कि क्या यह सही है:

सदिशों के संगत निर्देशांकों के अनुपात से एक अनुपात बनाते हैं:

हम छोटा करते हैं:
, इस प्रकार संबंधित निर्देशांक आनुपातिक हैं, इसलिए,

संबंध बनाया जा सकता है और इसके विपरीत, यह एक समतुल्य विकल्प है:

स्व-परीक्षण के लिए, कोई इस तथ्य का उपयोग कर सकता है कि समरेख सदिश एक दूसरे के माध्यम से रैखिक रूप से व्यक्त किए जाते हैं। इस मामले में समानताएं हैं . वैक्टर के साथ प्रारंभिक संचालन के माध्यम से उनकी वैधता आसानी से जांची जा सकती है:

ख) दो समतल सदिश एक आधार बनाते हैं यदि वे संरेखी (रैखिक रूप से स्वतंत्र) नहीं हैं। हम संपार्श्विकता के लिए वैक्टर की जांच करते हैं . आइए एक सिस्टम बनाएं:

पहले समीकरण से यह अनुसरण करता है कि, दूसरे समीकरण से यह अनुसरण करता है, जिसका अर्थ है, प्रणाली असंगत है(कोई समाधान नहीं)। इस प्रकार, सदिशों के संगत निर्देशांक आनुपातिक नहीं हैं।

निष्कर्ष: सदिश रैखिक रूप से स्वतंत्र होते हैं और एक आधार बनाते हैं।

समाधान का एक सरलीकृत संस्करण इस तरह दिखता है:

सदिशों के संगत निर्देशांकों से अनुपात की रचना करें :
, इसलिए, ये वैक्टर रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं और एक आधार बनाते हैं।

आम तौर पर समीक्षक इस विकल्प को अस्वीकार नहीं करते हैं, लेकिन ऐसे मामलों में समस्या उत्पन्न होती है जहां कुछ निर्देशांक शून्य के बराबर होते हैं। ऐशे ही: . या इस तरह: . या इस तरह: . यहाँ अनुपात के माध्यम से कैसे काम करें? (वास्तव में, आप शून्य से विभाजित नहीं कर सकते हैं)। यही कारण है कि मैंने सरलीकृत समाधान को "फॉपिश" कहा।

उत्तर:ए) , बी) रूप।

के लिए एक छोटा रचनात्मक उदाहरण स्वतंत्र समाधान:

उदाहरण 2

पैरामीटर वैक्टर के किस मूल्य पर संरेख होगा?

नमूना समाधान में, अनुपात के माध्यम से पैरामीटर पाया जाता है।

संरेखता के लिए वैक्टर की जांच करने के लिए एक सुंदर बीजगणितीय तरीका है। आइए अपने ज्ञान को व्यवस्थित करें और इसे पांचवें बिंदु के रूप में जोड़ें:

दो समतल सदिशों के लिए, निम्नलिखित कथन तुल्य हैं:

2) वैक्टर एक आधार बनाते हैं;
3) सदिश समरेख नहीं हैं;

+ 5) निर्धारक, जो इन सदिशों के निर्देशांकों से बना है, अशून्य है.

क्रमश, निम्नलिखित विपरीत कथन समतुल्य हैं:
1) सदिश रैखिक रूप से आश्रित होते हैं;
2) सदिश आधार नहीं बनाते;
3) सदिश संरेख हैं;
4) सदिशों को एक दूसरे के माध्यम से रैखिक रूप से व्यक्त किया जा सकता है;
+ 5) इन सदिशों के निर्देशांकों से बना निर्धारक, शून्य के बराबर है.

मैं वास्तव में, वास्तव में आशा करता हूं इस पलआप सभी मिले हुए नियमों और कथनों को पहले ही समझ चुके हैं।

आइए नए, पांचवें बिंदु पर करीब से नज़र डालें: दो विमान वैक्टर समरेख हैं यदि और केवल यदि दिए गए सदिशों के निर्देशांकों से बना निर्धारक शून्य के बराबर है:. आवेदन के लिए यह सुविधाबेशक, आपको पता होना चाहिए निर्धारक खोजें.

हम तय करेंगेउदाहरण 1 दूसरे तरीके से:

ए) वैक्टर के निर्देशांक से बना निर्धारक की गणना करें :
, इसलिए ये सदिश संरेख हैं।

ख) दो समतल सदिश एक आधार बनाते हैं यदि वे संरेखी (रैखिक रूप से स्वतंत्र) नहीं हैं। आइए हम सदिशों के निर्देशांकों से बने निर्धारक की गणना करें :
, इसलिए सदिश रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं और एक आधार बनाते हैं।

उत्तर:ए) , बी) रूप।

अनुपात के साथ समाधान की तुलना में यह अधिक कॉम्पैक्ट और सुंदर दिखता है।

विचाराधीन सामग्री की मदद से, न केवल वैक्टर की संपार्श्विकता स्थापित करना संभव है, बल्कि खंडों, सीधी रेखाओं की समानता को भी साबित करना है। विशिष्ट ज्यामितीय आकृतियों वाली कुछ समस्याओं पर विचार करें।

उदाहरण 3

एक चतुर्भुज के शीर्ष दिए गए हैं। सिद्ध कीजिए कि चतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज है।

सबूत: समस्या में चित्र बनाने की कोई आवश्यकता नहीं है, क्योंकि समाधान विशुद्ध रूप से विश्लेषणात्मक होगा। समानांतर चतुर्भुज की परिभाषा याद रखें:
चतुर्भुज एक चतुर्भुज कहा जाता है, जिसमें विपरीत पक्ष जोड़ीदार समानांतर होते हैं।

इस प्रकार, यह साबित करना आवश्यक है:
1) विपरीत पक्षों की समानता और;
2) विपरीत पक्षों की समानता और .

हम सिद्ध करते हैं:

1) सदिश ज्ञात कीजिए:

2) सदिश ज्ञात कीजिए:

नतीजा वही वेक्टर है ("स्कूल के अनुसार" - बराबर वैक्टर)। संरेखता काफी स्पष्ट है, लेकिन व्यवस्था के साथ निर्णय ठीक से करना बेहतर है। वैक्टर के निर्देशांक से बना निर्धारक की गणना करें:
, इसलिए ये सदिश समरेख हैं, और .

निष्कर्ष: एक चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ जोड़ीदार समानांतर होती हैं, इसलिए परिभाषा के अनुसार यह एक समांतर चतुर्भुज है। Q.E.D.

अधिक अच्छे और अलग आंकड़े:

उदाहरण 4

एक चतुर्भुज के शीर्ष दिए गए हैं। सिद्ध कीजिए कि चतुर्भुज एक समलंब है।

प्रमाण के अधिक कठोर निरूपण के लिए, निश्चित रूप से, ट्रेपोज़ॉइड की परिभाषा प्राप्त करना बेहतर है, लेकिन यह याद रखना पर्याप्त है कि यह कैसा दिखता है।

यह स्वतंत्र निर्णय के लिए एक कार्य है। पूर्ण समाधानपाठ के अंत में।

और अब धीरे-धीरे विमान से अंतरिक्ष में जाने का समय आ गया है:

अंतरिक्ष वैक्टर की संपार्श्विकता कैसे निर्धारित करें?

नियम बहुत समान है। दो अंतरिक्ष वैक्टरों के संरेख होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि उनके संबंधित निर्देशांक समानुपाती हों.

उदाहरण 5

पता करें कि क्या निम्नलिखित अंतरिक्ष वैक्टर संरेख हैं:

एक) ;
बी)
में)

समाधान:
ए) जांचें कि क्या वैक्टर के संबंधित निर्देशांक के लिए आनुपातिकता गुणांक है:

सिस्टम का कोई समाधान नहीं है, जिसका अर्थ है कि वेक्टर संरेख नहीं हैं।

"सरलीकृत" अनुपात की जाँच करके बनाया गया है। इस मामले में:
- संबंधित निर्देशांक आनुपातिक नहीं हैं, जिसका अर्थ है कि वैक्टर संरेख नहीं हैं।

उत्तर:वैक्टर संरेख नहीं हैं।

b-c) ये स्वतंत्र निर्णय के बिंदु हैं। इसे दो तरह से आजमाएं।

संरेखता के लिए और तीसरे क्रम के निर्धारक के माध्यम से अंतरिक्ष वैक्टर की जाँच के लिए एक विधि है, तरह सेलेख में शामिल वैक्टर का क्रॉस उत्पाद.

समतल मामले के समान, विचार किए गए उपकरणों का उपयोग स्थानिक खंडों और रेखाओं की समानता का अध्ययन करने के लिए किया जा सकता है।

दूसरे भाग में आपका स्वागत है:

त्रि-आयामी अंतरिक्ष वैक्टर की रैखिक निर्भरता और स्वतंत्रता।
स्थानिक आधार और संबंध समन्वय प्रणाली

विमान पर हमने जिन कई नियमितताओं पर विचार किया है उनमें से कई अंतरिक्ष के लिए भी मान्य होंगी। मैंने सिद्धांत के सारांश को कम से कम करने की कोशिश की, क्योंकि शेर की जानकारी का हिस्सा पहले ही चबाया जा चुका है। फिर भी, मेरा सुझाव है कि आप परिचयात्मक भाग को ध्यान से पढ़ें, क्योंकि नए नियम और अवधारणाएँ दिखाई देंगी।

अब, कंप्यूटर टेबल के तल के बजाय, आइए त्रि-आयामी स्थान की जाँच करें। पहले इसका आधार तैयार करते हैं। कोई अब घर के अंदर है, कोई बाहर है, लेकिन किसी भी मामले में, हम तीन आयामों से दूर नहीं हो सकते: चौड़ाई, लंबाई और ऊंचाई। इसलिए, आधार बनाने के लिए तीन स्थानिक वैक्टरों की आवश्यकता होती है। एक या दो सदिश पर्याप्त नहीं हैं, चौथा अतिश्योक्तिपूर्ण है।

और हम फिर से उंगलियों पर गर्म हो जाते हैं। कृपया अपना हाथ ऊपर उठाएं और अलग-अलग दिशाओं में फैलाएं बड़ा, सूचकांक और बीच की ऊँगली . ये वैक्टर होंगे, वे अलग-अलग दिशाओं में दिखते हैं, अलग-अलग लंबाई के होते हैं और होते हैं विभिन्न कोणआपस में। बधाई हो, त्रि-आयामी अंतरिक्ष का आधार तैयार है! वैसे, आपको इसे शिक्षकों को प्रदर्शित करने की आवश्यकता नहीं है, चाहे आप अपनी उंगलियों को कैसे भी घुमा लें, लेकिन आप परिभाषाओं से दूर नहीं हो सकते =)

अगला, चलिए पूछते हैं महत्वपूर्ण मुद्दा, क्या कोई तीन वैक्टर त्रि-आयामी अंतरिक्ष का आधार बनाते हैं? कृपया कंप्यूटर टेबल टॉप पर तीन अंगुलियों को मजबूती से दबाएं। क्या हुआ? तीन वैक्टर एक ही विमान में स्थित हैं, और, मोटे तौर पर बोलते हुए, हमने मापों में से एक - ऊंचाई खो दी है। ऐसे वैक्टर हैं समतलीयऔर, स्पष्ट रूप से, कि त्रि-आयामी स्थान का आधार नहीं बनाया गया है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि कोप्लानर वैक्टर को एक ही विमान में झूठ बोलने की ज़रूरत नहीं है, वे समांतर विमानों में हो सकते हैं (बस अपनी उंगलियों से ऐसा न करें, केवल साल्वाडोर डाली इस तरह से निकली =))।

परिभाषा: सदिश कहलाते हैं समतलीयअगर वहाँ एक विमान मौजूद है जिसके समानांतर वे हैं। यहाँ यह जोड़ना तर्कसंगत है कि यदि ऐसा कोई तल मौजूद नहीं है, तो सदिश समतलीय नहीं होंगे।

तीन समतलीय सदिश हमेशा रैखिक रूप से निर्भर होते हैंअर्थात्, वे एक दूसरे के माध्यम से रैखिक रूप से व्यक्त किए जाते हैं। सरलता के लिए, पुनः कल्पना कीजिए कि वे एक ही तल में स्थित हैं। सबसे पहले, सदिश न केवल समतलीय होते हैं, बल्कि समरेख भी हो सकते हैं, फिर किसी सदिश को किसी भी सदिश के माध्यम से व्यक्त किया जा सकता है। दूसरे मामले में, यदि, उदाहरण के लिए, वैक्टर समरेख नहीं हैं, तो तीसरा वेक्टर उनके माध्यम से एक अनोखे तरीके से व्यक्त किया जाता है: (और पिछले अनुभाग की सामग्री से अनुमान लगाना आसान क्यों है)।

इसका उलटा भी सच है: तीन गैर समतलीय सदिश हमेशा रैखिक रूप से स्वतंत्र होते हैंअर्थात्, वे किसी भी तरह से एक दूसरे के माध्यम से व्यक्त नहीं होते हैं। और, जाहिर है, केवल ऐसे वैक्टर त्रि-आयामी अंतरिक्ष का आधार बना सकते हैं।

परिभाषा: त्रि-आयामी अंतरिक्ष का आधाररैखिक रूप से स्वतंत्र (गैर समतलीय) सदिशों का तिगुना कहा जाता है, एक निश्चित क्रम में लिया गया, जबकि अंतरिक्ष का कोई भी वेक्टर एक ही रास्तादिए गए आधार पर फैलता है, दिए गए आधार पर वेक्टर के निर्देशांक कहां हैं

एक अनुस्मारक के रूप में, आप यह भी कह सकते हैं कि एक वेक्टर को इस रूप में दर्शाया गया है रैखिक संयोजनआधार वैक्टर।

एक समन्वय प्रणाली की अवधारणा को ठीक उसी तरह पेश किया जाता है जैसे कि समतल मामले के लिए, एक बिंदु और कोई भी तीन रैखिक रूप से स्वतंत्र वैक्टर पर्याप्त हैं:

मूल, तथा गैर समतलीयवैक्टर, एक निश्चित क्रम में लिया गया, समूह त्रि-आयामी अंतरिक्ष की affine समन्वय प्रणाली :

बेशक, समन्वय ग्रिड "तिरछा" और असुविधाजनक है, लेकिन, फिर भी, निर्मित समन्वय प्रणाली हमें अनुमति देती है निश्चित रूप सेअंतरिक्ष में किसी भी वेक्टर के निर्देशांक और किसी भी बिंदु के निर्देशांक निर्धारित करें। प्लेन की तरह, स्पेस के एफ़िन कोऑर्डिनेट सिस्टम में, कुछ फॉर्मूले जिनका मैंने पहले ही उल्लेख किया है, काम नहीं करेंगे।

एक affine समन्वय प्रणाली का सबसे परिचित और सुविधाजनक विशेष मामला, जैसा कि हर कोई अनुमान लगा सकता है आयताकार अंतरिक्ष समन्वय प्रणाली:

अंतरिक्ष में बिंदु कहा जाता है मूल, तथा ऑर्थोनॉर्मलआधार सेट कार्टेशियन अंतरिक्ष की समन्वय प्रणाली . परिचित चित्र:

व्यावहारिक कार्यों के लिए आगे बढ़ने से पहले, हम सूचना को फिर से व्यवस्थित करते हैं:

तीन अंतरिक्ष सदिशों के लिए, निम्नलिखित कथन समतुल्य हैं:
1) सदिश रैखिकतः स्वतंत्र होते हैं;
2) वैक्टर एक आधार बनाते हैं;
3) सदिश समतलीय नहीं हैं;
4) सदिशों को एक दूसरे के माध्यम से रैखिक रूप से व्यक्त नहीं किया जा सकता है;
5) निर्धारक, जो इन सदिशों के निर्देशांकों से बना है, शून्य से भिन्न है।

मुझे लगता है कि विपरीत बयान, समझ में आता है।

अंतरिक्ष वैक्टर की रैखिक निर्भरता / स्वतंत्रता को पारंपरिक रूप से निर्धारक (आइटम 5) का उपयोग करके जांचा जाता है। शेष व्यावहारिक कार्य स्पष्ट बीजगणितीय प्रकृति के होंगे। यह एक कील पर एक ज्यामितीय छड़ी लटकाने और एक रैखिक बीजगणित बेसबॉल बैट चलाने का समय है:

तीन अंतरिक्ष वैक्टरसमतलीय हैं यदि और केवल यदि दिए गए सदिशों के निर्देशांकों से बना निर्धारक शून्य के बराबर है: .

मैं आपका ध्यान एक छोटी तकनीकी बारीकियों की ओर आकर्षित करता हूं: वैक्टर के निर्देशांक न केवल कॉलम में, बल्कि पंक्तियों में भी लिखे जा सकते हैं (निर्धारक का मान इससे नहीं बदलेगा - निर्धारकों के गुण देखें)। लेकिन यह कॉलम में ज्यादा बेहतर है, क्योंकि यह कुछ व्यावहारिक समस्याओं को हल करने के लिए अधिक फायदेमंद है।

उन पाठकों के लिए जो निर्धारकों की गणना करने के तरीकों को थोड़ा भूल गए हैं, या शायद वे खराब उन्मुख हैं, मैं अपने सबसे पुराने पाठों में से एक की सिफारिश करता हूं: निर्धारक की गणना कैसे करें?

उदाहरण 6

जांचें कि क्या निम्नलिखित वैक्टर त्रि-आयामी अंतरिक्ष का आधार बनाते हैं:

समाधान: वास्तव में, निर्धारक की गणना करने के लिए पूरा समाधान नीचे आता है।

ए) वैक्टर के निर्देशांक से बना निर्धारक की गणना करें (निर्धारक पहली पंक्ति पर विस्तारित है):

, जिसका अर्थ है कि सदिश रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं (कोपलनार नहीं) और एक त्रि-आयामी स्थान का आधार बनाते हैं।

उत्तर: ये वैक्टर आधार बनाते हैं

बी) यह स्वतंत्र निर्णय के लिए एक बिंदु है। पाठ के अंत में पूर्ण समाधान और उत्तर।

रचनात्मक कार्य भी हैं:

उदाहरण 7

प्राचल के किस मान पर सदिश समतलीय होंगे?

समाधान: सदिश समतलीय होते हैं यदि और केवल यदि दिए गए सदिशों के निर्देशांकों से बना निर्धारक शून्य के बराबर हो:

अनिवार्य रूप से, एक निर्धारक के साथ एक समीकरण को हल करना आवश्यक है। हम शून्य में पतंग की तरह उड़ते हैं - जर्बो में - दूसरी पंक्ति में निर्धारक को खोलना और तुरंत नुकसान से छुटकारा पाना सबसे अधिक लाभदायक है:

हम और सरलीकरण करते हैं और मामले को सरलतम रेखीय समीकरण में घटाते हैं:

उत्तर: पर

यहां जांचना आसान है, इसके लिए आपको परिणामी मूल्य को मूल निर्धारक में प्रतिस्थापित करना होगा और यह सुनिश्चित करना होगा इसे फिर से खोलकर।

अंत में, आइए एक और विशिष्ट समस्या पर विचार करें, जो एक बीजगणितीय प्रकृति की अधिक है और पारंपरिक रूप से रैखिक बीजगणित के पाठ्यक्रम में शामिल है। यह इतना सामान्य है कि यह एक अलग विषय का हकदार है:

सिद्ध कीजिए कि तीन सदिश त्रिविमीय समष्टि का आधार बनते हैं
और दिए गए आधार पर चौथे सदिश के निर्देशांक ज्ञात कीजिए

उदाहरण 8

वेक्टर दिए गए हैं। दिखाएं कि वेक्टर त्रि-आयामी अंतरिक्ष का आधार बनाते हैं और इस आधार पर वेक्टर के निर्देशांक ढूंढते हैं।

समाधान: आइए पहले स्थिति से निपटें। शर्त के अनुसार, चार वैक्टर दिए गए हैं, और, जैसा कि आप देख सकते हैं, उनके पास पहले से ही किसी आधार पर निर्देशांक हैं। आधार क्या है - हमें कोई दिलचस्पी नहीं है। और निम्नलिखित बात दिलचस्प है: तीन सदिश एक नया आधार बना सकते हैं। और पहला चरण पूरी तरह से उदाहरण 6 के समाधान के समान है, यह जांचना आवश्यक है कि क्या वैक्टर वास्तव में रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं:

वैक्टर के निर्देशांक से बना निर्धारक की गणना करें:

, इसलिए सदिश रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं और त्रि-आयामी स्थान का आधार बनाते हैं।

! महत्वपूर्ण : वेक्टर निर्देशांक आवश्यक रूप सेलिखो स्तंभों मेंनिर्धारक, तार नहीं। अन्यथा, आगे के समाधान एल्गोरिथम में भ्रम होगा।

यह जांचने के लिए कि क्या वैक्टर की एक प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर है, इन वैक्टरों के एक रैखिक संयोजन की रचना करना और यह जांचना आवश्यक है कि क्या यह शून्य हो सकता है यदि कम से कम एक गुणांक शून्य है।

स्थिति 1. सदिशों की प्रणाली सदिशों द्वारा दी गई है

हम एक रैखिक संयोजन बनाते हैं

हमने समीकरणों की एक सजातीय प्रणाली प्राप्त की है। यदि इसका एक गैर-शून्य समाधान है, तो निर्धारक शून्य के बराबर होना चाहिए। आइए एक निर्धारक बनाते हैं और इसका मूल्य पाते हैं।

निर्धारक शून्य है, इसलिए, वैक्टर रैखिक रूप से निर्भर हैं।

केस 2। वैक्टर की प्रणाली विश्लेषणात्मक कार्यों द्वारा दी गई है:

एक)
, यदि सर्वसमिका सत्य है, तो तंत्र रैखिक रूप से निर्भर है।

आइए एक रैखिक संयोजन बनाते हैं।

यह जांचना आवश्यक है कि क्या ऐसे ए, बी, सी (जिनमें से कम से कम एक शून्य के बराबर नहीं है) हैं जिनके लिए दी गई अभिव्यक्ति शून्य के बराबर है।

हम अतिशयोक्तिपूर्ण कार्य लिखते हैं

,
, फिर

तब सदिशों का रैखिक संयोजन रूप लेगा:

कहाँ पे
, उदाहरण के लिए लें, तो रैखिक संयोजन शून्य के बराबर है, इसलिए, प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर है।

उत्तर: प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर है।

बी)
, हम एक रैखिक संयोजन बनाते हैं

x के किसी भी मान के लिए सदिशों का एक रैखिक संयोजन शून्य होना चाहिए।

आइए विशेष मामलों की जांच करें।

सदिशों का एक रैखिक संयोजन केवल तभी शून्य होता है जब सभी गुणांक शून्य हों।

इसलिए, सिस्टम रैखिक रूप से स्वतंत्र है।

उत्तर: प्रणाली रैखिक रूप से स्वतंत्र है।

5.3। कुछ आधार खोजें और समाधानों के रैखिक स्थान का आयाम निर्धारित करें।

चलो एक विस्तारित मैट्रिक्स बनाते हैं और इसे गॉस विधि का उपयोग करके ट्रेपेज़ॉइड के रूप में लाते हैं।

कुछ आधार प्राप्त करने के लिए, हम मनमाने मूल्यों को प्रतिस्थापित करते हैं:

शेष निर्देशांक प्राप्त करें

उत्तर:

5.4। आधार में सदिश X के निर्देशांक ज्ञात कीजिए, यदि यह आधार में दिया गया हो।

समीकरणों की प्रणाली को हल करने के लिए नए आधार में वेक्टर के निर्देशांक ढूँढना कम हो गया है

विधि 1। संक्रमण मैट्रिक्स का उपयोग करके ढूँढना

संक्रमण मैट्रिक्स की रचना करें

सूत्र द्वारा नए आधार में सदिश ज्ञात करते हैं

उलटा मैट्रिक्स खोजें और गुणा करें

,

विधि 2। समीकरणों की एक प्रणाली को संकलित करके ढूँढना।

आधार के गुणांकों से आधार सदिशों की रचना कीजिए

,
,

एक नए आधार में एक सदिश ढूँढना प्रपत्र है

, कहाँ पे डीदिया गया वेक्टर है एक्स.

परिणामी समीकरण को किसी भी तरह से हल किया जा सकता है, उत्तर वही होगा।

उत्तर: नए आधार में सदिश
.

5.5। माना x = (एक्स 1 , एक्स 2 , एक्स 3 ) . निम्नलिखित परिवर्तन रैखिक हैं।

आइए हम दिए गए सदिशों के गुणांकों से रैखिक संकारकों के आव्यूहों की रचना करें।

आइए एक रैखिक संकारक के प्रत्येक आव्यूह के लिए रैखिक संक्रियाओं के गुण की जाँच करें।

बाईं ओर मैट्रिक्स गुणन द्वारा पाया जाता है लेकिनप्रति वेक्टर

हम दिए गए सदिश को एक अदिश से गुणा करके दायां पक्ष पाते हैं
.

हम देखते है कि
इसलिए परिवर्तन रैखिक नहीं है।

आइए अन्य वैक्टरों की जांच करें।

, परिवर्तन रैखिक नहीं है।

, परिवर्तन रैखिक है।

उत्तर: ओहएक रैखिक परिवर्तन नहीं है, वीएक्स- रैखिक नहीं सीएक्स- रैखिक।

टिप्पणी।दिए गए सदिशों को ध्यान से देखकर आप इस कार्य को बहुत आसानी से पूरा कर सकते हैं। पर ओहहम देखते हैं कि ऐसे शब्द हैं जिनमें तत्व नहीं हैं एक्स, जो एक रैखिक ऑपरेशन के परिणामस्वरूप प्राप्त नहीं किया जा सका। पर वीएक्सएक तत्व है एक्सतीसरी शक्ति के लिए, जो एक सदिश द्वारा गुणा करके भी प्राप्त नहीं किया जा सकता एक्स.

5.6। दिया गया एक्स = { एक्स 1 , एक्स 2 , एक्स 3 } , कुल्हाड़ी = { एक्स 2 – एक्स 3 , एक्स 1 , एक्स 1 + एक्स 3 } , bx = { एक्स 2 , 2 एक्स 3 , एक्स 1 } . दिए गए ऑपरेशन को करें: ( ए ( बी – ए )) एक्स .

आइए हम रैखिक संकारकों के आव्यूह लिखते हैं।

मैट्रिसेस पर एक ऑपरेशन करते हैं

परिणामी मैट्रिक्स को X से गुणा करने पर, हमें मिलता है

उत्तर:

वेक्टर, उनके गुण और उनके साथ कार्य

सदिश, सदिशों के साथ क्रियाएँ, रैखिक सदिश स्थान।

सदिश वास्तविक संख्याओं की परिमित संख्या का एक क्रमबद्ध संग्रह है।

क्रियाएँ: 1. एक वेक्टर को एक संख्या से गुणा करना: लैम्ब्डा * वेक्टर x \u003d (लैम्डा * x 1, लैम्ब्डा * x 2 ... लैम्ब्डा * x n)। (3.4, 0. 7) * 3 \u003d (9, 12,0.21 )

2. वैक्टर का जोड़ (वे एक ही वेक्टर स्पेस से संबंधित हैं) वेक्टर x + वेक्टर y \u003d (x 1 + y 1, x 2 + y 2, ... x n + y n,)

3. सदिश 0=(0,0…0)---n E n - n-आयामी (रैखिक स्थान) सदिश x + सदिश 0 = सदिश x

प्रमेय। एक n-आयामी रैखिक स्थान में n सदिशों की एक प्रणाली के लिए रैखिक रूप से निर्भर होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि सदिशों में से एक अन्य का एक रैखिक संयोजन हो।

प्रमेय। एन-डायमेंशनल लीनियर स्पेस के n+ पहले वेक्टर का कोई भी सेट। रैखिक रूप से निर्भर।

सदिशों का योग, सदिशों का संख्याओं से गुणा। वैक्टर का घटाव।

दो वैक्टरों का योग वेक्टर की शुरुआत से वेक्टर के अंत तक निर्देशित वेक्टर है, बशर्ते कि शुरुआत वेक्टर के अंत के साथ मेल खाती हो। यदि सदिशों को आधार सदिशों के संदर्भ में उनके विस्तार द्वारा दिया जाता है, तो सदिशों को जोड़ने से उनके संबंधित निर्देशांक जुड़ जाते हैं।

आइए कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के उदाहरण का उपयोग करके इस पर विचार करें। होने देना

आइए दिखाते हैं

चित्र 3 यह दर्शाता है

बहुभुज नियम (चित्र 4) का उपयोग करके वैक्टरों की किसी भी परिमित संख्या का योग पाया जा सकता है: सदिशों की एक परिमित संख्या का योग बनाने के लिए, यह पिछले एक के अंत के साथ प्रत्येक बाद के वेक्टर की शुरुआत का मिलान करने के लिए पर्याप्त है। और पहले वेक्टर की शुरुआत को पिछले वाले के अंत से जोड़ने वाले वेक्टर का निर्माण करें।

वेक्टर जोड़ ऑपरेशन के गुण:

इन भावों में m, n संख्याएँ हैं।

सदिशों के अंतर को सदिश कहा जाता है। दूसरा पद सदिश के विपरीत दिशा में एक सदिश है, लेकिन लंबाई में इसके बराबर है।

इस प्रकार, वेक्टर घटाव ऑपरेशन को जोड़ ऑपरेशन द्वारा बदल दिया जाता है

वेक्टर, जिसकी शुरुआत निर्देशांक के मूल में है, और बिंदु A (x1, y1, z1) पर अंत, बिंदु A का त्रिज्या वेक्टर कहलाता है और इसे निरूपित या बस किया जाता है। चूँकि इसके निर्देशांक बिंदु A के निर्देशांक के साथ मेल खाते हैं, इसलिए सदिशों के संदर्भ में इसके विस्तार का रूप है

बिंदु A(x1, y1, z1) से शुरू होकर बिंदु B(x2, y2, z2) पर समाप्त होने वाले सदिश को इस प्रकार लिखा जा सकता है

जहाँ r 2 बिंदु B का त्रिज्या सदिश है; आर 1 - बिंदु ए का त्रिज्या वेक्टर।

इसलिए, orts के संदर्भ में वेक्टर के विस्तार का रूप है

इसकी लंबाई बिंदु A और B के बीच की दूरी के बराबर है

गुणा

तो एक सपाट समस्या के मामले में, एक सदिश का उत्पाद a = (ax; ay) और एक संख्या b सूत्र द्वारा पाया जाता है

a b = (ax b; ay b)

उदाहरण 1. सदिश a = (1; 2) का 3 से गुणनफल ज्ञात कीजिए।

3 ए = (3 1; 3 2) = (3; 6)

तो एक स्थानिक समस्या के मामले में, सदिश a = (ax; ay; az) और संख्या b का गुणन सूत्र द्वारा पाया जाता है

a b = (ax b; ay b; az b)

उदाहरण 1. सदिश a = (1; 2; -5) का 2 से गुणनफल ज्ञात कीजिए।

2 ए = (2 1; 2 2; 2 (-5)) = (2; 4; -10)

वैक्टर के डॉट उत्पाद और जहाँ सदिशों और के बीच का कोण है; यदि कोई हो, तो

स्केलर उत्पाद की परिभाषा से, यह इस प्रकार है

जहां, उदाहरण के लिए, वेक्टर की दिशा पर वेक्टर के प्रक्षेपण का मूल्य है।

सदिश का अदिश वर्ग:

डॉट उत्पाद गुण:

निर्देशांक में डॉट उत्पाद

यदि एक फिर

वैक्टर के बीच का कोण

सदिशों के बीच का कोण - इन सदिशों की दिशाओं के बीच का कोण (सबसे छोटा कोण)।

सदिश गुणनफल (दो सदिशों का सदिश गुणनफल)-दो कारकों द्वारा निर्मित विमान के लिए एक स्यूडोवेक्टर लंबवत है, जो त्रि-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में वैक्टर पर बाइनरी ऑपरेशन "वेक्टर गुणन" का परिणाम है। गुणनफल न तो क्रमविनिमेय है और न ही साहचर्य (यह प्रतिक्रमपरिवर्तनीय है) और यह सदिशों के डॉट गुणनफल से भिन्न है। कई इंजीनियरिंग और भौतिकी समस्याओं में, दो मौजूदा लोगों के लिए लंबवत वेक्टर बनाने में सक्षम होना आवश्यक है - वेक्टर उत्पाद यह अवसर प्रदान करता है। क्रॉस उत्पाद वैक्टरों की लंबवतता को "मापने" के लिए उपयोगी है - दो वैक्टरों के क्रॉस उत्पाद की लंबाई उनकी लंबाई के उत्पाद के बराबर होती है यदि वे लंबवत हैं, और वैक्टर समानांतर या विरोधी समानांतर हैं तो शून्य तक घट जाती है।

वेक्टर उत्पाद को केवल त्रि-आयामी और सात-आयामी रिक्त स्थान में परिभाषित किया गया है। वेक्टर उत्पाद का परिणाम, स्केलर उत्पाद की तरह, यूक्लिडियन अंतरिक्ष के मीट्रिक पर निर्भर करता है।

त्रि-आयामी आयताकार समन्वय प्रणाली में वैक्टर के निर्देशांक से स्केलर उत्पाद की गणना के सूत्र के विपरीत, वेक्टर उत्पाद के लिए सूत्र आयताकार समन्वय प्रणाली के उन्मुखीकरण पर निर्भर करता है, या दूसरे शब्दों में, इसकी "चिरायता"

सदिशों की संरेखता।

दो गैर-शून्य (0 के बराबर नहीं) सदिश संरेख कहलाते हैं यदि वे समानांतर रेखाओं या एक ही रेखा पर स्थित हों। हम एक पर्यायवाची - "समानांतर" वैक्टर की अनुमति देते हैं, लेकिन अनुशंसित नहीं हैं। कोलीनियर वैक्टर को एक ही दिशा ("सह-निर्देशित") या विपरीत दिशा में निर्देशित किया जा सकता है (बाद वाले मामले में उन्हें कभी-कभी "एंटीकोलीनियर" या "एंटीपरेलल" कहा जाता है)।

वैक्टर का मिश्रित उत्पाद ( ए, बी, सी)- वेक्टर ए का स्केलर उत्पाद और वेक्टर बी और सी के वेक्टर उत्पाद:

(ए, बी, सी) = ए ⋅ (बी × सी)

कभी-कभी ट्रिपल कहा जाता है अदिश उत्पादसदिश, जाहिरा तौर पर इस तथ्य के कारण कि परिणाम एक अदिश (अधिक सटीक, एक स्यूडोस्केलर) है।

ज्यामितीय भाव: मिश्रित उत्पाद का मापांक संख्यात्मक रूप से वैक्टर द्वारा गठित समानांतर चतुर्भुज के आयतन के बराबर होता है (ए, बी, सी) .

गुण

एक मिश्रित उत्पाद अपने सभी तर्कों के संबंध में तिरछा-सममित होता है: अर्थात, ङ. किन्हीं दो कारकों के क्रमपरिवर्तन से उत्पाद का चिह्न बदल जाता है। यह इस प्रकार है कि मिश्रित उत्पाद दाईं ओर है कार्तीय प्रणालीनिर्देशांक (ऑर्थोनॉर्मल आधार पर) सदिशों से बने मैट्रिक्स के निर्धारक के बराबर है और:

बाएं कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में मिश्रित उत्पाद (ऑर्थोनॉर्मल आधार पर) वैक्टर से बने मैट्रिक्स के निर्धारक के बराबर होता है और ऋण चिह्न के साथ लिया जाता है:

विशेष रूप से,

यदि कोई दो सदिश समानांतर हैं, तो किसी तीसरे सदिश के साथ वे शून्य के बराबर एक मिश्रित उत्पाद बनाते हैं।

यदि तीन सदिश रैखिक रूप से आश्रित हैं (अर्थात् समतलीय, एक ही तल में स्थित हैं), तो उनका मिश्रित गुणनफल शून्य होता है।

ज्यामितीय अर्थ - निरपेक्ष मूल्य में मिश्रित उत्पाद वैक्टर द्वारा गठित समानांतर चतुर्भुज (आंकड़ा देखें) की मात्रा के बराबर है और; संकेत इस बात पर निर्भर करता है कि सदिशों का यह त्रिक दाएँ है या बाएँ।

वैक्टर की शिकायत।

तीन सदिशों (या अधिक) को समतलीय कहा जाता है यदि वे, एक सामान्य उत्पत्ति के लिए कम किए जा रहे हैं, एक ही तल में स्थित हैं

समालोचना गुण

यदि तीन सदिशों में से कम से कम एक शून्य है, तो तीन सदिशों को समतलीय भी माना जाता है।

समरेख सदिशों की एक जोड़ी वाले सदिशों का एक तिगुना समतलीय होता है।

समतलीय सदिशों का मिश्रित उत्पाद। यह तीन सदिशों की समतलीयता के लिए एक कसौटी है।

समतलीय सदिश रैखिक रूप से आश्रित होते हैं। यह समतलीयता की कसौटी भी है।

3-आयामी अंतरिक्ष में, 3 गैर-समतलीय वैक्टर एक आधार बनाते हैं

रैखिक रूप से निर्भर और रैखिक रूप से स्वतंत्र वैक्टर।

वैक्टर की रैखिक रूप से निर्भर और स्वतंत्र प्रणाली।परिभाषा. सदिशों की प्रणाली कहलाती है रैखिक रूप से निर्भर, यदि शून्य वेक्टर के बराबर इन वैक्टरों का कम से कम एक गैर-तुच्छ रैखिक संयोजन है। अन्यथा, अर्थात् यदि दिए गए सदिशों का केवल एक तुच्छ रैखिक संयोजन अशक्त सदिश के बराबर है, तो सदिश कहलाते हैं रैखिक रूप से स्वतंत्र.

प्रमेय (रैखिक निर्भरता मानदंड). एक रेखीय स्थान में सदिशों की एक प्रणाली के लिए रैखिक रूप से निर्भर होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि इनमें से कम से कम एक सदिश अन्य का एक रैखिक संयोजन हो।

1) यदि सदिशों में कम से कम एक शून्य सदिश है, तो सदिशों की संपूर्ण प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर है।

वास्तव में, यदि, उदाहरण के लिए, , तो, मानते हुए, हमारे पास एक गैर-तुच्छ रैखिक संयोजन है।▲

2) यदि कुछ सदिश एक रैखिक रूप से निर्भर प्रणाली बनाते हैं, तो संपूर्ण प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर होती है।

वास्तव में, सदिश , को रैखिक रूप से निर्भर होने दें। इसलिए, शून्य वेक्टर के बराबर एक गैर-तुच्छ रैखिक संयोजन मौजूद है। लेकिन फिर, मानते हुए , हम शून्य वेक्टर के बराबर एक गैर-तुच्छ रैखिक संयोजन भी प्राप्त करते हैं।

2. आधार और आयाम। परिभाषा. रैखिक रूप से स्वतंत्र वैक्टर की प्रणाली वेक्टर स्पेस कहा जाता है आधारयह स्थान, यदि किसी वेक्टर को इस प्रणाली के वैक्टरों के रैखिक संयोजन के रूप में दर्शाया जा सकता है, अर्थात प्रत्येक सदिश के लिए वास्तविक संख्याएँ होती हैं ऐसी कि समानता धारण करती है।यह समानता कहलाती है वेक्टर अपघटनआधार और संख्या के अनुसार बुलाया वेक्टर आधार के सापेक्ष समन्वय करता है(या आधार पर) .

प्रमेय (आधार के संदर्भ में विस्तार की विशिष्टता पर). आधार के संदर्भ में प्रत्येक अंतरिक्ष वेक्टर का विस्तार किया जा सकता है एक अनोखे तरीके से, यानी आधार में प्रत्येक वेक्टर के निर्देशांक स्पष्ट रूप से परिभाषित हैं।

कार्य 1।पता करें कि क्या वैक्टर की प्रणाली रैखिक रूप से स्वतंत्र है। वैक्टर की प्रणाली को सिस्टम के मैट्रिक्स द्वारा परिभाषित किया जाएगा, जिसके कॉलम में वैक्टर के निर्देशांक होते हैं।

.

समाधान।चलो रैखिक संयोजन शून्य के बराबर। इस समानता को निर्देशांक में लिखने के बाद, हम समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली प्राप्त करते हैं:

.

समीकरणों की ऐसी प्रणाली को त्रिकोणीय कहा जाता है। उसके पास एक ही उपाय है। . इसलिए वैक्टर रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं।

कार्य 2।पता करें कि क्या वैक्टर की प्रणाली रैखिक रूप से स्वतंत्र है।

.

समाधान।वैक्टर रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं (समस्या 1 देखें)। आइए सिद्ध करें कि सदिश सदिशों का एक रैखिक संयोजन है . वेक्टर विस्तार गुणांक समीकरणों की प्रणाली से निर्धारित होते हैं

.

त्रिकोणीय प्रणाली की तरह इस प्रणाली का एक अनूठा समाधान है।

इसलिए, वैक्टर की प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर।

टिप्पणी. मैट्रिसेस जैसे समस्या 1 में कहलाते हैं त्रिकोणीय , और समस्या 2 में - त्रिकोणीय कदम रखा . वैक्टर की एक प्रणाली की रैखिक निर्भरता का प्रश्न आसानी से हल हो जाता है यदि इन वैक्टरों के निर्देशांक से बना मैट्रिक्स चरणबद्ध त्रिकोणीय है। यदि मैट्रिक्स का कोई विशेष रूप नहीं है, तो उपयोग करना प्राथमिक स्ट्रिंग परिवर्तन , स्तंभों के बीच रैखिक संबंधों को संरक्षित करते हुए, इसे चरणबद्ध त्रिकोणीय रूप में घटाया जा सकता है।

प्राथमिक स्ट्रिंग परिवर्तनमैट्रिसेस (ईपीएस) को मैट्रिक्स पर निम्नलिखित ऑपरेशन कहा जाता है:

1) रेखाओं का क्रमपरिवर्तन;

2) एक स्ट्रिंग को एक गैर-शून्य संख्या से गुणा करना;

3) स्ट्रिंग में एक और स्ट्रिंग जोड़ना, एक मनमाना संख्या से गुणा करना।

कार्य 3।अधिकतम रैखिक रूप से स्वतंत्र सबसिस्टम खोजें और वैक्टर की प्रणाली के रैंक की गणना करें

.

समाधान।आइए हम EPS की मदद से सिस्टम के मैट्रिक्स को एक चरणबद्ध-त्रिकोणीय रूप में कम करें। प्रक्रिया की व्याख्या करने के लिए, रूपांतरित होने वाली मैट्रिक्स की संख्या वाली रेखा को प्रतीक द्वारा दर्शाया जाएगा। तीर के बाद का कॉलम नए मैट्रिक्स की पंक्तियों को प्राप्त करने के लिए परिवर्तित मैट्रिक्स की पंक्तियों पर की जाने वाली क्रियाओं को दिखाता है।

.

जाहिर है, परिणामी मैट्रिक्स के पहले दो कॉलम रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं, तीसरा कॉलम उनका रैखिक संयोजन है, और चौथा पहले दो पर निर्भर नहीं करता है। वैक्टर बुनियादी कहलाते हैं। वे सिस्टम के अधिकतम रैखिक रूप से स्वतंत्र सबसिस्टम बनाते हैं , और सिस्टम की रैंक तीन है।

आधार, निर्देशांक

कार्य 4।इस आधार पर समुच्चय में सदिशों के आधार और निर्देशांक ज्ञात कीजिए ज्यामितीय वैक्टर, जिनके निर्देशांक शर्त को पूरा करते हैं .

समाधान. समुच्चय मूल बिंदु से गुजरने वाला समतल है। समतल पर एक मनमाने आधार में दो असंरेखीय सदिश होते हैं। चुने हुए आधार में सदिशों के निर्देशांक संबंधित प्रणाली के समाधान द्वारा निर्धारित किए जाते हैं रेखीय समीकरण.

इस समस्या को हल करने का एक और तरीका है, जब आप निर्देशांक द्वारा आधार ढूंढ सकते हैं।

COORDINATES रिक्त स्थान समतल पर निर्देशांक नहीं हैं, क्योंकि वे संबंध से संबंधित हैं अर्थात् वे स्वतंत्र नहीं हैं। स्वतंत्र चर और (उन्हें मुक्त कहा जाता है) विशिष्ट रूप से विमान पर वेक्टर निर्धारित करते हैं और इसलिए, उन्हें निर्देशांक के रूप में चुना जा सकता है। फिर आधार फ्री वेरिएबल्स के सेट में और संबंधित वैक्टर शामिल हैं तथा , वह है ।

कार्य 5।इस आधार पर अंतरिक्ष में उन सभी सदिशों के समुच्चय के आधार पर सदिशों के आधार और निर्देशांक ज्ञात कीजिए जिनके विषम निर्देशांक एक दूसरे के बराबर हैं।

समाधान. पिछली समस्या की तरह हम अंतरिक्ष में निर्देशांक चुनते हैं।

इसलिये , फिर मुक्त चर विशिष्ट रूप से एक सदिश को परिभाषित करते हैं और इसलिए, निर्देशांक हैं। इसी आधार में वैक्टर होते हैं।

टास्क 6।फॉर्म के सभी मैट्रिसेस के सेट पर इस आधार पर वैक्टर के आधार और निर्देशांक खोजें , कहाँ पे मनमानी संख्याएं हैं।

समाधान. प्रत्येक मैट्रिक्स को विशिष्ट रूप से दर्शाया जा सकता है:

यह संबंध आधार के संदर्भ में सदिश का विस्तार है
निर्देशांक के साथ .

टास्क 7।सदिशों के निकाय के रैखिक फैलाव का आयाम और आधार ज्ञात कीजिए

.

समाधान।ईपीएस का उपयोग करते हुए, हम मैट्रिक्स को सिस्टम वैक्टर के निर्देशांक से एक चरणबद्ध-त्रिकोणीय रूप में बदलते हैं।

.

कॉलम अंतिम मैट्रिक्स के रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं, और कॉलम उनके माध्यम से रैखिक रूप से व्यक्त किया जाता है। इसलिए वैक्टर आधार बनाओ , तथा .

टिप्पणी. में आधार अस्पष्ट रूप से चुना गया। उदाहरण के लिए, वैक्टर आधार भी बनाते हैं .

परिभाषा। वैक्टर का रैखिक संयोजन a 1 , ..., a n गुणांक x 1 , ..., x n के साथ सदिश कहलाता है

एक्स 1 ए 1 + ... + एक्स एन एन।

मामूली, यदि सभी गुणांक x 1 , ..., x n शून्य के बराबर हैं।

परिभाषा। रैखिक संयोजन x 1 a 1 + ... + x n a n कहलाता है गैर तुच्छ, यदि कम से कम एक गुणांक x 1 , ..., x n शून्य के बराबर नहीं है।

रैखिक रूप से स्वतंत्र, यदि शून्य सदिश के बराबर इन सदिशों का कोई गैर-तुच्छ संयोजन नहीं है।

अर्थात्, सदिश a 1 , ..., a n रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं यदि x 1 a 1 + ... + x n a n = 0 यदि और केवल यदि x 1 = 0, ..., x n = 0।

परिभाषा। सदिश a 1 , ..., a n कहलाते हैं रैखिक रूप से निर्भर, यदि शून्य सदिश के बराबर इन सदिशों का एक गैर-तुच्छ संयोजन मौजूद है।

रैखिक रूप से निर्भर वैक्टर के गुण:

2 और 3 आयामी वैक्टर के लिए।

दो रैखिक आश्रित वैक्टर- संरेख। (कोलिनियर वैक्टर रैखिक रूप से निर्भर हैं।)

3-आयामी वैक्टर के लिए।

तीन रैखिक रूप से आश्रित सदिश समतलीय होते हैं। (तीन समतलीय सदिश रैखिक रूप से निर्भर हैं।)

• एन-आयामी वैक्टर के लिए।

  n + 1 सदिश हमेशा रैखिक रूप से निर्भर होते हैं।

रैखिक निर्भरता और वैक्टर की रैखिक स्वतंत्रता के लिए कार्यों के उदाहरण:

उदाहरण 1. जाँच कीजिए कि क्या सदिश a = (3; 4; 5), b = (-3; 0; 5), c = (4; 4; 4), d = (3; 4; 0) रैखिकतः स्वतंत्र हैं। .

समाधान:

सदिश रैखिक रूप से निर्भर होंगे, क्योंकि सदिशों का आयाम सदिशों की संख्या से कम है।

उदाहरण 2. जाँच कीजिए कि क्या सदिश a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 1) रैखिकतः स्वतंत्र हैं।

समाधान:

	एक्स1 + एक्स2 = 0
	x1 + 2x2 - x3 = 0
	एक्स1 + एक्स3 = 0

	1	1	0	0		~
	1	2	-1	0
	1	0	1	0

~		1	1	0	0		~		1	1	0	0		~
		1 - 1	2 - 1	-1 - 0	0 - 0				0	1	-1	0
		1 - 1	0 - 1	1 - 0	0 - 0				0	-1	1	0

दूसरी पंक्ति को पहली पंक्ति से घटाएं; दूसरी पंक्ति को तीसरी पंक्ति में जोड़ें:

~		1 - 0	1 - 1	0 - (-1)	0 - 0		~		1	0	1	0
		0	1	-1	0				0	1	-1	0
		0 + 0	-1 + 1	1 + (-1)	0 + 0				0	0	0	0

इस समाधान से पता चलता है कि सिस्टम में कई समाधान हैं, अर्थात्, संख्या x 1, x 2, x 3 के मूल्यों का एक गैर-शून्य संयोजन है जैसे कि वैक्टर a, b, c का रैखिक संयोजन बराबर है शून्य वेक्टर के लिए, उदाहरण के लिए:

ए + बी + सी = 0

जिसका मतलब है कि वेक्टर ए, बी, सी रैखिक रूप से निर्भर हैं।

उत्तर:वैक्टर a , b , c रैखिक रूप से निर्भर हैं।

उदाहरण 3. जाँच कीजिए कि क्या सदिश a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 2) रैखिकतः स्वतंत्र हैं।

समाधान: आइए मूल्यों का पता लगाएंगुणांक जिस पर इन सदिशों का रैखिक संयोजन शून्य सदिश के बराबर होगा।

एक्स 1 ए + एक्स 2 बी + एक्स 3 सी 1 = 0

इस सदिश समीकरण को रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली के रूप में लिखा जा सकता है

	एक्स1 + एक्स2 = 0
	x1 + 2x2 - x3 = 0
	एक्स1 + 2x3 = 0

हम गॉस पद्धति का उपयोग करके इस प्रणाली को हल करते हैं

	1	1	0	0		~
	1	2	-1	0
	1	0	2	0

पहली पंक्ति को दूसरी पंक्ति से घटाएं; पहली पंक्ति को तीसरी पंक्ति से घटाएं:

~		1	1	0	0		~		1	1	0	0		~
		1 - 1	2 - 1	-1 - 0	0 - 0				0	1	-1	0
		1 - 1	0 - 1	2 - 0	0 - 0				0	-1	2	0

पहली पंक्ति से दूसरा घटाएं; दूसरी पंक्ति को तीसरी पंक्ति में जोड़ें।