गणित: भिन्नों के साथ क्रियाएँ। दशमलव और सामान्य अंशों के साथ संचालन। दशमलव। दशमलव के साथ संचालन

इस ट्यूटोरियल में, हम इनमें से प्रत्येक ऑपरेशन को एक-एक करके देखेंगे।

पाठ सामग्री

दशमलव जोड़ना

जैसा कि हम जानते हैं, दशमलव में एक पूर्णांक भाग और एक भिन्नात्मक भाग होता है। दशमलव को जोड़ते समय पूर्णांक और भिन्नात्मक भागों को अलग-अलग जोड़ा जाता है।

उदाहरण के लिए, दशमलव 3.2 और 5.3 को जोड़ते हैं। दशमलवकॉलम में फोल्ड करना अधिक सुविधाजनक है।

सबसे पहले, हम इन दो अंशों को एक कॉलम में लिखते हैं, जबकि पूर्णांक भागों को पूर्णांक भागों के नीचे और भिन्नात्मक भागों को भिन्नात्मक भागों के नीचे होना चाहिए। स्कूल में, इस आवश्यकता को कहा जाता है "अल्पविराम के तहत अल्पविराम".

आइए अंशों को एक स्तंभ में लिखें ताकि अल्पविराम अल्पविराम के नीचे हो:

हम भिन्नात्मक भागों को जोड़ना शुरू करते हैं: 2 + 3 \u003d 5. हम अपने उत्तर के भिन्नात्मक भाग में पाँच लिखते हैं:

अब हम पूर्णांक भागों को जोड़ते हैं: 3 + 5 = 8। हम आठ को अपने उत्तर के पूर्णांक भाग में लिखते हैं:

अब हम पूर्णांक भाग को भिन्नात्मक भाग से अल्पविराम से अलग करते हैं। ऐसा करने के लिए, हम फिर से नियम का पालन करते हैं "अल्पविराम के तहत अल्पविराम":

उत्तर मिला 8.5। तो व्यंजक 3.2 + 5.3 बराबर 8.5 है

वास्तव में, सब कुछ उतना सरल नहीं है जितना पहली नज़र में लगता है। यहां भी नुकसान हैं, जिनके बारे में अब हम बात करेंगे।

दशमलव में स्थान

दशमलव, साधारण संख्याओं की तरह, अपने स्वयं के अंक होते हैं। ये दसवां स्थान, सौवां स्थान, हजारवां स्थान हैं। इस मामले में, अंक दशमलव बिंदु के बाद शुरू होते हैं।

दशमलव बिंदु के बाद पहला अंक दसवें स्थान के लिए जिम्मेदार होता है, दशमलव बिंदु के बाद दूसरा अंक सौवें स्थान के लिए, तीसरा अंक दशमलव बिंदु के बाद हजारवें स्थान के लिए होता है।

दशमलव अंशों में अंक कुछ संग्रहित करते हैं उपयोगी जानकारी. विशेष रूप से, वे रिपोर्ट करते हैं कि दशमलव में कितने दसवें, सौवें और हज़ारवें हैं।

उदाहरण के लिए, दशमलव 0.345 पर विचार करें

जिस स्थान पर त्रिगुण स्थित होता है, उसे कहते हैं दसवां स्थान

जिस स्थान पर चारों स्थित होते हैं, उसे कहते हैं सौवां स्थान

पंचों के स्थित होने की स्थिति कहलाती है हजारवें

आइए इस आंकड़े को देखें। हम देखते हैं कि दसवीं की श्रेणी में एक तीन है। इससे पता चलता है कि दशमलव अंश 0.345 में तीन दहाई हैं।

यदि हम भिन्नों को जोड़ते हैं, और तब हमें मूल दशमलव भिन्न 0.345 प्राप्त होता है

यह देखा जा सकता है कि पहले तो हमें उत्तर मिल गया, लेकिन इसे दशमलव अंश में बदल कर 0.345 प्राप्त हुआ।

दशमलव अंशों को जोड़ते समय उन्हीं सिद्धांतों और नियमों का पालन किया जाता है जिनका पालन साधारण संख्याओं को जोड़ते समय किया जाता है। दशमलव अंशों का योग अंकों द्वारा होता है: दसवें को दसवें, सौवें से सौवें, हजारवें से हजारवें तक जोड़ा जाता है।

इसलिए, दशमलव अंशों को जोड़ते समय, नियम का पालन करना आवश्यक है "अल्पविराम के तहत अल्पविराम". अल्पविराम के अंतर्गत एक अल्पविराम उसी क्रम को प्रदान करता है जिसमें दसवें को दसवें, सौवें से सौवें, हज़ारवें से हज़ारवें तक जोड़ा जाता है।

उदाहरण 1व्यंजक 1.5 + 3.4 का मान ज्ञात कीजिए

सबसे पहले, हम भिन्नात्मक भागों को जोड़ते हैं 5 + 4 = 9। हम अपने उत्तर के भिन्नात्मक भाग में नौ लिखते हैं:

अब हम पूर्णांक भागों को जोड़ते हैं 1 + 3 = 4। हम चारों को अपने उत्तर के पूर्णांक भाग में लिखते हैं:

अब हम पूर्णांक भाग को भिन्नात्मक भाग से अल्पविराम से अलग करते हैं। ऐसा करने के लिए, हम फिर से "अल्पविराम के तहत अल्पविराम" नियम का पालन करते हैं:

उत्तर मिला 4.9। अतः व्यंजक 1.5 + 3.4 का मान 4.9 है

उदाहरण 2व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: 3.51 + 1.22

हम इस अभिव्यक्ति को एक कॉलम में लिखते हैं, "अल्पविराम के तहत अल्पविराम" नियम का पालन करते हुए

सबसे पहले, भिन्नात्मक भाग को जोड़ें, अर्थात् शतांश 1+2=3। हम अपने उत्तर के सौवें भाग में त्रिक लिखते हैं:

अब 5+2=7 का दशमांश जोड़ें। हम अपने उत्तर के दसवें भाग में सात लिखते हैं:

अब पूरे भागों को 3+1=4 जोड़ें। हम अपने उत्तर के पूरे भाग में चारों को लिखते हैं:

हम "अल्पविराम के तहत अल्पविराम" नियम का पालन करते हुए पूर्णांक भाग को अल्पविराम से अलग करते हैं:

उत्तर मिला 4.73। अतः व्यंजक 3.51 + 1.22 का मान 4.73 है

3,51 + 1,22 = 4,73

साधारण संख्याओं की तरह, दशमलव भिन्नों को जोड़ते समय, . इस मामले में, उत्तर में एक अंक लिखा जाता है, और बाकी को अगले अंक में स्थानांतरित कर दिया जाता है।

उदाहरण 3व्यंजक 2.65 + 3.27 का मान ज्ञात कीजिए

हम इस अभिव्यक्ति को एक कॉलम में लिखते हैं:

5+7=12 का सौवां भाग जोड़ें। संख्या 12 हमारे उत्तर के सौवें भाग में नहीं आएगी। इसलिए, सौवें भाग में हम संख्या 2 लिखते हैं, और इकाई को अगले बिट में स्थानांतरित करते हैं:

अब हम 6+2=8 के दसवें भाग को जोड़ते हैं और पिछली संक्रिया से प्राप्त इकाई को जोड़ते हैं, तो हमें 9 प्राप्त होता है। हम अपने उत्तर के दसवें भाग में संख्या 9 लिखते हैं:

अब पूरे भागों को जोड़ें 2+3=5. हम अपने उत्तर के पूर्णांक भाग में संख्या 5 लिखते हैं:

उत्तर मिला 5.92। अतः व्यंजक 2.65 + 3.27 का मान 5.92 है

2,65 + 3,27 = 5,92

उदाहरण 4व्यंजक 9.5 + 2.8 का मान ज्ञात कीजिए

इस अभिव्यक्ति को एक कॉलम में लिखें

हम भिन्नात्मक भागों को 5 + 8 = 13 जोड़ते हैं। संख्या 13 हमारे उत्तर के भिन्नात्मक भाग में फिट नहीं होगी, इसलिए हम पहले संख्या 3 लिखते हैं, और इकाई को अगले अंक में स्थानांतरित करते हैं, या इसे पूर्णांक में स्थानांतरित करते हैं। अंश:

अब हम पूर्णांक भागों 9+2=11 को जोड़ते हैं और पिछली संक्रिया से प्राप्त इकाई को जोड़ते हैं, तो हमें 12 प्राप्त होता है। हम अपने उत्तर के पूर्णांक भाग में संख्या 12 लिखते हैं:

आंशिक भाग से पूर्णांक भाग को अल्पविराम से अलग करें:

उत्तर मिला 12.3। अतः व्यंजक 9.5 + 2.8 का मान 12.3 है

9,5 + 2,8 = 12,3

दशमलव अंशों को जोड़ते समय, दोनों भिन्नों में दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या समान होनी चाहिए। यदि पर्याप्त अंक नहीं हैं, तो भिन्नात्मक भाग में ये स्थान शून्य से भरे हुए हैं।

उदाहरण 5. व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: 12.725 + 1.7

इस व्यंजक को एक कॉलम में लिखने से पहले, आइए दोनों भिन्नों में दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या को समान बना लें। दशमलव अंश 12.725 में दशमलव बिंदु के बाद तीन अंक होते हैं, जबकि अंश 1.7 में केवल एक होता है। इसलिए अंश 1.7 में अंत में आपको दो शून्य जोड़ने होंगे। फिर हमें अंश 1,700 मिलता है। अब आप इस अभिव्यक्ति को कॉलम में लिख सकते हैं और गणना करना शुरू कर सकते हैं:

5+0=5 का हज़ारवाँ भाग जोड़ें। हम अपने उत्तर के हजारवें भाग में संख्या 5 लिखते हैं:

2+0=2 का सौवां भाग जोड़ें। हम अपने उत्तर के सौवें भाग में संख्या 2 लिखते हैं:

7+7=14 का दसवाँ भाग जोड़ें। 14 अंक हमारे उत्तर के दसवें भाग में नहीं आएगा। इसलिए, हम पहले संख्या 4 लिखते हैं, और इकाई को अगले बिट में स्थानांतरित करते हैं:

अब हम पूर्णांक भागों 12+1=13 को जोड़ते हैं और पिछली संक्रिया से प्राप्त इकाई को जोड़ते हैं, तो हमें 14 प्राप्त होता है। हम अपने उत्तर के पूर्णांक भाग में संख्या 14 लिखते हैं:

आंशिक भाग से पूर्णांक भाग को अल्पविराम से अलग करें:

जवाब मिला 14,425। अतः व्यंजक 12.725+1.700 का मान 14.425 है

12,725+ 1,700 = 14,425

दशमलव का घटाव

दशमलव अंशों को घटाते समय, आपको जोड़ने के समान नियमों का पालन करना चाहिए: "अल्पविराम के नीचे अल्पविराम" और "दशमलव बिंदु के बाद अंकों की समान संख्या"।

उदाहरण 1व्यंजक 2.5 - 2.2 का मान ज्ञात कीजिए

हम इस अभिव्यक्ति को "अल्पविराम के तहत अल्पविराम" नियम का पालन करते हुए एक कॉलम में लिखते हैं:

हम भिन्नात्मक भाग 5−2=3 की गणना करते हैं। हम अपने उत्तर के दसवें भाग में संख्या 3 लिखते हैं:

पूर्णांक भाग 2−2=0 की गणना करें। हम अपने उत्तर के पूर्णांक भाग में शून्य लिखते हैं:

आंशिक भाग से पूर्णांक भाग को अल्पविराम से अलग करें:

हमें उत्तर 0.3 मिला। अतः व्यंजक 2.5 − 2.2 का मान 0.3 के बराबर है

2,5 − 2,2 = 0,3

उदाहरण 2व्यंजक 7.353 - 3.1 का मान ज्ञात कीजिए

इस व्यंजक में दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या भिन्न होती है। अंश 7.353 में दशमलव बिंदु के बाद तीन अंक होते हैं, और अंश 3.1 में केवल एक होता है। इसका मतलब यह है कि अंश 3.1 में, दोनों अंशों में अंकों की संख्या को समान बनाने के लिए अंत में दो शून्य जोड़े जाने चाहिए। तब हमें 3,100 मिलते हैं।

अब आप इस अभिव्यक्ति को कॉलम में लिख सकते हैं और इसकी गणना कर सकते हैं:

उत्तर मिला 4,253। अतः व्यंजक 7.353 − 3.1 का मान 4.253 है

7,353 — 3,1 = 4,253

साधारण संख्याओं की तरह, यदि घटाव असंभव हो जाता है तो कभी-कभी आपको आसन्न बिट से एक उधार लेना होगा।

उदाहरण 3व्यंजक 3.46 - 2.39 का मान ज्ञात कीजिए

6−9 का सौवां भाग घटाएं। संख्या 6 से संख्या 9 घटाएं नहीं। इसलिए, आपको आसन्न अंक से एक इकाई लेने की आवश्यकता है। पड़ोसी अंक से एक उधार लेकर, संख्या 6 संख्या 16 में बदल जाती है। अब हम 16−9=7 के सौवें भाग की गणना कर सकते हैं। हम अपने उत्तर के सौवें भाग में सात लिखते हैं:

अब दशमांश घटाएं। चूँकि हमने एक इकाई को दशमांश की श्रेणी में लिया था, इसलिए वहाँ स्थित संख्या एक इकाई से कम हो गई। दूसरे शब्दों में, दसवां स्थान अब संख्या 4 नहीं, बल्कि संख्या 3 है। आइए 3−3=0 के दसवें भाग की गणना करें। हम अपने उत्तर के दसवें भाग में शून्य लिखते हैं:

अब पूर्णांक भागों 3−2=1 घटाएं। हम इकाई को अपने उत्तर के पूर्णांक भाग में लिखते हैं:

आंशिक भाग से पूर्णांक भाग को अल्पविराम से अलग करें:

उत्तर मिला 1.07। अतः व्यंजक 3.46−2.39 का मान 1.07 के बराबर है

3,46−2,39=1,07

उदाहरण 4. व्यंजक 3−1.2 का मान ज्ञात कीजिए

यह उदाहरण एक पूर्णांक से एक दशमलव घटाता है। आइए इस अभिव्यक्ति को एक कॉलम में लिखें ताकि दशमलव अंश 1.23 का पूर्णांक भाग संख्या 3 के अंतर्गत हो

अब दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या को समान कर लेते हैं। ऐसा करने के लिए, संख्या 3 के बाद, अल्पविराम लगाएं और एक शून्य जोड़ें:

अब दहाई घटाएँ: 0−2। संख्या 2 को शून्य से घटाएं नहीं इसलिए, आपको आसन्न अंक से एक इकाई लेने की आवश्यकता है। आसन्न अंक से एक उधार लेकर, 0 संख्या 10 में बदल जाता है। अब आप 10−2=8 के दसवें भाग की गणना कर सकते हैं। हम अपने उत्तर के दसवें भाग में आठ लिखते हैं:

अब पूरे भागों को घटा दें। पहले, संख्या 3 पूर्णांक में स्थित थी, लेकिन हमने इससे एक इकाई उधार ली थी। नतीजतन, यह संख्या 2 में बदल गया। इसलिए, हम 1 को 2 से घटाते हैं। 2−1=1। हम इकाई को अपने उत्तर के पूर्णांक भाग में लिखते हैं:

आंशिक भाग से पूर्णांक भाग को अल्पविराम से अलग करें:

उत्तर मिला 1.8। अतः व्यंजक 3−1.2 का मान 1.8 है

दशमलव गुणन

दशमलव को गुणा करना आसान और मजेदार भी है। दशमलव को गुणा करने के लिए, आपको अल्पविरामों की उपेक्षा करते हुए उन्हें नियमित संख्याओं की तरह गुणा करना होगा।

उत्तर प्राप्त करने के बाद, पूर्णांक भाग को आंशिक भाग से अल्पविराम से अलग करना आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, आपको दोनों अंशों में दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या गिनने की आवश्यकता है, फिर उत्तर में दाईं ओर समान अंकों की संख्या गिनें और अल्पविराम लगाएं।

उदाहरण 1व्यंजक 2.5 × 1.5 का मान ज्ञात कीजिए

हम अल्पविरामों की उपेक्षा करते हुए इन दशमलव भिन्नों को साधारण संख्याओं के रूप में गुणा करते हैं। अल्पविरामों को अनदेखा करने के लिए, आप अस्थायी रूप से कल्पना कर सकते हैं कि वे पूरी तरह अनुपस्थित हैं:

हमें 375 मिला। इस संख्या में, पूरे भाग को भिन्नात्मक भाग से अल्पविराम से अलग करना आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, आपको 2.5 और 1.5 के अंशों में दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या गिनने की आवश्यकता है। पहले अंश में दशमलव बिंदु के बाद एक अंक होता है, दूसरे अंश में भी एक होता है। कुल दो संख्याएँ।

हम 375 नंबर पर लौटते हैं और दाएं से बाएं चलना शुरू करते हैं। हमें दाईं ओर से दो अंक गिनने और अल्पविराम लगाने की आवश्यकता है:

उत्तर मिला 3.75। अतः व्यंजक 2.5 × 1.5 का मान 3.75 है

2.5 x 1.5 = 3.75

उदाहरण 2व्यंजक 12.85 × 2.7 का मान ज्ञात कीजिए

अल्पविरामों को अनदेखा करते हुए, आइए इन दशमलवों को गुणा करें:

हमें 34695 मिला। इस संख्या में, आपको पूर्णांक भाग को भिन्नात्मक भाग से अल्पविराम से अलग करने की आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए, आपको 12.85 और 2.7 के अंशों में दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या की गणना करने की आवश्यकता है। अंश 12.85 में दशमलव बिंदु के बाद दो अंक होते हैं, अंश 2.7 में एक अंक होता है - कुल तीन अंक।

हम 34695 नंबर पर लौटते हैं और दाएं से बाएं चलना शुरू करते हैं। हमें दाईं ओर से तीन अंक गिनने और अल्पविराम लगाने की आवश्यकता है:

जवाब मिला 34,695। अतः व्यंजक 12.85 × 2.7 का मान 34.695 है

12.85 x 2.7 = 34.695

एक दशमलव को एक नियमित संख्या से गुणा करना

कभी-कभी ऐसी स्थितियां होती हैं जब आपको दशमलव अंश को नियमित संख्या से गुणा करने की आवश्यकता होती है।

एक दशमलव और एक साधारण संख्या को गुणा करने के लिए, आपको दशमलव में अल्पविराम की परवाह किए बिना उन्हें गुणा करना होगा। उत्तर प्राप्त करने के बाद, पूर्णांक भाग को आंशिक भाग से अल्पविराम से अलग करना आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, आपको दशमलव अंश में दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या की गणना करने की आवश्यकता है, फिर उत्तर में, अंकों की समान संख्या को दाईं ओर गिनें और अल्पविराम लगाएं।

उदाहरण के लिए, 2.54 को 2 से गुणा करें

हम अल्पविराम को अनदेखा करते हुए दशमलव अंश 2.54 को सामान्य संख्या 2 से गुणा करते हैं:

हमें संख्या 508 मिली। इस संख्या में, आपको अल्पविराम से पूर्णांक भाग को भिन्नात्मक भाग से अलग करने की आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए, आपको अंश 2.54 में दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या गिनने की आवश्यकता है। अंश 2.54 में दशमलव बिंदु के बाद दो अंक होते हैं।

हम 508 नंबर पर लौटते हैं और दाएं से बाएं चलना शुरू करते हैं। हमें दाईं ओर से दो अंक गिनने और अल्पविराम लगाने की आवश्यकता है:

उत्तर मिला 5.08। अतः व्यंजक 2.54 × 2 का मान 5.08 है

2.54 x 2 = 5.08

दशमलव को 10, 100, 1000 से गुणा करना

दशमलव को 10, 100, या 1000 से गुणा उसी तरह किया जाता है जैसे दशमलव को नियमित संख्याओं से गुणा किया जाता है। दशमलव अंश में अल्पविराम को अनदेखा करते हुए गुणा करना आवश्यक है, फिर उत्तर में पूर्णांक भाग को भिन्नात्मक भाग से अलग करें, अंकों की समान संख्या को दाईं ओर गिनें क्योंकि दशमलव में दशमलव बिंदु के बाद अंक थे अंश।

उदाहरण के लिए, 2.88 को 10 से गुणा करें

आइए दशमलव अंश में अल्पविराम को अनदेखा करते हुए दशमलव अंश 2.88 को 10 से गुणा करें:

हमें 2880 मिला। इस संख्या में, आपको पूरे भाग को आंशिक भाग से अल्पविराम से अलग करना होगा। ऐसा करने के लिए, आपको अंश 2.88 में दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या गिनने की आवश्यकता है। हम देखते हैं कि भिन्न 2.88 में दशमलव बिंदु के बाद दो अंक हैं।

हम 2880 नंबर पर लौटते हैं और दाएं से बाएं चलना शुरू करते हैं। हमें दाईं ओर से दो अंक गिनने और अल्पविराम लगाने की आवश्यकता है:

उत्तर मिला 28.80। हम अंतिम शून्य को छोड़ देते हैं - हमें 28.8 मिलता है। अतः व्यंजक 2.88 × 10 का मान 28.8 है

2.88 x 10 = 28.8

दशमलव भिन्नों को 10, 100, 1000 से गुणा करने का दूसरा तरीका है। यह विधि बहुत सरल और अधिक सुविधाजनक है। यह इस तथ्य में समाहित है कि दशमलव अंश में अल्पविराम उतने ही अंकों से दाईं ओर जाता है जितने कि गुणक में शून्य होते हैं।

उदाहरण के लिए, पिछले उदाहरण 2.88×10 को इस तरह से हल करते हैं। कोई गणना दिए बिना, हम तुरंत कारक 10 को देखते हैं। हम इस बात में रुचि रखते हैं कि इसमें कितने शून्य हैं। हम देखते हैं कि इसमें एक शून्य है। अब भिन्न 2.88 में हम दशमलव बिंदु को एक अंक से दाईं ओर ले जाते हैं, हमें 28.8 प्राप्त होता है।

2.88 x 10 = 28.8

आइए 2.88 को 100 से गुणा करने का प्रयास करें। हम तुरंत कारक 100 को देखते हैं। हम इस बात में रुचि रखते हैं कि इसमें कितने शून्य हैं। हम देखते हैं कि इसमें दो शून्य हैं। अब भिन्न 2.88 में हम दशमलव बिंदु को दो अंकों से दाईं ओर ले जाते हैं, हमें 288 प्राप्त होता है

2.88 x 100 = 288

आइए 2.88 को 1000 से गुणा करने का प्रयास करें। हम तुरंत कारक 1000 को देखते हैं। हम इसमें रुचि रखते हैं कि इसमें कितने शून्य हैं। हम देखते हैं कि इसमें तीन शून्य हैं। अब भिन्न 2.88 में हम दशमलव बिंदु को तीन अंकों से दाईं ओर ले जाते हैं। तीसरा अंक नहीं है, इसलिए हम एक और शून्य जोड़ते हैं। नतीजतन, हमें 2880 मिलते हैं।

2.88 x 1000 = 2880

दशमलव को 0.1 0.01 और 0.001 से गुणा करना

दशमलव को 0.1, 0.01 और 0.001 से गुणा करना उसी तरह काम करता है जैसे दशमलव को दशमलव से गुणा करना। साधारण संख्याओं की तरह भिन्नों को गुणा करना और उत्तर में एक अल्पविराम लगाना आवश्यक है, दोनों अंशों में दशमलव बिंदु के बाद जितने अंक हैं, दाईं ओर उतने ही अंक गिनें।

उदाहरण के लिए, 3.25 को 0.1 से गुणा करें

हम अल्पविरामों की उपेक्षा करते हुए इन भिन्नों को साधारण संख्याओं की तरह गुणा करते हैं:

हमें 325 मिला। इस संख्या में, आपको पूरे भाग को भिन्नात्मक भाग से अल्पविराम से अलग करने की आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए, आपको 3.25 और 0.1 के अंशों में दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या की गणना करने की आवश्यकता है। अंश 3.25 में दशमलव बिंदु के बाद दो अंक होते हैं, अंश 0.1 में एक अंक होता है। कुल तीन संख्याएँ।

हम 325 नंबर पर लौटते हैं और दाएं से बाएं चलना शुरू करते हैं। हमें दाईं ओर तीन अंक गिनने और अल्पविराम लगाने की आवश्यकता है। तीन अंकों की गिनती करने के बाद, हम पाते हैं कि संख्याएँ समाप्त हो गई हैं। इस स्थिति में, आपको एक शून्य जोड़ने और अल्पविराम लगाने की आवश्यकता है:

हमें उत्तर 0.325 मिला। अतः व्यंजक 3.25 × 0.1 का मान 0.325 है

3.25 x 0.1 = 0.325

दशमलव को 0.1, 0.01 और 0.001 से गुणा करने का दूसरा तरीका है। यह तरीका ज्यादा आसान और ज्यादा सुविधाजनक है। यह इस तथ्य में समाहित है कि दशमलव अंश में अल्पविराम बाईं ओर उतने ही अंकों से चलता है जितने कि गुणक में शून्य होते हैं।

उदाहरण के लिए, पिछले उदाहरण 3.25 × 0.1 को इस तरह से हल करते हैं। कोई गणना दिए बिना, हम तुरंत कारक 0.1 को देखते हैं। हम इसमें रुचि रखते हैं कि इसमें कितने शून्य हैं। हम देखते हैं कि इसमें एक शून्य है। अब अंश 3.25 में हम दशमलव बिंदु को एक अंक से बाईं ओर ले जाते हैं। अल्पविराम को एक अंक बाईं ओर ले जाने पर, हम देखते हैं कि तीन से पहले कोई अंक नहीं हैं। इस स्थिति में, एक शून्य जोड़ें और एक अल्पविराम लगाएं। नतीजतन, हमें 0.325 मिलता है

3.25 x 0.1 = 0.325

आइए 3.25 को 0.01 से गुणा करने का प्रयास करें। तुरंत 0.01 के गुणक को देखें। हम इसमें रुचि रखते हैं कि इसमें कितने शून्य हैं। हम देखते हैं कि इसमें दो शून्य हैं। अब भिन्न 3.25 में हम अल्पविराम को दो अंकों से बाईं ओर ले जाते हैं, हमें 0.0325 मिलता है

3.25 x 0.01 = 0.0325

आइए 3.25 को 0.001 से गुणा करने का प्रयास करें। तुरंत 0.001 के गुणक को देखें। हम इसमें रुचि रखते हैं कि इसमें कितने शून्य हैं। हम देखते हैं कि इसमें तीन शून्य हैं। अब अंश 3.25 में हम दशमलव बिंदु को तीन अंकों से बाईं ओर ले जाते हैं, हमें 0.00325 मिलता है

3.25 × 0.001 = 0.00325

दशमलव को 0.1, 0.001 और 0.001 से गुणा करके 10, 100, 1000 से गुणा करके भ्रमित न हों। सामान्य गलतीज्यादातर लोग।

10, 100, 1000 से गुणा करने पर अल्पविराम को उतने ही अंकों से दाईं ओर ले जाया जाता है जितने गुणक में शून्य होते हैं।

और जब 0.1, 0.01 और 0.001 से गुणा किया जाता है, तो अल्पविराम को बाईं ओर ले जाया जाता है क्योंकि गुणक में शून्य होते हैं।

यदि पहली बार में याद रखना मुश्किल है, तो आप पहली विधि का उपयोग कर सकते हैं, जिसमें साधारण संख्याओं की तरह गुणा किया जाता है। उत्तर में, आपको पूर्णांक भाग को भिन्नात्मक भाग से अलग करने की आवश्यकता होगी, जैसे कि दोनों भिन्नों में दशमलव बिंदु के बाद अंक हैं, दाईं ओर कई अंक गिनकर।

छोटी संख्या को बड़ी संख्या से भाग देना। अग्रवर्ती स्तर।

पिछले पाठों में से एक में, हमने कहा था कि जब एक छोटी संख्या को एक बड़े से विभाजित करते हैं, तो एक अंश प्राप्त होता है, जिसके अंश में भाजक होता है, और भाजक में भाजक होता है।

उदाहरण के लिए, एक सेब को दो में विभाजित करने के लिए, आपको अंश में 1 (एक सेब) लिखना होगा और हर में 2 (दो मित्र) लिखना होगा। परिणाम एक अंश है। तो प्रत्येक मित्र को एक सेब मिलेगा। दूसरे शब्दों में, आधा सेब। एक अंश एक समस्या का उत्तर है एक सेब को दो के बीच कैसे विभाजित करें

यह पता चला है कि यदि आप 1 को 2 से विभाजित करते हैं तो आप इस समस्या को और हल कर सकते हैं। आखिरकार, किसी भी अंश में एक भिन्नात्मक पट्टी का अर्थ विभाजन होता है, जिसका अर्थ है कि इस विभाजन को एक अंश में भी अनुमति है। पर कैसे? हम इस तथ्य के आदी हैं कि लाभांश हमेशा भाजक से अधिक होता है। और यहाँ, इसके विपरीत, भाजक भाजक से कम है।

सब कुछ स्पष्ट हो जाएगा अगर हम याद रखें कि एक अंश का अर्थ है कुचलना, विभाजित करना, विभाजित करना। इसका अर्थ है कि इकाई को आप जितने चाहें उतने भागों में विभाजित कर सकते हैं, न कि केवल दो भागों में।

छोटी संख्या को बड़ी संख्या से भाग देने पर दशमलव अंश प्राप्त होता है, जिसमें पूर्णांक भाग 0 (शून्य) होगा। भिन्नात्मक भाग कुछ भी हो सकता है।

तो, चलिए 1 को 2 से विभाजित करते हैं। आइए इस उदाहरण को एक कोने से हल करें:

एक को ऐसे ही दो में नहीं बांटा जा सकता। यदि आप एक प्रश्न पूछते हैं "एक में कितने दो होते हैं" , तो उत्तर 0 होगा। इसलिए, निजी तौर पर हम 0 लिखते हैं और अल्पविराम लगाते हैं:

अब, हमेशा की तरह, हम भागफल को भाजक से गुणा करके शेषफल निकालते हैं:

वह क्षण आ गया है जब इकाई को दो भागों में विभाजित किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, प्राप्त एक के दाईं ओर एक और शून्य जोड़ें:

हमें 10 मिला। हम 10 को 2 से विभाजित करते हैं, हमें 5 मिलता है। हम अपने उत्तर के भिन्नात्मक भाग में पाँच लिखते हैं:

अब हम गणना पूरी करने के लिए अंतिम शेषफल निकालते हैं। 5 को 2 से गुणा करने पर 10 प्राप्त होता है

हमें उत्तर 0.5 मिला। तो अंश 0.5 है

आधा सेब भी दशमलव अंश 0.5 का उपयोग करके लिखा जा सकता है। यदि हम इन दो हिस्सों (0.5 और 0.5) को जोड़ते हैं, तो हमें फिर से मूल एक पूरा सेब मिलता है:

इस बिंदु को भी समझा जा सकता है यदि हम कल्पना करें कि कैसे 1 सेमी को दो भागों में विभाजित किया जाता है। यदि आप 1 सेंटीमीटर को 2 भागों में विभाजित करते हैं, तो आपको 0.5 सेमी मिलता है

उदाहरण 2व्यंजक 4:5 का मान ज्ञात कीजिए

चार में कितने फाइव होते हैं? बिल्कुल भी नहीं। हम निजी 0 में लिखते हैं और अल्पविराम लगाते हैं:

हम 0 को 5 से गुणा करते हैं, हमें 0 मिलता है। हम चार के नीचे शून्य लिखते हैं। इस शून्य को तुरंत लाभांश से घटाएं:

अब हम चारों को 5 भागों में बांटना (डिवाइड) करना शुरू करते हैं। ऐसा करने के लिए, 4 के दाईं ओर, हम शून्य जोड़ते हैं और 40 को 5 से विभाजित करते हैं, हमें 8 मिलता है। हम आठ को अकेले में लिखते हैं।

हम 8 को 5 से गुणा करके उदाहरण पूरा करते हैं, और 40 प्राप्त करते हैं:

हमें उत्तर 0.8 मिला। अतः व्यंजक 4:5 का मान 0.8 है

उदाहरण 3व्यंजक 5: 125 का मान ज्ञात कीजिए

पांच में 125 कितनी संख्याएं हैं? बिल्कुल भी नहीं। हम निजी तौर पर 0 लिखते हैं और अल्पविराम लगाते हैं:

हम 0 को 5 से गुणा करते हैं, हमें 0 मिलता है। हम पाँच के नीचे 0 लिखते हैं। तुरंत पांच 0 से घटाएं

अब पांचों को 125 भागों में बांटना (डिवाइड) करना शुरू करते हैं। ऐसा करने के लिए, इन पाँचों के दाईं ओर हम शून्य लिखते हैं:

50 को 125 से भाग दें। 50 में 125 की संख्या कितनी है? बिल्कुल भी नहीं। अतः भागफल में हम फिर से 0 लिखते हैं

हम 0 को 125 से गुणा करते हैं, हमें 0 मिलता है। हम इस शून्य को 50 के नीचे लिखते हैं। तुरंत 0 को 50 से घटा दें

अब हम संख्या 50 को 125 भागों में विभाजित करते हैं। ऐसा करने के लिए, 50 के दाईं ओर, हम एक और शून्य लिखते हैं:

500 को 125 से विभाजित करें। 500 की संख्या में 125 कितनी संख्याएँ हैं। 500 की संख्या में चार संख्याएँ 125 हैं। हम चारों को अकेले में लिखते हैं:

हम 4 को 125 से गुणा करके उदाहरण पूरा करते हैं, और 500 प्राप्त करते हैं

हमें उत्तर 0.04 मिला। अतः व्यंजक 5: 125 का मान 0.04 है

शेषफल रहित संख्याओं का विभाजन

इसलिए, इकाई के बाद भागफल में एक अल्पविराम लगाते हैं, जिससे यह संकेत मिलता है कि पूर्णांक भागों का विभाजन समाप्त हो गया है और हम भिन्नात्मक भाग की ओर बढ़ते हैं:

शेषफल 4 में शून्य जोड़ें

अब हम 40 को 5 से विभाजित करते हैं, हमें 8 मिलता है। हम आठ को अकेले में लिखते हैं:

40−40=0। शेष में 0 प्राप्त किया। तो विभाजन पूरी तरह से पूरा हो गया है। 9 को 5 से विभाजित करने पर 1.8 का दशमलव परिणाम आता है:

9: 5 = 1,8

उदाहरण 2. 84 को 5 से बिना शेषफल के विभाजित करें

पहले हम हमेशा की तरह 84 को 5 से विभाजित करते हैं और शेष बचता है:

निजी तौर पर प्राप्त 16 और शेष में 4 और। अब हम इस शेषफल को 5 से विभाजित करते हैं। हम एक अल्पविराम को निजी में रखते हैं, और शेष 4 में 0 जोड़ते हैं

अब हम 40 को 5 से विभाजित करते हैं, तो हमें 8 प्राप्त होता है। हम आठ को दशमलव बिंदु के बाद भागफल में लिखते हैं:

और यदि अभी भी शेष बचता है तो जाँच करके उदाहरण को पूरा करें:

एक दशमलव को एक नियमित संख्या से विभाजित करना

एक दशमलव अंश, जैसा कि हम जानते हैं, एक पूर्णांक और एक भिन्नात्मक भाग होता है। दशमलव अंश को एक नियमित संख्या से विभाजित करते समय, सबसे पहले आपको इसकी आवश्यकता होती है:

• दशमलव अंश के पूर्णांक भाग को इस संख्या से विभाजित करें;
• पूर्णांक भाग विभाजित होने के बाद, आपको तुरंत निजी भाग में अल्पविराम लगाने और सामान्य विभाजन की तरह गणना जारी रखने की आवश्यकता है।

उदाहरण के लिए, आइए 4.8 को 2 से भाग दें

आइए इस उदाहरण को एक कोने के रूप में लिखें:

अब पूरे भाग को 2 से भाग करते हैं। चार का दो से भाग दो होता है। हम निजी तौर पर ड्यूस लिखते हैं और तुरंत अल्पविराम लगाते हैं:

अब हम भागफल को भाजक से गुणा करते हैं और देखते हैं कि क्या विभाजन से शेष बचता है:

4−4=0. शेष शून्य है। हम अभी तक शून्य नहीं लिखते हैं, क्योंकि हल पूरा नहीं हुआ है। फिर हम गणना करना जारी रखते हैं, जैसा कि साधारण विभाजन में होता है। 8 को घटाएं और इसे 2 से भाग दें

8: 2 = 4। हम चार को भागफल में लिखते हैं और इसे भाजक से तुरंत गुणा करते हैं:

उत्तर मिला 2.4। अभिव्यक्ति मूल्य 4.8: 2 बराबर 2.4

उदाहरण 2व्यंजक 8.43:3 का मान ज्ञात कीजिए

हम 8 को 3 से विभाजित करते हैं, हमें 2 मिलता है। दो के बाद तुरंत अल्पविराम लगाएं:

अब हम भागफल को भाजक 2 × 3 = 6 से गुणा करते हैं। हम छह को आठ के नीचे लिखते हैं और शेषफल पाते हैं:

हम 24 को 3 से विभाजित करते हैं, हमें 8 मिलते हैं। हम आठ को अकेले में लिखते हैं। हम विभाजन के शेष को खोजने के लिए इसे तुरंत विभाजक से गुणा करते हैं:

24−24=0. शेष शून्य है। शून्य अभी दर्ज नहीं हुआ है। लाभांश के अंतिम तीन को लें और 3 से विभाजित करें, हमें 1 मिलता है। इस उदाहरण को पूरा करने के लिए तुरंत 1 को 3 से गुणा करें:

उत्तर मिला 2.81। तो अभिव्यक्ति 8.43: 3 का मान 2.81 के बराबर है

दशमलव को दशमलव से विभाजित करना

भाजक और भाजक में दशमलव अंश को दशमलव अंश में विभाजित करने के लिए, अल्पविराम को अंकों की उसी संख्या से दाईं ओर ले जाएँ, जैसे कि भाजक में दशमलव बिंदु के बाद होते हैं, और फिर एक नियमित संख्या से विभाजित करते हैं।

उदाहरण के लिए, 5.95 को 1.7 से विभाजित करें

इस व्यंजक को एक कोने के रूप में लिखते हैं

अब, भाज्य और भाजक में, हम अल्पविराम को अंकों की उसी संख्या से दाईं ओर ले जाते हैं, जैसे भाजक में दशमलव बिंदु के बाद होते हैं। भाजक में दशमलव बिंदु के बाद एक अंक होता है। इसलिए हमें अल्पविराम को भाज्य और भाजक में एक अंक से दाईं ओर ले जाना चाहिए। स्थानांतरण:

दशमलव बिंदु को एक अंक से दाईं ओर ले जाने के बाद, दशमलव अंश 5.95 भिन्न 59.5 में बदल गया। और दशमलव अंश 1.7, दशमलव बिंदु को एक अंक से दाईं ओर ले जाने के बाद, सामान्य संख्या 17 में बदल गया। और हम पहले से ही जानते हैं कि दशमलव अंश को सामान्य संख्या से कैसे विभाजित किया जाए। आगे की गणना मुश्किल नहीं है:

विभाजन की सुविधा के लिए अल्पविराम को दाईं ओर ले जाया जाता है। यह इस तथ्य के कारण अनुमत है कि भाजक और भाजक को एक ही संख्या से गुणा या विभाजित करते समय भागफल नहीं बदलता है। इसका क्या मतलब है?

यह एक है दिलचस्प विशेषताएंविभाजन। इसे निजी संपत्ति कहा जाता है। व्यंजक 9 पर विचार करें: 3 = 3. यदि इस व्यंजक में भाज्य और भाजक को एक ही संख्या से गुणा या भाग किया जाए, तो भागफल 3 नहीं बदलेगा।

आइए लाभांश और भाजक को 2 से गुणा करें और देखें कि क्या होता है:

(9 × 2) : (3 × 2) = 18: 6 = 3

जैसा कि उदाहरण से देखा जा सकता है, भागफल नहीं बदला है।

यही बात तब होती है जब हम भाज्य और भाजक में अल्पविराम लगाते हैं। पिछले उदाहरण में, जहां हमने 5.91 को 1.7 से विभाजित किया था, हमने अल्पविराम को भाज्य और भाजक में एक अंक दाईं ओर खिसकाया था। अल्पविराम को स्थानांतरित करने के बाद, अंश 5.91 को अंश 59.1 में बदल दिया गया और अंश 1.7 को सामान्य संख्या 17 में बदल दिया गया।

वास्तव में, इस प्रक्रिया के अंदर, 10 से गुणा किया गया। यहाँ यह कैसा दिखता है:

5.91 × 10 = 59.1

इसलिए, भाजक में दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या इस बात पर निर्भर करती है कि भाजक और भाजक को किससे गुणा किया जाएगा। दूसरे शब्दों में, भाजक में दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या यह निर्धारित करेगी कि भाजक में कितने अंक और भाजक में अल्पविराम को दाईं ओर ले जाया जाएगा।

10, 100, 1000 से दशमलव विभाजन

किसी दशमलव को 10, 100, या 1000 से भाग देने की क्रिया उसी प्रकार की जाती है जैसे . उदाहरण के लिए, आइए 2.1 को 10 से भाग दें। आइए इस उदाहरण को एक कोने से हल करें:

लेकिन एक दूसरा तरीका भी है। यह हल्का है। इस पद्धति का सार यह है कि भाज्य में अल्पविराम को उतने ही अंकों से बाईं ओर ले जाया जाता है जितने भाजक में शून्य होते हैं।

पिछले उदाहरण को इस प्रकार हल करते हैं। 2.1: 10. हम डिवाइडर को देखते हैं। हम इसमें रुचि रखते हैं कि इसमें कितने शून्य हैं। हम देखते हैं कि एक शून्य है। तो विभाज्य 2.1 में, आपको अल्पविराम को बाईं ओर एक अंक से स्थानांतरित करने की आवश्यकता है। हम अल्पविराम को एक अंक से बाईं ओर ले जाते हैं और देखते हैं कि कोई और अंक नहीं बचा है। इस मामले में, हम संख्या से पहले एक और शून्य जोड़ते हैं। परिणामस्वरूप, हमें 0.21 मिलता है

आइए 2.1 को 100 से विभाजित करने का प्रयास करें। संख्या 100 में दो शून्य हैं। तो विभाज्य 2.1 में, आपको अल्पविराम को दो अंकों से बाईं ओर ले जाने की आवश्यकता है:

2,1: 100 = 0,021

आइए 2.1 को 1000 से विभाजित करने का प्रयास करें। 1000 की संख्या में तीन शून्य हैं। तो विभाज्य 2.1 में, आपको अल्पविराम को बाईं ओर तीन अंकों से स्थानांतरित करने की आवश्यकता है:

2,1: 1000 = 0,0021

दशमलव विभाजन 0.1, 0.01 और 0.001

किसी दशमलव को 0.1, 0.01 और 0.001 से भाग देने की क्रिया उसी प्रकार की जाती है जैसे . लाभांश और भाजक में, आपको अल्पविराम को दाईं ओर उतने ही अंकों से ले जाने की आवश्यकता है जितने भाजक में दशमलव बिंदु के बाद हैं।

उदाहरण के लिए, आइए 6.3 को 0.1 से भाग दें। सर्वप्रथम हम भाज्य और भाजक में अल्पविरामों को अंकों की उतनी ही संख्या से दाईं ओर ले जाते हैं जितने भाजक में दशमलव बिंदु के बाद होते हैं। भाजक में दशमलव बिंदु के बाद एक अंक होता है। तो हम अल्पविराम को लाभांश में और भाजक में एक अंक से दाईं ओर ले जाते हैं।

दशमलव बिंदु को एक अंक से दाईं ओर ले जाने के बाद, दशमलव अंश 6.3 सामान्य संख्या 63 में बदल जाता है, और दशमलव अंश 0.1, दशमलव बिंदु को एक अंक से दाईं ओर ले जाने के बाद, एक में बदल जाता है। और 63 को 1 से विभाजित करना बहुत आसान है:

अतः व्यंजक 6.3: 0.1 का मान 63 के बराबर है

लेकिन एक दूसरा तरीका भी है। यह हल्का है। इस पद्धति का सार यह है कि भाज्य में अल्पविराम को उतने ही अंकों से दाईं ओर स्थानांतरित किया जाता है जितने भाजक में शून्य होते हैं।

पिछले उदाहरण को इस प्रकार हल करते हैं। 6.3:0.1। आइए डिवाइडर को देखें। हम इसमें रुचि रखते हैं कि इसमें कितने शून्य हैं। हम देखते हैं कि एक शून्य है। तो विभाज्य 6.3 में, आपको अल्पविराम को एक अंक से दाईं ओर ले जाने की आवश्यकता है। हम अल्पविराम को एक अंक से दायीं ओर ले जाते हैं और 63 प्राप्त करते हैं

आइए 6.3 को 0.01 से विभाजित करने का प्रयास करें। भाजक 0.01 में दो शून्य हैं। तो विभाज्य 6.3 में, आपको अल्पविराम को दो अंकों से दाईं ओर ले जाने की आवश्यकता है। लेकिन लाभांश में दशमलव बिंदु के बाद केवल एक अंक होता है। इस मामले में, अंत में एक और शून्य जोड़ा जाना चाहिए। नतीजतन, हमें 630 मिलते हैं

आइए 6.3 को 0.001 से विभाजित करने का प्रयास करें। 0.001 के भाजक में तीन शून्य होते हैं। तो विभाज्य 6.3 में, आपको अल्पविराम को तीन अंकों से दाईं ओर ले जाने की आवश्यकता है:

6,3: 0,001 = 6300

स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य

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इस लेख में, हम समझेंगे कि दशमलव अंश क्या है, इसकी क्या विशेषताएं और गुण हैं। जाओ! 🙂

दशमलव अंश साधारण अंशों का एक विशेष मामला है (जिसमें भाजक 10 का एक गुणक है)।

परिभाषा

दशमलव वे अंश होते हैं जिनके हर में एक और उसके बाद एक निश्चित संख्या में शून्य होते हैं। यही है, ये 10, 100, 1000, आदि के भाजक वाले अंश हैं। अन्यथा, एक दशमलव अंश को 10 के भाजक या दस की शक्तियों में से एक के रूप में वर्णित किया जा सकता है।

अंश उदाहरण:

, ,

दशमलव भिन्न को सामान्य भिन्न से अलग लिखा जाता है। इन अंशों के साथ संक्रियाएँ भी सामान्य संक्रियाओं से भिन्न होती हैं। उन पर संचालन के नियम काफी हद तक पूर्णांकों पर संचालन के नियमों के करीब हैं। यह, विशेष रूप से, व्यावहारिक समस्याओं को हल करने में उनकी प्रासंगिकता निर्धारित करता है।

दशमलव अंकन में एक अंश का प्रतिनिधित्व

दशमलव अंकन में कोई भाजक नहीं है, यह अंश की संख्या को प्रदर्शित करता है। पर सामान्य दृष्टि सेदशमलव अंश इस प्रकार लिखा जाता है:

जहाँ X अंश का पूर्णांक भाग है, Y उसका भिन्नात्मक भाग है, "," दशमलव बिंदु है।

दशमलव के रूप में एक साधारण अंश के सही प्रतिनिधित्व के लिए, यह आवश्यक है कि यह सही हो, यानी, एक हाइलाइट किए गए पूर्णांक भाग (यदि संभव हो) और एक अंश जो हर से कम हो। में फिर दशमलव अंकनपूर्णांक भाग दशमलव बिंदु (X) से पहले लिखा जाता है, और दशमलव बिंदु (Y) के बाद सामान्य अंश का अंश।

यदि अंश भाजक में शून्य की संख्या से कम अंकों की संख्या के साथ एक संख्या का प्रतिनिधित्व करता है, तो Y भाग में दशमलव अंकन में अंकों की लापता संख्या अंश के अंकों के सामने शून्य से भर जाती है।

उदाहरण:

यदि साधारण अंश 1 से कम है, अर्थात पूर्णांक भाग नहीं है, तो 0 को X के लिए दशमलव रूप में लिखा जाता है।

आंशिक भाग (वाई) में, अंतिम महत्वपूर्ण (शून्य के अलावा) अंक के बाद, शून्य की मनमानी संख्या दर्ज की जा सकती है। यह अंश के मान को प्रभावित नहीं करता है। और इसके विपरीत: दशमलव अंश के भिन्नात्मक भाग के अंत में सभी शून्य को छोड़ा जा सकता है।

दशमलव पढ़ना

भाग X को सामान्य मामले में निम्नानुसार पढ़ा जाता है: "X पूर्णांक।"

Y भाग को भाजक में संख्या के अनुसार पढ़ा जाता है। भाजक 10 के लिए, आपको पढ़ना चाहिए: "Y दसवां", भाजक 100 के लिए: "Y सौवां", भाजक 1000 के लिए: "Y हजारवां" और इसी तरह ... 😉

भिन्नात्मक भाग के अंकों की संख्या की गणना के आधार पर पढ़ने के लिए एक और दृष्टिकोण अधिक सही माना जाता है। ऐसा करने के लिए, आपको यह समझने की आवश्यकता है कि अंश के पूर्णांक भाग के अंकों के संबंध में भिन्नात्मक अंक एक दर्पण छवि में स्थित हैं।

तालिका में सही पढ़ने के लिए नाम दिए गए हैं:

इसके आधार पर भिन्नात्मक भाग के अंतिम अंक की श्रेणी के नाम के अनुरूप पठन होना चाहिए।

• 3.5 "तीन दशमलव पाँच" पढ़ता है
• 0.016 को "शून्य दशमलव सोलह हज़ारवां" के रूप में पढ़ा जाता है

एक मनमाने साधारण अंश को दशमलव में बदलना

यदि एक साधारण भिन्न का हर 10 या दस की कुछ शक्ति है, तो भिन्न को ऊपर बताए अनुसार परिवर्तित किया जाता है। अन्य स्थितियों में, अतिरिक्त परिवर्तनों की आवश्यकता होती है।

अनुवाद करने के 2 तरीके हैं।

अनुवाद का पहला तरीका

अंश और भाजक को ऐसे पूर्णांक से गुणा किया जाना चाहिए कि भाजक 10 या दस की शक्तियों में से एक हो। और फिर अंश को दशमलव संकेतन में दर्शाया जाता है।

यह विधि भिन्नों के लिए लागू होती है, जिसका हर केवल 2 और 5 में विघटित होता है। इसलिए, पिछले उदाहरण में . यदि विस्तार में अन्य प्रमुख कारक हैं (उदाहरण के लिए,), तो आपको दूसरी विधि का सहारा लेना होगा।

अनुवाद का दूसरा तरीका

दूसरा तरीका यह है कि किसी कॉलम या कैलकुलेटर में अंश को भाजक से विभाजित किया जाए। पूर्णांक भाग, यदि कोई हो, परिवर्तन में शामिल नहीं है।

दीर्घ विभाजन नियम जिसके परिणामस्वरूप दशमलव भिन्न होता है, नीचे वर्णित है (दशमलव को विभाजित करना देखें)।

दशमलव को साधारण में बदलें

ऐसा करने के लिए, इसके भिन्नात्मक भाग (अल्पविराम के दाईं ओर) को अंश के रूप में लिखा जाना चाहिए, और भिन्नात्मक भाग को पढ़ने के परिणाम को भाजक में संबंधित संख्या के रूप में लिखा जाना चाहिए। इसके अलावा, यदि संभव हो, तो आपको परिणामी अंश को कम करने की आवश्यकता है।

अंत और अनंत दशमलव

दशमलव अंश को अंतिम कहा जाता है, जिसके भिन्नात्मक भाग में अंकों की एक सीमित संख्या होती है।

उपरोक्त सभी उदाहरणों में बिल्कुल अंतिम दशमलव अंश हैं। हालांकि, प्रत्येक साधारण अंश को अंतिम दशमलव के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है। यदि दिए गए अंश के लिए पहली अनुवाद विधि लागू नहीं होती है, और दूसरी विधि दर्शाती है कि विभाजन पूरा नहीं किया जा सकता है, तो केवल एक अनंत दशमलव अंश प्राप्त किया जा सकता है।

अनंत भिन्न को उसके पूर्ण रूप में लिखना असम्भव है। अपूर्ण रूप में, ऐसे अंशों का प्रतिनिधित्व किया जा सकता है:

1. दशमलव स्थानों की वांछित संख्या में कमी के परिणामस्वरूप;
2. एक आवधिक अंश के रूप में।

एक अंश को आवधिक कहा जाता है, जिसमें दशमलव बिंदु के बाद, अंकों के एक असीम रूप से दोहराए जाने वाले क्रम को प्रतिष्ठित किया जा सकता है।

शेष अंशों को गैर-आवधिक कहा जाता है। गैर-आवधिक अंशों के लिए, केवल पहली प्रतिनिधित्व विधि (पूर्णांक) की अनुमति है।

एक आवधिक अंश का एक उदाहरण: 0.8888888 ... यहां एक दोहराई जाने वाली संख्या 8 है, जो स्पष्ट रूप से अनिश्चित काल तक दोहराई जाएगी, क्योंकि अन्यथा मानने का कोई कारण नहीं है। इस नंबर को कहा जाता है अंश अवधि.

आवधिक अंश शुद्ध और मिश्रित होते हैं। एक दशमलव अंश शुद्ध होता है, जिसमें अवधि दशमलव बिंदु के तुरंत बाद शुरू होती है। पर मिश्रित अंशदशमलव बिंदु के बाद की अवधि से पहले 1 या अधिक अंक हैं।

54.33333 ... - आवधिक शुद्ध दशमलव अंश

2.5621212121 ... - आवधिक मिश्रित अंश

अनंत दशमलव लिखने के उदाहरण:

दूसरा उदाहरण दिखाता है कि आवधिक अंश में अवधि को ठीक से कैसे बनाया जाए।

आवधिक दशमलव को साधारण में बदलना

एक शुद्ध आवधिक अंश को एक साधारण अवधि में परिवर्तित करने के लिए, इसे अंश में लिखें, और भाजक में नौ से मिलकर एक संख्या लिखें, जो अवधि में अंकों की संख्या के बराबर हो।

एक मिश्रित आवर्ती दशमलव का अनुवाद इस प्रकार किया जाता है:

1. आपको अवधि से पहले दशमलव बिंदु के बाद की संख्या और पहली अवधि से मिलकर एक संख्या बनाने की आवश्यकता है;
2. परिणामी संख्या से अवधि से पहले दशमलव बिंदु के बाद की संख्या घटाएं। परिणाम एक साधारण भिन्न का अंश होगा;
3. भाजक में, आपको शून्य के बाद की अवधि के अंकों की संख्या के बराबर नाइन की संख्या से मिलकर एक संख्या दर्ज करनी होगी, जिसकी संख्या दशमलव बिंदु के बाद संख्या के अंकों की संख्या के बराबर है पहली अवधि।

दशमलव तुलना

दशमलव अंशों की तुलना प्रारंभ में उनके पूरे भागों से की जाती है। बड़ा वह अंश है जिसमें बड़ा पूर्णांक भाग होता है।

यदि पूर्णांक भाग समान हैं, तो भिन्नात्मक भाग के संगत अंकों के अंकों की तुलना पहले (दसवें से) से की जाती है। वही सिद्धांत यहां लागू होता है: अंशों का बड़ा, जिसकी दसवीं रैंक बड़ी होती है; यदि दसवां अंक बराबर है, तो सौवें अंक की तुलना की जाती है, और इसी तरह।

क्यों कि

, चूँकि भिन्नात्मक भाग में समान पूर्णांक भागों और समान दसवें भाग के साथ, दूसरे भिन्न में सौवां भाग अधिक होता है।

दशमलव को जोड़ना और घटाना

दशमलव को पूर्ण संख्याओं की तरह ही जोड़ा और घटाया जाता है, संबंधित अंकों को एक के नीचे एक लिखकर। ऐसा करने के लिए, आपको एक दूसरे के नीचे दशमलव बिंदु रखने होंगे। फिर पूर्णांक भाग की इकाइयाँ (दहाई, आदि), साथ ही भिन्नात्मक भाग के दसवें (सौवें, आदि) का मिलान होगा। भिन्नात्मक भाग के लापता अंक शून्य से भरे हुए हैं। सीधे जोड़ने और घटाने की प्रक्रिया पूर्णांकों की तरह ही की जाती है।

दशमलव गुणन

दशमलव अंशों को गुणा करने के लिए, आपको उन्हें एक के नीचे एक लिखना होगा, अंतिम अंक के साथ संरेखित करना होगा और दशमलव बिंदुओं के स्थान पर ध्यान नहीं देना होगा। फिर आपको संख्याओं को उसी तरह से गुणा करना होगा जैसे पूर्णांकों को गुणा करते समय। परिणाम प्राप्त करने के बाद, आपको दोनों अंशों में दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या की पुनर्गणना करनी चाहिए और परिणामी संख्या में भिन्नात्मक अंकों की कुल संख्या को अल्पविराम से अलग करना चाहिए। यदि पर्याप्त अंक नहीं हैं, तो उन्हें शून्य से बदल दिया जाता है।

दशमलव को 10 n से गुणा और भाग करना

ये क्रियाएं सरल हैं और दशमलव बिंदु को स्थानांतरित करने के लिए नीचे आती हैं। पी गुणा करते समय, अल्पविराम को 10 n में शून्य की संख्या के बराबर अंकों की संख्या से दाईं ओर ले जाया जाता है (अंश बढ़ जाता है), जहां n एक मनमाना पूर्णांक शक्ति है। अर्थात्, अंकों की एक निश्चित संख्या को भिन्नात्मक भाग से पूर्णांक में स्थानांतरित किया जाता है। क्रमशः विभाजित करते समय, अल्पविराम को बाईं ओर स्थानांतरित किया जाता है (संख्या घट जाती है), और कुछ अंकों को पूर्णांक भाग से भिन्नात्मक भाग में स्थानांतरित किया जाता है। यदि स्थानांतरित करने के लिए पर्याप्त अंक नहीं हैं, तो छूटे हुए अंक शून्य से भरे जाते हैं।

एक दशमलव और एक पूर्णांक को एक पूर्णांक और एक दशमलव से विभाजित करना

एक दशमलव को एक पूर्णांक से विभाजित करना दो पूर्णांकों को विभाजित करने के समान है। इसके अतिरिक्त, केवल दशमलव बिंदु की स्थिति को ध्यान में रखा जाना चाहिए: अंक के अंक को अल्पविराम से हटाते समय, उत्पन्न उत्तर के वर्तमान अंक के बाद अल्पविराम लगाना आवश्यक है। फिर आपको तब तक विभाजित करते रहने की जरूरत है जब तक आपको शून्य न मिल जाए। यदि पूर्ण विभाजन के लिए लाभांश में पर्याप्त संकेत नहीं हैं, तो शून्य को उनके रूप में उपयोग किया जाना चाहिए।

इसी तरह, 2 पूर्णांकों को एक स्तंभ में विभाजित किया जाता है यदि भाज्य के सभी अंकों को ध्वस्त कर दिया गया है, और पूर्ण विभाजन अभी तक पूरा नहीं हुआ है। इस मामले में, लाभांश के अंतिम अंक के विध्वंस के बाद, परिणामी उत्तर में एक दशमलव बिंदु रखा जाता है, और शून्य को ध्वस्त अंकों के रूप में उपयोग किया जाता है। वे। यहाँ लाभांश, वास्तव में, एक दशमलव अंश के रूप में शून्य भिन्नात्मक भाग के साथ दर्शाया गया है।

दशमलव अंश (या पूर्णांक) को दशमलव संख्या से विभाजित करने के लिए, भाज्य और भाजक को संख्या 10 n से गुणा करना आवश्यक है, जिसमें शून्य की संख्या दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या के बराबर है। भाजक। इस तरह, वे उस अंश में दशमलव बिंदु से छुटकारा पा लेते हैं जिससे आप विभाजित करना चाहते हैं। इसके अलावा, विभाजन प्रक्रिया ऊपर वर्णित के समान है।

दशमलव का चित्रमय प्रतिनिधित्व

रेखांकन के रूप में, दशमलव अंशों को एक समन्वय रेखा के माध्यम से दर्शाया जाता है। इसके लिए, एकल खंडों को अतिरिक्त रूप से 10 समान भागों में विभाजित किया जाता है, जैसे सेंटीमीटर और मिलीमीटर एक ही समय में एक शासक पर जमा होते हैं। यह सुनिश्चित करता है कि दशमलव सटीक रूप से प्रदर्शित होते हैं और निष्पक्ष रूप से तुलना की जा सकती है।

एकल खंडों पर अनुदैर्ध्य विभाजन समान होने के लिए, एकल खंड की लंबाई पर ध्यान से विचार करना चाहिए। यह ऐसा होना चाहिए कि अतिरिक्त डिवीजन की सुविधा सुनिश्चित की जा सके।

सिलाई कार्यशाला में 5 रिबन रंग थे। नीले रिबन की तुलना में लाल रिबन 2.4 मीटर अधिक था, लेकिन हरे रिबन से 3.8 मीटर कम था। सफेद रिबन काले वाले से 1.5 मीटर अधिक था, लेकिन हरे रंग से 1.9 मीटर कम था। वर्कशॉप में कितने मीटर टेप थे यदि सफेद टेप 7.3 मीटर था?

समाधान
• 1) 7.3 + 1.9 = 9.2 (एम) ग्रीन टेप वर्कशॉप में था;
• 2) 7.3 - 1.5 = 5.8 (एम) काला टेप;
• 3) 9.2 - 3.8 = 5.4 (एम) लाल रिबन;
• 4) 5.4 - 2.4 = 3 (एम) नीला रिबन;
• 5) 7.3 + 9.2 + 5.8 + 5.4 + 3 = 30.7 (एम)।
• उत्तर: वर्कशॉप में कुल मिलाकर 30.7 मीटर टेप थे।

कार्य 2

आयताकार खंड की लंबाई 19.4 मीटर है, और चौड़ाई 2.8 मीटर कम है। क्षेत्र की परिधि की गणना करें।

समाधान
• 1) 19.4 - 2.8 = 16.6 (एम) प्लॉट की चौड़ाई;
• 2) 16.6 * 2 + 19.4 * 2 = 33.2 + 38.8 = 72 (एम)।
• उत्तर प्लॉट का परिमाप 72 मीटर है।

कार्य 3

कंगारू जंप की लंबाई 13.5 मीटर तक हो सकती है। मानव के लिए विश्व रिकॉर्ड 8.95 मीटर है। कंगारू कितनी दूर तक छलांग लगा सकता है?

समाधान
• 1) 13.5 - 8.95 = 4.55 (एम)।
• 2) उत्तर: कंगारू 4.55 मीटर आगे कूदता है।

कार्य 4

21 जुलाई, 1983 की गर्मियों में, ग्रह पर सबसे कम तापमान अंटार्कटिका के वोस्तोक स्टेशन पर दर्ज किया गया था, और -89.2 ° C था, और 13 सितंबर, 1922 को एल अज़ीज़िया शहर में सबसे गर्म +57.8 था। डिग्री सेल्सियस तापमान के बीच अंतर की गणना करें।

समाधान
• 1) 89.2 + 57.8 = 147°C।
• उत्तर: तापमान के बीच का अंतर 147°C है।



कार्य 5

गज़ेल वैन की वहन क्षमता 1.5 टन है, और बेलाज़ खनन डंप ट्रक 24 गुना बड़ा है। BelAZ डंप ट्रक की भार क्षमता की गणना करें।

समाधान
• 1) 1.5 * 24 = 36 (टन)।
• उत्तर: बेलाज की वहन क्षमता 36 टन है।

टास्क 6

पृथ्वी की अपनी कक्षा में अधिकतम गति 30.27 किमी/सेकण्ड तथा बुध की गति 17.73 किमी अधिक है। बुध अपनी कक्षा में कितनी तेजी से है?

समाधान
• 1) 30.27 + 17.73 = 48 (किमी/सेकंड)।
• उत्तर: बुध की कक्षीय गति 48 किमी/सेकेंड है।

टास्क 7

गहराई मेरियाना गर्त 11.023 किमी है, और की ऊंचाई ऊंचे पहाड़दुनिया में - चोमोलुंगमी समुद्र तल से 8.848 किमी ऊपर। इन दो बिंदुओं के बीच के अंतर की गणना करें।

समाधान
• 1) 11.023 + 8.848 = 19.871 (किमी)।
• उत्तर: 19.871 किमी।

टास्क 8

कोल्या के लिए, किसी के लिए भी स्वस्थ व्यक्ति, शरीर का सामान्य तापमान 36.6 ° C है, और उसके चार पैर वाले दोस्त शारिक के लिए यह 2.2 ° C अधिक है। शारिक के लिए कौन सा तापमान सामान्य माना जाता है?

समाधान
• 1) 36.6 + 2.2 = 38.8°C।
• उत्तर: शारिक के शरीर का सामान्य तापमान 38.8°C होता है।

टास्क 9

चित्रकार ने 1 दिन में 18.6 वर्ग मीटर बाड़ को चित्रित किया, और उसके सहायक ने 4.4 वर्ग मीटर कम चित्रित किया। कार्य सप्ताह के दौरान पेंटर और उसका सहायक कितने एम2 बाड़ को पेंट करेंगे, यदि यह पांच दिनों के बराबर है?

समाधान
• 1) 18.6 - 4.4 \u003d 14.2 (वर्ग मीटर) सहायक चित्रकार द्वारा 1 दिन में चित्रित किया जाएगा;
• 2) 14.2 + 18.6 = 32.8 (एम²) 1 दिन में एक साथ पेंट किया जाएगा;
• 3) 32.8 * 5 = 164 (एम²)।
• उत्तर: कार्य सप्ताह के दौरान, पेंटर और उसका सहायक एक साथ 164 वर्ग मीटर बाड़ को पेंट करेंगे।

टास्क 10

एक ही समय में दो नावें दो घाटों से एक दूसरे की ओर चलीं। एक नाव की गति 42.2 किमी/घंटा है और दूसरी 6 किमी/घंटा अधिक है। यदि घाटों के बीच की दूरी 140.5 किमी है तो 2.5 घंटे बाद नावों के बीच की दूरी कितनी होगी?

समाधान
• 1) 42.2 + 6 = 48.2 (किमी/घंटा) दूसरी नाव की गति;
• 2) 42.2 * 2.5 = 105.5 (किमी) 2.5 घंटे में पहली नाव को पार कर जाएगा;
• 3) 48.2 * 2.5 = 120.5 (किमी) 2.5 घंटे में दूसरी नाव को पार करेगा;
• 4) 140.5 - 105.5 = 35 (किमी) पहली नाव से विपरीत घाट तक की दूरी;
• 5) 140.5 - 120, 5 = 20 (किमी) दूसरी नाव से विपरीत घाट तक की दूरी;
• 6) 35 + 20 = 55 (किमी);
• 7) 140 - 55 = 85 (किमी)।
• उत्तर: नावों के बीच 85 किमी की दूरी होगी।

टास्क 11

हर दिन एक साइकिल सवार 30.2 किमी की दूरी तय करता है। एक मोटर साइकिल चालक, यदि वह उतना ही समय व्यतीत करता है, तो वह एक साइकिल चालक की तुलना में 2.5 गुना अधिक दूरी तय करेगा। एक मोटरसाइकिल सवार 4 दिनों में कितनी दूरी तय कर सकता है?

समाधान
• 1) 30.2 * 2.5 = 75.5 (किमी) एक मोटरसाइकिल सवार 1 दिन में पार कर लेगा;
• 2) 75.5 * 4 = 302 (किमी)।
• उत्तर: एक मोटरसाइकिल सवार 4 दिनों में 302 किमी की दूरी तय कर सकता है।

टास्क 12

स्टोर ने 1 दिन में 18.3 किलो कुकीज और 2.4 किलो कम मिठाइयाँ बेचीं। उस दिन स्टोर में कुल कितनी मिठाइयाँ और कुकीज़ बेची गईं?

समाधान
• 1) 18.3 - 2, 4 = 15.9 (किलो) मिठाई स्टोर में बेची गई;
• 2) 15.9 + 18.3 = 34.2 (किग्रा)।
• उत्तर: 34.2 किलो मिठाइयां और कुकीज बिकीं।



0.8 के रूप में लिखे गए अंश; 0.13; 2.856; 5.2; 0.04 को दशमलव कहा जाता है। वास्तव में, दशमलव भिन्न साधारण भिन्नों का सरलीकृत निरूपण है। यह अंकन उन सभी भिन्नों के लिए उपयोग करने के लिए सुविधाजनक है जिनके हर 10, 100, 1000, और इसी तरह हैं।

उदाहरणों पर विचार करें (0.5 को शून्य दशमलव पांच के रूप में पढ़ा जाता है);

(0.15 को शून्य दशमलव पंद्रह सौवें के रूप में पढ़ा जाता है);

(5.3 को पाँच दशमलव तीन पढ़ा जाता है)।

ध्यान दें कि दशमलव अंश के अंकन में, अल्पविराम संख्या के पूर्णांक भाग को भिन्नात्मक से अलग करता है, सही अंश का पूर्णांक भाग 0 है। दशमलव अंश के भिन्नात्मक भाग के अंकन में उतने ही अंक होते हैं जितने वहाँ होते हैं संगत साधारण भिन्न के हर में शून्य होते हैं।

एक उदाहरण पर विचार करें, , , .

कुछ मामलों में, एक प्राकृतिक संख्या को दशमलव अंश के रूप में मानना ​​​​आवश्यक हो सकता है, जिसमें भिन्नात्मक भाग शून्य के बराबर होता है। यह लिखने की प्रथा है कि, 5 = 5.0; 245 = 245.0 और इसी तरह। ध्यान दें कि प्राकृतिक संख्या के दशमलव अंकन में, सबसे कम महत्वपूर्ण अंक की इकाई आसन्न सबसे महत्वपूर्ण अंक की इकाई से 10 गुना कम है। दशमलव अंशों में समान गुण होते हैं। इसलिए, दशमलव बिंदु के तुरंत बाद दसवां स्थान आता है, फिर सौवां स्थान, फिर हजारवाँ स्थान, और इसी तरह। नीचे संख्या 31.85431 के अंकों के नाम दिए गए हैं, पहले दो कॉलम पूर्णांक भाग हैं, शेष कॉलम भिन्नात्मक भाग हैं।

इस भिन्न को इकतीस दशमलव पचासी हजार चार सौ इकतीस सौ हजार पढ़ा जाता है।

दशमलव को जोड़ना और घटाना

पहला तरीका दशमलव को कॉमन्स में बदलना और उन्हें जोड़ना है।

जैसा कि उदाहरण से देखा जा सकता है, यह विधि बहुत असुविधाजनक है और दूसरी विधि का उपयोग करना बेहतर है, जो अधिक सही है, दशमलव अंशों को साधारण में परिवर्तित किए बिना। दो दशमलव जोड़ने के लिए:

• पदों में दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या बराबर करें;
• पदों को एक दूसरे के नीचे इस प्रकार लिखिए कि दूसरे पद का प्रत्येक अंक पहले पद के संगत अंक के नीचे हो;
• परिणामी संख्याओं को उसी तरह जोड़ें जैसे प्राकृतिक संख्याओं को जोड़ते हैं;
• परिणामी राशि में अल्पविराम के नीचे अल्पविराम लगाएं।

उदाहरणों पर विचार करें:

• दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या घटाई और घटाई गई;
• माइन्यूएंड के तहत सबट्रेंड लिखें ताकि सबट्रेंड का प्रत्येक बिट मिन्यूएंड के संगत बिट के अंतर्गत हो;
• घटाना उसी तरह जैसे प्राकृतिक संख्याएँ घटाई जाती हैं;
• अल्पविराम के नीचे अल्पविराम लगाएं और परिणामी अंतर में घटाएं।

उदाहरणों पर विचार करें:

ऊपर चर्चा किए गए उदाहरणों में, यह देखा जा सकता है कि दशमलव अंशों का जोड़ और घटाव थोड़ा-थोड़ा करके किया गया था, अर्थात, उसी तरह जैसे हमने प्राकृतिक संख्याओं के साथ समान संचालन किया था। भिन्नों के लिए दशमलव अंकन का यह मुख्य लाभ है।

दशमलव गुणन

एक दशमलव अंश को 10, 100, 1000, और इसी तरह से गुणा करने के लिए, इस अंश में अल्पविराम को क्रमशः 1, 2, 3, और इसी तरह संख्या में ले जाना आवश्यक है। इसलिए, यदि अल्पविराम को 1, 2, 3 और इसी तरह संख्याओं पर दाईं ओर ले जाया जाता है, तो अंश क्रमशः 10, 100, 1000 और इसी तरह कई गुना बढ़ जाएगा। दो दशमलव को गुणा करने के लिए:

• अल्पविरामों की उपेक्षा करते हुए, उन्हें प्राकृत संख्याओं के रूप में गुणा करें;
• परिणामी गुणनफल में, दाहिनी ओर अल्पविराम से उतने ही अंक अलग करें जितने दोनों कारकों में अल्पविराम के बाद एक साथ होते हैं।

ऐसे मामले होते हैं जब उत्पाद में अल्पविराम से अलग किए जाने की आवश्यकता से कम अंक होते हैं, इस उत्पाद से पहले बाईं ओर शून्य की आवश्यक संख्या जोड़ी जाती है, और फिर अल्पविराम को बाईं ओर ले जाया जाता है सही मात्राअंक।

उदाहरणों पर विचार करें: 2 * 4 = 8, फिर 0.2 * 0.4 = 0.08; 23 * 35 = 805, फिर 0.023 * 0.35 = 0.00805।

ऐसे मामले होते हैं जब कारकों में से एक 0.1 के बराबर होता है; 0.01; 0.001 और इसी तरह, निम्नलिखित नियम का उपयोग करना अधिक सुविधाजनक है।

• दशमलव को 0.1 से गुणा करने के लिए; 0.01; 0.001 और इसी तरह, अल्पविराम को इस दशमलव अंश में क्रमशः 1, 2, 3 और इसी तरह संख्याओं पर ले जाना आवश्यक है।

उदाहरणों पर विचार करें: 2.65 * 0.1 = 0.265; 457.6 * 0.01 = 4.576।

गुणन गुण प्राकृतिक संख्यादशमलव अंशों पर भी लागू होते हैं।

• अब = बा- गुणन की क्रमविनिमेय संपत्ति;
• (एबी) सी = ए (बीसी)- गुणन की साहचर्य संपत्ति;
• ए (बी + सी) = एबी + एसीयोग के संबंध में गुणन का वितरणात्मक गुण है।

दशमलव विभाजन

यह ज्ञात है कि यदि हम किसी प्राकृत संख्या को विभाजित करते हैं एकएक प्राकृतिक संख्या के लिए बीका अर्थ ऐसी प्राकृतिक संख्या ज्ञात करना है सी, जिसे जब गुणा किया जाता है बीनंबर देता है एक. कम से कम एक संख्या होने पर यह नियम सही रहता है ए, बी, सीएक दशमलव है।

एक उदाहरण पर विचार करें, आप अल्पविराम को अनदेखा करते हुए 43.52 को 17 कोनों से विभाजित करना चाहते हैं। इस मामले में, निजी में अल्पविराम को लाभांश में दशमलव बिंदु के पहले अंक के ठीक पहले रखा जाना चाहिए।

ऐसे मामले होते हैं जब लाभांश भाजक से कम होता है, तो भागफल का पूर्णांक भाग शून्य के बराबर होता है। एक उदाहरण पर विचार करें:

आइए एक और दिलचस्प उदाहरण देखें।

विभाजन प्रक्रिया रोक दी गई है क्योंकि लाभांश की संख्या समाप्त हो गई है, और शेष को शून्य प्राप्त नहीं हुआ है। यह ज्ञात है कि एक दशमलव अंश में कोई भी शून्य संख्या नहीं बदलेगी यदि उसे दाईं ओर निर्दिष्ट किया गया है। तब यह स्पष्ट हो जाता है कि लाभांश की संख्या समाप्त नहीं हो सकती।

एक दशमलव अंश को 10, 100, 1000 आदि से विभाजित करने के लिए, इस भिन्न में दशमलव बिंदु को बाईं ओर 1, 2, 3 और इसी तरह संख्याओं से स्थानांतरित करना आवश्यक है। एक उदाहरण पर विचार करें: 5.14: 10 = 0.514; 2: 100 = 0.02; 37.51: 1000 = 0.03751।

यदि भाज्य और भाजक को एक साथ 10, 100, 1000 और इसी तरह कई बार बढ़ाया जाता है, तो भागफल नहीं बदलेगा।

आइए एक उदाहरण पर विचार करें: 39.44: 1.6 = 24.65 आइए लाभांश और भाजक को 10 गुना 394.4: 16 = 24.65 से बढ़ाएं। यह ध्यान रखना उचित है कि दूसरे उदाहरण में दशमलव अंश को एक प्राकृतिक संख्या से विभाजित करना आसान है।

दशमलव को दशमलव से विभाजित करने के लिए, आपको चाहिए:

• भाज्य और भाजक में अल्पविरामों को उतने ही अंकों से दाहिनी ओर ले जाएं जितने कि भाजक में दशमलव बिंदु के बाद समाहित हैं;
• एक प्राकृतिक संख्या से विभाजित करें।

एक उदाहरण पर विचार करें: 23.6: 0.02 ध्यान दें कि भाजक में दो दशमलव स्थान हैं, इसलिए हम दोनों संख्याओं को 100 से गुणा करते हैं और हमें 2360: 2 = 1180 प्राप्त होता है, हम परिणाम को 100 से विभाजित करते हैं और हमें उत्तर 11.80 या 23.6: 0 मिलता है। 02 = 11.8।

दशमलव तुलना

दशमलव की तुलना करने के दो तरीके हैं। विधि एक, आपको दो दशमलव अंशों 4.321 और 4.32 की तुलना करने की आवश्यकता है, दशमलव स्थानों की संख्या को बराबर करें और बिट द्वारा बिट की तुलना करना शुरू करें, दसवें के साथ दसवें, सौवें के साथ सौवां, और इसी तरह, परिणामस्वरूप, हमें 4.321\u003e 4.320 मिलता है।

दशमलव अंशों की तुलना करने का दूसरा तरीका गुणन का उपयोग करके किया जाता है, उपरोक्त उदाहरण को 1000 से गुणा करें और 4321\u003e 4320 की तुलना करें। कौन सी विधि अधिक सुविधाजनक है, हर कोई अपने लिए चुनता है।

दशमलव अंशों को जोड़ते समय, उन्हें एक के नीचे एक लिखना आवश्यक है ताकि समान अंक एक दूसरे के नीचे हों, और अल्पविराम अल्पविराम के नीचे हो, और भिन्नों को जोड़ें क्योंकि प्राकृतिक संख्याएँ जोड़ी जाती हैं। आइए, उदाहरण के लिए, अंशों 12.7 और 3.442 को जोड़ें। पहले अंश में दशमलव बिंदु के बाद एक अंक होता है, और दूसरे में तीन होते हैं। योग करने के लिए, हम पहले भिन्न को बदलते हैं ताकि दशमलव बिंदु के बाद तीन अंक हों: , फिर

दशमलव को उसी तरह घटाया जाता है। संख्या 13.1 और 0.37 के बीच का अंतर ज्ञात कीजिए:

दशमलव अंशों को गुणा करते समय, दी गई संख्याओं को गुणा करने के लिए पर्याप्त है, अल्पविराम (प्राकृतिक संख्या के रूप में) को अनदेखा करते हुए, और फिर, परिणामस्वरूप, दोनों कारकों में दशमलव बिंदु के बाद दाईं ओर एक अल्पविराम के साथ कई अंकों को अलग करें। कुल मिलाकर।

उदाहरण के लिए, आइए 2.7 को 1.3 से गुणा करें। हमारे पास है । दाईं ओर दो अंकों को अल्पविराम से अलग करें (दशमलव बिंदु के बाद कारकों के अंकों का योग दो के बराबर है)। परिणामस्वरूप, हमें 2.7 1.3 = 3.51 प्राप्त होता है।

यदि उत्पाद में अल्पविराम से अलग करने के लिए आवश्यक संख्या से कम अंक हैं, तो लापता शून्य सामने लिखे गए हैं, उदाहरण के लिए:

एक दशमलव भिन्न को 10, 100, 1000, आदि से गुणा करने पर विचार करें। भिन्न 12.733 को 10 से गुणा करना आवश्यक है। हमारे पास है। दायीं ओर के तीन अंकों को अल्पविराम से अलग करने पर हमें 'पर' प्राप्त होता है। माध्यम,

12,733 10=127.33। इस प्रकार, दशमलव अंश को यू से गुणा करके दशमलव बिंदु को एक अंक दाईं ओर ले जाने के लिए कम किया जाता है।

सामान्य तौर पर, एक दशमलव अंश को 10, 100, 1000 से गुणा करने के लिए, इस अंश में अल्पविराम को 1, 2, 3 अंकों से दाईं ओर ले जाना आवश्यक है। यदि आवश्यक हो, शून्य की एक निश्चित संख्या निर्दिष्ट करना अंश दाईं ओर)। उदाहरण के लिए,

एक प्राकृतिक संख्या द्वारा एक दशमलव अंश का विभाजन उसी तरह से किया जाता है जैसे एक प्राकृतिक संख्या का विभाजन एक प्राकृतिक संख्या द्वारा किया जाता है, और पूर्णांक भाग के विभाजन के पूरा होने के बाद भागफल में एक अल्पविराम लगाया जाता है। आइए 22.1 को 13 से भाग दें:

यदि भाज्य का पूर्णांक भाग भाजक से कम है, तो उत्तर शून्य पूर्णांक है, उदाहरण के लिए:

अब एक दशमलव के दशमलव के विभाजन पर विचार करें। मान लीजिए कि हमें 2.576 को 1.12 से भाग देना है। ऐसा करने के लिए, भाज्य और भाजक दोनों में, हम अल्पविराम को उतने ही अंकों से दाईं ओर ले जाते हैं जितने भाजक में दशमलव बिंदु के बाद होते हैं (इस उदाहरण में, दो)। दूसरे शब्दों में, भाज्य और भाजक को 100 से गुणा करें - इससे भागफल नहीं बदलेगा। फिर आपको अंश 257.6 को प्राकृतिक संख्या 112 से विभाजित करने की आवश्यकता है, अर्थात समस्या पहले से ही विचार किए गए मामले में कम हो गई है:

एक दशमलव अंश को इसमें विभाजित करने के लिए, इस अंश में अल्पविराम को अंकों को बाईं ओर ले जाना आवश्यक है (इस मामले में, यदि आवश्यक हो, तो आवश्यक संख्या में शून्य को बाईं ओर सौंपा गया है)। उदाहरण के लिए, ।

जिस प्रकार प्राकृतिक संख्याओं के लिए विभाजन हमेशा संभव नहीं होता है, उसी प्रकार दशमलव अंशों के लिए भी यह हमेशा संभव नहीं होता है। उदाहरण के लिए 2.8 को 0.09 से विभाजित करें:

नतीजा तथाकथित अनंत दशमलव अंश है। ऐसे मामलों में, साधारण भिन्नों पर जाएँ। उदाहरण के लिए:

यह पता चल सकता है कि कुछ संख्याएँ साधारण अंशों के रूप में लिखी जाती हैं, अन्य - मिश्रित संख्याओं के रूप में, और अन्य - दशमलव अंशों के रूप में। ऐसी संख्याओं पर कार्रवाई करते समय, आप अलग-अलग काम कर सकते हैं: या तो दशमलव अंशों को साधारण में बदल दें और क्रियाओं के नियमों को लागू करें साधारण अंश, या साधारण भिन्नों और मिश्रित संख्याओं को दशमलव भिन्नों में बदलें (यदि संभव हो तो) और दशमलव भिन्नों के साथ कार्य करने के लिए नियम लागू करें।