भिन्नों का गुणन क्या है. साधारण भिन्नों का गुणन: नियम, उदाहरण, समाधान

इन रेक को पहले ही बायपास करें! 🙂

भिन्नों का गुणन और विभाजन.

ध्यान!
अतिरिक्त भी हैं
विशेष धारा 555 में सामग्री।
उन लोगों के लिए जो मजबूत हैं "बहुत नहीं। »
और उन लोगों के लिए जो “बहुत सम” हैं। "")

यह क्रिया जोड़-घटाने से कहीं अधिक अच्छी है! क्योंकि यह आसान है. मैं आपको याद दिलाता हूं: किसी भिन्न को भिन्न से गुणा करने के लिए, आपको अंशों (यह परिणाम का अंश होगा) और हर (यह हर होगा) को गुणा करना होगा। वह है:

सब कुछ बेहद सरल है. और कृपया एक सामान्य विभाजक की तलाश न करें! यहां इसकी जरूरत नहीं है...

किसी भिन्न को भिन्न से विभाजित करने के लिए, आपको पलटना होगा दूसरा(यह महत्वपूर्ण है!) अंश और उन्हें गुणा करें, यानी:

यदि पूर्णांकों और भिन्नों से गुणा या भाग पकड़ में आ जाए तो कोई बात नहीं। जोड़ की तरह, हम हर में एक इकाई के साथ एक पूर्ण संख्या से भिन्न बनाते हैं - और चलते हैं! उदाहरण के लिए:

हाई स्कूल में, आपको अक्सर तीन-मंजिला (या यहां तक ​​कि चार-कहानी!) भिन्नों से निपटना पड़ता है। उदाहरण के लिए:

इस भिन्न को सभ्य रूप में कैसे लाया जाए? हाँ, बहुत आसान! दो बिंदुओं के माध्यम से विभाजन का प्रयोग करें:

लेकिन विभाजन आदेश के बारे में मत भूलना! गुणन के विपरीत, यह यहाँ बहुत महत्वपूर्ण है! निस्संदेह, हम 4:2 या 2:4 को भ्रमित नहीं करेंगे। लेकिन तीन मंजिला हिस्से में गलती करना आसान है। कृपया ध्यान दें, उदाहरण के लिए:

पहले मामले में (बाईं ओर अभिव्यक्ति):

दूसरे में (दाईं ओर अभिव्यक्ति):

फर्क महसूस करो? 4 और 1/9!

विभाजन का क्रम क्या है? या कोष्ठक, या (यहाँ के रूप में) क्षैतिज डैश की लंबाई। एक आँख विकसित करो. और यदि कोई कोष्ठक या डैश नहीं है, जैसे:

फिर बांटो-गुणा करो क्रम में, बाएँ से दाएँ!

और एक और बहुत ही सरल और महत्वपूर्ण ट्रिक। डिग्री वाले कार्यों में यह आपके काम आएगा! आइए इकाई को किसी भिन्न से विभाजित करें, उदाहरण के लिए, 13/15 से:

गोली पलट गई! और यह हमेशा होता है. 1 को किसी भी भिन्न से विभाजित करने पर परिणाम वही भिन्न होता है, केवल उल्टा होता है।

भिन्नों के साथ बस इतनी ही क्रियाएँ हैं। बात बिल्कुल सरल है, लेकिन जरूरत से ज्यादा त्रुटियां देती है। टिप्पणी प्रायोगिक उपकरण, और वे (त्रुटियाँ) कम होंगी!

1. भिन्नात्मक अभिव्यक्तियों के साथ काम करते समय सबसे महत्वपूर्ण बात सटीकता और सावधानी है! ये सामान्य शब्द नहीं हैं, शुभकामनाएँ नहीं हैं! यह एक गंभीर आवश्यकता है! परीक्षा में सभी गणनाएँ एकाग्रता और स्पष्टता के साथ एक पूर्ण कार्य के रूप में करें। अपने दिमाग में गणना करते समय गड़बड़ी करने से बेहतर है कि ड्राफ्ट में दो अतिरिक्त पंक्तियाँ लिख लें।

2. उदाहरणों में अलग - अलग प्रकारभिन्न - साधारण भिन्न पर जाएँ।

3. हम सभी भिन्नों को स्टॉप तक कम कर देते हैं।

4. हम दो बिंदुओं के माध्यम से विभाजन का उपयोग करके बहु-स्तरीय भिन्नात्मक अभिव्यक्तियों को सामान्य बनाते हैं (हम विभाजन के क्रम का पालन करते हैं!)।

यहां वे कार्य हैं जिन्हें आपको पूरा करना है। सभी कार्यों के बाद उत्तर दिए जाते हैं। इस विषय की सामग्री और व्यावहारिक सलाह का उपयोग करें। अनुमान लगाएं कि आप कितने उदाहरण सही ढंग से हल कर सके। पहली बार! बिना कैलकुलेटर के! और सही निष्कर्ष निकालें.

सही उत्तर याद रखें दूसरी (विशेषकर तीसरी) बार से प्राप्त - गिनती नहीं!ऐसा ही कठोर जीवन है.

इसलिए, परीक्षा मोड में हल करें ! वैसे, यह परीक्षा की तैयारी है। हम एक उदाहरण हल करते हैं, हम जाँच करते हैं, हम निम्नलिखित हल करते हैं। हमने सब कुछ तय कर लिया - हमने पहले से आखिरी तक फिर से जाँच की। लेकिन केवल तबउत्तरों को देखो.

ऐसे उत्तर खोज रहे हैं जो आपसे मेल खाते हों। ऐसा कहा जा सकता है कि प्रलोभन से दूर, मैंने जानबूझकर उन्हें गड़बड़ी में लिखा था। यहां वे उत्तर हैं, जिन्हें अर्धविराम से अलग किया गया है।

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

और अब हम निष्कर्ष निकालते हैं। यदि सब कुछ ठीक रहा - तो आपके लिए ख़ुशी की बात है! भिन्नों के साथ प्राथमिक गणनाएँ आपकी समस्या नहीं हैं! आप अधिक गंभीर कार्य कर सकते हैं. अगर नहीं।

तो आपके पास दो समस्याओं में से एक है। या दोनों एक साथ।) ज्ञान की कमी और (या) असावधानी। लेकिन। यह व्याख्या करने योग्य समस्या।

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हां, और दूसरी समस्या पर भी कुछ है।) काफी व्यावहारिक सलाह, अधिक चौकस कैसे बनें. हां हां! सलाह जो लागू हो सकती है प्रत्येक.

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नियम 1

किसी भिन्न को इससे गुणा करना प्राकृतिक संख्या, इसके अंश को इस संख्या से गुणा करना और हर को अपरिवर्तित छोड़ना आवश्यक है।

नियम 2

किसी भिन्न को भिन्न से गुणा करने के लिए:

1. इन भिन्नों के अंशों का गुणनफल और हरों का गुणनफल ज्ञात कीजिए

2. पहले गुणनफल को अंश के रूप में और दूसरे को हर के रूप में लिखें।

नियम 3

मिश्रित संख्याओं को गुणा करने के लिए, आपको उन्हें अनुचित भिन्नों के रूप में लिखना होगा, और फिर भिन्नों को गुणा करने के नियम का उपयोग करना होगा।

नियम 4

एक अंश को दूसरे से विभाजित करने के लिए, आपको भाजक के व्युत्क्रम से लाभांश को गुणा करना होगा।

उदाहरण 1

गणना

उदाहरण 2

गणना

उदाहरण 3

गणना

उदाहरण 4

गणना

अंक शास्त्र। अन्य सामग्री

किसी संख्या को तर्कसंगत घात तक बढ़ाना। (

किसी संख्या को प्राकृतिक शक्ति तक बढ़ाना। (

बीजगणितीय असमानताओं को हल करने के लिए सामान्यीकृत अंतराल विधि (लेखक कोल्चानोव ए.वी.)

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विभाज्यता के लक्षण (लुंगु अलीना)

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भिन्नों का गुणन

हम कई संभावित तरीकों से साधारण भिन्नों के गुणन पर विचार करेंगे।

भिन्न को भिन्न से गुणा करना

यह सबसे सरल मामला है, जिसमें आपको निम्नलिखित का उपयोग करने की आवश्यकता है भिन्न गुणन नियम.

को किसी भिन्न को भिन्न से गुणा करें, ज़रूरी:

पहले अंश के अंश को दूसरे अंश के अंश से गुणा करें और उनके गुणनफल को नए अंश के अंश में लिखें;

पहले भिन्न के हर को दूसरे भिन्न के हर से गुणा करें और उनके गुणनफल को नए भिन्न के हर में लिखें;

अंशों और हरों को गुणा करने से पहले जांच लें कि क्या भिन्नों को कम किया जा सकता है। गणना में भिन्नों को कम करने से आपकी गणना में काफी सुविधा होगी।

किसी भिन्न को किसी प्राकृतिक संख्या से गुणा करना

अंश करना किसी प्राकृतिक संख्या से गुणा करेंआपको भिन्न के अंश को इस संख्या से गुणा करना होगा, और भिन्न के हर को अपरिवर्तित छोड़ना होगा।

यदि गुणन का परिणाम अनुचित भिन्न है, तो उसे मिश्रित संख्या में बदलना न भूलें, अर्थात पूर्ण भाग का चयन करें।

मिश्रित संख्याओं का गुणन

मिश्रित संख्याओं को गुणा करने के लिए, आपको पहले उन्हें अनुचित भिन्नों में बदलना होगा और फिर साधारण भिन्नों को गुणा करने के नियम के अनुसार गुणा करना होगा।

किसी भिन्न को प्राकृतिक संख्या से गुणा करने का दूसरा तरीका

कभी-कभी गणना में किसी साधारण भिन्न को किसी संख्या से गुणा करने की भिन्न विधि का उपयोग करना अधिक सुविधाजनक होता है।

किसी भिन्न को किसी प्राकृतिक संख्या से गुणा करने के लिए, आपको भिन्न के हर को इस संख्या से विभाजित करना होगा, और अंश को वही छोड़ना होगा।

जैसा कि उदाहरण से देखा जा सकता है, नियम के इस संस्करण का उपयोग करना अधिक सुविधाजनक है यदि अंश का हर एक प्राकृतिक संख्या द्वारा शेषफल के बिना विभाज्य है।

किसी भिन्न का किसी संख्या से विभाजन

किसी भिन्न को किसी संख्या से विभाजित करने का सबसे तेज़ तरीका क्या है? आइए सिद्धांत का विश्लेषण करें, निष्कर्ष निकालें और उदाहरणों का उपयोग करके देखें कि एक नए संक्षिप्त नियम के अनुसार किसी भिन्न का विभाजन किसी संख्या से कैसे किया जा सकता है।

आमतौर पर किसी भिन्न का किसी संख्या से विभाजन भिन्नों के विभाजन के नियम के अनुसार किया जाता है। पहली संख्या (अंश) को दूसरे के व्युत्क्रम से गुणा किया जाता है। चूँकि दूसरी संख्या एक पूर्णांक है, इसका व्युत्क्रम एक भिन्न है, जिसका अंश एक के बराबर है, और हर दी गई संख्या है। योजनाबद्ध रूप से, किसी भिन्न को किसी प्राकृतिक संख्या से विभाजित करना इस तरह दिखता है:

इससे हम यह निष्कर्ष निकालते हैं:

किसी भिन्न को किसी संख्या से विभाजित करने के लिए, हर को उस संख्या से गुणा करें और अंश को वही छोड़ दें। नियम को और भी संक्षेप में तैयार किया जा सकता है:

जब आप भिन्न को किसी संख्या से विभाजित करते हैं, तो संख्या हर में चली जाती है।

किसी भिन्न को किसी संख्या से विभाजित करें:

किसी भिन्न को किसी संख्या से विभाजित करने के लिए, हम अंश को अपरिवर्तित फिर से लिखते हैं, और हर को इस संख्या से गुणा करते हैं। हम 6 और 3 को 3 से कम करते हैं।

किसी भिन्न को किसी संख्या से विभाजित करते समय, हम अंश को फिर से लिखते हैं और हर को उस संख्या से गुणा करते हैं। हम 16 और 24 को 8 से कम करते हैं।

किसी भिन्न को किसी संख्या से विभाजित करने पर, संख्या हर में चली जाती है, इसलिए हम अंश को वही छोड़ देते हैं, और हर को भाजक से गुणा कर देते हैं। हम 21 और 35 को 7 से कम करते हैं।

भिन्नों का गुणन और विभाजन

पिछली बार हमने भिन्नों को जोड़ना और घटाना सीखा था (पाठ "भिन्नों को जोड़ना और घटाना" देखें)। उन कार्यों में सबसे कठिन क्षण भिन्नों को एक सामान्य हर में लाना था।

अब गुणा और भाग से निपटने का समय आ गया है। अच्छी खबर यह है कि ये ऑपरेशन जोड़ और घटाव से भी आसान हैं। आरंभ करने के लिए, सबसे सरल मामले पर विचार करें, जब एक विशिष्ट पूर्णांक भाग के बिना दो सकारात्मक भिन्न होते हैं।

दो भिन्नों को गुणा करने के लिए, आपको उनके अंश और हर को अलग-अलग गुणा करना होगा। पहली संख्या नए भिन्न का अंश होगी, और दूसरी हर होगी।

दो भिन्नों को विभाजित करने के लिए, आपको पहले भिन्न को "उल्टे" दूसरे से गुणा करना होगा।

परिभाषा से यह निष्कर्ष निकलता है कि भिन्नों का विभाजन गुणन में कम हो जाता है। किसी भिन्न को पलटने के लिए, बस अंश और हर की अदला-बदली करें। इसलिए, पूरे पाठ में हम मुख्य रूप से गुणन पर विचार करेंगे।

गुणन के परिणामस्वरूप, एक कम अंश उत्पन्न हो सकता है (और अक्सर उत्पन्न होता है) - बेशक, इसे कम किया जाना चाहिए। यदि, सभी कटौती के बाद, अंश गलत निकला, तो इसमें पूरे भाग को अलग किया जाना चाहिए। लेकिन वास्तव में गुणन के साथ जो नहीं होगा वह एक सामान्य हर में कमी है: कोई क्रॉसवाइज विधियां नहीं, अधिकतम कारक और कम से कम सामान्य गुणक।

काम। अभिव्यक्ति का मान ज्ञात कीजिए:

परिभाषा के अनुसार हमारे पास है:

पूर्णांक भाग और ऋणात्मक भिन्नों से भिन्नों का गुणन

यदि भिन्नों में कोई पूर्णांक भाग है, तो उन्हें अनुचित भागों में परिवर्तित किया जाना चाहिए - और उसके बाद ही ऊपर उल्लिखित योजनाओं के अनुसार गुणा किया जाना चाहिए।

यदि किसी भिन्न के अंश में, हर में या उसके सामने ऋण चिह्न हो तो उसे निम्नलिखित नियमों के अनुसार गुणन की सीमा से बाहर किया जा सकता है या पूरी तरह से हटाया जा सकता है:

1. प्लस गुणा माइनस माइनस देता है;
2. दो नकारात्मक एक सकारात्मक बनाते हैं।

अभी तक ये नियम केवल जोड़-घटाव में ही देखने को मिले हैं। नकारात्मक भिन्नजब पूरे हिस्से से छुटकारा पाना जरूरी था. किसी उत्पाद के लिए, उन्हें एक साथ कई नुकसानों को "जला" देने के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है:

3. हम माइनस को जोड़े में तब तक काटते हैं जब तक वे पूरी तरह से गायब नहीं हो जाते। में अखिरी सहारा, एक माइनस जीवित रह सकता है - वह जिसे जोड़ा नहीं मिला;
4. यदि कोई माइनस नहीं बचा है, तो ऑपरेशन पूरा हो गया है - आप गुणा करना शुरू कर सकते हैं। यदि अंतिम ऋण को पार नहीं किया गया है, क्योंकि उसे कोई जोड़ा नहीं मिला है, तो हम इसे गुणन की सीमा से बाहर निकाल देते हैं। आपको एक ऋणात्मक अंश मिलता है.

हम सभी भिन्नों को अनुचित भिन्नों में परिवर्तित करते हैं, और फिर हम ऋणों को गुणन की सीमा से बाहर निकाल देते हैं। जो बचता है उसे सामान्य नियमों के अनुसार गुणा किया जाता है। हम पाते हैं:

मैं आपको एक बार फिर से याद दिला दूं कि हाइलाइट किए गए पूर्णांक भाग वाले भिन्न से पहले आने वाला ऋण विशेष रूप से संपूर्ण भिन्न को संदर्भित करता है, न कि केवल उसके पूर्णांक भाग को (यह पिछले दो उदाहरणों पर लागू होता है)।

नकारात्मक संख्याओं पर भी ध्यान दें: जब गुणा किया जाता है, तो वे कोष्ठक में संलग्न होते हैं। ऐसा गुणन चिह्नों से ऋणों को अलग करने और संपूर्ण अंकन को अधिक सटीक बनाने के लिए किया जाता है।

तुरंत अंशों को कम करना

गुणन एक अत्यंत श्रमसाध्य कार्य है। यहां संख्याएं काफी बड़ी हैं, और कार्य को सरल बनाने के लिए, आप भिन्न को और भी कम करने का प्रयास कर सकते हैं गुणन से पहले. वास्तव में, संक्षेप में, भिन्नों के अंश और हर सामान्य गुणनखंड होते हैं, और इसलिए, उन्हें भिन्न के मूल गुण का उपयोग करके कम किया जा सकता है। उदाहरणों पर एक नज़र डालें:

सभी उदाहरणों में, जो संख्याएँ कम कर दी गई हैं और जो बची हैं उन्हें लाल रंग में चिह्नित किया गया है।

कृपया ध्यान दें: पहले मामले में, गुणक पूरी तरह से कम हो गए थे। इकाइयाँ अपने स्थान पर बनी रहीं, जिन्हें सामान्यतः छोड़ा जा सकता है। दूसरे उदाहरण में, पूर्ण कमी हासिल करना संभव नहीं था, लेकिन गणना की कुल मात्रा फिर भी कम हो गई।

हालाँकि, किसी भी स्थिति में भिन्नों को जोड़ते और घटाते समय इस तकनीक का उपयोग न करें! हाँ, कभी-कभी ऐसी ही संख्याएँ होती हैं जिन्हें आप कम करना चाहते हैं। यहाँ, देखो:

आप ऐसा नहीं कर सकते!

त्रुटि इस तथ्य के कारण होती है कि भिन्न को जोड़ते समय, योग भिन्न के अंश में दिखाई देता है, न कि संख्याओं के गुणनफल में। इसलिए, भिन्न के मुख्य गुण को लागू करना असंभव है, क्योंकि यह गुण विशेष रूप से संख्याओं के गुणन से संबंधित है।

भिन्नों को कम करने का कोई अन्य कारण नहीं है, इसलिए सही समाधानपिछला कार्य इस प्रकार दिखता है:

जैसा कि आप देख सकते हैं, सही उत्तर उतना सुंदर नहीं निकला। सामान्य तौर पर सावधान रहें.

भिन्नों का विभाजन.

किसी भिन्न का किसी प्राकृतिक संख्या से विभाजन.

किसी भिन्न को प्राकृतिक संख्या से विभाजित करने के उदाहरण

किसी प्राकृत संख्या का भिन्न से विभाजन.

किसी प्राकृत संख्या को भिन्न से विभाजित करने के उदाहरण

साधारण भिन्नों का विभाजन.

साधारण भिन्नों के विभाजन के उदाहरण

मिश्रित संख्याओं का विभाजन.

एक मिश्रित संख्या को दूसरे से विभाजित करने के लिए, आपको चाहिए:
• मिश्रित भिन्नों को अनुचित भिन्नों में परिवर्तित करना;
• पहले अंश को दूसरे के व्युत्क्रम से गुणा करें;
• परिणामी अंश को कम करें;
• यदि आपको कोई अनुचित भिन्न मिलता है, तो उसे परिवर्तित करें अनुचित अंशएक मिश्रित में.

मिश्रित संख्याओं को विभाजित करने के उदाहरण

1 1 2: 2 2 3 = 1 2 + 1 2: 2 3 + 2 3 = 3 2: 8 3 = 3 2 3 8 = 3 3 2 8 = 9 16

2 1 7: 3 5 = 2 7 + 1 7: 3 5 = 15 7: 3 5 = 15 7 5 3 = 15 5 7 3 = 5 5 7 = 25 7 = 7 3 + 4 7 = 3 4 7

किसी भी अश्लील टिप्पणी को हटा दिया जाएगा और उनके लेखकों को काली सूची में डाल दिया जाएगा!

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मेरा नाम डोवज़िक मिखाइल विक्टरोविच है। मैं इस साइट का मालिक और लेखक हूं, मैंने सभी सैद्धांतिक सामग्री लिखी है, साथ ही ऑनलाइन अभ्यास और कैलकुलेटर भी विकसित किए हैं जिनका उपयोग आप गणित का अध्ययन करने के लिए कर सकते हैं।

भिन्न। भिन्नों का गुणन और विभाजन.

भिन्न को भिन्न से गुणा करना.

साधारण भिन्नों को गुणा करने के लिए, अंश को अंश से गुणा करना आवश्यक है (हमें उत्पाद का अंश प्राप्त होता है) और हर को हर से गुणा करना आवश्यक है (हमें उत्पाद का हर प्राप्त होता है)।

भिन्न गुणन सूत्र:





अंश और हर के गुणन के साथ आगे बढ़ने से पहले, भिन्न को कम करने की संभावना की जाँच करना आवश्यक है। यदि आप भिन्न को कम करने में सफल हो जाते हैं, तो आपके लिए गणना करना जारी रखना आसान हो जाएगा।

टिप्पणी! एक सामान्य विभाजक की तलाश करने की कोई आवश्यकता नहीं है!!

एक साधारण भिन्न का भिन्न से विभाजन.

एक साधारण भिन्न को भिन्न से विभाजित करना इस प्रकार है: दूसरे भिन्न को पलटें (अर्थात अंश और हर को स्थान-स्थान पर बदलें) और उसके बाद भिन्नों को गुणा किया जाता है।

साधारण भिन्नों को विभाजित करने का सूत्र:





किसी भिन्न को किसी प्राकृतिक संख्या से गुणा करना.

टिप्पणी!किसी भिन्न को किसी प्राकृतिक संख्या से गुणा करने पर, भिन्न के अंश को हमारी प्राकृतिक संख्या से गुणा किया जाता है, और भिन्न का हर वही रहता है। यदि उत्पाद का परिणाम अनुचित अंश है, तो अनुचित अंश को मिश्रित अंश में बदलकर पूरे भाग का चयन करना सुनिश्चित करें।



किसी प्राकृतिक संख्या से युक्त भिन्नों का विभाजन।

यह उतना डरावना नहीं है जितना लगता है। जैसे कि जोड़ के मामले में, हम एक पूर्णांक को हर में एक इकाई के साथ भिन्न में परिवर्तित करते हैं। उदाहरण के लिए:



मिश्रित भिन्नों का गुणन.

भिन्नों को गुणा करने के नियम (मिश्रित):

• मिश्रित भिन्नों को अनुचित भिन्नों में परिवर्तित करना;
• भिन्नों के अंश और हर को गुणा करें;
• हम भिन्न को कम करते हैं;
• यदि हमें कोई अनुचित भिन्न मिलता है, तो हम अनुचित भिन्न को मिश्रित भिन्न में बदल देते हैं।

टिप्पणी!एक मिश्रित भिन्न को दूसरे मिश्रित भिन्न से गुणा करने के लिए, आपको पहले उन्हें अनुचित भिन्न के रूप में लाना होगा, और फिर साधारण भिन्न को गुणा करने के नियम के अनुसार गुणा करना होगा।



किसी भिन्न को प्राकृतिक संख्या से गुणा करने का दूसरा तरीका।

किसी साधारण भिन्न को किसी संख्या से गुणा करने की दूसरी विधि का उपयोग करना अधिक सुविधाजनक है।

टिप्पणी!किसी भिन्न को किसी प्राकृतिक संख्या से गुणा करने के लिए, भिन्न के हर को इस संख्या से विभाजित करना आवश्यक है, और अंश को अपरिवर्तित छोड़ देना चाहिए।



उपरोक्त उदाहरण से, यह स्पष्ट है कि इस विकल्प का उपयोग तब अधिक सुविधाजनक होता है जब भिन्न के हर को बिना किसी शेषफल के किसी प्राकृतिक संख्या से विभाजित किया जाता है।

बहुस्तरीय भिन्न.

हाई स्कूल में, तीन मंजिला (या अधिक) भिन्न अक्सर पाए जाते हैं। उदाहरण:

ऐसे अंश को लाने के लिए परिचित नज़र, 2 बिंदुओं के माध्यम से विभाजन का उपयोग करें:



टिप्पणी!भिन्नों को विभाजित करते समय विभाजन का क्रम बहुत महत्वपूर्ण होता है। सावधान रहें, यहां भ्रमित होना आसान है।

टिप्पणी, उदाहरण के लिए:

किसी एक को किसी भिन्न से विभाजित करने पर परिणाम वही भिन्न होगा, केवल उलटा:

भिन्नों को गुणा और विभाजित करने के लिए व्यावहारिक सुझाव:

1. भिन्नात्मक अभिव्यक्तियों के साथ काम करने में सबसे महत्वपूर्ण बात सटीकता और सावधानी है। सभी गणनाएँ सावधानीपूर्वक और सटीक, एकाग्र और स्पष्ट रूप से करें। अपने दिमाग में गणनाओं में उलझने से बेहतर है कि ड्राफ्ट में कुछ अतिरिक्त पंक्तियाँ लिख लें।

2. विभिन्न प्रकार के भिन्न वाले कार्यों में साधारण भिन्न के प्रकार पर जाएँ।

3. हम सभी भिन्नों को तब तक कम करते हैं जब तक कि उन्हें कम करना संभव न हो जाए।

4. हम 2 बिंदुओं से विभाजन का उपयोग करके बहु-स्तरीय भिन्नात्मक अभिव्यक्तियों को सामान्य अभिव्यक्ति में लाते हैं।

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पिछली बार हमने भिन्नों को जोड़ना और घटाना सीखा था (पाठ "भिन्नों का जोड़ और घटाव" देखें)। उन कार्यों में सबसे कठिन क्षण भिन्नों को एक सामान्य हर में लाना था।

अब गुणा और भाग से निपटने का समय आ गया है। अच्छी खबर यह है कि ये ऑपरेशन जोड़ और घटाव से भी आसान हैं। आरंभ करने के लिए, सबसे सरल मामले पर विचार करें, जब एक विशिष्ट पूर्णांक भाग के बिना दो सकारात्मक भिन्न होते हैं।

दो भिन्नों को गुणा करने के लिए, आपको उनके अंश और हर को अलग-अलग गुणा करना होगा। पहली संख्या नए भिन्न का अंश होगी, और दूसरी हर होगी।

दो भिन्नों को विभाजित करने के लिए, आपको पहले भिन्न को "उल्टे" दूसरे से गुणा करना होगा।

पद का नाम:

परिभाषा से यह निष्कर्ष निकलता है कि भिन्नों का विभाजन गुणन में कम हो जाता है। किसी भिन्न को पलटने के लिए, बस अंश और हर की अदला-बदली करें। इसलिए, पूरे पाठ में हम मुख्य रूप से गुणन पर विचार करेंगे।

गुणन के परिणामस्वरूप, एक कम अंश उत्पन्न हो सकता है (और अक्सर उत्पन्न होता है) - बेशक, इसे कम किया जाना चाहिए। यदि, सभी कटौती के बाद, अंश गलत निकला, तो इसमें पूरे भाग को अलग किया जाना चाहिए। लेकिन वास्तव में गुणन के साथ जो नहीं होगा वह एक सामान्य हर में कमी है: कोई क्रॉसवाइज विधियां नहीं, अधिकतम कारक और कम से कम सामान्य गुणक।

परिभाषा के अनुसार हमारे पास है:

पूर्णांक भाग और ऋणात्मक भिन्नों से भिन्नों का गुणन

यदि भिन्नों में कोई पूर्णांक भाग है, तो उन्हें अनुचित भागों में परिवर्तित किया जाना चाहिए - और उसके बाद ही ऊपर उल्लिखित योजनाओं के अनुसार गुणा किया जाना चाहिए।

यदि किसी भिन्न के अंश में, हर में या उसके सामने ऋण चिह्न हो तो उसे निम्नलिखित नियमों के अनुसार गुणन की सीमा से बाहर किया जा सकता है या पूरी तरह से हटाया जा सकता है:

1. प्लस गुणा माइनस माइनस देता है;
2. दो नकारात्मक एक सकारात्मक बनाते हैं।

अब तक, ये नियम केवल ऋणात्मक भिन्नों को जोड़ते और घटाते समय ही सामने आए हैं, जब पूरे भाग से छुटकारा पाना आवश्यक था। किसी उत्पाद के लिए, उन्हें एक साथ कई नुकसानों को "जला" देने के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है:

1. हम माइनस को जोड़े में तब तक काटते हैं जब तक वे पूरी तरह से गायब नहीं हो जाते। चरम स्थिति में, एक ऋण जीवित रह सकता है - वह जिसे कोई मेल नहीं मिला;
2. यदि कोई माइनस नहीं बचा है, तो ऑपरेशन पूरा हो गया है - आप गुणा करना शुरू कर सकते हैं। यदि अंतिम ऋण को पार नहीं किया गया है, क्योंकि उसे कोई जोड़ा नहीं मिला है, तो हम इसे गुणन की सीमा से बाहर निकाल देते हैं। आपको एक ऋणात्मक अंश मिलता है.

काम। अभिव्यक्ति का मान ज्ञात कीजिए:

हम सभी भिन्नों को अनुचित भिन्नों में परिवर्तित करते हैं, और फिर हम ऋणों को गुणन की सीमा से बाहर निकाल देते हैं। जो बचता है उसे सामान्य नियमों के अनुसार गुणा किया जाता है। हम पाते हैं:

मैं आपको एक बार फिर से याद दिला दूं कि हाइलाइट किए गए पूर्णांक भाग वाले भिन्न से पहले आने वाला ऋण विशेष रूप से संपूर्ण भिन्न को संदर्भित करता है, न कि केवल उसके पूर्णांक भाग को (यह पिछले दो उदाहरणों पर लागू होता है)।

नकारात्मक संख्याओं पर भी ध्यान दें: जब गुणा किया जाता है, तो वे कोष्ठक में संलग्न होते हैं। ऐसा गुणन चिह्नों से ऋणों को अलग करने और संपूर्ण अंकन को अधिक सटीक बनाने के लिए किया जाता है।

तुरंत अंशों को कम करना

गुणन एक अत्यंत श्रमसाध्य कार्य है। यहां संख्याएं काफी बड़ी हैं, और कार्य को सरल बनाने के लिए, आप भिन्न को और भी कम करने का प्रयास कर सकते हैं गुणन से पहले. वास्तव में, संक्षेप में, भिन्नों के अंश और हर सामान्य गुणनखंड होते हैं, और इसलिए, उन्हें भिन्न के मूल गुण का उपयोग करके कम किया जा सकता है। उदाहरणों पर एक नज़र डालें:

काम। अभिव्यक्ति का मान ज्ञात कीजिए:

परिभाषा के अनुसार हमारे पास है:

सभी उदाहरणों में, जो संख्याएँ कम कर दी गई हैं और जो बची हैं उन्हें लाल रंग में चिह्नित किया गया है।

कृपया ध्यान दें: पहले मामले में, गुणक पूरी तरह से कम हो गए थे। इकाइयाँ अपने स्थान पर बनी रहीं, जिन्हें सामान्यतः छोड़ा जा सकता है। दूसरे उदाहरण में, पूर्ण कमी हासिल करना संभव नहीं था, लेकिन गणना की कुल मात्रा फिर भी कम हो गई।

हालाँकि, किसी भी स्थिति में भिन्नों को जोड़ते और घटाते समय इस तकनीक का उपयोग न करें! हाँ, कभी-कभी ऐसी ही संख्याएँ होती हैं जिन्हें आप कम करना चाहते हैं। यहाँ, देखो:

आप ऐसा नहीं कर सकते!

त्रुटि इस तथ्य के कारण होती है कि भिन्न को जोड़ते समय, योग भिन्न के अंश में दिखाई देता है, न कि संख्याओं के गुणनफल में। इसलिए, भिन्न के मुख्य गुण को लागू करना असंभव है, क्योंकि यह गुण विशेष रूप से संख्याओं के गुणन से संबंधित है।

भिन्नों को कम करने का कोई अन्य कारण नहीं है, इसलिए पिछली समस्या का सही समाधान इस प्रकार दिखता है:

सही समाधान:

जैसा कि आप देख सकते हैं, सही उत्तर उतना सुंदर नहीं निकला। सामान्य तौर पर सावधान रहें.

औसत के दौरान और हाई स्कूलविद्यार्थियों ने "अंश" विषय पढ़ा। हालाँकि, यह अवधारणा सीखने की प्रक्रिया में दी गई अवधारणा से कहीं अधिक व्यापक है। आज, भिन्न की अवधारणा का अक्सर सामना किया जाता है, और हर कोई किसी भी अभिव्यक्ति की गणना नहीं कर सकता है, उदाहरण के लिए, भिन्न को गुणा करना।

भिन्न क्या है?

ऐतिहासिक रूप से ऐसा हुआ कि मापने की आवश्यकता के कारण भिन्नात्मक संख्याएँ सामने आईं। जैसा कि अभ्यास से पता चलता है, किसी खंड की लंबाई, एक आयताकार आयत का आयतन निर्धारित करने के लिए अक्सर उदाहरण होते हैं।

प्रारंभ में, छात्रों को शेयर जैसी अवधारणा से परिचित कराया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि आप एक तरबूज को 8 भागों में विभाजित करते हैं, तो प्रत्येक को तरबूज का आठवां हिस्सा मिलेगा। आठ के इस एक भाग को अंश कहा जाता है।

किसी भी मूल्य के ½ के बराबर शेयर को आधा कहा जाता है; ⅓ - तीसरा; ¼ - एक चौथाई. 5/8, 4/5, 2/4 जैसी प्रविष्टियों को सामान्य भिन्न कहा जाता है। एक साधारण भिन्न को अंश और हर में विभाजित किया जाता है। उनके बीच एक भिन्नात्मक रेखा, या भिन्नात्मक रेखा होती है। भिन्नात्मक पट्टी को क्षैतिज या तिरछी रेखा के रूप में खींचा जा सकता है। इस मामले में, यह विभाजन चिह्न के लिए है।

हर यह दर्शाता है कि वस्तु का मूल्य कितने बराबर शेयरों में विभाजित है; और अंश यह है कि कितने बराबर शेयर लिए गए हैं। अंश को भिन्नात्मक पट्टी के ऊपर लिखा जाता है, हर को उसके नीचे।

निर्देशांक किरण पर साधारण भिन्नों को दिखाना सबसे सुविधाजनक है। यदि एक एकल खंड को 4 बराबर भागों में विभाजित किया गया है, तो प्रत्येक हिस्से को नामित करें लैटिन अक्षर, परिणाम एक उत्कृष्ट दृश्य सहायता हो सकता है। तो, बिंदु A संपूर्ण इकाई खंड के 1/4 के बराबर हिस्सा दिखाता है, और बिंदु B इस खंड के 2/8 को चिह्नित करता है।

विभिन्न प्रकार के भिन्न

भिन्न सामान्य, दशमलव और मिश्रित संख्याएँ हैं। इसके अलावा, भिन्नों को उचित और अनुचित में विभाजित किया जा सकता है। यह वर्गीकरण साधारण भिन्नों के लिए अधिक उपयुक्त है।

उचित भिन्न वह संख्या होती है जिसका अंश हर से कम होता है। तदनुसार, अनुचित भिन्न वह संख्या है जिसका अंश हर से बड़ा होता है। दूसरा प्रकार आमतौर पर मिश्रित संख्या के रूप में लिखा जाता है। ऐसे व्यंजक में एक पूर्णांक भाग और एक भिन्नात्मक भाग होता है। उदाहरण के लिए, 1½. 1 - पूर्णांक भाग, ½ - भिन्नात्मक। हालाँकि, यदि आपको अभिव्यक्ति के साथ कुछ हेरफेर करने की आवश्यकता है (अंशों को विभाजित करना या गुणा करना, उन्हें कम करना या परिवर्तित करना), तो मिश्रित संख्या एक अनुचित भिन्न में परिवर्तित हो जाती है।

एक सही भिन्नात्मक अभिव्यक्ति हमेशा एक से कम होती है, और एक गलत भिन्नात्मक अभिव्यक्ति हमेशा 1 से बड़ी या उसके बराबर होती है।

इस अभिव्यक्ति के लिए, वे एक रिकॉर्ड को समझते हैं जिसमें किसी भी संख्या का प्रतिनिधित्व किया जाता है, जिसके भिन्नात्मक अभिव्यक्ति के हर को कई शून्य के साथ एक के माध्यम से व्यक्त किया जा सकता है। यदि भिन्न सही है, तो पूरा भाग सही है दशमलव अंकनशून्य के बराबर होगा.

दशमलव लिखने के लिए, आपको पहले पूर्णांक भाग लिखना होगा, इसे अल्पविराम से भिन्नात्मक से अलग करना होगा, और फिर भिन्नात्मक अभिव्यक्ति लिखना होगा। यह याद रखना चाहिए कि अल्पविराम के बाद अंश में उतने ही संख्यात्मक वर्ण होने चाहिए जितने हर में शून्य होते हैं।

उदाहरण. अंश 7 21/1000 को दशमलव संकेतन में निरूपित करें।

अनुचित भिन्न को मिश्रित संख्या में बदलने और इसके विपरीत के लिए एल्गोरिदम

समस्या के उत्तर में अनुचित भिन्न लिखना गलत है, इसलिए इसे मिश्रित संख्या में परिवर्तित किया जाना चाहिए:

• अंश को मौजूदा हर से विभाजित करें;
• वी विशिष्ट उदाहरणअपूर्ण भागफल - संपूर्ण;
• और शेष भिन्नात्मक भाग का अंश है, जिसमें हर अपरिवर्तित रहता है।

उदाहरण. अनुचित भिन्न को मिश्रित संख्या में बदलें: 47/5।

समाधान. 47: 5. अपूर्ण भागफल 9 है, शेषफल = 2. अतः, 47 / 5 = 9 2 / 5.

कभी-कभी आपको मिश्रित संख्या को अनुचित भिन्न के रूप में दर्शाने की आवश्यकता होती है। फिर आपको निम्नलिखित एल्गोरिदम का उपयोग करने की आवश्यकता है:

• पूर्णांक भाग को भिन्नात्मक अभिव्यक्ति के हर से गुणा किया जाता है;
• परिणामी उत्पाद को अंश में जोड़ा जाता है;
• परिणाम अंश में लिखा जाता है, हर अपरिवर्तित रहता है।

उदाहरण. मिश्रित रूप में संख्या को अनुचित भिन्न के रूप में व्यक्त करें: 9 8 / 10।

समाधान. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 अंश है।

उत्तर: 98 / 10.

साधारण भिन्नों का गुणन

आप साधारण भिन्नों पर विभिन्न बीजगणितीय संक्रियाएँ निष्पादित कर सकते हैं। दो संख्याओं को गुणा करने के लिए, आपको अंश को अंश से और हर को हर से गुणा करना होगा। इसके अलावा, विभिन्न हर वाले भिन्नों का गुणन समान हर वाले भिन्नात्मक संख्याओं के गुणनफल से भिन्न नहीं होता है।

ऐसा होता है कि परिणाम खोजने के बाद, आपको भिन्न को कम करने की आवश्यकता होती है। परिणामी अभिव्यक्ति को यथासंभव सरल बनाना अनिवार्य है। बेशक, यह नहीं कहा जा सकता कि उत्तर में अनुचित भिन्न एक गलती है, लेकिन इसे सही उत्तर कहना भी मुश्किल है।

उदाहरण. दो साधारण भिन्नों का गुणनफल ज्ञात कीजिए: ½ और 20/18।

जैसा कि उदाहरण से देखा जा सकता है, उत्पाद ढूंढने के बाद, एक कम करने योग्य भिन्नात्मक अंकन प्राप्त होता है। इस मामले में अंश और हर दोनों 4 से विभाज्य हैं, और परिणाम उत्तर 5/9 है।

दशमलव भिन्नों को गुणा करना

दशमलव भिन्नों का गुणनफल अपने सिद्धांत में साधारण भिन्नों के गुणनफल से काफी भिन्न होता है। तो, भिन्नों को गुणा करना इस प्रकार है:

• दो दशमलव अंशों को एक दूसरे के नीचे लिखा जाना चाहिए ताकि सबसे दाएँ अंक एक दूसरे के नीचे हों;
• आपको अल्पविरामों के बावजूद, यानी प्राकृतिक संख्याओं के रूप में लिखित संख्याओं को गुणा करने की आवश्यकता है;
• प्रत्येक संख्या में अल्पविराम के बाद अंकों की संख्या गिनें;
• गुणन के बाद प्राप्त परिणाम में, आपको दाहिनी ओर उतने डिजिटल वर्ण गिनने होंगे जितने दशमलव बिंदु के बाद दोनों कारकों के योग में निहित हैं, और एक अलग चिह्न लगाना होगा;
• यदि गुणनफल में कम अंक हैं तो इस संख्या को ढकने के लिए उनके सामने इतने शून्य अवश्य लिखें, अल्पविराम लगाएं तथा शून्य के बराबर पूर्णांक भाग निर्दिष्ट करें।

उदाहरण. दो दशमलवों के गुणनफल की गणना करें: 2.25 और 3.6।

समाधान.

मिश्रित भिन्नों का गुणन

दो मिश्रित भिन्नों के गुणनफल की गणना करने के लिए, आपको भिन्नों को गुणा करने के नियम का उपयोग करना होगा:

• मिश्रित संख्याओं को अनुचित भिन्नों में बदलें;
• अंशों का गुणनफल ज्ञात करें;
• हरों का गुणनफल ज्ञात करें;
• परिणाम लिखो;
• अभिव्यक्ति को यथासंभव सरल बनाएं.

उदाहरण. 4½ और 6 2/5 का गुणनफल ज्ञात कीजिए।

किसी संख्या को भिन्न से गुणा करना (अंश को किसी संख्या से गुणा करना)

दो भिन्नों, मिश्रित संख्याओं का गुणनफल खोजने के अलावा, ऐसे कार्य भी हैं जहाँ आपको भिन्न से गुणा करने की आवश्यकता होती है।

तो, काम ढूंढने के लिए दशमलव अंशऔर एक प्राकृतिक संख्या, आपको चाहिए:

• भिन्न के नीचे संख्या लिखें ताकि सबसे दाहिने अंक एक के ऊपर एक हों;
• अल्पविराम के बावजूद, कार्य ढूंढें;
• प्राप्त परिणाम में, पूर्णांक भाग को अल्पविराम का उपयोग करके भिन्नात्मक भाग से अलग करें, भिन्न में दशमलव बिंदु के बाद वर्णों की संख्या को दाईं ओर गिनें।

किसी साधारण भिन्न को किसी संख्या से गुणा करने के लिए, आपको अंश और प्राकृतिक गुणनखंड का गुणनफल ज्ञात करना चाहिए। यदि उत्तर एक कम करने योग्य भिन्न है, तो इसे परिवर्तित किया जाना चाहिए।

उदाहरण. 5/8 और 12 के गुणनफल की गणना करें।

समाधान. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

उत्तर: 7 1 / 2.

जैसा कि आप पिछले उदाहरण से देख सकते हैं, परिणामी परिणाम को कम करना और गलत भिन्नात्मक अभिव्यक्ति को मिश्रित संख्या में बदलना आवश्यक था।

साथ ही, भिन्नों का गुणन किसी संख्या का मिश्रित रूप और प्राकृतिक गुणनखंड में गुणनफल ज्ञात करने के लिए भी लागू होता है। इन दो संख्याओं को गुणा करने के लिए, आपको मिश्रित कारक के पूर्णांक भाग को संख्या से गुणा करना चाहिए, अंश को उसी मान से गुणा करना चाहिए, और हर को अपरिवर्तित छोड़ देना चाहिए। यदि आवश्यक हो, तो आपको परिणाम को यथासंभव सरल बनाने की आवश्यकता है।

उदाहरण. 9 5/6 और 9 का गुणनफल ज्ञात कीजिए।

समाधान. 9 5 / 6 x 9 = 9 x 9 + (5 x 9) / 6 = 81 + 45 / 6 = 81 + 7 3 / 6 = 88 1 / 2।

उत्तर: 88 1 / 2.

गुणनखंड 10, 100, 1000 या 0.1 द्वारा गुणा; 0.01; 0.001

यह पिछले पैराग्राफ से अनुसरण करता है अगला नियम. किसी दशमलव अंश को 10, 100, 1000, 10000 आदि से गुणा करने के लिए, आपको अल्पविराम को दाईं ओर उतने अंकों वाले वर्णों से ले जाना होगा, जितने गुणक में एक के बाद शून्य होते हैं।

उदाहरण 1. 0.065 और 1000 का गुणनफल ज्ञात कीजिए।

समाधान. 0.065 x 1000 = 0065 = 65.

उत्तर: 65.

उदाहरण 2. 3.9 और 1000 का गुणनफल ज्ञात कीजिए।

समाधान. 3.9 x 1000 = 3.900 x 1000 = 3900.

उत्तर: 3900.

यदि आपको किसी प्राकृत संख्या और 0.1 को गुणा करने की आवश्यकता है; 0.01; 0.001; 0.0001, आदि, आपको परिणामी उत्पाद में अल्पविराम को बाईं ओर उतने अंकों वाले वर्णों द्वारा ले जाना चाहिए जितने एक से पहले शून्य हों। यदि आवश्यक हो तो किसी प्राकृत संख्या के आगे पर्याप्त संख्या में शून्य लिखा जाता है।

उदाहरण 1. 56 और 0.01 का गुणनफल ज्ञात कीजिए।

समाधान. 56 x 0.01 = 0056 = 0.56.

उत्तर: 0,56.

उदाहरण 2. 4 और 0.001 का गुणनफल ज्ञात कीजिए।

समाधान. 4 x 0.001 = 0004 = 0.004.

उत्तर: 0,004.

इसलिए, परिणाम की गणना को छोड़कर, विभिन्न भिन्नों का गुणनफल खोजने में कोई कठिनाई नहीं होनी चाहिए; इस मामले में, आप कैलकुलेटर के बिना बस नहीं कर सकते।

भिन्नों का गुणन और विभाजन.

ध्यान!
अतिरिक्त भी हैं
विशेष धारा 555 में सामग्री।
उन लोगों के लिए जो दृढ़ता से "बहुत नहीं..."
और उन लोगों के लिए जो "बहुत ज्यादा...")

यह क्रिया जोड़-घटाने से कहीं अधिक अच्छी है! क्योंकि यह आसान है. मैं आपको याद दिलाता हूं: किसी भिन्न को भिन्न से गुणा करने के लिए, आपको अंशों (यह परिणाम का अंश होगा) और हर (यह हर होगा) को गुणा करना होगा। वह है:

उदाहरण के लिए:

सब कुछ बेहद सरल है. और कृपया एक सामान्य विभाजक की तलाश न करें! यहां इसकी जरूरत नहीं है...

किसी भिन्न को भिन्न से विभाजित करने के लिए, आपको पलटना होगा दूसरा(यह महत्वपूर्ण है!) अंश और उन्हें गुणा करें, यानी:

उदाहरण के लिए:

यदि पूर्णांकों और भिन्नों से गुणा या भाग पकड़ में आ जाए तो कोई बात नहीं। जोड़ की तरह, हम हर में एक इकाई के साथ एक पूर्ण संख्या से भिन्न बनाते हैं - और चलते हैं! उदाहरण के लिए:

हाई स्कूल में, आपको अक्सर तीन-मंजिला (या यहां तक ​​कि चार-कहानी!) भिन्नों से निपटना पड़ता है। उदाहरण के लिए:

इस भिन्न को सभ्य रूप में कैसे लाया जाए? हाँ, बहुत आसान! दो बिंदुओं के माध्यम से विभाजन का प्रयोग करें:

लेकिन विभाजन आदेश के बारे में मत भूलना! गुणन के विपरीत, यह यहाँ बहुत महत्वपूर्ण है! निस्संदेह, हम 4:2 या 2:4 को भ्रमित नहीं करेंगे। लेकिन तीन मंजिला हिस्से में गलती करना आसान है। कृपया ध्यान दें, उदाहरण के लिए:

पहले मामले में (बाईं ओर अभिव्यक्ति):

दूसरे में (दाईं ओर अभिव्यक्ति):

फर्क महसूस करो? 4 और 1/9!

विभाजन का क्रम क्या है? या कोष्ठक, या (यहाँ के रूप में) क्षैतिज डैश की लंबाई। एक आँख विकसित करो. और यदि कोई कोष्ठक या डैश नहीं है, जैसे:

फिर बांटो-गुणा करो क्रम में, बाएँ से दाएँ!

और एक और बहुत ही सरल और महत्वपूर्ण ट्रिक। डिग्री वाले कार्यों में यह आपके काम आएगा! आइए इकाई को किसी भिन्न से विभाजित करें, उदाहरण के लिए, 13/15 से:

गोली पलट गई! और यह हमेशा होता है. 1 को किसी भी भिन्न से विभाजित करने पर परिणाम वही भिन्न होता है, केवल उल्टा होता है।

भिन्नों के साथ बस इतनी ही क्रियाएँ हैं। बात बिल्कुल सरल है, लेकिन जरूरत से ज्यादा त्रुटियां देती है। व्यावहारिक सलाह पर ध्यान दें, और उनमें (गलतियाँ) कम होंगी!

व्यावहारिक सुझाव:

1. भिन्नात्मक अभिव्यक्तियों के साथ काम करते समय सबसे महत्वपूर्ण बात सटीकता और सावधानी है! ये सामान्य शब्द नहीं हैं, शुभकामनाएँ नहीं हैं! यह एक गंभीर आवश्यकता है! परीक्षा में सभी गणनाएँ एकाग्रता और स्पष्टता के साथ एक पूर्ण कार्य के रूप में करें। अपने दिमाग में गणना करते समय गड़बड़ी करने से बेहतर है कि ड्राफ्ट में दो अतिरिक्त पंक्तियाँ लिख लें।

2. विभिन्न प्रकार के भिन्नों वाले उदाहरणों में - साधारण भिन्नों पर जाएँ।

3. हम सभी भिन्नों को स्टॉप तक कम कर देते हैं।

4. हम दो बिंदुओं के माध्यम से विभाजन का उपयोग करके बहु-स्तरीय भिन्नात्मक अभिव्यक्तियों को सामान्य बनाते हैं (हम विभाजन के क्रम का पालन करते हैं!)।

5. हम अपने मन में इकाई को भिन्न में विभाजित करते हैं, बस भिन्न को पलट कर।

यहां वे कार्य हैं जिन्हें आपको पूरा करना है। सभी कार्यों के बाद उत्तर दिए जाते हैं। इस विषय की सामग्री और व्यावहारिक सलाह का उपयोग करें। अनुमान लगाएं कि आप कितने उदाहरण सही ढंग से हल कर सके। पहली बार! बिना कैलकुलेटर के! और सही निष्कर्ष निकालें...

सही उत्तर याद रखें दूसरी (विशेषकर तीसरी) बार से प्राप्त - गिनती नहीं!ऐसा ही कठोर जीवन है.

इसलिए, परीक्षा मोड में हल करें ! वैसे, यह परीक्षा की तैयारी है। हम एक उदाहरण हल करते हैं, हम जाँच करते हैं, हम निम्नलिखित हल करते हैं। हमने सब कुछ तय कर लिया - हमने पहले से आखिरी तक फिर से जाँच की। लेकिन केवल तबउत्तरों को देखो.

गणना करें:

क्या आपने तय किया?

ऐसे उत्तर खोज रहे हैं जो आपसे मेल खाते हों। मैंने विशेष रूप से उन्हें प्रलोभन से दूर, गड़बड़ी में लिखा था, ऐसा कहने के लिए ... यहाँ वे हैं, उत्तर, अर्धविराम के साथ लिखे गए हैं।

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

और अब हम निष्कर्ष निकालते हैं। यदि सब कुछ ठीक रहा - तो आपके लिए ख़ुशी की बात है! भिन्नों के साथ प्राथमिक गणनाएँ आपकी समस्या नहीं हैं! आप अधिक गंभीर कार्य कर सकते हैं. अगर नहीं...

तो आपके पास दो समस्याओं में से एक है। या दोनों एक साथ।) ज्ञान की कमी और (या) असावधानी। लेकिन इस व्याख्या करने योग्य समस्या।

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साधारण भिन्नों का गुणन

एक उदाहरण पर विचार करें.

मान लीजिए कि प्लेट में सेब का $\frac(1)(3)$ भाग है। हमें इसका $\frac(1)(2)$ भाग ढूंढना होगा। आवश्यक भाग भिन्न $\frac(1)(3)$ और $\frac(1)(2)$ को गुणा करने का परिणाम है। दो उभयनिष्ठ भिन्नों को गुणा करने का परिणाम एक उभयनिष्ठ भिन्न होता है।

दो सामान्य भिन्नों को गुणा करना

साधारण भिन्नों को गुणा करने का नियम:

किसी भिन्न को भिन्न से गुणा करने का परिणाम एक भिन्न होता है जिसका अंश गुणित भिन्न के अंशों के गुणनफल के बराबर होता है, और हर हर के गुणनफल के बराबर होता है:

उदाहरण 1

साधारण भिन्न $\frac(3)(7)$ और $\frac(5)(11)$ को गुणा करें।

समाधान।

आइए साधारण भिन्नों के गुणन के नियम का उपयोग करें:

\[\frac(3)(7)\cdot \frac(5)(11)=\frac(3\cdot 5)(7\cdot 11)=\frac(15)(77)\]

उत्तर:$\frac(15)(77)$

यदि भिन्नों को गुणा करने के परिणामस्वरूप रद्द करने योग्य या अनुचित भिन्न प्राप्त होता है, तो इसे सरल बनाना आवश्यक है।

उदाहरण 2

भिन्नों को $\frac(3)(8)$ और $\frac(1)(9)$ को गुणा करें।

समाधान।

हम साधारण भिन्नों को गुणा करने के लिए नियम का उपयोग करते हैं:

\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)\]

परिणामस्वरूप, हमें एक कम करने योग्य अंश मिला ($3$ से विभाजन के आधार पर। अंश के अंश और हर को $3$ से विभाजित करने पर, हमें मिलता है:

\[\frac(3)(72)=\frac(3:3)(72:3)=\frac(1)(24)\]

संक्षिप्त समाधान:

\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)=\frac(1) (24)\]

उत्तर:$\frac(1)(24).$

भिन्नों को गुणा करते समय, आप उनके उत्पाद को खोजने के लिए अंश और हर को कम कर सकते हैं। इस मामले में, अंश के अंश और हर को सरल कारकों में विघटित किया जाता है, जिसके बाद दोहराए जाने वाले कारकों को कम किया जाता है और परिणाम पाया जाता है।

उदाहरण 3

भिन्नों $\frac(6)(75)$ और $\frac(15)(24)$ के उत्पाद की गणना करें।

समाधान।

आइए साधारण भिन्नों को गुणा करने के लिए सूत्र का उपयोग करें:

\[\frac(6)(75)\cdot \frac(15)(24)=\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)\]

जाहिर है, अंश और हर में वे संख्याएँ होती हैं जिन्हें $2$, $3$, और $5$ संख्याओं द्वारा जोड़े में कम किया जा सकता है। हम अंश और हर को सरल गुणनखंडों में विघटित करते हैं और कमी करते हैं:

\[\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)=\frac(2\cdot 3\cdot 3\cdot 5)(3\cdot 5\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3)=\frac(1)(5\cdot 2\cdot 2)=\frac(1)(20)\]

उत्तर:$\frac(1)(20).$

भिन्नों को गुणा करते समय क्रमविनिमेय नियम लागू किया जा सकता है:

किसी भिन्न को किसी प्राकृतिक संख्या से गुणा करना

किसी साधारण भिन्न को प्राकृतिक संख्या से गुणा करने का नियम:

किसी भिन्न को प्राकृतिक संख्या से गुणा करने का परिणाम एक भिन्न होता है जिसमें अंश प्राकृतिक संख्या से गुणा किए गए भिन्न के अंश के गुणनफल के बराबर होता है, और हर गुणा किए गए भिन्न के हर के बराबर होता है:

जहां $\frac(a)(b)$ एक सामान्य भिन्न है, $n$ एक प्राकृतिक संख्या है।

उदाहरण 4

अंश $\frac(3)(17)$ को $4$ से गुणा करें।

समाधान।

आइए एक साधारण भिन्न को एक प्राकृतिक संख्या से गुणा करने के नियम का उपयोग करें:

\[\frac(3)(17)\cdot 4=\frac(3\cdot 4)(17)=\frac(12)(17)\]

उत्तर:$\frac(12)(17).$

भिन्न की संकुचनशीलता या अनुचित भिन्न के लिए गुणन के परिणाम की जाँच करना न भूलें।

उदाहरण 5

अंश $\frac(7)(15)$ को $3$ से गुणा करें।

समाधान।

आइए किसी भिन्न को प्राकृतिक संख्या से गुणा करने के लिए सूत्र का उपयोग करें:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)\]

संख्या $3$ से विभाजन की कसौटी के अनुसार, यह निर्धारित किया जा सकता है कि परिणामी अंश को कम किया जा सकता है:

\[\frac(21)(15)=\frac(21:3)(15:3)=\frac(7)(5)\]

परिणाम एक अनुचित भिन्न है. आइए पूरा भाग लें:

\[\frac(7)(5)=1\frac(2)(5)\]

संक्षिप्त समाधान:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)=\frac(7)(5)=1\frac(2) (5)\]

अंश और हर में संख्याओं को उनके विस्तार के साथ अभाज्य गुणनखंडों में प्रतिस्थापित करके भिन्नों को कम करना भी संभव था। इस मामले में, समाधान इस प्रकार लिखा जा सकता है:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(7\cdot 3)(3\cdot 5)=\frac(7)(5)= 1\frac(2)(5)\]

उत्तर:$1\frac(2)(5).$

किसी भिन्न को किसी प्राकृतिक संख्या से गुणा करते समय, आप क्रमविनिमेय नियम का उपयोग कर सकते हैं:

साधारण भिन्नों का विभाजन

विभाजन संक्रिया गुणन का व्युत्क्रम है और इसका परिणाम एक भिन्न है जिसके द्वारा आपको दो भिन्नों का ज्ञात उत्पाद प्राप्त करने के लिए एक ज्ञात भिन्न को गुणा करना होगा।

दो सामान्य भिन्नों का विभाजन

साधारण भिन्नों को विभाजित करने का नियम:जाहिर है, परिणामी अंश के अंश और हर को सरल कारकों में विघटित किया जा सकता है और कम किया जा सकता है:

\[\frac(8\cdot 35)(15\cdot 12)=\frac(2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\cdot 7)(3\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 3)= \frac(2\cdot 7)(3\cdot 3)=\frac(14)(9)\]

परिणामस्वरूप, हमें एक अनुचित भिन्न प्राप्त हुआ, जिसमें से हम पूर्णांक भाग का चयन करते हैं:

\[\frac(14)(9)=1\frac(5)(9)\]

उत्तर:$1\frac(5)(9).$