फैसला करने की कोशिश कर रहा है गणित की समस्याओंअंशों के साथ, छात्र समझता है कि इन समस्याओं को हल करने की इच्छा उसके लिए पर्याप्त नहीं है। भिन्नात्मक संख्याओं वाली गणनाओं का ज्ञान भी आवश्यक है। कुछ समस्याओं में, सभी प्रारंभिक डेटा स्थिति में भिन्नात्मक रूप में दिए गए हैं। अन्य में, उनमें से कुछ भिन्न हो सकते हैं, और कुछ पूर्ण संख्याएँ हो सकते हैं। इन दिए गए मानों के साथ कोई गणना करने के लिए, हमें पहले उन्हें लाना होगा एकल प्रजाति, अर्थात, पूर्णांक संख्याओं को भिन्नात्मक में अनुवाद करें, और फिर गणना करें। सामान्य तौर पर, पूर्णांक को भिन्न में बदलने का तरीका बहुत सरल है। ऐसा करने के लिए, दी गई संख्या को ही अंतिम अंश के अंश में और एक को उसके हर में लिखें। अर्थात, यदि आपको संख्या 12 को एक भिन्न में बदलने की आवश्यकता है, तो परिणामी भिन्न 12/1 होगी।

ऐसे संशोधन भिन्नों को एक सामान्य भाजक में लाने में मदद करते हैं। भिन्नात्मक संख्याओं को घटाने या जोड़ने में सक्षम होने के लिए यह आवश्यक है। उन्हें गुणा और विभाजित करते समय, एक सामान्य भाजक की आवश्यकता नहीं होती है। आप एक उदाहरण पर विचार कर सकते हैं कि किसी संख्या को भिन्न में कैसे बदला जाए और फिर दो भिन्नात्मक संख्याओं को कैसे जोड़ा जाए। मान लीजिए कि आपको संख्या 12 और भिन्नात्मक संख्या 3/4 को जोड़ने की आवश्यकता है। पहला पद (संख्या 12) 12/1 के रूप में घटाया गया है। हालाँकि, इसका हर 1 है, जबकि दूसरा पद 4 है। इन दो अंशों के बाद के जोड़ के लिए, उन्हें एक सामान्य भाजक में घटाया जाना चाहिए। इस तथ्य के कारण कि संख्याओं में से एक में 1 के बराबर भाजक है, यह आमतौर पर करना आसान होता है। दूसरी संख्या के भाजक को लेना और पहले के अंश और भाजक दोनों से गुणा करना आवश्यक है।

गुणा का परिणाम होगा: 12/1=48/4। यदि 48 को 4 से विभाजित किया जाता है, तो 12 प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है कि भिन्न को सही हर में घटाया जाता है। इस प्रकार, उसी समय, आप समझ सकते हैं कि एक अंश को पूर्णांक में कैसे परिवर्तित किया जाए। यह केवल अनुचित अंशों पर लागू होता है, क्योंकि उनके पास भाजक की तुलना में बड़ा अंश होता है। इस स्थिति में, अंश को भाजक से विभाजित किया जाता है और यदि कोई शेष नहीं रहता है, तो एक पूर्णांक होगा। शेष के साथ, अंश एक अंश रहता है, लेकिन चयनित पूर्णांक भाग के साथ। अब विचाराधीन उदाहरण में एक सामान्य भाजक में कमी के बारे में। यदि पहले पद में भाजक 1 के अलावा किसी अन्य संख्या के बराबर होता है, तो पहली संख्या के अंश और हर को दूसरे के हर से गुणा करना होगा, और दूसरे के अंश और हर को पहले के हर से गुणा करना होगा।

दोनों शब्द उनके सामान्य भाजक में कम हो गए हैं और जोड़ के लिए तैयार हैं। यह पता चला है कि इस समस्या में आपको दो संख्याएँ जोड़ने की आवश्यकता है: 48/4 और 3/4। दो भिन्नों को जोड़ने पर समान भाजककेवल उनके ऊपरी भाग, अर्थात्, अंशों को संक्षेपित करने की आवश्यकता है। राशि का भाजक अपरिवर्तित रहेगा। इस उदाहरण में, यह 48/4+3/4=(48+3) /4=51/4 होना चाहिए। यह योग का परिणाम होगा। लेकिन गणित में अनुचित भिन्नों को उचित भिन्नों में बदलने की प्रथा है। ऊपर, यह माना गया था कि एक अंश को एक संख्या में कैसे बदलना है, लेकिन इस उदाहरण में, एक पूर्णांक 51/4 अंश से प्राप्त नहीं किया जाएगा, क्योंकि संख्या 51 शेष के बिना संख्या 4 से विभाज्य नहीं है। इसलिए, आप इस अंश के पूर्णांक भाग और उसके भिन्नात्मक भाग का चयन करने की आवश्यकता है। पूर्णांक भाग वह संख्या होगी जो किसी पूर्णांक द्वारा 51 से कम पहली संख्या को विभाजित करके प्राप्त की जाती है।

अर्थात्, वह जिसे बिना शेषफल के 4 से विभाजित किया जा सकता है। संख्या 51 के सामने पहली संख्या, जो 4 से पूरी तरह से विभाज्य है, संख्या 48 होगी। 48 को 4 से विभाजित करने पर संख्या 12 प्राप्त होती है। इसका अर्थ है कि अभीष्ट भिन्न का पूर्णांक भाग 12 होगा। यह शेष रहता है। केवल संख्या के भिन्नात्मक भाग को खोजने के लिए। इस स्थिति में भिन्नात्मक भाग का हर समान रहता है, अर्थात 4। भिन्नात्मक भाग के अंश को खोजने के लिए, मूल अंश से उस संख्या को घटाना आवश्यक है जिसे भाजक द्वारा शेष के बिना विभाजित किया गया था। इस उदाहरण में, संख्या 48 को संख्या 51 से घटाना आवश्यक है। अर्थात, भिन्नात्मक भाग का अंश 3 है। योग का परिणाम 12 पूर्णांक और 3/4 होगा। अंशों को घटाते समय भी यही बात लागू होती है। मान लीजिए कि आपको पूर्णांक 12 में से भिन्नात्मक संख्या 3/4 घटाना है। ऐसा करने के लिए, पूर्णांक 12 को भिन्नात्मक 12/1 में परिवर्तित किया जाता है, और फिर दूसरी संख्या - 48/4 के साथ एक सामान्य भाजक में घटाया जाता है।

उसी तरह घटाते समय, दोनों अंशों का भाजक अपरिवर्तित रहता है, और घटाव उनके अंशों के साथ किया जाता है। अर्थात्, दूसरे के अंश को पहले भिन्न के अंश से घटाया जाता है। इस उदाहरण में यह 48/4-3/4=(48-3) /4=45/4 होगा। और यह फिर से निकला अनुचित अंश, जिसे ठीक किया जाना चाहिए। पूर्णांक भाग का चयन करने के लिए, 45 तक की पहली संख्या निर्धारित की जाती है, जो शेष के बिना 4 से विभाज्य है। यह 44 होगा। यदि संख्या 44 को 4 से विभाजित किया जाता है, तो आपको 11 मिलता है। इसलिए अंतिम अंश का पूर्णांक भाग 11 है। भिन्नात्मक भाग में, भाजक भी अपरिवर्तित रहता है, और वह संख्या जो भाजक द्वारा विभाजित की गई थी बिना शेष के मूल अनुचित अंश के अंश से घटाया जाता है। अर्थात 45 में से 44 घटाना आवश्यक है। अतः भिन्नात्मक भाग में अंश 1 और 12-3/4=11 और 1/4 है।

यदि एक पूर्णांक और एक भिन्नात्मक संख्या दी गई है, लेकिन इसका हर 10 है, तो दूसरी संख्या को दशमलव भिन्न में बदलना और फिर गणना करना आसान होता है। उदाहरण के लिए, आपको पूर्णांक 12 और भिन्नात्मक संख्या 3/10 जोड़ने की आवश्यकता है। यदि संख्या 3/10 को इस प्रकार लिखा जाए दशमलव अंश, आपको 0.3 मिलता है। अब 0.3 को 12 में जोड़ना और 2.3 प्राप्त करना बहुत आसान है, बजाय इसके कि भिन्नों को एक सामान्य भाजक में लाया जाए, गणनाएँ की जाएँ, और फिर एक अनुचित भिन्न से पूर्णांक और भिन्नात्मक भागों को निकाला जाए। यहाँ तक कि भिन्नात्मक संख्याओं के साथ सबसे सरल समस्याएँ भी मानती हैं कि छात्र (या छात्र) जानता है कि पूर्णांक को भिन्न में कैसे बदलना है। ये नियम बहुत सरल और याद रखने में आसान हैं। परन्तु इनकी सहायता से भिन्नात्मक संख्याओं की गणना करना बहुत आसान है।

भिन्न

ध्यान!
अतिरिक्त हैं
विशेष धारा 555 में सामग्री।
उन लोगों के लिए जो दृढ़ता से "बहुत नहीं ..."
और उनके लिए जो "बहुत अधिक ...")

हाई स्कूल में अंश बहुत कष्टप्रद नहीं होते हैं। उतने समय के लिए। जब तक आप परिमेय घातांकों और लघुगणकों वाले घातांकों से न मिलें। और वहाँ…। आप दबाते हैं, आप कैलकुलेटर दबाते हैं, और यह कुछ संख्याओं का पूरा स्कोरबोर्ड दिखाता है। आपको अपने सिर के साथ सोचना होगा, जैसे कि तीसरी कक्षा में।

आइए अंत में अंशों से निपटें! अच्छा, आप उनमें कितना भ्रमित हो सकते हैं !? इसके अलावा, यह सब सरल और तार्किक है। इसलिए, अंश क्या हैं?

अंशों के प्रकार। परिवर्तन।

अंश होते हैं तीन प्रकार.

1. सामान्य अंश , उदाहरण के लिए:

कभी-कभी, एक क्षैतिज रेखा के बजाय, वे एक स्लैश डालते हैं: 1/2, 3/4, 19/5, अच्छी तरह से, और इसी तरह। यहाँ हम अक्सर इस वर्तनी का प्रयोग करेंगे। शीर्ष संख्या कहा जाता है मीटर, निचला - भाजक।यदि आप इन नामों को लगातार भ्रमित करते हैं (ऐसा होता है ...), अपने आप को अभिव्यक्ति के साथ वाक्यांश बताएं: " ज़ज़्ज़्ज़याद करना! ज़ज़्ज़्ज़भाजक - बाहर zzzयू!" देखो, सब कुछ याद रखा जाएगा।)

एक डैश, जो क्षैतिज है, जो तिरछा है, का अर्थ है विभाजनशीर्ष संख्या (अंश) से नीचे की संख्या (भाजक)। और बस! एक डैश के बजाय, एक विभाजन चिन्ह - दो डॉट्स लगाना काफी संभव है।

जब विभाजन पूरी तरह से संभव हो, तो इसे अवश्य ही किया जाना चाहिए। इसलिए, "32/8" अंश के बजाय "4" संख्या लिखना अधिक सुखद है। वे। 32 को केवल 8 से विभाजित किया जाता है।

32/8 = 32: 8 = 4

मैं अंश "4/1" के बारे में बात नहीं कर रहा हूँ। जो सिर्फ "4" भी है। और अगर यह पूरी तरह विभाजित नहीं होता है, तो हम इसे भिन्न के रूप में छोड़ देते हैं। कई बार उल्टा भी करना पड़ता है। एक पूर्ण संख्या से एक अंश बनाओ। लेकिन उस पर बाद में।

2. दशमलव , उदाहरण के लिए:

यह इस रूप में है कि कार्यों "बी" के उत्तर लिखना आवश्यक होगा।

3. मिश्रित संख्या , उदाहरण के लिए:

हाई स्कूल में मिश्रित संख्या व्यावहारिक रूप से उपयोग नहीं की जाती है। उनके साथ काम करने के लिए, उन्हें साधारण अंशों में बदलना होगा। लेकिन आपको निश्चित रूप से यह जानना होगा कि इसे कैसे करना है! और फिर ऐसी संख्या पहेली में आ जाएगी और लटक जाएगी ... खरोंच से। लेकिन हमें यह प्रक्रिया याद है! थोड़ा नीचे।

सबसे बहुमुखी सामान्य अंश. आइए उनके साथ शुरू करें। वैसे, यदि अंश में सभी प्रकार के लघुगणक, साइन और अन्य अक्षर हैं, तो इससे कुछ भी नहीं बदलता है। इस अर्थ में कि सब कुछ भिन्नात्मक अभिव्यक्तियों वाली क्रियाएं साधारण भिन्न वाली क्रियाओं से भिन्न नहीं होती हैं!

एक अंश की मूल संपत्ति।

तो चलते हैं! सबसे पहले तो मैं आपको हैरान कर दूंगा। भिन्न रूपांतरणों की संपूर्ण विविधता एक ही गुण द्वारा प्रदान की जाती है! इसे यही कहा जाता है एक अंश की मूल संपत्ति. याद करना: यदि किसी भिन्न के अंश और हर को एक ही संख्या से गुणा (भाग) किया जाए तो भिन्न नहीं बदलेगा।वे:

यह स्पष्ट है कि आप तब तक आगे लिख सकते हैं, जब तक कि आपका चेहरा नीला न हो जाए। साइन और लघुगणक आपको भ्रमित न होने दें, हम उनसे आगे निपटेंगे। समझने वाली मुख्य बात यह है कि ये सभी विभिन्न भाव हैं समान अंश . 2/3.

और हमें इसकी आवश्यकता है, ये सभी परिवर्तन? और कैसे! अब आप खुद देख लेंगे। सबसे पहले, के लिए एक भिन्न के मूल गुण का उपयोग करते हैं अंश संक्षेप. ऐसा लगेगा कि बात प्राथमिक है। हम अंश और हर को एक ही संख्या से विभाजित करते हैं और बस! गलत होना असंभव है! लेकिन... मनुष्य एक रचनात्मक प्राणी है। आप हर जगह गलतियाँ कर सकते हैं! विशेष रूप से यदि आपको 5/10 जैसे अंश को कम नहीं करना है, लेकिन सभी प्रकार के अक्षरों के साथ एक भिन्नात्मक अभिव्यक्ति।

अनावश्यक काम किए बिना अंशों को सही ढंग से और तेज़ी से कैसे कम किया जाए, यह विशेष धारा 555 में पाया जा सकता है।

एक सामान्य छात्र अंश और भाजक को एक ही संख्या (या अभिव्यक्ति) से विभाजित करने से परेशान नहीं होता है! वह ऊपर और नीचे से सब कुछ समान रूप से पार कर जाता है! यहीं छिप जाता है सामान्य गलती, ब्लोपर अगर तुम चाहो तो।

उदाहरण के लिए, आपको अभिव्यक्ति को सरल बनाने की आवश्यकता है:

सोचने के लिए कुछ भी नहीं है, हम ऊपर से "ए" अक्षर और नीचे से ड्यूस को पार करते हैं! हम पाते हैं:

सब कुछ सही है। लेकिन वास्तव में आपने साझा किया पूरा अंश और पूरा भाजक "ए"। यदि आप केवल पार करने के आदी हैं, तो आप जल्दी में अभिव्यक्ति में "ए" को पार कर सकते हैं

और फिर से प्राप्त करें

जो सरासर गलत होगा। क्योंकि यहाँ पूरा"ए" पर अंश पहले से ही सांझा नहीं किया! इस अंश को कम नहीं किया जा सकता। वैसे, ऐसा संक्षिप्त नाम है, उम... शिक्षक के लिए एक गंभीर चुनौती। यह क्षमा नहीं है! याद करना? कम करते समय, विभाजित करना आवश्यक है पूरा अंश और पूरा भाजक!

अंशों को कम करने से जीवन बहुत आसान हो जाता है। आपको कहीं न कहीं एक अंश मिलेगा, उदाहरण के लिए 375/1000। और अब उसके साथ कैसे काम करें? बिना कैलकुलेटर के? गुणा करें, कहें, जोड़ें, वर्ग करें!? और यदि आप बहुत आलसी नहीं हैं, लेकिन ध्यान से पांच से कम करें, और पांच से भी, और यहां तक ​​​​कि ... जबकि इसे कम किया जा रहा है, संक्षेप में। हमें 3/8 मिलता है! बहुत अच्छा, है ना?

एक अंश की मूल संपत्ति आपको साधारण अंशों को दशमलव में बदलने की अनुमति देती है और इसके विपरीत कैलकुलेटर के बिना! यह परीक्षा के लिए महत्वपूर्ण है, है ना?

भिन्नों को एक रूप से दूसरे रूप में कैसे परिवर्तित करें।

दशमलव के साथ यह आसान है। जैसा सुना जाता है, वैसा ही लिखा जाता है! मान लीजिए 0.25। यह शून्य बिंदु है, पच्चीस सौवां। अतः हम लिखते हैं: 25/100। हम घटाते हैं (अंश और भाजक को 25 से विभाजित करते हैं), हमें सामान्य अंश मिलता है: 1/4। सभी। होता है, और कुछ भी कम नहीं होता। 0.3 की तरह। यह तीन दसवां हिस्सा है, यानी 3/10।

क्या होगा यदि पूर्णांक शून्य नहीं हैं? कोई बात नहीं। पूरे अंश को लिखिए बिना किसी अल्पविराम केअंश में और भाजक में - जो सुना जाता है। उदाहरण के लिए: 3.17। यह तीन पूर्ण, सत्रह सौवां है। हम अंश में 317 और हर में 100 लिखते हैं। हमें 317/100 मिलता है। कुछ भी घटा नहीं है, यानी सब कुछ। यह उत्तर है। प्राथमिक वाटसन! उपरोक्त सभी से, एक उपयोगी निष्कर्ष: किसी भी दशमलव अंश को एक सामान्य अंश में बदला जा सकता है .

लेकिन रिवर्स रूपांतरण, साधारण से दशमलव तक, कुछ कैलकुलेटर के बिना नहीं कर सकते। और यह जरूरी है! आप परीक्षा में उत्तर कैसे लिखेंगे !? हम इस प्रक्रिया को ध्यान से पढ़ते हैं और इसमें महारत हासिल करते हैं।

दशमलव अंश क्या है? वह भाजक में है हमेशा 10 या 100 या 1000 या 10000 और इसी तरह के लायक है। यदि आपके सामान्य अंश में ऐसा भाजक है, तो कोई समस्या नहीं है। उदाहरण के लिए, 4/10 = 0.4। या 7/100 = 0.07। या 12/10 = 1.2। और अगर खंड "बी" के कार्य के उत्तर में यह 1/2 निकला? हम जवाब में क्या लिखेंगे? दशमलव आवश्यक हैं ...

हम याद रखते हैं एक अंश की मूल संपत्ति ! गणित अनुकूल रूप से अंश और भाजक को समान संख्या से गुणा करने की अनुमति देता है। किसी के लिए, वैसे! शून्य को छोड़कर, बिल्कुल। आइए इस सुविधा का अपने लाभ के लिए उपयोग करें! भाजक को किससे गुणा किया जा सकता है, अर्थात 2 ताकि यह 10, या 100, या 1000 हो जाए (निश्चित रूप से छोटा बेहतर है...)? 5, जाहिर है। भाजक को बेझिझक गुणा करें (यह है हमआवश्यक) 5 से। लेकिन, फिर अंश को भी 5 से गुणा करना चाहिए। यह पहले से ही है अंक शास्त्रमांग! हमें 1/2 \u003d 1x5 / 2x5 \u003d 5/10 \u003d 0.5 मिलता है। बस इतना ही।

हालाँकि, सभी प्रकार के भाजक सामने आते हैं। उदाहरण के लिए, अंश 3/16 गिर जाएगा। इसे आज़माएं, पता करें कि 100 या 1000 प्राप्त करने के लिए 16 को किससे गुणा करना है... काम नहीं करता? फिर आप केवल 3 को 16 से विभाजित कर सकते हैं। कैलकुलेटर की अनुपस्थिति में, आपको एक कोने में, कागज के एक टुकड़े पर विभाजित करना होगा, जैसा कि वे प्रारंभिक ग्रेड में पढ़ाते थे। हमें 0.1875 मिलता है।

और कुछ बहुत ही बुरे भाजक हैं। उदाहरण के लिए, अंश 1/3 को एक अच्छे दशमलव में नहीं बदला जा सकता है। एक कैलकुलेटर और कागज के एक टुकड़े पर, हमें 0.3333333 मिलता है ... इसका मतलब है कि 1/3 एक सटीक दशमलव अंश में अनुवाद नहीं करता. जैसे 1/7, 5/6 और इसी तरह। उनमें से कई अप्राप्य हैं। इसलिए एक और उपयोगी निष्कर्ष। प्रत्येक सामान्य अंश दशमलव में परिवर्तित नहीं होता है। !

वैसे, यह उपयोगी जानकारीआत्म परीक्षण के लिए। अनुभाग "बी" में प्रतिक्रिया में, आपको एक दशमलव अंश लिखने की आवश्यकता है। और आपको, उदाहरण के लिए, 4/3 मिला। यह अंश दशमलव में परिवर्तित नहीं होता है। इसका मतलब है कि कहीं न कहीं आपने गलती की है! वापस आओ, समाधान की जाँच करो।

तो, साधारण और दशमलव अंशों के साथ। यह मिश्रित संख्याओं से निपटने के लिए बनी हुई है। उनके साथ काम करने के लिए, उन सभी को साधारण भिन्नों में बदलने की आवश्यकता है। इसे कैसे करना है? आप छठे ग्रेडर को पकड़ सकते हैं और उससे पूछ सकते हैं। लेकिन छठा ग्रेडर हमेशा हाथ में नहीं होगा ... हमें इसे स्वयं करना होगा। यह मुश्किल नहीं है। भिन्नात्मक भाग के हर को पूर्णांक भाग से गुणा करें और भिन्नात्मक भाग के अंश को जोड़ें। यह एक सामान्य भिन्न का अंश होगा। भाजक के बारे में क्या? भाजक वही रहेगा। यह जटिल लगता है, लेकिन यह वास्तव में काफी सरल है। आइए एक उदाहरण देखें।

आपने जिस समस्या को डरावनी संख्या के साथ देखा है, उसे होने दें:

शांति से, बिना घबराए, हम समझते हैं। पूरा भाग 1. एक है। भिन्नात्मक भाग 3/7 है। इसलिए, भिन्नात्मक भाग का हर 7 है। यह भाजक साधारण भिन्न का हर होगा। हम अंश की गिनती करते हैं। हम 7 को 1 (पूर्णांक भाग) से गुणा करते हैं और 3 (भिन्नात्मक भाग का अंश) जोड़ते हैं। हमें 10 प्राप्त होता है। यह एक साधारण भिन्न का अंश होगा। बस इतना ही। गणितीय संकेतन में यह और भी सरल दिखता है:

स्पष्ट रूप से? फिर अपनी सफलता सुरक्षित करें! सामान्य अंशों में परिवर्तित करें। आपको 10/7, 7/2, 23/10 और 21/4 मिलना चाहिए।

रिवर्स ऑपरेशन - एक अनुचित अंश को मिश्रित संख्या में परिवर्तित करना - हाई स्कूल में शायद ही कभी आवश्यक होता है। ठीक है, अगर... और अगर आप - हाई स्कूल में नहीं हैं - तो आप विशेष धारा 555 पर गौर कर सकते हैं। वहीं, वैसे, आप अनुचित भिन्नों के बारे में भी जानेंगे।

खैर, लगभग सब कुछ। आपने भिन्नों के प्रकारों को याद किया और समझा कैसे उन्हें एक प्रकार से दूसरे में परिवर्तित करें। सवाल बाकी है: किसलिए इसे करें? इस गहरे ज्ञान को कहाँ और कब लागू करें?

मेरे द्वारा जवाब दिया जाता है। कोई उदाहरण बताता है आवश्यक कार्रवाई. यदि उदाहरण में साधारण भिन्न, दशमलव, और यहाँ तक कि मिश्रित संख्याओं को एक गुच्छा में मिला दिया जाता है, तो हम हर चीज़ को साधारण भिन्न में बदल देते हैं। यह हमेशा किया जा सकता है. खैर, अगर 0.8 + 0.3 जैसा कुछ लिखा जाता है, तो हम ऐसा सोचते हैं, बिना किसी अनुवाद के। हमें अतिरिक्त काम की आवश्यकता क्यों है? हम वह समाधान चुनते हैं जो सुविधाजनक हो हम !

यदि कार्य दशमलव अंशों से भरा है, लेकिन उम ... कुछ प्रकार की बुराई, सामान्य लोगों के पास जाओ, इसे आजमाओ! देखिए, सब ठीक हो जाएगा। उदाहरण के लिए, आपको संख्या 0.125 का वर्ग करना होगा। इतना आसान नहीं है अगर आपने कैलकुलेटर की आदत नहीं छोड़ी है! न केवल आपको एक कॉलम में संख्याओं को गुणा करने की आवश्यकता है, बल्कि यह भी सोचें कि अल्पविराम कहाँ लगाना है! यह निश्चित रूप से मेरे दिमाग में काम नहीं करता है! और अगर आप एक साधारण अंश में जाते हैं?

0.125 = 125/1000। हम 5 कम करते हैं (यह शुरुआत के लिए है)। हमें 25/200 मिलता है। एक बार फिर 5 पर। हमें 5/40 मिलता है। ओह, यह सिकुड़ रहा है! वापस 5 पर! हमें 1/8 मिलता है। आसानी से स्क्वायर करें (आपके दिमाग में!) और 1/64 प्राप्त करें। सभी!

आइए इस पाठ को संक्षेप में प्रस्तुत करते हैं।

1. भिन्न तीन प्रकार की होती है। साधारण, दशमलव और मिश्रित संख्याएँ।

2. दशमलव और मिश्रित संख्याएँ हमेशासामान्य भिन्न में परिवर्तित किया जा सकता है। उलटा अनुवाद हमेशा नहींउपलब्ध।

3. कार्य के साथ काम करने के लिए अंशों के प्रकार का चुनाव इसी कार्य पर निर्भर करता है। की उपस्थिति में अलग - अलग प्रकारएक कार्य में अंश, सबसे विश्वसनीय बात यह है कि साधारण अंशों पर स्विच किया जाए।

अब आप अभ्यास कर सकते हैं। सबसे पहले, इन दशमलव भिन्नों को साधारण भिन्नों में बदलें:

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

आपको इस तरह के उत्तर मिलने चाहिए (गड़बड़ में!):

इस पर हम समाप्त करेंगे। इस पाठ में, हमने अपनी याददाश्त को ताज़ा किया प्रमुख बिंदुअंशों द्वारा। हालाँकि, ऐसा होता है कि ताज़ा करने के लिए कुछ खास नहीं है ...) अगर कोई पूरी तरह से भूल गया है, या अभी तक इसमें महारत हासिल नहीं की है ... तो वे एक विशेष धारा 555 में जा सकते हैं। सभी मूल बातें वहां विस्तृत हैं। कई अचानक सब समज गयाशुरू कर रहे हैं। और वे मक्खी पर अंशों को हल करते हैं)।

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आप उदाहरणों को हल करने का अभ्यास कर सकते हैं और अपने स्तर का पता लगा सकते हैं। तत्काल सत्यापन के साथ परीक्षण। सीखना - रुचि के साथ!)

आप कार्यों और डेरिवेटिव से परिचित हो सकते हैं।

यहाँ, ऐसा प्रतीत होता है, एक दशमलव भिन्न का एक सामान्य अंश में अनुवाद एक प्रारंभिक विषय है, लेकिन कई छात्र इसे समझ नहीं पाते हैं! इसलिए, आज हम एक साथ कई एल्गोरिदम पर करीब से नज़र डालेंगे, जिसकी मदद से आप किसी भी अंश को सिर्फ एक सेकंड में निपटा सकते हैं।

मैं आपको याद दिला दूं कि एक ही अंश लिखने के कम से कम दो रूप हैं: साधारण और दशमलव। दशमलव अंश सभी प्रकार के निर्माण हैं जैसे 0.75; 1.33; और -7.41 भी। और यहाँ साधारण अंशों के उदाहरण हैं जो समान संख्याएँ व्यक्त करते हैं:

अब आइए जानें कि कैसे करें दशमलव अंकननियमित जाओ? और सबसे महत्वपूर्ण: इसे जितनी जल्दी हो सके कैसे करें?

बुनियादी एल्गोरिथ्म

वास्तव में, कम से कम दो एल्गोरिदम हैं। और अब हम दोनों को देखेंगे। आइए पहले से शुरू करें - सबसे सरल और सबसे अधिक समझने योग्य।

दशमलव को एक सामान्य अंश में बदलने के लिए, आपको तीन चरणों का पालन करना होगा:

नकारात्मक संख्याओं के बारे में एक महत्वपूर्ण नोट। यदि मूल उदाहरण में दशमलव अंश से पहले ऋण चिह्न है, तो आउटपुट पर साधारण अंश से पहले ऋण चिह्न भी होना चाहिए। यहाँ कुछ और उदाहरण दिए गए हैं:

मैं अंतिम उदाहरण पर विशेष ध्यान देना चाहूंगा। जैसा कि आप देख सकते हैं, अंश 0.0025 में दशमलव बिंदु के बाद कई शून्य हैं। इस वजह से, आपको अंश और हर को 10 से चार गुना गुणा करना होगा। क्या इस मामले में एल्गोरिदम को किसी तरह सरल बनाना संभव है?

निःसंदेह तुमसे हो सकता है। और अब हम एक वैकल्पिक एल्गोरिथम पर विचार करेंगे - यह समझना थोड़ा अधिक कठिन है, लेकिन थोड़े अभ्यास के बाद यह मानक एक की तुलना में बहुत तेजी से काम करता है।

तेज़ तरीका

इस एल्गोरिदम के भी 3 चरण हैं। दशमलव से एक सामान्य अंश प्राप्त करने के लिए, आपको निम्नलिखित कार्य करने होंगे:

1. गणना करें कि दशमलव बिंदु के बाद कितने अंक हैं। उदाहरण के लिए, अंश 1.75 में ऐसे दो अंक हैं, और 0.0025 में चार हैं। आइए इस मात्रा को $n$ अक्षर से निरूपित करें।
2. मूल संख्या को $\frac(a)((((10)^(n)))$ के एक अंश के रूप में फिर से लिखें, जहां $a$ मूल अंश के सभी अंक हैं (बाईं ओर "शुरू" शून्य के बिना , यदि कोई हो), और $n$ दशमलव बिंदु के बाद अंकों की समान संख्या है जिसे हमने पहले चरण में गिना था। दूसरे शब्दों में, मूल अंश के अंकों को $n$ शून्य के साथ एक से विभाजित करना आवश्यक है।
3. यदि संभव हो, परिणामी अंश को कम करें।

बस इतना ही! पहली नज़र में, यह योजना पिछले वाले की तुलना में अधिक जटिल है। लेकिन वास्तव में, यह सरल और तेज़ दोनों है। अपने लिए जज करें:

जैसा कि आप देख सकते हैं, भिन्न 0.64 में दशमलव बिंदु के बाद दो अंक हैं - 6 और 4। इसलिए, $n=2$। यदि हम बाईं ओर से अल्पविराम और शून्य हटाते हैं (इस मामले में, केवल एक शून्य), तो हमें संख्या 64 मिलती है। दूसरे चरण पर जाएं: $((10)^(n))=((10)^( 2))=100$, इसलिए हर एक सौ है। ठीक है, तो यह केवल अंश और भाजक को कम करने के लिए रहता है। :)

एक और उदाहरण:

यहाँ सब कुछ थोड़ा और जटिल है। सबसे पहले, दशमलव बिंदु के बाद पहले से ही 3 अंक हैं, अर्थात। $n=3$, इसलिए आपको $((10)^(n))=((10)^(3))=1000 से विभाजित करना होगा। दूसरे, यदि हम अल्पविराम को दशमलव संकेतन से हटाते हैं, तो हमें यह मिलता है: 0.004 → 0004। याद रखें कि बाईं ओर के शून्य को हटा दिया जाना चाहिए, इसलिए वास्तव में हमारे पास संख्या 4 है। उत्तर प्राप्त करें।

अंत में, अंतिम उदाहरण:

इस अंश की ख़ासियत पूर्णांक भाग की उपस्थिति है। इसलिए, आउटपुट पर हमें 47/25 का अनुचित अंश मिलता है। बेशक, आप 47 को 25 से शेषफल के साथ विभाजित करने का प्रयास कर सकते हैं और इस प्रकार पूरे भाग को फिर से अलग कर सकते हैं। लेकिन अगर परिवर्तन के स्तर पर भी इसे किया जा सकता है तो अपने जीवन को जटिल क्यों बनाएं? खैर, इसका पता लगाते हैं।

पूरे हिस्से का क्या करें

वास्तव में, सब कुछ बहुत सरल है: यदि हम सही अंश प्राप्त करना चाहते हैं, तो हमें परिवर्तन के समय पूर्णांक भाग को इसमें से निकालने की आवश्यकता है, और फिर, जब हम परिणाम प्राप्त करते हैं, तो इसे फिर से दाईं ओर जोड़ें भिन्नात्मक पट्टी का।

उदाहरण के लिए, समान संख्या पर विचार करें: 1.88। आइए एक (संपूर्ण भाग) से स्कोर करें और अंश 0.88 देखें। यह आसानी से परिवर्तित हो जाता है:

फिर हम "खोई हुई" इकाई को याद करते हैं और इसे सामने जोड़ते हैं:

\[\frac(22)(25)\to 1\frac(22)(25)\]

बस इतना ही! उत्तर वही निकला जो पिछली बार पूरे भाग के चयन के बाद आया था। कुछ और उदाहरण:

\[\शुरू (संरेखित) और 2,15\to 0,15=\frac(15)(100)=\frac(3)(20)\to 2\frac(3)(20); \\& 13,8\to 0,8=\frac(8)(10)=\frac(4)(5)\to 13\frac(4)(5). \\\अंत (संरेखित करें)\]

यह गणित की सुंदरता है: चाहे आप किसी भी रास्ते पर जाएं, यदि सभी गणनाएं सही तरीके से की जाएं, तो उत्तर हमेशा एक ही होगा। :)

अंत में, मैं एक और तकनीक पर विचार करना चाहूंगा जो बहुतों की मदद करती है।

कान से परिवर्तन

आइए विचार करें कि दशमलव क्या है। अधिक सटीक, हम इसे कैसे पढ़ते हैं। उदाहरण के लिए, संख्या 0.64 - हम इसे "शून्य पूर्णांक, 64 सौवें" के रूप में पढ़ते हैं, है ना? ठीक है, या सिर्फ "64 सौवां।" यहाँ प्रमुख शब्द "सौवाँ" है, अर्थात। संख्या 100।

0.004 के बारे में क्या? यह "शून्य बिंदु, 4 हजारवां" या केवल "चार हजारवां" है। एक तरह से या किसी अन्य, मुख्य शब्द "हजारवां" है, अर्थात। 1000.

अच्छा, इसमें गलत क्या है? और तथ्य यह है कि ये संख्याएँ अंततः एल्गोरिथम के दूसरे चरण में भाजक में "पॉप अप" होती हैं। वे। 0.004 "चार हज़ारवां" या "4 विभाजित 1000" है:

स्वयं को प्रशिक्षित करने का प्रयास करें - यह बहुत सरल है। मुख्य बात मूल अंश को सही ढंग से पढ़ना है। उदाहरण के लिए, 2.5 "2 पूर्णांक, 5 दसवां" है, इसलिए

और कुछ 1.125 "1 पूर्ण, 125 हज़ारवाँ" है, इसलिए

अंतिम उदाहरण में, निश्चित रूप से, कोई आपत्ति करेगा कि यह प्रत्येक छात्र के लिए स्पष्ट नहीं है कि 1000 125 से विभाज्य है।

\[\शुरू (संरेखित करें) और 1000=10\cdot 10\cdot 10=2\cdot 5\cdot 2\cdot 5\cdot 2\cdot 5= \\& =2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\ सीडीओटी 5 \ सीडीओटी 5 = 8 \ सीडीओटी 125 \ अंत (संरेखित करें) \]

इस प्रकार, दस की कोई भी शक्ति केवल 2 और 5 के कारकों में विघटित हो जाती है - ये कारक हैं जिन्हें अंश में मांगा जाना चाहिए, ताकि अंत में सब कुछ कम हो जाए।

यह सबक खत्म हो गया है। आइए अधिक जटिल प्रतिलोम संक्रिया पर चलते हैं - देखें "

फिर बटन दबाएं और काम पूरा हो गया। नतीजतन, आपको या तो पूर्णांक या दशमलव अंश मिलेगा। एक दशमलव अंश के बाद एक लंबा शेष रह सकता है। इस स्थिति में, अंश को एक निश्चित अंक तक गोल किया जाना चाहिए, जिसे आपको राउंडिंग का उपयोग करने की आवश्यकता है (5 तक की संख्या को नीचे, 5 समावेशी और अधिक - ऊपर से गोल किया गया है)।

यदि कैलकुलेटर हाथ में नहीं है, लेकिन आपको करना होगा। एक अंश के अंश को एक भाजक के साथ लिखें, उनके बीच एक छोटा कोना, अर्थ। उदाहरण के लिए, अंश 10/6 को एक संख्या में बदलें। आरंभ करने के लिए, 10 को 6 से विभाजित करें। यह 1 निकलता है। परिणाम को कोने में लिखें। 1 को 6 से गुणा करें, आपको 6 मिलता है। 10 में से 6 घटाएं। आपको शेषफल 4 मिलता है। शेष को फिर से 6 से विभाजित करना चाहिए। 0 में 4 जोड़ें, और 40 को 6 से विभाजित करें। आपको 6 मिलता है। परिणाम में 6 लिखें। , दशमलव बिंदु के बाद। 6 को 6 से गुणा करें। आपको 36 मिलता है। 36 को 40 से घटाएं। आपको शेषफल फिर से 4 मिलता है। फिर आप जारी नहीं रख सकते, क्योंकि यह स्पष्ट हो जाता है कि परिणाम संख्या 1.66 (6) होगी। दिए गए अंश को उस अंक तक गोल करें जिसकी आपको आवश्यकता है। उदाहरण के लिए, 1.67। यह अंतिम परिणाम है।

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स्रोत:

• भिन्नों को पूर्ण संख्याओं में बदलना

इकाई के एक या अधिक भागों से बनी संख्याओं को निरूपित करने के लिए भिन्नों की आवश्यकता होती है। शब्द "अंश" लैटिन फ्रैक्टुरा से आता है, जिसका अर्थ है "क्रश करना, तोड़ना"। साधारण और दशमलव अंश हैं। उसी समय, साधारण अंशों में, एक इकाई को किसी भी संख्या में भागों में विभाजित किया जा सकता है, और दशमलव अंशों में, यह संख्या 10 का गुणक होना चाहिए। कोई भी अंश साधारण और दशमलव दोनों हो सकता है।

आपको चाहिये होगा

• परिणाम की गणना करने के लिए, आपको एक कैलकुलेटर या कागज का एक टुकड़ा और एक पेन की आवश्यकता होगी।

अनुदेश

तो, शुरुआत के लिए, ले लो सामान्य अंशऔर इसे भागों में विभाजित करें। उदाहरण के लिए, 2 1/8, जिसमें 2 एक पूर्णांक भाग है, और 1/8 एक भिन्न है। इससे आप देख सकते हैं कि संख्या को 8 से विभाजित किया गया था, लेकिन केवल एक लिया गया था। जो भाग लिया गया था वह अंश है, और जितने भागों में इसे विभाजित किया गया है वह भाजक है।

टिप्पणी

अक्सर ऐसे अंश होते हैं जिन्हें दशमलव में पूरी तरह से परिवर्तित नहीं किया जा सकता है। यहीं पर गोलाई काम आती है। अगर आप हजारवें हिस्से तक चक्कर लगाना चाहते हैं, तो दशमलव बिंदु के बाद चौथे अंक को देखें। यदि यह 5 से कम है, तो उत्तर में दशमलव बिंदु के बाद के पहले तीन अंक बिना परिवर्तन के लिख लें, अन्यथा तीनों के अंतिम अंक में एक जोड़ा जाना चाहिए। उदाहरण के लिए, 0.89643123 को 0.896 के रूप में लिखा जा सकता है, लेकिन 0.89663123 को 0.897 के रूप में लिखा जा सकता है।

मददगार सलाह

यदि आप मैन्युअल रूप से परिणाम की गणना करते हैं, तो अंश को विभाजित करने से पहले, जितना संभव हो उतना कम करना बेहतर होता है, और इसमें से पूरे भागों का चयन करना भी बेहतर होता है।

स्रोत:

• अंशों को कैसे परिवर्तित करें

अंशवर्ड प्रोसेसर वर्ड में इनपुट के लिए फ़ार्मुलों के तत्वों में से एक Microsoft समीकरण उपकरण है। इसके साथ, आप कोई भी जटिल गणितीय या दर्ज कर सकते हैं भौतिक सूत्र, समीकरण और अन्य तत्व जिनमें विशेष वर्ण शामिल हैं।

अनुदेश

Microsoft समीकरण उपकरण को लॉन्च करने के लिए, आपको पते पर जाना होगा: "सम्मिलित करें" -> "ऑब्जेक्ट", खुलने वाले संवाद बॉक्स में, सूची से पहले टैब पर, Microsoft समीकरण का चयन करें और "ओके" पर क्लिक करें या डबल- चयनित आइटम पर क्लिक करें। संपादक को लॉन्च करने के बाद, आपके सामने एक टूलबार खुल जाएगा और एक इनपुट फ़ील्ड प्रदर्शित होगी: एक बिंदीदार आयत। टूलबार को अनुभागों में विभाजित किया गया है, जिनमें से प्रत्येक में क्रिया चिह्नों या अभिव्यक्तियों का एक सेट होता है। जब आप किसी एक सेक्शन पर क्लिक करते हैं, तो उसमें मौजूद टूल की सूची विस्तृत हो जाएगी। खुलने वाली सूची से, वांछित प्रतीक का चयन करें और उस पर क्लिक करें। एक बार चुने जाने के बाद, निर्दिष्ट वर्ण दस्तावेज़ में एक चयनित आयत में दिखाई देगा।

वह खंड जिसमें अंश लिखने के लिए तत्व होते हैं, टूलबार की दूसरी पंक्ति में स्थित होता है। जब आप अपने माउस कर्सर को उस पर घुमाते हैं, तो आप टूलटिप "फ्रैक्शन और रेडिकल पैटर्न" देखेंगे। एक अनुभाग पर एक बार क्लिक करें और सूची का विस्तार करें। ड्रॉप-डाउन मेनू में क्षैतिज और तिरछे अंशों के लिए टेम्प्लेट हैं। दिखाई देने वाले विकल्पों में से, आप वह चुन सकते हैं जो आपके कार्य के अनुकूल हो। वांछित विकल्प पर क्लिक करें। क्लिक करने के बाद, दस्तावेज़ में खुलने वाले इनपुट फ़ील्ड में, एक बिंदीदार रेखा द्वारा तैयार किए गए अंश और भाजक में प्रवेश करने के लिए एक अंश चिह्न और स्थान दिखाई देंगे। अंश में प्रवेश करने के लिए डिफ़ॉल्ट कर्सर स्वचालित रूप से फ़ील्ड में रखा जाता है। अंश दर्ज करें। संख्याओं के अतिरिक्त, आप प्रतीकों, अक्षरों या क्रिया चिह्नों को भी दर्ज कर सकते हैं। उन्हें कीबोर्ड और Microsoft समीकरण टूलबार के संबंधित अनुभागों से दोनों में प्रवेश किया जा सकता है। अंश पानी के बाद, भाजक पर जाने के लिए TAB कुंजी दबाएं। आप हर में प्रवेश करने के लिए क्षेत्र में माउस क्लिक करके भी जा सकते हैं। लिखे जाने के बाद, दस्तावेज़ में कहीं भी माउस पॉइंटर से क्लिक करें, टूलबार बंद हो जाएगा, अंश इनपुट पूरा हो जाएगा। संपादित करने के लिए, बाईं माउस बटन के साथ उस पर डबल-क्लिक करें।

यदि, जब आप मेनू "सम्मिलित करें" -> "ऑब्जेक्ट" खोलते हैं, तो आपको सूची में Microsoft समीकरण उपकरण नहीं मिला, आपको इसे स्थापित करने की आवश्यकता है। स्थापना डिस्क, डिस्क छवि, या Word वितरण फ़ाइल चलाएँ। दिखाई देने वाली इंस्टॉलर विंडो में, "घटक जोड़ें या निकालें" चुनें। व्यक्तिगत घटकों को जोड़ना या हटाना" और "अगला" पर क्लिक करें। अगली विंडो में, आइटम "उन्नत एप्लिकेशन सेटिंग्स" की जांच करें। अगला पर क्लिक करें। अगली विंडो में, सूची आइटम "कार्यालय उपकरण" ढूंढें और बाईं ओर धन चिह्न पर क्लिक करें। विस्तारित सूची में, हम आइटम "फॉर्मूला एडिटर" में रुचि रखते हैं। "फॉर्मूला एडिटर" के बगल में स्थित आइकन पर क्लिक करें और खुलने वाले मेनू में, "कंप्यूटर से चलाएं" पर क्लिक करें। उसके बाद, "अपडेट" पर क्लिक करें और आवश्यक घटक स्थापित होने तक प्रतीक्षा करें।

एक दशमलव के दो भाग अल्पविराम से अलग होते हैं। पहला भाग एक पूर्णांक इकाई है, दूसरा भाग दसियों (यदि दशमलव बिंदु के बाद की संख्या एक है), सैकड़ों (दशमलव बिंदु के बाद दो संख्याएँ, जैसे सौ में दो शून्य), हज़ारवाँ, आदि। आइए दशमलव के उदाहरण देखें: 0, 2; 7, 54; 235.448; 5.1; 6.32; 0.5। ये सभी दशमलव हैं। आप दशमलव को सामान्य भिन्न में कैसे बदलते हैं?

उदाहरण एक

हमारे पास एक अंश है, उदाहरण के लिए, 0.5। जैसा कि ऊपर बताया गया है, इसमें दो भाग होते हैं। पहली संख्या, 0, यह दर्शाती है कि अंश में कितनी पूर्णांक इकाइयाँ हैं। हमारे मामले में, वे नहीं हैं। दूसरी संख्या दसियों को दर्शाती है। अंश में शून्य दशमलव पाँच दहाई भी लिखा होता है। दशमलव संख्या अंश में परिवर्तित करेंअब यह मुश्किल नहीं होगा, हम 5/10 लिखते हैं। यदि आप देखते हैं कि संख्याओं में एक सामान्य विभाजक है, तो आप अंश को कम कर सकते हैं। हमारे पास यह संख्या 5 है, अंश के दोनों भागों को 5 से विभाजित करने पर, हमें - 1/2 मिलता है।

उदाहरण दो

चलिए और लेते हैं यौगिक अंश- 2.25। इसे इस प्रकार पढ़ा जाता है - दो पूरे और पच्चीस सौवां। ध्यान दें - सौवां, क्योंकि दशमलव बिंदु के बाद दो संख्याएँ हैं। अब आप एक सामान्य अंश में बदल सकते हैं। हम लिखते हैं - 2 25/100। पूर्णांक भाग 2 है, भिन्नात्मक भाग 25/100 है। जैसा कि पहले उदाहरण में है, इस भाग को छोटा किया जा सकता है। 25 और 100 के लिए सामान्य भाजक 25 है। ध्यान दें कि हम हमेशा सबसे बड़ा सामान्य भाजक चुनते हैं। भिन्न के दोनों भागों को GCD से भाग देने पर हमें 1/4 प्राप्त होता है। तो 2, 25 2 1/4 है।

उदाहरण तीन

और सामग्री को समेकित करने के लिए, दशमलव अंश 4.112 - चार पूर्ण और एक सौ बारह हजारवां लेते हैं। मुझे लगता है कि हज़ारवां क्यों स्पष्ट है। अब हम 4 112/1000 लिखते हैं। एल्गोरिथ्म के अनुसार, हम 112 और 1000 की संख्या का जीसीडी पाते हैं। हमारे मामले में, यह संख्या 6 है। हमें 4 14/125 मिलता है।

निष्कर्ष

1. हम भिन्न को पूर्णांक और भिन्नात्मक भागों में विभाजित करते हैं।
2. हम दशमलव बिंदु के बाद कितने अंक देखते हैं। यदि एक दहाई है, दो सौ है, तीन हजारवाँ है, आदि।
3. हम भिन्न को सामान्य रूप में लिखते हैं।
4. हम अंश के अंश और भाजक को कम करते हैं।
5. परिणामी अंश लिखिए।
6. हम एक जाँच करते हैं, अंश के ऊपरी भाग को निचले भाग से विभाजित करते हैं। यदि कोई पूर्णांक भाग है, तो परिणामी दशमलव अंश में जोड़ें। यह मूल संस्करण निकला - महान, इसलिए आपने सब कुछ ठीक किया।

उदाहरणों का उपयोग करते हुए, मैंने दिखाया कि आप दशमलव अंश को साधारण अंश में कैसे बदल सकते हैं। जैसा कि आप देख सकते हैं, यह करना बहुत आसान और सरल है।