क्रांति के शरीर की मात्रा की गणना कैसे करें
का उपयोग करके समाकलन परिभाषित करें?

सामान्य तौर पर, इंटीग्रल कैलकुलस में बहुत सारे दिलचस्प एप्लिकेशन होते हैं, एक निश्चित इंटीग्रल की मदद से, आप किसी आकृति के क्षेत्रफल की गणना कर सकते हैं, क्रांति के एक पिंड का आयतन, एक चाप की लंबाई, रोटेशन का सतह क्षेत्र और भी बहुत कुछ। तो यह मजेदार होगा, कृपया आशावादी बनें!

समन्वय तल पर किसी समतल आकृति की कल्पना करें। प्रतिनिधित्व किया? ... मुझे आश्चर्य है कि किसने क्या प्रस्तुत किया ... =))) हम पहले ही इसका क्षेत्र पा चुके हैं। लेकिन, इसके अलावा, यह आंकड़ा भी घुमाया जा सकता है, और दो तरह से घुमाया जा सकता है:

- एक्स-अक्ष के आसपास;
- y-अक्ष के आसपास।

इस लेख में, दोनों मामलों पर चर्चा की जाएगी। रोटेशन की दूसरी विधि विशेष रूप से दिलचस्प है, यह सबसे बड़ी कठिनाइयों का कारण बनती है, लेकिन वास्तव में समाधान लगभग वैसा ही है जैसा कि एक्स-अक्ष के चारों ओर अधिक सामान्य रोटेशन में होता है। एक बोनस के रूप में, मैं वापस आऊंगा किसी आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करने की समस्या, और आपको बताएंगे कि दूसरे तरीके से - अक्ष के साथ क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें। इतना बोनस भी नहीं है क्योंकि सामग्री थीम में अच्छी तरह से फिट बैठती है।

आइए सबसे लोकप्रिय प्रकार के रोटेशन से शुरू करें।

एक अक्ष के चारों ओर सपाट आकृति

आकृति को घुमाकर प्राप्त पिंड के आयतन की गणना करें, रेखाओं से घिरा हुआ, अक्ष के चारों ओर।

समाधान: क्षेत्र की समस्या के रूप में, समाधान एक सपाट आकृति के आरेखण से शुरू होता है. यही है, विमान पर यह आवश्यक है कि रेखाओं से बंधी आकृति का निर्माण किया जाए, जबकि यह न भूलें कि समीकरण अक्ष को परिभाषित करता है। ड्राइंग को अधिक तर्कसंगत और तेज़ कैसे बनाया जाए, यह पृष्ठों पर पाया जा सकता है प्रारंभिक कार्यों के रेखांकन और गुणऔर । यह एक चीनी रिमाइंडर है, और आगे भी इस पलमैं अब और नहीं रुकता।

यहाँ आरेखण बहुत सरल है:

वांछित सपाट आकृति को नीले रंग में छायांकित किया गया है, और यह वह आकृति है जो अक्ष के चारों ओर घूमती है। घूर्णन के परिणामस्वरूप, ऐसा थोड़ा अंडे के आकार का उड़न तश्तरी प्राप्त होता है, जो अक्ष के बारे में सममित है। वास्तव में, शरीर का एक गणितीय नाम है, लेकिन यह संदर्भ पुस्तक में कुछ निर्दिष्ट करने के लिए बहुत आलसी है, इसलिए हम आगे बढ़ते हैं।

क्रांति के शरीर की मात्रा की गणना कैसे करें?

क्रांति के शरीर की मात्रा सूत्र द्वारा गणना की जा सकती है:

सूत्र में, समाकल से पहले एक संख्या होनी चाहिए। ऐसा हुआ - जीवन में घूमने वाली हर चीज इस निरंतरता से जुड़ी है।

मुझे लगता है कि "ए" और "बी" एकीकरण की सीमा कैसे निर्धारित की जाती है, पूर्ण ड्राइंग से अनुमान लगाना आसान है।

कार्य... यह कार्य क्या है? आइए ड्राइंग देखें। सपाट आकृति ऊपर से परवलयिक ग्राफ से घिरी हुई है। यह वह कार्य है जो सूत्र में निहित है।

व्यावहारिक कार्यों में, एक सपाट आकृति कभी-कभी अक्ष के नीचे स्थित हो सकती है। यह कुछ भी नहीं बदलता है - सूत्र में समाकलन चुकता है: इस प्रकार अभिन्न हमेशा गैर-नकारात्मक होता है, जो काफी तार्किक है।

इस सूत्र का उपयोग करके क्रांति के शरीर की मात्रा की गणना करें:

जैसा कि मैंने पहले ही उल्लेख किया है, अभिन्न लगभग हमेशा सरल हो जाता है, मुख्य बात सावधान रहना है।

उत्तर:

उत्तर में, आयाम - घन इकाइयों को इंगित करना आवश्यक है। अर्थात्, हमारे घूमने वाले शरीर में लगभग 3.35 "क्यूब्स" होते हैं। बिल्कुल क्यूबिक क्यों इकाइयां? क्योंकि सबसे सार्वभौमिक सूत्रीकरण। घन सेंटीमीटर हो सकता है, हो सकता है घन मीटर, शायद घन किलोमीटर, आदि, कि आपकी कल्पना में कितने छोटे हरे आदमी एक उड़न तश्तरी में फिट हो सकते हैं।

रेखाओं से बंधी आकृति के अक्ष के चारों ओर घूमने से बनने वाले पिंड का आयतन ज्ञात कीजिए,

के लिए यह एक उदाहरण है स्वतंत्र निर्णय. पूर्ण समाधानऔर पाठ के अंत में उत्तर।

आइए दो और जटिल समस्याओं पर विचार करें, जो व्यवहार में भी अक्सर सामने आती हैं।

रेखाओं से बंधी आकृति के भुज अक्ष के चारों ओर घुमाकर प्राप्त शरीर के आयतन की गणना करें , तथा

समाधान: ड्राइंग में एक सपाट आकृति बनाएं, जो रेखाओं से घिरा हो, , , , यह न भूलें कि समीकरण अक्ष को परिभाषित करता है:

वांछित आकृति नीले रंग में छायांकित है। जब यह अक्ष के चारों ओर घूमता है, तो चार कोनों वाला ऐसा असली डोनट प्राप्त होता है।

क्रांति के शरीर के आयतन की गणना इस प्रकार की जाती है शरीर की मात्रा में अंतर.

सबसे पहले, आइए उस आकृति को देखें जो लाल घेरे में है। जब यह धुरी के चारों ओर घूमता है, तो एक छोटा शंकु प्राप्त होता है। आइए इस छंटे हुए शंकु के आयतन को के रूप में निरूपित करें।

उस आकृति पर विचार करें जिस पर घेरा बनाया गया है हरे में. यदि आप इस आकृति को अक्ष के चारों ओर घुमाते हैं, तो आपको एक छोटा शंकु भी मिलेगा, केवल थोड़ा छोटा। आइए इसकी मात्रा को द्वारा निरूपित करें।

और, जाहिर है, वॉल्यूम में अंतर बिल्कुल हमारे "डोनट" का वॉल्यूम है।

हम परिक्रमण के पिंड का आयतन ज्ञात करने के लिए मानक सूत्र का उपयोग करते हैं:

1) लाल रंग में घेरा गया चित्र ऊपर से एक सीधी रेखा से घिरा है, इसलिए:

2) हरे रंग में परिचालित आकृति ऊपर से एक सीधी रेखा से घिरी हुई है, इसलिए:

3) क्रांति के वांछित निकाय का आयतन:

उत्तर:

यह उत्सुक है कि इस मामले में एक काटे गए शंकु की मात्रा की गणना के लिए स्कूल सूत्र का उपयोग करके समाधान की जांच की जा सकती है।

निर्णय को अक्सर छोटा बना दिया जाता है, ऐसा कुछ:

अब थोड़ा विराम लेते हैं और ज्यामितीय भ्रमों के बारे में बात करते हैं।

लोगों को अक्सर वॉल्यूम से जुड़े भ्रम होते हैं, जिसे पेरेलमैन (दूसरे) ने किताब में देखा था दिलचस्प ज्यामिति. हल की गई समस्या में समतल आकृति को देखें - यह क्षेत्रफल में छोटा प्रतीत होता है, और क्रांति के शरीर का आयतन 50 घन इकाई से थोड़ा अधिक है, जो बहुत बड़ा लगता है। वैसे, औसत व्यक्ति अपने पूरे जीवन में 18 के क्षेत्रफल वाले कमरे की मात्रा के साथ एक तरल पीता है वर्ग मीटर, जो इसके विपरीत बहुत छोटा लगता है।

गीतात्मक विषयांतर के बाद, रचनात्मक कार्य को हल करना उचित है:

रेखाओं से घिरे एक समतल आकृति के अक्ष के चारों ओर घूमने से बनने वाले पिंड के आयतन की गणना करें, जहाँ।

यह स्वयं करने का उदाहरण है। ध्यान दें कि बैंड में सभी चीजें होती हैं, दूसरे शब्दों में, पहले से तैयार एकीकरण सीमाएं वास्तव में दी गई हैं। ग्राफिक्स ठीक करें त्रिकोणमितीय कार्य, पाठ की सामग्री को याद करें रेखांकन के ज्यामितीय परिवर्तन: यदि तर्क दो: से विभाज्य है, तो ग्राफ़ को अक्ष के साथ दो बार खींचा जाता है। कम से कम 3-4 अंक प्राप्त करना वांछनीय है त्रिकोणमितीय तालिकाओं के अनुसारड्राइंग को और अधिक सटीक रूप से पूरा करने के लिए। पाठ के अंत में पूर्ण समाधान और उत्तर। वैसे, कार्य को तर्कसंगत रूप से हल किया जा सकता है न कि बहुत तर्कसंगत रूप से।

रोटेशन द्वारा गठित शरीर के आयतन की गणना
एक अक्ष के चारों ओर सपाट आकृति

दूसरा पैराग्राफ पहले से भी ज्यादा दिलचस्प होगा। वाई-अक्ष के चारों ओर क्रांति के शरीर की मात्रा की गणना करने का कार्य भी परीक्षणों में काफी लगातार आगंतुक है। पास माना जाएगा किसी आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करने की समस्यादूसरा तरीका - धुरी के साथ एकीकृत करके, यह आपको न केवल अपने कौशल में सुधार करने की अनुमति देगा, बल्कि आपको यह भी सिखाएगा कि सबसे लाभदायक समाधान कैसे खोजा जाए। इसका एक प्रैक्टिकल भी है जीवन अर्थ! जैसा कि मेरे गणित शिक्षण विधियों के शिक्षक ने एक मुस्कान के साथ याद किया, कई स्नातकों ने उन्हें शब्दों के साथ धन्यवाद दिया: "आपके विषय ने हमारी बहुत मदद की, अब हम प्रभावी प्रबंधक हैं और अपने कर्मचारियों को बेहतर तरीके से प्रबंधित करते हैं।" इस अवसर को लेते हुए, मैं उनका भी बहुत आभार व्यक्त करता हूं, खासकर जब से मैं अर्जित ज्ञान का उपयोग अपने इच्छित उद्देश्य के लिए करता हूं =)।

मैं इसे सभी को पढ़ने की सलाह देता हूं, यहां तक ​​कि पूरी डमीज को भी। इसके अलावा, दूसरे पैराग्राफ की आत्मसात सामग्री डबल इंटीग्रल की गणना में अमूल्य मदद करेगी.

रेखाओं से घिरा एक सपाट आकृति दी गई है , , ।

1) इन रेखाओं से घिरे किसी समतल आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
2) अक्ष के चारों ओर इन रेखाओं से बंधी एक सपाट आकृति को घुमाने पर प्राप्त पिंड का आयतन ज्ञात कीजिए।

ध्यान!यहां तक ​​​​कि अगर आप केवल दूसरा पैराग्राफ पढ़ना चाहते हैं, तो पहले पहले को पढ़ना सुनिश्चित करें!

समाधान: कार्य में दो भाग होते हैं। चलिए चौक से शुरू करते हैं।

1) आइए ड्राइंग को निष्पादित करें:

यह देखना आसान है कि फ़ंक्शन पैराबोला की ऊपरी शाखा को परिभाषित करता है, और फ़ंक्शन पैराबोला की निचली शाखा को परिभाषित करता है। हमारे सामने एक तुच्छ परबोला है, जो "अपनी तरफ स्थित है।"

वांछित आकृति, जिसका क्षेत्र पाया जाना है, नीले रंग में छायांकित है।

किसी आकृति का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें? इसे "सामान्य" तरीके से पाया जा सकता है, जिस पर पाठ में विचार किया गया था। समाकलन परिभाषित करें। किसी आकृति के क्षेत्रफल की गणना कैसे करें. इसके अलावा, आकृति का क्षेत्रफल क्षेत्रों के योग के रूप में पाया जाता है:
- खंड पर ;
- खंड पर।

इसीलिए:

इस मामले में सामान्य समाधान में क्या गलत है? सबसे पहले, दो अभिन्न हैं। दूसरे, इंटीग्रल के तहत जड़ें, और इंटीग्रल में जड़ें एक उपहार नहीं हैं, इसके अलावा, आप एकीकरण की सीमा को बदलने में भ्रमित हो सकते हैं। वास्तव में, इंटीग्रल, निश्चित रूप से घातक नहीं हैं, लेकिन व्यवहार में सब कुछ बहुत दुखद है, मैंने अभी कार्य के लिए "बेहतर" कार्यों को चुना है।

एक अधिक तर्कसंगत समाधान है: इसमें संक्रमण शामिल है उलटा कार्यऔर अक्ष के साथ एकीकरण।

उलटा कार्यों को कैसे पास किया जाए? मोटे तौर पर बोलते हुए, आपको "x" को "y" के माध्यम से व्यक्त करने की आवश्यकता है। सबसे पहले, पैराबोला से निपटते हैं:

यह पर्याप्त है, लेकिन आइए सुनिश्चित करें कि नीचे की शाखा से समान कार्य प्राप्त किया जा सकता है:

एक सीधी रेखा के साथ सब कुछ आसान है:

अब धुरी को देखें: कृपया समय-समय पर अपने सिर को दाहिनी ओर 90 डिग्री पर झुकाएं जैसा कि आप समझाते हैं (यह मजाक नहीं है!) हमें जो आंकड़ा चाहिए वह खंड पर स्थित है, जिसे लाल बिंदीदार रेखा द्वारा दर्शाया गया है। इसके अलावा, खंड पर, सीधी रेखा परवलय के ऊपर स्थित है, जिसका अर्थ है कि आकृति का क्षेत्र आपको पहले से परिचित सूत्र का उपयोग करके पाया जाना चाहिए: . फॉर्मूले में क्या बदलाव आया है? केवल एक पत्र, और कुछ नहीं।

! टिप्पणी: अक्ष के साथ एकीकरण सीमा निर्धारित की जानी चाहिए सख्ती से नीचे से ऊपर तक!

क्षेत्र ढूँढना:

खंड पर, इसलिए:

ध्यान दें कि मैंने एकीकरण कैसे किया, यह सबसे तर्कसंगत तरीका है, और असाइनमेंट के अगले पैराग्राफ में यह स्पष्ट होगा कि क्यों।

एकीकरण की शुद्धता पर संदेह करने वाले पाठकों के लिए, मुझे डेरिवेटिव मिलेंगे:

मूल इंटीग्रैंड प्राप्त किया जाता है, जिसका अर्थ है कि एकीकरण सही ढंग से किया जाता है।

उत्तर:

2) अक्ष के चारों ओर इस आकृति के घूमने से बनने वाले पिंड के आयतन की गणना करें।

मैं ड्राइंग को थोड़े अलग डिज़ाइन में फिर से तैयार करूँगा:

तो, नीले रंग में छायांकित आकृति धुरी के चारों ओर घूमती है। परिणाम एक "मँडराती तितली" है जो अपनी धुरी पर घूमती है।

क्रांति के पिंड का आयतन ज्ञात करने के लिए, हम अक्ष के साथ समाकलित करेंगे। पहले हमें उलटे कार्यों पर जाने की जरूरत है। यह पहले ही किया जा चुका है और पिछले पैराग्राफ में विस्तार से वर्णित है।

अब हम अपने सिर को फिर से दाहिनी ओर झुकाते हैं और अपनी आकृति का अध्ययन करते हैं। जाहिर है, क्रांति के शरीर का आयतन आयतन के बीच के अंतर के रूप में पाया जाना चाहिए।

हम धुरी के चारों ओर लाल घेरे में आकृति को घुमाते हैं, जिसके परिणामस्वरूप एक छोटा शंकु होता है। आइए इस वॉल्यूम को द्वारा निरूपित करें।

हम धुरी के चारों ओर हरे रंग में परिक्रमा करते हुए आकृति को घुमाते हैं और इसे क्रांति के परिणामी पिंड के आयतन के माध्यम से निरूपित करते हैं।

हमारी तितली का आयतन आयतन के अंतर के बराबर है।

हम क्रांति के एक पिंड का आयतन ज्ञात करने के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं:

यह पिछले पैराग्राफ के सूत्र से कैसे भिन्न है? केवल पत्रों में।

और यहाँ एकीकरण का लाभ है जिसके बारे में मैं कुछ समय पहले बात कर रहा था, इसे खोजना बहुत आसान है एकीकृत को प्रारंभिक रूप से चौथी शक्ति तक बढ़ाने की तुलना में।

उत्तर:

ध्यान दें कि यदि एक ही सपाट आकृति को धुरी के चारों ओर घुमाया जाता है, तो क्रांति का एक पूरी तरह से अलग शरीर, एक अलग, स्वाभाविक रूप से, आयतन निकलेगा।

रेखाओं और एक अक्ष से घिरा एक समतल चित्र दिया गया है।

1) व्युत्क्रम फलन पर जाएँ और चर पर समाकलित करके इन रेखाओं से घिरे समतल आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करें।
2) अक्ष के चारों ओर इन रेखाओं से बंधी एक सपाट आकृति को घुमाकर प्राप्त पिंड के आयतन की गणना करें।

यह स्वयं करने का उदाहरण है। जो लोग चाहते हैं वे "सामान्य" तरीके से आकृति का क्षेत्र भी पा सकते हैं, जिससे बिंदु 1 का परीक्षण पूरा हो जाता है)। लेकिन अगर, मैं दोहराता हूं, आप धुरी के चारों ओर एक सपाट आकृति को घुमाते हैं, तो आपको एक अलग मात्रा के साथ रोटेशन का एक पूरी तरह से अलग शरीर मिलता है, वैसे, सही उत्तर (उन लोगों के लिए भी जो हल करना पसंद करते हैं)।

पाठ के अंत में कार्य की दो प्रस्तावित वस्तुओं का पूर्ण समाधान।

ओह, और घूर्णन निकायों और एकीकरण के भीतर समझने के लिए अपने सिर को दाईं ओर झुकाना न भूलें!

मैं चाहता था, यह पहले से ही लेख को खत्म करने के लिए था, लेकिन आज वे वाई-अक्ष के चारों ओर क्रांति के शरीर की मात्रा को खोजने के लिए एक दिलचस्प उदाहरण लाए। ताज़ा:

वक्रों से बंधी आकृति की धुरी के चारों ओर घूमने से बनने वाले शरीर के आयतन की गणना करें तथा .

समाधान: चलिए एक चित्र बनाते हैं:

साथ ही, हम कुछ अन्य कार्यों के ग्राफ से परिचित होते हैं। सम फलन का इतना रोचक ग्राफ ....

एक अक्ष के चारों ओर सपाट आकृति

उदाहरण 3

रेखाओं से घिरा एक सपाट आकृति दी गई है , , ।

1) इन रेखाओं से घिरे किसी समतल आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

2) अक्ष के चारों ओर इन रेखाओं से बंधी एक सपाट आकृति को घुमाने पर प्राप्त पिंड का आयतन ज्ञात कीजिए।

ध्यान!यहां तक ​​​​कि अगर आप केवल दूसरा पैराग्राफ पढ़ना चाहते हैं, तो पहले अनिवार्य रूप सेपहला पढ़ें!

समाधान: कार्य में दो भाग होते हैं। चलिए चौक से शुरू करते हैं।

1) आइए ड्राइंग को निष्पादित करें:

यह देखना आसान है कि फ़ंक्शन पैराबोला की ऊपरी शाखा को परिभाषित करता है, और फ़ंक्शन पैराबोला की निचली शाखा को परिभाषित करता है। हमारे सामने एक तुच्छ परबोला है, जो "अपनी तरफ स्थित है।"

वांछित आकृति, जिसका क्षेत्र पाया जाना है, नीले रंग में छायांकित है।

किसी आकृति का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें? इसे "सामान्य" तरीके से पाया जा सकता है। इसके अलावा, आकृति का क्षेत्रफल क्षेत्रों के योग के रूप में पाया जाता है:

- खंड पर ;

- खंड पर।

इसीलिए:

एक अधिक तर्कसंगत समाधान है: इसमें अक्ष के साथ व्युत्क्रम कार्यों और एकीकरण के लिए संक्रमण शामिल है।

उलटा कार्यों को कैसे पास किया जाए? मोटे तौर पर बोलते हुए, आपको "x" को "y" के माध्यम से व्यक्त करने की आवश्यकता है। सबसे पहले, पैराबोला से निपटते हैं:

यह पर्याप्त है, लेकिन आइए सुनिश्चित करें कि नीचे की शाखा से समान कार्य प्राप्त किया जा सकता है:

एक सीधी रेखा के साथ सब कुछ आसान है:

अब धुरी को देखें: कृपया समय-समय पर अपने सिर को दाहिनी ओर 90 डिग्री पर झुकाएं जैसा कि आप समझाते हैं (यह मजाक नहीं है!) हमें जो आंकड़ा चाहिए वह खंड पर स्थित है, जिसे लाल बिंदीदार रेखा द्वारा दर्शाया गया है। इसके अलावा, खंड पर, सीधी रेखा परवलय के ऊपर स्थित है, जिसका अर्थ है कि आकृति का क्षेत्र आपको पहले से परिचित सूत्र का उपयोग करके पाया जाना चाहिए: . फॉर्मूले में क्या बदलाव आया है? केवल एक पत्र, और कुछ नहीं।

! टिप्पणी : एक्सिस एकीकरण सीमा व्यवस्था की जानी चाहिएसख्ती से नीचे से ऊपर तक !

क्षेत्र ढूँढना:

खंड पर, इसलिए:

ध्यान दें कि मैंने एकीकरण कैसे किया, यह सबसे तर्कसंगत तरीका है, और असाइनमेंट के अगले पैराग्राफ में यह स्पष्ट होगा कि क्यों।

एकीकरण की शुद्धता पर संदेह करने वाले पाठकों के लिए, मुझे डेरिवेटिव मिलेंगे:

मूल इंटीग्रैंड प्राप्त किया जाता है, जिसका अर्थ है कि एकीकरण सही ढंग से किया जाता है।

उत्तर:

2) अक्ष के चारों ओर इस आकृति के घूमने से बनने वाले पिंड के आयतन की गणना करें।

मैं ड्राइंग को थोड़े अलग डिज़ाइन में फिर से तैयार करूँगा:

तो, नीले रंग में छायांकित आकृति धुरी के चारों ओर घूमती है। परिणाम एक "मँडराती तितली" है जो अपनी धुरी पर घूमती है।

क्रांति के पिंड का आयतन ज्ञात करने के लिए, हम अक्ष के साथ समाकलित करेंगे। पहले हमें उलटे कार्यों पर जाने की जरूरत है। यह पहले ही किया जा चुका है और पिछले पैराग्राफ में विस्तार से वर्णित है।

अब हम अपने सिर को फिर से दाहिनी ओर झुकाते हैं और अपनी आकृति का अध्ययन करते हैं। जाहिर है, क्रांति के शरीर का आयतन आयतन के बीच के अंतर के रूप में पाया जाना चाहिए।

हम धुरी के चारों ओर लाल घेरे में आकृति को घुमाते हैं, जिसके परिणामस्वरूप एक छोटा शंकु होता है। आइए इस वॉल्यूम को द्वारा निरूपित करें।

हम धुरी के चारों ओर हरे रंग में परिक्रमा करते हुए आकृति को घुमाते हैं और इसे क्रांति के परिणामी पिंड के आयतन के माध्यम से निरूपित करते हैं।

हमारी तितली का आयतन आयतन के अंतर के बराबर है।

हम क्रांति के एक पिंड का आयतन ज्ञात करने के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं:

यह पिछले पैराग्राफ के सूत्र से कैसे भिन्न है? केवल पत्रों में।

और यहाँ एकीकरण का लाभ है जिसके बारे में मैं कुछ समय पहले बात कर रहा था, इसे खोजना बहुत आसान है एकीकृत को प्रारंभिक रूप से चौथी शक्ति तक बढ़ाने की तुलना में।

उत्तर:

ध्यान दें कि यदि एक ही सपाट आकृति को धुरी के चारों ओर घुमाया जाता है, तो क्रांति का एक पूरी तरह से अलग शरीर, एक अलग, स्वाभाविक रूप से, आयतन निकलेगा।

उदाहरण 7

वक्रों से बंधी आकृति की धुरी के चारों ओर घूमने से बनने वाले शरीर के आयतन की गणना करें तथा .

समाधान: चलिए एक चित्र बनाते हैं:

साथ ही, हम कुछ अन्य कार्यों के ग्राफ से परिचित होते हैं। सम फलन का इतना रोचक ग्राफ ....

क्रांति के पिंड का आयतन ज्ञात करने के लिए, यह आंकड़े के दाहिने आधे हिस्से का उपयोग करने के लिए पर्याप्त है, जिसे मैंने नीले रंग में छायांकित किया है। दोनों कार्य सम हैं, उनके ग्राफ अक्ष के बारे में सममित हैं, और हमारी आकृति भी सममित है। तो छायांकित दाहिना भाग, अक्ष के चारों ओर घूमते हुए, निश्चित रूप से बाएं अप्रकाशित भाग के साथ मेल खाएगा।

I. क्रांति के पिंडों का आयतन। G. M. Fikhtengol'ts की पाठ्यपुस्तक के अनुसार प्रारंभिक रूप से अध्याय XII, p°p° 197, 198 का ​​अध्ययन करें* p° 198 में दिए गए उदाहरणों का विस्तार से विश्लेषण करें।

508. एक्स-अक्ष के चारों ओर दीर्घवृत्त के घूमने से बनने वाले पिंड के आयतन की गणना करें।

इस प्रकार,

530. साइनसॉइड y \u003d sin x के बिंदु X \u003d 0 से बिंदु X \u003d के अक्ष के अक्ष के चारों ओर घूमने से बनने वाली सतह का क्षेत्रफल ज्ञात करें।

531. ऊँचाई h और त्रिज्या r वाले एक शंकु के पृष्ठीय क्षेत्रफल की गणना करें।

532. द्वारा गठित सतह क्षेत्र की गणना करें

एस्ट्रॉयड का घूर्णन x3 -) - y* - a3 x-अक्ष के चारों ओर।

533. एक्स-अक्ष के चारों ओर वक्र 18 y-x(6-x)r के लूप के व्युत्क्रम द्वारा गठित सतह के क्षेत्रफल की गणना करें।

534. एक्स-अक्ष के चारों ओर सर्कल X2 - j - (y-3)2 = 4 के घूर्णन द्वारा उत्पादित टोरस की सतह का पता लगाएं।

535. वृत्त X = a लागत, y = asint के ऑक्स अक्ष के चारों ओर घूमने से बनने वाली सतह के क्षेत्रफल की गणना करें।

536. अक्ष ऑक्स के चारों ओर वक्र x = 9t2, y = St - 9t3 के लूप के घूर्णन द्वारा गठित सतह के क्षेत्र की गणना करें।

537. वक्र x = e * sint, y = el लागत अक्ष के चारों ओर चाप के घूमने से बनने वाली सतह का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

टी = 0 से टी = -।

538. दिखाएँ कि अक्ष Oy के चारों ओर चक्रज x = a (q> - sin φ), y = a (I - cos φ) के चाप के घूमने से उत्पन्न सतह, 16 u2 o2 के बराबर है।

539. ध्रुवीय अक्ष के चारों ओर कार्डियोइड को घुमाकर प्राप्त सतह का पता लगाएं।

540. लेम्निस्केट के घूर्णन से बनने वाली सतह का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए ध्रुवीय अक्ष के आसपास।

अध्याय IV के लिए अतिरिक्त कार्य

समतल आकृतियों का क्षेत्रफल

541. एक वक्र से घिरे क्षेत्र का संपूर्ण क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए और अक्ष ओह।

542. वक्र से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए

और अक्ष ओह।

543. प्रथम चतुर्थांश में स्थित तथा वक्र से घिरे क्षेत्र के क्षेत्रफल का भाग ज्ञात कीजिए

मैं कुल्हाड़ियों का समन्वय करता हूं।

544. भीतर समाहित क्षेत्रफल का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए

छोरों:

545. वक्र के एक लूप से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:

546. लूप के अंदर निहित क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:

547. वक्र से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए

और अक्ष ओह।

548. वक्र से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए

और अक्ष ओह।

549. ऑक्स्र अक्ष से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए

सीधा और वक्र

परिभाषा 3। क्रांति का पिंड एक ऐसा पिंड है जो एक अक्ष के चारों ओर एक सपाट आकृति को घुमाकर प्राप्त किया जाता है जो आकृति को नहीं काटता है और इसके साथ एक ही तल में स्थित होता है।

रोटेशन की धुरी भी आकृति को काट सकती है यदि यह आकृति की समरूपता की धुरी है।

प्रमेय 2।
, एक्सिस
और सीधी रेखा खंड
और

एक अक्ष के चारों ओर घूमता है
. फिर क्रांति के परिणामी निकाय की मात्रा की गणना सूत्र द्वारा की जा सकती है

(2)

सबूत। ऐसे शरीर के लिए, एब्सिस्सा वाला खंड त्रिज्या का एक वृत्त है
, साधन
और सूत्र (1) वांछित परिणाम देता है।

यदि आंकड़ा दो निरंतर कार्यों के रेखांकन द्वारा सीमित है
और
, और रेखा खंड
और
, इसके अतिरिक्त
और
, फिर जब भुज अक्ष के चारों ओर घूमते हैं, तो हमें एक पिंड मिलता है जिसका आयतन होता है

उदाहरण 3 एक वृत्त से घिरे एक वृत्त को घुमाकर प्राप्त टोरस के आयतन की गणना करें

एक्स-अक्ष के आसपास।

आर समाधान। निर्दिष्ट सर्कल फ़ंक्शन के ग्राफ़ द्वारा नीचे से घिरा हुआ है
, और ऊपर दिए गए -
. इन कार्यों के वर्गों का अंतर:

वांछित मात्रा

(इंटीग्रैंड का ग्राफ ऊपरी अर्धवृत्त है, इसलिए ऊपर लिखा गया इंटीग्रल अर्धवृत्त का क्षेत्रफल है)।

उदाहरण 4 आधार के साथ परवलयिक खंड
, और ऊंचाई , आधार के चारों ओर घूमता है। परिणामी शरीर की मात्रा की गणना करें (कैवलियरी द्वारा "नींबू")।

आर समाधान। परवलय को चित्र में दर्शाए अनुसार रखें। फिर इसका समीकरण
, और
. आइए पैरामीटर का मान ज्ञात करें :
. तो, वांछित मात्रा:

प्रमेय 3। एक निरंतर गैर-नकारात्मक फ़ंक्शन के ग्राफ़ से घिरा एक कर्विलिनियर ट्रेपेज़ॉइड दें
, एक्सिस
और सीधी रेखा खंड
और
, इसके अतिरिक्त
, एक अक्ष के चारों ओर घूमता है
. तब क्रांति के परिणामी पिंड का आयतन सूत्र द्वारा पाया जा सकता है

(3)

सबूत विचार। खंड विभाजन
डॉट्स

, भागों में और सीधी रेखाएँ खींचें
. संपूर्ण ट्रेपेज़ॉइड स्ट्रिप्स में विघटित हो जाएगा, जिसे आधार के साथ लगभग आयत माना जा सकता है
और ऊंचाई
.

इस तरह के आयत के घूमने से उत्पन्न सिलेंडर को जेनरेट्रिक्स के साथ काटा जाता है और सामने लाया जाता है। हमें आयामों के साथ एक "लगभग" समानता मिलती है:
,
और
. इसकी मात्रा
. तो, क्रांति के शरीर की मात्रा के लिए हमारे पास अनुमानित समानता होगी

सटीक समानता प्राप्त करने के लिए, हमें सीमा पर पास होना चाहिए
. ऊपर लिखा योग फलन का समाकल योग है
इसलिए, सीमा में हम सूत्र (3) से अभिन्न प्राप्त करते हैं। प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

टिप्पणी 1. प्रमेय 2 और 3 में, स्थिति
छोड़ा जा सकता है: सूत्र (2) आमतौर पर चिह्न के प्रति असंवेदनशील होता है
, और सूत्र (3) में यह पर्याप्त है
द्वारा प्रतिस्थापित
.

उदाहरण 5 परवलयिक खंड (आधार
, ऊंचाई ) ऊंचाई के चारों ओर घूमता है। परिणामी निकाय का आयतन ज्ञात कीजिए।

समाधान। चित्र में दिखाए अनुसार परवलय को व्यवस्थित करें। और यद्यपि रोटेशन की धुरी आकृति को पार करती है, यह - अक्ष - समरूपता की धुरी है। इसलिए, खंड के केवल दाहिने आधे हिस्से पर विचार किया जाना चाहिए। परवलय समीकरण
, और
, साधन
. हमारे पास मात्रा के लिए है:

टिप्पणी 2। यदि वक्रीय समलम्ब चतुर्भुज की वक्ररेखीय सीमा पैरामीट्रिक समीकरणों द्वारा दी गई है
,
,
और
,
तब सूत्र (2) और (3) प्रतिस्थापन के साथ उपयोग किए जा सकते हैं पर
और
पर
जब यह बदलता है टीसे
पहले .

उदाहरण 6 आकृति चक्रज के पहले चाप से घिरी हुई है
,
,
, और भुज अक्ष। इस आकृति को चारों ओर घुमाकर प्राप्त पिंड का आयतन ज्ञात कीजिए: 1) अक्ष
; 2) एक्सल
.

समाधान। 1) सामान्य सूत्र
हमारे मामले में:

2) सामान्य सूत्र
हमारे फिगर के लिए:

हम विद्यार्थियों को प्रोत्साहित करते हैं कि वे सभी गणनाएँ स्वयं करें।

टिप्पणी 3। एक सतत रेखा से घिरा एक वक्रीय क्षेत्र होने दें
और किरणें
,

, ध्रुवीय अक्ष के चारों ओर घूमता है। परिणामी निकाय की मात्रा की गणना सूत्र द्वारा की जा सकती है।

उदाहरण 7 कार्डियड से घिरी आकृति का हिस्सा
, सर्कल के बाहर झूठ बोलना
, ध्रुवीय अक्ष के चारों ओर घूमता है। परिणामी निकाय का आयतन ज्ञात कीजिए।

समाधान। दोनों रेखाएँ, और इसलिए जिस आकृति को वे सीमित करते हैं, वह ध्रुवीय अक्ष के बारे में सममित है। इसलिए, केवल उस भाग पर विचार करना आवश्यक है जिसके लिए
. वक्र प्रतिच्छेद करते हैं
और

पर
. इसके अलावा, आंकड़े को दो सेक्टरों के अंतर के रूप में माना जा सकता है, और इसलिए वॉल्यूम की गणना दो इंटीग्रल के अंतर के रूप में की जा सकती है। अपने पास:

कार्य एक स्वतंत्र समाधान के लिए।

1. एक वृत्ताकार खंड जिसका आधार
, ऊंचाई , आधार के चारों ओर घूमता है। क्रांति के शरीर का आयतन ज्ञात कीजिए।

2. परिक्रमण के एक परवलयज का आयतन ज्ञात कीजिए जिसका आधार , और ऊंचाई है .

3. एस्ट्रोइड से घिरा हुआ चित्र
,
एक्स-अक्ष के चारों ओर घूमता है। इस मामले में प्राप्त शरीर का आयतन ज्ञात कीजिए।

4. रेखाओं से घिरा चित्र
और
एक्स-अक्ष के चारों ओर घूमता है। क्रांति के शरीर का आयतन ज्ञात कीजिए।

एक निश्चित अभिन्न का उपयोग करके क्रांति के शरीर की मात्रा की गणना कैसे करें?

के अलावा एक निश्चित अभिन्न का उपयोग करके एक समतल आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करना विषय का सबसे महत्वपूर्ण अनुप्रयोग है क्रांति के शरीर की मात्रा की गणना. सामग्री सरल है, लेकिन पाठक को तैयार रहना चाहिए: इसे हल करने में सक्षम होना आवश्यक है अनिश्चितकालीन अभिन्न मध्यम जटिलता और न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र को लागू करें समाकलन परिभाषित करें . क्षेत्र को खोजने की समस्या के साथ, आपको आश्वस्त ड्राइंग कौशल की आवश्यकता है - यह लगभग सबसे महत्वपूर्ण बात है (चूंकि इंटीग्रल स्वयं अक्सर आसान होंगे)। आप पद्धतिगत सामग्री की सहायता से ग्राफ़ प्लॉट करने की सक्षम और तेज़ तकनीक में महारत हासिल कर सकते हैं . लेकिन, वास्तव में, मैंने बार-बार पाठ में रेखाचित्रों के महत्व के बारे में बात की है। .

सामान्य तौर पर, अभिन्न कलन में बहुत सारे दिलचस्प अनुप्रयोग हैं, एक निश्चित अभिन्न का उपयोग करके, आप एक आकृति के क्षेत्र की गणना कर सकते हैं, क्रांति के शरीर का आयतन, एक चाप की लंबाई, सतह क्षेत्र शरीर का, और भी बहुत कुछ। तो यह मजेदार होगा, कृपया आशावादी बनें!

समन्वय तल पर किसी समतल आकृति की कल्पना करें। प्रतिनिधित्व किया? ... मुझे आश्चर्य है कि किसने क्या प्रस्तुत किया ... =))) हम पहले ही इसका क्षेत्र पा चुके हैं। लेकिन, इसके अलावा, यह आंकड़ा भी घुमाया जा सकता है, और दो तरह से घुमाया जा सकता है:

– एक्स-अक्ष के आसपास; - y-अक्ष के आसपास।

इस लेख में, दोनों मामलों पर चर्चा की जाएगी। रोटेशन की दूसरी विधि विशेष रूप से दिलचस्प है, यह सबसे बड़ी कठिनाइयों का कारण बनती है, लेकिन वास्तव में समाधान लगभग वैसा ही है जैसा कि एक्स-अक्ष के चारों ओर अधिक सामान्य रोटेशन में होता है। एक बोनस के रूप में, मैं वापस आऊंगा किसी आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करने की समस्या , और आपको बताएंगे कि दूसरे तरीके से - अक्ष के साथ क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें। इतना बोनस भी नहीं है क्योंकि सामग्री थीम में अच्छी तरह से फिट बैठती है।

आइए सबसे लोकप्रिय प्रकार के रोटेशन से शुरू करें।

उदाहरण 1

एक अक्ष के चारों ओर रेखाओं से बंधी आकृति को घुमाकर प्राप्त पिंड के आयतन की गणना करें।

समाधान:क्षेत्र खोजने की समस्या के रूप में, समाधान एक सपाट आकृति के आरेखण से शुरू होता है. यही है, एक विमान पर रेखाओं से बंधी एक आकृति का निर्माण करना आवश्यक है, जबकि यह नहीं भूलना चाहिए कि समीकरण अक्ष को सेट करता है। ड्राइंग को अधिक तर्कसंगत और तेज़ कैसे बनाया जाए, यह पृष्ठों पर पाया जा सकता है प्रारंभिक कार्यों के रेखांकन और गुण और समाकलन परिभाषित करें। किसी आकृति के क्षेत्रफल की गणना कैसे करें . यह एक चीनी अनुस्मारक है और मैं इस बिंदु पर नहीं रुकता।

यहाँ आरेखण बहुत सरल है:

वांछित सपाट आकृति नीले रंग में छायांकित है, यह वह है जो अक्ष के चारों ओर घूमती है। रोटेशन के परिणामस्वरूप, यह थोड़ा अंडे के आकार का उड़न तश्तरी प्राप्त होता है, जो अक्ष के बारे में सममित है। वास्तव में, शरीर का एक गणितीय नाम है, लेकिन संदर्भ पुस्तक में कुछ देखने के लिए यह बहुत आलसी है, इसलिए हम आगे बढ़ते हैं।

क्रांति के शरीर की मात्रा की गणना कैसे करें?

क्रांति के शरीर की मात्रा सूत्र द्वारा गणना की जा सकती है:

सूत्र में, समाकल से पहले एक संख्या होनी चाहिए। ऐसा ही हुआ - जीवन में घूमने वाली हर चीज इस निरंतरता से जुड़ी है।

मुझे लगता है कि "ए" और "बी" एकीकरण की सीमा कैसे निर्धारित की जाती है, पूर्ण ड्राइंग से अनुमान लगाना आसान है।

कार्य... यह कार्य क्या है? आइए ड्राइंग देखें। सपाट आकृति शीर्ष पर परवलयिक ग्राफ से घिरी हुई है। यह वह कार्य है जो सूत्र में निहित है।

व्यावहारिक कार्यों में, एक सपाट आकृति कभी-कभी अक्ष के नीचे स्थित हो सकती है। यह कुछ भी नहीं बदलता है - सूत्र में फ़ंक्शन चुकता है :, इस प्रकार क्रांति के शरीर का आयतन हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है, जो काफी तार्किक है।

इस सूत्र का उपयोग करके क्रांति के शरीर की मात्रा की गणना करें:

जैसा कि मैंने पहले ही उल्लेख किया है, अभिन्न लगभग हमेशा सरल हो जाता है, मुख्य बात सावधान रहना है।

उत्तर:

उत्तर में, आयाम - घन इकाइयों को इंगित करना आवश्यक है। अर्थात्, हमारे घूमने वाले शरीर में लगभग 3.35 "क्यूब्स" होते हैं। बिल्कुल क्यूबिक क्यों इकाइयां? क्योंकि सबसे सार्वभौमिक सूत्रीकरण। क्यूबिक सेंटीमीटर हो सकते हैं, क्यूबिक मीटर हो सकते हैं, क्यूबिक किलोमीटर हो सकते हैं, आदि, आपकी कल्पना में कितने छोटे हरे आदमी एक उड़न तश्तरी में फिट हो सकते हैं।

उदाहरण 2

रेखाओं से बंधी आकृति के अक्ष के चारों ओर घूमने से बने पिंड का आयतन ज्ञात कीजिए,,

यह स्वयं करने का उदाहरण है। पाठ के अंत में पूर्ण समाधान और उत्तर।

आइए दो और जटिल समस्याओं पर विचार करें, जो व्यवहार में भी अक्सर सामने आती हैं।

उदाहरण 3

रेखाओं से बंधी आकृति के भुज अक्ष के चारों ओर घुमाकर प्राप्त पिंड के आयतन की गणना करें ,, और

समाधान:आइए ड्राइंग में एक सपाट आकृति का चित्रण करें, जो रेखाओं से घिरा हो,,,, यह न भूलें कि समीकरण अक्ष को सेट करता है:

वांछित आकृति नीले रंग में छायांकित है। जब यह अक्ष के चारों ओर घूमता है, तो चार कोनों वाला ऐसा असली डोनट प्राप्त होता है।

क्रांति के शरीर के आयतन की गणना इस प्रकार की जाती है शरीर की मात्रा में अंतर.

सबसे पहले, आइए उस आकृति को देखें जो लाल घेरे में है। जब यह धुरी के चारों ओर घूमता है, तो एक छोटा शंकु प्राप्त होता है। इस छंटे हुए शंकु के आयतन को इसके द्वारा निरूपित करें।

उस आकृति पर विचार करें जो हरे रंग में घेरा गया है। यदि आप इस आकृति को अक्ष के चारों ओर घुमाते हैं, तो आपको एक छोटा शंकु भी मिलेगा, केवल थोड़ा छोटा। आइए इसकी मात्रा को द्वारा निरूपित करें।

और, जाहिर है, वॉल्यूम में अंतर बिल्कुल हमारे "डोनट" का वॉल्यूम है।

हम परिक्रमण के पिंड का आयतन ज्ञात करने के लिए मानक सूत्र का उपयोग करते हैं:

1) लाल रंग में घेरा गया चित्र ऊपर से एक सीधी रेखा से घिरा है, इसलिए:

2) हरे रंग में परिचालित आकृति ऊपर से एक सीधी रेखा से घिरी हुई है, इसलिए:

3) क्रांति के वांछित निकाय का आयतन:

उत्तर:

यह उत्सुक है कि इस मामले में एक काटे गए शंकु की मात्रा की गणना के लिए स्कूल सूत्र का उपयोग करके समाधान की जांच की जा सकती है।

निर्णय को अक्सर छोटा बना दिया जाता है, ऐसा कुछ:

अब थोड़ा विराम लेते हैं और ज्यामितीय भ्रमों के बारे में बात करते हैं।

लोगों को अक्सर वॉल्यूम से जुड़े भ्रम होते हैं, जिसे पेरेलमैन (वही नहीं) ने किताब में देखा दिलचस्प ज्यामिति. हल की गई समस्या में समतल आकृति को देखें - यह क्षेत्रफल में छोटा प्रतीत होता है, और क्रांति के शरीर का आयतन 50 घन इकाई से थोड़ा अधिक है, जो बहुत बड़ा लगता है। वैसे, औसत व्यक्ति अपने पूरे जीवन में 18 वर्ग मीटर के एक कमरे की मात्रा के साथ एक तरल पीता है, जो इसके विपरीत, बहुत छोटा लगता है।

सामान्य तौर पर, यूएसएसआर में शिक्षा प्रणाली वास्तव में सबसे अच्छी थी। 1950 में उनके द्वारा लिखी गई पेरेलमैन की वही किताब बहुत अच्छी तरह से विकसित होती है, जैसा कि हास्यकार ने कहा, तर्क करना और समस्याओं के मूल गैर-मानक समाधानों की तलाश करना सिखाता है। हाल ही में मैंने कुछ अध्यायों को बड़े चाव से पढ़ा, मैं इसकी अनुशंसा करता हूं, यह मानवतावादियों के लिए भी सुलभ है। नहीं, आपको मुस्कुराने की ज़रूरत नहीं है कि मैंने सुझाव दिया था कि एक बेस्पोंटोवी शगल, ज्ञान और संचार में एक व्यापक दृष्टिकोण एक बड़ी बात है।

गीतात्मक विषयांतर के बाद, रचनात्मक कार्य को हल करना उचित है:

उदाहरण 4

रेखाओं से घिरे एक समतल आकृति के अक्ष के चारों ओर घूमने से बने पिंड के आयतन की गणना करें, जहाँ।

यह स्वयं करने का उदाहरण है। कृपया ध्यान दें कि सभी चीजें बैंड में होती हैं, दूसरे शब्दों में, लगभग तैयार एकीकरण सीमाएं दी गई हैं। त्रिकोणमितीय कार्यों के ग्राफ़ को सही ढंग से खींचने का भी प्रयास करें, यदि तर्क को दो से विभाजित किया जाता है: तो ग्राफ़ को दो बार अक्ष के साथ खींचा जाता है। कम से कम 3-4 अंक खोजने का प्रयास करें द्वारा त्रिकोणमितीय टेबल और ड्राइंग को और अधिक सटीक बनाएं। पाठ के अंत में पूर्ण समाधान और उत्तर। वैसे, कार्य को तर्कसंगत रूप से हल किया जा सकता है न कि बहुत तर्कसंगत रूप से।

एक अक्ष के चारों ओर एक सपाट आकृति के घूमने से बनने वाले पिंड के आयतन की गणना

दूसरा पैराग्राफ पहले से भी ज्यादा दिलचस्प होगा। वाई-अक्ष के चारों ओर क्रांति के शरीर की मात्रा की गणना करने का कार्य भी परीक्षणों में काफी लगातार आगंतुक है। पास माना जाएगा किसी आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करने की समस्या दूसरा तरीका - धुरी के साथ एकीकरण, यह आपको न केवल अपने कौशल में सुधार करने की अनुमति देगा, बल्कि आपको यह भी सिखाएगा कि सबसे लाभदायक समाधान कैसे खोजा जाए। इसका व्यावहारिक अर्थ भी है! जैसा कि मेरे गणित शिक्षण विधियों के शिक्षक ने एक मुस्कान के साथ याद किया, कई स्नातकों ने उन्हें शब्दों के साथ धन्यवाद दिया: "आपके विषय ने हमारी बहुत मदद की, अब हम प्रभावी प्रबंधक हैं और अपने कर्मचारियों को बेहतर तरीके से प्रबंधित करते हैं।" इस अवसर को लेते हुए, मैं उनका भी बहुत आभार व्यक्त करता हूं, खासकर जब से मैं अर्जित ज्ञान का उपयोग अपने इच्छित उद्देश्य के लिए करता हूं =)।

उदाहरण 5

रेखाओं से घिरा एक सपाट आकृति दी गई है,,।

1) इन रेखाओं से घिरे किसी समतल आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। 2) अक्ष के चारों ओर इन रेखाओं से बंधी एक सपाट आकृति को घुमाने पर प्राप्त पिंड का आयतन ज्ञात कीजिए।

ध्यान!यहां तक ​​​​कि अगर आप केवल दूसरा पैराग्राफ पढ़ना चाहते हैं, तो पहले अनिवार्य रूप सेपहला पढ़ें!

समाधान:कार्य में दो भाग होते हैं। चलिए चौक से शुरू करते हैं।

1) आइए ड्राइंग को निष्पादित करें:

यह देखना आसान है कि फ़ंक्शन पैराबोला की ऊपरी शाखा को परिभाषित करता है, और फ़ंक्शन पैराबोला की निचली शाखा को परिभाषित करता है। हमारे सामने एक तुच्छ परबोला है, जो "अपनी तरफ स्थित है।"

वांछित आकृति, जिसका क्षेत्र पाया जाना है, नीले रंग में छायांकित है।

किसी आकृति का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें? इसे "सामान्य" तरीके से पाया जा सकता है, जिस पर पाठ में विचार किया गया था। समाकलन परिभाषित करें। किसी आकृति के क्षेत्रफल की गणना कैसे करें . इसके अलावा, आकृति का क्षेत्रफल क्षेत्रों के योग के रूप में पाया जाता है: - खंड पर ; - खंड पर।

इसीलिए:

इस मामले में सामान्य समाधान में क्या गलत है? सबसे पहले, दो अभिन्न हैं। दूसरे, इंटीग्रल के तहत जड़ें, और इंटीग्रल में जड़ें एक उपहार नहीं हैं, इसके अलावा, आप एकीकरण की सीमा को बदलने में भ्रमित हो सकते हैं। वास्तव में, इंटीग्रल, निश्चित रूप से घातक नहीं हैं, लेकिन व्यवहार में सब कुछ बहुत दुखद है, मैंने अभी कार्य के लिए "बेहतर" कार्यों को चुना है।

एक अधिक तर्कसंगत समाधान है: इसमें अक्ष के साथ व्युत्क्रम कार्यों और एकीकरण के लिए संक्रमण शामिल है।

उलटा कार्यों को कैसे पास किया जाए? मोटे तौर पर बोलते हुए, आपको "x" को "y" के माध्यम से व्यक्त करने की आवश्यकता है। सबसे पहले, पैराबोला से निपटते हैं:

यह पर्याप्त है, लेकिन आइए सुनिश्चित करें कि नीचे की शाखा से समान कार्य प्राप्त किया जा सकता है:

एक सीधी रेखा के साथ सब कुछ आसान है:

अब धुरी को देखें: कृपया समय-समय पर अपने सिर को दाहिनी ओर 90 डिग्री पर झुकाएं जैसा कि आप समझाते हैं (यह मजाक नहीं है!) हमें जो आंकड़ा चाहिए वह खंड पर स्थित है, जिसे लाल बिंदीदार रेखा द्वारा दर्शाया गया है। उसी समय, खंड पर, सीधी रेखा परबोला के ऊपर स्थित होती है, जिसका अर्थ है कि आकृति का क्षेत्र आपको पहले से परिचित सूत्र का उपयोग करके पाया जाना चाहिए: . फॉर्मूले में क्या बदलाव आया है? केवल एक पत्र, और कुछ नहीं।

! नोट: अक्ष के साथ एकीकरण की सीमाएँ निर्धारित की जानी चाहिएसख्ती से नीचे से ऊपर तक !

क्षेत्र ढूँढना:

खंड पर, इसलिए:

ध्यान दें कि मैंने एकीकरण कैसे किया, यह सबसे तर्कसंगत तरीका है, और असाइनमेंट के अगले पैराग्राफ में यह स्पष्ट होगा कि क्यों।

एकीकरण की शुद्धता पर संदेह करने वाले पाठकों के लिए, मुझे डेरिवेटिव मिलेंगे:

मूल इंटीग्रैंड प्राप्त किया जाता है, जिसका अर्थ है कि एकीकरण सही ढंग से किया जाता है।

उत्तर:

2) अक्ष के चारों ओर इस आकृति के घूमने से बनने वाले पिंड के आयतन की गणना करें।

मैं ड्राइंग को थोड़े अलग डिज़ाइन में फिर से तैयार करूँगा:

तो, नीले रंग में छायांकित आकृति धुरी के चारों ओर घूमती है। परिणाम एक "मँडराती तितली" है जो अपनी धुरी पर घूमती है।

क्रांति के पिंड का आयतन ज्ञात करने के लिए, हम अक्ष के साथ समाकलित करेंगे। पहले हमें उलटे कार्यों पर जाने की जरूरत है। यह पहले ही किया जा चुका है और पिछले पैराग्राफ में विस्तार से वर्णित है।

अब हम अपने सिर को फिर से दाहिनी ओर झुकाते हैं और अपनी आकृति का अध्ययन करते हैं। जाहिर है, क्रांति के शरीर का आयतन आयतन के बीच के अंतर के रूप में पाया जाना चाहिए।

हम धुरी के चारों ओर लाल घेरे में आकृति को घुमाते हैं, जिसके परिणामस्वरूप एक छोटा शंकु होता है। आइए इस वॉल्यूम को द्वारा निरूपित करें।

हम आकृति को घुमाते हैं, हरे रंग में परिक्रमा करते हैं, धुरी के चारों ओर और परिणामी शरीर के आयतन के माध्यम से नामित करते हैं।

हमारी तितली का आयतन आयतन के अंतर के बराबर है।

हम क्रांति के एक पिंड का आयतन ज्ञात करने के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं:

यह पिछले पैराग्राफ के सूत्र से कैसे भिन्न है? केवल पत्रों में।

और यहाँ एकीकरण का लाभ है जिसके बारे में मैं कुछ समय पहले बात कर रहा था, इसे खोजना बहुत आसान है एकीकृत को प्रारंभिक रूप से चौथी शक्ति तक बढ़ाने की तुलना में।