समाकलन परिभाषित करें एक सतत कार्य से एफ(एक्स) परिमित अंतराल पर [ एक, बी] (जहाँ ) इस सेगमेंट पर इसके कुछ एंटीडेरिवेटिव्स की वृद्धि है। (सामान्य तौर पर, यदि आप अनिश्चित समाकलन के विषय को दोहराते हैं तो समझ काफ़ी आसान हो जाएगी) इस मामले में, संकेतन

जैसा कि नीचे दिए गए ग्राफ़ में देखा जा सकता है (एंटीडेरिवेटिव फ़ंक्शन की वृद्धि को इंगित किया गया है), निश्चित समाकल या तो धनात्मक या ऋणात्मक हो सकता है।(इसकी गणना ऊपरी सीमा में प्रतिअवकलन के मान और निचली सीमा में इसके मान के बीच के अंतर के रूप में की जाती है, अर्थात् एफ(बी) - एफ(एक)).

नंबर एकतथा बीक्रमशः एकीकरण की निचली और ऊपरी सीमाएँ कहलाती हैं, और अंतराल [ एक, बी] एकीकरण का खंड है।

इस प्रकार, यदि एफ(एक्स) के लिए कुछ व्युत्पन्न कार्य है एफ(एक्स), फिर, परिभाषा के अनुसार,

(38)

समानता (38) कहलाती है न्यूटन-लीबनिज सूत्र . अंतर एफ(बी) – एफ(एक) संक्षेप में इस प्रकार लिखा गया है:

इसलिए न्यूटन-लीबनिज सूत्र इस प्रकार लिखा जाएगा:

(39)

आइए हम सिद्ध करें कि निश्चित समाकल इस बात पर निर्भर नहीं करता है कि समाकलन की गणना करते समय कौन सा प्रतिअवकलज लिया जाता है। होने देना एफ(एक्स) और एफ ( एक्स) इंटीग्रैंड के मनमानी विरोधी हैं। चूँकि ये एक ही फलन के प्रतिअवकलज हैं, इसलिए ये एक अचर पद से भिन्न होते हैं: ( एक्स) = एफ(एक्स) + सी. इसीलिए

इस प्रकार, यह स्थापित किया जाता है कि खंड पर [ एक, बी] फ़ंक्शन के सभी एंटीडेरिवेटिव्स की वृद्धि एफ(एक्स) मिलान।

इस प्रकार, निश्चित समाकल की गणना करने के लिए, समाकलन का कोई प्रतिअवकलज ज्ञात करना आवश्यक है, अर्थात्। सबसे पहले आपको अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजने की जरूरत है। नियत से बाद की गणना से बाहर रखा गया। फिर न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र लागू किया जाता है: ऊपरी सीमा के मान को एंटीडेरिवेटिव फ़ंक्शन में प्रतिस्थापित किया जाता है बी , आगे - निचली सीमा का मान एक और अंतर की गणना करें एफ (बी) - एफ (ए) . परिणामी संख्या एक निश्चित समाकल होगी।.

पर एक = बीपरिभाषा द्वारा स्वीकार किया गया

उदाहरण 1

समाधान। आइए पहले अनिश्चितकालीन अभिन्न का पता लगाएं:

न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र को प्रतिपदार्थ पर लागू करना

(पर से= 0), हमें प्राप्त होता है

हालांकि, एक निश्चित अभिन्न की गणना करते समय, अलग-अलग प्रतिपक्षी को अलग नहीं करना बेहतर होता है, लेकिन तुरंत अभिन्न को फॉर्म (39) में लिखें।

उदाहरण 2एक निश्चित अभिन्न की गणना करें

समाधान। सूत्र का उपयोग करना

निश्चित अभिन्न के गुण

प्रमेय 2।निश्चित समाकल का मान समाकलन चर के पदनाम पर निर्भर नहीं करता है, अर्थात।

(40)

होने देना एफ(एक्स) के लिए व्युत्पन्न है एफ(एक्स) के लिये एफ(टी) विरोधी व्युत्पन्न एक ही कार्य है एफ(टी), जिसमें स्वतंत्र चर को अलग तरह से दर्शाया जाता है। फलस्वरूप,

सूत्र (39) के आधार पर, अंतिम समानता का अर्थ है इंटीग्रल की समानता

प्रमेय 3.अचर गुणनखंड को एक निश्चित समाकल के चिन्ह से निकाला जा सकता है, अर्थात।

(41)

प्रमेय 4.फलनों की एक सीमित संख्या के बीजीय योग का निश्चित समाकल इन फलनों के निश्चित समाकलों के बीजगणितीय योग के बराबर होता है, अर्थात।

(42)

प्रमेय 5.यदि एकीकरण के खंड को भागों में विभाजित किया जाता है, तो संपूर्ण खंड पर निश्चित समाकलन योग के बराबर हैइसके भागों पर निश्चित समाकलों का, अर्थात। यदि

(43)

प्रमेय 6.एकीकरण की सीमाओं को पुनर्व्यवस्थित करते समय, निश्चित अभिन्न का पूर्ण मूल्य नहीं बदलता है, लेकिन केवल इसका संकेत बदलता है, अर्थात।

(44)

प्रमेय 7(औसत मूल्य प्रमेय)। निश्चित समाकलन, समाकलन खंड की लंबाई के गुणनफल और इसके भीतर किसी बिंदु पर समाकलन के मान के बराबर होता है, अर्थात।

(45)

प्रमेय 8.यदि ऊपरी समाकलन सीमा निचली सीमा से अधिक है और समाकलन ऋणेतर (धनात्मक) है, तो निश्चित समाकलन भी ऋणात्मक (धनात्मक) होता है, अर्थात्। यदि

प्रमेय 9.यदि एकीकरण की ऊपरी सीमा निचली सीमा और कार्यों से अधिक है और निरंतर है, तो असमानता

टर्म द्वारा एकीकृत किया जा सकता है, अर्थात।

(46)

निश्चित समाकल के गुण हमें समाकलों की प्रत्यक्ष गणना को सरल बनाने की अनुमति देते हैं।

उदाहरण 5एक निश्चित अभिन्न की गणना करें

प्रमेय 4 और 3 का उपयोग करते हुए, और प्रतिअवकलन - सारणीबद्ध समाकल (7) और (6) खोजने पर, हम प्राप्त करते हैं

परिवर्तनीय ऊपरी सीमा के साथ निश्चित अभिन्न

होने देना एफ(एक्स) खंड पर निरंतर है [ एक, बी] समारोह, और एफ(एक्स) इसका प्रोटोटाइप है। निश्चित अभिन्न पर विचार करें

(47)

और के माध्यम से टीएकीकरण चर को निरूपित किया जाता है ताकि इसे ऊपरी सीमा के साथ भ्रमित न किया जाए। जब यह बदलता है एक्सनिश्चित समाकल (47) भी बदलता है, अर्थात, यह एकीकरण की ऊपरी सीमा का एक कार्य है एक्स, जिसे हम द्वारा निरूपित करते हैं एफ(एक्स), अर्थात।

(48)

आइए हम सिद्ध करें कि फलन एफ(एक्स) के लिए व्युत्पन्न है एफ(एक्स) = एफ(टी) दरअसल, अंतर करना एफ(एक्स), हम पाते हैं

इसलिये एफ(एक्स) के लिए व्युत्पन्न है एफ(एक्स), एक एफ(एक) एक स्थिर मूल्य है।

समारोह एफ(एक्स) के लिए एंटीडेरिवेटिव्स के अनंत सेट में से एक है एफ(एक्स), अर्थात् वह जो एक्स = एकशून्य पर जाता है। यह कथन प्राप्त होता है यदि समानता (48) में हम डालते हैं एक्स = एकऔर पिछले खंड के प्रमेय 1 का प्रयोग करें।

भागों द्वारा एकीकरण की विधि और चर के परिवर्तन की विधि द्वारा निश्चित अभिन्नों की गणना

जहां, परिभाषा के अनुसार, एफ(एक्स) के लिए व्युत्पन्न है एफ(एक्स) अगर इंटीग्रैंड में हम वेरिएबल का परिवर्तन करते हैं

फिर, सूत्र (16) के अनुसार, हम लिख सकते हैं

इस अभिव्यक्ति में

के लिए व्युत्पन्न कार्य

दरअसल, इसके व्युत्पन्न, के अनुसार एक जटिल कार्य के भेदभाव का नियम, के बराबर है

मान लीजिए α और β चर के मान हैं टी, जिसके लिए समारोह

क्रमशः मान लेता है एकतथा बी, अर्थात।

लेकिन, न्यूटन-लीबनिज सूत्र के अनुसार, अंतर एफ(बी) – एफ(एक) वहाँ है

पहले और दूसरे पाठ्यक्रम के छात्रों को एक समान रचना के कुछ हिस्सों द्वारा एकीकरण के उदाहरण दिए गए हैं। ये कार्य एलएनयू में नियंत्रण कार्य पर निर्धारित किए गए थे। मैं फ्रैंक। ताकि कार्यों और उत्तरों में सूत्र दोहराए न जाएं, हम कार्यों का वर्णन नहीं करेंगे। कार्यों की स्थिति के अनुसार, आपको या तो "इंटीग्रल खोजें" या "इंटीग्रल की गणना करें" की आवश्यकता है।
उदाहरण 8. हम समाकलन के नियम के अनुसार भागों int(u*dv)=u*v-int(v*du) द्वारा समाकलन पाते हैं। यहां मुख्य बात नियम के लिए सही कार्यों का चयन करना है। (स्वयं के लिए, याद रखें कि DV के लिए, यदि संभव हो तो, आवधिक कार्यों का चयन करें या जो, जब एक कारक तक विभेदित हों, तो खुद को दें - एक्सपोनेंट)। इस समाकलन में, आपको ज्या को अवकलन के अंतर्गत लाने की आवश्यकता है

आगे एकीकरण काफी सरल है और हम विवरण पर ध्यान नहीं देंगे।

उदाहरण 9. पुनः, हमें u*dv भागों द्वारा समाकलन के नियम को लागू करने की आवश्यकता है। यहां हमारे पास एक घातांक द्वारा आवधिक फलन का गुणनफल है, इसलिए यह आपको चुनना है कि अंतर के तहत क्या लाना बेहतर है। आप घातांक और कोज्या दोनों का उपयोग कर सकते हैं (प्रत्येक मामले में हमें एक पुनरावर्ती सूत्र मिलता है)।

फिर से भागों द्वारा एकीकरण लागू करना

हम एक पुनरावर्ती सूत्र पर पहुंचे। यदि हम उस समाकल को लिखते हैं जिसकी हम तलाश कर रहे थे और गणनाओं का परिणाम है, तो हमें दो समान पद मिलते हैं

हम उनका समूह बनाते हैं और आवश्यक समाकल पाते हैं


उदाहरण 10. हमारे पास नियम u*dv के तहत समाकलन का तैयार रिकार्ड है। डु ढूंढें और एकीकरण करें


हम सारणीबद्ध सूत्र के तहत दूसरे अभिन्न को कम करते हैं और इसकी गणना करते हैं

उदाहरण 11. नए वेरिएबल cos(ln(x))=u से निरूपित करें, यह du ढूंढें, फिर डिफरेंशियल के तहत डालें


समाकलन के लिए, हम फिर से अंशों द्वारा समाकलन का नियम लागू करते हैं


पुनरावर्ती सूत्र पर आया

जिसके साथ हम अज्ञात अभिन्न की गणना करते हैं

उदाहरण 12. समाकल ज्ञात करने के लिए हम हर में एक पूर्ण वर्ग का चयन करते हैं। इसके अलावा, जाने-माने एकीकरण सूत्र में हर को कम करते हुए, हम चाप स्पर्शरेखा प्राप्त करते हैं


गुणकों के प्रत्यावर्तन का क्रम याद रखें। मुक्त पद के मूल से विभाजित इकाई चाप स्पर्शरेखा से पहले प्रकट होती है, और यह कारक चर के पहले चाप स्पर्शरेखा में भी मौजूद होता है।
उदाहरण 13. हम एक समान समाकल के बारे में बात कर रहे हैं, केवल हर में द्विघात निर्भरता जड़ के नीचे है। हम पूर्ण वर्ग का चयन करते हैं और इसे एकीकरण सूत्र में घटाते हैं, जो लघुगणक देता है


ये नियंत्रण या परीक्षण पर उदाहरण हैं। बुनियादी एकीकरण योजनाओं को अच्छी तरह याद रखें।
यदि आप स्वयं अभिन्न को हल नहीं कर सकते हैं, तो मदद मांगें।

भागों द्वारा एकीकरण। समाधान उदाहरण

फिर से हैलो। आज के पाठ में हम सीखेंगे कि भागों द्वारा कैसे एकीकृत किया जाए। भागों द्वारा एकीकरण की विधि अभिन्न कलन की आधारशिलाओं में से एक है। परीक्षा में, परीक्षा में, छात्र को लगभग हमेशा निम्नलिखित प्रकार के इंटीग्रल को हल करने की पेशकश की जाती है: सबसे सरल इंटीग्रल (लेख देखें)या चर बदलने के लिए एक अभिन्न (लेख देखें)या अभिन्न बस पर भागों द्वारा एकीकरण की विधि.

हमेशा की तरह, हाथ में होना चाहिए: इंटीग्रल की तालिकातथा व्युत्पन्न तालिका. यदि आपके पास अभी भी नहीं है, तो कृपया मेरी साइट के स्टोररूम पर जाएँ: गणितीय सूत्र और टेबल. मैं दोहराते नहीं थकूंगा - सब कुछ प्रिंट करना बेहतर है। मैं सभी सामग्री को एक सुसंगत, सरल और सुलभ तरीके से प्रस्तुत करने का प्रयास करूंगा, भागों द्वारा एकीकृत करने में कोई विशेष कठिनाई नहीं है।

भागों द्वारा एकीकरण किस समस्या का समाधान करता है? भागों द्वारा एकीकरण की विधि एक बहुत ही महत्वपूर्ण समस्या को हल करती है, यह आपको कुछ कार्यों को एकीकृत करने की अनुमति देती है जो तालिका में नहीं हैं, कामकार्य, और कुछ मामलों में - और निजी। जैसा कि हमें याद है, कोई सुविधाजनक सूत्र नहीं है: . लेकिन यह एक है: व्यक्तिगत रूप से भागों द्वारा एकीकरण का सूत्र है। मुझे पता है, मुझे पता है, आप केवल एक ही हैं - उसके साथ हम पूरा पाठ करेंगे (यह पहले से ही आसान है)।

और तुरंत स्टूडियो में सूची। निम्नलिखित प्रकार के इंटीग्रल भागों द्वारा लिए जाते हैं:

1) , , - लघुगणक, लघुगणक को कुछ बहुपद से गुणा किया जाता है।

2) ,कुछ बहुपद से गुणा किया जाने वाला एक घातांकीय फलन है। इसमें इंटीग्रल भी शामिल हैं जैसे - एक बहुपद द्वारा एक एक्सपोनेंशियल फ़ंक्शन गुणा किया जाता है, लेकिन व्यवहार में यह 97 प्रतिशत है, इंटीग्रल के तहत एक सुंदर अक्षर "ई" फ्लॉन्ट करता है। ... लेख कुछ गेय निकला, अरे हाँ ... वसंत आ गया है।

3) , त्रिकोणमितीय फलन को कुछ बहुपद से गुणा किया जाता है।

4) , - उलटा त्रिकोणमितीय कार्य ("मेहराब"), "मेहराब", कुछ बहुपद से गुणा।

साथ ही कुछ भिन्नों को भागों में लिया जाता है, हम संबंधित उदाहरणों पर भी विस्तार से विचार करेंगे।

लघुगणक के समाकलन

उदाहरण 1

क्लासिक। समय-समय पर, यह अभिन्न तालिकाओं में पाया जा सकता है, लेकिन तैयार उत्तर का उपयोग करना अवांछनीय है, क्योंकि शिक्षक के पास वसंत ऋतु में बेरीबेरी है और वह बहुत डांटेगा। क्योंकि विचाराधीन अभिन्न किसी भी तरह से सारणीबद्ध नहीं है - इसे भागों में लिया जाता है। हमने निर्णय किया:

हम मध्यवर्ती स्पष्टीकरण के लिए समाधान को बाधित करते हैं।

हम भागों द्वारा एकीकरण के सूत्र का उपयोग करते हैं:

सूत्र बाएं से दाएं लागू किया जाता है

हम बाईं ओर देखते हैं:। जाहिर है, हमारे उदाहरण में (और अन्य सभी में जिन पर हम विचार करेंगे), कुछ को , और कुछ को द्वारा निरूपित करने की आवश्यकता है।

विचाराधीन प्रकार के समाकलों में, हम हमेशा लघुगणक को निरूपित करते हैं।

तकनीकी रूप से, समाधान का डिज़ाइन निम्नानुसार कार्यान्वित किया जाता है, हम कॉलम में लिखते हैं:

अर्थात्, क्योंकि हमने लघुगणक को निरूपित किया है, और के लिए - शेष भागएकीकृत

अगला चरण: अंतर खोजें:

अंतर लगभग व्युत्पन्न के समान ही है, हम पहले ही चर्चा कर चुके हैं कि इसे पिछले पाठों में कैसे खोजा जाए।

अब हम फ़ंक्शन ढूंढते हैं। फ़ंक्शन को खोजने के लिए इसे एकीकृत करना आवश्यक है दाईं ओरकम समानता:

अब हम अपना हल खोलते हैं और सूत्र के दाहिने हिस्से की रचना करते हैं: .
वैसे, यहाँ छोटे नोटों के साथ अंतिम समाधान का एक उदाहरण दिया गया है:

उत्पाद में एकमात्र क्षण, मैंने तुरंत पुनर्व्यवस्थित किया और, चूंकि यह लघुगणक से पहले गुणक लिखने के लिए प्रथागत है।

जैसा कि आप देख सकते हैं, इंटीग्रेशन-बाय-पार्ट्स फॉर्मूला लागू करने से हमारा समाधान अनिवार्य रूप से दो सरल इंटीग्रल तक कम हो गया।

कृपया ध्यान दें कि कुछ मामलों में एकदम बादसूत्र के आवेदन, शेष अभिन्न के तहत एक सरलीकरण आवश्यक रूप से किया जाता है - विचाराधीन उदाहरण में, हमने "x" द्वारा एकीकृत और कम कर दिया।

चलो एक चेक करते हैं। ऐसा करने के लिए, आपको उत्तर का व्युत्पन्न लेना होगा:

मूल समाकलन प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है कि समाकलन सही ढंग से हल किया गया है।

सत्यापन के दौरान, हमने उत्पाद विभेदन नियम का उपयोग किया: . और यह कोई संयोग नहीं है।

भागों सूत्र द्वारा एकीकरण और सूत्र ये दो परस्पर प्रतिलोम नियम हैं।

उदाहरण 2

अनिश्चितकालीन अभिन्न का पता लगाएं।

समाकलन लघुगणक और बहुपद का गुणनफल है।
हमने निर्णय किया।

मैं एक बार फिर से नियम को लागू करने की प्रक्रिया का विस्तार से वर्णन करूंगा, भविष्य में उदाहरणों को और अधिक संक्षेप में तैयार किया जाएगा, और यदि आपको इसे स्वयं हल करने में कोई कठिनाई है, तो आपको पाठ के पहले दो उदाहरणों पर वापस जाना होगा। .

जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, लॉगरिदम को नामित करना आवश्यक है (तथ्य यह है कि यह एक डिग्री में है कोई फर्क नहीं पड़ता)। हम निरूपित करते हैं शेष भागएकीकृत

हम एक कॉलम में लिखते हैं:

पहले हम अंतर पाते हैं:

यहाँ हम विभेदन के नियम का उपयोग करते हैं जटिल कार्य . यह कोई संयोग नहीं है कि विषय के पहले पाठ में अनिश्चितकालीन अभिन्न। समाधान उदाहरणमैंने इस तथ्य पर ध्यान केंद्रित किया कि इंटीग्रल में महारत हासिल करने के लिए, आपको डेरिवेटिव पर "अपना हाथ" प्राप्त करने की आवश्यकता है। व्युत्पन्नों को एक से अधिक बार सामना करना पड़ेगा।

अब हम फ़ंक्शन ढूंढते हैं, इसके लिए हम एकीकृत करते हैं दाईं ओरकम समानता:

एकीकरण के लिए, हमने सबसे सरल सारणीबद्ध सूत्र लागू किया

अब आप फॉर्मूला लागू करने के लिए तैयार हैं . हम इसे "तारांकन" और "डिज़ाइन" के अनुसार समाधान के साथ खोलते हैं दाईं ओर :

इंटीग्रल के तहत, हमारे पास फिर से लॉगरिदम पर एक बहुपद है! इसलिए, समाधान फिर से बाधित होता है और भागों द्वारा एकीकरण का नियम दूसरी बार लागू होता है। यह मत भूलो कि समान स्थितियों में लॉगरिदम को हमेशा निरूपित किया जाता है।

अच्छा होगा अगर वर्तमान क्षणआप मौखिक रूप से सबसे सरल समाकलन और व्युत्पन्न पा सकते हैं।

(1) संकेतों में भ्रमित न हों! बहुत बार यहां एक माइनस खो जाता है, यह भी ध्यान दें कि माइनस लागू होता है सेवा में, सभी ग्ब्रैकेट , और इन कोष्ठकों को सही ढंग से खोलने की आवश्यकता है।

(2) कोष्ठक का विस्तार करें। हम अंतिम अभिन्न को सरल बनाते हैं।

(3) हम अंतिम अभिन्न लेते हैं।

(4) उत्तर "कंघी करना"।

दो बार (या तीन बार भी) भागों द्वारा एकीकरण के नियम को लागू करने की आवश्यकता असामान्य नहीं है।

और अब इसके लिए कुछ उदाहरण स्वतंत्र निर्णय:

उदाहरण 3

अनिश्चितकालीन अभिन्न का पता लगाएं।

इस उदाहरण को परिवर्तनीय विधि के परिवर्तन (या अंतर चिह्न के तहत शामिल) द्वारा हल किया जाता है! और क्यों नहीं - आप इसे भागों में लेने की कोशिश कर सकते हैं, आपको एक मज़ेदार चीज़ मिलती है।

उदाहरण 4

अनिश्चितकालीन अभिन्न का पता लगाएं।

लेकिन यह अभिन्न भागों (वादा किया गया अंश) द्वारा एकीकृत है।

पाठ के अंत में आत्म-समाधान, समाधान और उत्तरों के लिए ये उदाहरण हैं।

ऐसा लगता है कि उदाहरणों में 3,4 इंटीग्रेंड समान हैं, लेकिन समाधान के तरीके अलग हैं! इंटीग्रल में महारत हासिल करने में यह मुख्य कठिनाई है - यदि आप इंटीग्रल को हल करने के लिए गलत तरीका चुनते हैं, तो आप इसके साथ घंटों तक फील कर सकते हैं, जैसे कि एक वास्तविक पहेली के साथ। इसलिए, जितना अधिक आप विभिन्न इंटीग्रल को हल करेंगे, उतना ही बेहतर होगा, परीक्षा और परीक्षा उतनी ही आसान होगी। इसके अलावा, दूसरे वर्ष में होगा विभेदक समीकरण, और इंटीग्रल्स और डेरिवेटिव्स को हल करने के अनुभव के बिना वहां करने के लिए कुछ भी नहीं है।

लघुगणक द्वारा, शायद पर्याप्त से अधिक। नाश्ते के लिए, मुझे अभी भी याद है कि तकनीकी छात्र क्या लॉगरिदम कहते हैं महिला स्तन=)। वैसे, मुख्य के ग्राफिक्स को दिल से जानना उपयोगी है प्राथमिक कार्य: साइन, कोसाइन, चाप स्पर्शरेखा, घातांक, तीसरी, चौथी डिग्री के बहुपद, आदि। नहीं, बिल्कुल, ग्लोब पर एक कंडोम
मैं नहीं खींचूंगा, लेकिन अब आपको अनुभाग से बहुत कुछ याद होगा रेखांकन और कार्य =).

बहुपद से गुणा किए गए घातांक के समाकलन

सामान्य नियम:

उदाहरण 5

अनिश्चितकालीन अभिन्न का पता लगाएं।

एक परिचित एल्गोरिथ्म का उपयोग करते हुए, हम भागों द्वारा एकीकृत करते हैं:

यदि आपको इंटीग्रल से कोई कठिनाई है, तो आपको लेख पर लौटना चाहिए अनिश्चित समाकल में परिवर्तनीय परिवर्तन विधि.

करने के लिए केवल दूसरी चीज उत्तर को "कंघी" करना है:

लेकिन अगर आपकी गणना तकनीक बहुत अच्छी नहीं है, तो सबसे लाभदायक विकल्प को उत्तर के रूप में छोड़ दें। या और भी

यही है, उदाहरण को हल माना जाता है जब अंतिम अभिन्न लिया जाता है। यह कोई गलती नहीं होगी, यह दूसरी बात है कि शिक्षक उत्तर को सरल बनाने के लिए कह सकता है।

उदाहरण 6

अनिश्चितकालीन अभिन्न का पता लगाएं।

यह स्वयं का उदाहरण है। यह अभिन्न दो बार भागों से एकीकृत होता है। विशेष ध्यानआपको संकेतों पर ध्यान देना चाहिए - उनमें भ्रमित होना आसान है, हमें यह भी याद है - एक जटिल कार्य।

प्रदर्शक के बारे में कहने के लिए और कुछ नहीं है। मैं केवल यह जोड़ सकता हूं कि प्रदर्शक और प्राकृतिक पारस्परिक कार्य, यह मैं मनोरंजक रेखांकन के विषय पर हूँ उच्च गणित=) रुको, रुको, चिंता मत करो, व्याख्याता शांत है।

त्रिकोणमितीय फलनों के समाकल को बहुपद से गुणा किया जाता है

सामान्य नियम: हमेशा बहुपद के लिए खड़ा है

उदाहरण 7

अनिश्चितकालीन अभिन्न का पता लगाएं।

भागों द्वारा एकीकृत करना:

हम्म ... और टिप्पणी करने के लिए कुछ भी नहीं।

उदाहरण 8

अनिश्चितकालीन अभिन्न का पता लगाएं

यह स्वयं करें समाधान के लिए एक उदाहरण है

उदाहरण 9

अनिश्चितकालीन अभिन्न का पता लगाएं

अंश के साथ एक और उदाहरण। जैसा कि पिछले दो उदाहरणों में है, एक बहुपद को किसके द्वारा निरूपित किया जाता है।

भागों द्वारा एकीकृत करना:

यदि आपको अभिन्न खोजने में कोई कठिनाई या गलतफहमी है, तो मैं पाठ में भाग लेने की सलाह देता हूं त्रिकोणमितीय कार्यों के समाकलन.

उदाहरण 10

अनिश्चितकालीन अभिन्न का पता लगाएं

यह स्वयं का उदाहरण है।

संकेत: भागों विधि द्वारा एकीकरण का उपयोग करने से पहले, आपको कुछ त्रिकोणमितीय सूत्र लागू करना चाहिए जो दो त्रिकोणमितीय कार्यों के उत्पाद को एक फ़ंक्शन में बदल देता है। सूत्र का उपयोग उन भागों द्वारा एकीकरण की विधि को लागू करने के दौरान भी किया जा सकता है, जिनके लिए यह अधिक सुविधाजनक है।

शायद यही सब इस पैराग्राफ में है। किसी कारण से, मुझे भौतिकी और गणित विभाग के गान की एक पंक्ति याद आ गई "और साइन ग्राफ तरंग के बाद तरंग एब्सिस्सा अक्ष के साथ चलती है" ....

व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्यों के समाकलन।
प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के समाकल को एक बहुपद से गुणा किया जाता है

सामान्य नियम: हमेशा व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन के लिए खड़ा होता है.

मैं आपको याद दिलाता हूं कि वापस त्रिकोणमितीय फलनआर्क्साइन, आर्ककोसाइन, आर्कटिक और आर्ककोटैंजेंट शामिल हैं। संक्षिप्तता के लिए, मैं उन्हें "मेहराब" कहूंगा

भागों द्वारा एकीकरण क्या है? इस तरह के एकीकरण में महारत हासिल करने के लिए, आइए पहले उत्पाद के व्युत्पन्न को याद करें:

$((\बाएं(f\cdot g \right))^(\prime ))=(f)"\cdot g+f\cdot (g)"$

सवाल यह है: ठीक है, इंटीग्रल का इससे क्या लेना-देना है? आइए अब इस समीकरण के दोनों पक्षों को एकीकृत करें। तो चलिए लिखते हैं:

$\int(((\बाएं(f\cdot g \right))^(\prime ))\text(d)x=)\int((f)"\cdot g\,\text(d)x+\ int(f\cdot(g)"\,\text(d)x))$

लेकिन स्ट्रोक का आदिम क्या है? यह सिर्फ फंक्शन ही है, जो स्ट्रोक के अंदर होता है। तो चलिए लिखते हैं:

$f\cdot g=\int((f)"\cdot g\,\text(d)x+\int(f\cdot (g)"\,\text(d)x))$

इस समीकरण में, मैं इस शब्द को व्यक्त करने का प्रस्ताव करता हूं। हमारे पास है:

$\int((f)"\cdot g\,\text(d)x=f\cdot g-\int(f\cdot (g)"\,\text(d)x))$

यह वही है भागों द्वारा एकीकरण का सूत्र. इसलिए हम अनिवार्य रूप से व्युत्पन्न और फ़ंक्शन की अदला-बदली कर रहे हैं। यदि शुरू में हमारे पास स्ट्रोक का अभिन्न अंग था, किसी चीज से गुणा किया गया था, तो हमें स्ट्रोक से गुणा करके नई चीज का अभिन्न अंग मिलता है। वह सब नियम है। पहली नज़र में, यह सूत्र जटिल और अर्थहीन लग सकता है, लेकिन वास्तव में, यह गणनाओं को बहुत सरल कर सकता है। आइए देखते हैं।

इंटीग्रल की गणना के उदाहरण

कार्य 1. गणना करें:

\[\int(\ln x\,\text(d)x)\]\[\]

आइए लघुगणक के सामने 1 जोड़कर व्यंजक को फिर से लिखें:

\[\int(\ln x\,\text(d)x)=\int(1\cdot \ln x\,\text(d)x)\]

हमें ऐसा करने का अधिकार है क्योंकि न तो संख्या और न ही फलन बदलेगा। अब इस व्यंजक की तुलना सूत्र में हमने जो लिखा है उससे करते हैं। $(f)"$ की भूमिका 1 है, इसलिए हम लिखते हैं:

$\begin(align)& (f)"=1\Rightarrow f=x \\& g=\ln x\Rightarrow (g)"=\frac(1)(x) \\\end(align)$

ये सभी कार्य तालिकाओं में हैं। अब जब हमने अपनी अभिव्यक्ति में शामिल सभी तत्वों को लिख लिया है, तो हम इस इंटीग्रल को इंटीग्रेशन-बाय-पार्ट्स फॉर्मूले के अनुसार फिर से लिखेंगे:

\[\begin(align)& \int(1\cdot \ln x\,\text(d)x)=x\ln x-\int(x\cdot \frac(1)(x)\text(d) )x)=x\ln x-\int(\text(d)x)= \\& =x\ln x-x+C=x\left(\ln x-1 \right)+C \\\ अंत (संरेखित)\]

बस इतना ही, अभिन्न पाया जाता है।

कार्य 2. गणना करें:

$\int(x((\text(e))^(-x))\,\text(d)x=\int(x\cdot ((e)^(-x))\,\text(d) )x))$

यदि हम $x$ को व्युत्पन्न के रूप में लेते हैं, जिससे हमें अब एंटीडेरिवेटिव खोजने की आवश्यकता है, तो हमें $((x)^(2))$ मिलता है, और अंतिम अभिव्यक्ति में $((x)^(2)) होगा। ((\पाठ(ई))^(-x))$।

जाहिर है, कार्य सरल नहीं है, इसलिए हम अभिन्न संकेत के तहत कारकों की अदला-बदली करेंगे:

$\int(x\cdot ((\text(e))^(-x))\,\text(d)x)=\int(((\text(e))^(-x))\cdot एक्स\,\पाठ(डी)एक्स)$

आइए अब संकेतन का परिचय दें:

$(f)"=((\text(e))^(-x))\Rightarrow f=\int(((\text(e))^(-x))\,\text(d)x) =-((\text(e))^(-x))$

अंतर $((\text(e))^(-x))$:

$((\बाएं(((पाठ(ई))^(-x)) \दाएं))^(\प्राइम))=((\पाठ(ई))^(-x))\cdot ((\ लेफ्ट (-एक्स \राइट))^(\प्राइम))=-((\text(e))^(-x))$

दूसरे शब्दों में, पहले "माइनस" जोड़ा जाता है, और फिर दोनों पक्षों को एकीकृत किया जाता है:

\[\begin(align)& ((\ left(((\text(e))^(-x)) \right))^(\ prime ))=-((\text(e))^(- x))\Rightarrow ((\text(e))^(-x))=-((\left(((\text(e))^(-x)) \right))^(\prime )) \\& \int(((\text(e))^(-x))\,\text(d)x)=-\int(((\left(((\text(e)))^(- x)) \right))^(\prime ))\text(d)x)=-((\text(e))^(-x))+C \\\end(align)\]

अब $g$ फ़ंक्शन से निपटते हैं:

$g=x\Rightarrow (g)"=1$

हम अभिन्न मानते हैं:

$\begin(align)& \int(((\text(e))^(-x))\cdot x\,\text(d)x)=x\cdot \left(-((\text(e)) ))^(-x)) \right)-\int(\left(-((\text(e))^(-x)) \right)\cdot 1\cdot \text(d)x)= \ \& =-x((\text(e))^(-x))+\int(((\text(e))^(-x))\,\text(d)x)=-x( (\text(e))^(-x))-((\text(e))^(-x))+C=-((\text(e))^(-x))\left(x) +1 \दाएं)+सी \\\अंत (संरेखित करें)$

इसलिए, हमने भागों द्वारा दूसरा एकीकरण किया है।

कार्य 3. गणना करें:

$\int(x\cos 3x\,\text(d)x)$

इस मामले में, $(f)"$ के लिए क्या लिया जाना चाहिए, और $g$ के लिए क्या? यदि $x$ व्युत्पन्न के रूप में कार्य करता है, तो $\frac(((x)^(2)))(2 ) $, और पहला कारक कहीं भी गायब नहीं होगा - यह $\frac(((x)^(2)))(2)\cdot \cos 3x$ होगा। इसलिए, हम कारकों को फिर से स्वैप करेंगे:

$\begin(align)& \int(x\cos 3x\,\text(d)x)=\int(\cos 3x\cdot x\,\text(d)x) \\& (f)"= \cos 3x\Rightarrow f=\int(\cos 3x\,\text(d)x)=\frac(\sin 3x)(3) \\& g=x\Rightarrow (g)"=1 \\\ अंत (संरेखित)$

हम अपनी मूल अभिव्यक्ति को फिर से लिखते हैं और इसे भागों के सूत्र द्वारा एकीकरण के अनुसार विस्तारित करते हैं:

\[\begin(align)& \int(\cos 3x\cdot x\ \text(d)x)=\frac(\sin 3x)(3)\cdot x-\int(\frac(\sin 3x) (3)\text(d)x)= \\& =\frac(x\sin 3x)(3)-\frac(1)(3)\int(\sin 3x\,\text(d)x) =\frac(x\sin 3x)(3)+\frac(\cos 3x)(9)+C \\\end(align)\]

सब कुछ, तीसरा कार्य हल हो गया है।

अंत में, आइए फिर से देखें भागों द्वारा एकीकरण का सूत्र. हम कैसे चुनते हैं कि कौन सा कारक व्युत्पन्न होगा और कौन सा वास्तविक कार्य होगा? यहां केवल एक ही मानदंड है: जिस तत्व में हम अंतर करेंगे, उसे या तो एक "सुंदर" अभिव्यक्ति देनी चाहिए, जो तब कम हो जाएगी, या भेदभाव के दौरान पूरी तरह से गायब हो जाएगी। यह सबक खत्म हो गया है।

भागों द्वारा एकीकरण की विधि का उपयोग मुख्य रूप से तब किया जाता है जब इंटीग्रैंड में एक निश्चित प्रकार के दो कारकों का उत्पाद होता है। भागों द्वारा एकीकरण का सूत्र है:

यह किसी दिए गए अभिन्न की गणना को कम करना संभव बनाता है
अभिन्न की गणना के लिए
, जो दिए गए से सरल हो जाता है।

भागों द्वारा एकीकरण की विधि द्वारा परिकलित अधिकांश समाकलों को तीन समूहों में विभाजित किया जा सकता है:

1. फॉर्म के इंटीग्रल
,
,
, कहाँ पे
- बहुपद,
- संख्या शून्य के बराबर नहीं

इस मामले में, के माध्यम से बहुपद को निरूपित करें

.

2. फॉर्म के इंटीग्रल
,
,
,
,
, कहाँ पे
एक बहुपद है।

इस मामले में, के माध्यम से
नामित
, और बाकी इंटीग्रैंड के माध्यम से :

3. फॉर्म के इंटीग्रल
,
, कहाँ पे
- संख्याएं।

इस मामले में, के माध्यम से नामित
और दो बार एकीकरण-दर-भाग सूत्र लागू करें, जिसके परिणामस्वरूप मूल समाकलन पर वापस आ जाता है, जिसके बाद मूल समाकल को समानता से व्यक्त किया जाता है।

टिप्पणी: कुछ मामलों में, किसी दिए गए अभिन्न को खोजने के लिए, एकीकरण-दर-भाग सूत्र को कई बार लागू किया जाना चाहिए। साथ ही, भागों द्वारा एकीकरण की विधि को अन्य विधियों के साथ जोड़ा जाता है।

उदाहरण 26.

भागों द्वारा विधि द्वारा समाकलन ज्ञात कीजिए: a)
; बी)
.

समाधान।

बी)

3.1.4. भिन्नात्मक परिमेय कार्यों का एकीकरण

भिन्नात्मक-तर्कसंगत कार्य(परिमेय भिन्न) दो बहुपदों के अनुपात के बराबर एक फलन है:
, कहाँ पे
एक डिग्री बहुपद है
,
एक डिग्री बहुपद है .

परिमेय भिन्न कहलाता है सही, यदि अंश में बहुपद की घात हर में बहुपद की घात से कम है, अर्थात
अन्यथा (यदि
) एक परिमेय भिन्न कहलाता है गलत.

किसी भी अनुचित परिमेय भिन्न को बहुपद के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है
और बहुपद को विभाजित करने के नियम के अनुसार हर द्वारा अंश को विभाजित करके एक उचित परिमेय अंश:

,

कहाँ पे
विभाजन का पूर्णांक भाग है, एक उचित परिमेय भिन्न है,
- विभाजन के शेष।

फॉर्म के उचित तर्कसंगत अंश:

मैं। ;

द्वितीय.
;

III.
;

चतुर्थ।
,

कहाँ पे ,,
,
,,,
वास्तविक संख्याएं हैं और
(वे। वर्ग त्रिपदभाजक III और IV में कोई जड़ नहीं है - विवेचक नकारात्मक है) कहा जाता है सरलतम परिमेय भिन्नमैं, द्वितीय, तृतीय और चतुर्थ प्रकार.

साधारण भिन्नों का एकीकरण

चार प्रकार के सरलतम भिन्नों के समाकलनों की गणना निम्न प्रकार से की जाती है।

मैं)
.

द्वितीय),
.

III) एकीकरण के लिए सबसे सरल अंशहर में टाइप III एक पूर्ण वर्ग आवंटित करें, एक प्रतिस्थापन करें
. प्रतिस्थापन के बाद के समाकल को दो समाकलनों में विभाजित किया गया है। पहले समाकलन की गणना अंश में हर के अवकलज को अलग करके की जाती है, जो एक सारणीबद्ध समाकल देता है, और दूसरा समाकल रूप में रूपांतरित हो जाता है
, इसलिये
, जो एक टेबल इंटीग्रल भी देता है।

;

IV) प्रकार IV के सरलतम अंश को एकीकृत करने के लिए, हर में एक पूर्ण वर्ग का चयन किया जाता है, एक प्रतिस्थापन किया जाता है
. प्रतिस्थापन के बाद के समाकल को दो समाकलनों में विभाजित किया गया है। पहले समाकलन की गणना प्रतिस्थापित करके की जाती है
, और दूसरा पुनरावृत्ति संबंधों की सहायता से।

उदाहरण 27.

साधारण भिन्नों के समाकल ज्ञात कीजिए:

एक)
; बी)
; में)
.

समाधान।

एक)
.

कोई भी उचित परिमेय भिन्न जिसका हर को गुणनखंडित किया जा सकता है, को साधारण भिन्नों के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है। साधारण भिन्नों के योग में विस्तार अनिश्चित गुणांकों की विधि द्वारा किया जाता है। यह इस प्रकार है:

फॉर्म के एक अंश से मेल खाती है ;

- हर के प्रत्येक गुणक
संबंधित राशि फॉर्म के अंश

फॉर्म के एक अंश से मेल खाती है
;

- हर के हर वर्ग गुणक के लिए
संबंधित राशि फॉर्म के अंश

जहां अपरिभाषित गुणांक हैं।

अनिश्चित गुणांक खोजने के लिए, साधारण भिन्नों के योग के रूप में दाईं ओर को एक सामान्य हर में घटाया जाता है और परिवर्तित किया जाता है। परिणाम समीकरण के बाईं ओर समान भाजक के साथ एक अंश है। फिर हरों को त्यागें और अंशों की बराबरी करें। परिणाम एक पहचान समानता है जिसमें बाईं ओर ज्ञात गुणांक के साथ एक बहुपद है, और दायां पक्ष अनिश्चित गुणांक वाला बहुपद है।

अज्ञात गुणांक निर्धारित करने के दो तरीके हैं: अनिश्चित गुणांक की विधि और आंशिक मूल्यों की विधि।

अनिश्चित गुणांक की विधि।

इसलिये बहुपद समान रूप से समान होते हैं, तो गुणांक समान शक्तियों पर समान होते हैं . समान घातों पर गुणांकों की बराबरी करना बाएँ और दाएँ भागों के बहुपदों में, हम निकाय प्राप्त करते हैं रेखीय समीकरण. सिस्टम को हल करते हुए, हम अनिश्चित गुणांक निर्धारित करते हैं।

आंशिक मूल्य विधि।

इसलिये बहुपद समान रूप से समान होते हैं, फिर, के स्थान पर प्रतिस्थापित करते हैं किसी भी संख्या के बाएँ और दाएँ पक्ष में, हमें सही समानता मिलती है, जो अज्ञात गुणांक के संबंध में रैखिक है। इतने सारे मूल्यों को प्रतिस्थापित करना , कितने अज्ञात गुणांक हैं, हमें रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली मिलती है। के बजाय किसी भी संख्या को बाएँ और दाएँ भागों में प्रतिस्थापित किया जा सकता है, हालाँकि, भिन्नों के हर के मूल को प्रतिस्थापित करना अधिक सुविधाजनक है।

अज्ञात गुणांकों के मूल्यों को खोजने के बाद, मूल अंश को समाकलन में सरलतम अंशों के योग के रूप में लिखा जाता है और प्रत्येक साधारण अंश पर पहले से माना गया एकीकरण किया जाता है।

एकीकरण योजना तर्कसंगत अंश:

1. यदि समाकलन गलत है, तो इसे एक बहुपद और एक उचित परिमेय भिन्न के योग के रूप में निरूपित करना आवश्यक है (अर्थात, अंश बहुपद को हर बहुपद से भाग देकर शेषफल दें)। यदि इंटीग्रैंड सही है, तो हम तुरंत योजना के दूसरे पैराग्राफ में जाते हैं।

2. यदि संभव हो तो एक उचित परिमेय भिन्न के हर का गुणनखंड करें।

3. अनिश्चित गुणांकों की विधि का उपयोग करके एक उचित परिमेय भिन्न को सरल परिमेय भिन्नों के योग में विघटित करें।

4. बहुपद और साधारण भिन्नों के परिणामी योग को एकीकृत करें।

उदाहरण 28.

परिमेय भिन्नों के समाकल ज्ञात कीजिए:

एक)
; बी)
; में)
.

समाधान।

एक)
.

इसलिये समाकलन एक अनुचित परिमेय भिन्न है, तो हम पूर्णांक भाग का चयन करते हैं, अर्थात्। इसे एक बहुपद और एक उचित परिमेय भिन्न के योग के रूप में निरूपित करें। अंश में बहुपद को हर में बहुपद से एक कोने से विभाजित करें।

मूल समाकलन रूप लेगा:
.

हम अनिश्चित गुणांक की विधि का उपयोग करके एक उचित परिमेय भिन्न को साधारण भिन्नों के योग में विस्तारित करते हैं:

, हम पाते हैं:

रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करते हुए, हम अनिश्चित गुणांक के मान प्राप्त करते हैं: लेकिन = 1; पर = 3.

तब वांछित विस्तार का रूप है:
.

=
.

बी)
.

.

हम हरों को त्याग देते हैं और बाएँ और दाएँ भागों की बराबरी करते हैं:

समान घातों पर गुणांकों की बराबरी करना , हमें सिस्टम मिलता है:

पांच रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने पर, हम अनिश्चित गुणांक पाते हैं:

.

आइए परिणामी विस्तार को ध्यान में रखते हुए मूल अभिन्न को खोजें:

.

में)
.

हम अनिश्चित गुणांकों की विधि का उपयोग करके समाकलन (उचित परिमेय भिन्न) को साधारण भिन्नों के योग में विस्तारित करते हैं। हम फॉर्म में एक अपघटन की तलाश कर रहे हैं:

.

एक सामान्य भाजक को कम करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

हम हरों को त्याग देते हैं और बाएँ और दाएँ भागों की बराबरी करते हैं:

अनिश्चित गुणांक ज्ञात करने के लिए हम आंशिक मानों की विधि का उपयोग करते हैं। चलो हम देते है आंशिक मान जिन पर कारक गायब हो जाते हैं, अर्थात, हम इन मानों को अंतिम अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करते हैं और तीन समीकरण प्राप्त करते हैं:

;
;

;
;

;
.

तब वांछित विस्तार का रूप है:

आइए परिणामी विस्तार को ध्यान में रखते हुए मूल अभिन्न को खोजें: