- यह एक सपाट आकृति है, जो केंद्र से समान दूरी पर स्थित बिंदुओं का एक समूह है। वे सभी समान दूरी पर हैं और एक वृत्त बनाते हैं।

एक रेखा खंड जो एक वृत्त के केंद्र को उसकी परिधि पर स्थित बिंदुओं से जोड़ता है, कहलाता है RADIUS. प्रत्येक वृत्त में, सभी त्रिज्याएँ एक दूसरे के बराबर होती हैं। एक वृत्त पर दो बिंदुओं को मिलाने और केंद्र से गुजरने वाली रेखा कहलाती है व्यास. एक वृत्त के क्षेत्रफल के लिए सूत्र का उपयोग करके गणना की जाती है गणितीय स्थिरांक- नंबर ..

यह दिलचस्प है : संख्या पीआई। एक वृत्त की परिधि और उसके व्यास की लंबाई का अनुपात है और एक स्थिर मान है। मान π = 3.1415926 का प्रयोग 1737 में एल. यूलर के कार्य के बाद किया गया था।

एक वृत्त के क्षेत्रफल की गणना स्थिरांक का उपयोग करके की जा सकती है। और वृत्त की त्रिज्या। त्रिज्या के संदर्भ में एक वृत्त के क्षेत्रफल का सूत्र इस प्रकार है:

त्रिज्या का उपयोग करके एक वृत्त के क्षेत्रफल की गणना के एक उदाहरण पर विचार करें। मान लीजिए कि R = 4 cm त्रिज्या वाला एक वृत्त दिया गया है, आइए आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करें।

हमारे सर्कल का क्षेत्रफल 50.24 वर्ग मीटर के बराबर होगा। सेमी।

एक सूत्र है व्यास के माध्यम से एक वृत्त का क्षेत्रफल. यह आवश्यक मापदंडों की गणना के लिए भी व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। इन सूत्रों का पता लगाने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है।

व्यास के माध्यम से एक वृत्त के क्षेत्रफल की गणना करने के एक उदाहरण पर विचार करें, इसकी त्रिज्या जानकर। मान लीजिए कि R = 4 cm त्रिज्या वाला एक वृत्त दिया गया है। पहले, आइए व्यास ज्ञात करें, जैसा कि आप जानते हैं, त्रिज्या का दोगुना है।


अब हम उपरोक्त सूत्र का उपयोग करके वृत्त के क्षेत्रफल की गणना के उदाहरण के लिए डेटा का उपयोग करते हैं:

जैसा कि आप देख सकते हैं, परिणामस्वरूप हमें पहली गणना के समान उत्तर मिलता है।

किसी वृत्त के क्षेत्रफल की गणना के लिए मानक सूत्रों का ज्ञान भविष्य में आसानी से निर्धारित करने में मदद करेगा क्षेत्र क्षेत्रऔर लुप्त मात्राओं को खोजना आसान है।

हम पहले से ही जानते हैं कि एक वृत्त के क्षेत्रफल के सूत्र की गणना स्थिर मान और वृत्त की त्रिज्या के वर्ग के गुणनफल से की जाती है। त्रिज्या को वृत्त की परिधि के रूप में व्यक्त किया जा सकता है और परिधि के संदर्भ में वृत्त के क्षेत्रफल के लिए सूत्र में व्यंजक को प्रतिस्थापित किया जा सकता है:
अब हम इस समानता को एक वृत्त के क्षेत्रफल की गणना के लिए सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं और परिधि के माध्यम से वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र प्राप्त करते हैं

परिधि के माध्यम से एक वृत्त के क्षेत्रफल की गणना के एक उदाहरण पर विचार करें। मान लीजिए कि एक वृत्त की लंबाई l = 8 सेमी है। आइए व्युत्पन्न सूत्र में मान को प्रतिस्थापित करें:

वृत्त का कुल क्षेत्रफल 5 वर्ग मीटर होगा। सेमी।

एक वर्ग के चारों ओर परिचालित एक वृत्त का क्षेत्रफल

एक वर्ग के चारों ओर घिरे वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात करना बहुत आसान है।

इसके लिए केवल वर्ग की भुजा और ज्ञान की आवश्यकता होती है सरल सूत्र. वर्ग का विकर्ण परिबद्ध वृत्त के विकर्ण के बराबर होगा। पक्ष को जानने के बाद, इसे पायथागॉरियन प्रमेय का उपयोग करके पाया जा सकता है: यहां से।
विकर्ण खोजने के बाद, हम त्रिज्या की गणना कर सकते हैं:।
और फिर हम एक वर्ग के चारों ओर घिरे वृत्त के क्षेत्रफल के लिए मूल सूत्र में सब कुछ प्रतिस्थापित करते हैं:

अनुदेश

वृत्त के ज्ञात क्षेत्र से त्रिज्या ज्ञात करने के लिए पाई का प्रयोग करें। यह स्थिरांक एक वृत्त के व्यास और उसकी सीमा (वृत्त) की लंबाई के बीच के अनुपात को निर्दिष्ट करता है। एक सर्कल की परिधि विमान का अधिकतम क्षेत्र है जिसे इसकी मदद से कवर करना संभव है, और व्यास दो त्रिज्या के बराबर है, इसलिए त्रिज्या वाला क्षेत्र भी एक दूसरे के साथ एक अनुपात के साथ सहसंबद्ध हो सकता है पाई के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। इस स्थिरांक (π) को वृत्त के क्षेत्रफल (S) और वर्ग त्रिज्या (r) के रूप में परिभाषित किया गया है। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि त्रिज्या को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है वर्गमूलक्षेत्र को पाई द्वारा विभाजित करने के भागफल से: r=√(S/π).

बहुत देर तकएरास्टोफेन ने सबसे प्रसिद्ध पुस्तकालय, अलेक्जेंड्रिया पुस्तकालय का नेतृत्व किया प्राचीन विश्व. इस तथ्य के अलावा कि उन्होंने हमारे ग्रह के आकार की गणना की, उन्होंने कई महत्वपूर्ण आविष्कार और खोजें कीं। अभाज्य संख्याओं को निर्धारित करने के लिए एक सरल विधि का आविष्कार किया, जिसे अब "एरास्टोथेनीज़ की चलनी" कहा जाता है।

उन्होंने "दुनिया का नक्शा" बनाया, जिसमें उन्होंने उस समय दुनिया के सभी हिस्सों को प्राचीन यूनानियों को दिखाया। नक्शा अपने समय के लिए सर्वश्रेष्ठ में से एक माना जाता था। उन्होंने देशांतर और अक्षांश की एक प्रणाली और एक कैलेंडर विकसित किया जिसमें लीप वर्ष शामिल थे। शस्त्रागार क्षेत्र का आविष्कार किया, एक यांत्रिक उपकरण जिसका उपयोग प्रारंभिक खगोलविदों द्वारा आकाश में तारों की स्पष्ट गति को प्रदर्शित करने और भविष्यवाणी करने के लिए किया जाता था। उन्होंने एक स्टार कैटलॉग भी संकलित किया, जिसमें 675 सितारे शामिल थे।

स्रोत:

• दुनिया में पहली बार साइरेन के यूनानी वैज्ञानिक एराटोस्थनीज ने पृथ्वी की त्रिज्या की गणना की
• एराटोस्थनीज "पृथ्वी की गणना" की परिधि
• एरेटोस्थेनेज

मंडलियों को अधिक सावधान दृष्टिकोण की आवश्यकता होती है और B5 कार्यों में बहुत कम आम हैं। साथ ही, सामान्य समाधान योजना बहुभुज के मामले की तुलना में और भी सरल है (पाठ "एक समन्वय ग्रिड पर बहुभुज क्षेत्र" देखें)।

ऐसे कार्यों में केवल वृत्त R की त्रिज्या ज्ञात करना आवश्यक है। फिर आप सूत्र S = R 2 का उपयोग करके वृत्त के क्षेत्रफल की गणना कर सकते हैं। इस सूत्र से यह भी पता चलता है कि समाधान के लिए R 2 खोजना पर्याप्त है।

संकेतित मूल्यों को खोजने के लिए, सर्कल पर ग्रिड लाइनों के चौराहे पर स्थित एक बिंदु को इंगित करना पर्याप्त है। और फिर पाइथागोरस प्रमेय का प्रयोग करें। विचार करना ठोस उदाहरणत्रिज्या गणना:

एक कार्य। आकृति में दिखाए गए तीन वृत्तों की त्रिज्याएँ ज्ञात कीजिए:

आइए प्रत्येक सर्कल में अतिरिक्त निर्माण करें:

प्रत्येक स्थिति में ग्रिड लाइनों के चौराहे पर स्थित होने के लिए वृत्त पर बिंदु B को चुना जाता है। वृत्त 1 और 3 में बिंदु C आकृति को तक पूरा करता है सही त्रिकोण. यह त्रिज्या खोजना बाकी है:

पहले वृत्त में त्रिभुज ABC पर विचार करें। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: R 2 \u003d AB 2 \u003d AC 2 + BC 2 \u003d 2 2 + 2 2 \u003d 8.

दूसरे सर्कल के लिए, सब कुछ स्पष्ट है: आर = एबी = 2।

तीसरा मामला पहले जैसा ही है। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार त्रिभुज ABC से: R 2 \u003d AB 2 \u003d AC 2 + BC 2 \u003d 1 2 + 2 2 \u003d 5.

अब हम जानते हैं कि किसी वृत्त की त्रिज्या (या कम से कम उसके वर्ग) का पता कैसे लगाया जाता है। इसलिए, हम क्षेत्र का पता लगा सकते हैं। ऐसे कार्य हैं जहां एक क्षेत्र के क्षेत्र को खोजने की आवश्यकता होती है, न कि संपूर्ण सर्कल। ऐसे मामलों में, यह पता लगाना आसान है कि यह क्षेत्र वृत्त का कौन सा भाग है, और इस प्रकार क्षेत्रफल ज्ञात करें।

एक कार्य। छायांकित त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल S ज्ञात कीजिए। अपने उत्तर में S/π को इंगित करें।

जाहिर है, सेक्टर सर्कल का एक चौथाई हिस्सा है। इसलिए, सर्कल का एस = 0.25 एस।

यह सर्कल के एस - सर्कल के क्षेत्र को खोजने के लिए बनी हुई है। ऐसा करने के लिए, हम एक अतिरिक्त निर्माण करेंगे:

त्रिभुज ABC एक समकोण त्रिभुज है। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, हमारे पास है: R 2 \u003d AB 2 \u003d AC 2 + BC 2 \u003d 2 2 + 2 2 \u003d 8।

अब हम वृत्त और त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात करते हैं: वृत्त का S = R 2 = 8π; एस = 0.25 एस सर्कल = 2π।

अंत में, वांछित मान S /π = 2 के बराबर है।

अज्ञात त्रिज्या वाला सेक्टर क्षेत्र

यह बिल्कुल नए प्रकार का कार्य है, 2010-2011 में ऐसा कुछ नहीं था। शर्त के अनुसार, हमें एक निश्चित क्षेत्र का एक वृत्त दिया जाता है (अर्थात् क्षेत्र, त्रिज्या नहीं!)। फिर, इस सर्कल के अंदर, एक सेक्टर आवंटित किया जाता है, जिसका क्षेत्रफल ज्ञात करना आवश्यक है।

अच्छी खबर यह है कि ये समस्याएं वर्ग की सभी समस्याओं में सबसे आसान हैं, जो गणित की परीक्षा में होती हैं। इसके अलावा, सर्कल और सेक्टर को हमेशा कोऑर्डिनेट ग्रिड पर रखा जाता है। इसलिए, इस तरह की समस्याओं को हल करने का तरीका जानने के लिए, चित्र पर एक नज़र डालें:

मान लीजिए कि मूल वृत्त का क्षेत्रफल S वृत्त का = 80 है। तब इसे क्षेत्र S = 40 प्रत्येक के दो त्रिज्यखंडों में विभाजित किया जा सकता है (चरण 2 देखें)। इसी तरह, इन "आधे" क्षेत्रों में से प्रत्येक को फिर से आधे में विभाजित किया जा सकता है - हमें क्षेत्र एस = 20 प्रत्येक के चार क्षेत्र मिलते हैं (चरण 3 देखें)। अंत में, आप इनमें से प्रत्येक सेक्टर को दो और में विभाजित कर सकते हैं - हमें 8 सेक्टर मिलते हैं - "छोटे टुकड़े"। इनमें से प्रत्येक "भाग" का क्षेत्रफल S = 10 होगा।

कृपया ध्यान दें: गणित में किसी भी USE कार्य में कोई छोटा विभाजन नहीं है! इस प्रकार, समस्या B-3 को हल करने के लिए एल्गोरिथ्म इस प्रकार है:

1. मूल सर्कल को 8 सेक्टरों में काटें - "टुकड़े"। उनमें से प्रत्येक का क्षेत्रफल संपूर्ण वृत्त के क्षेत्रफल का ठीक 1/8 है। उदाहरण के लिए, यदि शर्त के अनुसार वृत्त का क्षेत्रफल वृत्त का S = 240 है, तो "गांठ" का क्षेत्रफल S = 240: 8 = 30 है;
2. पता लगाएं कि मूल क्षेत्र में कितने "गांठ" फिट हैं, जिसका क्षेत्र आप खोजना चाहते हैं। उदाहरण के लिए, यदि हमारे क्षेत्र में 30 के क्षेत्रफल के साथ 3 "गांठ" हैं, तो वांछित क्षेत्र का क्षेत्रफल S = 3 30 = 90 है। यह उत्तर होगा।

बस इतना ही! समस्या को व्यावहारिक रूप से मौखिक रूप से हल किया जाता है। अगर आपको अभी भी कुछ समझ में नहीं आ रहा है, तो एक पिज्जा खरीदें और उसके 8 टुकड़े कर लें। ऐसा प्रत्येक टुकड़ा एक ही सेक्टर होगा - "चंक" जिसे बड़े टुकड़ों में जोड़ा जा सकता है।

और अब आइए परीक्षण परीक्षा के उदाहरण देखें:

एक कार्य। चेकर पेपर पर 40 के क्षेत्रफल वाला एक वृत्त खींचा गया है छायांकित आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

तो, वृत्त का क्षेत्रफल 40 है। इसे 8 सेक्टरों में विभाजित करें - प्रत्येक का क्षेत्रफल S = 40: 5 = 8 है। हमें मिलता है:

जाहिर है, छायांकित क्षेत्र में ठीक दो "छोटे" क्षेत्र होते हैं। इसलिए, इसका क्षेत्रफल 2 5 = 10 है। यही संपूर्ण हल है!

एक कार्य। चेकर पेपर पर 64 क्षेत्रफल वाला एक वृत्त खींचा गया है छायांकित आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

फिर से, पूरे वृत्त को 8 समान त्रिज्यखंडों में विभाजित करें। जाहिर है, उनमें से एक का क्षेत्र बस खोजने की जरूरत है। अतः इसका क्षेत्रफल S = 64: 8 = 8 है।

एक कार्य। चेकर पेपर पर 48 क्षेत्रफल वाला एक वृत्त खींचा गया है छायांकित आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

फिर से, वृत्त को 8 समान त्रिज्यखंडों में विभाजित करें। उनमें से प्रत्येक का क्षेत्रफल एस = 48: 8 = 6 के बराबर है। ठीक तीन क्षेत्र- "छोटे" वांछित क्षेत्र में रखे गए हैं (आंकड़ा देखें)। अतः वांछित त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल 3 6 = 18 है।

• व्यास की लंबाई - वृत्त के केंद्र से गुजरने वाला एक खंड और वृत्त के दो विपरीत बिंदुओं को जोड़ता है, या त्रिज्या - एक खंड, जिसमें से एक चरम बिंदु वृत्त के केंद्र में स्थित है, और दूसरा - वृत्त के चाप पर। तो व्यास लंबाई के बराबरत्रिज्या दो से गुणा।
• संख्या का मान। यह मान एक स्थिरांक है - एक अपरिमेय भिन्न जिसका कोई अंत नहीं है। हालांकि, यह आवधिक नहीं है। यह संख्या अनुपात को व्यक्त करती है परिधिइसकी त्रिज्या तक। स्कूल पाठ्यक्रम के कार्यों में एक सर्कल के क्षेत्र की गणना करने के लिए, के मान का उपयोग किया जाता है, जो निकटतम सौवें - 3.14 को दिया जाता है।

किसी वृत्त, उसके खंड या त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात करने के सूत्र

ज्यामितीय समस्या की स्थितियों की बारीकियों के आधार पर, दो एक वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात करने के सूत्र:

यह निर्धारित करने के लिए कि सर्कल के क्षेत्र को सबसे आसान तरीके से कैसे खोजा जाए, आपको कार्य की शर्तों का सावधानीपूर्वक विश्लेषण करने की आवश्यकता है।

स्कूल ज्यामिति पाठ्यक्रम में उन खंडों या क्षेत्रों के क्षेत्र की गणना करने के कार्य भी शामिल हैं जिनके लिए विशेष सूत्रों का उपयोग किया जाता है:

1. एक त्रिज्यखंड एक वृत्त से घिरा वृत्त का एक भाग है और केंद्र में स्थित शीर्ष के साथ एक कोण है। सेक्टर के क्षेत्रफल की गणना सूत्र द्वारा की जाती है: S = (π*r 2 /360)*А;
   • आर त्रिज्या है;
   • ए डिग्री में कोण है।
   • आर त्रिज्या है;
   • p चाप की लंबाई है।

एक दूसरा विकल्प भी है एस = 0.5 * पी * आर;

2. खंड - एक वृत्त (जीवा) और एक वृत्त के एक खंड से घिरा हुआ भाग है। इसका क्षेत्रफल सूत्र S \u003d (π * r 2 / 360) * A . द्वारा पाया जा सकता है ± एस ;

• आर त्रिज्या है;
• ए डिग्री में कोण मान है;
• S एक त्रिभुज का क्षेत्रफल है, जिसकी भुजाएँ त्रिज्याएँ और वृत्त की जीवा हैं; जबकि इसका एक शीर्ष वृत्त के केंद्र में स्थित है, और अन्य दो - वृत्त के चाप के जीवा के संपर्क के बिंदुओं पर। महत्वपूर्ण बिंदु- ऋण चिह्न लगाया जाता है यदि A का मान 180 डिग्री से कम है, और प्लस चिह्न - यदि यह 180 डिग्री से अधिक है।

एक ज्यामितीय समस्या के समाधान को सरल बनाने के लिए, कोई गणना कर सकता है सर्कल क्षेत्र ऑनलाइन. एक विशेष कार्यक्रम कुछ ही सेकंड में गणना जल्दी और सटीक रूप से करेगा। ऑनलाइन आंकड़ों के क्षेत्र की गणना कैसे करें? ऐसा करने के लिए, आपको ज्ञात प्रारंभिक डेटा दर्ज करना होगा: त्रिज्या, व्यास, कोण।

जैसा कि हम स्कूल के पाठ्यक्रम से जानते हैं, एक वृत्त को एक सपाट ज्यामितीय आकृति कहने की प्रथा है, जिसमें आकृति के केंद्र से समान दूरी पर कई बिंदु होते हैं। चूंकि वे सभी समान दूरी पर हैं, इसलिए वे एक वृत्त बनाते हैं।

सुविधाजनक लेख नेविगेशन:

सर्कल एरिया कैलकुलेटर