पूर्ण फ़ंक्शन अन्वेषण और प्लॉटिंग उदाहरण। फ़ंक्शन रिसर्च ऑनलाइन का पूरा उदाहरण

फ़ंक्शन के संपूर्ण अध्ययन और उसके ग्राफ़ को प्लॉट करने के लिए, निम्नलिखित योजना की अनुशंसा की जाती है:
ए) परिभाषा का क्षेत्र, विराम बिंदु खोजें; असंततता बिंदुओं के पास फ़ंक्शन के व्यवहार की जांच करें (इन बिंदुओं पर बाईं और दाईं ओर फ़ंक्शन की सीमाएं ढूंढें)। ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी निर्दिष्ट करें.
बी) फ़ंक्शन की समरूपता या विषमता निर्धारित करें और समरूपता की उपस्थिति के बारे में निष्कर्ष निकालें। यदि, तो फ़ंक्शन ओए अक्ष के संबंध में सम, सममित है; के लिए, फलन मूल के संबंध में विषम, सममित है; और यदि एक फ़ंक्शन है सामान्य रूप से देखें.
सी) समन्वय अक्ष ओए और ओएक्स (यदि संभव हो) के साथ फ़ंक्शन के प्रतिच्छेदन बिंदु ढूंढें, फ़ंक्शन के चिह्न के अंतराल निर्धारित करें। किसी फ़ंक्शन के चिह्न स्थिरता अंतराल की सीमाएं उन बिंदुओं द्वारा निर्धारित की जाती हैं जिन पर फ़ंक्शन शून्य के बराबर है (फ़ंक्शन के शून्य) या मौजूद नहीं है और इस फ़ंक्शन की परिभाषा के क्षेत्र की सीमाओं द्वारा निर्धारित की जाती है। अंतराल में जहां फ़ंक्शन का ग्राफ OX अक्ष के ऊपर स्थित है, और जहां - इस अक्ष के नीचे।
डी) फ़ंक्शन का पहला व्युत्पन्न ढूंढें, इसके शून्य और स्थिरता के अंतराल निर्धारित करें। अंतराल में जहां कार्य बढ़ता है और जहां घटता है। एक्स्ट्रेमा की उपस्थिति के बारे में निष्कर्ष निकालें (वे बिंदु जहां फ़ंक्शन और व्युत्पन्न मौजूद हैं और जहां से गुजरने पर यह संकेत बदलता है। यदि यह प्लस से माइनस में साइन बदलता है, तो इस बिंदु पर फ़ंक्शन का अधिकतम होता है, और यदि माइनस से प्लस होता है, तो न्यूनतम होता है)। चरम बिंदुओं पर फ़ंक्शन मान खोजें।
ई) दूसरा व्युत्पन्न, उसके शून्य और स्थिरता के अंतराल खोजें। अंतराल में जहां< 0 график функции выпуклый, а где – вогнутый. Сделать заключение о наличии точек перегиба и найти значения функции в этих точках.
ई) तिरछे (क्षैतिज) अनंतस्पर्शी खोजें जिनके समीकरणों का रूप है ; कहाँ
.
पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ में दो तिरछे अनंतस्पर्शी होंगे, और x का प्रत्येक मान b के दो मानों के अनुरूप हो सकता है।
जी) ग्राफ़ को परिष्कृत करने के लिए अतिरिक्त बिंदु ढूंढें (यदि आवश्यक हो) और एक ग्राफ़ बनाएं।

उदाहरण 1 फ़ंक्शन की जांच करें और उसका ग्राफ़ बनाएं। समाधान: ए) परिभाषा का क्षेत्र; फ़ंक्शन परिभाषा के क्षेत्र में निरंतर है; – ब्रेकिंग प्वाइंट, क्योंकि ; . फिर ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी है।
बी)
वे। y(x) एक सामान्य फलन है।
सी) हम ओए अक्ष के साथ ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदु पाते हैं: हम x=0 सेट करते हैं; फिर y(0)=–1, यानी फ़ंक्शन का ग्राफ़ अक्ष को बिंदु (0;-1) पर पार करता है। फ़ंक्शन के शून्य (OX अक्ष के साथ ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदु): हम मानते हैं y=0; तब
.
विभेदक द्विघात समीकरणशून्य से कम का अर्थ है कि कोई शून्य नहीं है। फिर स्थिरता के अंतराल की सीमा बिंदु x=1 है, जहां फ़ंक्शन मौजूद नहीं है।
प्रत्येक अंतराल में फ़ंक्शन का चिह्न आंशिक मानों की विधि द्वारा निर्धारित किया जाता है:

आरेख से यह देखा जा सकता है कि अंतराल में फ़ंक्शन का ग्राफ OX अक्ष के नीचे और OX अक्ष के ऊपर के अंतराल में स्थित है।
डी) हम महत्वपूर्ण बिंदुओं की उपस्थिति का पता लगाते हैं।
.
महत्वपूर्ण बिंदु (जहाँ मौजूद हैं या नहीं हैं) समानता और से पाए जाते हैं।

हमें मिलता है: x1=1, x2=0, x3=2. आइए एक सहायक तालिका बनाएँ

तालिका नंबर एक

(पहली पंक्ति में महत्वपूर्ण बिंदु और अंतराल शामिल हैं जिनमें ओएक्स अक्ष इन बिंदुओं को विभाजित करता है; दूसरी पंक्ति महत्वपूर्ण बिंदुओं पर व्युत्पन्न के मूल्यों और अंतराल पर संकेतों को इंगित करती है। संकेत आंशिक मूल्यों की विधि द्वारा निर्धारित किए जाते हैं। तीसरी पंक्ति महत्वपूर्ण बिंदुओं पर फ़ंक्शन y(x) के मूल्यों को इंगित करती है और फ़ंक्शन के व्यवहार को दर्शाती है - संख्यात्मक अक्ष के संबंधित अंतराल पर बढ़ रही है या घट रही है। इसके अतिरिक्त, न्यूनतम या अधिकतम की उपस्थिति का संकेत दिया गया है।
ई) फ़ंक्शन की उत्तलता और अवतलता के अंतराल का पता लगाएं।
; हम पैराग्राफ डी के अनुसार एक तालिका बनाते हैं); केवल दूसरी पंक्ति में हम संकेत लिखते हैं, और तीसरी में हम उभार के प्रकार को दर्शाते हैं। क्योंकि ; वह महत्वपूर्ण बिन्दूएक एक्स=1.
तालिका 2

बिंदु x=1 विभक्ति बिंदु है।
ई) तिरछे और क्षैतिज अनंतस्पर्शी खोजें

तब y=x एक तिरछा अनंतस्पर्शी है।
जी) प्राप्त आंकड़ों के अनुसार, हम फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ बनाते हैं

1). कार्य क्षेत्र.
जाहिर है, यह फ़ंक्शन "" और "" बिंदुओं को छोड़कर, संपूर्ण संख्या रेखा पर परिभाषित किया गया है इन बिंदुओं पर, हर शून्य के बराबर है और इसलिए, फ़ंक्शन मौजूद नहीं है, और रेखाएं ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी हैं।

2). फ़ंक्शन का व्यवहार जब तर्क अनंत की ओर जाता है, असंततता बिंदुओं का अस्तित्व और तिरछे अनंतस्पर्शी की जाँच करना।
आइए पहले देखें कि बाएं और दाएं अनंत तक पहुंचने पर फ़ंक्शन कैसा व्यवहार करता है।

इस प्रकार, पर, फलन 1 की ओर प्रवृत्त होता है, अर्थात्। क्षैतिज अनंतस्पर्शी है.
असंततता बिंदुओं के पड़ोस में, फ़ंक्शन का व्यवहार निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:


वे। बाईं ओर असंततता बिंदुओं के पास पहुंचने पर, फ़ंक्शन अनंत रूप से घटता है, जबकि दाईं ओर, यह अनंत रूप से बढ़ता है।
हम समानता पर विचार करके एक तिरछी अनंतस्पर्शी की उपस्थिति निर्धारित करते हैं:

कोई परोक्ष अनंतस्पर्शी नहीं हैं.

3). समन्वय अक्षों के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु।
यहां दो स्थितियों पर विचार करना आवश्यक है: ऑक्स अक्ष के साथ और ओए अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करना। x-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन का चिह्न फ़ंक्शन का शून्य मान है, अर्थात आपको समीकरण हल करना होगा:

इस समीकरण की कोई जड़ नहीं है, इसलिए, इस फ़ंक्शन के ग्राफ़ का ऑक्स अक्ष के साथ कोई प्रतिच्छेदन बिंदु नहीं है।
ओए अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन का चिह्न मान x = 0 है। इस मामले में
,
वे। - ओए अक्ष के साथ फ़ंक्शन ग्राफ़ का प्रतिच्छेदन बिंदु।

4).चरम बिंदुओं और वृद्धि और कमी के अंतराल का निर्धारण।
इस मुद्दे की जांच करने के लिए, हम पहले व्युत्पन्न को परिभाषित करते हैं:
.
हम पहले व्युत्पन्न के मान को शून्य के बराबर करते हैं।
.
एक भिन्न तब शून्य होती है जब उसका अंश शून्य हो, अर्थात्। .
आइए फ़ंक्शन के बढ़ने और घटने के अंतराल निर्धारित करें।

इस प्रकार, फ़ंक्शन का एक चरम बिंदु होता है और दो बिंदुओं पर मौजूद नहीं होता है।
इस प्रकार, फलन अंतरालों पर बढ़ता है तथा तथा अंतरालों पर घटता है।

5). विभक्ति बिंदु और उत्तलता और अवतलता के क्षेत्र।
फ़ंक्शन के व्यवहार की यह विशेषता दूसरे व्युत्पन्न का उपयोग करके निर्धारित की जाती है। आइए सबसे पहले विभक्ति बिंदुओं की उपस्थिति निर्धारित करें। फ़ंक्शन का दूसरा व्युत्पन्न है

के लिए और फ़ंक्शन अवतल है;

के लिए और फ़ंक्शन उत्तल है।

6). किसी फ़ंक्शन का प्लॉट बनाना.
बिंदुओं में पाए गए मानों का उपयोग करके, हम फ़ंक्शन का एक योजनाबद्ध ग्राफ़ बनाते हैं:

समाधान
दिया गया फलन सामान्य रूप का एक गैर-आवधिक फलन है। इसका ग्राफ मूल बिंदु से होकर गुजरता है, क्योंकि।
परिभाषा का दायरा दिया गया कार्यऔर को छोड़कर, वेरिएबल के सभी मान हैं, जिस पर भिन्न का हर गायब हो जाता है।
इसलिए, बिंदु और फ़ंक्शन के ब्रेकप्वाइंट हैं।
क्योंकि ,

क्योंकि ,
, तो बिंदु दूसरे प्रकार का असंततता बिंदु है।
सीधी रेखाएँ और फ़ंक्शन के ग्राफ़ की ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी रेखाएँ हैं।
परोक्ष अनंतस्पर्शी समीकरण, जहां, .
पर ,
.
इस प्रकार, फ़ंक्शन के ग्राफ़ में एक अनंतस्पर्शी है।
आइए फ़ंक्शन के बढ़ने और घटने के अंतराल और चरम बिंदुओं का पता लगाएं।
.
फ़ंक्शन का पहला व्युत्पन्न at और, इसलिए, at और फ़ंक्शन बढ़ता है।
इसलिए, के लिए, फ़ंक्शन कम हो रहा है।
के लिए मौजूद नहीं है , .
, इसलिए, पर फ़ंक्शन का ग्राफ़ अवतल है.
पर , इसलिए, पर फ़ंक्शन का ग्राफ़ उत्तल है.

बिंदुओं से गुजरते समय, संकेत बदल जाता है। जब, फ़ंक्शन परिभाषित नहीं होता है, इसलिए, फ़ंक्शन के ग्राफ़ में एक विभक्ति बिंदु होता है।
आइए फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ बनाएं।

आज हम आपको हमारे साथ एक फ़ंक्शन ग्राफ़ का पता लगाने और प्लॉट करने के लिए आमंत्रित करते हैं। इस लेख का ध्यानपूर्वक अध्ययन करने के बाद आपको इस प्रकार के कार्य को पूरा करने के लिए अधिक समय तक पसीना नहीं बहाना पड़ेगा। किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ बनाना और उसका पता लगाना आसान नहीं है, काम बड़ा है, इसमें अधिकतम ध्यान देने और गणना की सटीकता की आवश्यकता होती है। सामग्री की धारणा को सुविधाजनक बनाने के लिए, हम धीरे-धीरे उसी फ़ंक्शन का अध्ययन करेंगे, अपने सभी कार्यों और गणनाओं की व्याख्या करेंगे। गणित की अद्भुत और आकर्षक दुनिया में आपका स्वागत है! जाना!

कार्यक्षेत्र

किसी फ़ंक्शन का अन्वेषण और प्लॉट करने के लिए, आपको कुछ परिभाषाएँ जानने की आवश्यकता है। फ़ंक्शन गणित में बुनियादी (बुनियादी) अवधारणाओं में से एक है। यह परिवर्तनों के साथ कई चर (दो, तीन या अधिक) के बीच निर्भरता को दर्शाता है। फ़ंक्शन सेट की निर्भरता को भी दर्शाता है।

कल्पना करें कि हमारे पास दो चर हैं जिनमें परिवर्तन की एक निश्चित सीमा है। तो, y, x का एक फ़ंक्शन है, बशर्ते कि दूसरे चर का प्रत्येक मान दूसरे के एक मान से मेल खाता हो। इस मामले में, चर y निर्भर है, और इसे एक फ़ंक्शन कहा जाता है। यह कहने की प्रथा है कि चर x और y इस निर्भरता की अधिक स्पष्टता के लिए हैं, फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ बनाया गया है। फ़ंक्शन ग्राफ़ क्या है? यह निर्देशांक तल पर बिंदुओं का एक सेट है, जहां x का प्रत्येक मान y के एक मान से मेल खाता है। ग्राफ़ अलग-अलग हो सकते हैं - एक सीधी रेखा, हाइपरबोला, पैराबोला, साइनसॉइड इत्यादि।

अन्वेषण के बिना एक फ़ंक्शन ग्राफ़ प्लॉट नहीं किया जा सकता है। आज हम सीखेंगे कि अनुसंधान कैसे करें और फ़ंक्शन ग्राफ़ कैसे बनाएं। पढ़ाई के दौरान नोट्स बनाना बहुत जरूरी है। इसलिए कार्य से निपटना बहुत आसान हो जाएगा। सबसे सुविधाजनक अध्ययन योजना:

1. कार्यक्षेत्र।
2. निरंतरता.
3. सम और विषम।
4. आवधिकता.
5. स्पर्शोन्मुख।
6. शून्य.
7. स्थिरता।
8. आरोही और अवरोही।
9. अति.
10. उत्तलता और अवतलता.

चलिए पहले बिंदु से शुरू करते हैं। आइए परिभाषा का क्षेत्र खोजें, यानी हमारा फ़ंक्शन किस अंतराल पर मौजूद है: y = 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36)। हमारे मामले में, फ़ंक्शन x के किसी भी मान के लिए मौजूद है, यानी परिभाषा का डोमेन R है। इसे xOR के रूप में लिखा जा सकता है।

निरंतरता

अब हम असंततता फलन का पता लगाने जा रहे हैं। गणित में, "निरंतरता" शब्द गति के नियमों के अध्ययन के परिणामस्वरूप सामने आया। अनंत क्या है? स्थान, समय, कुछ निर्भरताएं (एक उदाहरण गति समस्याओं में चर एस और टी की निर्भरता है), गर्म वस्तु का तापमान (पानी, फ्राइंग पैन, थर्मामीटर, और इसी तरह), एक सतत रेखा (यानी, जिसे शीट से पेंसिल उठाए बिना खींचा जा सकता है)।

एक ग्राफ़ निरंतर माना जाता है यदि वह किसी बिंदु पर टूटता नहीं है। सबसे ज्यादा अच्छे उदाहरणऐसा ग्राफ एक साइन तरंग है, जिसे आप इस अनुभाग में चित्र में देख सकते हैं। यदि कई शर्तें पूरी होती हैं तो फ़ंक्शन किसी बिंदु x0 पर निरंतर होता है:

• किसी फ़ंक्शन को किसी दिए गए बिंदु पर परिभाषित किया गया है;
• एक बिंदु पर दाएँ और बाएँ सीमाएँ बराबर हैं;
• सीमा बिंदु x0 पर फ़ंक्शन के मान के बराबर है।

यदि कम से कम एक शर्त पूरी नहीं होती है, तो फ़ंक्शन को तोड़ दिया जाता है। और जिन बिंदुओं पर फ़ंक्शन टूटता है उन्हें ब्रेक पॉइंट कहा जाता है। फ़ंक्शन का एक उदाहरण जो ग्राफ़िक रूप से प्रदर्शित होने पर "टूट" जाएगा: y=(x+4)/(x-3)। इसके अलावा, बिंदु x = 3 पर y मौजूद नहीं है (क्योंकि इसे शून्य से विभाजित करना असंभव है)।

जिस फ़ंक्शन का हम अध्ययन कर रहे हैं उसमें (y \u003d 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36)) सब कुछ सरल हो गया, क्योंकि ग्राफ़ निरंतर होगा।

और भी अजीब

अब समता के लिए फ़ंक्शन की जांच करें। आइए एक छोटे सिद्धांत से शुरुआत करें। एक सम फलन एक ऐसा फलन है जो चर x के किसी भी मान (मानों की सीमा से) के लिए शर्त f (-x) = f (x) को संतुष्ट करता है। उदाहरण हैं:

• मॉड्यूल x (ग्राफ़ जैकडॉ की तरह दिखता है, ग्राफ़ की पहली और दूसरी तिमाही का समद्विभाजक);
• x वर्ग (परवलय);
• कोसाइन x (कोसाइन तरंग)।

ध्यान दें कि ये सभी ग्राफ़ y-अक्ष के संबंध में देखने पर सममित हैं।

तो फिर विषम फलन किसे कहते हैं? ये वे फ़ंक्शन हैं जो शर्त को पूरा करते हैं: चर x के किसी भी मान के लिए f (-x) \u003d - f (x)। उदाहरण:

• अतिपरवलय;
• घन परवलय;
• साइनसॉइड;
• स्पर्शरेखा वगैरह.

कृपया ध्यान दें कि ये फ़ंक्शन बिंदु (0:0), यानी मूल बिंदु के बारे में सममित हैं। लेख के इस खंड में जो कहा गया था उसके आधार पर, एक सम और विषम फ़ंक्शन में गुण होना चाहिए: x परिभाषा सेट से संबंधित है और -x भी।

आइए समता के लिए फ़ंक्शन की जांच करें। हम देख सकते हैं कि वह किसी भी विवरण में फिट नहीं बैठती। इसलिए, हमारा कार्य न तो सम है और न ही विषम है।

स्पर्शोन्मुख

आइए एक परिभाषा से शुरू करें। अनंतस्पर्शी एक वक्र है जो ग्राफ़ के जितना संभव हो उतना करीब होता है, यानी किसी बिंदु से दूरी शून्य हो जाती है। अनंतस्पर्शी तीन प्रकार के होते हैं:

• ऊर्ध्वाधर, अर्थात, y अक्ष के समानांतर;
• क्षैतिज, अर्थात x-अक्ष के समानांतर;
• तिरछा.

जहां तक ​​पहले प्रकार की बात है, इन पंक्तियों को कुछ बिंदुओं पर देखा जाना चाहिए:

• अंतर;
• डोमेन का अंत.

हमारे मामले में, फलन सतत है, और परिभाषा का क्षेत्र R है। इसलिए, कोई लंबवत अनंतस्पर्शी नहीं हैं।

किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ में एक क्षैतिज अनंतस्पर्शी है, जो निम्नलिखित आवश्यकता को पूरा करता है: यदि x अनंत या माइनस अनंत की ओर जाता है, और सीमा एक निश्चित संख्या के बराबर है (उदाहरण के लिए, ए)। इस मामले में, y=a क्षैतिज अनन्तस्पर्शी है। जिस फ़ंक्शन का हम अध्ययन कर रहे हैं उसमें कोई क्षैतिज अनंतस्पर्शी नहीं हैं।

एक तिरछा अनंतस्पर्शी केवल तभी मौजूद होता है जब दो शर्तें पूरी होती हैं:

• lim(f(x))/x=k;
• lim f(x)-kx=b.

फिर इसे सूत्र द्वारा पाया जा सकता है: y=kx+b. फिर, हमारे मामले में कोई परोक्ष अनंतस्पर्शी नहीं हैं।

फ़ंक्शन शून्य

अगला चरण शून्य के लिए फ़ंक्शन के ग्राफ़ की जांच करना है। यह ध्यान रखना भी बहुत महत्वपूर्ण है कि किसी फ़ंक्शन के शून्य खोजने से जुड़ा कार्य न केवल फ़ंक्शन ग्राफ़ के अध्ययन और निर्माण में होता है, बल्कि एक स्वतंत्र कार्य के रूप में और असमानताओं को हल करने के तरीके के रूप में भी होता है। आपको ग्राफ़ पर किसी फ़ंक्शन के शून्य खोजने या गणितीय नोटेशन का उपयोग करने की आवश्यकता हो सकती है।

इन मानों को ढूंढने से आपको फ़ंक्शन को अधिक सटीक रूप से प्लॉट करने में मदद मिलेगी। अगर बोलना है सदा भाषा, तो फ़ंक्शन का शून्य वेरिएबल x का मान है, जिस पर y=0. यदि आप ग्राफ़ पर किसी फ़ंक्शन के शून्य की तलाश कर रहे हैं, तो आपको उन बिंदुओं पर ध्यान देना चाहिए जहां ग्राफ़ x-अक्ष के साथ प्रतिच्छेद करता है।

फ़ंक्शन के शून्य खोजने के लिए, आपको निम्नलिखित समीकरण को हल करना होगा: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)=0. आवश्यक गणना करने के बाद, हमें निम्नलिखित उत्तर मिलता है:

संकेत स्थिरता

किसी फ़ंक्शन (ग्राफ़िक्स) के अध्ययन और निर्माण में अगला चरण चिह्न स्थिरता के अंतराल का पता लगाना है। इसका मतलब यह है कि हमें यह निर्धारित करना होगा कि फ़ंक्शन किस अंतराल पर सकारात्मक मान लेता है, और किस अंतराल पर यह नकारात्मक मान लेता है। पिछले अनुभाग में पाए गए फ़ंक्शंस के शून्य हमें ऐसा करने में मदद करेंगे। इसलिए, हमें एक सीधी रेखा (ग्राफ़ से अलग) बनाने और उस पर फ़ंक्शन के शून्य को सबसे छोटे से सबसे बड़े तक सही क्रम में वितरित करने की आवश्यकता है। अब आपको यह निर्धारित करने की आवश्यकता है कि परिणामी अंतरालों में से किसमें "+" चिह्न है, और किसमें "-" है।

हमारे मामले में, फ़ंक्शन अंतराल पर सकारात्मक मान लेता है:

• 1 से 4 तक;
• 9 से अनंत तक.

नकारात्मक अर्थ:

• शून्य से अनंत तक 1 तक;
• 4 से 9 तक.

यह निर्धारित करना काफी आसान है। फ़ंक्शन में अंतराल से कोई भी संख्या रखें और देखें कि उत्तर कौन सा चिह्न है (शून्य या प्लस)।

कार्य आरोही और घटते हुए

किसी फ़ंक्शन का पता लगाने और निर्माण करने के लिए, हमें यह जानना होगा कि ग्राफ़ कहां बढ़ेगा (ओए पर ऊपर जाएगा), और कहां गिरेगा (वाई-अक्ष के साथ नीचे रेंगता हुआ)।

फ़ंक्शन केवल तभी बढ़ता है जब वेरिएबल x का बड़ा मान संगत होता है अधिक मूल्यवाई अर्थात्, x2, x1 से बड़ा है, और f(x2), f(x1) से बड़ा है। और हम घटते फलन (जितना अधिक x, उतना कम y) में एक पूरी तरह से विपरीत घटना देखते हैं। वृद्धि और कमी के अंतराल को निर्धारित करने के लिए, आपको निम्नलिखित खोजने की आवश्यकता है:

• दायरा (हमारे पास पहले से ही है);
• व्युत्पन्न (हमारे मामले में: 1/3(3x^2-28x+49);
• समीकरण 1/3(3x^2-28x+49)=0 को हल करें।

गणना के बाद, हमें परिणाम मिलता है:

हम पाते हैं: फ़ंक्शन माइनस इनफिनिटी से 7/3 और 7 से इनफिनिटी के अंतराल पर बढ़ता है, और 7/3 ​​से 7 के अंतराल पर घटता है।

चरम

जांचा गया फ़ंक्शन y=1/3(x^3-14x^2+49x-36) निरंतर है और चर x के किसी भी मान के लिए मौजूद है। चरम बिंदु इस फ़ंक्शन के अधिकतम और न्यूनतम को दर्शाता है। हमारे मामले में, ऐसा कोई नहीं है, जो निर्माण कार्य को बहुत सरल बनाता है। अन्यथा, वे व्युत्पन्न फ़ंक्शन का उपयोग करते हुए भी पाए जाते हैं। खोजने के बाद उन्हें चार्ट पर अंकित करना न भूलें।

उत्तलता और अवतलता

हम फ़ंक्शन y(x) का अध्ययन करना जारी रखते हैं। अब हमें इसकी उत्तलता और अवतलता की जाँच करने की आवश्यकता है। इन अवधारणाओं की परिभाषाओं को समझना काफी कठिन है, उदाहरणों के साथ हर चीज का विश्लेषण करना बेहतर है। परीक्षण के लिए: एक फ़ंक्शन उत्तल होता है यदि यह एक गैर-घटता हुआ फ़ंक्शन है। सहमत हूँ, यह समझ से बाहर है!

हमें दूसरे क्रम के फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजने की आवश्यकता है। हमें मिलता है: y=1/3(6x-28). अब बराबरी करो दाईं ओरशून्य करें और समीकरण को हल करें। उत्तर: x=14/3. हमने विभक्ति बिंदु ढूंढ लिया है, यानी वह स्थान जहां ग्राफ़ उत्तल से अवतल या इसके विपरीत में बदलता है। माइनस इनफिनिटी से 14/3 तक के अंतराल पर, फ़ंक्शन उत्तल होता है, और 14/3 से प्लस इनफिनिटी तक, यह अवतल होता है। यह भी ध्यान रखना बहुत जरूरी है कि चार्ट पर विभक्ति बिंदु चिकना और नरम होना चाहिए, नहीं तेज मोडउपस्थित नहीं होना चाहिए.

अतिरिक्त बिंदुओं की परिभाषा

हमारा कार्य फ़ंक्शन ग्राफ़ का पता लगाना और प्लॉट करना है। हमने अध्ययन पूरा कर लिया है, अब समारोह की रूपरेखा तैयार करना मुश्किल नहीं होगा। समन्वय तल पर वक्र या सीधी रेखा के अधिक सटीक और विस्तृत पुनरुत्पादन के लिए, आप कई सहायक बिंदु पा सकते हैं। उनकी गणना करना बहुत आसान है. उदाहरण के लिए, हम x=3 लेते हैं, परिणामी समीकरण को हल करते हैं और y=4 पाते हैं। या x=5 और y=-5 इत्यादि। आप उतने अतिरिक्त अंक ले सकते हैं जितने आपको बनाने की आवश्यकता है। उनमें से कम से कम 3-5 पाए जाते हैं।

अंकन

हमें फ़ंक्शन (x^3-14x^2+49x-36)*1/3=y की जांच करने की आवश्यकता है। गणना के दौरान सभी आवश्यक चिह्न निर्देशांक तल पर बनाए गए थे। बस एक ग्राफ बनाना बाकी है, यानी सभी बिंदुओं को एक-दूसरे से जोड़ना। बिंदुओं को जोड़ना सहज और सटीक है, यह कौशल का मामला है - थोड़ा अभ्यास और आपका शेड्यूल सही हो जाएगा।

अनुदेश

फ़ंक्शन का दायरा खोजें. उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन पाप (x) को -∞ से +∞ तक पूरे अंतराल पर परिभाषित किया गया है, और फ़ंक्शन 1/x को -∞ से +∞ तक परिभाषित किया गया है, बिंदु x = 0 को छोड़कर।

निरंतरता और विराम बिंदु के क्षेत्रों को परिभाषित करें। आमतौर पर कोई फ़ंक्शन उसी डोमेन में निरंतर होता है जहां उसे परिभाषित किया जाता है। असंततताओं का पता लगाने के लिए, आपको यह गणना करने की आवश्यकता है कि तर्क कब परिभाषा के क्षेत्र के अंदर अलग-अलग बिंदुओं पर पहुंचता है। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन 1/x x→0+ होने पर अनंत की ओर और x→0- होने पर माइनस अनंत की ओर प्रवृत्त होता है। इसका मतलब यह है कि बिंदु x = 0 पर इसमें दूसरे प्रकार का असंततता है।
यदि असंततता बिंदु पर सीमाएं परिमित हैं लेकिन समान नहीं हैं, तो यह पहली तरह की असंततता है। यदि वे समान हैं, तो फ़ंक्शन को निरंतर माना जाता है, हालांकि इसे एक अलग बिंदु पर परिभाषित नहीं किया गया है।

यदि कोई हो, तो लंबवत अनंतस्पर्शी खोजें। पिछले चरण की गणना आपको यहां मदद करेगी, क्योंकि ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी लगभग हमेशा दूसरे प्रकार के असंततता बिंदु पर होता है। हालाँकि, कभी-कभी यह अलग-अलग बिंदु नहीं होते हैं जिन्हें परिभाषा के क्षेत्र से बाहर रखा जाता है, बल्कि बिंदुओं के संपूर्ण अंतराल, और फिर ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी इन अंतरालों के किनारों पर स्थित हो सकते हैं।

जांचें कि क्या फ़ंक्शन में विशेष गुण हैं: सम, विषम और आवधिक।
फ़ंक्शन सम होगा यदि डोमेन f(x) = f(-x) में किसी x के लिए। उदाहरण के लिए, cos(x) और x^2 सम फलन हैं।

आवधिकता एक गुण है जो कहता है कि एक निश्चित संख्या T है जिसे आवर्त कहा जाता है, जो किसी भी x f(x) = f(x + T) के लिए है। उदाहरण के लिए, सभी प्रमुख त्रिकोणमितीय कार्य(साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा) - आवधिक।

अंक खोजें. ऐसा करने के लिए, दिए गए फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की गणना करें और उन x मानों को ढूंढें जहां यह गायब हो जाता है। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन f(x) = x^3 + 9x^2 -15 का व्युत्पन्न g(x) = 3x^2 + 18x है जो x = 0 और x = -6 पर गायब हो जाता है।

यह निर्धारित करने के लिए कि कौन से चरम बिंदु मैक्सिमा हैं और कौन से मिनिमा हैं, पाए गए शून्य में व्युत्पन्न के संकेतों में परिवर्तन का पता लगाएं। g(x) x = -6 पर प्लस से साइन बदलता है और x = 0 पर माइनस से प्लस में वापस आता है। इसलिए, फ़ंक्शन f(x) के पहले बिंदु पर न्यूनतम और दूसरे पर न्यूनतम है।

इस प्रकार, आपको एकरसता के क्षेत्र भी मिल गए हैं: f(x) अंतराल -∞;-6 पर एकरस रूप से बढ़ता है, -6;0 पर एकरस रूप से घटता है और 0;+∞ पर फिर से बढ़ता है।

दूसरा व्युत्पन्न ज्ञात कीजिए। इसकी जड़ें दिखाएंगी कि किसी दिए गए फ़ंक्शन का ग्राफ कहां उत्तल होगा, और कहां अवतल होगा। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन f(x) का दूसरा व्युत्पन्न h(x) = 6x + 18 होगा। यह x = -3 पर गायब हो जाता है, और इसका चिह्न माइनस से प्लस में बदल जाता है। इसलिए, इस बिंदु से पहले का ग्राफ़ f (x) उत्तल होगा, इसके बाद - अवतल, और यह बिंदु स्वयं एक विभक्ति बिंदु होगा।

किसी फ़ंक्शन में लंबवत वाले को छोड़कर अन्य अनंतस्पर्शी हो सकते हैं, लेकिन केवल तभी जब इसकी परिभाषा के डोमेन में शामिल हो। उन्हें खोजने के लिए, x→∞ या x→-∞ होने पर f(x) की सीमा की गणना करें। यदि यह परिमित है, तो आपको क्षैतिज अनंतस्पर्शी मिल गया है।

तिरछी अनंतस्पर्शी kx + b रूप की एक सीधी रेखा है। K ज्ञात करने के लिए, f(x)/x की सीमा x→∞ के रूप में परिकलित करें। समान x→∞ के साथ b - सीमा (f(x) – kx) खोजने के लिए।

गणना किए गए डेटा पर फ़ंक्शन को प्लॉट करें। यदि कोई हो, तो स्पर्शोन्मुख को लेबल करें। चरम बिंदुओं और उनमें फ़ंक्शन मानों को चिह्नित करें। ग्राफ़ की अधिक सटीकता के लिए, कई और मध्यवर्ती बिंदुओं पर फ़ंक्शन मानों की गणना करें। शोध पूरा हुआ.

डिफरेंशियल कैलकुलस का सबसे महत्वपूर्ण कार्यों में से एक विकास है सामान्य उदाहरणकार्यों के व्यवहार का अध्ययन.

यदि फ़ंक्शन y \u003d f (x) खंड पर निरंतर है, और इसका व्युत्पन्न अंतराल (ए, बी) पर सकारात्मक या 0 के बराबर है, तो y \u003d f (x) (f "(x) 0 से बढ़ता है)। ) 0)

वे अंतराल जिनमें फलन घटता या बढ़ता नहीं है, फलन की एकरसता के अंतराल कहलाते हैं। किसी फ़ंक्शन की एकरसता की प्रकृति केवल उसकी परिभाषा के क्षेत्र के उन बिंदुओं पर बदल सकती है, जहां पहले व्युत्पन्न का संकेत बदलता है। वे बिंदु जिन पर किसी फ़ंक्शन का पहला व्युत्पन्न गायब हो जाता है या टूट जाता है, महत्वपूर्ण बिंदु कहलाते हैं।

प्रमेय 1 (एक चरम के अस्तित्व के लिए पहली पर्याप्त शर्त)।

मान लें कि फ़ंक्शन y=f(x) को बिंदु x 0 पर परिभाषित किया गया है और एक पड़ोस δ>0 होने दिया गया है, ताकि फ़ंक्शन खंड पर निरंतर हो, अंतराल (x 0 -δ, x 0)u(x 0 , x 0 + δ) पर भिन्न हो, और इसका व्युत्पन्न इनमें से प्रत्येक अंतराल पर एक स्थिर चिह्न बनाए रखता है। फिर यदि x 0 -δ, x 0) और (x 0, x 0 + δ) पर अवकलज के चिह्न भिन्न हैं, तो x 0 एक चरम बिंदु है, और यदि वे मेल खाते हैं, तो x 0 एक चरम बिंदु नहीं है। इसके अलावा, यदि बिंदु x0 से गुजरते समय, व्युत्पन्न चिह्न प्लस से माइनस में बदलता है (f "(x)> 0 x 0 के बाईं ओर किया जाता है, तो x 0 अधिकतम बिंदु होता है; यदि व्युत्पन्न साइन माइनस से प्लस में बदलता है (f "(x) x 0 के दाईं ओर किया जाता है<0, то х 0 - точка минимума.

अधिकतम और न्यूनतम बिंदुओं को फ़ंक्शन के चरम बिंदु कहा जाता है, और फ़ंक्शन के मैक्सिमा और मिनिमा को इसके चरम मान कहा जाता है।

प्रमेय 2 (स्थानीय चरम के लिए आवश्यक मानदंड)।

यदि फ़ंक्शन y=f(x) का चरम वर्तमान x=x 0 पर है, तो या तो f'(x 0)=0 या f'(x 0) मौजूद नहीं है।
एक अवकलनीय फ़ंक्शन के चरम बिंदुओं पर, इसके ग्राफ़ की स्पर्श रेखा ऑक्स अक्ष के समानांतर होती है।

किसी चरम सीमा के लिए फ़ंक्शन का अध्ययन करने के लिए एल्गोरिदम:

1) फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें।
2) महत्वपूर्ण बिंदु खोजें, अर्थात। ऐसे बिंदु जहां फ़ंक्शन निरंतर है और व्युत्पन्न शून्य है या मौजूद नहीं है।
3) प्रत्येक बिंदु के पड़ोस पर विचार करें, और इस बिंदु के बाईं और दाईं ओर व्युत्पन्न के चिह्न की जांच करें।
4) चरम बिंदुओं के निर्देशांक निर्धारित करें, महत्वपूर्ण बिंदुओं के इस मान के लिए, इस फ़ंक्शन में स्थानापन्न करें। पर्याप्त चरम स्थितियों का उपयोग करके, उचित निष्कर्ष निकालें।

उदाहरण 18. फलन y=x 3 -9x 2 +24x की जाँच करें

समाधान।
1) y"=3x 2 -18x+24=3(x-2)(x-4).
2) अवकलज को शून्य के बराबर करने पर, हम x 1 =2, x 2 =4 पाते हैं। इस मामले में, व्युत्पन्न को हर जगह परिभाषित किया गया है; इसलिए, पाए गए दो बिंदुओं के अलावा, कोई अन्य महत्वपूर्ण बिंदु नहीं हैं।
3) व्युत्पन्न y "=3(x-2)(x-4) का चिह्न अंतराल के आधार पर बदलता है जैसा कि चित्र 1 में दिखाया गया है। बिंदु x=2 से गुजरने पर, व्युत्पन्न चिह्न प्लस से माइनस में बदल जाता है, और बिंदु x=4 से गुजरने पर माइनस से प्लस में बदल जाता है।
4) बिंदु x=2 पर, फ़ंक्शन का अधिकतम y अधिकतम =20 है, और बिंदु x=4 पर - न्यूनतम y न्यूनतम =16 है।

प्रमेय 3. (एक चरम के अस्तित्व के लिए दूसरी पर्याप्त शर्त)।

मान लीजिए f "(x 0) और f "" (x 0) बिंदु x 0 पर मौजूद हैं। फिर यदि f "" (x 0)> 0, तो x 0 न्यूनतम बिंदु है, और यदि f "" (x 0)<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

खंड पर, फ़ंक्शन y \u003d f (x) सबसे छोटे (कम से कम) या सबसे बड़े (अधिकतम) मान तक पहुंच सकता है या तो अंतराल (ए; बी) में स्थित फ़ंक्शन के महत्वपूर्ण बिंदुओं पर, या खंड के अंत में।

खंड पर निरंतर फ़ंक्शन y=f(x) का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान खोजने के लिए एल्गोरिदम:

1) f "(x) खोजें।
2) उन बिंदुओं को ढूंढें जिन पर f "(x) = 0 या f" (x) - मौजूद नहीं है, और उनमें से उन बिंदुओं का चयन करें जो खंड के अंदर स्थित हैं।
3) पैराग्राफ 2 में प्राप्त बिंदुओं के साथ-साथ खंड के सिरों पर फ़ंक्शन y=f(x) के मान की गणना करें और उनमें से सबसे बड़े और सबसे छोटे को चुनें: वे क्रमशः खंड पर फ़ंक्शन के सबसे बड़े (सबसे बड़े के लिए) और सबसे छोटे (सबसे छोटे के लिए) मान हैं।

उदाहरण 19. खंड पर एक सतत फलन y=x 3 -3x 2 -45+225 का सबसे बड़ा मान ज्ञात कीजिए।

1) हमारे पास खंड पर y "=3x 2 -6x-45 है
2) व्युत्पन्न y" सभी x के लिए मौजूद है। आइए वे बिंदु खोजें जहां y"=0; हम पाते हैं:
3x2 -6x-45=0
x 2 -2x-15=0
x 1 = -3; x2=5
3) x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63 बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मान की गणना करें
केवल बिंदु x=5 खंड से संबंधित है। फ़ंक्शन के पाए गए मानों में सबसे बड़ा 225 है, और सबसे छोटी संख्या 50 है। तो, अधिकतम = 225 पर, अधिकतम = 50 पर।

उत्तलता पर किसी फ़ंक्शन की जांच

यह चित्र दो कार्यों के ग्राफ़ दिखाता है। उनमें से पहला एक उभार के साथ मुड़ा हुआ है, दूसरा - एक उभार के साथ नीचे की ओर।

फ़ंक्शन y=f(x) खंड पर निरंतर है और अंतराल (a;b) में भिन्न है, इस खंड पर उत्तल ऊपर (नीचे) कहा जाता है, यदि axb के लिए इसका ग्राफ किसी बिंदु M 0 (x 0 ;f(x 0)) पर खींची गई स्पर्शरेखा से अधिक नहीं (कम नहीं) है, जहां axb।

प्रमेय 4. मान लें कि फ़ंक्शन y=f(x) का खंड के किसी भी आंतरिक बिंदु x पर दूसरा व्युत्पन्न है और इस खंड के सिरों पर निरंतर है। फिर यदि असमानता f""(x)0 अंतराल (a;b) पर संतुष्ट है, तो फ़ंक्शन खंड पर नीचे की ओर उत्तल है; यदि असमानता f""(x)0 अंतराल (а;b) पर संतुष्ट है, तो फ़ंक्शन ऊपर की ओर उत्तल है।

प्रमेय 5. यदि फ़ंक्शन y=f(x) का अंतराल (a;b) पर दूसरा व्युत्पन्न है और यदि यह बिंदु x 0 से गुजरने पर संकेत बदलता है, तो M(x 0 ;f(x 0)) एक विभक्ति बिंदु है।

विभक्ति बिंदु ज्ञात करने का नियम:

1) ऐसे बिंदु खोजें जहां f""(x) मौजूद नहीं है या गायब हो जाता है।
2) पहले चरण में पाए गए प्रत्येक बिंदु के बाईं और दाईं ओर f""(x) चिह्न की जांच करें।
3) प्रमेय 4 के आधार पर निष्कर्ष निकालें।

उदाहरण 20. फ़ंक्शन ग्राफ y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12 के चरम बिंदु और विभक्ति बिंदु खोजें।

हमारे पास f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2 है। जाहिर है, x 1 =0 के लिए f"(x)=0, x 2 =1। व्युत्पन्न, बिंदु x=0 से गुजरने पर, चिह्न को ऋण से प्लस में बदल देता है, और बिंदु x=1 से गुजरने पर, यह चिह्न नहीं बदलता है। इसका मतलब यह है कि x=0 न्यूनतम बिंदु है (y न्यूनतम =12), और बिंदु x=1 पर कोई चरम सीमा नहीं है। अगला, हम पाते हैं . दूसरा अवकलज x 1 =1, x 2 =1/3 बिंदुओं पर लुप्त हो जाता है। दूसरे व्युत्पन्न परिवर्तन के संकेत इस प्रकार हैं: किरण (-∞;) पर हमारे पास f""(x)>0 है, अंतराल (;1) पर हमारे पास f""(x) है<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. इसलिए, x= फ़ंक्शन ग्राफ़ का विभक्ति बिंदु है (उत्तलता से नीचे उत्तलता तक संक्रमण) और x=1 भी एक विभक्ति बिंदु है (उत्तलता से ऊपर उत्तलता तक संक्रमण)। यदि x=, तो y= ; यदि, तो x=1, y=13.

किसी ग्राफ़ का अनंतस्पर्शी पता लगाने के लिए एक एल्गोरिदम

I. यदि y=f(x) x → a के रूप में है, तो x=a लंबवत अनंतस्पर्शी है।
द्वितीय. यदि y=f(x) x → ∞ या x → -∞ के रूप में है तो y=A क्षैतिज अनन्तस्पर्शी है।
तृतीय. तिरछी अनंतस्पर्शी को खोजने के लिए, हम निम्नलिखित एल्गोरिदम का उपयोग करते हैं:
1) गणना करें. यदि सीमा मौजूद है और b के बराबर है, तो y=b क्षैतिज अनंतस्पर्शी है; यदि , तो दूसरे चरण पर जाएँ।
2) गणना करें. यदि यह सीमा मौजूद नहीं है, तो कोई अनंतस्पर्शी नहीं है; यदि यह मौजूद है और k के बराबर है, तो तीसरे चरण पर जाएँ।
3) गणना करें. यदि यह सीमा मौजूद नहीं है, तो कोई अनंतस्पर्शी नहीं है; यदि यह मौजूद है और b के बराबर है, तो चौथे चरण पर जाएँ।
4) तिरछी अनंतस्पर्शी y=kx+b का समीकरण लिखिए।

उदाहरण 21: किसी फ़ंक्शन के लिए एक अनंतस्पर्शी खोजें

1)
2)
3)
4) तिर्यक अनंतस्पर्शी समीकरण का रूप है

फ़ंक्शन के अध्ययन और उसके ग्राफ़ के निर्माण की योजना

I. फ़ंक्शन का डोमेन खोजें।
द्वितीय. निर्देशांक अक्षों के साथ फ़ंक्शन के ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदु खोजें।
तृतीय. स्पर्शोन्मुख खोजें।
चतुर्थ. संभावित चरम के बिंदु खोजें.
वी. महत्वपूर्ण बिंदु खोजें।
VI. सहायक ड्राइंग का उपयोग करके, पहले और दूसरे डेरिवेटिव के चिह्न की जांच करें। फ़ंक्शन के बढ़ने और घटने के क्षेत्र निर्धारित करें, ग्राफ़ की उत्तलता की दिशा, चरम बिंदु और विभक्ति बिंदु ज्ञात करें।
सातवीं. पैराग्राफ 1-6 में किए गए अध्ययन को ध्यान में रखते हुए एक ग्राफ बनाएं।

उदाहरण 22: उपरोक्त योजना के अनुसार एक फ़ंक्शन ग्राफ़ बनाएं

समाधान।
I. फ़ंक्शन का डोमेन x=1 को छोड़कर, सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है।
द्वितीय. चूँकि समीकरण x 2 +1=0 की वास्तविक जड़ें नहीं हैं, तो फ़ंक्शन के ग्राफ़ में ऑक्स अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु नहीं हैं, लेकिन ओए अक्ष को बिंदु (0; -1) पर प्रतिच्छेद करता है।
तृतीय. आइए हम स्पर्शोन्मुख के अस्तित्व के प्रश्न को स्पष्ट करें। हम असंततता बिंदु x=1 के निकट फ़ंक्शन के व्यवहार की जांच करते हैं। चूँकि x → -∞ के लिए y → ∞, x → 1+ के लिए y → +∞, तो रेखा x=1 फ़ंक्शन के ग्राफ़ का एक लंबवत अनंतस्पर्शी है।
यदि x → +∞(x → -∞), तो y → +∞(y → -∞); इसलिए, ग्राफ़ में कोई क्षैतिज अनंतस्पर्शी नहीं है। इसके अलावा, सीमाओं के अस्तित्व से

समीकरण x 2 -2x-1=0 को हल करने पर, हमें संभावित चरम के दो बिंदु मिलते हैं:
x 1 =1-√2 और x 2 =1+√2

V. महत्वपूर्ण बिंदुओं को खोजने के लिए, हम दूसरे व्युत्पन्न की गणना करते हैं:

चूँकि f""(x) लुप्त नहीं होता है, इसलिए कोई महत्वपूर्ण बिंदु नहीं हैं।
VI. हम पहले और दूसरे डेरिवेटिव के संकेत की जांच करते हैं। विचार किए जाने वाले संभावित चरम बिंदु: x 1 =1-√2 और x 2 =1+√2, फ़ंक्शन के अस्तित्व के क्षेत्र को अंतराल (-∞;1-√2),(1-√2;1+√2) और (1+√2;+∞) में विभाजित करें।

इनमें से प्रत्येक अंतराल में, व्युत्पन्न अपना चिह्न बरकरार रखता है: पहले में - प्लस, दूसरे में - माइनस, तीसरे में - प्लस। प्रथम अवकलज के चिह्नों का क्रम इस प्रकार लिखा जाएगा: +, -, +।
हम पाते हैं कि फ़ंक्शन (-∞;1-√2) पर बढ़ता है, (1-√2;1+√2) पर यह घटता है, और (1+√2;+∞) पर यह फिर से बढ़ता है। चरम बिंदु: अधिकतम x=1-√2 पर, इसके अलावा f(1-√2)=2-2√2 न्यूनतम x=1+√2 पर, इसके अलावा f(1+√2)=2+2√2। (-∞;1) पर ग्राफ़ ऊपर की ओर उत्तल है, और (1;+∞) पर - नीचे की ओर।
VII आइए प्राप्त मूल्यों की एक तालिका बनाएं

VIII प्राप्त आंकड़ों के आधार पर, हम फ़ंक्शन के ग्राफ़ का एक स्केच बनाते हैं