यदि आपका बच्चा किसी भी तरह से दशमलव को विभाजित करना नहीं सीख सकता है, तो यह उसे गणित में सक्षम नहीं मानने का कोई कारण नहीं है।

सबसे अधिक संभावना है, उसे समझ ही नहीं आया कि यह कैसे किया गया। बच्चे की मदद करना आवश्यक है और सबसे सरल, लगभग चंचल तरीके से, उसे भिन्नों और उनके साथ संक्रियाओं के बारे में बताएं। और इसके लिए हमें खुद कुछ याद रखना होगा.

जब गैर-पूर्णांक संख्याओं की बात आती है तो भिन्नात्मक अभिव्यक्तियों का उपयोग किया जाता है।यदि भिन्न एक से कम है, तो यह किसी चीज़ के एक भाग का वर्णन करता है, यदि यह अधिक है, तो कई पूर्ण भागों और दूसरे टुकड़े का वर्णन करता है। भिन्नों को 2 मानों द्वारा वर्णित किया जाता है: हर, जो बताता है कि संख्या कितने बराबर भागों में विभाजित है, और अंश, जो बताता है कि ऐसे कितने भागों से हमारा तात्पर्य है।

मान लीजिए कि आपने एक केक को 4 बराबर भागों में काटा और उनमें से 1 अपने पड़ोसियों को दिया। हर 4 होगा। और अंश इस पर निर्भर करता है कि हम क्या वर्णन करना चाहते हैं। यदि हम बात करें कि पड़ोसियों को कितना दिया गया, तो अंश 1 है, और यदि हम बात करें कि कितना बचा है, तो 3 है।

पाई उदाहरण में, हर 4 है, और अभिव्यक्ति "1 दिन - सप्ताह का 1/7" में - 7. किसी भी हर के साथ एक भिन्नात्मक अभिव्यक्ति है सामान्य अंश.

गणितज्ञ, हर किसी की तरह, अपने लिए जीवन को आसान बनाने का प्रयास करते हैं। इसीलिए दशमलव भिन्नों का आविष्कार हुआ। उनमें, हर 10 या 10 का गुणज (100, 1000, 10,000, आदि) होता है, और उन्हें इस प्रकार लिखा जाता है: संख्या के पूर्णांक घटक को अल्पविराम से भिन्नात्मक से अलग किया जाता है। उदाहरण के लिए, 5.1 5 पूर्णांक और 1 दसवां है, और 7.86 7 पूर्णांक और 86 सौवां है।

एक छोटा सा विषयांतर - अपने बच्चों के लिए नहीं, बल्कि अपने लिए। हमारे देश में भिन्नात्मक भाग को अल्पविराम से अलग करने की प्रथा है। विदेश में स्थापित परंपरा के अनुसार इसे बिंदी से अलग करने का रिवाज है। इसलिए, यदि आप किसी विदेशी पाठ में ऐसे मार्कअप का सामना करते हैं, तो आश्चर्यचकित न हों।

भिन्नों का विभाजन

प्रत्येक अंकगणितीय संक्रियासमान संख्याओं की अपनी विशेषताएँ होती हैं, लेकिन अब हम यह सीखने का प्रयास करेंगे कि दशमलव भिन्नों को कैसे विभाजित किया जाए। किसी भिन्न को इससे विभाजित करना संभव है प्राकृतिक संख्याया कोई अन्य अंश.

इस अंकगणितीय ऑपरेशन में महारत हासिल करना आसान बनाने के लिए, एक सरल बात याद रखना महत्वपूर्ण है।

अल्पविराम को संभालना सीखकर, आप पूर्णांकों के लिए समान विभाजन नियमों का उपयोग कर सकते हैं।

किसी भिन्न को किसी प्राकृतिक संख्या से विभाजित करने पर विचार करें। एक कॉलम में विभाजित करने की तकनीक आपको पहले कवर की गई सामग्री से पहले से ही पता होनी चाहिए। प्रक्रिया इसी तरह से की जाती है। लाभांश विभाजक द्वारा विभाज्य है। जैसे ही बारी अल्पविराम से पहले अंतिम चिह्न तक पहुँचती है, अल्पविराम को भी निजी में लगा दिया जाता है, और फिर विभाजन सामान्य तरीके से आगे बढ़ता है।

अर्थात्, अल्पविराम के विध्वंस के अलावा - सबसे सामान्य विभाजन, और अल्पविराम बहुत कठिन नहीं है।

भिन्न का भिन्न से विभाजन

ऐसे उदाहरण जिनमें आपको एक भिन्नात्मक मान को दूसरे भिन्नात्मक मान से विभाजित करने की आवश्यकता होती है, बहुत जटिल प्रतीत होते हैं। लेकिन वास्तव में, उनसे निपटना बिल्कुल भी मुश्किल नहीं है। एक दशमलवयदि आप भाजक में अल्पविराम से छुटकारा पा लें तो दूसरे से भाग देना बहुत आसान हो जाएगा।

इसे कैसे करना है? यदि आपको 90 पेंसिलों को 10 बक्सों में व्यवस्थित करना है, तो उनमें से प्रत्येक में कितनी पेंसिलें होंगी? 9. आइए दोनों संख्याओं को 10 से गुणा करें - 900 पेंसिलें और 100 बक्से। प्रत्येक में कितने? 9. दशमलव को विभाजित करते समय भी यही सिद्धांत लागू होता है।

भाजक अल्पविराम से पूरी तरह छुटकारा पा लेता है, जबकि भाजक अल्पविराम को दाईं ओर ले जाता है, जितने वर्ण पहले भाजक में थे। और फिर एक कॉलम में सामान्य विभाजन किया जाता है, जिसकी हमने ऊपर चर्चा की थी। उदाहरण के लिए:

25,6/6,4 = 256/64 = 4;

10,24/1,6 = 102,4/16 =6,4;

100,725/1,25 =10072,5/125 =80,58.

जब तक भाजक एक पूर्णांक न बन जाए तब तक लाभांश को 10 से गुणा करते रहना चाहिए। इसलिए, इसके दाईं ओर अतिरिक्त शून्य हो सकते हैं।

40,6/0,58 =4060/58=70.

उसमें कोी बुराई नहीं है। पेंसिल का उदाहरण याद रखें - यदि आप दोनों संख्याओं को समान मात्रा से बढ़ाते हैं तो उत्तर नहीं बदलता है। एक साधारण भिन्न को विभाजित करना अधिक कठिन होता है, खासकर यदि अंश और हर में कोई सामान्य गुणनखंड न हो।

इस संबंध में दशमलव को विभाजित करना अधिक सुविधाजनक है। यहां सबसे पेचीदा हिस्सा अल्पविराम रैपिंग ट्रिक है, लेकिन जैसा कि हमने देखा है, इसे करना आसान है। इसे अपने बच्चे तक पहुँचाने में सक्षम होकर, आप उसे दशमलव भिन्नों को विभाजित करना सिखाते हैं।

इस सरल नियम में महारत हासिल करने के बाद, आपका बेटा या आपकी बेटी गणित के पाठों में अधिक आत्मविश्वास महसूस करेंगे और, कौन जानता है, शायद वे इस विषय में रुचि लेंगे। गणितीय मानसिकता शायद ही कभी बचपन से ही प्रकट होती है, कभी-कभी आपको प्रोत्साहन, रुचि की आवश्यकता होती है।

अपने बच्चे को होमवर्क में मदद करके, आप न केवल शैक्षणिक प्रदर्शन में सुधार करेंगे, बल्कि उसकी रुचियों का दायरा भी बढ़ाएंगे, जिसके लिए वह समय के साथ आपका आभारी रहेगा।

आयत?

समाधान। चूँकि 2.88 डीएम2 = 288 सेमी2, और 0.8 डीएम = 8 सेमी, आयत की लंबाई 288:8 है, यानी 36 सेमी = 3.6 डीएम। हमें एक संख्या 3.6 इस प्रकार मिली कि 3.6 = 0.8 = 2.88। यह 2.88 का भागफल 0.8 से विभाजित है।

वे लिखते हैं: 2.88: 0.8 = 3.6.

उत्तर 3.6 डेसीमीटर को सेंटीमीटर में बदले बिना प्राप्त किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, भाजक 0.8 और लाभांश 2.88 को 10 से गुणा करें (अर्थात उनमें अल्पविराम को एक अंक दाईं ओर ले जाएं) और 28.8 को 8 से विभाजित करें। फिर से हमें मिलता है: 28.8: 8 = 3.6।

किसी संख्या को दशमलव भिन्न से विभाजित करने के लिए, आपको चाहिए:

1) भाज्य और भाजक में, अल्पविराम को दाहिनी ओर उतने अंकों तक ले जाएँ जितने भाजक में दशमलव बिंदु के बाद हों;
2) उसके बाद किसी प्राकृत संख्या से भाग करें।

उदाहरण 1 12.096 को 2.24 से विभाजित करें। लाभांश और भाजक में 2 अंकों के अल्पविराम को दाईं ओर ले जाएँ। हमें संख्याएँ 1209.6 और 224 मिलती हैं। चूँकि 1209.6: 224 = 5.4, तो 12.096: 2.24 = 5.4।

उदाहरण 2 4.5 को 0.125 से विभाजित करें। यहां भाज्य और भाजक में अल्पविराम 3 अंकों को दाईं ओर ले जाना आवश्यक है। चूंकि लाभांश में दशमलव बिंदु के बाद केवल एक अंक होता है, इसलिए हम इसमें दाईं ओर दो शून्य जोड़ देंगे। अल्पविराम हटाने के बाद, हमें मिलता है नंबर 4500 और 125. चूँकि 4500: 125 = 36, तो 4.5: 0.125 = 36।

उदाहरण 1 और 2 दिखाते हैं कि जब किसी संख्या को विभाजित किया जाता है अनुचित अंशयह संख्या घटती है या नहीं बदलती है, और जब सही दशमलव अंश से विभाजित किया जाता है, तो यह बढ़ जाती है: 12.096\u003e 5.4, और 4.5< 36.

2.467 को 0.01 से विभाजित करें। लाभांश और भाजक में अल्पविराम को 2 अंकों से दाईं ओर ले जाने पर, हम पाते हैं कि भागफल 246.7: 1 है, अर्थात 246.7 है।

इसलिए, और 2.467: 0.01 = 246.7। यहाँ से हमें नियम मिलता है:

दशमलव को 0.1 से विभाजित करने के लिए; 0.01; 0.001, इसमें अल्पविराम को दाईं ओर उतने अंकों से ले जाना आवश्यक है जितने भाजक में इकाई के सामने शून्य हों (अर्थात् 10, 100, 1000 से गुणा करें)।

यदि पर्याप्त संख्याएँ नहीं हैं, तो आपको पहले अंत में विशेषता देनी होगी अंशोंकुछ शून्य.

उदाहरण के लिए, 56.87: 0.0001 = 56.8700: 0.0001 = 568,700।

दशमलव भिन्न को विभाजित करने का नियम बनाइए: दशमलव भिन्न से; 0.1 से; 0.01; 0.001.
भाग को 0.01 से बदलने के लिए किस संख्या को गुणा किया जा सकता है?

1443. भागफल ज्ञात करें और गुणन द्वारा परीक्षण करें:

ए) 0.8: 0.5; बी) 3.51: 2.7; ग) 14.335: 0.61।

1444. भागफल ज्ञात करें और भाग द्वारा परीक्षण करें:

ए) 0.096: 0.12; बी) 0.126: 0.9; ग) 42.105: 3.5.

ए) 7.56: 0.6; छ) 6.944: 3.2; एम) 14.976: 0.72;
बी) 0.161: 0.7; ज) 0.0456: 3.8; ओ) 168.392: 5.6;
ग) 0.468: 0.09; i) 0.182: 1.3; एन) 24.576: 4.8;
घ) 0.00261: 0.03; जे) 131.67: 5.7; पी) 16.51: 1.27;
ई) 0.824: 0.8; के) 189.54: 0.78; ग) 46.08: 0.384;
ई) 10.5: 3.5; एम) 636: 0.12; टी) 22.256: 20.8.

1446. भाव लिखिए:

ए) 10 - 2.4x = 3.16; ई) 4.2पी - पी = 5.12;
बी) (वाई + 26.1) 2.3 = 70.84; च) 8.2t - 4.4t = 38.38;
सी) (जेड - 1.2): 0.6 = 21.1; जी) (10.49 - एस): 4.02 = 0.805;
घ) 3.5 मी + मी = 9.9; ज) 9k - 8.67k = 0.6699।

1460. दो टैंकों में 119.88 टन गैसोलीन था। पहले टैंक में दूसरे की तुलना में 1.7 गुना अधिक गैसोलीन था। प्रत्येक टैंक में कितना गैसोलीन था?

1461. तीन भूखंडों से 87.36 टन गोभी की कटाई की गई। वहीं, पहले खंड से 1.4 गुना और तीसरे खंड की तुलना में दूसरे खंड से 1.8 गुना अधिक संग्रह किया गया। प्रत्येक भूखंड से कितने टन गोभी की कटाई की गई?

1462. एक कंगारू जिराफ से 2.4 गुना छोटा है, और एक जिराफ कंगारू से 2.52 मीटर ऊंचा है। जिराफ की ऊंचाई कितनी है और कंगारू की ऊंचाई कितनी है?

1463. दो पैदल यात्री एक दूसरे से 4.6 किमी की दूरी पर थे। वे एक-दूसरे की ओर गए और 0.8 घंटे में मिले। प्रत्येक पैदल यात्री की गति ज्ञात कीजिए यदि उनमें से एक की गति दूसरे की गति से 1.3 गुना है।

1464. निम्नलिखित कार्य करें:

ए) (130.2 - 30.8): 2.8 - 21.84:
बी) 8.16: (1.32 + 3.48) - 0.345;
ग) 3.712: (7 - 3.8) + 1.3 (2.74 + 0.66);
घ) (3.4: 1.7 + 0.57: 1.9) 4.9 + 0.0825: 2.75;
ई) (4.44: 3.7 - 0.56: 2.8): 0.25 - 0.8;
च) 10.79: 8.3 0.7 - 0.46 3.15: 6.9।

1465. सामान्य भिन्न को दशमलव में बदलें और मान ज्ञात करें अभिव्यक्ति:

1466. मौखिक रूप से गणना करें:

ए) 25.5:5; बी) 9 0.2; ग) 0.3:2; घ) 6.7 - 2.3;
1,5: 3; 1 0,1; 2:5; 6- 0,02;
4,7: 10; 16 0,01; 17,17: 17; 3,08 + 0,2;
0,48: 4; 24 0,3; 25,5: 25; 2,54 + 0,06;
0,9:100; 0,5 26; 0,8:16; 8,2-2,2.

1467. कार्य खोजें:

ए) 0.1 0.1; घ) 0.4 0.4; छ) 0.7 0.001;
बी) 1.3 1.4; ई) 0.06 0.8; ज) 100 0.09;
ग) 0.3 0.4; च) 0.01 100; i) 0.3 0.3 0.3.

1468. खोजें: संख्या 30 में से 0.4; 0.5 संख्या 18; 0.1 संख्या 6.5; 2.5 संख्या 40; 0.12 संख्या 100; 1000 में से 0.01.

1469. a = 10 के साथ अभिव्यक्ति 5683.25a का क्या अर्थ है; 0.1; 0.01; 100; 0.001; 1000; 0.00001?

1470. सोचें कि कौन सी संख्याएँ सटीक हो सकती हैं, कौन सी संख्याएँ अनुमानित हैं:

क) कक्षा में 32 छात्र हैं;
बी) मास्को से कीव की दूरी 900 किमी है;
ग) समांतर चतुर्भुज में 12 किनारे हैं;
घ) टेबल की लंबाई 1.3 मीटर;
ई) मास्को की जनसंख्या 8 मिलियन लोग है;
च) एक बैग में 0.5 किलो आटा;
छ) क्यूबा द्वीप का क्षेत्रफल 105,000 किमी2 है;
ज) स्कूल पुस्तकालय में 10,000 पुस्तकें हैं;
i) एक स्पैन 4 वर्शोक के बराबर है, और एक वर्शोक 4.45 सेमी (वर्सोक) के बराबर है
फालानक्स की लंबाई तर्जनी).

1471. असमानता के तीन समाधान खोजें:

ए) 1.2< х < 1,6; в) 0,001 < х < 0,002;
बी) 2.1< х< 2,3; г) 0,01 <х< 0,011.

1472. गणना किए बिना, भावों के मूल्यों की तुलना करें:

ए) 24 0.15 और (24 - 15): 100;

बी) 0.084 0.5 और (84 5): 10,000।
अपना जवाब समझाएं।

1473. संख्याओं को पूर्णांकित करें:

1474. विभाजन करें:

ए) 22.7:10; 23.3:10; 3.14:10; 9.6:10;
बी) 304: 100; 42.5:100; 2.5:100; 0.9:100; 0.03:100;
ग) 143.4:12; 1.488:124; 0.3417:34; 159.9:235; 65.32:568.

1475. एक साइकिल चालक 12 किमी/घंटा की गति से गाँव से निकला। 2 घंटे के बाद, एक और साइकिल चालक उसी गाँव से विपरीत दिशा में चला गया,
और दूसरे की गति पहले की गति से 1.25 गुना है। दूसरे साइकिल चालक के जाने के 3.3 घंटे बाद उनके बीच की दूरी क्या है?

1476. नाव की अपनी गति 8.5 किमी/घंटा है, और धारा की गति 1.3 किमी/घंटा है। धारा के साथ नाव 3.5 घंटे में कितनी दूरी तय करेगी? नाव 5.6 घंटे में धारा के प्रतिकूल कितनी दूरी तय करेगी?

1477. संयंत्र ने 3.75 हजार भागों का निर्माण किया और उन्हें 950 रूबल की कीमत पर बेचा। एक रचना। एक हिस्से के निर्माण के लिए संयंत्र की लागत 637.5 रूबल थी। इन भागों की बिक्री से कारखाने द्वारा अर्जित लाभ ज्ञात कीजिए।

1478. एक आयताकार समांतर चतुर्भुज की चौड़ाई 7.2 सेमी है, जो है इस बॉक्स का आयतन ज्ञात करें और अपने उत्तर को निकटतम पूर्णांक तक पूर्णांकित करें।

1479. पोप कार्लो ने पिएरो को हर दिन 4 सैनिक, और पिनोच्चियो को पहले दिन 1 सैनिक, और अगर वह अच्छा व्यवहार करता है तो हर अगले दिन 1 सैनिक और देने का वादा किया। पिनोचियो नाराज था: उसने फैसला किया कि, चाहे वह कितनी भी कोशिश कर ले, वह कभी भी पिय्रोट जितना सॉलिडो हासिल नहीं कर पाएगा। इस बारे में सोचें कि क्या पिनोच्चियो सही है।

1480. 231 मीटर बोर्ड 3 अलमारियों और 9 बुकशेल्फ़ों में गए, और शेल्फ़ की तुलना में 4 गुना अधिक सामग्री कैबिनेट में गई। कितने मीटर बोर्ड कैबिनेट में जाते हैं और कितने - शेल्फ में?

1481. समस्या का समाधान करें:
1) पहली संख्या 6.3 है और दूसरी संख्या है। तीसरा नंबर दूसरा है. दूसरी और तीसरी संख्या ज्ञात कीजिए।

2) पहली संख्या 8.1 है। दूसरा नंबर पहले नंबर से और तीसरे नंबर से है। दूसरी और तीसरी संख्या ज्ञात कीजिए।

1482. व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए:

1) (7 - 5,38) 2,5;

2) (8 - 6,46) 1,5.

1483. निजी का मूल्य ज्ञात कीजिये:

ए) 17.01: 6.3; घ) 1.4245: 3.5; छ) 0.02976: 0.024;
बी) 1.598: 4.7; ई)193.2:8.4; ज) 11.59: 3.05;
ग) 39.156: 7.8; ई) 0.045: 0.18; i) 74.256: 18.2.

1484. घर से स्कूल तक का रास्ता 1.1 किमी है। लड़की इस रास्ते को 0.25 घंटे में तय करती है। लड़की कितनी तेजी से चल रही है?

1485. दो कमरों के अपार्टमेंट में एक कमरे का क्षेत्रफल 20.64 मीटर 2 है, और दूसरे कमरे का क्षेत्रफल 2.4 गुना कम है। इन दोनों कमरों का क्षेत्रफल मिलाकर ज्ञात कीजिए।

1486. ​​इंजन 7.5 घंटे में 111 लीटर ईंधन की खपत करता है। 1.8 घंटे में इंजन कितने लीटर ईंधन का उपयोग करेगा?
1487. 3.5 dm3 आयतन वाले एक धातु के हिस्से का द्रव्यमान 27.3 किलोग्राम है। उसी धातु से बनी एक अन्य वस्तु का द्रव्यमान 10.92 किलोग्राम है। दूसरे भाग का आयतन कितना है?

1488. 2.28 टन गैसोलीन दो पाइपों के माध्यम से टैंक में डाला गया। पहले पाइप से प्रति घंटे 3.6 टन गैसोलीन आता था और यह 0.4 घंटे तक खुला रहता था। दूसरे पाइप से प्रति घंटे पहले पाइप से 0.8 टन कम गैसोलीन आता था। दूसरा पाइप कितनी देर तक खुला था?

1489. समीकरण हल करें:

ए) 2.136: (1.9 - एक्स) = 7.12; ग) 0.2t + 1.7t - 0.54 = 0.22;
बी) 4.2 (0.8 + वाई) = 8.82; घ) 5.6 ग्राम - 2z - 0.7z + 2.65 = 7.

1490. 13.3 टन वजन का सामान तीन वाहनों के बीच वितरित किया गया। पहली कार 1.3 गुना अधिक भरी हुई थी, और दूसरी - तीसरी कार की तुलना में 1.5 गुना अधिक। प्रत्येक वाहन पर कितने टन माल लदा हुआ था?

1491. दो पैदल यात्री एक ही स्थान से एक ही समय पर विपरीत दिशाओं में निकले। 0.8 घंटे के बाद, उनके बीच की दूरी 6.8 किमी के बराबर हो गई। एक पैदल यात्री की गति दूसरे की गति से 1.5 गुना थी। प्रत्येक पैदल यात्री की गति ज्ञात कीजिए।

1492. निम्नलिखित कार्य करें:

ए) (21.2544: 0.9 + 1.02 3.2): 5.6;
बी) 4.36: (3.15 + 2.3) + (0.792 - 0.78) 350;
ग) (3.91: 2.3 5.4 - 4.03) 2.4;
डी) 6.93: (0.028 + 0.36 4.2) - 3.5।

1493. एक डॉक्टर स्कूल आया और टीकाकरण के लिए 0.25 किलोग्राम सीरम लाया। यदि प्रत्येक इंजेक्शन के लिए 0.002 किलोग्राम सीरम की आवश्यकता हो तो वह कितने लोगों को इंजेक्शन दे सकता है?

1494. 2.8 टन जिंजरब्रेड स्टोर में लाया गया। दोपहर के भोजन से पहले, ये जिंजरब्रेड कुकीज़ बेची गईं। बेचने के लिए कितने टन जिंजरब्रेड बचा है?

1495. कपड़े के एक टुकड़े से 5.6 मीटर काट दिया गया। यदि इस टुकड़े को काटा गया तो टुकड़े में कितने मीटर कपड़ा था?

एन.या. विलेनकिन, वी. आई. ज़ोखोव, ए. एस. चेस्नोकोव, एस. आई. श्वार्ट्सबर्ड, गणित ग्रेड 5, शैक्षणिक संस्थानों के लिए पाठ्यपुस्तक

इस प्रकाश में दशमलव को विभाजित करने के उदाहरणों पर विचार करें।

उदाहरण।

दशमलव 1.2 को दशमलव 0.48 से विभाजित करें।

समाधान।

उत्तर:

1,2:0,48=2,5 .

उदाहरण।

आवर्त दशमलव 0.(504) को दशमलव 0.56 से विभाजित करें।

समाधान।

आइए आवर्त दशमलव भिन्न का साधारण में अनुवाद करें:. हम अंतिम दशमलव अंश 0.56 को एक साधारण अंश में भी अनुवादित करते हैं, हमारे पास 0.56 = 56/100 है। अब हम मूल दशमलव को विभाजित करने से सामान्य भिन्नों को विभाजित करने की ओर बढ़ सकते हैं और गणना समाप्त कर सकते हैं:।

आइए एक कॉलम में अंश को हर से विभाजित करके परिणामी साधारण अंश को दशमलव अंश में अनुवादित करें:

उत्तर:

0,(504):0,56=0,(900) .

अनंत गैर-आवधिक दशमलव भिन्नों को विभाजित करने का सिद्धांतपरिमित और आवधिक दशमलव अंशों को विभाजित करने के सिद्धांत से भिन्न है, क्योंकि गैर-दोहराए जाने वाले दशमलव अंशों को साधारण भिन्नों में परिवर्तित नहीं किया जा सकता है। अनंत गैर-आवधिक दशमलव अंशों का विभाजन परिमित दशमलव अंशों के विभाजन में कम हो जाता है, जिसके लिए इसे किया जाता है संख्याओं को पूर्णांकित करनाएक निश्चित स्तर तक. इसके अलावा, यदि संख्याओं में से एक जिसके साथ विभाजन किया जाता है, एक परिमित या आवधिक दशमलव अंश है, तो इसे गैर-आवधिक दशमलव अंश के समान अंक तक भी पूर्णांकित किया जाता है।

उदाहरण।

अनंत गैर-आवर्ती दशमलव 0.779... को अंतिम दशमलव 1.5602 से विभाजित करें।

समाधान।

अनंत गैर-दोहराए जाने वाले दशमलव अंश को विभाजित करने से लेकर परिमित दशमलव अंशों को विभाजित करने तक जाने के लिए सबसे पहले आपको दशमलव अंशों को गोल करने की आवश्यकता है। हम सौवें तक पूर्णांक बना सकते हैं: 0.779…≈0.78 और 1.5602≈1.56। इस प्रकार, 0.779…:1.5602≈0.78:1.56= 78/100:156/100=78/100 100/156= 78/156=1/2=0,5 .

उत्तर:

0,779…:1,5602≈0,5 .

किसी प्राकृतिक संख्या को दशमलव अंश से विभाजित करना और इसके विपरीत

किसी प्राकृतिक संख्या को दशमलव अंश से विभाजित करने और दशमलव अंश को प्राकृतिक संख्या से विभाजित करने के दृष्टिकोण का सार दशमलव अंशों को विभाजित करने के सार से अलग नहीं है। अर्थात्, परिमित और आवधिक भिन्नों को साधारण भिन्नों द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, और अनंत गैर-आवधिक भिन्नों को पूर्णांकित किया जाता है।

स्पष्ट करने के लिए, दशमलव अंश को प्राकृतिक संख्या से विभाजित करने के उदाहरण पर विचार करें।

उदाहरण।

दशमलव भिन्न 25.5 को प्राकृत संख्या 45 से विभाजित करें।

समाधान।

दशमलव भिन्न 25.5 को एक साधारण भिन्न 255/10=51/2 के साथ प्रतिस्थापित करने पर, विभाजन को एक साधारण भिन्न को एक प्राकृतिक संख्या से विभाजित करने तक कम कर दिया जाता है:। दशमलव अंकन में परिणामी अंश 0.5(6) है।

उत्तर:

25,5:45=0,5(6) .

एक स्तंभ द्वारा दशमलव अंश को प्राकृतिक संख्या से विभाजित करना

प्राकृतिक संख्याओं द्वारा अंतिम दशमलव अंशों का विभाजन प्राकृतिक संख्याओं के एक स्तंभ द्वारा विभाजन के अनुरूप एक स्तंभ द्वारा आसानी से किया जाता है। यहाँ विभाजन नियम है.

को दशमलव को एक प्राकृतिक संख्या से एक कॉलम द्वारा विभाजित करना, ज़रूरी:

• विभाज्य दशमलव अंश 0 में दाईं ओर कुछ अंक जोड़ें, (विभाजन के दौरान, यदि आवश्यक हो, तो आप किसी भी संख्या में शून्य जोड़ सकते हैं, लेकिन इन शून्यों की आवश्यकता नहीं हो सकती है);
• प्राकृतिक संख्याओं के एक स्तंभ द्वारा विभाजन के सभी नियमों के अनुसार दशमलव अंश के एक स्तंभ द्वारा विभाजन करें, लेकिन जब दशमलव अंश के पूर्णांक भाग का विभाजन पूरा हो जाता है, तो निजी में आपको अल्पविराम लगाने और विभाजन जारी रखने की आवश्यकता होती है।

आइए तुरंत कहें कि एक प्राकृतिक संख्या द्वारा एक सीमित दशमलव अंश को विभाजित करने के परिणामस्वरूप, या तो अंतिम दशमलव अंश या अनंत आवधिक दशमलव अंश प्राप्त किया जा सकता है। दरअसल, 0 के अलावा विभाज्य अंश के सभी दशमलव स्थानों को विभाजित करने के बाद, हम या तो शेष 0 प्राप्त कर सकते हैं, और हमें एक अंतिम दशमलव अंश मिलेगा, या शेष समय-समय पर दोहराया जाना शुरू हो जाएगा, और हमें एक आवधिक दशमलव अंश मिलेगा।

आइए उदाहरणों को हल करते समय दशमलव अंशों को एक कॉलम द्वारा प्राकृतिक संख्याओं में विभाजित करने की सभी जटिलताओं से निपटें।

उदाहरण।

दशमलव 65.14 को 4 से विभाजित करें।

समाधान।

आइए एक दशमलव अंश को एक प्राकृतिक संख्या से एक कॉलम द्वारा विभाजित करें। आइए अंश 65.14 के रिकॉर्ड में दाईं ओर शून्य की एक जोड़ी जोड़ें, जबकि हमें इसके बराबर दशमलव अंश 65.1400 मिलता है (समान और असमान दशमलव अंश देखें)। अब आप दशमलव अंश 65.1400 के पूर्णांक भाग को एक प्राकृतिक संख्या 4 से एक कॉलम द्वारा विभाजित करना शुरू कर सकते हैं:

इससे दशमलव भिन्न के पूर्णांक भाग का विभाजन पूरा हो जाता है। यहां निजी तौर पर आपको दशमलव बिंदु लगाना होगा और विभाजन जारी रखना होगा:

हम 0 के शेषफल पर आ गए हैं, इस स्तर पर एक कॉलम द्वारा विभाजन समाप्त हो जाता है। परिणामस्वरूप, हमारे पास 65.14:4=16.285 है।

उत्तर:

65,14:4=16,285 .

उदाहरण।

164.5 को 27 से विभाजित करें।

समाधान।

आइए एक दशमलव अंश को एक प्राकृतिक संख्या से एक कॉलम द्वारा विभाजित करें। पूर्णांक भाग को विभाजित करने पर हमें निम्नलिखित चित्र प्राप्त होता है:

अब हम निजी में अल्पविराम लगाते हैं और एक कॉलम के साथ विभाजन जारी रखते हैं:

अब यह स्पष्ट रूप से देखा जा रहा है कि 25, 7 और 16 के अवशेष दोहराए जाने लगे हैं, जबकि भागफल में 9, 2 और 5 की संख्याएँ दोहराई जाती हैं। तो दशमलव 164.5 को 27 से विभाजित करने पर हमें आवर्त दशमलव 6.0(925) प्राप्त होता है।

उत्तर:

164,5:27=6,0(925) .

दशमलव भिन्नों को एक स्तम्भ द्वारा विभाजित करना

दशमलव अंश को दशमलव अंश से विभाजित करने को दशमलव अंश को एक प्राकृतिक संख्या से एक स्तंभ द्वारा विभाजित करने तक कम किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, लाभांश और भाजक को ऐसी संख्या 10, या 100, या 1000, आदि से गुणा किया जाना चाहिए, ताकि भाजक एक प्राकृतिक संख्या बन जाए, और फिर एक कॉलम द्वारा प्राकृतिक संख्या से विभाजित किया जाए। हम विभाजन और गुणन के गुणों के कारण ऐसा कर सकते हैं, क्योंकि a:b=(a 10):(b 10) , a:b=(a 100):(b 100) इत्यादि।

दूसरे शब्दों में, अंतिम दशमलव को अंतिम दशमलव से विभाजित करना, करने की जरूरत है:

• लाभांश और भाजक में, अल्पविराम को दाईं ओर उतने ही वर्णों तक ले जाएँ जितने कि भाजक में दशमलव बिंदु के बाद हैं, यदि उसी समय लाभांश में अल्पविराम को स्थानांतरित करने के लिए पर्याप्त वर्ण नहीं हैं, तो आपको दाईं ओर शून्य की आवश्यक संख्या जोड़ने की आवश्यकता है;
• उसके बाद, दशमलव अंश के एक कॉलम द्वारा एक प्राकृतिक संख्या से विभाजन करें।

किसी उदाहरण को हल करते समय, दशमलव अंश से विभाजित करने के लिए इस नियम के अनुप्रयोग पर विचार करें।

उदाहरण।

कॉलम विभाजन 7.287 को 2.1 से करें।

समाधान।

आइए इन दशमलव भिन्नों में अल्पविराम को एक अंक दाईं ओर ले जाएँ, इससे हमें दशमलव भिन्न 7.287 को दशमलव भिन्न 2.1 से विभाजित करने से लेकर दशमलव भिन्न 72.87 को प्राकृतिक संख्या 21 से विभाजित करने की सुविधा मिलेगी। आइए एक कॉलम से विभाजित करें:

उत्तर:

7,287:2,1=3,47 .

उदाहरण।

दशमलव 16.3 को दशमलव 0.021 से विभाजित करें।

समाधान।

लाभांश और भाजक में अल्पविराम को 3 अंकों से दाईं ओर ले जाएँ। जाहिर है, भाजक में अल्पविराम लगाने के लिए पर्याप्त अंक नहीं हैं, तो आइए दाईं ओर शून्य की आवश्यक संख्या जोड़ें। आइए अब भिन्न 16300.0 के कॉलम को प्राकृत संख्या 21 से विभाजित करें:

इस क्षण से, शेषफल 4, 19, 1, 10, 16 और 13 दोहराना शुरू हो जाते हैं, जिसका अर्थ है कि भागफल में संख्याएँ 1, 9, 0, 4, 7 और 6 भी दोहराई जाएंगी। परिणामस्वरूप, हमें एक आवर्त दशमलव भिन्न 776,(190476) प्राप्त होता है।

उत्तर:

16,3:0,021=776,(190476) .

ध्यान दें कि ध्वनिबद्ध नियम आपको एक प्राकृतिक संख्या को एक कॉलम द्वारा अंतिम दशमलव अंश से विभाजित करने की अनुमति देता है।

उदाहरण।

प्राकृत संख्या 3 को दशमलव भिन्न 5.4 से विभाजित करें।

समाधान।

अल्पविराम 1 अंक को दाईं ओर ले जाने के बाद, हम संख्या 30.0 को 54 से विभाजित करने पर आते हैं। आइए एक कॉलम से विभाजित करें:
.

यह नियम अनंत दशमलव भिन्नों को 10, 100, ... से विभाजित करते समय भी लागू किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, 3,(56):1000=0.003(56) और 593.374…:100=5.93374…।

दशमलव को 0.1, 0.01, 0.001 आदि से विभाजित करना।

चूंकि 0.1 = 1/10, 0.01 = 1/100, आदि, यह एक साधारण भिन्न द्वारा विभाजन के नियम का अनुसरण करता है कि एक दशमलव अंश को 0.1, 0.01, 0.001, आदि से विभाजित करना। यह दिए गए दशमलव को 10, 100, 1000 आदि से गुणा करने जैसा है। क्रमश।

दूसरे शब्दों में, दशमलव अंश को 0.1, 0.01, ... से विभाजित करने के लिए, आपको अल्पविराम को दाईं ओर 1, 2, 3, ... अंकों से स्थानांतरित करने की आवश्यकता है, और यदि दशमलव अंश में अल्पविराम को स्थानांतरित करने के लिए पर्याप्त अंक नहीं हैं, तो आपको दाईं ओर शून्य की आवश्यक संख्या जोड़ने की आवश्यकता है।

उदाहरण के लिए, 5.739:0.1=57.39 और 0.21:0.00001=21,000।

अनंत दशमलवों को 0.1, 0.01, 0.001 आदि से विभाजित करते समय भी यही नियम लागू किया जा सकता है। इस मामले में, आपको आवधिक भिन्नों के विभाजन में बहुत सावधानी बरतनी चाहिए, ताकि भिन्न की अवधि के साथ गलती न हो, जो विभाजन के परिणामस्वरूप प्राप्त होती है। उदाहरण के लिए, 7.5(716):0.01=757,(167) , चूंकि दशमलव अंश में अल्पविराम को स्थानांतरित करने के बाद 7.5716716716 ... दाईं ओर दो अंक रिकॉर्ड होते हैं, हमारे पास रिकॉर्ड 757.167167 ... होता है। अनंत गैर-आवधिक दशमलव के साथ, सब कुछ सरल है: 394,38283…:0,001=394382,83… .

किसी भिन्न या मिश्रित संख्या को दशमलव से विभाजित करना और इसके विपरीत

एक साधारण अंश या मिश्रित संख्या का एक परिमित या आवधिक दशमलव अंश से विभाजन, साथ ही एक परिमित या आवधिक दशमलव अंश का एक साधारण अंश या मिश्रित संख्या से विभाजन, सामान्य अंशों के विभाजन में कम हो जाता है। ऐसा करने के लिए, दशमलव भिन्नों को संगत साधारण भिन्नों से बदल दिया जाता है, और मिश्रित संख्या को एक अनुचित भिन्न के रूप में दर्शाया जाता है।

एक अनंत गैर-आवधिक दशमलव अंश को एक साधारण अंश या मिश्रित संख्या से विभाजित करते समय और इसके विपरीत, किसी को दशमलव अंश को विभाजित करने के लिए आगे बढ़ना चाहिए, साधारण अंश या मिश्रित संख्या को संबंधित दशमलव अंश से बदलना चाहिए।

ग्रंथ सूची.

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भागफल (विभाजन का परिणाम) का पहला अंक ज्ञात कीजिए।ऐसा करने के लिए, लाभांश के पहले अंक को भाजक से विभाजित करें। परिणाम को भाजक के नीचे लिखें.

• हमारे उदाहरण में, लाभांश का पहला अंक 3 है। 3 को 12 से विभाजित करें। चूँकि 3, 12 से कम है, तो विभाजन का परिणाम 0 होगा। भाजक के नीचे 0 लिखें - यह भागफल का पहला अंक है।

37. दशमलव विभाजन

काम।आयत का क्षेत्रफल 2.88 dm 2 है और इसकी चौड़ाई 0.8 dm है। आयत की लंबाई क्या है?

समाधान। चूंकि 2.88 डीएम 2 = 288 सेमी 2, और 0.8 डीएम = 8 सेमी, आयत की लंबाई 288:8 है, यानी 36 सेमी = 3.6 डीएम। हमें एक संख्या 3.6 इस प्रकार मिली कि 3.6 = 0.8 = 2.88। यह 2.88 का भागफल 0.8 से विभाजित है।

उत्तर 3.6 डेसीमीटर को सेंटीमीटर में बदले बिना प्राप्त किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, भाजक 0.8 और लाभांश 2.88 को 10 से गुणा करें (अर्थात उनमें अल्पविराम को एक अंक दाईं ओर ले जाएं) और 28.8 को 8 से विभाजित करें। फिर से हमें मिलता है:।

किसी संख्या को दशमलव से विभाजित करना, ज़रूरी:
1) भाज्य और भाजक में, अल्पविराम को दाहिनी ओर उतने अंकों तक ले जाएँ जितने भाजक में दशमलव बिंदु के बाद हों;
2) उसके बाद किसी प्राकृत संख्या से भाग करें।

उदाहरण 1 12.096 को 2.24 से विभाजित करें। आइए लाभांश और भाजक में अल्पविराम 2 अंकों को दाईं ओर ले जाएं। हमें संख्याएँ 1209.6 और 224 प्राप्त होती हैं।

चूँकि , तब और .

उदाहरण 2 4.5 को 0.125 से विभाजित करें। यहां भाज्य और भाजक में अल्पविराम 3 अंकों को दाईं ओर ले जाना आवश्यक है। चूंकि लाभांश में दशमलव बिंदु के बाद केवल एक अंक होता है, इसलिए हम इसमें दाईं ओर दो शून्य जोड़ देंगे। अल्पविराम हटाने पर हमें संख्याएँ 4500 और 125 प्राप्त होती हैं।

चूँकि , तब और .

उदाहरण 1 और 2 से यह देखा जा सकता है कि किसी संख्या को अनुचित भिन्न से विभाजित करने पर यह संख्या घटती है या बदलती नहीं है, और उचित दशमलव भिन्न से विभाजित करने पर यह बढ़ती है: , ए.

2.467 को 0.01 से विभाजित करें। लाभांश और भाजक में अल्पविराम को 2 अंकों से दाईं ओर ले जाने पर, हम पाते हैं कि भागफल 246.7: 1 है, अर्थात 246.7 है। इसलिए, और 2.467: 0.01 = 246.7। यहाँ से हमें नियम मिलता है:

दशमलव को 0.1 से विभाजित करने के लिए; 0.01; 0.001, आपको इसमें अल्पविराम को दाईं ओर उतने अंकों तक ले जाना होगा जितने अंकों में भाजक में इकाई के सामने शून्य हों (अर्थात इसे 10, 100, 1000 से गुणा करें)।

यदि पर्याप्त संख्याएँ नहीं हैं, तो आपको पहले भिन्न के अंत में कुछ शून्य जोड़ना होगा।

उदाहरण के लिए, ।

1443. भागफल ज्ञात करें और गुणन द्वारा परीक्षण करें:

ए) 0.8: 0.5; बी) 3.51: 2.7; ग) 14.335: 0.61।

1444. भागफल ज्ञात करें और भाग द्वारा परीक्षण करें:

ए) 0.096: 0.12; 6) 0.126:0.9; ग) 42.105: 3.5.

1445. विभाजन करें:

1446. भाव लिखिए:

ए) ए और 2.6 के योग को बी और 8.5 के अंतर से विभाजित करने का भागफल;
बी) भागफल x और 3.7 और भागफल 3.1 और y का योग।

1447. अभिव्यक्ति पढ़ें:

ए) एम: 12.8 - एन: 4.9; बी) (एक्स + 0.7): (वाई + 3.4); सी) (ए: बी) (8: सी)।

1448. एक आदमी का कदम 0.8 मीटर है। 100 मीटर की दूरी तय करने के लिए उसे कितने कदम चलने होंगे?

1449. एलोशा ने 2.6 घंटे में ट्रेन से 162.5 किमी की यात्रा की। ट्रेन कितनी तेज़ थी?

1450. यदि 3.5 सेमी 3 बर्फ का द्रव्यमान 3.08 ग्राम है तो 1 सेमी 3 बर्फ का द्रव्यमान ज्ञात करें।

1451. रस्सी को दो भागों में काटा गया। एक हिस्से की लंबाई 3.25 मीटर है और दूसरे हिस्से की लंबाई पहले से 1.3 गुना कम है। रस्सी की लंबाई कितनी थी?

1452. पहले पैकेज में 6.72 किलो आटा शामिल था, जो दूसरे पैकेज से 2.4 गुना ज्यादा है. दोनों बैगों में कितने किलोग्राम आटा शामिल था?

1453. बोरिया ने टहलने की तुलना में पाठ तैयार करने में 3.5 गुना कम समय बिताया। यदि चलने में 2.8 घंटे लगते हैं तो बोर्या को चलने और अपना पाठ तैयार करने में कितना समय लगा?