गणित: भिन्नों के साथ क्रियाएँ। दशमलव और सामान्य अंशों के साथ संचालन। साधारण भिन्नों पर अंकगणितीय संक्रियाओं के नियम

यह लेख भिन्नों के साथ संक्रियाओं का एक सामान्य अवलोकन है। यहां हम जोड़, घटाव, गुणा, भाग और सामान्य रूप A/B के भिन्नों की घात के लिए नियम बनाते हैं और उन्हें सही ठहराते हैं, जहां A और B कुछ संख्याएं, संख्यात्मक अभिव्यक्तियां या चरों के साथ अभिव्यक्तियां हैं। हमेशा की तरह, हम व्याख्यात्मक उदाहरणों के साथ सामग्री की आपूर्ति करेंगे विस्तृत विवरणसमाधान।

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सामान्य रूप के संख्यात्मक अंशों के साथ संचालन करने के नियम

आइए सहमत हैं कि सामान्य संख्यात्मक अंश ऐसे अंश हैं जिनमें अंश और / या भाजक को न केवल प्राकृतिक संख्याओं द्वारा, बल्कि अन्य संख्याओं या संख्यात्मक अभिव्यक्तियों द्वारा भी दर्शाया जा सकता है। स्पष्टता के लिए, यहाँ ऐसे अंशों के कुछ उदाहरण दिए गए हैं: .

हम उन नियमों को जानते हैं जिनके द्वारा . उसी नियम से, आप सामान्य रूप के अंशों के साथ संचालन कर सकते हैं:

नियमों के लिए तर्क

सामान्य संख्यात्मक अंशों के साथ क्रिया करने के नियमों की वैधता को सही ठहराने के लिए, निम्न बिंदुओं से शुरू किया जा सकता है:

• एक भिन्नात्मक पट्टी अनिवार्य रूप से एक विभाजन चिन्ह है,
• कुछ गैर-शून्य संख्या से विभाजन को भाजक के व्युत्क्रम द्वारा गुणा के रूप में माना जा सकता है (यह तुरंत नियम की व्याख्या करता है अंशों का विभाजन),
• वास्तविक संख्या के साथ क्रियाओं के गुण,
• और इसकी सामान्यीकृत समझ,

वे आपको निम्नलिखित परिवर्तनों को पूरा करने की अनुमति देते हैं जो समान और अलग भाजक के साथ-साथ अंशों को गुणा करने के नियम को जोड़ने, घटाने के नियमों को सही ठहराते हैं:

उदाहरण

आइए हम पिछले पैराग्राफ में सीखे गए नियमों के अनुसार एक सामान्य रूप के अंशों के साथ एक क्रिया करने का उदाहरण दें। आइए हम तुरंत कहते हैं कि आमतौर पर, अंशों के साथ संचालन करने के बाद, परिणामी अंश को सरलीकरण की आवश्यकता होती है, और अंश को सरल बनाने की प्रक्रिया अक्सर पिछली क्रियाओं को करने की तुलना में अधिक कठिन होती है। हम अंशों के सरलीकरण पर ध्यान केन्द्रित नहीं करेंगे (संबंधित परिवर्तनों की चर्चा लेख में भिन्नों के परिवर्तन पर की गई है), ताकि हमारे लिए रुचि के विषय से विचलित न हों।

आइए समान हर वाले भिन्नों को जोड़ने और घटाने के उदाहरणों से शुरू करें। आइए भिन्नों और को जोड़कर शुरू करें। स्पष्ट रूप से हर बराबर हैं। इसी नियम के अनुसार, हम एक अंश लिखते हैं जिसका अंश योग के बराबर हैमूल भिन्नों के अंश, और हर को वही रहने दें, हमारे पास है। जोड़ किया जाता है, यह परिणामी अंश को सरल बनाने के लिए बना रहता है: . इसलिए, .

निर्णय को एक अलग तरीके से करना संभव था: पहले, साधारण अंशों में परिवर्तन करें, और फिर जोड़ को पूरा करें। इस दृष्टिकोण के साथ, हमारे पास है .

अब अंश से घटाएं अंश . अंशों के भाजक समान होते हैं, इसलिए, हम समान भाजक वाले अंशों को घटाने के नियम के अनुसार कार्य करते हैं:

आइए अलग-अलग भाजक वाले अंशों को जोड़ने और घटाने के उदाहरणों पर चलते हैं। यहाँ मुख्य कठिनाई भिन्नों को एक सामान्य भाजक में लाने में है। एक सामान्य रूप के अंशों के लिए, यह एक व्यापक विषय है, हम इसे एक अलग लेख में विस्तार से विश्लेषण करेंगे। एक सामान्य भाजक के लिए अंशों को कम करना. अब हम खुद को एक जोड़े तक ही सीमित रखते हैं सामान्य सिफारिशें, क्योंकि इस पलहम अंशों के साथ संचालन करने की तकनीक में अधिक रुचि रखते हैं।

सामान्य तौर पर, प्रक्रिया साधारण अंशों के सामान्य भाजक में कमी के समान होती है। अर्थात्, भाजकों को उत्पादों के रूप में प्रस्तुत किया जाता है, फिर पहले भिन्न के हर से सभी गुणनखंड लिए जाते हैं और दूसरे भिन्न के हर से छूटे हुए गुणनखंडों को उनमें जोड़ दिया जाता है।

जब जोड़े या घटाए गए अंशों के हर में सामान्य कारक नहीं होते हैं, तो उनके उत्पाद को एक सामान्य भाजक के रूप में लेना तर्कसंगत है। आइए एक उदाहरण लेते हैं।

मान लीजिए कि हमें भिन्नों और 1/2 को जोड़ने की आवश्यकता है। यहाँ, एक सामान्य भाजक के रूप में, मूल भिन्नों के हरों के गुणनफल को लेना तर्कसंगत है, अर्थात . इस मामले में, पहले भिन्न के लिए अतिरिक्त कारक 2 होगा। अंश और हर को इससे गुणा करने पर, भिन्न का रूप ले लेगा। और दूसरे भिन्न के लिए, अतिरिक्त कारक व्यंजक है। इसकी मदद से, अंश 1/2 को रूप में घटाया जाता है। यह परिणामी अंशों को समान भाजक के साथ जोड़ने के लिए बनी हुई है। यहाँ संपूर्ण समाधान का सारांश दिया गया है:

एक सामान्य रूप के अंशों के मामले में, हम अब कम से कम सामान्य भाजक के बारे में बात नहीं कर रहे हैं, जिसमें साधारण अंश आमतौर पर कम हो जाते हैं। हालांकि इस मामले में अभी भी कुछ अतिसूक्ष्मवाद के लिए प्रयास करना वांछनीय है। इसके द्वारा हम यह कहना चाहते हैं कि मूल भिन्नों के हरों के गुणनफल को एक सामान्य भाजक के रूप में तुरंत लेना आवश्यक नहीं है। उदाहरण के लिए, अंशों और उत्पाद के सामान्य भाजक को लेना बिल्कुल भी आवश्यक नहीं है . यहाँ, एक सामान्य भाजक के रूप में, हम ले सकते हैं।

हम एक सामान्य रूप के अंशों के गुणन के उदाहरणों की ओर मुड़ते हैं। भिन्नों को गुणा करें और। इस क्रिया को करने का नियम हमें एक अंश लिखने के लिए कहता है जिसका अंश मूल अंशों के अंशों का गुणनफल है, और भाजक हरों का गुणनफल है। अपने पास . यहाँ, कई अन्य मामलों की तरह जब अंशों को गुणा करते हैं, तो आप अंश को कम कर सकते हैं: .

भिन्नों को विभाजित करने का नियम आपको एक व्युत्क्रम द्वारा विभाजन से गुणा करने की अनुमति देता है। यहाँ आपको यह याद रखने की आवश्यकता है कि किसी दिए गए भिन्न का व्युत्क्रम भिन्न प्राप्त करने के लिए, आपको इस भिन्न के अंश और हर को अदला-बदली करने की आवश्यकता है। सामान्य भिन्नों को विभाजित करने से लेकर गुणा करने तक के संक्रमण का एक उदाहरण यहां दिया गया है: . यह गुणन करने और परिणामी अंश को सरल बनाने के लिए बनी हुई है (यदि आवश्यक हो, तो अपरिमेय अभिव्यक्तियों का परिवर्तन देखें):

इस पैराग्राफ की जानकारी को समाप्त करते हुए, हम याद करते हैं कि किसी भी संख्या या संख्यात्मक अभिव्यक्ति को एक भाजक 1 के साथ एक अंश के रूप में दर्शाया जा सकता है, इसलिए, किसी संख्या के जोड़, घटाव, गुणा और भाग और एक अंश को इसी क्रिया को करने के रूप में माना जा सकता है अंश, जिनमें से एक में भाजक में एक इकाई है। उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करना तीन भिन्नों का मूल, हम एक भिन्न को एक संख्या से गुणा करके दो भिन्नों का गुणा करने के लिए आगे बढ़ेंगे: .

चर वाले अंशों के साथ संचालन करना

इस आलेख के पहले भाग के नियम चर वाले अंशों के साथ संचालन करने के लिए भी लागू होते हैं। आइए हम उनमें से पहले को सही ठहराएं - समान भाजक के साथ अंशों के जोड़ और घटाव का नियम, बाकी बिल्कुल उसी तरह सिद्ध होते हैं।

आइए हम सिद्ध करें कि किसी भी व्यंजक A, C और D (D समान रूप से गैर-शून्य है) के लिए हमारे पास समानता है चर के स्वीकार्य मूल्यों की अपनी सीमा पर।

आइए ODZ से वेरिएबल्स का कुछ सेट लें। चरों के इन मानों के लिए भाव A , C और D मान a 0 , c 0 और d 0 लें। फिर चयनित सेट से चर के मूल्यों को अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करने से यह संख्यात्मक अंशों के योग (अंतर) में फॉर्म के समान भाजक के साथ बदल जाता है, जो संख्यात्मक अंशों के जोड़ (घटाव) के नियम के अनुसार समान हर, के बराबर है। लेकिन चयनित सेट से चर के मूल्यों को अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करने से यह उसी अंश में बदल जाता है। इसका मतलब यह है कि ODZ से चर मानों के चयनित सेट के लिए, भावों के मान और बराबर हैं। यह स्पष्ट है कि संकेतित भावों के मान ODZ से चर के मूल्यों के किसी भी अन्य सेट के बराबर होंगे, जिसका अर्थ है कि भाव और समान रूप से समान हैं, अर्थात सिद्ध की जा रही समानता सत्य है .

चर के साथ अंशों के जोड़ और घटाव के उदाहरण

जब जोड़े या घटाए जाने वाले अंशों के भाजक समान होते हैं, तो सब कुछ काफी सरल होता है - अंशों को जोड़ा या घटाया जाता है, और भाजक समान रहता है। स्पष्ट है कि इसके बाद प्राप्त अंश को यदि आवश्यक और संभव हो तो सरलीकृत किया जाता है।

ध्यान दें कि कभी-कभी अंशों के हर पहली नज़र में ही भिन्न होते हैं, लेकिन वास्तव में वे समान रूप से समान भाव होते हैं, जैसे, उदाहरण के लिए, और , या और . और कभी-कभी यह प्रारंभिक अंशों को सरल बनाने के लिए पर्याप्त होता है ताकि उनके समान भाजक "दिखाई दें"।

उदाहरण।

, बी) , वी) .

समाधान।

a) हमें समान भाजक वाले भिन्नों को घटाने की आवश्यकता है। संगत नियम के अनुसार, हम हर को वही छोड़ देते हैं और अंशों को घटा देते हैं, जो हमारे पास है . कार्रवाई की गई। लेकिन आप अभी भी अंश में कोष्ठक खोल सकते हैं और समान शब्द ला सकते हैं: .

बी) जाहिर है, जोड़े गए भिन्नों के हर समान हैं। इसलिए, हम अंशों को जोड़ते हैं, और भाजक को वही छोड़ देते हैं: . जोड़ पूरा हुआ। लेकिन यह देखना आसान है कि परिणामी अंश को घटाया जा सकता है। वास्तव में, परिणामी भिन्न के अंश को (lgx+2) 2 के योग के वर्ग द्वारा कम किया जा सकता है (संक्षिप्त गुणन सूत्र देखें), इसलिए निम्नलिखित परिवर्तन होते हैं: .

ग) राशि में भिन्न अलग भाजक हैं। लेकिन, किसी एक भिन्न को परिवर्तित करके, आप समान हर वाले भिन्नों को जोड़ने के लिए आगे बढ़ सकते हैं। हम दो समाधान दिखाते हैं।

पहला तरीका। वर्गों के सूत्र के अंतर का उपयोग करके पहले अंश के भाजक का गुणनखंड किया जा सकता है, और फिर इस अंश को कम करें: . इस प्रकार, । भिन्न के हर में अपरिमेयता से छुटकारा पाने में कोई हर्ज नहीं है: .

दूसरा तरीका। दूसरे अंश के अंश और भाजक को गुणा करना (मूल अभिव्यक्ति के लिए DPV से चर x के किसी भी मान के लिए यह अभिव्यक्ति गायब नहीं होती है) आपको एक ही बार में दो लक्ष्य प्राप्त करने की अनुमति देता है: तर्कहीनता से छुटकारा पाएं और जोड़ने के लिए आगे बढ़ें समान भाजक वाले अंश। अपने पास

उत्तर:

ए) , बी) , वी) .

पिछले उदाहरण ने हमें भिन्नों को एक सामान्य भाजक में लाने के प्रश्न पर ला खड़ा किया। वहां, हम लगभग गलती से एक ही भाजक पर आ गए, जोड़े गए अंशों में से एक को सरल बना दिया। लेकिन ज्यादातर मामलों में, अलग-अलग भाजक के साथ अंशों को जोड़ना और घटाना, किसी को उद्देश्यपूर्ण रूप से अंशों को एक सामान्य भाजक में लाना होता है। ऐसा करने के लिए, अंशों के भाजकों को आमतौर पर उत्पादों के रूप में प्रस्तुत किया जाता है, सभी कारकों को पहले अंश के भाजक से लिया जाता है, और दूसरे अंश के भाजक से लापता कारकों को उनमें जोड़ा जाता है।

उदाहरण।

भिन्नों के साथ क्रियाएं करें: a) , बी) , सी) .

समाधान।

क) भिन्नों के हरों के साथ कुछ भी करने की आवश्यकता नहीं है। एक आम भाजक के रूप में, हम उत्पाद लेते हैं . इस मामले में, पहले अंश के लिए अतिरिक्त कारक अभिव्यक्ति है, और दूसरे अंश के लिए - संख्या 3। ये अतिरिक्त कारक भिन्नों को एक सामान्य भाजक में लाते हैं, जो आगे हमें वह क्रिया करने की अनुमति देता है जिसकी हमें आवश्यकता है, हमारे पास है

बी) इस उदाहरण में, भाजक पहले से ही उत्पादों के रूप में प्रस्तुत किए गए हैं, और कोई अतिरिक्त परिवर्तन की आवश्यकता नहीं है। जाहिर है, भाजक में कारक केवल घातांक में भिन्न होते हैं, इसलिए, एक सामान्य भाजक के रूप में, हम सबसे बड़े घातांक वाले कारकों का गुणनफल लेते हैं, अर्थात, . तब पहले भिन्न के लिए अतिरिक्त कारक होगा x 4 , और दूसरे के लिए - ln(x+1) । अब हम अंशों को घटाने के लिए तैयार हैं:

ग) और इस मामले में, शुरुआत करने के लिए, हम भिन्नों के हरों के साथ काम करेंगे। वर्गों के अंतर और योग के वर्ग के सूत्र आपको मूल योग से अभिव्यक्ति तक जाने की अनुमति देते हैं . अब यह स्पष्ट है कि इन भिन्नों को एक सामान्य भाजक में घटाया जा सकता है . इस दृष्टिकोण के साथ, समाधान इस तरह दिखेगा:

उत्तर:

ए)

बी)

वी)

भिन्नों को चरों से गुणा करने के उदाहरण

भिन्नों को गुणा करने पर एक भिन्न प्राप्त होता है जिसका अंश मूल भिन्नों के अंशों का गुणनफल होता है, और भाजक हरों का गुणनफल होता है। यहां, जैसा कि आप देख सकते हैं, सब कुछ परिचित और सरल है, और हम केवल यह जोड़ सकते हैं कि इस क्रिया के परिणामस्वरूप प्राप्त अंश अक्सर कम हो जाता है। इन मामलों में, यह कम हो जाता है, जब तक कि निश्चित रूप से, यह आवश्यक और उचित न हो।

अंश- एक संख्या जिसमें एक के अंशों की पूर्णांक संख्या होती है और इसे इस प्रकार दर्शाया जाता है: a / b

अंश अंश (क)- अंश की रेखा के ऊपर की संख्या और उन शेयरों की संख्या दिखा रहा है जिनमें इकाई को विभाजित किया गया था।

अंश भाजक (बी)- अंश की रेखा के नीचे की संख्या और यह दर्शाता है कि इकाई को कितने शेयरों में विभाजित किया गया था।

2. भिन्नों को एक सामान्य भाजक में लाना

3. अंकगणितीय संक्रियाएँ चालू हैं साधारण अंशऔर

3.1. साधारण अंशों का जोड़

3.2. साधारण अंशों का घटाव

3.3. साधारण अंशों का गुणन

3.4. साधारण अंशों का विभाजन

4. पारस्परिक संख्या

5. दशमलव

6. अंकगणितीय संक्रियाएँ चालू हैं दशमलव

6.1. दशमलव जोड़ना

6.2. दशमलव का घटाव

6.3. दशमलव गुणन

6.4. दशमलव विभाजन

#1। एक अंश की मूल संपत्ति

यदि किसी भिन्न के अंश और हर को एक ही संख्या से गुणा या विभाजित किया जाता है जो शून्य के बराबर नहीं है, तो दिए गए भिन्न के बराबर एक भिन्न प्राप्त होगा।

3/7=3*3/7*3=9/21 यानी 3/7=9/21

a/b=a*m/b*m - यह भिन्न का मुख्य गुण कैसा दिखता है।

दूसरे शब्दों में, मूल भिन्न के अंश और हर को उसी से गुणा या भाग करने पर हमें दिए गए भिन्न के बराबर भिन्न प्राप्त होता है। प्राकृतिक संख्या.

अगर विज्ञापन = बीसी, तो दो भिन्न a/b =c / डी बराबर माना जाता है।

उदाहरण के लिए, 3/5 और 9/15 के अंश बराबर होंगे, क्योंकि 3*15=5*9, यानी 45=45

अंश में कमीएक भिन्न को बदलने की प्रक्रिया है, जिसमें नया भिन्न मूल के बराबर होता है, लेकिन छोटे अंश और हर के साथ।

किसी भिन्न के मुख्य गुण के आधार पर भिन्नों को घटाने की प्रथा है।

उदाहरण के लिए, 45/60=15/ ​ ​20 =9/12=3/4 ​ ​ ​ (अंश और हर 3 से, 5 से और 15 से विभाज्य हैं)।

अलघुकरणीय अंशरूप का अंश है 3/4 ​ ​ , जहां अंश और भाजक अपेक्षाकृत अभाज्य संख्याएं हैं। फ्रैक्शन रिडक्शन का मुख्य उद्देश्य फ्रैक्शन को इर्रिड्यूसिबल बनाना है।

2. एक सामान्य भाजक के लिए अंशों को कम करना

दो भिन्नों को एक सामान्य भाजक में लाने के लिए:

1) प्रत्येक अंश के भाजक को प्रमुख कारकों में विघटित करें;

2) पहले भिन्न के अंश और हर को लापता वाले से गुणा करें

दूसरे भाजक के विस्तार से कारक;

3) पहले विस्तार से लापता कारकों द्वारा दूसरे अंश के अंश और हर को गुणा करें।

उदाहरण: भिन्नों को एक सामान्य भाजक में कम करें।

आइए भाजकों को प्रमुख कारकों में विघटित करें: 18=3∙3∙2, 15=3∙5

हमने दूसरे विस्तार से भिन्न के अंश और हर को लापता कारक 5 से गुणा किया।

पहले विस्तार से लापता कारकों 3 और 2 द्वारा भिन्न का अंश और हर।

=, 90 भिन्नों का सामान्य भाजक है।

3. साधारण भिन्नों पर अंकगणितीय संक्रियाएँ

3.1। साधारण अंशों का जोड़

a) समान हरों के साथ, पहले भिन्न के अंश को दूसरे भिन्न के अंश में जोड़ दिया जाता है, जिससे हर समान रह जाता है। जैसा कि उदाहरण में देखा गया है:

ए/बी+सी/बी=(ए+सी)/बी ​ ​ ;

बी) कब विभिन्न भाजकअंशों को पहले एक सामान्य भाजक में घटाया जाता है, और फिर अंशों को नियम a के अनुसार जोड़ा जाता है):

7/3+1/4=7*4/12+1*3/12=(28+3)/12=31/12

3.2। साधारण अंशों का घटाव

ए) एक ही भाजक के साथ, दूसरे अंश के अंश को पहले अंश के अंश से घटाएं, भाजक को वही छोड़ दें:

ए/बी-सी/बी=(ए-सी)/बी ​ ​ ;

बी) यदि अंशों के हर अलग-अलग हैं, तो पहले अंशों को एक सामान्य भाजक में घटाया जाता है, और फिर पैराग्राफ ए के रूप में चरणों को दोहराएं)।

3.3। साधारण अंशों का गुणन

भिन्नों का गुणन निम्नलिखित नियम का पालन करता है:

ए/बी*सी/डी=ए*सी/बी*डी,

अर्थात्, अंश और हर को अलग-अलग गुणा करें।

उदाहरण के लिए:

3/5*4/8=3*4/5*8=12/40.

3.4। साधारण अंशों का विभाजन

अंशों को निम्न प्रकार से विभाजित किया जाता है:

ए/बी:सी/डी=ए*डी/बी*सी,

अर्थात्, अंश a / b को दिए गए एक के व्युत्क्रम से गुणा किया जाता है, अर्थात इसे d / c से गुणा किया जाता है।

उदाहरण: 7/2:1/8=7/2*8/1=56/2=28

4. पारस्परिक संख्या

अगर ए * बी = 1,तो संख्या बी है उलटा नंबरनंबर ए के लिए।

उदाहरण: संख्या 9 के लिए, विपरीत है 1/9 ​ ​ , 9*1/9 से = 1 , संख्या 5 के लिए - का पारस्परिक 1/5 ​ ​ , क्योंकि 5* ​ 1/5 ​ ​ = 1 .

5. दशमलव

दशमलवएक उचित भिन्न है जिसका हर है 10, 1000, 10000, …, 10^एन 1 0 , 1 0 0 0 , 1 0 0 0 0 , . . . , 1 0 ​ एन​ ​ .

उदाहरण के लिए: 6/10 =0,6; 44/1000=0,044 ​ .

उसी तरह, गलत को हर के साथ लिखा जाता है 10^एनया मिश्रित संख्याएँ।

उदाहरण के लिए: 51/10= 5,1; 763/100=7,63

दशमलव अंश के रूप में, किसी भी साधारण अंश को एक भाजक के साथ जो संख्या 10 की एक निश्चित शक्ति का भाजक है, का प्रतिनिधित्व किया जाता है।

एक भाजक, जो संख्या 10 की एक निश्चित शक्ति का भाजक है।

उदाहरण: 5, 100 का एक भाजक है, इसलिए एक भिन्न है 1/5=1 *20/5*20=20/100=0,2 ​ 0 = 0 , 2 .

6. दशमलव भिन्न पर अंकगणितीय संक्रियाएँ

6.1। दशमलव जोड़ना

दो दशमलव अंशों को जोड़ने के लिए, आपको उन्हें व्यवस्थित करने की आवश्यकता है ताकि एक ही अंक और अल्पविराम एक दूसरे के नीचे दिखाई दें, और फिर भिन्नों को साधारण संख्या के रूप में जोड़ें।

6.2। दशमलव का घटाव

यह जोड़ने की तरह ही काम करता है।

6.3। दशमलव गुणन

गुणा करते समय दशमलव संख्याएंअल्पविराम (प्राकृतिक संख्या के रूप में) को अनदेखा करते हुए, दी गई संख्याओं को गुणा करना पर्याप्त है, और प्राप्त उत्तर में, दाईं ओर अल्पविराम उतने ही अंकों को अलग करता है जितने कि दोनों कारकों में दशमलव बिंदु के बाद होते हैं।

आइए 2.7 को 1.3 से गुणा करते हैं। अपने पास 27\cdot 13=351 2 7 ⋅ 1 3 = 3 5 1 . हम दाईं ओर अल्पविराम से दो अंकों को अलग करते हैं (पहली और दूसरी संख्या में दशमलव बिंदु के बाद एक अंक होता है; 1+1=2 1 + 1 = 2 ). नतीजतन, हमें मिलता है 2.7\cdot 1.3=3.51 2 , 7 ⋅ 1 , 3 = 3 , 5 1 .

यदि परिणाम अल्पविराम से अलग करने के लिए आवश्यक अंकों से कम है, तो लापता शून्य सामने लिखे गए हैं, उदाहरण के लिए:

एक दशमलव अंश में 10, 100, 1000 से गुणा करने के लिए, अल्पविराम 1, 2, 3 अंकों को दाईं ओर ले जाएँ (यदि आवश्यक हो, शून्य की एक निश्चित संख्या को दाईं ओर निर्दिष्ट किया गया है)।

उदाहरण के लिए: 1.47 \cdot 10,000 = 14,700 1 , 4 7 ⋅ 1 0 0 0 0 = 1 4 7 0 0 .

6.4। दशमलव विभाजन

एक दशमलव अंश को एक प्राकृतिक संख्या से विभाजित करना उसी तरह से किया जाता है जैसे एक प्राकृतिक संख्या को एक प्राकृतिक संख्या से विभाजित करना। निजी में एक अल्पविराम पूर्णांक भाग के विभाजन के पूरा होने के बाद रखा जाता है।

यदि भाज्य का पूर्णांक भाग भाजक से कम है, तो उत्तर शून्य पूर्णांक है, उदाहरण के लिए:

दशमलव को दशमलव से विभाजित करने पर विचार करें। मान लीजिए कि हमें 2.576 को 1.12 से भाग देना है। सबसे पहले, हम अंश के भाज्य और भाजक को 100 से गुणा करते हैं, अर्थात, हम भाज्य और भाजक में अल्पविराम को दाईं ओर ले जाते हैं जितने वर्ण दशमलव बिंदु के बाद भाजक में होते हैं (इस उदाहरण में) , दो)। फिर आपको अंश 257.6 को प्राकृतिक संख्या 112 से विभाजित करने की आवश्यकता है, अर्थात, समस्या को पहले से ही विचार किए गए मामले में घटा दिया गया है:

ऐसा होता है कि एक संख्या को दूसरे से विभाजित करने पर अंतिम दशमलव अंश हमेशा प्राप्त नहीं होता है। परिणाम एक अनंत दशमलव है। ऐसे मामलों में, साधारण भिन्नों पर जाएँ।

उदाहरण के लिए, 2.8: 0.09= 28/10: 9/100= 28*100/10*9=2800/90=280/9= ​ 31 1/9 ​ ​ .

अंशों के साथ क्रियाएँ। इस लेख में हम उदाहरणों का विश्लेषण करेंगे, सब कुछ स्पष्टीकरण के साथ विस्तृत है। हम साधारण अंशों पर विचार करेंगे। भविष्य में, हम दशमलव का विश्लेषण करेंगे। मैं संपूर्ण देखने और क्रमिक रूप से अध्ययन करने की सलाह देता हूं।

1. भिन्नों का योग, भिन्नों का अंतर।

नियम: समान भाजक वाले अंशों को जोड़ने पर, परिणाम एक अंश होता है - जिसका भाजक समान रहता है, और इसका अंश भिन्नों के अंशों के योग के बराबर होगा।

नियम: समान भाजक के साथ अंशों के अंतर की गणना करते समय, हमें एक अंश मिलता है - भाजक समान रहता है, और दूसरे के अंश को पहले अंश के अंश से घटाया जाता है।

समान भाजक वाले भिन्नों के योग और अंतर का औपचारिक अंकन:

उदाहरण (1):

यह स्पष्ट है कि जब साधारण अंश दिए जाते हैं, तो सब कुछ सरल होता है, लेकिन यदि उन्हें मिश्रित कर दिया जाए? कुछ भी जटिल नहीं...

विकल्प 1- आप उन्हें सामान्य में परिवर्तित कर सकते हैं और फिर उनकी गणना कर सकते हैं।

विकल्प 2- आप पूर्णांक और भिन्नात्मक भागों के साथ अलग से "काम" कर सकते हैं।

उदाहरण (2):

अधिक:

और अगर दो का अंतर है मिश्रित अंशऔर पहले भिन्न का अंश दूसरे के अंश से कम होगा? इसे दो तरह से भी किया जा सकता है।

उदाहरण (3):

* साधारण अंशों में अनुवादित, अंतर की गणना की, परिणामी अनुचित अंश को मिश्रित में परिवर्तित किया।

* पूर्णांक और भिन्नात्मक भागों में विभाजित, तीन प्राप्त किया, फिर 3 को 2 और 1 के योग के रूप में प्रस्तुत किया, इकाई को 11/11 के रूप में प्रस्तुत किया, फिर 11/11 और 7/11 के बीच का अंतर पाया और परिणाम की गणना की। उपरोक्त परिवर्तनों का अर्थ इकाई को लेना (चयन करना) है और इसे एक अंश के रूप में प्रस्तुत करना है जिसकी हमें आवश्यकता है, फिर इस अंश से हम पहले से ही दूसरे को घटा सकते हैं।

एक और उदाहरण:

निष्कर्ष: एक सार्वभौमिक दृष्टिकोण है - समान भाजक के साथ मिश्रित भिन्नों के योग (अंतर) की गणना करने के लिए, उन्हें हमेशा अनुचित में परिवर्तित किया जा सकता है, फिर निष्पादित किया जा सकता है आवश्यक क्रिया. उसके बाद, यदि परिणामस्वरूप हमें एक अनुचित अंश मिलता है, तो हम इसे मिश्रित अंश में बदल देते हैं।

ऊपर, हमने समान भाजक वाले भिन्नों के उदाहरण देखे। क्या होगा यदि भाजक भिन्न हों? इस मामले में, अंशों को एक ही भाजक में घटा दिया जाता है और निर्दिष्ट क्रिया की जाती है। एक अंश को बदलने (बदलने) के लिए, अंश की मुख्य संपत्ति का उपयोग किया जाता है।

सरल उदाहरणों पर विचार करें:

इन उदाहरणों में, हम तुरंत देखते हैं कि कैसे एक भिन्न को समान हर प्राप्त करने के लिए परिवर्तित किया जा सकता है।

यदि हम भिन्नों को एक भाजक में कम करने के तरीके निर्दिष्ट करते हैं, तो इसे कहा जाएगा विधि एक.

यही है, जब अंश का "मूल्यांकन" करते हैं, तो आपको यह पता लगाने की आवश्यकता होती है कि क्या ऐसा दृष्टिकोण काम करेगा - हम जांचते हैं कि क्या बड़ा भाजक छोटे से विभाज्य है। और यदि इसे विभाजित किया जाता है, तो हम रूपांतरण करते हैं - हम अंश और भाजक को गुणा करते हैं ताकि दोनों अंशों के भाजक समान हो जाएं।

अब इन उदाहरणों को देखें:

यह तरीका उन पर लागू नहीं होता। एक आम भाजक में अंशों को कम करने के अन्य तरीके हैं, उन पर विचार करें।

विधि दूसरा.

पहले भिन्न के अंश और हर को दूसरे के हर से गुणा करें, और दूसरे भिन्न के अंश और हर को पहले के हर से गुणा करें:

*वास्तव में, जब हर बराबर हो जाते हैं तो हम भिन्न को रूप में लाते हैं। अगला, हम समान भाजक के साथ डरपोक को जोड़ने के नियम का उपयोग करते हैं।

उदाहरण:

*इस विधि को सार्वभौमिक कहा जा सकता है, और यह हमेशा काम करती है। केवल नकारात्मक यह है कि गणना के बाद, एक अंश निकल सकता है जिसे और कम करने की आवश्यकता होगी।

एक उदाहरण पर विचार करें:

यह देखा जा सकता है कि अंश और हर 5 से विभाज्य हैं:

विधि तृतीय।

हरों का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात कीजिए। यह सामान्य भाजक होगा। यह संख्या क्या है? यह सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या है जो प्रत्येक संख्या से विभाज्य है।

देखिए, यहाँ दो संख्याएँ हैं: 3 और 4, ऐसी कई संख्याएँ हैं जो उनसे विभाज्य हैं - ये हैं 12, 24, 36, ... उनमें से सबसे छोटी संख्या 12 है। या 6 और 15, 30, 60, 90 हैं उनके द्वारा विभाज्य .... कम से कम 30. प्रश्न - इस लघुत्तम समापवर्त्य का निर्धारण कैसे करें?

एक स्पष्ट एल्गोरिथ्म है, लेकिन अक्सर यह गणना के बिना तुरंत किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, उपरोक्त उदाहरणों (3 और 4, 6 और 15) के अनुसार, किसी एल्गोरिथ्म की आवश्यकता नहीं है, हमने बड़ी संख्याएँ (4 और 15) लीं, उन्हें दोगुना किया और देखा कि वे दूसरी संख्या से विभाज्य हैं, लेकिन संख्याओं के जोड़े अन्य हो सकते हैं, जैसे 51 और 119।

कलन विधि। कई संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य निर्धारित करने के लिए, आपको यह करना होगा:

- प्रत्येक संख्या को सरल कारकों में विघटित करें

- उनमें से बड़े का अपघटन लिखिए

- इसे अन्य संख्याओं के लापता कारकों से गुणा करें

उदाहरणों पर विचार करें:

50 और 60 50 = 2∙5∙5 60 = 2∙2∙3∙5

एक बड़ी संख्या के विस्तार में एक पाँच गायब है

=> एलसीएम (50,60) = 2∙2∙3∙5∙5 = 300

48 और 72 48 = 2∙2∙2∙2∙3 72 = 2∙2∙2∙3∙3

बड़ी संख्या के विस्तार में, दो और तीन गायब हैं

=> ल.स.प.(48,72) = 2∙2∙2∙2∙3∙3 = 144

* दो अभाज्य संख्याओं का लघुतम समापवर्त्य उनके गुणनफल के बराबर होता है

सवाल! और यह कम से कम सामान्य बहु को खोजने में क्यों उपयोगी है, क्योंकि आप दूसरी विधि का उपयोग कर सकते हैं और परिणामी अंश को कम कर सकते हैं? हाँ, आप कर सकते हैं, लेकिन यह हमेशा सुविधाजनक नहीं होता है। देखें कि संख्या 48 और 72 के लिए भाजक क्या होगा यदि आप उन्हें केवल 48∙72 = 3456 से गुणा करते हैं। सहमत हैं कि छोटी संख्याओं के साथ काम करना अधिक सुखद है।

उदाहरणों पर विचार करें:

*51 = 3∙17 119 = 7∙17

एक बड़ी संख्या के विस्तार में, एक त्रिक गायब है

=> एलसीएम (51,119) = 3∙7∙17

और अब हम पहली विधि लागू करते हैं:

* गणनाओं के अंतर को देखें, पहले मामले में उनमें से कम से कम है, और दूसरे में आपको कागज के एक टुकड़े पर अलग से काम करने की जरूरत है, और यहां तक ​​​​कि आपके द्वारा प्राप्त अंश को भी कम करने की जरूरत है। लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने से कार्य काफी सरल हो जाता है।

और ज्यादा उदाहरण:

* दूसरे उदाहरण में, यह पहले से ही स्पष्ट है कि सबसे छोटी संख्या जो 40 और 60 से विभाज्य है, 120 है।

कुल! सामान्य गणना एल्गोरिथम!

- यदि कोई पूर्णांक भाग है, तो हम अंशों को साधारण में लाते हैं।

- हम भिन्नों को एक सामान्य भाजक में लाते हैं (पहले हम यह देखने के लिए देखते हैं कि क्या एक भाजक दूसरे से विभाज्य है, यदि यह विभाज्य है, तो हम इस दूसरे अंश के अंश और हर को गुणा करते हैं; यदि यह विभाज्य नहीं है, तो हम दूसरे के माध्यम से कार्य करते हैं ऊपर बताए गए तरीके)।

- समान भाजक के साथ अंश प्राप्त करने के बाद, हम क्रियाएं (जोड़, घटाव) करते हैं।

- यदि आवश्यक हो, हम परिणाम कम करते हैं।

- यदि आवश्यक हो, तो पूरे भाग का चयन करें।

2. भिन्नों का गुणनफल।

नियम सरल है। अंशों को गुणा करते समय, उनके अंश और हर को गुणा किया जाता है:

उदाहरण:

काम। 13 टन सब्जियां बेस पर लाई गईं। आलू सभी आयातित सब्जियों का ¾ बनाते हैं। बेस में कितने किलोग्राम आलू लाए गए?

चलिए काम खत्म करते हैं।

*इससे पहले मैंने आपसे उत्पाद के माध्यम से अंश की मुख्य संपत्ति की औपचारिक व्याख्या देने का वादा किया था, कृपया:

3. भिन्नों का विभाजन।

अंशों का विभाजन उनके गुणन के लिए घटाया जाता है। यहां यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि वह अंश जो एक विभाजक है (जिसे विभाजित किया गया है) पलट दिया जाता है और क्रिया गुणन में बदल जाती है:

इस क्रिया को तथाकथित चार मंजिला अंश के रूप में लिखा जा सकता है, क्योंकि स्वयं विभाजन ":" को अंश के रूप में भी लिखा जा सकता है:

उदाहरण:

बस इतना ही! आप सौभाग्यशाली हों!

साभार, अलेक्जेंडर क्रुतित्सिख।

अंश साधारण और दशमलव हैं। जब छात्र को बाद वाले के अस्तित्व के बारे में पता चलता है, तो वह हर उस चीज़ का अनुवाद करना शुरू कर देता है जो दशमलव रूप में संभव है, भले ही इसकी आवश्यकता न हो।

अजीब तरह से, हाई स्कूल के छात्रों और छात्रों की प्राथमिकताएं बदल जाती हैं, क्योंकि साधारण अंशों के साथ कई अंकगणितीय संचालन करना आसान होता है। और जिन मूल्यों से स्नातक निपटते हैं, वे कभी-कभी बिना किसी नुकसान के दशमलव रूप में परिवर्तित करना असंभव हो सकते हैं। नतीजतन, दोनों प्रकार के अंश, एक तरह से या किसी अन्य, मामले के अनुकूल होते हैं और उनके अपने फायदे और नुकसान होते हैं। आइए देखें कि उनके साथ कैसे काम करना है।

परिभाषा

अंश समान शेयर हैं। यदि एक संतरे में दस टुकड़े हैं और आपको एक दिया गया है, तो आपके पास फल का 1/10 भाग आपके हाथ में है। इस तरह के अंकन के साथ, जैसा कि पिछले वाक्य में है, अंश को साधारण अंश कहा जाएगा। यदि आप 0.1 - दशमलव के समान लिखते हैं। दोनों विकल्प समान हैं, लेकिन उनके अपने फायदे हैं। पहला विकल्प गुणन और विभाजन के लिए अधिक सुविधाजनक है, दूसरा - जोड़, घटाव और कई अन्य मामलों में।

एक भिन्न को दूसरे रूप में कैसे बदलें

मान लीजिए कि आपके पास एक सामान्य अंश है और आप इसे दशमलव में बदलना चाहते हैं। मुझे क्या करना चाहिए?

वैसे, आपको पहले से तय करना होगा कि कोई भी संख्या बिना किसी समस्या के दशमलव रूप में नहीं लिखी जा सकती है। कभी-कभी आपको परिणाम को गोल करना पड़ता है, एक निश्चित संख्या में दशमलव स्थान खो देता है, और कई क्षेत्रों में - उदाहरण के लिए, में सटीक विज्ञान- यह एक अवहनीय विलासिता है। साथ ही, 5 वीं कक्षा में दशमलव और सामान्य अंशों के साथ क्रियाएं कम से कम प्रशिक्षण के रूप में हस्तक्षेप के बिना एक प्रकार से दूसरे में इस तरह के स्थानांतरण को संभव बनाती हैं।

यदि भाजक से, पूर्णांक से गुणा या भाग करके, आप एक मान प्राप्त कर सकते हैं जो 10 का एक गुणक है, तो स्थानांतरण बिना किसी कठिनाई के गुजर जाएगा: ¾ 0.75, 13/20 - 0.65 में बदल जाता है।

व्युत्क्रम प्रक्रिया और भी आसान है, क्योंकि आप सटीकता में हानि के बिना दशमलव अंश से हमेशा एक साधारण अंश प्राप्त कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, 0.2 बन जाता है 1/5 और 0.08 बन जाता है 4/25।

आंतरिक रूपांतरण

साधारण अंशों के साथ संयुक्त क्रियाओं को करने से पहले, आपको संभावित गणितीय संक्रियाओं के लिए संख्याएँ तैयार करने की आवश्यकता है।

सबसे पहले, आपको उदाहरण में सभी भिन्नों को एक में लाने की आवश्यकता है सामान्य रूप से देखें. वे या तो साधारण या दशमलव होना चाहिए। तुरंत एक आरक्षण करें कि पहले के साथ गुणा और भाग करना अधिक सुविधाजनक है।

आगे की कार्रवाई के लिए संख्याओं को तैयार करने में, आपको उस नियम से मदद मिलेगी, जिसे विषय के अध्ययन के प्रारंभिक वर्षों में और दोनों में उपयोग किया जाता है। उच्च गणितजो विश्वविद्यालयों में पढ़ाया जाता है।

अंश गुण

मान लीजिए कि आपका कुछ मूल्य है। मान लीजिए 2/3। यदि आप अंश और हर को 3 से गुणा करते हैं तो क्या होता है? 6/9 प्राप्त करें। क्या होगा अगर यह एक लाख है? 2000000/3000000। लेकिन प्रतीक्षा करें, क्योंकि संख्या गुणात्मक रूप से बिल्कुल नहीं बदलती - 2/3 2000000/3000000 के बराबर रहती है। केवल रूप बदलता है, सामग्री नहीं। जब दोनों भागों को समान मान से विभाजित किया जाता है तो वही होता है। यह अंश की मुख्य संपत्ति है, जो आपको परीक्षणों और परीक्षाओं पर दशमलव और साधारण अंशों के साथ क्रिया करने में बार-बार मदद करेगी।

अंश और हर को एक ही संख्या से गुणा करने को भिन्न का विस्तार करना कहते हैं, और विभाजित करना घटाना कहते हैं। मुझे कहना होगा कि भिन्नों को गुणा और विभाजित करते समय ऊपर और नीचे समान संख्याओं को पार करना आश्चर्यजनक रूप से सुखद प्रक्रिया है (गणित पाठ के भाग के रूप में, निश्चित रूप से)। ऐसा लगता है कि उत्तर पहले से ही करीब है और उदाहरण व्यावहारिक रूप से हल हो गया है।

अनुचित अंश

एक अनुचित अंश वह है जिसमें अंश भाजक से अधिक या उसके बराबर होता है। दूसरे शब्दों में, यदि एक पूरे भाग को इससे अलग किया जा सकता है, तो वह इस परिभाषा के अंतर्गत आता है।

यदि ऐसी संख्या (एक से अधिक या एक के बराबर) को साधारण अंश के रूप में दर्शाया जाता है, तो इसे अनुचित कहा जाएगा। और अगर अंश भाजक से छोटा है - सही। साधारण अंशों के साथ संभावित कार्यों के कार्यान्वयन में दोनों प्रकार समान रूप से सुविधाजनक हैं। उन्हें स्वतंत्र रूप से गुणा और विभाजित, जोड़ा और घटाया जा सकता है।

यदि एक ही समय में एक पूर्णांक भाग का चयन किया जाता है और एक ही समय में अंश के रूप में शेष रहता है, तो परिणामी संख्या को मिश्रित कहा जाएगा। भविष्य में आपको सामना करना पड़ेगा विभिन्न तरीकेचर के साथ ऐसी संरचनाओं का संयोजन, साथ ही साथ समीकरणों को हल करना जहाँ इस ज्ञान की आवश्यकता होती है।

अंकगणितीय आपरेशनस

यदि अंश के मूल गुण के साथ सब कुछ स्पष्ट है, तो भिन्नों को गुणा करते समय कैसे व्यवहार करें? 5 वीं कक्षा में साधारण अंशों वाली क्रियाओं में सभी प्रकार के अंकगणितीय संक्रियाएँ शामिल होती हैं जो दो अलग-अलग तरीकों से की जाती हैं।

गुणा और भाग करना बहुत आसान है। पहले मामले में, दो भिन्नों के अंश और हर को सरलता से गुणा किया जाता है। दूसरे में - वही, केवल आड़ा। इस प्रकार, पहले अंश के अंश को दूसरे के भाजक से गुणा किया जाता है, और इसके विपरीत।

जोड़ और घटाव करने के लिए, आपको एक अतिरिक्त क्रिया करने की आवश्यकता है - अभिव्यक्ति के सभी घटकों को एक सामान्य भाजक में लाएँ। इसका मतलब है कि अंशों के निचले हिस्सों को बदलना होगा समान मूल्य- दोनों उपलब्ध भाजक का गुणक। उदाहरण के लिए, 2 और 5 के लिए यह 10 होगा। 3 और 6 के लिए - 6। लेकिन फिर शीर्ष के साथ क्या करना है? हम इसे वैसे ही नहीं छोड़ सकते जैसे कि अगर हम नीचे वाले को बदल दें। एक भिन्न के मूल गुण के अनुसार, हम अंश को भाजक के समान संख्या से गुणा करते हैं। यह ऑपरेशन प्रत्येक संख्या पर किया जाना चाहिए जिसे हम जोड़ना या घटाना चाहते हैं। हालाँकि, 6 वीं कक्षा में साधारण अंशों के साथ ऐसी क्रियाएँ पहले से ही "मशीन पर" की जाती हैं, और कठिनाइयाँ तभी उत्पन्न होती हैं आरंभिक चरणविषय का अध्ययन।

तुलना

यदि दो अंश समान भाजक, तो बड़ा वह होगा जिसका अंश बड़ा होगा। यदि ऊपरी भाग समान हैं, तो छोटे भाजक वाला बड़ा होगा। यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि तुलना के लिए ऐसी सफल स्थितियां शायद ही कभी होती हैं। सबसे अधिक संभावना है, भावों के ऊपरी और निचले दोनों हिस्से मेल नहीं खाएंगे। फिर आपको साधारण अंशों के साथ संभावित क्रियाओं को याद रखने और जोड़ और घटाव में उपयोग की जाने वाली तकनीक का उपयोग करने की आवश्यकता है। इसके अलावा, याद रखें कि यदि हम ऋणात्मक संख्याओं के बारे में बात कर रहे हैं, तो मापांक में बड़ा अंश छोटा होगा।

सामान्य अंशों के लाभ

ऐसा होता है कि शिक्षक बच्चों को एक वाक्यांश बताते हैं, जिसकी सामग्री निम्नानुसार व्यक्त की जा सकती है: कार्य तैयार करते समय जितनी अधिक जानकारी दी जाएगी, समाधान उतना ही आसान होगा। क्या यह अजीब लगता है? लेकिन वास्तव में: कब बड़ी संख्या मेंज्ञात मान, आप लगभग किसी भी सूत्र का उपयोग कर सकते हैं, लेकिन यदि केवल कुछ संख्याएँ प्रदान की जाती हैं, तो अतिरिक्त प्रतिबिंबों की आवश्यकता हो सकती है, आपको प्रमेयों को याद रखना और सिद्ध करना होगा, अपनी सत्यता के पक्ष में तर्क देना होगा ...

हम यह क्यों कर रहे हैं? इसके अलावा, साधारण अंश, उनकी सभी बोझिलता के लिए, एक छात्र के जीवन को बहुत सरल बना सकते हैं, जिससे आप गुणा और विभाजन करते समय मूल्यों की संपूर्ण पंक्तियों को कम कर सकते हैं, और योग और अंतर की गणना करते समय, सामान्य तर्क निकाल सकते हैं और , फिर से, उन्हें कम करें।

जब साधारण और दशमलव अंशों के साथ संयुक्त क्रियाओं को करने की आवश्यकता होती है, तो परिवर्तन पहले के पक्ष में किए जाते हैं: आप 3/17 को दशमलव रूप में कैसे अनुवादित करते हैं? केवल जानकारी के नुकसान के साथ, अन्यथा नहीं। लेकिन 0.1 को 1/10 और फिर 17/170 के रूप में दर्शाया जा सकता है। और फिर दो परिणामी संख्याओं को जोड़ा या घटाया जा सकता है: 30/170 + 17/170 = 47/170।

दशमलव क्यों उपयोगी हैं?

यदि साधारण अंशों के साथ कार्य करना अधिक सुविधाजनक है, तो उनकी मदद से सब कुछ लिखना बेहद असुविधाजनक है, यहाँ दशमलव का एक महत्वपूर्ण लाभ है। तुलना करें: 1748/10000 और 0.1748। यह वही मूल्य है जो दो में प्रस्तुत किया गया है विभिन्न विकल्प. बेशक, दूसरा तरीका आसान है!

इसके अलावा, दशमलव का प्रतिनिधित्व करना आसान होता है क्योंकि सभी डेटा का एक सामान्य आधार होता है जो केवल परिमाण के क्रम से भिन्न होता है। मान लीजिए कि हम 30% छूट को आसानी से पहचान सकते हैं और इसे महत्वपूर्ण के रूप में मूल्यांकन भी कर सकते हैं। क्या आप तुरंत समझ जाएंगे कि कौन अधिक है - 30% या 137/379? इस प्रकार, दशमलव अंश गणनाओं का मानकीकरण प्रदान करते हैं।

हाई स्कूल में, छात्र द्विघात समीकरणों को हल करते हैं। यहां साधारण अंशों के साथ क्रिया करना पहले से ही बेहद समस्याग्रस्त है, क्योंकि चर के मूल्यों की गणना के सूत्र में शामिल हैं वर्गमूलराशि से। एक अंश की उपस्थिति में जो दशमलव के लिए कम नहीं होता है, समाधान इतना जटिल हो जाता है कि कैलकुलेटर के बिना सटीक उत्तर की गणना करना लगभग असंभव हो जाता है।

इसलिए, उपयुक्त संदर्भ में भिन्नों को दर्शाने के प्रत्येक तरीके के अपने फायदे हैं।

प्रवेश के फार्म

साधारण अंशों के साथ क्रियाओं को लिखने के दो तरीके हैं: एक क्षैतिज रेखा के माध्यम से, दो "स्तरों" में, और एक स्लैश (उर्फ "स्लैश") के माध्यम से - एक पंक्ति में। जब कोई छात्र नोटबुक में लिखता है, तो पहला विकल्प आमतौर पर अधिक सुविधाजनक होता है, और इसलिए अधिक सामान्य होता है। कोशिकाओं में कई संख्याओं का वितरण गणना और परिवर्तनों में सावधानी के विकास में योगदान देता है। स्ट्रिंग पर लिखते समय, आप अनजाने में क्रियाओं के क्रम को भ्रमित कर सकते हैं, कोई डेटा खो सकते हैं - यानी गलती करें।

हमारे समय में अक्सर कंप्यूटर पर नंबर प्रिंट करने की आवश्यकता होती है। आप Microsoft Word 2010 और बाद के संस्करण में फ़ंक्शन का उपयोग करके पारंपरिक क्षैतिज पट्टी के साथ अंशों को अलग कर सकते हैं। तथ्य यह है कि सॉफ्टवेयर के इन संस्करणों में "सूत्र" नामक एक विकल्प है। यह एक आयताकार परिवर्तनीय क्षेत्र प्रदर्शित करता है जिसके भीतर आप किसी भी गणितीय प्रतीकों को जोड़ सकते हैं, दो- और "चार-कहानी" दोनों अंश बना सकते हैं। भाजक और अंश में, आप कोष्ठक, संचालन चिह्नों का उपयोग कर सकते हैं। नतीजतन, आप पारंपरिक रूप में सामान्य और दशमलव अंशों के साथ किसी भी संयुक्त क्रिया को लिखने में सक्षम होंगे, यानी जिस तरह से वे आपको स्कूल में सिखाते हैं।

यदि आप मानक नोटपैड पाठ संपादक का उपयोग करते हैं, तो सभी भिन्नात्मक अभिव्यक्तियों को स्लैश के माध्यम से लिखने की आवश्यकता होगी। दुर्भाग्य से, यहाँ कोई दूसरा रास्ता नहीं है।

निष्कर्ष

तो हमने सामान्य अंशों के साथ सभी बुनियादी क्रियाओं पर विचार किया है, जो कि इतने अधिक नहीं हैं।

यदि पहली बार में ऐसा लग सकता है कि यह गणित का एक जटिल खंड है, तो यह केवल एक अस्थायी छाप है - याद रखें, एक बार आपने गुणन तालिका के बारे में ऐसा सोचा था, और इससे भी पहले - सामान्य कॉपीबुक और एक से दस तक की गिनती के बारे में।

यह समझना महत्वपूर्ण है कि अंशों का उपयोग किसमें किया जाता है रोजमर्रा की जिंदगीहर जगह। आप पैसे और इंजीनियरिंग की गणना, सूचना प्रौद्योगिकी और संगीत साक्षरता, और हर जगह - हर जगह से निपटेंगे! - भिन्नात्मक संख्याएँ दिखाई देंगी। इसलिए, आलसी मत बनो और इस विषय का अच्छी तरह से अध्ययन करो - खासकर जब से यह इतना कठिन नहीं है।