इस गणित कार्यक्रम के साथ आप कर सकते हैं द्विघात समीकरण हल करें.

कार्यक्रम न केवल समस्या का उत्तर देता है, बल्कि समाधान प्रक्रिया को दो तरीकों से प्रदर्शित करता है:
- विवेचक का उपयोग करना
- Vieta प्रमेय (यदि संभव हो) का उपयोग करना।

इसके अलावा, उत्तर सटीक प्रदर्शित होता है, अनुमानित नहीं।
उदाहरण के लिए, समीकरण \(81x^2-16x-1=0\) के लिए, उत्तर इस रूप में प्रदर्शित होता है:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) इसके बजाय $$: \(x_1 = 0.247; \ क्वाड x_2 = -0.05 \)

यह कार्यक्रम हाई स्कूल के छात्रों के लिए परीक्षण और परीक्षा की तैयारी में उपयोगी हो सकता है, जब एकीकृत राज्य परीक्षा से पहले ज्ञान का परीक्षण, माता-पिता के लिए गणित और बीजगणित में कई समस्याओं के समाधान को नियंत्रित करने के लिए। या हो सकता है कि आपके लिए ट्यूटर किराए पर लेना या नई पाठ्यपुस्तकें खरीदना बहुत महंगा हो? या आप इसे जल्द से जल्द पूरा करना चाहते हैं? गृहकार्यगणित या बीजगणित? इस मामले में, आप विस्तृत समाधान के साथ हमारे कार्यक्रमों का भी उपयोग कर सकते हैं।

इस तरह आप अपने छोटे भाइयों या बहनों के प्रशिक्षण और/या प्रशिक्षण का संचालन स्वयं कर सकते हैं, जबकि हल किए जाने वाले कार्यों के क्षेत्र में शिक्षा का स्तर बढ़ जाता है।

यदि आप इनपुट नियमों से परिचित नहीं हैं वर्ग बहुपदहम अनुशंसा करते हैं कि आप उन पर एक नज़र डालें।

वर्ग बहुपद में प्रवेश करने के नियम

कोई भी लैटिन अक्षर एक चर के रूप में कार्य कर सकता है।
उदाहरण के लिए: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) आदि।

संख्याओं को पूर्णांक या भिन्न के रूप में दर्ज किया जा सकता है।
इसके अलावा, भिन्नात्मक संख्याओं को न केवल दशमलव के रूप में, बल्कि एक साधारण भिन्न के रूप में भी दर्ज किया जा सकता है।

दशमलव अंशों को दर्ज करने के नियम।
दशमलव भिन्नों में, पूर्णांक से भिन्नात्मक भाग को बिंदु या अल्पविराम द्वारा अलग किया जा सकता है।
उदाहरण के लिए, आप दर्ज कर सकते हैं दशमलवतो: 2.5x - 3.5x ^ 2

साधारण भिन्नों को दर्ज करने के नियम।
केवल एक पूर्ण संख्या भिन्न के अंश, हर और पूर्णांक भाग के रूप में कार्य कर सकती है।

भाजक ऋणात्मक नहीं हो सकता।

एक संख्यात्मक अंश में प्रवेश करते समय, अंश को भाजक से हर से अलग किया जाता है: /
पूर्णांक भाग को एम्परसेंड द्वारा भिन्न से अलग किया जाता है: &
इनपुट: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
परिणाम: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2 \)

व्यंजक दर्ज करते समय आप कोष्ठक का उपयोग कर सकते हैं. इस मामले में, द्विघात समीकरण को हल करते समय, प्रस्तुत अभिव्यक्ति को पहले सरल बनाया जाता है।
उदाहरण के लिए: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

=0

तय करना

यह पाया गया कि इस कार्य को हल करने के लिए आवश्यक कुछ लिपियों को लोड नहीं किया गया था, और हो सकता है कि प्रोग्राम काम न करे।
आपके पास एडब्लॉक सक्षम हो सकता है।
इस मामले में, इसे अक्षम करें और पृष्ठ को ताज़ा करें।

आपके ब्राउज़र में जावास्क्रिप्ट अक्षम है।
समाधान के प्रकट होने के लिए जावास्क्रिप्ट सक्षम होना चाहिए।
अपने ब्राउज़र में जावास्क्रिप्ट को कैसे सक्षम करें, इस पर निर्देश यहां दिए गए हैं।

इसलिये बहुत सारे लोग हैं जो समस्या का समाधान करना चाहते हैं, आपका अनुरोध कतार में है।
कुछ सेकंड के बाद, समाधान नीचे दिखाई देगा।
कृपया प्रतीक्षा करें सेकंड...

अगर तुम समाधान में त्रुटि देखी गई, तो आप इसके बारे में फीडबैक फॉर्म में लिख सकते हैं।
मत भूलो इंगित करें कि कौन सा कार्यआप क्या तय करें खेतों में प्रवेश करें.

हमारे खेल, पहेलियाँ, अनुकरणकर्ता:

थोड़ा सिद्धांत।

द्विघात समीकरण और इसकी जड़ें। अपूर्ण द्विघात समीकरण

प्रत्येक समीकरण
\(-x^2+6x+1,4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
रूप है
\(ax^2+bx+c=0, \)
जहाँ x एक चर है, a, b और c संख्याएँ हैं।
पहले समीकरण में a = -1, b = 6 और c = 1.4, दूसरे में a = 8, b = -7 और c = 0, तीसरे में a = 1, b = 0 और c = 4/9। ऐसे समीकरण कहलाते हैं द्विघातीय समीकरण.

परिभाषा।
द्विघात समीकरण ax 2 +bx+c=0 रूप का एक समीकरण कहलाता है, जहाँ x एक चर है, a, b और c कुछ संख्याएँ हैं, और \(a \neq 0 \)।

संख्याएँ a, b और c द्विघात समीकरण के गुणांक हैं। संख्या a को पहला गुणांक कहा जाता है, संख्या b दूसरा गुणांक है और संख्या c अवरोधन है।

फार्म के प्रत्येक समीकरण में ax 2 +bx+c=0, जहां \(a \neq 0 \), चर x की सबसे बड़ी घात एक वर्ग है। इसलिए नाम: द्विघात समीकरण।

ध्यान दें कि द्विघात समीकरण को दूसरी डिग्री का समीकरण भी कहा जाता है, क्योंकि इसका बायां भाग दूसरी डिग्री का बहुपद है।

एक द्विघात समीकरण जिसमें x 2 पर गुणांक 1 होता है, कहलाता है घटा हुआ द्विघात समीकरण. उदाहरण के लिए, दिए गए द्विघात समीकरण समीकरण हैं
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

यदि द्विघात समीकरण में ax 2 +bx+c=0 गुणांकों में से कम से कम एक b या c शून्य के बराबर है, तो ऐसे समीकरण को कहा जाता है अधूरा द्विघात समीकरण. अतः, समीकरण -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 अपूर्ण द्विघात समीकरण हैं। उनमें से पहले में b=0, दूसरे में c=0, तीसरे में b=0 और c=0.

अपूर्ण द्विघात समीकरण तीन प्रकार के होते हैं:
1) कुल्हाड़ी 2 +c=0, जहां \(c \neq 0 \);
2) कुल्हाड़ी 2 +bx=0, जहां \(b \neq 0 \);
3) कुल्हाड़ी = 0।

इनमें से प्रत्येक प्रकार के समीकरणों के हल पर विचार करें।

\(c \neq 0 \) के रूप ax 2 +c=0 के एक अपूर्ण द्विघात समीकरण को हल करने के लिए, इसके मुक्त पद को दाईं ओर स्थानांतरित किया जाता है और समीकरण के दोनों भागों को a से विभाजित किया जाता है:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Rightarrow x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

चूंकि \(c \neq 0 \), तब \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

यदि \(-\frac(c)(a)>0 \), तो समीकरण के दो मूल हैं।

यदि \(-\frac(c)(a) फॉर्म के एक अपूर्ण द्विघात समीकरण को हल करने के लिए ax 2 +bx=0 \(b \neq 0 \) के लिए इसके बाईं ओर का गुणनखंड करें और समीकरण प्राप्त करें
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \ left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \ left\( \ start (सरणी)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(array) \right. \)

इसलिए, \(b \neq 0 \) के लिए ax 2 +bx=0 के रूप के अपूर्ण द्विघात समीकरण के हमेशा दो मूल होते हैं।

कुल्हाड़ी 2 \u003d 0 के रूप का एक अधूरा द्विघात समीकरण समीकरण x 2 \u003d 0 के बराबर है और इसलिए इसका एक ही मूल 0 है।

द्विघात समीकरण के मूल का सूत्र

आइए अब विचार करें कि द्विघात समीकरणों को कैसे हल किया जाता है जिसमें अज्ञात के गुणांक और मुक्त पद दोनों गैर-शून्य होते हैं।

हम द्विघात समीकरण को हल करते हैं सामान्य दृष्टि सेऔर परिणामस्वरूप हमें जड़ों का सूत्र प्राप्त होता है। फिर इस सूत्र को किसी भी द्विघात समीकरण को हल करने के लिए लागू किया जा सकता है।

द्विघात समीकरण को हल करें ax 2 +bx+c=0

इसके दोनों भागों को a से विभाजित करने पर, हम समतुल्य घटा हुआ द्विघात समीकरण प्राप्त करते हैं
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

हम द्विपद के वर्ग को हाइलाइट करके इस समीकरण को बदलते हैं:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Rightarrow \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2 = \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 - \frac(c)(a) \rightarrow \) \(\left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \Rightarrow \left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \Rightarrow \) \(x+\frac(b) )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \Rightarrow x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2) -4ac) )(2a) \Rightarrow \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) \)

मूल व्यंजक कहलाता है द्विघात समीकरण का विभेदक ax 2 +bx+c=0 (लैटिन में "विभेदक" - विभेदक)। इसे अक्षर D से निरूपित किया जाता है, अर्थात।
\(डी = बी^2-4ac\)

अब, विवेचक के संकेतन का उपयोग करते हुए, हम द्विघात समीकरण की जड़ों के लिए सूत्र को फिर से लिखते हैं:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), जहां \(D= b^2-4ac \)

यह स्पष्ट है कि:
1) यदि D>0, तो द्विघात समीकरण के दो मूल हैं।
2) यदि D=0, तो द्विघात समीकरण का एक मूल \(x=-\frac(b)(2a)\) है।
3) यदि D इस प्रकार, विवेचक के मान के आधार पर, द्विघात समीकरण के दो मूल हो सकते हैं (D > 0 के लिए), एक मूल (D = 0 के लिए) या कोई मूल नहीं (D के लिए इस सूत्र का उपयोग करके द्विघात समीकरण को हल करते समय) , निम्नलिखित तरीके से करना उचित है:
1) विवेचक की गणना करें और इसकी तुलना शून्य से करें;
2) यदि विवेचक धनात्मक है या शून्य के बराबर है, तो मूल सूत्र का प्रयोग करें, यदि विवेचक ऋणात्मक है, तो लिख लें कि कोई मूल नहीं है।

विएटा का प्रमेय

दिए गए द्विघात समीकरण ax 2 -7x+10=0 के मूल 2 और 5 हैं। मूलों का योग 7 है और गुणनफल 10 है। हम देखते हैं कि मूलों का योग दूसरे गुणांक के बराबर है, जिसे निम्न के साथ लिया जाता है। विपरीत चिन्ह है, और मूलों का गुणनफल मुक्त पद के बराबर है। कोई भी घटा हुआ द्विघात समीकरण जिसमें जड़ें होती हैं, में यह गुण होता है।

दिए गए द्विघात समीकरण के मूलों का योग विपरीत चिह्न से लिए गए दूसरे गुणांक के बराबर होता है और मूलों का गुणनफल मुक्त पद के बराबर होता है।

वे। विएटा के प्रमेय में कहा गया है कि कम द्विघात समीकरण x 2 +px+q=0 की जड़ें x 1 और x 2 में संपत्ति है:
\(\बाएं\( \शुरू(सरणी)(एल) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(सरणी) \दाएं। \)

उदाहरण के लिए, त्रिपद \(3x^2+2x-7\) के लिए, विवेचक \(2^2-4\cdot3\cdot(-7)=4+84=88\) होगा। और त्रिपद \(x^2-5x+11\) के लिए, यह \((-5)^2-4\cdot1\cdot11=25-44=-19\) के बराबर होगा।

विवेचक को \(D\) अक्षर से निरूपित किया जाता है और इसे हल करते समय अक्सर उपयोग किया जाता है। साथ ही, विवेचक के मान से, आप समझ सकते हैं कि ग्राफ़ कैसा दिखता है (नीचे देखें)।

विभेदक और द्विघात समीकरण की जड़ें

विभेदक का मान द्विघात समीकरण की मात्रा को दर्शाता है:
- यदि \(D\) धनात्मक है, तो समीकरण के दो मूल होंगे;
- यदि \(D\) शून्य के बराबर है - केवल एक मूल;
- यदि \(D\) ऋणात्मक है, तो कोई मूल नहीं है।

इसे सिखाने की आवश्यकता नहीं है, इस तरह के निष्कर्ष पर आना आसान है, बस यह जानकर कि विवेचक (अर्थात, \(\sqrt(D)\) से द्विघात समीकरण की जड़ों की गणना के लिए सूत्र में शामिल है : \(x_(1)=\)\( \frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) और \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D) ))(2a)\) आइए प्रत्येक मामले को और देखें।

यदि विवेचक सकारात्मक है

इस मामले में, इसका मूल कुछ सकारात्मक संख्या है, जिसका अर्थ है \(x_(1)\) और \(x_(2)\) मूल्य में भिन्न होंगे, क्योंकि पहले सूत्र में \(\sqrt(D) \) जोड़ा जाता है, और दूसरे में - घटाया जाता है। और हमारी दो अलग-अलग जड़ें हैं।

उदाहरण : समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए \(x^2+2x-3=0\)
समाधान :

उत्तर : \(x_(1)=1\); \(x_(2)=-3\)

यदि विवेचक शून्य है

और यदि विवेचक शून्य है तो कितनी जड़ें होंगी? आइए तर्क करें।

मूल सूत्र इस तरह दिखते हैं: \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) और \(x_(2)=\)\(\frac(- बी- \sqrt(D))(2a)\) । और यदि विवेचक शून्य है, तो उसका मूल भी शून्य है। तब यह पता चलता है:

\(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+\sqrt(0))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

\(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b-\sqrt(0))(2a) \) \(=\)\(\frac(-b-0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

यानी समीकरण के मूलों का मान मेल खाएगा, क्योंकि शून्य को जोड़ने या घटाने से कुछ भी नहीं बदलता है।

उदाहरण : समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए \(x^2-4x+4=0\)
समाधान :

\(x^2-4x+4=0\)		हम गुणांक लिखते हैं:
\(a=1;\) \(b=-4;\) \(c=4;\)		सूत्र \(D=b^2-4ac\) का उपयोग करके विवेचक की गणना करें
\(डी=(-4)^2-4\cdot1\cdot4=\) \(=16-16=0\)		समीकरण के मूल ज्ञात करना
\(x_(1)=\) \(\frac(-(-4)+\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\) \(x_(2)=\) \(\frac(-(-4)-\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\)		हमें दो समान जड़ें मिली हैं, इसलिए उन्हें अलग-अलग लिखने का कोई मतलब नहीं है - हम उन्हें एक के रूप में लिखते हैं।

उत्तर : \(x=2\)

बीजगणित के स्कूली पाठ्यक्रम के पूरे पाठ्यक्रम में, सबसे अधिक चमकदार विषयों में से एक द्विघात समीकरणों का विषय है। इस मामले में, एक द्विघात समीकरण को कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स + सी \u003d 0 के रूप के समीकरण के रूप में समझा जाता है, जहां एक 0 (यह पढ़ता है: एक्स वर्ग से गुणा करें प्लस एक्स प्लस सीई शून्य के बराबर है, जहां ए शून्य के बराबर नहीं है)। इस मामले में, मुख्य स्थान पर निर्दिष्ट प्रकार के द्विघात समीकरण के विभेदक को खोजने के लिए सूत्रों का कब्जा है, जिसे एक अभिव्यक्ति के रूप में समझा जाता है जो आपको द्विघात समीकरण में जड़ों की उपस्थिति या अनुपस्थिति को निर्धारित करने की अनुमति देता है, साथ ही साथ उनकी संख्या (यदि कोई हो)।

द्विघात समीकरण के विवेचक का सूत्र (समीकरण)

द्विघात समीकरण के विवेचक के लिए आम तौर पर स्वीकृत सूत्र इस प्रकार है: D \u003d b 2 - 4ac। संकेतित सूत्र का उपयोग करके विवेचक की गणना करके, कोई न केवल द्विघात समीकरण की उपस्थिति और जड़ों की संख्या निर्धारित कर सकता है, बल्कि इन जड़ों को खोजने के लिए एक विधि भी चुन सकता है, जिसमें द्विघात समीकरण के प्रकार के आधार पर कई हैं।

इसका क्या अर्थ है यदि विवेचक शून्य है \ द्विघात समीकरण की जड़ों का सूत्र यदि विवेचक शून्य है

विवेचक, सूत्र से निम्नानुसार दर्शाया गया है लैटिन अक्षरडी। उस मामले में जब भेदभाव शून्य के बराबर होता है, यह निष्कर्ष निकाला जाना चाहिए कि फॉर्म कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स + सी = 0 के द्विघात समीकरण, जहां एक 0, केवल एक जड़ है, जिसे सरलीकृत सूत्र का उपयोग करके गणना की जाती है . यह सूत्र केवल तभी लागू होता है जब विवेचक शून्य होता है और इस तरह दिखता है: x = –b/2a, जहां x द्विघात समीकरण का मूल है, b और a द्विघात समीकरण के संगत चर हैं। द्विघात समीकरण का मूल ज्ञात करने के लिए, चर b के ऋणात्मक मान को चर a के मान के दुगुने से विभाजित करना आवश्यक है। परिणामी व्यंजक द्विघात समीकरण का हल होगा।

विवेचक के माध्यम से द्विघात समीकरण को हल करना

यदि, उपरोक्त सूत्र का उपयोग करके विवेचक की गणना करते समय, एक सकारात्मक मान प्राप्त होता है (D शून्य से बड़ा है), तो द्विघात समीकरण के दो मूल हैं, जिनकी गणना निम्न सूत्रों का उपयोग करके की जाती है: x 1 = (-b + vD) / 2a, x 2 = (-b - vD) /2a. सबसे अधिक बार, विवेचक की गणना अलग से नहीं की जाती है, लेकिन एक विभेदक सूत्र के रूप में मूल अभिव्यक्ति को केवल मान D में प्रतिस्थापित किया जाता है, जिससे मूल निकाला जाता है। यदि चर b का एक सम मान है, तो ax 2 + bx + c = 0 के रूप में द्विघात समीकरण की जड़ों की गणना करने के लिए, जहाँ a 0 है, आप निम्न सूत्रों का भी उपयोग कर सकते हैं: x 1 = (-k + v(k2 - ac))/a , x 2 = (-k + v(k2 - ac))/a, जहां k = b/2.

कुछ मामलों में, व्यावहारिक समाधान के लिए द्विघातीय समीकरणआप विएटा प्रमेय का उपयोग कर सकते हैं, जो कहता है कि x 2 + px + q \u003d 0 के रूप के द्विघात समीकरण की जड़ों के योग के लिए, मान x 1 + x 2 \u003d -p सत्य होगा, और के लिए संकेतित समीकरण की जड़ों का उत्पाद, अभिव्यक्ति x 1 x x 2 \u003d q।

क्या विवेचक शून्य से कम हो सकता है?

विवेचक के मूल्य की गणना करते समय, कोई ऐसी स्थिति का सामना कर सकता है जो वर्णित मामलों में से किसी के अंतर्गत नहीं आती है - जब विवेचक का ऋणात्मक मान होता है (अर्थात शून्य से कम)। इस मामले में, यह माना जाता है कि फॉर्म कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स + सी = 0 के द्विघात समीकरण, जहां एक 0 की कोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं, इसलिए, इसका समाधान विवेचक की गणना करने तक सीमित होगा, और उपरोक्त सूत्रों के लिए इस मामले में द्विघात समीकरण की जड़ें लागू नहीं होंगी। वहीं, द्विघात समीकरण के उत्तर में लिखा है कि "समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं है।"

व्याख्यात्मक वीडियो:

द्विघात समीकरण की जड़ों के लिए सूत्र। वास्तविक, बहु और जटिल जड़ों के मामलों पर विचार किया जाता है। गुणन वर्ग त्रिपद. ज्यामितीय व्याख्या. मूल निर्धारण और गुणनखंडन के उदाहरण।

मूल सूत्र

द्विघात समीकरण पर विचार करें:
(1) .
द्विघात समीकरण की जड़ें(1) सूत्रों द्वारा निर्धारित किया जाता है:
; .
इन सूत्रों को इस प्रकार जोड़ा जा सकता है:
.
जब द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात हो जाते हैं, तब दूसरी डिग्री के बहुपद को कारकों के गुणनफल के रूप में दर्शाया जा सकता है (तथ्यात्मक):
.

इसके अलावा, हम मानते हैं कि वास्तविक संख्याएं हैं।
विचार करना द्विघात समीकरण का विभेदक:
.
यदि विवेचक धनात्मक है, तो द्विघात समीकरण (1) के दो भिन्न वास्तविक मूल हैं:
; .
तब वर्ग त्रिपद के गुणनखंड का रूप है:
.
यदि विवेचक शून्य है, तो द्विघात समीकरण (1) के दो गुणज (बराबर) वास्तविक मूल हैं:
.
गुणनखंडन:
.
यदि विवेचक ऋणात्मक है, तो द्विघात समीकरण (1) के दो जटिल संयुग्म मूल हैं:
;
.
यहाँ काल्पनिक इकाई है;
और जड़ों के वास्तविक और काल्पनिक भाग हैं:
; .
फिर

.

ग्राफिक व्याख्या

अगर निर्माण फंक्शन ग्राफ
,
जो एक परवलय है, तो अक्ष के साथ ग्राफ के प्रतिच्छेदन बिंदु समीकरण के मूल होंगे
.
जब , ग्राफ भुज अक्ष (अक्ष) को दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है।
जब , ग्राफ एक बिंदु पर x-अक्ष को स्पर्श करता है।
जब , ग्राफ x-अक्ष को पार नहीं करता है।

नीचे ऐसे रेखांकन के उदाहरण दिए गए हैं।

द्विघात समीकरण से संबंधित उपयोगी सूत्र

(एफ.1) ;
(एफ.2) ;
(एफ.3) .

द्विघात समीकरण के मूलों के सूत्र की व्युत्पत्ति

हम रूपांतरण करते हैं और सूत्र (f.1) और (f.3) लागू करते हैं:




,
कहाँ पे
; .

तो, हमें दूसरी डिग्री के बहुपद के लिए सूत्र के रूप में मिला:
.
इससे यह देखा जा सकता है कि समीकरण

पर प्रदर्शन किया
तथा ।
अर्थात्, और द्विघात समीकरण के मूल हैं
.

द्विघात समीकरण की जड़ों को निर्धारित करने के उदाहरण

उदाहरण 1

(1.1) .

समाधान

.
हमारे समीकरण (1.1) की तुलना में, हम गुणांक के मान पाते हैं:
.
विभेदक ढूँढना:
.
चूँकि विवेचक धनात्मक है, समीकरण के दो वास्तविक मूल हैं:
;
;
.

यहाँ से हम वर्ग त्रिपद का अपघटन कारकों में प्राप्त करते हैं:

.

फलन का ग्राफ y = 2 x 2 + 7 x + 3 x-अक्ष को दो बिंदुओं पर काटता है।

आइए फ़ंक्शन को प्लॉट करें
.
इस फ़ंक्शन का ग्राफ एक परवलय है। यह दो बिंदुओं पर x-अक्ष (अक्ष) को पार करता है:
तथा ।
ये बिंदु मूल समीकरण (1.1) के मूल हैं।

उत्तर

;
;
.

उदाहरण 2

द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए:
(2.1) .

समाधान

हम द्विघात समीकरण को सामान्य रूप में लिखते हैं:
.
मूल समीकरण (2.1) की तुलना में, हम गुणांक के मान पाते हैं:
.
विभेदक ढूँढना:
.
चूँकि विवेचक शून्य है, समीकरण के दो बहु (बराबर) मूल हैं:
;
.

फिर त्रिपद के गुणनखंड का रूप है:
.

फलन का ग्राफ y = x 2 - 4 x + 4एक बिंदु पर x-अक्ष को स्पर्श करता है।

आइए फ़ंक्शन को प्लॉट करें
.
इस फ़ंक्शन का ग्राफ एक परवलय है। यह एक बिंदु पर x-अक्ष (अक्ष) को स्पर्श करता है:
.
यह बिंदु मूल समीकरण (2.1) का मूल है। चूँकि यह जड़ दो बार गुणनखंडित होती है:
,
तब ऐसे मूल को गुणज कहते हैं। अर्थात्, वे मानते हैं कि दो समान जड़ें हैं:
.

उत्तर

;
.

उदाहरण 3

द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए:
(3.1) .

समाधान

हम द्विघात समीकरण को सामान्य रूप में लिखते हैं:
(1) .
आइए मूल समीकरण (3.1) को फिर से लिखें:
.
(1) की तुलना में, हम गुणांकों के मान पाते हैं:
.
विभेदक ढूँढना:
.
विभेदक ऋणात्मक है, . इसलिए, कोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं।

आप जटिल जड़ें पा सकते हैं:
;
;
.

फिर


.

फ़ंक्शन का ग्राफ़ x-अक्ष को पार नहीं करता है। कोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं।

आइए फ़ंक्शन को प्लॉट करें
.
इस फ़ंक्शन का ग्राफ एक परवलय है। यह भुज (अक्ष) को पार नहीं करता है। इसलिए, कोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं।

उत्तर

कोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं। जटिल जड़ें:
;
;
.

मुझे उम्मीद है कि इस लेख का अध्ययन करने के बाद, आप सीखेंगे कि पूर्ण द्विघात समीकरण की जड़ें कैसे खोजें।

विवेचक की सहायता से केवल पूर्ण द्विघात समीकरणों को हल किया जाता है अपूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए अन्य विधियों का उपयोग किया जाता है, जो आपको "अपूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करना" लेख में मिलेगा।

किस द्विघात समीकरण को पूर्ण कहा जाता है? यह ax 2 + b x + c = 0 . के रूप के समीकरण, जहां गुणांक ए, बी और सी शून्य के बराबर नहीं हैं। तो, पूर्ण द्विघात समीकरण को हल करने के लिए, आपको विवेचक डी की गणना करने की आवश्यकता है।

डी \u003d बी 2 - 4ac।

विवेचक के मूल्य के आधार पर, हम उत्तर लिखेंगे।

यदि विवेचक एक ऋणात्मक संख्या है (D< 0),то корней нет.

यदि विवेचक शून्य है, तो x \u003d (-b) / 2a। जब विवेचक एक धनात्मक संख्या हो (D > 0),

तो x 1 = (-b - D)/2a, और x 2 = (-b + D)/2a.

उदाहरण के लिए। प्रश्न हल करें एक्स 2- 4x + 4 = 0।

डी \u003d 4 2 - 4 4 \u003d 0

एक्स = (- (-4))/2 = 2

उत्तर : 2.

समीकरण 2 को हल करें एक्स 2 + एक्स + 3 = 0।

डी \u003d 1 2 - 4 2 3 \u003d - 23

उत्तर: कोई जड़ नहीं.

समीकरण 2 को हल करें एक्स 2 + 5x - 7 = 0.

डी \u003d 5 2 - 4 2 (-7) \u003d 81

x 1 \u003d (-5 - 81) / (2 2) \u003d (-5 - 9) / 4 \u003d - 3.5

x 2 \u003d (-5 + 81) / (2 2) \u003d (-5 + 9) / 4 \u003d 1

उत्तर:- 3.5; एक.

तो आइए चित्र 1 में योजना द्वारा पूर्ण द्विघात समीकरणों के हल की कल्पना करें।

इन सूत्रों का उपयोग किसी भी पूर्ण द्विघात समीकरण को हल करने के लिए किया जा सकता है। बस आपको सावधान रहने की जरूरत है समीकरण को मानक रूप के बहुपद के रूप में लिखा गया था

एक एक्स 2 + बीएक्स + सी,अन्यथा आप गलती कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, समीकरण x + 3 + 2x 2 = 0 लिखकर, आप गलती से यह तय कर सकते हैं कि

a = 1, b = 3 और c = 2. तब

डी \u003d 3 2 - 4 1 2 \u003d 1 और फिर समीकरण की दो जड़ें हैं। और ये सच नहीं है. (ऊपर उदाहरण 2 समाधान देखें)।

इसलिए, यदि समीकरण को मानक रूप के बहुपद के रूप में नहीं लिखा जाता है, तो पहले पूर्ण द्विघात समीकरण को मानक रूप के बहुपद के रूप में लिखा जाना चाहिए (पहले स्थान पर सबसे बड़ा घातांक वाला एकपदी होना चाहिए, अर्थात् एक एक्स 2 , फिर कम . के साथ – बीएक्स, और फिर मुक्त अवधि साथ।

उपरोक्त द्विघात समीकरण और द्विघात समीकरण को दूसरे पद के लिए सम गुणांक के साथ हल करते समय, अन्य सूत्रों का भी उपयोग किया जा सकता है। आइए इन सूत्रों से परिचित हों। यदि दूसरे पद के साथ पूर्ण द्विघात समीकरण में गुणांक सम (b = 2k) है, तो चित्र 2 के आरेख में दिखाए गए सूत्रों का उपयोग करके समीकरण को हल किया जा सकता है।

एक पूर्ण द्विघात समीकरण को कम किया जाता है यदि गुणांक एक्स 2 एकता के बराबर होती है और समीकरण रूप लेता है एक्स 2 + पीएक्स + क्यू = 0. इस तरह के समीकरण को हल करने के लिए दिया जा सकता है, या समीकरण के सभी गुणांक को गुणांक द्वारा विभाजित करके प्राप्त किया जा सकता है एकपर खड़े एक्स 2 .

चित्रा 3 कम वर्ग के समाधान का एक आरेख दिखाता है
समीकरण इस आलेख में चर्चा किए गए सूत्रों के आवेदन के उदाहरण पर विचार करें।

उदाहरण। प्रश्न हल करें

3एक्स 2 + 6x - 6 = 0.

आइए चित्र 1 में दिखाए गए सूत्रों का उपयोग करके इस समीकरण को हल करें।

डी \u003d 6 2 - 4 3 (- 6) \u003d 36 + 72 \u003d 108

D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 \u003d (-6 - 6 3) / (2 3) \u003d (6 (-1- (3))) / 6 \u003d -1 - 3

x 2 \u003d (-6 + 6 3) / (2 3) \u003d (6 (-1 + √ (3))) / 6 \u003d -1 + 3

उत्तर: -1 - 3; -1 + 3

आप देख सकते हैं कि इस समीकरण में x पर गुणांक एक सम संख्या है, अर्थात्, b \u003d 6 या b \u003d 2k, जहाँ से k \u003d 3. फिर आइए आकृति आरेख में दिखाए गए सूत्रों का उपयोग करके समीकरण को हल करने का प्रयास करें। डी 1 \u003d 3 2 - 3 (- 6 ) = 9 + 18 = 27

(डी 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 \u003d (-3 - 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 - √ (3))) / 3 \u003d - 1 - 3

x 2 \u003d (-3 + 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 + √ (3))) / 3 \u003d - 1 + 3

उत्तर: -1 - 3; -1 + 3. यह देखते हुए कि इस द्विघात समीकरण के सभी गुणांक 3 से विभाज्य हैं और विभाजित करने पर, हमें घटा हुआ द्विघात समीकरण x 2 + 2x - 2 = 0 प्राप्त होता है।
समीकरण चित्रा 3.

डी 2 \u003d 2 2 - 4 (- 2) \u003d 4 + 8 \u003d 12

(डी 2) = 12 = √(4 3) = 2√3

x 1 \u003d (-2 - 2√3) / 2 \u003d (2 (-1 - √ (3))) / 2 \u003d - 1 - 3

x 2 \u003d (-2 + 2 3) / 2 \u003d (2 (-1 + √ (3))) / 2 \u003d - 1 + 3

उत्तर: -1 - 3; -1 + 3।

जैसा कि आप देख सकते हैं, विभिन्न सूत्रों का उपयोग करके इस समीकरण को हल करने पर, हमें एक ही उत्तर मिला। इसलिए, चित्र 1 के आरेख में दिखाए गए सूत्रों में अच्छी तरह से महारत हासिल करने के बाद, आप हमेशा किसी भी पूर्ण द्विघात समीकरण को हल कर सकते हैं।

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