क्रांति के निकाय और सतहें। विजुअल गाइड (2019)। एक ज्यामितीय आकृति के रूप में शंकु

चावल। 1. जीवन से प्राप्त वस्तुएँ जिनका आकार काटे गए शंकु जैसा होता है

आपके अनुसार ज्यामिति में नई आकृतियाँ कहाँ से आती हैं? सब कुछ बहुत सरल है: जीवन में एक व्यक्ति समान वस्तुओं का सामना करता है और उन्हें क्या कहा जाए, यह सोच लेता है। उस आसन पर विचार करें जिस पर सर्कस में शेर बैठते हैं, गाजर का एक टुकड़ा, जो तब प्राप्त होता है जब हम इसका केवल एक हिस्सा काटते हैं, एक सक्रिय ज्वालामुखी और, उदाहरण के लिए, टॉर्च से प्रकाश (चित्र 1 देखें)।

चावल। 2. ज्यामितीय आकृतियाँ

हम देखते हैं कि ये सभी आकृतियाँ एक समान आकार की हैं - नीचे और ऊपर दोनों ओर से वे वृत्तों द्वारा सीमित हैं, लेकिन वे ऊपर की ओर संकीर्ण हैं (चित्र 2 देखें)।

चावल। 3. शंकु के शीर्ष को काटना

यह एक शंकु जैसा दिखता है। बस शीर्ष गायब है. आइए मानसिक रूप से कल्पना करें कि हम एक शंकु लेते हैं और एक तेज तलवार के एक झटके से उसका ऊपरी हिस्सा काट देते हैं (चित्र 3 देखें)।

चावल। 4. कटा हुआ शंकु

यह बिल्कुल हमारी आकृति बन जाती है, इसे काटे गए शंकु कहा जाता है (चित्र 4 देखें)।

चावल। 5. शंकु के आधार के समानांतर अनुभाग

एक कोन दिया जाए. आइए इस शंकु के आधार के तल के समानांतर और शंकु को प्रतिच्छेद करते हुए एक विमान बनाएं (चित्र 5 देखें)।

यह शंकु को दो भागों में विभाजित कर देगा: उनमें से एक छोटा शंकु है, और दूसरे को काटे गए शंकु कहा जाता है (चित्र 6 देखें)।

चावल। 6. एक समानांतर खंड के साथ प्राप्त शरीर

इस प्रकार, एक कटा हुआ शंकु शंकु का एक हिस्सा है जो इसके आधार और आधार के समानांतर एक विमान के बीच घिरा हुआ है। जैसा कि शंकु के मामले में होता है, एक कटे हुए शंकु के आधार पर एक वृत्त हो सकता है - इस मामले में इसे गोलाकार कहा जाता है। यदि मूल शंकु सीधा था, तो कटे हुए शंकु को सीधा कहा जाता है। शंकु के मामले में, हम केवल सीधे गोलाकार काटे गए शंकु पर विचार करेंगे, जब तक कि यह विशेष रूप से इंगित न किया जाए कि हम अप्रत्यक्ष काटे गए शंकु के बारे में बात कर रहे हैं या इसके आधारों में कोई वृत्त नहीं हैं।

चावल। 7. एक आयताकार समलम्बाकार का घूमना

हमारा वैश्विक विषय क्रांति के निकाय हैं। कटा हुआ शंकु कोई अपवाद नहीं है! याद रखें कि एक शंकु प्राप्त करने के लिए हमने विचार किया था सही त्रिकोणऔर इसे पैर के चारों ओर घुमाया? यदि परिणामी शंकु को आधार के समानांतर एक विमान द्वारा पार किया जाता है, तो त्रिकोण से एक आयताकार ट्रेपेज़ॉइड बना रहेगा। छोटी पार्श्व भुजा के चारों ओर इसका घूर्णन हमें एक छोटा शंकु देगा। फिर से ध्यान दें कि, निःसंदेह, हम केवल एक लंब वृत्तीय शंकु के बारे में बात कर रहे हैं (चित्र 7 देखें)।

चावल। 8. काटे गए शंकु का आधार

आइए कुछ टिप्पणियाँ करें। आधार पूर्ण शंकुऔर एक समतल द्वारा शंकु के खंड में प्राप्त वृत्त को काटे गए शंकु का आधार (निचला और ऊपरी) कहा जाता है (चित्र 8 देखें)।

चावल। 9. काटे गए शंकु के जनक

पूर्ण शंकु के जनकों के खंड, जो एक काटे गए शंकु के आधारों के बीच घिरे होते हैं, काटे गए शंकु के जनक कहलाते हैं। चूँकि मूल शंकु के सभी जनरेटर समान हैं और काटे गए शंकु के सभी जनरेटर समान हैं, तो काटे गए शंकु के जनरेटर भी समान हैं (काटे गए और काटे गए को भ्रमित न करें!)। इसलिए अक्षीय खंड के समद्विबाहु समलम्ब का अनुसरण करता है (चित्र 9 देखें)।

काटे गए शंकु के अंदर घिरे घूर्णन अक्ष के एक खंड को काटे गए शंकु की धुरी कहा जाता है। यह खंड, निश्चित रूप से, इसके आधारों के केंद्रों को जोड़ता है (चित्र 10 देखें)।

चावल। 10. काटे गए शंकु की धुरी

एक काटे गए शंकु की ऊंचाई एक आधार के एक बिंदु से दूसरे आधार तक खींचे गए लंबवत के बराबर होती है। प्राय: इसकी धुरी को एक काटे गए शंकु की ऊंचाई के रूप में माना जाता है।

चावल। 11. काटे गए शंकु का अक्षीय खंड

काटे गए शंकु का अक्षीय खंड उसकी धुरी से गुजरने वाला खंड है। यह एक समलम्ब चतुर्भुज जैसा दिखता है, थोड़ी देर बाद हम इसके समद्विबाहु को सिद्ध करेंगे (चित्र 11 देखें)।

चावल। 12. प्रस्तुत संकेतन के साथ शंकु

काटे गये शंकु की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये। माना कि काटे गए शंकु के आधारों की त्रिज्याएँ और हैं, और जनरेटर बराबर है (चित्र 12 देखें)।

चावल। 13. काटे गए शंकु के जेनरेट्रिक्स का अंकन

आइए काटे गए शंकु की पार्श्व सतह के क्षेत्रफल को मूल शंकु और काटे गए शंकु की पार्श्व सतहों के क्षेत्रफल के बीच के अंतर के रूप में ज्ञात करें। ऐसा करने के लिए, हम काटे गए शंकु के जेनरेट्रिक्स द्वारा निरूपित करते हैं (चित्र 13 देखें)।

फिर वांछित.

चावल। 14. समरूप त्रिभुज

व्यक्त करना बाकी है

ध्यान दें कि त्रिभुजों की समानता से, जहां से (चित्र 14 देखें)।

त्रिज्या के अंतर से विभाजित करके व्यक्त करना संभव होगा, लेकिन हमें इसकी आवश्यकता नहीं है, क्योंकि उत्पाद वांछित अभिव्यक्ति में दिखाई देता है। के स्थान पर प्रतिस्थापित करने पर, अंततः हमारे पास है: .

अब कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र प्राप्त करना कठिन नहीं है। ऐसा करने के लिए, बस दो आधार वृत्तों के क्षेत्रफल जोड़ें: .

चावल। 15. समस्या के लिए चित्रण

मान लीजिए कि एक आयताकार समलंब को उसकी ऊंचाई के चारों ओर घुमाकर काटे गए शंकु को प्राप्त किया जाता है। ट्रेपेज़ॉइड की मध्य रेखा बराबर है, और बड़ी पार्श्व भुजा है (चित्र 15 देखें)। परिणामी काटे गए शंकु की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल ज्ञात करें।

समाधान

सूत्र से हम यह जानते हैं .

शंकु का जेनरेट्रिक्स मूल समलम्ब चतुर्भुज का बड़ा भाग होगा, अर्थात शंकु की त्रिज्याएँ समलम्ब चतुर्भुज के आधार हैं। हम उन्हें ढूंढ नहीं सकते. लेकिन हमें इसकी आवश्यकता नहीं है: केवल उनके योग की आवश्यकता है, और ट्रेपेज़ॉइड के आधारों का योग इसकी मध्य रेखा से दोगुना है, अर्थात यह बराबर है। तब ।

कृपया ध्यान दें कि जब हमने शंकु के बारे में बात की थी, तो हमने इसके और पिरामिड के बीच समानताएं खींची थीं - सूत्र समान थे। यहाँ भी ऐसा ही है, क्योंकि एक काटे गए शंकु एक काटे गए पिरामिड के समान है, इसलिए काटे गए शंकु और पिरामिड की पार्श्व और पूर्ण सतहों के क्षेत्रों के सूत्र (और जल्द ही आयतन के लिए सूत्र होंगे) समान हैं .

चावल। 1. समस्या के लिए चित्रण

काटे गए शंकु के आधारों की त्रिज्याएँ और के बराबर हैं, और जेनरेट्रिक्स के बराबर है। काटे गए शंकु की ऊंचाई और उसके अक्षीय खंड का क्षेत्रफल ज्ञात करें (चित्र 1 देखें)।

एक बिंदु से निकलने वाली सभी किरणों के मिलन से प्राप्त ( चोटियोंशंकु) और एक सपाट सतह से गुजर रहा है। कभी-कभी शंकु को ऐसे शरीर का एक हिस्सा कहा जाता है, जो एक सपाट सतह के शीर्ष और बिंदुओं को जोड़ने वाले सभी खंडों के मिलन से प्राप्त होता है (इस मामले में बाद वाले को कहा जाता है) आधारशंकु, और शंकु कहा जाता है आधारितइस आधार पर)। इस मामले पर नीचे विचार किया जाएगा, जब तक कि अन्यथा न कहा गया हो। यदि शंकु का आधार बहुभुज है, तो शंकु एक पिरामिड बन जाता है।

"== संबंधित परिभाषाएँ ==

• वह रेखाखंड जो शीर्ष और आधार की सीमा को जोड़ता है, कहलाता है शंकु का जेनरेट्रिक्स.
• शंकु के जनकों का मिलन कहलाता है जेनरेट्रिक्स(या ओर) शंकु सतह. शंकु का जेनरेट्रिक्स एक शंक्वाकार सतह है।
• शीर्ष से आधार के तल पर लंबवत गिराए गए खंड (और ऐसे खंड की लंबाई भी) को कहा जाता है शंकु ऊँचाई.
• यदि शंकु के आधार में समरूपता का केंद्र है (उदाहरण के लिए, यह एक वृत्त या दीर्घवृत्त है) और आधार के तल पर शंकु के शीर्ष का ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण इस केंद्र के साथ मेल खाता है, तो शंकु कहा जाता है प्रत्यक्ष. शीर्ष और आधार के केंद्र को जोड़ने वाली रेखा कहलाती है शंकु अक्ष.
• परोक्ष (इच्छुक) शंकु - एक शंकु जिसमें आधार से शीर्ष का ओर्थोगोनल प्रक्षेपण इसके समरूपता के केंद्र के साथ मेल नहीं खाता है।
• गोलाकार शंकुएक शंकु जिसका आधार एक वृत्त है.
• सीधा गोलाकार शंकु(अक्सर इसे केवल शंकु के रूप में संदर्भित किया जाता है) पैर वाली रेखा के चारों ओर एक समकोण त्रिभुज घुमाकर प्राप्त किया जा सकता है (यह रेखा शंकु की धुरी का प्रतिनिधित्व करती है)।
• दीर्घवृत्त, परवलय या अतिपरवलय पर आधारित शंकु को क्रमशः कहा जाता है दीर्घ वृत्ताकार, अणुवृत्त आकार काऔर अतिशयोक्तिपूर्ण शंकु(अंतिम दो का आयतन अनंत है)।
• शंकु का वह भाग जो आधार और आधार के समांतर समतल तथा शीर्ष और आधार के बीच स्थित होता है, कहलाता है छोटा शंकु.

गुण

• यदि आधार का क्षेत्रफल परिमित है तो शंकु का आयतन भी परिमित है और आधार की ऊँचाई तथा क्षेत्रफल के गुणनफल के एक तिहाई के बराबर है। इस प्रकार, सभी शंकु किसी दिए गए आधार पर टिके हुए हैं और उनका शीर्ष आधार के समानांतर किसी दिए गए तल पर स्थित है समान मात्राक्योंकि उनकी ऊंचाई बराबर है.
• किसी भी परिमित आयतन वाले शंकु का गुरुत्व केंद्र आधार से एक चौथाई ऊंचाई पर होता है।
• एक लम्ब वृत्तीय शंकु के शीर्ष पर ठोस कोण बराबर होता है

कहाँ - उद्घाटन कोणशंकु (अर्थात शंकु की धुरी और उसकी पार्श्व सतह पर किसी भी सीधी रेखा के बीच के कोण का दोगुना)।

• ऐसे शंकु का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल बराबर होता है

जहां आधार की त्रिज्या है, जेनरेट्रिक्स की लंबाई है।

• एक वृत्ताकार शंकु का आयतन है

• एक लम्ब वृत्तीय शंकु के साथ एक समतल का प्रतिच्छेदन शंक्वाकार खंडों में से एक है (गैर-पतित मामलों में, एक दीर्घवृत्त, परवलय या अतिपरवलय, छेदक तल की स्थिति पर निर्भर करता है)।

सामान्यीकरण

बीजगणितीय ज्यामिति में कोनक्षेत्र के ऊपर सदिश समष्टि का एक मनमाना उपसमुच्चय है जिसके लिए, किसी के लिए

यह सभी देखें

• शंकु (टोपोलॉजी)

विकिमीडिया फ़ाउंडेशन. 2010 .

देखें अन्य शब्दकोशों में "शंकु (ज्यामितीय आकृति)" क्या है:

शंकु: गणित में शंकु ज्यामितीय आकृति. टोपोलॉजिकल स्पेस के ऊपर एक शंकु। शंकु (श्रेणी सिद्धांत)। प्रौद्योगिकी में, शंकु मशीन टूल्स में एक उपकरण और एक स्पिंडल को जोड़ने के लिए एक उपकरण विधि है। शंकु उपकरण गाँठ ... ...विकिपीडिया

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विज्ञान का इतिहास...विकिपीडिया

विज्ञान का इतिहास विषय गणित के अनुसार प्राकृतिक विज्ञान...विकिपीडिया

- (ग्रीक जियोडाइसिया, जीई अर्थ और डीएओ आई शेयर, आई शेयर से), पृथ्वी की सतह पर वस्तुओं की स्थिति, पृथ्वी और अन्य ग्रहों के आकार, आकार और गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र का निर्धारण करने का विज्ञान। यह अनुप्रयुक्त गणित की एक शाखा है, जिसका ज्यामिति से गहरा संबंध है, ... ... कोलियर इनसाइक्लोपीडिया

शंकु (ग्रीक "कोनोस" से)– पाइन शंकु. शंकु प्राचीन काल से ही लोगों से परिचित रहा है। 1906 में आर्किमिडीज़ (287-212 ईसा पूर्व) द्वारा लिखित पुस्तक "ऑन द मेथड" की खोज की गई थी, इस पुस्तक में प्रतिच्छेदी सिलेंडरों के सामान्य भाग के आयतन की समस्या का समाधान दिया गया है। आर्किमिडीज़ का कहना है कि यह खोज प्राचीन यूनानी दार्शनिक डेमोक्रिटस (470-380 ईसा पूर्व) की है, जिन्होंने इस सिद्धांत का उपयोग करके पिरामिड और शंकु के आयतन की गणना के लिए सूत्र प्राप्त किए थे।

शंकु (गोलाकार शंकु) - एक पिंड जिसमें एक वृत्त होता है - शंकु का आधार, एक बिंदु जो इस वृत्त के तल से संबंधित नहीं है - शंकु का शीर्ष और शंकु के शीर्ष और आधार को जोड़ने वाले सभी खंड वृत्त बिंदु. वे खंड जो शंकु के शीर्ष को आधार के वृत्त के बिंदुओं से जोड़ते हैं, शंकु के जनक कहलाते हैं। शंकु की सतह में एक आधार और एक पार्श्व सतह होती है।

एक शंकु को सीधा कहा जाता है यदि शंकु के शीर्ष को आधार के केंद्र से जोड़ने वाली रेखा आधार के तल पर लंबवत हो। एक लंब वृत्तीय शंकु को उसके पैर के चारों ओर एक अक्ष के रूप में एक समकोण त्रिभुज को घुमाने से प्राप्त पिंड के रूप में माना जा सकता है।

एक शंकु की ऊँचाई उसके शीर्ष से उसके आधार के तल पर खींचे गए लम्ब के बराबर होती है। एक लंब शंकु के लिए, ऊँचाई का आधार आधार के केंद्र से मेल खाता है। लम्ब शंकु की धुरी एक सीधी रेखा होती है जिसमें इसकी ऊँचाई होती है।

शंकु के जेनरेट्रिक्स से गुजरने वाले और इस जेनरेट्रिक्स के माध्यम से खींचे गए अक्षीय खंड के लंबवत भाग को शंकु का स्पर्शरेखा तल कहा जाता है।

शंकु की धुरी पर लंबवत एक तल शंकु को एक वृत्त में काटता है, और पार्श्व सतह- शंकु के अक्ष पर केन्द्रित एक वृत्त के अनुदिश।

शंकु की धुरी पर लंबवत एक समतल इससे एक छोटा शंकु काट देता है। शेष भाग को काटे गए शंकु कहा जाता है।

एक शंकु का आयतन ऊँचाई और आधार के क्षेत्रफल के गुणनफल के एक तिहाई के बराबर होता है। इस प्रकार, किसी दिए गए आधार पर टिके हुए और आधार के समानांतर किसी दिए गए तल पर स्थित शीर्ष वाले सभी शंकुओं का आयतन समान होता है, क्योंकि उनकी ऊंचाई समान होती है।

शंकु का पार्श्व सतह क्षेत्र सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है:

एस साइड = πRl,

शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है:

एस कोन = πRl + πR 2,

जहाँ R आधार की त्रिज्या है, l जेनरेट्रिक्स की लंबाई है।

एक वृत्ताकार शंकु का आयतन है

वी = 1/3 πआर 2 एच,

जहाँ R आधार की त्रिज्या है, H शंकु की ऊँचाई है

काटे गए शंकु की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल सूत्र द्वारा ज्ञात किया जा सकता है:

S भुजा = π(R + r)l,

एक काटे गए शंकु का कुल सतह क्षेत्र सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है:

एस कॉन = πआर 2 + πआर 2 + π(आर + आर)एल,

जहां R निचले आधार की त्रिज्या है, r ऊपरी आधार की त्रिज्या है, l जेनरेटर की लंबाई है।

आयतन छोटा शंकुइस प्रकार पाया जा सकता है:

वी = 1/3 πH(आर 2 + आरआर + आर 2),

जहां R निचले आधार की त्रिज्या है, r ऊपरी आधार की त्रिज्या है, H शंकु की ऊंचाई है।

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परिभाषाएँ:
परिभाषा 1. शंकु
परिभाषा 2. वृत्ताकार शंकु
परिभाषा 3. शंकु की ऊंचाई
परिभाषा 4. सीधा शंकु
परिभाषा 5. लंब वृत्तीय शंकु
प्रमेय 1. शंकु के जनक
प्रमेय 1.1. शंकु का अक्षीय खंड

आयतन एवं क्षेत्रफल :
प्रमेय 2. एक शंकु का आयतन
प्रमेय 3. शंकु की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल

छिन्नक :
प्रमेय 4. आधार के समानांतर धारा
परिभाषा 6. कटा हुआ शंकु
प्रमेय 5. काटे गए शंकु का आयतन
प्रमेय 6. काटे गए शंकु की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल

परिभाषा
शरीर पार्श्व रूप से इसके शीर्ष और गाइड के तल के बीच ली गई एक शंक्वाकार सतह से घिरा हुआ है, और समतल आधारएक बंद वक्र द्वारा निर्मित गाइड को शंकु कहा जाता है।

बुनियादी अवधारणाओं
एक वृत्ताकार शंकु एक पिंड है जिसमें एक वृत्त (आधार), एक बिंदु जो आधार (शीर्ष) के तल में नहीं होता है और शीर्ष को आधार के बिंदुओं से जोड़ने वाले सभी खंड होते हैं।

लंब शंकु वह शंकु होता है जिसकी ऊंचाई में शंकु के आधार का केंद्र आधार होता है।

किसी भी रेखा (वक्र, टूटी हुई या मिश्रित) पर विचार करें (उदाहरण के लिए, एल) किसी तल में पड़ा हुआ है, और एक मनमाना बिंदु (उदाहरण के लिए, एम) इस तल में नहीं पड़ा है। बिंदु M को दी गई रेखा के सभी बिंदुओं से जोड़ने वाली सभी संभावित रेखाएँ एल, रूप सतह को विहित कहा जाता है. बिंदु M ऐसी सतह का शीर्ष और दी गई रेखा है एल - मार्गदर्शक. बिंदु M को रेखा के सभी बिंदुओं से जोड़ने वाली सभी रेखाएँ एल, बुलाया उत्पादक. एक विहित सतह अपने शीर्ष या गाइड द्वारा सीमित नहीं है। यह शिखर के दोनों ओर अनिश्चित काल तक फैला हुआ है। अब गाइड को एक बंद उत्तल रेखा होने दें। यदि गाइड एक टूटी हुई रेखा है, तो उसके शीर्ष और गाइड के तल के बीच ली गई एक विहित सतह और गाइड के तल में एक सपाट आधार द्वारा पार्श्व रूप से घिरा शरीर पिरामिड कहलाता है।
यदि गाइड एक वक्र या मिश्रित रेखा है, तो उसके शीर्ष और गाइड के तल के बीच ली गई एक विहित सतह और गाइड के तल में एक सपाट आधार द्वारा पार्श्व रूप से घिरा शरीर शंकु कहलाता है या
परिभाषा 1 . शंकु एक पिंड है जिसमें एक आधार होता है - एक बंद रेखा (वक्र या मिश्रित) से घिरी एक सपाट आकृति, एक शीर्ष - एक बिंदु जो आधार के तल में स्थित नहीं होता है, और शीर्ष को सभी संभावित बिंदुओं से जोड़ने वाले सभी खंड आधार का.
शंकु के शीर्ष से गुजरने वाली सभी रेखाएँ और वक्र के किसी भी बिंदु जो शंकु के आधार की आकृति को सीमित करते हैं, शंकु के जनक कहलाते हैं। अक्सर, ज्यामितीय समस्याओं में, एक सीधी रेखा के जेनरेट्रिक्स का मतलब शंकु के शीर्ष और आधार के तल के बीच घिरा इस सीधी रेखा का एक खंड होता है।
सीमित मिश्रित रेखा का निचला भाग एक बहुत ही दुर्लभ मामला है। इसे यहां केवल इसलिए सूचीबद्ध किया गया है क्योंकि इसे ज्यामिति में माना जा सकता है। घुमावदार गाइड वाले मामले पर अक्सर विचार किया जाता है। हालाँकि, मनमाना वक्र वाला मामला, मिश्रित मार्गदर्शिका वाला मामला, बहुत कम उपयोग का होता है और उनमें कोई नियमितता प्राप्त करना मुश्किल होता है। प्रारंभिक ज्यामिति के पाठ्यक्रम में शंकुओं की संख्या में से एक लंब वृत्तीय शंकु का अध्ययन किया जाता है।

मालूम होता है कि वर्तुल है विशेष मामलाबंद घुमावदार रेखा. वृत्त एक वृत्त से घिरी हुई एक सपाट आकृति है। एक वृत्त को मार्गदर्शक के रूप में लेते हुए, आप एक वृत्ताकार शंकु को परिभाषित कर सकते हैं।
परिभाषा 2 . एक वृत्ताकार शंकु एक पिंड है जिसमें एक वृत्त (आधार), एक बिंदु जो आधार (शीर्ष) के तल में नहीं होता है और शीर्ष को आधार के बिंदुओं से जोड़ने वाले सभी खंड होते हैं।
परिभाषा 3 . शंकु की ऊँचाई शंकु के आधार के तल पर ऊपर से डाला गया लम्ब है। एक शंकु को अलग करना संभव है, जिसकी ऊंचाई आधार की सपाट आकृति के केंद्र में आती है।
परिभाषा 4 . लंब शंकु वह शंकु होता है जिसकी ऊंचाई में शंकु के आधार का केंद्र आधार होता है।
यदि हम इन दोनों परिभाषाओं को जोड़ते हैं, तो हमें एक शंकु मिलता है, जिसका आधार एक वृत्त है, और ऊंचाई इस वृत्त के केंद्र में आती है।
परिभाषा 5 . एक लंब वृत्ताकार शंकु को शंकु कहते हैं, जिसका आधार एक वृत्त होता है और इसकी ऊंचाई इस शंकु के शीर्ष और आधार के केंद्र को जोड़ती है। ऐसा शंकु एक पैर के चारों ओर एक समकोण त्रिभुज घुमाकर प्राप्त किया जाता है। इसलिए, एक लंब वृत्तीय शंकु परिक्रमण का पिंड है और इसे परिक्रमण शंकु भी कहा जाता है। जब तक अन्यथा न कहा जाए, निम्नलिखित में संक्षिप्तता के लिए हम केवल एक शंकु कहते हैं।
तो यहाँ शंकु के कुछ गुण हैं:
प्रमेय 1. एक शंकु के सभी जनरेटर समान हैं। सबूत। परिभाषा के अनुसार एमओ की ऊंचाई आधार की सभी रेखाओं के लंबवत है, विमान की रेखा के लंबवत है। इसलिए, त्रिकोण MOA, MOV और MOS आयताकार हैं और दो पैरों में बराबर हैं (MO - सामान्य, OA \u003d OB \u003d OS - आधार त्रिज्या। इसलिए, कर्ण, यानी जनरेटर भी बराबर हैं।
शंकु के आधार की त्रिज्या को कभी-कभी कहा जाता है शंकु त्रिज्या. शंकु की ऊँचाई भी कहलाती है शंकु अक्ष, इसलिए ऊंचाई से गुजरने वाले किसी भी खंड को कहा जाता है अक्षीय खंड. कोई भी अक्षीय खंड आधार को व्यास में काटता है (क्योंकि वह सीधी रेखा जिसके साथ अक्षीय खंड और आधार का तल प्रतिच्छेद करता है, वृत्त के केंद्र से होकर गुजरता है) और एक समद्विबाहु त्रिभुज बनाता है।
प्रमेय 1.1. शंकु का अक्षीय भाग एक समद्विबाहु त्रिभुज है। अतः त्रिभुज AMB समद्विबाहु है, क्योंकि। इसके दो किनारे MB और MA जेनरेटर हैं। कोण AMB अक्षीय खंड के शीर्ष पर स्थित कोण है।

चावल। 1. जीवन से प्राप्त वस्तुएँ जिनका आकार काटे गए शंकु जैसा होता है

आपके अनुसार ज्यामिति में नई आकृतियाँ कहाँ से आती हैं? सब कुछ बहुत सरल है: जीवन में एक व्यक्ति समान वस्तुओं का सामना करता है और उन्हें क्या कहा जाए, यह सोच लेता है। उस आसन पर विचार करें जिस पर सर्कस में शेर बैठते हैं, गाजर का एक टुकड़ा, जो तब प्राप्त होता है जब हम इसका केवल एक हिस्सा काटते हैं, एक सक्रिय ज्वालामुखी और, उदाहरण के लिए, टॉर्च से प्रकाश (चित्र 1 देखें)।

चावल। 2. ज्यामितीय आकृतियाँ

हम देखते हैं कि ये सभी आकृतियाँ एक समान आकार की हैं - नीचे और ऊपर दोनों ओर से वे वृत्तों द्वारा सीमित हैं, लेकिन वे ऊपर की ओर संकीर्ण हैं (चित्र 2 देखें)।

चावल। 3. शंकु के शीर्ष को काटना

यह एक शंकु जैसा दिखता है। बस शीर्ष गायब है. आइए मानसिक रूप से कल्पना करें कि हम एक शंकु लेते हैं और एक तेज तलवार के एक झटके से उसका ऊपरी हिस्सा काट देते हैं (चित्र 3 देखें)।

चावल। 4. कटा हुआ शंकु

यह बिल्कुल हमारी आकृति बन जाती है, इसे काटे गए शंकु कहा जाता है (चित्र 4 देखें)।

चावल। 5. शंकु के आधार के समानांतर अनुभाग

एक कोन दिया जाए. आइए इस शंकु के आधार के तल के समानांतर और शंकु को प्रतिच्छेद करते हुए एक विमान बनाएं (चित्र 5 देखें)।

यह शंकु को दो भागों में विभाजित कर देगा: उनमें से एक छोटा शंकु है, और दूसरे को काटे गए शंकु कहा जाता है (चित्र 6 देखें)।

चावल। 6. एक समानांतर खंड के साथ प्राप्त शरीर

इस प्रकार, एक कटा हुआ शंकु शंकु का एक हिस्सा है जो इसके आधार और आधार के समानांतर एक विमान के बीच घिरा हुआ है। जैसा कि शंकु के मामले में होता है, एक कटे हुए शंकु के आधार पर एक वृत्त हो सकता है - इस मामले में इसे गोलाकार कहा जाता है। यदि मूल शंकु सीधा था, तो कटे हुए शंकु को सीधा कहा जाता है। शंकु के मामले में, हम केवल सीधे गोलाकार काटे गए शंकु पर विचार करेंगे, जब तक कि यह विशेष रूप से इंगित न किया जाए कि हम अप्रत्यक्ष काटे गए शंकु के बारे में बात कर रहे हैं या इसके आधारों में कोई वृत्त नहीं हैं।

चावल। 7. एक आयताकार समलम्बाकार का घूमना

हमारा वैश्विक विषय क्रांति के निकाय हैं। कटा हुआ शंकु कोई अपवाद नहीं है! याद रखें कि एक शंकु प्राप्त करने के लिए, हमने एक समकोण त्रिभुज पर विचार किया और इसे पैर के चारों ओर घुमाया? यदि परिणामी शंकु को आधार के समानांतर एक विमान द्वारा पार किया जाता है, तो त्रिकोण से एक आयताकार ट्रेपेज़ॉइड बना रहेगा। छोटी पार्श्व भुजा के चारों ओर इसका घूर्णन हमें एक छोटा शंकु देगा। फिर से ध्यान दें कि, निःसंदेह, हम केवल एक लंब वृत्तीय शंकु के बारे में बात कर रहे हैं (चित्र 7 देखें)।

चावल। 8. काटे गए शंकु का आधार

आइए कुछ टिप्पणियाँ करें। पूर्ण शंकु का आधार और एक समतल द्वारा शंकु के खंड में प्राप्त वृत्त को काटे गए शंकु (निचला और ऊपरी) का आधार कहा जाता है (चित्र 8 देखें)।

चावल। 9. काटे गए शंकु के जनक

पूर्ण शंकु के जनकों के खंड, जो एक काटे गए शंकु के आधारों के बीच घिरे होते हैं, काटे गए शंकु के जनक कहलाते हैं। चूँकि मूल शंकु के सभी जनरेटर समान हैं और काटे गए शंकु के सभी जनरेटर समान हैं, तो काटे गए शंकु के जनरेटर भी समान हैं (काटे गए और काटे गए को भ्रमित न करें!)। इसलिए अक्षीय खंड के समद्विबाहु समलम्ब का अनुसरण करता है (चित्र 9 देखें)।

काटे गए शंकु के अंदर घिरे घूर्णन अक्ष के एक खंड को काटे गए शंकु की धुरी कहा जाता है। यह खंड, निश्चित रूप से, इसके आधारों के केंद्रों को जोड़ता है (चित्र 10 देखें)।

चावल। 10. काटे गए शंकु की धुरी

एक काटे गए शंकु की ऊंचाई एक आधार के एक बिंदु से दूसरे आधार तक खींचे गए लंबवत के बराबर होती है। प्राय: इसकी धुरी को एक काटे गए शंकु की ऊंचाई के रूप में माना जाता है।

चावल। 11. काटे गए शंकु का अक्षीय खंड

काटे गए शंकु का अक्षीय खंड उसकी धुरी से गुजरने वाला खंड है। यह एक समलम्ब चतुर्भुज जैसा दिखता है, थोड़ी देर बाद हम इसके समद्विबाहु को सिद्ध करेंगे (चित्र 11 देखें)।

चावल। 12. प्रस्तुत संकेतन के साथ शंकु

काटे गये शंकु की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये। माना कि काटे गए शंकु के आधारों की त्रिज्याएँ और हैं, और जनरेटर बराबर है (चित्र 12 देखें)।

चावल। 13. काटे गए शंकु के जेनरेट्रिक्स का अंकन

आइए काटे गए शंकु की पार्श्व सतह के क्षेत्रफल को मूल शंकु और काटे गए शंकु की पार्श्व सतहों के क्षेत्रफल के बीच के अंतर के रूप में ज्ञात करें। ऐसा करने के लिए, हम काटे गए शंकु के जेनरेट्रिक्स द्वारा निरूपित करते हैं (चित्र 13 देखें)।

फिर वांछित.

चावल। 14. समरूप त्रिभुज

व्यक्त करना बाकी है

ध्यान दें कि त्रिभुजों की समानता से, जहां से (चित्र 14 देखें)।

त्रिज्या के अंतर से विभाजित करके व्यक्त करना संभव होगा, लेकिन हमें इसकी आवश्यकता नहीं है, क्योंकि उत्पाद वांछित अभिव्यक्ति में दिखाई देता है। के स्थान पर प्रतिस्थापित करने पर, अंततः हमारे पास है: .

अब कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र प्राप्त करना कठिन नहीं है। ऐसा करने के लिए, बस दो आधार वृत्तों के क्षेत्रफल जोड़ें: .

चावल। 15. समस्या के लिए चित्रण

मान लीजिए कि एक आयताकार समलंब को उसकी ऊंचाई के चारों ओर घुमाकर काटे गए शंकु को प्राप्त किया जाता है। ट्रेपेज़ॉइड की मध्य रेखा बराबर है, और बड़ी पार्श्व भुजा है (चित्र 15 देखें)। परिणामी काटे गए शंकु की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल ज्ञात करें।

समाधान

सूत्र से हम यह जानते हैं .

शंकु का जेनरेट्रिक्स मूल समलम्ब चतुर्भुज का बड़ा भाग होगा, अर्थात शंकु की त्रिज्याएँ समलम्ब चतुर्भुज के आधार हैं। हम उन्हें ढूंढ नहीं सकते. लेकिन हमें इसकी आवश्यकता नहीं है: केवल उनके योग की आवश्यकता है, और ट्रेपेज़ॉइड के आधारों का योग इसकी मध्य रेखा से दोगुना है, अर्थात यह बराबर है। तब ।

कृपया ध्यान दें कि जब हमने शंकु के बारे में बात की थी, तो हमने इसके और पिरामिड के बीच समानताएं खींची थीं - सूत्र समान थे। यहाँ भी ऐसा ही है, क्योंकि एक काटे गए शंकु एक काटे गए पिरामिड के समान है, इसलिए काटे गए शंकु और पिरामिड की पार्श्व और पूर्ण सतहों के क्षेत्रों के सूत्र (और जल्द ही आयतन के लिए सूत्र होंगे) समान हैं .

चावल। 1. समस्या के लिए चित्रण

काटे गए शंकु के आधारों की त्रिज्याएँ और के बराबर हैं, और जेनरेट्रिक्स के बराबर है। काटे गए शंकु की ऊंचाई और उसके अक्षीय खंड का क्षेत्रफल ज्ञात करें (चित्र 1 देखें)।