त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों की तालिका

टिप्पणी. त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों की यह तालिका निरूपित करने के लिए √ चिह्न का उपयोग करती है वर्गमूल. एक अंश को निरूपित करने के लिए - प्रतीक "/"।

यह सभी देखेंउपयोगी सामग्री:

के लिए त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन का मान निर्धारित करना, इसे त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन को इंगित करने वाली रेखा के चौराहे पर खोजें। उदाहरण के लिए, 30 डिग्री साइन - हम शीर्ष पाप (साइन) के साथ एक कॉलम की तलाश कर रहे हैं और तालिका के इस कॉलम के चौराहे को "30 डिग्री" लाइन के साथ पाते हैं, उनके चौराहे पर हम परिणाम पढ़ते हैं - एक दूसरा। इसी प्रकार, हम पाते हैं कोसाइन 60डिग्री, ज्या 60डिग्री (एक बार फिर, साइन (साइन) कॉलम और 60 डिग्री पंक्ति के चौराहे पर, हम मूल्य पाप 60 = √3/2), आदि पाते हैं। इसी तरह, अन्य "लोकप्रिय" कोणों की ज्या, कोसाइन और स्पर्शरेखा के मान पाए जाते हैं।

पाई की ज्या, पाई की कोज्या, पाई की स्पर्शरेखा और रेडियन में अन्य कोण

त्रिकोणमितीय कार्यों का मान ज्ञात करने के लिए कोसाइन, साइन और स्पर्शरेखाओं की तालिका भी उपयुक्त है जिसका तर्क है रेडियंस में दिया गया. ऐसा करने के लिए, कोण मानों के दूसरे स्तंभ का उपयोग करें। इसके लिए धन्यवाद, आप लोकप्रिय कोणों के मान को डिग्री से रेडियन में परिवर्तित कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, आइए पहली पंक्ति में 60 डिग्री का कोण ज्ञात करें और उसके नीचे रेडियन में उसका मान पढ़ें। 60 डिग्री π/3 रेडियन के बराबर है।

संख्या पाई विशिष्ट रूप से कोण के डिग्री माप पर एक वृत्त की परिधि की निर्भरता को व्यक्त करती है। तो पाई रेडियन 180 डिग्री के बराबर होता है।

पाई (रेडियन) के संदर्भ में व्यक्त की गई किसी भी संख्या को 180 के साथ संख्या पाई (π) के स्थान पर आसानी से डिग्री में परिवर्तित किया जा सकता है।.

उदाहरण:
1. साइन पाई.
पाप π = पाप 180 = 0
इस प्रकार, पाई की ज्या 180 डिग्री की ज्या के समान है और शून्य के बराबर है।

2. कोसाइन पाई.
cos π = cos 180 = -1
इस प्रकार, पाई का कोसाइन 180 डिग्री के कोसाइन के समान है और माइनस वन के बराबर है।

3. स्पर्शरेखा पाई
टीजी π = टीजी 180 = 0
इस प्रकार, पाई की स्पर्शरेखा 180 डिग्री की स्पर्शरेखा के समान है और शून्य के बराबर है।

0 - 360 डिग्री (लगातार मान) कोणों के लिए साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा मान की तालिका

यदि त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों की तालिका में, फ़ंक्शन के मान के बजाय, एक डैश इंगित किया गया है (स्पर्शरेखा (tg) 90 डिग्री, cotangent (ctg) 180 डिग्री), तो डिग्री माप के दिए गए मान के लिए कोण, फ़ंक्शन का कोई निश्चित मान नहीं है। यदि कोई डैश नहीं है, तो सेल खाली है, इसलिए हमने अभी तक वांछित मान दर्ज नहीं किया है। हम इस बात में रुचि रखते हैं कि उपयोगकर्ता किस अनुरोध के लिए हमारे पास आते हैं और नए मूल्यों के साथ तालिका को पूरक करते हैं, इस तथ्य के बावजूद कि सबसे आम कोण मूल्यों के कोसाइन, साइन और स्पर्शरेखा के मूल्यों पर वर्तमान डेटा अधिकांश को हल करने के लिए पर्याप्त है समस्या।

सबसे लोकप्रिय कोणों के लिए त्रिकोणमितीय कार्यों पाप, कॉस, टीजी के मूल्यों की तालिका
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 डिग्री
(संख्यात्मक मान "ब्रैडीस टेबल के अनुसार")

हम त्रिकोणमिति के अपने अध्ययन की शुरुआत एक समकोण त्रिभुज से करते हैं। आइए परिभाषित करें कि साइन और कोसाइन क्या हैं, साथ ही स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श तीव्र कोण. ये त्रिकोणमिति की मूल बातें हैं।

याद करें कि समकोण 90 डिग्री के बराबर कोण है। दूसरे शब्दों में, अनफोल्डेड कॉर्नर का आधा।

तेज़ कोने- 90 डिग्री से कम।

अधिक कोण- 90 डिग्री से अधिक। ऐसे कोण के संबंध में, "कुंद" अपमान नहीं है, बल्कि एक गणितीय शब्द है :-)

आइए एक समकोण त्रिभुज बनाएँ। एक समकोण को आमतौर पर निरूपित किया जाता है। ध्यान दें कि कोने के विपरीत पक्ष को एक ही अक्षर से दर्शाया जाता है, केवल छोटा। तो, कोण A के विपरीत स्थित भुजा को निरूपित किया जाता है।

एक कोण को संबंधित ग्रीक अक्षर द्वारा निरूपित किया जाता है।

कर्णएक समकोण त्रिभुज समकोण के विपरीत भुजा है।

पैर- तेज कोनों के विपरीत पक्ष।

कोने के विपरीत पैर कहा जाता है विलोम(कोण के सापेक्ष)। दूसरा पैर, जो कोने के एक तरफ स्थित होता है, कहलाता है नज़दीक.

साइनसएक समकोण त्रिभुज में तीव्र कोण सम्मुख भुजा का कर्ण से अनुपात होता है:

कोज्याएक समकोण त्रिभुज में तीव्र कोण - कर्ण के निकटवर्ती पैर का अनुपात:

स्पर्शरेखाएक समकोण त्रिभुज में तीव्र कोण - विपरीत पैर के आसन्न का अनुपात:

एक अन्य (समतुल्य) परिभाषा: एक तीव्र कोण की स्पर्शरेखा एक कोण की ज्या का उसके कोज्या से अनुपात है:

स्पर्शरेखाएक समकोण त्रिभुज में तीव्र कोण - आसन्न पैर का अनुपात विपरीत (या, समतुल्य, कोसाइन से साइन का अनुपात):

साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटेन्जेंट के मूल अनुपातों पर ध्यान दें, जो नीचे दिए गए हैं। वे समस्याओं को हल करने में हमारे लिए उपयोगी होंगे।

आइए उनमें से कुछ को सिद्ध करें।

ठीक है, हमने परिभाषाएँ और लिखित सूत्र दिए हैं। लेकिन हमें साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कॉटैंजेंट की आवश्यकता क्यों है?

हम वह जानते हैं किसी त्रिभुज के कोणों का योग होता है.

हम के बीच संबंध जानते हैं दलोंसही त्रिकोण। यह पाइथागोरस प्रमेय है: .

यह पता चला है कि एक त्रिभुज में दो कोणों को जानने के बाद, आप तीसरे का पता लगा सकते हैं। एक समकोण त्रिभुज में दो भुजाएँ जानने पर आप तीसरी ज्ञात कर सकते हैं। तो, कोणों के लिए - उनका अनुपात, पक्षों के लिए - उनका अपना। लेकिन क्या करें यदि एक समकोण त्रिभुज में एक कोण (एक समकोण को छोड़कर) और एक भुजा ज्ञात हो, लेकिन आपको अन्य भुजाएँ खोजने की आवश्यकता है?

अतीत में लोगों ने इसका सामना किया, क्षेत्र और तारों वाले आकाश के नक्शे बनाते हुए। आखिरकार, किसी त्रिभुज की सभी भुजाओं को सीधे मापना हमेशा संभव नहीं होता है।

साइन, कोसाइन और स्पर्शरेखा - इन्हें भी कहा जाता है कोण के त्रिकोणमितीय कार्य- के बीच अनुपात दें दलोंऔर कोनोंत्रिकोण। कोण को जानने के बाद, आप विशेष तालिकाओं का उपयोग करके इसके सभी त्रिकोणमितीय कार्यों को पा सकते हैं। और एक त्रिभुज के कोणों और उसकी एक भुजा की ज्या, कोसाइन और स्पर्शरेखा को जानकर, आप बाकी का पता लगा सकते हैं।

हम से "अच्छे" कोणों के लिए साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंगेंट मानों की तालिका भी तैयार करेंगे।

तालिका में दो लाल डैश पर ध्यान दें। कोणों के संगत मानों के लिए, स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श मौजूद नहीं हैं।

आइए बैंक ऑफ FIPI कार्यों से त्रिकोणमिति में कई समस्याओं का विश्लेषण करें।

1. एक त्रिभुज में, कोण , होता है। पाना ।

चार सेकंड में समस्या हल हो जाती है।

क्योंकि , ।

2. एक त्रिभुज में, कोण , , है। पाना ।

आइए पाइथागोरस प्रमेय द्वारा खोजें।

समस्या हल हो गई।

अक्सर समस्याओं में कोणों और या कोणों और के साथ त्रिभुज होते हैं। उनके लिए बुनियादी अनुपातों को दिल से याद करें!

कोण वाले त्रिभुज के लिए और कोण के विपरीत पैर के बराबर है कर्ण का आधा.

कोणों वाला एक त्रिभुज और समद्विबाहु है। इसमें कर्ण टाँग से कई गुना बड़ा होता है।

हमने हल करने के लिए समस्याओं पर विचार किया सही त्रिकोण- अर्थात अज्ञात भुजाओं या कोणों का पता लगाना। लेकिन वह सब नहीं है! गणित में परीक्षा के वेरिएंट में, ऐसे कई कार्य होते हैं जहाँ त्रिभुज के बाहरी कोण के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा या कोटिस्पर्श प्रकट होते हैं। इस पर और अधिक अगले लेख में।

साइन (), कोसाइन (), स्पर्शरेखा (), कोटैंजेंट () की अवधारणाएं कोण की अवधारणा के साथ अटूट रूप से जुड़ी हुई हैं। इनकी अच्छी समझ पाने के लिए, पहली नज़र में, जटिल अवधारणाएँ (जो कई स्कूली बच्चों में डरावनी स्थिति का कारण बनती हैं), और यह सुनिश्चित करने के लिए कि "शैतान उतना डरावना नहीं है जितना कि उसे चित्रित किया गया है", आइए शुरुआत से ही शुरू करें और कोण की अवधारणा को समझ सकेंगे।

कोण की अवधारणा: रेडियन, डिग्री

आइए तस्वीर देखें। वेक्टर एक निश्चित राशि से बिंदु के सापेक्ष "बदल गया"। तो प्रारंभिक स्थिति के सापेक्ष इस घूर्णन का माप होगा कोना.

कोण की अवधारणा के बारे में आपको और क्या जानने की आवश्यकता है? ठीक है, कोण की इकाइयाँ, बिल्कुल!

कोण, ज्यामिति और त्रिकोणमिति दोनों में, डिग्री और रेडियन में मापा जा सकता है।

वृत्त के भाग के बराबर वृत्ताकार चाप पर आधारित वृत्त में (एक डिग्री) कोण वृत्त का केंद्रीय कोण है। इस प्रकार, पूरे वृत्त में वृत्ताकार चापों के "टुकड़े" होते हैं, या वृत्त द्वारा वर्णित कोण बराबर होता है।

अर्थात्, ऊपर दिया गया चित्र एक कोण को दर्शाता है जो बराबर है, अर्थात यह कोण परिधि के आकार के एक वृत्ताकार चाप पर आधारित है।

रेडियन में एक कोण एक वृत्त में केंद्रीय कोण कहलाता है, जो एक वृत्ताकार चाप पर आधारित होता है, जिसकी लंबाई वृत्त की त्रिज्या के बराबर होती है। अच्छा, क्या तुम समझ गए? अगर नहीं, तो आइए देखते हैं तस्वीर।

तो, आंकड़ा एक रेडियन के बराबर कोण दिखाता है, अर्थात, यह कोण एक वृत्ताकार चाप पर आधारित है, जिसकी लंबाई वृत्त की त्रिज्या के बराबर है (लंबाई लंबाई या त्रिज्या के बराबर है लंबाई के बराबरचाप)। इस प्रकार, चाप की लंबाई की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

रेडियंस में केंद्रीय कोण कहां है।

खैर, यह जानकर, क्या आप उत्तर दे सकते हैं कि एक वृत्त द्वारा वर्णित कोण में कितने रेडियन होते हैं? हां, इसके लिए आपको वृत्त की परिधि का सूत्र याद रखना होगा। ये रही वो:

अच्छा, अब इन दो सूत्रों को सहसंबंधित करते हैं और पाते हैं कि वृत्त द्वारा वर्णित कोण बराबर है। अर्थात्, डिग्री और रेडियन में मान को सहसंबंधित करने पर हमें वह मिलता है। क्रमश, । जैसा कि आप देख सकते हैं, "डिग्री" के विपरीत, "रेडियन" शब्द को छोड़ दिया गया है, क्योंकि माप की इकाई आमतौर पर संदर्भ से स्पष्ट होती है।

रेडियन कितने होते हैं? यह सही है!

समझ गया? फिर आगे फास्ट करें:

कोई कठिनाई? फिर देखो जवाब:

समकोण त्रिभुज: साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा, कोण की कोटिस्पर्श रेखा

तो, कोण की अवधारणा के साथ पता चला। लेकिन एक कोण की साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा, कोटिस्पर्श क्या है? आइए इसका पता लगाते हैं। इसके लिए एक समकोण त्रिभुज हमारी सहायता करेगा।

समकोण त्रिभुज की भुजाएँ क्या कहलाती हैं? यह सही है, कर्ण और पैर: कर्ण वह भुजा है जो समकोण के विपरीत स्थित है (हमारे उदाहरण में, यह भुजा है); पैर दो शेष भुजाएँ हैं और (जो आस-पास हैं समकोण), इसके अलावा, अगर हम पैरों को कोण के सापेक्ष मानते हैं, तो पैर है बगल का पैर, और पैर विपरीत है। तो, अब हम इस प्रश्न का उत्तर देते हैं: एक कोण के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श क्या हैं?

एक कोण की ज्याकर्ण के विपरीत (दूर) पैर का अनुपात है।

हमारे त्रिकोण में।

एक कोण की कोसाइन- यह कर्ण के निकटवर्ती (करीब) पैर का अनुपात है।

हमारे त्रिकोण में।

कोण स्पर्शरेखा- यह विपरीत (दूर) पैर के आसन्न (करीब) का अनुपात है।

हमारे त्रिकोण में।

एक कोण की कोटिस्पर्शज्या- यह आसन्न (करीब) पैर के विपरीत (दूर) का अनुपात है।

हमारे त्रिकोण में।

ये परिभाषाएँ आवश्यक हैं याद करना! यह याद रखना आसान बनाने के लिए कि किस पैर को किससे विभाजित करना है, आपको इसे स्पष्ट रूप से समझने की आवश्यकता है स्पर्शरेखाऔर स्पर्शरेखाकेवल पैर बैठते हैं, और कर्ण केवल अंदर दिखाई देता है साइनसऔर कोज्या. और फिर आप संघों की एक श्रृंखला के साथ आ सकते हैं। उदाहरण के लिए, यह एक:

कोसाइन → स्पर्श → स्पर्श → आसन्न;

स्पर्शरेखा → स्पर्श → स्पर्श → आसन्न।

सबसे पहले, यह याद रखना आवश्यक है कि त्रिभुज की भुजाओं के अनुपात के रूप में साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श इन भुजाओं की लंबाई (एक कोण पर) पर निर्भर नहीं करते हैं। विश्वास नहीं करते? तो तस्वीर देखकर यकीन कर लीजिए:

उदाहरण के लिए, एक कोण की कोसाइन पर विचार करें। परिभाषा के अनुसार, त्रिभुज से: , लेकिन हम त्रिभुज से कोण के कोसाइन की गणना कर सकते हैं: . आप देखते हैं, भुजाओं की लंबाई अलग-अलग होती है, लेकिन एक कोण की कोज्या का मान समान होता है। इस प्रकार, साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श के मान केवल कोण के परिमाण पर निर्भर करते हैं।

यदि आप परिभाषाओं को समझते हैं, तो आगे बढ़ें और उन्हें ठीक करें!

नीचे दी गई आकृति में दिखाए गए त्रिभुज के लिए, हम पाते हैं।

अच्छा, क्या आपको मिल गया? फिर इसे स्वयं आज़माएं: कोने के लिए समान गणना करें।

इकाई (त्रिकोणमितीय) वृत्त

डिग्री और रेडियन की अवधारणाओं को समझते हुए, हमने त्रिज्या के बराबर एक वृत्त पर विचार किया। ऐसा घेरा कहलाता है अकेला. त्रिकोणमिति के अध्ययन में यह बहुत उपयोगी है। इसलिए, हम इस पर थोड़ा और विस्तार से ध्यान केन्द्रित करते हैं।

जैसा कि आप देख सकते हैं, यह सर्कल अंदर बनाया गया है कार्तीय प्रणालीनिर्देशांक। वृत्त की त्रिज्या एक के बराबर है, जबकि वृत्त का केंद्र मूल बिंदु पर स्थित है, त्रिज्या सदिश की प्रारंभिक स्थिति अक्ष की सकारात्मक दिशा के साथ तय की गई है (हमारे उदाहरण में, यह त्रिज्या है)।

सर्कल का प्रत्येक बिंदु दो संख्याओं से मेल खाता है: अक्ष के साथ समन्वय और अक्ष के साथ समन्वय। ये निर्देशांक संख्याएँ क्या हैं? और सामान्य तौर पर, उन्हें विषय के साथ क्या करना है? ऐसा करने के लिए, माना समकोण त्रिभुज के बारे में याद रखें। ऊपर की आकृति में, आप दो पूर्ण समकोण त्रिभुज देख सकते हैं। एक त्रिभुज पर विचार करें। यह आयताकार है क्योंकि यह अक्ष के लंबवत है।

एक त्रिभुज के बराबर क्या है? यह सही है। इसके अलावा, हम जानते हैं कि इकाई वृत्त की त्रिज्या है, और इसलिए, . इस मान को हमारे कोज्या सूत्र में प्रतिस्थापित करें। यहाँ क्या होता है:

और त्रिभुज से बराबर क्या है? बेशक, ! त्रिज्या के मान को इस सूत्र में बदलें और प्राप्त करें:

तो, क्या आप मुझे बता सकते हैं कि उस बिंदु के निर्देशांक क्या हैं जो वृत्त से संबंधित है? अच्छा, कोई रास्ता नहीं? और अगर आपको इसका एहसास है और केवल संख्याएं हैं? यह किस समन्वय से मेल खाता है? खैर, बिल्कुल, समन्वय! यह किस समन्वय से मेल खाता है? यह सही है, समन्वय करें! इस प्रकार, बिंदु।

और फिर क्या बराबर हैं और? यह सही है, आइए स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श की उपयुक्त परिभाषाओं का उपयोग करें और इसे प्राप्त करें, a।

क्या होगा अगर कोण बड़ा है? यहाँ, उदाहरण के लिए, जैसा कि इस चित्र में है:

इस उदाहरण में क्या बदला है? आइए इसका पता लगाते हैं। ऐसा करने के लिए, हम फिर से एक समकोण त्रिभुज की ओर मुड़ते हैं। एक समकोण त्रिभुज पर विचार करें: एक कोण (एक कोण के सन्निकट के रूप में)। किसी कोण के साइन, कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श का मान क्या होता है? यह सही है, हम त्रिकोणमितीय कार्यों की संबंधित परिभाषाओं का पालन करते हैं:

ठीक है, जैसा कि आप देख सकते हैं, कोण की ज्या का मान अभी भी निर्देशांक से मेल खाता है; कोण के कोसाइन का मान - निर्देशांक; और इसी अनुपात के लिए स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श के मान। इस प्रकार, ये संबंध त्रिज्या वेक्टर के किसी भी घुमाव पर लागू होते हैं।

यह पहले ही उल्लेख किया गया है कि त्रिज्या वेक्टर की प्रारंभिक स्थिति अक्ष की सकारात्मक दिशा के साथ है। अब तक हमने इस सदिश को वामावर्त घुमाया है, लेकिन यदि हम इसे दक्षिणावर्त घुमाएँ तो क्या होगा? कुछ भी असाधारण नहीं, आपको एक निश्चित आकार का कोण भी मिलेगा, लेकिन वह केवल ऋणात्मक होगा। इस प्रकार, त्रिज्या वेक्टर को वामावर्त घुमाने पर, हमें मिलता है सकारात्मक कोण, और दक्षिणावर्त घुमाने पर - नकारात्मक।

तो, हम जानते हैं कि सर्कल के चारों ओर त्रिज्या वेक्टर की पूरी क्रांति या है। क्या त्रिज्या वेक्टर को घुमाना संभव है? खैर, बिल्कुल आप कर सकते हैं! इसलिए, पहले मामले में, त्रिज्या वेक्टर एक पूर्ण क्रांति करेगा और स्थिति या पर रुक जाएगा।

दूसरे मामले में, यानी त्रिज्या वेक्टर तीन पूर्ण चक्कर लगाएगा और स्थिति या पर रुक जाएगा।

इस प्रकार, उपरोक्त उदाहरणों से, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि जो कोण भिन्न हैं या (जहां कोई पूर्णांक है) त्रिज्या वेक्टर की समान स्थिति के अनुरूप हैं।

नीचे दिया गया चित्र एक कोण दिखाता है। वही छवि कोने से मेल खाती है, और इसी तरह। इस सूची को अनिश्चित काल तक जारी रखा जा सकता है। इन सभी कोणों को सामान्य सूत्र से लिखा जा सकता है या (कहां कोई पूर्णांक है)

अब, मूल त्रिकोणमितीय कार्यों की परिभाषाओं को जानने और यूनिट सर्कल का उपयोग करने का उत्तर देने का प्रयास करें कि मान किसके बराबर हैं:

आपकी सहायता के लिए यहां एक यूनिट सर्कल है:

कोई कठिनाई? तो चलिए इसका पता लगाते हैं। तो हम जानते हैं कि:

यहाँ से, हम कोण के कुछ मापों के अनुरूप बिंदुओं के निर्देशांक निर्धारित करते हैं। ठीक है, चलो क्रम में शुरू करते हैं: कोने पर निर्देशांक के साथ एक बिंदु से मेल खाती है, इसलिए:

मौजूद नहीं होना;

इसके अलावा, उसी तर्क का पालन करते हुए, हम पाते हैं कि कोने क्रमशः निर्देशांक वाले बिंदुओं के अनुरूप हैं। यह जानकर, त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों को संबंधित बिंदुओं पर निर्धारित करना आसान है। पहले स्वयं प्रयास करें, फिर उत्तरों की जाँच करें।

उत्तर:

मौजूद नहीं

मौजूद नहीं

मौजूद नहीं

मौजूद नहीं

इस प्रकार, हम निम्न तालिका बना सकते हैं:

इन सभी मूल्यों को याद रखने की जरूरत नहीं है। यूनिट सर्कल पर बिंदुओं के निर्देशांक और त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों के बीच पत्राचार को याद रखना पर्याप्त है:

लेकिन कोणों के त्रिकोणमितीय कार्यों के मान और, नीचे दी गई तालिका में दिए गए हैं, याद किया जाना चाहिए:

डरो मत, अब हम एक उदाहरण दिखाएंगे बल्कि संबंधित मूल्यों का सरल संस्मरण:

इस पद्धति का उपयोग करने के लिए, कोण के तीनों मापों () के साथ-साथ कोण के स्पर्शरेखा के मान के लिए साइन के मूल्यों को याद रखना महत्वपूर्ण है। इन मूल्यों को जानने के बाद, पूरी तालिका को पुनर्स्थापित करना काफी आसान है - कोसाइन मूल्यों को तीरों के अनुसार स्थानांतरित किया जाता है, अर्थात:

यह जानकर, आप मूल्यों को पुनर्स्थापित कर सकते हैं। अंश " " मेल खाएगा और हर " " मेल खाएगा। चित्र में दिखाए गए तीरों के अनुसार स्पर्शरेखा मूल्यों को स्थानांतरित किया जाता है। यदि आप इसे समझते हैं और तीरों के साथ आरेख को याद करते हैं, तो यह तालिका से संपूर्ण मान को याद रखने के लिए पर्याप्त होगा।

एक वृत्त पर एक बिंदु के निर्देशांक

क्या एक वृत्त पर एक बिंदु (इसके निर्देशांक) खोजना संभव है, वृत्त के केंद्र के निर्देशांक, उसकी त्रिज्या और घूर्णन कोण को जानना?

ठीक है, बेशक आप कर सकते हैं! चलो बाहर ले आओ किसी बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करने का सामान्य सूत्र.

यहाँ, उदाहरण के लिए, हमारे पास ऐसा एक चक्र है:

हमें दिया गया है कि बिंदु वृत्त का केंद्र है। वृत्त की त्रिज्या बराबर होती है। बिंदु को डिग्री से घुमाकर प्राप्त बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करना आवश्यक है।

जैसा कि चित्र से देखा जा सकता है, बिंदु का समन्वय खंड की लंबाई से मेल खाता है। खंड की लंबाई सर्कल के केंद्र के समन्वय से मेल खाती है, अर्थात यह इसके बराबर है। कोसाइन की परिभाषा का उपयोग करके एक खंड की लंबाई व्यक्त की जा सकती है:

फिर हमारे पास उस बिंदु के लिए निर्देशांक है।

उसी तर्क से, हम बिंदु के लिए y निर्देशांक का मान ज्ञात करते हैं। इस प्रकार,

तो में सामान्य रूप से देखेंबिंदु निर्देशांक सूत्र द्वारा निर्धारित किए जाते हैं:

सर्किल केंद्र निर्देशांक,

सर्कल त्रिज्या,

त्रिज्या सदिश के घूर्णन का कोण।

जैसा कि आप देख सकते हैं, यूनिट सर्कल के लिए हम विचार कर रहे हैं, ये सूत्र काफी कम हो गए हैं, क्योंकि केंद्र के निर्देशांक शून्य हैं, और त्रिज्या एक के बराबर है:

ठीक है, आइए इन सूत्रों को स्वाद के लिए आज़माएं, एक वृत्त पर बिंदु खोजने का अभ्यास करें?

1. किसी बिंदु को चालू करके प्राप्त इकाई वृत्त पर किसी बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

2. किसी बिंदु को घुमाने पर प्राप्त इकाई वृत्त पर किसी बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

3. किसी बिंदु को चालू करके प्राप्त इकाई वृत्त पर किसी बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

4. बिंदु - वृत्त का केंद्र। वृत्त की त्रिज्या बराबर होती है। प्रारंभिक त्रिज्या वेक्टर को घुमाकर प्राप्त बिंदु के निर्देशांक को खोजना आवश्यक है।

5. बिंदु - वृत्त का केंद्र। वृत्त की त्रिज्या बराबर होती है। प्रारंभिक त्रिज्या वेक्टर को घुमाकर प्राप्त बिंदु के निर्देशांक को खोजना आवश्यक है।

किसी वृत्त पर किसी बिंदु के निर्देशांक खोजने में समस्या हो रही है?

इन पांच उदाहरणों को हल करें (या समाधान को अच्छी तरह से समझें) और आप उन्हें खोजना सीखेंगे!

1.

यह देखा जा सकता है। और हम जानते हैं कि शुरुआती बिंदु के पूर्ण मोड़ से क्या मेल खाता है। इस प्रकार, वांछित बिंदु उसी स्थिति में होगा जब मुड़ते समय। यह जानने के बाद, हम बिंदु के वांछित निर्देशांक पाते हैं:

2. वृत्त एक बिंदु पर केंद्र के साथ इकाई है, जिसका अर्थ है कि हम सरलीकृत सूत्रों का उपयोग कर सकते हैं:

यह देखा जा सकता है। हम जानते हैं कि शुरुआती बिंदु के दो पूर्ण घुमावों से क्या मेल खाता है। इस प्रकार, वांछित बिंदु उसी स्थिति में होगा जब मुड़ते समय। यह जानने के बाद, हम बिंदु के वांछित निर्देशांक पाते हैं:

साइन और कोसाइन सारणीबद्ध मान हैं। हम उनके मूल्यों को याद करते हैं और प्राप्त करते हैं:

इस प्रकार, वांछित बिंदु में निर्देशांक हैं।

3. वृत्त एक बिंदु पर केंद्र के साथ इकाई है, जिसका अर्थ है कि हम सरलीकृत सूत्रों का उपयोग कर सकते हैं:

यह देखा जा सकता है। आइए चित्र में विचार किए गए उदाहरण को चित्रित करें:

त्रिज्या और के बराबर अक्ष के साथ कोण बनाती है। यह जानते हुए कि कोसाइन और साइन के सारणीबद्ध मान समान हैं, और यह निर्धारित करने के बाद कि कोसाइन यहाँ एक नकारात्मक मान लेता है, और साइन सकारात्मक है, हमारे पास:

विषय में त्रिकोणमितीय कार्यों को कम करने के सूत्रों का अध्ययन करते समय इसी तरह के उदाहरणों का अधिक विस्तार से विश्लेषण किया जाता है।

इस प्रकार, वांछित बिंदु में निर्देशांक हैं।

4.

त्रिज्या वेक्टर के रोटेशन का कोण (शर्त के अनुसार)

साइन और कोसाइन के संबंधित संकेतों को निर्धारित करने के लिए, हम एक यूनिट सर्कल और कोण बनाते हैं:

जैसा कि आप देख सकते हैं, मूल्य, जो कि सकारात्मक है, और मूल्य, जो नकारात्मक है। संबंधित त्रिकोणमितीय कार्यों के सारणीबद्ध मूल्यों को जानने के बाद, हम प्राप्त करते हैं:

आइए प्राप्त मूल्यों को हमारे सूत्र में बदलें और निर्देशांक खोजें:

इस प्रकार, वांछित बिंदु में निर्देशांक हैं।

5. इस समस्या को हल करने के लिए, हम सामान्य रूप में सूत्रों का उपयोग करते हैं, जहाँ

सर्कल के केंद्र के निर्देशांक (हमारे उदाहरण में,

सर्कल त्रिज्या (शर्त के अनुसार)

त्रिज्या वेक्टर के रोटेशन का कोण (शर्त के अनुसार)।

सभी मानों को सूत्र में बदलें और प्राप्त करें:

और - तालिका मान। हम उन्हें याद करते हैं और सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:

इस प्रकार, वांछित बिंदु में निर्देशांक हैं।

सारांश और बुनियादी सूत्र

एक कोण की ज्या कर्ण के विपरीत (दूर) पैर का अनुपात है।

एक कोण का कोज्या कर्ण के सन्निकट (करीब) पैर का अनुपात है।

एक कोण की स्पर्शरेखा विपरीत (दूर) पैर के आसन्न (करीब) का अनुपात है।

एक कोण की कोटिस्पर्श रेखा सन्निकट (निकट) पाद और विपरीत (दूर) का अनुपात है।

कोण 0, 30, 45, 60, 90, ... डिग्री के लिए बुनियादी त्रिकोणमितीय कार्यों की तालिका

फ़ंक्शन $\sin$, $\cos$, $\tan$, और $\cot$ की त्रिकोणमितीय परिभाषाओं से, कोणों $0$ और $90$ डिग्री के लिए उनके मान ज्ञात किए जा सकते हैं:

$\sin⁡0°=0$, $\cos0°=1$, $\tan 0°=0$, $\cot 0°$ परिभाषित नहीं;

$\sin90°=1$, $\cos90°=0$, $\cot90°=0$, $\tan 90°$ परिभाषित नहीं है।

स्कूल ज्यामिति पाठ्यक्रम में, समकोण त्रिभुजों का अध्ययन करते समय, कोणों के त्रिकोणमितीय फलन $0°$, $30°$, $45°$, $60°$ और $90°$ पाए जाते हैं।

डिग्री और रेडियन में निर्दिष्ट कोणों के लिए त्रिकोणमितीय कार्यों के पाए गए मान क्रमशः ($0$, $\frac(\pi)(6)$, $\frac(\pi)(4)$, $\frac(\ pi)(3) $, $\frac(\pi)(2)$) याद रखने में आसानी और उपयोग के लिए एक तालिका में दर्ज किया जाता है जिसे कहा जाता है त्रिकोणमितीय तालिका, त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल मूल्यों की तालिकाऔर इसी तरह।

कटौती सूत्रों का उपयोग करते समय, त्रिकोणमितीय तालिका को क्रमशः $360°$ और $2\pi$ रेडियन के कोण तक विस्तारित किया जा सकता है:

त्रिकोणमितीय कार्यों के आवधिकता गुणों को लागू करते हुए, प्रत्येक कोण जो पहले से ज्ञात $360°$ से भिन्न है, की गणना की जा सकती है और एक तालिका में रिकॉर्ड किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, कोण $0°$ के लिए त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन का मान $0°+360°$ कोण के लिए और कोण $0°+2 \cdot 360°$ के लिए और कोण $0°+3 \ के लिए समान होगा। cdot 360°$ और आदि।

का उपयोग करके त्रिकोणमितीय तालिकायूनिट सर्कल के सभी कोणों के मूल्यों को निर्धारित करना संभव है।

स्कूल ज्यामिति पाठ्यक्रम में, त्रिकोणमितीय समस्याओं को हल करने की सुविधा के लिए त्रिकोणमितीय तालिका में एकत्रित त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल मूल्यों को याद रखना माना जाता है।

टेबल का उपयोग करना

तालिका में, आवश्यक त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन और कोण या रेडियन के मान को खोजने के लिए पर्याप्त है जिसके लिए इस फ़ंक्शन की गणना की जानी चाहिए। फ़ंक्शन के साथ पंक्ति और मान के साथ कॉलम के चौराहे पर, हमें दिए गए तर्क के त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन का वांछित मान मिलता है।

चित्र में आप देख सकते हैं कि $\cos⁡60°$ का मान कैसे ज्ञात किया जाए जो $\frac(1)(2)$ के बराबर है।

विस्तारित त्रिकोणमितीय तालिका का उपयोग इसी तरह किया जाता है। इसका उपयोग करने का लाभ, जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, लगभग किसी भी कोण के त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन की गणना है। उदाहरण के लिए, आप आसानी से मान $\tan 1 380°=\tan (1 380°-360°)=\tan(1 020°-360°)=\tan(660°-360°)=\tan300 पा सकते हैं ° $:

मूल त्रिकोणमितीय कार्यों की ब्रैडिस तालिकाएँ

डिग्री के पूर्णांक मान और मिनटों के पूर्णांक मान के लिए बिल्कुल किसी भी कोण मान के त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन की गणना करने की क्षमता ब्रैडिस तालिकाओं का उपयोग करती है। उदाहरण के लिए, $\cos⁡34°7"$ का मान ज्ञात करें। तालिकाओं को 2 भागों में विभाजित किया गया है: $\sin$ और $\cos$ मानों की तालिका और $\tan$ और $\ की तालिका cot $ मान।

ब्रैडिस टेबल 4 दशमलव स्थानों तक की सटीकता के साथ त्रिकोणमितीय कार्यों का अनुमानित मान प्राप्त करना संभव बनाता है।

ब्रैडिस टेबल्स का उपयोग करना

ज्या के लिए ब्रेडिस की तालिकाओं का उपयोग करते हुए, हम $\sin⁡17°42"$ पाते हैं। ऐसा करने के लिए, ज्या और कोसाइन की तालिका के बाईं ओर के कॉलम में हम डिग्री का मान पाते हैं - $17°$, और में शीर्ष पंक्ति में हम मिनटों का मान पाते हैं - $42"$। उनके चौराहे पर, हमें वांछित मूल्य मिलता है:

$\sin17°42"=0.304$।

$\sin17°44"$ का मान ज्ञात करने के लिए, आपको तालिका के दाईं ओर सुधार का उपयोग करने की आवश्यकता है। इस मामले में, मूल्य $42"$ के लिए, जो तालिका में है, आपको सुधार जोड़ने की आवश्यकता है $2"$ के लिए, जो $0.0006$ के बराबर है। हमें मिलता है:

$\sin17°44"=0.304+0.0006=0.3046$।

$\sin17°47"$ का मान ज्ञात करने के लिए, हम तालिका के दाईं ओर सुधार का भी उपयोग करते हैं, केवल इस मामले में हम $\sin17°48"$ के मान को आधार के रूप में लेते हैं और इसके लिए सुधार को घटाते हैं $1"$:

$\sin17°47"=0.3057-0.0003=0.3054$।

कोसाइन की गणना करते समय, हम समान क्रियाएं करते हैं, लेकिन हम दाएं कॉलम में डिग्री और तालिका के निचले कॉलम में मिनट देखते हैं। उदाहरण के लिए, \cos20°=0.9397$।

$90°$ तक के स्पर्शरेखा मूल्यों और छोटे कोण के स्पर्शरेखा के लिए कोई सुधार नहीं हैं। उदाहरण के लिए, आइए $\tan 78°37"$ खोजें, जो तालिका के अनुसार $4,967$ है।

त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों की तालिका

त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों की तालिका 0, 30, 45, 60, 90, 180, 270 और 360 डिग्री के कोणों और रेडियन में उनके संबंधित कोणों के लिए संकलित की गई है। त्रिकोणमितीय कार्यों में, तालिका साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा, कोटिस्पर्श, छेदक और कोसेकेंट दिखाती है। स्कूल के उदाहरणों को हल करने की सुविधा के लिए, तालिका में त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों को संख्याओं से वर्गमूल निकालने के संकेतों के संरक्षण के साथ एक अंश के रूप में लिखा जाता है, जो अक्सर जटिल गणितीय अभिव्यक्तियों को कम करने में मदद करता है। स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श के लिए, कुछ कोणों के मान निर्धारित नहीं किए जा सकते हैं। ऐसे कोणों के स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श के मूल्यों के लिए, त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों की तालिका में एक डैश होता है। यह आमतौर पर स्वीकार किया जाता है कि ऐसे कोणों की स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श अनंत के बराबर होते हैं। एक अलग पृष्ठ पर त्रिकोणमितीय कार्यों को कम करने के सूत्र हैं।

त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन साइन के लिए मानों की तालिका निम्न कोणों के लिए मान दिखाती है: पाप 0, पाप 30, पाप 45, पाप 60, पाप 90, पाप 180, पाप 270, पाप 360 डिग्री माप में , जो sin 0 pi, sin pi / 6 , sin pi / 4, sin pi / 3, sin pi / 2, sin pi, sin 3 pi / 2, sin 2 pi के कोणों के रेडियन माप से मेल खाती है। साइन की स्कूल तालिका।

त्रिकोणमितीय कोसाइन फ़ंक्शन के लिए, तालिका निम्नलिखित कोणों के लिए मान दिखाती है: cos 0, cos 30, cos 45, cos 60, cos 90, cos 180, cos 270, cos 360 डिग्री माप में, जो निम्न से मेल खाती है cos 0 pi, cos pi से 6, cos pi बटा 4, cos pi बटा 3, cos pi बटा 2, cos pi, cos 3 pi बटा 2, cos 2 pi रेडियन कोणों की माप में। कोसाइन की स्कूल तालिका।

त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन स्पर्शरेखा के लिए त्रिकोणमितीय तालिका निम्न कोणों के लिए मान देती है: tg 0, tg 30, tg 45, tg 60, tg 180, tg 360 डिग्री माप में, जो tg 0 pi, tg pi से मेल खाती है / 6, tg pi / 4, tg pi/3, tg pi, tg 2 pi रेडियन कोणों के माप में। निम्नलिखित मानस्पर्शरेखा के त्रिकोणमितीय कार्यों को tg 90, tg 270, tg pi / 2, tg 3 pi / 2 परिभाषित नहीं किया जाता है और इन्हें अनंत के बराबर माना जाता है।

त्रिकोणमितीय तालिका में त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन के लिए, निम्नलिखित कोणों के मान दिए गए हैं: ctg 30, ctg 45, ctg 60, ctg 90, ctg 270 डिग्री माप में, जो ctg pi / 6, ctg के अनुरूप है पीआई / 4, सीटीजी पीआई / 3, टीजी पीआई / 2, टीजी 3 पीआई / 2 कोणों के रेडियन माप में। त्रिकोणमितीय कोटेन्जेंट फ़ंक्शंस के निम्नलिखित मान ctg 0, ctg 180, ctg 360, ctg 0 pi, ctg pi, ctg 2 pi परिभाषित नहीं हैं और इन्हें अनंत के बराबर माना जाता है।

त्रिकोणमितीय फलन secant और cosecant के मान डिग्री और रेडियन में समान कोणों के लिए sine, cosine, tangent, cotangent के रूप में दिए गए हैं।

गैर-मानक कोणों के त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों की तालिका 15, 18, 22.5, 36, 54, 67.5 72 डिग्री और रेडियंस पीआई/12 में कोणों के लिए साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कॉटैंगेंट के मूल्यों को दर्शाती है। , पीआई/10, पीआई/8, पीआई/5, 3पीआई/8, 2पीआई/5 रेडियंस। स्कूल के उदाहरणों में अंशों की कमी को आसान बनाने के लिए त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों को अंशों और वर्गमूलों के रूप में व्यक्त किया जाता है।

त्रिकोणमिति के तीन और राक्षस। पहला 1.5 डिग्री और आधा की स्पर्शरेखा है, या pi को 120 से विभाजित किया गया है। दूसरा pi की कोसाइन को 240, pi/240 से विभाजित किया गया है। सबसे लंबा पाई का कोज्या है जो 17, pi/17 से विभाजित होता है।

साइन और कोसाइन फ़ंक्शंस के मानों का त्रिकोणमितीय सर्कल कोण के परिमाण के आधार पर साइन और कोसाइन के संकेतों का प्रतिनिधित्व करता है। विशेष रूप से गोरे लोगों के लिए, कम भ्रमित होने के लिए कोज्या मूल्यों को हरे रंग के डैश के साथ रेखांकित किया जाता है। रेडियन में डिग्री का रूपांतरण भी बहुत स्पष्ट रूप से प्रस्तुत किया जाता है, जब रेडियन को पाई के माध्यम से व्यक्त किया जाता है।

यह त्रिकोणमितीय तालिका एक डिग्री के अंतराल में 0 शून्य से 90 डिग्री के कोणों के लिए साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श के मान प्रस्तुत करती है। पहले पैंतालीस डिग्री के लिए, त्रिकोणमितीय कार्यों के नाम तालिका के शीर्ष पर देखे जाने चाहिए। पहले कॉलम में डिग्रियां होती हैं, अगले चार कॉलम में ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श के मान लिखे जाते हैं।

पैंतालीस डिग्री से नब्बे डिग्री तक के कोणों के लिए, त्रिकोणमितीय कार्यों के नाम तालिका के नीचे लिखे गए हैं। अंतिम कॉलम में डिग्रियां होती हैं, पिछले चार कॉलम में कोसाइन, साइन, कॉटैंगेंट और टैंगेंट के मान लिखे गए हैं। आपको सावधान रहना चाहिए, क्योंकि त्रिकोणमितीय तालिका के निचले भाग में त्रिकोणमितीय कार्यों के नाम तालिका के ऊपरी भाग में नामों से भिन्न होते हैं। साइन और कोसाइन का आदान-प्रदान होता है, ठीक उसी तरह जैसे टेंगेंट और कॉटैंजेंट। यह त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों की समरूपता के कारण है।

त्रिकोणमितीय कार्यों के संकेत ऊपर की आकृति में दिखाए गए हैं। साइन का सकारात्मक मान 0 से 180 डिग्री या 0 से pi तक होता है। साइन के ऋणात्मक मान 180 से 360 डिग्री या पाई से 2 पाई तक होते हैं। कोसाइन मान 0 से 90 और 270 से 360 डिग्री, या 0 से 1/2 पाई और 3/2 से 2 पाई तक सकारात्मक होते हैं। स्पर्शरेखा और कोटेन्जेंट में 0 से 90 डिग्री और 180 से 270 डिग्री तक सकारात्मक मान होते हैं, जो 0 से 1/2 पीआई और पीआई से 3/2 पीआई के मानों के अनुरूप होते हैं। नकारात्मक स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श 90 से 180 डिग्री और 270 से 360 डिग्री, या 1/2 पाई से पाई और 3/2 पाई से 2 पाई हैं। 360 डिग्री या 2 पाई से अधिक कोणों के लिए त्रिकोणमितीय कार्यों के संकेतों का निर्धारण करते समय, इन कार्यों की आवधिकता गुणों का उपयोग किया जाना चाहिए।

त्रिकोणमितीय कार्य sine, tangent और cotangent विषम फलन हैं। ऋणात्मक कोणों के लिए इन फलनों का मान ऋणात्मक होगा। कोज्या एक सम त्रिकोणमितीय फलन है - एक ऋणात्मक कोण के लिए कोज्या मान धनात्मक होगा। त्रिकोणमितीय कार्यों को गुणा और विभाजित करते समय, आपको संकेतों के नियमों का पालन करना चाहिए।

1. त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन साइन के मानों की तालिका निम्नलिखित कोणों के लिए मान दिखाती है

   दस्तावेज़

   एक अलग पृष्ठ में कास्टिंग सूत्र हैं त्रिकोणमितीयकार्य. में मेजमानके लिएत्रिकोणमितीयकार्यसाइनसदिया गयामानके लिएअगलाकोनों: पाप 0, पाप 30, पाप 45 ...

2. प्रस्तावित गणितीय उपकरण एन-डायमेंशनल हाइपरकॉम्प्लेक्स नंबरों के लिए जटिल कैलकुलस का एक पूर्ण एनालॉग है, जिसमें किसी भी संख्या में फ्रीडम एन की डिग्री होती है और यह नॉनलाइनियर के गणितीय मॉडलिंग के लिए अभिप्रेत है।

   दस्तावेज़

   ... कार्यके बराबर होती है कार्यइमेजिस। इस प्रमेय से चाहिए, क्या के लिएनिर्देशांक यू, वी खोजने के लिए, यह गणना करने के लिए पर्याप्त है समारोह... ज्यामिति; पोलीनार कार्य(द्वि-आयामी के बहुआयामी अनुरूप त्रिकोणमितीयकार्य), उनके गुण, टेबलऔर आवेदन; ...