Točne vrijednosti trigonometrijskih funkcija. Sinus, kosinus, tangens i kotangens - sve što trebate znati na OGE i USE

U članku ćemo u potpunosti razumjeti kako to izgleda stol trigonometrijske vrijednosti, sinus, kosinus, tangens i kotangens. Razmotrimo osnovnu vrijednost trigonometrijskih funkcija, pod kutom od 0,30,45,60,90,...,360 stupnjeva. I da vidimo kako koristiti ove tablice u izračunavanju vrijednosti trigonometrijskih funkcija.
Prvo razmislite tablica kosinusa, sinusa, tangensa i kotangensa pod kutom od 0, 30, 45, 60, 90,.. stupnjeva. Definicija ovih veličina omogućuje određivanje vrijednosti funkcija kutova od 0 i 90 stupnjeva:

sin 0 0 \u003d 0, cos 0 0 \u003d 1. tg 00 \u003d 0, kotangens od 00 bit će nedefiniran
sin 90 0 = 1, cos 90 0 =0, ctg90 0 = 0, tangens od 90 0 bit će nedefiniran

Ako uzmemo pravokutne trokute čiji su kutovi od 30 do 90 stupnjeva. Dobivamo:

sin 30 0 = 1/2, cos 30 0 = √3/2, tg 30 0 = √3/3, ctg 30 0 = √3
sin 45 0 = √2/2, cos 45 0 = √2/2, tg 45 0 = 1, ctg 45 0 = 1
sin 60 0 = √3/2, cos 60 0 = 1/2, tg 60 0 =√3, ctg 60 0 = √3/3

Sve dobivene vrijednosti predstavljamo u obrascu trigonometrijska tablica:

Tablica sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa!

Ako koristimo formulu cast, naša će se tablica povećati, dodat će se vrijednosti za kutove do 360 stupnjeva. Izgledat će ovako:

Također, na temelju svojstava periodičnosti, tablica se može povećati ako kutove zamijenimo sa 0 0 +360 0 *z .... 330 0 +360 0 *z, u kojem je z cijeli broj. U ovoj tablici moguće je izračunati vrijednost svih kutova koji odgovaraju točkama u jednoj kružnici.

Pogledajmo jasno kako koristiti tablicu u rješenju.
Sve je vrlo jednostavno. Budući da se vrijednost koju trebamo nalazi na sjecištu ćelija koje su nam potrebne. Na primjer, uzmimo kut od 60 stupnjeva, u tablici će izgledati ovako:

U konačnoj tablici glavnih vrijednosti trigonometrijskih funkcija djelujemo na isti način. Ali u ovoj tablici moguće je saznati kolika će biti tangensa iz kuta od 1020 stupnjeva, to je = -√3 Provjerimo 1020 0 = 300 0 +360 0 *2. Pronađimo stol.

Bradis stol. Za sinus, kosinus, tangens i kotangens.

Bradyjeve tablice podijeljene su u nekoliko dijelova, sastoje se od tablica kosinusa i sinusa, tangensa i kotangensa - koji je podijeljen na dva dijela (tg kuta do 90 stupnjeva i ctg malih kutova).

Sinus i kosinus

kut tg od 00 do 760, kut ctg od 140 do 900.

tg do 900 i ctg malih kutova.

Hajde da shvatimo kako koristiti Bradisove tablice u rješavanju problema.

Pronađimo oznaku sin (oznaka u stupcu s lijevog ruba) 42 minute (oznaka je u gornjem retku). Križanjem tražimo oznaku, to je = 0,3040.

Vrijednosti minuta su naznačene s intervalom od šest minuta, što ako vrijednost koja nam je potrebna spada unutar ovog intervala. Uzmimo 44 minute, au tablici ih je samo 42. Kao osnovu uzimamo 42 i koristimo dodatne stupce s desne strane, uzimamo 2. ispravak i zbrajamo 0,3040 + 0,0006 i dobivamo 0,3046.

Uz sin 47 min, uzimamo 48 min kao osnovu i od njega oduzimamo 1 korekciju, tj. 0,3057 - 0,0003 = 0,3054

Pri izračunavanju cos radimo slično kao i sin, samo što za osnovu uzimamo donji red tablice. Na primjer cos 20 0 = 0,9397

Vrijednosti tg kuta do 90 0 i cot malog kuta su ispravne i u njima nema korekcija. Na primjer, pronađite tg 78 0 37min = 4,967


i ctg 20 0 13 min = 25,83

Pa, ovdje smo razmotrili glavne trigonometrijske tablice. Nadamo se da su vam ove informacije bile izuzetno korisne. Vaša pitanja o stolovima, ako ih ima, svakako napišite u komentarima!

Napomena: Zidni bokobrani - bokobranska ploča za zaštitu zidova. Slijedite vezu bokobrani bez okvira bez zidova (http://www.spi-polymer.ru/otboyniki/) i saznajte više.

Tablica osnovnih trigonometrijskih funkcija za kutove 0, 30, 45, 60, 90, ... stupnjeva

Iz trigonometrijskih definicija funkcija $\sin$, $\cos$, $\tan$ i $\cot$ mogu se pronaći njihove vrijednosti za kutove $0$ i $90$ stupnjeva:

$\sin⁡0°=0$, $\cos0°=1$, $\tan 0°=0$, $\cot 0°$ nije definirano;

$\sin90°=1$, $\cos90°=0$, $\cot90°=0$, $\tan 90°$ nije definirano.

U školskom tečaju geometrije, kada se proučavaju pravokutni trokuti, nalaze se trigonometrijske funkcije kutova $0°$, $30°$, $45°$, $60°$ i $90°$.

Pronađene vrijednosti trigonometrijskih funkcija za navedene kutove u stupnjevima odnosno radijanima ($0$, $\frac(\pi)(6)$, $\frac(\pi)(4)$, $\frac(\ pi)(3) $, $\frac(\pi)(2)$) radi lakšeg pamćenja i korištenja unose se u tablicu tzv. trigonometrijska tablica, tablica osnovnih vrijednosti trigonometrijskih funkcija itd.

Kada koristite formule redukcije, trigonometrijska tablica može se proširiti na $360°$ odnosno $2\pi$ radijana:

Primjenom svojstava periodičnosti trigonometrijskih funkcija svaki kut koji se razlikuje od već poznatog za $360°$ može se izračunati i zabilježiti u tablicu. Na primjer, trigonometrijska funkcija za kut $0°$ imat će istu vrijednost za kut $0°+360°$, i za kut $0°+2 \cdot 360°$, i za kut $0°+3 \ cdot 360°$ itd.

Pomoću trigonometrijske tablice možete odrediti vrijednosti svih kutova jedinične kružnice.

U školskom tečaju geometrije potrebno je naučiti napamet osnovne vrijednosti trigonometrijskih funkcija prikupljenih u trigonometrijskoj tablici radi lakšeg rješavanja trigonometrijskih problema.

Pomoću tablice

U tablici je dovoljno pronaći potrebnu trigonometrijsku funkciju i vrijednost kuta ili radijana za koju tu funkciju treba izračunati. Na sjecištu retka s funkcijom i stupca s vrijednošću dobivamo željenu vrijednost trigonometrijske funkcije zadanog argumenta.

Na slici možete vidjeti kako pronaći vrijednost $\cos⁡60°$ koja je jednaka $\frac(1)(2)$.

Slično se koristi proširena trigonometrijska tablica. Prednost njegove uporabe je, kao što je već spomenuto, izračun trigonometrijske funkcije gotovo bilo kojeg kuta. Na primjer, možete lako pronaći vrijednost $\tan 1 380°=\tan (1 380°-360°)=\tan(1 020°-360°)=\tan(660°-360°)=\tan300 °$:

Bradisove tablice osnovnih trigonometrijskih funkcija

Mogućnost izračuna trigonometrijske funkcije apsolutno bilo koje vrijednosti kuta za cijeli broj stupnjeva i cijeli broj minuta daje korištenje Bradisovih tablica. Na primjer, pronađite vrijednost $\cos⁡34°7"$. Tablice su podijeljene u 2 dijela: tablica vrijednosti $\sin$ i $\cos$ i tablica $\tan$ i $\ cot$ vrijednosti.

Bradisove tablice omogućuju dobivanje približne vrijednosti trigonometrijskih funkcija s točnošću do 4 decimalna mjesta.

Korištenje Bradisovih tablica

Koristeći Bradyjeve tablice za sinuse, nalazimo $\sin⁡17°42"$. Da bismo to učinili, u stupcu s lijeve strane tablice sinusa i kosinusa nalazimo vrijednost stupnjeva - $17°$, a u u gornjem redu nalazimo vrijednost minuta - $42"$. Na njihovom sjecištu dobivamo željenu vrijednost:

$\sin17°42"=0,304$.

Da biste pronašli vrijednost $\sin17°44"$, trebate upotrijebiti korekciju na desnoj strani tablice. U ovom slučaju, vrijednosti $42"$, koja se nalazi u tablici, trebate dodati korekcija za $2"$, što je jednako $0,0006$. Dobivamo:

$\sin17°44"=0,304+0,0006=0,3046$.

Da bismo pronašli vrijednost $\sin17°47"$, također koristimo korekciju na desnoj strani tablice, samo u ovom slučaju uzimamo vrijednost $\sin17°48"$ kao osnovu i oduzimamo korekciju za $1"$:

$\sin17°47"=0,3057-0,0003=0,3054$.

Prilikom izračunavanja kosinusa izvodimo slične radnje, ali gledamo stupnjeve u desnom stupcu, a minute u donjem stupcu tablice. Na primjer, $\cos20°=0,9397$.

Nema korekcija za vrijednosti tangensa do $90°$ i kotangens malog kuta. Na primjer, pronađimo $\tan 78°37"$, što prema tablici iznosi $4,967$.

Koncepti sinusa (), kosinusa (), tangensa (), kotangensa () neraskidivo su povezani s pojmom kuta. Kako bismo dobro razumjeli ove, na prvi pogled, složene pojmove (koji kod mnogih školaraca izazivaju stanje užasa) i uvjerili se da „vrag nije tako strašan kako ga slikaju“, krenimo od samog početka i shvatimo pojam kuta.

Pojam kuta: radijan, stupanj

Pogledajmo sliku. Vektor se "okrenuo" u odnosu na točku za određeni iznos. Dakle, mjera ove rotacije u odnosu na početni položaj bit će kutak.

Što još trebate znati o pojmu kuta? Pa, jedinice kuta, naravno!

Kut se, kako u geometriji tako iu trigonometriji, može mjeriti u stupnjevima i radijanima.

Kut pri (jedan stupanj) je središnji kut u krugu, zasnovan na kružnom luku jednakom dijelu kruga. Dakle, cijela se kružnica sastoji od "komada" kružnih lukova ili je kut koji opisuje kružnica jednak.

Odnosno, gornja slika prikazuje kut koji je jednak, odnosno taj kut se temelji na kružnom luku veličine opsega.

Kut u radijanima naziva se središnji kut u krugu, koji se temelji na kružnom luku, čija je duljina jednaka polumjeru kruga. Pa, jeste li razumjeli? Ako ne, onda pogledajmo sliku.

Dakle, slika prikazuje kut jednak radijanu, odnosno taj kut se temelji na kružnom luku čija je duljina jednaka polumjeru kruga (duljina je jednaka duljini ili polumjeru jednaka duljini lukovi). Dakle, duljina luka izračunava se formulom:

Gdje je središnji kut u radijanima.

Pa, znajući ovo, možete li odgovoriti koliko radijana sadrži kut opisan kružnicom? Da, za ovo morate zapamtiti formulu za opseg kruga. Evo je:

Pa, povežimo sada ove dvije formule i ustanovimo da je kut opisan kružnicom jednak. To jest, korelirajući vrijednost u stupnjevima i radijanima, dobivamo to. Odnosno,. Kao što vidite, za razliku od "stupnjeva", riječ "radijan" je izostavljena, jer je mjerna jedinica obično jasna iz konteksta.

Koliko je radijana? Tako je!

kužiš Zatim pričvrstite naprijed:

Ima li poteškoća? Onda pogledajte odgovori:

Pravokutni trokut: sinus, kosinus, tangens, kotangens kuta

Dakle, s konceptom kuta smo shvatili. Ali što je sinus, kosinus, tangens, kotangens kuta? Hajdemo shvatiti. Da bismo to učinili, pomoći ćemo pravokutni trokut.

Kako se zovu stranice pravokutnog trokuta? Tako je, hipotenuza i noge: hipotenuza je stranica koja leži nasuprot pravog kuta (u našem primjeru, ovo je stranica); noge su dvije preostale strane i (one uz pravi kut), štoviše, ako uzmemo u obzir katete u odnosu na kut, tada je krak susjedna noga, a noga je nasuprot. Dakle, odgovorimo sada na pitanje: što su sinus, kosinus, tangens i kotangens kuta?

Sinus kuta je omjer suprotne (daleke) noge prema hipotenuzi.

u našem trokutu.

Kosinus kuta- ovo je omjer susjedne (bliske) noge prema hipotenuzi.

u našem trokutu.

Kutna tangenta- ovo je omjer suprotne (dalje) noge u odnosu na susjednu (blizu).

u našem trokutu.

Kotangens kuta- ovo je omjer susjedne (bliske) noge prema suprotnoj (daleko).

u našem trokutu.

Ove definicije su neophodne zapamtiti! Da biste lakše zapamtili koju nogu podijeliti na što, morate jasno razumjeti da u tangens i kotangens samo katete sjede, a hipotenuza se pojavljuje samo u sinus i kosinus. A onda možete smisliti lanac asocijacija. Na primjer, ovaj:

kosinus→dodir→dodir→susjedni;

Kotangens→dodir→dodir→susjedni.

Prije svega, potrebno je zapamtiti da sinus, kosinus, tangens i kotangens kao omjeri stranica trokuta ne ovise o duljinama tih stranica (pod jednim kutom). Ne vjeruj? Zatim se uvjerite gledajući sliku:

Razmotrimo, na primjer, kosinus kuta. Po definiciji, iz trokuta: , ali možemo izračunati kosinus kuta iz trokuta: . Vidite, duljine stranica su različite, ali vrijednost kosinusa jednog kuta je ista. Dakle, vrijednosti sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa ovise isključivo o veličini kuta.

Ako razumijete definicije, samo naprijed i popravite ih!

Za trokut prikazan na donjoj slici nalazimo.

Pa, jeste li shvatili? Zatim pokušajte sami: izračunajte isto za kut.

Jedinična (trigonometrijska) kružnica

Razumijevajući koncepte stupnjeva i radijana, razmotrili smo krug čiji je polumjer jednak. Takav se krug zove singl. Vrlo je koristan u proučavanju trigonometrije. Stoga se malo detaljnije zadržavamo na njemu.

Kao što vidite, ovaj krug je ugrađen Kartezijanski sustav koordinate. Polumjer kružnice jednak je jedinici, dok središte kružnice leži u ishodištu, početni položaj radijus vektora fiksiran je duž pozitivnog smjera osi (u našem primjeru to je polumjer).

Svakoj točki kruga odgovaraju dva broja: koordinata duž osi i koordinata duž osi. Koji su to koordinatni brojevi? I uopće, kakve oni veze imaju s ovom temom? Da biste to učinili, sjetite se razmatranog pravokutnog trokuta. Na gornjoj slici možete vidjeti dva cijela pravokutna trokuta. Razmotrimo trokut. Pravokutan je jer je okomit na os.

Što je jednako iz trokuta? Tako je. Osim toga, znamo da je polumjer jedinične kružnice, i prema tome, . Zamijenite ovu vrijednost u našu formulu kosinusa. Evo što se događa:

A čemu je jednako iz trokuta? Pa naravno, ! Zamijenite vrijednost polumjera u ovu formulu i dobijte:

Dakle, možete li mi reći koje su koordinate točke koja pripada krugu? Pa nema šanse? A ako to shvatite i samo su brojke? Kojoj koordinati odgovara? Pa, naravno, koordinata! Kojoj koordinati odgovara? Tako je, koordiniraj! Dakle, točka.

I što su onda jednaki i? Tako je, upotrijebimo odgovarajuće definicije tangensa i kotangensa i dobijemo to, a.

Što ako je kut veći? Evo, na primjer, kao na ovoj slici:

Što se promijenilo u ovom primjeru? Hajdemo shvatiti. Da bismo to učinili, ponovno se okrećemo pravokutnom trokutu. Razmotrimo pravokutni trokut: kut (kao susjedni kutu). Kolika je vrijednost sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa kuta? Tako je, držimo se odgovarajućih definicija trigonometrijskih funkcija:

Pa, kao što vidite, vrijednost sinusa kuta još uvijek odgovara koordinati; vrijednost kosinusa kuta - koordinate; i vrijednosti tangensa i kotangensa na odgovarajuće omjere. Dakle, ove relacije su primjenjive na sve rotacije radijus vektora.

Već je spomenuto da je početni položaj radijus vektora duž pozitivnog smjera osi. Do sada smo rotirali ovaj vektor u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, ali što se događa ako ga rotiramo u smjeru kazaljke na satu? Ništa neobično, dobit ćete i kut određene veličine, ali samo on će biti negativan. Dakle, kada rotiramo radijus vektor u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, dobivamo pozitivni kutovi, a kada se okreće u smjeru kazaljke na satu - negativan.

Dakle, znamo da je cijela revolucija radijus vektora oko kruga ili. Je li moguće rotirati radijus vektor za ili za? Pa naravno da možete! U prvom slučaju, dakle, radijus vektor će napraviti jedan potpuni krug i zaustaviti se na položaju ili.

U drugom slučaju, odnosno, radijus vektor će napraviti tri potpuna kruga i zaustaviti se na poziciji ili.

Dakle, iz gornjih primjera možemo zaključiti da kutovi koji se razlikuju za ili (gdje je bilo koji cijeli broj) odgovaraju istom položaju radijus vektora.

Donja slika prikazuje kut. Ista slika odgovara kutu, i tako dalje. Ovaj popis se može nastaviti na neodređeno vrijeme. Svi ovi kutovi mogu se napisati općom formulom ili (gdje je bilo koji cijeli broj)

Sada, znajući definicije osnovnih trigonometrijskih funkcija i koristeći jediničnu kružnicu, pokušajte odgovoriti čemu su jednake vrijednosti:

Evo jediničnog kruga koji će vam pomoći:

Ima li poteškoća? Onda idemo shvatiti. Dakle, znamo da:

Odavde određujemo koordinate točaka koje odgovaraju određenim mjerama kuta. Pa, počnimo redom: kut na odgovara točki s koordinatama, dakle:

Ne postoji;

Nadalje, držeći se iste logike, otkrivamo da kutovi u odgovaraju točkama s koordinatama, odnosno. Znajući to, lako je odrediti vrijednosti trigonometrijskih funkcija u odgovarajućim točkama. Prvo pokušajte sami, a zatim provjerite odgovore.

odgovori:

Ne postoji

Ne postoji

Ne postoji

Ne postoji

Dakle, možemo napraviti sljedeću tablicu:

Nema potrebe pamtiti sve te vrijednosti. Dovoljno je zapamtiti korespondenciju između koordinata točaka na jediničnom krugu i vrijednosti trigonometrijskih funkcija:

Ali vrijednosti trigonometrijskih funkcija kutova u i, dane u donjoj tablici, mora se zapamtiti:

Ne bojte se, sada ćemo pokazati jedan od primjera prilično jednostavno pamćenje odgovarajućih vrijednosti:

Da biste koristili ovu metodu, važno je zapamtiti vrijednosti sinusa za sve tri mjere kuta (), kao i vrijednost tangensa kuta u. Poznavajući ove vrijednosti, vrlo je lako vratiti cijelu tablicu - vrijednosti kosinusa se prenose u skladu sa strelicama, to jest:

Znajući to, možete vratiti vrijednosti za. Brojnik " " će odgovarati i nazivnik " " će se podudarati. Vrijednosti kotangensa prenose se u skladu sa strelicama prikazanim na slici. Ako ovo razumijete i zapamtite dijagram sa strelicama, tada će biti dovoljno zapamtiti cijelu vrijednost iz tablice.

Koordinate točke na kružnici

Je li moguće pronaći točku (njene koordinate) na kružnici, poznavanje koordinata središta kruga, njegovog polumjera i kuta zakreta?

Pa naravno da možete! Iznesimo opća formula za pronalaženje koordinata točke.

Evo, na primjer, imamo takav krug:

Zadano nam je da je točka središte kruga. Polumjer kružnice je jednak. Potrebno je pronaći koordinate točke dobivene rotacijom točke za stupnjeve.

Kao što se može vidjeti sa slike, koordinata točke odgovara duljini segmenta. Duljina segmenta odgovara koordinati središta kruga, odnosno jednaka je. Duljina segmenta može se izraziti pomoću definicije kosinusa:

Onda to imamo za koordinatu točke.

Po istoj logici nalazimo vrijednost y koordinate za točku. Na ovaj način,

Dakle u opći pogled koordinate točke određuju se formulama:

Koordinate centra kruga,

radijus kruga,

Kut rotacije radijus vektora.

Kao što vidite, za jedinični krug koji razmatramo, ove formule su značajno smanjene, budući da su koordinate središta nula, a radijus je jednak jedan:

Pa, probajmo ove formule za okus, vježbajući pronalaženje točaka na kružnici?

1. Odredite koordinate točke na jediničnoj kružnici dobivenoj okretanjem točke.

2. Odredite koordinate točke na jediničnoj kružnici dobivenoj rotacijom točke na.

3. Odredite koordinate točke na jediničnoj kružnici dobivenoj okretanjem točke.

4. Točka - središte kruga. Polumjer kružnice je jednak. Potrebno je pronaći koordinate točke dobivene rotacijom početnog radijus vektora za.

5. Točka - središte kruga. Polumjer kružnice je jednak. Potrebno je pronaći koordinate točke dobivene rotacijom početnog radijus vektora za.

Imate problema s pronalaženjem koordinata točke na kružnici?

Riješite ovih pet primjera (ili dobro razumite rješenje) i naučit ćete kako ih pronaći!

1.

Vidi se da. A znamo što odgovara punom okretu početne točke. Tako će željena točka biti u istom položaju kao kod okretanja. Znajući to, nalazimo željene koordinate točke:

2. Krug je jedinica sa središtem u točki, što znači da možemo koristiti pojednostavljene formule:

Vidi se da. Znamo što odgovara dvjema potpunim rotacijama početne točke. Tako će željena točka biti u istom položaju kao kod okretanja. Znajući to, nalazimo željene koordinate točke:

Sinus i kosinus su tablične vrijednosti. Pamtimo njihove vrijednosti i dobivamo:

Dakle, željena točka ima koordinate.

3. Krug je jedinica sa središtem u točki, što znači da možemo koristiti pojednostavljene formule:

Vidi se da. Oslikajmo razmatrani primjer na slici:

Polumjer čini kutove s osi jednake i. Znajući da su tablične vrijednosti kosinusa i sinusa jednake i utvrdivši da kosinus ovdje ima negativnu vrijednost, a sinus pozitivan, imamo:

Slični primjeri detaljnije se analiziraju pri proučavanju formula za redukciju trigonometrijskih funkcija u temi.

Dakle, željena točka ima koordinate.

4.

Kut rotacije radijus vektora (po uvjetu)

Da bismo odredili odgovarajuće predznake sinusa i kosinusa, konstruiramo jediničnu kružnicu i kut:

Kao što vidite, vrijednost tj. je pozitivna, a vrijednost tj. negativna. Poznavajući tablične vrijednosti odgovarajućih trigonometrijskih funkcija, dobivamo da je:

Zamijenimo dobivene vrijednosti u našu formulu i pronađimo koordinate:

Dakle, željena točka ima koordinate.

5. Za rješavanje ovog problema koristimo formule u općem obliku, gdje

Koordinate središta kruga (u našem primjeru,

Polumjer kruga (prema uvjetu)

Kut rotacije radijus vektora (po uvjetu).

Zamijenite sve vrijednosti u formulu i dobijte:

i - tablične vrijednosti. Sjećamo se i zamijenimo ih u formulu:

Dakle, željena točka ima koordinate.

SAŽETAK I OSNOVNA FORMULA

Sinus kuta je omjer suprotnog (daljeg) kraka i hipotenuze.

Kosinus kuta je omjer susjedne (bliske) noge i hipotenuze.

Tangens kuta je omjer suprotnog (daljeg) kraka prema susjednom (bliskom).

Kotangens kuta je omjer susjednog (bliskog) kraka prema suprotnom (dalekom).

U petom stoljeću prije Krista starogrčki filozof Zenon iz Eleje formulirao je svoje poznate aporije od kojih je najpoznatija aporija "Ahilej i kornjača". Evo kako to zvuči:

Recimo da Ahilej trči deset puta brže od kornjače i da je tisuću koraka iza nje. Za vrijeme dok Ahil pretrči ovu udaljenost, kornjača otpuže stotinu koraka u istom smjeru. Kad Ahil pretrči stotinu koraka, kornjača će puzati još deset koraka, i tako dalje. Proces će se nastaviti unedogled, Ahil nikada neće sustići kornjaču.

Ovo razmišljanje postalo je logičan šok za sve naredne generacije. Aristotel, Diogen, Kant, Hegel, Gilbert... Svi su oni, na ovaj ili onaj način, razmatrali Zenonove aporije. Šok je bio toliko jak da je " ... rasprave se nastavljaju i danas, znanstvena zajednica još nije uspjela doći do zajedničkog mišljenja o suštini paradoksa ... u proučavanje problematike uključeni su matematička analiza, teorija skupova, novi fizikalni i filozofski pristupi ; nijedan od njih nije postao općeprihvaćeno rješenje problema ..."[Wikipedia," Zenonove aporije "]. Svi shvaćaju da su zavareni, ali nitko ne shvaća u čemu je prijevara.

S gledišta matematike, Zenon je u svojim aporijama jasno pokazao prijelaz s vrijednosti na. Ovaj prijelaz podrazumijeva primjenu umjesto konstanti. Koliko ja razumijem, matematički aparat za primjenu promjenjivih mjernih jedinica ili još nije razvijen, ili nije primijenjen na Zenonove aporije. Primjena naše uobičajene logike vodi nas u zamku. Mi, inercijom mišljenja, primjenjujemo konstantne jedinice vremena na recipročne. Fizički gledano, ovo izgleda kao usporavanje vremena dok se potpuno ne zaustavi u trenutku kada Ahilej sustigne kornjaču. Ako vrijeme stane, Ahilej više ne može prestići kornjaču.

Okrenemo li logikom na koju smo navikli, sve dolazi na svoje mjesto. Ahilej trči konstantnom brzinom. Svaki sljedeći segment puta je deset puta kraći od prethodnog. Sukladno tome, vrijeme utrošeno na njegovo prevladavanje je deset puta manje od prethodnog. Ako primijenimo koncept "beskonačnosti" u ovoj situaciji, tada bi bilo ispravno reći "Ahilej će beskonačno brzo prestići kornjaču."

Kako izbjeći ovu logičku zamku? Ostanite u konstantnim jedinicama vremena i ne prelazite na recipročne vrijednosti. Zenonovim jezikom to izgleda ovako:

U vremenu koje je potrebno Ahilu da pretrči tisuću koraka, kornjača otpuže stotinu koraka u istom smjeru. Tijekom sljedećeg vremenskog intervala, jednakog prvom, Ahil će pretrčati još tisuću koraka, a kornjača puzati sto koraka. Sada je Ahilej osam stotina koraka ispred kornjače.

Ovaj pristup adekvatno opisuje stvarnost bez ikakvih logičkih paradoksa. Ali nije cjelovito rješenje Problemi. Einsteinova izjava o nesavladivosti brzine svjetlosti vrlo je slična Zenonovoj aporiji "Ahilej i kornjača". Taj problem tek trebamo proučiti, promisliti i riješiti. A rješenje se ne mora tražiti u beskonačno velikim brojevima, već u mjernim jedinicama.

Još jedna zanimljiva Zenonova aporija govori o letećoj strijeli:

Strijela koja leti je nepomična, budući da u svakom trenutku vremena miruje, a budući da miruje u svakom trenutku vremena, ona uvijek miruje.

U ovoj aporiji logički paradoks prevladava se vrlo jednostavno – dovoljno je pojasniti da u svakom trenutku leteća strijela miruje na različitim točkama u prostoru, što je, zapravo, kretanje. Ovdje treba napomenuti još jednu stvar. Iz jedne fotografije automobila na cesti nemoguće je utvrditi ni činjenicu njegovog kretanja ni udaljenost do njega. Da bi se utvrdila činjenica kretanja automobila, potrebne su dvije fotografije snimljene s iste točke u različitim vremenskim točkama, ali se ne mogu koristiti za određivanje udaljenosti. Da biste odredili udaljenost do automobila, potrebne su vam dvije fotografije snimljene s različitih točaka u prostoru u isto vrijeme, ali iz njih ne možete utvrditi činjenicu kretanja (naravno, i dalje su vam potrebni dodatni podaci za izračune, trigonometrija će vam pomoći) . Na što se želim usredotočiti Posebna pažnja, je da su dvije točke u vremenu i dvije točke u prostoru različite stvari koje ne treba brkati, jer pružaju različite mogućnosti za istraživanje.

Srijeda, 4. srpnja 2018

Vrlo dobro su razlike između skupa i multiskupa opisane u Wikipediji. Mi gledamo.

Kao što vidite, "skup ne može imati dva identična elementa", ali ako postoje identični elementi u skupu, takav skup se naziva "multiskup". Razumna bića nikada neće shvatiti takvu logiku apsurda. Ovo je razina papiga koje govore i dresiranih majmuna, kod kojih je um odsutan od riječi "potpuno". Matematičari se ponašaju kao obični treneri, propovijedajući nam svoje apsurdne ideje.

Jednom davno, inženjeri koji su gradili most bili su u čamcu ispod mosta za vrijeme ispitivanja mosta. Ako se most sruši, osrednji inženjer umro je ispod ruševina svoje kreacije. Ako je most mogao izdržati opterećenje, talentirani inženjer izgradio je druge mostove.

Koliko god se matematičari skrivali iza fraze "pamte me, ja sam u kući", odnosno "matematika proučava apstraktne pojmove", postoji jedna pupčana vrpca koja ih neraskidivo povezuje sa stvarnošću. Ova pupčana vrpca je novac. Primijenimo matematičku teoriju skupova na same matematičare.

Odlično smo učili matematiku i sada sjedimo za blagajnom i isplaćujemo plaće. Ovdje nam dolazi matematičar po svoj novac. Mi mu izbrojimo cijeli iznos i rasporedimo ga na stol u različite hrpe u koje stavimo novčanice istog apoena. Zatim sa svake hrpe uzmemo po jednu novčanicu i damo matematičaru njegovu "matematičku plaću". Objašnjavamo matematiku da će ostatak računa dobiti tek kada dokaže da skup bez istovrsnih elemenata nije jednak skupu s istovrsnim elementima. Ovdje počinje zabava.

Prije svega, proradit će zastupnička logika: "možete na druge, ali ne na mene!" Dalje će početi uvjeravanja da na novčanicama istog apoena postoje različiti brojevi novčanica, što znači da se ne mogu smatrati identičnim elementima. Pa mi računamo plaću u kovanicama - na kovanicama nema brojeva. Ovdje će se matematičar početi grčevito prisjećati fizike: različite kovanice postoji različita količina prljavštine, kristalna struktura i raspored atoma svakog novčića je jedinstven...

A sad imam najviše interes Pitaj: gdje je granica iza koje se elementi multiskupa pretvaraju u elemente skupa i obrnuto? Takva linija ne postoji – o svemu odlučuju šamani, znanost ovdje nije ni blizu.

Pogledaj ovdje. Odabiremo nogometne stadione s istom površinom terena. Površina polja je ista, što znači da imamo multiset. Ali ako uzmemo u obzir nazive istih stadiona, dobivamo puno, jer su nazivi različiti. Kao što vidite, isti skup elemenata je i skup i multiskup u isto vrijeme. Kako u redu? I tu matematičar-šaman-šuler vadi adutskog asa iz rukava i počinje nam pričati ili o skupu ili o multiskupu. U svakom slučaju, on će nas uvjeriti da je u pravu.

Da bismo razumjeli kako moderni šamani operiraju s teorijom skupova, povezujući je sa stvarnošću, dovoljno je odgovoriti na jedno pitanje: po čemu se elementi jednog skupa razlikuju od elemenata drugog skupa? Pokazat ću vam, bez ikakvih "zamislivo kao nejedna cjelina" ili "nezamislivo kao jedinstvena cjelina".

Nedjelja, 18.03.2018

Zbroj znamenki broja je ples šamana s tamburom, koji nema veze s matematikom. Da, na satovima matematike nas uče pronaći zbroj znamenki broja i koristiti ga, ali oni su šamani za to, da svoje potomke pouče svojim vještinama i mudrosti, inače će šamani jednostavno izumrijeti.

Trebate li dokaz? Otvorite Wikipediju i pokušajte pronaći stranicu "Zbroj znamenki broja". Ona ne postoji. U matematici ne postoji formula po kojoj možete pronaći zbroj znamenki bilo kojeg broja. Uostalom, brojevi su grafički simboli kojima zapisujemo brojeve, a jezikom matematike zadatak zvuči ovako: "Nađi zbroj grafičkih simbola koji predstavljaju bilo koji broj." Matematičari ne mogu riješiti ovaj problem, ali šamani to elementarno mogu.

Shvatimo što i kako radimo da bismo pronašli zbroj znamenki zadanog broja. I tako, recimo da imamo broj 12345. Što treba učiniti da bismo pronašli zbroj znamenki tog broja? Razmotrimo sve korake redom.

1. Zapišite broj na komad papira. Što smo učinili? Broj smo pretvorili u brojčani grafički simbol. Ovo nije matematička operacija.

2. Jednu primljenu sliku režemo na više slika koje sadrže zasebne brojeve. Rezanje slike nije matematička operacija.

3. Pretvorite pojedinačne grafičke znakove u brojeve. Ovo nije matematička operacija.

4. Dobivene brojeve zbrojite. E sad, to je matematika.

Zbroj znamenki broja 12345 je 15. Ovo su "tečajevi krojenja i šivanja" od šamana koje koriste matematičari. Ali to nije sve.

Sa stajališta matematike nije svejedno u kojem brojevnom sustavu zapisujemo broj. Dakle, u različitim sustavima računajući, zbroj znamenki istog broja bit će različit. U matematici se brojevni sustav označava kao indeks s desne strane broja. S velikim brojem 12345, ne želim zavarati glavu, razmislite o broju 26 iz članka o. Zapišimo ovaj broj u binarnom, oktalnom, decimalnom i heksadecimalnom brojevnom sustavu. Nećemo svaki korak razmatrati pod mikroskopom, već smo to učinili. Pogledajmo rezultat.

Kao što vidite, u različitim brojevnim sustavima zbroj znamenki istog broja je različit. Ovaj rezultat nema nikakve veze s matematikom. To je kao da bi pronalaženje površine pravokutnika u metrima i centimetrima dalo potpuno drugačije rezultate.

Nula u svim brojevnim sustavima izgleda isto i nema zbroj znamenki. To je još jedan argument u prilog činjenici da . Pitanje za matematičare: kako se u matematici označava ono što nije broj? Što, za matematičare ne postoji ništa osim brojeva? Za šamane to mogu dopustiti, ali za znanstvenike ne. Stvarnost nisu samo brojke.

Dobiveni rezultat treba smatrati dokazom da su brojevni sustavi mjerne jedinice brojeva. Uostalom, ne možemo uspoređivati ​​brojeve s različitim mjernim jedinicama. Ako iste radnje s različitim mjernim jedinicama iste veličine dovode do različitih rezultata nakon njihove usporedbe, onda to nema nikakve veze s matematikom.

Što je prava matematika? To je kada rezultat matematičke radnje ne ovisi o vrijednosti broja, korištenoj mjernoj jedinici i o tome tko tu radnju izvodi.

Znak na vratima Otvara vrata i kaže:

Joj! Nije li ovo ženski WC?
- Mlada žena! Ovo je laboratorij za proučavanje neograničene svetosti duša nakon uzašašća na nebo! Nimbus na vrhu i strelica prema gore. Koji drugi WC?

Žensko... Aureola na vrhu i strelica prema dolje je muško.

Ako vam takvo dizajnersko djelo bljesne pred očima nekoliko puta dnevno,

Onda ne čudi da iznenada nađete čudnu ikonu u svom automobilu:

Osobno se trudim vidjeti minus četiri stupnja kod osobe koja kaki (jedna slika) (kompozicija od više slika: znak minus, broj četiri, oznaka stupnjeva). I ne smatram ovu djevojku budalom koja ne zna fiziku. Ona samo ima lučni stereotip percepcije grafičkih slika. A matematičari nas tome stalno uče. Evo primjera.

1A nije "minus četiri stupnja" ili "jedan a". Ovo je "čovjek koji kaki" ili broj "dvadeset šest" u heksadecimalnom brojevnom sustavu. Oni ljudi koji stalno rade u ovom sustavu brojeva automatski percipiraju broj i slovo kao jedan grafički simbol.

Odaberite rubriku Knjige Matematika Fizika Kontrola i kontrola pristupa Protupožarna sigurnost Korisno Dobavljači opreme Mjerni instrumenti (KIP) Mjerenje vlažnosti - dobavljači u Ruskoj Federaciji. Mjerenje tlaka. Mjerenje troškova. Mjerači protoka. Mjerenje temperature Mjerenje razine. Mjerila razine. Tehnologije bez iskopa Kanalizacijski sustavi. Dobavljači pumpi u Ruskoj Federaciji. Popravak pumpe. Pribor za cjevovode. Leptir ventili (disk ventili). Nepovratni ventili. Kontrolna armatura. Mrežasti filteri, sakupljači isplake, magnetno-mehanički filteri. Kuglasti ventili. Cijevi i elementi cjevovoda. Brtve za navoje, prirubnice itd. Elektromotori, električni pogoni... Priručnik Abecede, oznake, jedinice, šifre... Abecede, uklj. grčki i latinski. Simboli. Kodovi. Alfa, beta, gama, delta, epsilon… Oznake električnih mreža. Pretvorba jedinica decibel. San. Pozadina. Jedinice čega? Mjerne jedinice za tlak i vakuum. Pretvaranje jedinica tlaka i vakuuma. Jedinice duljine. Prijevod jedinica duljine (linearna veličina, udaljenosti). Jedinice volumena. Pretvorba jedinica volumena. Jedinice gustoće. Preračunavanje jedinica gustoće. Jedinice površine. Preračunavanje jedinica površine. Mjerne jedinice tvrdoće. Preračunavanje jedinica tvrdoće. Jedinice za temperaturu. Pretvaranje jedinica temperature u Kelvine / Celzijuse / Fahrenheite / Rankine / Delisle / Newton / Reamure kutne dimenzije"). Pretvorba jedinica kutne brzine i kutnog ubrzanja. Standardne pogreške mjerenja. Plinovi različiti kao radni fluidi. Dušik N2 (rashladno sredstvo R728) Amonijak (rashladno sredstvo R717). Antifrizi. Vodik H^2 (rashladno sredstvo R702) Vodena para. Zrak (Atmosfera) ) Prirodni plin - prirodni plin Bioplin - kanalizacijski plin LPG NGL LNG Propan-butan Kisik O2 (rashladno sredstvo R732) Ulja i maziva Metan CH4 (rashladno sredstvo R50) Svojstva vode. Ugljični monoksid CO. ugljični monoksid. Ugljični dioksid CO2. (Rashladno sredstvo R744). Klor Cl2 Klorovodik HCl, poznat i kao klorovodična kiselina. Rashladna sredstva (rashladna sredstva). Rashladno sredstvo (rashladno sredstvo) R11 - fluorotriklorometan (CFCI3) rashladno sredstvo (rashladno sredstvo) R12 - difluorodiklorometan (CF2CCl2) rashladno sredstvo (rashladno sredstvo) R125 - pentafluoroetan (CF2HCF3). Rashladno sredstvo (rashladno sredstvo) R134a - 1,1,1,2-tetrafluoroetan (CF3CFH2). Rashladno sredstvo (Rashladno sredstvo) R22 - Difluorklorometan (CF2ClH) Rashladno sredstvo (Rashladno sredstvo) R32 - Difluorometan (CH2F2). Rashladno sredstvo (rashladno sredstvo) R407C - R-32 (23%) / R-125 (25%) / R-134a (52%) / postotak mase. ostalo Materijali - toplinska svojstva Abrazivi - granulacija, finoća, oprema za mljevenje. Tlo, zemlja, pijesak i drugo kamenje. Pokazatelji rastresitosti, skupljanja i gustoće tla i stijena. Skupljanje i labavljenje, opterećenja. Kutovi nagiba. Visine izbočina, odlagališta. Drvo. Klade. Drvena građa. Dnevnici. Drva za ogrjev… Keramika. Ljepila i spojevi ljepila Led i snijeg (vodeni led) Metali Aluminij i aluminijske legure Bakar, bronca i mjed Bronca Mjed Bakar (i klasifikacija bakrenih legura) Nikal i legure Sukladnost s klasama legura Čelici i legure Referentne tablice težina valjanih metalnih proizvoda i cijevi. +/-5% Težina cijevi. metalna težina. Mehanička svojstva čelika. Minerali lijevanog željeza. Azbest. Prehrambeni proizvodi i prehrambene sirovine. Svojstva, itd. Veza na drugi dio projekta. Gume, plastika, elastomeri, polimeri. Detaljan opis Elastomeri PU, TPU, X-PU, H-PU, XH-PU, S-PU, XS-PU, T-PU, G-PU (CPU), NBR, H-NBR, FPM, EPDM, MVQ, TFE/ P, POM, PA-6, TPFE-1, TPFE-2, TPFE-3, TPFE-4, TPFE-5 (PTFE modificirani), Čvrstoća materijala. Sopromat. Građevinski materijali. Fizikalna, mehanička i toplinska svojstva. Beton. betonski mort. Riješenje. Građevinski okovi. Čelik i drugi. Tablice primjenjivosti materijala. Otpornost na kemikalije. Primjenjivost temperature. Otpornost na koroziju. Brtveni materijali - brtvila za fuge. PTFE (fluoroplast-4) i derivati. FUM traka. Anaerobna ljepila Brtvila koja se ne suše (ne stvrdnjavaju). Silikonska brtvila (organosilicij). Grafit, azbest, paronit i izvedeni materijali paronit. Termički ekspandirani grafit (TRG, TMG), sastavi. Svojstva. Primjena. Proizvodnja. Sanitarije od lana Gumene elastomerne brtve Izolacija i termoizolacijski materijali. (link na dio projekta) Inženjerske tehnike i koncepti Zaštita od eksplozije. Zaštita od udaraca okoliš. korozija. Klimatske verzije(Tabele kompatibilnosti materijala) Tlak, temperatura, klase curenja Pad tlaka (gubitak). — Inženjerski koncept. Zaštita od požara. požari. Teorija automatskog upravljanja (regulacije). TAU Matematički priručnik Aritmetika, geometrijska progresija i sume nekih numeričkih nizova. Geometrijski likovi. Svojstva, formule: opseg, površina, volumen, duljina. Trokuti, pravokutnici itd. Stupnjevi u radijane. plošne figure. Svojstva, stranice, kutovi, predznaci, opseg, jednakosti, sličnosti, tetive, sektori, površine itd. Površine nepravilnih likova, volumeni nepravilnih tijela. Prosječna vrijednost signal. Formule i metode za izračunavanje površine. Grafikoni. Konstrukcija grafova. Čitanje grafikona. Integralni i diferencijalni račun. Tabularne derivacije i integrali. Tablica izvedenica. Tablica integrala. Tablica primitiva. Pronađite izvedenicu. Pronađite integral. Diffury. Kompleksni brojevi. imaginarna jedinica. Linearna algebra. (Vektori, matrice) Matematika za najmlađe. Dječji vrtić- 7. razred. Matematička logika. Rješenje jednadžbi. Kvadratne i bikvadratne jednadžbe. Formule. Metode. Riješenje diferencijalne jednadžbe Primjeri rješenja običnih diferencijalnih jednadžbi reda višeg od prvog. Primjeri rješenja najjednostavnijih = analitički rješivih običnih diferencijalnih jednadžbi prvog reda. Koordinatni sustavi. Pravokutni kartezijanski, polarni, cilindrični i sferni. Dvodimenzionalni i trodimenzionalni. Sustavi brojeva. Brojevi i znamenke (realni, kompleksni, ....). Tablice brojevnih sustava. Redovi potencija Taylor, Maclaurin (=McLaren) i periodični Fourierov red. Rastavljanje funkcija u nizove. Tablice logaritama i osnovne formule Tablice numeričkih vrijednosti Tablice Bradysa. Teorija vjerojatnosti i statistika Trigonometrijske funkcije, formule i grafovi. sin, cos, tg, ctg….Vrijednosti trigonometrijskih funkcija. Formule za redukciju trigonometrijskih funkcija. Trigonometrijski identiteti. Numeričke metode Oprema - standardi, dimenzije Uređaji, kućna oprema. Sustavi odvodnje i odvodnje. Kapaciteti, spremnici, spremnici, spremnici. Instrumentacija i upravljanje Instrumentacija i automatizacija. Mjerenje temperature. Transportne trake, trakasti transporteri. Kontejneri (link) Laboratorijska oprema. Pumpe i crpne stanice Pumpe za tekućine i pulpe. Inženjerski žargon. Rječnik. Probir. Filtriranje. Odvajanje čestica kroz rešetke i sita. Približna čvrstoća užadi, sajli, užadi, užadi od raznih plastičnih masa. Proizvodi od gume. Spojevi i prilozi. Promjeri uvjetni, nazivni, Du, DN, NPS i NB. Metrički i inčni promjeri. SDR. Ključevi i utori za ključeve. Komunikacijski standardi. Signali u sustavima automatizacije (I&C) Analogni ulazni i izlazni signali instrumenata, senzora, mjerača protoka i uređaja za automatizaciju. sučelja za povezivanje. Komunikacijski protokoli (komunikacije) Telefonija. Pribor za cjevovode. Dizalice, ventili, zasuni…. Duljine zgrada. Prirubnice i navoji. Standardi. Spojne dimenzije. niti. Oznake, veličine, uporaba, tipovi… (referentni link) Spojevi ("higijenski", "aseptični") cjevovoda u prehrambenoj, mliječnoj i farmaceutskoj industriji. Cijevi, cjevovodi. Promjeri cijevi i druge karakteristike. Izbor promjera cjevovoda. Brzine protoka. Troškovi. Snaga. Tablice odabira, pad tlaka. Bakrene cijevi. Promjeri cijevi i druge karakteristike. Cijevi od polivinil klorida (PVC). Promjeri cijevi i druge karakteristike. Cijevi su polietilenske. Promjeri cijevi i druge karakteristike. Cijevi od polietilena PND. Promjeri cijevi i druge karakteristike. Čelične cijevi (uključujući nehrđajući čelik). Promjeri cijevi i druge karakteristike. Cijev je čelična. Cijev je nehrđajuća. Cijevi od nehrđajućeg čelika. Promjeri cijevi i druge karakteristike. Cijev je nehrđajuća. Cijevi od ugljičnog čelika. Promjeri cijevi i druge karakteristike. Cijev je čelična. Uklapanje. Prirubnice prema GOST, DIN (EN 1092-1) i ANSI (ASME). Prirubnički spoj. Prirubnički spojevi. Prirubnički spoj. Elementi cjevovoda. Električne svjetiljke Električni priključci i žice (kabeli) Elektromotori. Elektromotori. Električni sklopni uređaji. (Veza na odjeljak) Standardi osobni život inženjeri Geografija za inženjere. Udaljenosti, rute, karte….. Inženjeri u svakodnevnom životu. Obitelj, djeca, rekreacija, odjeća i stanovanje. Djeca inženjera. Inženjeri u uredima. Inženjeri i drugi ljudi. Socijalizacija inženjera. Zanimljivosti. Odmaraju inženjeri. Ovo nas je šokiralo. Inženjeri i hrana. Recepti, korisnost. Trikovi za restorane. Međunarodna trgovina za inženjere. Učimo se razmišljati na seljački način. Prijevoz i putovanja. Privatni automobili, bicikli…. Fizika i kemija čovjeka. Ekonomija za inženjere. Bormotologiya financijeri - ljudski jezik. Tehnološki koncepti i crteži Papir za pisanje, crtanje, ured i kuverte. Standardne veličine fotografije. Ventilacija i klimatizacija. Vodovod i kanalizacija Opskrba toplom vodom (PTV). Opskrba pitkom vodom Otpadne vode. Opskrba hladnom vodom Galvanska industrija Hlađenje Parni vodovi/sustavi. Vodovi/sustavi kondenzata. Parni vodovi. Cjevovodi za kondenzat. Opskrba prehrambene industrije prirodni gas Metali za zavarivanje Simboli i oznake opreme na crtežima i dijagramima. Simbolični grafički prikazi u projektima grijanja, ventilacije, klimatizacije i opskrbe toplinom i hlađenjem, prema ANSI/ASHRAE standardu 134-2005. Sterilizacija opreme i materijala Opskrba toplinom Elektronička industrija Napajanje Fizička referenca Abeceda. Prihvaćene oznake. Osnovne fizikalne konstante. Vlažnost je apsolutna, relativna i specifična. Vlažnost zraka. Psihrometrijske tablice. Ramzinovi dijagrami. Vrijeme Viskoznost, Reynoldsov broj (Re). Jedinice viskoznosti. Plinovi. Svojstva plinova. Individualne plinske konstante. Tlak i vakuum Duljina vakuuma, udaljenost, linearna dimenzija Zvuk. Ultrazvuk. Koeficijenti apsorpcije zvuka (veza na drugi odjeljak) Klima. klimatski podaci. prirodni podaci. SNiP 23-01-99. Građevinska klimatologija. (Statistika klimatskih podataka) SNIP 23-01-99 Tablica 3 - Prosječna mjesečna i godišnja temperatura zraka, ° S. Bivši SSSR. SNIP 23-01-99 Tablica 1. Klimatski parametri hladnog razdoblja godine. RF. SNIP 23-01-99 Tablica 2. Klimatski parametri tople sezone. Bivši SSSR. SNIP 23-01-99 Tablica 2. Klimatski parametri tople sezone. RF. SNIP 23-01-99 Tablica 3. Prosječna mjesečna i godišnja temperatura zraka, ° S. RF. SNiP 23-01-99. Tablica 5a* - Prosječni mjesečni i godišnji parcijalni tlak vodene pare, hPa = 10^2 Pa. RF. SNiP 23-01-99. Tablica 1. Klimatski parametri hladne sezone. Bivši SSSR. Gustoća. Težina. Specifična gravitacija. Nasipna gustoća. Površinska napetost. Topljivost. Topljivost plinova i čvrstih tvari. Svjetlo i boja. Koeficijenti refleksije, apsorpcije i refrakcije Abeceda boja:) - Oznake (kodiranja) boje (boja). Svojstva kriogenih materijala i medija. Stolovi. Koeficijenti trenja za razne materijale. Toplinske veličine uključujući ključanje, taljenje, plamen itd. dodatne informacije vidi: Koeficijenti (indikatori) adijabate. Konvekcija i potpuna izmjena topline. Koeficijenti toplinskog linearnog širenja, toplinsko volumetrijsko širenje. Temperature, vrenje, taljenje, ostalo… Pretvorba jedinica za temperaturu. Zapaljivo. temperatura omekšavanja. Vrelišta Tališta Toplinska vodljivost. Koeficijenti toplinske vodljivosti. Termodinamika. Određena toplina isparavanje (kondenzacija). Entalpija isparavanja. Specifična toplina izgaranja (kalorična vrijednost). Potreba za kisikom. Električne i magnetske veličine Električni dipolni momenti. Dielektrična konstanta. Električna konstanta. Duljine elektromagnetskih valova (priručnik drugog dijela) Intenziteti magnetsko polje Pojmovi i formule za elektricitet i magnetizam. Elektrostatika. Piezoelektrični moduli. Električna čvrstoća materijala Struja Električni otpor i vodljivost. Elektronički potencijali Kemijski priručnik "Kemijska abeceda (rječnik)" - nazivi, kratice, prefiksi, oznake tvari i spojeva. Vodene otopine i smjese za obradu metala. Vodene otopine za nanošenje i skidanje metalnih premaza Vodene otopine za čišćenje od naslaga ugljika (katranske naslage, naslage ugljika iz motora s unutarnjim izgaranjem...) Vodene otopine za pasivizaciju. Vodene otopine za jetkanje - uklanjanje oksida s površine Vodene otopine za fosfatiranje Vodene otopine i smjese za kemijsku oksidaciju i bojanje metala. Vodene otopine i smjese za kemijsko poliranje vodene otopine i organska otapala pH. pH tablice. Paljenje i eksplozije. Oksidacija i redukcija. Klase, kategorije, oznake opasnosti (toksičnosti) kemijskih tvari Periodni sustav kemijskih elemenata DI Mendelejeva. Periodni sustav elemenata. Gustoća organskih otapala (g/cm3) ovisno o temperaturi. 0-100 °S. Svojstva otopina. Konstante disocijacije, kiselost, bazičnost. Topljivost. Mješavine. Toplinske konstante tvari. Entalpija. entropija. Gibbsova energija… (link na kemijski priručnik projekta) Elektrotehnički regulatori Neprekidni sustavi napajanja. Sustavi otpreme i upravljanja Strukturirani kabelski sustavi Podatkovni centri