त्रिभुज की समरूपता के 2 अक्ष। A.4 तल की अक्षीय समरूपता की परिभाषा और गुण

लक्ष्य:

• शैक्षिक:
  • समरूपता का विचार दें;
  • विमान और अंतरिक्ष में मुख्य प्रकार की समरूपता का परिचय दें;
  • सममित आकृतियों के निर्माण में मजबूत कौशल विकसित करना;
  • समरूपता से जुड़े गुणों से परिचित कराकर प्रसिद्ध हस्तियों के बारे में विचारों का विस्तार करें;
  • हल करने में समरूपता का उपयोग करने की संभावनाएं दिखाएं विभिन्न कार्य;
  • अर्जित ज्ञान को समेकित करें;
• सामान्य शिक्षा:
  • काम के लिए खुद को स्थापित करना सीखें;
  • डेस्क पर अपने आप को और एक पड़ोसी को नियंत्रित करना सिखाएं;
  • अपने डेस्क पर अपने और अपने पड़ोसी का मूल्यांकन करना सिखाने के लिए;
• विकसित होना:
  • स्वतंत्र गतिविधि को सक्रिय करें;
  • संज्ञानात्मक गतिविधि विकसित करना;
  • प्राप्त जानकारी को सारांशित और व्यवस्थित करना सीखें;
• शैक्षिक:
  • छात्रों को "कंधे की भावना" शिक्षित करें;
  • संचार खेती;
  • संचार की संस्कृति विकसित करें।

कक्षाओं के दौरान

प्रत्येक के सामने कैंची और कागज की एक शीट है।

अभ्यास 1(3 मिनट)।

- कागज की एक शीट लें, उसे आधा मोड़ें और कुछ आकृति काट लें। अब शीट को खोलें और फोल्ड लाइन को देखें।

प्रश्न:इस लाइन का क्या काम है?

प्रस्तावित उत्तर:यह रेखा आकृति को आधे में विभाजित करती है।

प्रश्न:आकृति के सभी बिंदु दो परिणामी हिस्सों पर कैसे स्थित हैं?

प्रस्तावित उत्तर:हिस्सों के सभी बिंदु गुना रेखा से समान दूरी पर और समान स्तर पर हैं।

- तो, ​​गुना रेखा आकृति को आधे में विभाजित करती है ताकि 1 आधा 2 हिस्सों की एक प्रति हो, यानी। यह रेखा सरल नहीं है, इसमें एक उल्लेखनीय गुण है (इससे संबंधित सभी बिंदु समान दूरी पर हैं), यह रेखा समरूपता की धुरी है।

टास्क 2 (दो मिनट)।

- एक बर्फ के टुकड़े को काटें, समरूपता की धुरी का पता लगाएं, इसकी विशेषता बताएं।

टास्क 3 (5 मिनट)।

- अपनी नोटबुक में एक वृत्त बनाएं।

प्रश्न:निर्धारित करें कि समरूपता की धुरी कैसे गुजरती है?

प्रस्तावित उत्तर:अलग ढंग से।

प्रश्न:तो एक वृत्त में सममिति के कितने अक्ष होते हैं?

प्रस्तावित उत्तर:बहुत ज़्यादा।

- यह सही है, वृत्त में समरूपता की कई कुल्हाड़ियाँ हैं। वही अद्भुत आकृति है गेंद (स्थानिक आकृति)

प्रश्न:किन अन्य आकृतियों में एक से अधिक सममिति अक्ष हैं?

प्रस्तावित उत्तर:वर्ग, आयत, समद्विबाहु और समबाहु त्रिभुज।

- त्रि-आयामी आकृतियों पर विचार करें: एक घन, एक पिरामिड, एक शंकु, एक बेलन, आदि। इन आंकड़ों में समरूपता की धुरी भी होती है। निर्धारित करें कि एक वर्ग, आयत, समबाहु त्रिभुज और प्रस्तावित त्रि-आयामी आकृतियों में कितनी सममिति की कुल्हाड़ियाँ हैं?

मैं छात्रों को प्लास्टिसिन के आंकड़ों के आधे हिस्से को वितरित करता हूं।

टास्क 4 (3 मिनट)।

- प्राप्त जानकारी का उपयोग करके आकृति के छूटे हुए भाग को समाप्त करें।

टिप्पणी: मूर्ति सपाट और त्रि-आयामी दोनों हो सकती है। यह महत्वपूर्ण है कि छात्र यह निर्धारित करें कि समरूपता की धुरी कैसे जाती है और लापता तत्व को भरती है। निष्पादन की शुद्धता पड़ोसी द्वारा डेस्क पर निर्धारित की जाती है, मूल्यांकन करती है कि काम कितनी अच्छी तरह किया गया है।

डेस्कटॉप पर एक ही रंग के फीते से एक रेखा बिछाई जाती है (बंद, खुली, सेल्फ-क्रॉसिंग के साथ, बिना सेल्फ-क्रॉसिंग के)।

टास्क 5 (समूह कार्य 5 मिनट)।

- समरूपता की धुरी को नेत्रहीन रूप से निर्धारित करें और इसके सापेक्ष दूसरे भाग को एक अलग रंग के फीता से पूरा करें।

प्रदर्शन किए गए कार्य की शुद्धता छात्रों द्वारा स्वयं निर्धारित की जाती है।

छात्रों को चित्र के तत्वों के साथ प्रस्तुत किया जाता है

टास्क 6 (दो मिनट)।

इन रेखाचित्रों के सममित भाग ज्ञात कीजिए।

कवर की गई सामग्री को समेकित करने के लिए, मैं 15 मिनट के लिए प्रदान किए गए निम्नलिखित कार्यों का प्रस्ताव करता हूं:

त्रिभुज KOR और KOM के सभी समान तत्वों के नाम लिखिए। ये त्रिभुज कितने प्रकार के होते हैं?

2. एक नोटबुक में कई समद्विबाहु त्रिभुज बनाएं जिनका उभयनिष्ठ आधार 6 सेमी है।

3. एक खंड AB खींचिए। खंड AB पर लंबवत और उसके मध्य बिंदु से होकर जाने वाली एक रेखा की रचना कीजिए। उस पर C और D इस प्रकार अंकित करें कि चतुर्भुज ACBD रेखा AB के सन्दर्भ में सममित हो।

- रूप के बारे में हमारे प्रारंभिक विचार प्राचीन पाषाण युग - पुरापाषाण काल ​​​​के बहुत दूर के युग से संबंधित हैं। इस अवधि के सैकड़ों-हजारों वर्षों तक, लोग गुफाओं में रहते थे, ऐसी स्थितियाँ जो जानवरों के जीवन से बहुत कम थीं। लोगों ने शिकार और मछली पकड़ने के लिए उपकरण बनाए, एक-दूसरे के साथ संवाद करने के लिए एक भाषा विकसित की, और पुरापाषाण युग के अंत में, उन्होंने कला, मूर्तियों और रेखाचित्रों का निर्माण करके अपने अस्तित्व को सजाया, जो एक अद्भुत रूप को प्रकट करते हैं।
जब भोजन के साधारण संग्रह से उसके सक्रिय उत्पादन में, शिकार और मछली पकड़ने से कृषि में संक्रमण हुआ, तो मानवता एक नए पाषाण युग, नवपाषाण युग में प्रवेश करती है।
नवपाषाण काल ​​के मनुष्य में ज्यामितीय रूप की गहरी समझ थी। मिट्टी के बर्तनों को जलाने और रंगने, ईख की चटाई, टोकरियाँ, कपड़े के निर्माण और बाद में धातु प्रसंस्करण ने तलीय और स्थानिक आकृतियों के बारे में विचार विकसित किए। नियोलिथिक आभूषण आंख को भाते थे, समानता और समरूपता को प्रकट करते थे।
प्रकृति में समरूपता कहाँ पाई जाती है?

प्रस्तावित उत्तर:तितलियों के पंख, भृंग, पेड़ के पत्ते…

"वास्तुकला में समरूपता भी देखी जा सकती है। इमारतों का निर्माण करते समय, बिल्डर्स स्पष्ट रूप से समरूपता का पालन करते हैं।

इसलिए इमारतें इतनी खूबसूरत हैं। समरूपता का एक उदाहरण एक व्यक्ति, जानवर भी है।

गृहकार्य:

1. अपने स्वयं के आभूषण के साथ आओ, इसे ए 4 शीट पर चित्रित करें (आप इसे कालीन के रूप में खींच सकते हैं)।
2. तितलियाँ खींचिए, चिन्हित कीजिए कि कहाँ सममिति के तत्व हैं।

व्यापक अर्थ में, समरूपता कुछ परिवर्तनों के तहत अपरिवर्तित कुछ का संरक्षण है। कुछ ज्यामितीय आकृतियों में भी यह गुण होता है।

ज्यामितीय समरूपता

के लिए आवेदन किया ज्यामितीय आकृतिइसका अर्थ है कि यदि दी गई आकृति को रूपांतरित किया जाता है - उदाहरण के लिए, घुमाया गया - तो इसके कुछ गुण समान रहेंगे।

इस तरह के परिवर्तनों की संभावना आंकड़े से भिन्न होती है। उदाहरण के लिए, एक वृत्त को उसके केंद्र में स्थित एक बिंदु के चारों ओर जितना चाहें घुमाया जा सकता है, वह एक वृत्त ही रहेगा, उसके लिए कुछ भी नहीं बदलेगा।

समरूपता की अवधारणा को घूर्णन का सहारा लिए बिना समझाया जा सकता है। यह वृत्त के केंद्र के माध्यम से एक सीधी रेखा खींचने के लिए पर्याप्त है और वृत्त पर दो बिंदुओं को जोड़ते हुए, आकृति में कहीं भी इसके लंबवत एक खंड का निर्माण करता है। रेखा के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु दो भागों में विभाजित होगा, जो एक दूसरे के बराबर होंगे।

दूसरे शब्दों में, सीधी रेखा ने आकृति को दो बराबर भागों में विभाजित किया। दी गई रेखा के लंबवत सीधी रेखाओं पर स्थित आकृति के भागों के बिंदु इससे समान दूरी पर हैं। इस सीधी रेखा को सममिति की धुरी कहा जाएगा। इस प्रकार की सममिति - - अक्षीय सममिति कहलाती है।

सममिति के अक्षों की संख्या

मात्रा अलग होगी। उदाहरण के लिए, एक वृत्त और एक गेंद में ऐसी कई कुल्हाड़ियाँ होती हैं। एक समबाहु त्रिभुज के लिए, सममिति का अक्ष प्रत्येक भुजा पर गिराया गया लंबवत होगा, इसलिए, इसमें तीन अक्ष होते हैं। एक वर्ग और एक आयत में सममिति के चार अक्ष होते हैं। उनमें से दो चतुर्भुजों की भुजाओं के लंबवत हैं, और अन्य दो विकर्ण हैं। लेकिन एक समद्विबाहु त्रिभुज में समरूपता का केवल एक अक्ष होता है, जो इसकी समान भुजाओं के बीच स्थित होता है।

अक्षीय समरूपता भी प्रकृति में पाई जाती है। इसे दो वर्जन में देखा जा सकता है।

पहला प्रकार रेडियल समरूपता है, जिसका अर्थ है कई अक्षों की उपस्थिति। यह विशिष्ट है, उदाहरण के लिए, स्टारफिश के लिए। अधिक विकसित जीवों को द्विपक्षीय, या द्विपक्षीय समरूपता की विशेषता होती है, जिसमें एक धुरी शरीर को दो भागों में विभाजित करती है।

मानव शरीर में भी द्विपक्षीय समरूपता होती है, लेकिन इसे आदर्श नहीं कहा जा सकता। पैर, हाथ, आंखें, फेफड़े सममित होते हैं, लेकिन हृदय, यकृत या प्लीहा नहीं। द्विपक्षीय समरूपता से विचलन बाहरी रूप से भी ध्यान देने योग्य है। उदाहरण के लिए, किसी व्यक्ति के दोनों गालों पर समान तिल होना अत्यंत दुर्लभ है।

समरूपता का अक्ष एक सीधी रेखा है, जब इसके चारों ओर किसी विशिष्ट कोण पर घुमाया जाता है, तो आकृति स्वयं के साथ जुड़ जाती है.

रोटेशन का सबसे छोटा कोण जो आकृति को स्व-संरेखण में लाता है, कहलाता है अक्ष के घूर्णन का प्रारंभिक कोण. अक्ष के घूर्णन के प्रारंभिक कोण में 360 बार की एक पूर्णांक संख्या होती है:

जहां n एक पूर्णांक है।

संख्या n, यह दर्शाती है कि 360 0 में अक्ष के घूर्णन का प्रारंभिक कोण कितनी बार समाहित है, कहलाता है अक्ष क्रम।

किसी भी क्रम के अक्ष ज्यामितीय आकृतियों में मौजूद हो सकते हैं, जो पहले क्रम के अक्ष से शुरू होकर अनंत क्रम के अक्ष पर समाप्त होते हैं।

प्रथम कोटि अक्ष (n = 1) के घूर्णन का प्रारंभिक कोण 360 0 के बराबर है। चूँकि प्रत्येक आकृति को किसी भी दिशा में 360 0 घुमाते हुए, स्वयं के साथ जोड़ दिया जाता है, तो किसी भी आकृति में अनंत संख्या में प्रथम-क्रम अक्ष होते हैं। ऐसी कुल्हाड़ियों की विशेषता नहीं है, इसलिए आमतौर पर उनका उल्लेख नहीं किया जाता है।

अनंत क्रम की एक धुरी घूर्णन के एक असीम रूप से छोटे प्रारंभिक कोण से मेल खाती है। यह धुरी घूर्णन के सभी आंकड़ों में घूर्णन की धुरी के रूप में मौजूद है।

तीसरे, चौथे, पांचवें, छठे, आदि आदेशों के कुल्हाड़ियों के उदाहरण आकृति के तल के लंबवत हैं, जो नियमित बहुभुज, त्रिकोण, वर्ग, पेंटागन आदि के केंद्रों से गुजरते हैं।

इस प्रकार, ज्यामिति में विभिन्न कोटि के अक्षों की अनंत संख्या होती है।

क्रिस्टलीय पॉलीहेड्रा में, हालांकि, कोई समरूपता अक्ष संभव नहीं है, लेकिन केवल पहले, दूसरे, तीसरे, चौथे और छठे क्रम के अक्ष हैं।

क्रिस्टल में पांचवें और छठे क्रम से ऊपर की समरूपता के अक्ष असंभव हैं। यह स्थिति क्रिस्टलोग्राफी के मूलभूत नियमों में से एक है और इसे कहा जाता है क्रिस्टल समरूपता कानून।

क्रिस्टलोग्राफी के अन्य ज्यामितीय नियमों की तरह, क्रिस्टल के समरूपता कानून को क्रिस्टलीय पदार्थ की जाली संरचना द्वारा समझाया गया है। दरअसल, चूंकि क्रिस्टल की समरूपता इसकी समरूपता का प्रकटीकरण है आंतरिक ढांचा, तो क्रिस्टल में केवल ऐसे समरूपता तत्व संभव हैं जो स्थानिक जाली के गुणों का खंडन नहीं करते हैं।

आइए हम साबित करें कि पांचवें क्रम की धुरी स्थानिक जाली के नियमों को पूरा नहीं करती है और इस तरह क्रिस्टलीय पॉलीहेड्रा में इसकी असंभवता साबित होती है।

आइए मान लें कि स्थानिक जाली में पांचवां क्रम अक्ष संभव है। मान लीजिए कि यह अक्ष रेखाचित्र के तल के लंबवत है, इसे बिंदु O पर काटता है (चित्र 2.9)। किसी विशेष मामले में, बिंदु O जाली नोड्स में से एक के साथ मेल खा सकता है।

चावल। 2.9. स्थानिक जाली में पांचवां क्रम समरूपता अक्ष असंभव है

आइए हम जाली के नोड ए 1 को धुरी के सबसे करीब लेते हैं, जो ड्राइंग के विमान में स्थित है। चूंकि पांचवें क्रम के अक्ष के चारों ओर सब कुछ पांच बार दोहराया जाता है, तो ड्राइंग के विमान में इसके निकटतम नोड्स केवल पांच ए 1, ए 2, ए 3, ए 4, ए 5 होने चाहिए। एक नियमित पंचभुज के शीर्ष पर बिंदु O से समान दूरी पर स्थित, O को 360/5=72° से घुमाने पर वे एक-दूसरे से जुड़ जाते हैं।

एक ही तल में पड़े ये पांच नोड एक स्थानिक जाली का एक सपाट ग्रिड बनाते हैं, और इसलिए जाली के सभी मूल गुण उन पर लागू होते हैं। यदि नोड्स ए 1 और ए 2 अंतराल ए 1 ए 2 के साथ एक फ्लैट ग्रिड की एक पंक्ति से संबंधित हैं, तो जाली के किसी भी नोड के माध्यम से पंक्ति ए 1 ए 2 के समानांतर एक पंक्ति खींचना संभव है। आइए नोड ए 3 के माध्यम से ऐसी श्रृंखला बनाएं। ए 5 नोड से गुजरने वाली इस पंक्ति में ए 1 ए 2 के बराबर अंतराल होना चाहिए, क्योंकि स्थानिक जाली में सभी समानांतर पंक्तियों का घनत्व समान होता है।

इसलिए, नोड A 3 से A 3 A x \u003d A 1 A 2 की दूरी पर एक और नोड A x होना चाहिए। हालांकि, अतिरिक्त नोड A x, नोड A 1 की तुलना में बिंदु O के अधिक निकट होता है, जिसे पांचवें क्रम के अक्ष के सबसे निकट माना जाता है।

इस प्रकार, स्थानिक जाली में पांचवें क्रम के अक्ष की संभावना के बारे में हमारी धारणा ने हमें एक स्पष्ट बेतुकापन की ओर अग्रसर किया है और इसलिए गलत है।

चूंकि पांचवें क्रम के अक्ष का अस्तित्व स्थानिक जाली के मूल गुणों के साथ असंगत है, इसलिए क्रिस्टल में ऐसी धुरी भी असंभव है।

इसी तरह, क्रिस्टल में छठे क्रम के ऊपर समरूपता कुल्हाड़ियों के अस्तित्व की असंभवता साबित होती है, और, इसके विपरीत, क्रिस्टल में दूसरे, तीसरे, चौथे और छठे क्रम के कुल्हाड़ियों की संभावना, जिनकी उपस्थिति गुणों का खंडन नहीं करती है स्थानिक जाली का।

अक्षर L का उपयोग समरूपता की कुल्हाड़ियों को निर्दिष्ट करने के लिए किया जाता है, और अक्ष के क्रम को अक्षर के दाईं ओर स्थित एक छोटी संख्या द्वारा दर्शाया जाता है (उदाहरण के लिए, L 4 चौथे क्रम की धुरी है)।

क्रिस्टलीय पॉलीहेड्रा में, समरूपता अक्ष उनके लंबवत विपरीत चेहरों के केंद्रों के माध्यम से, उनके लंबवत विपरीत किनारों के मध्य बिंदुओं (केवल एल 2) के माध्यम से, और पॉलीहेड्रॉन के शिखर के माध्यम से गुजर सकते हैं। बाद के मामले में, सममित फलक और किनारे दिए गए अक्ष पर समान रूप से झुके हुए हैं।

एक क्रिस्टल में एक ही क्रम के समरूपता के कई अक्ष हो सकते हैं, जिसकी संख्या अक्षर के सामने गुणांक द्वारा इंगित की जाती है। उदाहरण के लिए, एक आयताकार समांतर चतुर्भुज में 3L 2 है, अर्थात, दूसरे क्रम की सममिति के तीन अक्ष; एक घन में 3L 4 , 4L 3 और 6L 2 , यानी चौथे क्रम की सममिति के तीन अक्ष, तीसरे क्रम के चार अक्ष और दूसरे क्रम के छह अक्ष आदि हैं।

मानव जीवन समरूपता से भरा है। यह सुविधाजनक, सुंदर है, नए मानकों का आविष्कार करने की आवश्यकता नहीं है। लेकिन वह वास्तव में क्या है और क्या वह प्रकृति में उतनी ही सुंदर है जितनी आमतौर पर माना जाता है?

समरूपता

प्राचीन काल से, लोगों ने अपने आसपास की दुनिया को सुव्यवस्थित करने की मांग की है। इसलिए, कुछ को सुंदर माना जाता है, और कुछ को ऐसा नहीं। सौंदर्य की दृष्टि से, सुनहरे और चांदी के वर्गों को आकर्षक माना जाता है, साथ ही, निश्चित रूप से, समरूपता। यह शब्द है ग्रीक मूलऔर शाब्दिक अर्थ है "अनुपात"। बेशक हम इसी आधार पर संयोग की बात नहीं कर रहे हैं, बल्कि कुछ अन्य पर भी कर रहे हैं। एक सामान्य अर्थ में, समरूपता किसी वस्तु की ऐसी संपत्ति है, जब कुछ संरचनाओं के परिणामस्वरूप, परिणाम मूल डेटा के बराबर होता है। यह चेतन और निर्जीव प्रकृति के साथ-साथ मनुष्य द्वारा बनाई गई वस्तुओं में भी पाया जाता है।

सबसे पहले, ज्यामिति में "समरूपता" शब्द का उपयोग किया जाता है, लेकिन कई वैज्ञानिक क्षेत्रों में इसका उपयोग होता है, और इसका अर्थ आम तौर पर अपरिवर्तित रहता है। यह घटना काफी सामान्य है और इसे दिलचस्प माना जाता है, क्योंकि इसके कई प्रकार, साथ ही साथ तत्व भिन्न होते हैं। समरूपता का उपयोग भी दिलचस्प है, क्योंकि यह न केवल प्रकृति में पाया जाता है, बल्कि कपड़े पर आभूषणों, सीमाओं के निर्माण और कई अन्य मानव निर्मित वस्तुओं में भी पाया जाता है। इस घटना पर अधिक विस्तार से विचार करना उचित है, क्योंकि यह बेहद रोमांचक है।

अन्य वैज्ञानिक क्षेत्रों में इस शब्द का प्रयोग

भविष्य में ज्यामिति की दृष्टि से समरूपता पर विचार किया जाएगा, लेकिन यह उल्लेखनीय है कि इस शब्द का प्रयोग केवल यहाँ ही नहीं किया जाता है। जीव विज्ञान, विषाणु विज्ञान, रसायन विज्ञान, भौतिकी, क्रिस्टलोग्राफी - यह सब उन क्षेत्रों की एक अधूरी सूची है जिसमें इस घटना का विभिन्न कोणों से अध्ययन किया जाता है। अलग-अलग स्थितियां. उदाहरण के लिए, वर्गीकरण इस बात पर निर्भर करता है कि यह शब्द किस विज्ञान को संदर्भित करता है। इस प्रकार, प्रकारों में विभाजन बहुत भिन्न होता है, हालांकि कुछ बुनियादी, शायद, हर जगह अपरिवर्तित रहते हैं।

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वर्गीकरण

समरूपता के कई बुनियादी प्रकार हैं, जिनमें से तीन सबसे आम हैं:

इसके अलावा, निम्न प्रकार भी ज्यामिति में प्रतिष्ठित हैं, वे बहुत कम आम हैं, लेकिन कम उत्सुक नहीं हैं:

• फिसलने;
• घूर्णी;
• बिंदु;
• प्रगतिशील;
• पेंच;
• भग्न;
• आदि।

जीव विज्ञान में, सभी प्रजातियों को कुछ अलग कहा जाता है, हालांकि वास्तव में वे समान हो सकते हैं। कुछ समूहों में विभाजन उपस्थिति या अनुपस्थिति के साथ-साथ कुछ तत्वों की संख्या के आधार पर होता है, जैसे केंद्र, विमान और समरूपता के अक्ष। उन्हें अलग से और अधिक विस्तार से माना जाना चाहिए।

बुनियादी तत्व

घटना में कुछ विशेषताएं प्रतिष्ठित हैं, जिनमें से एक अनिवार्य रूप से मौजूद है। तथाकथित बुनियादी तत्वों में समरूपता के विमान, केंद्र और अक्ष शामिल हैं। यह उनकी उपस्थिति, अनुपस्थिति और मात्रा के अनुसार है कि प्रकार निर्धारित किया जाता है।

समरूपता के केंद्र को आकृति या क्रिस्टल के अंदर का बिंदु कहा जाता है, जिस पर रेखाएं एक दूसरे के समानांतर सभी पक्षों को जोड़े में जोड़ती हैं। बेशक, यह हमेशा मौजूद नहीं होता है। यदि ऐसी भुजाएँ हैं जिनमें कोई समानांतर जोड़ी नहीं है, तो ऐसा बिंदु नहीं मिल सकता है, क्योंकि कोई भी नहीं है। परिभाषा के अनुसार, यह स्पष्ट है कि सममिति का केंद्र वह है जिसके माध्यम से आकृति स्वयं को परावर्तित की जा सकती है। उदाहरण के लिए, एक वृत्त और उसके बीच में एक बिंदु है। इस तत्व को आमतौर पर सी के रूप में जाना जाता है।

समरूपता का तल, निश्चित रूप से काल्पनिक है, लेकिन वह वह है जो आकृति को एक दूसरे के बराबर दो भागों में विभाजित करती है। यह एक या अधिक पक्षों से होकर गुजर सकता है, इसके समानांतर हो सकता है, या यह उन्हें विभाजित कर सकता है। एक ही आकृति के लिए, एक साथ कई विमान मौजूद हो सकते हैं। इन तत्वों को आमतौर पर पी के रूप में जाना जाता है।

लेकिन शायद सबसे आम वह है जिसे "समरूपता की कुल्हाड़ी" कहा जाता है। यह लगातार घटना ज्यामिति और प्रकृति दोनों में देखी जा सकती है। और यह अलग विचार के योग्य है।

कुल्हाड़ियों

अक्सर वह तत्व जिसके संबंध में आकृति को सममित कहा जा सकता है,

एक सीधी रेखा या एक खंड है। किसी भी मामले में, हम एक बिंदु या एक विमान के बारे में बात नहीं कर रहे हैं। फिर आंकड़ों की समरूपता की कुल्हाड़ियों पर विचार किया जाता है। उनमें से बहुत सारे हो सकते हैं, और वे किसी भी तरह से स्थित हो सकते हैं: पक्षों को विभाजित करें या उनके समानांतर हों, साथ ही साथ कोनों को पार करें या नहीं। समरूपता के अक्षों को आमतौर पर एल के रूप में दर्शाया जाता है।

उदाहरण समद्विबाहु और समबाहु त्रिभुज हैं। पहले मामले में यह होगा ऊर्ध्वाधर अक्षसमरूपता, जिसके दोनों ओर समान फलक हैं, और दूसरी पंक्ति में प्रत्येक कोने को काटेंगे और सभी समद्विभाजक, माध्यिकाएँ और ऊँचाई के साथ मेल खाएँगे। साधारण त्रिभुजों में यह नहीं होता है।

वैसे, क्रिस्टलोग्राफी और स्टीरियोमेट्री में उपरोक्त सभी तत्वों की समग्रता को समरूपता की डिग्री कहा जाता है। यह सूचक कुल्हाड़ियों, विमानों और केंद्रों की संख्या पर निर्भर करता है।

ज्यामिति में उदाहरण

गणितज्ञों के अध्ययन की वस्तुओं के पूरे सेट को उन आंकड़ों में विभाजित करना सशर्त रूप से संभव है जिनमें समरूपता की धुरी होती है, और जो नहीं होती है। सभी नियमित बहुभुज, वृत्त, अंडाकार, साथ ही कुछ विशेष मामले स्वचालित रूप से पहली श्रेणी में आते हैं, जबकि शेष दूसरे समूह में आते हैं।

जैसा कि उस मामले में जब त्रिभुज की समरूपता की धुरी के बारे में कहा गया था, चतुर्भुज के लिए यह तत्व हमेशा मौजूद नहीं होता है। एक वर्ग, आयत, समचतुर्भुज या समांतर चतुर्भुज के लिए, यह है, लेकिन एक अनियमित आकृति के लिए, तदनुसार, यह नहीं है। एक वृत्त के लिए, सममिति की धुरी उसके केंद्र से गुजरने वाली सीधी रेखाओं का समूह है।

इसके अलावा, इस दृष्टिकोण से वॉल्यूमेट्रिक आंकड़ों पर विचार करना दिलचस्प है। समरूपता की कम से कम एक धुरी, सभी नियमित बहुभुजों और गेंद के अलावा, कुछ शंकु, साथ ही साथ पिरामिड, समांतर चतुर्भुज और कुछ अन्य होंगे। प्रत्येक मामले पर अलग से विचार किया जाना चाहिए।

प्रकृति में उदाहरण

जीवन में दर्पण समरूपता को द्विपक्षीय कहा जाता है, यह सबसे आम है
अक्सर। कोई भी व्यक्ति और बहुत सारे जानवर इसका उदाहरण हैं। अक्षीय को रेडियल कहा जाता है और यह बहुत कम आम है, एक नियम के रूप में, में वनस्पति. और फिर भी वे हैं। उदाहरण के लिए, यह विचार करने योग्य है कि एक तारे में समरूपता की कितनी कुल्हाड़ियाँ होती हैं, और क्या यह उनके पास है? बेशक, हम समुद्री जीवन के बारे में बात कर रहे हैं, न कि खगोलविदों के अध्ययन के विषय के बारे में। और इसका सही उत्तर यह होगा: यह तारे की किरणों की संख्या पर निर्भर करता है, उदाहरण के लिए, पाँच, यदि यह पाँच-नुकीला है।

इसके अलावा, कई फूलों में रेडियल समरूपता होती है: डेज़ी, कॉर्नफ्लॉवर, सूरजमुखी, आदि। बड़ी संख्या में उदाहरण हैं, वे सचमुच हर जगह हैं।

अतालता

यह शब्द, सबसे पहले, अधिकांश चिकित्सा और कार्डियोलॉजी की याद दिलाता है, लेकिन शुरू में इसका थोड़ा अलग अर्थ है। इस मामले में, पर्यायवाची शब्द "असमानता" होगा, अर्थात्, एक या दूसरे रूप में नियमितता की अनुपस्थिति या उल्लंघन। यह एक दुर्घटना के रूप में पाया जा सकता है, और कभी-कभी यह एक सुंदर उपकरण हो सकता है, उदाहरण के लिए, कपड़ों या वास्तुकला में। आखिरकार, बहुत सारी सममित इमारतें हैं, लेकिन पीसा का प्रसिद्ध लीनिंग टॉवर थोड़ा झुका हुआ है, और हालांकि यह केवल एक ही नहीं है, यह सबसे अधिक है प्रसिद्ध उदाहरण. यह ज्ञात है कि यह दुर्घटना से हुआ था, लेकिन इसका अपना आकर्षण है।

इसके अलावा, यह स्पष्ट है कि लोगों और जानवरों के चेहरे और शरीर भी पूरी तरह से सममित नहीं हैं। ऐसे अध्ययन भी हुए हैं जिनके परिणामों के अनुसार "सही" चेहरों को निर्जीव या केवल अनाकर्षक माना जाता था। फिर भी, समरूपता और इस घटना की धारणा अपने आप में अद्भुत है और अभी तक पूरी तरह से अध्ययन नहीं किया गया है, और इसलिए बेहद दिलचस्प है।

आज हम एक ऐसी घटना के बारे में बात करेंगे जिसका हम में से प्रत्येक जीवन में लगातार सामना करता है: समरूपता के बारे में। समरूपता क्या है?

लगभग हम सभी इस शब्द का अर्थ समझते हैं। शब्दकोश कहता है: समरूपता एक रेखा या बिंदु के सापेक्ष किसी चीज़ के भागों की व्यवस्था की आनुपातिकता और पूर्ण पत्राचार है। समरूपता दो प्रकार की होती है: अक्षीय और रेडियल। आइए पहले अक्ष को देखें। यह है, मान लीजिए, "दर्पण" समरूपता, जब वस्तु का एक आधा पूरी तरह से दूसरे के समान होता है, लेकिन इसे प्रतिबिंब के रूप में दोहराता है। शीट के हिस्सों को देखें। वे दर्पण सममित हैं। मानव शरीर के आधे हिस्से (पूरा चेहरा) भी सममित होते हैं - वही हाथ और पैर, वही आंखें। लेकिन आइए गलत न हों, वास्तव में, जैविक (जीवित) दुनिया में, पूर्ण समरूपता नहीं मिल सकती है! शीट के आधे हिस्से एक दूसरे की पूरी तरह से नकल नहीं करते हैं, यही बात लागू होती है मानव शरीर(स्वयं देखें); अन्य जीवों का भी यही हाल है! वैसे, यह जोड़ने योग्य है कि कोई भी सममित शरीर केवल एक स्थिति में दर्शक के सापेक्ष सममित होता है। यह आवश्यक है, कहो, चादर को मोड़ो, या एक हाथ उठाओ, और क्या? - अपने आप को देखो।

लोग अपने श्रम (चीजों) के उत्पादों में सच्ची समरूपता प्राप्त करते हैं - कपड़े, कार ... प्रकृति में, यह अकार्बनिक संरचनाओं की विशेषता है, उदाहरण के लिए, क्रिस्टल।

लेकिन चलिए अभ्यास के लिए आगे बढ़ते हैं। यह लोगों और जानवरों जैसी जटिल वस्तुओं से शुरू करने लायक नहीं है, आइए एक नए क्षेत्र में पहले अभ्यास के रूप में शीट के आधे दर्पण को खत्म करने का प्रयास करें।

एक सममित वस्तु बनाएं - पाठ 1

आइए इसे यथासंभव समान बनाने का प्रयास करें। ऐसा करने के लिए, हम सचमुच अपनी आत्मा साथी का निर्माण करेंगे। ऐसा मत सोचो कि यह इतना आसान है, विशेष रूप से पहली बार, एक स्ट्रोक के साथ दर्पण-संबंधित रेखा खींचना!

आइए भविष्य की सममित रेखा के लिए कई संदर्भ बिंदुओं को चिह्नित करें। हम इस तरह कार्य करते हैं: हम एक पेंसिल के साथ बिना दबाव के समरूपता की धुरी के लिए कई लंबवत खींचते हैं - शीट की मध्य शिरा। चार या पांच काफी हैं। और इन लंबों पर हम दायीं ओर उतनी ही दूरी मापते हैं, जितनी पत्ती के किनारे की रेखा के बाएं आधे हिस्से पर। मैं आपको शासक का उपयोग करने की सलाह देता हूं, वास्तव में आंख पर भरोसा न करें। एक नियम के रूप में, हम ड्राइंग को कम करते हैं - यह अनुभव में देखा गया है। हम आपकी उंगलियों से दूरियों को मापने की अनुशंसा नहीं करते हैं: त्रुटि बहुत बड़ी है।

परिणामी बिंदुओं को एक पेंसिल लाइन से कनेक्ट करें:

अब हम ध्यान से देखते हैं - क्या वास्तव में आधे हिस्से एक जैसे हैं। यदि सब कुछ सही है, तो हम इसे एक टिप-टिप पेन से घेरेंगे, अपनी लाइन स्पष्ट करें:

चिनार का पत्ता पूरा हो गया है, अब आप ओक पर झूल सकते हैं।

आइए एक सममित आकृति बनाएं - पाठ 2

इस मामले में, कठिनाई इस तथ्य में निहित है कि नसों को चिह्नित किया जाता है और वे समरूपता की धुरी के लंबवत नहीं होते हैं, और न केवल आयाम बल्कि झुकाव के कोण को भी देखना होगा। खैर, आइए आंखों को प्रशिक्षित करें:

तो एक सममित ओक का पत्ता खींचा गया था, या यों कहें, हमने इसे सभी नियमों के अनुसार बनाया है:

एक सममित वस्तु कैसे आकर्षित करें - पाठ 3

और हम विषय को ठीक करेंगे - हम बकाइन का एक सममित पत्ता खींचना समाप्त करेंगे।

उनका एक दिलचस्प आकार भी है - दिल के आकार का और आधार पर कानों के साथ आपको पफ करना है:

यहाँ उन्होंने क्या आकर्षित किया है:

परिणामी कार्य को दूर से देखें और मूल्यांकन करें कि हम आवश्यक समानता को कितनी सही ढंग से व्यक्त करने में कामयाब रहे। यहां आपके लिए एक टिप दी गई है: आईने में अपनी छवि देखें, और यह आपको बताएगा कि क्या कोई गलती है। दूसरा तरीका: छवि को अक्ष के साथ बिल्कुल मोड़ें (हम पहले ही सीख चुके हैं कि सही तरीके से कैसे झुकना है) और मूल रेखा के साथ पत्ती को काट लें। आकृति को ही और कटे हुए कागज को देखिए।