भिन्न वाले समीकरणों को कैसे हल करें. भिन्नों के साथ समीकरणों का घातांकीय समाधान। भिन्न के हर में एक चर वाले समीकरणों को हल करना

पाठ मकसद:

ट्यूटोरियल:

• भिन्नात्मक की अवधारणा का गठन तर्कसंगत समीकरण;
• भिन्नात्मक तर्कसंगत समीकरणों को हल करने के विभिन्न तरीकों पर विचार करना;
• भिन्नात्मक तर्कसंगत समीकरणों को हल करने के लिए एक एल्गोरिदम पर विचार करें, जिसमें यह शर्त भी शामिल है कि भिन्न शून्य के बराबर है;
• एल्गोरिथम के अनुसार भिन्नात्मक तर्कसंगत समीकरणों का समाधान सिखाना;
• परीक्षण कार्य करके विषय को आत्मसात करने के स्तर की जाँच करना।

विकसित होना:

• अर्जित ज्ञान के साथ सही ढंग से काम करने, तार्किक रूप से सोचने की क्षमता का विकास;
• बौद्धिक कौशल और मानसिक संचालन का विकास - विश्लेषण, संश्लेषण, तुलना और सामान्यीकरण;
• पहल का विकास, निर्णय लेने की क्षमता, यहीं न रुकने की क्षमता;
• आलोचनात्मक सोच का विकास;
• अनुसंधान कौशल का विकास.

पालन-पोषण:

• विषय में संज्ञानात्मक रुचि की शिक्षा;
• निर्णय में स्वतंत्रता की शिक्षा सीखने के मकसद;
• अंतिम परिणाम प्राप्त करने के लिए इच्छाशक्ति और दृढ़ता की शिक्षा।

पाठ का प्रकार: पाठ - नई सामग्री की व्याख्या।

कक्षाओं के दौरान

1. संगठनात्मक क्षण.

हैलो दोस्तों! ब्लैकबोर्ड पर समीकरण लिखे हैं, उन्हें ध्यान से देखो. क्या आप इन सभी समीकरणों को हल कर सकते हैं? कौन से नहीं हैं और क्यों?

वे समीकरण जिनमें बाएँ और दाएँ पक्ष भिन्नात्मक परिमेय व्यंजक होते हैं, भिन्नात्मक परिमेय समीकरण कहलाते हैं। आपको क्या लगता है हम आज पाठ में क्या पढ़ेंगे? पाठ का विषय तैयार करें। इसलिए, हम नोटबुक खोलते हैं और पाठ का विषय "भिन्नात्मक तर्कसंगत समीकरणों का समाधान" लिखते हैं।

2. ज्ञान का बोध। कक्षा के साथ फ्रंटल सर्वेक्षण, मौखिक कार्य।

और अब हम मुख्य सैद्धांतिक सामग्री दोहराएंगे जिसका हमें अध्ययन करने की आवश्यकता है नया विषय. कृपया अग्रांकित प्रश्नों के उत्तर दें:

1. एक समीकरण क्या है? ( चर या चर के साथ समानता.)
2. समीकरण #1 क्या कहलाता है? ( रेखीय.) रैखिक समीकरणों को हल करने की विधि. ( अज्ञात वाली सभी चीज़ों को समीकरण के बाईं ओर ले जाएँ, सभी संख्याओं को दाईं ओर। समान पद लाओ. अज्ञात गुणक ज्ञात कीजिए).
3. समीकरण 3 क्या कहलाता है? ( वर्ग।) द्विघात समीकरणों को हल करने की विधियाँ। ( विएटा प्रमेय और उसके परिणामों का उपयोग करके, सूत्रों द्वारा पूर्ण वर्ग का चयन.)
4. अनुपात क्या है? ( दो रिश्तों की समानता.) अनुपात की मुख्य संपत्ति. ( यदि अनुपात सत्य है, तो इसके चरम पदों का गुणनफल मध्य पदों के गुणनफल के बराबर होता है.)
5. समीकरणों को हल करने के लिए किन गुणों का उपयोग किया जाता है? ( 1. यदि समीकरण में हम पद को एक भाग से दूसरे भाग में स्थानांतरित करते हैं, उसका चिह्न बदलते हैं, तो हमें दिए गए के बराबर एक समीकरण मिलता है। 2. यदि समीकरण के दोनों भागों को एक ही गैर-शून्य संख्या से गुणा या विभाजित किया जाए, तो एक समीकरण प्राप्त होगा जो दिए गए के बराबर है.)
6. भिन्न कब शून्य के बराबर होती है? ( एक भिन्न तब शून्य होती है जब अंश शून्य हो और हर गैर-शून्य हो.)

3. नई सामग्री की व्याख्या.

समीकरण संख्या 2 को नोटबुक और बोर्ड पर हल करें।

उत्तर: 10.

अनुपात के मूल गुण का उपयोग करके आप किस भिन्नात्मक तर्कसंगत समीकरण को हल करने का प्रयास कर सकते हैं? (पाँच नंबर)।

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x 2 -4x-2x + 8 = x 2 + 3x + 2x + 6

x 2 -6x-x 2 -5x = 6-8

समीकरण संख्या 4 को नोटबुक और बोर्ड पर हल करें।

उत्तर: 1,5.

आप समीकरण के दोनों पक्षों को हर से गुणा करके किस भिन्नात्मक परिमेय समीकरण को हल करने का प्रयास कर सकते हैं? (नंबर 6).

x 2 -7x+12 = 0

डी=1>0, एक्स 1 =3, एक्स 2 =4।

उत्तर: 3;4.

अब समीकरण #7 को किसी एक तरीके से हल करने का प्रयास करें।

(x 2 -2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x 2 -2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0			x 2 -2x-5=x+5
x(x-5)(x 2 -2x-5-(x+5))=0			x 2 -2x-5-x-5=0
x(x-5)(x 2 -3x-10)=0
x=0 x-5=0 x 2 -3x-10=0
x 1 = 0 x 2 = 5 डी = 49
x 3 = 5 x 4 = -2			x 3 = 5 x 4 = -2
उत्तर: 0;5;-2.			उत्तर: 5;-2.

बताएं कि ऐसा क्यों हुआ? एक मामले में तीन जड़ें और दूसरे में दो जड़ें क्यों हैं? इस भिन्नात्मक परिमेय समीकरण के मूल कौन सी संख्याएँ हैं?

अब तक, छात्र एक बाहरी जड़ की अवधारणा से परिचित नहीं हुए हैं, उनके लिए यह समझना वास्तव में बहुत मुश्किल है कि ऐसा क्यों हुआ। यदि कक्षा में कोई भी इस स्थिति का स्पष्ट स्पष्टीकरण नहीं दे पाता है, तो शिक्षक प्रमुख प्रश्न पूछता है।

• समीकरण संख्या 2 और 4, समीकरण संख्या 5,6,7 से किस प्रकार भिन्न हैं? ( समीकरण संख्या 2 और 4 में संख्या के हर में, संख्या 5-7 - एक चर के साथ अभिव्यक्ति.)
• समीकरण का मूल क्या है? ( चर का वह मान जिस पर समीकरण वास्तविक समानता बन जाता है.)
• यह कैसे पता करें कि कोई संख्या किसी समीकरण का मूल है? ( जाँच करें.)

परीक्षण करते समय, कुछ छात्र ध्यान देते हैं कि उन्हें शून्य से भाग देना है। उन्होंने निष्कर्ष निकाला कि संख्याएँ 0 और 5 इस समीकरण की जड़ें नहीं हैं। सवाल उठता है: क्या भिन्नात्मक तर्कसंगत समीकरणों को हल करने का कोई तरीका है जो इस त्रुटि को समाप्त करता है? हाँ, यह विधि इस शर्त पर आधारित है कि भिन्न शून्य के बराबर है।

x 2 -3x-10=0, D=49, x 1 =5, x 2 = -2.

यदि x=5, तो x(x-5)=0, इसलिए 5 एक बाह्य मूल है।

यदि x=-2, तो x(x-5)≠0.

उत्तर: -2.

आइए इस प्रकार भिन्नात्मक तर्कसंगत समीकरणों को हल करने के लिए एक एल्गोरिदम तैयार करने का प्रयास करें। एल्गोरिथम बच्चे स्वयं बनाते हैं।

भिन्नात्मक तर्कसंगत समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिदम:

1. सब कुछ बाईं ओर ले जाएँ.
2. भिन्नों को एक उभयनिष्ठ हर में लाएँ।
3. एक प्रणाली बनाएं: एक भिन्न तब शून्य होती है जब अंश शून्य हो और हर शून्य न हो।
4. प्रश्न हल करें।
5. बाहरी जड़ों को बाहर करने के लिए असमानता की जाँच करें।
6. उत्तर लिखिए.

चर्चा: यदि अनुपात की मूल संपत्ति का उपयोग किया जाता है और समीकरण के दोनों पक्षों को एक सामान्य विभाजक से गुणा किया जाता है तो समाधान को कैसे औपचारिक बनाया जाए। (समाधान को पूरक करें: इसकी जड़ों से उन लोगों को हटा दें जो सामान्य विभाजक को शून्य में बदल देते हैं)।

4. नई सामग्री की प्राथमिक समझ।

जोड़े में काम। छात्र समीकरण के प्रकार के आधार पर स्वयं समीकरण को हल करने का तरीका चुनते हैं। पाठ्यपुस्तक "बीजगणित 8" से कार्य, यू.एन. माकार्यचेव, 2007: संख्या 600 (बी, सी, आई); क्रमांक 601(ए, ई, जी)। शिक्षक कार्य के प्रदर्शन को नियंत्रित करता है, उठने वाले प्रश्नों का उत्तर देता है, और खराब प्रदर्शन करने वाले छात्रों को सहायता प्रदान करता है। स्व-परीक्षण: उत्तर बोर्ड पर लिखे जाते हैं।

बी) 2 एक बाह्य जड़ है। उत्तर:3.

ग) 2 एक बाह्य जड़ है। उत्तर: 1.5.

ए) उत्तर:-12.5.

छ) उत्तर: 1; 1.5.

5. गृहकार्य का विवरण.

1. पाठ्यपुस्तक से आइटम 25 पढ़ें, उदाहरण 1-3 का विश्लेषण करें।
2. भिन्नात्मक तर्कसंगत समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिदम सीखें।
3. नोटबुक संख्या 600 (ए, डी, ई) में हल करें; नंबर 601 (जी, एच)।
4. #696(ए) (वैकल्पिक) को हल करने का प्रयास करें।

6. अध्ययन किए गए विषय पर नियंत्रण कार्य की पूर्ति।

कार्य शीटों पर किया जाता है।

नौकरी का उदाहरण:

ए) कौन से समीकरण भिन्नात्मक परिमेय हैं?

बी) एक भिन्न शून्य है जब अंश ______________________ है और हर ________________________ है।

प्र) क्या संख्या -3 समीकरण #6 का मूल है?

डी) समीकरण संख्या 7 को हल करें।

कार्य मूल्यांकन मानदंड:

• यदि छात्र ने 90% से अधिक कार्य सही ढंग से पूरा किया तो "5" दिया जाता है।
• "4" - 75% -89%
• "3" - 50% -74%
• "2" उस छात्र को दिया जाता है जिसने 50% से कम कार्य पूरा किया है।
• ग्रेड 2 को जर्नल में नहीं डाला गया है, 3 वैकल्पिक है।

7. प्रतिबिम्ब.

स्वतंत्र कार्य वाले पत्रकों पर लिखें:

• 1 - यदि पाठ आपके लिए रोचक और समझने योग्य था;
• 2 - दिलचस्प, लेकिन स्पष्ट नहीं;
• 3 - दिलचस्प नहीं, लेकिन समझने योग्य;
• 4 - दिलचस्प नहीं, स्पष्ट नहीं।

8. पाठ का सारांश।

तो, आज पाठ में हम भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों से परिचित हुए, इन समीकरणों को हल करना सीखा विभिन्न तरीके, प्रशिक्षण की सहायता से अपने ज्ञान का परीक्षण किया स्वतंत्र काम. आप अगले पाठ में स्वतंत्र कार्य के परिणाम सीखेंगे, घर पर आपको प्राप्त ज्ञान को मजबूत करने का अवसर मिलेगा।

आपकी राय में, भिन्नात्मक तर्कसंगत समीकरणों को हल करने की कौन सी विधि आसान, अधिक सुलभ, अधिक तर्कसंगत है? भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों को हल करने की विधि चाहे जो भी हो, क्या नहीं भूलना चाहिए? भिन्नात्मक तर्कसंगत समीकरणों की "चालाकता" क्या है?

आप सभी को धन्यवाद, पाठ समाप्त हो गया है।

हर में एक चर वाले समीकरणों को दो तरीकों से हल किया जा सकता है:

भिन्नों को एक सामान्य हर में कम करना

अनुपात की मूल संपत्ति का उपयोग करना

चुनी गई विधि के बावजूद, समीकरण की जड़ों को खोजने के बाद, पाए गए मानों में से स्वीकार्य मानों को चुनना आवश्यक है, अर्थात वे जो हर को $0$ में नहीं बदलते हैं।

1 रास्ता. भिन्नों को एक सामान्य हर में लाना।

उदाहरण 1

$\frac(2x+3)(2x-1)=\frac(x-5)(x+3)$

समाधान:

1. भिन्न को समीकरण के दाईं ओर से बाईं ओर ले जाएँ

\[\frac(2x+3)(2x-1)-\frac(x-5)(x+3)=0\]

इसे सही ढंग से करने के लिए, हम याद करते हैं कि जब तत्वों को समीकरण के दूसरे भाग में ले जाया जाता है, तो अभिव्यक्ति के सामने का चिह्न विपरीत में बदल जाता है। अतः, यदि दाहिनी ओर भिन्न के पहले "+" चिन्ह है, तो बायीं ओर उसके सामने "-" चिन्ह होगा। तब बायीं ओर हमें भिन्न का अंतर मिलता है।

2. अब हम ध्यान दें कि भिन्नों के अलग-अलग हर होते हैं, जिसका अर्थ है कि अंतर को पूरा करने के लिए भिन्नों को एक सामान्य हर में लाना आवश्यक है। सामान्य हर मूल भिन्नों के हरों में बहुपदों का गुणनफल होगा: $(2x-1)(x+3)$

एक समान अभिव्यक्ति प्राप्त करने के लिए, पहले अंश के अंश और हर को बहुपद $(x+3)$ से गुणा किया जाना चाहिए, और दूसरे को बहुपद $(2x-1)$ से गुणा किया जाना चाहिए।

\[\frac((2x+3)(x+3))((2x-1)(x+3))-\frac((x-5)(2x-1))((x+3)(2x-1))=0\]

आइए पहले भिन्न के अंश में परिवर्तन करें - हम बहुपदों को गुणा करेंगे। याद रखें कि इसके लिए पहले बहुपद के पहले पद को गुणा करना, दूसरे बहुपद के प्रत्येक पद से गुणा करना, फिर पहले बहुपद के दूसरे पद को दूसरे बहुपद के प्रत्येक पद से गुणा करना और परिणाम जोड़ना आवश्यक है।

\[\left(2x+3\right)\left(x+3\right)=2x\cdot x+2x\cdot 3+3\cdot x+3\cdot 3=(2x)^2+6x+3x+9\]

हम परिणामी अभिव्यक्ति में समान शब्द प्रस्तुत करते हैं

\[\left(2x+3\right)\left(x+3\right)=2x\cdot x+2x\cdot 3+3\cdot x+3\cdot 3=(2x)^2+6x+3x+9=\] \[(=2x)^2+9x+9\]

दूसरे भिन्न के अंश में भी ऐसा ही परिवर्तन करें - हम बहुपदों को गुणा करेंगे

$\left(x-5\right)\left(2x-1\right)=x\cdot 2x-x\cdot 1-5\cdot 2x+5\cdot 1=(2x)^2-x-10x+5=(2x)^2-11x+5$

तब समीकरण इस प्रकार बनेगा:

\[\frac((2x)^2+9x+9)((2x-1)(x+3))-\frac((2x)^2-11x+5)((x+3)(2x-1))=0\]

अब भिन्नों के साथ एक ही भाजक, तो आप घटाव कर सकते हैं। याद रखें कि जब पहली भिन्न के अंश में से समान हर वाली भिन्नों को घटाया जाता है, तो हर को वही छोड़कर दूसरी भिन्न के अंश को घटाना आवश्यक होता है।

\[\frac((2x)^2+9x+9-((2x)^2-11x+5))((2x-1)(x+3))=0\]

आइए व्यंजक को अंश में रूपांतरित करें। "-" चिह्न से पहले वाले कोष्ठक को खोलने के लिए, कोष्ठक में शब्दों के सामने के सभी चिह्नों को उल्टा करना होगा

\[(2x)^2+9x+9-\left((2x)^2-11x+5\right)=(2x)^2+9x+9-(2x)^2+11x-5\]

हम समान शर्तें प्रस्तुत करते हैं

$(2x)^2+9x+9-\left((2x)^2-11x+5\right)=(2x)^2+9x+9-(2x)^2+11x-5=20x+4$

तब भिन्न रूप ले लेगा

\[\frac((\rm 20x+4))((2x-1)(x+3))=0\]

3. एक भिन्न $0$ के बराबर होती है यदि उसका अंश 0 है। इसलिए, हम भिन्न के अंश को $0$ के बराबर करते हैं।

\[(\rm 20x+4=0)\]

हम तय करेंगे रेखीय समीकरण:

4. आइए जड़ों का नमूना लें। इसका मतलब यह है कि यह जांचना आवश्यक है कि मूल भिन्नों के हर मूल पाए जाने पर $0$ में बदल जाते हैं या नहीं।

हमने शर्त रखी है कि हर $0$ के बराबर नहीं हैं

x$\ne 0.5$ x$\ne -3$

इसका मतलब है कि $-3$ और $0.5$ को छोड़कर, चर के सभी मानों की अनुमति है।

हमें जो मूल मिला वह एक वैध मान है, इसलिए इसे सुरक्षित रूप से समीकरण का मूल माना जा सकता है। यदि पाया गया मूल वैध मान नहीं था, तो ऐसा मूल अप्रासंगिक होगा और निश्चित रूप से, उत्तर में शामिल नहीं किया जाएगा।

उत्तर:$-0,2.$

अब हम ऐसे समीकरण को हल करने के लिए एक एल्गोरिदम लिख सकते हैं जिसमें हर में एक चर होता है

किसी समीकरण को हल करने के लिए एक एल्गोरिदम जिसमें हर में एक चर होता है

सभी तत्वों को समीकरण के दाईं ओर से बाईं ओर ले जाएँ। एक समान समीकरण प्राप्त करने के लिए, दाहिनी ओर के भावों के सामने के सभी चिह्नों को विपरीत दिशा में बदलना आवश्यक है

यदि बाईं ओर हमें एक अभिव्यक्ति मिलती है विभिन्न भाजक, फिर हम भिन्न के मुख्य गुण का उपयोग करते हुए, उन्हें सामान्य में लाते हैं। समान परिवर्तनों का उपयोग करके परिवर्तन करें और अंतिम अंश $0$ के बराबर प्राप्त करें।

अंश को $0$ के बराबर करें और परिणामी समीकरण के मूल ज्ञात करें।

आइए जड़ों का नमूना लें, अर्थात्। वैध वैरिएबल मान खोजें जो हर को $0$ में न बदलें।

2 रास्ते। अनुपात की मूल संपत्ति का उपयोग करना

अनुपात का मुख्य गुण यह है कि अनुपात के चरम पदों का गुणनफल मध्य पदों के गुणनफल के बराबर होता है।

उदाहरण 2

हम उपयोग करते हैं संपत्ति दीइस कार्य को हल करने के लिए

\[\frac(2x+3)(2x-1)=\frac(x-5)(x+3)\]

1. आइए अनुपात के चरम और मध्य सदस्यों के उत्पाद को ढूंढें और बराबर करें।

$\left(2x+3\right)\cdot(\ x+3)=\left(x-5\right)\cdot(2x-1)$

\[(2x)^2+3x+6x+9=(2x)^2-10x-x+5\]

परिणामी समीकरण को हल करने पर, हम मूल की जड़ें पाते हैं

2. आइए एक चर के स्वीकार्य मान ज्ञात करें।

पिछले समाधान (पहली विधि) से हम पहले ही पा चुके हैं कि $-3$ और $0.5$ को छोड़कर किसी भी मान की अनुमति है।

फिर, यह स्थापित करने के बाद कि पाया गया रूट एक वैध मान है, हमें पता चला कि $-0.2$ रूट होगा।

इस समीकरण को सरल बनाने के लिए लघुत्तम समापवर्तक का उपयोग किया जाता है।इस विधि का उपयोग तब किया जाता है जब आप दिए गए समीकरण को समीकरण के प्रत्येक पक्ष पर एक तर्कसंगत अभिव्यक्ति के साथ नहीं लिख सकते हैं (और क्रॉस गुणन विधि का उपयोग करें)। इस पद्धति का उपयोग तब किया जाता है जब आपको 3 या अधिक भिन्नों वाला एक तर्कसंगत समीकरण दिया जाता है (दो भिन्नों के मामले में, क्रॉस गुणन बेहतर होता है)।

भिन्नों का लघुत्तम समापवर्तक (या लघुत्तम समापवर्त्य) ज्ञात कीजिए। NOZ वह सबसे छोटी संख्या है जो प्रत्येक हर से समान रूप से विभाज्य होती है।

• कभी-कभी NOZ एक स्पष्ट संख्या होती है। उदाहरण के लिए, यदि समीकरण दिया गया है: x/3 + 1/2 = (3x + 1)/6, तो यह स्पष्ट है कि संख्या 3, 2 और 6 का सबसे छोटा सामान्य गुणज 6 होगा।
• यदि एनओडी स्पष्ट नहीं है, तो स्वयं के गुणज लिखें। बड़ा भाजकऔर उनमें से एक ऐसा खोजें जो अन्य हरों का गुणज हो। आप अक्सर दो हरों को एक साथ गुणा करके एनओडी पा सकते हैं। उदाहरण के लिए, यदि समीकरण x/8 + 2/6 = (x - 3)/9 दिया गया है, तो NOZ = 8*9 = 72.
• यदि एक या अधिक हर में एक चर होता है, तो प्रक्रिया कुछ अधिक जटिल होती है (लेकिन असंभव नहीं)। इस मामले में, NOZ एक अभिव्यक्ति (एक चर युक्त) है जो प्रत्येक हर से विभाज्य है। उदाहरण के लिए, समीकरण 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x) NOZ = 3x(x-1) में, क्योंकि यह अभिव्यक्ति प्रत्येक हर से विभाज्य है: 3x(x-1)/(x-1) = 3x; 3x(x-1)/3x = (x-1); 3x(x-1)/x = 3(x-1).

प्रत्येक भिन्न के अंश और हर दोनों को प्रत्येक भिन्न के संगत हर द्वारा NOZ को विभाजित करने के परिणाम के बराबर संख्या से गुणा करें। चूँकि आप अंश और हर दोनों को एक ही संख्या से गुणा कर रहे हैं, आप प्रभावी रूप से भिन्न को 1 से गुणा कर रहे हैं (उदाहरण के लिए, 2/2 = 1 या 3/3 = 1)।

• तो हमारे उदाहरण में, 2x/6 प्राप्त करने के लिए x/3 को 2/2 से गुणा करें, और 3/6 प्राप्त करने के लिए 1/2 को 3/3 से गुणा करें (3x + 1/6 को गुणा करने की आवश्यकता नहीं है क्योंकि इसका हर 6 है)।
• जब चर हर में हो तो इसी तरह आगे बढ़ें। हमारे दूसरे उदाहरण में NOZ = 3x(x-1), इसलिए 5/(x-1) गुना (3x)/(3x) 5(3x)/(3x)(x-1) है; 3(x-1)/3x(x-1) पाने के लिए 1/x गुना 3(x-1)/3(x-1); 2/(3x) को (x-1)/(x-1) से गुणा करें और आपको 2(x-1)/3x(x-1) मिलता है।

एक्स खोजें।अब जब आपने भिन्नों को एक सामान्य हर में बदल दिया है, तो आप हर से छुटकारा पा सकते हैं। ऐसा करने के लिए, समीकरण के प्रत्येक पक्ष को एक उभयनिष्ठ हर से गुणा करें। फिर परिणामी समीकरण को हल करें, अर्थात "x" खोजें। ऐसा करने के लिए, समीकरण के एक तरफ के चर को अलग करें।

• हमारे उदाहरण में: 2x/6 + 3/6 = (3x +1)/6. आप एक ही हर के साथ 2 भिन्न जोड़ सकते हैं, इसलिए समीकरण को इस प्रकार लिखें: (2x+3)/6=(3x+1)/6. समीकरण के दोनों पक्षों को 6 से गुणा करें और हर से छुटकारा पाएं: 2x+3 = 3x +1. हल करें और x = 2 प्राप्त करें।
• हमारे दूसरे उदाहरण में (हर में एक चर के साथ), समीकरण इस तरह दिखता है (एक सामान्य हर में कमी के बाद): 5(3x)/(3x)(x-1) = 3(x-1)/3x(x-1) + 2(x-1)/3x(x-1)। समीकरण के दोनों पक्षों को NOZ से गुणा करने पर, आप हर से छुटकारा पा लेते हैं और प्राप्त करते हैं: 5(3x) = 3(x-1) + 2(x-1), या 15x = 3x - 3 + 2x -2, या 15x = x - 5. हल करें और प्राप्त करें: x = -5/14.

हम बात करना जारी रखते हैं समीकरणों का समाधान. इस आर्टिकल में हम इसी पर फोकस करेंगे तर्कसंगत समीकरणऔर एक चर वाले तर्कसंगत समीकरणों को हल करने के सिद्धांत। सबसे पहले, आइए जानें कि किस प्रकार के समीकरणों को परिमेय कहा जाता है, पूर्णांक परिमेय और भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों की परिभाषा दें और उदाहरण दें। इसके अलावा, हम तर्कसंगत समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिदम प्राप्त करेंगे, और निश्चित रूप से, सभी आवश्यक स्पष्टीकरणों के साथ विशिष्ट उदाहरणों के समाधानों पर विचार करेंगे।

पेज नेविगेशन.

स्पष्ट परिभाषाओं के आधार पर, हम तर्कसंगत समीकरणों के कई उदाहरण देते हैं। उदाहरण के लिए, x=1 , 2 x−12 x 2 y z 3 =0 , , सभी तर्कसंगत समीकरण हैं।

दिखाए गए उदाहरणों से, यह देखा जा सकता है कि तर्कसंगत समीकरण, साथ ही अन्य प्रकार के समीकरण, या तो एक चर के साथ, या दो, तीन, आदि के साथ हो सकते हैं। चर। निम्नलिखित पैराग्राफ में, हम एक चर में तर्कसंगत समीकरणों को हल करने के बारे में बात करेंगे। दो चर वाले समीकरणों को हल करनाऔर उनकी बड़ी संख्या विशेष ध्यान देने योग्य है।

तर्कसंगत समीकरणों को अज्ञात चरों की संख्या से विभाजित करने के अलावा, उन्हें पूर्णांक और भिन्नात्मक में भी विभाजित किया जाता है। आइए हम संबंधित परिभाषाएँ दें।

परिभाषा।

तर्कसंगत समीकरण कहा जाता है पूरा, यदि इसके बाएँ और दाएँ दोनों भाग पूर्णांक परिमेय व्यंजक हैं।

परिभाषा।

यदि किसी परिमेय समीकरण का कम से कम एक भाग भिन्नात्मक व्यंजक हो, तो ऐसे समीकरण को कहा जाता है आंशिक रूप से तर्कसंगत(या आंशिक तर्कसंगत).

यह स्पष्ट है कि पूर्णांक समीकरणों में एक चर द्वारा विभाजन नहीं होता है; इसके विपरीत, भिन्नात्मक तर्कसंगत समीकरणों में आवश्यक रूप से एक चर (या हर में एक चर) द्वारा विभाजन होता है। तो 3 x+2=0 और (x+y) (3 x 2 −1)+x=−y+0.5संपूर्ण तर्कसंगत समीकरण हैं, उनके दोनों भाग पूर्णांक व्यंजक हैं। A और x:(5 x 3 +y 2)=3:(x−1):5 भिन्नात्मक तर्कसंगत समीकरणों के उदाहरण हैं।

इस पैराग्राफ को समाप्त करते हुए, आइए हम इस तथ्य पर ध्यान दें कि इस क्षण तक ज्ञात रैखिक समीकरण और द्विघात समीकरण संपूर्ण तर्कसंगत समीकरण हैं।

पूर्णांक समीकरणों को हल करना

संपूर्ण समीकरणों को हल करने के मुख्य तरीकों में से एक उन्हें समतुल्य में घटाना है बीजगणितीय समीकरण. यह हमेशा समीकरण के निम्नलिखित समतुल्य परिवर्तनों को निष्पादित करके किया जा सकता है:

• सबसे पहले, मूल पूर्णांक समीकरण के दाईं ओर से अभिव्यक्ति को दाईं ओर शून्य प्राप्त करने के लिए विपरीत चिह्न के साथ बाईं ओर स्थानांतरित किया जाता है;
• उसके बाद, समीकरण के बाईं ओर, परिणामी मानक रूप।

परिणाम है बीजगणितीय समीकरण, जो मूल संपूर्ण समीकरण के समतुल्य है। तो सरलतम मामलों में, संपूर्ण समीकरणों का समाधान रैखिक या द्विघात समीकरणों के समाधान तक कम हो जाता है, और सामान्य मामले में - डिग्री n के बीजगणितीय समीकरण के समाधान तक। स्पष्टता के लिए, आइए उदाहरण के समाधान का विश्लेषण करें।

उदाहरण।

पूरे समीकरण की जड़ें खोजें 3 (x+1) (x−3)=x (2 x−1)−3.

समाधान।

आइए हम इस पूरे समीकरण के समाधान को एक समतुल्य बीजगणितीय समीकरण के समाधान में बदल दें। ऐसा करने के लिए, सबसे पहले, हम अभिव्यक्ति को दाईं ओर से बाईं ओर स्थानांतरित करते हैं, जिसके परिणामस्वरूप हम समीकरण पर पहुंचते हैं 3 (x+1) (x−3)−x (2 x−1)+3=0. और, दूसरी बात, हम आवश्यक कार्य करके बाईं ओर बने व्यंजक को मानक रूप के बहुपद में बदल देते हैं: 3 (x+1) (x−3)−x (2 x−1)+3= (3 x+3) (x−3)−2 x 2 +x+3= 3 x 2 −9 x+3 x−9−2 x 2 +x+3=x 2 −5 x−6. इस प्रकार, मूल पूर्णांक समीकरण का समाधान समाधान में कम हो जाता है द्विघात समीकरण x 2 −5 x−6=0 .

इसके विभेदक की गणना करें D=(−5) 2 −4 1 (−6)=25+24=49, यह सकारात्मक है, जिसका अर्थ है कि समीकरण की दो वास्तविक जड़ें हैं, जिन्हें हम द्विघात समीकरण की जड़ों के सूत्र द्वारा पाते हैं:

पूरी तरह आश्वस्त होने के लिए, आइए करते हैं समीकरण की पाई गई जड़ों की जाँच करना. सबसे पहले, हम मूल 6 की जाँच करते हैं, इसे मूल पूर्णांक समीकरण में चर x के स्थान पर प्रतिस्थापित करते हैं: 3 (6+1) (6−3)=6 (2 6−1)−3, जो वही है, 63=63 . यह एक वैध संख्यात्मक समीकरण है, इसलिए x=6 वास्तव में समीकरण का मूल है। अब हम मूल −1 की जांच करते हैं, हमारे पास है 3 (−1+1) (−1−3)=(−1) (2 (−1)−1)−3, कहां से, 0=0 . x=−1 के लिए, मूल समीकरण भी वास्तविक संख्यात्मक समानता में बदल गया, इसलिए, x=−1 भी समीकरण का मूल है।

उत्तर:

6 , −1 .

यहां यह भी ध्यान दिया जाना चाहिए कि "संपूर्ण समीकरण की शक्ति" शब्द बीजीय समीकरण के रूप में संपूर्ण समीकरण के प्रतिनिधित्व से जुड़ा है। हम इसी परिभाषा देते हैं:

परिभाषा।

पूरे समीकरण की डिग्रीकिसी बीजगणितीय समीकरण की घात को उसके समतुल्य बताइए।

इस परिभाषा के अनुसार, पिछले उदाहरण के पूरे समीकरण में दूसरी डिग्री है।

इस पर कोई संपूर्ण तर्कसंगत समीकरणों के समाधान के साथ समाप्त कर सकता है, यदि एक के लिए नहीं, लेकिन .... जैसा कि ज्ञात है, दूसरे से अधिक डिग्री के बीजगणितीय समीकरणों का समाधान महत्वपूर्ण कठिनाइयों से जुड़ा हुआ है, और चौथे से अधिक डिग्री के समीकरणों के लिए, जड़ों के लिए कोई सामान्य सूत्र नहीं हैं। इसलिए, तीसरे, चौथे और अधिक के संपूर्ण समीकरणों को हल करने के लिए उच्च डिग्रीअक्सर समाधान के अन्य तरीकों का सहारा लेना पड़ता है।

ऐसे मामलों में, कभी-कभी संपूर्ण तर्कसंगत समीकरणों को हल करने का दृष्टिकोण आधारित होता है गुणनखंडन विधि. उसी समय, निम्नलिखित एल्गोरिथम का पालन किया जाता है:

• पहले वे समीकरण के दाईं ओर शून्य रखना चाहते हैं, इसके लिए वे पूरे समीकरण के दाईं ओर से बाईं ओर अभिव्यक्ति को स्थानांतरित करते हैं;
• फिर, बाईं ओर परिणामी अभिव्यक्ति को कई कारकों के उत्पाद के रूप में प्रस्तुत किया जाता है, जो आपको कई सरल समीकरणों के सेट पर जाने की अनुमति देता है।

गुणनखंडन के माध्यम से पूरे समीकरण को हल करने के लिए उपरोक्त एल्गोरिदम को एक उदाहरण का उपयोग करके विस्तृत स्पष्टीकरण की आवश्यकता है।

उदाहरण।

पूरे समीकरण को हल करें (x 2 −1) (x 2 −10 x+13)= 2 एक्स (x 2 −10 x+13) .

समाधान।

सबसे पहले, हमेशा की तरह, हम अभिव्यक्ति को समीकरण के दाईं ओर से बाईं ओर स्थानांतरित करते हैं, चिह्न बदलना नहीं भूलते, हमें मिलता है (x 2 −1) (x 2 −10 x+13) - 2 x (x 2 −10 x+13)=0 . यहां यह बिल्कुल स्पष्ट है कि परिणामी समीकरण के बाईं ओर को मानक रूप के बहुपद में बदलना उचित नहीं है, क्योंकि इससे फॉर्म की चौथी डिग्री का बीजगणितीय समीकरण मिलेगा x 4 −12 x 3 +32 x 2 −16 x−13=0जिसका समाधान कठिन है।

दूसरी ओर, यह स्पष्ट है कि x 2 −10·x+13 परिणामी समीकरण के बाईं ओर पाया जा सकता है, जिससे इसे एक उत्पाद के रूप में दर्शाया जा सकता है। अपने पास (x 2 −10 x+13) (x 2 −2 x−1)=0. परिणामी समीकरण मूल संपूर्ण समीकरण के बराबर है, और बदले में, इसे दो द्विघात समीकरणों x 2 −10·x+13=0 और x 2 −2·x−1=0 के सेट से प्रतिस्थापित किया जा सकता है। विवेचक के माध्यम से ज्ञात मूल सूत्रों का उपयोग करके उनकी जड़ें खोजना मुश्किल नहीं है, जड़ें बराबर हैं। वे मूल समीकरण की वांछित जड़ें हैं।

उत्तर:

यह संपूर्ण तर्कसंगत समीकरणों को हल करने के लिए भी उपयोगी है। एक नया वेरिएबल पेश करने की विधि. कुछ मामलों में, यह किसी को उन समीकरणों में जाने की अनुमति देता है जिनकी डिग्री मूल पूर्णांक समीकरण की डिग्री से कम है।

उदाहरण।

किसी परिमेय समीकरण के वास्तविक मूल ज्ञात कीजिए (x 2 +3 x+1) 2 +10=−2 (x 2 +3 x−4).

समाधान।

इस पूरे तर्कसंगत समीकरण को एक बीजगणितीय समीकरण में कम करना, इसे हल्के ढंग से कहें तो, एक बहुत अच्छा विचार नहीं है, क्योंकि इस मामले में हमें चौथे-डिग्री समीकरण को हल करने की आवश्यकता होगी जिसमें तर्कसंगत जड़ें नहीं हैं। इसलिए, आपको दूसरा समाधान तलाशना होगा।

यहां यह देखना आसान है कि आप एक नया वेरिएबल y पेश कर सकते हैं और एक्सप्रेशन x 2 +3 x को इसके साथ बदल सकते हैं। ऐसा प्रतिस्थापन हमें पूरे समीकरण (y+1) 2 +10=−2 (y−4) की ओर ले जाता है, जो अभिव्यक्ति −2 (y−4) को बाईं ओर स्थानांतरित करने और वहां बने अभिव्यक्ति के बाद के परिवर्तन के बाद, द्विघात समीकरण y 2 +4 y+3=0 में कम हो जाता है। इस समीकरण y=−1 और y=−3 के मूल खोजना आसान है, उदाहरण के लिए, इन्हें विएटा के प्रमेय के व्युत्क्रम प्रमेय के आधार पर पाया जा सकता है।

अब आइए एक नए चर को पेश करने की विधि के दूसरे भाग पर चलते हैं, यानी उलटा प्रतिस्थापन करना। विपरीत प्रतिस्थापन करने के बाद, हमें दो समीकरण x 2 +3 x=−1 और x 2 +3 x=−3 प्राप्त होते हैं, जिन्हें x 2 +3 x+1=0 और x 2 +3 x+3=0 के रूप में फिर से लिखा जा सकता है। द्विघात समीकरण के मूलों के सूत्र के अनुसार हम पहले समीकरण के मूल ज्ञात करते हैं। और दूसरे द्विघात समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं है, क्योंकि इसका विवेचक ऋणात्मक है (D=3 2 −4 3=9−12=−3 )।

उत्तर:

सामान्य तौर पर, जब हम उच्च डिग्री के संपूर्ण समीकरणों से निपट रहे होते हैं, तो हमें उन्हें हल करने के लिए एक गैर-मानक विधि या कृत्रिम तकनीक की तलाश के लिए हमेशा तैयार रहना चाहिए।

भिन्नात्मक तर्कसंगत समीकरणों का समाधान

सबसे पहले, यह समझना उपयोगी होगा कि फॉर्म के भिन्नात्मक तर्कसंगत समीकरणों को कैसे हल किया जाए, जहां पी (एक्स) और क्यू (एक्स) तर्कसंगत पूर्णांक अभिव्यक्ति हैं। और फिर हम दिखाएंगे कि शेष भिन्नात्मक तर्कसंगत समीकरणों के समाधान को संकेतित रूप के समीकरणों के समाधान में कैसे कम किया जाए।

समीकरण को हल करने के तरीकों में से एक निम्नलिखित कथन पर आधारित है: संख्यात्मक अंश यू/वी, जहां वी एक गैर-शून्य संख्या है (अन्यथा हम सामना करेंगे, जो परिभाषित नहीं है), शून्य के बराबर है यदि और केवल यदि इसका अंश शून्य के बराबर है, अर्थात, यदि और केवल यदि यू=0। इस कथन के आधार पर, समीकरण का समाधान दो शर्तों p(x)=0 और q(x)≠0 की पूर्ति तक कम हो जाता है।

यह निष्कर्ष निम्नलिखित के अनुरूप है भिन्नात्मक तर्कसंगत समीकरण को हल करने के लिए एल्गोरिदम. प्रपत्र के भिन्नात्मक परिमेय समीकरण को हल करना

• संपूर्ण तर्कसंगत समीकरण p(x)=0 को हल करें;
• और जांचें कि क्या शर्त q(x)≠0 प्रत्येक पाए गए रूट के लिए संतुष्ट है
• यदि सत्य है, तो यह मूल मूल समीकरण का मूल है;
• यदि नहीं, तो यह मूल बाह्य है, अर्थात् यह मूल समीकरण का मूल नहीं है।

आइए भिन्नात्मक परिमेय समीकरण को हल करते समय वॉयस एल्गोरिदम का उपयोग करने के एक उदाहरण का विश्लेषण करें।

उदाहरण।

समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए।

समाधान।

यह रूप का एक भिन्नात्मक तर्कसंगत समीकरण है, जहां p(x)=3 x−2 , q(x)=5 x 2 −2=0 ।

इस प्रकार के भिन्नात्मक तर्कसंगत समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिदम के अनुसार, हमें पहले समीकरण 3·x−2=0 को हल करने की आवश्यकता है। यह एक रैखिक समीकरण है जिसका मूल x=2/3 है।

इस रूट की जांच करना बाकी है, यानी यह जांचना कि क्या यह शर्त 5·x 2 −2≠0 को संतुष्ट करता है। हम व्यंजक 5 x 2 −2 में x के स्थान पर संख्या 2/3 प्रतिस्थापित करते हैं, हमें प्राप्त होता है। शर्त पूरी हो गई है, इसलिए x=2/3 मूल समीकरण का मूल है।

उत्तर:

2/3 .

भिन्नात्मक परिमेय समीकरण का समाधान थोड़ी भिन्न स्थिति से प्राप्त किया जा सकता है। यह समीकरण मूल समीकरण के चर x पर संपूर्ण समीकरण p(x)=0 के बराबर है। यानी आप इसे फॉलो कर सकते हैं भिन्नात्मक तर्कसंगत समीकरण को हल करने के लिए एल्गोरिदम :

• समीकरण p(x)=0 को हल करें;
• ODZ वेरिएबल x खोजें;
• स्वीकार्य मूल्यों के क्षेत्र से संबंधित जड़ें लें - वे मूल भिन्नात्मक तर्कसंगत समीकरण की वांछित जड़ें हैं।

उदाहरण के लिए, आइए इस एल्गोरिथम का उपयोग करके एक भिन्नात्मक तर्कसंगत समीकरण को हल करें।

उदाहरण।

प्रश्न हल करें।

समाधान।

सबसे पहले, हम द्विघात समीकरण x 2 −2·x−11=0 को हल करते हैं। हमारे पास सम द्वितीय गुणांक के लिए मूल सूत्र का उपयोग करके इसकी जड़ों की गणना की जा सकती है डी 1 =(−1) 2 −1 (−11)=12, और ।

दूसरे, हम मूल समीकरण के लिए चर x का ODZ पाते हैं। इसमें वे सभी संख्याएँ शामिल हैं जिनके लिए x 2 +3 x≠0 है, जो वही x (x+3)≠0 है, जहाँ से x≠0 , x≠−3 है।

यह जांचना बाकी है कि पहले चरण में पाई गई जड़ें ओडीजेड में शामिल हैं या नहीं। बिल्कुल हाँ। इसलिए, मूल भिन्नात्मक तर्कसंगत समीकरण की दो जड़ें हैं।

उत्तर:

ध्यान दें कि यदि ODZ आसानी से पाया जाता है तो यह दृष्टिकोण पहले वाले की तुलना में अधिक लाभदायक है, और विशेष रूप से फायदेमंद है यदि समीकरण p(x)=0 की जड़ें अपरिमेय हैं, उदाहरण के लिए, या तर्कसंगत, लेकिन एक बड़े अंश और/या हर के साथ, उदाहरण के लिए, 127/1101 और −31/59। यह इस तथ्य के कारण है कि ऐसे मामलों में, स्थिति q(x)≠0 की जांच करने के लिए महत्वपूर्ण कम्प्यूटेशनल प्रयासों की आवश्यकता होगी, और ODZ से बाहरी जड़ों को बाहर करना आसान है।

अन्य मामलों में, समीकरण को हल करते समय, विशेष रूप से जब समीकरण p(x)=0 की जड़ें पूर्णांक होती हैं, तो उपरोक्त एल्गोरिदम में से पहले का उपयोग करना अधिक फायदेमंद होता है। यानी, यह सलाह दी जाती है कि तुरंत पूरे समीकरण p(x)=0 के मूल खोजें, और फिर जांचें कि क्या शर्त q(x)≠0 उनके लिए संतुष्ट है, और ODZ नहीं ढूंढें, और फिर इस ODZ पर समीकरण p(x)=0 को हल करें। यह इस तथ्य के कारण है कि ऐसे मामलों में ओडीजेड ढूंढने की तुलना में चेक बनाना आमतौर पर आसान होता है।

निर्धारित बारीकियों को स्पष्ट करने के लिए दो उदाहरणों के समाधान पर विचार करें।

उदाहरण।

समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए।

समाधान।

सबसे पहले हम पूरे समीकरण की जड़ें ढूंढते हैं (2 x−1) (x−6) (x 2 −5 x+14) (x+1)=0, भिन्न के अंश का उपयोग करके संकलित किया गया। इस समीकरण का बायां भाग एक उत्पाद है, और दायां पक्ष शून्य है, इसलिए गुणनखंडन के माध्यम से समीकरणों को हल करने की विधि के अनुसार, यह समीकरण चार समीकरणों 2 x−1=0 , x−6=0 , x 2 −5 x+14=0 , x+1=0 के सेट के बराबर है। इनमें से तीन समीकरण रैखिक हैं और एक द्विघात है, हम उन्हें हल कर सकते हैं। पहले समीकरण से हमें x=1/2, दूसरे से - x=6, तीसरे से - x=7, x=−2, चौथे से - x=−1 मिलता है।

जड़ों के पाए जाने के साथ, उन्हें जांचना काफी आसान है कि क्या मूल समीकरण के बाईं ओर स्थित अंश का हर उनके साथ गायब नहीं हो जाता है, और इसके विपरीत, ओडीजेड का निर्धारण करना इतना आसान नहीं है, क्योंकि इसके लिए पांचवीं डिग्री के बीजगणितीय समीकरण को हल करना होगा। इसलिए, हम जड़ों की जाँच के पक्ष में ODZ खोजने से इंकार कर देंगे। ऐसा करने के लिए, हम अभिव्यक्ति में वेरिएबल x के स्थान पर उन्हें बारी-बारी से प्रतिस्थापित करते हैं x 5 −15 x 4 +57 x 3 −13 x 2 +26 x+112, प्रतिस्थापन के बाद प्राप्त करें, और उनकी तुलना शून्य से करें: (1/2) 5 −15 (1/2) 4 + 57 (1/2) 3 −13 (1/2) 2 +26 (1/2)+112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 −15 6 4 +57 6 3 −13 6 2 +26 6+112= 448≠0 ;
7 5 −15 7 4 +57 7 3 −13 7 2 +26 7+112=0;
(−2) 5 −15 (−2) 4 +57 (−2) 3 −13 (−2) 2 + 26 (−2)+112=−720≠0 ;
(−1) 5 −15 (−1) 4 +57 (−1) 3 −13 (−1) 2 + 26·(−1)+112=0 .

इस प्रकार, 1/2, 6 और −2 मूल भिन्नात्मक तर्कसंगत समीकरण की वांछित जड़ें हैं, और 7 और −1 बाहरी जड़ें हैं।

उत्तर:

1/2 , 6 , −2 .

उदाहरण।

भिन्नात्मक परिमेय समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए।

समाधान।

सबसे पहले हम समीकरण के मूल ज्ञात करते हैं (5x2 −7x−1)(x−2)=0. यह समीकरण दो समीकरणों के एक सेट के बराबर है: वर्ग 5·x 2 −7·x−1=0 और रैखिक x−2=0. द्विघात समीकरण की जड़ों के सूत्र के अनुसार, हमें दो जड़ें मिलती हैं, और दूसरे समीकरण से हमें x=2 मिलता है।

यह जाँचना कि क्या x के पाए गए मानों पर हर गायब नहीं हो जाता है, बल्कि अप्रिय है। और मूल समीकरण में चर x के स्वीकार्य मानों की सीमा निर्धारित करना काफी सरल है। इसलिए, हम ODZ के माध्यम से कार्य करेंगे.

हमारे मामले में, मूल भिन्नात्मक परिमेय समीकरण के चर x का ODZ सभी संख्याओं से बना है, सिवाय उन संख्याओं को छोड़कर जिनके लिए शर्त x 2 +5·x−14=0 संतुष्ट है। इस द्विघात समीकरण की जड़ें x=−7 और x=2 हैं, जिससे हम ODZ के बारे में निष्कर्ष निकालते हैं: यह सभी x से बना है जैसे कि।

यह जांचना बाकी है कि क्या पाए गए मूल और x=2 स्वीकार्य मानों के क्षेत्र से संबंधित हैं। जड़ें - संबंधित हैं, इसलिए, वे मूल समीकरण की जड़ें हैं, और x=2 संबंधित नहीं है, इसलिए, यह एक बाहरी जड़ है।

उत्तर:

उन मामलों पर अलग से ध्यान देना भी उपयोगी होगा जहां फॉर्म के भिन्नात्मक तर्कसंगत समीकरण में अंश में एक संख्या होती है, यानी, जब पी (एक्स) को कुछ संख्या द्वारा दर्शाया जाता है। जिसमें

• यदि यह संख्या शून्य से भिन्न है, तो समीकरण का कोई मूल नहीं है, क्योंकि भिन्न शून्य है यदि और केवल यदि इसका अंश शून्य है;
• यदि यह संख्या शून्य है, तो समीकरण का मूल ODZ से कोई भी संख्या है।

उदाहरण।

समाधान।

चूँकि समीकरण के बाईं ओर अंश के अंश में एक गैर-शून्य संख्या है, किसी भी x के लिए इस अंश का मान शून्य के बराबर नहीं हो सकता है। इसलिए, इस समीकरण की कोई जड़ नहीं है।

उत्तर:

कोई जड़ नहीं.

उदाहरण।

प्रश्न हल करें।

समाधान।

इस भिन्नात्मक परिमेय समीकरण के बाईं ओर भिन्न का अंश शून्य है, इसलिए इस भिन्न का मान किसी भी x के लिए शून्य है जिसके लिए यह समझ में आता है। दूसरे शब्दों में, इस समीकरण का समाधान इस चर के DPV से x का कोई भी मान है।

स्वीकार्य मूल्यों की इस सीमा को निर्धारित करना बाकी है। इसमें ऐसे सभी मान x शामिल हैं जिनके लिए x 4 +5 x 3 ≠0 है। समीकरण x 4 +5 x 3 = 0 के समाधान 0 और −5 हैं, क्योंकि यह समीकरण समीकरण x 3 (x + 5) = 0 के बराबर है, और यह, बदले में, दो समीकरण x 3 = 0 और x + 5 = 0 के संयोजन के बराबर है, जहां से ये जड़ें दिखाई देती हैं। इसलिए, स्वीकार्य मानों की वांछित सीमा x=0 और x=−5 को छोड़कर कोई भी x है।

इस प्रकार, भिन्नात्मक तर्कसंगत समीकरण में अनंत रूप से कई समाधान होते हैं, जो शून्य और शून्य पांच को छोड़कर कोई भी संख्या होती है।

उत्तर:

अंत में, मनमाने ढंग से भिन्नात्मक तर्कसंगत समीकरणों को हल करने के बारे में बात करने का समय आ गया है। उन्हें r(x)=s(x) के रूप में लिखा जा सकता है, जहां r(x) और s(x) तर्कसंगत अभिव्यक्ति हैं, और उनमें से कम से कम एक भिन्नात्मक है। आगे देखते हुए, हम कहते हैं कि उनका समाधान पहले से ही हमारे परिचित रूप के समीकरणों को हल करने के लिए कम हो गया है।

यह ज्ञात है कि किसी पद को समीकरण के एक भाग से दूसरे भाग में विपरीत चिह्न के साथ स्थानांतरित करने से एक समतुल्य समीकरण बनता है, इसलिए समीकरण r(x)=s(x) समीकरण r(x)−s(x)=0 के समतुल्य है।

हम यह भी जानते हैं कि कोई भी इस अभिव्यक्ति के समान रूप से समान हो सकता है। इस प्रकार, हम हमेशा समीकरण r(x)−s(x)=0 के बाईं ओर परिमेय अभिव्यक्ति को रूप के समान रूप से समान परिमेय अंश में बदल सकते हैं।

तो हम मूल भिन्नात्मक तर्कसंगत समीकरण r(x)=s(x) से समीकरण की ओर जाते हैं, और इसका समाधान, जैसा कि हमने ऊपर पाया, समीकरण p(x)=0 को हल करने के लिए कम हो जाता है।

लेकिन यहां इस तथ्य को ध्यान में रखना आवश्यक है कि जब r(x)−s(x)=0 को , और फिर p(x)=0 से प्रतिस्थापित किया जाता है, तो चर x के स्वीकार्य मानों की सीमा का विस्तार हो सकता है।

इसलिए, मूल समीकरण r(x)=s(x) और जिस समीकरण p(x)=0 पर हम पहुंचे हैं, वह समतुल्य नहीं हो सकता है, और समीकरण p(x)=0 को हल करके, हम मूल प्राप्त कर सकते हैं जो मूल समीकरण r(x)=s(x) के बाह्य मूल होंगे। उत्तर में बाहरी जड़ों की पहचान करना और उन्हें शामिल न करना, या तो जाँच करके या मूल समीकरण के ODZ से संबंधित होने की जाँच करके संभव है।

हम इस जानकारी को संक्षेप में प्रस्तुत करते हैं भिन्नात्मक परिमेय समीकरण r(x)=s(x) को हल करने के लिए एल्गोरिथ्म. भिन्नात्मक परिमेय समीकरण r(x)=s(x) को हल करने के लिए, किसी को यह करना होगा

• विपरीत चिह्न वाले व्यंजक को दाहिनी ओर से घुमाकर दाहिनी ओर शून्य प्राप्त करें।
• समीकरण के बाईं ओर भिन्नों और बहुपदों के साथ क्रियाएँ करें, जिससे यह रूप के तर्कसंगत भिन्न में परिवर्तित हो जाए।
• समीकरण p(x)=0 को हल करें।
• बाहरी जड़ों को पहचानें और बाहर निकालें, जो उन्हें मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करके या मूल समीकरण के ODZ से उनके संबंध की जाँच करके किया जाता है।

अधिक स्पष्टता के लिए, हम भिन्नात्मक तर्कसंगत समीकरणों को हल करने की पूरी श्रृंखला दिखाएंगे:
.

आइए जानकारी के दिए गए ब्लॉक को स्पष्ट करने के लिए समाधान की विस्तृत व्याख्या के साथ कई उदाहरणों के समाधान देखें।

उदाहरण।

भिन्नात्मक परिमेय समीकरण को हल करें.

समाधान।

हम अभी प्राप्त समाधान एल्गोरिदम के अनुसार कार्य करेंगे। और सबसे पहले हम पदों को समीकरण के दाईं ओर से बाईं ओर स्थानांतरित करते हैं, परिणामस्वरूप हम समीकरण पर आगे बढ़ते हैं।

दूसरे चरण में, हमें परिणामी समीकरण के बाईं ओर भिन्नात्मक परिमेय अभिव्यक्ति को भिन्न के रूप में परिवर्तित करने की आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए, हम परिमेय भिन्नों को एक सामान्य हर में घटाते हैं और परिणामी अभिव्यक्ति को सरल बनाते हैं:। तो हम समीकरण पर आते हैं।

अगले चरण में, हमें समीकरण −2·x−1=0 को हल करना होगा। x=−1/2 खोजें।

यह जांचना बाकी है कि क्या पाया गया नंबर −1/2 मूल समीकरण का बाहरी मूल है। ऐसा करने के लिए, आप मूल समीकरण के ODZ चर x की जांच या पता लगा सकते हैं। आइए दोनों दृष्टिकोण प्रदर्शित करें।

आइए चेक से शुरुआत करें। हम मूल समीकरण में चर x के स्थान पर संख्या −1/2 प्रतिस्थापित करते हैं, हमें मिलता है, जो समान है, −1=−1। प्रतिस्थापन सही संख्यात्मक समानता देता है, इसलिए, x=−1/2 मूल समीकरण का मूल है।

अब हम दिखाएंगे कि ODZ के माध्यम से एल्गोरिथम का अंतिम चरण कैसे निष्पादित किया जाता है। मूल समीकरण के स्वीकार्य मानों की सीमा −1 और 0 को छोड़कर सभी संख्याओं का समुच्चय है (जब x=−1 और x=0, भिन्नों के हर गायब हो जाते हैं)। पिछले चरण में पाया गया मूल x=−1/2 ODZ से संबंधित है, इसलिए, x=−1/2 मूल समीकरण का मूल है।

उत्तर:

−1/2 .

आइए एक और उदाहरण पर विचार करें.

उदाहरण।

समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए।

समाधान।

हमें भिन्नात्मक तर्कसंगत समीकरण को हल करने की आवश्यकता है, आइए एल्गोरिथम के सभी चरणों से गुजरें।

सबसे पहले, हम पद को दाईं ओर से बाईं ओर स्थानांतरित करते हैं, हमें मिलता है।

दूसरे, हम बायीं ओर बने व्यंजक को रूपांतरित करते हैं: . परिणामस्वरूप, हम समीकरण x=0 पर पहुंचते हैं।

इसका मूल स्पष्ट है-शून्य है।

चौथे चरण में, यह पता लगाना बाकी है कि क्या पाया गया मूल मूल भिन्नात्मक तर्कसंगत समीकरण के लिए बाहरी नहीं है। जब इसे मूल समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाता है, तो व्यंजक प्राप्त होता है। जाहिर है, इसका कोई मतलब नहीं है, क्योंकि इसमें शून्य से विभाजन शामिल है। जहाँ से हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि 0 एक बाह्य मूल है। इसलिए, मूल समीकरण की कोई जड़ नहीं है।

7, जो समीकरण की ओर ले जाता है। इससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि बाएँ पक्ष के हर में व्यंजक दाएँ पक्ष के बराबर होना चाहिए, अर्थात। अब हम त्रिक के दोनों भागों से घटाते हैं: . सादृश्य से, कहाँ से, और आगे।

जाँच से पता चलता है कि दोनों पाए गए मूल मूल भिन्नात्मक परिमेय समीकरण के मूल हैं।

उत्तर:

ग्रंथ सूची.

• बीजगणित:पाठयपुस्तक 8 कोशिकाओं के लिए. सामान्य शिक्षा संस्थान / [यु. एन. मकार्यचेव, एन. जी. माइंड्युक, के. आई. नेशकोव, एस. बी. सुवोरोवा]; ईडी। एस. ए. तेल्यकोवस्की। - 16वाँ संस्करण। - एम.: शिक्षा, 2008. - 271 पी. : बीमार। - आईएसबीएन 978-5-09-019243-9।
• मोर्दकोविच ए.जी.बीजगणित. 8 वीं कक्षा। दोपहर 2 बजे भाग 1. शैक्षणिक संस्थानों के छात्रों के लिए एक पाठ्यपुस्तक / ए.जी. मोर्दकोविच। - 11वां संस्करण, मिटाया गया। - एम.: मेनेमोसिन, 2009. - 215 पी.: बीमार। आईएसबीएन 978-5-346-01155-2।
• बीजगणित:ग्रेड 9: पाठ्यपुस्तक। सामान्य शिक्षा के लिए संस्थान / [यु. एन. मकार्यचेव, एन. जी. माइंड्युक, के. आई. नेशकोव, एस. बी. सुवोरोवा]; ईडी। एस. ए. तेल्यकोवस्की। - 16वाँ संस्करण। - एम.: शिक्षा, 2009. - 271 पी। : बीमार। - आईएसबीएन 978-5-09-021134-5।

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