व्युत्क्रम मैट्रिक्स विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें। रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणाली को हल करने के लिए मैट्रिक्स विधि

यह एक अवधारणा है जो सब कुछ समेटती है संभावित संचालनमेट्रिसेस के साथ उत्पादित। गणितीय मैट्रिक्स - तत्वों की एक तालिका। एक टेबल के बारे में जहां एमरेखाएँ और एनकॉलम, वे कहते हैं कि इस मैट्रिक्स का आयाम है एमपर एन.

मैट्रिक्स का सामान्य दृश्य:

के लिए मैट्रिक्स समाधानआपको यह समझने की आवश्यकता है कि एक मैट्रिक्स क्या है और इसके मुख्य मापदंडों को जानें। मैट्रिक्स के मुख्य तत्व:

• तत्वों से युक्त मुख्य विकर्ण एक 11, एक 22 ..... एक एमएन.
• साइड विकर्ण तत्वों से मिलकर ए 1 एन, ए 2 एन -1 ….ए एम 1.

मैट्रिक्स के मुख्य प्रकार:

• वर्ग - ऐसा मैट्रिक्स, जहाँ पंक्तियों की संख्या = स्तंभों की संख्या ( एम = एन).
• शून्य - जहाँ मैट्रिक्स के सभी अवयव = 0.
• ट्रांसपोज़्ड मैट्रिक्स - मैट्रिक्स में, जो मूल मैट्रिक्स से प्राप्त किया गया था एपंक्तियों को स्तंभों से बदलकर।
• एकल - मुख्य विकर्ण के सभी अवयव = 1, अन्य सभी = 0।
• एक व्युत्क्रम मैट्रिक्स एक मैट्रिक्स है, जिसे जब गुणा किया जाता है प्रारंभिक मैट्रिक्सपरिणामस्वरूप पहचान मैट्रिक्स देता है।

मैट्रिक्स मुख्य और द्वितीयक विकर्णों के संबंध में सममित हो सकता है। यानी अगर एक 12 = एक 21, एक 13 \u003d एक 31, .... एक 23 \u003d एक 32 .... एक एम-1एन = एक एमएन-1, तब मैट्रिक्स मुख्य विकर्ण के संबंध में सममित है। केवल वर्ग आव्यूह ही सममित हो सकते हैं।

मैट्रिसेस को हल करने के तरीके।

लगभग सभी मैट्रिक्स समाधान के तरीकेइसके निर्धारक को खोजना है एनवें क्रम और उनमें से ज्यादातर काफी बोझिल हैं। दूसरे और तीसरे क्रम के निर्धारक को खोजने के लिए, अन्य, अधिक तर्कसंगत तरीके हैं।

दूसरे क्रम के निर्धारक ढूँढना।

मैट्रिक्स निर्धारक की गणना करने के लिए एदूसरा क्रम, मुख्य विकर्ण के तत्वों के उत्पाद से द्वितीयक विकर्ण के तत्वों के उत्पाद को घटाना आवश्यक है:

तीसरे क्रम के निर्धारकों को खोजने के तरीके।

नीचे तीसरे क्रम के निर्धारक को खोजने के नियम दिए गए हैं।

त्रिभुज नियम को एक के रूप में सरलीकृत किया मैट्रिक्स समाधान के तरीके, इस प्रकार प्रदर्शित किया जा सकता है:

दूसरे शब्दों में, पहले निर्धारक में उन तत्वों का गुणनफल जो रेखाओं से जुड़े होते हैं, उन्हें "+" चिह्न के साथ लिया जाता है; दूसरे निर्धारक के लिए भी - संबंधित उत्पादों को "-" चिन्ह के साथ लिया जाता है, जो कि निम्नलिखित योजना के अनुसार है:

पर सारस नियम द्वारा आव्यूहों को हल करना, निर्धारक के दाईं ओर, पहले 2 कॉलम जोड़े जाते हैं और मुख्य विकर्ण पर और इसके समानांतर विकर्णों पर संबंधित तत्वों के उत्पादों को "+" चिन्ह के साथ लिया जाता है; और द्वितीयक विकर्ण के संबंधित तत्वों और इसके समानांतर विकर्णों के उत्पाद, "-" चिह्न के साथ:

मैट्रिसेस को हल करते समय निर्धारक का पंक्ति या स्तंभ विस्तार।

सिद्ध योग के बराबर हैनिर्धारक पंक्ति के तत्वों और उनके बीजगणितीय पूरक के उत्पाद। आमतौर पर वह पंक्ति/स्तंभ चुनें जिसमें/वें शून्य हैं। जिस पंक्ति या स्तंभ पर अपघटन किया जाता है उसे एक तीर द्वारा इंगित किया जाएगा।

मैट्रिसेस को हल करते समय निर्धारक को त्रिकोणीय रूप में कम करना।

पर मैट्रिसेस को हल करनानिर्धारक को त्रिकोणीय रूप में कम करके, वे इस तरह काम करते हैं: पंक्तियों या स्तंभों पर सरलतम परिवर्तनों का उपयोग करके, निर्धारक त्रिकोणीय हो जाता है और फिर इसका मूल्य, निर्धारक के गुणों के अनुसार, तत्वों के उत्पाद के बराबर होगा जो मुख्य विकर्ण पर खड़ा है।

मैट्रिसेस को हल करने के लिए लाप्लास की प्रमेय।

लाप्लास के प्रमेय का उपयोग करते हुए आव्यूहों को हल करते समय, स्वयं प्रमेय को सीधे जानना आवश्यक है। लाप्लास प्रमेय: चलो Δ निर्धारक है एन-वाँ आदेश। हम कोई भी चुनते हैं कपंक्तियाँ (या स्तंभ), प्रदान की गई क≤ एन - 1. इस मामले में, सभी नाबालिगों के उत्पादों का योग कवें आदेश चयनित में निहित है कपंक्तियाँ (स्तंभ), उनका बीजगणितीय जोड़ निर्धारक के बराबर होगा।

उलटा मैट्रिक्स समाधान।

के लिए क्रियाओं का क्रम उलटा मैट्रिक्स समाधान:

1. ज्ञात कीजिए कि दिया गया आव्यूह वर्गाकार है। नकारात्मक उत्तर के मामले में, यह स्पष्ट हो जाता है कि इसके लिए व्युत्क्रम मैट्रिक्स नहीं हो सकता।
2. हम बीजगणितीय जोड़ की गणना करते हैं।
3. हम संबद्ध (पारस्परिक, संलग्न) मैट्रिक्स की रचना करते हैं सी.
4. हम बीजगणितीय जोड़ से एक उलटा मैट्रिक्स बनाते हैं: आसन्न मैट्रिक्स के सभी तत्व सीप्रारंभिक मैट्रिक्स के निर्धारक द्वारा विभाजित करें। परिणामी मैट्रिक्स दिए गए मैट्रिक्स के संबंध में वांछित उलटा मैट्रिक्स होगा।
5. हम किए गए कार्य की जांच करते हैं: हम प्रारंभिक मैट्रिक्स और परिणामी मैट्रिक्स को गुणा करते हैं, परिणाम पहचान मैट्रिक्स होना चाहिए।

मैट्रिक्स सिस्टम का समाधान।

के लिए मैट्रिक्स सिस्टम के समाधानसबसे अधिक इस्तेमाल किया जाने वाला गॉस तरीका है।

गॉस विधि रैखिक की प्रणालियों को हल करने का एक मानक तरीका है बीजगणितीय समीकरण(SLAE) और यह इस तथ्य में निहित है कि चर को क्रमिक रूप से बाहर रखा गया है, अर्थात, प्राथमिक परिवर्तनों की सहायता से, समीकरणों की प्रणाली को त्रिकोणीय प्रकार के समतुल्य प्रणाली में लाया जाता है और इसमें से, क्रमिक रूप से, अंतिम से शुरू होता है ( संख्या से), सिस्टम का प्रत्येक तत्व पाया जाता है।

गॉस विधिसबसे बहुमुखी और है सबसे अच्छा उपकरणमैट्रिसेस का समाधान खोजने के लिए। यदि सिस्टम में अनंत संख्या में समाधान हैं या सिस्टम असंगत है, तो इसे क्रैमर के नियम और मैट्रिक्स विधि का उपयोग करके हल नहीं किया जा सकता है।

गॉस विधि का तात्पर्य प्रत्यक्ष (विस्तारित मैट्रिक्स को एक चरणबद्ध रूप में घटाना, यानी मुख्य विकर्ण के नीचे शून्य प्राप्त करना) और रिवर्स (विस्तारित मैट्रिक्स के मुख्य विकर्ण के ऊपर शून्य प्राप्त करना) चाल है। फॉरवर्ड मूव गॉस मेथड है, रिवर्स मूव गॉस-जॉर्डन मेथड है। गॉस-जॉर्डन विधि गॉस विधि से केवल चरों के उन्मूलन के क्रम में भिन्न होती है।

विचार करना रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणाली(धीमा) के संबंध में एनअज्ञात एक्स 1 , एक्स 2 , ..., एक्स एन :

इस प्रणाली को "मुड़ा हुआ" रूप में निम्नानुसार लिखा जा सकता है:

एस एन मैं = 1 ए आईजे एक्स जे = ख मैं , मैं=1,2, ..., एन.

मैट्रिक्स गुणन के नियम के अनुसार, माना प्रणाली रेखीय समीकरणमें लिखा जा सकता है मैट्रिक्स फॉर्म कुल्हाड़ी = ख, कहाँ

, ,.

आव्यूह ए, जिसके स्तंभ संबंधित अज्ञात के लिए गुणांक हैं, और पंक्तियां संबंधित समीकरण में अज्ञात के लिए गुणांक कहलाती हैं सिस्टम मैट्रिक्स. कॉलम मैट्रिक्स बी, जिनके तत्व सिस्टम के समीकरणों के सही हिस्से हैं, उन्हें सही हिस्से का मैट्रिक्स या बस कहा जाता है सिस्टम का दाहिना भाग. कॉलम मैट्रिक्स एक्स जिनके तत्व अज्ञात अज्ञात कहलाते हैं सिस्टम समाधान.

रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणाली के रूप में लिखा गया है कुल्हाड़ी = ख, है मैट्रिक्स समीकरण.

यदि सिस्टम का मैट्रिक्स गैर पतित, तो यह है उलटा मैट्रिक्सऔर फिर सिस्टम का समाधान कुल्हाड़ी = खसूत्र द्वारा दिया गया है:

एक्स = ए -1 बी.

उदाहरणसिस्टम को हल करें मैट्रिक्स विधि।

समाधानसिस्टम के गुणांक मैट्रिक्स के लिए व्युत्क्रम मैट्रिक्स खोजें

पहली पंक्ति में विस्तार करके निर्धारक की गणना करें:

क्योंकि Δ ≠ 0 , वह ए -1 मौजूद।

उलटा मैट्रिक्स सही पाया जाता है।

आइए सिस्टम का समाधान खोजें

इस तरह, एक्स 1 = 1, एक्स 2 = 2, एक्स 3 = 3 .

इंतिहान:

7. रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली की अनुकूलता पर क्रोनकर-कैपेली प्रमेय।

रैखिक समीकरणों की प्रणालीकी तरह लगता है:

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2 , (5.1)

a m1 x 1 + a m1 x 2 +... + a mn x n = b m ।

यहाँ a i j और b i (i =; j = ) दिए गए हैं, और x j अज्ञात वास्तविक संख्याएँ हैं। मैट्रिक्स के उत्पाद की अवधारणा का उपयोग करके, हम सिस्टम (5.1) को फिर से लिख सकते हैं:

जहां ए = (ए आई जे) मैट्रिक्स है जिसमें सिस्टम के अज्ञात के गुणांक (5.1) शामिल हैं, जिसे कहा जाता है सिस्टम मैट्रिक्स, X = (x 1 , x 2 ,..., x n) T , B = (b 1 , b 2 ,..., b m) T - स्तंभ सदिश क्रमशः अज्ञात x j और मुक्त पदों b i से बना है।

संग्रह का आदेश दिया एनवास्तविक संख्याएँ (c 1 , c 2 ,..., c n) कहलाती हैं सिस्टम समाधान(5.1) यदि संबंधित चर x 1, x 2, ..., x n के बजाय इन संख्याओं के प्रतिस्थापन के परिणामस्वरूप सिस्टम का प्रत्येक समीकरण एक अंकगणितीय पहचान में बदल जाता है; दूसरे शब्दों में, यदि सदिश C= (c 1 , c 2 ,..., c n) T का अस्तित्व है तो AC  B.

सिस्टम (5.1) कहा जाता है संयुक्त,या व्याख्या करने योग्यअगर इसका कम से कम एक समाधान है। सिस्टम कहा जाता है असंगत,या अघुलनशीलअगर इसका कोई समाधान नहीं है।

,

दाईं ओर मैट्रिक्स ए को मुक्त शर्तों के एक कॉलम को असाइन करके गठित कहा जाता है विस्तारित मैट्रिक्स प्रणाली।

सिस्टम (5.1) की संगतता का प्रश्न निम्नलिखित प्रमेय द्वारा हल किया गया है।

क्रोनकर-कैपेली प्रमेय . रैखिक समीकरणों की प्रणाली सुसंगत है यदि और केवल यदि आव्यूहों A और ρA की कोटि संपाती है, अर्थात आर (ए) = आर (ए) = आर।

सिस्टम (5.1) के समाधान के सेट एम के लिए, तीन संभावनाएँ हैं:

1) एम =  (इस मामले में प्रणाली असंगत है);

2) M में एक तत्व होता है, अर्थात सिस्टम का एक अनूठा समाधान है (इस मामले में सिस्टम को कहा जाता है कुछ);

3) M में एक से अधिक तत्व होते हैं (तब सिस्टम कहलाता है ढुलमुल). तीसरे मामले में, सिस्टम (5.1) में अनंत संख्या में समाधान हैं।

सिस्टम का केवल एक अद्वितीय समाधान है यदि आर (ए) = एन। इस मामले में, समीकरणों की संख्या अज्ञात की संख्या (mn) से कम नहीं है; अगर एम> एन, तो एम-एन समीकरणदूसरों के परिणाम हैं। अगर 0

रैखिक समीकरणों की मनमाना प्रणाली को हल करने के लिए, किसी को उन प्रणालियों को हल करने में सक्षम होना चाहिए जिनमें समीकरणों की संख्या अज्ञात की संख्या के बराबर है, तथाकथित क्रैमर टाइप सिस्टम:

a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 ,

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2 , (5.3)

... ... ... ... ... ...

a n1 x 1 + a n1 x 2 +... + a nn x n = b n ।

सिस्टम (5.3) निम्नलिखित तरीकों में से एक में हल किए जाते हैं: 1) गॉस विधि द्वारा, या अज्ञात को समाप्त करने की विधि द्वारा; 2) क्रैमर के सूत्रों के अनुसार; 3) मैट्रिक्स विधि द्वारा।

उदाहरण 2.12. समीकरणों की प्रणाली की जाँच करें और इसे संगत होने पर हल करें:

5x 1 - x 2 + 2x 3 + x 4 = 7,

2x1 + x2 + 4x3 - 2x4 = 1,

एक्स 1 - 3x 2 - 6x 3 + 5x 4 = 0।

समाधान।हम सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स को लिखते हैं:

 .

आइए सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स के रैंक की गणना करें। यह स्पष्ट है कि, उदाहरण के लिए, ऊपरी बाएँ कोने में दूसरे क्रम का माइनर = 7  0; इसे रखने वाले तीसरे क्रम के अवयस्क शून्य के बराबर हैं:

इसलिए, सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स का रैंक 2 है, अर्थात आर (ए) = 2। विस्तारित मैट्रिक्स A के रैंक की गणना करने के लिए, सीमावर्ती नाबालिग पर विचार करें

इसलिए, विस्तारित मैट्रिक्स का रैंक r(A) = 3 है। चूंकि r(A)  r(A), सिस्टम असंगत है।

सामान्य रूप से समीकरण, रैखिक बीजगणितीय समीकरण और उनकी प्रणालियाँ, साथ ही उन्हें हल करने के तरीके, सैद्धांतिक और व्यावहारिक दोनों तरह के गणित में एक विशेष स्थान रखते हैं।

यह इस तथ्य के कारण है कि अधिकांश भौतिक, आर्थिक, तकनीकी और यहां तक ​​कि शैक्षणिक समस्याओं का वर्णन किया जा सकता है और विभिन्न समीकरणों और उनकी प्रणालियों का उपयोग करके हल किया जा सकता है। हाल ही में, गणितीय मॉडलिंग ने लगभग सभी विषय क्षेत्रों में शोधकर्ताओं, वैज्ञानिकों और चिकित्सकों के बीच विशेष लोकप्रियता हासिल की है, जो कि विभिन्न प्रकृति की वस्तुओं के अध्ययन के लिए अन्य प्रसिद्ध और सिद्ध तरीकों पर इसके स्पष्ट लाभों द्वारा समझाया गया है, विशेष रूप से, तथाकथित जटिल सिस्टम। वैज्ञानिकों द्वारा अलग-अलग समय पर दी गई गणितीय मॉडल की विभिन्न परिभाषाओं की एक विशाल विविधता है, लेकिन हमारी राय में, निम्नलिखित कथन सबसे सफल है। एक गणितीय मॉडल एक समीकरण द्वारा व्यक्त एक विचार है। इस प्रकार, समीकरणों और उनकी प्रणालियों को बनाने और हल करने की क्षमता एक आधुनिक विशेषज्ञ की एक अभिन्न विशेषता है।

रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणाली को हल करने के लिए, सबसे अधिक इस्तेमाल की जाने वाली विधियाँ हैं: क्रैमर, जॉर्डन-गॉस और मैट्रिक्स विधि।

मैट्रिक्स समाधान विधि - व्युत्क्रम मैट्रिक्स का उपयोग करके गैर-शून्य निर्धारक के साथ रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करने की एक विधि।

यदि हम मैट्रिक्स ए में अज्ञात मानों के लिए गुणांक लिखते हैं, अज्ञात मानों को कॉलम एक्स वेक्टर में और कॉलम बी वेक्टर में मुक्त शब्दों को इकट्ठा करते हैं, तो रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणाली को लिखा जा सकता है निम्नलिखित मैट्रिक्स समीकरण ए एक्स = बी का रूप, जिसका एकमात्र समाधान केवल तभी होता है जब मैट्रिक्स ए का निर्धारक शून्य के बराबर नहीं होता है। इस स्थिति में, समीकरणों के निकाय का हल निम्न प्रकार से प्राप्त किया जा सकता है एक्स = ए-1 · बी, कहाँ ए-1 - उलटा मैट्रिक्स।

मैट्रिक्स समाधान विधि इस प्रकार है।

के साथ रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली दी जाए एनअज्ञात:

इसे मैट्रिक्स रूप में फिर से लिखा जा सकता है: कुल्हाड़ी = बी, कहाँ ए- सिस्टम का मुख्य मैट्रिक्स, बीऔर एक्स- मुक्त सदस्यों के कॉलम और सिस्टम के समाधान, क्रमशः:

इस मैट्रिक्स समीकरण को बाईं ओर से गुणा करें ए-1 - मैट्रिक्स का उलटा मैट्रिक्स ए: ए -1 (कुल्हाड़ी) = ए -1 बी

क्योंकि ए -1 ए = इ, हम पाते हैं एक्स= ए -1 बी. इस समीकरण का दाहिना हाथ मूल प्रणाली के समाधान का एक स्तंभ देगा। इस पद्धति की प्रयोज्यता के लिए शर्त (साथ ही अज्ञात की संख्या के बराबर समीकरणों की संख्या के साथ रैखिक समीकरणों की एक विषम प्रणाली के समाधान का सामान्य अस्तित्व) मैट्रिक्स की गैर-विकृति है ए. इसके लिए एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त यह है कि मैट्रिक्स का निर्धारक ए: पता ए≠ 0.

रेखीय समीकरणों की एक सजातीय प्रणाली के लिए, यानी जब वेक्टर बी = 0 , वास्तव में विपरीत नियम: प्रणाली कुल्हाड़ी = 0 का एक गैर-तुच्छ (अर्थात, गैर-शून्य) समाधान केवल अगर det है ए= 0. रैखिक समीकरणों के सजातीय और विषम प्रणालियों के समाधान के बीच इस तरह के संबंध को फ्रेडहोम विकल्प कहा जाता है।

उदाहरण रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक विषम प्रणाली के समाधान.

आइए हम सुनिश्चित करें कि रैखिक बीजीय समीकरणों की प्रणाली के अज्ञात के गुणांक से बना मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य के बराबर नहीं है।

अगला कदम अज्ञात के गुणांक वाले मैट्रिक्स के तत्वों के लिए बीजगणितीय पूरक की गणना करना है। उलटा मैट्रिक्स खोजने के लिए उनकी आवश्यकता होगी।

सेवा कार्य. इस ऑनलाइन कैलकुलेटर का उपयोग करते हुए, समीकरणों की प्रणाली में अज्ञात (x 1 , x 2 , ..., x n ) की गणना की जाती है। निर्णय किया जा रहा है उलटा मैट्रिक्स विधि. जिसमें:

• मैट्रिक्स ए के निर्धारक की गणना की जाती है;
• बीजगणितीय जोड़ के माध्यम से, व्युत्क्रम मैट्रिक्स A -1 पाया जाता है;
• एक्सेल में एक समाधान टेम्पलेट बनाया गया है;

समाधान सीधे साइट (ऑनलाइन) पर किया जाता है और मुफ़्त है। गणना के परिणाम वर्ड फॉर्मेट में एक रिपोर्ट में प्रस्तुत किए जाते हैं (डिजाइन का उदाहरण देखें)।

निर्देश। उलटा मैट्रिक्स विधि द्वारा समाधान प्राप्त करने के लिए, मैट्रिक्स के आयाम को निर्दिष्ट करना आवश्यक है। अगला, नए डायलॉग बॉक्स में, मैट्रिक्स A और परिणाम सदिश B भरें।

चरों की संख्या 2 3 4 5 6 7 8 9 10

मैट्रिक्स समीकरणों का समाधान भी देखें।

समाधान एल्गोरिथ्म

1. मैट्रिक्स ए के निर्धारक की गणना की जाती है। यदि निर्धारक शून्य है, तो समाधान का अंत। सिस्टम में अनंत संख्या में समाधान हैं।
2. जब सारणिक शून्य से भिन्न होता है, तो व्युत्क्रम आव्यूह A -1 बीजगणितीय जोड़ के माध्यम से पाया जाता है।
3. निर्णय सदिश X =(x 1 , x 2 , ..., x n ) प्रतिलोम आव्यूह को परिणामी सदिश B से गुणा करके प्राप्त किया जाता है।

उदाहरण। मैट्रिक्स विधि द्वारा सिस्टम का समाधान खोजें। हम मैट्रिक्स को फॉर्म में लिखते हैं:
बीजगणितीय जोड़।

ए 1.1 = (-1) 1+1

1 2 0 -2

∆ 1,1 = (1 (-2)-0 2) = -2

ए 1,2 = (-1) 1+2

3 2 1 -2

∆ 1,2 = -(3 (-2)-1 2) = 8

ए 1.3 = (-1) 1+3

3 1 1 0

∆ 1,3 = (3 0-1 1) = -1

ए 2.1 = (-1) 2+1

-2 1 0 -2

∆ 2,1 = -(-2 (-2)-0 1) = -4

ए 2.2 = (-1) 2+2

2 1 1 -2

∆ 2,2 = (2 (-2)-1 1) = -5

ए 2.3 = (-1) 2+3

2 -2 1 0

∆ 2,3 = -(2 0-1 (-2)) = -2

ए 3.1 = (-1) 3+1

-2 1 1 2

∆ 3,1 = (-2 2-1 1) = -5

·

3

-2

-1

एक्स टी = (1,0,1)
एक्स 1 = -21 / -21 = 1
एक्स 2 = 0 / -21 = 0
एक्स 3 = -21 / -21 = 1
इंतिहान:
2 1+3 0+1 1 = 3
-2 1+1 0+0 1 = -2
1 1+2 0+-2 1 = -1

पहले भाग में, हमने कुछ सैद्धांतिक सामग्री, प्रतिस्थापन विधि, साथ ही प्रणाली समीकरणों के टर्म-बाय-टर्म जोड़ की विधि पर विचार किया। इस पृष्ठ के माध्यम से साइट पर आने वाले सभी लोगों के लिए, मेरा सुझाव है कि आप पहला भाग पढ़ें। शायद कुछ आगंतुकों को सामग्री बहुत सरल लगेगी, लेकिन रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के क्रम में, मैंने सामान्य रूप से गणितीय समस्याओं के समाधान के संबंध में कई महत्वपूर्ण टिप्पणियाँ और निष्कर्ष निकाले।

और अब हम क्रैमर के नियम का विश्लेषण करेंगे, साथ ही व्युत्क्रम मैट्रिक्स (मैट्रिक्स विधि) का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली का समाधान करेंगे। सभी सामग्रियों को सरल, विस्तृत और स्पष्ट रूप से प्रस्तुत किया गया है, लगभग सभी पाठक उपरोक्त विधियों का उपयोग करके सिस्टम को हल करने का तरीका सीखने में सक्षम होंगे।

हम पहले दो अज्ञात में दो रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली के लिए क्रैमर के नियम पर विस्तार से विचार करते हैं। किसलिए? "आखिरकार, सबसे सरल प्रणाली को स्कूल पद्धति द्वारा, टर्म-बाय-टर्म जोड़कर हल किया जा सकता है!

तथ्य यह है कि भले ही कभी-कभी, लेकिन ऐसा कार्य है - क्रैमर के सूत्रों का उपयोग करके दो अज्ञात के साथ दो रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करना। दूसरे, एक सरल उदाहरण आपको यह समझने में मदद करेगा कि अधिक जटिल मामले के लिए क्रैमर के नियम का उपयोग कैसे करें - तीन अज्ञात के साथ तीन समीकरणों की एक प्रणाली।

इसके अलावा, दो चर वाले रैखिक समीकरणों की प्रणालियाँ हैं, जिन्हें क्रैमर के नियम के अनुसार हल करने की सलाह दी जाती है!

समीकरणों की प्रणाली पर विचार करें

पहले चरण में, हम निर्धारक की गणना करते हैं, इसे कहा जाता है प्रणाली का मुख्य निर्धारक.

गॉस विधि।

यदि , तो सिस्टम का एक अनूठा समाधान है, और जड़ों को खोजने के लिए, हमें दो और निर्धारकों की गणना करनी होगी:
और

व्यवहार में, उपरोक्त क्वालिफायर को लैटिन अक्षर से भी निरूपित किया जा सकता है।

समीकरण की जड़ें सूत्र द्वारा पाई जाती हैं:
,

उदाहरण 7

रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें

समाधान: हम देखते हैं कि समीकरण के गुणांक काफी बड़े हैं, दाईं ओर अल्पविराम के साथ दशमलव अंश हैं। गणित में व्यावहारिक कार्यों में अल्पविराम एक दुर्लभ अतिथि है, मैंने इस प्रणाली को एक अर्थमितीय समस्या से लिया।

ऐसी प्रणाली को कैसे हल करें? आप एक चर को दूसरे चर के संदर्भ में व्यक्त करने का प्रयास कर सकते हैं, लेकिन इस मामले में आपको निश्चित रूप से भयानक फैंसी अंश मिलेंगे, जो काम करने के लिए बेहद असुविधाजनक हैं, और समाधान का डिज़ाइन सिर्फ भयानक दिखाई देगा। आप दूसरे समीकरण को 6 से गुणा कर सकते हैं और पद को पद से घटा सकते हैं, लेकिन वही अंश यहां दिखाई देंगे।

क्या करें? ऐसे मामलों में, क्रैमर के सूत्र बचाव में आते हैं।

;

;

उत्तर: ,

दोनों जड़ों में अनंत पूंछ हैं और लगभग पाए जाते हैं, जो कि अर्थमिति समस्याओं के लिए काफी स्वीकार्य (और सामान्य भी) है।

यहां टिप्पणियों की आवश्यकता नहीं है, क्योंकि कार्य को तैयार किए गए फ़ार्मुलों के अनुसार हल किया जाता है, हालाँकि, एक चेतावनी है। इस विधि का उपयोग करते समय, अनिवार्यअसाइनमेंट का टुकड़ा निम्नलिखित टुकड़ा है: "तो सिस्टम का एक अनूठा समाधान है". अन्यथा, समीक्षक आपको क्रैमर के प्रमेय का अनादर करने के लिए दंडित कर सकता है।

यह जाँचना अतिश्योक्तिपूर्ण नहीं होगा कि कैलकुलेटर पर क्या करना सुविधाजनक है: हम सिस्टम के प्रत्येक समीकरण के बाईं ओर अनुमानित मानों को प्रतिस्थापित करते हैं। परिणामस्वरूप, एक छोटी सी त्रुटि के साथ, संख्याएँ जो दाईं ओर हैं, प्राप्त की जानी चाहिए।

उदाहरण 8

अपने उत्तर को साधारण विषम भिन्नों में व्यक्त कीजिए। एक जाँच करें।

यह एक स्वतंत्र समाधान के लिए एक उदाहरण है (अच्छे डिजाइन का उदाहरण और पाठ के अंत में उत्तर)।

हम तीन अज्ञात के साथ तीन समीकरणों की एक प्रणाली के लिए क्रैमर के नियम पर विचार करते हैं:

हम सिस्टम का मुख्य निर्धारक पाते हैं:

यदि , तो सिस्टम के अपरिमित रूप से कई समाधान हैं या असंगत है (कोई समाधान नहीं है)। इस मामले में, क्रैमर का नियम मदद नहीं करेगा, आपको गॉस विधि का उपयोग करने की आवश्यकता है।

यदि , तो सिस्टम का एक अनूठा समाधान है, और जड़ों को खोजने के लिए, हमें तीन और निर्धारकों की गणना करनी चाहिए:
, ,

और अंत में, उत्तर की गणना सूत्रों द्वारा की जाती है:

जैसा कि आप देख सकते हैं, "तीन बटा तीन" मामला मूल रूप से "दो बटा दो" मामले से अलग नहीं है, मुख्य निर्धारक के स्तंभों के साथ बाएं से दाएं क्रमिक रूप से मुक्त शर्तों का स्तंभ "चलता है"।

उदाहरण 9

क्रैमर के सूत्रों का उपयोग करके सिस्टम को हल करें।

समाधान: क्रैमर के सूत्रों का उपयोग करके सिस्टम को हल करते हैं।

, इसलिए सिस्टम के पास एक अनूठा समाधान है।

उत्तर: .

दरअसल, यहां फिर से टिप्पणी करने के लिए कुछ खास नहीं है, इस तथ्य को देखते हुए कि निर्णय तैयार किए गए फॉर्मूले के अनुसार किया जाता है। लेकिन कुछ नोट हैं।

ऐसा होता है कि गणनाओं के परिणामस्वरूप, "खराब" अलघुकरणीय अंश प्राप्त होते हैं, उदाहरण के लिए: .
मैं निम्नलिखित "उपचार" एल्गोरिदम की अनुशंसा करता हूं। अगर हाथ में कोई कंप्यूटर नहीं है, तो हम यह करते हैं:

1) गणना में गलती हो सकती है। जैसे ही आप एक "खराब" शॉट का सामना करते हैं, आपको तुरंत जांच करनी चाहिए कि क्या क्या स्थिति सही ढंग से लिखी गई है. यदि स्थिति को त्रुटियों के बिना फिर से लिखा गया है, तो आपको दूसरी पंक्ति (स्तंभ) में विस्तार का उपयोग करके निर्धारकों को पुनर्गणना करने की आवश्यकता है।

2) यदि जाँच के परिणामस्वरूप कोई त्रुटि नहीं पाई गई, तो सबसे अधिक संभावना है कि असाइनमेंट की स्थिति में एक टाइपो बनाया गया था। इस मामले में, शांति से और सावधानीपूर्वक कार्य को अंत तक हल करें, और फिर जाँच करना सुनिश्चित करेंऔर निर्णय के बाद इसे एक स्वच्छ प्रतिलिपि पर तैयार करें। बेशक, भिन्नात्मक उत्तर की जाँच करना एक अप्रिय कार्य है, लेकिन यह शिक्षक के लिए एक निंदनीय तर्क होगा, जो वास्तव में किसी भी बुरी चीज़ के लिए माइनस लगाना पसंद करता है। उदाहरण 8 के उत्तर में भिन्नों से कैसे निपटें इसका विस्तृत विवरण दिया गया है।

यदि आपके पास एक कंप्यूटर है, तो इसे जांचने के लिए एक स्वचालित प्रोग्राम का उपयोग करें, जिसे पाठ की शुरुआत में मुफ्त में डाउनलोड किया जा सकता है। वैसे, कार्यक्रम का तुरंत उपयोग करना सबसे फायदेमंद है (समाधान शुरू करने से पहले भी), आप तुरंत उस मध्यवर्ती चरण को देखेंगे जिस पर आपने गलती की थी! वही कैलकुलेटर स्वचालित रूप से मैट्रिक्स विधि का उपयोग करके सिस्टम के समाधान की गणना करता है।

दूसरी टिप्पणी। समय-समय पर ऐसे सिस्टम होते हैं जिनके समीकरणों में कुछ चर गायब होते हैं, उदाहरण के लिए:

यहाँ पहले समीकरण में कोई चर नहीं है, दूसरे में कोई चर नहीं है। ऐसे मामलों में, मुख्य निर्धारक को सही ढंग से और सावधानी से लिखना बहुत महत्वपूर्ण है:
– लुप्त चरों के स्थान पर शून्य लगा दिए जाते हैं।
वैसे, निर्धारकों को उस पंक्ति (स्तंभ) में शून्य के साथ खोलना तर्कसंगत है जिसमें शून्य स्थित है, क्योंकि वहाँ काफ़ी कम गणनाएँ हैं।

उदाहरण 10

क्रैमर के सूत्रों का उपयोग करके सिस्टम को हल करें।

यह स्व-समाधान (पाठ के अंत में नमूना और उत्तर को पूरा करना) के लिए एक उदाहरण है।

4 अज्ञात के साथ 4 समीकरणों की प्रणाली के मामले में, क्रैमर के सूत्र समान सिद्धांतों के अनुसार लिखे गए हैं। आप निर्धारक गुण पाठ में एक जीवंत उदाहरण देख सकते हैं। निर्धारक के क्रम को कम करना - पाँच चौथे क्रम के निर्धारक काफी हल करने योग्य हैं। हालाँकि यह कार्य पहले से ही एक भाग्यशाली छात्र की छाती पर एक प्रोफेसर के जूते की याद दिलाता है।

व्युत्क्रम मैट्रिक्स का उपयोग करके सिस्टम का समाधान

उलटा मैट्रिक्स विधि अनिवार्य रूप से एक विशेष मामला है मैट्रिक्स समीकरण(निर्दिष्ट पाठ का उदाहरण संख्या 3 देखें)।

इस खंड का अध्ययन करने के लिए, आपको निर्धारकों का विस्तार करने, उलटा मैट्रिक्स खोजने और मैट्रिक्स गुणन करने में सक्षम होने की आवश्यकता है। स्पष्टीकरण की प्रगति के रूप में प्रासंगिक लिंक दिए जाएंगे।

उदाहरण 11

सिस्टम को मैट्रिक्स विधि से हल करें

समाधान: हम सिस्टम को मैट्रिक्स रूप में लिखते हैं:
, कहाँ

कृपया समीकरणों की प्रणाली और आव्यूहों को देखें। हम किस सिद्धांत से तत्वों को मेट्रिसेस में लिखते हैं, मुझे लगता है कि हर कोई समझता है। एकमात्र टिप्पणी: यदि समीकरणों में कुछ चर गायब थे, तो शून्य को मैट्रिक्स में संबंधित स्थानों पर रखना होगा।

हम सूत्र द्वारा उलटा मैट्रिक्स पाते हैं:
, जहां मैट्रिक्स के संबंधित तत्वों के बीजगणितीय पूरक का ट्रांसपोज़्ड मैट्रिक्स है।

सबसे पहले, आइए निर्धारक से निपटें:

यहाँ निर्धारक को पहली पंक्ति द्वारा विस्तारित किया जाता है।

ध्यान! यदि , तो व्युत्क्रम मैट्रिक्स मौजूद नहीं है, और मैट्रिक्स विधि द्वारा सिस्टम को हल करना असंभव है। इस मामले में, सिस्टम को अज्ञात (गॉस विधि) के उन्मूलन से हल किया जाता है।

अब आपको 9 नाबालिगों की गणना करने और उन्हें नाबालिगों के मैट्रिक्स में लिखने की जरूरत है

संदर्भ:रैखिक बीजगणित में डबल सबस्क्रिप्ट का अर्थ जानना उपयोगी है। पहला अंक वह पंक्ति संख्या है जिसमें तत्व स्थित है। दूसरा अंक उस कॉलम की संख्या है जिसमें तत्व स्थित है:

अर्थात्, एक डबल सबस्क्रिप्ट इंगित करता है कि तत्व पहली पंक्ति में है, तीसरा स्तंभ, जबकि, उदाहरण के लिए, तत्व तीसरी पंक्ति में है, दूसरा स्तंभ