क्रैमर विधि द्वारा बीजगणितीय समीकरणों का हल। क्रैमर, गॉस विधियों और व्युत्क्रम मैट्रिक्स का उपयोग करके समीकरणों की प्रणाली को हल करें

2. मैट्रिक्स विधि (इनवर्स मैट्रिक्स का उपयोग करके) द्वारा समीकरणों की प्रणालियों को हल करना।
3. समीकरणों के निकाय को हल करने की गॉस विधि।

क्रैमर की विधि।

क्रैमर की विधि का उपयोग रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए किया जाता है ( टूटना).

दो चर वाले दो समीकरणों की प्रणाली के उदाहरण पर सूत्र।
दिया गया:सिस्टम को क्रैमर की विधि से हल करें

चर के संबंध में एक्सऔर पर.
समाधान:
निर्धारकों की प्रणाली गणना के गुणांकों से बना मैट्रिक्स का निर्धारक खोजें। :

हम क्रैमर के सूत्र लागू करते हैं और मूल्यों का पता लगाएंचर:
और .
उदाहरण 1:
समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

चर के संबंध में एक्सऔर पर.
समाधान:


आइए इस निर्धारक में पहले कॉलम को सिस्टम के दाईं ओर से गुणांक के कॉलम से बदलें और इसका मान ज्ञात करें:

आइए एक समान क्रिया करते हैं, पहले निर्धारक में दूसरे कॉलम को बदलकर:

उपयुक्त क्रैमर के सूत्रऔर चर के मान खोजें:
और ।
उत्तर:
टिप्पणी:इस पद्धति का उपयोग उच्च आयामों की प्रणालियों को हल करने के लिए किया जा सकता है।

टिप्पणी:यदि यह पता चला कि , और शून्य से विभाजित करना असंभव है, तो वे कहते हैं कि सिस्टम के पास कोई अनूठा समाधान नहीं है। इस मामले में, सिस्टम के पास या तो अपरिमित रूप से कई समाधान हैं या कोई समाधान नहीं है।

उदाहरण 2(समाधानों की अनंत संख्या):

समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

चर के संबंध में एक्सऔर पर.
समाधान:
सिस्टम के गुणांक से बना मैट्रिक्स का निर्धारक खोजें:

प्रतिस्थापन विधि द्वारा प्रणालियों को हल करना।

सिस्टम के समीकरणों में से पहला एक समानता है जो चर के किसी भी मान के लिए सही है (क्योंकि 4 हमेशा 4 के बराबर होता है)। ऐसे में एक ही समीकरण बचा है। यह चरों के बीच संबंध समीकरण है।
हमने पाया कि सिस्टम का समाधान समानता से संबंधित चर के मूल्यों की कोई जोड़ी है।
सामान्य निर्णयइस प्रकार लिखा जाएगा:
इस संबंध समीकरण से y का मनमाना मान चुनकर और x की गणना करके विशेष समाधान निर्धारित किए जा सकते हैं।

वगैरह।
ऐसे अपरिमित रूप से अनेक हल हैं।
उत्तर:सामान्य निर्णय
निजी समाधान:

उदाहरण 3(कोई समाधान नहीं, सिस्टम असंगत है):

समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

समाधान:
सिस्टम के गुणांक से बना मैट्रिक्स का निर्धारक खोजें:

आप क्रैमर के फ़ार्मुलों का उपयोग नहीं कर सकते। आइए इस प्रणाली को प्रतिस्थापन विधि द्वारा हल करें

सिस्टम का दूसरा समीकरण एक समानता है जो चर के किसी भी मान के लिए मान्य नहीं है (बेशक, -15 2 के बराबर नहीं है)। यदि सिस्टम के समीकरणों में से एक चर के किसी भी मान के लिए सही नहीं है, तो पूरे सिस्टम का कोई समाधान नहीं है।
उत्तर:कोई समाधान नहीं

तरीकों क्रेमरऔर गाऊसी- सबसे ज्यादा लोकप्रिय तरीकेसमाधान टूटना. इसके अलावा, कुछ मामलों में विशिष्ट तरीकों का उपयोग करने की सलाह दी जाती है। सत्र करीब है, और अब उन्हें दोहराने या खरोंच से मास्टर करने का समय है। आज हम क्रैमर विधि द्वारा समाधान से निपटते हैं। आखिर व्यवस्था का समाधान रेखीय समीकरणक्रैमर की विधि एक बहुत ही उपयोगी कौशल है।

रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणाली

रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणाली फॉर्म के समीकरणों की एक प्रणाली है:

मान सेट एक्स , जिस पर निकाय के समीकरण सर्वसमिका में बदल जाते हैं, तंत्र का हल कहलाता है, ए और बी वास्तविक गुणांक हैं। दो अज्ञात के साथ दो समीकरणों वाली एक सरल प्रणाली को मानसिक रूप से या एक चर को दूसरे के संदर्भ में व्यक्त करके हल किया जा सकता है। लेकिन SLAE में दो से अधिक चर (x) हो सकते हैं, और सरल स्कूल जोड़तोड़ यहाँ अपरिहार्य हैं। क्या करें? उदाहरण के लिए, क्रैमर की विधि द्वारा SLAE को हल करें!

तो सिस्टम रहने दो एन के साथ समीकरण एन अज्ञात।

ऐसी प्रणाली को मैट्रिक्स रूप में फिर से लिखा जा सकता है

यहाँ ए सिस्टम का मुख्य मैट्रिक्स है, एक्स और बी , क्रमशः, अज्ञात चर और मुक्त सदस्यों के स्तंभ मैट्रिक्स।

Cramer की विधि द्वारा SLAE समाधान

यदि मुख्य मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य के बराबर नहीं है (मैट्रिक्स नॉनसिंगुलर है), सिस्टम को क्रैमर विधि का उपयोग करके हल किया जा सकता है।

क्रैमर विधि के अनुसार, समाधान सूत्रों द्वारा पाया जाता है:

यहाँ डेल्टा मुख्य मैट्रिक्स का निर्धारक है, और डेल्टा एक्स n-th - मुख्य मैट्रिक्स के निर्धारक से n-th कॉलम को मुक्त शब्दों के कॉलम से बदलकर प्राप्त किया गया निर्धारक।

यह क्रैमर की विधि का संपूर्ण बिंदु है। उपरोक्त सूत्रों द्वारा प्राप्त मानों को प्रतिस्थापित करना एक्स वांछित प्रणाली में, हम अपने समाधान की शुद्धता (या इसके विपरीत) के प्रति आश्वस्त हैं। सार को जल्दी से समझने में आपकी मदद करने के लिए, हम क्रैमर विधि द्वारा SLAE के विस्तृत समाधान का एक उदाहरण नीचे देते हैं:

भले ही आप पहली बार सफल न हों, निराश न हों! थोड़े से अभ्यास से आप धीरे-धीरे मेवों की तरह चटकने लगेंगे। इसके अलावा, अब एक नोटबुक पर ताक-झांक करना, बोझिल गणनाओं को हल करना और रॉड पर लिखना बिल्कुल आवश्यक नहीं है। क्रैमर विधि द्वारा SLAE को ऑनलाइन हल करना आसान है, केवल गुणांकों को समाप्त रूप में प्रतिस्थापित करके। कोशिश करें ऑनलाइन कैलकुलेटरक्रैमर विधि द्वारा समाधान, उदाहरण के लिए, इस साइट पर हो सकते हैं।

और अगर सिस्टम जिद्दी निकला और हार नहीं मानी, तो आप हमेशा हमारे लेखकों से मदद मांग सकते हैं, उदाहरण के लिए। यदि सिस्टम में कम से कम 100 अज्ञात हैं, तो हम निश्चित रूप से इसे सही ढंग से और समय पर हल करेंगे!

पहले भाग में, हमने कुछ सैद्धांतिक सामग्री, प्रतिस्थापन विधि, साथ ही प्रणाली समीकरणों के टर्म-बाय-टर्म जोड़ की विधि पर विचार किया। इस पृष्ठ के माध्यम से साइट पर आने वाले सभी लोगों के लिए, मेरा सुझाव है कि आप पहला भाग पढ़ें। शायद, कुछ आगंतुकों को सामग्री बहुत सरल लगेगी, लेकिन रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के दौरान, मैंने समाधान के संबंध में कई महत्वपूर्ण टिप्पणियां और निष्कर्ष निकाले गणित की समस्याओंआम तौर पर।

और अब हम क्रैमर के नियम का विश्लेषण करेंगे, साथ ही साथ रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली का उपयोग करेंगे उलटा मैट्रिक्स(मैट्रिक्स विधि)। सभी सामग्रियों को सरल, विस्तृत और स्पष्ट रूप से प्रस्तुत किया गया है, लगभग सभी पाठक उपरोक्त विधियों का उपयोग करके सिस्टम को हल करने का तरीका सीखने में सक्षम होंगे।

हम पहले दो अज्ञात में दो रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली के लिए क्रैमर के नियम पर विस्तार से विचार करते हैं। किसलिए? - आख़िरकार सबसे सरल प्रणालीस्कूल पद्धति द्वारा, शब्द जोड़ कर हल किया जा सकता है!

तथ्य यह है कि भले ही कभी-कभी, लेकिन ऐसा कार्य है - क्रैमर के सूत्रों का उपयोग करके दो अज्ञात के साथ दो रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करना। दूसरे, एक सरल उदाहरण आपको यह समझने में मदद करेगा कि अधिक जटिल मामले के लिए क्रैमर के नियम का उपयोग कैसे करें - तीन अज्ञात के साथ तीन समीकरणों की एक प्रणाली।

इसके अलावा, दो चर वाले रैखिक समीकरणों की प्रणालियाँ हैं, जिन्हें क्रैमर के नियम के अनुसार हल करने की सलाह दी जाती है!

समीकरणों की प्रणाली पर विचार करें

पहले चरण में, हम निर्धारक की गणना करते हैं, इसे कहा जाता है प्रणाली का मुख्य निर्धारक.

गॉस विधि।

यदि , तो सिस्टम का एक अनूठा समाधान है, और जड़ों को खोजने के लिए, हमें दो और निर्धारकों की गणना करनी होगी:
और

व्यवहार में, उपरोक्त निर्धारकों को भी निरूपित किया जा सकता है लैटिन पत्र.

समीकरण की जड़ें सूत्र द्वारा पाई जाती हैं:
,

उदाहरण 7

रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें

समाधान: हम देखते हैं कि समीकरण के गुणांक काफी बड़े हैं, दाईं ओर हैं दशमलवअल्पविराम के साथ। गणित में व्यावहारिक कार्यों में अल्पविराम एक दुर्लभ अतिथि है, मैंने इस प्रणाली को एक अर्थमितीय समस्या से लिया।

ऐसी प्रणाली को कैसे हल करें? आप एक चर को दूसरे चर के संदर्भ में व्यक्त करने का प्रयास कर सकते हैं, लेकिन इस मामले में आपको निश्चित रूप से भयानक फैंसी अंश मिलेंगे, जो काम करने के लिए बेहद असुविधाजनक हैं, और समाधान का डिज़ाइन सिर्फ भयानक दिखाई देगा। आप दूसरे समीकरण को 6 से गुणा कर सकते हैं और पद को पद से घटा सकते हैं, लेकिन वही अंश यहां दिखाई देंगे।

क्या करें? ऐसे मामलों में, क्रैमर के सूत्र बचाव में आते हैं।

;

;

उत्तर: ,

दोनों जड़ों में अनंत पूंछ हैं और लगभग पाए जाते हैं, जो कि अर्थमिति समस्याओं के लिए काफी स्वीकार्य (और सामान्य भी) है।

यहां टिप्पणियों की आवश्यकता नहीं है, क्योंकि कार्य को तैयार किए गए फ़ार्मुलों के अनुसार हल किया जाता है, हालाँकि, एक चेतावनी है। जब उपयोग करें यह विधि, अनिवार्यअसाइनमेंट का टुकड़ा निम्नलिखित टुकड़ा है: "तो सिस्टम का एक अनूठा समाधान है". अन्यथा, समीक्षक आपको क्रैमर के प्रमेय का अनादर करने के लिए दंडित कर सकता है।

यह जाँचना अतिश्योक्तिपूर्ण नहीं होगा कि कैलकुलेटर पर क्या करना सुविधाजनक है: हम सिस्टम के प्रत्येक समीकरण के बाईं ओर अनुमानित मानों को प्रतिस्थापित करते हैं। परिणामस्वरूप, एक छोटी सी त्रुटि के साथ, संख्याएँ जो दाईं ओर हैं, प्राप्त की जानी चाहिए।

उदाहरण 8

अपना उत्तर साधारण रूप में व्यक्त कीजिए अनुचित अंश. एक जाँच करें।

के लिए यह एक उदाहरण है स्वतंत्र निर्णय(उदाहरण परिष्करणऔर पाठ के अंत में उत्तर दें)।

हम तीन अज्ञात के साथ तीन समीकरणों की एक प्रणाली के लिए क्रैमर के नियम पर विचार करते हैं:

हम सिस्टम का मुख्य निर्धारक पाते हैं:

यदि , तो सिस्टम के अपरिमित रूप से कई समाधान हैं या असंगत है (कोई समाधान नहीं है)। इस मामले में, क्रैमर का नियम मदद नहीं करेगा, आपको गॉस विधि का उपयोग करने की आवश्यकता है।

यदि , तो सिस्टम का एक अनूठा समाधान है, और जड़ों को खोजने के लिए, हमें तीन और निर्धारकों की गणना करनी चाहिए:
, ,

और अंत में, उत्तर की गणना सूत्रों द्वारा की जाती है:

जैसा कि आप देख सकते हैं, "तीन बटा तीन" मामला मूल रूप से "दो बटा दो" मामले से अलग नहीं है, मुख्य निर्धारक के स्तंभों के साथ बाएं से दाएं क्रमिक रूप से मुक्त शर्तों का स्तंभ "चलता है"।

उदाहरण 9

क्रैमर के सूत्रों का उपयोग करके सिस्टम को हल करें।

समाधान: क्रैमर के सूत्रों का उपयोग करके सिस्टम को हल करते हैं।

, इसलिए सिस्टम के पास एक अनूठा समाधान है।

उत्तर: .

दरअसल, यहां फिर से टिप्पणी करने के लिए कुछ खास नहीं है, इस तथ्य को देखते हुए कि निर्णय तैयार किए गए फॉर्मूले के अनुसार किया जाता है। लेकिन कुछ नोट हैं।

ऐसा होता है कि गणनाओं के परिणामस्वरूप, "खराब" अलघुकरणीय अंश प्राप्त होते हैं, उदाहरण के लिए: .
मैं निम्नलिखित "उपचार" एल्गोरिदम की अनुशंसा करता हूं। अगर हाथ में कोई कंप्यूटर नहीं है, तो हम यह करते हैं:

1) गणना में गलती हो सकती है। जैसे ही आप एक "खराब" शॉट का सामना करते हैं, आपको तुरंत जांच करनी चाहिए कि क्या क्या स्थिति सही ढंग से लिखी गई है. यदि स्थिति को त्रुटियों के बिना फिर से लिखा गया है, तो आपको दूसरी पंक्ति (स्तंभ) में विस्तार का उपयोग करके निर्धारकों को पुनर्गणना करने की आवश्यकता है।

2) यदि जाँच के परिणामस्वरूप कोई त्रुटि नहीं पाई गई, तो सबसे अधिक संभावना है कि असाइनमेंट की स्थिति में एक टाइपो बनाया गया था। इस मामले में, शांति से और सावधानीपूर्वक कार्य को अंत तक हल करें, और फिर जाँच करना सुनिश्चित करेंऔर निर्णय के बाद इसे एक स्वच्छ प्रतिलिपि पर तैयार करें। बेशक, एक भिन्नात्मक उत्तर की जाँच करना एक अप्रिय कार्य है, लेकिन यह शिक्षक के लिए एक निंदनीय तर्क होगा, जो वास्तव में किसी भी बुरी चीज़ के लिए ऋण देना पसंद करता है। उदाहरण 8 के उत्तर में भिन्नों से कैसे निपटें इसका विस्तृत विवरण दिया गया है।

यदि आपके पास एक कंप्यूटर है, तो इसे जांचने के लिए एक स्वचालित प्रोग्राम का उपयोग करें, जिसे पाठ की शुरुआत में मुफ्त में डाउनलोड किया जा सकता है। वैसे, कार्यक्रम का तुरंत उपयोग करना सबसे फायदेमंद है (समाधान शुरू करने से पहले भी), आप तुरंत उस मध्यवर्ती चरण को देखेंगे जिस पर आपने गलती की थी! वही कैलकुलेटर स्वचालित रूप से सिस्टम के समाधान की गणना करता है मैट्रिक्स विधि.

दूसरी टिप्पणी। समय-समय पर ऐसे सिस्टम होते हैं जिनके समीकरणों में कुछ चर गायब होते हैं, उदाहरण के लिए:

यहाँ पहले समीकरण में कोई चर नहीं है, दूसरे में कोई चर नहीं है। ऐसे मामलों में, मुख्य निर्धारक को सही ढंग से और सावधानी से लिखना बहुत महत्वपूर्ण है:
– लुप्त चरों के स्थान पर शून्य लगा दिए जाते हैं।
वैसे, निर्धारकों को उस पंक्ति (स्तंभ) में शून्य के साथ खोलना तर्कसंगत है जिसमें शून्य स्थित है, क्योंकि वहाँ काफ़ी कम गणनाएँ हैं।

उदाहरण 10

क्रैमर के सूत्रों का उपयोग करके सिस्टम को हल करें।

यह स्व-समाधान (पाठ के अंत में नमूना और उत्तर को पूरा करना) के लिए एक उदाहरण है।

4 अज्ञात के साथ 4 समीकरणों की प्रणाली के मामले में, क्रैमर के सूत्र समान सिद्धांतों के अनुसार लिखे गए हैं। आप निर्धारक गुण पाठ में एक जीवंत उदाहरण देख सकते हैं। निर्धारक के क्रम को कम करना - पाँच चौथे क्रम के निर्धारक काफी हल करने योग्य हैं। हालाँकि यह कार्य पहले से ही एक भाग्यशाली छात्र की छाती पर एक प्रोफेसर के जूते की याद दिलाता है।

व्युत्क्रम मैट्रिक्स का उपयोग करके सिस्टम का समाधान

उलटा मैट्रिक्स विधि अनिवार्य रूप से है विशेष मामला मैट्रिक्स समीकरण(निर्दिष्ट पाठ का उदाहरण संख्या 3 देखें)।

इस खंड का अध्ययन करने के लिए, आपको निर्धारकों का विस्तार करने, उलटा मैट्रिक्स खोजने और मैट्रिक्स गुणन करने में सक्षम होने की आवश्यकता है। स्पष्टीकरण की प्रगति के रूप में प्रासंगिक लिंक दिए जाएंगे।

उदाहरण 11

सिस्टम को मैट्रिक्स विधि से हल करें

समाधान: हम सिस्टम को मैट्रिक्स रूप में लिखते हैं:
, कहाँ

कृपया समीकरणों की प्रणाली और आव्यूहों को देखें। हम किस सिद्धांत से तत्वों को मेट्रिसेस में लिखते हैं, मुझे लगता है कि हर कोई समझता है। एकमात्र टिप्पणी: यदि समीकरणों में कुछ चर गायब थे, तो शून्य को मैट्रिक्स में संबंधित स्थानों पर रखना होगा।

हम सूत्र द्वारा उलटा मैट्रिक्स पाते हैं:
, जहां मैट्रिक्स के संबंधित तत्वों के बीजगणितीय पूरक का ट्रांसपोज़्ड मैट्रिक्स है।

सबसे पहले, आइए निर्धारक से निपटें:

यहाँ निर्धारक को पहली पंक्ति द्वारा विस्तारित किया जाता है।

ध्यान! यदि , तो व्युत्क्रम मैट्रिक्स मौजूद नहीं है, और मैट्रिक्स विधि द्वारा सिस्टम को हल करना असंभव है। इस मामले में, सिस्टम को अज्ञात (गॉस विधि) के उन्मूलन से हल किया जाता है।

अब आपको 9 नाबालिगों की गणना करने और उन्हें नाबालिगों के मैट्रिक्स में लिखने की जरूरत है

संदर्भ:रैखिक बीजगणित में डबल सबस्क्रिप्ट का अर्थ जानना उपयोगी है। पहला अंक वह पंक्ति संख्या है जिसमें तत्व स्थित है। दूसरा अंक उस कॉलम की संख्या है जिसमें तत्व स्थित है:

अर्थात्, एक डबल सबस्क्रिप्ट इंगित करता है कि तत्व पहली पंक्ति में है, तीसरा स्तंभ, जबकि, उदाहरण के लिए, तत्व तीसरी पंक्ति में है, दूसरा स्तंभ

क्रैमर की विधि रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने में निर्धारकों के उपयोग पर आधारित है। यह समाधान प्रक्रिया को बहुत तेज करता है।

क्रैमर की विधि का उपयोग कई रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने के लिए किया जा सकता है क्योंकि प्रत्येक समीकरण में अज्ञात हैं। यदि सिस्टम का निर्धारक शून्य के बराबर नहीं है, तो समाधान में क्रैमर की विधि का उपयोग किया जा सकता है; यदि यह शून्य के बराबर है, तो यह नहीं हो सकता। इसके अलावा, क्रैमर की विधि का उपयोग उन रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए किया जा सकता है जिनके पास एक अद्वितीय समाधान है।

परिभाषा. निर्धारक, अज्ञात के गुणांक से बना है, जिसे सिस्टम का निर्धारक कहा जाता है और इसे (डेल्टा) द्वारा निरूपित किया जाता है।

निर्धारकों

संगत अज्ञात पर गुणांकों को मुक्त शर्तों द्वारा प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जाता है:

;

.

क्रैमर की प्रमेय. यदि प्रणाली का निर्धारक गैर-शून्य है, तो रैखिक समीकरणों की प्रणाली का एक ही समाधान है, और अज्ञात निर्धारकों के अनुपात के बराबर है। भाजक प्रणाली का निर्धारक है, और अंश निर्धारक है जो प्रणाली के निर्धारक से गुणांक को मुक्त शर्तों द्वारा अज्ञात के साथ बदलकर प्राप्त किया जाता है। यह प्रमेय किसी भी क्रम के रैखिक समीकरणों की प्रणाली के लिए मान्य है।

उदाहरण 1रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

के अनुसार क्रैमर की प्रमेयअपने पास:

तो, सिस्टम का समाधान (2):

ऑनलाइन कैलकुलेटर, निर्णायक तरीकाक्रेमर।

रेखीय समीकरणों के सिस्टम को हल करने में तीन मामले

जैसा कि से प्रतीत होता है क्रैमर के प्रमेयरैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करते समय, तीन मामले हो सकते हैं:

पहला मामला: रैखिक समीकरणों की प्रणाली का एक अनूठा समाधान है

(प्रणाली सुसंगत और निश्चित है)

दूसरा मामला: रैखिक समीकरणों की प्रणाली में अनंत संख्या में समाधान हैं

(प्रणाली सुसंगत और अनिश्चित है)

** ,

वे। अज्ञात के गुणांक और मुक्त पद समानुपाती होते हैं।

तीसरा मामला: रैखिक समीकरणों की प्रणाली का कोई हल नहीं है

(सिस्टम असंगत)

तो सिस्टम एमके साथ रैखिक समीकरण एनचर कहलाते हैं असंगतअगर इसका कोई समाधान नहीं है, और संयुक्तअगर इसका कम से कम एक समाधान है। समीकरणों की एक संयुक्त प्रणाली जिसका केवल एक हल होता है, कहलाती है कुछ, और एक से अधिक ढुलमुल.

क्रैमर विधि द्वारा रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के उदाहरण

चलो प्रणाली

.

क्रैमर के प्रमेय के आधार पर

………….
,

कहाँ
-

सिस्टम पहचानकर्ता। शेष निर्धारक स्तंभ को संबंधित चर (अज्ञात) के गुणांक के साथ मुक्त सदस्यों के साथ बदलकर प्राप्त किया जाता है:

उदाहरण 2

.

इसलिए, प्रणाली निश्चित है। इसका समाधान खोजने के लिए, हम निर्धारकों की गणना करते हैं

क्रैमर के सूत्र से हम पाते हैं:

इसलिए, (1; 0; -1) सिस्टम का एकमात्र समाधान है।

समीकरण 3 X 3 और 4 X 4 के सिस्टम के समाधान की जांच करने के लिए, आप ऑनलाइन कैलकुलेटर, Cramer सॉल्विंग मेथड का उपयोग कर सकते हैं।

यदि एक या अधिक समीकरणों में रैखिक समीकरणों की प्रणाली में कोई चर नहीं हैं, तो निर्धारक में उनके अनुरूप तत्व शून्य के बराबर होते हैं! यह अगला उदाहरण है।

उदाहरण 3क्रैमर की विधि द्वारा रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

.

समाधान। हम सिस्टम के निर्धारक पाते हैं:

समीकरणों की प्रणाली और प्रणाली के निर्धारक को ध्यान से देखें और उस प्रश्न का उत्तर दोहराएं जिसमें निर्धारक के एक या अधिक तत्व शून्य के बराबर हैं। अतः सारणिक शून्य के बराबर नहीं है, इसलिए निकाय निश्चित है। इसका समाधान खोजने के लिए, हम अज्ञात के निर्धारकों की गणना करते हैं

क्रैमर के सूत्र से हम पाते हैं:

अतः निकाय का हल (2; -1; 1) है।

समीकरण 3 X 3 और 4 X 4 के सिस्टम के समाधान की जांच करने के लिए, आप ऑनलाइन कैलकुलेटर, Cramer सॉल्विंग मेथड का उपयोग कर सकते हैं।

पृष्ठ के सबसे ऊपर

हम एक साथ क्रैमर पद्धति का उपयोग करके सिस्टम को हल करना जारी रखते हैं

जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, यदि सिस्टम का निर्धारक शून्य के बराबर है, और अज्ञात के निर्धारक शून्य के बराबर नहीं हैं, तो सिस्टम असंगत है, अर्थात इसका कोई समाधान नहीं है। आइए निम्नलिखित उदाहरण के साथ स्पष्ट करें।

उदाहरण 6क्रैमर की विधि द्वारा रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

समाधान। हम सिस्टम के निर्धारक पाते हैं:

प्रणाली का निर्धारक शून्य के बराबर है, इसलिए, रैखिक समीकरणों की प्रणाली या तो असंगत और निश्चित है, या असंगत है, अर्थात इसका कोई समाधान नहीं है। स्पष्ट करने के लिए, हम अज्ञात के लिए निर्धारकों की गणना करते हैं

अज्ञात के निर्धारक शून्य के बराबर नहीं हैं, इसलिए, प्रणाली असंगत है, अर्थात इसका कोई समाधान नहीं है।

समीकरण 3 X 3 और 4 X 4 के सिस्टम के समाधान की जांच करने के लिए, आप ऑनलाइन कैलकुलेटर, Cramer सॉल्विंग मेथड का उपयोग कर सकते हैं।

रेखीय समीकरणों की प्रणालियों पर समस्याओं में, वे भी हैं, जहां चर को दर्शाने वाले अक्षरों के अलावा, अन्य अक्षर भी हैं। ये अक्षर किसी संख्या के लिए खड़े होते हैं, जो अक्सर एक वास्तविक संख्या होती है। व्यवहार में, ऐसे समीकरण और समीकरणों के सिस्टम खोज समस्याओं को जन्म देते हैं सामान्य गुणकोई घटना या वस्तु। यानी क्या आपने कोई आविष्कार किया नई सामग्रीया एक उपकरण, और इसके गुणों का वर्णन करने के लिए, जो आकार या प्रतियों की संख्या की परवाह किए बिना सामान्य हैं, रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करना आवश्यक है, जहां चर के लिए कुछ गुणांक के बजाय अक्षर हैं। आपको उदाहरणों के लिए दूर देखने की जरूरत नहीं है।

अगला उदाहरण इसी तरह की समस्या के लिए है, केवल कुछ वास्तविक संख्याओं को दर्शाने वाले समीकरणों, चरों और अक्षरों की संख्या बढ़ जाती है।

उदाहरण 8क्रैमर की विधि द्वारा रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

समाधान। हम सिस्टम के निर्धारक पाते हैं:

अज्ञात के लिए निर्धारक ढूँढना

मैट्रिक्स के मुख्य निर्धारक के साथ अज्ञात की संख्या के समान समीकरणों की संख्या के साथ, जो शून्य के बराबर नहीं है, सिस्टम के गुणांक (ऐसे समीकरणों के लिए एक समाधान है और यह केवल एक है)।

क्रैमर की प्रमेय।

जब एक वर्ग प्रणाली के मैट्रिक्स का निर्धारक गैर-शून्य होता है, तो प्रणाली संगत होती है और इसका एक समाधान होता है और इसे पाया जा सकता है क्रैमर के सूत्र:

जहां Δ - सिस्टम मैट्रिक्स निर्धारक,

Δ मैं- सिस्टम के मैट्रिक्स का निर्धारक, जिसमें इसके बजाय मैंवें स्तंभ सही भागों का स्तंभ है।

जब सिस्टम का निर्धारक शून्य होता है, तो सिस्टम सुसंगत या असंगत हो सकता है।

इस पद्धति का उपयोग आमतौर पर वॉल्यूम गणनाओं के साथ छोटी प्रणालियों के लिए किया जाता है और जब अज्ञात में से 1 को निर्धारित करना आवश्यक होता है। विधि की जटिलता यह है कि कई निर्धारकों की गणना करना आवश्यक है।

क्रैमर की विधि का विवरण।

समीकरणों की एक प्रणाली है:

क्रैमर की विधि से 3 समीकरणों की एक प्रणाली को हल किया जा सकता है, जिसकी चर्चा ऊपर 2 समीकरणों की प्रणाली के लिए की गई थी।

हम अज्ञात के गुणांक से निर्धारक बनाते हैं:

यह सिस्टम क्वालीफायर. कब डी≠0, इसलिए सिस्टम सुसंगत है। अब हम 3 अतिरिक्त निर्धारकों की रचना करेंगे:

,,

हम सिस्टम को हल करते हैं क्रैमर के सूत्र:

क्रैमर की विधि द्वारा समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के उदाहरण।

उदाहरण 1.

दी गई प्रणाली:

इसे क्रैमर विधि से हल करते हैं।

पहले आपको सिस्टम के मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना करने की आवश्यकता है:

क्योंकि Δ≠0, इसलिए, क्रैमर के प्रमेय से, सिस्टम संगत है और इसका एक समाधान है। हम अतिरिक्त निर्धारकों की गणना करते हैं। निर्धारक Δ 1 को निर्धारक Δ से इसके पहले स्तंभ को मुक्त गुणांक वाले स्तंभ से प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जाता है। हम पाते हैं:

इसी तरह, हम सिस्टम के मैट्रिक्स के निर्धारक से निर्धारक Δ 2 प्राप्त करते हैं, दूसरे कॉलम को मुक्त गुणांक के कॉलम के साथ बदलते हैं: