जड़ों के साथ समीकरण को ऑनलाइन हल करें। समीकरणों की प्रणाली को कैसे हल किया जाता है? समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के तरीके
मैं कुल्हाड़ी 2 \u003d 0 – अधूरा द्विघात समीकरण (बी = 0, सी = 0 ) हल: एक्स = 0। उत्तर : 0.
समीकरण हल करें।
2x·(x+3)=6x-x 2 ।
समाधान।गुणा करके कोष्ठक का विस्तार करें 2xकोष्ठक में प्रत्येक पद के लिए:
2x2 +6x=6x-x2 ; शर्तों को दाईं ओर से बाईं ओर ले जाना:
2x2 +6x-6x+x2=0; यहाँ समान शब्द हैं:
3x 2 = 0, इसलिए x = 0।
उत्तर: 0.
द्वितीय. ax2+bx=0 –अधूरा द्विघात समीकरण (एस = 0 ) हल: x (ax+b)=0 → x 1 =0 या ax+b=0 → x 2 =-b/a। उत्तर: 0; -बी ० ए।
5x2 -26x=0.
समाधान।सामान्य कारक निकालें एक्सकोष्ठक के लिए:
एक्स(5x-26)=0; प्रत्येक कारक शून्य हो सकता है:
एक्स = 0या 5x-26=0→ 5x=26, समानता के दोनों पक्षों को विभाजित करें 5 और हमें मिलता है: x \u003d 5.2।
उत्तर: 0; 5,2.
उदाहरण 3 64x+4x2=0.
समाधान।सामान्य कारक निकालें 4 एक्सकोष्ठक के लिए:
4x(16+x)=0. हमारे पास तीन गुणनखंड हैं, 4≠0, इसलिए, या एक्स = 0या 16+x= 0। अंतिम समानता से हमें x=-16 प्राप्त होता है।
उत्तर: -16; 0.
उदाहरण 4(x-3) 2 +5x=9.
समाधान।दो व्यंजकों के अंतर के वर्ग के लिए सूत्र लागू करते हुए, कोष्ठक खोलें:
x 2 -6x+9+5x=9; रूप में बदलना: x 2 -6x+9+5x-9=0; यहाँ समान शब्द हैं:
x2-x=0; सहना एक्सकोष्ठक के बाहर, हमें मिलता है: x (x-1)=0. यहाँ से या एक्स = 0या एक्स-1 = 0→ एक्स = 1।
उत्तर: 0; 1.
III. ax2+c=0 –अधूरा द्विघात समीकरण (बी = 0 ); समाधान: कुल्हाड़ी 2 \u003d -c → x 2 \u003d -c / a।
यदि एक (-सीए)<0 , तो कोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं। यदि एक (-एस/ए)>0
उदाहरण 5एक्स 2 -49 = 0।
समाधान।
x 2 \u003d 49, यहाँ से एक्स = ± 7। उत्तर:-7; 7.
उदाहरण 6 9x2-4 = 0।
समाधान।
अक्सर आपको वर्गों का योग (x 1 2 +x 2 2) या घनों का योग (x 1 3 +x 2 3) मूल ज्ञात करना होता है। द्विघात समीकरण, कम बार - जड़ों के वर्गों के व्युत्क्रम का योग या द्विघात समीकरण की जड़ों से अंकगणितीय वर्गमूल का योग:
Vieta का प्रमेय इसमें मदद कर सकता है:
x 2 +px+q=0
एक्स 1 + एक्स 2 \u003d-पी; एक्स 1 एक्स 2 \u003d क्यू।
अभिव्यक्त करना के माध्यम से पीतथा क्यू:
1) समीकरण की जड़ों के वर्गों का योग x2+px+q=0;
2) समीकरण की जड़ों के घनों का योग x2+px+q=0.
समाधान।
1) अभिव्यक्ति एक्स 1 2 + एक्स 2 2समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर प्राप्त होता है एक्स 1 + एक्स 2 \u003d-पी;
(x 1 +x 2) 2 \u003d (-पी) 2; कोष्ठक खोलें: x 1 2 +2x 1 x 2 + x 2 2 =p 2; हम वांछित राशि व्यक्त करते हैं: x 1 2 +x 2 2 \u003d p 2 -2x 1 x 2 \u003d p 2 -2q। हमारे पास एक उपयोगी समीकरण है: एक्स 1 2 +x 2 2 \u003d पी 2 -2q।
2) अभिव्यक्ति एक्स 1 3 + एक्स 2 3घनों के योग के सूत्र द्वारा निरूपित करें:
(x 1 3 +x 2 3)=(x 1 +x 2)(x 1 2 -x 1 x 2 +x 2 2)=-p (p 2 -2q-q)=-p (p 2 -3q )
एक और उपयोगी समीकरण: एक्स 1 3 + एक्स 2 3 \u003d-पी (पी 2 -3q)।
उदाहरण।
3) x 2 -3x-4=0.समीकरण को हल किए बिना, व्यंजक के मान की गणना करें एक्स 1 2 + एक्स 2 2.
समाधान।
एक्स 1 + एक्स 2 \u003d-पी \u003d 3,और काम एक्स 1 x 2 \u003d क्यू \u003dउदाहरण 1 . में) समानता:
एक्स 1 2 +x 2 2 \u003d पी 2 -2q।हमारे पास है -पी=x 1 +x 2 = 3 → पी 2 =3 2 =9; क्यू =एक्स 1 एक्स 2 = -4. फिर x 1 2 + x 2 2 =9-2 (-4)=9+8=17.
उत्तर: x 1 2 + x 2 2 =17.
4) x 2 -2x-4=0.गणना करें: x 1 3 +x 2 3।
समाधान।
विएटा के प्रमेय द्वारा, इस कम किए गए द्विघात समीकरण की जड़ों का योग एक्स 1 + एक्स 2 \u003d-पी \u003d 2,और काम एक्स 1 x 2 \u003d क्यू \u003d-चार। हमें जो मिला है उसे लागू करें ( उदाहरण 2 . में) समानता: x 1 3 +x 2 3 \u003d-पी (पी 2 -3q) \u003d 2 (2 2 -3 (-4))=2 (4+12)=2 16=32.
उत्तर: एक्स 1 3 + एक्स 2 3 = 32।
प्रश्न: क्या होगा यदि हमें एक गैर-घटित द्विघात समीकरण दिया जाए? उत्तर: इसे पहले गुणांक द्वारा पद से पद को विभाजित करके हमेशा "कम" किया जा सकता है।
5) 2x2 -5x-7=0.हल किए बिना, गणना करें: एक्स 1 2 + एक्स 2 2.
समाधान।हमें एक पूर्ण द्विघात समीकरण दिया गया है। समीकरण के दोनों पक्षों को 2 (पहला गुणांक) से विभाजित करें और निम्नलिखित द्विघात समीकरण प्राप्त करें: x 2 -2.5x-3.5 \u003d 0.
विएटा के प्रमेय के अनुसार, जड़ों का योग है 2,5 ; जड़ों का उत्पाद है -3,5 .
हम एक उदाहरण के रूप में उसी तरह हल करते हैं 3) समानता का उपयोग करना: एक्स 1 2 +x 2 2 \u003d पी 2 -2q।
x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q= 2,5 2 -2∙(-3,5)=6,25+7=13,25.
उत्तर: x 1 2 + x 2 2 = 13,25.
6) x2 -5x-2=0.पाना:
आइए हम इस समानता को रूपांतरित करें और, वियत प्रमेय के संदर्भ में जड़ों के योग को प्रतिस्थापित करके, -पी, और जड़ों के उत्पाद के माध्यम से क्यू, हमें एक और उपयोगी सूत्र मिलता है। सूत्र प्राप्त करते समय, हमने समानता का उपयोग किया 1): एक्स 1 2 +x 2 2 \u003d पी 2 -2q।
हमारे उदाहरण में एक्स 1 + एक्स 2 \u003d -पी \u003d 5; एक्स 1 x 2 \u003d क्यू \u003d-2. इन मानों को परिणामी सूत्र में बदलें:
7) x 2 -13x+36=0.पाना:
आइए इस योग को रूपांतरित करें और एक सूत्र प्राप्त करें जिसके द्वारा द्विघात समीकरण के मूलों से अंकगणितीय वर्गमूलों का योग ज्ञात करना संभव होगा।
हमारे पास है एक्स 1 + एक्स 2 \u003d -पी \u003d 13; एक्स 1 x 2 \u003d क्यू \u003d 36. इन मानों को व्युत्पन्न सूत्र में रखें:
सलाह : हमेशा एक द्विघात समीकरण के मूल को उपयुक्त तरीके से खोजने की संभावना की जाँच करें, क्योंकि 4 की समीक्षा की उपयोगी सूत्र आपको कार्य को शीघ्रता से पूरा करने की अनुमति देता है, सबसे पहले, उन मामलों में जहां विवेचक एक "असुविधाजनक" संख्या है। सभी साधारण मामलों में, जड़ों को खोजें और उन पर कार्य करें। उदाहरण के लिए, पिछले उदाहरण में, हम वियत प्रमेय का उपयोग करके जड़ों का चयन करते हैं: जड़ों का योग बराबर होना चाहिए 13 , और जड़ों का उत्पाद 36 . ये संख्याएँ क्या हैं? बेशक, 4 और 9.अब इन संख्याओं के वर्गमूलों का योग ज्ञात कीजिए: 2+3=5. इतना ही!
I. वियत का प्रमेयकम द्विघात समीकरण के लिए।
घटे हुए द्विघात समीकरण के मूलों का योग x 2 +px+q=0दूसरे गुणांक के बराबर है, जिसे विपरीत चिह्न के साथ लिया गया है, और जड़ों का गुणनफल मुक्त पद के बराबर है:
एक्स 1 + एक्स 2 \u003d-पी; एक्स 1 एक्स 2 \u003d क्यू।
विएटा के प्रमेय का उपयोग करके दिए गए द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए।
उदाहरण 1) x 2 -x-30=0.यह घटा हुआ द्विघात समीकरण है ( x 2 +px+q=0), दूसरा गुणांक पी=-1, और मुक्त अवधि क्यू = -30।सबसे पहले, सुनिश्चित करें कि दिए गए समीकरण में जड़ें हैं, और जड़ों (यदि कोई हो) को पूर्णांक के रूप में व्यक्त किया जाएगा। इसके लिए, यह पर्याप्त है कि विवेचक एक पूर्णांक का पूर्ण वर्ग हो।
विभेदक का पता लगाना डी=बी 2 - 4ac=(-1) 2 -4∙1∙(-30)=1+120=121= 11 2 .
अब, विएटा प्रमेय के अनुसार, जड़ों का योग दूसरे गुणांक के बराबर होना चाहिए, जिसे विपरीत चिह्न के साथ लिया जाता है, अर्थात। ( -पी), और उत्पाद मुक्त अवधि के बराबर है, अर्थात। ( क्यू) फिर:
एक्स 1 + एक्स 2 = 1; एक्स 1 एक्स 2 \u003d -30।हमें ऐसी दो संख्याओं को चुनने की आवश्यकता है ताकि उनका गुणनफल के बराबर हो -30 , और योग है इकाई. ये हैं नंबर -5 तथा 6 . उत्तर: -5; 6.
उदाहरण 2) x 2 +6x+8=0.हमारे पास दूसरे गुणांक के साथ कम द्विघात समीकरण है पी=6और मुक्त सदस्य क्यू = 8. सुनिश्चित करें कि पूर्णांक जड़ें हैं। आइए जानें विवेचक डी1 डी1=3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 . विवेचक D 1 संख्या का पूर्ण वर्ग है 1 , इसलिए इस समीकरण के मूल पूर्णांक हैं। हम वियत प्रमेय के अनुसार जड़ों का चयन करते हैं: जड़ों का योग बराबर होता है -पी=-6, और जड़ों का उत्पाद है क्यू = 8. ये हैं नंबर -4 तथा -2 .
असल में: -4-2=-6=-पी; -4∙(-2)=8=q. उत्तर - 4; -2।
उदाहरण 3) x 2 +2x-4=0. इस घटे हुए द्विघात समीकरण में, दूसरा गुणांक पी=2, और मुक्त अवधि क्यू = -4. आइए जानें विवेचक डी1, क्योंकि दूसरा गुणांक एक सम संख्या है। डी1=1 2 -1∙(-4)=1+4=5. विवेचक किसी संख्या का पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए हम करते हैं निष्कर्ष: इस समीकरण के मूल पूर्णांक नहीं हैं और इन्हें विएटा के प्रमेय का उपयोग करके नहीं पाया जा सकता है।इसलिए, हम इस समीकरण को हमेशा की तरह, सूत्रों के अनुसार (इस मामले में, सूत्रों के अनुसार) हल करते हैं। हम पाते हैं:
उदाहरण 4)।इसके मूलों का प्रयोग करते हुए एक द्विघात समीकरण लिखिए यदि x 1 \u003d -7, x 2 \u003d 4.
समाधान।वांछित समीकरण फॉर्म में लिखा जाएगा: x 2 +px+q=0, इसके अलावा, Vieta प्रमेय पर आधारित है -p=x1 +x2=-7+4=-3 →पी=3; क्यू = एक्स 1 x 2=-7∙4=-28 . तब समीकरण रूप लेगा: x2 +3x-28=0.
उदाहरण 5)।इसके मूलों का प्रयोग करते हुए एक द्विघात समीकरण लिखिए यदि :
द्वितीय. विएटा का प्रमेयपूर्ण द्विघात समीकरण के लिए ax2+bx+c=0.
जड़ों का योग शून्य है बीद्वारा विभाजित एक, जड़ों का उत्पाद है साथद्वारा विभाजित एक:
एक्स 1 + एक्स 2 \u003d -बी / ए; एक्स 1 एक्स 2 \u003d सी / ए।
उदाहरण 6)।द्विघात समीकरण के मूलों का योग ज्ञात कीजिए 2x2 -7x-11=0.
समाधान।
हमें विश्वास है कि इस समीकरण की जड़ें होंगी। ऐसा करने के लिए, विवेचक के लिए एक व्यंजक लिखना पर्याप्त है, और इसकी गणना किए बिना, बस यह सुनिश्चित करें कि विवेचक शून्य से बड़ा है। डी=7 2 -4∙2∙(-11)>0 . और अब उपयोग करते हैं प्रमेय वियतनामपूर्ण द्विघात समीकरणों के लिए।
एक्स 1 + एक्स 2 =-बी:ए=- (-7):2=3,5.
उदाहरण 7). द्विघात समीकरण के मूलों का गुणनफल ज्ञात कीजिए 3x2 +8x-21=0.
समाधान।
आइए जानें विवेचक डी1, दूसरे गुणांक के बाद से ( 8 ) एक सम संख्या है। डी1=4 2 -3∙(-21)=16+63=79>0 . द्विघात समीकरण है 2 जड़, वियत प्रमेय के अनुसार, जड़ों का उत्पाद एक्स 1 एक्स 2 \u003d सी: ए=-21:3=-7.
I. कुल्हाड़ी 2 +बीएक्स+सी=0एक सामान्य द्विघात समीकरण है
विभेदक डी = बी 2 - 4 एसी।
यदि एक डी>0, तो हमारे पास दो वास्तविक मूल हैं:
यदि एक डी = 0, तो हमारे पास एक ही मूल (या दो बराबर जड़ें) हैं एक्स=-बी/(2ए).
अगर डी<0, то действительных корней нет.
उदाहरण 1) 2x2 +5x-3=0.
समाधान। एक=2; बी=5; सी=-3.
डी = बी 2-4ac=5 2 -4∙2∙(-3)=25+24=49=7 2 >0; 2 असली जड़ें।
4x2 +21x+5=0.
समाधान। एक=4; बी=21; सी=5.
डी = बी 2-4ac=21 2 - 4∙4∙5=441-80=361=19 2 >0; 2 असली जड़ें।
द्वितीय. ax2+bx+c=0 – विशेष द्विघात समीकरण एक सेकंड के लिए भी
गुणक बी
उदाहरण 3) 3x2 -10x+3=0.
समाधान। एक=3; बी\u003d -10 (सम संख्या); सी=3.
उदाहरण 4) 5x2-14x-3=0.
समाधान। एक=5; बी= -14 (सम संख्या); सी=-3.
उदाहरण 5) 71x2 +144x+4=0.
समाधान। एक=71; बी= 144 (सम संख्या); सी=4.
उदाहरण 6) 9x 2 -30x+25=0.
समाधान। एक=9; बी\u003d -30 (सम संख्या); सी=25.
III. ax2+bx+c=0 – द्विघात समीकरण निजी प्रकार, प्रदान किया गया: ए-बी+सी=0.
पहली जड़ हमेशा माइनस वन होती है, और दूसरी रूट माइनस होती है साथद्वारा विभाजित एक:
एक्स 1 \u003d -1, एक्स 2 \u003d - सी / ए।
उदाहरण 7) 2x2+9x+7=0.
समाधान। एक=2; बी=9; सी=7. आइए समानता की जाँच करें: ए-बी+सी=0.हम पाते हैं: 2-9+7=0 .
फिर x 1 \u003d -1, x 2 \u003d -c / a \u003d -7 / 2 \u003d -3.5।उत्तर: -1; -3,5.
चतुर्थ। ax2+bx+c=0 – शर्त के तहत एक विशेष रूप का द्विघात समीकरण : ए+बी+सी=0.
पहली जड़ हमेशा एक के बराबर होती है, और दूसरी जड़ के बराबर होती है साथद्वारा विभाजित एक:
एक्स 1 \u003d 1, एक्स 2 \u003d सी / ए.
उदाहरण 8) 2x2 -9x+7=0.
समाधान। एक=2; बी=-9; सी=7. आइए समानता की जाँच करें: ए+बी+सी=0.हम पाते हैं: 2-9+7=0 .
फिर x 1 \u003d 1, x 2 \u003d c / a \u003d 7/2 \u003d 3.5।उत्तर: 1; 3,5.
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समीकरणों का उपयोग हमारे जीवन में व्यापक है। उनका उपयोग कई गणनाओं, संरचनाओं के निर्माण और यहां तक कि खेलकूद में भी किया जाता है। मनुष्य द्वारा प्राचीन काल से ही समीकरणों का उपयोग किया जाता रहा है और तब से उनका उपयोग केवल बढ़ा है। घातांक या घातांकीय समीकरण ऐसे समीकरण कहलाते हैं जिनमें चर घात में हों और आधार एक संख्या हो। उदाहरण के लिए:
घातांकीय समीकरण का हल घटकर 2 हो जाता है सरल क्रिया:
1. यह जाँचना आवश्यक है कि क्या दायीं और बायीं ओर के समीकरण के आधार समान हैं। यदि आधार समान नहीं हैं, तो हम इस उदाहरण को हल करने के लिए विकल्पों की तलाश कर रहे हैं।
2. आधार समान हो जाने के बाद, हम अंशों की बराबरी करते हैं और परिणामी नए समीकरण को हल करते हैं।
आइए बताते हैं दी गई घातीय समीकरणनिम्नलिखित रूप:
आधार के विश्लेषण के साथ इस समीकरण का समाधान शुरू करना उचित है। आधार अलग-अलग हैं - 2 और 4, और समाधान के लिए हमें उनका समान होना चाहिए, इसलिए हम निम्नलिखित सूत्र के अनुसार 4 को रूपांतरित करते हैं - \ [ (a ^ n) ^ m = a ^ (nm): \]
मूल समीकरण में जोड़ें:
आइए कोष्ठक निकालते हैं \
अभिव्यक्त करना \
चूंकि डिग्रियां समान हैं, इसलिए हम उन्हें त्याग देते हैं:
उत्तर: \
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7वीं कक्षा के गणित पाठ्यक्रम में, वे सबसे पहले मिलते हैं दो चर के साथ समीकरण, लेकिन उनका अध्ययन केवल दो अज्ञात के साथ समीकरणों की प्रणालियों के संदर्भ में किया जाता है। यही कारण है कि कई समस्याएं दृष्टि से बाहर हो जाती हैं, जिसमें कुछ शर्तों को समीकरण के गुणांक पर पेश किया जाता है जो उन्हें सीमित करते हैं। इसके अलावा, "प्राकृतिक या पूर्णांक संख्याओं में एक समीकरण को हल करें" जैसी समस्याओं को हल करने के तरीकों को भी नजरअंदाज कर दिया जाता है, हालांकि इस तरह की समस्याएं अधिक से अधिक बार एकीकृत राज्य परीक्षा की सामग्री और प्रवेश परीक्षाओं में सामने आती हैं।
किस समीकरण को दो चरों वाला समीकरण कहा जाएगा?
इसलिए, उदाहरण के लिए, समीकरण 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20, या xy = 12 दो-चर वाले समीकरण हैं।
समीकरण 2x - y = 1 पर विचार करें। यह x = 2 और y = 3 पर एक वास्तविक समानता में बदल जाता है, इसलिए चर मानों की यह जोड़ी विचाराधीन समीकरण का समाधान है।
इस प्रकार, दो चरों वाले किसी भी समीकरण का हल क्रमित युग्मों (x; y) का समुच्चय है, चरों के मान जो इस समीकरण को एक वास्तविक संख्यात्मक समानता में बदल देते हैं।
दो अज्ञात के साथ एक समीकरण कर सकते हैं:
एक) एक समाधान हो।उदाहरण के लिए, समीकरण x 2 + 5y 2 = 0 का एक अद्वितीय हल (0; 0) है;
बी) कई समाधान हैं।उदाहरण के लिए, (5 -|x|) 2 + (|y| - 2) 2 = 0 के 4 हल हैं: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);
में) कोई समाधान नहीं है।उदाहरण के लिए, समीकरण x 2 + y 2 + 1 = 0 का कोई हल नहीं है;
जी) असीम रूप से कई समाधान हैं।उदाहरण के लिए, x + y = 3. इस समीकरण के हल वे संख्याएँ होंगी जिनका योग 3 है। इस समीकरण के हलों के समुच्चय को (k; 3 - k) के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ k कोई वास्तविक संख्या है।
दो चरों वाले समीकरणों को हल करने की मुख्य विधियाँ हैं, जो भावों के कारकों में अपघटन पर आधारित हैं, एक पूर्ण वर्ग का चयन, द्विघात समीकरण के गुणों का उपयोग, अभिव्यक्तियों की सीमा और मूल्यांकन के तरीके। समीकरण, एक नियम के रूप में, एक ऐसे रूप में बदल जाता है जिससे अज्ञात खोजने के लिए एक प्रणाली प्राप्त की जा सकती है।
गुणन
उदाहरण 1
समीकरण हल करें: xy - 2 = 2x - y।
समाधान।
हम फैक्टरिंग के उद्देश्य से शर्तों को समूहबद्ध करते हैं:
(xy + y) - (2x + 2) = 0. प्रत्येक कोष्ठक से उभयनिष्ठ गुणनखंड निकालें:
वाई (एक्स + 1) - 2 (एक्स + 1) = 0;
(x + 1)(y - 2) = 0. हमारे पास है:
y = 2, x कोई वास्तविक संख्या है या x = -1, y कोई वास्तविक संख्या है।
इस तरह, उत्तर फॉर्म के सभी जोड़े हैं (x; 2), x € R और (-1; y), y € R।
गैर-ऋणात्मक संख्याओं के शून्य की समानता
उदाहरण 2
समीकरण हल करें: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12 (x + y)।
समाधान।
समूहीकरण:
(9x 2 - 12x + 4) + (4y 2 - 12y + 9) = 0. अब वर्ग अंतर सूत्र का उपयोग करके प्रत्येक कोष्ठक को संक्षिप्त किया जा सकता है।
(3x - 2) 2 + (2y - 3) 2 = 0।
दो गैर-ऋणात्मक व्यंजकों का योग केवल तभी शून्य होता है जब 3x - 2 = 0 और 2y - 3 = 0 हो।
तो x = 2/3 और y = 3/2।
उत्तर: (2/3; 3/2)।
मूल्यांकन पद्धति
उदाहरण 3
समीकरण को हल करें: (x 2 + 2x + 2) (y 2 - 4y + 6) = 2।
समाधान।
प्रत्येक कोष्ठक में, पूर्ण वर्ग का चयन करें:
((x + 1) 2 + 1)((y - 2) 2 + 2) = 2. अनुमान 
कोष्ठक में भावों का अर्थ।
(x + 1) 2 + 1 1 और (y - 2) 2 + 2 2, तो समीकरण का बायां पक्ष हमेशा कम से कम 2 होता है। समानता संभव है यदि:
(x + 1) 2 + 1 = 1 और (y - 2) 2 + 2 = 2, इसलिए x = -1, y = 2।
उत्तर: (-1; 2)।
आइए दूसरी डिग्री के दो चर वाले समीकरणों को हल करने के लिए एक और विधि से परिचित हों। यह विधि यह है कि समीकरण को के रूप में माना जाता है कुछ चर के संबंध में वर्ग.
उदाहरण 4
समीकरण को हल करें: x 2 - 6x + y - 4√y + 13 = 0।
समाधान।
आइए x के संबंध में समीकरण को द्विघात के रूप में हल करें। आइए विभेदक का पता लगाएं:
डी = 36 - 4(y - 4√y + 13) = -4y + 16√y - 16 = -4(√y - 2) 2। समीकरण का हल तभी होगा जब D = 0, अर्थात, यदि y = 4 हो। हम y के मान को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं और पाते हैं कि x = 3।
उत्तर: (3; 4)।
अक्सर दो अज्ञात वाले समीकरणों में संकेत मिलता है चर पर प्रतिबंध.
उदाहरण 5
समीकरण को पूर्णांकों में हल करें: x 2 + 5y 2 = 20x + 2।
समाधान।
आइए समीकरण को x 2 = -5y 2 + 20x + 2 के रूप में फिर से लिखें। दायां भागपरिणामी समीकरण, जब 5 से विभाजित होता है, तो शेष 2 देता है। इसलिए, x 2 5 से विभाज्य नहीं है। लेकिन एक संख्या का वर्ग जो 5 से विभाज्य नहीं है, शेष 1 या 4 देता है। इस प्रकार, समानता असंभव है। और कोई समाधान नहीं हैं।
उत्तर: कोई जड़ नहीं।
उदाहरण 6
समीकरण को हल करें: (x 2 - 4|x| + 5) (y 2 + 6y + 12) = 3.
समाधान।
आइए प्रत्येक ब्रैकेट में पूर्ण वर्ग चुनें:
((|x| - 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. समीकरण का बायां पक्ष हमेशा 3 से बड़ा या बराबर होता है। यदि |x| - 2 = 0 और y + 3 = 0। इस प्रकार, x = ± 2, y = -3।
उत्तर: (2; -3) और (-2; -3)।
उदाहरण 7
समीकरण को संतुष्ट करने वाले ऋणात्मक पूर्णांकों (x; y) के प्रत्येक युग्म के लिए
x 2 - 2xy + 2y 2 + 4y = 33, योग (x + y) की गणना करें। सबसे छोटी राशि का उत्तर दें।
समाधान।
पूर्ण वर्ग चुनें:
(x 2 - 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;
(x - y) 2 + (y + 2) 2 = 37. चूँकि x और y पूर्णांक हैं, उनके वर्ग भी पूर्णांक हैं। दो पूर्णांकों के वर्गों का योग, 37 के बराबर, 1 + 36 जोड़ने पर हमें प्राप्त होता है। इसलिए:
(एक्स - वाई) 2 = 36 और (वाई + 2) 2 = 1 
(एक्स - वाई) 2 = 1 और (वाई + 2) 2 = 36।
इन प्रणालियों को हल करना और यह ध्यान में रखते हुए कि एक्स और वाई नकारात्मक हैं, हम समाधान ढूंढते हैं: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8)।
उत्तर:-17.
दो अज्ञात के साथ समीकरणों को हल करने में कठिनाई होने पर निराशा न करें। थोड़े से अभ्यास से आप किसी भी समीकरण में महारत हासिल कर लेंगे।
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