निर्धारक का उपयोग करके व्युत्क्रम मैट्रिक्स की गणना। व्युत्क्रम मैट्रिक्स ऑनलाइन ढूँढना

यह विषय छात्रों के बीच सबसे ज्यादा नफरत करने वाला है। इससे भी बदतर, शायद, केवल निर्धारक।

चाल यह है कि व्युत्क्रम तत्व की अवधारणा (और मैं अभी केवल मैट्रिक्स के बारे में बात नहीं कर रहा हूं) हमें गुणन के संचालन के लिए संदर्भित करता है। यहां तक ​​​​कि स्कूल के पाठ्यक्रम में, गुणा को एक जटिल ऑपरेशन माना जाता है, और मैट्रिक्स गुणन आम तौर पर एक अलग विषय होता है, जिसके लिए मेरे पास एक पूरा पैराग्राफ और एक वीडियो पाठ समर्पित होता है।

आज हम मैट्रिक्स गणनाओं के विवरण में नहीं जाएंगे। बस याद रखें: मैट्रिक्स को कैसे निरूपित किया जाता है, उन्हें कैसे गुणा किया जाता है और इससे क्या होता है।

समीक्षा करें: मैट्रिक्स गुणन

सबसे पहले, आइए अंकन पर सहमत हों। एक मैट्रिक्स $A$ आकार का $\left[m\times n \right]$ बिल्कुल $m$ पंक्तियों और $n$ कॉलम वाली संख्याओं की एक तालिका है:

\=\अंडरब्रेस(\बाएं[ \शुरू(मैट्रिक्स) ((ए)_(11)) और ((ए)_(12)) और ... और ((ए)_(1एन)) \\ (( a)_(21)) और ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((ए)_(एम1)) और ((ए)_(एम2)) और ... और ((ए)_(एमएन)) \\\end(मैट्रिक्स) \right])_(एन)\]

स्थानों में पंक्तियों और स्तंभों को गलती से भ्रमित न करने के लिए (मेरा विश्वास करो, परीक्षा में आप एक इकाई को एक ड्यूस के साथ भ्रमित कर सकते हैं - हम वहां कुछ पंक्तियों के बारे में क्या कह सकते हैं), बस चित्र पर एक नज़र डालें:

मैट्रिक्स कोशिकाओं के लिए अनुक्रमणिका का निर्धारण

क्या हो रहा है? यदि हम मानक समन्वय प्रणाली $OXY$ को ऊपरी बाएं कोने में रखते हैं और अक्षों को निर्देशित करते हैं ताकि वे पूरे मैट्रिक्स को कवर कर सकें, तो इस मैट्रिक्स के प्रत्येक सेल को निर्देशांक $\left(x;y \right) के साथ विशिष्ट रूप से जोड़ा जा सकता है। $ - यह पंक्ति संख्या और स्तंभ संख्या होगी।

निर्देशांक तंत्र ठीक ऊपरी बाएँ कोने में क्यों रखा गया है? हां, क्योंकि वहीं से हम किसी भी ग्रंथ को पढ़ना शुरू करते हैं। याद रखना बहुत आसान है।

क्यों $x$ अक्ष नीचे की ओर इशारा कर रहा है और दाईं ओर नहीं? फिर से, सब कुछ सरल है: मानक समन्वय प्रणाली लें ($x$ अक्ष दाईं ओर जाता है, $y$ अक्ष ऊपर जाता है) और इसे घुमाएं ताकि यह मैट्रिक्स को घेर ले। यह 90 डिग्री दक्षिणावर्त घुमाव है - हम इसका परिणाम चित्र में देखते हैं।

सामान्य तौर पर, हमने यह पता लगाया कि मैट्रिक्स तत्वों के सूचकांकों को कैसे निर्धारित किया जाए। अब चलो गुणा से निपटते हैं।

परिभाषा। मैट्रिक्स $A=\left[ m\times n \right]$ और $B=\left[ n\times k \right]$, जब पहले कॉलम की संख्या दूसरे में पंक्तियों की संख्या से मेल खाती है, हैं सुसंगत कहा जाता है।

यह उस क्रम में है। कोई अस्पष्ट हो सकता है और कह सकता है कि मैट्रिक्स $A$ और $B$ एक क्रमबद्ध जोड़ी बनाते हैं $\left(A;B \right)$: यदि वे इस क्रम में सुसंगत हैं, तो यह बिल्कुल भी आवश्यक नहीं है कि $B $ और $ ए $, वो। जोड़ी $\बाएं(बी;ए \दाएं)$ भी सुसंगत है।

केवल संगत मेट्रिसेस को गुणा किया जा सकता है।

परिभाषा। सुसंगत मैट्रिक्स का उत्पाद $A=\left[m\times n \right]$ और $B=\left[ n\times k \right]$ नया मैट्रिक्स है $C=\left[ m\times k \right ]$ , जिसके अवयव $((c)_(ij))$ की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

\[((c)_(ij))=\sum\limits_(k=1)^(n)(((a)_(ik)))\cdot ((b)_(kj))\]

दूसरे शब्दों में: मैट्रिक्स $C=A\cdot B$ के तत्व $((c)_(ij))$ प्राप्त करने के लिए, आपको पहले मैट्रिक्स की $i$-row लेने की आवश्यकता है, $j$ दूसरे मैट्रिक्स का -वां कॉलम, और फिर इस पंक्ति और कॉलम से जोड़े तत्वों में गुणा करें। परिणाम जोड़ें।

हाँ, यह एक कठोर परिभाषा है। इसके तुरंत बाद कई तथ्य सामने आते हैं:

1. मैट्रिक्स गुणन, आम तौर पर बोल रहा है, गैर-कम्यूटेटिव है: $A\cdot B\ne B\cdot A$;
2. हालांकि, गुणा सहयोगी है: $\बाएं(ए\cdot बी \दाएं)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)$;
3. और यहां तक ​​कि वितरण: $\बाएं(ए+बी \दाएं)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C$;
4. और फिर से वितरण: $A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$।

गुणन के वितरण को बाएँ और दाएँ गुणक-योग के लिए अलग-अलग वर्णित किया जाना था, क्योंकि गुणन संक्रिया की गैर-कम्यूटेटिविटी थी।

यदि, फिर भी, यह पता चलता है कि $A\cdot B=B\cdot A$, ऐसे मैट्रिक्स को क्रमपरिवर्तनीय कहा जाता है।

उन सभी आव्यूहों में, जिन्हें किसी चीज़ से गुणा किया जाता है, उनमें विशेष गुण होते हैं - वे जो, किसी भी आव्यूह $A$ से गुणा करने पर, फिर से $A$ देते हैं:

परिभाषा। एक मैट्रिक्स $E$ को पहचान कहा जाता है यदि $A\cdot E=A$ या $E\cdot A=A$। एक वर्ग मैट्रिक्स $A$ के मामले में हम लिख सकते हैं:

पहचान मैट्रिक्स हल करने में लगातार मेहमान है मैट्रिक्स समीकरण. और सामान्य तौर पर, मैट्रिसेस की दुनिया में लगातार मेहमान। :)

और इस $E$ की वजह से, किसी के पास वह सारा खेल आया जो आगे लिखा जाएगा।

उलटा मैट्रिक्स क्या है

चूंकि मैट्रिक्स गुणन एक बहुत समय लेने वाला ऑपरेशन है (आपको पंक्तियों और स्तंभों का एक गुच्छा गुणा करना होगा), व्युत्क्रम मैट्रिक्स की अवधारणा भी सबसे तुच्छ नहीं है। और इसे कुछ स्पष्टीकरण की आवश्यकता है।

मुख्य परिभाषा

खैर, सच्चाई जानने का समय आ गया है।

परिभाषा। मैट्रिक्स $B$ को मैट्रिक्स $A$ का व्युत्क्रम कहा जाता है यदि

उलटा मैट्रिक्स $((A)^(-1))$ द्वारा दर्शाया गया है (डिग्री के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए!), इसलिए परिभाषा को इस तरह फिर से लिखा जा सकता है:

ऐसा लगता है कि सब कुछ बेहद सरल और स्पष्ट है। लेकिन ऐसी परिभाषा का विश्लेषण करते समय, कई प्रश्न तुरंत उठते हैं:

1. क्या व्युत्क्रम मैट्रिक्स हमेशा मौजूद होता है? और यदि हमेशा नहीं, तो कैसे निर्धारित करें: यह कब मौजूद है और कब नहीं?
2. और किसने कहा कि ऐसा मैट्रिक्स बिल्कुल एक है? क्या होगा यदि कुछ मूल मैट्रिक्स $A$ के लिए व्युत्क्रमों की पूरी भीड़ हो?
3. ये सभी "रिवर्स" कैसा दिखते हैं? और आप वास्तव में उन्हें कैसे गिनते हैं?

गणना एल्गोरिदम के लिए - हम इस बारे में थोड़ी देर बाद बात करेंगे। लेकिन बाकी सवालों के जवाब हम अभी देंगे। आइए हम उन्हें अलग-अलग अभिकथन-लेम्मा के रूप में व्यवस्थित करें।

मूल गुण

आइए शुरू करते हैं कि $((A)^(-1))$ होने के लिए मैट्रिक्स $A$ कैसा दिखना चाहिए। अब हम यह सुनिश्चित करेंगे कि ये दोनों मैट्रिक्स वर्गाकार और समान आकार के हों: $\बाएं[ n\times n \right]$।

लेम्मा 1. एक मैट्रिक्स $A$ और इसके व्युत्क्रम $((A)^(-1))$ को देखते हुए। तब ये दोनों आव्यूह वर्गाकार हैं और इनका क्रम $n$ समान है।

सबूत। सब कुछ सरल है। मैट्रिक्स $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ a\times b \right]$ चलो। चूंकि उत्पाद $A\cdot ((A)^(-1))=E$ परिभाषा के अनुसार मौजूद है, मैट्रिक्स $A$ और $((A)^(-1))$ उस क्रम में संगत हैं:

\[\शुरू (संरेखित करें) और \बाएं[एम\बार एन \दाएं]\cdot \बाएं[ए\बार बी \दाएं]=\बाएं[एम\बार बी \दाएं] \\ और एन=ए \अंत( संरेखित करें)\]

यह मैट्रिक्स गुणन एल्गोरिथ्म का प्रत्यक्ष परिणाम है: गुणांक $n$ और $a$ "पारगमन" हैं और समान होना चाहिए।

साथ ही, व्युत्क्रम गुणन को भी परिभाषित किया गया है: $((A)^(-1))\cdot A=E$, इसलिए मैट्रिक्स $((A)^(-1))$ और $A$ हैं इस क्रम में भी सुसंगत:

\[\शुरू (संरेखित करें) और \बाएं[ए\बार बी \दाएं]\सीडीओटी संरेखित करें)\]

इस प्रकार, व्यापकता के नुकसान के बिना, हम मान सकते हैं कि $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ n\times m \right]$। हालांकि, $A\cdot ((A)^(-1))=((A)^(-1))\cdot A$ की परिभाषा के अनुसार, इसलिए मैट्रिक्स के आयाम बिल्कुल समान हैं:

\[\शुरू (संरेखित करें) और \बाएं[एम\बार एन \दाएं]=\बाएं[एन\बार एम \दाएं] \\ और एम=एन \अंत (संरेखित)\]

तो यह पता चला है कि सभी तीन मैट्रिक्स - $A$, $((A)^(-1))$ और $E$ - आकार में वर्गाकार हैं $\left[ n\times n \right]$। लेम्मा सिद्ध होता है।

अच्छा, यह पहले से ही अच्छा है। हम देखते हैं कि केवल वर्ग आव्यूह व्युत्क्रमणीय होते हैं। अब आइए सुनिश्चित करें कि उलटा मैट्रिक्स हमेशा समान होता है।

लेम्मा 2. एक मैट्रिक्स $A$ और इसके व्युत्क्रम $((A)^(-1))$ को देखते हुए। तब यह व्युत्क्रम मैट्रिक्स अद्वितीय है।

सबूत। आइए इसके विपरीत से शुरू करें: मैट्रिक्स $A$ में व्युत्क्रम के कम से कम दो उदाहरण हैं - $B$ और $C$। फिर, परिभाषा के अनुसार, निम्नलिखित समानताएँ सत्य हैं:

\[\शुरू (संरेखित करें) और ए\cdot B=B\cdot A=E; \\ & A\cdot C=C\cdot A=E. \\ \अंत (संरेखित करें)\]

लेम्मा 1 से हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि सभी चार मैट्रिक्स $A$, $B$, $C$ और $E$ एक ही क्रम के वर्ग हैं: $\बाएं[ n\times n \right]$। इसलिए, उत्पाद परिभाषित किया गया है:

चूंकि मैट्रिक्स गुणन साहचर्य है (लेकिन कम्यूटेटिव नहीं!), हम लिख सकते हैं:

\[\begin(align) & B\cdot A\cdot C=\left(B\cdot A \right)\cdot C=E\cdot C=C; \\ & B\cdot A\cdot C=B\cdot \left(A\cdot C \right)=B\cdot E=B; \\ & B\cdot A\cdot C=C=B\Rightarrow B=C. \\ \अंत (संरेखित करें)\]

केवल प्राप्त संभावित प्रकार: व्युत्क्रम मैट्रिक्स के दो उदाहरण बराबर हैं। लेम्मा सिद्ध होता है।

उपरोक्त तर्क लगभग शब्दशः सभी वास्तविक संख्याओं $b\ne 0$ के लिए व्युत्क्रम तत्व की विशिष्टता के प्रमाण को दोहराता है। केवल महत्वपूर्ण जोड़ मैट्रिसेस के आयाम को ध्यान में रख रहा है।

हालाँकि, हम अभी भी इस बारे में कुछ नहीं जानते हैं कि क्या कोई वर्ग मैट्रिक्स उलटा है। यहां निर्धारक हमारी सहायता के लिए आता है - यह सभी वर्ग मैट्रिक्स के लिए एक प्रमुख विशेषता है।

लेम्मा 3. एक मैट्रिक्स $A$ दिया गया। यदि मैट्रिक्स $((A)^(-1))$ इसके विपरीत मौजूद है, तो मूल मैट्रिक्स का निर्धारक गैर-शून्य है:

\[\बाएं| ए \दाएं|\ne 0\]

सबूत। हम पहले से ही जानते हैं कि $A$ और $((A)^(-1))$ $\left[ n\times n \right]$ आकार के वर्ग मैट्रिक्स हैं। इसलिए, उनमें से प्रत्येक के लिए निर्धारक की गणना करना संभव है: $\बाएं| ए \दाएं|$ और $\बाएं| ((ए)^(-1)) \right|$। हालांकि, उत्पाद का निर्धारक निर्धारकों के उत्पाद के बराबर है:

\[\बाएं| ए\सीडॉट बी \दाएं|=\बाएं| एक \दाएं|\cdot \बाएं| बी \दाएं|\दायां तीर \बाएं| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\बाएं| एक \दाएं|\cdot \बाएं| ((ए)^(-1)) \right|\]

लेकिन $A\cdot ((A)^(-1))=E$ की परिभाषा के अनुसार, और $E$ का सारणिक हमेशा 1 के बराबर होता है, इसलिए

\[\begin(align) & A\cdot ((A)^(-1))=E; \\ और \बाएं| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\बाएं| ई\दाएं|; \\ और \बाएं| एक \दाएं|\cdot \बाएं| ((ए)^(-1)) \right|=1. \\ \अंत (संरेखित करें)\]

दो संख्याओं का गुणनफल एक के बराबर होता है यदि इनमें से प्रत्येक संख्या शून्य से भिन्न हो:

\[\बाएं| ए \राइट|\ने 0;\क्वाड \बाएं| ((ए)^(-1)) \right|\ne 0.\]

तो यह पता चला है कि $\बाएं| ए \right|\ne 0$। लेम्मा सिद्ध होता है।

वास्तव में, यह आवश्यकता काफी तार्किक है। अब हम व्युत्क्रम मैट्रिक्स को खोजने के लिए एल्गोरिथ्म का विश्लेषण करेंगे - और यह पूरी तरह से स्पष्ट हो जाएगा कि, सिद्धांत रूप में, शून्य निर्धारक के साथ कोई उलटा मैट्रिक्स क्यों मौजूद नहीं हो सकता है।

लेकिन पहले, आइए एक "सहायक" परिभाषा तैयार करें:

परिभाषा। एक पतित मैट्रिक्स आकार का एक वर्ग मैट्रिक्स है $\बाएं[ n\times n \right]$ जिसका निर्धारक शून्य है।

इस प्रकार, हम यह दावा कर सकते हैं कि कोई भी उलटा मैट्रिक्स नॉनडिजेनरेट है।

उलटा मैट्रिक्स कैसे खोजें

अब हम व्युत्क्रम मैट्रिक्स को खोजने के लिए एक सार्वभौमिक एल्गोरिथ्म पर विचार करेंगे। सामान्य तौर पर, दो आम तौर पर स्वीकृत एल्गोरिदम होते हैं, और हम आज दूसरे पर भी विचार करेंगे।

अब जिस पर विचार किया जाएगा, वह आकार $\बाएं[2\बार 2 \दाएं]$ और - आंशिक रूप से - आकार $\बाएं[ 3\गुना 3 \दाएं]$ आकार के मैट्रिक्स के लिए बहुत कुशल है। लेकिन $\left[4\times 4 \right]$ आकार से शुरू करना बेहतर है कि इसका उपयोग न करें। क्यों - अब आप सब कुछ समझ जाएंगे।

बीजीय जोड़

तैयार कर। अब दर्द होगा। नहीं, चिंता न करें: स्कर्ट में एक सुंदर नर्स, फीता के साथ स्टॉकिंग्स आपके पास नहीं आती हैं और आपको नितंब में इंजेक्शन नहीं देगी। सब कुछ बहुत अधिक नीरस है: बीजीय जोड़ और महामहिम "यूनियन मैट्रिक्स" आपके पास आ रहे हैं।

आइए मुख्य से शुरू करें। मान लें कि $A=\left[ n\times n \right]$ आकार का एक वर्ग मैट्रिक्स है जिसके तत्वों को $((a)_(ij))$ नाम दिया गया है। फिर, ऐसे प्रत्येक तत्व के लिए, कोई एक बीजीय पूरक परिभाषित कर सकता है:

परिभाषा। बीजगणितीय पूरक $((A)_(ij))$ तत्व $((a)_(ij))$ को $i$-th पंक्ति में और $j$-th कॉलम मैट्रिक्स $A=\बाएं [ n \times n \right]$ फॉर्म का एक निर्माण है

\[((A)_(ij))=((\left(-1 \right))^(i+j))\cdot M_(ij)^(*)\]

जहां $M_(ij)^(*)$ उसी $i$-th पंक्ति और $j$-th कॉलम को हटाकर मूल $A$ से प्राप्त मैट्रिक्स का निर्धारक है।

फिर से। निर्देशांक के साथ मैट्रिक्स तत्व के बीजगणितीय पूरक $\left(i;j \right)$ को $((A)_(ij))$ के रूप में दर्शाया जाता है और योजना के अनुसार गणना की जाती है:

1. सबसे पहले, हम मूल मैट्रिक्स से $i$-row और $j$-th कॉलम को हटाते हैं। हमें एक नया वर्ग मैट्रिक्स मिलता है, और हम इसके सारणिक को $M_(ij)^(*)$ के रूप में निरूपित करते हैं।
2. फिर हम इस सारणिक को $((\left(-1 \right))^(i+j))$ से गुणा करते हैं - पहले तो यह व्यंजक मनमोहक लग सकता है, लेकिन वास्तव में हम केवल $ के सामने चिह्न का पता लगाते हैं एम_ (आईजे) ^ (*) $।
3. हम गिनते हैं - हमें एक विशिष्ट संख्या मिलती है। वे। बीजगणितीय जोड़ सिर्फ एक संख्या है, कुछ नया मैट्रिक्स नहीं है, और इसी तरह।

मैट्रिक्स $M_(ij)^(*)$ को ही तत्व $((a)_(ij))$ का पूरक नाबालिग कहा जाता है। और इस अर्थ में, एक बीजीय पूरक की उपरोक्त परिभाषा एक अधिक जटिल परिभाषा का एक विशेष मामला है - जिसे हमने निर्धारक के बारे में पाठ में माना था।

महत्वपूर्ण लेख। दरअसल, "वयस्क" गणित में, बीजीय योगों को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है:

1. हम वर्ग मैट्रिक्स में $k$ पंक्तियाँ और $k$ कॉलम लेते हैं। उनके चौराहे पर, हमें $\left[ k\times k \right]$ आकार का एक मैट्रिक्स मिलता है - इसके निर्धारक को ऑर्डर $k$ का नाबालिग कहा जाता है और इसे $((M)_(k))$ द्वारा दर्शाया जाता है।
2. फिर हम इन "चयनित" $k$ पंक्तियों और $k$ स्तंभों को पार करते हैं। फिर, हमें एक वर्ग मैट्रिक्स मिलता है - इसके निर्धारक को पूरक नाबालिग कहा जाता है और इसे $M_(k)^(*)$ द्वारा दर्शाया जाता है।
3. $M_(k)^(*)$ को $((\left(-1 \right))^(t))$ से गुणा करें, जहां $t$ है (अभी ध्यान दें!) सभी चयनित पंक्तियों की संख्या का योग और कॉलम। यह बीजगणितीय जोड़ होगा।

तीसरे चरण पर एक नज़र डालें: वास्तव में $2k$ की शर्तें हैं! दूसरी बात यह है कि $k=1$ के लिए हमें केवल 2 शब्द मिलते हैं - ये वही $i+j$ होंगे - तत्व $((a)_(ij))$ के "निर्देशांक", जिसके लिए हम हैं एक बीजीय पूरक की तलाश में।

इसलिए आज हम थोड़ी सरलीकृत परिभाषा का उपयोग करते हैं। लेकिन जैसा कि हम बाद में देखेंगे, यह पर्याप्त से अधिक होगा। बहुत अधिक महत्वपूर्ण निम्नलिखित है:

परिभाषा। संघ मैट्रिक्स $S$ से वर्ग मैट्रिक्स $A=\बाएं[ n\times n \right]$ आकार का एक नया मैट्रिक्स है $\बाएं[ n\times n \right]$, जो $A$ से प्राप्त किया जाता है $((a)_(ij))$ को बीजगणितीय पूरक $((A)_(ij))$ द्वारा प्रतिस्थापित करके:

\\Rightarrow S=\left[ \begin(matrix) ((A)_(11)) & ((A)_(12)) & ... & ((A)_(1n)) \\ (( ए)_(21)) और ((ए)_(22)) और ... और ((ए)_(2एन)) \\ ... और ... और ... और ... \\ ((ए)_(एन1)) और ((ए)_(एन2)) और ... और ((ए)_(एनएन)) \\\end(मैट्रिक्स) \right]\]

इस परिभाषा को साकार करने के क्षण में जो पहला विचार उत्पन्न होता है, वह यह है कि "आपको कुल कितना गिनना है!" आराम करें: आपको गिनना है, लेकिन इतना नहीं। :)

खैर, यह सब तो बहुत अच्छा है, लेकिन यह क्यों जरूरी है? लेकिन क्यों।

मुख्य प्रमेय

चलो थोड़ा पीछे चलते हैं। याद रखें, लेम्मा 3 ने कहा है कि एक उलटा मैट्रिक्स $A$ हमेशा गैर-एकवचन होता है (अर्थात, इसका निर्धारक गैर-शून्य होता है: $\बाएं| ए \दाएं|\ne 0$)।

तो, विलोम भी सत्य है: यदि मैट्रिक्स $A$ पतित नहीं है, तो यह हमेशा उलटा होता है। और एक खोज योजना भी है $((A)^(-1))$। इसकी जांच - पड़ताल करें:

उलटा मैट्रिक्स प्रमेय। एक वर्ग मैट्रिक्स $A=\left[ n\times n \right]$ दिया जाना चाहिए, और इसका निर्धारक गैर-शून्य है: $\बाएं| ए \right|\ne 0$। फिर उलटा मैट्रिक्स $((A)^(-1))$ मौजूद है और सूत्र द्वारा गणना की जाती है:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \right|)\cdot ((S)^(T))\]

और अब - सभी समान, लेकिन सुपाठ्य लिखावट में। उलटा मैट्रिक्स खोजने के लिए, आपको चाहिए:

1. सारणिक की गणना करें $\बाएं| A \right|$ और सुनिश्चित करें कि यह गैर-शून्य है।
2. संघ मैट्रिक्स $S$ संकलित करें, अर्थात। 100500 बीजगणितीय योग $((A)_(ij))$ गिनें और उन्हें $((a)_(ij))$ के स्थान पर रखें।
3. इस मैट्रिक्स $S$ को स्थानांतरित करें और फिर इसे किसी संख्या $q=(1)/(\left| A \right|)\;$ से गुणा करें।

और बस! उलटा मैट्रिक्स $((A)^(-1))$ पाया जाता है। आइए उदाहरण देखें:

\[\बाएं[ \शुरू (मैट्रिक्स) 3 और 1 \\ 5 और 2 \\\अंत (मैट्रिक्स) \दाएं]\]

समाधान। आइए प्रतिवर्तीता की जांच करें। आइए निर्धारक की गणना करें:

\[\बाएं| ए \दाएं|=\बाएं| \begin(matrix) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end(matrix) \right|=3\cdot 2-1\cdot 5=6-5=1\]

सारणिक शून्य से भिन्न है। तो मैट्रिक्स उलटा है। आइए एक यूनियन मैट्रिक्स बनाएं:

आइए बीजीय योगों की गणना करें:

\[\begin(align) & ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| 2\दाएं|=2; \\ और ((ए)_(12))=((\बाएं(-1 \दाएं))^(1+2))\cdot \बाएं| 5\दाएं|=-5; \\ और ((ए)_(21))=((\बाएं(-1 \दाएं))^(2+1))\cdot \बाएं| 1 \दाएं|=-1; \\ और ((ए)_(22))=((\बाएं(-1 \दाएं))^(2+2))\cdot \बाएं| 3\दाएं|=3. \\ \अंत (संरेखित करें)\]

ध्यान दें: निर्धारक |2|, |5|, |1| और |3| आकार के मैट्रिक्स के निर्धारक हैं $\left[ 1\times 1 \right]$, मॉड्यूल नहीं। वे। यदि निर्धारकों में ऋणात्मक संख्याएँ थीं, तो "ऋण" को हटाना आवश्यक नहीं है।

कुल मिलाकर, हमारा संघ मैट्रिक्स इस तरह दिखता है:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \right|)\cdot ((S)^(T))=\frac(1)(1)\cdot ( (\ बाएँ [ \ start (सरणी) (* (35) (r)) 2 और -5 \\ -1 और 3 \\\ अंत (सरणी) \ दाएँ]) ^ (T)) = \ बाएँ [ \ start (सरणी)(*(35)(आर)) 2 और -1 \\ -5 और 3 \\\ अंत (सरणी) \right]\]

ठीक है अब सब खत्म हो गया है। समस्या हल हो गई।

उत्तर। $\बाएं [ \ शुरू (सरणी) (* (35) (आर)) 2 और -1 \\ -5 और 3 \\\ अंत (सरणी) \ दायां] $

एक कार्य। उलटा मैट्रिक्स खोजें:

\[\बाएं[ \शुरू(सरणी)(*(35)(आर)) 1 और -1 और 2 \\ 0 और 2 और -1 \\ 1 और 0 और 1 \\\ अंत (सरणी) \दाएं] \]

समाधान। फिर से, हम निर्धारक पर विचार करते हैं:

\[\शुरू (संरेखित करें) और \बाएं| \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(array) \right|=\begin(matrix) ) \बाएं(1\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot \left(-1 \right)\cdot 1+2\cdot 0\cdot 0 \right)- \\ -\बाएं (2\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot 0\cdot 1+1\cdot \left(-1 \right)\cdot 0 \right) \\\end(matrix)= \ \ & =\बाएं(2+1+0 \दाएं)-\बाएं(4+0+0 \दाएं)=-1\ne 0. \\ \end(align)\]

निर्धारक शून्य से भिन्न होता है - मैट्रिक्स उलटा होता है। लेकिन अब यह सबसे अधिक तीखा होगा: आपको 9 (नौ, धिक्कार है!) बीजगणितीय परिवर्धन के रूप में गिनना होगा। और उनमें से प्रत्येक में $\left[ 2\times 2 \right]$ क्वालीफायर होगा। उड़ गया:

\[\begin(matrix) ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| \begin(matrix) 2 & -1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right|=2; \\ ((ए)_(12))=((\बाएं(-1 \दाएं))^(1+2))\cdot \बाएं| \begin(matrix) 0 & -1 \\ 1 & 1 \\\end(matrix) \right|=-1; \\ ((ए)_(13))=((\बाएं(-1 \दाएं))^(1+3))\cdot \बाएं| \begin(matrix) 0 & 2 \\ 1 & 0 \\\end(matrix) \right|=-2; \\ ... \\ ((ए)_(33))=((\बाएं(-1 \दाएं))^(3+3))\cdot \बाएं| \begin(matrix) 1 & -1 \\ 0 & 2 \\\end(matrix) \right|=2; \\ \अंत (मैट्रिक्स)\]

संक्षेप में, संघ मैट्रिक्स इस तरह दिखेगा:

इसलिए, व्युत्क्रम मैट्रिक्स होगा:

\[((ए)^(-1))=\frac(1)(-1)\cdot \left[ \begin(matrix) 2 & -1 & -2 \\ 1 & -1 & -1 \\ -3 और 1 और 2 \\\ अंत (मैट्रिक्स) \ दाएँ] = \ बाएँ [ \ start (सरणी) (* (35) (r)) -2 और -1 और 3 \\ 1 और 1 और -1 \ \ 2 और 1 और -2 \\\ अंत (सरणी) \दाएं]\]

अच्छा यही सब है। यहाँ उत्तर है।

उत्तर। $\बाएं [\ शुरू (सरणी) (* (35) (आर)) -2 और -1 और 3 \\ 1 और 1 और -1 \\ 2 और 1 और -2 \\\ अंत (सरणी) \ सही ]$

जैसा कि आप देख सकते हैं, प्रत्येक उदाहरण के अंत में, हमने एक जाँच की। इस संबंध में एक महत्वपूर्ण नोट:

जाँच करने में आलस न करें। गुणा मूल मैट्रिक्सपाया उलटा - $E$ मिलना चाहिए।

आगे की गणना में त्रुटि की तलाश करने की तुलना में यह जांच करना बहुत आसान और तेज़ है, उदाहरण के लिए, जब आप मैट्रिक्स समीकरण को हल करते हैं।

वैकल्पिक तरीका

जैसा कि मैंने कहा, उलटा मैट्रिक्स प्रमेय आकार के लिए ठीक काम करता है $\left[2\times 2 \right]$ और $\left[3\times 3 \right]$ (बाद के मामले में, यह इतना "महान" नहीं है अब और)। ”), लेकिन बड़े मैट्रिसेस के लिए उदासी शुरू होती है।

लेकिन चिंता न करें: एक वैकल्पिक एल्गोरिथम है जिसका उपयोग $\left[ 10\times 10 \right]$ मैट्रिक्स के लिए भी शांतिपूर्वक उलटा खोजने के लिए किया जा सकता है। लेकिन, जैसा कि अक्सर होता है, इस एल्गोरिथम पर विचार करने के लिए, हमें थोड़ी सैद्धांतिक पृष्ठभूमि की आवश्यकता है।

प्राथमिक परिवर्तन

मैट्रिक्स के विभिन्न परिवर्तनों में, कई विशेष हैं - उन्हें प्राथमिक कहा जाता है। ऐसे तीन परिवर्तन हैं:

1. गुणन। आप $i$-वें पंक्ति (स्तंभ) ले सकते हैं और इसे किसी भी संख्या $k\ne 0$ से गुणा कर सकते हैं;
2. योग। $i$-th पंक्ति (कॉलम) में किसी भी अन्य $j$-th पंक्ति (कॉलम) को किसी भी संख्या $k\ne 0$ से गुणा करें (बेशक, $k=0$ भी संभव है, लेकिन बात क्या है उसमें से? ?हालांकि कुछ भी नहीं बदलेगा)।
3. क्रमपरिवर्तन। $i$-th और $j$-th पंक्तियां (कॉलम) लें और उन्हें स्वैप करें।

इन परिवर्तनों को प्राथमिक क्यों कहा जाता है (बड़े मैट्रिक्स के लिए वे इतने प्राथमिक नहीं दिखते) और उनमें से केवल तीन ही क्यों हैं - ये प्रश्न आज के पाठ के दायरे से बाहर हैं। इसलिए, हम विवरण में नहीं जाएंगे।

एक और बात महत्वपूर्ण है: हमें इन सभी विकृतियों को संबंधित मैट्रिक्स पर करना होगा। जी हां, आपने सही सुना। अब एक और परिभाषा होगी - आज के पाठ में अंतिम।

संलग्न मैट्रिक्स

निश्चित रूप से आपने विद्यालय में योग पद्धति का उपयोग करके समीकरणों की प्रणाली को हल किया है। ठीक है, वहाँ, एक पंक्ति से दूसरी घटाएँ, किसी पंक्ति को किसी संख्या से गुणा करें - बस।

तो: अब सब कुछ वैसा ही होगा, लेकिन पहले से ही "वयस्क तरीके से"। तैयार?

परिभाषा। मान लीजिए मैट्रिक्स $A=\left[ n\times n \right]$ और समान आकार के $n$ के पहचान मैट्रिक्स $E$ दिए गए हैं। फिर संबंधित मैट्रिक्स $\बाएं[ ए\बाएं| ई \ सही। \right]$ एक नया $\left[n\times 2n \right]$ मैट्रिक्स है जो इस तरह दिखता है:

\[\बाएं[ ए\बाएं| ई \ सही। \ दाएँ] = \ बाएँ [ \ start (सरणी) (rrrr | rrrr) ((a)_(11)) और ((a)_(12)) और ... और ((a)_(1n)) और 1 और 0 और ... और 0 \\ ((ए)_(21)) और ((ए)_(22)) और ... और ((ए)_(2एन)) और 0 और 1 & ... & 0 \\... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\((a)_(n1)) & ((a)_(n2)) & ... & ((a)_(nn)) & 0 & 0 & ... & 1 \\\end(array) \right]\]

संक्षेप में, हम मैट्रिक्स $A$ लेते हैं, दाईं ओर हम इसे पहचान मैट्रिक्स $E$ . असाइन करते हैं सही आकार, हम उन्हें सुंदरता के लिए एक लंबवत रेखा से अलग करते हैं - यहां आपके लिए संलग्न है। :)

क्या चालबाजी है? और यहाँ क्या है:

प्रमेय। मैट्रिक्स $A$ को उलटा होने दें। आसन्न मैट्रिक्स पर विचार करें $\बाएं[ ए\बाएं| ई \ सही। \दाएं]$. यदि उपयोग कर रहे हैं प्राथमिक स्ट्रिंग परिवर्तनइसे फॉर्म में लाएं $\बाएं[ ई\बाएं| चमकदार। \दाएं]$, यानी। मैट्रिक्स $E$ को $A$ से दाईं ओर प्राप्त करने के लिए पंक्तियों को गुणा, घटाना और पुनर्व्यवस्थित करके, फिर बाईं ओर प्राप्त मैट्रिक्स $B$ $A$ का व्युत्क्रम है:

\[\बाएं[ ए\बाएं| ई \ सही। \दाएं]\से \बाएं[ई\बाएं| चमकदार। \दाएं]\दायां तीर बी=((ए)^(-1))\]

यह इत्ना आसान है! संक्षेप में, उलटा मैट्रिक्स खोजने के लिए एल्गोरिदम इस तरह दिखता है:

1. संबंधित मैट्रिक्स $\बाएं[ A\बाएं| . लिखें ई \ सही। \ दाएँ] $;
2. प्राथमिक स्ट्रिंग रूपांतरण तब तक करें जब तक कि $A$ के बजाय दाईं ओर $E$ दिखाई न दे;
3. बेशक, बाईं ओर भी कुछ दिखाई देगा - एक निश्चित मैट्रिक्स $B$। यह उल्टा होगा;
4. लाभ! :)

बेशक, करने से कहीं ज्यादा आसान कहा। तो आइए कुछ उदाहरण देखें: आकार के लिए $\बाएं[3\गुना 3 \दाएं]$ और $\बाएं[4\गुना 4 \दाएं]$।

एक कार्य। उलटा मैट्रिक्स खोजें:

\[\बाएं[ \शुरू(सरणी)(*(35)(आर)) 1 और 5 और 1 \\ 3 और 2 और 1 \\ 6 और -2 और 1 \\\अंत (सरणी) \दाएं]\ ]

समाधान। हम संलग्न मैट्रिक्स की रचना करते हैं:

\[\बाएं[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & -2 & 1 & 0 & 0 और 1 \\\अंत (सरणी) \दाएं]\]

चूंकि मूल मैट्रिक्स का अंतिम कॉलम लोगों से भरा है, इसलिए पहली पंक्ति को बाकी से घटाएं:

\[\begin(align) &\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & - 2 और 1 और 0 और 0 और 1 \\\ अंत (सरणी) \ दाएँ] \ प्रारंभ (मैट्रिक्स) \ downarrow \\ -1 \\ -1 \\\ अंत (मैट्रिक्स) \ से \\ और \ से \ बाएँ [ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 और 1 \\\अंत (सरणी) \दाएं] \\ \अंत (संरेखित करें)\]

पहली पंक्ति को छोड़कर कोई और इकाइयाँ नहीं हैं। लेकिन हम इसे छूते नहीं हैं, अन्यथा नई हटाई गई इकाइयाँ तीसरे कॉलम में "गुणा" करना शुरू कर देंगी।

लेकिन हम दूसरी पंक्ति को पिछले एक से दो बार घटा सकते हैं - हमें निचले बाएं कोने में एक इकाई मिलती है:

\[\begin(align) &\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 और 0 और -1 और 0 और 1 \\\ अंत (सरणी) \ दाएँ] \ प्रारंभ (मैट्रिक्स) \ \\ \ downarrow \\ -2 \\\ अंत (मैट्रिक्स) \ से \\ और \ बाएँ [ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 और 1 \\\अंत (सरणी) \दाएं] \\ \अंत (संरेखित करें)\]

अब हम अंतिम पंक्ति को पहली से और दूसरी से दो बार घटा सकते हैं - इस तरह हम पहले कॉलम को "शून्य" कर देंगे:

\[\begin(align) &\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 और -1 और 0 और 1 और -2 और 1 \\\ अंत (सरणी) \ दाएँ] \ प्रारंभ (मैट्रिक्स) -1 \\ -2 \\ \ uparrow \\\ अंत (मैट्रिक्स) \ से \\ और \ से \बाएं [ \ start (सरणी) (rrr | rrr) 0 और 6 और 1 और 0 और 2 और -1 \\ 0 और -1 और 0 और -3 और 5 और -2 \\ 1 और -1 और 0 और 1 और -2 और 1 \\\ अंत (सरणी) \ दायां] \\ \ अंत (संरेखित करें) \]

दूसरी पंक्ति को -1 से गुणा करें और फिर इसे पहली से 6 गुना घटाएं और आखिरी में 1 बार जोड़ें:

\[\begin(align) &\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \ \ 1 और -1 और 0 और 1 और -2 और 1 \\\ अंत (सरणी) \ दाएँ] \ start (मैट्रिक्स) \ \\ \ बाएँ| \ cdot \ बाएँ (-1 \ दाएँ) \ दाएँ। \\ \ \\\ अंत (मैट्रिक्स) \ से \\ और \ से \ बाएं [ \ start (सरणी) (rrr | rrr) 0 और 6 और 1 और 0 और 2 और -1 \\ 0 और 1 और 0 & 3 और -5 और 2 \\ 1 और -1 और 0 और 1 और -2 और 1 \\\ अंत (सरणी) \ दायां] \ प्रारंभ (मैट्रिक्स) -6 \\ \ updownarrow \\ +1 \\\ अंत (मैट्रिक्स) \ से \\ और \ से \ बाएँ [ \ start (सरणी) (rrr | rrr) 0 और 0 और 1 और -18 और 32 और -13 \\ 0 और 1 और 0 और 3 और -5 और 2 \\ 1 और 0 और 0 और 4 और -7 और 3 \\\ अंत (सरणी) \ दाएँ] \\ \ अंत (संरेखण) \]

यह केवल लाइन 1 और 3 को स्वैप करने के लिए बनी हुई है:

\[\बाएं[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 18 और 32 और -13 \\\अंत (सरणी) \दाएं]\]

तैयार! दाईं ओर आवश्यक उलटा मैट्रिक्स है।

उत्तर। $\बाएं [\ शुरू (सरणी) (* (35) (आर)) 4 और -7 और 3 \\ 3 और -5 और 2 \\ -18 और 32 और -13 \\\ अंत (सरणी) \ सही ]$

एक कार्य। उलटा मैट्रिक्स खोजें:

\[\बाएं[ \शुरू (मैट्रिक्स) 1 और 4 और 2 और 3 \\ 1 और -2 और 1 और -2 \\ 1 और -1 और 1 और 1 \\ 0 और -10 और -2 और -5 \\\अंत (मैट्रिक्स) \दाएं]\]

समाधान। फिर से हम संलग्न एक की रचना करते हैं:

\[\बाएं[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \ \ 1 और -1 और 1 और 1 और 0 और 0 और 1 और 0 \\ 0 और -10 और -2 और -5 और 0 और 0 और 0 और 1 \\\ अंत (सरणी) \right]\]

चलो थोड़ा उधार लेते हैं, इस बात की चिंता करते हैं कि हमें अभी कितना गिनना है... और गिनना शुरू करें। आरंभ करने के लिए, हम पंक्ति 2 और 3 से पंक्ति 1 घटाकर पहले कॉलम को "शून्य" करते हैं:

\[\begin(align) &\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 और 0 और 0 \\ 1 और -1 और 1 और 1 और 0 और 0 और 1 और 0 \\ 0 और -10 और -2 और -5 और 0 और 0 और 0 और 1 \\\ अंत (सरणी) \दाएं]\शुरू(मैट्रिक्स) \downarrow \\ -1 \\ -1 \\ \\\\end(मैट्रिक्स)\से \\ और \से \बाएं[ \शुरू (सरणी)(rrrr|rrrr) 1 & 4 और 2 और 3 और 1 और 0 और 0 और 0 \\ 0 और -6 और -1 और -5 और -1 और 1 और 0 और 0 \\ 0 और -5 और -1 और -2 और -1 और 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

हम 2-4 पंक्तियों में बहुत अधिक "माइनस" देखते हैं। सभी तीन पंक्तियों को -1 से गुणा करें, और फिर तीसरे कॉलम को बाकी से पंक्ति 3 घटाकर जला दें:

\[\begin(align) &\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & - 1 और 1 और 0 और 0 \\ 0 और -5 और -1 और -2 और -1 और 0 और 1 और 0 \\ 0 और -10 और -2 और -5 और 0 और 0 और 0 और 1 \\ \अंत (सरणी) \दाएं]\शुरू (मैट्रिक्स) \ \\ \बाएं| \ cdot \ बाएँ (-1 \ दाएँ) \ दाएँ। \\ \बाएं| \ cdot \ बाएँ (-1 \ दाएँ) \ दाएँ। \\ \बाएं| \ cdot \ बाएँ (-1 \ दाएँ) \ दाएँ। \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 1 & 5 और 1 और -1 और 0 और 0 \\ 0 और 5 और 1 और 2 और 1 और 0 और -1 और 0 \\ 0 और 10 और 2 और 5 और 0 और 0 और 0 और -1 \\ \अंत (सरणी) \दाएं]\शुरू(मैट्रिक्स) -2 \\ -1 \\ \updownarrow \\ -2 \\\end(मैट्रिक्स)\से \\ & \ से \बाएं [ \शुरू (सरणी)( rrrr|rrrr) 1 और -6 और 0 और -1 और -1 और 0 और 2 और 0 \\ 0 और 1 और 0 और 3 और 0 और -1 और 1 और 0 \\ 0 और 5 और 1 और 2 और 1 और 0 और -1 और 0 \\ 0 और 0 और 0 और 1 और -2 और 0 और 2 और -1 \\\ अंत (सरणी) \ सही] \\ \ अंत (संरेखण) \]

अब मूल मैट्रिक्स के अंतिम कॉलम को "तलना" करने का समय है: पंक्ति 4 को बाकी से घटाएं:

\[\begin(align) &\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 और -1 और 1 और 0 \\ 0 और 5 और 1 और 2 और 1 और 0 और -1 और 0 \\ 0 और 0 और 0 और 1 और -2 और 0 और 2 और -1 \\\ अंत (सरणी ) \right]\begin(matrix) +1 \\ -3 \\ -2 \\ \uparrow \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 और -6 और 0 और 0 और -3 और 0 और 4 और -1 \\ 0 और 1 और 0 और 0 और 6 और -1 और -5 और 3 \\ 0 और 5 और 1 और 0 और 5 और 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

अंतिम रोल: पंक्ति 1 और 3 से पंक्ति 2 घटाकर दूसरे कॉलम को "बर्न आउट" करें:

\[\begin(align) &\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 और -1 और -5 और 3 \\ 0 और 5 और 1 और 0 और 5 और 0 और -5 और 2 \\ 0 और 0 और 0 और 1 और -2 और 0 और 2 और -1 \\\ अंत ( सरणी) \ दाएँ] \ शुरू (मैट्रिक्स) 6 \\ \ updownarrow \\ -5 \\ \ \\ अंत (मैट्रिक्स) \ से \\ और \ से \ बाएँ [ \ start (सरणी) (rrrr | rrrr) 1 और 0 और 0 और 0 और 33 और -6 और -26 और -17 \\ 0 और 1 और 0 और 0 और 6 और -1 और -5 और 3 \\ 0 और 0 और 1 और 0 और -25 और 5 & 20 & -13 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

और फिर, बाईं ओर पहचान मैट्रिक्स, तो दाईं ओर उलटा। :)

उत्तर। $\बाएं[ \शुरू (मैट्रिक्स) 33 और -6 और -26 और 17 \\ 6 और -1 और -5 और 3 \\ -25 और 5 और 20 और -13 \\ -2 और 0 और 2 और - 1 \\\अंत (मैट्रिक्स) \दाएं]$

मान लीजिए कि एक वर्ग मैट्रिक्स दिया गया है। व्युत्क्रम मैट्रिक्स को खोजना आवश्यक है।

पहला तरीका। व्युत्क्रम मैट्रिक्स के अस्तित्व और विशिष्टता के प्रमेय 4.1 में, इसे खोजने के तरीकों में से एक का संकेत दिया गया है।

1. दिए गए मैट्रिक्स के सारणिक की गणना करें। यदि, तो उलटा मैट्रिक्स मौजूद नहीं है (मैट्रिक्स पतित है)।

2. मैट्रिक्स तत्वों के बीजीय पूरक से एक मैट्रिक्स लिखें।

3. मैट्रिक्स को स्थानांतरित करना, संबंधित मैट्रिक्स प्राप्त करें .

4. संबंधित मैट्रिक्स के सभी तत्वों को सारणिक से विभाजित करके व्युत्क्रम मैट्रिक्स (4.1) खोजें

दूसरा तरीका। व्युत्क्रम मैट्रिक्स को खोजने के लिए, प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग किया जा सकता है।

1. उसी क्रम के दिए गए मैट्रिक्स पहचान मैट्रिक्स को निर्दिष्ट करके एक ब्लॉक मैट्रिक्स लिखें।

2. मैट्रिक्स की पंक्तियों पर किए गए प्राथमिक परिवर्तनों की सहायता से, इसके बाएं ब्लॉक को सरलतम रूप में लाएं। इस मामले में, ब्लॉक मैट्रिक्स को फॉर्म में कम किया जाता है, जहां पहचान मैट्रिक्स से परिवर्तनों के परिणामस्वरूप प्राप्त एक वर्ग मैट्रिक्स होता है।

3. यदि , तो व्युत्क्रम मैट्रिक्स के बराबर ब्लॉक है, अर्थात यदि, तो मैट्रिक्स का कोई व्युत्क्रम नहीं है।

दरअसल, मैट्रिक्स की पंक्तियों के प्राथमिक परिवर्तनों की मदद से, इसके बाएं ब्लॉक को सरलीकृत रूप में घटाया जा सकता है (चित्र 1.5 देखें)। इस मामले में, ब्लॉक मैट्रिक्स को फॉर्म में बदल दिया जाता है, जहां एक प्राथमिक मैट्रिक्स होता है जो समानता को संतुष्ट करता है। यदि मैट्रिक्स गैर-एकवचन है, तो, टिप्पणी 3.3 के आइटम 2 के अनुसार, इसका सरलीकृत रूप पहचान मैट्रिक्स के साथ मेल खाता है। फिर यह समानता से इस प्रकार है कि। यदि मैट्रिक्स पतित है, तो इसका सरलीकृत रूप पहचान मैट्रिक्स से भिन्न होता है, और मैट्रिक्स का कोई व्युत्क्रम नहीं होता है।

11. मैट्रिक्स समीकरण और उनके समाधान। SLAE का मैट्रिक्स नोटेशन। मैट्रिक्स विधि(उलटा मैट्रिक्स विधि) SLAE समाधान और इसकी प्रयोज्यता के लिए शर्तें।

मैट्रिक्स समीकरण फॉर्म के समीकरण हैं: ए * एक्स = सी; एक्स * ए = सी; ए * एक्स * बी = सी जहां मैट्रिक्स ए, बी, सीज्ञात हैं, मैट्रिक्स एक्स ज्ञात नहीं है, यदि मैट्रिक्स ए और बी पतित नहीं हैं, तो मूल मैट्रिक्स के समाधान संबंधित रूप में लिखे जाएंगे: एक्स = ए -1 * सी; एक्स = सी * ए -1; एक्स \u003d ए -1 * सी * बी -1 रैखिक बीजीय समीकरणों की लेखन प्रणाली का मैट्रिक्स रूप।प्रत्येक SLAE के साथ कई मैट्रिसेस संबद्ध किए जा सकते हैं; इसके अलावा, SLAE को ही मैट्रिक्स समीकरण के रूप में लिखा जा सकता है। SLAE (1) के लिए, निम्नलिखित मैट्रिक्स पर विचार करें:

मैट्रिक्स ए कहा जाता है सिस्टम मैट्रिक्स. इस मैट्रिक्स के अवयव दिए गए SLAE के गुणांक हैं।

मैट्रिक्स A˜ कहा जाता है विस्तारित मैट्रिक्स प्रणाली. यह सिस्टम मैट्रिक्स में एक कॉलम जोड़कर प्राप्त किया जाता है जिसमें मुक्त सदस्य b1,b2,...,bm होते हैं। स्पष्टता के लिए आमतौर पर इस कॉलम को एक लंबवत रेखा से अलग किया जाता है।

कॉलम मैट्रिक्स बी कहा जाता है मुक्त शर्तों का मैट्रिक्स, और स्तंभ मैट्रिक्स X है अज्ञात का मैट्रिक्स.

ऊपर दिए गए संकेतन का उपयोग करते हुए, SLAE (1) को मैट्रिक्स समीकरण के रूप में लिखा जा सकता है: A⋅X=B।

टिप्पणी

सिस्टम से जुड़े मैट्रिक्स को विभिन्न तरीकों से लिखा जा सकता है: सब कुछ SLAE के चर और समीकरणों के क्रम पर निर्भर करता है। लेकिन किसी भी मामले में, किसी दिए गए SLAE के प्रत्येक समीकरण में अज्ञात का क्रम समान होना चाहिए।

मैट्रिक्स विधि SLAE को हल करने के लिए उपयुक्त है जिसमें समीकरणों की संख्या अज्ञात चर की संख्या के साथ मेल खाती है और सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स का निर्धारक गैर-शून्य है। यदि सिस्टम में तीन से अधिक समीकरण हैं, तो व्युत्क्रम मैट्रिक्स को खोजने के लिए महत्वपूर्ण कम्प्यूटेशनल प्रयास की आवश्यकता होती है, इसलिए, इस मामले में, इसका उपयोग करने की सलाह दी जाती है गॉस विधि.

12. सजातीय SLAE, उनके गैर-शून्य समाधानों के अस्तित्व के लिए शर्तें। सजातीय SLAE के आंशिक समाधान के गुण।

एक रैखिक समीकरण को समांगी कहा जाता है यदि इसका मुक्त पद शून्य के बराबर हो, और अन्यथा अमानवीय हो। सजातीय समीकरणों से युक्त एक प्रणाली को सजातीय कहा जाता है और इसका सामान्य रूप होता है:

13 रैखिक स्वतंत्रता की अवधारणा और एक सजातीय SLAE के आंशिक समाधान की निर्भरता। मौलिक निर्णय प्रणाली (एफएसआर) और इसकी खोज। FSR के संदर्भ में एक सजातीय SLAE के सामान्य समाधान का प्रतिनिधित्व।

समारोह प्रणाली आप 1 (एक्स ), आप 2 (एक्स ), …, आप एन (एक्स ) कहा जाता है रैखिक रूप से आश्रितअंतराल पर ( एक , बी ) यदि स्थिर गुणांक का एक सेट मौजूद है जो एक ही समय में शून्य के बराबर नहीं है, जैसे कि इन कार्यों का रैखिक संयोजन समान रूप से शून्य के बराबर है ( एक , बी ): के लिये । यदि समानता के लिए केवल , कार्यों की प्रणाली के लिए संभव है आप 1 (एक्स ), आप 2 (एक्स ), …, आप एन (एक्स ) कहा जाता है रैखिक रूप से स्वतंत्रअंतराल पर ( एक , बी ) दूसरे शब्दों में, कार्य आप 1 (एक्स ), आप 2 (एक्स ), …, आप एन (एक्स ) रैखिक रूप से आश्रितअंतराल पर ( एक , बी ) यदि शून्य पर मौजूद है ( एक , बी ) उनका गैर-तुच्छ रैखिक संयोजन। कार्यों आप 1 (एक्स ),आप 2 (एक्स ), …, आप एन (एक्स ) रैखिक रूप से स्वतंत्रअंतराल पर ( एक , बी ) यदि केवल उनका तुच्छ रैखिक संयोजन समान रूप से शून्य के बराबर है ( एक , बी ).

मौलिक निर्णय प्रणाली (एफएसआर)एक सजातीय SLAE स्तंभों की इस प्रणाली का आधार है।

FSR में तत्वों की संख्या सिस्टम में अज्ञात की संख्या के बराबर है, सिस्टम मैट्रिक्स के रैंक को घटाकर। मूल प्रणाली का कोई भी समाधान FSR के समाधानों का एक रैखिक संयोजन है।

प्रमेय

अमानवीय SLAE का सामान्य समाधान अमानवीय SLAE के विशेष समाधान के योग के बराबर है और सामान्य समाधानसंगत सजातीय SLAE।

1 . यदि स्तंभ समीकरणों की एक सजातीय प्रणाली के समाधान हैं, तो उनमें से कोई भी रैखिक संयोजन भी एक सजातीय प्रणाली का समाधान है।

दरअसल, यह समानता से इस प्रकार है कि

वे। समाधानों का एक रैखिक संयोजन एक सजातीय प्रणाली का समाधान है।

2. यदि एक सजातीय प्रणाली के मैट्रिक्स की रैंक है, तो सिस्टम में रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधान होते हैं।

वास्तव में, सजातीय प्रणाली के सामान्य समाधान के सूत्रों (5.13) द्वारा, हम निम्नलिखित मुक्त चरों को निर्दिष्ट करके विशेष समाधान पा सकते हैं डिफ़ॉल्ट मान सेट (हर बार यह मानते हुए कि एक मुक्त चर एक के बराबर है, और शेष शून्य के बराबर हैं):

जो रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं। दरअसल, यदि इन स्तंभों से एक मैट्रिक्स बनता है, तो इसकी अंतिम पंक्तियाँ पहचान मैट्रिक्स बनाती हैं। इसलिए, अंतिम पंक्तियों में स्थित नाबालिग शून्य के बराबर नहीं है (यह एक के बराबर है), अर्थात। बुनियादी है। इसलिए, मैट्रिक्स की रैंक बराबर होगी। इसलिए, इस मैट्रिक्स के सभी कॉलम रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं (प्रमेय 3.4 देखें)।

एक सजातीय प्रणाली के रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधानों के किसी भी संग्रह को कहा जाता है समाधान की मौलिक प्रणाली (सेट) .

14 माइनर ऑफ़ द वें ऑर्डर, बेसिक माइनर, मैट्रिक्स रैंक। मैट्रिक्स रैंक गणना।

एक आव्यूह A का कोटि k अवयस्क, कोटि k के इसके कुछ वर्ग सबमैट्रिस का निर्धारक है।

एक m ​​x n मैट्रिक्स A में, क्रम r के एक नाबालिग को मूल कहा जाता है यदि यह गैर-शून्य है, और बड़े क्रम के सभी नाबालिग, यदि वे मौजूद हैं, तो शून्य के बराबर हैं।

मैट्रिक्स A के स्तंभ और पंक्तियाँ, जिसके चौराहे पर एक आधार छोटा होता है, A के आधार स्तंभ और पंक्तियाँ कहलाती हैं।

प्रमेय 1. (एक मैट्रिक्स के पद पर)। किसी भी मैट्रिक्स के लिए, छोटी रैंक पंक्ति रैंक के बराबर होती है और कॉलम रैंक के बराबर होती है।

प्रमेय 2। (मूल नाबालिग पर)। मैट्रिक्स का प्रत्येक स्तंभ अपने मूल स्तंभों के रैखिक संयोजन में विघटित होता है।

एक मैट्रिक्स (या मामूली रैंक) का रैंक नाबालिग के आधार का क्रम है या, दूसरे शब्दों में, सबसे बड़ा क्रम जिसके लिए गैर-शून्य नाबालिग मौजूद हैं। शून्य मैट्रिक्स की रैंक, परिभाषा के अनुसार, 0 मानी जाती है।

हम मामूली रैंक के दो स्पष्ट गुणों पर ध्यान देते हैं।

1) एक मैट्रिक्स का रैंक ट्रांसपोज़ करते समय नहीं बदलता है, क्योंकि जब एक मैट्रिक्स ट्रांसपोज़ किया जाता है, तो उसके सभी सबमैट्रिस ट्रांसपोज़ हो जाते हैं और नाबालिग नहीं बदलते हैं।

2) यदि A' मैट्रिक्स A का एक सबमैट्रिक्स है, तो A' की रैंक A के रैंक से अधिक नहीं है, क्योंकि A' में शामिल गैर-शून्य नाबालिग भी A में शामिल है।

15. -आयामी अंकगणितीय वेक्टर की अवधारणा। वेक्टर समानता। वैक्टर पर क्रिया (जोड़, घटाव, एक संख्या से गुणा, एक मैट्रिक्स द्वारा गुणा)। वैक्टर का रैखिक संयोजन।

आदेश दिया संग्रह एनवास्तविक या सम्मिश्र संख्याएँ कहलाती हैं एन-आयामी वेक्टर. नंबर कहलाते हैं वेक्टर निर्देशांक.

दो (गैर-शून्य) वैक्टर एकतथा बीसमान हैं यदि वे समान दिशा में हैं और एक ही मापांक है। सभी शून्य वैक्टर समान माने जाते हैं। अन्य सभी मामलों में, वैक्टर समान नहीं हैं।

वैक्टर का जोड़। वैक्टर जोड़ने के दो तरीके हैं।1। समांतर चतुर्भुज नियम। सदिशों को जोड़ने के लिए और, हम दोनों के मूल बिंदुओं को एक ही बिंदु पर रखते हैं। हम समांतर चतुर्भुज को पूरा करते हैं और उसी बिंदु से समांतर चतुर्भुज का विकर्ण खींचते हैं। यह वैक्टर का योग होगा।

2. सदिश जोड़ने का दूसरा तरीका त्रिभुज नियम है। आइए एक ही वैक्टर लें और . हम दूसरे की शुरुआत को पहले वेक्टर के अंत में जोड़ते हैं। अब पहले की शुरुआत और दूसरे के अंत को जोड़ते हैं। यह वैक्टर और का योग है। उसी नियम से, आप कई वैक्टर जोड़ सकते हैं। हम उन्हें एक-एक करके जोड़ते हैं, और फिर पहले की शुरुआत को आखिरी के अंत से जोड़ते हैं।

वैक्टर का घटाव। वेक्टर को वेक्टर के विपरीत निर्देशित किया जाता है। वैक्टर की लंबाई बराबर होती है। अब यह स्पष्ट है कि सदिशों का घटाव क्या है। वैक्टर का अंतर और वेक्टर और वेक्टर का योग है।

एक वेक्टर को एक संख्या से गुणा करें

किसी सदिश को संख्या k से गुणा करने पर एक सदिश प्राप्त होता है जिसकी लंबाई लंबाई से k गुना भिन्न होती है। यदि k शून्य से बड़ा है, तो यह सदिश के साथ सह-दिशात्मक है, और यदि k शून्य से कम है, तो विपरीत दिशा में निर्देशित होता है।

सदिशों का अदिश गुणनफल सदिशों की लंबाई और उनके बीच के कोण की कोज्या का गुणनफल होता है।यदि वेक्टर लंबवत हैं, तो उनका डॉट उत्पाद शून्य है। लेकिन इस तरह अदिश उत्पादवैक्टर और के निर्देशांक के रूप में व्यक्त किया जाता है।

वैक्टर का रैखिक संयोजन

वैक्टर का रैखिक संयोजन कॉल वेक्टर

कहाँ पे - रैखिक संयोजन गुणांक। यदि एक एक संयोजन को तुच्छ कहा जाता है यदि यह गैर-तुच्छ है।

16 अंकगणितीय सदिशों का अदिश गुणनफल। वेक्टर की लंबाई और वैक्टर के बीच का कोण। वैक्टर की ऑर्थोगोनैलिटी की अवधारणा।

वैक्टर ए और बी का अदिश उत्पाद संख्या है

स्केलर उत्पाद का उपयोग गणना करने के लिए किया जाता है: 1) उनके बीच के कोण का पता लगाना; 2) वैक्टर के प्रक्षेपण का पता लगाना; 3) एक वेक्टर की लंबाई की गणना करना; 4) लंबवत वैक्टर के लिए शर्तें।

खंड AB की लंबाई बिंदु A और B के बीच की दूरी है। सदिश A और B के बीच के कोण को कोण α = (a, c), 0≤ α कहा जाता है। जिससे 1 वेक्टर को घुमाना आवश्यक है ताकि इसकी दिशा दूसरे वेक्टर के साथ मेल खाती हो। बशर्ते कि उनकी शुरुआत मेल खाती हो।

Orth a एक सदिश है जिसकी इकाई लंबाई और दिशा a है।

17. वैक्टर की प्रणाली और इसका रैखिक संयोजन। संकल्पना रैखिक निर्भरताऔर वैक्टर की प्रणाली की स्वतंत्रता। वैक्टर की एक प्रणाली की रैखिक निर्भरता के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्तों पर प्रमेय।

वैक्टर की एक प्रणाली a1,a2,...,an को रैखिक रूप से निर्भर कहा जाता है यदि संख्याएं हैं λ1,λ2,...,λn जैसे कि उनमें से कम से कम एक गैर-शून्य है और λ1a1+λ2a2+...+λnan=0 . अन्यथा, सिस्टम को रैखिक रूप से स्वतंत्र कहा जाता है।

दो सदिश a1 और a2 को संरेख कहा जाता है यदि उनकी दिशाएं समान या विपरीत हों।

तीन सदिश a1,a2 और a3 समतलीय कहलाते हैं यदि वे किसी समतल के समानांतर हों।

रैखिक निर्भरता के लिए ज्यामितीय मानदंड:

a) प्रणाली (a1,a2) रैखिक रूप से निर्भर है यदि और केवल यदि सदिश a1 और a2 संरेख हैं।

बी) प्रणाली (ए 1, ए 2, ए 3) रैखिक रूप से निर्भर है यदि और केवल अगर वेक्टर ए 1, ए 2 और ए 3 समतल हैं।

प्रमेय (रैखिक निर्भरता के लिए एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त प्रणालीवैक्टर।)

वेक्टर सिस्टम वेक्टर अंतरिक्षहै रैखिकनिर्भर अगर और केवल अगर सिस्टम के वैक्टरों में से एक को दूसरों के संदर्भ में रैखिक रूप से व्यक्त किया जाता है वेक्टरयह प्रणाली।

परिणाम.1. एक सदिश समष्टि में सदिशों की एक प्रणाली रैखिक रूप से स्वतंत्र होती है यदि और केवल यदि प्रणाली का कोई भी सदिश इस प्रणाली के अन्य सदिशों के संदर्भ में रैखिक रूप से व्यक्त नहीं किया जाता है।2। एक सदिश प्रणाली जिसमें एक शून्य सदिश या दो समान सदिश होते हैं, रैखिक रूप से निर्भर होती है।

मैट्रिक्स गुणन के विपरीत ऑपरेशन को परिभाषित करने की समस्या पर विचार करें।

मान लीजिए कि n कोटि का एक वर्ग आव्यूह है। मैट्रिक्स A^(-1) , जो दिए गए मैट्रिक्स A के साथ निम्नलिखित समानता को संतुष्ट करता है:

A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E,

बुलाया उल्टा. मैट्रिक्स ए कहा जाता है प्रतिवर्ती, यदि इसका व्युत्क्रम है, अन्यथा - अचल.

यह परिभाषा से इस प्रकार है कि यदि व्युत्क्रम मैट्रिक्स A^(-1) मौजूद है, तो यह वर्ग जोड़ए के समान आदेश। हालांकि, हर वर्ग मैट्रिक्स का व्युत्क्रम नहीं होता है। यदि मैट्रिक्स A का सारणिक शून्य (\det(A)=0) के बराबर है, तो इसका कोई प्रतिलोम नहीं है। वास्तव में, पहचान मैट्रिक्स E=A^(-1)A के लिए मैट्रिक्स के उत्पाद के निर्धारक पर प्रमेय को लागू करने पर, हम एक विरोधाभास प्राप्त करते हैं

\det(E)=\det(A^(-1)\cdot A)=\det(A^(-1))\det(A)=\det(A^(-1))\cdot0=0

चूंकि पहचान मैट्रिक्स का निर्धारक 1 के बराबर है। यह पता चला है कि एक वर्ग मैट्रिक्स के निर्धारक के शून्य से अंतर एक व्युत्क्रम मैट्रिक्स के अस्तित्व के लिए एकमात्र शर्त है। याद रखें कि एक वर्ग मैट्रिक्स जिसका निर्धारक शून्य के बराबर होता है उसे पतित (एकवचन) कहा जाता है, अन्यथा - गैर-एकवचन (गैर-एकवचन)।

व्युत्क्रम मैट्रिक्स के अस्तित्व और विशिष्टता पर प्रमेय 4.1। वर्ग मैट्रिक्स A=\begin(pmatrix)a_(11)&\cdots&a_(1n)\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ a_(n1)&\cdots&a_(nn) \end(pmatrix), जिसका निर्धारक गैर-शून्य है, में एक व्युत्क्रम मैट्रिक्स है और इसके अलावा, केवल एक:

A^(-1)=\frac(1)(\det(A))\cdot\! \begin(pmatrix)A_(11)&A_(21)&\cdots&A_(1n)\\ A_(12)&A_(22)&\cdots&A_(n2)\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ A_(1n) )&A_(2n)&\cdots&A_(nn) \end(pmatrix)= \frac(1)(\det(A))\cdot A^(+),

जहां A^(+) मैट्रिक्स A के तत्वों के बीजीय पूरक से बना मैट्रिक्स के लिए स्थानांतरित मैट्रिक्स है।

मैट्रिक्स A^(+) कहा जाता है संलग्न मैट्रिक्समैट्रिक्स ए के संबंध में।

दरअसल, मैट्रिक्स \frac(1)(\det(A))\,A^(+)शर्त के तहत मौजूद है \det(A)\ne0 । हमें यह दिखाना होगा कि यह A के विपरीत है, अर्थात। दो शर्तों को पूरा करता है:

\begin(aligned)\mathsf(1))&~A\cdot\!\left(\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)\right)=E;\\ \mathsf (2))&~ \!\बाएं(\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)\right)\!\cdot A=E.\end(aligned)

आइए पहली समानता साबित करें। टिप्पणी 2.3 के मद 4 के अनुसार, सारणिक के गुणों से यह निष्कर्ष निकलता है कि AA^(+)=\det(A)\cdot E. इसीलिए

A\cdot\!\left(\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)\right)= \frac(1)(\det(A))\cdot AA^(+) = \frac(1)(\det(A))\cdot \det(A)\cdot E=E,

जिसे दिखाया जाना था। दूसरी समानता इसी तरह सिद्ध होती है। इसलिए, शर्त के तहत \det(A)\ne0, आव्यूह A का व्युत्क्रम होता है

A^(-1)=\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+).

हम प्रतिलोम मैट्रिक्स की विशिष्टता को विरोधाभास द्वारा सिद्ध करते हैं। चलो मैट्रिक्स के अलावा A^(-1) एक और उलटा मैट्रिक्स मौजूद है B\,(B\ne A^(-1)) ऐसा है कि AB=E । इस समानता के दोनों पक्षों को मैट्रिक्स A^(-1) द्वारा बाईं ओर गुणा करने पर, हम प्राप्त करते हैं \अंडरब्रेस(A^(-1)AB)_(E)=A^(-1)E. अत: B=A^(-1) , जो धारणा B\ne A^(-1) के विपरीत है। इसलिए, उलटा मैट्रिक्स अद्वितीय है।

टिप्पणी 4.1

1. इस परिभाषा से यह निष्कर्ष निकलता है कि आव्यूह A और A^(-1) क्रमपरिवर्तनीय हैं।

2. एक गैर-डीजेनरेट विकर्ण के विपरीत मैट्रिक्स भी विकर्ण है:

\Bigl[\operatorname(diag)(a_(11),a_(22),\ldots,a_(nn))\Bigr]^(-1)= \operatorname(diag)\!\left(\frac(1) )(a_(11)),\,\frac(1)(a_(22)),\,\ldots,\,\frac(1)(a_(nn))\right)\!.

3. मैट्रिक्स एक nondegenerate निचले (ऊपरी) त्रिकोणीय मैट्रिक्स के विपरीत निचला (ऊपरी) त्रिकोणीय है।

4. प्राथमिक आव्यूहों के व्युत्क्रम होते हैं, जो प्राथमिक भी होते हैं (टिप्पणी 1.11 का मद 1 देखें)।

उलटा मैट्रिक्स गुण

मैट्रिक्स उलटा ऑपरेशन है निम्नलिखित गुण:

\begin(aligned)\bold(1.)&~~ (A^(-1))^(-1)=A\,;\\ \bold(2.)&~~ (AB)^(-1 )=B^(-1)A^(-1)\,;\\ \bold(3.)&~~ (A^T)^(-1)=(A^(-1))^T\ ,;\\ \bold(4.)&~~ \det(A^(-1))=\frac(1)(\det(A))\,;\\ \bold(5.)&~~ ई^(-1)=ई\,। \ अंत (गठबंधन)

यदि समानता 1-4 में संकेतित संचालन समझ में आता है।

आइए संपत्ति 2 साबित करें: यदि समान कोटि के गैर-एकवचन वर्ग आव्यूहों के गुणनफल AB में प्रतिलोम आव्यूह है, तो (एबी)^(-1)=बी^(-1)ए^(-1).

वास्तव में, आव्यूह AB के गुणनफल का सारणिक शून्य के बराबर नहीं है, क्योंकि

\det(A\cdot B)=\det(A)\cdot\det(B), कहाँ पे \det(A)\ne0,~\det(B)\ne0

इसलिए, व्युत्क्रम मैट्रिक्स (AB)^(-1) मौजूद है और अद्वितीय है। आइए हम परिभाषा के अनुसार दिखाएं कि मैट्रिक्स B^(-1)A^(-1) मैट्रिक्स AB के सापेक्ष उलटा है। सचमुच।

कई गुणों में व्युत्क्रम के समान।

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उलटा मैट्रिक्स कैसे खोजें - bezbotvy

उलटा मैट्रिक्स (खोजने के 2 तरीके)

उलटा मैट्रिक्स #1

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✪ 2015-01-27। उलटा मैट्रिक्स 2x2

उपशीर्षक

उलटा मैट्रिक्स गुण

• det A - 1 = 1 det A (\displaystyle \det A^(-1)=(\frac (1)(\det A))), कहाँ पे det (\displaystyle \\det )एक निर्धारक को दर्शाता है।
• (ए बी) − 1 = बी − 1 ए − 1 (\displaystyle \ (एबी)^(-1)=बी^(-1)ए^(-1))दो वर्ग उल्टे मैट्रिक्स के लिए ए (\ डिस्प्लेस्टाइल ए)तथा बी (\ डिस्प्लेस्टाइल बी).
• (ए टी) - 1 = (ए -1) टी (\displaystyle \ (ए^(टी))^(-1)=(ए^(-1))^(टी)), कहाँ पे (...) टी (\displaystyle (...)^(टी))ट्रांसपोज़्ड मैट्रिक्स को दर्शाता है।
• (के ए) - 1 = के - 1 ए - 1 (\displaystyle \ (केए)^(-1)=k^(-1)A^(-1))किसी गुणांक के लिए के 0 (\displaystyle k\नहीं = 0).
• ई - 1 = ई (\displaystyle \ ई^(-1)=ई).
• यदि रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करना आवश्यक है, (बी एक गैर-शून्य वेक्टर है) जहां x (\displaystyle x)वांछित वेक्टर है, और यदि ए -1 (\displaystyle ए^(-1))मौजूद है, तो x = A − 1 b (\displaystyle x=A^(-1)b). अन्यथा, या तो समाधान स्थान का आयाम शून्य से अधिक है, या कोई भी नहीं है।

उलटा मैट्रिक्स खोजने के तरीके

यदि मैट्रिक्स उलटा है, तो मैट्रिक्स के व्युत्क्रम को खोजने के लिए, आप निम्न विधियों में से एक का उपयोग कर सकते हैं:

सटीक (प्रत्यक्ष) तरीके

गॉस-जॉर्डन विधि

आइए दो मैट्रिक्स लें: स्वयं एऔर एकल इ. आइए मैट्रिक्स लाते हैं एगॉस-जॉर्डन विधि द्वारा पहचान मैट्रिक्स के लिए पंक्तियों में परिवर्तन लागू करना (आप स्तंभों में परिवर्तन भी लागू कर सकते हैं, लेकिन मिश्रण में नहीं)। प्रत्येक ऑपरेशन को पहले मैट्रिक्स में लागू करने के बाद, उसी ऑपरेशन को दूसरे पर लागू करें। जब पहले मैट्रिक्स की पहचान फॉर्म में कमी पूरी हो जाती है, तो दूसरा मैट्रिक्स बराबर होगा ए -1.

गॉस विधि का उपयोग करते समय, पहले मैट्रिक्स को बाईं ओर से प्राथमिक मैट्रिक्स में से एक से गुणा किया जाएगा मैं (\displaystyle \लैम्ब्डा _(i))(एक स्थिति को छोड़कर, मुख्य विकर्ण पर वाले के साथ ट्रांसवेक्शन या विकर्ण-मैट्रिक्स):

1 ⋯ n ⋅ ए = Λ ए = ई ⇒ = ए − 1 (\displaystyle \लैम्ब्डा _(1)\cdot \dots \cdot \Lambda _(n)\cdot A=\Lambda A=E \Rightarrow \Lambda =A^(-1)). एम = [ 1 … 0 - ए 1 मीटर / एएम एम 0 … 0 … 0 … 1 - ए एम - 1 मीटर / एम एम 0 … 0 0 … 0 1 / एम एम 0 … 0 0 … 0 - ए एम + 1 मी / एम एम 1 … 0 … 0 … 0 - ए एन एम / ए एम एम 0 … 1 ] (\displaystyle \लैम्ब्डा _(एम)=(\begin(bmatrix)1&\dots &0&-a_(1m)/a_(mm)&0&\dots &0\\ &&&\dots &&&\\0&\dots &1&-a_(m-1m)/a_(mm)&0&\dots &0\\0&\dots &0&1/a_(mm)&0&\dots &0\\0&\dots &0&-a_( m+1m)/a_(mm)&1&\dots &0\\&&&\dots &&&\\0&\dots &0&-a_(nm)/a_(mm)&0&\dots &1\end(bmatrix))).

सभी परिचालनों को लागू करने के बाद दूसरा मैट्रिक्स बराबर होगा (\displaystyle \लैम्ब्डा ), यानी वांछित होगा। एल्गोरिथम की जटिलता - ओ (एन 3) (\ डिस्प्लेस्टाइल ओ (एन ^ (3))).

बीजीय योगों के मैट्रिक्स का उपयोग करना

मैट्रिक्स उलटा मैट्रिक्स ए (\ डिस्प्लेस्टाइल ए), रूप में प्रतिनिधित्व करते हैं

A − 1 = adj (A) det (A) (\displaystyle (A)^(-1)=(((\mbox(adj))(A)) \over (\det(A))))

कहाँ पे adj (ए) (\displaystyle (\mbox(adj))(ए))- संलग्न मैट्रिक्स;

एल्गोरिथ्म की जटिलता, सारणिक O det की गणना के लिए एल्गोरिथ्म की जटिलता पर निर्भर करती है और O(n²) O det के बराबर होती है।

LU/LUP अपघटन का उपयोग करना

मैट्रिक्स समीकरण A X = I n (\displaystyle AX=I_(n))उलटा मैट्रिक्स के लिए एक्स (\डिस्प्लेस्टाइल एक्स)संग्रह के रूप में देखा जा सकता है n (\displaystyle n)फॉर्म की प्रणाली A x = b (\displaystyle Ax=b). निरूपित मैं (\displaystyle मैं)- मैट्रिक्स का वां कॉलम एक्स (\डिस्प्लेस्टाइल एक्स)के माध्यम से X i (\displaystyle X_(i)); फिर A X i = e i (\displaystyle AX_(i)=e_(i)), मैं = 1 ,… , n (\displaystyle i=1,\ldots ,n),क्यों कि मैं (\displaystyle मैं)- मैट्रिक्स का वां कॉलम मैं n (\displaystyle I_(n))है इकाई वेक्टर ई मैं (\displaystyle e_(i)). दूसरे शब्दों में, व्युत्क्रम मैट्रिक्स को खोजने के लिए एक ही मैट्रिक्स और विभिन्न दाहिने हाथ के साथ n समीकरणों को हल करने के लिए कम किया जाता है। LUP विस्तार (समय O(n³)) चलाने के बाद प्रत्येक n समीकरणों को हल करने में O(n²) समय लगता है, इसलिए कार्य के इस भाग में O(n³) समय भी लगता है।

यदि मैट्रिक्स ए गैर-एकवचन है, तो हम इसके लिए एलयूपी अपघटन की गणना कर सकते हैं पी ए = एल यू (\displaystyle PA=LU). होने देना पी ए = बी (\ डिस्प्लेस्टाइल पीए = बी), बी -1 = डी (\displaystyle बी^(-1)=डी). फिर, व्युत्क्रम मैट्रिक्स के गुणों से, हम लिख सकते हैं: डी = यू − 1 एल − 1 (\displaystyle डी=यू^(-1)एल^(-1)). यदि हम इस समानता को U और L से गुणा करें, तो हमें फॉर्म की दो समानताएँ मिल सकती हैं यू डी = एल - 1 (\displaystyle UD=L^(-1))तथा डी एल = यू - 1 (\displaystyle DL=U^(-1)). इनमें से पहली समानता n² की एक प्रणाली है रेखीय समीकरणके लिये n (n + 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n+1))(2)))जिनमें से दाहिने हाथ की भुजाएँ ज्ञात हैं (त्रिकोणीय आव्यूह के गुणों से)। दूसरा भी . के लिए n² रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली है n (n − 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n-1))(2)))जिनमें से दाहिने हाथ की भुजाएँ ज्ञात हैं (त्रिकोणीय आव्यूह के गुणों से भी)। साथ में वे n² समानता की एक प्रणाली बनाते हैं। इन समानताओं का उपयोग करके, हम मैट्रिक्स D के सभी n² तत्वों को पुनरावर्ती रूप से निर्धारित कर सकते हैं। फिर समानता (PA) −1 = A −1 P −1 = B −1 = D से हम समानता प्राप्त करते हैं A − 1 = D P (\displaystyle A^(-1)=DP).

एलयू अपघटन का उपयोग करने के मामले में, मैट्रिक्स डी के कॉलम के क्रमपरिवर्तन की आवश्यकता नहीं है, लेकिन मैट्रिक्स ए नॉनसिंगुलर होने पर भी समाधान अलग हो सकता है।

एल्गोरिथ्म की जटिलता ओ (एन³) है।

पुनरावृत्त तरीके

शुल्त्स तरीके

( k = E - A U k , U k + 1 = U k ∑ i = 0 n Ψ k i (\displaystyle (\begin(cases))\Psi _(k)=E-AU_(k),\\U_( k+1)=U_(k)\sum _(i=0)^(n)\Psi _(k)^(i)\end(cases)))

त्रुटि अनुमान

प्रारंभिक सन्निकटन का विकल्प

यहां पर विचार किए गए पुनरावृत्त मैट्रिक्स व्युत्क्रम की प्रक्रियाओं में प्रारंभिक सन्निकटन को चुनने की समस्या हमें उन्हें स्वतंत्र सार्वभौमिक तरीकों के रूप में व्यवहार करने की अनुमति नहीं देती है जो प्रत्यक्ष उलटा विधियों के साथ प्रतिस्पर्धा करते हैं, उदाहरण के लिए, मैट्रिस के एलयू अपघटन पर। चुनने के लिए कुछ सिफारिशें हैं यू 0 (\displaystyle U_(0)), शर्त की पूर्ति सुनिश्चित करना ρ (Ψ 0) < 1 {\displaystyle \rho (\Psi _{0})<1} (मैट्रिक्स की वर्णक्रमीय त्रिज्या एकता से कम है), जो प्रक्रिया के अभिसरण के लिए आवश्यक और पर्याप्त है। हालांकि, इस मामले में, पहले, इनवर्टिबल मैट्रिक्स ए या मैट्रिक्स के स्पेक्ट्रम के अनुमान के ऊपर से जानना आवश्यक है ए ए टी (\displaystyle एए^(टी))(अर्थात्, यदि A एक सममित धनात्मक निश्चित आव्यूह है और (ए) β (\displaystyle \rho (ए)\leq \beta ), तो आप ले सकते हैं यू 0 = α ई (\displaystyle U_(0)=(\alpha )E), कहाँ पे ; अगर ए एक मनमाना गैर-एकवचन मैट्रिक्स है और ρ (ए ए टी) β (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq \beta ), तो मान लीजिए यू 0 = α ए टी (\displaystyle U_(0)=(\alpha )A^(T)), कहाँ भी α ∈ (0 , 2 β) (\displaystyle \alpha \in \left(0,(\frac (2)(\beta ))\right)); बेशक, स्थिति को सरल बनाया जा सकता है और इस तथ्य का उपयोग करके कि ρ (A A T) k A A T k (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq (\mathcal (k))AA^(T)(\mathcal (k))), रखना यू 0 = ए टी ‖ ए ए टी ‖ (\displaystyle U_(0)=(\frac (A^(T))(\|AA^(T)\|)))) दूसरे, प्रारंभिक मैट्रिक्स के ऐसे विनिर्देश के साथ, इस बात की कोई गारंटी नहीं है कि 0 ‖ (\displaystyle \|\साई _(0)\|)छोटा होगा (शायद यहां तक ​​कि 0 ‖ > 1 (\displaystyle \|\साई _(0)\|>1)), और अभिसरण दर का एक उच्च क्रम तुरंत स्पष्ट नहीं होगा।

उदाहरण

मैट्रिक्स 2x2

A - 1 = [ a b c d ] - 1 = 1 det (A) [ d - b - c a ] = 1 a d - b c [ d - b - c a ] । (\displaystyle \mathbf (ए) ^(-1)=(\begin(bmatrix)a&b\\c&d\\\end(bmatrix))^(-1)=(\frac (1)(\det(\mathbf) (ए))))(\begin(bmatrix)\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end(bmatrix))=(\frac (1)(ad- बीसी))(\begin(bmatrix)\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end(bmatrix)).)

2x2 मैट्रिक्स का व्युत्क्रम केवल इस शर्त के तहत संभव है कि a d - b c = det A ≠ 0 (\displaystyle ad-bc=\det A\neq 0).

आमतौर पर, जटिल बीजीय व्यंजकों को सरल बनाने के लिए व्युत्क्रम संक्रियाओं का उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि समस्या में भिन्न से विभाजन का संचालन शामिल है, तो आप इसे व्युत्क्रम से गुणा करने के ऑपरेशन से बदल सकते हैं, जो कि उलटा ऑपरेशन है। इसके अलावा, मैट्रिक्स को विभाजित नहीं किया जा सकता है, इसलिए आपको व्युत्क्रम मैट्रिक्स से गुणा करने की आवश्यकता है। 3x3 मैट्रिक्स के व्युत्क्रम की गणना करना काफी कठिन है, लेकिन आपको इसे मैन्युअल रूप से करने में सक्षम होना चाहिए। आप एक अच्छे रेखांकन कैलकुलेटर के साथ पारस्परिक भी पा सकते हैं।

कदम

संलग्न मैट्रिक्स का उपयोग करना

मूल मैट्रिक्स को स्थानांतरित करें।ट्रांसपोज़िशन मैट्रिक्स के मुख्य विकर्ण के सापेक्ष स्तंभों के साथ पंक्तियों का प्रतिस्थापन है, अर्थात, आपको तत्वों (i, j) और (j, i) को स्वैप करने की आवश्यकता है। इस मामले में, मुख्य विकर्ण के तत्व (ऊपरी बाएं कोने में शुरू होते हैं और निचले दाएं कोने में समाप्त होते हैं) नहीं बदलते हैं।

• कॉलम के लिए पंक्तियों को स्वैप करने के लिए, पहली पंक्ति के तत्वों को पहले कॉलम में, दूसरी पंक्ति के तत्वों को दूसरे कॉलम में और तीसरी पंक्ति के तत्वों को तीसरे कॉलम में लिखें। तत्वों की स्थिति बदलने का क्रम चित्र में दिखाया गया है, जिसमें संबंधित तत्वों को रंगीन वृत्तों से परिचालित किया जाता है।

प्रत्येक 2x2 मैट्रिक्स की परिभाषा पाएं।किसी भी मैट्रिक्स का प्रत्येक तत्व, ट्रांसपोज़्ड सहित, संबंधित 2x2 मैट्रिक्स से जुड़ा होता है। एक निश्चित तत्व से मेल खाने वाले 2x2 मैट्रिक्स को खोजने के लिए, उस पंक्ति और कॉलम को पार करें जिसमें यह तत्व स्थित है, यानी आपको मूल 3x3 मैट्रिक्स के पांच तत्वों को पार करने की आवश्यकता है। चार तत्व जो संबंधित 2x2 मैट्रिक्स के तत्व हैं, बिना क्रॉस किए रहेंगे।

• उदाहरण के लिए, दूसरी पंक्ति और पहले कॉलम के चौराहे पर स्थित तत्व के लिए 2x2 मैट्रिक्स को खोजने के लिए, दूसरी पंक्ति और पहले कॉलम में मौजूद पांच तत्वों को पार करें। शेष चार तत्व संगत 2x2 मैट्रिक्स के तत्व हैं।
• प्रत्येक 2x2 आव्यूह का सारणिक ज्ञात कीजिए। ऐसा करने के लिए, मुख्य विकर्ण के तत्वों के उत्पाद से द्वितीयक विकर्ण के तत्वों के उत्पाद को घटाएं (आंकड़ा देखें)।
• 3x3 मैट्रिक्स के कुछ तत्वों से संबंधित 2x2 मैट्रिक्स के बारे में विस्तृत जानकारी इंटरनेट पर पाई जा सकती है।

सहकारकों का एक मैट्रिक्स बनाएँ।कॉफ़ैक्टर्स के एक नए मैट्रिक्स के रूप में पहले प्राप्त परिणामों को रिकॉर्ड करें। ऐसा करने के लिए, प्रत्येक 2x2 मैट्रिक्स का पाया गया निर्धारक लिखें जहां 3x3 मैट्रिक्स का संबंधित तत्व स्थित था। उदाहरण के लिए, यदि तत्व (1,1) के लिए 2x2 मैट्रिक्स माना जाता है, तो इसके निर्धारक को स्थिति (1,1) में लिखें। फिर संबंधित तत्वों के संकेतों को एक निश्चित पैटर्न के अनुसार बदलें, जो कि चित्र में दिखाया गया है।

• साइन चेंज स्कीम: पहली लाइन के पहले एलिमेंट का साइन नहीं बदलता है; पहली पंक्ति के दूसरे तत्व का चिन्ह उल्टा है; पहली पंक्ति के तीसरे तत्व का चिन्ह नहीं बदलता है, और इसी तरह लाइन दर लाइन। कृपया ध्यान दें कि संकेत "+" और "-", जो आरेख में दिखाए गए हैं (आकृति देखें), यह इंगित नहीं करते हैं कि संबंधित तत्व सकारात्मक या नकारात्मक होगा। इस मामले में, "+" चिह्न इंगित करता है कि तत्व का चिह्न नहीं बदलता है, और "-" चिह्न इंगित करता है कि तत्व का चिह्न बदल गया है।
• कॉफ़ेक्टर मैट्रिसेस के बारे में विस्तृत जानकारी इंटरनेट पर पाई जा सकती है।
• इस प्रकार आप मूल मैट्रिक्स के संबंधित मैट्रिक्स को ढूंढते हैं। इसे कभी-कभी जटिल संयुग्म मैट्रिक्स कहा जाता है। इस तरह के एक मैट्रिक्स को adj(M) के रूप में दर्शाया जाता है।

सारणिक द्वारा आसन्न मैट्रिक्स के प्रत्येक तत्व को विभाजित करें।मैट्रिक्स एम के निर्धारक की गणना शुरुआत में ही यह जांचने के लिए की गई थी कि व्युत्क्रम मैट्रिक्स मौजूद है। अब इस सारणिक द्वारा आसन्न मैट्रिक्स के प्रत्येक तत्व को विभाजित करें। प्रत्येक डिवीजन ऑपरेशन का परिणाम रिकॉर्ड करें जहां संबंधित तत्व स्थित है। तो आपको मैट्रिक्स मिलेगा, मूल का व्युत्क्रम।

• आकृति में दिखाए गए मैट्रिक्स का निर्धारक 1 है। इस प्रकार, यहां संबंधित मैट्रिक्स उलटा मैट्रिक्स है (क्योंकि किसी भी संख्या को 1 से विभाजित करने से यह नहीं बदलता है)।
• कुछ स्रोतों में, विभाजन संक्रिया को गुणन संक्रिया द्वारा 1/det(M) से बदल दिया जाता है। इस मामले में, अंतिम परिणाम नहीं बदलता है।

व्युत्क्रम मैट्रिक्स लिखिए।बड़े मैट्रिक्स के दाहिने आधे भाग पर स्थित तत्वों को एक अलग मैट्रिक्स के रूप में लिखें, जो एक व्युत्क्रम मैट्रिक्स है।

कैलकुलेटर की मेमोरी में मूल मैट्रिक्स दर्ज करें।ऐसा करने के लिए, यदि उपलब्ध हो तो मैट्रिक्स बटन पर क्लिक करें। टेक्सास इंस्ट्रूमेंट्स कैलकुलेटर के लिए, आपको दूसरा और मैट्रिक्स बटन दबाने की आवश्यकता हो सकती है।

संपादन मेनू का चयन करें।इसे कैलकुलेटर के कीबोर्ड के शीर्ष पर स्थित तीर बटन या संबंधित फ़ंक्शन बटन का उपयोग करके करें (बटन का स्थान कैलकुलेटर मॉडल पर निर्भर करता है)।

मैट्रिक्स पदनाम दर्ज करें।अधिकांश रेखांकन कैलकुलेटर 3-10 मैट्रिक्स के साथ काम कर सकते हैं, जिन्हें निरूपित किया जा सकता है अक्षर A-J. एक सामान्य नियम के रूप में, मूल मैट्रिक्स को दर्शाने के लिए बस [ए] का चयन करें। फिर एंटर बटन दबाएं।

मैट्रिक्स आकार दर्ज करें।यह आलेख 3x3 मैट्रिक्स के बारे में बात करता है। लेकिन ग्राफिकल कैलकुलेटर बड़े मैट्रिक्स के साथ काम कर सकते हैं। पंक्तियों की संख्या दर्ज करें, एंटर बटन दबाएं, फिर कॉलम की संख्या दर्ज करें और फिर से एंटर बटन दबाएं।

मैट्रिक्स के प्रत्येक तत्व को दर्ज करें।कैलकुलेटर स्क्रीन पर एक मैट्रिक्स प्रदर्शित होगा। यदि कैलकुलेटर में पहले से ही एक मैट्रिक्स दर्ज किया गया है, तो यह स्क्रीन पर दिखाई देगा। कर्सर मैट्रिक्स के पहले तत्व को हाइलाइट करेगा। पहले तत्व का मान दर्ज करें और एंटर दबाएं। कर्सर स्वचालित रूप से मैट्रिक्स के अगले तत्व पर चला जाएगा।