प्रिज्म (2019) के बारे में वह सब कुछ जो आपको जानना आवश्यक है। एक नियमित हेक्सागोनल प्रिज्म का सबसे बड़ा विकर्ण, जिसकी लंबाई d है, प्रिज्म के किनारे के साथ एक कोण α बनाता है। प्रिज्म का आयतन ज्ञात कीजिए

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पांचवीं शताब्दी ईसा पूर्व में, एलिया के प्राचीन यूनानी दार्शनिक ज़ेनो ने अपने प्रसिद्ध एपोरिया तैयार किए, जिनमें से सबसे प्रसिद्ध एपोरिया "अकिलीज़ एंड द कछुआ" है। यहां बताया गया है कि यह कैसा लगता है:

मान लीजिए कि अकिलीस कछुए से दस गुना तेज दौड़ता है और उससे एक हजार कदम पीछे है। जिस समय के दौरान अकिलीज़ इतनी दूरी चलाता है, कछुआ उसी दिशा में सौ कदम रेंगता है। जब अकिलीज़ सौ कदम दौड़ चुका होता है, तो कछुआ दस कदम और रेंगता है, और इसी तरह। प्रक्रिया अनिश्चित काल तक जारी रहेगी, अकिलीज़ कछुआ को कभी नहीं पकड़ पाएगा।

यह तर्क बाद की सभी पीढ़ियों के लिए एक तार्किक आघात बन गया। अरस्तू, डायोजनीज, कांट, हेगेल, गिल्बर्ट ... उन सभी को, एक तरह से या किसी अन्य, ज़ेनो के अपोरिया माना जाता है। झटका इतना जोरदार था कि " ... वर्तमान समय में चर्चा जारी है, वैज्ञानिक समुदाय अभी तक विरोधाभासों के सार के बारे में एक आम राय में आने में कामयाब नहीं हुआ है ... गणितीय विश्लेषण, सेट सिद्धांत, नए भौतिक और दार्शनिक दृष्टिकोण इस मुद्दे के अध्ययन में शामिल थे। ; उनमें से कोई भी समस्या का सार्वभौमिक रूप से स्वीकृत समाधान नहीं बन पाया ..."[विकिपीडिया," ज़ेनो के एपोरियास "]। हर कोई समझता है कि उन्हें मूर्ख बनाया जा रहा है, लेकिन कोई नहीं समझता कि धोखा क्या है।

गणित के दृष्टिकोण से, ज़ेनो ने अपने एपोरिया में मूल्य से संक्रमण को स्पष्ट रूप से प्रदर्शित किया। यह संक्रमण स्थिरांक के बजाय आवेदन करने का तात्पर्य है। जहां तक ​​मैं समझता हूं, माप की परिवर्तनीय इकाइयों को लागू करने के लिए गणितीय उपकरण या तो अभी तक विकसित नहीं हुआ है, या इसे ज़ेनो के एपोरिया पर लागू नहीं किया गया है। हमारे सामान्य तर्क का प्रयोग हमें एक जाल में ले जाता है। हम, सोच की जड़ता से, समय की निरंतर इकाइयों को पारस्परिक पर लागू करते हैं। भौतिक दृष्टिकोण से, ऐसा लगता है कि जब अकिलीज़ कछुए को पकड़ता है, तो समय पूरी तरह से रुक जाता है। यदि समय रुक जाता है, तो अकिलीज़ कछुआ से आगे नहीं निकल सकता।

अगर हम उस तर्क को बदल दें जिसके हम आदी हैं, तो सब कुछ ठीक हो जाता है। अखिलेश निरंतर गति से दौड़ता है। इसके पथ का प्रत्येक बाद का खंड पिछले वाले की तुलना में दस गुना छोटा है। तदनुसार, इस पर काबू पाने में लगने वाला समय पिछले वाले की तुलना में दस गुना कम है। यदि हम इस स्थिति में "अनंत" की अवधारणा को लागू करते हैं, तो यह कहना सही होगा कि "अकिलीज़ असीम रूप से जल्दी से कछुए से आगे निकल जाएगा।"

इस तार्किक जाल से कैसे बचें? समय की निरंतर इकाइयों में बने रहें और पारस्परिक मूल्यों पर स्विच न करें। ज़ेनो की भाषा में, यह इस तरह दिखता है:

अकिलीज़ को एक हज़ार कदम चलने में जितना समय लगता है, उसी दिशा में कछुआ सौ कदम रेंगता है। अगले समय अंतराल के दौरान, पहले के बराबर, अकिलीज़ एक और हज़ार कदम चलाएगा, और कछुआ एक सौ कदम क्रॉल करेगा। अब अकिलीस कछुआ से आठ सौ कदम आगे है।

यह दृष्टिकोण बिना किसी तार्किक विरोधाभास के वास्तविकता का पर्याप्त रूप से वर्णन करता है। लेकिन यह नहीं है पूरा समाधानसमस्या। प्रकाश की गति की दुर्गमता के बारे में आइंस्टीन का कथन ज़ेनो के एपोरिया "अकिलीज़ एंड द कछुआ" के समान है। हमें अभी इस समस्या का अध्ययन, पुनर्विचार और समाधान करना है। और समाधान को असीम रूप से बड़ी संख्या में नहीं, बल्कि माप की इकाइयों में खोजा जाना चाहिए।

ज़ेनो का एक और दिलचस्प एपोरिया उड़ते हुए तीर के बारे में बताता है:

एक उड़ता हुआ तीर गतिहीन होता है, क्योंकि वह प्रत्येक क्षण में विरामावस्था में होता है, और चूँकि वह प्रत्येक क्षण में विरामावस्था में होता है, इसलिए वह सदैव विरामावस्था में रहता है।

इस एपोरिया में, तार्किक विरोधाभास को बहुत सरलता से दूर किया जाता है - यह स्पष्ट करने के लिए पर्याप्त है कि प्रत्येक क्षण में उड़ने वाला तीर अंतरिक्ष में विभिन्न बिंदुओं पर आराम करता है, जो वास्तव में गति है। यहां एक और बात ध्यान देने योग्य है। सड़क पर एक कार की एक तस्वीर से, उसके चलने के तथ्य या उससे दूरी का निर्धारण करना असंभव है। कार की गति के तथ्य को निर्धारित करने के लिए, एक ही बिंदु से अलग-अलग समय पर दो तस्वीरों की आवश्यकता होती है, लेकिन दूरी निर्धारित करने के लिए उनका उपयोग नहीं किया जा सकता है। कार की दूरी निर्धारित करने के लिए, आपको एक ही समय में अंतरिक्ष में विभिन्न बिंदुओं से ली गई दो तस्वीरों की आवश्यकता होती है, लेकिन आप उनसे गति के तथ्य को निर्धारित नहीं कर सकते हैं (बेशक, आपको गणना के लिए अतिरिक्त डेटा की आवश्यकता है, त्रिकोणमिति आपकी मदद करेगी) . मैं किस पर ध्यान केंद्रित करना चाहता हूं विशेष ध्यान, यह है कि समय में दो बिंदु और अंतरिक्ष में दो बिंदु अलग-अलग चीजें हैं जिन्हें भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए, क्योंकि वे अन्वेषण के लिए अलग-अलग अवसर प्रदान करते हैं।

बुधवार, 4 जुलाई 2018

बहुत अच्छी तरह से विकिपीडिया में सेट और मल्टीसेट के बीच के अंतरों का वर्णन किया गया है। हम देखो।

जैसा कि आप देख सकते हैं, "सेट में दो समान तत्व नहीं हो सकते", लेकिन यदि सेट में समान तत्व हैं, तो ऐसे सेट को "मल्टीसेट" कहा जाता है। विवेकशील प्राणी बेतुकेपन के ऐसे तर्क को कभी नहीं समझेंगे। यह बात करने वाले तोते और प्रशिक्षित बंदरों का स्तर है, जिसमें मन "पूरी तरह से" शब्द से अनुपस्थित है। गणितज्ञ सामान्य प्रशिक्षकों के रूप में कार्य करते हैं, अपने बेतुके विचारों का हमें प्रचार करते हैं।

एक बार की बात है, पुल का निर्माण करने वाले इंजीनियर पुल के परीक्षणों के दौरान पुल के नीचे एक नाव में थे। पुल ढह गया तो उसकी रचना के मलबे के नीचे औसत दर्जे का इंजीनियर मर गया। यदि पुल भार का सामना कर सकता है, तो प्रतिभाशाली इंजीनियर ने अन्य पुलों का निर्माण किया।

कोई फर्क नहीं पड़ता कि गणितज्ञ "माइंड मी, आई एम इन द हाउस" वाक्यांश के पीछे कैसे छिपते हैं, या बल्कि "गणित अमूर्त अवधारणाओं का अध्ययन करता है", एक गर्भनाल है जो उन्हें वास्तविकता से जोड़ती है। यह गर्भनाल धन है। आइए हम गणितीय समुच्चय सिद्धांत को स्वयं गणितज्ञों पर लागू करें।

हमने गणित का बहुत अच्छा अध्ययन किया और अब हम कैश डेस्क पर बैठे हैं, वेतन दे रहे हैं। यहाँ एक गणितज्ञ अपने पैसे के लिए हमारे पास आता है। हम उसके लिए पूरी राशि गिनते हैं और उसे अपनी मेज पर अलग-अलग ढेर में रख देते हैं, जिसमें हम एक ही मूल्यवर्ग के बिल डालते हैं। फिर हम प्रत्येक ढेर से एक बिल लेते हैं और गणितज्ञ को उसका "गणितीय वेतन सेट" देते हैं। हम गणित की व्याख्या करते हैं कि वह शेष बिल तभी प्राप्त करेगा जब वह यह साबित कर देगा कि समान तत्वों के बिना सेट समान तत्वों वाले सेट के बराबर नहीं है। मज़ा यहां शुरू होता है।

सबसे पहले, डिप्टी का तर्क काम करेगा: "आप इसे दूसरों पर लागू कर सकते हैं, लेकिन मुझ पर नहीं!" इसके अलावा, आश्वासन शुरू हो जाएगा कि एक ही मूल्यवर्ग के बैंक नोटों पर अलग-अलग बैंकनोट नंबर हैं, जिसका अर्थ है कि उन्हें समान तत्व नहीं माना जा सकता है। खैर, हम वेतन को सिक्कों में गिनते हैं - सिक्कों पर कोई संख्या नहीं होती है। यहाँ गणितज्ञ भौतिकी को आक्षेप में याद करना शुरू कर देगा: अलग सिक्केगंदगी की एक अलग मात्रा होती है, क्रिस्टल संरचना और प्रत्येक सिक्के के परमाणुओं की व्यवस्था अद्वितीय होती है...

और अब मेरे पास सबसे ब्याज पूछो: वह सीमा कहाँ है जिसके आगे एक मल्टीसेट के तत्व समुच्चय के तत्वों में बदल जाते हैं और इसके विपरीत? ऐसी रेखा मौजूद नहीं है - सब कुछ शेमस द्वारा तय किया जाता है, यहां विज्ञान भी करीब नहीं है।

यहाँ देखो। हम समान क्षेत्र वाले फुटबॉल स्टेडियमों का चयन करते हैं। खेतों का क्षेत्रफल समान है, जिसका अर्थ है कि हमारे पास एक मल्टीसेट है। लेकिन अगर हम उन्हीं स्टेडियमों के नामों पर विचार करें तो हमें बहुत कुछ मिलता है, क्योंकि नाम अलग-अलग होते हैं। जैसा कि आप देख सकते हैं, तत्वों का एक ही सेट एक ही समय में एक सेट और एक मल्टीसेट दोनों है। कितना सही? और यहाँ गणितज्ञ-शमन-शुलर अपनी आस्तीन से एक तुरुप का इक्का निकालता है और हमें एक सेट या एक मल्टीसेट के बारे में बताना शुरू करता है। किसी भी मामले में, वह हमें विश्वास दिलाएगा कि वह सही है।

यह समझने के लिए कि आधुनिक शेमैन सेट थ्योरी के साथ कैसे काम करते हैं, इसे वास्तविकता से बांधते हुए, एक प्रश्न का उत्तर देने के लिए पर्याप्त है: एक सेट के तत्व दूसरे सेट के तत्वों से कैसे भिन्न होते हैं? मैं आपको बिना किसी "एक पूरे के रूप में बोधगम्य" या "एक पूरे के रूप में बोधगम्य नहीं" के बिना दिखाऊंगा।

रविवार, 18 मार्च 2018

एक संख्या के अंकों का योग तंबूरा के साथ शेमस का नृत्य है, जिसका गणित से कोई लेना-देना नहीं है। हां, गणित के पाठों में हमें किसी संख्या के अंकों का योग ज्ञात करना और उसका उपयोग करना सिखाया जाता है, लेकिन वे उसके लिए शेमस हैं, अपने वंशजों को उनके कौशल और ज्ञान को सिखाने के लिए, अन्यथा शमां बस मर जाएंगे।

क्या आपको सबूत चाहिए? विकिपीडिया खोलें और "संख्या के अंकों का योग" पृष्ठ खोजने का प्रयास करें। वह मौजूद नहीं है। गणित में ऐसा कोई सूत्र नहीं है जिससे आप किसी भी संख्या के अंकों का योग ज्ञात कर सकें। आखिरकार, संख्याएँ ग्राफिक प्रतीक हैं जिनके साथ हम संख्याएँ लिखते हैं, और गणित की भाषा में, कार्य इस तरह लगता है: "किसी भी संख्या का प्रतिनिधित्व करने वाले ग्राफिक प्रतीकों का योग ज्ञात करें।" गणितज्ञ इस समस्या को हल नहीं कर सकते, लेकिन शेमस इसे मूल रूप से कर सकते हैं।

आइए जानें कि दी गई संख्या के अंकों का योग ज्ञात करने के लिए हम क्या और कैसे करते हैं। और इसलिए, मान लें कि हमारे पास संख्या 12345 है। इस संख्या के अंकों का योग ज्ञात करने के लिए क्या करना होगा? आइए क्रम में सभी चरणों पर विचार करें।

1. कागज के एक टुकड़े पर संख्या लिखिए। हमने क्या किया है? हमने संख्या को एक संख्या ग्राफिक प्रतीक में बदल दिया है। यह कोई गणितीय क्रिया नहीं है।

2. हमने एक प्राप्त तस्वीर को अलग-अलग संख्याओं वाले कई चित्रों में काट दिया। चित्र काटना कोई गणितीय क्रिया नहीं है।

3. अलग-अलग ग्राफिक वर्णों को संख्याओं में बदलें। यह कोई गणितीय क्रिया नहीं है।

4. परिणामी संख्याओं को जोड़ें। अब वह गणित है।

संख्या 12345 के अंकों का योग 15 है। ये गणितज्ञों द्वारा उपयोग किए जाने वाले शेमस के "काटने और सिलाई के पाठ्यक्रम" हैं। लेकिन वह सब नहीं है।

गणित की दृष्टि से इस बात से कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम किस संख्या प्रणाली में अंक लिखते हैं। तो, में विभिन्न प्रणालियाँगणना करने पर एक ही संख्या के अंकों का योग भिन्न होगा। गणित में, संख्या प्रणाली को संख्या के दाईं ओर एक सबस्क्रिप्ट के रूप में दर्शाया जाता है। 12345 की एक बड़ी संख्या के साथ, मैं अपने सिर को मूर्ख नहीं बनाना चाहता, लेख से 26 नंबर पर विचार करें। आइए इस नंबर को बाइनरी, ऑक्टल, डेसीमल और हेक्साडेसिमल नंबर सिस्टम में लिखें। हम माइक्रोस्कोप के तहत प्रत्येक चरण पर विचार नहीं करेंगे, हम पहले ही ऐसा कर चुके हैं। आइए परिणाम देखें।

जैसा कि आप देख सकते हैं, विभिन्न संख्या प्रणालियों में, एक ही संख्या के अंकों का योग भिन्न होता है। इस परिणाम का गणित से कोई लेना-देना नहीं है। यह वैसा ही है जैसे मीटर और सेंटीमीटर में आयत के क्षेत्रफल का निर्धारण करते समय आपको पूरी तरह से अलग परिणाम मिलेंगे।

सभी संख्या प्रणालियों में शून्य समान दिखता है और इसमें अंकों का कोई योग नहीं होता है। यह इस तथ्य के पक्ष में एक और तर्क है कि . गणितज्ञों के लिए एक प्रश्न: जो संख्या नहीं है उसे गणित में कैसे दर्शाया जाता है? क्या, गणितज्ञों के लिए, संख्याओं के अलावा कुछ भी मौजूद नहीं है? शेमस के लिए, मैं इसकी अनुमति दे सकता हूं, लेकिन वैज्ञानिकों के लिए, नहीं। वास्तविकता केवल संख्या के बारे में नहीं है।

प्राप्त परिणाम को इस बात का प्रमाण माना जाना चाहिए कि संख्या प्रणाली संख्याओं के मापन की इकाइयाँ हैं। क्योंकि हम संख्याओं की तुलना से नहीं कर सकते विभिन्न इकाइयांमाप। यदि एक ही मात्रा के माप की विभिन्न इकाइयों के साथ एक ही क्रिया की तुलना करने के बाद अलग-अलग परिणाम मिलते हैं, तो इसका गणित से कोई लेना-देना नहीं है।

असली गणित क्या है? यह तब होता है जब गणितीय क्रिया का परिणाम संख्या के मूल्य, उपयोग की गई माप की इकाई और इस क्रिया को करने वाले पर निर्भर नहीं करता है।

दरवाजे पर हस्ताक्षर करें दरवाजा खोलता है और कहता है:

आउच! क्या यह महिला शौचालय नहीं है?
- जवान महिला! स्वर्ग में स्वर्गारोहण पर आत्माओं की अनिश्चितकालीन पवित्रता का अध्ययन करने के लिए यह एक प्रयोगशाला है! शीर्ष पर निंबस और ऊपर तीर। और क्या शौचालय?

महिला... शीर्ष पर एक प्रभामंडल और नीचे एक तीर नर है।

यदि आपके पास दिन में कई बार आपकी आंखों के सामने डिजाइन कला का ऐसा काम है,

तब यह आश्चर्य की बात नहीं है कि आप अचानक अपनी कार में एक अजीब आइकन पाते हैं:

व्यक्तिगत रूप से, मैं अपने आप को एक शिकार करने वाले व्यक्ति (एक तस्वीर) में शून्य से चार डिग्री देखने का प्रयास करता हूं (कई चित्रों की संरचना: ऋण चिह्न, संख्या चार, डिग्री पदनाम)। और मैं इस लड़की को मूर्ख नहीं मानता जो भौतिकी नहीं जानती। उसके पास ग्राफिक छवियों की धारणा का एक चाप स्टीरियोटाइप है। और गणितज्ञ हमें हर समय यही सिखाते हैं। यहाँ एक उदाहरण है।

1A "माइनस फोर डिग्री" या "वन ए" नहीं है। यह हेक्साडेसिमल संख्या प्रणाली में "पोपिंग मैन" या संख्या "छब्बीस" है। जो लोग इस संख्या प्रणाली में लगातार काम करते हैं, वे संख्या और अक्षर को एक ग्राफिक प्रतीक के रूप में स्वचालित रूप से देखते हैं।

साइट ने पहले से ही कुछ प्रकार के स्टीरियोमेट्री कार्यों की समीक्षा की है जो गणित में एक परीक्षा के लिए कार्यों के एक ही बैंक में शामिल हैं।उदाहरण के लिए, कार्यों के बारे में।

एक प्रिज्म को नियमित कहा जाता है यदि इसकी पार्श्व भुजाएँ आधारों के लंबवत हों और एक नियमित बहुभुज आधारों में स्थित हो। अर्थात्, एक नियमित प्रिज्म एक सीधा प्रिज्म होता है, जिसके आधार पर एक नियमित बहुभुज होता है।

नियमित षट्कोणीय प्रिज्म - आधार पर एक नियमित षट्भुज है, साइड फेस- आयताकार।

इस लेख में, आपके लिए, एक नियमित षट्भुज पर आधारित एक प्रिज्म को हल करने के कार्य. समाधान में कोई ख़ासियत और कठिनाइयाँ नहीं हैं।क्या बात है? एक नियमित हेक्सागोनल प्रिज्म को देखते हुए, आपको दो शीर्षों के बीच की दूरी की गणना करने या दिए गए कोण को खोजने की आवश्यकता है। कार्य वास्तव में सरल हैं, अंत में एक समकोण त्रिभुज में एक तत्व खोजने के लिए समाधान नीचे आता है।

पाइथागोरस प्रमेय और प्रयोग किया जाता है। आवश्यक परिभाषाओं का ज्ञान त्रिकोणमितीय फलनएक समकोण त्रिभुज में।

में नियमित षट्भुज के बारे में जानकारी देखना सुनिश्चित करें।आपको उनमें से बड़ी संख्या में निकालने के कौशल की भी आवश्यकता होगी। आप पॉलीहेड्रा को हल कर सकते हैं, उन्होंने कोने और कोणों के बीच की दूरी की भी गणना की।

संक्षेप में: एक नियमित षट्भुज क्या है?

हम जानते हैं कि एक सम षट्भुज की भुजाएँ बराबर होती हैं। इसके अलावा, पक्षों के बीच के कोण भी बराबर होते हैं.

*विपरीत पक्ष समानांतर हैं।

अतिरिक्त जानकारी

एक नियमित षट्भुज के चारों ओर परिचालित वृत्त की त्रिज्या उसकी भुजा के बराबर होती है। *इसकी बहुत सरलता से पुष्टि की जाती है: यदि हम षट्भुज के विपरीत शीर्षों को जोड़ते हैं, तो हमें छह समान समबाहु त्रिभुज प्राप्त होते हैं। समबाहु क्यों?

प्रत्येक त्रिभुज के केंद्र में उसके शीर्ष पर स्थित कोण 60 . है 0 (360:6=60)। चूँकि त्रिभुज की दो भुजाएँ हैं जिनके केंद्र में एक उभयनिष्ठ शीर्ष बराबर है (ये परिबद्ध वृत्त की त्रिज्याएँ हैं), तो ऐसे समद्विबाहु त्रिभुज के आधार पर प्रत्येक कोण भी 60 डिग्री के बराबर होता है।

अर्थात्, एक नियमित षट्भुज, आलंकारिक रूप से बोलना, छह समान समबाहु त्रिभुजों से बना होता है।

समस्याओं को हल करने के लिए अन्य कौन से उपयोगी तथ्य पर ध्यान दिया जाना चाहिए? एक षट्भुज का शीर्ष कोण (इसकी आसन्न भुजाओं के बीच का कोण) 120 डिग्री है।

*जानबूझकर एक नियमित एन-गॉन के सूत्रों पर स्पर्श नहीं किया। हम भविष्य में इन सूत्रों पर विस्तार से विचार करेंगे, यहाँ इनकी आवश्यकता नहीं है।

कार्यों पर विचार करें:

272533। एक नियमित हेक्सागोनल प्रिज्म एबीसीडीईएफए 1 बी 1 सी 1 डी 1 ई 1 एफ 1 में सभी किनारों 48 के बराबर हैं। बिंदु ए और ई 1 के बीच की दूरी पाएं।

विचार करना सही त्रिकोणआ 1 ई 1 . पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:

*एक नियमित षट्भुज की भुजाओं के बीच का कोण 120 डिग्री होता है।

धारा एई 1 कर्ण है, AA 1 और ए 1 ई 1 पैर। रिब एए 1 हम जानते हैं। लेग ए 1 ई 1 का उपयोग करके हम पा सकते हैं।

प्रमेय: त्रिभुज की किसी भी भुजा का वर्ग योग के बराबर हैअन्य दो भुजाओं के वर्ग, इन भुजाओं के गुणनफल को उनके बीच के कोण की कोज्या से दोगुना किए बिना।

फलस्वरूप

पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:

उत्तर: 96

*कृपया ध्यान दें कि 48 को बिल्कुल भी चुकता करने की आवश्यकता नहीं है।

एक नियमित षट्कोणीय प्रिज्म ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 में सभी किनारे 35 के बराबर हैं। बिंदु B और E के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

ऐसा कहा जाता है कि सभी किनारे 35 के बराबर हैं, यानी आधार पर स्थित षट्भुज की भुजा 35 है। और साथ ही, जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, इसके चारों ओर वर्णित वृत्त की त्रिज्या समान संख्या के बराबर है।

इस तरह,

उत्तर: 70

273353. एक नियमित हेक्सागोनल प्रिज्म ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 में, सभी किनारे पांच में से चालीस जड़ों के बराबर हैं। बिंदुओं के बीच की दूरी का पता लगाएं बीऔर ई1.

एक समकोण त्रिभुज पर विचार करें BB 1 ई 1 . पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:

धारा बी 1 ई 1 एक नियमित षट्भुज के चारों ओर परिबद्ध एक वृत्त की दो त्रिज्याओं के बराबर है, और इसकी त्रिज्या षट्भुज की भुजा के बराबर है, अर्थात्

इस तरह,

उत्तर: 200

273683। एक नियमित हेक्सागोनल प्रिज्म एबीसीडीईएफए 1 बी 1 सी 1 डी 1 ई 1 एफ 1 में सभी किनारों 45 के बराबर हैं। कोण एडी 1 डी के स्पर्शरेखा का पता लगाएं।

एक समकोण त्रिभुज पर विचार करें जिसमें 1 जोड़ें विज्ञापनआधार के चारों ओर घिरे एक वृत्त के व्यास के बराबर। यह ज्ञात है कि एक नियमित षट्भुज के चारों ओर परिचालित वृत्त की त्रिज्या उसकी भुजा के बराबर होती है।

इस तरह,

उत्तर: 2

एक नियमित हेक्सागोनल प्रिज्म एबीसीडीईएफए 1 बी 1 सी 1 डी 1 ई 1 एफ 1 में सभी किनारे 23 के बराबर हैं। कोण खोजें डी ए बी. अपना उत्तर अंशों में दें।

एक नियमित षट्भुज पर विचार करें:

इसमें भुजाओं के बीच का कोण 120° होता है। माध्यम,

किनारे की लंबाई ही मायने नहीं रखती, यह कोण मान को प्रभावित नहीं करती है।

उत्तर: 60

एक नियमित हेक्सागोनल प्रिज्म एबीसीडीईएफए 1 बी 1 सी 1 डी 1 ई 1 एफ 1 में सभी किनारे 10 के बराबर हैं। कोण एसी 1 सी खोजें। अपना उत्तर डिग्री में दें।

एक समकोण त्रिभुज AC 1 C पर विचार करें:

हमे पता करने दें एसी. एक नियमित षट्भुज में, इसकी भुजाओं के बीच के कोण 120 डिग्री होते हैं, फिर त्रिभुज के लिए कोज्या प्रमेय द्वाराएबीसी:

इस तरह,

अतः कोण AC 1 सी 60 डिग्री के बराबर है।

उत्तर: 60

274453. एक नियमित षट्कोणीय प्रिज्म ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 में सभी किनारे 10 के बराबर हैं। कोण AC 1 C खोजें। अपना उत्तर डिग्री में दें।

नियमित हेक्सागोनल प्रिज्म- एक प्रिज्म, जिसके आधार पर दो नियमित षट्भुज होते हैं, और सभी पार्श्व फलक इन आधारों के लंबवत होते हैं।

• ए बी सी डी ई एफ ए1 बी1 सी1 डी1 इ1 एफ1 - नियमित हेक्सागोनल प्रिज्म
• एक- प्रिज्म के आधार के किनारे की लंबाई
• एच- प्रिज्म के किनारे के किनारे की लंबाई
• एसमुख्य- प्रिज्म का आधार क्षेत्र
• एसपक्ष ।- प्रिज्म के पार्श्व फलक का क्षेत्रफल
• एसभरा हुआ ।- वर्ग पूरी सतहप्रिज्म
• वीप्रिज्म- प्रिज्म वॉल्यूम

प्रिज्म का आधार क्षेत्र

प्रिज्म के आधार पक्षों के साथ नियमित षट्भुज हैं एक. एक नियमित षट्भुज के गुणों के अनुसार, एक प्रिज्म के आधारों का क्षेत्रफल होता है

इस तरफ

एसमुख्य= 3 3 √ 2 ⋅ एक2

इस प्रकार, यह पता चला है कि एसए बी सी डी ई एफ= एसए1 बी1 सी1 डी1 इ1 एफ1 = 3 3 √ 2 ⋅ एक2

प्रिज्म का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल

प्रिज्म की कुल सतह का क्षेत्रफल प्रिज्म के पार्श्व चेहरों के क्षेत्रों और इसके आधारों के क्षेत्रों का योग है। प्रिज्म के प्रत्येक पार्श्व फलक भुजाओं वाला एक आयत है एकतथा एच. अत: आयत के गुणों से

एसपक्ष ।= एक एच

एक प्रिज्म की छह भुजाएँ और दो आधार होते हैं, इसलिए इसका कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल है

एसभरा हुआ ।= 6 ⋅ एसपक्ष ।+ 2 ⋅ एसमुख्य= 6 ए एच + 2 3 3 √ 2 ⋅ एक2

प्रिज्म वॉल्यूम

एक प्रिज्म के आयतन की गणना उसके आधार के क्षेत्रफल और उसकी ऊँचाई के गुणनफल के रूप में की जाती है। कद दायां प्रिज्मइसका कोई भी किनारा है, उदाहरण के लिए, किनारा ए ए1 . एक नियमित षट्कोणीय प्रिज्म के आधार पर एक नियमित षट्भुज होता है जिसका क्षेत्रफल हमें ज्ञात होता है। हम पाते हैं

वीप्रिज्म= एसमुख्यए ए1 = 3 3 √ 2 ⋅ एक2 ओह

एक प्रिज्म के आधार पर नियमित षट्भुज

हम नियमित षट्भुज ABCDEF पर विचार करते हैं, जो प्रिज्म के आधार पर स्थित है।

AD, BE और CF खंड खींचिए। मान लीजिए कि बिंदु O इन खंडों का प्रतिच्छेदन है।

एक नियमित षट्भुज के गुणों के अनुसार, त्रिभुज AOB, BOC, COD, DOE, EOF, FOA नियमित त्रिभुज हैं। इसलिए यह इस प्रकार है कि

ए ओ = ओ डी = ई ओ = ओ बी = सी ओ = ओ एफ = ए

हम बिंदु M पर AE प्रतिच्छेदी खंड CF खींचते हैं। त्रिभुज AEO समद्विबाहु है, इसमें ए ओ = ओ ई = ए, ∠ ई ओ ए = 120 ∘ . समद्विबाहु त्रिभुज के गुणों के अनुसार।

ए ई = ए 2 (1 - क्योंकि ई ओ ए )− − − − − − − − − − − − √ = 3 √ ए

इसी प्रकार, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि ए सी = सी ई = 3 √ ए, एफ एम = एम ओ = 1 2 ए.

हम देखतें है इ ए1

एक त्रिभुज मेंए ई ए1 :

• ए ए1 = एच
• ए ई = 3 √ ए- जैसा कि हमें अभी पता चला है
• ई ए ए1 = 90 ∘

ए ई ए1

इ ए1 = ए ए2 1 + ए इ2 − − − − − − − − − − √ = एच2 + 3 ⋅ एक2 − − − − − − − − √

यदि एक एच = ए, तो फिर इ ए1 = 2 ए

एफ बी1 = ए सी1 =बी डी1 =सी इ1 = डी एफ1 = एच2 + 3 ⋅ एक2 − − − − − − − − √ .

हम देखतें हैइबी 1

एक त्रिभुज में होना बी1 :

• बी बी1 = एच
• बी ई = 2 ए- इसलिये ई ओ = ओ बी = ए
• ई बी बी1 = 90 ∘ - एक नियमित सीधी रेखा के गुणों के अनुसार

इस प्रकार, यह पता चला है कि त्रिभुज होना बी1 आयताकार। एक समकोण त्रिभुज के गुणों के अनुसार

इ बी1 = बी बी2 1 + बी इ2 − − − − − − − − − − √ = एच2 + 4 ⋅ एक2 − − − − − − − − √

यदि एक एच = ए, तो फिर

इ बी1 = 5 √ ए

इसी तरह के तर्क के बाद, हम पाते हैं कि एफ सी1 = ए डी1 =बी इ1 =सी एफ1 = डी ए1 = एच2 + 4 ⋅ एक2 − − − − − − − − √ .

हम देखतें है हे एफ1

एक त्रिभुज में एफ ओ एफ1 :

• एफ एफ1 = एच
• एफ ओ = ए
• ओ एफ एफ1 = 90 ∘ - एक नियमित प्रिज्म के गुणों के अनुसार

इस प्रकार, यह पता चला है कि त्रिभुज एफ ओ एफ1 आयताकार। एक समकोण त्रिभुज के गुणों के अनुसार

हे एफ1 = एफ एफ2 1 + ओ एफ2 − − − − − − − − − − √ = एच2 + एक2 − − − − − − √

यदि एक एच = ए, तो फिर