Određeni integral. Kako izračunati površinu figure

Prijeđimo na razmatranje primjene integralnog računa. U ovoj lekciji ćemo analizirati tipičan i najčešći zadatak – kako pomoću određenog integrala izračunati površinu figure u ravnini. Konačno u potrazi za smislom viša matematika- neka ga nađu. Nikad ne znaš. Morat ćemo to približiti u životu područje seoske vikendice elementarne funkcije i pronaći njezino područje koristeći određeni integral.

Za uspješno savladavanje gradiva potrebno je:

1) Razumjeti neodređeni integral barem na srednjoj razini. Stoga bi lutke prvo trebale pročitati lekciju Ne.

2) Znati primijeniti Newton-Leibnizovu formulu i izračunati određeni integral. S određenim integralima na stranici možete uspostaviti tople prijateljske odnose Određeni integral. Primjeri rješenja.

Zapravo, da biste pronašli površinu figure, ne trebate toliko znanja o neodređenom i određenom integralu. Zadatak "izračunaj površinu koristeći određeni integral" uvijek uključuje izradu crteža, puno vise aktualno pitanje bit će vaše znanje i vještine u crtanju. U tom smislu, korisno je osvježiti svoje pamćenje grafikonima glavnih elementarne funkcije, te, najmanje, biti u stanju konstruirati ravnu liniju, parabolu i hiperbolu. To se može učiniti (za mnoge je potrebno) uz pomoć metodološkog materijala i članka o geometrijskim transformacijama grafova.

Zapravo, svatko je od škole upoznat sa zadatkom pronalaženja površine pomoću određenog integrala i nećemo ići puno dalje od školskog programa. Ovaj članak možda uopće nije postojao, ali činjenica je da se problem javlja u 99 slučajeva od 100, kada učenik pati od omražene škole i s entuzijazmom svladava kolegij iz više matematike.

Materijali ove radionice prezentirani su jednostavno, detaljno i s minimumom teorije.

Počnimo s zakrivljenim trapezom.

Krivolinijski trapez je ravna figura omeđena osi, ravnim linijama i graf funkcije kontinuirane na intervalu koji ne mijenja predznak na tom intervalu. Neka se ova figura nalazi ne manje x-os:

Zatim površina krivocrtnog trapeza brojčano je jednaka određenom integralu. Svaki određeni integral (koji postoji) ima vrlo dobar geometrijsko značenje. Na lekciji Određeni integral. Primjeri rješenja Rekao sam da je određeni integral broj. A sada je vrijeme da navedemo još jednu korisnu činjenicu. Sa stajališta geometrije, određeni integral je POVRŠINA.

To je, određeni integral (ako postoji) geometrijski odgovara površini određene figure. Na primjer, razmotrimo određeni integral. Integrand definira krivulju na ravnini koja se nalazi iznad osi (oni koji žele mogu napraviti crtež), a sam definitivni integral je numerički jednako površini odgovarajući zakrivljeni trapez.

Primjer 1

Ovo je tipična izjava o dodjeli. Prva i najvažnija točka u odluci je izrada crteža. Štoviše, crtež mora biti konstruiran PRAVO.

Prilikom izrade crteža preporučujem sljedeći redoslijed: isprva bolje je konstruirati sve ravne linije (ako postoje) i samo Zatim– parabole, hiperbole, grafove drugih funkcija. Isplativije je graditi grafove funkcija točku po točku, tehnika gradnje točka po točka može se pronaći u referentnom materijalu Grafovi i svojstva elementarnih funkcija. Tamo također možete pronaći vrlo koristan materijal za našu lekciju - kako brzo izgraditi parabolu.

U ovom problemu rješenje bi moglo izgledati ovako.
Nacrtajmo crtež (imajte na umu da jednadžba definira os):

Neću zasjeniti zakrivljeni trapez, ovdje je očito o kojem području govorimo. Rješenje se nastavlja ovako:

Na segmentu se nalazi graf funkcije iznad osi, Zato:

Odgovor:

Tko ima poteškoća s izračunavanjem određenog integrala i primjenom Newton-Leibnizove formule , uputiti na predavanje Određeni integral. Primjeri rješenja.

Nakon obavljenog zadatka uvijek je korisno pogledati crtež i ustanoviti je li odgovor stvaran. U ovom slučaju, broj ćelija na crtežu brojimo "na oko" - pa, bit će oko 9, čini se da je istina. Potpuno je jasno da kada bismo dobili, recimo, odgovor: 20 kvadratnih jedinica, onda je očito da je negdje napravljena pogreška - 20 ćelija očito ne stane u dotičnu brojku, najviše desetak. Ako je odgovor negativan, onda je i zadatak netočno riješen.

Primjer 2

Izračunajte površinu figure omeđene linijama , , i osi

Ovo je primjer za neovisna odluka. Kompletno rješenje a odgovor na kraju lekcije.

Što učiniti ako se nalazi zakrivljeni trapez ispod osovine?

Primjer 3

Izračunajte površinu figure omeđene linijama i koordinatnim osima.

Riješenje: Napravimo crtež:

Ako se nalazi zakrivljeni trapez ispod osovine(ili barem ne viši dana os), tada se njegova površina može pronaći pomoću formule:
U ovom slučaju:

Pažnja! Te dvije vrste zadataka ne treba brkati:

1) Ako se od vas traži da jednostavno riješite određeni integral bez ikakvog geometrijskog značenja, on može biti negativan.

2) Ako se od vas traži da pronađete površinu figure koristeći određeni integral, tada je površina uvijek pozitivna! Zbog toga se minus pojavljuje u formuli o kojoj smo upravo govorili.

U praksi se najčešće lik nalazi i u gornjoj i u donjoj poluravnini, pa se s najjednostavnijih školskih zadataka prelazi na sadržajnije primjere.

Primjer 4

Odredite površinu ravnog lika omeđenog linijama , .

Riješenje: Prvo morate dovršiti crtež. Općenito govoreći, kod konstruiranja crteža u problemima površina najviše nas zanimaju točke sjecišta linija. Nađimo sjecišne točke parabole i pravca. To se može učiniti na dva načina. Prva metoda je analitička. Rješavamo jednadžbu:

To znači da je donja granica integracije , a gornja granica integracije .
Ako je moguće, bolje je ne koristiti ovu metodu..

Puno je isplativije i brže konstruirati linije točku po točku, a granice integracije postaju jasne "same od sebe". Tehnika konstrukcije od točke do točke za različite grafove detaljno je objašnjena u pomoći Grafovi i svojstva elementarnih funkcija. Usprkos tome, analitička metoda pronalaženja granica ipak se ponekad mora koristiti ako je, na primjer, graf dovoljno velik, ili detaljna konstrukcija nije otkrila granice integracije (one mogu biti frakcijske ili iracionalne). I mi ćemo također razmotriti takav primjer.

Vratimo se našem zadatku: racionalnije je prvo konstruirati ravnu crtu, a tek onda parabolu. Napravimo crtež:

Ponavljam da se kod točkaste konstrukcije granice integracije najčešće pronalaze “automatski”.

A sada radna formula: Ako postoji neka kontinuirana funkcija na segmentu veći ili jednak neka kontinuirana funkcija , tada se površina figure omeđena grafovima tih funkcija i linijama , , može pronaći pomoću formule:

Ovdje više ne morate razmišljati o tome gdje se figura nalazi - iznad osi ili ispod osi, i, grubo rečeno, bitno je koji je graf VIŠI(u odnosu na drugi grafikon), a koji je ISPOD.

U primjeru koji se razmatra, očito je da se na segmentu parabola nalazi iznad ravne linije, pa je potrebno oduzeti od

Gotovo rješenje može izgledati ovako:

Željena figura ograničena je parabolom iznad i ravnom linijom ispod.
Na segmentu, prema odgovarajućoj formuli:

Odgovor:

Zapravo, školska formula za područje krivuljastog trapeza u donjoj poluravnini (vidi jednostavan primjer br. 3) je poseban slučaj formule . Budući da je os određena jednadžbom, a nalazi se i graf funkcije ne viši sjekire, dakle

A sada nekoliko primjera za vlastito rješenje

Primjer 5

Primjer 6

Odredite površinu lika omeđenog linijama , .

Prilikom rješavanja zadataka koji uključuju izračunavanje površine pomoću određenog integrala ponekad se dogodi smiješan događaj. Crtanje je urađeno ispravno, proračuni su bili točni, ali zbog nepažnje... pronađeno je područje pogrešne figure, upravo tako je tvoj ponizni sluga zeznuo nekoliko puta. Evo slučaja iz stvarnog života:

Primjer 7

Izračunaj površinu lika omeđenog linijama , , , .

Riješenje: Prvo, napravimo crtež:

...Eh, crtež je ispao bezveze, ali čini se da je sve čitljivo.

Lik čije područje trebamo pronaći je osjenčan plavom bojom(pažljivo pogledajte stanje - koliko je brojka ograničena!). Ali u praksi, zbog nepažnje, često se javlja "greška" da morate pronaći područje figure koje je zasjenjeno zelena!

Ovaj primjer je također koristan jer izračunava površinu figure pomoću dva određena integrala. Stvarno:

1) Na segmentu iznad osi nalazi se graf ravne linije;

2) Na segmentu iznad osi nalazi se graf hiperbole.

Sasvim je očito da se područja mogu (i trebaju) dodati, dakle:

Odgovor:

Prijeđimo na drugi smisleni zadatak.

Primjer 8

Izračunaj površinu figure omeđene linijama,
Predstavimo jednadžbe u "školskom" obliku i nacrtajmo točku po točku:

Iz crteža je jasno da je naša gornja granica “dobra”: .
Ali koja je donja granica?! Jasno je da to nije cijeli broj, ali što je to? Može biti ? Ali gdje je jamstvo da je crtež napravljen sa savršenom točnošću, moglo bi se ispostaviti da... Ili korijen. Što ako smo krivo napravili graf?

U takvim slučajevima morate potrošiti dodatno vrijeme i analitički razjasniti granice integracije.

Nađimo sjecišne točke pravca i parabole.
Da bismo to učinili, rješavamo jednadžbu:


,

Stvarno,.

Daljnje rješenje je trivijalno, glavna stvar je da se ne zbunite u zamjenama i znakovima; izračuni ovdje nisu najjednostavniji.

Na segmentu , prema odgovarajućoj formuli:

Odgovor:

Pa, da zaključimo lekciju, pogledajmo još dva teža zadatka.

Primjer 9

Izračunaj površinu lika omeđenog linijama , ,

Riješenje: Hajde da nacrtamo ovu figuru na crtežu.

Kvragu, zaboravio sam potpisati raspored i, oprostite, nisam htio ponoviti sliku. Nije dan za izvlačenje, ukratko, danas je taj dan =)

Za gradnju od točke do točke morate znati izgled sinusoide (i općenito je korisno znati grafovi svih elementarnih funkcija), kao i neke sinusne vrijednosti, mogu se pronaći u trigonometrijska tablica. U nekim slučajevima (kao u ovom slučaju) moguće je konstruirati shematski crtež na kojem bi grafikoni i granice integracije trebali biti temeljno ispravno prikazani.

Ovdje nema problema s granicama integracije; one slijede izravno iz uvjeta: "x" se mijenja od nule do "pi". Donesimo daljnju odluku:

Na segmentu se graf funkcije nalazi iznad osi, dakle:

U ovom ćete članku naučiti kako pomoću integralnih izračuna pronaći površinu figure omeđene linijama. Prvi put se s formulacijom ovakvog problema susrećemo u srednjoj školi, kada smo tek završili učenje određenih integrala i vrijeme je da počnemo geometrijska interpretacija znanje stekao u praksi.

Dakle, što je potrebno za uspješno rješavanje problema pronalaženja površine figure pomoću integrala:

• Sposobnost izrade kompetentnih crteža;
• Sposobnost rješavanja određenog integrala pomoću poznate Newton-Leibnizove formule;
• Sposobnost da se "vidi" opcija isplativijeg rješenja - tj. razumjeti kako će biti prikladnije provesti integraciju u jednom ili drugom slučaju? Duž x-osi (OX) ili y-osi (OY)?
• Pa, gdje bismo bili bez točnih izračuna?) Ovo uključuje razumijevanje kako riješiti tu drugu vrstu integrala i ispravne numeričke izračune.

Algoritam za rješavanje problema izračunavanja površine figure ograničene linijama:

1. Gradimo crtež. Preporučljivo je to učiniti na kariranom komadu papira, u velikom mjerilu. Naziv ove funkcije potpisujemo olovkom iznad svakog grafa. Potpisivanje grafikona vrši se isključivo radi praktičnosti daljnjih izračuna. Nakon što dobijete grafikon željene brojke, u većini slučajeva bit će odmah jasno koje će se granice integracije koristiti. Dakle, grafički rješavamo problem. Međutim, događa se da su vrijednosti granica frakcijske ili iracionalne. Stoga možete napraviti dodatne izračune, idite na drugi korak.

2. Ako granice integracije nisu eksplicitno navedene, tada pronalazimo točke međusobnog presjeka grafova i vidimo podudara li se naše grafičko rješenje s analitičkim.

3. Zatim morate analizirati crtež. Ovisno o tome kako su raspoređeni grafikoni funkcija, postoje različiti pristupi pronalaženju površine figure. Pogledajmo različite primjere pronalaženja površine figure pomoću integrala.

3.1. Najklasičnija i najjednostavnija verzija problema je kada trebate pronaći područje zakrivljenog trapeza. Što je zakrivljeni trapez? Ovo je ravna figura ograničena x-osom (y = 0), ravno x = a, x = b i svaka krivulja kontinuirana na intervalu od a prije b. Štoviše, ova brojka nije negativna i ne nalazi se ispod x-osi. U ovom slučaju, površina krivuljastog trapeza numerički je jednaka određenom integralu, izračunatom pomoću formule Newton-Leibniz:

Primjer 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Kojim je linijama omeđena figura? Imamo parabolu y = x2 – 3x + 3, koji se nalazi iznad osi OH, nije negativan, jer sve točke ove parabole imaju pozitivne vrijednosti. Dalje, s obzirom na ravne linije x = 1 I x = 3, koji idu paralelno s osi OU, granične su linije figure s lijeve i desne strane. Dobro y = 0, to je također x-os, koja ograničava lik odozdo. Dobivena figura je osjenčana, kao što se može vidjeti na slici lijevo. U tom slučaju možete odmah početi rješavati problem. Pred nama je jednostavan primjer zakrivljenog trapeza, koji zatim rješavamo koristeći Newton-Leibnizovu formulu.

3.2. U prethodnom paragrafu 3.1 ispitali smo slučaj kada se zakrivljeni trapez nalazi iznad x-osi. Sada razmotrite slučaj kada su uvjeti problema isti, osim što funkcija leži ispod x-osi. Standardnoj Newton-Leibnizovoj formuli dodaje se minus. U nastavku ćemo razmotriti kako riješiti takav problem.

Primjer 2 . Izračunajte površinu figure omeđene linijama y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

U ovom primjeru imamo parabolu y = x2 + 6x + 2, koji potječe od os OH, ravno x = -4, x = -1, y = 0. Ovdje y = 0 ograničava željenu figuru odozgo. Direktno x = -4 I x = -1 to su granice unutar kojih će se izračunati određeni integral. Princip rješavanja problema pronalaženja područja figure gotovo se u potpunosti podudara s primjerom broj 1. Jedina je razlika u tome što dana funkcija nije pozitivna, a još uvijek kontinuirana na intervalu [-4; -1] . Kako to misliš nije pozitivno? Kao što je vidljivo sa slike, lik koji se nalazi unutar zadanih x-ova ima isključivo “negativne” koordinate, što moramo vidjeti i zapamtiti prilikom rješavanja problema. Područje figure tražimo pomoću formule Newton-Leibniz, samo s znakom minus na početku.

Članak nije dovršen.

Prijeđimo na razmatranje primjene integralnog računa. U ovoj lekciji ćemo analizirati tipičan i najčešći zadatak izračunavanje površine ravnog lika koristeći određeni integral. Neka konačno nađu svi oni koji traže smisao u višoj matematici. Nikad ne znaš. U stvarnom životu morat ćete aproksimirati parcelu dače pomoću elementarnih funkcija i pronaći njezino područje koristeći određeni integral.

Za uspješno savladavanje gradiva potrebno je:

1) Razumjeti neodređeni integral barem na srednjoj razini. Stoga bi lutke prvo trebale pročitati lekciju Ne.

2) Znati primijeniti Newton-Leibnizovu formulu i izračunati određeni integral. S određenim integralima na stranici možete uspostaviti tople prijateljske odnose Određeni integral. Primjeri rješenja. Zadatak "izračunaj površinu koristeći određeni integral" uvijek uključuje izradu crteža, pa će vaše znanje i vještine crtanja također biti relevantno pitanje. Najmanje morate biti u stanju konstruirati ravnu liniju, parabolu i hiperbolu.

Počnimo s zakrivljenim trapezom. Zakrivljeni trapez je ravna figura omeđena grafom neke funkcije g = f(x), os VOL i linije x = a; x = b.

Površina krivocrtnog trapeza brojčano je jednaka određenom integralu

Svaki određeni integral (koji postoji) ima vrlo dobro geometrijsko značenje. Na lekciji Određeni integral. Primjeri rješenja rekli smo da je određeni integral broj. A sada je vrijeme da navedemo još jednu korisnu činjenicu. Sa stajališta geometrije, određeni integral je POVRŠINA. To je, određeni integral (ako postoji) geometrijski odgovara površini određene figure. Promotrimo određeni integral

Integrand

definira krivulju na ravnini (može se nacrtati po želji), a sam određeni integral brojčano je jednak površini odgovarajućeg krivocrtnog trapeza.

Primjer 1

, , , .

Ovo je tipična izjava o dodjeli. Najvažnija točka rješenja – crtež. Štoviše, crtež mora biti konstruiran PRAVO.

Prilikom izrade crteža preporučujem sljedeći redoslijed: isprva bolje je konstruirati sve ravne linije (ako postoje) i samo Zatim– parabole, hiperbole, grafove drugih funkcija. Tehnika gradnje točka po točka može se pronaći u referentnom materijalu Grafovi i svojstva elementarnih funkcija. Tamo također možete pronaći vrlo koristan materijal za našu lekciju - kako brzo izgraditi parabolu.

U ovom problemu rješenje bi moglo izgledati ovako.

Napravimo crtež (imajte na umu da jednadžba g= 0 određuje os VOL):

Zakrivljeni trapez nećemo sjenčati, ovdje je očito o kojem području govorimo. Rješenje se nastavlja ovako:

Na segmentu [-2; 1] graf funkcije g = x 2 + 2 nalazi se iznad osiVOL, Zato:

Odgovor: .

Tko ima poteškoća s izračunavanjem određenog integrala i primjenom Newton-Leibnizove formule

,

uputiti na predavanje Određeni integral. Primjeri rješenja. Nakon obavljenog zadatka uvijek je korisno pogledati crtež i ustanoviti je li odgovor stvaran. U ovom slučaju, broj ćelija na crtežu brojimo "na oko" - pa, bit će oko 9, čini se da je istina. Posve je jasno da ako smo dobili, recimo, odgovor: 20 četvornih jedinica, onda je očito da je negdje napravljena pogreška - 20 ćelija očito ne stane u dotičnu brojku, najviše desetak. Ako je odgovor negativan, onda je i zadatak netočno riješen.

Primjer 2

Izračunajte površinu figure omeđene linijama xy = 4, x = 2, x= 4 i os VOL.

Ovo je primjer koji trebate sami riješiti. Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Što učiniti ako se nalazi zakrivljeni trapez ispod osovineVOL?

Primjer 3

Izračunajte površinu figure omeđene linijama g = e-x, x= 1 i koordinatne osi.

Rješenje: Napravimo crtež:

Ako je zakrivljeni trapez potpuno smješten ispod osi VOL , tada se njegova površina može pronaći pomoću formule:

U ovom slučaju:

.

Pažnja! Ne treba brkati dvije vrste zadataka:

1) Ako se od vas traži da jednostavno riješite određeni integral bez ikakvog geometrijskog značenja, on može biti negativan.

2) Ako se od vas traži da pronađete površinu figure koristeći određeni integral, tada je površina uvijek pozitivna! Zbog toga se minus pojavljuje u formuli o kojoj smo upravo govorili.

U praksi se najčešće lik nalazi i u gornjoj i u donjoj poluravnini, pa se s najjednostavnijih školskih zadataka prelazi na sadržajnije primjere.

Primjer 4

Odredite površinu ravne figure omeđene linijama g = 2x – x 2 , g = -x.

Rješenje: Prvo morate napraviti crtež. Kod konstruiranja crteža u problemima površina najviše nas zanimaju točke sjecišta linija. Nađimo sjecišne točke parabole g = 2x – x 2 i ravno g = -x. To se može učiniti na dva načina. Prva metoda je analitička. Rješavamo jednadžbu:

To znači da je donja granica integracije a= 0, gornja granica integracije b= 3. Često je profitabilnije i brže konstruirati linije točku po točku, a granice integracije postaju jasne "same od sebe". Usprkos tome, analitička metoda pronalaženja granica ipak se ponekad mora koristiti ako je, na primjer, graf dovoljno velik, ili detaljna konstrukcija nije otkrila granice integracije (one mogu biti frakcijske ili iracionalne). Vratimo se našem zadatku: racionalnije je prvo konstruirati ravnu crtu, a tek onda parabolu. Napravimo crtež:

Ponovimo da se kod točkaste konstrukcije granice integracije najčešće određuju “automatski”.

A sada radna formula:

Ako na segmentu [ a; b] neka kontinuirana funkcija f(x) veći ili jednak neka kontinuirana funkcija g(x), tada se površina odgovarajuće figure može pronaći pomoću formule:

Ovdje više ne morate razmišljati o tome gdje se figura nalazi - iznad osi ili ispod osi, već bitno je koji je graf VIŠI(u odnosu na drugi grafikon), a koji je ISPOD.

U primjeru koji se razmatra, očito je da se na segmentu parabola nalazi iznad ravne linije, pa stoga od 2 x – x 2 se mora oduzeti – x.

Gotovo rješenje može izgledati ovako:

Željena figura ograničena je parabolom g = 2x – x 2 na vrhu i ravno g = -x ispod.

Na segmentu 2 x – x 2 ≥ -x. Prema odgovarajućoj formuli:

Odgovor: .

Zapravo, školska formula za površinu krivocrtnog trapeza u donjoj poluravnini (vidi primjer br. 3) poseban je slučaj formule

.

Budući da os VOL zadan jednadžbom g= 0, te graf funkcije g(x) koji se nalazi ispod osi VOL, To

.

A sada nekoliko primjera za vlastito rješenje

Primjer 5

Primjer 6

Pronađite površinu figure omeđene linijama

Prilikom rješavanja zadataka koji uključuju izračunavanje površine pomoću određenog integrala ponekad se dogodi smiješan događaj. Crtanje je urađeno ispravno, proračuni su bili točni, ali zbog nepažnje... Pronađeno je područje pogrešne figure.

Primjer 7

Prvo napravimo crtež:

Lik čije područje trebamo pronaći je osjenčan plavom bojom(pažljivo pogledajte stanje - koliko je brojka ograničena!). Ali u praksi, zbog nepažnje, ljudi često odluče da moraju pronaći područje figure koje je osjenčano zelenom bojom!

Ovaj primjer je također koristan jer izračunava površinu figure pomoću dva određena integrala. Stvarno:

1) Na segmentu [-1; 1] iznad osi VOL grafikon se nalazi ravno g = x+1;

2) Na segmentu iznad osi VOL nalazi se graf hiperbole g = (2/x).

Sasvim je očito da se područja mogu (i trebaju) dodati, dakle:

Odgovor:

Primjer 8

Izračunajte površinu figure omeđene linijama

Predstavimo jednadžbe u "školskom" obliku

i nacrtajte točku po točku:

Iz crteža je jasno da je naša gornja granica “dobra”: b = 1.

Ali koja je donja granica?! Jasno je da to nije cijeli broj, ali što je to?

Može biti, a=(-1/3)? Ali gdje je jamstvo da je crtež napravljen sa savršenom točnošću, moglo bi se i pokazati a=(-1/4). Što ako smo krivo napravili graf?

U takvim slučajevima morate potrošiti dodatno vrijeme i analitički razjasniti granice integracije.

Nađimo sjecišne točke grafova

Da bismo to učinili, rješavamo jednadžbu:

.

Stoga, a=(-1/3).

Daljnje rješenje je trivijalno. Glavna stvar je da se ne zbunite u zamjenama i znakovima. Izračuni ovdje nisu najjednostavniji. Na segmentu

, ,

prema odgovarajućoj formuli:

Odgovor:

Za kraj lekcije, pogledajmo još dva teža zadatka.

Primjer 9

Izračunajte površinu figure omeđene linijama

Rješenje: Nacrtajmo ovu figuru na crtežu.

Da biste konstruirali crtež od točke do točke, morate znati izgled sinusoide. Općenito, korisno je poznavati grafove svih elementarnih funkcija, kao i neke sinusne vrijednosti. Nalaze se u tablici vrijednosti trigonometrijske funkcije . U nekim slučajevima (na primjer, u ovom slučaju) moguće je konstruirati shematski crtež na kojem bi grafikoni i granice integracije trebali biti temeljno ispravno prikazani.

Ovdje nema problema s granicama integracije, one izravno proizlaze iz uvjeta:

– “x” se mijenja od nule do “pi”. Donesimo daljnju odluku:

Na segmentu, graf funkcije g= grijeh 3 x koji se nalazi iznad osi VOL, Zato:

(1) Možete vidjeti kako su sinusi i kosinusi integrirani u neparne potencije u lekciji Integrali trigonometrijskih funkcija. Uštinemo jedan sinus.

(2) Koristimo glavni trigonometrijski identitet u obrascu

(3) Promijenimo varijablu t=cos x, tada: se nalazi iznad osi, dakle:

.

.

Bilješka: primijetite kako se uzima integral tangente u kocki; ovdje se koristi korolar glavnog trigonometrijski identitet

.

U ovom ćete članku naučiti kako pomoću integralnih izračuna pronaći površinu figure omeđene linijama. Prvi put se s formulacijom ovakvog problema susrećemo u srednjoj školi, kada smo tek završili učenje određenih integrala i kada je vrijeme da se pristupi geometrijskoj interpretaciji stečenog znanja u praksi.

Dakle, što je potrebno za uspješno rješavanje problema pronalaženja površine figure pomoću integrala:

• Sposobnost izrade kompetentnih crteža;
• Sposobnost rješavanja određenog integrala pomoću poznate Newton-Leibnizove formule;
• Sposobnost da se "vidi" opcija isplativijeg rješenja - tj. razumjeti kako će biti prikladnije provesti integraciju u jednom ili drugom slučaju? Duž x-osi (OX) ili y-osi (OY)?
• Pa, gdje bismo bili bez točnih izračuna?) Ovo uključuje razumijevanje kako riješiti tu drugu vrstu integrala i ispravne numeričke izračune.

Algoritam za rješavanje problema izračunavanja površine figure ograničene linijama:

1. Gradimo crtež. Preporučljivo je to učiniti na kariranom komadu papira, u velikom mjerilu. Naziv ove funkcije potpisujemo olovkom iznad svakog grafa. Potpisivanje grafikona vrši se isključivo radi praktičnosti daljnjih izračuna. Nakon što dobijete grafikon željene brojke, u većini slučajeva bit će odmah jasno koje će se granice integracije koristiti. Dakle, grafički rješavamo problem. Međutim, događa se da su vrijednosti granica frakcijske ili iracionalne. Stoga možete napraviti dodatne izračune, idite na drugi korak.

2. Ako granice integracije nisu eksplicitno navedene, tada pronalazimo točke međusobnog presjeka grafova i vidimo podudara li se naše grafičko rješenje s analitičkim.

3. Zatim morate analizirati crtež. Ovisno o tome kako su raspoređeni grafikoni funkcija, postoje različiti pristupi pronalaženju površine figure. Pogledajmo različite primjere pronalaženja površine figure pomoću integrala.

3.1. Najklasičnija i najjednostavnija verzija problema je kada trebate pronaći područje zakrivljenog trapeza. Što je zakrivljeni trapez? Ovo je ravna figura ograničena x-osom (y = 0), ravno x = a, x = b i svaka krivulja kontinuirana na intervalu od a prije b. Štoviše, ova brojka nije negativna i ne nalazi se ispod x-osi. U ovom slučaju, površina krivuljastog trapeza numerički je jednaka određenom integralu, izračunatom pomoću formule Newton-Leibniz:

Primjer 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Kojim je linijama omeđena figura? Imamo parabolu y = x2 – 3x + 3, koji se nalazi iznad osi OH, nije negativan, jer sve točke ove parabole imaju pozitivne vrijednosti. Dalje, s obzirom na ravne linije x = 1 I x = 3, koji idu paralelno s osi OU, granične su linije figure s lijeve i desne strane. Dobro y = 0, to je također x-os, koja ograničava lik odozdo. Dobivena figura je osjenčana, kao što se može vidjeti na slici lijevo. U tom slučaju možete odmah početi rješavati problem. Pred nama je jednostavan primjer zakrivljenog trapeza, koji zatim rješavamo koristeći Newton-Leibnizovu formulu.

3.2. U prethodnom paragrafu 3.1 ispitali smo slučaj kada se zakrivljeni trapez nalazi iznad x-osi. Sada razmotrite slučaj kada su uvjeti problema isti, osim što funkcija leži ispod x-osi. Standardnoj Newton-Leibnizovoj formuli dodaje se minus. U nastavku ćemo razmotriti kako riješiti takav problem.

Primjer 2 . Izračunajte površinu figure omeđene linijama y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

U ovom primjeru imamo parabolu y = x2 + 6x + 2, koji potječe od os OH, ravno x = -4, x = -1, y = 0. Ovdje y = 0 ograničava željenu figuru odozgo. Direktno x = -4 I x = -1 to su granice unutar kojih će se izračunati određeni integral. Princip rješavanja problema pronalaženja površine figure gotovo se u potpunosti podudara s primjerom broj 1. Jedina razlika je u tome što navedena funkcija nije pozitivna, a također je kontinuirana na intervalu [-4; -1] . Kako to misliš nije pozitivno? Kao što je vidljivo sa slike, lik koji se nalazi unutar zadanih x-ova ima isključivo “negativne” koordinate, što moramo vidjeti i zapamtiti prilikom rješavanja problema. Područje figure tražimo pomoću formule Newton-Leibniz, samo s znakom minus na početku.

Članak nije dovršen.

Problem 1(o izračunavanju površine zakrivljenog trapeza).

U kartezijskom pravokutnom koordinatnom sustavu xOy dana je figura (vidi sliku) omeđena osi x, ravnim linijama x = a, x = b (a krivocrtnim trapezom. Potrebno je izračunati površinu krivocrtnog trapez.
Riješenje. Geometrija nam daje recepte za izračunavanje površina mnogokuta i nekih dijelova kruga (sektor, segment). Koristeći geometrijska razmatranja, možemo pronaći samo približnu vrijednost tražene površine, razmišljajući na sljedeći način.

Podijelimo segment [a; b] (baza zakrivljenog trapeza) na n jednakih dijelova; ova se podjela provodi pomoću točaka x 1, x 2, ... x k, ... x n-1. Povucimo ravne linije kroz te točke paralelne s y-osi. Tada će zadani krivocrtni trapez biti podijeljen na n dijelova, na n uskih stupaca. Površina cijelog trapeza jednaka je zbroju površina stupova.

Razmotrimo k-ti stupac zasebno, tj. zakrivljeni trapez čija je osnovica segment. Zamijenimo ga pravokutnikom iste baze i visine jednake f(x k) (vidi sliku). Površina pravokutnika jednaka je \(f(x_k) \cdot \Delta x_k \), gdje je \(\Delta x_k \) duljina segmenta; Prirodno je uzeti u obzir rezultirajući proizvod kao približnu vrijednost površine k-tog stupca.

Ako sada učinimo isto sa svim ostalim stupcima, doći ćemo do sljedećeg rezultata: površina S zadanog krivocrtnog trapeza približno je jednaka površini S n stepenaste figure sastavljene od n pravokutnika (vidi sliku):
\(S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) \)
Ovdje, radi jednoobraznosti zapisa, pretpostavljamo da je a = x 0, b = x n; \(\Delta x_0 \) - duljina segmenta, \(\Delta x_1 \) - duljina segmenta, itd.; u ovom slučaju, kao što smo se gore dogovorili, \(\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) \)

Dakle, \(S \approx S_n \), a ova približna jednakost je točnija što je n veći.
Prema definiciji, vjeruje se da je potrebna površina krivocrtnog trapeza jednaka granici niza (S n):
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Problem 2(o pomicanju točke)
Materijalna točka se giba pravocrtno. Ovisnost brzine o vremenu izražava se formulom v = v(t). Nađite kretanje točke kroz neko vrijeme [a; b].
Riješenje. Kad bi kretanje bilo jednoliko, tada bi se problem riješio vrlo jednostavno: s = vt, tj. s = v(b-a). Za neravnomjerno kretanje morate koristiti iste ideje na kojima se temeljilo rješenje prethodnog problema.
1) Podijelimo vremenski interval [a; b] na n jednakih dijelova.
2) Promotrimo vremenski period i pretpostavimo da je tijekom tog vremenskog perioda brzina bila konstantna, ista kao u trenutku t k. Dakle, pretpostavljamo da je v = v(t k).
3) Nađimo približnu vrijednost kretanja točke u određenom vremenskom razdoblju; tu približnu vrijednost označit ćemo s k
\(s_k = v(t_k) \Delta t_k \)
4) Odredite približnu vrijednost pomaka s:
\(s \približno S_n \) gdje
\(S_n = s_0 + \točke + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \točke + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) \)
5) Traženi pomak jednak je granici niza (S n):
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Sažmimo. Rješenja razne zadatke svedeni na isti matematički model. Mnogi problemi iz različitih područja znanosti i tehnologije vode do istog modela u procesu rješavanja. To znači da se ovaj matematički model mora posebno proučavati.

Pojam određenog integrala

Dajmo matematički opis modela koji je izgrađen u tri razmatrana problema za funkciju y = f(x), kontinuiranu (ali ne nužno nenegativnu, kako se pretpostavljalo u razmatranim problemima) na intervalu [a; b]:
1) razdvojite segment [a; b] na n jednakih dijelova;
2) sastavite zbroj $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) izračunajte $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$

Tijekom matematičke analize dokazano je da ta granica postoji u slučaju kontinuirane (ili komadno kontinuirane) funkcije. On je pozvan određeni integral funkcije y = f(x) po segmentu [a; b] i označava se na sljedeći način:
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
Brojeve a i b nazivamo granicama integracije (donja odnosno gornja).

Vratimo se zadacima o kojima smo govorili gore. Definicija površine dana u problemu 1 sada se može prepisati na sljedeći način:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx \)
ovdje je S površina zakrivljenog trapeza prikazanog na gornjoj slici. Ovo je geometrijsko značenje određenog integrala.

Definicija pomaka s točke koja se kreće pravocrtno brzinom v = v(t) tijekom vremenskog razdoblja od t = a do t = b, dana u problemu 2, može se prepisati na sljedeći način:

Newton-Leibnizova formula

Najprije odgovorimo na pitanje: kakva je veza između određenog integrala i antiderivacije?

Odgovor se može pronaći u zadatku 2. S jedne strane, pomak s točke koja se giba pravocrtno brzinom v = v(t) tijekom vremenskog razdoblja od t = a do t = b izračunava se pomoću formula
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \)

S druge strane, koordinata pokretne točke je antiderivacija za brzinu - označimo je s(t); to znači da se pomak s izražava formulom s = s(b) - s(a). Kao rezultat dobivamo:
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
gdje je s(t) antiderivacija od v(t).

Sljedeći teorem je dokazan tijekom matematičke analize.
Teorema. Ako je funkcija y = f(x) neprekidna na intervalu [a; b], tada je formula valjana
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
gdje je F(x) antiderivacija od f(x).

Zadana formula se obično zove Newton-Leibnizova formula u čast engleskog fizičara Isaaca Newtona (1643.-1727.) i njemačkog filozofa Gottfrieda Leibniza (1646.-1716.), koji su je dobili neovisno jedan o drugome i gotovo istovremeno.

U praksi se umjesto pisanja F(b) - F(a) koristi oznaka \(\lijevo. F(x)\desno|_a^b \) (ponekad se naziva dvostruka zamjena) i, prema tome, prepišite Newton-Leibnizovu formulu u ovom obliku:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = \lijevo. F(x)\desno|_a^b \)

Pri računanju određenog integrala najprije pronađite antiderivaciju, a zatim izvršite dvostruku zamjenu.

Na temelju Newton-Leibnizove formule možemo dobiti dva svojstva određenog integrala.

Svojstvo 1. Integral sume funkcija jednak zbroju integrali:
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)

Svojstvo 2. Konstantni faktor može se uzeti iz predznaka integrala:
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)

Izračunavanje površina ravnih likova pomoću određenog integrala

Pomoću integrala možete izračunati površine ne samo zakrivljenih trapezoida, već i ravnih figura složenijeg tipa, na primjer, one prikazane na slici. Lik P ograničen je ravnim linijama x = a, x = b i grafovima neprekidnih funkcija y = f(x), y = g(x), te na odsječku [a; b] vrijedi nejednakost \(g(x) \leq f(x) \). Da bismo izračunali površinu S takve figure, postupit ćemo na sljedeći način:
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Dakle, površina S lika omeđenog ravnim linijama x = a, x = b i grafovima funkcija y = f(x), y = g(x), kontinuiranih na segmentu i takvih da za bilo koji x iz segmenta [a; b] nejednakost \(g(x) \leq f(x) \) je zadovoljena, izračunata formulom
\(S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Tablica neodređenih integrala (antiderivacija) nekih funkcija

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2) ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch ) x +C $$