Lekcija „Izračunavanje volumena revolucijskih tijela pomoću određenog integrala. Integral na djelu

Vrsta lekcije: kombinirana.

Svrha lekcije: naučiti izračunati volumene rotacijskih tijela pomoću integrala.

Zadaci:

• učvrstiti sposobnost izdvajanja krivuljastih trapeza iz niza geometrijskih oblika i razvijati vještinu izračunavanja površina krivuljastih trapeza;
• upoznati pojam trodimenzionalnog lika;
• naučiti izračunavati obujme rotacijskih tijela;
• doprinose razvoju logično mišljenje, kompetentan matematički govor, točnost u izradi crteža;
• njegovati interes za predmet, za djelovanje matematički pojmovi i slike, njegovati volju, samostalnost, ustrajnost u postizanju konačnog rezultata.

Tijekom nastave

I. Organizacijski trenutak.

Grupni pozdrav. Priopćavanje učenicima ciljeva lekcije.

Odraz. Mirna melodija.

Želio bih započeti današnju lekciju prispodobom. “Bio je jedan mudar čovjek koji je sve znao. Jedna je osoba htjela dokazati da mudrac ne zna sve. Držeći leptira u rukama, upitao je: "Reci mi, mudrače, koji je leptir u mojim rukama: mrtav ili živ?" A on sam misli: "Ako živa kaže, ubit ću je, ako mrtva kaže, pustit ću je van." Mudrac, razmislivši, odgovori: "Sve u tvojim rukama". (Prezentacija.slajd)

– Stoga, danas radimo plodonosno, steknimo novu zalihu znanja, a stečene vještine i sposobnosti primijenit ćemo u kasnijem životu iu praktičnim aktivnostima. "Sve u tvojim rukama".

II. Ponavljanje prethodno naučenog gradiva.

Pregledajmo glavne točke prethodno proučavanog materijala. Da bismo to učinili, izvršimo zadatak "Uklonite suvišnu riječ."(Slajd.)

(Učenik ide do ID-a uz pomoć gumice uklanja višak riječi.)

- Ispravno "Diferencijal". Pokušajte imenovati preostale riječi jednom zajedničkom riječju. (Integralni račun.)

- Prisjetimo se glavnih faza i koncepata vezanih uz integralni račun ..

"Matematička hrpa".

Vježbajte. Vratite propusnice. (Učenik izlazi i olovkom upisuje potrebne riječi.)

- Izvještaj o primjeni integrala čut ćemo naknadno.

Rad u bilježnicama.

– Newton-Leibnizovu formulu razvili su engleski fizičar Isaac Newton (1643–1727) i njemački filozof Gottfried Leibniz (1646–1716). I to ne čudi, jer je matematika jezik kojim govori sama priroda.

– Razmotrite kako se ova formula koristi u rješavanju praktičnih zadataka.

Primjer 1: Izračunajte površinu figure omeđene linijama

Rješenje: Izgradimo grafove funkcija na koordinatnoj ravnini . Odaberite područje figure koje želite pronaći.

III. Učenje novog gradiva.

- Obratite pažnju na ekran. Što je prikazano na prvoj slici? (slajd) (Slika prikazuje ravnu figuru.)

Što je prikazano na drugoj slici? Je li ova figura ravna? (slajd) (Slika prikazuje trodimenzionalnu figuru.)

u svemiru, na zemlji i unutra Svakidašnjica susrećemo se ne samo s ravnim likovima, već i s trodimenzionalnima, ali kako izračunati volumen takvih tijela? Na primjer, volumen planeta, kometa, meteorita itd.

– Razmislite o volumenu i gradnji kuća, te pretakanju vode iz jedne posude u drugu. Trebali su se pojaviti pravila i metode za izračunavanje volumena, druga je stvar koliko su bili točni i opravdani.

Studentska poruka. (Tyurina Vera.)

Godina 1612. bila je vrlo plodna za stanovnike austrijskog grada Linza, u kojem je živio tada poznati astronom Johannes Kepler, posebno za grožđe. Ljudi su pripremali vinske bačve i željeli su znati kako praktično odrediti njihov volumen. (Slajd 2)

- Dakle, razmatrana Keplerova djela označila su početak čitavog toka istraživanja, koji je kulminirao u posljednjoj četvrtini 17. stoljeća. dizajn u djelima I. Newtona i G.V. Leibnizov diferencijalni i integralni račun. Od tog vremena matematika varijabli veličine zauzima vodeće mjesto u sustavu matematičkog znanja.

- Dakle, danas ćemo se baviti takvim praktičnim aktivnostima, dakle,

Tema naše lekcije: "Izračunavanje volumena tijela revolucije pomoću određenog integrala." (slajd)

- Naučit ćete definiciju tijela revolucije ispunjavanjem sljedećeg zadatka.

"Labirint".

Labirint (grčka riječ) znači prolaz u tamnicu. Labirint je zamršena mreža staza, prolaza, prostorija koje međusobno komuniciraju.

Ali definicija se "srušila", bilo je naznaka u obliku strelica.

Vježbajte. Pronađite izlaz iz zbunjujuće situacije i zapišite definiciju.

slajd. “Kartica s uputama” Izračun volumena.

Uz pomoć određeni integral moguće je izračunati volumen jednog ili drugog tijela, posebno tijela revolucije.

Okretno tijelo je tijelo dobiveno rotacijom krivocrtnog trapeza oko njegove baze (sl. 1, 2)

Volumen tijela rotacije izračunava se po jednoj od formula:

1. oko x-osi.

2. , ako je rotacija krivocrtnog trapeza oko y-osi.

Svaki učenik dobiva karticu s uputama. Učitelj ističe glavne točke.

Učitelj objašnjava rješenje primjera na ploči.

Razmotrite ulomak iz poznate bajke A. S. Puškina "Priča o caru Saltanu, o njegovom slavnom i moćnom sinu princu Gvidonu Saltanoviču i lijepoj princezi Lebed" (Slajd 4):

…..
I doveo pijanog glasnika
Istog dana narudžba je:
„Car naređuje svojim bojarima,
Ne gubim vrijeme,
I matica i podmladak
Potajno bačen u bezdan vode.”
Nema se što učiniti: bojari,
Oplakavši se nad suverenom
I mlada kraljica
Gomila je došla u njezinu spavaću sobu.
Objavio kraljevsku oporuku -
Ona i njen sin imaju zlu sudbinu,
Pročitajte dekret naglas
I kraljica u isto vrijeme
Strpali su me u bure sa sinom,
Molio, valjao
I pustili su me u okian -
Tako je naredio car Saltan.

Koliki treba biti volumen bačve da u nju stanu kraljica i njen sin?

– Razmotrite sljedeće zadatke

1. Odredite obujam tijela dobivenog rotacijom oko y-osi krivocrtnog trapeza omeđenog linijama: x 2 + y 2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.

Odgovor: 1163 cm 3 .

Odredite obujam tijela dobivenog rotacijom paraboličnog trapeza oko apscise y = , x = 4, y = 0.

IV. Popravljanje novog materijala

Primjer 2. Izračunajte obujam tijela koje nastaje rotacijom latice oko x-osi y \u003d x 2, y 2 \u003d x.

Nacrtajmo grafove funkcije. y=x2, y2=x. Raspored y 2 = x transformirati u formu g= .

Imamo V \u003d V 1 - V 2 Izračunajmo volumen svake funkcije

- Pogledajmo sada toranj za radio stanicu u Moskvi na Šabolovki, izgrađen prema projektu divnog ruskog inženjera, počasnog akademika V. G. Šuhova. Sastoji se od dijelova - hiperboloida revolucije. Štoviše, svaka od njih je izrađena od pravocrtnih metalnih šipki koje povezuju susjedne krugove (sl. 8, 9).

- Razmotrite problem.

Odredi obujam tijela dobivenog rotacijom lukova hiperbole oko svoje zamišljene osi, kao što je prikazano na sl. 8, gdje

kocka jedinice

Grupni zadaci. Učenici izvlače ždrijeb sa zadacima, crteži se rade na whatmanu, jedan od predstavnika grupe brani rad.

1. skupina.

Pogoditi! Pogoditi! Još jedan pogodak!
Lopta uleti u vrata - LOPTA!
A ovo je kuglica od lubenice
Zeleni, okrugli, ukusni.
Pogledaj bolje - kakva lopta!
Sastoji se od krugova.
Izrežite lubenicu na krugove
I kušajte ih.

Odredite obujam tijela dobivenog rotacijom oko osi OX funkcije ograničene

Greška! Knjižna oznaka nije definirana.

- Reci mi, molim te, gdje se susrećemo s ovom figurom?

Kuća. zadatak za grupu 1. CILINDAR (slajd) .

"Cilindar - što je to?" Pitala sam tatu.
Otac se nasmijao: Cilindar je šešir.
Da biste imali ispravnu ideju,
Cilindar je, recimo, limenka.
Cijev parobroda je cilindar,
I cijev na našem krovu,

Sve cijevi su slične cilindru.
I dao sam ovakav primjer -
Moj voljeni kaleidoskop
Ne možeš skinuti pogled s njega.
Također izgleda kao cilindar.

- Vježbajte. Domaća zadaća nacrtati funkciju i izračunati volumen.

2. skupina. KONUS (slajd).

Mama je rekla: A sad
O konusu bit će moja priča.
Zvjezdogled u visokoj kapi
Broji zvijezde cijele godine.
ŠIŠAC - kapa zvjezdara.
To je on. Jasno? To je to.
Mama je bila za stolom
Točila je ulje u boce.
- Gdje je lijevak? Nema lijevka.
Izgled. Nemojte stajati po strani.
- Mama, neću se pomaknuti s mjesta,
Reci mi više o stošcu.
- Lijevak je u obliku stošca kante za zalijevanje.
Hajde, brzo me pronađi.
Nisam mogao pronaći lijevak
Ali mama je napravila torbu,
Omotajte karton oko prsta
I spretno pričvršćena spajalicom.
Ulje teče, mama je sretna
Stošac je ispao baš kako treba.

Vježbajte. Izračunaj obujam tijela dobivenog rotacijom oko osi x

Kuća. zadatak za 2. skupinu. PIRAMIDA(slajd).

Vidio sam sliku. U ovoj slici
Postoji PIRAMIDA u pješčanoj pustinji.
Sve u piramidi je izvanredno,
Postoji neka misterija i misterij u njemu.
Spaska kula na Crvenom trgu
Poznati su i djeci i odraslima.
Pogledaj toranj - običan izgled,
Što je na njoj? Piramida!

Vježbajte. Domaća zadaća nacrtati funkciju i izračunati obujam piramide

- Izračunavali smo volumene raznih tijela na osnovu osnovne formule za volumene tijela pomoću integrala.

Ovo je još jedna potvrda da je definitivni integral neki temelj za proučavanje matematike.

– Sada se malo odmorimo.

Pronađite par.

Svira matematička domino melodija.

“Put koji je i sam tražio nikada neće biti zaboravljen...”

Istraživački rad. Primjena integrala u ekonomiji i tehnici.

Testovi za snažne učenike i matematički nogomet.

Simulator matematike.

2. Skup svih antiderivacija zadane funkcije naziva se

A) neodređeni integral

B) funkcija,

B) diferencijacija.

7. Odredite obujam tijela dobivenog rotacijom oko osi apscisa krivocrtnog trapeza omeđenog linijama:

D/Z. Izračunajte volumene rotacijskih tijela.

Odraz.

Prihvaćanje odraza u formi cinquain(pet redaka).

1. red - naziv teme (jedna imenica).

2. red - kratak opis teme, dva pridjeva.

3. red - opis radnje unutar ove teme u tri riječi.

4. red - fraza od četiri riječi, pokazuje stav prema temi (cijela rečenica).

5. red je sinonim koji ponavlja bit teme.

1. Volumen.
2. Određeni integral, integrabilna funkcija.
3. Gradimo, vrtimo, računamo.
4. Tijelo dobiveno rotacijom krivocrtnog trapeza (oko njegove baze).
5. Tijelo revolucije (3D geometrijsko tijelo).

Zaključak (slajd).

• Određeni integral svojevrsna je podloga za izučavanje matematike koja daje neizostavan doprinos rješavanju problema praktičnog sadržaja.
• Tema "Integral" jasno pokazuje povezanost matematike i fizike, biologije, ekonomije i tehnologije.
• Razvoj moderna znanost nezamislivo bez uporabe integrala. S tim u vezi, potrebno ga je početi proučavati u okviru srednjeg specijaliziranog obrazovanja!

Ocjenjivanje. (S komentarom.)

Veliki Omar Khayyam je matematičar, pjesnik i filozof. On poziva da budemo gospodari svoje sudbine. Poslušajte ulomak iz njegovog rada:

Kažeš da je ovaj život samo trenutak.
Cijenite to, crpite inspiraciju iz toga.
Kako ga potrošiš, tako će i proći.
Ne zaboravi: ona je tvoja kreacija.

Volumen tijela rotacije može se izračunati po formuli:

U formuli mora postojati broj ispred integrala. Tako se dogodilo - sve što se vrti u životu povezano je s ovom konstantom.

Kako postaviti granice integracije "a" i "be", mislim da je lako pogoditi iz završenog crteža.

Funkcija... koja je ovo funkcija? Pogledajmo crtež. Ravna figura je omeđena paraboličnim grafikonom na vrhu. Ovo je funkcija koja je implicirana u formuli.

U praktičnim zadacima ravna figura se ponekad može nalaziti ispod osi. Ovo ne mijenja ništa - integrand u formuli je na kvadrat:, dakle integral je uvijek nenegativan , što je sasvim logično.

Izračunajte obujam okretnog tijela pomoću ove formule:

Kao što sam već primijetio, integral se gotovo uvijek pokazuje jednostavnim, glavna stvar je biti oprezan.

Odgovor:

U odgovoru je potrebno navesti dimenziju - kubične jedinice. Odnosno, u našem tijelu rotacije ima otprilike 3,35 "kockica". Zašto baš kubični jedinice? Jer najuniverzalnija formulacija. Mogu biti kubični centimetri, mogu biti Kubični metri, možda kubičnih kilometara itd., toliko zelenih čovječuljaka vaša mašta može stati u leteći tanjur.

Primjer 2

Odredi obujam tijela nastalog rotacijom oko osi lika omeđenog linijama,,

Ovo je primjer za neovisna odluka. Kompletno rješenje a odgovor na kraju lekcije.

Razmotrimo dva složenija problema, koji se također često susreću u praksi.

Primjer 3

Izračunaj obujam tijela dobivenog rotacijom oko apscisne osi lika omeđenog linijama ,, i

Riješenje: Nacrtajmo ravnu figuru na crtežu, omeđenu linijama ,,,, ne zaboravljajući da jednadžba postavlja os:

Željena figura je osjenčana plavom bojom. Kada se okrene oko osi, dobije se takva nadrealna krafna sa četiri ugla.

Volumen tijela rotacije izračunava se kao razlika volumena tijela.

Prvo, pogledajmo lik koji je zaokružen crvenom bojom. Kada se okreće oko osi, dobiva se krnji stožac. Volumen tog krnjeg stošca označimo s.

Razmotrimo lik koji je zaokružen u zelenoj boji. Ako ovu figuru okrenete oko osi, također ćete dobiti krnji stožac, samo malo manji. Označimo njegov volumen s .

I, očito, razlika u volumenu je upravo volumen naše "krafne".

Koristimo standardnu ​​formulu za pronalaženje volumena tijela revolucije:

1) Lik zaokružen crvenom bojom ograničen je odozgo ravnom linijom, dakle:

2) Lik zaokružen zelenom bojom ograničen je odozgo ravnom linijom, dakle:

3) Volumen željenog tijela revolucije:

Odgovor:

Zanimljivo je da se u ovom slučaju rješenje može provjeriti pomoću školske formule za izračunavanje volumena krnjeg stošca.

Sama odluka često se donosi kraće, otprilike ovako:

Sada napravimo pauzu i razgovarajmo o geometrijskim iluzijama.

Ljudi često imaju iluzije povezane s tomovima, što je Perelman (drugi) primijetio u knjizi Zanimljiva geometrija. Pogledajte ravnu figuru u riješenom zadatku - čini se da je male površine, a volumen tijela revolucije je nešto više od 50 kubičnih jedinica, što se čini prevelikim. Inače, prosječan čovjek cijeli život popije tekućinu zapremine sobe površine ​​18 četvornih metara, koji se, naprotiv, čini premalim.

Općenito, obrazovni sustav u SSSR-u doista je bio najbolji. Ista knjiga Perelmana, objavljena davne 1950., vrlo dobro razvija, kako je rekao humorist, razmišljanje i uči vas tražiti originalna nestandardna rješenja problema. Nedavno sam ponovno pročitao neka poglavlja s velikim zanimanjem, preporučujem ga, dostupan je čak i humanitarcima. Ne, ne morate se smiješiti što sam predložio bespontovy razonoda, erudicija i široki pogledi u komunikaciji su sjajna stvar.

Nakon lirske digresije, upravo je prikladno riješiti kreativni zadatak:

Primjer 4

Izračunaj obujam tijela koje nastaje rotacijom oko osi ravnog lika omeđenog linijama,, gdje je.

Ovo je primjer "uradi sam". Imajte na umu da se sve stvari događaju u pojasu, drugim riječima, zapravo su dana gotova ograničenja integracije. Ispravno crtajte grafove trigonometrijskih funkcija, podsjetit ću vas na gradivo lekcije o geometrijske transformacije grafova : ako je argument djeljiv s dva: , tada se grafovi razvlače duž osi dva puta. Poželjno je pronaći najmanje 3-4 boda na trigonometrijske tablice točnije dovršiti crtež. Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije. Usput, zadatak se može riješiti racionalno i ne baš racionalno.

ravna figura oko osi

Primjer 3

S obzirom na ravnu figuru omeđen linijama , , .

1) Pronađite površinu ravne figure ograničene ovim linijama.

2) Odredi obujam tijela dobivenog rotacijom ravnog lika omeđenog ovim pravcima oko osi.

Pažnja!Čak i ako želite pročitati samo drugi odlomak, prvi nužno procitaj prvu!

Riješenje: Zadatak se sastoji iz dva dijela. Počnimo s kvadratom.

1) Izvršimo crtež:

Lako je vidjeti da funkcija definira gornju granu parabole, a funkcija definira donju granu parabole. Pred nama je trivijalna parabola, koja "leži na svojoj strani".

Željena figura, čije područje treba pronaći, osjenčana je plavom bojom.

Kako pronaći područje figure? Može se pronaći na "normalan" način. Štoviše, područje figure nalazi se kao zbroj područja:

- na segmentu ;

- na segmentu.

Zato:

Postoji racionalnije rješenje: ono se sastoji u prijelazu na inverzne funkcije i integracija duž osi.

Kako prijeći na inverzne funkcije? Grubo govoreći, trebate izraziti "x" kroz "y". Prvo, pozabavimo se parabolom:

Ovo je dovoljno, ali pobrinimo se da se ista funkcija može izvesti iz donje grane:

S ravnom linijom sve je lakše:

Sada pogledajte os: molimo povremeno nagnite glavu udesno za 90 stupnjeva dok objašnjavate (ovo nije šala!). Slika koja nam je potrebna nalazi se na segmentu koji je označen crvenom točkastom linijom. Štoviše, na segmentu se ravna linija nalazi iznad parabole, što znači da područje figure treba pronaći pomoću formule koja vam je već poznata: . Što se promijenilo u formuli? Samo pismo i ništa više.

! Bilješka : Granice integracije osi treba ureditistrogo odozdo prema gore !

Pronalaženje područja:

Na segmentu, dakle:

Obratite pažnju na to kako sam proveo integraciju, to je najracionalniji način, au sljedećem odlomku zadatka bit će jasno zašto.

Za čitatelje koji sumnjaju u ispravnost integracije, pronaći ću izvedenice:

Dobiva se izvorni integrand, što znači da je integracija izvedena ispravno.

Odgovor:

2) Izračunajte obujam tijela koje nastaje rotacijom ove figure oko osi.

Ponovno ću nacrtati crtež u nešto drugačijem dizajnu:

Dakle, figura osjenčana plavom bojom rotira oko osi. Rezultat je "lebdeći leptir" koji se okreće oko svoje osi.

Da bismo pronašli volumen tijela revolucije, integrirat ćemo po osi. Prvo moramo prijeći na inverzne funkcije. To je već učinjeno i detaljno opisano u prethodnom paragrafu.

Sada ponovno naginjemo glavu udesno i proučavamo svoju figuru. Očito, volumen tijela revolucije treba pronaći kao razliku između volumena.

Rotiramo figuru zaokruženu crvenom bojom oko osi, što rezultira krnjim stošcem. Označimo ovaj volumen s .

Rotiramo lik, zaokružen zelenom bojom, oko osi i označavamo ga kroz volumen rezultirajućeg tijela revolucije.

Volumen našeg leptira jednak je razlici volumena.

Koristimo formulu za pronalaženje volumena tijela revolucije:

Kako se razlikuje od formule iz prethodnog odlomka? Samo slovima.

I tu je prednost integracije o kojoj sam maloprije govorio, puno ju je lakše pronaći nego preliminarno podići integrand na 4. potenciju.

Odgovor:

Imajte na umu da ako se ista ravna figura okrene oko osi, tada će ispasti potpuno drugačije tijelo revolucije, drugačijeg, naravno, volumena.

Primjer 7

Izračunaj obujam tijela koje nastaje rotacijom oko osi lika omeđenog krivuljama i .

Riješenje: Napravimo crtež:

Usput se upoznajemo s grafovima još nekih funkcija. Tako zanimljiv graf parne funkcije....

Za određivanje volumena tijela vrtnje dovoljno je koristiti desnu polovicu figure koju sam osjenčao plavom bojom. Obje funkcije su parne, njihovi grafovi su simetrični u odnosu na os, a simetričan je i naš lik. Dakle, osjenčana desni dio, rotirajući oko osi , sigurno će se poklapati s lijevim neprimiranim dijelom.

Osim pronalaženje površine ravnog lika pomoću određenog integrala (vidi 7.2.3.) najvažnija primjena teme je proračun obujma tijela rotacije. Gradivo je jednostavno, ali čitatelj mora biti pripremljen: potrebno je znati riješiti neodređeni integrali srednje složenosti i primijeniti Newton-Leibnizovu formulu u određeni integral, n Potrebne su i dobre vještine crtanja. Općenito, postoji mnogo zanimljivih primjena u integralnom računu; pomoću određenog integrala možete izračunati površinu figure, volumen tijela rotacije, duljinu luka, površinu ​​tijelo i još mnogo toga. Zamislite neku ravnu figuru na koordinatnoj ravnini. Zastupljeni? ... Sada se ova figura također može rotirati, i to na dva načina:

- oko x-osi ;

- oko y-osi .

Pogledajmo oba slučaja. Drugi način rotacije je posebno zanimljiv, izaziva najveće poteškoće, ali je zapravo rješenje gotovo isto kao i kod uobičajenije rotacije oko x-osi. Počnimo s najpopularnijom vrstom rotacije.

Izračunavanje obujma tijela nastalog rotacijom ravnog lika oko osi VOL

Primjer 1

Izračunaj obujam tijela dobivenog rotacijom lika omeđenog crtama oko osi.

Riješenje: Kao u problemu pronalaženja područja, rješenje počinje crtežom ravnog lika. Odnosno u avionu XOY potrebno je konstruirati lik omeđen linijama, a pritom ne zaboraviti da jednadžba definira os. Crtež je ovdje prilično jednostavan:

Željena ravna figura je osjenčana plavom bojom, ona se okreće oko osi. Kao rezultat rotacije dobiva se takav leteći tanjur blago jajolikog oblika s dva oštra vrha na osi. VOL, simetričan u odnosu na os VOL. Zapravo, tijelo ima matematičko ime, pogledajte u priručniku.

Kako izračunati volumen tijela rotacije? Ako je tijelo nastalo kao rezultat rotacije oko osiVOL, mentalno je podijeljen u paralelne slojeve male debljine dx koji su okomiti na os VOL. Volumen cijelog tijela očito je jednak zbroju volumena takvih elementarnih slojeva. Svaki sloj, poput okrugle kriške limuna, visok je nizak cilindar dx i s polumjerom baze f(x). Tada je volumen jednog sloja umnožak osnovne površine π f 2 do visine cilindra ( dx), odnosno π∙ f 2 (x)∙dx. A područje cijelog tijela revolucije je zbroj elementarnih volumena ili odgovarajući određeni integral. Zapremina tijela rotacije može se izračunati po formuli:

.

Kako postaviti granice integracije "a" i "be" lako je pogoditi iz završenog crteža. Funkcija... koja je ovo funkcija? Pogledajmo crtež. Ravna figura je odozgo omeđena grafom parabole. Ovo je funkcija koja je implicirana u formuli. U praktičnim zadacima ravna figura se ponekad može nalaziti ispod osi VOL. Ovo ne mijenja ništa - funkcija u formuli je na kvadrat: f 2 (x), Tako, volumen tijela revolucije je uvijek nenegativan, što je sasvim logično. Izračunajte obujam okretnog tijela pomoću ove formule:

.

Kao što smo već primijetili, integral se gotovo uvijek pokazuje jednostavnim, glavna stvar je biti oprezan.

Odgovor:

U odgovoru je potrebno navesti dimenziju - kubične jedinice. Odnosno, u našem tijelu rotacije ima otprilike 3,35 "kockica". Zašto baš kubični jedinice? Zato što je to najuniverzalnija formulacija. Može biti kubičnih centimetara, može biti kubičnih metara, može biti kubičnih kilometara itd., eto koliko zelenih čovječuljaka vaša mašta može stati u leteći tanjur.

Primjer 2

Odredi obujam tijela nastalog rotacijom oko osi VOL lik omeđen linijama , , .

Ovo je primjer "uradi sam". Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Primjer 3

Izračunaj obujam tijela dobivenog rotacijom oko osi apscisa lika omeđenog pravcima , , i .

Riješenje: Nacrtajmo na crtežu ravnu figuru omeđenu linijama , , , , ne zaboravljajući da je jednadžba x= 0 određuje os OY:

Željena figura je osjenčana plavom bojom. Kada se okreće oko osi VOL ispada ravna kutna peciva (podloška s dvije konusne površine).

Volumen tijela rotacije izračunava se kao razlika volumena tijela. Prvo, pogledajmo lik koji je zaokružen crvenom bojom. Kada se okreće oko osi VOLšto rezultira krnjim stošcem. Označimo obujam tog krnjeg stošca kao V 1 .

Razmotrite figuru koja je zaokružena zelenom bojom. Ako ovu figuru zarotiramo oko osi VOL, tada također dobijete krnji stožac, samo malo manji. Označimo njegov volumen s V 2 .

Očito, razlika u glasnoći V = V 1 - V 2 je volumen naše "krafne".

Koristimo standardnu ​​formulu za pronalaženje volumena tijela revolucije:

1) Lik zaokružen crvenom bojom ograničen je odozgo ravnom linijom, dakle:

2) Lik zaokružen zelenom bojom ograničen je odozgo ravnom linijom, dakle:

3) Volumen željenog tijela revolucije:

Odgovor:

Zanimljivo je da se u ovom slučaju rješenje može provjeriti pomoću školske formule za izračunavanje volumena krnjeg stošca.

Sama odluka često se donosi kraće, otprilike ovako:

Kao i kod problema pronalaženja područja, potrebne su vam samopouzdane vještine crtanja - to je gotovo najvažnija stvar (budući da će sami integrali često biti laki). Možete savladati kompetentnu i brzu tehniku ​​crtanja grafova uz pomoć metodičkih materijala i geometrijskih transformacija grafova. Ali, zapravo, više puta sam govorio o važnosti crteža u lekciji.

Općenito, postoji mnogo zanimljivih primjena u integralnom računu, uz pomoć određenog integrala, možete izračunati površinu figure, volumen tijela rotacije, duljinu luka, površinu rotacija i još mnogo toga. Dakle, bit će zabavno, budite optimistični!

Zamislite neku ravnu figuru na koordinatnoj ravnini. Zastupljeni? ... Pitam se tko je što predstavio ... =))) Već smo pronašli njegovo područje. Ali, osim toga, ova se figura također može rotirati, i to na dva načina:

- oko apscisne osi;
- oko y-osi.

U ovom će članku biti riječi o oba slučaja. Drugi način rotacije je posebno zanimljiv, izaziva najveće poteškoće, ali je zapravo rješenje gotovo isto kao i kod uobičajenije rotacije oko x-osi. Kao bonus, vratit ću se na problem pronalaženja površine figure, i reći vam kako pronaći područje na drugi način - duž osi. Čak i nije toliki bonus jer se materijal dobro uklapa u temu.

Počnimo s najpopularnijom vrstom rotacije.

ravna figura oko osi

Primjer 1

Izračunaj obujam tijela dobivenog rotacijom lika omeđenog crtama oko osi.

Riješenje: Kao iu problemu područja, rješenje počinje crtežom ravnog lika. Odnosno, na ravnini je potrebno izgraditi lik omeđen linijama , , ne zaboravljajući da jednadžba definira os . Kako racionalnije i brže izraditi crtež možete pronaći na stranicama Grafovi i svojstva elementarnih funkcija i Određeni integral. Kako izračunati površinu figure. Ovo je kineski podsjetnik, i dalje ovaj trenutak Više ne stajem.

Crtež je ovdje prilično jednostavan:

Željena ravna figura je osjenčana plavom bojom, a upravo se ta figura okreće oko osi, a kao rezultat rotacije dobije se takav leteći tanjur blago jajolikog oblika, koji je simetričan u odnosu na os. Zapravo, tijelo ima matematičko ime, ali previše je lijeno da nešto odredimo u referentnoj knjizi, pa idemo dalje.

Kako izračunati volumen tijela rotacije?

Volumen tijela rotacije može se izračunati po formuli:

U formuli mora postojati broj ispred integrala. Tako se dogodilo - sve što se vrti u životu povezano je s ovom konstantom.

Kako postaviti granice integracije "a" i "be", mislim da je lako pogoditi iz završenog crteža.

Funkcija... koja je ovo funkcija? Pogledajmo crtež. Ravna figura je odozgo omeđena grafom parabole. Ovo je funkcija koja je implicirana u formuli.

U praktičnim zadacima ravna figura se ponekad može nalaziti ispod osi. Ovo ne mijenja ništa - integrand u formuli je na kvadrat: , dakle integral je uvijek nenegativan, što je sasvim logično.

Izračunajte obujam okretnog tijela pomoću ove formule:

Kao što sam već primijetio, integral se gotovo uvijek pokazuje jednostavnim, glavna stvar je biti oprezan.

Odgovor:

U odgovoru je potrebno navesti dimenziju - kubične jedinice. Odnosno, u našem tijelu rotacije ima otprilike 3,35 "kockica". Zašto baš kubični jedinice? Jer najuniverzalnija formulacija. Može biti kubičnih centimetara, može biti kubičnih metara, može biti kubičnih kilometara itd., eto koliko zelenih čovječuljaka vaša mašta može stati u leteći tanjur.

Primjer 2

Odredi obujam tijela koje nastaje rotacijom oko osi lika omeđenog linijama , ,

Ovo je primjer "uradi sam". Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Razmotrimo dva složenija problema, koji se također često susreću u praksi.

Primjer 3

Izračunaj obujam tijela dobivenog rotacijom oko osi apscisa lika omeđenog linijama , , i

Riješenje: Nacrtajte ravnu figuru na crtežu, omeđenu linijama , , , , ne zaboravljajući da jednadžba definira os:

Željena figura je osjenčana plavom bojom. Kada se okrene oko osi, dobije se takva nadrealna krafna sa četiri ugla.

Volumen tijela rotacije izračunava se kao razlika volumena tijela.

Prvo, pogledajmo lik koji je zaokružen crvenom bojom. Kada se okreće oko osi, dobiva se krnji stožac. Označimo volumen ovog krnjeg stošca kao .

Razmotrite figuru koja je zaokružena zelenom bojom. Ako ovu figuru okrenete oko osi, također ćete dobiti krnji stožac, samo malo manji. Označimo njegov volumen s .

I, očito, razlika u volumenu je upravo volumen naše "krafne".

Koristimo standardnu ​​formulu za pronalaženje volumena tijela revolucije:

1) Lik zaokružen crvenom bojom ograničen je odozgo ravnom linijom, dakle:

2) Lik zaokružen zelenom bojom ograničen je odozgo ravnom linijom, dakle:

3) Volumen željenog tijela revolucije:

Odgovor:

Zanimljivo je da se u ovom slučaju rješenje može provjeriti pomoću školske formule za izračunavanje volumena krnjeg stošca.

Sama odluka često se donosi kraće, otprilike ovako:

Sada napravimo pauzu i razgovarajmo o geometrijskim iluzijama.

Ljudi često imaju iluzije povezane s tomovima, što je Perelman (drugi) primijetio u knjizi Zanimljiva geometrija. Pogledajte ravnu figuru u riješenom zadatku - čini se da je male površine, a volumen tijela revolucije je nešto više od 50 kubičnih jedinica, što se čini prevelikim. Inače, prosječna osoba tijekom cijelog života popije tekućinu zapremine sobe od 18 četvornih metara, što se, naprotiv, čini premalom zapreminom.

Općenito, obrazovni sustav u SSSR-u doista je bio najbolji. Ista Perelmanova knjiga, objavljena davne 1950., vrlo dobro razvija, kako je rekao humorist, rasuđivanje i uči vas tražiti izvorno nestandardna rješenja problema. Nedavno od veliki interes Ponovno sam pročitao neka poglavlja, preporučujem ga, dostupan je čak i humanitarcima. Ne, ne morate se smiješiti što sam predložio bespontovy razonoda, erudicija i široki pogledi u komunikaciji su sjajna stvar.

Nakon lirske digresije, upravo je prikladno riješiti kreativni zadatak:

Primjer 4

Izračunajte obujam tijela koje nastaje rotacijom oko osi ravnog lika omeđenog pravcima , , gdje je .

Ovo je primjer "uradi sam". Imajte na umu da se sve stvari događaju u pojasu, drugim riječima, zapravo su dana gotova ograničenja integracije. Ispravite grafiku trigonometrijske funkcije, prisjetite se materijala lekcije o geometrijske transformacije grafova: ako je argument djeljiv s dva: , tada se grafovi razvlače duž osi dva puta. Poželjno je pronaći najmanje 3-4 boda prema trigonometrijskim tablicama točnije dovršiti crtež. Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije. Usput, zadatak se može riješiti racionalno i ne baš racionalno.

Izračunavanje obujma tijela nastalog rotacijom
ravna figura oko osi

Drugi odlomak bit će još zanimljiviji od prvog. Zadatak izračunavanja volumena tijela rotacije oko y-osi također je prilično čest gost u testovima. U prolazu će se razmotriti problem pronalaženja površine figure drugi način - integracija duž osi, to će vam omogućiti ne samo da poboljšate svoje vještine, već će vas i naučiti kako pronaći najprofitabilnije rješenje. Također ima praktičnu životni smisao! Kako se s osmijehom prisjetila moja profesorica metodike matematike, mnogi su joj maturanti zahvaljivali riječima: „Vaš predmet nam je puno pomogao, sada smo učinkoviti menadžeri i optimalno upravljamo svojim osobljem.“ I ovom prilikom joj izražavam veliku zahvalnost, tim više što stečeno znanje koristim namjenski =).

Preporučujem svima za čitanje, čak i potpunim lutkama. Štoviše, asimilirani materijal drugog odlomka bit će od neprocjenjive pomoći u izračunavanju dvostrukih integrala.

Primjer 5

S obzirom na ravnu figuru omeđen linijama , , .

1) Pronađite površinu ravne figure ograničene ovim linijama.
2) Odredi obujam tijela dobivenog rotacijom ravnog lika omeđenog ovim pravcima oko osi.

Pažnja!Čak i ako želite pročitati samo drugi odlomak, prvi nužno procitaj prvu!

Riješenje: Zadatak se sastoji iz dva dijela. Počnimo s kvadratom.

1) Izvršimo crtež:

Lako je vidjeti da funkcija definira gornju granu parabole, a funkcija definira donju granu parabole. Pred nama je trivijalna parabola, koja "leži na svojoj strani".

Željena figura, čije područje treba pronaći, osjenčana je plavom bojom.

Kako pronaći područje figure? Može se pronaći na "uobičajen" način, koji je razmatran u lekciji. Određeni integral. Kako izračunati površinu figure. Štoviše, područje figure nalazi se kao zbroj područja:
- na segmentu ;
- na segmentu.

Zato:

Što nije u redu s uobičajenim rješenjem u ovom slučaju? Prvo, postoje dva integrala. Drugo, korijeni pod integralima, a korijeni u integralima nisu dar, štoviše, može se zabuniti u zamjeni limita integracije. Zapravo, integrali, naravno, nisu smrtonosni, ali u praksi je sve mnogo tužnije, samo sam pokupio "bolje" funkcije za zadatak.

Postoji racionalnije rješenje: ono se sastoji u prijelazu na inverzne funkcije i integraciju duž osi.

Kako prijeći na inverzne funkcije? Grubo govoreći, trebate izraziti "x" kroz "y". Prvo, pozabavimo se parabolom:

Ovo je dovoljno, ali pobrinimo se da se ista funkcija može izvesti iz donje grane:

S ravnom linijom sve je lakše:

Sada pogledajte os: molimo povremeno nagnite glavu udesno za 90 stupnjeva dok objašnjavate (ovo nije šala!). Slika koja nam je potrebna nalazi se na segmentu koji je označen crvenom točkastom linijom. Štoviše, na segmentu se ravna linija nalazi iznad parabole, što znači da područje figure treba pronaći pomoću formule koja vam je već poznata: . Što se promijenilo u formuli? Samo pismo i ništa više.

! Bilješka: Treba postaviti granice integracije duž osi strogo odozdo prema gore!

Pronalaženje područja:

Na segmentu, dakle:

Obratite pažnju na to kako sam proveo integraciju, to je najracionalniji način, au sljedećem odlomku zadatka bit će jasno zašto.

Za čitatelje koji sumnjaju u ispravnost integracije, pronaći ću izvedenice:

Dobiva se izvorni integrand, što znači da je integracija izvedena ispravno.

Odgovor:

2) Izračunajte obujam tijela koje nastaje rotacijom ove figure oko osi.

Ponovno ću nacrtati crtež u nešto drugačijem dizajnu:

Dakle, figura osjenčana plavom bojom rotira oko osi. Rezultat je "lebdeći leptir" koji se okreće oko svoje osi.

Da bismo pronašli volumen tijela revolucije, integrirat ćemo po osi. Prvo moramo prijeći na inverzne funkcije. To je već učinjeno i detaljno opisano u prethodnom paragrafu.

Sada ponovno naginjemo glavu udesno i proučavamo svoju figuru. Očito, volumen tijela revolucije treba pronaći kao razliku između volumena.

Rotiramo figuru zaokruženu crvenom bojom oko osi, što rezultira krnjim stošcem. Označimo ovaj volumen s .

Rotiramo lik, zaokružen zelenom bojom, oko osi i označavamo ga kroz volumen rezultirajućeg tijela revolucije.

Volumen našeg leptira jednak je razlici volumena.

Koristimo formulu za pronalaženje volumena tijela revolucije:

Kako se razlikuje od formule iz prethodnog odlomka? Samo slovima.

I tu je prednost integracije o kojoj sam maloprije govorio, puno ju je lakše pronaći nego podići integrand na 4. potenciju.

Odgovor:

Međutim, boležljiv leptir.

Imajte na umu da ako se ista ravna figura okrene oko osi, tada će ispasti potpuno drugačije tijelo revolucije, drugačijeg, naravno, volumena.

Primjer 6

Dana je ravna figura omeđena linijama i osi.

1) Idite na inverzne funkcije i pronađite područje ravne figure omeđene ovim linijama integracijom preko varijable .
2) Izračunaj obujam tijela dobivenog rotacijom ravnog lika omeđenog ovim linijama oko osi.

Ovo je primjer "uradi sam". Oni koji žele također mogu pronaći područje figure na "uobičajen" način, čime završavaju test iz točke 1). Ali ako, ponavljam, rotirate ravnu figuru oko osi, tada ćete dobiti potpuno drugačije tijelo rotacije s drugačijim volumenom, usput, točan odgovor (također za one koji vole rješavati).

Cjelovito rješenje dvije predložene stavke zadatka na kraju sata.

Oh, i ne zaboravite nagnuti glavu udesno kako biste razumjeli rotacijska tijela i integraciju!