अंश भाजक समान गुणा करें। समीकरणों की एक प्रणाली तैयार करना

गुणा साधारण अंशआइए कई संभावित विकल्पों पर गौर करें।

एक भिन्न को एक भिन्न से गुणा करना

यह सबसे सरल मामला है, जिसमें आपको निम्नलिखित का उपयोग करने की आवश्यकता है अंश गुणन नियम.

को एक अंश को एक अंश से गुणा करें, ज़रूरी:

• पहले भिन्न के अंश को दूसरे भिन्न के अंश से गुणा करें और उनके गुणनफल को नए भिन्न के अंश में लिखें;
• पहले भिन्न के हर को दूसरे भिन्न के हर से गुणा करें और उनके गुणनफल को नए भिन्न के हर में लिखें;

अंशों और हरों को गुणा करने से पहले, जाँच लें कि क्या भिन्नों को घटाया जा सकता है। गणनाओं में अंशों को कम करने से आपकी गणनाओं में काफी सुविधा होगी।



एक अंश को एक प्राकृतिक संख्या से गुणा करना

अंश करना एक प्राकृतिक संख्या से गुणा करेंआपको भिन्न के अंश को इस संख्या से गुणा करने की आवश्यकता है, और भिन्न के हर को अपरिवर्तित रहने दें।

यदि गुणन का परिणाम एक अनुचित अंश है, तो इसे मिश्रित संख्या में बदलना न भूलें, अर्थात पूरे भाग का चयन करें।



मिश्रित संख्याओं का गुणन

मिश्रित संख्याओं को गुणा करने के लिए, आपको पहले उन्हें अनुचित भिन्नों में बदलना होगा और फिर साधारण भिन्नों को गुणा करने के नियम के अनुसार गुणा करना होगा।



एक अंश को एक प्राकृतिक संख्या से गुणा करने का दूसरा तरीका

कभी-कभी गणनाओं में एक साधारण अंश को एक संख्या से गुणा करने की एक अलग विधि का उपयोग करना अधिक सुविधाजनक होता है।

एक अंश को एक प्राकृतिक संख्या से गुणा करने के लिए, आपको अंश के हर को इस संख्या से विभाजित करने की आवश्यकता है, और अंश को समान रहने दें।



जैसा कि उदाहरण से देखा जा सकता है, नियम के इस संस्करण का उपयोग करना अधिक सुविधाजनक है यदि अंश का भाजक शेष के बिना एक प्राकृतिक संख्या से विभाज्य है।

अंशों के साथ क्रियाएँ

समान भाजक वाले भिन्नों को जोड़ना

भिन्नों को जोड़ना दो प्रकार का होता है:

• के साथ भिन्नों को जोड़ना समान भाजक
• विभिन्न भाजक के साथ भिन्नों को जोड़ना

आइए समान हर वाले भिन्नों को जोड़ना शुरू करें। यहाँ सब कुछ सरल है। समान भाजक वाले भिन्नों को जोड़ने के लिए, आपको उनके अंशों को जोड़ना होगा, और भाजक को अपरिवर्तित रहने देना होगा। उदाहरण के लिए, चलिए भिन्नों और को जोड़ते हैं। हम अंशों को जोड़ते हैं और भाजक को अपरिवर्तित छोड़ देते हैं:



इस उदाहरण को आसानी से समझा जा सकता है अगर हम एक ऐसे पिज़्ज़ा के बारे में सोचें जो चार भागों में बंटा हो। यदि आप पिज़्ज़ा में पिज़्ज़ा जोड़ते हैं, तो आपको पिज़्ज़ा मिलता है:

उदाहरण 2भिन्न जोड़ें और।

दोबारा, अंशों को जोड़ें, और भाजक को अपरिवर्तित छोड़ दें:



उत्तर एक अनुचित अंश है। यदि कार्य का अंत आता है, तो अनुचित अंशों से छुटकारा पाने की प्रथा है। अनुचित अंश से छुटकारा पाने के लिए, आपको इसमें पूरे भाग का चयन करना होगा। हमारे मामले में, पूर्णांक भाग आसानी से आवंटित किया जाता है - दो को दो से विभाजित करना एक के बराबर है:



इस उदाहरण को आसानी से समझा जा सकता है अगर हम दो हिस्सों में बंटे पिज्जा के बारे में सोचें। अगर आप पिज़्ज़ा में और पिज़्ज़ा जोड़ते हैं, तो आपको एक पूरा पिज़्ज़ा मिलता है:

उदाहरण 3. भिन्न जोड़ें और।



इस उदाहरण को आसानी से समझा जा सकता है अगर हम एक ऐसे पिज़्ज़ा के बारे में सोचें जो तीन हिस्सों में बंटा हो। अगर आप पिज़्ज़ा में और पिज़्ज़ा जोड़ते हैं, तो आपको पिज़्ज़ा मिलता है:

उदाहरण 4एक व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए

यह उदाहरण पिछले वाले की तरह ही हल किया गया है। अंशों को जोड़ा जाना चाहिए और भाजक को अपरिवर्तित छोड़ दिया जाना चाहिए:

आइए चित्र का उपयोग करके हमारे समाधान को चित्रित करने का प्रयास करें। अगर आप पिज़्ज़ा में पिज़्ज़ा जोड़ते हैं और ज़्यादा पिज़्ज़ा जोड़ते हैं, तो आपको 1 पूरा पिज़्ज़ा और ज़्यादा पिज़्ज़ा मिलता है।

जैसा कि आप देख सकते हैं, समान भाजक वाले भिन्नों को जोड़ना कठिन नहीं है। निम्नलिखित नियमों को समझना पर्याप्त है:

1. समान भाजक वाले भिन्नों को जोड़ने के लिए, आपको उनके अंशों को जोड़ना होगा, और भाजक को वही रहने देना होगा;
2. यदि उत्तर एक अनुचित अंश निकला, तो आपको इसमें पूरे भाग का चयन करना होगा।

विभिन्न भाजक के साथ भिन्नों को जोड़ना

अब हम सीखेंगे कि अलग-अलग हर वाले भिन्नों को कैसे जोड़ा जाता है। भिन्नों को जोड़ते समय, उन भिन्नों के हर समान होने चाहिए। लेकिन वे हमेशा एक जैसे नहीं होते।

उदाहरण के लिए, भिन्नों को जोड़ा जा सकता है क्योंकि उनके हर समान होते हैं।

लेकिन भिन्नों को तुरंत नहीं जोड़ा जा सकता, क्योंकि इन भिन्नों में होता है विभिन्न भाजक. ऐसे मामलों में, भिन्नों को समान (सामान्य) हर में घटाया जाना चाहिए।

भिन्नों को एक ही भाजक में कम करने के कई तरीके हैं। आज हम उनमें से केवल एक पर विचार करेंगे, क्योंकि शुरुआती के लिए बाकी तरीके जटिल लग सकते हैं।

इस पद्धति का सार यह है कि सबसे पहले दोनों भिन्नों के हरों के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) की खोज की जाती है। फिर LCM को पहले भिन्न के हर से विभाजित किया जाता है और पहला अतिरिक्त गुणक प्राप्त होता है। वे दूसरे अंश के साथ भी ऐसा ही करते हैं - एनओसी को दूसरे अंश के भाजक से विभाजित किया जाता है और दूसरा अतिरिक्त कारक प्राप्त होता है।

फिर अंशों के अंश और हर को उनके अतिरिक्त कारकों से गुणा किया जाता है। इन क्रियाओं के परिणामस्वरूप, भिन्न भाजक वाले अंश समान भाजक वाले भिन्नों में बदल जाते हैं। और हम पहले से ही जानते हैं कि ऐसे भिन्नों को कैसे जोड़ा जाता है।

उदाहरण 1. भिन्न जोड़ें और

इन भिन्नों के अलग-अलग भाजक हैं, इसलिए आपको उन्हें समान (सामान्य) हर में लाने की आवश्यकता है।

सबसे पहले, हम दोनों भिन्नों के हरों का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करते हैं। पहले भिन्न का भाजक संख्या 3 है, और दूसरे भिन्न का हर संख्या 2 है। इन संख्याओं का लघुत्तम समापवर्तक 6 है

एलसीएम (2 और 3) = 6

अब वापस भिन्नों पर और। सबसे पहले, हम LCM को पहले भिन्न के हर से विभाजित करते हैं और पहला अतिरिक्त गुणनखंड प्राप्त करते हैं। LCM संख्या 6 है, और पहले भिन्न का हर संख्या 3 है। 6 को 3 से विभाजित करें, हमें 2 मिलता है।

परिणामी संख्या 2 पहला अतिरिक्त कारक है। हम इसे पहले अंश में लिखते हैं। ऐसा करने के लिए, हम अंश के ऊपर एक छोटी तिरछी रेखा बनाते हैं और इसके ऊपर पाया गया अतिरिक्त कारक लिखते हैं:

हम दूसरे अंश के साथ भी ऐसा ही करते हैं। हम लघुत्तम समापवर्त्य को दूसरे भिन्न के हर से विभाजित करते हैं और दूसरा अतिरिक्त गुणनखंड प्राप्त करते हैं। LCM संख्या 6 है, और दूसरे भिन्न का हर संख्या 2 है। 6 को 2 से विभाजित करें, हमें 3 मिलता है।

परिणामी संख्या 3 दूसरा अतिरिक्त कारक है। हम इसे दूसरे भिन्न में लिखते हैं। फिर से, हम दूसरे अंश के ऊपर एक छोटी तिरछी रेखा बनाते हैं और इसके ऊपर पाया गया अतिरिक्त कारक लिखते हैं:

अब हम जोड़ने के लिए पूरी तरह तैयार हैं। यह अंशों के अंशों और हरों को उनके अतिरिक्त कारकों से गुणा करने के लिए बना हुआ है:



हम जो आए हैं, उस पर करीब से नज़र डालें। हम इस नतीजे पर पहुंचे कि जिन भिन्नों के हर अलग-अलग थे, वे भिन्नों में बदल गईं जिनके हर समान थे। और हम पहले से ही जानते हैं कि ऐसे भिन्नों को कैसे जोड़ा जाता है। आइए इस उदाहरण को अंत तक पूरा करें:



इस प्रकार उदाहरण समाप्त होता है। जोड़ने के लिए यह निकला।

आइए चित्र का उपयोग करके हमारे समाधान को चित्रित करने का प्रयास करें। अगर आप पिज़्ज़ा में पिज़्ज़ा जोड़ते हैं, तो आपको एक पूरा पिज़्ज़ा और दूसरा पिज़्ज़ा का छठा हिस्सा मिलता है:

भिन्नों को समान (सामान्य) हर में घटाना भी एक चित्र का उपयोग करके दर्शाया जा सकता है। भिन्नों और एक सामान्य भाजक को लाने पर, हम भिन्न और प्राप्त करते हैं। इन दो अंशों को पिज़्ज़ा के समान स्लाइस द्वारा दर्शाया जाएगा। अंतर केवल इतना होगा कि इस बार उन्हें समान भागों में विभाजित किया जाएगा (समान भाजक तक घटाया जाएगा)।



पहला चित्र एक अंश (छह में से चार टुकड़े) दिखाता है और दूसरा चित्र एक अंश (छह में से तीन टुकड़े) दिखाता है। इन टुकड़ों को एक साथ रखने पर हमें (छह में से सात टुकड़े) मिलते हैं। यह भिन्न गलत है, इसलिए हमने इसमें पूर्णांक भाग को हाइलाइट किया है। परिणाम था (एक पूरा पिज़्ज़ा और दूसरा छठा पिज़्ज़ा)।

ध्यान दें कि हमने इस उदाहरण को बहुत अधिक विस्तार से चित्रित किया है। में शिक्षण संस्थानोंइतने विस्तृत तरीके से लिखना प्रथागत नहीं है। आपको दोनों भाजक और उनके अतिरिक्त गुणनखंडों का लघुत्तम समापवर्त्य शीघ्रता से ज्ञात करने में सक्षम होने की आवश्यकता है, साथ ही साथ अपने अंशों और भाजक द्वारा पाए गए अतिरिक्त गुणनखंडों को शीघ्रता से गुणा करने में सक्षम होना चाहिए। स्कूल में रहते हुए हमें इस उदाहरण को इस प्रकार लिखना होगा:



लेकिन वहाँ भी है पीछे की ओरपदक। यदि गणित के अध्ययन के पहले चरण में विस्तृत नोट्स नहीं बनाए गए हैं, तो इस तरह के प्रश्न "वह संख्या कहाँ से आती है?", "अचानक अंश पूरी तरह से भिन्न अंशों में क्यों बदल जाते हैं? «.

विभिन्न भाजक के साथ अंशों को जोड़ना आसान बनाने के लिए, आप निम्न चरण-दर-चरण निर्देशों का उपयोग कर सकते हैं:

3. भिन्नों के हरों का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात कीजिए;
4. LCM को प्रत्येक भिन्न के हर से विभाजित करें और प्रत्येक भिन्न के लिए एक अतिरिक्त गुणक प्राप्त करें;
5. भिन्नों के अंशों और हरों को उनके अतिरिक्त गुणनखंडों से गुणा करें;
6. समान भाजक वाले भिन्नों को जोड़ें;
7. यदि उत्तर एक अनुचित अंश निकला, तो उसके पूरे भाग का चयन करें;

उदाहरण 2एक व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए .

आइए ऊपर दिए गए आरेख का उपयोग करें।

चरण 1. भिन्नों के हरों का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात कीजिए

हम दोनों भिन्नों के हरों का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करते हैं। भिन्नों के हर संख्याएं 2, 3 और 4 हैं। आपको इन संख्याओं के लिए ल.स.प. ज्ञात करने की आवश्यकता है:

चरण 2. LCM को प्रत्येक भिन्न के हर से विभाजित करें और प्रत्येक भिन्न के लिए एक अतिरिक्त गुणक प्राप्त करें

LCM को पहले भिन्न के हर से विभाजित करें। एलसीएम संख्या 12 है, और पहले भिन्न का भाजक संख्या 2 है। 12 को 2 से विभाजित करें, हमें 6 मिलता है। हमें पहला अतिरिक्त कारक 6 मिला। हम इसे पहले भिन्न पर लिखते हैं:

अब हम लघुत्तम समापवर्त्य को दूसरे भिन्न के हर से विभाजित करते हैं। LCM संख्या 12 है, और दूसरे भिन्न का हर 3 है। 12 को 3 से विभाजित करें, हमें 4 मिलता है। हमें दूसरा अतिरिक्त कारक 4 मिला। हम इसे दूसरे भिन्न पर लिखते हैं:

अब हम LCM को तीसरे भिन्न के हर से विभाजित करते हैं। लघुत्तम समापवर्त्य संख्या 12 है, और तीसरे भिन्न का भाजक संख्या 4 है। 12 को 4 से विभाजित करें, हमें 3 मिलता है। हमें तीसरा अतिरिक्त कारक 3 मिला। हम इसे तीसरे भिन्न पर लिखते हैं:

चरण 3. भिन्नों के अंश और हर को अपने अतिरिक्त गुणनखंडों से गुणा करें

हम अंश और हर को अपने अतिरिक्त गुणनखंडों से गुणा करते हैं:

चरण 4. समान भाजक वाले भिन्नों को जोड़ें

हम इस निष्कर्ष पर पहुंचे कि जिन भिन्नों के हर अलग-अलग थे, वे भिन्नों में बदल गए जिनके समान (सामान्य) भाजक हैं। इन अंशों को जोड़ना बाकी है। जोड़ें:



जोड़ना एक पंक्ति में फ़िट नहीं हुआ, इसलिए हमने शेष व्यंजक को अगली पंक्ति में स्थानांतरित कर दिया। गणित में इसकी अनुमति है। जब कोई व्यंजक एक पंक्ति में फिट नहीं होता है, तो उसे अगली पंक्ति में ले जाया जाता है, और पहली पंक्ति के अंत में और नई पंक्ति की शुरुआत में एक समान चिह्न (=) लगाना आवश्यक होता है। दूसरी पंक्ति पर समान चिह्न इंगित करता है कि यह पहली पंक्ति पर मौजूद अभिव्यक्ति की निरंतरता है।

चरण 5. यदि उत्तर एक अनुचित अंश निकला, तो इसके पूर्णांक भाग का चयन करें

हमारा उत्तर एक अनुचित अंश है। हमें इसके पूरे हिस्से को सिंगल करना होगा। हम हाइलाइट करते हैं:



उत्तर मिला

समान भाजक वाले भिन्नों का घटाव

अंश घटाव दो प्रकार के होते हैं:

8. समान भाजक वाले भिन्नों का घटाव
9. विभिन्न भाजक के साथ अंशों का घटाव

पहले, आइए जानें कि समान हर वाले भिन्नों को कैसे घटाया जाता है। यहाँ सब कुछ सरल है। एक अंश में से दूसरे को घटाने के लिए, आपको दूसरे भिन्न के अंश को पहले भिन्न के अंश से घटाना होगा और भाजक को वही रहने देना होगा।

उदाहरण के लिए, आइए अभिव्यक्ति का मान ज्ञात करें। इस उदाहरण को हल करने के लिए, दूसरे भिन्न के अंश को पहले भिन्न के अंश से घटाना आवश्यक है, और भाजक को वही रहने दें। आओ इसे करें:

इस उदाहरण को आसानी से समझा जा सकता है अगर हम एक ऐसे पिज़्ज़ा के बारे में सोचें जो चार भागों में बंटा हो। यदि आप पिज़्ज़ा से पिज़्ज़ा काटते हैं, तो आपको पिज़्ज़ा मिलता है:

उदाहरण 2व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए।

दोबारा, पहले अंश के अंश से, दूसरे अंश के अंश को घटाएं, और भाजक को वही छोड़ दें:

इस उदाहरण को आसानी से समझा जा सकता है अगर हम एक ऐसे पिज़्ज़ा के बारे में सोचें जो तीन हिस्सों में बंटा हो। यदि आप पिज़्ज़ा से पिज़्ज़ा काटते हैं, तो आपको पिज़्ज़ा मिलता है:

उदाहरण 3एक व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए

यह उदाहरण पिछले वाले की तरह ही हल किया गया है। पहले अंश के अंश से, आपको शेष अंशों के अंशों को घटाना होगा:

उत्तर एक अनुचित अंश है। यदि उदाहरण पूरा हो गया है, तो अनुचित अंश से छुटकारा पाने की प्रथा है। आइए उत्तर में गलत अंश से छुटकारा पाएं। ऐसा करने के लिए, इसके पूरे भाग का चयन करें:

जैसा कि आप देख सकते हैं, समान भाजक वाले भिन्नों को घटाने में कुछ भी जटिल नहीं है। निम्नलिखित नियमों को समझना पर्याप्त है:

एक अंश से दूसरे को घटाने के लिए, आपको पहले भिन्न के अंश से दूसरे भिन्न के अंश को घटाना होगा, और भाजक को वही रहने देना होगा;

यदि उत्तर एक अनुचित अंश निकला, तो आपको इसके पूरे भाग का चयन करना होगा।

विभिन्न भाजक के साथ अंशों का घटाव

उदाहरण के लिए, एक भिन्न को एक भिन्न से घटाया जा सकता है, क्योंकि इन भिन्नों के हर समान होते हैं। लेकिन एक भिन्न को एक भिन्न से घटाया नहीं जा सकता, क्योंकि इन भिन्नों के हर अलग-अलग होते हैं। ऐसे मामलों में, भिन्नों को समान (सामान्य) हर में घटाया जाना चाहिए।

उभयनिष्ठ भाजक उसी सिद्धांत के अनुसार पाया जाता है जिसका उपयोग हमने भिन्न हर वाले भिन्नों को जोड़ते समय किया था। सबसे पहले, दोनों भिन्नों के हरों का ल.स.प. ज्ञात कीजिए। फिर LCM को पहले भिन्न के हर से विभाजित किया जाता है और पहला अतिरिक्त गुणक प्राप्त होता है, जिसे पहले भिन्न के ऊपर लिखा जाता है। इसी तरह, एलसीएम को दूसरे अंश के भाजक से विभाजित किया जाता है और दूसरा अतिरिक्त कारक प्राप्त होता है, जिसे दूसरे अंश के ऊपर लिखा जाता है।

अंशों को तब उनके अतिरिक्त कारकों से गुणा किया जाता है। इन संक्रियाओं के परिणामस्वरूप, भिन्न भाजक वाले अंश समान भाजक वाले भिन्नों में बदल जाते हैं। और हम पहले से ही जानते हैं कि ऐसे अंशों को कैसे घटाना है।

उदाहरण 1व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए:

सबसे पहले, हम दोनों भिन्नों के हरों का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करते हैं। पहले भिन्न का हर संख्या 3 है, और दूसरे भिन्न का हर संख्या 4 है। इन संख्याओं का लघुत्तम समापवर्तक 12 है

एलसीएम (3 और 4) = 12

अब वापस भिन्नों पर और

आइए पहले भिन्न के लिए एक अतिरिक्त गुणनखण्ड ज्ञात करें। ऐसा करने के लिए, हम LCM को पहले भिन्न के हर से विभाजित करते हैं। LCM संख्या 12 है, और पहले भिन्न का हर 3 है। 12 को 3 से विभाजित करें, हमें 4 मिलता है। हम पहले भिन्न पर चार लिखते हैं:

हम दूसरे अंश के साथ भी ऐसा ही करते हैं। हम LCM को दूसरे भिन्न के हर से विभाजित करते हैं। LCM संख्या 12 है, और दूसरे भिन्न का हर 4 है। 12 को 4 से विभाजित करें, हमें 3 मिलता है। हम दूसरे भिन्न पर तिगुना लिखते हैं:

अब हम घटाव के लिए पूरी तरह तैयार हैं। यह अंशों को उनके अतिरिक्त कारकों से गुणा करना बाकी है:

हम इस नतीजे पर पहुंचे कि जिन भिन्नों के हर अलग-अलग थे, वे भिन्नों में बदल गईं जिनके हर समान थे। और हम पहले से ही जानते हैं कि ऐसे अंशों को कैसे घटाना है। आइए इस उदाहरण को अंत तक पूरा करें:

उत्तर मिला

आइए चित्र का उपयोग करके हमारे समाधान को चित्रित करने का प्रयास करें। अगर आप पिज्जा से पिज्जा काटते हैं, तो आपको पिज्जा मिलता है।

यह समाधान का विस्तृत संस्करण है। स्कूल में होने के कारण, हमें इस उदाहरण को छोटे रूप में हल करना होगा। ऐसा समाधान इस तरह दिखेगा:

एक चित्र का उपयोग करके भिन्नों और एक सामान्य भाजक में कमी को भी चित्रित किया जा सकता है। इन भिन्नों को एक उभयनिष्ठ भाजक में लाने पर, हमें भिन्न और . इन भिन्नों को एक ही पिज़्ज़ा स्लाइस द्वारा दर्शाया जाएगा, लेकिन इस बार उन्हें समान भिन्नों में विभाजित किया जाएगा (समान भाजक में घटाया गया):

पहली ड्राइंग एक अंश (बारह में से आठ टुकड़े) दिखाती है, और दूसरी तस्वीर एक अंश (बारह में से तीन टुकड़े) दिखाती है। आठ टुकड़ों में से तीन टुकड़े करने पर हमें बारह में से पाँच टुकड़े मिलते हैं। अंश इन पांच टुकड़ों का वर्णन करता है।

उदाहरण 2एक व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए

इन भिन्नों के अलग-अलग भाजक हैं, इसलिए आपको पहले उन्हें समान (सामान्य) हर में लाने की आवश्यकता है।

इन भिन्नों के हरों का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात कीजिए।

अंशों के हर 10, 3 और 5 हैं। इन संख्याओं का सबसे छोटा सामान्य गुणक 30 है

ल.स.प.(10, 3, 5) = 30

अब हम प्रत्येक भिन्न के लिए अतिरिक्त गुणनखण्ड ज्ञात करते हैं। ऐसा करने के लिए, हम LCM को प्रत्येक भिन्न के हर से विभाजित करते हैं।

आइए पहले भिन्न के लिए एक अतिरिक्त गुणनखण्ड ज्ञात करें। LCM संख्या 30 है, और पहले भिन्न का हर 10 है। 30 को 10 से विभाजित करें, हमें पहला अतिरिक्त कारक 3 मिलता है। हम इसे पहले भिन्न पर लिखते हैं:

अब हम दूसरे भिन्न के लिए एक अतिरिक्त गुणनखण्ड ज्ञात करते हैं। LCM को दूसरे भिन्न के हर से विभाजित करें। लघुत्तम समापवर्तक संख्या 30 है, और दूसरे भिन्न का भाजक संख्या 3 है। 30 को 3 से विभाजित करने पर, हमें दूसरा अतिरिक्त कारक 10 मिलता है। हम इसे दूसरे भिन्न पर लिखते हैं:

अब हम तीसरे भिन्न के लिए एक अतिरिक्त गुणनखण्ड ज्ञात करते हैं। LCM को तीसरे भिन्न के हर से विभाजित करें। लघुत्तम समापवर्त्य संख्या 30 है, और तीसरे भिन्न का हर संख्या 5 है। 30 को 5 से विभाजित करने पर, हमें तीसरा अतिरिक्त कारक 6 प्राप्त होता है। हम इसे तीसरे भिन्न पर लिखते हैं:

अब घटाव के लिए सब कुछ तैयार है। यह अंशों को उनके अतिरिक्त कारकों से गुणा करना बाकी है:

हम इस निष्कर्ष पर पहुंचे कि जिन भिन्नों के हर अलग-अलग थे, वे भिन्नों में बदल गए जिनके समान (सामान्य) भाजक हैं। और हम पहले से ही जानते हैं कि ऐसे अंशों को कैसे घटाना है। आइए इस उदाहरण को समाप्त करें।

उदाहरण की निरंतरता एक पंक्ति में फिट नहीं होगी, इसलिए हम निरंतरता को अगली पंक्ति में ले जाते हैं। नई लाइन पर बराबर चिह्न (=) के बारे में मत भूलना:

उत्तर सही अंश निकला, और सब कुछ हमें सूट करता है, लेकिन यह बहुत बोझिल और बदसूरत है। हमें इसे सरल और सौंदर्य की दृष्टि से अधिक सुखद बनाना चाहिए। क्या किया जा सकता है? आप इस अंश को कम कर सकते हैं। याद रखें कि एक अंश की कमी अंश और भाजक के सबसे बड़े सामान्य भाजक द्वारा अंश और भाजक का विभाजन है।

एक अंश को सही ढंग से कम करने के लिए, आपको इसके अंश और भाजक को 20 और 30 की संख्या के सबसे बड़े सामान्य भाजक (GCD) से विभाजित करना होगा।

एनओसी के साथ जीसीडी को भ्रमित न करें। सबसे आम गलती जो कई नौसिखिए करते हैं। GCD सबसे बड़ा सामान्य विभाजक है। हम इसे अंश में कमी के लिए पाते हैं।

और LCM सबसे छोटा समापवर्तक है। भिन्नों को समान (उभयनिष्ठ) हर में लाने के लिए हम इसे पाते हैं।

अब हम संख्या 20 और 30 का महत्तम समापवर्तक (gcd) ज्ञात करेंगे।

तो, हम संख्या 20 और 30 के लिए जीसीडी पाते हैं:

जीसीडी (20 और 30) = 10

अब हम अपने उदाहरण पर लौटते हैं और भिन्न के अंश और हर को 10 से विभाजित करते हैं:

अच्छा उत्तर मिला

एक अंश को एक संख्या से गुणा करना

किसी भिन्न को किसी संख्या से गुणा करने के लिए, आपको दिए गए भिन्न के अंश को इस संख्या से गुणा करना होगा और हर को वही रहने देना होगा।

उदाहरण 1. अंश को संख्या 1 से गुणा करें।

अंश के अंश को संख्या 1 से गुणा करें

प्रवेश को आधा 1 बार लेने के रूप में समझा जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि आप 1 बार पिज़्ज़ा लेते हैं, तो आपको पिज़्ज़ा मिलता है

गुणन के नियमों से हम जानते हैं कि यदि गुण्य और गुणक को आपस में बदल दिया जाए, तो गुणनफल नहीं बदलेगा। यदि व्यंजक को के रूप में लिखा जाता है, तो गुणनफल अभी भी के बराबर होगा। फिर से, एक पूर्णांक और एक भिन्न को गुणा करने का नियम काम करता है:

इस प्रविष्टि को इकाई का आधा हिस्सा लेने के रूप में समझा जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि 1 पूरा पिज़्ज़ा है और हम उसका आधा लेते हैं, तो हमारे पास पिज़्ज़ा होगा:

उदाहरण 2. एक व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए

अंश के अंश को 4 से गुणा करें

अभिव्यक्ति को दो तिमाहियों को 4 बार लेने के रूप में समझा जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि आप 4 बार पिज़्ज़ा लेते हैं, तो आपको दो पूरे पिज़्ज़ा मिलते हैं।

और यदि हम गुण्य और गुणक को स्थानों में अदला-बदली करते हैं, तो हमें व्यंजक मिलता है। यह भी 2 के बराबर होगा। इस अभिव्यक्ति को चार पूरे पिज्जा से दो पिज्जा लेने के रूप में समझा जा सकता है:

अंशों का गुणन

भिन्नों का गुणा करने के लिए, आपको उनके अंशों और हरों का गुणा करना होगा। यदि उत्तर एक अनुचित अंश है, तो आपको इसमें पूरे भाग का चयन करना होगा।

उदाहरण 1व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर मिला। इस अंश को कम करना वांछनीय है। अंश को 2 से कम किया जा सकता है। फिर अंतिम समाधान निम्न रूप लेगा:

अभिव्यक्ति को आधे पिज्जा से पिज्जा लेने के रूप में समझा जा सकता है। मान लें कि हमारे पास आधा पिज़्ज़ा है:

इस आधे से दो तिहाई कैसे लें? पहले आपको इस आधे हिस्से को तीन बराबर भागों में बांटना होगा:

और इन तीन टुकड़ों में से दो लो:

हम पिज़्ज़ा लेंगे। याद रखें कि एक पिज़्ज़ा कैसा दिखता है जिसे तीन भागों में विभाजित किया गया है:

इस पिज़्ज़ा के एक स्लाइस और हमारे द्वारा लिए गए दो स्लाइस के आयाम समान होंगे:

दूसरे शब्दों में हम उसी पिज्जा साइज की बात कर रहे हैं। इसलिए, अभिव्यक्ति का मूल्य है

उदाहरण 2. एक व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए

पहले भिन्न के अंश को दूसरे भिन्न के अंश से और पहले भिन्न के हर को दूसरे भिन्न के हर से गुणा करें:

उत्तर एक अनुचित अंश है। आइए इसका पूरा हिस्सा लें:

उदाहरण 3एक व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए

उत्तर सही अंश निकला, लेकिन इसे कम कर दिया जाए तो अच्छा होगा। इस अंश को कम करने के लिए, इसे अंश और भाजक के जीसीडी से विभाजित किया जाना चाहिए। तो, आइए 105 और 450 की संख्या का GCD ज्ञात करें:

(105 और 150) के लिए जीसीडी 15 है

अब हम अपने उत्तर के अंश और हर को GCD में विभाजित करते हैं:

पूर्णांक को भिन्न के रूप में निरूपित करना

किसी भी पूर्ण संख्या को भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, संख्या 5 को के रूप में दर्शाया जा सकता है। इससे, पाँच का अर्थ नहीं बदलेगा, क्योंकि अभिव्यक्ति का अर्थ है "संख्या पाँच एक से विभाजित", और यह, जैसा कि आप जानते हैं, पाँच के बराबर है:

उलटा अंक

अब हम परिचित होंगे दिलचस्प विषयगणित में। इसे "रिवर्स नंबर" कहा जाता है।

परिभाषा। संख्या के विपरीत ए वह संख्या है, जिससे गुणा करने पर ए एक इकाई देता है।

आइए इस परिभाषा में एक चर के बजाय स्थानापन्न करें एसंख्या 5 और परिभाषा पढ़ने का प्रयास करें:

संख्या के विपरीत 5 वह संख्या है, जिससे गुणा करने पर 5 एक इकाई देता है।

क्या कोई ऐसी संख्या ज्ञात करना संभव है जिसे 5 से गुणा करने पर एक प्राप्त हो? यह पता चला है कि आप कर सकते हैं। आइए पांच को एक अंश के रूप में दर्शाते हैं:

फिर इस अंश को उसी से गुणा करें, बस अंश और हर को अदल-बदल कर दें। दूसरे शब्दों में, अंश को उसी से गुणा करें, केवल उल्टा:

इसका परिणाम क्या होगा? यदि हम इस उदाहरण को हल करना जारी रखते हैं, तो हमें एक मिलता है:

इसका मतलब यह है कि संख्या 5 का प्रतिलोम संख्या है, क्योंकि जब 5 को एक से गुणा किया जाता है, तो एक प्राप्त होता है।

व्युत्क्रम किसी अन्य पूर्णांक के लिए भी पाया जा सकता है।

• 3 का व्युत्क्रम एक भिन्न है
• 4 का व्युत्क्रम एक भिन्न है

आप किसी अन्य भिन्न का व्युत्क्रम भी ज्ञात कर सकते हैं। ऐसा करने के लिए, इसे चालू करने के लिए पर्याप्त है।

गुणन और अंशों का विभाजन।

ध्यान!
अतिरिक्त हैं
विशेष धारा 555 में सामग्री।
उन लोगों के लिए जो दृढ़ता से "बहुत नहीं ..."
और उनके लिए जो "बहुत अधिक ...")

यह संक्रिया योग-घटाव से कहीं अधिक अच्छी है! क्योंकि यह आसान है। मैं आपको याद दिलाता हूं: एक अंश को एक अंश से गुणा करने के लिए, आपको अंशों को गुणा करना होगा (यह परिणाम का अंश होगा) और भाजक (यह भाजक होगा)। वह है:

उदाहरण के लिए:

सब कुछ अत्यंत सरल है. और कृपया एक सामान्य भाजक की तलाश न करें! यहां इसकी जरूरत नहीं...

एक अंश को एक अंश से विभाजित करने के लिए, आपको फ्लिप करने की आवश्यकता है दूसरा(यह महत्वपूर्ण है!) भिन्न करें और उन्हें गुणा करें, अर्थात:

उदाहरण के लिए:

यदि पूर्णांकों और भिन्नों के साथ गुणा या भाग पकड़ा जाता है, तो कोई बात नहीं। जोड़ की तरह, हम भाजक में एक इकाई के साथ एक पूरी संख्या से एक अंश बनाते हैं - और जाओ! उदाहरण के लिए:

हाई स्कूल में, आपको अक्सर तीन-कहानी (या यहां तक ​​कि चार-कहानी!) के अंशों से निपटना पड़ता है। उदाहरण के लिए:

इस अंश को सभ्य रूप में कैसे लाया जाए? हाँ, बहुत आसान! दो बिंदुओं के माध्यम से विभाजन का प्रयोग करें:

लेकिन विभाजन आदेश के बारे में मत भूलना! गुणन के विपरीत, यह यहाँ बहुत महत्वपूर्ण है! निस्संदेह, हम 4:2 या 2:4 में भ्रमित नहीं होंगे। लेकिन तीन मंजिला अंश में गलती करना आसान है। कृपया ध्यान दें, उदाहरण के लिए:

पहले मामले में (बाईं ओर अभिव्यक्ति):

दूसरे में (दाईं ओर अभिव्यक्ति):

फर्क महसूस करो? 4 और 1/9!

विभाजन का क्रम क्या है? या कोष्ठक, या (यहाँ के रूप में) क्षैतिज डैश की लंबाई। एक आंख विकसित करें। और अगर कोई कोष्ठक या डैश नहीं हैं, जैसे:

फिर विभाजित-गुणा करें क्रम में, बाएं से दाएं!

और एक और बहुत ही सरल और महत्वपूर्ण ट्रिक। डिग्री वाले कार्यों में, यह आपके काम आएगा! आइए इकाई को किसी भिन्न से विभाजित करें, उदाहरण के लिए, 13/15 से:

शॉट पलट गया! और यह हमेशा होता है। 1 को किसी भी भिन्न से विभाजित करने पर परिणाम वही भिन्न होता है, केवल उलटा होता है।

अंशों के साथ यही सभी क्रियाएं हैं। बात काफी सरल है, लेकिन पर्याप्त से अधिक त्रुटियाँ देता है। टिप्पणी प्रायोगिक उपकरण, और वे (त्रुटियाँ) कम होंगी!

व्यावहारिक सुझाव:

1. भिन्नात्मक भावों के साथ काम करते समय सबसे महत्वपूर्ण बात सटीकता और सावधानी है! ये सामान्य शब्द नहीं हैं, शुभ कामनाएँ नहीं हैं! यह एक सख्त जरूरत है! परीक्षा की सभी गणनाएँ एकाग्रता और स्पष्टता के साथ एक पूर्ण कार्य के रूप में करें। अपने सिर में गणना करते समय गड़बड़ करने की तुलना में ड्राफ्ट में दो अतिरिक्त पंक्तियां लिखना बेहतर होता है।

2. उदाहरणों में अलग - अलग प्रकारभिन्न - साधारण भिन्नों पर जाएँ।

3. हम सभी भिन्नों को अंत तक कम करते हैं।

4. हम दो बिंदुओं के माध्यम से विभाजन का उपयोग करके बहु-स्तरीय भिन्नात्मक भावों को सामान्य लोगों तक कम करते हैं (हम विभाजन के क्रम का पालन करते हैं!)।

5. हम अपने दिमाग में इकाई को एक अंश में विभाजित करते हैं, केवल भिन्न को उलट कर।

यहां वे कार्य हैं जिन्हें आपको पूरा करने की आवश्यकता है। सभी कार्यों के बाद उत्तर दिए जाते हैं। इस विषय की सामग्री और व्यावहारिक सलाह का उपयोग करें। अनुमान लगाएं कि आप कितने उदाहरणों को सही ढंग से हल कर सकते हैं। पहली बार! बिना कैलकुलेटर के! और सही निष्कर्ष निकाले...

सही उत्तर याद रखें दूसरे (विशेष रूप से तीसरे) समय से प्राप्त - गिनती नहीं है!ऐसा कठोर जीवन है।

इसलिए, परीक्षा मोड में हल करें ! वैसे यह परीक्षा की तैयारी है। हम एक उदाहरण हल करते हैं, हम जांचते हैं, हम निम्नलिखित को हल करते हैं। हमने सब कुछ तय कर लिया - हमने पहली से आखिरी तक फिर से जाँच की। लेकिन केवल तबउत्तरों को देखो।

गणना करें:

क्या आपने तय किया?

अपने से मेल खाने वाले उत्तरों की तलाश में। मैंने विशेष रूप से उन्हें एक गड़बड़ में लिखा था, प्रलोभन से दूर, बोलने के लिए ... यहाँ वे उत्तर हैं, अर्धविराम के साथ लिखे गए हैं।

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

और अब हम निष्कर्ष निकालते हैं। अगर सब कुछ काम कर गया - आपके लिए खुश! अंशों के साथ प्रारंभिक गणना आपकी समस्या नहीं है! आप अधिक गंभीर कार्य कर सकते हैं। अगर नहीं...

तो आपको दो में से एक समस्या है। या दोनों एक साथ।) ज्ञान की कमी और (या) असावधानी। लेकिन इस व्याख्या करने योग्य समस्या।

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आप उदाहरणों को हल करने का अभ्यास कर सकते हैं और अपने स्तर का पता लगा सकते हैं। तत्काल सत्यापन के साथ परीक्षण। सीखना - रुचि के साथ!)

आप कार्यों और डेरिवेटिव से परिचित हो सकते हैं।

साधारण अंशों का गुणन

एक उदाहरण पर विचार करें।

मान लीजिए कि प्लेट में एक सेब का भाग $\frac(1)(3)$ है। हमें इसका $\frac(1)(2)$ भाग खोजने की आवश्यकता है। आवश्यक भाग भिन्न $\frac(1)(3)$ और $\frac(1)(2)$ को गुणा करने का परिणाम है। दो सामान्य भिन्नों को गुणा करने का परिणाम एक सामान्य भिन्न होता है।

दो आम अंशों को गुणा करना

साधारण भिन्नों को गुणा करने का नियम:

एक अंश को एक अंश से गुणा करने का परिणाम एक अंश है जिसका अंश गुणित अंशों के अंशों के गुणनफल के बराबर होता है, और भाजक भाजक के गुणनफल के बराबर होता है:

उदाहरण 1

साधारण भिन्नों $\frac(3)(7)$ और $\frac(5)(11)$ का गुणा करें।

समाधान।

आइए साधारण अंशों के गुणन के नियम का उपयोग करें:

\[\frac(3)(7)\cdot \frac(5)(11)=\frac(3\cdot 5)(7\cdot 11)=\frac(15)(77)\]

उत्तर:$\frac(15)(77)$

यदि अंशों को गुणा करने के परिणामस्वरूप एक रद्द करने योग्य या अनुचित अंश प्राप्त होता है, तो इसे सरल बनाना आवश्यक है।

उदाहरण 2

भिन्नों $\frac(3)(8)$ और $\frac(1)(9)$ को गुणा करें।

समाधान।

हम साधारण अंशों को गुणा करने के लिए नियम का उपयोग करते हैं:

\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)\]

नतीजतन, हमें एक कम करने योग्य अंश मिला ($3$ द्वारा विभाजन के आधार पर। अंश के अंश और भाजक को $3$ से विभाजित करें, हमें मिलता है:

\[\frac(3)(72)=\frac(3:3)(72:3)=\frac(1)(24)\]

लघु उपाय:

\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)=\frac(1) (24) \]

उत्तर:$\frac(1)(24).$

भिन्नों को गुणा करते समय, आप उनका गुणनफल ज्ञात करने के लिए अंशों और हरों को कम कर सकते हैं। इस मामले में, अंश के अंश और भाजक को साधारण कारकों में विघटित किया जाता है, जिसके बाद दोहराए जाने वाले कारकों को कम किया जाता है और परिणाम मिलता है।

उदाहरण 3

भिन्नों $\frac(6)(75)$ और $\frac(15)(24)$ के उत्पाद की गणना करें।

समाधान।

आइए साधारण अंशों को गुणा करने के सूत्र का उपयोग करें:

\[\frac(6)(75)\cdot \frac(15)(24)=\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)\]

जाहिर है, अंश और भाजक में संख्याएँ होती हैं जिन्हें जोड़े में $2$, $3$, और $5$ द्वारा घटाया जा सकता है। हम अंश और भाजक को साधारण गुणनखंडों में विघटित करते हैं और घटाते हैं:

\[\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)=\frac(2\cdot 3\cdot 3\cdot 5)(3\cdot 5\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3)=\frac(1)(5\cdot 2\cdot 2)=\frac(1)(20)\]

उत्तर:$\frac(1)(20).$

अंशों को गुणा करते समय, क्रमविनिमेय कानून लागू किया जा सकता है:

एक अंश को एक प्राकृतिक संख्या से गुणा करना

एक साधारण अंश को एक प्राकृतिक संख्या से गुणा करने का नियम:

एक अंश को एक प्राकृतिक संख्या से गुणा करने का परिणाम एक अंश है जिसमें अंश प्राकृतिक संख्या से गुणा अंश के गुणनफल के बराबर होता है, और भाजक गुणा अंश के भाजक के बराबर होता है:

जहाँ $\frac(a)(b)$ एक आम अंश है, $n$ एक प्राकृतिक संख्या है।

उदाहरण 4

अंश $\frac(3)(17)$ को $4$ से गुणा करें।

समाधान।

आइए एक साधारण अंश को एक प्राकृतिक संख्या से गुणा करने के नियम का उपयोग करें:

\[\frac(3)(17)\cdot 4=\frac(3\cdot 4)(17)=\frac(12)(17)\]

उत्तर:$\frac(12)(17).$

एक अंश की सिकुड़न या के लिए गुणन के परिणाम की जाँच करना न भूलें अनुचित अंश.

उदाहरण 5

अंश $\frac(7)(15)$ को $3$ से गुणा करें।

समाधान।

आइए एक अंश को एक प्राकृतिक संख्या से गुणा करने के सूत्र का उपयोग करें:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)\]

संख्या $3$ द्वारा विभाजन की कसौटी से), यह निर्धारित किया जा सकता है कि परिणामी अंश को कम किया जा सकता है:

\[\frac(21)(15)=\frac(21:3)(15:3)=\frac(7)(5)\]

नतीजा एक अनुचित अंश है। आइए पूरा हिस्सा लेते हैं:

\[\frac(7)(5)=1\frac(2)(5)\]

लघु उपाय:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)=\frac(7)(5)=1\frac(2) (5) \]

अंश और भाजक में संख्याओं को उनके विस्तार के साथ प्रमुख कारकों में बदलकर अंशों को कम करना भी संभव था। इस मामले में, समाधान निम्नानुसार लिखा जा सकता है:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(7\cdot 3)(3\cdot 5)=\frac(7)(5)= 1\frac(2)(5)\]

उत्तर:$1\frac(2)(5).$

एक अंश को एक प्राकृतिक संख्या से गुणा करते समय, आप क्रमविनिमेय कानून का उपयोग कर सकते हैं:

साधारण अंशों का विभाजन

विभाजन ऑपरेशन गुणन का व्युत्क्रम है और इसका परिणाम एक अंश है जिसके द्वारा आपको दो अंशों के ज्ञात उत्पाद को प्राप्त करने के लिए एक ज्ञात अंश को गुणा करने की आवश्यकता होती है।

दो सामान्य अंशों का विभाजन

साधारण भिन्नों को विभाजित करने का नियम:जाहिर है, परिणामी अंश के अंश और भाजक को साधारण कारकों में विघटित किया जा सकता है और कम किया जा सकता है:

\[\frac(8\cdot 35)(15\cdot 12)=\frac(2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\cdot 7)(3\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 3)= \frac(2\cdot 7)(3\cdot 3)=\frac(14)(9)\]

परिणामस्वरूप, हमें एक अनुचित अंश मिला, जिसमें से हम पूर्णांक भाग का चयन करते हैं:

\[\frac(14)(9)=1\frac(5)(9)\]

उत्तर:$1\frac(5)(9).$

§ 87. अंशों का जोड़।

भिन्नों को जोड़ने में पूर्ण संख्याओं को जोड़ने में कई समानताएँ होती हैं। अंशों का जोड़ एक ऐसी क्रिया है जिसमें कई दी गई संख्याएँ (पद) एक संख्या (योग) में संयुक्त होती हैं, जिसमें सभी इकाइयाँ और शब्दों की इकाइयों के अंश होते हैं।

हम बदले में तीन मामलों पर विचार करेंगे:

1. समान हर वाले भिन्नों का जोड़।
2. विभिन्न भाजक वाले भिन्नों का जोड़।
3. मिश्रित संख्याओं का जोड़।

1. समान हर वाले भिन्नों का जोड़।

एक उदाहरण पर विचार करें: 1/5 + 2/5।

खंड AB (चित्र 17) लें, इसे एक इकाई के रूप में लें और इसे 5 बराबर भागों में विभाजित करें, फिर इस खंड का भाग AC खंड AB के 1/5 के बराबर होगा, और उसी खंड CD का भाग 2/5 एबी के बराबर होगा।

आरेखण से यह देखा जा सकता है कि यदि हम खंड AD लेते हैं, तो यह 3/5 AB के बराबर होगा; लेकिन खंड AD सटीक रूप से खंडों AC और CD का योग है। तो, हम लिख सकते हैं:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

इन शर्तों और परिणामी राशि को ध्यान में रखते हुए, हम देखते हैं कि योग का अंश शर्तों के अंशों को जोड़कर प्राप्त किया गया था, और भाजक अपरिवर्तित रहे।

यहाँ से हम प्राप्त करते हैं अगला नियम: समान हर वाले भिन्नों को जोड़ने के लिए, आपको उनके अंशों को जोड़ना होगा और समान भाजक को छोड़ना होगा।

एक उदाहरण पर विचार करें:

2. विभिन्न भाजक वाले भिन्नों का जोड़।

आइए अंशों को जोड़ें: 3/4 + 3/8 सबसे पहले उन्हें सबसे कम सामान्य भाजक में कम करने की आवश्यकता है:

मध्यवर्ती लिंक 6/8 + 3/8 लिखा नहीं जा सकता था; हमने इसे अधिक स्पष्टता के लिए यहां लिखा है।

इस प्रकार, अलग-अलग भाजक के साथ अंशों को जोड़ने के लिए, आपको पहले उन्हें सबसे कम सामान्य भाजक में लाना होगा, उनके अंशों को जोड़ना होगा और सामान्य भाजक पर हस्ताक्षर करना होगा।

एक उदाहरण पर विचार करें (हम संबंधित अंशों पर अतिरिक्त कारक लिखेंगे):

3. मिश्रित संख्याओं का जोड़।

संख्याओं को जोड़ते हैं: 2 3/8 + 3 5/6।

आइए पहले हम अपनी संख्याओं के भिन्नात्मक भागों को एक आम भाजक में लाएँ और उन्हें फिर से लिखें:

अब पूर्णांक और भिन्नात्मक भागों को क्रम से जोड़ें:

§ 88. अंशों का घटाव।

भिन्नों के घटाव को उसी तरह परिभाषित किया जाता है जैसे पूर्ण संख्याओं को घटाना। यह एक ऐसी क्रिया है जिसके द्वारा दो पदों और उनमें से एक के योग को देखते हुए दूसरा पद प्राप्त किया जाता है। आइए तीन मामलों पर बारी-बारी से विचार करें:

1. समान भाजक वाले भिन्नों का घटाव।
2. विभिन्न भाजक वाले भिन्नों का घटाव।
3. मिश्रित संख्याओं का घटाव।

1. समान भाजक वाले भिन्नों का घटाव।

एक उदाहरण पर विचार करें:

13 / 15 - 4 / 15

आइए खंड AB (चित्र 18) लें, इसे एक इकाई के रूप में लें और इसे 15 समान भागों में विभाजित करें; तब इस खंड का AC भाग AB का 1/15 होगा, और उसी खंड का AD भाग 13/15 AB के अनुरूप होगा। आइए 4/15 AB के बराबर एक और खंड ED अलग रखें।

हमें 13/15 में से 4/15 घटाना है। ड्राइंग में, इसका मतलब है कि सेगमेंट ईडी को सेगमेंट एडी से घटाया जाना चाहिए। परिणामस्वरूप, खंड AE बना रहेगा, जो खंड AB का 9/15 है। तो हम लिख सकते हैं:

हमारे द्वारा बनाए गए उदाहरण से पता चलता है कि अंतर का अंश अंशों को घटाकर प्राप्त किया गया था, और भाजक वही रहा।

इसलिए, समान भाजक वाले अंशों को घटाने के लिए, आपको घटाव के अंश को न्यूनतम के अंश से घटाना होगा और समान भाजक को छोड़ना होगा।

2. विभिन्न भाजक वाले भिन्नों का घटाव।

उदाहरण। 3/4 - 5/8

सबसे पहले, आइए इन भिन्नों को सबसे छोटे आम ​​भाजक में कम करें:

इंटरमीडिएट लिंक 6/8 - 5/8 स्पष्टता के लिए यहां लिखा गया है, लेकिन इसे भविष्य में छोड़ा जा सकता है।

इस प्रकार, एक अंश से एक अंश को घटाने के लिए, आपको पहले उन्हें सबसे छोटे सामान्य भाजक में लाना होगा, फिर घटाव के अंश को न्यूनतम के अंश से घटाना होगा और उनके अंतर के तहत सामान्य भाजक पर हस्ताक्षर करना होगा।

एक उदाहरण पर विचार करें:

3. मिश्रित संख्याओं का घटाव।

उदाहरण। 10 3/4 - 7 2/3।

आइए सबसे कम आम भाजक के लिए न्यूनतम और घटाव के भिन्नात्मक भागों को लाएं:

हमने एक पूर्ण से एक पूर्ण और एक भिन्न से एक भिन्न घटाया। लेकिन ऐसे मामले होते हैं जब घटाव का भिन्नात्मक भाग न्यूनतम के भिन्नात्मक भाग से अधिक होता है। ऐसे मामलों में, आपको कम के पूर्णांक भाग से एक इकाई लेने की जरूरत है, इसे उन भागों में विभाजित करें जिनमें भिन्नात्मक भाग व्यक्त किया गया है, और कम के भिन्नात्मक भाग में जोड़ें। और फिर घटाव पिछले उदाहरण की तरह ही किया जाएगा:

§ 89. अंशों का गुणन।

भिन्नों के गुणन का अध्ययन करते समय, हम विचार करेंगे अगले प्रश्न:

1. एक भिन्न को एक पूर्णांक से गुणा करना।
2. दी गई संख्या का भिन्न ज्ञात करना।
3. एक पूर्ण संख्या का एक अंश से गुणा।
4. भिन्न को भिन्न से गुणा करना।
5. मिश्रित संख्याओं का गुणन।
6. ब्याज की अवधारणा।
7. दी गई संख्या का प्रतिशत ज्ञात करना। आइए उन पर सिलसिलेवार विचार करें।

1. एक भिन्न को एक पूर्णांक से गुणा करना।

एक अंश को एक पूर्णांक से गुणा करने का अर्थ एक पूर्णांक द्वारा एक पूर्णांक को गुणा करने के समान है। एक अंश (गुणक) को एक पूर्णांक (गुणक) से गुणा करने का अर्थ है समान पदों का योग बनाना, जिसमें प्रत्येक पद गुण्य के बराबर है, और शब्दों की संख्या गुणक के बराबर है।

इसलिए, यदि आपको 1/9 को 7 से गुणा करना है, तो इसे इस प्रकार किया जा सकता है:

हमें परिणाम आसानी से मिल गया, क्योंकि कार्रवाई समान भाजक वाले भिन्नों को जोड़ने तक कम कर दी गई थी। इस तरह,

इस क्रिया पर विचार करने से पता चलता है कि एक अंश को एक पूर्णांक से गुणा करना इस अंश को पूर्णांक में इकाइयों की संख्या के बराबर बढ़ाने के बराबर है। और चूँकि अंश में वृद्धि या तो अंश में वृद्धि करके प्राप्त की जाती है

या इसके भाजक को घटाकर , तो हम या तो अंश को पूर्णांक से गुणा कर सकते हैं, या भाजक को इससे विभाजित कर सकते हैं, यदि ऐसा विभाजन संभव है।

यहाँ से हमें नियम मिलता है:

एक अंश को एक पूर्णांक से गुणा करने के लिए, आपको अंश को इस पूर्णांक से गुणा करना होगा और भाजक को समान छोड़ना होगा, या यदि संभव हो तो, अंश को अपरिवर्तित छोड़कर, इस संख्या से भाजक को विभाजित करें।

गुणा करते समय, संक्षिप्त रूप संभव हैं, उदाहरण के लिए:

2. दी गई संख्या का भिन्न ज्ञात करना।ऐसी बहुत सी समस्याएँ हैं जिनमें आपको दी गई संख्या का एक भाग ज्ञात करना या परिकलित करना होता है। इन कार्यों और अन्य के बीच का अंतर यह है कि वे कुछ वस्तुओं या माप की इकाइयों की संख्या देते हैं और आपको इस संख्या का एक भाग खोजने की आवश्यकता होती है, जिसे एक निश्चित अंश द्वारा भी इंगित किया जाता है। समझने में सुविधा के लिए, हम पहले ऐसी समस्याओं का उदाहरण देंगे और फिर उन्हें हल करने की विधि का परिचय देंगे।

कार्य 1।मेरे पास 60 रूबल थे; इस पैसे का 1/3 मैंने किताबों की खरीद पर खर्च किया। किताबों की कीमत कितनी थी?

कार्य 2।ट्रेन को शहर A और B के बीच की दूरी 300 किमी के बराबर तय करनी होगी। वह पहले ही उस दूरी का 2/3 भाग तय कर चुका है। यह कितने किलोमीटर है?

कार्य 3।गाँव में 400 घर हैं, जिनमें से 3/4 ईंट के हैं, बाकी लकड़ी के हैं। कितने ईंट के घर?

यहां ऐसी कई समस्याओं में से कुछ हैं जिनसे हमें किसी दी गई संख्या का भिन्न ज्ञात करने के लिए निपटना पड़ता है। उन्हें आमतौर पर दी गई संख्या का एक अंश खोजने के लिए समस्याएँ कहा जाता है।

समस्या का समाधान 1. 60 रूबल से। मैंने किताबों पर 1/3 खर्च किया; इसलिए, पुस्तकों की कीमत ज्ञात करने के लिए, आपको संख्या 60 को 3 से विभाजित करने की आवश्यकता है:

समस्या 2 समाधान।समस्या का अर्थ यह है कि आपको 300 किमी का 2/3 खोजने की आवश्यकता है। 300 के पहले 1/3 की गणना करें; यह 300 किमी को 3 से विभाजित करके प्राप्त किया जाता है:

300: 3 = 100 (यह 300 का 1/3 है)।

300 का दो-तिहाई पता लगाने के लिए, आपको परिणामी भागफल को दोगुना करना होगा, यानी 2 से गुणा करना होगा:

100 x 2 = 200 (यह 300 का 2/3 है)।

समस्या का समाधान 3.यहां आपको ईंट के घरों की संख्या निर्धारित करने की आवश्यकता है, जो कि 400 का 3/4 है। आइए पहले 400 का 1/4 खोजें,

400: 4 = 100 (यह 400 का 1/4 है)।

400 के तीन चौथाई की गणना करने के लिए, परिणामी भागफल को तीन गुना किया जाना चाहिए, अर्थात 3 से गुणा किया जाना चाहिए:

100 x 3 = 300 (यह 400 का 3/4 है)।

इन समस्याओं के समाधान के आधार पर, हम निम्नलिखित नियम प्राप्त कर सकते हैं:

किसी दी गई संख्या के अंश का मान ज्ञात करने के लिए, आपको इस संख्या को भिन्न के हर से विभाजित करना होगा और परिणामी भागफल को उसके अंश से गुणा करना होगा।

3. एक पूर्ण संख्या का एक अंश से गुणा।

पहले (§ 26) यह स्थापित किया गया था कि पूर्णांकों के गुणन को समान शब्दों (5 x 4 \u003d 5 + 5 + 5 + 5 \u003d 20) के जोड़ के रूप में समझा जाना चाहिए। इस पैराग्राफ (पैराग्राफ 1) में यह स्थापित किया गया था कि एक अंश को पूर्णांक से गुणा करने का अर्थ है इस अंश के बराबर समान शब्दों का योग ज्ञात करना।

दोनों ही मामलों में, गुणन में समान पदों का योग ज्ञात करना शामिल था।

अब हम एक पूर्ण संख्या को एक भिन्न से गुणा करने के लिए आगे बढ़ते हैं। यहां हम ऐसे मिलेंगे, उदाहरण के लिए, गुणन: 9 2/3। यह बिल्कुल स्पष्ट है कि गुणन की पिछली परिभाषा इस मामले में लागू नहीं होती है। यह इस तथ्य से स्पष्ट है कि हम समान संख्याओं को जोड़कर ऐसे गुणन को प्रतिस्थापित नहीं कर सकते।

इस वजह से, हमें गुणा की एक नई परिभाषा देनी होगी, यानी दूसरे शब्दों में, इस सवाल का जवाब देना होगा कि एक अंश से गुणा करके क्या समझा जाना चाहिए, इस क्रिया को कैसे समझा जाना चाहिए।

एक पूर्णांक को एक भिन्न से गुणा करने का अर्थ निम्नलिखित परिभाषा से स्पष्ट है: एक पूर्णांक (गुणक) को एक अंश (गुणक) से गुणा करने का अर्थ है गुणक के इस अंश को ज्ञात करना।

अर्थात्, 9 को 2/3 से गुणा करने का अर्थ है नौ इकाइयों का 2/3 ज्ञात करना। पिछले पैराग्राफ में, ऐसी समस्याओं का समाधान किया गया था; इसलिए यह पता लगाना आसान है कि हम 6 के साथ समाप्त होते हैं।

लेकिन अब एक दिलचस्प और है महत्वपूर्ण सवाल: समान संख्याओं का योग ज्ञात करने और किसी संख्या का अंश ज्ञात करने जैसी अलग-अलग क्रियाओं को अंकगणित में एक ही शब्द "गुणा" क्यों कहा जाता है?

ऐसा इसलिए होता है क्योंकि पिछली क्रिया (संख्या को शब्दों के साथ कई बार दोहराना) और नई क्रिया (संख्या का भिन्न ज्ञात करना) सजातीय प्रश्नों का उत्तर देती है। इसका मतलब यह है कि हम यहां इस विचार से आगे बढ़ते हैं कि सजातीय प्रश्न या कार्य एक और एक ही क्रिया द्वारा हल किए जाते हैं।

इसे समझने के लिए, निम्नलिखित समस्या पर विचार करें: “1 मीटर कपड़े की कीमत 50 रूबल है। ऐसे 4 मीटर कपड़े की कीमत कितनी होगी?

यह समस्या रूबल की संख्या (50) को मीटर की संख्या (4), यानी 50 x 4 = 200 (रूबल) से गुणा करके हल की जाती है।

आइए एक ही समस्या लेते हैं, लेकिन इसमें कपड़े की मात्रा को भिन्नात्मक संख्या के रूप में व्यक्त किया जाएगा: “1 मीटर कपड़े की कीमत 50 रूबल है। ऐसे 3/4 मीटर कपड़े की कीमत कितनी होगी?

मीटर की संख्या (3/4) से रूबल (50) की संख्या को गुणा करके इस समस्या को भी हल करने की आवश्यकता है।

आप समस्या का अर्थ बदले बिना इसमें कई बार संख्याएँ भी बदल सकते हैं, उदाहरण के लिए, 9/10 मीटर या 2 3/10 मीटर, आदि।

चूंकि इन समस्याओं की सामग्री समान है और केवल संख्याओं में भिन्न है, इसलिए हम उन्हें एक ही शब्द - गुणन को हल करने में प्रयुक्त क्रियाओं को कहते हैं।

एक पूर्ण संख्या को एक भिन्न से कैसे गुणा किया जाता है?

पिछली समस्या में आई संख्याओं को लेते हैं:

परिभाषा के अनुसार, हमें 50 का 3/4 खोजना होगा। पहले हम 50 का 1/4 और फिर 3/4 पाते हैं।

50 का 1/4 50/4 है;

50 का 3/4 है।

इस तरह।

एक अन्य उदाहरण पर विचार करें: 12 5/8 = ?

12 का 1/8 12/8 है,

संख्या 12 का 5/8 है।

इस तरह,

यहाँ से हमें नियम मिलता है:

एक पूर्णांक को एक अंश से गुणा करने के लिए, आपको पूर्णांक को अंश के अंश से गुणा करना होगा और इस गुणनफल को अंश बनाना होगा, और दिए गए भिन्न के हर को हर के रूप में चिन्हित करना होगा।

हम इस नियम को अक्षरों का उपयोग करके लिखते हैं:

इस नियम को पूरी तरह स्पष्ट करने के लिए यह याद रखना चाहिए कि भिन्न को भागफल माना जा सकता है। इसलिए, किसी संख्या को भागफल से गुणा करने के नियम के साथ पाए गए नियम की तुलना करना उपयोगी है, जिसे § 38 में निर्धारित किया गया था

यह याद रखना चाहिए कि गुणा करने से पहले, आपको (यदि संभव हो) करना चाहिए कटौती, उदाहरण के लिए:

4. भिन्न को भिन्न से गुणा करना।एक अंश को एक अंश से गुणा करने का वही अर्थ है जो एक पूर्णांक को एक अंश से गुणा करने पर होता है, अर्थात, जब एक अंश को एक अंश से गुणा करते हैं, तो आपको पहले अंश (गुणक) से गुणक में भिन्न को खोजने की आवश्यकता होती है।

अर्थात्, 3/4 को 1/2 (आधा) से गुणा करने का अर्थ है 3/4 का आधा ज्ञात करना।

आप एक भिन्न को एक भिन्न से कैसे गुणा करते हैं?

एक उदाहरण लेते हैं: 3/4 गुना 5/7. इसका मतलब है कि आपको 3/4 से 5/7 निकालने की जरूरत है। 3/4 का पहले 1/7 और फिर 5/7 ज्ञात करें

3/4 का 1/7 इस प्रकार व्यक्त किया जाएगा:

5/7 संख्या 3/4 को इस प्रकार व्यक्त किया जाएगा:

इस प्रकार,

एक अन्य उदाहरण: 5/8 गुना 4/9।

5/8 का 1/9 है,

4/9 नंबर 5/8 हैं।

इस प्रकार,

इन उदाहरणों से, निम्नलिखित नियम निकाला जा सकता है:

एक भिन्न को एक भिन्न से गुणा करने के लिए, आपको अंश को अंश से और हर को हर से गुणा करना होगा और पहले गुणनफल को अंश और दूसरे गुणनफल को गुणनफल का हर बनाना होगा।

में यह नियम है सामान्य रूप से देखेंइस प्रकार लिखा जा सकता है:

गुणा करते समय, (यदि संभव हो) कटौती करना आवश्यक है। उदाहरणों पर विचार करें:

5. मिश्रित संख्याओं का गुणन।चूंकि मिश्रित संख्याओं को आसानी से अनुचित अंशों से बदला जा सकता है, इस परिस्थिति का उपयोग आमतौर पर मिश्रित संख्याओं को गुणा करते समय किया जाता है। इसका मतलब यह है कि उन मामलों में जहां गुण्य, या गुणक, या दोनों कारकों को मिश्रित संख्या के रूप में व्यक्त किया जाता है, तब उन्हें अनुचित अंशों से बदल दिया जाता है। गुणा करें, उदाहरण के लिए, मिश्रित संख्याएँ: 2 1/2 और 3 1/5। हम उनमें से प्रत्येक को एक अनुचित अंश में बदल देते हैं और फिर हम परिणामी अंशों को एक अंश से गुणा करने के नियम के अनुसार गुणा करेंगे:

नियम।मिश्रित संख्याओं को गुणा करने के लिए, आपको पहले उन्हें अनुचित भिन्नों में बदलना होगा और फिर एक भिन्न को एक भिन्न से गुणा करने के नियम के अनुसार गुणा करना होगा।

टिप्पणी।यदि कारकों में से एक पूर्णांक है, तो वितरण कानून के आधार पर गुणन निम्नानुसार किया जा सकता है:

6. ब्याज की अवधारणा।समस्याओं को हल करते समय और विभिन्न व्यावहारिक गणना करते समय, हम सभी प्रकार के भिन्नों का उपयोग करते हैं। लेकिन यह ध्यान में रखना चाहिए कि कई मात्राएं कोई नहीं, बल्कि उनके लिए प्राकृतिक उपविभाजन स्वीकार करती हैं। उदाहरण के लिए, आप एक सौवां (1/100) रूबल ले सकते हैं, यह एक पैसा होगा, दो सौवां 2 कोपेक होगा, तीन सौवां 3 कोपेक होगा। आप रूबल का 1/10 ले सकते हैं, यह "10 kopecks, या एक पैसा होगा। आप रूबल का एक चौथाई ले सकते हैं, यानी 25 kopecks, आधा रूबल, यानी 50 kopecks (पचास kopecks)। लेकिन वे व्यावहारिक रूप से नहीं करते हैं। उदाहरण के लिए, 2/7 रूबल न लें क्योंकि रूबल सातवें में विभाजित नहीं है।

वजन के लिए माप की इकाई, यानी किलोग्राम, सबसे पहले, दशमलव उपखंडों की अनुमति देता है, उदाहरण के लिए, 1/10 किग्रा, या 100 ग्राम और किलोग्राम के ऐसे अंश जैसे 1/6, 1/11, 1/ 13 असामान्य हैं।

सामान्य तौर पर हमारे (मीट्रिक) उपाय दशमलव होते हैं और दशमलव उपखंडों की अनुमति देते हैं।

हालांकि, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि विभिन्न प्रकार के मामलों में उप-विभाजन की समान (समान) विधि का उपयोग करना अत्यंत उपयोगी और सुविधाजनक है। कई वर्षों के अनुभव से पता चला है कि इस तरह का एक न्यायोचित विभाजन "सौवाँ" विभाजन है। आइए मानव अभ्यास के सबसे विविध क्षेत्रों से संबंधित कुछ उदाहरणों पर विचार करें।

1. पुस्तकों की कीमत पिछले मूल्य से 12/100 कम हो गई है।

उदाहरण। किताब की पिछली कीमत 10 रूबल है। वह 1 रूबल नीचे चली गई। 20 कोप।

2. बचत बैंक जमाकर्ताओं को बचत में लगाई गई राशि का 2/100 वर्ष के दौरान भुगतान करते हैं।

उदाहरण। कैश डेस्क में 500 रूबल डाले जाते हैं, इस राशि से वर्ष के लिए आय 10 रूबल है।

3. एक स्कूल के स्नातकों की संख्या कुल छात्रों की संख्या का 5/100 थी।

उदाहरण स्कूल में केवल 1,200 छात्रों ने अध्ययन किया, उनमें से 60 ने स्कूल से स्नातक किया।

किसी संख्या के सौवें भाग को प्रतिशत कहते हैं।.

शब्द "प्रतिशत" से लिया गया है लैटिनऔर इसकी जड़ "शत" का अर्थ एक सौ है। पूर्वसर्ग (प्रो सेंटम) के साथ, इस शब्द का अर्थ है "सौ के लिए।" इस अभिव्यक्ति का अर्थ इस तथ्य से है कि प्रारंभ में प्राचीन रोमब्याज वह पैसा था जो देनदार ने ऋणदाता को "हर सौ के लिए" भुगतान किया था। शब्द "सेंट" ऐसे परिचित शब्दों में सुना जाता है: सेंटनर (एक सौ किलोग्राम), सेंटीमीटर (वे सेंटीमीटर कहते हैं)।

उदाहरण के लिए, यह कहने के बजाय कि संयंत्र ने पिछले महीने के दौरान उसके द्वारा उत्पादित सभी उत्पादों का 1/100 उत्पादन किया, हम यह कहेंगे: संयंत्र ने पिछले महीने के दौरान रिजेक्ट का एक प्रतिशत उत्पादन किया। यह कहने के बजाय: संयंत्र ने स्थापित योजना से 4/100 अधिक उत्पादों का उत्पादन किया, हम कहेंगे: संयंत्र ने योजना से 4 प्रतिशत अधिक उत्पादन किया।

उपरोक्त उदाहरणों को अलग तरह से व्यक्त किया जा सकता है:

1. पुस्तकों के मूल्य में पिछले मूल्य के 12 प्रतिशत की कमी आई है।

2. बचत बैंक जमाकर्ताओं को बचत में लगाई गई राशि का प्रति वर्ष 2 प्रतिशत भुगतान करते हैं।

3. एक स्कूल के स्नातकों की संख्या स्कूल में सभी छात्रों की संख्या का 5 प्रतिशत थी।

अक्षर को छोटा करने के लिए "प्रतिशत" शब्द के स्थान पर % चिन्ह लिखने की प्रथा है।

हालाँकि, यह याद रखना चाहिए कि % चिन्ह आमतौर पर गणनाओं में नहीं लिखा जाता है, इसे समस्या विवरण और अंतिम परिणाम में लिखा जा सकता है। गणना करते समय, आपको इस आइकन के साथ पूर्णांक के बजाय 100 के भाजक के साथ एक अंश लिखने की आवश्यकता होती है।

आपको निर्दिष्ट आइकन के साथ एक पूर्णांक को 100 के भाजक के साथ एक अंश के साथ बदलने में सक्षम होने की आवश्यकता है:

इसके विपरीत, आपको 100 के भाजक के साथ एक अंश के बजाय संकेतित आइकन के साथ एक पूर्णांक लिखने की आदत डालने की आवश्यकता है:

7. दी गई संख्या का प्रतिशत ज्ञात करना।

कार्य 1।स्कूल को 200 क्यूबिक मीटर मिले। जलाऊ लकड़ी का मीटर, और सन्टी लकड़ी 30% थे। कितनी बर्च की लकड़ी थी?

इस समस्या का अर्थ यह है कि बर्च जलाऊ लकड़ी केवल जलाऊ लकड़ी का एक हिस्सा था जिसे स्कूल में वितरित किया गया था, और यह हिस्सा 30/100 के अंश के रूप में व्यक्त किया गया है। इसलिए, हमें किसी संख्या का भिन्न ज्ञात करने के कार्य का सामना करना पड़ता है। इसे हल करने के लिए, हमें 200 को 30/100 से गुणा करना होगा (संख्या के अंश को खोजने का कार्य एक संख्या को एक अंश से गुणा करके हल किया जाता है।)।

तो 200 का 30% 60 के बराबर है।

इस समस्या में 30/100 के अंश को 10 से कम किया जा सकता है। इस कमी को शुरू से ही करना संभव होगा; समस्या का समाधान नहीं बदलेगा।

कार्य 2।शिविर में विभिन्न उम्र के 300 बच्चे थे। 11 वर्ष की आयु के बच्चे 21%, 12 वर्ष की आयु के बच्चे 61% और अंत में 13 वर्ष के बच्चे 18% थे। शिविर में प्रत्येक आयु के कितने बच्चे थे?

इस समस्या में, आपको तीन गणनाएँ करने की आवश्यकता है, अर्थात् क्रमशः 11 वर्ष, फिर 12 वर्ष और अंत में 13 वर्ष के बच्चों की संख्या ज्ञात करें।

अतः, यहाँ पर किसी संख्या का तीन बार भिन्न ज्ञात करना आवश्यक होगा। चलो यह करते हैं:

1) 11 वर्ष के कितने बच्चे थे?

2) 12 वर्ष के कितने बच्चे थे?

3) 13 वर्ष के कितने बच्चे थे?

समस्या को हल करने के बाद, प्राप्त संख्याओं को जोड़ना उपयोगी होता है; उनका योग 300 होना चाहिए:

63 + 183 + 54 = 300

आपको इस तथ्य पर भी ध्यान देना चाहिए कि समस्या की स्थिति में दिए गए प्रतिशत का योग 100 है:

21% + 61% + 18% = 100%

इससे पता चलता है कुल गणनाशिविर में आए बच्चों का शत-प्रतिशत लिया गया।

3 एक दा च 3.कार्यकर्ता को प्रति माह 1,200 रूबल मिले। इनमें से उन्होंने 65% भोजन पर, 6% अपार्टमेंट और हीटिंग पर, 4% गैस, बिजली और रेडियो पर, 10% सांस्कृतिक जरूरतों पर और 15% उन्होंने बचाया। कार्य में बताई गई जरूरतों पर कितना पैसा खर्च किया गया?

इस समस्या को हल करने के लिए, आपको संख्या 1,200 का भिन्न 5 बार ज्ञात करने की आवश्यकता है।चलिए इसे करते हैं।

1) खाने पर कितना पैसा खर्च होता है? कार्य कहता है कि यह खर्च सभी कमाई का 65% है, यानी 1,200 की संख्या का 65/100। चलिए गणना करते हैं:

2) हीटिंग वाले अपार्टमेंट के लिए कितना पैसा चुकाया गया? पिछले वाले की तरह तर्क करते हुए, हम निम्नलिखित गणना पर पहुँचते हैं:

3) आपने गैस, बिजली और रेडियो के लिए कितना पैसा चुकाया?

4) सांस्कृतिक जरूरतों पर कितना पैसा खर्च किया जाता है?

5) कर्मचारी ने कितने पैसे बचाए?

सत्यापन के लिए इन 5 प्रश्नों में मिली संख्याओं को जोड़ना उपयोगी होता है। राशि 1,200 रूबल होनी चाहिए। सभी कमाई को 100% के रूप में लिया जाता है, जिसे समस्या विवरण में दिए गए प्रतिशतों को जोड़कर जांचना आसान होता है।

हमने तीन समस्याओं का समाधान किया है। इस तथ्य के बावजूद कि ये कार्य अलग-अलग चीजों (स्कूल के लिए जलाऊ लकड़ी की डिलीवरी, विभिन्न आयु के बच्चों की संख्या, कार्यकर्ता के खर्च) के बारे में थे, उन्हें उसी तरह हल किया गया था। ऐसा इसलिए हुआ क्योंकि सभी कार्यों में दिए गए अंकों का कुछ प्रतिशत निकालना जरूरी था।

§ 90. अंशों का विभाजन।

भिन्नों के विभाजन का अध्ययन करते समय, हम निम्नलिखित प्रश्नों पर विचार करेंगे:

1. एक पूर्णांक को एक पूर्णांक से विभाजित करें।
2. एक पूर्णांक द्वारा एक अंश का विभाजन
3. एक पूर्णांक का एक अंश से विभाजन।
4. एक भिन्न का एक भिन्न से विभाजन।
5. मिश्रित संख्याओं का विभाजन।
6. किसी संख्या को उसके भिन्न दिए जाने पर ज्ञात करना।
7. किसी संख्या को उसके प्रतिशत से ज्ञात करना।

आइए उन पर सिलसिलेवार विचार करें।

1. एक पूर्णांक को एक पूर्णांक से विभाजित करें।

जैसा कि पूर्णांकों के खंड में संकेत दिया गया था, विभाजन इस तथ्य से युक्त क्रिया है कि, दो कारकों (लाभांश) और इनमें से एक कारक (भाजक) के उत्पाद को देखते हुए, एक और कारक पाया जाता है।

एक पूर्णांक द्वारा एक पूर्णांक का विभाजन हमने पूर्णांकों के विभाग में माना। हमें विभाजन के दो मामले मिले: शेष के बिना विभाजन, या "पूरी तरह से" (150: 10 = 15), और शेष के साथ विभाजन (100: 9 = 11 और शेष में 1)। इसलिए हम कह सकते हैं कि पूर्णांकों के क्षेत्र में, सटीक विभाजन हमेशा संभव नहीं होता है, क्योंकि लाभांश हमेशा भाजक और पूर्णांक का गुणनफल नहीं होता है। एक अंश द्वारा गुणन की शुरूआत के बाद, हम पूर्णांकों के विभाजन के किसी भी मामले पर विचार कर सकते हैं (केवल शून्य से विभाजन को बाहर रखा गया है)।

उदाहरण के लिए, 7 को 12 से विभाजित करने का अर्थ है एक ऐसी संख्या ज्ञात करना जिसका गुणनफल 12 से 7 होगा। यह संख्या भिन्न 7/12 है क्योंकि 7/12 12 = 7। एक और उदाहरण: 14: 25 = 14/25 क्योंकि 14/25 25 = 14।

इस प्रकार, पूर्णांक द्वारा पूर्णांक को विभाजित करने के लिए, आपको एक अंश बनाने की आवश्यकता होती है, जिसका अंश भाज्य के बराबर होता है, और भाजक भाजक होता है।

2. एक पूर्णांक द्वारा एक अंश का विभाजन।

अंश 6/7 को 3 से विभाजित करें। ऊपर दी गई विभाजन की परिभाषा के अनुसार, हमारे पास यहां उत्पाद (6/7) और कारकों में से एक (3) है; ऐसा दूसरा कारक खोजने की आवश्यकता है, जो 3 से गुणा करने पर, दिए गए गुणनफल को 6/7 देगा। जाहिर है, यह इस उत्पाद से तीन गुना छोटा होना चाहिए। इसका मतलब यह है कि हमारे सामने निर्धारित कार्य अंश 6/7 को 3 गुना कम करना था।

हम पहले से ही जानते हैं कि किसी भिन्न का घटाना या तो उसके अंश को घटाकर या उसके हर को बढ़ाकर किया जा सकता है। इसलिए, आप लिख सकते हैं:

इस मामले में, अंश 6 3 से विभाज्य है, इसलिए अंश को 3 गुना कम किया जाना चाहिए।

आइए एक और उदाहरण लें: 5 / 8 को 2 से विभाजित करें। यहाँ अंश 5 2 से विभाज्य नहीं है, जिसका अर्थ है कि भाजक को इस संख्या से गुणा करना होगा:

इसके आधार पर, हम नियम बता सकते हैं: एक अंश को एक पूर्णांक से विभाजित करने के लिए, आपको अंश के अंश को उस पूर्णांक से विभाजित करना होगा(अगर संभव हो तो), समान हर छोड़कर, या अंश के अंश को छोड़कर, भिन्न के हर को इस संख्या से गुणा करें।

3. एक पूर्णांक का एक अंश से विभाजन।

इसे 5 को 1/2 से विभाजित करने की आवश्यकता है, यानी एक संख्या खोजें, जो 1/2 से गुणा करने के बाद, उत्पाद 5 देगी। जाहिर है, यह संख्या 5 से अधिक होनी चाहिए, क्योंकि 1/2 एक उचित अंश है, और जब किसी संख्या को उचित भिन्न से गुणा करते हैं, तो गुणनफल गुण्य से कम होना चाहिए। इसे और स्पष्ट करने के लिए, हम अपने कार्यों को इस प्रकार लिखते हैं: 5: 1/2 = एक्स , इसलिए x 1 / 2 \u003d 5।

हमें ऐसी संख्या का पता लगाना चाहिए एक्स , जिसे 1/2 से गुणा करने पर 5 प्राप्त होगा। चूंकि एक निश्चित संख्या को 1/2 से गुणा करने का अर्थ है इस संख्या का 1/2 ज्ञात करना, इसलिए, अज्ञात संख्या का 1/2 एक्स 5 है, और पूरी संख्या एक्स दो गुना ज्यादा, यानी 5 2 \u003d 10।

तो 5: 1/2 = 5 2 = 10

की जाँच करें:

आइए एक और उदाहरण पर विचार करें। इसे 6 को 2/3 से विभाजित करने की आवश्यकता है। आइए पहले ड्राइंग (चित्र 19) का उपयोग करके वांछित परिणाम खोजने का प्रयास करें।

चित्र 19

कुछ इकाइयों के 6 के बराबर एक खंड AB बनाएं और प्रत्येक इकाई को 3 बराबर भागों में विभाजित करें। प्रत्येक इकाई में, पूरे खंड AB में तीन-तिहाई (3/3) 6 गुना बड़ा है, अर्थात ई. 18/3। हम 2 के 18 प्राप्त खंडों को छोटे कोष्ठकों की सहायता से जोड़ते हैं; केवल 9 खंड होंगे। इसका मतलब यह है कि अंश 2/3 b इकाइयों में 9 गुना समाहित है, या, दूसरे शब्दों में, अंश 2/3 6 पूर्णांक इकाइयों से 9 गुना कम है। इस तरह,

केवल गणनाओं का उपयोग करके ड्राइंग के बिना यह परिणाम कैसे प्राप्त करें? हम इस प्रकार तर्क देंगे: 6 को 2/3 से विभाजित करना आवश्यक है, अर्थात, इस प्रश्न का उत्तर देना आवश्यक है कि 6 में 2/3 कितनी बार समाहित है। आइए पहले पता करें: 1/3 कितनी बार है 6 में निहित है? एक पूरी इकाई में - 3 तिहाई, और 6 इकाइयों में - 6 गुना अधिक, यानी 18 तिहाई; इस संख्या को खोजने के लिए, हमें 6 को 3 से गुणा करना होगा। इसलिए, 1/3 18 बार बी इकाइयों में समाहित है, और 2/3 बी इकाइयों में 18 बार नहीं, बल्कि कई बार आधा है, यानी 18: 2 = 9 इसलिए, 6 को 2/3 से विभाजित करते समय हमने निम्नलिखित किया:

यहाँ से हमें एक पूर्णांक को एक भिन्न से भाग देने का नियम प्राप्त होता है। एक पूर्णांक को एक अंश से विभाजित करने के लिए, आपको इस पूर्णांक को दिए गए अंश के भाजक से गुणा करना होगा और इस उत्पाद को अंश बनाकर, इसे दिए गए अंश के अंश से विभाजित करना होगा।

हम अक्षरों का उपयोग करके नियम लिखते हैं:

इस नियम को पूरी तरह स्पष्ट करने के लिए यह याद रखना चाहिए कि भिन्न को भागफल माना जा सकता है। इसलिए, किसी संख्या को भागफल से विभाजित करने के नियम के साथ पाए गए नियम की तुलना करना उपयोगी है, जिसे § 38 में निर्धारित किया गया था। ध्यान दें कि वही सूत्र वहां प्राप्त किया गया था।

विभाजित करते समय, संक्षिप्त रूप संभव हैं, उदाहरण के लिए:

4. एक भिन्न का एक भिन्न से विभाजन।

बता दें कि 3/4 को 3/8 से विभाजित करना आवश्यक है। विभाजन के परिणामस्वरूप प्राप्त होने वाली संख्या को क्या निरूपित करेगा? यह इस प्रश्न का उत्तर देगा कि अंश 3/8 कितनी बार भिन्न 3/4 में निहित है। इस मुद्दे को समझने के लिए, आइए एक चित्र बनाते हैं (चित्र 20)।

खंड AB को एक इकाई के रूप में लें, इसे 4 बराबर भागों में विभाजित करें और ऐसे 3 भागों को चिह्नित करें। खंड एसी खंड एबी के 3/4 के बराबर होगा। आइए अब हम चार प्रारंभिक खंडों में से प्रत्येक को आधे में विभाजित करें, फिर खंड AB को 8 बराबर भागों में विभाजित किया जाएगा और ऐसा प्रत्येक भाग खंड AB के 1/8 के बराबर होगा। हम 3 ऐसे खंडों को चाप से जोड़ते हैं, फिर प्रत्येक खंड AD और DC खंड AB के 3/8 के बराबर होंगे। ड्राइंग से पता चलता है कि 3/8 के बराबर खंड 3/4 के बराबर खंड में ठीक 2 बार समाहित है; अतः विभाजन का परिणाम इस प्रकार लिखा जा सकता है:

3 / 4: 3 / 8 = 2

आइए एक और उदाहरण पर विचार करें। इसे 15/16 को 3/32 से विभाजित करने की आवश्यकता है:

हम इस तरह तर्क कर सकते हैं: हमें एक संख्या खोजने की जरूरत है, जो 3/32 से गुणा करने के बाद, 15/16 के बराबर गुणनफल देगी। आइए गणनाओं को इस प्रकार लिखें:

15 / 16: 3 / 32 = एक्स

3 / 32 एक्स = 15 / 16

3/32 अज्ञात संख्या एक्स 15/16 बनाओ

1/32 अज्ञात संख्या एक्स है ,

32/32 नंबर एक्स पूरा करना ।

इस तरह,

इस प्रकार, एक भिन्न को एक भिन्न से विभाजित करने के लिए, आपको पहले भिन्न के अंश को दूसरे के हर से गुणा करना होगा, और पहले भिन्न के हर को दूसरे के अंश से गुणा करना होगा और पहले गुणनफल को अंश और अंश बनाना होगा। दूसरा भाजक।

आइए अक्षरों का उपयोग करके नियम लिखें:

विभाजित करते समय, संक्षिप्त रूप संभव हैं, उदाहरण के लिए:

5. मिश्रित संख्याओं का विभाजन।

मिश्रित संख्याओं को विभाजित करते समय, उन्हें पहले अनुचित अंशों में परिवर्तित किया जाना चाहिए, और फिर परिणामी अंशों को भिन्नात्मक संख्याओं को विभाजित करने के नियमों के अनुसार विभाजित किया जाना चाहिए। एक उदाहरण पर विचार करें:

मिश्रित संख्याओं को अनुचित भिन्नों में बदलें:

अब विभाजित करते हैं:

इस प्रकार, मिश्रित संख्याओं को विभाजित करने के लिए, आपको उन्हें अनुचित भिन्नों में बदलने की आवश्यकता है और फिर भिन्नों को विभाजित करने के नियम के अनुसार विभाजित करें।

6. किसी संख्या को उसके भिन्न दिए जाने पर ज्ञात करना।

के बीच विभिन्न कार्यअंशों पर, कभी-कभी ऐसे होते हैं जिनमें अज्ञात संख्या के कुछ अंश का मान दिया जाता है और इस संख्या को खोजने की आवश्यकता होती है। इस प्रकार की समस्या दी गई संख्या का भिन्न ज्ञात करने की समस्या के विपरीत होगी; वहां एक संख्या दी गई थी और इस संख्या का कुछ अंश ज्ञात करना आवश्यक था, यहाँ एक संख्या का एक अंश दिया गया है और इस संख्या को स्वयं ज्ञात करना आवश्यक है। यदि हम इस प्रकार की समस्या के समाधान की ओर मुड़ें तो यह विचार और भी स्पष्ट हो जाएगा।

कार्य 1।पहले दिन, ग्लेज़ियर ने 50 खिड़कियों को चमकाया, जो कि निर्मित घर की सभी खिड़कियों का 1/3 है। इस घर में कितनी खिड़कियाँ हैं?

समाधान।समस्या कहती है कि 50 चमकदार खिड़कियां घर की सभी खिड़कियों का 1/3 हिस्सा बनाती हैं, जिसका मतलब है कि कुल मिलाकर 3 गुना अधिक खिड़कियां हैं, यानी।

घर में 150 खिड़कियां थीं।

कार्य 2।दुकान ने 1,500 किलो आटा बेचा, जो दुकान में आटे के कुल स्टॉक का 3/8 है। स्टोर की आटे की प्रारंभिक आपूर्ति क्या थी?

समाधान।समस्या की स्थिति से यह देखा जा सकता है कि बेचा गया 1,500 किलो आटा कुल स्टॉक का 3/8 है; इसका मतलब है कि इस स्टॉक का 1/8 3 गुना कम होगा, यानी इसकी गणना करने के लिए, आपको 1500 को 3 गुना कम करना होगा:

1,500: 3 = 500 (यह स्टॉक का 1/8 है)।

जाहिर है, पूरा स्टॉक 8 गुना बड़ा होगा। इस तरह,

500 8 \u003d 4,000 (किग्रा)।

स्टोर में आटे की शुरुआती आपूर्ति 4,000 किलो थी।

इस समस्या पर विचार करने से निम्नलिखित नियम निकाला जा सकता है।

किसी संख्या को उसके अंश के दिए गए मान से खोजने के लिए, इस मान को अंश के अंश से विभाजित करना और परिणाम को अंश के भाजक से गुणा करना पर्याप्त है।

हमने किसी संख्या को उसका भिन्न दिए जाने पर उसे ज्ञात करने पर दो समस्याओं को हल किया। इस तरह की समस्याएं, जैसा कि पिछले एक से विशेष रूप से देखा जाता है, दो क्रियाओं द्वारा हल की जाती हैं: विभाजन (जब एक भाग पाया जाता है) और गुणन (जब पूरी संख्या पाई जाती है)।

हालाँकि, हमने भिन्नों के विभाजन का अध्ययन करने के बाद, उपरोक्त समस्याओं को एक क्रिया में हल किया जा सकता है, अर्थात्: एक भिन्न द्वारा विभाजन।

उदाहरण के लिए, अंतिम कार्य को इस तरह एक क्रिया में हल किया जा सकता है:

भविष्य में, हम एक क्रिया - विभाजन में उसके भिन्न द्वारा संख्या ज्ञात करने की समस्या का समाधान करेंगे।

7. किसी संख्या को उसके प्रतिशत से ज्ञात करना।

इन कार्यों में, आपको इस संख्या का कुछ प्रतिशत जानने के लिए एक संख्या खोजने की आवश्यकता होगी।

कार्य 1।इस साल की शुरुआत में, मुझे बचत बैंक से 60 रूबल मिले। उस राशि से आय जो मैंने एक साल पहले बचत में लगाई थी। मैंने बचत बैंक में कितना पैसा लगाया? (नकद कार्यालय जमाकर्ताओं को प्रति वर्ष आय का 2% देते हैं।)

समस्या का अर्थ यह है कि मेरे द्वारा बचत बैंक में एक निश्चित राशि डाली गई और एक वर्ष के लिए वहाँ पड़ी रही। एक साल बाद मुझे उससे 60 रूबल मिले। आय, जो मेरे द्वारा डाले गए धन का 2/100 है। मैंने कितना पैसा जमा किया?

इसलिए, इस पैसे के हिस्से को जानते हुए, दो तरीकों से (रूबल और अंशों में) व्यक्त किया गया, हमें पूरी, अभी तक अज्ञात, राशि का पता लगाना चाहिए। किसी संख्या को उसके भिन्न दिए जाने पर उसे ज्ञात करने की यह एक सामान्य समस्या है। निम्नलिखित कार्य विभाजन द्वारा हल किए जाते हैं:

तो, 3,000 रूबल बचत बैंक में डाल दिए गए।

कार्य 2।दो हफ्तों में, मछुआरों ने 512 टन मछली तैयार करके मासिक योजना को 64% तक पूरा किया। उनकी योजना क्या थी?

समस्या की स्थिति से ज्ञात होता है कि मछुआरों ने योजना का कुछ भाग पूरा किया। यह हिस्सा 512 टन के बराबर है, जो योजना का 64% है। योजना के अनुसार कितने टन मछली काटे जाने की जरूरत है, हम नहीं जानते। समस्या का समाधान इस संख्या को खोजने में शामिल होगा।

ऐसे कार्यों को विभाजित करके हल किया जाता है:

तो, योजना के अनुसार, आपको 800 टन मछली तैयार करने की आवश्यकता है।

कार्य 3।ट्रेन रीगा से मास्को तक गई। जब उन्होंने 276 किलोमीटर की दूरी तय की, तो यात्रियों में से एक ने पासिंग कंडक्टर से पूछा कि वे कितनी यात्रा कर चुके हैं। इस पर कंडक्टर ने जवाब दिया: "हम पूरी यात्रा का 30% हिस्सा पहले ही कवर कर चुके हैं।" रीगा से मास्को की दूरी क्या है?

समस्या की स्थिति से यह देखा जा सकता है कि रीगा से मास्को तक की यात्रा का 30% 276 किमी है। हमें इन शहरों के बीच की पूरी दूरी का पता लगाने की जरूरत है, यानी, इस भाग के लिए, पूरे का पता लगाएं:

§ 91. पारस्परिक संख्या। भाग को गुणन से बदलना।

अंश 2/3 लें और अंश को हर के स्थान पर पुनर्व्यवस्थित करें, हमें 3/2 मिलता है। हमें एक अंश मिला है, इसका व्युत्क्रम।

किसी दिए गए भिन्न का व्युत्क्रम प्राप्त करने के लिए, आपको इसके अंश को भाजक के स्थान पर और हर को अंश के स्थान पर रखना होगा। इस प्रकार, हम एक भिन्न प्राप्त कर सकते हैं जो किसी भी भिन्न का व्युत्क्रम है। उदाहरण के लिए:

3/4, रिवर्स 4/3; 5/6, रिवर्स 6/5

दो भिन्न जिनमें यह गुण होता है कि पहले का अंश दूसरे का हर और पहले का हर दूसरे का अंश कहलाता है। परस्पर उलटा।

अब विचार करते हैं कि 1/2 का व्युत्क्रम कौन-सा भिन्न होगा। जाहिर है, यह 2/1, या सिर्फ 2 होगा। इसका व्युत्क्रम खोजने पर, हमें एक पूर्णांक मिला। और यह मामला अकेला नहीं है; इसके विपरीत, 1 (एक) के अंश वाले सभी अंशों के लिए, व्युत्क्रम पूर्णांक होंगे, उदाहरण के लिए:

1/3, व्युत्क्रम 3; 1/5, उल्टा 5

चूंकि व्युत्क्रम खोजते समय हम पूर्णांकों से भी मिले थे, भविष्य में हम व्युत्क्रम के बारे में नहीं, बल्कि व्युत्क्रम के बारे में बात करेंगे।

आइए जानें कि किसी पूर्ण संख्या का व्युत्क्रम कैसे लिखा जाता है। अंशों के लिए, इसे सरलता से हल किया जाता है: आपको अंश के स्थान पर भाजक लगाने की आवश्यकता है। उसी तरह, आप एक पूर्णांक का व्युत्क्रम प्राप्त कर सकते हैं, क्योंकि किसी भी पूर्णांक में 1 का भाजक हो सकता है। इसलिए, 7 का व्युत्क्रम 1/7 होगा, क्योंकि 7 \u003d 7/1; संख्या 10 के लिए रिवर्स 1/10 है क्योंकि 10 = 10/1

इस विचार को दूसरे तरीके से व्यक्त किया जा सकता है: किसी दी गई संख्या का व्युत्क्रम एक को दी गई संख्या से भाग देने पर प्राप्त होता है. यह कथन केवल पूर्णांकों के लिए ही नहीं, बल्कि भिन्नों के लिए भी सत्य है। वास्तव में, यदि आप एक संख्या लिखना चाहते हैं जो अंश 5/9 का व्युत्क्रम है, तो हम 1 ले सकते हैं और इसे 5/9 से विभाजित कर सकते हैं, अर्थात।

अब एक का उल्लेख करते हैं संपत्तिपारस्परिक रूप से पारस्परिक संख्याएँ, जो हमारे लिए उपयोगी होंगी: परस्पर पारस्परिक संख्याओं का गुणनफल एक के बराबर होता है।वास्तव में:

इस गुण का प्रयोग करके हम निम्न प्रकार से व्युत्क्रम ज्ञात कर सकते हैं। आइए 8 का व्युत्क्रम ज्ञात करें।

आइए इसे पत्र से निरूपित करें एक्स , फिर 8 एक्स = 1, इसलिए एक्स = 1/8। आइए एक और संख्या खोजें, 7/12 का व्युत्क्रम, इसे एक अक्षर से निरूपित करें एक्स , फिर 7/12 एक्स = 1, इसलिए एक्स = 1:7 / 12 या एक्स = 12 / 7 .

भिन्नों के विभाजन के बारे में जानकारी को थोड़ा पूरक करने के लिए हमने यहां पारस्परिक संख्याओं की अवधारणा को प्रस्तुत किया है।

जब हम संख्या 6 को 3/5 से विभाजित करते हैं, तो हम निम्न कार्य करते हैं:

भुगतान करना विशेष ध्यानअभिव्यक्ति के लिए और इसे दिए गए एक के साथ तुलना करें:।

यदि हम पिछले एक के साथ संबंध के बिना अलग से अभिव्यक्ति लेते हैं, तो यह प्रश्न हल करना असंभव है कि यह कहां से आया: 6 को 3/5 से विभाजित करने या 6 को 5/3 से गुणा करने से। दोनों मामलों में नतीजा वही है। तो हम कह सकते हैं कि एक संख्या को दूसरी संख्या से विभाजित करने के स्थान पर भाजक के व्युत्क्रम से भाज्य का गुणा किया जा सकता है।

नीचे दिए गए उदाहरण इस निष्कर्ष की पूरी तरह से पुष्टि करते हैं।

एक अंश को एक भिन्न या एक भिन्न को किसी संख्या से सही ढंग से गुणा करने के लिए, आपको जानने की आवश्यकता है सरल नियम. अब हम इन नियमों का विस्तार से विश्लेषण करेंगे।

एक भिन्न को एक भिन्न से गुणा करना।

एक भिन्न को एक भिन्न से गुणा करने के लिए, आपको अंशों के गुणनफल और इन भिन्नों के हरों के गुणनफल की गणना करनी होगी।

\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(c)(d) = \frac(a \times c)(b \times d)\\\)

एक उदाहरण पर विचार करें:
हम पहले भिन्न के अंश को दूसरे भिन्न के अंश से गुणा करते हैं, और हम पहले भिन्न के हर को दूसरे भिन्न के हर से गुणा करते हैं।

\(\frac(6)(7) \गुना \frac(2)(3) = \frac(6 \गुना 2)(7 \गुना 3) = \frac(12)(21) = \frac(4 \ गुना 3)(7 \गुना 3) = \frac(4)(7)\\)

भिन्न \(\frac(12)(21) = \frac(4 \गुना 3)(7 \गुना 3) = \frac(4)(7)\\\) को 3 घटा दिया गया है।

एक अंश को एक संख्या से गुणा करना।

चलिए नियम से शुरू करते हैं किसी भी संख्या को एक भिन्न \(\bf n = \frac(n)(1)\) के रूप में दर्शाया जा सकता है।

आइए इस नियम का उपयोग गुणा के लिए करें।

\(5 \बार \frac(4)(7) = \frac(5)(1) \बार \frac(4)(7) = \frac(5 \बार 4)(1 \बार 7) = \frac (20)(7) = 2\frac(6)(7)\\\)

अनुचित भिन्न \(\frac(20)(7) = \frac(14 + 6)(7) = \frac(14)(7) + \frac(6)(7) = 2 + \frac(6)( 7)= 2\frac(6)(7)\\\) मिश्रित अंश में परिवर्तित।

दूसरे शब्दों में, किसी संख्या को भिन्न से गुणा करते समय, संख्या को अंश से गुणा करें और हर को अपरिवर्तित रहने दें।उदाहरण:

\(\frac(2)(5) \बार 3 = \frac(2 \गुना 3)(5) = \frac(6)(5) = 1\frac(1)(5)\\\\\) \(\bf \frac(a)(b) \times c = \frac(a \times c)(b)\\\)

मिश्रित अंशों का गुणन।

मिश्रित भिन्नों का गुणा करने के लिए, आपको पहले प्रत्येक मिश्रित भिन्न को एक अनुचित भिन्न के रूप में प्रस्तुत करना होगा, और फिर गुणन नियम का उपयोग करना होगा। अंश को अंश से गुणा किया जाता है, भाजक को भाजक से गुणा किया जाता है।

उदाहरण:
\(2\frac(1)(4) \times 3\frac(5)(6) = \frac(9)(4) \times \frac(23)(6) = \frac(9 \times 23) (4 \ गुना 6) = \ frac (3 \ गुना \ रंग (लाल) (3 \ गुना 23) (4 \ गुना 2 \ रंग (लाल) (3)) = \ frac (6 9) (8) = 8\frac(5)(8)\\\)

पारस्परिक अंशों और संख्याओं का गुणन।

भिन्न \(\bf \frac(a)(b)\) भिन्न \(\bf \frac(b)(a)\) का व्युत्क्रम है, बशर्ते कि a≠0,b≠0 हो।
भिन्न \(\bf \frac(a)(b)\) और \(\bf \frac(b)(a)\) व्युत्क्रम कहलाते हैं। पारस्परिक अंशों का उत्पाद 1 है।
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(b)(a) = 1 \\\)

उदाहरण:
\(\frac(5)(9) \बार \frac(9)(5) = \frac(45)(45) = 1\\\)

संबंधित सवाल:
किसी भिन्न को भिन्न से गुणा कैसे करें?
उत्तर: साधारण अंशों का गुणनफल अंश के साथ अंश का गुणन होता है, हर के साथ भाजक। मिश्रित भिन्नों का गुणनफल प्राप्त करने के लिए, आपको उन्हें एक अनुचित भिन्न में बदलना होगा और नियमों के अनुसार गुणा करना होगा।

अलग-अलग भाजक वाले भिन्नों का गुणा कैसे करें?
उत्तर: इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि अंशों के भाजक समान या भिन्न हैं, गुणन अंश के साथ अंश के उत्पाद को खोजने के नियम के अनुसार होता है, भाजक के साथ भाजक।

मिश्रित भिन्नों का गुणा कैसे करें?
उत्तर: सर्वप्रथम, आपको मिश्रित भिन्न को अनुचित भिन्न में बदलने की आवश्यकता है और फिर गुणन के नियमों के अनुसार गुणनफल ज्ञात करना है।

किसी संख्या को भिन्न से गुणा कैसे करें?
उत्तर: हम संख्या को अंश से गुणा करते हैं, और हर को वही छोड़ देते हैं।

उदाहरण 1:
गुणनफल की गणना करें: a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11)\) b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) \)

समाधान:
क) \(\frac(8)(9) \बार \frac(7)(11) = \frac(8 \गुना 7)(9 \गुना 11) = \frac(56)(99)\\\\ \)
ख) \(\frac(2)(15) \बार \frac(10)(13) = \frac(2 \गुना 10)(15 \गुना 13) = \frac(2 \गुना 2 \बार \color( लाल) (5))(3 \बार \रंग(लाल) (5) \बार 13) = \frac(4)(39)\)

उदाहरण #2:
एक संख्या और एक अंश के गुणनफल की गणना करें: a) \(3 \times \frac(17)(23)\) b) \(\frac(2)(3) \times 11\)

समाधान:
क) \(3 \बार \frac(17)(23) = \frac(3)(1) \बार \frac(17)(23) = \frac(3 \गुना 17)(1 \गुना 23) = \frac(51)(23) = 2\frac(5)(23)\\\\\)
ख) \(\frac(2)(3) \बार 11 = \frac(2)(3) \बार \frac(11)(1) = \frac(2 \गुना 11)(3 \गुना 1) = \frac(22)(3) = 7\frac(1)(3)\)

उदाहरण #3:
\(\frac(1)(3)\) का व्युत्क्रम लिखिए?
उत्तर: \(\frac(3)(1) = 3\)

उदाहरण #4:
दो पारस्परिक अंशों के उत्पाद की गणना करें: ए) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104)\)

समाधान:
क) \(\frac(104)(215) \बार \frac(215)(104) = 1\)

उदाहरण #5:
क्या परस्पर व्युत्क्रम भिन्न हो सकते हैं:
ए) दोनों उचित अंश;
बी) एक साथ अनुचित अंश;
ग) एक ही समय में प्राकृतिक संख्या?

समाधान:
क) पहले प्रश्न का उत्तर देने के लिए एक उदाहरण का उपयोग करते हैं। अंश \(\frac(2)(3)\) उचित है, इसका व्युत्क्रम \(\frac(3)(2)\) - एक अनुचित अंश के बराबर होगा। उत्तर: नहीं।

b) भिन्नों की लगभग सभी गणनाओं में, यह स्थिति पूरी नहीं होती है, लेकिन कुछ संख्याएँ ऐसी होती हैं जो एक ही समय में एक अनुचित भिन्न होने की स्थिति को पूरा करती हैं। उदाहरण के लिए, अनुचित अंश \(\frac(3)(3)\) है, इसका व्युत्क्रम \(\frac(3)(3)\) है। हमें दो अनुचित अंश मिलते हैं। उत्तर: हमेशा कुछ शर्तों के तहत नहीं, जब अंश और भाजक बराबर हों।

c) प्राकृतिक संख्याएँ वे संख्याएँ हैं जिनका उपयोग हम गिनती करते समय करते हैं, उदाहरण के लिए, 1, 2, 3, .... यदि हम संख्या \(3 = \frac(3)(1)\) लेते हैं, तो इसका व्युत्क्रम \(\frac(1)(3)\) होगा। भिन्न \(\frac(1)(3)\) एक प्राकृतिक संख्या नहीं है। यदि हम सभी संख्याओं को देखें, तो 1 को छोड़कर, व्युत्क्रम हमेशा एक भिन्न होता है। यदि हम संख्या 1 लेते हैं, तो इसका व्युत्क्रम होगा \(\frac(1)(1) = \frac(1)(1) = 1\). संख्या 1 एक प्राकृतिक संख्या है। उत्तर: वे केवल एक मामले में एक साथ प्राकृतिक संख्या हो सकते हैं, यदि यह संख्या 1 है।

उदाहरण #6:
मिश्रित भिन्नों का गुणनफल निकालिए: a) \(4 \times 2\frac(4)(5)\) b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7)\ )

समाधान:
क) \(4 \बार 2\frac(4)(5) = \frac(4)(1) \बार \frac(14)(5) = \frac(56)(5) = 11\frac(1) )(5)\\\\ \)
b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7) = \frac(5)(4) \times \frac(23)(7) = \frac(115)( 28) = 4\frac(3)(7)\)

उदाहरण #7:
क्या दो व्युत्क्रम संख्याएँ एक साथ मिश्रित संख्याएँ हो सकती हैं?

आइए एक उदाहरण देखें। आइए एक मिश्रित भिन्न लें \(1\frac(1)(2)\), इसका व्युत्क्रम ज्ञात करें, इसके लिए हम इसे एक अनुचित भिन्न में बदलते हैं \(1\frac(1)(2) = \frac(3)( 2) \)। इसका व्युत्क्रम \(\frac(2)(3)\) के बराबर होगा। भिन्न \(\frac(2)(3)\) एक उचित भिन्न है। उत्तर: दो परस्पर व्युत्क्रम भिन्नों को एक ही समय में मिश्रित नहीं किया जा सकता है।