साबित करें कि वैक्टर की प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर है। रैखिक रूप से निर्भर और रैखिक रूप से स्वतंत्र वैक्टर

वेक्टर, उनके गुण और उनके साथ कार्य

सदिश, सदिशों के साथ क्रियाएँ, रैखिक सदिश स्थान।

सदिश वास्तविक संख्याओं की परिमित संख्या का एक क्रमबद्ध संग्रह है।

क्रियाएँ: 1. एक वेक्टर को एक संख्या से गुणा करना: लैम्ब्डा * वेक्टर x \u003d (लैम्डा * x 1, लैम्ब्डा * x 2 ... लैम्ब्डा * x n)। (3.4, 0. 7) * 3 \u003d (9, 12,0.21 )

2. वैक्टर का जोड़ (वे एक ही वेक्टर स्पेस से संबंधित हैं) वेक्टर x + वेक्टर y \u003d (x 1 + y 1, x 2 + y 2, ... x n + y n,)

3. सदिश 0=(0,0…0)---n E n - n-आयामी (रैखिक स्थान) सदिश x + सदिश 0 = सदिश x

प्रमेय। एक n-आयामी रैखिक अंतरिक्ष में n वैक्टर की एक प्रणाली के लिए रैखिक रूप से निर्भर होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि वैक्टर में से एक दूसरों का एक रैखिक संयोजन हो।

प्रमेय। एन-डायमेंशनल लीनियर स्पेस के n+ पहले वेक्टर का कोई भी सेट। रैखिक रूप से निर्भर।

सदिशों का योग, सदिशों का संख्याओं से गुणा। वैक्टर का घटाव।

दो वैक्टरों का योग वेक्टर की शुरुआत से वेक्टर के अंत तक निर्देशित वेक्टर है, बशर्ते कि शुरुआत वेक्टर के अंत के साथ मेल खाती हो। यदि सदिशों को आधार सदिशों के संदर्भ में उनके विस्तार द्वारा दिया जाता है, तो सदिशों को जोड़ने से उनके संबंधित निर्देशांक जुड़ जाते हैं।

आइए कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के उदाहरण का उपयोग करके इस पर विचार करें। होने देना

आइए दिखाते हैं

चित्र 3 यह दर्शाता है

बहुभुज नियम (चित्र 4) का उपयोग करके वैक्टरों की किसी भी परिमित संख्या का योग पाया जा सकता है: सदिशों की एक परिमित संख्या का योग बनाने के लिए, यह पिछले एक के अंत के साथ प्रत्येक बाद के वेक्टर की शुरुआत का मिलान करने के लिए पर्याप्त है। और पहले वेक्टर की शुरुआत को पिछले वाले के अंत से जोड़ने वाले वेक्टर का निर्माण करें।

वेक्टर जोड़ ऑपरेशन के गुण:

इन भावों में m, n संख्याएँ हैं।

सदिशों के अंतर को सदिश कहा जाता है। दूसरा पद सदिश के विपरीत दिशा में एक सदिश है, लेकिन लंबाई में इसके बराबर है।

इस प्रकार, वेक्टर घटाव ऑपरेशन को जोड़ ऑपरेशन द्वारा बदल दिया जाता है

वेक्टर, जिसकी शुरुआत निर्देशांक के मूल में है, और बिंदु A (x1, y1, z1) पर अंत, बिंदु A का त्रिज्या वेक्टर कहलाता है और इसे निरूपित या बस किया जाता है। चूँकि इसके निर्देशांक बिंदु A के निर्देशांक के साथ मेल खाते हैं, इसलिए सदिशों के संदर्भ में इसके विस्तार का रूप है

बिंदु A(x1, y1, z1) से शुरू होकर बिंदु B(x2, y2, z2) पर समाप्त होने वाले सदिश को इस प्रकार लिखा जा सकता है

जहाँ r 2 बिंदु B का त्रिज्या सदिश है; आर 1 - बिंदु ए का त्रिज्या वेक्टर।

इसलिए, orts के संदर्भ में वेक्टर के विस्तार का रूप है

इसकी लंबाई बिंदु A और B के बीच की दूरी के बराबर है

गुणा

तो एक सपाट समस्या के मामले में, एक सदिश का उत्पाद a = (ax; ay) और एक संख्या b सूत्र द्वारा पाया जाता है

a b = (ax b; ay b)

उदाहरण 1. सदिश a = (1; 2) का 3 से गुणनफल ज्ञात कीजिए।

3 ए = (3 1; 3 2) = (3; 6)

तो एक स्थानिक समस्या के मामले में, सदिश a = (ax; ay; az) और संख्या b का गुणन सूत्र द्वारा पाया जाता है

a b = (ax b; ay b; az b)

उदाहरण 1. सदिश a = (1; 2; -5) का 2 से गुणनफल ज्ञात कीजिए।

2 ए = (2 1; 2 2; 2 (-5)) = (2; 4; -10)

वैक्टर के डॉट उत्पाद और जहाँ सदिशों और के बीच का कोण है; यदि कोई हो, तो

स्केलर उत्पाद की परिभाषा से, यह इस प्रकार है

जहां, उदाहरण के लिए, वेक्टर की दिशा पर वेक्टर के प्रक्षेपण का मूल्य है।

सदिश का अदिश वर्ग:

डॉट उत्पाद गुण:

निर्देशांक में डॉट उत्पाद

अगर वह

वैक्टर के बीच का कोण

सदिशों के बीच का कोण - इन सदिशों की दिशाओं के बीच का कोण (सबसे छोटा कोण)।

सदिश गुणनफल (दो सदिशों का सदिश गुणनफल)-दो कारकों द्वारा निर्मित विमान के लिए एक स्यूडोवेक्टर लंबवत है, जो त्रि-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में वैक्टर पर बाइनरी ऑपरेशन "वेक्टर गुणन" का परिणाम है। गुणनफल न तो क्रमविनिमेय है और न ही साहचर्य (यह प्रतिक्रमपरिवर्तनीय है) और यह सदिशों के डॉट गुणनफल से भिन्न है। इंजीनियरिंग और भौतिकी की कई समस्याओं में, दो मौजूदा लोगों के लिए एक सदिश लंबवत बनाने में सक्षम होना आवश्यक है - वेक्टर उत्पादयह अवसर प्रदान करता है। क्रॉस उत्पाद वैक्टरों की लंबवतता को "मापने" के लिए उपयोगी है - दो वैक्टरों के क्रॉस उत्पाद की लंबाई उनकी लंबाई के उत्पाद के बराबर होती है यदि वे लंबवत हैं, और वैक्टर समानांतर या विरोधी समानांतर हैं तो शून्य तक घट जाती है।

वेक्टर उत्पाद को केवल त्रि-आयामी और सात-आयामी रिक्त स्थान में परिभाषित किया गया है। वेक्टर उत्पाद का परिणाम, स्केलर उत्पाद की तरह, यूक्लिडियन अंतरिक्ष के मीट्रिक पर निर्भर करता है।

त्रि-आयामी आयताकार समन्वय प्रणाली में वैक्टर के निर्देशांक से स्केलर उत्पाद की गणना के सूत्र के विपरीत, वेक्टर उत्पाद के लिए सूत्र आयताकार समन्वय प्रणाली के उन्मुखीकरण पर निर्भर करता है, या दूसरे शब्दों में, इसकी "चिरायता"

सदिशों की संरेखता।

दो गैर-शून्य (0 के बराबर नहीं) सदिश संरेख कहलाते हैं यदि वे समानांतर रेखाओं या एक ही रेखा पर स्थित हों। हम एक पर्यायवाची - "समानांतर" वैक्टर की अनुमति देते हैं, लेकिन अनुशंसित नहीं हैं। कोलीनियर वैक्टर को एक ही दिशा ("सह-निर्देशित") या विपरीत दिशा में निर्देशित किया जा सकता है (बाद वाले मामले में उन्हें कभी-कभी "एंटीकोलीनियर" या "एंटीपरेलल" कहा जाता है)।

वैक्टर का मिश्रित उत्पाद ( ए, बी, सी)- वेक्टर ए का स्केलर उत्पाद और वेक्टर बी और सी के वेक्टर उत्पाद:

(ए, बी, सी) = ए ⋅ (बी × सी)

कभी-कभी ट्रिपल कहा जाता है अदिश उत्पादसदिश, जाहिरा तौर पर इस तथ्य के कारण कि परिणाम एक अदिश (अधिक सटीक, एक स्यूडोस्केलर) है।

ज्यामितीय अर्थ: मिश्रित उत्पाद का मापांक संख्यात्मक रूप से वैक्टर द्वारा गठित समानांतर चतुर्भुज के आयतन के बराबर होता है (ए, बी, सी) .

गुण

एक मिश्रित उत्पाद अपने सभी तर्कों के संबंध में तिरछा-सममित होता है: अर्थात, ङ. किन्हीं दो कारकों के क्रमपरिवर्तन से उत्पाद का चिह्न बदल जाता है। यह इस प्रकार है कि मिश्रित उत्पाद दाईं ओर है कार्तीय प्रणालीनिर्देशांक (ऑर्थोनॉर्मल आधार पर) सदिशों से बने मैट्रिक्स के निर्धारक के बराबर है और:

बाएं कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में मिश्रित उत्पाद (ऑर्थोनॉर्मल आधार पर) वैक्टर से बने मैट्रिक्स के निर्धारक के बराबर होता है और ऋण चिह्न के साथ लिया जाता है:

विशेष रूप से,

यदि कोई दो सदिश समानांतर हैं, तो किसी तीसरे सदिश के साथ वे शून्य के बराबर एक मिश्रित उत्पाद बनाते हैं।

यदि तीन सदिश रैखिक रूप से आश्रित हैं (अर्थात् समतलीय, एक ही तल में स्थित हैं), तो उनका मिश्रित गुणनफल शून्य होता है।

ज्यामितीय अर्थ - निरपेक्ष मूल्य में मिश्रित उत्पाद वैक्टर द्वारा गठित समानांतर चतुर्भुज (आंकड़ा देखें) की मात्रा के बराबर है और; संकेत इस बात पर निर्भर करता है कि सदिशों का यह त्रिक दाएँ है या बाएँ।

वैक्टर की शिकायत।

तीन सदिशों (या अधिक) को समतलीय कहा जाता है यदि वे, एक सामान्य उत्पत्ति के लिए कम किए जा रहे हैं, एक ही तल में स्थित हैं

समालोचना गुण

यदि तीन सदिशों में से कम से कम एक शून्य है, तो तीन सदिशों को समतलीय भी माना जाता है।

समरेख सदिशों की एक जोड़ी वाले सदिशों का एक तिगुना समतलीय होता है।

समतलीय सदिशों का मिश्रित उत्पाद। यह तीन सदिशों की समतलीयता के लिए एक कसौटी है।

समतलीय सदिश रैखिक रूप से आश्रित होते हैं। यह समतलीयता की कसौटी भी है।

3-आयामी अंतरिक्ष में, 3 गैर-समतलीय वैक्टर एक आधार बनाते हैं

रैखिक रूप से निर्भर और रैखिक रूप से स्वतंत्र वैक्टर।

वैक्टर की रैखिक रूप से निर्भर और स्वतंत्र प्रणाली।परिभाषा. सदिशों की प्रणाली कहलाती है रैखिक रूप से निर्भर, यदि शून्य वेक्टर के बराबर इन वैक्टरों का कम से कम एक गैर-तुच्छ रैखिक संयोजन है। अन्यथा, अर्थात् यदि दिए गए सदिशों का केवल एक तुच्छ रैखिक संयोजन अशक्त सदिश के बराबर है, तो सदिश कहलाते हैं रैखिक रूप से स्वतंत्र.

प्रमेय (रैखिक निर्भरता मानदंड). एक रेखीय स्थान में सदिशों की एक प्रणाली के लिए रैखिक रूप से निर्भर होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि इनमें से कम से कम एक सदिश अन्य का एक रैखिक संयोजन हो।

1) यदि सदिशों में कम से कम एक शून्य सदिश है, तो सदिशों की संपूर्ण प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर है।

वास्तव में, यदि, उदाहरण के लिए, , तो, मानते हुए, हमारे पास एक गैर-तुच्छ रैखिक संयोजन है।▲

2) यदि सदिशों में से कुछ रैखिक रूप से बनते हैं आश्रित प्रणाली, तो पूरी प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर है।

वास्तव में, सदिश , को रैखिक रूप से निर्भर होने दें। इसलिए, शून्य वेक्टर के बराबर एक गैर-तुच्छ रैखिक संयोजन मौजूद है। लेकिन फिर, मानते हुए , हम शून्य वेक्टर के बराबर एक गैर-तुच्छ रैखिक संयोजन भी प्राप्त करते हैं।

2. आधार और आयाम। परिभाषा. रैखिक रूप से स्वतंत्र वैक्टर की प्रणाली वेक्टर स्पेस कहा जाता है आधारयह स्थान, यदि किसी वेक्टर को इस प्रणाली के वैक्टरों के रैखिक संयोजन के रूप में दर्शाया जा सकता है, अर्थात प्रत्येक सदिश के लिए वास्तविक संख्याएँ होती हैं ऐसी कि समानता धारण करती है।यह समानता कहलाती है वेक्टर अपघटनआधार और संख्या के अनुसार बुलाया वेक्टर आधार के सापेक्ष समन्वय करता है(या आधार पर) .

प्रमेय (आधार के संदर्भ में विस्तार की विशिष्टता पर). आधार के संदर्भ में प्रत्येक अंतरिक्ष वेक्टर का विस्तार किया जा सकता है एक अनोखे तरीके से, यानी आधार में प्रत्येक वेक्टर के निर्देशांक स्पष्ट रूप से परिभाषित हैं।

कार्य 1।पता करें कि क्या वैक्टर की प्रणाली रैखिक रूप से स्वतंत्र है। वैक्टर की प्रणाली को सिस्टम के मैट्रिक्स द्वारा परिभाषित किया जाएगा, जिसके कॉलम में वैक्टर के निर्देशांक होते हैं।

.

समाधान।चलो रैखिक संयोजन शून्य के बराबर। इस समानता को निर्देशांक में लिखने के बाद, हम समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली प्राप्त करते हैं:

.

समीकरणों की ऐसी प्रणाली को त्रिकोणीय कहा जाता है। उसके पास एक ही उपाय है। . इसलिए वैक्टर रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं।

कार्य 2।पता करें कि क्या वैक्टर की प्रणाली रैखिक रूप से स्वतंत्र है।

.

समाधान।वैक्टर रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं (समस्या 1 देखें)। आइए सिद्ध करें कि सदिश सदिशों का एक रैखिक संयोजन है . वेक्टर विस्तार गुणांक समीकरणों की प्रणाली से निर्धारित होते हैं

.

त्रिकोणीय प्रणाली की तरह इस प्रणाली का एक अनूठा समाधान है।

इसलिए, वैक्टर की प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर।

टिप्पणी. मैट्रिसेस जैसे समस्या 1 में कहलाते हैं त्रिकोणीय , और समस्या 2 में - त्रिकोणीय कदम रखा . वैक्टर की एक प्रणाली की रैखिक निर्भरता का प्रश्न आसानी से हल हो जाता है यदि इन वैक्टरों के निर्देशांक से बना मैट्रिक्स चरणबद्ध त्रिकोणीय है। यदि मैट्रिक्स का कोई विशेष रूप नहीं है, तो उपयोग करना प्राथमिक स्ट्रिंग परिवर्तन , स्तंभों के बीच रैखिक संबंधों को संरक्षित करते हुए, इसे चरणबद्ध त्रिकोणीय रूप में घटाया जा सकता है।

प्राथमिक स्ट्रिंग परिवर्तनमैट्रिसेस (ईपीएस) को मैट्रिक्स पर निम्नलिखित ऑपरेशन कहा जाता है:

1) रेखाओं का क्रमपरिवर्तन;

2) एक स्ट्रिंग को एक गैर-शून्य संख्या से गुणा करना;

3) स्ट्रिंग में एक और स्ट्रिंग जोड़ना, एक मनमाना संख्या से गुणा करना।

कार्य 3।अधिकतम रैखिक रूप से स्वतंत्र सबसिस्टम खोजें और वैक्टर की प्रणाली के रैंक की गणना करें

.

समाधान।आइए हम EPS की मदद से सिस्टम के मैट्रिक्स को एक चरणबद्ध-त्रिकोणीय रूप में कम करें। प्रक्रिया की व्याख्या करने के लिए, रूपांतरित होने वाली मैट्रिक्स की संख्या वाली रेखा को प्रतीक द्वारा दर्शाया जाएगा। तीर के बाद का कॉलम नए मैट्रिक्स की पंक्तियों को प्राप्त करने के लिए परिवर्तित मैट्रिक्स की पंक्तियों पर की जाने वाली क्रियाओं को दिखाता है।

.

जाहिर है, परिणामी मैट्रिक्स के पहले दो कॉलम रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं, तीसरा कॉलम उनका रैखिक संयोजन है, और चौथा पहले दो पर निर्भर नहीं करता है। वैक्टर बुनियादी कहलाते हैं। वे सिस्टम के अधिकतम रैखिक रूप से स्वतंत्र सबसिस्टम बनाते हैं , और सिस्टम की रैंक तीन है।

आधार, निर्देशांक

कार्य 4।इस आधार पर समुच्चय में सदिशों के आधार और निर्देशांक ज्ञात कीजिए ज्यामितीय वैक्टर, जिनके निर्देशांक शर्त को पूरा करते हैं .

समाधान. समुच्चय मूल बिंदु से गुजरने वाला समतल है। समतल पर एक मनमाने आधार में दो असंरेखीय सदिश होते हैं। चुने हुए आधार में सदिशों के निर्देशांक संबंधित प्रणाली के समाधान द्वारा निर्धारित किए जाते हैं रेखीय समीकरण.

इस समस्या को हल करने का एक और तरीका है, जब आप निर्देशांक द्वारा आधार ढूंढ सकते हैं।

COORDINATES रिक्त स्थान समतल पर निर्देशांक नहीं हैं, क्योंकि वे संबंध से संबंधित हैं अर्थात् वे स्वतंत्र नहीं हैं। स्वतंत्र चर और (उन्हें मुक्त कहा जाता है) विशिष्ट रूप से विमान पर वेक्टर निर्धारित करते हैं और इसलिए, उन्हें निर्देशांक के रूप में चुना जा सकता है। फिर आधार फ्री वेरिएबल्स के सेट में और संबंधित वैक्टर शामिल हैं और , वह है ।

कार्य 5।इस आधार पर अंतरिक्ष में उन सभी सदिशों के समुच्चय के आधार पर सदिशों के आधार और निर्देशांक ज्ञात कीजिए जिनके विषम निर्देशांक एक दूसरे के बराबर हैं।

समाधान. पिछली समस्या की तरह हम अंतरिक्ष में निर्देशांक चुनते हैं।

क्योंकि , फिर मुक्त चर विशिष्ट रूप से एक सदिश को परिभाषित करते हैं और इसलिए, निर्देशांक हैं। इसी आधार में वैक्टर होते हैं।

टास्क 6।फॉर्म के सभी मैट्रिसेस के सेट पर इस आधार पर वैक्टर के आधार और निर्देशांक खोजें , कहाँ मनमानी संख्याएं हैं।

समाधान. प्रत्येक मैट्रिक्स को विशिष्ट रूप से दर्शाया जा सकता है:

यह संबंध आधार के संदर्भ में सदिश का विस्तार है
निर्देशांक के साथ .

टास्क 7।सदिशों के निकाय के रैखिक फैलाव का आयाम और आधार ज्ञात कीजिए

.

समाधान।ईपीएस का उपयोग करते हुए, हम मैट्रिक्स को सिस्टम वैक्टर के निर्देशांक से एक चरणबद्ध-त्रिकोणीय रूप में बदलते हैं।

.

कॉलम अंतिम मैट्रिक्स के रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं, और कॉलम उनके माध्यम से रैखिक रूप से व्यक्त किया जाता है। इसलिए वैक्टर आधार बनाओ , और .

टिप्पणी. में आधार अस्पष्ट रूप से चुना गया। उदाहरण के लिए, वैक्टर आधार भी बनाते हैं .

यह जांचने के लिए कि क्या वैक्टर की एक प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर है, इन वैक्टरों के एक रैखिक संयोजन की रचना करना और यह जांचना आवश्यक है कि क्या यह शून्य हो सकता है यदि कम से कम एक गुणांक शून्य है।

स्थिति 1. सदिशों की प्रणाली सदिशों द्वारा दी गई है

हम एक रैखिक संयोजन बनाते हैं

हमने समीकरणों की एक सजातीय प्रणाली प्राप्त की है। यदि इसका एक गैर-शून्य समाधान है, तो निर्धारक शून्य के बराबर होना चाहिए। आइए एक निर्धारक बनाते हैं और इसका मूल्य पाते हैं।

निर्धारक शून्य है, इसलिए, वैक्टर रैखिक रूप से निर्भर हैं।

केस 2। वैक्टर की प्रणाली विश्लेषणात्मक कार्यों द्वारा दी गई है:

ए)
, यदि सर्वसमिका सत्य है, तो तंत्र रैखिक रूप से निर्भर है।

आइए एक रैखिक संयोजन बनाते हैं।

यह जाँचना आवश्यक है कि क्या ऐसे a, b, c (जिनमें से कम से कम एक शून्य के बराबर नहीं है) हैं जिनके लिए दी गई अभिव्यक्ति शून्य के बराबर है।

हम अतिशयोक्तिपूर्ण कार्य लिखते हैं

,
, तब

तब सदिशों का रैखिक संयोजन रूप लेगा:

कहाँ
, उदाहरण के लिए लें, तो रैखिक संयोजन शून्य के बराबर है, इसलिए, प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर है।

उत्तर: प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर है।

बी)
, हम एक रैखिक संयोजन बनाते हैं

x के किसी भी मान के लिए सदिशों का एक रैखिक संयोजन शून्य होना चाहिए।

आइए विशेष मामलों की जांच करें।

सदिशों का एक रैखिक संयोजन केवल तभी शून्य होता है जब सभी गुणांक शून्य हों।

इसलिए, सिस्टम रैखिक रूप से स्वतंत्र है।

उत्तर: प्रणाली रैखिक रूप से स्वतंत्र है।

5.3। कुछ आधार खोजें और समाधानों के रैखिक स्थान का आयाम निर्धारित करें।

चलो एक विस्तारित मैट्रिक्स बनाते हैं और इसे गॉस विधि का उपयोग करके ट्रेपेज़ॉइड के रूप में लाते हैं।

कुछ आधार प्राप्त करने के लिए, हम मनमाने मूल्यों को प्रतिस्थापित करते हैं:

शेष निर्देशांक प्राप्त करें

उत्तर:

5.4। आधार में सदिश X के निर्देशांक ज्ञात कीजिए, यदि यह आधार में दिया गया हो।

समीकरणों की प्रणाली को हल करने के लिए नए आधार में वेक्टर के निर्देशांक ढूँढना कम हो गया है

विधि 1। संक्रमण मैट्रिक्स का उपयोग करके ढूँढना

संक्रमण मैट्रिक्स की रचना करें

सूत्र द्वारा नए आधार में सदिश ज्ञात करते हैं

उलटा मैट्रिक्स खोजें और गुणा करें

,

विधि 2। समीकरणों की एक प्रणाली को संकलित करके ढूँढना।

आधार के गुणांकों से आधार सदिशों की रचना कीजिए

,
,

एक नए आधार में एक सदिश ढूँढना प्रपत्र है

, कहाँ डीदिया गया वेक्टर है एक्स.

परिणामी समीकरण को किसी भी तरह से हल किया जा सकता है, उत्तर वही होगा।

उत्तर: नए आधार में सदिश
.

5.5। माना x = (एक्स 1 , एक्स 2 , एक्स 3 ) . निम्नलिखित परिवर्तन रैखिक हैं।

आइए हम दिए गए सदिशों के गुणांकों से रैखिक संकारकों के आव्यूहों की रचना करें।

आइए एक रैखिक संकारक के प्रत्येक आव्यूह के लिए रैखिक संक्रियाओं के गुण की जाँच करें।

बाईं ओर मैट्रिक्स गुणन द्वारा पाया जाता है एप्रति वेक्टर

हम दिए गए सदिश को एक अदिश से गुणा करके दायां पक्ष पाते हैं
.

हमने देखा कि
इसलिए परिवर्तन रैखिक नहीं है।

आइए अन्य वैक्टरों की जांच करें।

, परिवर्तन रैखिक नहीं है।

, परिवर्तन रैखिक है।

उत्तर: ओहएक रैखिक परिवर्तन नहीं है, वीएक्स- रैखिक नहीं सीएक्स- रैखिक।

टिप्पणी।दिए गए सदिशों को ध्यान से देखकर आप इस कार्य को बहुत आसानी से पूरा कर सकते हैं। में ओहहम देखते हैं कि ऐसे शब्द हैं जिनमें तत्व नहीं हैं एक्स, जो एक रैखिक ऑपरेशन के परिणामस्वरूप प्राप्त नहीं किया जा सका। में वीएक्सएक तत्व है एक्सतीसरी शक्ति के लिए, जो एक सदिश द्वारा गुणा करके भी प्राप्त नहीं किया जा सकता एक्स.

5.6। दिया गया एक्स = { एक्स 1 , एक्स 2 , एक्स 3 } , कुल्हाड़ी = { एक्स 2 – एक्स 3 , एक्स 1 , एक्स 1 + एक्स 3 } , bx = { एक्स 2 , 2 एक्स 3 , एक्स 1 } . दिए गए ऑपरेशन को करें: ( ए ( बी – ए )) एक्स .

आइए हम रैखिक संकारकों के आव्यूह लिखते हैं।

मैट्रिसेस पर एक ऑपरेशन करते हैं

परिणामी मैट्रिक्स को X से गुणा करने पर, हमें मिलता है

उत्तर:

परिभाषा। वैक्टर का रैखिक संयोजन a 1 , ..., a n गुणांक x 1 , ..., x n के साथ सदिश कहलाता है

एक्स 1 ए 1 + ... + एक्स एन एन।

मामूली, यदि सभी गुणांक x 1 , ..., x n शून्य के बराबर हैं।

परिभाषा। रैखिक संयोजन x 1 a 1 + ... + x n a n कहलाता है गैर तुच्छ, यदि कम से कम एक गुणांक x 1 , ..., x n शून्य के बराबर नहीं है।

रैखिक रूप से स्वतंत्र, यदि शून्य सदिश के बराबर इन सदिशों का कोई गैर-तुच्छ संयोजन नहीं है।

अर्थात्, सदिश a 1 , ..., a n रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं यदि x 1 a 1 + ... + x n a n = 0 यदि और केवल यदि x 1 = 0, ..., x n = 0।

परिभाषा। सदिश a 1 , ..., a n कहलाते हैं रैखिक रूप से निर्भर, यदि शून्य सदिश के बराबर इन सदिशों का एक गैर-तुच्छ संयोजन मौजूद है।

रैखिक रूप से निर्भर वैक्टर के गुण:

2 और 3 आयामी वैक्टर के लिए।

दो रैखिक रूप से निर्भर वैक्टर संरेख हैं। ( कोलिनियर वैक्टररैखिक रूप से निर्भर हैं।)

3-आयामी वैक्टर के लिए।

तीन रैखिक रूप से आश्रित सदिश समतलीय होते हैं। (तीन समतलीय सदिश रैखिक रूप से निर्भर हैं।)

• एन-आयामी वैक्टर के लिए।

  n + 1 सदिश हमेशा रैखिक रूप से निर्भर होते हैं।

रैखिक निर्भरता और वैक्टर की रैखिक स्वतंत्रता के लिए कार्यों के उदाहरण:

उदाहरण 1. जाँच कीजिए कि क्या सदिश a = (3; 4; 5), b = (-3; 0; 5), c = (4; 4; 4), d = (3; 4; 0) रैखिकतः स्वतंत्र हैं। .

समाधान:

सदिश रैखिक रूप से निर्भर होंगे, क्योंकि सदिशों का आयाम सदिशों की संख्या से कम है।

उदाहरण 2. जाँच कीजिए कि क्या सदिश a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 1) रैखिकतः स्वतंत्र हैं।

समाधान:

	एक्स1 + एक्स2 = 0
	x1 + 2x2 - x3 = 0
	एक्स1 + एक्स3 = 0

	1	1	0	0		~
	1	2	-1	0
	1	0	1	0

~		1	1	0	0		~		1	1	0	0		~
		1 - 1	2 - 1	-1 - 0	0 - 0				0	1	-1	0
		1 - 1	0 - 1	1 - 0	0 - 0				0	-1	1	0

दूसरी पंक्ति को पहली पंक्ति से घटाएं; दूसरी पंक्ति को तीसरी पंक्ति में जोड़ें:

~		1 - 0	1 - 1	0 - (-1)	0 - 0		~		1	0	1	0
		0	1	-1	0				0	1	-1	0
		0 + 0	-1 + 1	1 + (-1)	0 + 0				0	0	0	0

इस समाधान से पता चलता है कि सिस्टम में कई समाधान हैं, अर्थात्, संख्या x 1, x 2, x 3 के मूल्यों का एक गैर-शून्य संयोजन है जैसे कि वैक्टर a, b, c का रैखिक संयोजन बराबर है शून्य वेक्टर के लिए, उदाहरण के लिए:

ए + बी + सी = 0

जिसका मतलब है कि वेक्टर ए, बी, सी रैखिक रूप से निर्भर हैं।

उत्तर:वैक्टर a , b , c रैखिक रूप से निर्भर हैं।

उदाहरण 3. जाँच कीजिए कि क्या सदिश a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 2) रैखिकतः स्वतंत्र हैं।

समाधान: आइए मूल्यों का पता लगाएंगुणांक जिस पर इन सदिशों का रैखिक संयोजन शून्य सदिश के बराबर होगा।

एक्स 1 ए + एक्स 2 बी + एक्स 3 सी 1 = 0

इस सदिश समीकरण को रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली के रूप में लिखा जा सकता है

	एक्स1 + एक्स2 = 0
	x1 + 2x2 - x3 = 0
	एक्स1 + 2x3 = 0

हम गॉस पद्धति का उपयोग करके इस प्रणाली को हल करते हैं

	1	1	0	0		~
	1	2	-1	0
	1	0	2	0

पहली पंक्ति को दूसरी पंक्ति से घटाएं; पहली पंक्ति को तीसरी पंक्ति से घटाएं:

~		1	1	0	0		~		1	1	0	0		~
		1 - 1	2 - 1	-1 - 0	0 - 0				0	1	-1	0
		1 - 1	0 - 1	2 - 0	0 - 0				0	-1	2	0

दूसरी पंक्ति को पहली पंक्ति से घटाएं; दूसरी पंक्ति को तीसरी पंक्ति में जोड़ें।

ए 1 = { 3, 5, 1 , 4 }, ए 2 = { –2, 1, -5 , -7 }, ए 3 = { -1, –2, 0, –1 }.

समाधान।की तलाश में सामान्य निर्णयसमीकरणों की प्रणाली

ए 1 एक्स 1 + ए 2 एक्स 2 + ए 3 एक्स 3 = Θ

गॉसियन विधि। ऐसा करने के लिए, हम इस सजातीय प्रणाली को निर्देशांक में लिखते हैं:

सिस्टम मैट्रिक्स

अनुमत प्रणाली इस तरह दिखती है: (आर ए = 2, एन= 3). प्रणाली सुसंगत और अपरिभाषित है। इसका सामान्य समाधान ( एक्स 2 - मुक्त चर): एक्स 3 = 13एक्स 2 ; 3एक्स 1 – 2एक्स 2 – 13एक्स 2 = 0 => एक्स 1 = 5एक्स 2 => एक्सओ =। गैर-शून्य निजी समाधान की उपस्थिति, उदाहरण के लिए, इंगित करती है कि वेक्टर ए 1 , ए 2 , ए 3 रैखिक रूप से निर्भर।

उदाहरण 2

पता लगाएं कि वैक्टर की दी गई प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर या रैखिक रूप से स्वतंत्र है:

1. ए 1 = { -20, -15, - 4 }, ए 2 = { –7, -2, -4 }, ए 3 = { 3, –1, –2 }.

समाधान।समीकरणों की सजातीय प्रणाली पर विचार करें ए 1 एक्स 1 + ए 2 एक्स 2 + ए 3 एक्स 3 = Θ

या विस्तारित (निर्देशांक द्वारा)

प्रणाली सजातीय है। यदि यह गैर-पतित है, तो इसका एक अनूठा समाधान है। सजातीय प्रणाली के मामले में, शून्य (तुच्छ) समाधान। इसलिए, इस मामले में वैक्टर की प्रणाली स्वतंत्र है। यदि सिस्टम पतित है, तो इसका गैर-शून्य समाधान है और इसलिए, यह निर्भर है।

अध: पतन के लिए प्रणाली की जाँच:

= –80 – 28 + 180 – 48 + 80 – 210 = – 106 ≠ 0.

प्रणाली गैर-पतित है और इसलिए, वैक्टर ए 1 , ए 2 , ए 3 रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं।

कार्य।पता लगाएं कि वैक्टर की दी गई प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर या रैखिक रूप से स्वतंत्र है:

1. ए 1 = { -4, 2, 8 }, ए 2 = { 14, -7, -28 }.

2. ए 1 = { 2, -1, 3, 5 }, ए 2 = { 6, -3, 3, 15 }.

3. ए 1 = { -7, 5, 19 }, ए 2 = { -5, 7 , -7 }, ए 3 = { -8, 7, 14 }.

4. ए 1 = { 1, 2, -2 }, ए 2 = { 0, -1, 4 }, ए 3 = { 2, -3, 3 }.

5. ए 1 = { 1, 8 , -1 }, ए 2 = { -2, 3, 3 }, ए 3 = { 4, -11, 9 }.

6. ए 1 = { 1, 2 , 3 }, ए 2 = { 2, -1 , 1 }, ए 3 = { 1, 3, 4 }.

7. ए 1 = {0, 1, 1 , 0}, ए 2 = {1, 1 , 3, 1}, ए 3 = {1, 3, 5, 1}, ए 4 = {0, 1, 1, -2}.

8. ए 1 = {-1, 7, 1 , -2}, ए 2 = {2, 3 , 2, 1}, ए 3 = {4, 4, 4, -3}, ए 4 = {1, 6, -11, 1}.

9. सिद्ध कीजिए कि सदिशों का निकाय रैखिकतः आश्रित होगा यदि उसमें:

ए) दो बराबर वैक्टर;

बी) दो आनुपातिक वैक्टर।