क्या लॉगरिदम को कम करना संभव है. लघुगणक। द्विआधारी लघुगणक की परिभाषा, प्राकृतिक लघुगणक, दशमलव लघुगणक; घातांकीय फलन क्स्प (x), संख्या ई. लॉगिन। शक्तियों और लघुगणक के सूत्र। लघुगणक का प्रयोग, डेसिबल

संख्या b से आधार a का लघुगणक वह घातांक है जिससे आपको संख्या b प्राप्त करने के लिए संख्या a को बढ़ाना होगा।

तो अगर ।

लघुगणक अत्यंत है महत्वपूर्ण गणितीय मूल्य , चूंकि लॉगरिदमिक कैलकुस न केवल हल करने की अनुमति देता है घातीय समीकरण, लेकिन संकेतकों के साथ काम करने के लिए, घातीय अंतर करने के लिए और लघुगणक कार्य, उन्हें एकीकृत करें और गणना के लिए उन्हें अधिक स्वीकार्य रूप में लाएं।

संपर्क में

लघुगणक के सभी गुण सीधे घातीय कार्यों के गुणों से संबंधित हैं। उदाहरण के लिए, तथ्य यह है कि मतलब कि:

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि विशिष्ट समस्याओं को हल करते समय, लॉगरिदम के गुण शक्तियों के साथ काम करने के नियमों की तुलना में अधिक महत्वपूर्ण और उपयोगी हो सकते हैं।

यहाँ कुछ पहचान हैं:

यहाँ मुख्य बीजीय व्यंजक हैं:

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ध्यान!केवल x>0, x≠1, y>0 के लिए मौजूद हो सकता है।

आइए इस प्रश्न को समझने की कोशिश करें कि प्राकृतिक लघुगणक क्या हैं। गणित में अलग रुचि दो प्रकार का प्रतिनिधित्व करते हैं- पहले के आधार पर संख्या "10" है, और इसे "दशमलव लघुगणक" कहा जाता है। दूसरे को प्राकृतिक कहा जाता है। आधार प्राकृतिक- संख्या "ई"। यह उसके बारे में है कि हम इस लेख में विस्तार से बात करेंगे।

पदनाम:

• एलजी एक्स - दशमलव;
• एलएन एक्स - प्राकृतिक।

सर्वसमिका का उपयोग करते हुए, हम देख सकते हैं कि ln e = 1, साथ ही lg 10=1 भी।

प्राकृतिक लॉग ग्राफ

हम अंक द्वारा मानक शास्त्रीय तरीके से प्राकृतिक लघुगणक का एक ग्राफ बनाते हैं। आप चाहें तो फंक्शन की जांच करके यह जांच सकते हैं कि हम फंक्शन को सही तरीके से बना रहे हैं या नहीं। हालांकि, लॉगरिदम की सही गणना कैसे करें, यह जानने के लिए इसे "मैन्युअल रूप से" बनाना सीखना समझ में आता है।

समारोह: वाई = लॉग एक्स। आइए बिंदुओं की एक तालिका लिखें जिसके माध्यम से ग्राफ गुजरेगा:

आइए हम बताते हैं कि हमने तर्क x के ऐसे मानों को क्यों चुना। यह सब पहचान के बारे में है: प्राकृतिक लघुगणक के लिए, यह पहचान इस तरह दिखेगी:

सुविधा के लिए, हम पाँच संदर्भ बिंदु ले सकते हैं:

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इस प्रकार, प्राकृतिक लघुगणक गिनना एक काफी सरल कार्य है, इसके अलावा, यह शक्तियों के साथ संचालन की गणना को सरल करता है, उन्हें बदल देता है सामान्य गुणन।

बिंदुओं द्वारा एक ग्राफ बनाने के बाद, हमें एक अनुमानित ग्राफ मिलता है:

प्राकृतिक लघुगणक का डोमेन (अर्थात X तर्क के सभी मान्य मान) सभी संख्याएँ शून्य से बड़ी हैं।

ध्यान!प्राकृतिक लघुगणक के डोमेन में केवल धनात्मक संख्याएँ शामिल होती हैं! दायरे में x=0 शामिल नहीं है। लघुगणक के अस्तित्व की शर्तों के आधार पर यह असंभव है।

मानों की श्रेणी (अर्थात फ़ंक्शन y = ln x के सभी मान्य मान) अंतराल में सभी संख्याएँ हैं।

प्राकृतिक लॉग सीमा

ग्राफ का अध्ययन करने पर प्रश्न उठता है कि जब y<0.

जाहिर है, फ़ंक्शन का ग्राफ y-अक्ष को पार करता है, लेकिन ऐसा करने में सक्षम नहीं होगा, क्योंकि x का प्राकृतिक लघुगणक<0 не существует.

प्राकृतिक सीमा लकड़ी का लट्ठाइस तरह लिखा जा सकता है:

लघुगणक के आधार को बदलने का सूत्र

एक प्राकृतिक लघुगणक से निपटना एक ऐसे लघुगणक से निपटने की तुलना में बहुत आसान है जिसका एक मनमाना आधार है। इसलिए हम यह सीखने का प्रयास करेंगे कि किसी लघुगणक को प्राकृतिक लघुगणक में कैसे कम किया जाए, या प्राकृतिक लघुगणक के माध्यम से इसे एक मनमाना आधार में व्यक्त किया जाए।

आइए लघुगणकीय पहचान से शुरू करें:

तब किसी भी संख्या या चर y को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:

जहाँ x कोई भी संख्या है (लघुगणक के गुणों के अनुसार धनात्मक)।

इस व्यंजक को दोनों ओर लघुगणक किया जा सकता है। आइए इसे एक मनमाना आधार z के साथ करें:

आइए संपत्ति का उपयोग करें (केवल "साथ" के बजाय हमारे पास एक अभिव्यक्ति है):

यहाँ से हमें सार्वत्रिक सूत्र प्राप्त होता है:

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विशेष रूप से, यदि z=e, तब:

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हम दो प्राकृतिक लघुगणक के अनुपात के माध्यम से लघुगणक को एक मनमाना आधार का प्रतिनिधित्व करने में कामयाब रहे।

हम समस्याओं का समाधान करते हैं

प्राकृतिक लघुगणक में बेहतर नेविगेट करने के लिए, कई समस्याओं के उदाहरणों पर विचार करें।

कार्य 1. समीकरण ln x = 3 को हल करना आवश्यक है।

समाधान:लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए: यदि, तो, हम प्राप्त करते हैं:

टास्क 2. समीकरण (5 + 3 * ln (x - 3)) = 3 को हल करें।

हल: लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए: यदि, तो, हम प्राप्त करते हैं:

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एक बार फिर, हम लघुगणक की परिभाषा लागू करते हैं:

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इस तरह:

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आप लगभग उत्तर की गणना कर सकते हैं, या आप इसे इस रूप में छोड़ सकते हैं।

कार्य 3.प्रश्न हल करें।

समाधान:आइए एक प्रतिस्थापन करें: टी = एलएन एक्स। तब समीकरण निम्नलिखित रूप लेगा:

.

हमारे पास द्विघात समीकरण है। आइए इसके विभेदक को खोजें:

समीकरण की पहली जड़:

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समीकरण की दूसरी जड़:

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यह याद रखते हुए कि हमने प्रतिस्थापन t = ln x किया है, हम प्राप्त करते हैं:

सांख्यिकी और संभाव्यता सिद्धांत में, लघुगणकीय मात्राएँ बहुत सामान्य हैं। यह आश्चर्य की बात नहीं है, क्योंकि संख्या ई - अक्सर घातीय मूल्यों की वृद्धि दर को दर्शाती है।

कंप्यूटर विज्ञान, प्रोग्रामिंग और कंप्यूटर सिद्धांत में, लॉगरिदम काफी सामान्य हैं, उदाहरण के लिए, स्मृति में एन बिट्स को स्टोर करने के लिए।

फ्रैक्टल और आयामों के सिद्धांतों में, लॉगरिदम का लगातार उपयोग किया जाता है, क्योंकि फ्रैक्टल के आयाम केवल उनकी मदद से निर्धारित होते हैं।

यांत्रिकी और भौतिकी मेंऐसा कोई खंड नहीं है जहां लघुगणक का उपयोग नहीं किया गया हो। बैरोमेट्रिक वितरण, सांख्यिकीय थर्मोडायनामिक्स के सभी सिद्धांत, त्सोल्कोवस्की समीकरण और इसी तरह ऐसी प्रक्रियाएं हैं जिन्हें केवल लॉगरिदम का उपयोग करके गणितीय रूप से वर्णित किया जा सकता है।

रसायन विज्ञान में, लघुगणक का उपयोग नर्नस्ट समीकरणों, रेडॉक्स प्रक्रियाओं के विवरण में किया जाता है।

आश्चर्यजनक रूप से, संगीत में भी, एक सप्तक के भागों की संख्या का पता लगाने के लिए, लघुगणक का उपयोग किया जाता है।

प्राकृतिक लघुगणक फलन y=ln x इसके गुण

प्राकृतिक लघुगणक के मुख्य गुण का प्रमाण

इसकी परिभाषा से व्युत्पन्न। और इसलिए संख्या का लघुगणक बीवजह से एकघातांक के रूप में परिभाषित किया गया है जिसके लिए एक संख्या को उठाया जाना चाहिए एकनंबर पाने के लिए बी(लघुगणक केवल सकारात्मक संख्याओं के लिए मौजूद है)।

इस सूत्रीकरण से यह निष्कर्ष निकलता है कि गणना एक्स = एक बी लॉग इन करें, समीकरण को हल करने के बराबर है कुल्हाड़ी = ख।उदाहरण के लिए, लॉग 2 8 = 3इसलिये 8 = 2 3 . लघुगणक का निरूपण यह उचित ठहराना संभव बनाता है कि यदि बी = एक सी, तो संख्या का लघुगणक बीवजह से एकबराबरी साथ. यह भी स्पष्ट है कि लघुगणक का विषय किसी संख्या की घात के विषय से निकटता से संबंधित है।

लघुगणक के साथ, किसी भी संख्या के साथ, आप प्रदर्शन कर सकते हैं जोड़, घटाव के संचालनऔर हर संभव तरीके से रूपांतरित करें। लेकिन इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए कि लॉगरिदम बिल्कुल सामान्य संख्या नहीं हैं, उनके अपने विशेष नियम यहां लागू होते हैं, जिन्हें कहा जाता है बुनियादी गुण.

लघुगणक का जोड़ और घटाव।

समान आधार वाले दो लघुगणक लें: लॉग एक्सतथा आप लॉग इन करें. फिर इसे हटा दें जोड़ और घटाव संचालन करना संभव है:

लॉग a x+ लॉग a y= लॉग a (x y);

लॉग ए एक्स - लॉग ए वाई = लॉग ए (एक्स: वाई)।

लॉग ए(एक्स 1 . एक्स 2 . एक्स 3 ... एक्स के) = लॉग एक्स 1 + लॉग एक्स 2 + लॉग एक्स 3 + ... + लॉग ए x k.

से भागफल लघुगणक प्रमेयलघुगणक का एक और गुण प्राप्त किया जा सकता है। यह सर्वविदित है कि लॉग एक 1= 0, इसलिए,

लकड़ी का लट्ठा एक 1 /बी= लॉग एक 1 - लॉग एक बी= -लॉग एक बी.

तो एक समानता है:

लॉग ए 1 / बी = - लॉग ए बी।

दो परस्पर पारस्परिक संख्याओं के लघुगणकएक ही आधार पर केवल चिन्ह में एक दूसरे से भिन्न होंगे। इसलिए:

लघुगणक 3 9= - लघुगणक 3 1/9 ; लॉग 5 1 / 125 = -लॉग 5 125।

इस लेख का फोकस है लोगारित्म. यहां हम लघुगणक की परिभाषा देंगे, स्वीकृत संकेतन दिखाएंगे, लघुगणक के उदाहरण देंगे, और प्राकृतिक और दशमलव लघुगणक के बारे में बात करेंगे। उसके बाद, मुख्य पर विचार करें लघुगणकीय पहचान.

पृष्ठ नेविगेशन।

लघुगणक की परिभाषा

एक लघुगणक की अवधारणा तब उत्पन्न होती है जब किसी समस्या को एक निश्चित अर्थ में उलटा हल किया जाता है, जब आपको डिग्री और ज्ञात आधार के ज्ञात मूल्य से घातांक खोजने की आवश्यकता होती है।

लेकिन पर्याप्त प्रस्तावना, "लघुगणक क्या है" प्रश्न का उत्तर देने का समय आ गया है? आइए एक उपयुक्त परिभाषा दें।

परिभाषा।

b से आधार a . का लघुगणक, जहां a>0 , a≠1 और b>0 वह घातांक है जिसके परिणामस्वरूप आपको b प्राप्त करने के लिए संख्या a को बढ़ाने की आवश्यकता होती है।

इस स्तर पर, हम ध्यान दें कि बोले गए शब्द "लघुगणक" को तुरंत दो आगामी प्रश्न उठाने चाहिए: "कौन सी संख्या" और "किस आधार पर।" दूसरे शब्दों में, कोई लघुगणक नहीं होता है, लेकिन किसी आधार में किसी संख्या का केवल लघुगणक होता है।

हम तुरंत परिचय देंगे लघुगणक संकेतन: आधार a से संख्या b का लघुगणक आमतौर पर log a b के रूप में दर्शाया जाता है। आधार ई से संख्या बी के लघुगणक और आधार 10 के लघुगणक के अपने विशेष पदनाम क्रमशः lnb और lgb हैं, अर्थात, वे log e b नहीं, बल्कि lnb लिखते हैं, और लॉग 10 b नहीं, बल्कि lgb लिखते हैं।

अब आप ला सकते हैं: .
और रिकॉर्ड इसका कोई मतलब नहीं है, क्योंकि उनमें से पहले में लघुगणक के संकेत के तहत एक ऋणात्मक संख्या है, दूसरे में - आधार में एक ऋणात्मक संख्या, और तीसरे में - लघुगणक के संकेत के तहत एक ऋणात्मक संख्या और दोनों आधार में एक इकाई।

अब बात करते हैं लघुगणक पढ़ने के नियम. प्रविष्टि लॉग a b को "b से आधार a के लघुगणक" के रूप में पढ़ा जाता है। उदाहरण के लिए, लॉग 2 3 तीन से आधार 2 का लघुगणक है, और आधार के दो बिंदु दो तिहाई का लघुगणक है वर्गमूलपांच में से। आधार e का लघुगणक कहलाता है प्राकृतिक, और संकेतन lnb को "b के प्राकृतिक लघुगणक" के रूप में पढ़ा जाता है। उदाहरण के लिए, ln7 सात का प्राकृतिक लघुगणक है, और हम इसे pi के प्राकृतिक लघुगणक के रूप में पढ़ेंगे। आधार 10 के लघुगणक का भी एक विशेष नाम है - दशमलव लघुगणक, और संकेतन lgb को "दशमलव लघुगणक b" के रूप में पढ़ा जाता है। उदाहरण के लिए, lg1 एक का दशमलव लघुगणक है, और lg2.75 दो दशमलव पचहत्तर सौवें का दशमलव लघुगणक है।

यह शर्तों पर अलग से रहने लायक है a>0, a≠1 तथा b>0, जिसके तहत लघुगणक की परिभाषा दी गई है। आइए बताते हैं कि ये प्रतिबंध कहां से आते हैं। ऐसा करने के लिए, हमें फॉर्म की समानता से मदद मिलेगी, जिसे कहा जाता है, जो ऊपर दिए गए लॉगरिदम की परिभाषा से सीधे अनुसरण करता है।

आइए a≠1 से शुरू करें। चूँकि एक किसी भी घात के बराबर है, तो समानता केवल b=1 के लिए ही सही हो सकती है, लेकिन log 1 1 कोई भी वास्तविक संख्या हो सकती है। इस अस्पष्टता से बचने के लिए, a≠1 स्वीकार किया जाता है।

आइए हम शर्त a>0 की समीचीनता की पुष्टि करें। a=0 के साथ, लघुगणक की परिभाषा के अनुसार, हमारे पास समानता होगी, जो केवल b=0 के साथ ही संभव है। लेकिन फिर लॉग 0 0 कोई भी गैर-शून्य वास्तविक संख्या हो सकती है, क्योंकि शून्य से किसी भी गैर-शून्य शक्ति शून्य है। a≠0 की स्थिति से इस अस्पष्टता से बचा जा सकता है। और एक के लिए<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .

अंत में, स्थिति b>0 असमानता a>0 से अनुसरण करती है, क्योंकि, और एक सकारात्मक आधार के साथ डिग्री का मान हमेशा सकारात्मक होता है।

इस पैराग्राफ के निष्कर्ष में, हम कहते हैं कि लॉगरिदम की आवाज वाली परिभाषा आपको लॉगरिदम के मूल्य को तुरंत इंगित करने की अनुमति देती है जब लॉगरिदम के संकेत के तहत संख्या एक निश्चित डिग्री आधार होती है। वास्तव में, लघुगणक की परिभाषा हमें यह दावा करने की अनुमति देती है कि यदि b=a p , तो आधार a से संख्या b का लघुगणक p के बराबर है। अर्थात्, समता लघुगणक a a p =p सत्य है। उदाहरण के लिए, हम जानते हैं कि 2 3 =8, फिर 2 8=3 लॉग करें। हम इस बारे में लेख में और बात करेंगे।

जैसा कि आप जानते हैं, जब व्यंजकों को घातों से गुणा किया जाता है, तो उनके घातांक हमेशा जोड़ते हैं (a b * a c = a b + c)। यह गणितीय नियम आर्किमिडीज द्वारा प्राप्त किया गया था, और बाद में, 8 वीं शताब्दी में, गणितज्ञ विरासेन ने पूर्णांक संकेतकों की एक तालिका बनाई। यह वे थे जिन्होंने लघुगणक की आगे की खोज के लिए कार्य किया। इस फ़ंक्शन का उपयोग करने के उदाहरण लगभग हर जगह पाए जा सकते हैं जहां सरल जोड़ के लिए बोझिल गुणा को सरल बनाने की आवश्यकता होती है। यदि आप इस लेख को पढ़ने में 10 मिनट का समय लगाते हैं, तो हम आपको समझाएंगे कि लघुगणक क्या हैं और उनके साथ कैसे कार्य करें। सरल और सुलभ भाषा।

गणित में परिभाषा

लघुगणक निम्नलिखित रूप का एक व्यंजक है: log a b=c, अर्थात किसी गैर ऋणात्मक संख्या का लघुगणक (अर्थात कोई धनात्मक) "b" उसके आधार के अनुसार "a" को "c" की घात माना जाता है ", जिसके लिए आधार "ए" को उठाना आवश्यक है, ताकि अंत में "बी" मान प्राप्त हो। आइए उदाहरणों का उपयोग करते हुए लघुगणक का विश्लेषण करें, मान लें कि एक व्यंजक है लॉग 2 8. उत्तर कैसे खोजें? यह बहुत आसान है, आपको इतनी डिग्री ढूंढनी होगी कि 2 से आवश्यक डिग्री तक आपको 8 मिले। कुछ गणना करने के बाद, हमें नंबर 3 मिलता है! और ठीक ही है, क्योंकि 2 का घात 3 उत्तर में 8 अंक देता है।

लघुगणक की किस्में

कई विद्यार्थियों और छात्रों के लिए, यह विषय जटिल और समझ से बाहर लगता है, लेकिन वास्तव में, लघुगणक इतने डरावने नहीं हैं, मुख्य बात यह है कि उनके सामान्य अर्थ को समझना और उनके गुणों और कुछ नियमों को याद रखना। वहाँ तीन हैं ख़ास तरह केलघुगणक अभिव्यक्तियाँ:

1. प्राकृतिक लघुगणक ln a, जहां आधार यूलर संख्या (e = 2.7) है।
2. दशमलव a, जहाँ आधार 10 है।
3. आधार a>1 से किसी भी संख्या b का लघुगणक।

उनमें से प्रत्येक को एक मानक तरीके से हल किया जाता है, जिसमें लॉगरिदमिक प्रमेयों का उपयोग करके सरलीकरण, कमी और बाद में एक लघुगणक में कमी शामिल है। पाने के लिए सही मानलघुगणक, आपको उनके गुणों और उनके निर्णयों में क्रियाओं के क्रम को याद रखना चाहिए।

नियम और कुछ प्रतिबंध

गणित में, कई नियम-सीमाएँ हैं जिन्हें एक स्वयंसिद्ध के रूप में स्वीकार किया जाता है, अर्थात वे चर्चा के अधीन नहीं हैं और सत्य हैं। उदाहरण के लिए, संख्याओं को शून्य से विभाजित करना असंभव है, और ऋणात्मक संख्याओं से सम अंश का मूल निकालना भी असंभव है। लॉगरिदम के भी अपने नियम होते हैं, जिनका पालन करके आप आसानी से सीख सकते हैं कि लंबी और विशाल लॉगरिदमिक अभिव्यक्तियों के साथ भी कैसे काम किया जाए:

• आधार "ए" हमेशा शून्य से बड़ा होना चाहिए, और साथ ही 1 के बराबर नहीं होना चाहिए, अन्यथा अभिव्यक्ति अपना अर्थ खो देगी, क्योंकि "1" और "0" किसी भी डिग्री तक हमेशा उनके मूल्यों के बराबर होते हैं;
• यदि a > 0, तो a b > 0, यह पता चलता है कि "c" शून्य से बड़ा होना चाहिए।

लघुगणक कैसे हल करें?

उदाहरण के लिए, समीकरण 10 x \u003d 100 का उत्तर खोजने के लिए कार्य दिया गया था। यह बहुत आसान है, आपको ऐसी शक्ति चुनने की आवश्यकता है, जिससे संख्या दस बढ़ जाए जिससे हमें 100 प्राप्त हो। यह, निश्चित रूप से, 10 है 2 \u003d 100।

अब इस व्यंजक को लघुगणक के रूप में निरूपित करते हैं। हमें लॉग 10 100 = 2 मिलता है। लॉगरिदम को हल करते समय, सभी क्रियाएं व्यावहारिक रूप से उस डिग्री को खोजने के लिए अभिसरण करती हैं जिस पर किसी दिए गए नंबर को प्राप्त करने के लिए लॉगरिदम का आधार दर्ज किया जाना चाहिए।

किसी अज्ञात डिग्री के मूल्य को सटीक रूप से निर्धारित करने के लिए, आपको यह सीखना होगा कि डिग्री की तालिका के साथ कैसे काम किया जाए। यह इस तरह दिख रहा है:

जैसा कि आप देख सकते हैं, कुछ घातांक का सहज रूप से अनुमान लगाया जा सकता है यदि आपके पास तकनीकी मानसिकता और गुणन तालिका का ज्ञान है। हालांकि, के लिए बड़े मूल्यआपको डिग्री की एक तालिका चाहिए। इसका उपयोग उनके द्वारा भी किया जा सकता है जो जटिल गणितीय विषयों में कुछ भी नहीं समझते हैं। बाएँ स्तंभ में संख्याएँ (आधार a) हैं, संख्याओं की शीर्ष पंक्ति घात c का मान है, जिससे संख्या a उठाई जाती है। कोशिकाओं में प्रतिच्छेदन पर, संख्याओं के मान निर्धारित किए जाते हैं, जो उत्तर (a c =b) हैं। आइए, उदाहरण के लिए, संख्या 10 के साथ बहुत पहले सेल को लें और इसे वर्ग करें, हमें 100 का मान मिलता है, जो हमारे दो कोशिकाओं के चौराहे पर इंगित किया गया है। सब कुछ इतना सरल और आसान है कि सबसे वास्तविक मानवतावादी भी समझ जाएगा!

समीकरण और असमानता

यह पता चला है कि कुछ शर्तों के तहत, घातांक लघुगणक है। इसलिए, किसी भी गणितीय संख्यात्मक व्यंजक को लघुगणक समीकरण के रूप में लिखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, 3 4 =81 को आधार 3 के 81 के लघुगणक के रूप में लिखा जा सकता है, जो चार है (लॉग 3 81 = 4)। के लिये नकारात्मक शक्तियांनियम समान हैं: 2 -5 \u003d 1/32 हम एक लघुगणक के रूप में लिखते हैं, हमें लॉग 2 (1/32) \u003d -5 मिलता है। गणित के सबसे आकर्षक वर्गों में से एक "लघुगणक" का विषय है। समीकरणों के गुणों का अध्ययन करने के तुरंत बाद, हम समीकरणों के उदाहरणों और समाधानों पर थोड़ा कम विचार करेंगे। अब आइए देखें कि असमानताएँ कैसी दिखती हैं और उन्हें समीकरणों से कैसे अलग किया जाए।

निम्नलिखित रूप की अभिव्यक्ति दी गई है: लॉग 2 (x-1)> 3 - यह एक लॉगरिदमिक असमानता है, क्योंकि अज्ञात मान "x" लॉगरिदम के संकेत के तहत है। और व्यंजक में भी दो मात्राओं की तुलना की जाती है: आधार दो में वांछित संख्या का लघुगणक संख्या तीन से अधिक है।

लघुगणकीय समीकरणों और असमानताओं के बीच सबसे महत्वपूर्ण अंतर यह है कि लघुगणक वाले समीकरण (उदाहरण के लिए, 2 x = 9 का लघुगणक) उत्तर में एक या अधिक विशिष्ट संख्यात्मक मान दर्शाते हैं, जबकि असमानता को हल करते समय, दोनों की सीमा स्वीकार्य मान और इस फ़ंक्शन को तोड़ने वाले बिंदु। नतीजतन, उत्तर व्यक्तिगत संख्याओं का एक साधारण सेट नहीं है, जैसा कि समीकरण के उत्तर में है, बल्कि एक सतत श्रृंखला या संख्याओं का सेट है।

लघुगणक के बारे में मूल प्रमेय

लॉगरिदम के मूल्यों को खोजने पर आदिम कार्यों को हल करते समय, इसके गुणों का पता नहीं चल सकता है। हालांकि, जब लॉगरिदमिक समीकरणों या असमानताओं की बात आती है, तो सबसे पहले, लॉगरिदम के सभी बुनियादी गुणों को स्पष्ट रूप से समझना और व्यवहार में लागू करना आवश्यक है। हम बाद में समीकरणों के उदाहरणों से परिचित होंगे, आइए पहले प्रत्येक गुण का अधिक विस्तार से विश्लेषण करें।

1. मूल पहचान इस तरह दिखती है: a logaB =B. यह केवल तभी लागू होता है जब a 0 से बड़ा हो, एक के बराबर न हो और B शून्य से बड़ा हो।
2. उत्पाद के लघुगणक को निम्न सूत्र में दर्शाया जा सकता है: लॉग डी (एस 1 * एस 2) = लॉग डी एस 1 + लॉग डी एस 2. इसके अलावा, शर्तहै: डी, ​​एस 1 और एस 2> 0; ए≠1. आप लघुगणक के इस सूत्र के लिए उदाहरण और समाधान के साथ एक प्रमाण दे सकते हैं। मान लीजिए a s 1 = f 1 लॉग करें और a s 2 = f 2 लॉग करें, फिर a f1 = s 1 , a f2 = s 2. हम पाते हैं कि s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (डिग्री गुण) ), और आगे परिभाषा के अनुसार: लॉग a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, जिसे सिद्ध किया जाना था।
3. भागफल का लघुगणक इस तरह दिखता है: लॉग ए (एस 1 / एस 2) = लॉग ए एस 1 - लॉग ए एस 2।
4. सूत्र के रूप में प्रमेय निम्नलिखित रूप लेता है: log a q b n = n/q log a b।

इस सूत्र को "लघुगणक की डिग्री का गुण" कहा जाता है। यह सामान्य डिग्री के गुणों जैसा दिखता है, और यह आश्चर्य की बात नहीं है, क्योंकि सभी गणित नियमित पदों पर टिकी हुई है। आइए सबूत देखें।

लॉग a b \u003d t दें, यह a t \u003d b निकलता है। यदि आप दोनों भागों को घात m: a tn = b n तक बढ़ाते हैं;

लेकिन चूँकि a tn = (a q) nt/q = b n , इसलिए a q b n = (n*t)/t लॉग करें, फिर a q b n = n/q log a b लॉग करें। प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

समस्याओं और असमानताओं के उदाहरण

सबसे आम प्रकार की लघुगणक समस्याएं समीकरणों और असमानताओं के उदाहरण हैं। वे लगभग सभी समस्या पुस्तकों में पाए जाते हैं, और गणित में परीक्षा के अनिवार्य भाग में भी शामिल हैं। विश्वविद्यालय में प्रवेश या उत्तीर्ण होने के लिए प्रवेश परीक्षागणित में, आपको यह जानना होगा कि ऐसी समस्याओं को सही तरीके से कैसे हल किया जाए।

दुर्भाग्य से, एक ही योजना या योजना को संबोधित करने और निर्धारित करने के लिए अज्ञात मूल्यकोई लघुगणक नहीं है, हालांकि, प्रत्येक गणितीय असमानता या लघुगणक समीकरण पर कुछ नियम लागू किए जा सकते हैं। सबसे पहले, आपको यह पता लगाना चाहिए कि व्यंजक को सरल बनाया जा सकता है या घटाकर सामान्य दृष्टि से. लंबा सरल करें लघुगणक व्यंजकआप कर सकते हैं, यदि आप उनके गुणों का सही उपयोग करते हैं। आइए जल्द ही उन्हें जान लेते हैं।

निर्णय लेते समय लघुगणक समीकरण, यह निर्धारित करना आवश्यक है कि हमारे सामने किस प्रकार का लघुगणक है: एक व्यंजक के उदाहरण में एक प्राकृतिक लघुगणक या एक दशमलव हो सकता है।

यहाँ उदाहरण ln100, ln1026 हैं। उनका समाधान इस तथ्य तक उबाल जाता है कि आपको यह निर्धारित करने की आवश्यकता है कि आधार 10 क्रमशः 100 और 1026 के बराबर होगा। प्राकृतिक लघुगणक के समाधान के लिए, लघुगणकीय पहचान या उनके गुणों को लागू करना चाहिए। आइए विभिन्न प्रकार की लघुगणकीय समस्याओं को हल करने के उदाहरण देखें।

लघुगणक सूत्रों का उपयोग कैसे करें: उदाहरणों और समाधानों के साथ

तो, आइए लघुगणक पर मुख्य प्रमेयों के उपयोग के उदाहरण देखें।

1. उत्पाद के लघुगणक की संपत्ति का उपयोग उन कार्यों में किया जा सकता है जहां संख्या बी के बड़े मूल्य को सरल कारकों में विघटित करना आवश्यक है। उदाहरण के लिए, लॉग 2 4 + लॉग 2 128 = लॉग 2 (4*128) = लॉग 2 512। उत्तर 9 है।
2. लॉग 4 8 = लॉग 2 2 2 3 = 3/2 लॉग 2 2 = 1.5 - जैसा कि आप देख सकते हैं, लॉगरिदम की डिग्री की चौथी संपत्ति का उपयोग करके, हम पहली नज़र में एक जटिल और असफल अभिव्यक्ति को हल करने में कामयाब रहे। केवल आधार को गुणनखंड करना और फिर घातांक मानों को लघुगणक के चिह्न से बाहर निकालना आवश्यक है।

परीक्षा से कार्य

लॉगरिदम अक्सर प्रवेश परीक्षाओं में पाए जाते हैं, विशेष रूप से यूनिफाइड स्टेट परीक्षा (सभी स्कूल स्नातकों के लिए राज्य परीक्षा) में बहुत सारी लॉगरिदमिक समस्याएं। आमतौर पर ये कार्य न केवल भाग ए (परीक्षा का सबसे आसान परीक्षण भाग) में मौजूद होते हैं, बल्कि भाग सी (सबसे कठिन और भारी कार्य) में भी मौजूद होते हैं। परीक्षा का तात्पर्य "प्राकृतिक लघुगणक" विषय का सटीक और सही ज्ञान है।

उदाहरण और समस्या समाधान परीक्षा के आधिकारिक संस्करणों से लिए गए हैं। आइए देखें कि ऐसे कार्यों को कैसे हल किया जाता है।

दिया गया लघुगणक 2 (2x-1) = 4. हल:
आइए व्यंजक को फिर से लिखें, इसे थोड़ा सा सरल करते हुए लॉग 2 (2x-1) = 2 2, लघुगणक की परिभाषा से हमें 2x-1 = 2 4 मिलता है, इसलिए 2x = 17; एक्स = 8.5।

• सभी लघुगणक को एक ही आधार पर सबसे अच्छा कम किया जाता है ताकि समाधान बोझिल और भ्रमित न हो।
• लघुगणक के चिह्न के तहत सभी भाव सकारात्मक के रूप में इंगित किए जाते हैं, इसलिए, अभिव्यक्ति के घातांक के घातांक को निकालते समय, जो लघुगणक के संकेत के तहत होता है और इसके आधार के रूप में, लघुगणक के तहत शेष अभिव्यक्ति सकारात्मक होनी चाहिए।

आज हम बात करेंगे लघुगणक सूत्रऔर प्रदर्शन दें समाधान उदाहरण.

अपने आप में, वे लघुगणक के मूल गुणों के अनुसार समाधान पैटर्न दर्शाते हैं। समाधान के लिए लघुगणक सूत्रों को लागू करने से पहले, हम आपके लिए सबसे पहले सभी गुणों को याद करते हैं:

अब, इन सूत्रों (गुणों) के आधार पर, हम दिखाते हैं लघुगणक हल करने के उदाहरण.

सूत्रों के आधार पर लघुगणक को हल करने के उदाहरण।

लोगारित्मआधार a में एक धनात्मक संख्या b (लॉग a b के रूप में दर्शाया गया है) वह घातांक है जिसके लिए b> 0, a> 0, और 1 के साथ b प्राप्त करने के लिए a को ऊपर उठाया जाना चाहिए।

परिभाषा के अनुसार लॉग a b = x, जो a x = b के बराबर है, इसलिए a x = x लॉग करें।

लघुगणक, उदाहरण:

लघुगणक 2 8 = 3, क्योंकि 2 3 = 8

लॉग 7 49 = 2 क्योंकि 7 2 = 49

लॉग 5 1/5 = -1, क्योंकि 5 -1 = 1/5

दशमलव लघुगणकएक साधारण लघुगणक है, जिसका आधार 10 है। इसे lg के रूप में दर्शाया जाता है।

लॉग 10 100 = 2 क्योंकि 10 2 = 100

प्राकृतिक- सामान्य लघुगणक भी, लेकिन आधार ई (ई \u003d 2.71828 ... - एक अपरिमेय संख्या) के साथ। एलएन के रूप में संदर्भित।

लॉगरिदम के सूत्रों या गुणों को याद रखना वांछनीय है, क्योंकि लॉगरिदम, लॉगरिदमिक समीकरणों और असमानताओं को हल करते समय हमें बाद में उनकी आवश्यकता होगी। आइए उदाहरणों के साथ प्रत्येक सूत्र पर फिर से काम करें।

• मूल लघुगणकीय पहचान
  एक लॉग ए बी = बी

  8 2लॉग 8 3 = (8 2लॉग 8 3) 2 = 3 2 = 9

• उत्पाद का लघुगणक योग के बराबर हैलघुगणक
  लॉग ए (बीसी) = लॉग ए बी + लॉग ए सी

  लघुगणक 3 8.1 + लघुगणक 3 10 = लघुगणक 3 (8.1*10) = लघुगणक 3 81 = 4

• भागफल का लघुगणक लघुगणक के अंतर के बराबर होता है
  लॉग ए (बी/सी) = लॉग ए बी - लॉग ए सी

  9 लघुगणक 5 50/9 लघुगणक 5 2 = 9 लघुगणक 5 50- लघुगणक 5 2 = 9 लघुगणक 5 25 = 9 2 = 81

• एक लघुगणकीय संख्या की डिग्री और लघुगणक के आधार के गुण

  एक लघुगणक संख्या का घातांक a b m = mlog a b . का घातांक

  लघुगणक के आधार का घातांक a n b =1/n*log a b

  लॉग ए एन बी एम = एम/एन * लॉग ए बी,

  यदि m = n, तो हमें log a n b n = log a b प्राप्त होता है

  लघुगणक 4 9 = लघुगणक 2 2 3 2 = लघुगणक 2 3

• एक नई नींव में संक्रमण
  लॉग ए बी = लॉग सी बी / लॉग सी ए,

  यदि c = b, तो हमें लघुगणक b b = 1 प्राप्त होता है

  फिर लॉग ए बी = 1/लॉग बी ए

  लॉग 0.8 3*लॉग 3 1.25 = लॉग 0.8 3*लॉग 0.8 1.25/लॉग 0.8 3 = लॉग 0.8 1.25 = लॉग 4/5 5/4 = -1

जैसा कि आप देख सकते हैं, लघुगणक सूत्र उतने जटिल नहीं हैं जितने वे लगते हैं। अब, लघुगणक को हल करने के उदाहरणों पर विचार करने के बाद, हम लघुगणकीय समीकरणों पर आगे बढ़ सकते हैं। हम लेख में लॉगरिदमिक समीकरणों को और अधिक विस्तार से हल करने के उदाहरणों पर विचार करेंगे: ""। खोना मत!

यदि आपके पास अभी भी समाधान के बारे में प्रश्न हैं, तो उन्हें लेख में टिप्पणियों में लिखें।

नोट: एक विकल्प के रूप में विदेश में दूसरी कक्षा के अध्ययन की शिक्षा प्राप्त करने का निर्णय लिया।