एक सीधे प्रिज्म का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल है प्रिज्म आधार क्षेत्र: त्रिभुज से बहुभुज

इस वीडियो ट्यूटोरियल की मदद से, हर कोई स्वतंत्र रूप से "पॉलीहेड्रॉन की अवधारणा" विषय से परिचित हो सकेगा। प्रिज्म। प्रिज्म सतह क्षेत्र। पाठ के दौरान, शिक्षक समझाएगा कि ये क्या हैं ज्यामितीय आंकड़े, एक बहुफलक और प्रिज्म के रूप में, उपयुक्त परिभाषाएँ देंगे और उनके सार की व्याख्या करेंगे ठोस उदाहरण.

इस पाठ की मदद से, हर कोई स्वतंत्र रूप से "बहुफलक की अवधारणा" विषय से परिचित हो सकेगा। प्रिज्म। प्रिज्म सतह क्षेत्र।

परिभाषा. बहुभुजों से बनी एक सतह और एक निश्चित ज्यामितीय शरीर को बांधकर एक बहुफलकीय सतह या एक बहुफलक कहा जाएगा।

पॉलीहेड्रा के निम्नलिखित उदाहरणों पर विचार करें:

1. टेट्राहेड्रोन ए बी सी डीचार त्रिभुजों से बनी एक सतह है: एबीसी, एशियाई विकास बैंक, बीडीसीतथा एडीसी(चित्र एक)।

चावल। एक

2. समांतर चतुर्भुज एबीसीडीए 1 बी 1 सी 1 डी 1छह समांतर चतुर्भुजों से बनी एक सतह है (चित्र 2)।

चावल। 2

एक बहुफलक के मुख्य तत्व फलक, किनारे, शीर्ष हैं।

फलक बहुभुज हैं जो बहुफलक बनाते हैं।

किनारों चेहरे के पक्ष हैं।

कोने किनारों के सिरे हैं।

एक चतुष्फलक पर विचार करें ए बी सी डी(चित्र एक)। आइए हम इसके मुख्य तत्वों को इंगित करें।

पहलुओं: त्रिभुज एबीसी, एडीबी, बीडीसी, एडीसी.

पसलियां: एबी, एसी, बीसी, डीसी, विज्ञापन, बीडी.

चोटियों: ए बी सी डी.

एक बॉक्स पर विचार करें एबीसीडीए 1 बी 1 सी 1 डी 1(रेखा चित्र नम्बर 2)।

पहलुओं: समांतर चतुर्भुज एए 1 डी 1 डी, डी 1 डीसीसी 1, बीबी 1 सी 1 सी, एए 1 बी 1 बी, एबीसीडी, ए 1 बी 1 सी 1 डी 1।

पसलियां: आ 1 , बी बी 1 , एसएस 1 , डीडी 1, एडी, ए 1 डी 1, बी 1 सी 1, बीसी, एबी, ए 1 बी 1, डी 1 सी 1, डीसी।

चोटियों: ए, बी, सी, डी, ए 1, बी 1, सी 1, डी 1।

एक बहुफलक का एक महत्वपूर्ण विशेष मामला एक प्रिज्म है।

ABSA 1 इन 1 विथ 1(चित्र 3)।

चावल। 3

समान त्रिभुज एबीसीतथा ए 1 बी 1 सी 1समानांतर विमानों α और β में स्थित हैं ताकि किनारों एए 1, बीबी 1, एसएस 1समानांतर हैं।

वह है ABSA 1 इन 1 विथ 1- त्रिकोणीय प्रिज्म, यदि:

1) त्रिभुज एबीसीतथा ए 1 बी 1 सी 1बराबर हैं।

2) त्रिकोण एबीसीतथा ए 1 बी 1 सी 1समानांतर विमानों α और β में स्थित है: एबीसी║ए 1 बी 1 सी (α ║ β).

3) पसलियां एए 1, बीबी 1, एसएस 1समानांतर हैं।

एबीसीतथा ए 1 बी 1 सी 1- प्रिज्म का आधार।

एए 1, बीबी 1, एसएस 1- प्रिज्म की साइड पसलियां।

यदि एक मनमाना बिंदु से एच 1एक तल (उदाहरण के लिए, β) लंब को गिराता है एचएच 1समतल α पर, तब यह लम्ब प्रिज्म की ऊँचाई कहलाता है।

परिभाषा. यदि पार्श्व किनारे आधारों के लंबवत हैं, तो प्रिज्म को सीधा कहा जाता है, अन्यथा इसे तिरछा कहा जाता है।

एक त्रिकोणीय प्रिज्म पर विचार करें ABSA 1 इन 1 विथ 1(चित्र 4)। यह प्रिज्म सीधा है। अर्थात् इसके पार्श्व किनारे आधारों के लंबवत होते हैं।

उदाहरण के लिए, रिब एए 1विमान के लंबवत एबीसी. किनारा एए 1इस प्रिज्म की ऊंचाई है।

चावल। चार

ध्यान दें कि साइड फेस एए 1 वी 1 वीआधारों के लंबवत एबीसीतथा ए 1 बी 1 सी 1, क्योंकि यह लंबवत से होकर गुजरती है एए 1नींव को।

अब एक झुके हुए प्रिज्म पर विचार करें ABSA 1 इन 1 विथ 1(चित्र 5)। यहाँ पार्श्व किनारा आधार के तल के लंबवत नहीं है। अगर हम बिंदु से गिरते हैं ए 1सीधा ए 1 एचपर एबीसी, तो यह लंबवत प्रिज्म की ऊंचाई होगी। ध्यान दें कि खंड एकखंड का प्रक्षेपण है एए 1विमान के लिए एबीसी.

तब रेखा के बीच का कोण एए 1और विमान एबीसीरेखा के बीच का कोण है एए 1और उसकी एकएक समतल पर प्रक्षेपण, अर्थात् कोण ए 1 एएन.

चावल। 5

एक चतुर्भुज प्रिज्म पर विचार करें एबीसीडीए 1 बी 1 सी 1 डी 1(चित्र 6)। आइए देखें कि यह कैसे निकलता है।

1) चतुर्भुज ए बी सी डीएक चतुर्भुज के बराबर ए 1 बी 1 सी 1 डी 1: एबीसीडी = ए 1 बी 1 सी 1 डी 1.

2) चतुर्भुज ए बी सी डीतथा ए 1 बी 1 सी 1 डी 1 एबीसी║ए 1 बी 1 सी (α ║ β).

3) चतुर्भुज ए बी सी डीतथा ए 1 बी 1 सी 1 डी 1व्यवस्थित करें ताकि पार्श्व पसलियां समानांतर हों, अर्थात्: एए 1 बीबी 1 एसएस 1 डीडी 1.

परिभाषा. प्रिज्म का विकर्ण एक खंड है जो एक प्रिज्म के दो शीर्षों को जोड़ता है जो एक ही फलक से संबंधित नहीं होते हैं।

उदाहरण के लिए, एसी 1- एक चतुर्भुज प्रिज्म का विकर्ण एबीसीडीए 1 बी 1 सी 1 डी 1.

परिभाषा. यदि पार्श्व किनारा एए 1आधार के तल के लंबवत, तो ऐसे प्रिज्म को एक सीधी रेखा कहा जाता है।

चावल। 6

चतुर्भुज प्रिज्म का एक विशेष मामला ज्ञात समानांतर चतुर्भुज है। समानांतर खात एबीसीडीए 1 बी 1 सी 1 डी 1अंजीर में दिखाया गया है। 7.

आइए देखें कि यह कैसे काम करता है:

1) आधारों में समान अंक होते हैं। इस मामले में - समान समांतर चतुर्भुज ए बी सी डीतथा ए 1 बी 1 सी 1 डी 1: ए बी सी डी = ए 1 बी 1 सी 1 डी 1.

2) समांतर चतुर्भुज ए बी सी डीतथा ए 1 बी 1 सी 1 डी 1समानांतर विमानों α और β में झूठ बोलो: एबीसी║ए 1 बी 1 सी 1 (α ║ β).

3) समांतर चतुर्भुज ए बी सी डीतथा ए 1 बी 1 सी 1 डी 1इस तरह से व्यवस्थित किया गया है कि पार्श्व पसलियां एक दूसरे के समानांतर हैं: एए 1 बीबी 1 एसएस 1 डीडी 1.

चावल। 7

एक बिंदु से ए 1लंबवत गिराएं एकविमान के लिए एबीसी. रेखा खंड ए 1 एचऊंचाई है।

विचार करें कि एक षट्कोणीय प्रिज्म कैसे व्यवस्थित होता है (चित्र 8)।

1) समान षट्भुज आधार पर स्थित हैं एबीसीडीईएफतथा ए 1 बी 1 सी 1 डी 1 ई 1 एफ 1: एबीसीडीईएफ= ए 1 बी 1 सी 1 डी 1 ई 1 एफ 1.

2) षट्भुज के तल एबीसीडीईएफतथा ए 1 बी 1 सी 1 डी 1 ई 1 एफ 1समानांतर, अर्थात्, आधार समानांतर विमानों में स्थित हैं: एबीसी║ए 1 बी 1 सी (α ║ β).

3) षट्भुज एबीसीडीईएफतथा ए 1 बी 1 सी 1 डी 1 ई 1 एफ 1व्यवस्थित करें ताकि सभी पक्ष किनारे एक दूसरे के समानांतर हों: एए 1 बीबी 1 ...║एफएफ 1.

चावल। आठ

परिभाषा. यदि कोई पार्श्व किनारा आधार के तल के लंबवत है, तो ऐसे षट्कोणीय प्रिज्म को एक सीधी रेखा कहा जाता है।

परिभाषा. एक सही प्रिज्म को नियमित कहा जाता है यदि उसके आधार नियमित बहुभुज हों।

एक नियमित त्रिकोणीय प्रिज्म पर विचार करें ABSA 1 इन 1 विथ 1.

चावल। 9

त्रिकोणीय प्रिज्म ABSA 1 इन 1 विथ 1- सही, इसका मतलब है कि नियमित त्रिभुज आधारों पर स्थित होते हैं, अर्थात इन त्रिभुजों की सभी भुजाएँ बराबर होती हैं। भी दिया गया प्रिज्म- सीधा। इसका अर्थ है कि पार्श्व किनारा आधार के तल के लंबवत है। और इसका मतलब है कि सब कुछ साइड फेससमान आयत हैं।

तो अगर एक त्रिकोणीय प्रिज्म ABSA 1 इन 1 विथ 1सही है, तो:

1) पार्श्व किनारा आधार के तल के लंबवत है, अर्थात यह ऊंचाई है: एए 1 ⊥ एबीसी.

2) आधार एक नियमित त्रिभुज है: एबीसी- सही।

परिभाषा. किसी प्रिज्म का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल उसके सभी फलकों के क्षेत्रफलों का योग होता है। लक्षित एस पूर्ण.

परिभाषा. पार्श्व सतह का क्षेत्रफल सभी पार्श्व चेहरों के क्षेत्रों का योग है। लक्षित एस साइड.

प्रिज्म के दो आधार होते हैं। तब प्रिज्म का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल है:

एस फुल \u003d एस साइड + 2 एस मेन।

एक सीधे प्रिज्म की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल आधार की परिधि और प्रिज्म की ऊंचाई के गुणनफल के बराबर होता है।

आइए इसे एक उदाहरण से साबित करें त्रिकोणीय प्रिज्म.

दिया गया: ABSA 1 इन 1 विथ 1- प्रत्यक्ष प्रिज्म, यानी। एए 1 ⊥ एबीसी.

एए 1 = एच।

सिद्ध करना: एस पक्ष \u003d आर मुख्य एच।

चावल। दस

सबूत.

त्रिकोणीय प्रिज्म ABSA 1 इन 1 विथ 1- सीधे, तो एए 1 बी 1 बी, एए 1 सी 1 सी, बीबी 1 सी 1 सी -आयताकार।

आयतों के क्षेत्रफलों के योग के रूप में पार्श्व सतह का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए एए 1 बी 1 बी, एए 1 सी 1 सी, बीबी 1 सी 1 सी:

एस पक्ष \u003d एबी एच + बीसी ∙ एच + सीए ∙ एच \u003d (एबी + बीसी + सीए) एच \u003d पी मुख्य ∙ एच।

हम पाते हैं एस पक्ष \u003d आर मुख्य एच,क्यू.ई.डी.

हम पॉलीहेड्रॉन, एक प्रिज्म, इसकी किस्मों से परिचित हुए। हमने प्रिज्म की पार्श्व सतह पर प्रमेय को सिद्ध किया। अगले पाठ में हम प्रिज्म पर समस्याओं का समाधान करेंगे।

1. ज्यामिति। ग्रेड 10-11: शैक्षिक संस्थानों के छात्रों के लिए एक पाठ्यपुस्तक (बुनियादी और प्रोफ़ाइल स्तर) / आई। एम। स्मिरनोवा, वी। ए। स्मिरनोव। - 5 वां संस्करण, सही और पूरक - एम।: मेमोसिन, 2008। - 288 पी। : बीमार।
2. ज्यामिति। ग्रेड 10-11: सामान्य शिक्षा के लिए पाठ्यपुस्तक शिक्षण संस्थानों/ शैरगिन आई.एफ. - एम .: बस्टर्ड, 1999. - 208 पी .: बीमार।
3. ज्यामिति। ग्रेड 10: गणित / ई के गहन और प्रोफाइल अध्ययन के साथ सामान्य शैक्षणिक संस्थानों के लिए पाठ्यपुस्तक। वी। पोटोस्कुव, एल। आई। ज़्वालिच। - छठा संस्करण, स्टीरियोटाइप। - एम।: बस्टर्ड, 008. - 233 पी। :बीमार।

1. इक्लास ()।
2. शकोलो। आरयू ()।
3. पुराना स्कूल ()।
4. विकिहाउ ()।

1. एक प्रिज्म में न्यूनतम कितने फलक हो सकते हैं? ऐसे प्रिज्म में कितने शीर्ष, किनारे होते हैं?
2. क्या कोई ऐसा प्रिज्म है जिसके ठीक 100 किनारे हैं?
3. पार्श्व पसली 60° के कोण पर आधार तल की ओर झुकी होती है। यदि भुजा का किनारा 6 सेमी है तो प्रिज्म की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
4. एक सम त्रिभुजाकार प्रिज्म में, सभी किनारे बराबर होते हैं। इसका पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल 27 सेमी 2 है। प्रिज्म का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

परिभाषा 1. प्रिज्मीय सतह
प्रमेय 1. एक प्रिज्मीय सतह के समानांतर वर्गों पर
परिभाषा 2. एक प्रिज्मीय सतह का लंबवत खंड
परिभाषा 3. प्रिज्म
परिभाषा 4. प्रिज्म ऊंचाई
परिभाषा 5. प्रत्यक्ष प्रिज्म
प्रमेय 2. प्रिज्म की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल

समानांतर :
परिभाषा 6. समानांतरपिंड
प्रमेय 3. एक समांतर चतुर्भुज के विकर्णों के प्रतिच्छेदन पर
परिभाषा 7. दायां समांतर चतुर्भुज
परिभाषा 8. आयताकार समांतर चतुर्भुज
परिभाषा 9. एक समानांतर चतुर्भुज के आयाम
परिभाषा 10. घन
परिभाषा 11. समचतुर्भुज
प्रमेय 4. एक आयताकार समांतर चतुर्भुज के विकर्णों पर
प्रमेय 5. एक प्रिज्म का आयतन
प्रमेय 6. एक सीधे प्रिज्म का आयतन
प्रमेय 7. एक आयताकार समांतर चतुर्भुज का आयतन

चश्मेएक बहुफलक कहलाता है, जिसमें दो फलक (आधार) समानांतर तलों में स्थित होते हैं, और किनारे जो इन फलकों में नहीं होते हैं वे एक दूसरे के समानांतर होते हैं।
आधारों के अलावा अन्य फलकों को कहा जाता है पार्श्व.
भुजाओं के फलक और आधार कहलाते हैं प्रिज्म किनारों, किनारों के सिरों को कहा जाता है प्रिज्म के शीर्ष। पार्श्व पसलियांकिनारों को कहा जाता है जो आधारों से संबंधित नहीं हैं। पार्श्व फलकों के मिलन को कहते हैं प्रिज्म की पार्श्व सतह, और सभी चेहरों का मिलन कहलाता है प्रिज्म की पूरी सतह। प्रिज्म ऊंचाईऊपरी आधार के बिंदु से निचले आधार के तल पर गिराया गया लंबवत या इस लंबवत की लंबाई कहा जाता है। सीधा प्रिज्मएक प्रिज्म कहा जाता है, जिसमें किनारे के किनारे आधारों के विमानों के लंबवत होते हैं। सहीएक सीधा प्रिज्म (चित्र 3) कहा जाता है, जिसके आधार पर एक नियमित बहुभुज होता है।

पदनाम:
एल - साइड रिब;
पी - आधार परिधि;
एस ओ - आधार क्षेत्र;
एच - ऊंचाई;
पी ^ - लंबवत खंड की परिधि;
एस बी - साइड सतह क्षेत्र;
वी - मात्रा;
एस पी - प्रिज्म की कुल सतह का क्षेत्रफल।

वी = एसएच एस पी \u003d एस बी + 2 एस ओ एस बी = पी ^ एल

परिभाषा 1 . एक प्रिज्मीय सतह एक सीधी रेखा के समानांतर कई विमानों के हिस्सों द्वारा बनाई गई एक आकृति है जो उन सीधी रेखाओं द्वारा सीमित होती है जिसके साथ ये विमान क्रमिक रूप से एक दूसरे को काटते हैं *; ये रेखाएँ एक दूसरे के समानांतर हैं और कहलाती हैं प्रिज्मीय सतह के किनारे.
*यह माना जाता है कि प्रत्येक दो क्रमागत तल प्रतिच्छेद करते हैं और अंतिम तल पहले को काटता है।

प्रमेय 1 . एक दूसरे के समानांतर (लेकिन इसके किनारों के समानांतर नहीं) विमानों द्वारा एक प्रिज्मीय सतह के खंड समान बहुभुज होते हैं।
मान लीजिए ABCDE और A"B"C"D"E" दो समांतर तलों द्वारा एक प्रिज्मीय सतह के खंड हैं। यह सत्यापित करने के लिए कि ये दो बहुभुज समान हैं, यह दिखाने के लिए पर्याप्त है कि त्रिभुज ABC और A"B"C" बराबर हैं। और रोटेशन की एक ही दिशा है और वही त्रिभुज ABD और A"B"D", ABE और A"B"E" के लिए समान है। लेकिन इन त्रिभुजों के संगत पक्ष समानांतर हैं (उदाहरण के लिए, एसी ए "सी" के समानांतर है) दो समानांतर विमानों के साथ एक निश्चित विमान के चौराहे की रेखाओं के रूप में; यह इस प्रकार है कि ये पक्ष समान हैं (उदाहरण के लिए, एसी बराबर ए "सी") समांतर चतुर्भुज के विपरीत पक्षों के रूप में, और इन पक्षों द्वारा बनाए गए कोण बराबर हैं और एक ही दिशा है।

परिभाषा 2 . एक प्रिज्मीय सतह का एक लंबवत खंड इस सतह का एक खंड है जो इसके किनारों के लंबवत एक विमान द्वारा होता है। पिछले प्रमेय के आधार पर, एक ही प्रिज्मीय सतह के सभी लंबवत खंड समान बहुभुज होंगे।

परिभाषा 3 . एक प्रिज्म एक बहुफलक है जो एक प्रिज्मीय सतह से घिरा होता है और दो विमान एक दूसरे के समानांतर होते हैं (लेकिन प्रिज्मीय सतह के किनारों के समानांतर नहीं)
इन अंतिम तलों में पड़े चेहरों को कहा जाता है प्रिज्म बेस; प्रिज्मीय सतह से संबंधित फलक - साइड फेस; प्रिज्मीय सतह के किनारे - प्रिज्म के किनारे के किनारे. पिछले प्रमेय के आधार पर, प्रिज्म के आधार हैं समान बहुभुज. प्रिज्म के सभी पार्श्व फलक समानांतर चतुर्भुज; सभी पार्श्व किनारे एक दूसरे के बराबर हैं।
यह स्पष्ट है कि यदि प्रिज्म का आधार ABCDE और किनारों में से एक AA" परिमाण और दिशा में दिया गया है, तो किनारों BB", CC", .., के बराबर और समानांतर को खींचकर एक प्रिज्म का निर्माण संभव है किनारे एए"।

परिभाषा 4 . एक प्रिज्म की ऊंचाई उसके आधारों (HH") के तलों के बीच की दूरी है।

परिभाषा 5 . एक प्रिज्म को एक सीधी रेखा कहा जाता है यदि उसके आधार प्रिज्मीय सतह के लंबवत खंड हों। इस मामले में, निश्चित रूप से, प्रिज्म की ऊंचाई है पार्श्व पसली; किनारे के किनारे होंगे आयतों.
प्रिज्म को इसके आधार के रूप में कार्य करने वाले बहुभुज के पक्षों की संख्या के बराबर, पार्श्व चेहरों की संख्या द्वारा वर्गीकृत किया जा सकता है। इस प्रकार, प्रिज्म त्रिकोणीय, चतुर्भुज, पंचकोणीय आदि हो सकते हैं।

प्रमेय 2 . प्रिज्म की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल पार्श्व किनारे के उत्पाद और लंबवत खंड की परिधि के बराबर है।
मान लीजिए ABCDEA"B"C"D"E" दिया गया प्रिज्म है और abcde इसका लंबवत खंड है, ताकि खंड ab, bc, .. इसके पार्श्व किनारों पर लंबवत हों। चेहरा ABA"B" एक समांतर चतुर्भुज है; इसका क्षेत्रफल आधार AA " के गुणनफल के बराबर है जो ab से मेल खाती है; चेहरे का क्षेत्रफल बीसीवी "सी" आधार बीबी के उत्पाद के बराबर है "ऊंचाई बीसी, आदि। इसलिए, साइड सतह (यानी, साइड चेहरों के क्षेत्रों का योग) है पार्श्व किनारे के गुणनफल के बराबर, दूसरे शब्दों में, खंडों की कुल लंबाई AA", BB", .., योग ab+bc+cd+de+ea द्वारा।

परिभाषा। चश्मे- यह एक पॉलीहेड्रॉन है, जिसके सभी कोने दो समानांतर विमानों में स्थित हैं, और एक ही दो विमानों में प्रिज्म के दो चेहरे हैं, जो क्रमशः समानांतर पक्षों के साथ समान बहुभुज हैं, और सभी किनारे जो इनमें नहीं हैं विमान समानांतर हैं।

दो समान फलक कहलाते हैं प्रिज्म बेस(एबीसीडीई, ए 1 बी 1 सी 1 डी 1 ई 1).

प्रिज्म के अन्य सभी फलक कहलाते हैं साइड फेस(एए 1 बी 1 बी, बीबी 1 सी 1 सी, सीसी 1 डी 1 डी, डीडी 1 ई 1 ई, ईई 1 ए 1 ए)।

सभी साइड फेस फॉर्म पार्श्व सतहप्रिज्म .

प्रिज्म के सभी पार्श्व फलक समांतर चतुर्भुज होते हैं .

वे किनारे जो आधारों पर नहीं होते हैं, प्रिज्म के पार्श्व किनारे कहलाते हैं ( एए 1, बी बी 1, सीसी 1, डीडी 1, ईई 1).

प्रिज्म विकर्ण एक खंड कहलाता है, जिसके सिरे प्रिज्म के दो शीर्ष होते हैं जो इसके किसी एक फलक पर नहीं होते हैं (AD 1)।

प्रिज्म के आधारों को एक ही समय में दोनों आधारों से जोड़ने वाले खंड की लंबाई कहलाती है प्रिज्म ऊंचाई .

पद:एबीसीडीई ए 1 बी 1 सी 1 डी 1 ई 1. (पहले, बायपास के क्रम में, एक आधार के शीर्षों को इंगित किया जाता है, और फिर, उसी क्रम में, दूसरे के शीर्षों को; प्रत्येक पार्श्व किनारे के सिरों को समान अक्षरों द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है, केवल कोने में स्थित होते हैं एक आधार एक सूचकांक के बिना अक्षरों द्वारा इंगित किया जाता है, और दूसरे में - एक सूचकांक के साथ)

प्रिज्म का नाम उसके आधार पर स्थित आकृति में कोणों की संख्या के साथ जुड़ा हुआ है, उदाहरण के लिए, चित्र 1 में, आधार एक पंचकोण है, इसलिए प्रिज्म को कहा जाता है पंचकोणीय प्रिज्म. लेकिन जबसे ऐसे प्रिज्म में 7 फलक होते हैं, तो यह हेप्टाहेड्रोन(2 फलक प्रिज्म के आधार हैं, 5 फलक समांतर चतुर्भुज हैं, इसके पार्श्व फलक हैं)

सीधे प्रिज्मों के बीच बाहर खड़ा है निजी दृश्य: नियमित प्रिज्म।

एक सीधा प्रिज्म कहलाता है सही,यदि इसके आधार नियमित बहुभुज हैं।

पर दायां प्रिज्मसभी पार्श्व फलक समान आयत हैं। प्रिज्म का एक विशेष मामला एक समानांतर चतुर्भुज है।

समानांतर खात

समानांतर खात- यह एक चतुर्भुज प्रिज्म है, जिसके आधार पर एक समांतर चतुर्भुज (तिरछा समानांतर चतुर्भुज) होता है। दायां समांतर चतुर्भुज- एक समानांतर चतुर्भुज जिसके पार्श्व किनारे आधार के विमानों के लंबवत होते हैं।

घनाभ- एक समांतर चतुर्भुज जिसका आधार एक आयत है।

गुण और प्रमेय:

समांतर चतुर्भुज के कुछ गुण समांतर चतुर्भुज के प्रसिद्ध गुणों के समान होते हैं। समान आयाम वाले आयताकार समांतर चतुर्भुज को कहा जाता है घनक्षेत्र एक घन के सभी फलक समान वर्ग होते हैं। एक विकर्ण वर्ग, योग के बराबर हैइसके तीन आयामों के वर्ग

,

जहाँ d वर्ग का विकर्ण है;
ए - वर्ग के किनारे।

प्रिज्म का विचार किसके द्वारा दिया गया है:

• विभिन्न वास्तुशिल्प संरचनाएं;
• बच्चों के खिलौने;
• पैकिंग बक्से;
• डिजाइनर आइटम, आदि।

प्रिज्म का कुल और पार्श्व सतह क्षेत्र

प्रिज्म का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफलइसके सभी चेहरों के क्षेत्रों का योग है पार्श्व सतह क्षेत्रइसके पार्श्व फलकों के क्षेत्रफलों का योग कहलाता है। प्रिज्म के आधार बराबर बहुभुज हैं, तो उनके क्षेत्रफल बराबर हैं। इसीलिए

एस पूर्ण \u003d एस साइड + 2 एस मुख्य,

कहाँ पे एस पूर्ण- कुल सतह क्षेत्रफल, एस साइड- पार्श्व सतह क्षेत्र, एस मुख्य- आधार क्षेत्र

एक सीधे प्रिज्म की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल आधार की परिधि और प्रिज्म की ऊंचाई के गुणनफल के बराबर होता है.

एस साइड\u003d पी मुख्य * एच,

कहाँ पे एस साइडएक सीधे प्रिज्म की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल है,

पी मुख्य - सीधे प्रिज्म के आधार की परिधि,

h एक सीधे प्रिज्म की ऊंचाई है, बराबर पार्श्व पसली.

प्रिज्म वॉल्यूम

एक प्रिज्म का आयतन आधार के क्षेत्रफल और ऊँचाई के गुणनफल के बराबर होता है।

विभिन्न प्रिज्म एक दूसरे से भिन्न होते हैं। साथ ही, उनमें बहुत कुछ समान है। प्रिज्म के आधार के क्षेत्र को खोजने के लिए, आपको यह पता लगाना होगा कि यह कैसा दिखता है।

सामान्य सिद्धांत

एक प्रिज्म कोई भी बहुफलक होता है जिसकी भुजाओं में एक समांतर चतुर्भुज का आकार होता है। इसके अलावा, कोई भी पॉलीहेड्रॉन इसके आधार पर हो सकता है - एक त्रिकोण से एक एन-गॉन तक। इसके अलावा, प्रिज्म के आधार हमेशा एक दूसरे के बराबर होते हैं। साइड चेहरों पर क्या लागू नहीं होता है - वे आकार में काफी भिन्न हो सकते हैं।

समस्याओं को हल करते समय, यह न केवल प्रिज्म के आधार का क्षेत्र है जो सामने आता है। पार्श्व सतह को जानना आवश्यक हो सकता है, अर्थात सभी चेहरे जो आधार नहीं हैं। पूर्ण सतह पहले से ही प्रिज्म बनाने वाले सभी चेहरों का मिलन होगा।

कभी-कभी कार्यों में ऊंचाइयां दिखाई देती हैं। यह आधारों के लंबवत है। एक बहुफलक का विकर्ण एक ऐसा खंड है जो जोड़े में किन्हीं दो शीर्षों को जोड़ता है जो एक ही फलक से संबंधित नहीं हैं।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि सीधे या झुके हुए प्रिज्म के आधार का क्षेत्र उनके और पार्श्व चेहरों के बीच के कोण पर निर्भर नहीं करता है। यदि उनके ऊपरी और निचले फलकों में समान आकृतियाँ हैं, तो उनका क्षेत्रफल बराबर होगा।

त्रिकोणीय प्रिज्म

इसके आधार पर तीन शीर्षों वाली एक आकृति है, जो कि एक त्रिभुज है। यह अलग होने के लिए जाना जाता है। यदि तब यह याद रखना पर्याप्त है कि इसका क्षेत्रफल पैरों के आधे उत्पाद से निर्धारित होता है।

गणितीय संकेतन इस तरह दिखता है: S = ½ av.

आधार का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए सामान्य दृष्टि से, सूत्र उपयोगी हैं: बगुला और वह जिसकी आधी भुजा को उसकी ओर खींची गई ऊँचाई तक ले जाया जाता है।

पहला सूत्र इस तरह लिखा जाना चाहिए: एस \u003d (पी (पी-ए) (पी-इन) (पी-एस))। इस प्रविष्टि में एक अर्ध-परिधि (p) है, अर्थात तीन भुजाओं का योग दो से विभाजित है।

दूसरा: एस = ½ एन ए * ए।

यदि आप एक त्रिभुजाकार प्रिज्म के आधार का क्षेत्रफल जानना चाहते हैं, जो नियमित है, तो त्रिभुज समबाहु हो जाता है। इसका अपना सूत्र है: एस = ¼ ए 2 * √3।

चतुष्कोणीय प्रिज्म

इसका आधार कोई भी ज्ञात चतुर्भुज है। यह एक आयत या एक वर्ग, एक समानांतर चतुर्भुज या एक समचतुर्भुज हो सकता है। प्रत्येक मामले में, प्रिज्म के आधार के क्षेत्र की गणना करने के लिए, आपको अपने स्वयं के सूत्र की आवश्यकता होगी।

यदि आधार एक आयत है, तो उसका क्षेत्रफल इस प्रकार निर्धारित होता है: S = av, जहाँ a, b आयत की भुजाएँ हैं।

जब चतुर्भुज प्रिज्म की बात आती है, तो एक नियमित प्रिज्म के आधार क्षेत्र की गणना एक वर्ग के सूत्र का उपयोग करके की जाती है। क्योंकि यह वह है जो आधार पर स्थित है। एस \u003d ए 2.

मामले में जब आधार एक समानांतर चतुर्भुज है, तो निम्नलिखित समानता की आवश्यकता होगी: S \u003d a * n a। ऐसा होता है कि समानांतर चतुर्भुज का एक पक्ष और कोणों में से एक दिया गया है। फिर, ऊंचाई की गणना करने के लिए, आपको एक अतिरिक्त सूत्र का उपयोग करने की आवश्यकता होगी: ना \u003d बी * पाप ए। इसके अलावा, कोण ए पक्ष "बी" के निकट है, और ऊंचाई इस कोण के विपरीत है।

यदि एक समचतुर्भुज प्रिज्म के आधार पर स्थित है, तो उसका क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए उसी सूत्र की आवश्यकता होगी जैसा कि समांतर चतुर्भुज के लिए होता है (क्योंकि यह इसका एक विशेष मामला है)। लेकिन आप इसका भी उपयोग कर सकते हैं: एस = ½ डी 1 डी 2। यहाँ d 1 और d 2 समचतुर्भुज के दो विकर्ण हैं।

नियमित पंचकोणीय प्रिज्म

इस मामले में बहुभुज को त्रिभुजों में विभाजित करना शामिल है, जिनके क्षेत्रों का पता लगाना आसान है। हालांकि ऐसा होता है कि आंकड़े अलग-अलग शीर्षों के साथ हो सकते हैं।

चूँकि प्रिज्म का आधार एक नियमित पंचभुज है, इसे पाँच समबाहु त्रिभुजों में विभाजित किया जा सकता है। फिर प्रिज्म के आधार का क्षेत्रफल एक ऐसे त्रिभुज के क्षेत्रफल के बराबर होता है (सूत्र ऊपर देखा जा सकता है), पाँच से गुणा किया जाता है।

नियमित हेक्सागोनल प्रिज्म

पंचकोणीय प्रिज्म के लिए वर्णित सिद्धांत के अनुसार, आधार षट्भुज को 6 समबाहु त्रिभुजों में विभाजित करना संभव है। ऐसे प्रिज्म के आधार के क्षेत्रफल का सूत्र पिछले वाले के समान होता है। इसमें केवल छह से गुणा किया जाना चाहिए।

सूत्र इस तरह दिखेगा: एस = 3/2 और 2 * 3।

कार्य

नंबर 1. एक नियमित सीधी रेखा दी गई है। इसका विकर्ण 22 सेमी है, पॉलीहेड्रॉन की ऊंचाई 14 सेमी है। प्रिज्म के आधार और पूरी सतह के क्षेत्रफल की गणना करें।

समाधान।प्रिज्म का आधार एक वर्ग है, लेकिन इसकी भुजा ज्ञात नहीं है। आप वर्ग (x) के विकर्ण से इसका मान ज्ञात कर सकते हैं, जो प्रिज्म के विकर्ण (d) और इसकी ऊँचाई (n) से संबंधित है। एक्स 2 \u003d डी 2 - एन 2। दूसरी ओर, यह खंड "x" एक त्रिभुज का कर्ण है जिसके पैर वर्ग की भुजा के बराबर हैं। यानी एक्स 2 \u003d ए 2 + ए 2। इस प्रकार, यह पता चला है कि एक 2 \u003d (डी 2 - एन 2) / 2।

d के बजाय संख्या 22 को प्रतिस्थापित करें, और "n" को इसके मान - 14 से बदलें, यह पता चलता है कि वर्ग की भुजा 12 सेमी है। अब आधार क्षेत्र का पता लगाना आसान है: 12 * 12 \u003d 144 सेमी 2 .

पूरी सतह के क्षेत्रफल का पता लगाने के लिए, आपको आधार क्षेत्र के मूल्य का दोगुना और पक्ष को चौगुना करना होगा। आयत के लिए सूत्र द्वारा उत्तरार्द्ध को खोजना आसान है: पॉलीहेड्रॉन की ऊंचाई और आधार के किनारे को गुणा करें। यानी 14 और 12, यह संख्या 168 सेमी 2 के बराबर होगी। प्रिज्म का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 960 सेमी 2 पाया जाता है।

उत्तर।प्रिज्म का आधार क्षेत्रफल 144 cm2 है। पूरी सतह - 960 सेमी 2।

संख्या 2. दाना आधार पर 6 सेमी की भुजा वाला एक त्रिभुज है। इस स्थिति में, पार्श्व फलक का विकर्ण 10 सेमी है। क्षेत्रों की गणना करें: आधार और पार्श्व सतह।

समाधान।चूंकि प्रिज्म नियमित है, इसका आधार एक समबाहु त्रिभुज है। इसलिए, इसका क्षेत्रफल 6 वर्ग गुणा और 3 के वर्गमूल के बराबर हो जाता है। एक साधारण गणना परिणाम की ओर ले जाती है: 9√3 सेमी 2। यह प्रिज्म के एक आधार का क्षेत्रफल है।

सभी पक्ष फलक समान हैं और 6 और 10 सेमी की भुजाओं वाले आयत हैं। उनके क्षेत्रों की गणना करने के लिए, इन संख्याओं को गुणा करना पर्याप्त है। फिर उन्हें तीन से गुणा करें, क्योंकि प्रिज्म के ठीक इतने ही पार्श्व फलक हैं। फिर पार्श्व सतह का क्षेत्रफल 180 सेमी 2 घाव है।

उत्तर।क्षेत्र: आधार - 9√3 सेमी 2, प्रिज्म की पार्श्व सतह - 180 सेमी 2।